Luận văn Định giá quyền chọn vàng – thêm một công cụ để phòng ngừa rủi ro trong kinh doanh vàng

LUẬN VĂN: Định giá quyền chọn vàng – thêm một công cụ để phòng ngừa rủi ro trong kinh doanh vàng LỜI MỞ ĐẦU Trong những năm gần đây cùng với sự sôi động của thị trường chứng khoán thì vàng và dầu mỏ là hai mặt hàng được giới đầu tư rất quan tâm. Với bản chất và đặc tính của mình, vàng đang được coi là phương tiện cất trữ an toàn của thế giới mỗi khi có biến động. Các nhà đầu tư nhận định vàng đang là phương tiện đầu tư hấp dẫn và an toàn hơn so với các loại cổ phiếu và trái phiếu do lạm phát đang có chiều hướng gia tăng trên phạm vi toàn cầu do giá dầu tăng cao. Trong khi đó, các nhà đầu tư ngày càng tỏ ra thiếu mặn mà với đồng Euro, bởi đồng tiền này đang mất giá trên thị trường đầu tư và tiền tệ thế giới. Song giá vàng lên xuống thất thường. Nguyên nhân, trước hết do nhu cầu vàng thế giới tăng mạnh, thứ hai do nguồn cung cấp vàng của thế giới hạn hẹp hơn. Ngoài ra còn có các nguyên nhân khác tác động tới giá vàng, như tình hình chính trị bất ổn, nguy cơ lạm phát gia tăng, đồng Đô la tăng gia so với các đồng ngoại tệ khác, uy tín của đồng Euro giảm sút, biến động về lãi suất… Giới quan sát cho rằng vàng vẫn đang trong vòng xoáy tăng giá, do các nhà đầu tư đưa vàng vào danh mục đầu tư thay cho việc đầu tư vào chứng khoán và trái phiếu, hay đầu tư vào đồng Đô la và đồng Euro. Các quỹ hàng hoá đã bắt đầu bán tháo các chứng khoán năng lượng để chuyển sang vàng do giá dầu thế giới có chiều hướng đảo chiều. Như vậy, biến động giá vàng sẽ không liên tục theo một chiều tăng hay giảm, mà giao động theo chiều díc dắc trong xu thế tăng lên. Đầu tư vào vàng là một vấn đề được rất nhiều người quan tâm và hứa hẹn sẽ mang lại nguồn lợi nhuận lớn. Tuy nhiên, trong bối cảnh khó tiên liệu về lạm phát và những xáo trộn chính trị, đầu tư vào vàng cũng tiềm ẩn rất nhiều rủi ro. Vì vậy việc thực hiện biện pháp để phòng ngừa rủi ro là rất cần thiết, mà trong đó Quyền chọn là một trong những công cụ khá phổ biến được các nhà đầu tư lựa chọn. Ở Việt Nam việc thực thực hiện các công cụ phái sinh để phòng ngừa rủi ro trong việc kinh doanh chứng khoán nói chung cũng như trong kinh doanh vàng chưa được phổ biến. Hiện nay, lác đác mới xuất hiện một số ngân hàng thực hiện quyền chọn trong việc kinh doanh vàng và ngoại tệ, vì vậy việc nghiên cứu những kiến thức về quyền chọn nhằm áp dụng rộng rãi nó như là một công cụ giứp các nhà đầu tư phòng ngừa rủi ro góp phần tạo sự ổn định và hiệu quả cho thị trường. Đó chính là lý do để tôi lựa chọn đề tài “Định giá quyền chọn vàng – thêm một công cụ để phòng ngừa rủi ro trong kinh doanh vàng”. CHƯƠNG I: TỔNG QUAN VỀ QUYỀN CHỌN I. QUYỀN CHỌN VÀ NGUYÊN TẮC ĐỊNH GIÁ CƠ BẢN 1. Một số khái niệm cơ bản 1.1. Chứng khoán phái sinh là các công cụ tài chính có nguồn gốc từ chứng khoán và có quan hệ chặt chẽ với các chứng khoán gốc. Các chứng khoán phái sinh được hình thành do nhu cầu giao dịch của người mua và người bán và phát triển phụ thuộc vào mức độ phát triển của thị trường chứng khoán. Có thể phân loại chứng khoán phái sinh thành các loại như sau: - Quyền mua trước - Chứng khế - Hợp đồng kỳ hạn - Hợp đồng tương lai - Quyền chọn 1.2. Quyền chọn Hợp đồng quyền chọn là một hợp đồng cho phép người nắm giữ nó được mua (nếu là quyền mua) hoặc được bán (nếu là quyền bán) một khối lượng hàng hoá cơ sở nhất định tại một mức giá xác định và trong một thời gian nhất định. Khác với việc sở hữu một hợp đồng kỳ hạn và hợp đồng tương lai buộc phải mua hoặc bán các tài sản cơ sở trong tương lai, người sử dụng hợp đồng quyền chọn có thể lựa chọn xem có nên mua (call) hay bán (put) một tài sản cơ sở trong tương lai tại mức giá thực hiện được xác định vào ngày hôm nay. Khả năng lựa chọn có thể tạo ra các khoản thanh toán không cân xứng, nghĩa là người sở hữu hợp đồng quyền chọn có thể từ chối cơ hội mua hay bán một tài sản. Trên thực tế người sở hữu hợp đồng quyền chọn sẽ từ chối thực hiện hợp đồng nếu giá hợp đồng này bất lợi so với giá thực hiện của hợp đồng, ngược lại nếu mức giá thuận lợi họ sẽ thực hiện quyền mua hay bán tài sản. - Nếu căn cứ vào tính chất đối với quyền mua hay quyền bán thì quyền chọn chia làm hai loại là quyền chọn mua (call option) và quyền chọn bán (put option). Quyền chọn mua trao cho người nắm giữ quyền mua tài sản vào một ngày nhất định với một giá xác định. Quyền chọn bán trao cho người nắm giữ quyền bán tài sản vào một ngày nhất định với một giá xác định. Ngày nêu trên hợp đồng là ngày đáo hạn hay là ngày thực hiện và giá nêu trên hợp đồng là giá quyền chọn. - Nếu căn cứ vào tính chất thời gian thì hợp đồng quyền chọn được chia làm hai loại: hợp đồng quyền chọn kiểu Mỹ, hợp đồng quyền chọn kiểu Châu Âu Một hợp đồng quyền chọn Mỹ có thể được thực hiện vào bất kỳ thời điểm nào cho đến tận ngày đáo hạn. Một quyền chọn Châu Âu có thể được thực hiện vào ngày đáo hạn. Có bốn chiến lược cơ bản trong giao dịch quyền chọn là: mua quyền chọn mua, bán quyền chọn mua, mua quyền chọn bán và bán quyền chọn bán. 1.3. Tài sản cơ sở Cổ phiếu, Chỉ số cổ phiếu, trái phiếu, chỉ số trái phiếu, ngoại tệ, hay hợp đồng tương lai. Các ký hiệu: S0 = Giá tài sản cơ sở hiện tại X = Giá thực hiện T = Thời gian cho đến khi đáo hạn r = Lãi suất phi rủi ro ST = Giá tài sản cơ sở tại thời điểm đáo hạn quyền chọn, tức là sau khoảng thời gian T C(S0,T,X) = Giá quyền chọn mua với giá tài sản cơ sở hiện tại là S0, thời gian cho đến lúc đáo hạn là T, giá thực hiện là X Ca(S0,T,X) = Giá quyền chọn mua kiểu Mỹ Ce(S0,T,X) = Giá quyền chọn mua kiểu Châu Âu P(S0,T,X) = Giá quyền chọn bán với giá tài sản cơ sở hiện tại là S0, thời gian cho đến lúc đáo hạn là T, giá thực hiện là X Pa(S0,T,X) = Giá quyền chọn bán kiểu Mỹ Pe(S0,T,X) = Giá quyền chọn bán kiểu Châu Âu 2. Các bộ phận cấu thành nên giá quyền chọn 2.1. Giá trị nội tại của quyền Giá trị nội tại của một quyền chọn là giá trị mà người nắm giữ quyền chọn sẽ nhận được bằng cách thực hiện quyền ngay lập tức. Đối với một quyền chọn mua, nếu giá trị thực hiện quyền thấp hơn giá của tài sản cơ sở, quyền chọn mua đó được coi là lãi. Một quyền chọn có mức giá thực thi ngang bằng với giá hiện hành của tài sản cơ sở được coi là hoà vốn, nếu còn thấp hơn giá hiện hành của tài sản cơ sở thì bị coi là lỗ. Trong cả hai trường hợp quyền chọn mang lại khoản lỗ và hòa vốn đều có giá trị nội tại bằng không bởi vì người thực hiện quyền không thu được lãi. Đối với quyền chọn bán thì ngược lại, người thực hiện quyền sẽ có lãi nếu giá thực hiện quyền cao hơn giá hiện hành của tài sản cơ sở và sẽ bị lỗ nếu giá thực hiện quyền thấp hơn thị trường của tài sản cơ sở. 2.2. Giá trị thời gian của quyền Giá trị thời gian của một quyền chọn là khoản chênh lệch giữa giá của quyền so với giá trị nội tại. Thời gian cho đến khi đáo hạn của quyền càng dài thì giá trị thời gian của quyền càng lớn, bởi vì người mua quyền chọn hy vọng rằng vào một thời điểm nào đó trước khi hết hiệu lực, những thay đổi về giá của tài sản cơ sở trên thị trường sẽ làm tăng giá trị của các quyền chọn, do đó họ sẵn sàng trả một khoản tiền chênh lệch trên giá trị nội tại. 3. Nguyên tắc cơ bản để định giá quyền chọn Định giá quyền chọn dựa trên 2 nguyên lý cơ bản - Nguyên lý không có cơ lợi - Lập danh mục phòng hộ hoàn hảo 3.1. Nguyên tắc định giá quyền chọn mua 3.1.1. Giá trị thấp nhất của quyền chọn mua Một quyền chọn mua là một công cụ với nghĩa vụ pháp lý giới hạn. Nếu người mua quyền chọn thấy rằng thực hiện quyền chọn là có lợi, quyền chọn sẽ được thực hiện. Nếu thực hiện quyền chọn sẽ làm giảm sự giàu có của người sở hữu quyền chọn, người mua sẽ không thực hiện. Quyền chọn không thể có giá trị âm, vì người mua không bị bắt buộc phải thực hiện quyền chọn. Vì vậy C(S0,T,X) 0 Đối với quyền chọn kiểu Mỹ, kết luận quyền chọn mua có giá trị thấp nhất là 0 bị lấn át bởi kết luận: ),0(),,( 00 XSMaxXTSCa  Hình 1: Giá trị thấp nhất của quyền chọn mua kiểu Châu Âu và kiểu Mỹ 0 Giá cổ phiếu (S0) G i ¸ q u y Ò n c h ä n m u a (a) Giá quyền chọn kiểu Châu Âu Giá trị thấp nhất của một quyền chọn được gọi là giá trị nội tại, hay còn gọi là giá trị cân bằng, hoặc giá trị thực hiện. Giá trị nội tại là giá trị mà người mua quyền chọn mua nhận được khi thực hiện quyền chọn và là giá trị mà người bán quyền chọn mua từ bỏ khi quyền chọn được thực hiện. Khái niệm giá trị nội tại chỉ áp dụng đối với quyền chọn mua kiểu Mỹ, vì quyền chọn mua kiểu Châu Âu chỉ có thể được thực hiện vào ngày đáo hạn. Giá quyền chọn mua kiểu Mỹ thường lớn hơn giá trị nội tại của nó. Chênh lệch giữa giá quyền chọn và giá trị nội tại được gọi là giá trị thời gian hay giá trị đầu cơ của quyền chọn mua, được định nghĩa là Ca(S0,T,X) – Max(0,S0 - X). Giá trị thời gian phản ánh những gì mà nhà kinh doanh sẵn sàng chi trả cho sự không chắc chắn của tài sản cơ sở. Giá trị thời gian tăng cùng chiều với thời gian tính cho đến khi đáo hạn. 3.1.2. Giá trị tối đa của quyền chọn mua Quyền chọn mua có giá trị tối đa: C(S0,T,X) S0 Quyền chọn mua là một kênh mà nhà đầu tư có thể mua tài sản cơ sở. Điều mà người ta mong muốn đạt được nhiều nhất từ quyền chọn mua là giá trị của tài sản cơ sở trừ đi giá thực hiện. Ngay cả khi giá thực hiện là 0, không ai có thể trả nhiều tiền để mua quyền chọn mua hơn là để mua tài sản cơ sở. Tuy nhiên, có một quyền chọn mua đáng giá bằng với giá tài sản cơ sở là quyền chọn mua có kỳ hạn vĩnh viễn. Max(0,X-S0) Giá cổ phiếu (S0) G i ¸ q u y Ò n c h ä n m u a (b) Quyền chọn kiểu Mỹ 0 Hình 2: Giá trị tối thiểu và tối đa của quyền chọn mua kiểu Châu Âu và kiểu Mỹ 3.1.3. Giá trị của quyền chọn mua khi đáo hạn Giá trị của quyền chọn mua lúc đáo hạn được thể hiện như sau: C(S0,T,X) = Max(0,ST - X) Vì quyền chọn đã đến thời điểm đáo hạn, giá quyền chọn không còn chứa đựng giá trị thời gian. Triển vọng tăng lên trong tương lai của giá tài sản cơ sở không còn liên quan đến giá của quyền chọn đang đáo hạn, tức là đơn giản chỉ còn lại giá trị nội tại. Giá cổ phiếu (S0) 0 S0 Max(0,S0-X) X 0 G i ¸ q u y Ò n c h ä n m u a (b) Quyền chọn kiểu Mỹ (a) Quyền chọn kiểu Châu Âu Giá cổ phiếu (S0) 0 S0 G i ¸ q u y Ò n c h ä n m u a Khi đáo hạn quyền chọn kiểu Mỹ và kiểu Châu Âu là các công cụ giống nhau. Vì vậy, quy tắc này đúng cho tất cả hai loại quyền chọn. Hình 3: Giá trị của quyền chọn mua tại thời điểm đáo hạn 3.1.4. Tác động của thời gian đến khi đáo hạn Xét hai quyền chọn kiểu Mỹ chỉ khác nhau thời gian cho đến khi đáo hạn. Một quyền chọn có thời gian đến khi đáo hạn là T1 và có giá Ca(S0,T1,X) và quyền chọn còn lại có thời gian đến khi đáo hạn là T2 và giá là Ca(S0,T2,X), Giả định T2>T1 và hôm nay là ngày đáo hạn của quyền chọn có thời hạn ngắn hơn. Giá tài sản cơ sở là 1T S . Giá quyền chọn đang đáo hạn là Max(0,S0 – X). Quyền chọn thứ hai có thời gian đến khi đáo hạn là T2 – T1. Giá trị tối thiểu của nó là Max(0, ) 1 XST  . Vì vậy, khi quyền chọn có thời hạn ngắn hơn đáo hạn, giá trị của nó là giá trị thấp nhất của quyền chọn có thời hạn dài hơn. Vì vậy Ca(S0,T2,X) Ca(S0,T1,X) Thông thường quyền chọn có thời gian đáo hạn dài hơn thì có giá trị lớn hơn, nhưng nếu nó không có giá trị thời gian khi quyền chọn ngắn hơn đáo hạn, hai quyền chọn sẽ C(ST,0,X) Max(0,S0-X) G i ¸ q u y Ò n c h ä n m u a 0 Giá cổ phiếu tại thời điểm đáo (ST) không có cùng một giá. Điều này có thể xảy ra khi giá của cổ phiếu cơ sở rất cao hoặc rất thấp. Giá trị thời gian của một quyền chọn mua thay đổi theo thời gian đến khi đáo hạn và chênh lệch giữa giá cổ phiếu và giá thực hiện. Các nhà đầu tư chi trả cho giá trị thời gian của quyền chọn mua dựa trên độ bất ổn của giá tài sản cơ sở trong tương lai. Mối quan hệ giữa thời gian đến khi đáo hạn và giá quyền chọn cũng đúng với quyền chọn kiểu Châu Âu. 3.1.5. Tác động của giá thực hiện Tác động lên giá trị quyền chọn. Xét hai quyền chọn mua kiểu Châu Âu chỉ khác nhau giá thực hiện, giá thực hiện của hai quyền chọn lần lượt là X1và X2, X2>X1. Xét hai danh mục đầu tư, A và B. Danh mục đầu tư A bao gồm một vị thế mua quyền chọn mua với giá thực hiện là X1 và một vị thế bán quyền chọn mua với giá thực hiện là X2. Danh mục này được gọi là chênh lệch tiền tệ. Vì chúng ta chi ra Ce(S0,T,X1) và nhận về Ce(S0,T,X2), giá trị ban đầu của danh mục này là Ce(S0,T,X1) - Ce(S0,T,X2). Chúng ta vẫn chưa biết giá trị ban đầu âm hay dương, điều đó phụ thuộc vào giá quyền chọn nào cao hơn. Danh mục B chỉ gồm các trái phiếu phi rủi ro có mệnh giá X2 – X1. Các trái phiếu này được xem là các công cụ chiết khấu thuần tuý, như trái phiếu Chính phủ ngắn hạn, và đáo hạn khi quyền chọn đáo hạn. Vì vậy giá trị của danh mục này là hiện giá của mệnh giá của trái phiếu, hay đơn giản là (X2 – X1)(1+r) -T. Đối với danh mục A, thứ nhất chúng ta cần xác định giá trị danh mục khi đáo hạn. Giá trị của bất kỳ danh mục nào sẽ là dòng tiền của nó hoặc khoản thanh toán khi quyền chọn đáo hạn, phụ thuộc vào giá tài sản cơ sở khi đáo hạn, ST. Giá tài sản cơ sở khi đáo hạn có 3 trường hợp: (1) ST<X1; (2) 21 XSX T  ; hay (3) TSXX  21 . Khi ST lớn hơn X1, quyền chọn mua có giá thực hiện là X1 sẽ có giá trị ST – X1. Nếu ST lớn hơn X2, quyền chọn mua có giá thực hiện X2 sẽ có giá trị ST – X2. Tuy nhiên chúng ta có vị thế bán đối với quyền chọn có giá trị thực hiện X2. Vì người mua nhận được khoản thanh toán ST – X2 khi quyền chọn đáo hạn cao giá, người bán phải thanh toán –ST + X2. Tính tổng khoản thanh toán của hai quyền chọn, ta thầy rằng danh mục A sẽ luôn tạo ra khoản giá trị không nhỏ hơn 0, và trong suốt một số trường hợp, lớn hơn 0. Vì vậy Ce(S0,T,X1)  Ce(S0,T,X2) Với quyền chọn mua kiểu Mỹ, quyền chọn mua ở vị thế mua không nhất thiết phải được thực hiện, do đó chúng ta chỉ cần quan tâm đến điều gì sẽ xảy ra nếu quyền chọn mua ở vị thế bán được thực hiện sớm. Giả định rằng giá cổ phiếu cơ sở trước khi đáo hạn là St và lớn hơn X2. Vì bất cứ lý do nào đó, quyền chọn được thực hiện. Điều này tạo ra một dòng tiền âm, -(St - X2). Nhà kinh doanh sau đó thực hiện quyền chọn mua ở vị thế mua, điều này tạo ra một dòng tiền dương St – X1. Tổng hai dòng tiền này là X2 – X1, có giá trị dương vì X2>X1. Vì vậy thực hiện quyền chọn sớm sẽ không tạo ra một dòng tiền âm. Vì vậy danh mục A sẽ không bao giờ tạo ra dòng tiền âm khi đáo hạn, ngay cả khi quyền chọn là Kiểu Mỹ. Vì vậy, kết quả của chúng ta đúng đối với cả quyền chọn mua kiểu Mỹ lẫn kiểu Châu Âu. Kết quả này cho thấy rằng giá của quyền chọn mua với giá thực hiện thấp hơn không thể thấp hơn giá quyền chọn mua có giá thực hiện cao hơn. Tuy nhiên hai mức giá quyền chọn mua này có thể bằng nhau. Giới hạn chênh lệch chi phí. So sánh kết quả của danh mục A với danh mục B, ta thấy rằng lợi nhuận của danh mục B không bao giờ thấp hơn danh mục A. Vì vậy các nhà đầu tư sẽ không bao giờ chi trả cho danh mục B thấp hơn danh mục A. Giá của danh mục A là Ce(S0,T,X1) – Ce(S0,T,X2), giá của quyền chọn được mua trừ đi giá của quyền chọn đã bán. Giá của danh mục B là (X2 – X1)(1+r) -T hiện giá của mệnh giá trái phiếu. Vì vậy (X2 – X1)(1+r) -T  Ce(S0,T,X1) – Ce(S0,T,X2)  (X2 – X1)  Ce(S0,T,X1) – Ce(S0,T,X2) Điều này có nghĩa là lợi thế của việc mua một quyền chọn với giá thực hiện thấp hơn so với một quyền chọn có giá thực hiện cao hơn sẽ không cao hơn chênh lệch giá thực hiện. Đối với quyền chọn mua kiểu Mỹ, quyền chọn mua có giá thực hiện thấp hơn có giá trị ít nhất cũng bằng với quyền chọn mua có giá thực hiện cao hơn. Tuy nhiên kết luận rằng chênh lệch giá thực hiện không đúng đối với quyền chọn mua kiểu Mỹ. Nếu cả hai quyền chọn mua đều được thực hiện ở thời điểm t trước khi đáo hạn, và khoản thanh toán X2 – X1 được đầu tư vào trái phiếu phi rủi ro, lợi nhuận của danh mục A sẽ là (X2 – X1)(1+r) (T-t) Giá trị này sẽ lớn giá trị của danh mục B là X2 – X1. Vì vậy danh mục B sẽ không luôn luôn có hiệu quả lơn hơn hoặc bằng danh mục A. Tuy nhiên, nếu các trái phiếu trong danh mục B có mệnh giá là (X2 – X1)(1+r) T, và vì vậy có hiện giá là X2 – X1, danh mục B sẽ luôn hiệu quả hơn danh mục A. Trong trường hợp đó, giá trị hiện tại của danh mục A không thể vượt hơn giá trị hiện tại của danh mục B. Do đó, chúng ta có thể kết luận đối với quyền chọn kiểu Mỹ: (X2 – X1)  Ca(S0,T,X1) – Ca(S0,T,X2) 3.1.6. Giới hạn dưới của quyền chọn mua kiểu Châu Âu Chúng ta biết rằng đối với quyền chọn mua kiểu Mỹ Ca(S0,T,X) Max(0,S0 – X) Vì ở đây yêu cầu thực hiện ngay là có thể được, chúng ta không thể kết luận tương tự như vậy đối với quyền chọn mua kiểu Châu Âu. Tuy nhiên, chúng ta có thể xây dựng một giới hạn dưới cho quyền chọn mua kiểu Châu Âu, giới hạn này sẽ cao hơn giá trị nội tại của một quyền chọn mua kiểu Mỹ. Một lần nữa xem xét hai danh mục đầu tư A và B. Danh mục A gồm một cổ phiếu đang được định giá là S0, còn danh mục B gồm một quyền chọn mua kiểu Châu Âu có giá Ce(S0,T,X) và trái phiếu phi rủi ro có mệnh giá X, và vì vậy có hiện giá là X(1+r) -T. Giá trị hiện tại của danh mục B là Ce(S0,T,X) + X(1+r) -T Thu nhập khi đáo hạn của danh mục A và B Danh mục Giá trị hiện tại XST  ST >X A S0 ST ST B Ce(S0,T,X) + X(1+r) -T X (ST – X) +X = ST Thu nhập từ danh mục B luôn ít nhất là bằng với thu nhập của danh mục A và đôi khi còn lớn hơn. Các nhà đầu tư sẽ nhận thấy điều này và định giá danh mục B tối thiểu cũng bằng với danh mục a, có nghĩa là: Ce(S0,T,X) + X(1+r) -T  S0  Ce(S0,T,X)  S0 - X(1+r) -T Nếu S0 - X(1+r) -T là âm, chúng ta xem giá trị thấp nhất của quyền chọn mua là 0. Kết hợp các kết quả này cho ta một giới hạn dưới: Ce(S0,T,X)  Max(0, S0 - X(1+r) -T) Nếu giá quyền chọn mua thấp hơn giá cổ phiếu cơ sở trừ đi hiện giá của giá thực hiện, chúng ta có thể xây dựng một danh mục kinh doanh chênh lệch giá. Chúng ta mua quyền chọn mua và trái phiếu phi rủi ro và bán khống tài sản cơ sở. Danh mục này có dòng tiền ban đầu dương vì giá quyền chọn cộng với giá trái phiếu thấp hơn giá cổ phiếu. Khi đáo hạn, thu nhập của danh mục là X – ST nếu C > ST và bằng 0 nếu ngược lại. Danh mục có dòng tiền dương ngay bây giờ và có dòng tiền hoặc bằng không hoặc dương khi đáo hạn. Quyền chọn mua kiểu Mỹ so với kiểu Châu Âu Ca(S0,T,X)  Ce(S0,T,X) 3.2. Nguyên tắc định giá quyền chọn bán 3.2.1. Giá trị nhỏ nhất của quyền chọn bán Một quyền chọn bán là một quyền chọn cho phép bán một cổ phiếu. Một người sở hữu quyền chọn bán không bị bắt buộc phải thực hiện quyền chọn và sẽ không làm vậy nếu việc thực hiện làm giảm giá trị tài sản. Vì vậy một quyền chọn bán không bao giờ có giá trị âm: P(S0,T,X)  0 Một quyền chọn bán kiểu Mỹ có thể thực hiện sớm. Vì vậy Pa(S0,T,X)  Max(0,X - S0) Giá trị Max(0, X - S0) được gọi là giá trị nội tại của quyền chọn bán. Chênh lệch giữa giá quyền chọn bán và giá trị nội tại là giá trị thời gian hay giá trị đầu cơ. Giá trị thời gian được định nghĩa là Pa(S0,T,X) - Max(0,X - S0). Giá trị thời gian phản ánh những gì mà một nhà đầu tư sẵn sàng trả cho sự không chắc chắn của kết quả cuối cùng. Hình 2: Giá trị tối thiểu của quyền chọn bán kiểu Châu Âu và kiểu Mỹ Đặc điêm về giá trị nội tại, Max(0,X - S0) không đúng cho quyền chọn bán kiểu Châu Âu vì quyền chọn phải có thể được thực hiện đối với nhà đầu tư thực hiện các giao dịch kinh doanh chênh lệch lãi suất. 3.2.2. Giá trị lớn nhất của quyền chọn bán Khi đáo hạn, thu nhập từ một quyền chọn bán kiểu Châu Âu là Max(0,X - ST). Hiện giá của giá thực hiện là giá trị lớn nhất có thể đạt được của quyền chọn bán kiểu Châu Âu. X X G i ¸ q u y Ò n c h ä n b ¸ n Giá cổ phiếu (S0) 0 (b) Giá quyền chọn kiểu Mỹ Max(0,X -S0) 0 Giá cổ phiếu (S0) (a) Giá quyền chọn kiểu Châu Âu G i ¸ q u y Ò n c h ä n b ¸ n Vì quyền chọn bán kiểu Mỹ có thể được thực hiện sớm vào bất cứ lúc nào, giá trị lớn nhất của nó là giá thực hiện Pe(S0,T,X) TrX  )1( Pa(S0,T,X)  X 3.2.3. Giá trị của quyền chọn bán khi đáo hạn Vào ngày đáo hạn quyền chọn bán không còn giá trị thời gian. Quyền chọn bán kiểu Mỹ vì vậy cũng giống như quyền chọn bán kiểu Châu Âu. Giá trị của cả hai loại quyền chọn bán này phải bằng giá trị nội tại. Vì vậy P(ST,T,X) = Max(0,X – ST) Nếu X>ST và giá quyền chọn bán thấp hơn X – ST, các nhà đầu tư có thể mua quyền chọn bán và cổ phiếu, rồi thực hiện quyền chọn bán ngay lập tức để kiếm lợi nhuận phi rủi ro. Nếu quyền chọn bán đáo hạn dưới giá (X<ST), nó không có giá trị. Hình 2: Giá trị quyền chọn bán tại thời điểm đáo hạn 3.2.4. Tác động của thời gian đến khi đáo hạn Xét hai quyền chọn bán kiểu Mỹ, một quyền có thời gian đáo hạn là T1 và quyền chọn còn lại có thời gian đến khi đáo hạn là T2, với T2>T1. Bây giờ giả định ngày hôm nay là ngày đáo hạn của quyền chọn bán có thời hạn đáo hạn ngắn hơn. Giá cổ phiếu là 1T S . Quyền chọn bán đang đáo hạn có giá trị Max(0,X - 1T S ). Quyền chọn bán khác, với thời gian còn lại đến khi đáo hạn là T2 – T1, có giá trị thấp nhất là Max(0,X - 1T S ). Vì vậy, vào thời điểm 0, chúng ta phải có: Pa(S0,T2,X)  Pa(S0,T1,X) Các nguyên tắc về giá trị thời gian của quyền chọn bán giống với các nguyên tắc về giá trị thời gian của quyền chọn mua. Giá trị thời gian lớn nhất khi giá cổ phiếu gần với giá thực hiện và nhỏ nhất khi giá cổ phiếu hoặc là rất cao hoặc là rất thấp so với giá thực hiện. X X 0 P(ST,0,X) Max(0, X – ST) G i ¸ q u y Ò n c h ä n b ¸ n Giá cổ phiếu tại thời điểm đáo hạn (ST) Hình 3: Biểu diễn giá quyền chọn bán kiểu Mỹ Mối quan hệ giữa thời gian đến khi đáo hạn và quyền chọn bán sẽ phức tạp hơn trong trường hợp quyền chọn bán kiểu Châu Âu việc mua một quyền chọn bán giống như trì hoãn việc bán cổ phiếu với giá thực hiện X. Thời gian cho đến khi đáo hạn càng xa, người sở hữu quyền chọn bán phải chờ lâu hơn để bán cổ phiếu và nhận được X. Điều này có thể khiến quyền chọn bán kiểu Châu Âu có thời hạn dài hơn có giá trị thấp hơn quyền chọn ván có thời hạn ngắn hơn. Điều này không đúng đối với quyền chọn bán kiểu Mỹ, vì người sở hữu luôn luôn được thực hiện quyền chọn và nhận về X ngay hiện tại. Đối với quyền chọn bán kiểu Châu Âu, thời gian đến khi đáo hạn dài hơn vừa có lợi thế - giá trị thời gian lớn hơn – và bất lợi - phải đợi lâu hơn để nhận được khoản tiền bằng với giá thực hiện. Tuy nhiên hiệu ứng giá trị thời gian có xu hướng vượt trội hơn và trong hầu hết các trường hợp quyền chọn bán có thời hạn dài hơn sẽ có giá trị hơn so với quyền chọn bán có thời hạn ngắn hơn. G i ¸ q u y Ò n c h ä n b ¸ n X X Pa(S0,T,X) 0 Max(0,X -S0) Giá cổ phiếu (S0) 3.2.5. Tác động của giá thực hiện Tác động lên giá quyền chọn. Xét hai quyền chọn bán kiểu Châu Âu chỉ khác nhau giá thực hiện. Một quyền chọn bán có giá thực hiện là X1 và phí quyền chọn là Pe(S0,T,X1); quyền chọn còn lại có giá thực hiện là X2 và phí quyền chọn là Pe(S0,T,X2); X2>X1. Xét hai danh mục A và B. Danh mục A gồm một vị thế mua đối với quyền chọn bán có giá Pe(S0,T,X2) và một vị thế bán đối với quyền chọn bán có giá trị Pe(S0, T, X1). Danh mục B gồm một vị thế trường đối với trái phiếu phi rủi ro có mệnh giá X2 – X1 và hiện giá là (X2 – X1)(1+r) -T Thu nhập khi đáo hạn của hai danh mục A và B Danh mục Giá trị hiện tại ST < X1 21 XSX T  TSXX  21 A -Pe(S0,T,X1) -X1 + ST 0 0 +Pe(S0,T,X2) X2 – ST X2 – ST 0 Tổng (A) X2 – X1>0 X2 – ST >0 0 B (X2 – X1)(1+r) -T X2 – X1>0 X2 – X1>0 X2 – X1>0 Đối vơi danh mục A, tất cả thu nhập đêu không âm. Vì danh mục này không thể làm cho người sở hữu phải có dòng chi ra, giá của quyền chọn được mua phải không nhỏ hơn giá của quyền chọn được bán đi; nghĩa là: Pe(S0,T,X2)  Pe(S0,T,X1) Đối với quyền chọn bán kiểu Mỹ, thì quyền chọn bán có giá thực hiện thấp hơn có thể được thực hiện sớm. Nếu giá cổ phiếu vào thời điểm t trước khi đáo hạn là St, với St<X1. Nhà đầu tư sẽ thực hiện quyền chọn bán có giá thực hiện X1, sau đó thực hiện quyền chọn có giá thực hiện là X2. Dòng tiền từ hai giao dịch này là –(X1 – St) + (X2 – St) = X2 – X1, có giá trị dương. Việc thực hiện sớm sẽ không tạo ra dòng tiền âm. Vì vậy kết quả đúng cho cả quyền chọn bán kiểu Mỹ cũng như quyền chọn bán kiểu Châu Âu. Giới hạn đối với chênh lệch phí quyền chọn. So sánh thu nhập của danh mục A và danh mục B. Chúng ta thấy rằng thu nhập của danh mục B không bao giờ thấp hơn danh mục A. Vì vậy không có nhà đầu tư nào trả nhiều hơn cho danh mục A so với danh mục B. Vậy (X2 – X1)(1+r) -T  Pe(S0,T,X2) - Pe(S0,T,X1) Tuy nhiên kết quả không đúng với quyền chọn bán kiểu Mỹ. Nếu quyền chọn bán này là kiểu Mỹ và đều được thực hiện, nhà đầu tư sẽ nhận được X2 – X1. Khoản tiền này sẽ được đầu tư với trái phiếu phi rủi ro và sẽ thu được khoản lãi trong thời hạn còn lại của quyền chọn. Khi đáo hạn nhà đầu tư sẽ nhận được nhiều hơn X2 – X1, tức là thu nhập của danh mục B. Vì chênh lệch của các giá thực hiện lớn hơn hiện giá của chênh lệch giá thực hiện, chúng ta có thể kết luận đối với quyền chọn bán kiểu Châu Âu X2 – X1 Pe(S0, T, X2) - Pe(S0, T, X1) Kết quả này đúng đối với cả quyền chọn bán kiểu Mỹ và kiểu Châu Âu. Thật vậy, nếu ta xem trái phiếu của danh mục B có mệnh giá là (X2 – X1)(1+r) -T và hiện giá là (X2 – X1). Nếu như thực hiện sớm quyền chọn tại thời điểm t, hầu hết những người sở hữu danh mục A sẽ nhận được khi đáo hạn là (X2 – X1)(1+r) T-t. Người sở hữu danh mục B sẽ thu được khoản tiền lớn hơn, (X2 – X1)(1+r) T. Điều này chứng tỏ danh mục A sẽ không bao giờ đem lại lợi nhuận cao hơn danh mục B khi đáo hạn. Do đó giá trị hiện tại của danh mục A, Pa(S0,T,X2) – Pa(S0,T,X1), không thể lớn hơn giá trị hiện tại của danh mục B, X2 – X1. Do đó X2 – X1  Pa(S0,T,X2) – Pa(S0,T,X1) 3.2.6. Giới hạn dưới của quyền chọn bán kiểu Châu Âu Chúng ta đã biết rằng giá trị nhỏ nhất của một quyền chọn bán kiểu Mỹ là Max(0, X – S0). Kết luận này không đúng đối với trường hợp quyền chọn bán kiểu Châu Âu, vì nó không thể được thực hiện sớm. Xét hai danh mục A và B. Danh mục A bao gồm một cổ phiếu. Danh mục B bao gồm một vị thế bán đối với một quyền chọn bán kiểu Châu Âu được định giá là Pe(S0,T,X) và một vị thế mua đối với một trái phiếu phi rủi ro có mệnh giá là X và giá hiện thời là X(1+r)-T. Thu nhập khi đáo hạn của danh mục A và B Danh mục Giá trị hiện tại ST < X ST  X A S0 ST ST B X(1+r)-T- Pe(S0,T,X) X – (X – ST) = ST X Thu nhập danh mục A ít nhất cũng tốt như danh mục B. Vì vậy sẽ không có người nào sẵn sàng trả cao hơn cho danh mục B so với danh mục A. Hiện giá của danh mục A phải không thấp hơn hiện giá của danh mục B; tức là S0  X(1+r) -T- Pe(S0,T,X)  Pe(S0,T,X)  X(1+r) -T – S0 Nếu hiện giá của danh mục thực hiện thấp hơn giá cổ phiếu, giới hạn dưới này sẽ có giá trị âm. Vì chúng ta biết quyền chọn bán không thể có giá trị thấp hơn 0, chúng ta có thể viết Pe(S0,T,X)  Max(0,X(1+r) -T – S0) Hình 4: Đường biểu diễn giá quyền chọn bán kiểu Châu Âu X X(1+r)-T 0 Giá cổ Giá cổ phiếu (S0) X X(1+r)-T Q uy ền c họ n bá n Quyền chọn bán kiểu Mỹ và quyền chọn bán kiểu Châu Âu Tất cả mọi điều có thể áp dụng đối với quyền chọn bán kiểu Châu Âu đều có thể áp dụng đối với quyền chọn bán kiểu Mỹ. Ngoài ra một quyền chọn bán kiểu Mỹ có thể được thực hiện bất cứ lúc nào trước khi đáo hạn. Vì vậy giá quyền chọn bán kiểu Mỹ ít nhất phải bằng với giá quyền chọn bán kiểu Châu Âu; tức là Pa(S0,T,X)  Pe(S0,T,X) Ngang giá quyền chọn mua - Quyền chọn bán Đối với quyền chọn về cổ phiếu, giá quyền chọn mua và quyền chọn bán với cùng một cổ phiếu với cùng giá thực hiện và ngày đáo hạn có một mối quan hệ đặc biệt. Giá quyền chọn bán, quyền chọn mua, giá cổ phiếu, giá thực hiện, thời gian đến khi đáo hạn, và lãi suất phi rủi ro đều có liên hệ với nhau theo một công thức được gọi là ngang giá quyền chọn mua - quyền chọn bán. Có hai danh mục A và B. Danh mục A bao gồm một cổ phiếu và một quyền chọn bán kiểu Châu Âu. Danh mục này sẽ yêu cầu một khoản đầu tư ban đầu là S0 + Pe(S0,T,X). Danh mục B bao gồm một quyền chọn mua kiểu Châu Âu với cùng giá thực hiện và một trái phiếu chiết khấu phi rủi ro thuần tuý có mệnh giá là X. Danh mục này sẽ yêu cầu một khoản đầu tư ban đầu là Ce(S0,T,X) + X(1+r) -T Thu nhập khi đáo hạn của danh mục A và B Thu nhập từ Giá trị hiện tại ST X ST > X A Cổ phiếu Quyền chọn bán S0 Pe(S0,T,X) ST X – ST ST 0 Cộng X ST B Quyền chọn mua Trái phiếu Ce(S0,T,X) X(1+r)-T 0 X ST – X X Cộng X ST Theo luật một giá thì giá trị hiện tại của hai danh mục này phải bằng nhau. Vì vậy S0 + Pe(S0,T,X) = Ce(S0,T,X) + X(1+r) -T Kết quả này được gọi là ngang giá quyền chọn mua - quyền chọn bán. Hình 5: Mối liên hệ giữa quyền chọn mua, quyền chọn bán, tài sản cơ sở và trái phiếu phi rủi ro 4. Các yếu tố ảnh hưởng đến giá của quyền chọn 4.1. Giá thị trường của tài sản cơ sở Đối với một quyền chọn mua, giá thị trường của tài sản cơ sở và giá của quyền chọn mua tăng (giảm) cùng chiều. Đối với một quyền chọn bán thì ngược lại, đó là mối quan hệ tăng giảm ngược chiều. 4.2. Giá thực hịên Loại bỏ tác động của các yếu tố khác, mức giá thực hiện quyền càng cao thì giá của một quyền chọn mua càng thấp. Đối với một quyền chọn bán thì ngược lại: mức giá thực hiện càng cao thì giá của quyền chọn bán càng cao. 4.3. Thời gian cho đến khi đáo hạn Đối với các quyền lựa chọn kiểu Mỹ (cả quyền chọn mua và chọn bán), thời gian đáo hạn càng dài thìgiá của quyền càng cao, vì giá của tài sản cơ sở có khả năng biến động để Quyền chọn mua Tài sản cơ sở Quyền chọn bán Trái phiếu phi rủi ro Ngang giá quyền chọn mua - quyền chọn bán cho quyền chọn trở thành có lãi và đem lại lợi nhuận cho người sở hữu. Đối với các quyền chọn kiểu Châu Âu, ảnh hưởng của thời gian cho đến khi đáo hạn phụ thuộc vào việc quyền chọn là quyền chọn mua hay quyền chọn bán. 4.4. Lãi suất ngắn hạn phi rủi ro trong suốt thời hạn tồn tại của quyền Cố định tất cả các yếu tố khác, giá của một quyền chọn mua của một trái phiếu sẽ tăng khi lãi suất ngắn hạn phi rủi ro tăng. Đối với một quyền chọn bán của trái phiếu thì ngược lại: một sự gia tăng mức lãi suất ngắn hạn phi rủi ro sẽ làm giảm giá của một quyền chọn bán. 4.5. Lãi suất Coupon Đối với các quyền chọn trái phiếu, các quyền chọn mua của các trái phiếu coupon sẽ bị định giá thấp hơn so với các quyền chọn mua của các trái phiếu không có coupon. Ngược lại các coupon có xu hướng làm tăng giá của các quyền chọn bán 4.6. Mức dao động dự đoán của các mức lãi suất trong suốt thời hạn của quyền Quan hệ giữa mức dao động dự đoán của mức lãi suất trong suốt thời gian của quyền và giá của quyền là mối quan hệ tỷ lệ thuận bởi vì mức dao động dự đoán càng cao, xác suất giá của tài sản cơ sở sẽ dịch chuyển theo hướng có lợi cho người mua tài sản cơ sở sẽ càng cao. II. MỘT SỐ MÔ HÌNH ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN 1. Mô hình Nhị phân định giá quyền chọn 1.1. Mô hình Nhị Phân một thời kỳ Một quyền chọn có một đời sống được quy định, thông thường được biểu diễn bằng số ngày. Giả sử đời sống của quyền chọn là một đơn vị thời gian. Khoảng thời gian này có thể dài ngắn tuỳ thuộc vào nhu cầu của quyền chọn. Nếu đời sống của quyền chọn là một thời kỳ duy nhất. Mô hình này được gọi là mô hình nhị phân một thời kỳ. Trong việc ứng dụng mô hình nhị phân vào một tài sản cơ sở, thì chúng ta thấy dãy các kết quả khả thi có thể lớn hơn hai trạng thái (tăng hoặc giảm của tài sản cơ sở) mà phân phối nhị phân có thể đáp ứng, tuy nhiên điều này cũng không làm mô hình bị mất giá trị. Tác dụng của nó là làm đơn giản hoá. Xét tài sản cơ sở là cổ phiếu, một quyền chọn mua cổ phiếu có giá trị S1, giá thực hiện là X và giá hiện tại là C Quyền chọn mua này còn giá trị một thời gian nữa thì hết hiệu lực. Ngày bắt đầu thời kỳ là hôm nay và được gọi là thời điểm 0. Ngày kết thúc thời kỳ gọi là thời điểm 1. Khi quyền chọn hết hiệu lực thì cổ phiếu có thể nhận một trong hai giá trị sau: Nó có thể tăng lên theo một tham số u hoặc giảm xuống theo một tham số d. Nếu nó tăng lên thì giá cổ phiếu sẽ là Su. Nếu giá cổ phiếu giảm xuống thì nó sẽ là Sd và giá trị của quyền chọn là giá trị nội tại của nó: Cu = Max(0,Su – X) hoặc Cd = Max(0,Sd – X); u>1, d<1. Sơ đồ cây nhị phân một thời kỳ (a) Đường đi của giá cổ phiếu Thời điểm 0 Thời điểm 1 Su S Sd (b) Đường đi của giá quyền chọn mua Thời điểm 0 Thời điểm 1 Cu C Cd Giả định rằng sd nhỏ hơn X, Su lớn hơn X. Lãi suất phi rủi ro là lãi suất đạt được từ một khoản đầu tư không có rủi ro qua một thời kỳ bằng với đời sống còn lại của quyền chọn. Lãi suất phi rủi ro nằm trong khoảng giữa tỷ suất sinh lợi của trường hợp giá cổ phiếu tăng và tỷ suất sinh lợi của trường hợp giá cổ phiếu giảm. Do đó, d < 1+r < u2. Chúng ta giả định rằng tất cả các nhà đầu tư có thể đi vay và cho vay theo lãi suất phi rủi ro. Lập một danh mục gồm h cổ phiếu và một vị thế bán quyền chọn mua. Giá trị hiện tại của danh mục là giá trị của h cổ phiếu trừ đi giá trị của vị thế bán quyền chọn mua. Ký hiệu là V V = hS – C V là khoản tiền cần để xây dựng danh mục này. Tại ngày đáo hạn, giá trị của danh mục hoặc là Vu nếu giá cổ phiếu tăng hoặc là Vd nếu giá cổ phiếu giảm Vu = hSu – Cu Vd = hSd – Cd Với Vu, Vd là khoản tiền mà chúng ta thu được từ kết quả của danh mục khi quyền chọn đáo hạn. Nếu kết quả của danh mục là không đổi bất chấp giá cổ phiếu biến động như thế nào thì danh mục được gọi là phi rủi ro. Chúng ta có thể chọn một giá trị của h cho điều này xảy ra. h được gọi là tỷ số phòng ngừa. Ta chỉ cần đơn giản cho Vu = Vd, khi đó: hSu – Cu = hSd – Cd h = SdSu CC du   Vì chúng ta đã biết được giá trị của S, u và d nên chúng ta có thể xác định được Cu, Cd và h. Một khoản đầu tư phi rủi ro sẽ thu được một tỷ suất sinh lợi bằng lãi suất phi rủi ro. Do đó, giá trị của danh mục vào thời điểm một thời kỳ sau sẽ bằng với giá trị hiện tại tính cho một thời kỳ theo lãi suất phi rủi ro. Nếu điều này không đúng thì giá trị danh mục có thể được định giá sai hoặc là hàm chứa trong đó một cớ hội arbitrage tiềm ẩn. Nếu giá trị ban đầu của danh mục tăng theo lãi suất phi rủi ro thì giá trị của nó tại ngày quyền chọn đáo hạn sẽ là (hS – C)(1 + r) Hai giá trị của danh mục tại ngày đáo hạn, Vu và Vd là bằng nhau, vì vậy chúng ta có thể chọn một trong hai. Chọn Vu và cho nó bằng với giá trị ban đầu của danh mục tính theo lãi suất phi rủi ro chúng ta được V(1 + r) = Vu (hS – C)(1 + r) = hSu – Cu Thế h bởi công thức ở trên vào công thức này để tìm C, chúng ta được công thức định giá quyền chọn C= r CppC du   1 )1( Với p được tính bởi p = du dr  1 p được gọi là xác suất dung hoà rủi ro. 1.2. Mô hình nhị phân hai thời kỳ Các giả định - Quá trình giá của tài sản cơ sở theo mô hình nhị phân - Không có chi phí giao dịch và thuế Trong trường hợp chỉ xem xét một thời kỳ, giá cổ phiếu hoặc là tăng hoặc là giảm. Do đó chỉ có hai khả năng về giá của cổ phiếu trong tương lai. Để làm tăng tính thực tế, chúng ta sẽ thêm vào một thời kỳ nữa. Điều này sẽ làm gia tăng số lượng các kết cục tại ngày đáo hạn. Mô hình của chúng ta sẽ có ba thời điểm: ngày hôm nay là thời điểm 0, thời điểm 1 và thời điểm 2. Giả sử cuối thời kỳ đầu tiên, giá cổ phiếu tăng lên Su. Trong suốt thời kỳ thứ hai giá cổ phiếu có thể tăng hoặc giảm, trong mỗi tình huống nó có thể kết thúc tại mức Su2 hoặc Sud. Nếu giá cổ phiếu giảm xuống Sd trong thời kỳ đầu tiên thì trong thời kỳ thứ hai nó có thể tiếp tục giảm nữa hoặc tăng trở lại, trong mọi trường hợp nó có thể kết thúc tại mức giá Sd2 hoặc Sdu. Các giá quyền chọn tại ngày đáo hạn là: 2u C = Max(0,Su2 – X) Cud = Max(0,Sud – X) 2d C = Max(0,Sd2 – X) Các mức giá có thể của quyền chọn mua vào thời điểm cuối kỳ đẩu tiên, Cu và Cd, lúc ban đầu không thể biết được nhưng có thể tìm thấy được Giả định rằng trong thời kỳ đầu tiên giá cổ phiếu tăng lên Su. Bởi vì chỉ còn lại một thời kỳ duy nhất với hai trường hợp kết quả có thể có cho nên mô hình nhị phân một thời kỳ vẫn thích hợp để tìm kiếm giá của quyền chọn, Cu. Nếu vào thời điểm kết thúc của thời kỳ đầu tiên giá cổ phiếu giảm xuống Sd, chúng ta lại gặp trường hợp một thời kỳ với hai kết quả có thể. Do đó chúng ta có thể sử dụng mô hình nhị phân một thời kỳ để tìm giá trị của quyền chọn, Cd. Cu = r CppC udu   1 )1(2 Và Cd = r CppC dud   1 )1( 2 Sơ đồ cây nhị phân hai thời kỳ (a) Đường đi của giá cổ phiếu Thời điểm 0 Thời điểm 1 Thời điểm 2 Su2 Su Sud S Sd Sd2 (b) Đường đi của quyền chọn mua Thời điểm 0 Thời điểm 1 Thời điểm 2 2uC Cu Cud C Cd 2dC Trong mô hình một thời kỳ, giá trị quyền chọn mua là một bình quân có trọng số của hai giá trị khả thi của quyền chọn vào cuối thời kỳ tới. Giá trị quyền chọn nếu giá cổ phiếu tăng trong thời kỳ tới được đặt trọng số là p, giá trị quyền chọn nếu giá cổ phiếu giảm trong thời kỳ tới được đặt trọng số là (1 – p). Để tính được giá quyền chọn mua vào thời điểm đầu kỳ, chúng ta chiết khấu bình quân có trọng số của hai mức giá khả thi trong tương lai của quyền chọn mua theo lãi suất phi rủi ro cho một thời kỳ. Do đó mô hình nhị phân một thời kỳ là một công thức tổng quát có thể sử dụng cho mô hình đa thời kỳ khi chỉ còn lại một thời kỳ. C = 2 22 )1( )1()1(2 22 r CpCppCp dudu   1.3. Mô hình nhị phân n thời kỳ Mô hình nhị phân được mở rộng một cách dễ dàng cho bất kỳ một số lượng thời kỳ nào. Với n thời kỳ còn lại cho đến khi quyền chọn hết hiệu lực và không có cổ tức, giá quyền chọn mua kiểu Châu Âu được tính bởi công thức: C =   n n j jnjjnj r XdSuMaxpp jnj n )1( ,0)1( )!(! ! 0     Các thông số tăng giảm trong mô hình nhị phân có thể được điều chỉnh theo cách sau: u = nTnTre /)/)(2/)1(ln( 2   d = nTnTre /)/)(2/)1(ln( 2   Với xác suất dung hoà rủi ro p = nTnT nT ee enTe // /2/)/( 2       2. Mô hình Black–Scholes định giá quyền chọn 2.1. Các giả định của mô hình - Giá của tài sản cơ sở biến động ngẫu nhiên và phát triển theo phân phối chuẩn - Lãi suất phi rủi ro và độ ổn định của tỷ suất sinh lời theo logarit của tài sản cơ sở không thay đổi trong suốt thời gian đáo hạn của quyền chọn - Không có thuế và chi phí giao dịch - Các quyền chọn là kiểu Châu Âu - Cổ phiếu không trả cổ tức 2.2. Mô hình Sit = Là giá của tài sản i tại thời điểm t i = Tỷ suất lợi nhuận hay tỷ lệ tăng trưởng của tài sản i i = Độ bất ổn hay độ lệch chuẩn của tài sản i r = Là lãi suất phi rủi ro T = Ngày đáo hạn Nếu Rit = ln(Sit/Sit-1) - tỷ lệ tăng trưởng giữa hai thời kỳ - có phân phối chuẩn thì mức thay đổi của Si trong khoảng thời gian dt được biểu diễn như sau: dSi = i Sidt + i SidWi i=1,2,…, d Trong đó dWi có phân bố chuẩn với kỳ vọng bằng không và phương sai dt, (N(0,dt)); hay dWi là quá trình Wiener E(dWi, dWj) = dtij );,( jiij RRCov Xét một danh mục đầu tư bán 1 đơn vị quyền chọn mua C và thu được  tài sản S Trong đó C = C(S, t) là giá quyền chọn mua Theo bổ đề Ito dt S C SdS S C dt t C dC 2 2 22 2 1           Mức thay đổi C gồm hai phần: Phần tất định chỉ phụ thuộc vào độ lớn của dt; phần ngẫu nhiên phụ thuộc vào các dSi.  = C(S, t) - S: Giá trị danh mục đầu tư đối với người mua (long position)  gồm hai thành phần: phần tất định và phần ngẫu nhiên. Phần ngẫu nhiên là rủi ro của danh mục đầu tư. d = dS S C dt S C S t C                     2 2 22 2 1  = i2 2 22 W 2 1 Sd S C dtS S C S C S t C                                Nếu như  = S C   thì yếu tố ngẫu nhiên sẽ không ảnh hưởng đến giá trị của cặp đầu tư, hay danh mục trở thành một danh mục đầu tư phi rủi ro. Khi thị trường hoạt động theo nguyên tắc không cơ lợi thì: d = rdt = r dt S C SC          Theo công thức Black – Scholes: 0 2 1 2 2 22          rC S C rS S C S t C  Trong đó )(RVar . Với điều kiện ban đầu: C(S1, 0) = Max(S – X, 0) i= 1,…, d Đặt tT  ta có thể viết lại phương trình trên dưới dạng:     C S C rSrC S C S      2 2 22 2 1  Lại đặt y = lnS ta có     C rC y C r y C             2 2 2 2 2 1 2 1  Bây giờ đặt C(y,  ) = ),(  ye r ta có phương trình: y r y                     2 2 2 2 2 1 2 1 , (*) 0,  y Với điều kiện đầu là )0,max()0,( Xey y  Nghiệm cơ bản của phương trình (*) là:      dyy ),()0,(),(       d ry Xe                          2 22 2 ) 2 ( exp 2 1 )0,max(         d ry Xe X                         2 22 ln 2 ) 2 ( exp 2 1 Ta có         d ry Xe X                        2 22 ln 2 ) 2 ( exp 2 1 = exp                            2 2 22 ln) 2 ( 2 ) 2 ( Xry Nry =                  ) 2 ()/ln( 2 rXS SNe r , y = lnS;                                                               ) 2 ()/ln(ln) 2 ( 2 ) 2 ( exp 2 1 22 2 22 ln rXS N Xry N d ry X Từ đó ta nhận được công thức định giá quyền chọn mua trong mô hình Black – Scholes                                                  ) 2 ()/ln() 2 ()/ln( ),( 22 rXS XN rXS SNeeSC rr = SN(d1) - X re N(d2) Trong đó   )2/()/ln( 20 1   rXS d  12 dd 2.3. Công thức Black – Scholes C = )()( 210 dNXedNS Trcc Với T TrXS d c   )2/()/ln( 20 1   Tdd  12 N(d1), N(d2) = Xác suất phân phối chuẩn tích luỹ  = độ bất ổn định hàng năm của tỷ suất sinh lợi ghép lãi liên tục (logarit) của cổ phiếu rc = Lãi suất phi rủi ro ghép lãi liên tục 2.4. Đặc tính của công thức Black – Scholes Diễn giải công thức Trong công thức Black – Scholes có hai thành phần bên vế phải. Thành phần đầu tiên bên vế phải của mô hình với Trcce S0N(d1) Trcce Biểu thức này là giá trị kỳ vọng của giá cổ phiếu khi đáo hạn, với điều kiện là giá cổ phiếu lớn hơn giá thực hiện nhân với xác suất giá cổ phiếu lớn hơn giá thực hiện khi đến hạn, tuy nhiên N(d1) không phải là xác suất đó. Nó chỉ là thành phần của toàn bộ biểu thức. Sau khi nhân với Trcce , thành phần thứ hai trong vế phải của công thức Black – Scholes -XN(d2) Là giá trị kỳ vọng của khoản chi trả theo giá thực hiện khi đáo hạn. Đặc biệt, N(d2) là xác suất ứng với nhà đầu tư chấp nhận rủi ro mà X sẽ được chi trả khi đáo hạn. Vì vậy, - XN(d2) là khoản chi trả theo giá thực hiện kỳ vọng khi đáo hạn. Chiết khấu các biểu thức này theo lãi suất phi rủi ro ghép lãi liên tục - tức là nhân với Trcce ta được )()( 210 dNXedNS Trcc Công thức Black – Scholes và giới hạn dưới của Quyền chọn mua kiểu Châu Âu Giới hạn dưới của một quyền chọn mua kiểu Châu Âu là Max(0,S0 - X Trcce ) Để mô hình Black – Scholes tuân thủ theo giới hạn dưới này, giá theo mô hình luôn luôn phải không chấp nhận thấp hơn mức giá trị này. Khi S0 rất cao, d1 và d2 tiến đến + làm cho N(d1) và N(d2) tiến đến 1. khi đó, công thức Black – Scholes trở thành S0 - X Trcce . Khi S0 rất thấp, d1 và d2 tiến đến - làm cho N(d1) và N(d2) tiến đến 0. Vì vậy, công thức Black – Scholes có giới hạn dưới là Max(0,S0 - X Trcce ). Khi S0 là rất cao, công thức sẽ đúng bằng giới hạn dưới. Công thức Black – Scholes khi T = 0 Khi T = 0, ta có T Tr T XS T TrXS d T T      )2/()/ln( )2/()/ln( 2 2 1     Khi T tiến đến 0, thành phần thứ hai ở vế phải biến mất. Xét thành phần thứ hai Nếu ST>X ST/X>1, ln(ST/X)>0, và d1 tiến đến + Nếu ST<X ST/X<1, ln(ST/X)<0 và d1 tiến đến - Nếu ST=X ST/X = 1, ln(ST/X) = 0 và d1 tiến đến - Nếu d1 tiến đến +, thì d2 cũng tiến đến +. Nếu d1 tiến đến - thì d2 cũng tiến đến - . Nếu d1 hoặc d2 tiến đến +, thì N(d1) hoặc N(d2) tiến đến 1. Nếu d1 hoặc d2 tiến đến -, thì N(d1) hoặc N(d2) tiến đến 0. Vì vậy khi T = 0, công thức Black – Scholes biến đổi như sau: Nếu ST>X ST/X>1, ln(ST/X)>0, d1 tiến đến +, và d2 tiến đến +, N(d1) tiến đến 1, N(d2) tiến đến 1, và vì )0(ccre =1, công thức trở thành ST – X Nếu STX, ln(ST/X)0, d1 tiến đến -, và d2 tiến đến -, N(d1) tiến đến 0, N(d2) tiến đến 0, và công thức trở thành 0 – 0 =0 Vì vậy công thức trở thành Max(0, ST – X). Công thức Black – Scholes khi S0 = 0 Giả định rằng trước khi đáo hạn, giá cổ phiếu tiến đến 0 (đối với trường hợp công ty đã hoàn toàn chết). Chúng ta thấy rằng khi giá cổ phiếu tiến đến 0, logarit tự nhiên của S0/X tiến đến -. Khi đó d1 và d2 tiến đến -, nghĩa là N(d1) và N(d2) sẽ tiến đến 0. Điều này làm công thức Black – Sholes tiến đến 0. Công thức Black – Scholes khi 0 Khi đó: T Tr T XS d c    )2/()/ln( 20 1   = T T T Xe S Trc    )2/( )ln( 2 0   = 2 )ln( 0 T T Xe S Trc     Khi  tiến đến 0, thành phần thứ hai của d1 tiến đến 0. Ta xét thành phần thứ nhất Nếu S0> TrcXe  S0/ TrcXe >1 ln(S0/ TrcXe )>0 và d1 sẽ tiến đến +, N(d1) và N(d2) tiến đến 1, giá quyền chọn mua trở thành S0 - TrcXe . Điều này có nghĩa là khi đáo hạn người sở hữu quyền chọn mua sẽ chi trả X, có hiện giá là TrcXe , và sẽ nhận được cổ phiếu hiện tại có giá trị S0 và chắc chắn nhận được giá trị này khi đáo hạn. Vì vậy hiện tại quyền chọn mua có giá trị S0 - TrcXe . Nếu S0 TrcXe  S0/ TrcXe 1 ln(S0/ TrcXe )  0, và d1 sẽ tiến đến -, N(d1) và N(d2) tiến đến 0. Lúc đó giá trị quyền chọn tiến đến 0. Công thức Black – Scholes khi X = 0 Khi X = 0, một quyền chọn mua tương đương với một cổ phiếu. Khi đó d1 và d2 tiến đến +, N(d1) và N(d2) sẽ tiến đến 1. Công thức Black – Scholes trở thành S0(1) – 0(1) = S0. Công thức Black – Scholes khi rc = 0 Lãi suất phi rủi ro bằng 0 không phải là một trường hợp đặc biệt. Không nhất thiết phải có một mức lãi suất dương, và công thức Black – Scholes không trở thành bất kỳ một giá trị đặc biệt nào. 2.5. Các biến số trong mô hình Black - Scholes 2.5.1. Giá cổ phiếu Mối quan hệ giữa giá cổ phiếu và giá quyền chọn thường được biểu diễn dưới dạng một giá trị đơn, gọi là delta. Delta thu được từ phép tính giải tích lấy vi phân giá quyền chọn mua trong mối tương quan với giá cổ phiếu. Delta quyền chọn mua = N(d1) Vì N(d1) là xác suất, delta phải có giá trị từ 0 đến 1. Vì các giả định của phép tính vi phân, delta là giá trị thay đổi của giá quyền chọn mua ứng với một thay đổi rất nhỏ trong giá cổ phiếu. Delta cũng thay đổi khi quyền chọn phát triển trong suốt thời hạn của nó. Nói cách khác, ngay cả khi giá cổ phiếu không thay đổi, delta cũng sẽ thay đổi. Nếu ta lập một danh mục với các vị thế khác nhau của các quyền chọn cũng như tài sản sao cho delta(danh mục) = 0. Điều này gọi là phòng hộ delta (delta hedge). Một vị thế được phòng hộ delta được gọi là trung lập delta Và danh mục có delta(danh mục) = 0 được gọi là danh mục dung hoà delta. Đối với các danh mục dung hoà delta để tránh phải điều chỉnh danh mục, giảm chi phí thì ta tính toán sao cho gamma của quyền chọn bằng 0. Gamma của quyền chọn là phần thay đổi của delta ứng với một mức thay đổi rất nhỏ trong giá cổ phiếu. Công thức gamma là: Gamma quyền chọn mua = TS e d  20 2/21 Gamma càng lớn, delta càng nhạy cảm đối với sự thay đổi trong giá cổ phiếu và càng khó duy trì một vị thế trung lập delta. Gamma luôn luôn dương và lớn nhất khi giá cổ phiếu gần với giá thực hiện. Khi giá cổ phiếu cao hoặc thấp so với giá thực hiện, gamma gần bằng 0. Gamma thay đổi khi quyền chọn tiến dần đến ngày đáo hạn. Gamma đại diện cho tính không chắc chắn của delta. Gamma càng lớn khiến cho khó phòng ngừa delta hơn, vì delta thay đổi nhanh hơn và nhạy cảm hơn với những biến động lớn của giá cổ phiếu. 2.5.2. Giá thực hiện Sự thay đổi trong giá quyền chọn mua đối với một sự thay đổi rất nhỏ trong giá thực hiện là một giá trị âm và được tính theo công thức )( 2dNe Trc . Vì giá thực hiện đối với một quyền chọn cho trước không thay đổi, khái niệm này chỉ có ý nghĩa khi xem xét một quyền chọn mua có giá thực hiện khác sẽ có giá trị cao hơn hay thấp hơn bao nhiêu. Trong trường hợp đó, chênh lệch giữa giá thực hiện có thể quá lớn nên không thể áp dụng công thức trên, công thức trên chỉ đúng trong trường hợp X thay đổi một lượng giá trị rất nhỏ. 2.5.3. Lãi suất phi rủi ro Trong khuôn khổ mô hình Black – Scholes, lãi suất phi rủi ro phải được biểu diễn dưới dạng ghép lãi liên tục. Giá quyền chọn mua gần như là tuyến tính với lãi suất phi rủi ro và không thay đổi nhiều trong một biên độ khá rộng của lãi suất phi rủi ro. Độ nhạy cảm của giá quyền chọn mua với lãi suất phi rủi ro được gọi là rho và được tính bởi công thức: Rho của quyền chọn mua = TX )( 2dNe Trc Rho cũng thay đổi cùng với mức giá cổ phiếu, nhận giá trị cao hơn nếu giá cổ phiếu cao hơn. 2.5.4. Độ bất ổn hay độ lệch chuẩn Trong mô hình Black – Scholes, độ bất ổn là độ lệch chuẩn của tỷ suất sinh lợi ghép lãi liên tục của cổ phiếu. Độ nhạy cảm của giá quyền chọn mua đối với một thay đổi rất nhỏ trong độ bất ổn được gọi là vega và được cho bởi công thức: Vega quyền chọn mua = 2 2/ 0 2 1deTS  Mô hình Black – Scholes không thật sự cho phép độ bất ổn thay đổi trong khi quyền chọn còn tồn tại. Tuy nhiên, khái niệm độ bất ổn thay đổi vẫn được quan tâm bởi những nhà kinh doanh quyền chọn sử dụng mô hình Black – Scholes. Rủi ro vega này có thể được phòng hộ bằng cách sử dụng một vị thế bù trừ theo một công cụ khác, ví dụ như một quyền chọn mua khác, dựa trên rủi ro vega của nó. Để đạt được một ước lượng có thể tin cậy về độ bất ổn hoặc độ lệch chuẩn là một việc làm khó khăn. Hơn nữa, mô hình Black – Scholes và giá quyền chọn nói chung rất nhạy cảm với ước lượng này. Có hai phương pháp tiếp cận để ước lượng độ bất ổn: độ bất ổn quá khứ và độ bất ổn hàm ý. - Độ bất ổn quá khứ Ước lượng độ bất ổn quá khứ dựa trên giả định rằng độ bất ổn thường lấy trong quá khứ sẽ tiếp tục tồn tại trong tương lai. Thứ nhất, chúng ta lấy một mẫu các tỷ suất lợi sinh lợi của cổ phiếu trong một giai đoạn gần đây. Chúng ta chuyển các tỷ suất sinh lợi này thành các tỷ suất sinh lợi ghép lãi liên tục. Tỷ suất sinh lợi có thể là hàng ngày, hàng tuần, hàng tháng hoặc bất kỳ khoảng cách thời gian nào mà chúng ta muốn. Nếu tính tỷ suất sinh lợi đuợc tính theo tháng thì kết quả sẽ là phương sai tháng và phải nhân với 12 để thu số liệu theo năm. Không có giới hạn vế số lượng quan sát tối thiểu của mẫu, một mẫu khoảng 60 quan sát sẽ là tương đối đầy đủ trong hầu hết các trường hợp. Yếu tố đánh đổi trong lựa chọn kích thước mẫu là số quan sát được sử dụng càng nhiều, chúng ta phải đi ngược dòng thời gian nhiều hơn. Chúng ta càng ngược dòng thời gian nhiều, càng có nhiều khả năng độ bất ổn sẽ thay đổi. Giả định chúng ta có một dãy gồm j tỷ suất sinh lợi ghép lãi liên tục, mỗi tỷ suất sinh lợi đựơc biểu diễn là Rt, và đi từ 1 đến j. Thứ nhất ta tính tỷ suất sinh lợi trung bình như sau: R = j R j t t 1 Khi đó phương sai là 1 /)( 1 )( 1 2 1 2 1 2 2                   j jRR j RR j t j t tt j t t  - Độ bất ổn hàm ý Cách tiếp cận thứ hai để ước lượng độ bất ổn được gọi là độ bất ổn hàm ý, được gọi là ˆ . Qui trình này giả định rằng giá thị trường của quyền chọn phản ánh độ bất ổn hiện tại của cổ phiếu. Độ bất ổn hàm ý là độ lệch chuẩn làm cho giá theo mô hình Black – Scholes bằng với giá thị trường hiện tại của quyền chọn. Đối với bất kỳ giá thực hiện cho trước nào, mối quan hệ giữa độ bất ổn hàm ý và thời gian đáo hạn quyền chọn được gọi là cấu trúc kỳ hạn của độ bất ổn hàm ý. Vì độ bất ổn này được giả định đại diện cho độ bất ổn của cổ phiếu qua các thời gian đáo hạn của quyền chọn, rất có thể các độ bất ổn có thể thay đổi qua các khoảng thời gian khác nhau. 2.5.5. Thời gian đến khi đáo hạn Mối quan hệ giữa giá quyền chọn và thời gian đến khi đáo hạn được minh hoạ trong hình dưới đây 02 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 5 10 15 20 25 30 35 Thêi gian ®Õn khi ®¸ o h¹ n G i¸ q uy Òn c hä n Mức giảm trong giá trị quyền chọn mua khi thời gian trôi đi là phần suy giảm giá trị thời gian. Tỷ lệ của phần suy giảm giá trị thời gian được đo bằng theta của quyền chọn, và được cho bởi công thức: Theta quyền chọn mua = - T eS d   22 2/ 0 2 1 - )( 2dNXer Tr c c Mở rộng Công thức định giá quyền chọn kiểu Châu Âu đối với các tài sản khác - Công thức Black – Scholes đối với cổ phiếu trong trường hợp có cổ tức )()( )()( 1 )( 2 )( 2 )( 1 )( dNSedNXeP dNXedNSeC tTdtTr tTrtTd     tTdd tT tTdrXS d        12 2 1 ))( 2 ()/ln( Trong đó: d là tỷ suất cổ tức trong kỳ hạn của quyền chọn - Công thức Black – Scholes về ngoại tệ )()( )()( 1 )( 2 )( 2 )( 1 )*( dNSedNXeP dNXedNSeC tTrtTr tTrtTr f f     tTdd tT tTrrXS d f        12 2 1 ))(2/()/ln( Trong đó: S = là tỷ giá giao ngay giữa hai đồng tiền rf = là lãi suất phi rủi ro của nước ngoài r = là lãi suất phi rủi ro trong nước X = là tỷ giá thực hiện  = là độ giao động của tỷ giá - Công thức Black – Scholes về Future   tTdd tT tTXF d dFNdXNelP dXNdFNeC tTr tTr            12 2 1 12 )( 21 )( )( 2 )/ln( )()( )()( Trong đó: F = giá hiện thời của hợp đồng tương lai X = là giá thực hiện r = là lãi suất phi rủi ro  = là độ giao động của giá hợp đồng tương lai Công thức Black – Scholes đối với quyền chọn vàng cũng tương tự như đối với trường hợp quyền chọn về cổ phiếu không có cổ tức (trong kỳ hạn của quyền chọn). CHƯƠNG II: SỬ DỤNG MÔ HÌNH BLACK – SCHOLES ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN VÀNG I. MỘT SỐ MÔ HÌNH KIỂM ĐỊNH VÀ ƯỚC LƯỢNG 1. Mô hình chuyển động Brown hình học (GBM) 1.1. Mô tả St = St+t - St t t S S - lợi suất của tài sản cơ sở trong chu kỳ t Lợi suất này có hai xu hướng: - Xu hướng tăng ổn định và tỷ lệ với khoảng thời gian t. Nếu ký hiệu  là mức lợi suất trung bình của tài sản cơ sở trong một đơn vị thời gian,  t là lợi suất của tài sản cơ sở trong khoảng thời gian t. - Xu hướng biến động ngẫu nhiên không ổn định với mức độ tỷ lệ với độ giao động của tài sản cơ sở  và tỷ lệ với t , đồng thời tỷ lệ với một nhiễu trắng t dạng Gauss, t ~ NID(0,1). 1.2. Dạng rời rạc của mô hình GBM tt S S t t t    , là các hằng số. St = St tSt tt   Với mô hình GBM dạng rời rạc thì lợi suất tài sản sau khoảng thời gian t có phân bố chuẩn N( ), 2 tt   . Từ dạng rời rạc của mô hình GBM suy ra  t tt S S exp( )tt t   ; hay St+t = Stexp( )tt t   1.3. Dạng liên tục của mô hình GBM dBSdtSdS ttt   (1) B là chuyển động Brown , là hằng số {St} là quá trình giá tài sản tuân theo mô hình GBM nếu nó là nghiệm của phương trình vi phân (1). Xét quá trình {xt} với tx lnSt. {xt} là quá trình ngẫu nhiên, theo công thức Ito dxt = dBdt           2 2 {xt} là quá trình Wiener tổng quát. ((ln(ST/St)= lnST – lnSt) là biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn, N        )(),)( 2 ( 2 2 tTtT    . lnST là biến ngẫu nhiên phân bố chuẩn, N        )(),)( 2 (ln 2 2 tTtTS t    . 2. Các kiểm định {lnSt} là quá trình logarit của giá tài sản. Để kiểm định giả thiết - Giá của tài sản cơ sở có phát triển theo phân phối logarit chuẩn hay không (Rt = ln(St/St-1) có phân phối chuẩn) ta chỉ cần kiểm định {St} là quá trình giá có động thái tuân theo mô hình GBM. Kiểm định {St} là quá trình có động thái tuân theo mô hình GBM tương đương với việc kiểm định xt ( tx lnSt) là nghiệm của phương trình vi phân dxt = dBdt           2 2 Dạng rời rạc: xt = tt t     ) 2 ( 2 t ~ NID(0,1). Đặt 2 2 0    , cho t = 1 xt = xt – xt-1 = t 0 xt = 0 xt-1 + vt vt = t , vt ~ N(0, ) 2 xt là một bước ngẫu nhiên (Random Walk). Vậy việc kiểm định {St} là quá trình giá có động thái tuân theo mô hình GBM bây giờ tương đương với kiểm định xt là một bước ngẫu nhiên. Sử dụng kiểm định nghiệm đơn vị của Dickey – Fuller (DF) Ta có quá trình AR(1): xt = 0  xt-1 + vt , vt ~ N(0, ) 2 Kiểm định cặp giả thiết: H0 :  = 1 H1 :  < 1 Nếu chấp nhận H0 thì ta kết luận quá trình {xt} là một bước ngẫu nhiên, hay {St} là quá trình giá có động thái tuân theo mô hình GBM. Ở đây sử dụng độ bất ổn (độ lệch chuẩn) quá khứ hoặc có thể ước lương độ lệch chuẩn bằng mô hình ARCH, GARCH. 3. Mô hình ước lượng độ bất ổn 3.1. Mô hình ARCH Mô hình ARCH(m) có dạng 22 110 2 ... mtmtt ttt ttt uu u uR        Trong đó: Rt là lợi suất của tài sản giữa tại thời điểm t. ii  0,00  . t là biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân bố và có E( t ) = 0, Var( t ) =1. Phương sai dài hạn     m i i 1 02 1    10 1   m i i 3.2. Mô hình GARCH Mô hình GARCH(m,s) có dạng         s j jtj m i itit ttt ttt u u uR 1 2 1 2 0 2    Trong đó: ii  0,00  , 1)(,0 ),max( 1    sm i jij j  Phương sai dài hạn     ).max( 1 02 )(1 sm i ji    II. SỬ DỤNG MÔ HÌNH BLACK – SCHOLES ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN VÀNG 1. Các kiểm định {St} là chuỗi giá vàng. Lợi suất của vàng được tính theo công thức ghép lãi liên tục: Rt = ln       1t t S S 1.1. Kiểm định tính dừng của chuỗi lợi suất của vàng Vẽ đồ thị Hình 1 Từ hình 1, ta thấy Rt là chuỗi dừng và không có hệ số chặn. Sử dụng kiểm định nghiệm đơn vị theo tiêu chuẩn Dickey – Fuller (DF) ADF Test Statistic - 15.24762 1% Critical Value* -2.5702 5% Critical Value -1.9402 10% Critical Value -1.6160 *MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root. Từ bảng trên ta có   24762,15qs , ta kết luận chuỗi lợi suất của vàng là chuỗi dừng. 1.2. Kiểm định tính phân phối chuẩn của chuỗi lợi suất của vàng Kiểm định xt ( tx lnSt) là một bước ngẫu nhiên. Sử dụng kiểm định nghiệm đơn vị ADF Test Statistic -2.478659 1% Critical Value* -3.4469 5% Critical Value -2.8681 10% Critical Value -2.5703 *MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(X) Method: Least Squares Date: 04/20/07 Time: 17:51 Sample(adjusted): 1968:02 2006:01 Included observations: 456 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. X(-1) -0.007406 0.002988 -2.478659 0.0136 C 0.046542 0.016510 2.819030 0.0050 R-squared 0.013352 Mean dependent var 0.006028 Adjusted R- squared 0.011179 S.D. dependent var 0.049953 S.E. of regression 0.049673 Akaike info criterion -3.162337 Sum squared resid 1.120199 Schwarz criterion -3.144256 Log likelihood 723.0128 F-statistic 6.143750 Durbin-Watson stat 1.386007 Prob(F-statistic) 0.013550 Từ bảng trên ta có , qs với %1 , 5%, 10% vậy {xt} là chuỗi không dừng hay xt là bước ngẫu nhiên. Do đó Rt có phân phối chuẩn hay Giá vàng phát triển theo phân phối logarit chuẩn. Hình 2 Hình 2 thể hiện sự phát triển của giá vàng theo phân phối logarit chuẩn Hình 3. Từ hình 3, ta thấy tốc độ tăng trưởng của giá vàng trước năm 1980 nhanh và có phần tăng vọt không ổn định. Từ sau năm 1980 giá vàng tăng lúc tăng lúc giảm nhưng theo xu hướng đi lên và với biên độ nhỏ hơn trước đó. Từ năm 2006, giá vàng đang có xu hướng tăng lên. Hình 4 Hình 4 cho biết các điều kiện mô hình hoá sự thay đổi của giá vàng bằng quá trình Wiener được thoả mãn (vì kiểm định JB = 12,78266 < )(2 n với 95,91)61(%,5 2 05,0   ). 2. Ước lượng các biến số 2.1. Ước lượng độ bất ổn bằng mô hình ARCH(1) Dependent Variable: R Method: ML - ARCH (Marquardt) Date: 04/20/07 Time: 17:56 Sample(adjusted): 1968:02 2006:01 Included observations: 456 after adjusting endpoints Convergence achieved after 13 iterations Variance backcast: ON Coefficient Std. Error z-Statistic Prob. C 0.001400 0.002243 0.624284 0.5324 Variance Equation C 0.001573 7.77E-05 20.25507 0.0000 ARCH(1) 0.385541 0.052856 7.294120 0.0000 R-squared -0.008600 Mean dependent var 0.006028 Adjusted R- squared -0.013053 S.D. dependent var 0.049953 S.E. of regression 0.050278 Akaike info criterion -3.306687 Sum squared resid 1.145123 Schwarz criterion -3.279565 Log likelihood 756.9246 Durbin-Watson stat 1.365865 Phương sai dài hạn:      385541,01 001573,0 1 1 02    0,00256 Vậy độ bất ổn là 00256,0 0,0506. Độ bất ổn năm là 1 0,0506* 12 = 0,17527 Mô hình này có nhược điểm là có hiện tượng tự tương quan vì thống kê DW = 1,365 2.2. Ước lượng độ bất ổn bằng mô hình GARCH(1,1) Dependent Variable: R Method: ML - ARCH (Marquardt) Date: 04/20/07 Time: 17:58 Sample(adjusted): 1968:02 2006:01 Included observations: 456 after adjusting endpoints Convergence achieved after 13 iterations Variance backcast: ON Coefficient Std. Error z-Statistic Prob. C 0.002452 0.001792 1.368809 0.1711 Variance Equation C 7.32E-05 2.13E-05 3.428574 0.0006 ARCH(1) 0.186627 0.026393 7.071120 0.0000 GARCH(1) 0.797604 0.024017 33.21001 0.0000 R-squared -0.005134 Mean dependent var 0.006028 Adjusted R- squared -0.011805 S.D. dependent var 0.049953 S.E. of regression 0.050247 Akaike info criterion -3.520501 Sum squared resid 1.141188 Schwarz criterion -3.484339 Log likelihood 806.6743 Durbin-Watson stat 1.370575 Phương sai dài hạn:      797604,0186627,01 0000732,0 1 11 02    0,004642 Độ bất ổn bằng 004642,0 = 0,068132. Độ bất ổn năm là 2 0,068132* 12 = 0,236017 Mô hình này cũng có nhược điểm là có hiện tượng tự tương quan vì thống kê DW = 1,3705 2.3. Độ bất ổn quá khứ Tóm tắt bằng bảng tính sau Cách lấy mẫu là 61 quan sát gần nhất Ngày Giá Rt 2)( RRt  Ngày Giá Rt 2)( RRt  01/2001 265,79 02/2001 261,93 -0,0146 0,0007 08/2003 359,77 0,024679 0,00016285 03/2001 263,15 0,00465 5,3E-05 09/2003 378,95 0,051939 0,00160176 04/2001 260,76 -0,0091 0,00044 10/2003 378,92 -7,9E-05 0,00014392 05/2001 265,39 0,0176 3,2E-05 11/2003 389,91 0,028591 0,00027801 06/2001 268,35 0,01109 6,8E-07 12/2003 407,59 0,044346 0,00105161 07/2001 271,58 0,01196 2,2E-09 01/2004 413,99 0,01558 1,3416E-05 08/2001 272,12 0,00199 9,9E-05 02/2004 405,33 -0,02114 0,0010928 09/2001 283,40 0,04062 0,00082 03/2004 406,67 0,0033 7,425E-05 10/2001 281,10 -0,0081 0,0004 04/2004 403,02 -0,00902 0,0004382 11/2001 274,60 -0,0234 0,00125 05/2004 383,40 -0,04991 0,00382229 12/2001 276,25 0,00599 3,5E-05 06/2004 391,99 0,022157 0,00010486 01/2002 281,65 0,01936 5,5E-05 07/2004 398,09 0,015442 1,2422E-05 02/2002 295,50 0,048 0,0013 08/2004 400,48 0,005986 3,5184E-05 03/2002 294,05 -0,0049 0,00028 09/2004 405,25 0,01184 5,9287E-09 04/2002 302,68 0,02893 0,00029 10/2004 423,34 0,043671 0,00100833 05/2002 314,49 0,03828 0,00069 11/2004 439,39 0,037212 0,00063981 06/2002 310,25 -0,0136 0,00065 12/2004 441,76 0,005379 4,2745E-05 07/2002 313,29 0,00975 4,7E-06 01/2005 424,15 -0,04068 0,00276644 Ngày Giá Rt 2)( RRt  Ngày Giá Rt 2)( RRt  08/2002 310,25 -0,0098 0,00047 02/2005 423,35 -0,00189 0,00019058 09/2002 319,16 0,02831 0,00027 03/2005 434,25 0,025421 0,00018235 10/2002 316,56 -0,0082 0,0004 04/2005 428,93 -0,01233 0,00058777 11/2002 319,15 0,00815 1,4E-05 05/2005 421,87 -0,0166 0,00081304 12/2002 332,43 0,04077 0,00083 06/2005 430,66 0,020622 7,5766E-05 01/2003 356,86 0,07091 0,00348 07/2005 424,48 -0,01445 0,00069545 02/2003 359,32 0,00687 2,5E-05 08/2005 437,93 0,031194 0,0003716 03/2003 340,55 -0,0537 0,0043 09/2005 456,05 0,040543 0,00081945 04/2003 328,58 -0,0358 0,00228 10/2005 469,9 0,029917 0,000324 05/2003 355,68 0,07925 0,00453 11/2005 476,67 0,014305 5,6987E-06 06/2003 356,53 0,00239 9,1E-05 12/2005 510,10 0,067782 0,0031209 07/2003 351,00 -0,0156 0,00076 01/2006 549,86 0,075057 0,00398661 Tổng 0,726957 0,04903506 Mẫu gồm 61 quan sát nên ta có n = 61.    61 726957,01 n R R n t t 0,011917 1 )( 1 2 2      n RR n t t  =  161 04903506,0 0,00082  2 0,02859. Độ bất ổn năm là 3 0,02859* 12 = 0,09903 Nhược điểm của cách ước lượng này là, nếu ta chọn kích thước mẫu (số quan sát) càng nhiều, chúng ta phải đi ngược dòng thời gian nhiều hơn. Chúng ta càng ngược dòng thời gian nhiều, càng có nhiều khả năng độ bất ổn sẽ thay đổi Tóm lại, mỗi cách ước lượng cho ta một độ bất ổn khác nhau, vì mỗi cách có giả thiết khác nhau và có ưu nhược điểm riêng. Tuỳ vào kết quả ước lượng được, phương pháp nào có kết quả gần với thực tế sẽ được lựa chọn. 3. Áp dụng công thức Black – Scholes để xác định giá quyền chọn Giá vàng giao tháng 5/2007 trên thị trường New York là X = 669 USD/ounce. S0 = 549,86 USD/ounce là giá vàng tại thời điểm t = 0 (tháng 01 năm 2006), 1 0,17527, T = 1 12 4 = 4/3 năm. Lãi suất phi rủi ro được lấy là lãi suất trái phiếu chính phủ r = 8,6%/năm. Tính toán d1      3/4*17527,0 3/4*)2/2^17527,0%6,8()669/86,549ln()2/()/ln( 20 1 T TrXS d   0,24691815 Tính toán d2 Tdd  12 = 0,24691815– 0,202385 = 0,044533 Tìm giá trị N(d1) Sử dụng hàm Normsdist( ) N(d1) = Normsdist(0,24691815) = 0,597514 Tìm giá trị N(d2) N(d2) = 0,51776036 Đưa vào công thức để tìm C kiểu Châu Âu C = 549,86*0,597514 – 669*e-0,086*4/3*0,51776036 = 19,69333 USD Từ mối quan hệ giữa giá quyền chọn mua và quyền chọn bán kiểu Châu Âu C + Xe-r(T-t) = P + S Ta có P = C + Xe-r(T-t) – S = 19,69333 + 669*e-0,086*4/3 – 549,86 = 66,35608 USD Tương tự đối với các độ bất ổn khác, thay vào công thức ta cũng tính được giá quyền chọn. Việc lựa chọn độ bất ổn nào để tính giá quyền chọn là dựa vào kết quả tính toán bằng mô hình Black – Scholes sát với giá trị thực tế nhất, hơn nữa việc ước lượng độ bất ổn đó phải đảm bảo được tối ưu nhất các giả thiết của mô hình. NHẬN XÉT VÀ KẾT LUẬN Trong mô hình Black – Scholes có sử dụng những giả định không phù hợp với thực tế. Giả định giá của tài sản biến động ngẫu nhiên, tuy nhiên sự thật giá tài sản cơ sở có ngẫu nhiên hay không Nhiều nhà quản trị tiền tệ chuyên nghiệp tuyên bố là có khả năng dự báo giá cổ phiếu. Họ quan sát các đồ thị và tuyên bố rằng những chuỗi số biểu diễn như vậy ít nhất là có thể dự đoán được một phần. Họ thấy được xu hướng tăng hoặc giảm và tin rằng có thể khai thác điều này để kiếm lợi nhuận lớn. Lãi suất phi rủi ro và độ bất ổn của tỷ suất sinh lợi theo logarit của giá tài sản không thay đổi trong suốt thời gian đáo hạn của quyền chọn? Giả định rằng lãi suất phi rủi ro là không tương đương với việc giả định lãi suất không thay đổi. Chúng ta biết rằng đương nhiên thực tế không phải như vậy. Giả định độ bất ổn, được biểu hiện bằng độ lệch chuẩn, không thay đổi là một giả định quan trọng. Có vẻ như giả định này luôn mâu thuẫn với thế giới thực. Thật ra không thể nhận thức rằng bất kỳ tài sản có rủi ro nào cũng có cùng một mức độ bất ổn trong một khoảng thời gian. Giả định không có thuế và chi phí giao dịch cũng không thực tế. Các quyết định giao dịch quyền chọn hiển nhiên bị ảnh hưởng bởi thuế và chi phí giao dịch. Giả định các quyền chọn là kiểu Châu Âu thể hiện sự hạn chế của mô hình Black – Scholes. Khả năng thực hiện sớm trong quyền chọn kiểu Mỹ không thể được điều chỉnh một cách dễ dàng để phù hợp với mô hình Black – Scholes. Tuy nhiên chúng ta sẽ thấy rằng mô hình Black – Scholes có thể giúp chúng ta hiểu biết tốt hơn về điều gì xảy ra khi một quyền chọn mua được thực hiện sớm. Trong hầu hết các trường hợp, mô hình nhị phân là cách tốt nhất để định giá quyền chọn kiểu Mỹ. Người ta rất dễ bác bỏ một mô hình vì các giả định của nó không được thoả mãn. Tuy nhiên, chấp nhận hay bác bỏ một mô hình phải dựa trên ba điều kiện: (1) Các kết quả đạt được từ mô hình có phù hợp với thực tế không? (2) Có mô hình nào tốt hơn không? (3) Mô hình có được sử dụng rộng rãi trong thực tế không? Từ sự phân tích trên, ta cũng thấy được kết quả tính toán của mô hình Black – Scholes sẽ không luôn luôn phù hợp với thực tế và mặc dù có những mô hình phức tạp hơn, đây là một mô hình được sử dụng rộng rãi. Hơn nữa, các mô hình khác gần như luôn có cấu trúc cơ bản giống như mô hình Black – Scholes. Thật ra có thể nói rằng không có mô hình tài chính nào được ứng dụng rộng rãi như vậy trong thực tế. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. TS. Nguyễn Thị Ngọc Trang (2006), Quản trị rủi ro tài chính, Nxb Thống kê . 2. PGS.TS Nguyễn Văn Nam, PGS.TS Vương Trọng Nghĩa (2002), Giáo trình Thị trường chứng khoán, Nxb Tài chính. 3. Khoa Toán Kinh Tế (2002), Tạp chí Kinh tế và Phát triển. 4. PGS.TS. Nguyễn Quang Dong, Giáo trình Kinh tế lượng và bài giảng Kinh tế lượng, Khoa Toán Kinh Tế. 5. PGS.TS. Hoàng Đình Tuấn, Khoa Toán Kinh Tế, Bài giảng môn Phân tích và Định giá tài sản tài chính. 6. Web site www.kitco.com www.Neatideas.com MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU CHƯƠNG I: TỔNG QUAN VỀ QUYỀN CHỌN ..................................................... 3 I. QUYỀN CHỌN VÀ NGUYÊN TẮC ĐỊNH GIÁ CƠ BẢN .................................. 3 1. Một số khái niệm cơ bản ....................................................................................... 3 1.1. Chứng khoán phái sinh ...................................................................................... 3 1.2. Quyền chọn ........................................................................................................ 3 1.3. Tài sản cơ sở ...................................................................................................... 4 2. Các bộ phận cấu thành nên giá quyền chọn ........................................................... 5 2.1. Giá trị nội tại của quyền ..................................................................................... 5 2.2. Giá trị thời gian của quyền ................................................................................. 5 3. Nguyên tắc cơ bản để định giá quyền chọn ............................................................ 6 3.1. Nguyên tắc định giá quyền chọn mua ................................................................. 6 3.1.1. Giá trị thấp nhất của quyền chọn mua .............................................................. 6 3.1.2. Giá trị tối đa của quyền chọn mua ................................................................... 7 3.1.3. Giá trị của quyền chọn mua khi đáo hạn .......................................................... 8 3.1.4. Tác động của thời gian đến khi đáo hạn ........................................................... 9 3.1.5. Tác động của giá thực hiện .............................................................................. 10 3.1.6. Giới hạn dưới của quyền chọn mua kiểu Châu Âu ........................................... 12 3.2. Nguyên tắc định giá quyền chọn bán .................................................................. 14 3.2.1. Giá trị nhỏ nhất của quyền chọn bán ................................................................ 14 3.2.2. Giá trị lớn nhất của quyền chọn bán ................................................................ 15 3.2.3. Giá trị của quyền chọn bán khi đáo hạn ........................................................... 15 3.2.4. Tác động của thời gian đến khi đáo hạn ........................................................... 16 3.2.5. Tác động của giá thực hiện .............................................................................. 18 3.2.6. Giới hạn dưới của quyền chọn bán kiểu Châu Âu ............................................ 19 4. Các yếu tố ảnh hưởng đến giá của quyền chọn ...................................................... 22 4.1. Giá thị trường của tài sản cơ sở .......................................................................... 22 4.2. Giá thực hịên ...................................................................................................... 22 4.3. Thời gian cho đến khi đáo hạn ............................................................................ 22 4.4. Lãi suất ngắn hạn phi rủi ro trong suốt thời hạn tồn tại của quyền ...................... 23 4.5. Lãi suất Coupon ................................................................................................. 23 4.6. Mức dao động dự đoán của các mức lãi suất trong suốt thời hạn của quyền ........ 23 II. MỘT SỐ MÔ HÌNH ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN ................................................ 23 1. Mô hình Nhị phân định giá quyền chọn ................................................................. 23 1.1. Mô hình Nhị Phân một thời kỳ ........................................................................... 23 1.2. Mô hình nhị phân hai thời kỳ.............................................................................. 26 1.3. Mô hình nhị phân n thời kỳ ................................................................................ 26 2. Mô hình Black–Scholes định giá quyền chọn ........................................................ 29 2.1. Các giả định của mô hình ................................................................................... 29 2.2. Mô hình.............................................................................................................. 30 2.3. Công thức Black – Scholes ................................................................................. 33 2.4. Đặc tính của công thức Black – Scholes ............................................................. 34 2.5. Các biến số trong mô hình Black – Scholes ........................................................ 37 2.5.1. Giá cổ phiếu ................................................................................................... 37 2.5.2. Giá thực hiện ................................................................................................... 38 2.5.3. Lãi suất phi rủi ro ............................................................................................ 38 2.5.4. Độ bất ổn hay độ lệch chuẩn ............................................................................ 38 2.5.5. Thời gian đến khi đáo hạn ............................................................................... 40 CHƯƠNG II: SỬ DỤNG MÔ HÌNH BLACK – SCHOLES ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN VÀNG ..................................................................................................................... 43 I. MỘT SỐ MÔ HÌNH KIỂM ĐỊNH VÀ ƯỚC LƯỢNG ......................................... 43 1. Mô hình chuyển động Brown hình học (GBM) ..................................................... 43 1.1. Mô tả .................................................................................................................. 43 1.2. Dạng rời rạc của mô hình GBM ......................................................................... 43 1.3. Dạng liên tục của mô hình GBM ........................................................................ 44 2. Các kiểm định ....................................................................................................... 44 3. Mô hình ước lượng độ bất ổn ................................................................................ 45 3.1. Mô hình ARCH .................................................................................................. 45 3.2. Mô hình GARCH ............................................................................................... 46 II. SỬ DỤNG MÔ HÌNH BLACK – SCHOLES ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN VÀNG .................................................................................................................................. 46 1. Các kiểm định ....................................................................................................... 46 1.1. Kiểm định tính dừng của chuỗi lợi suất của vàng ............................................... 46 1.2. Kiểm định tính phân phối chuẩn của chuỗi lợi suất của vàng .............................. 47 2. Ước lượng các biến số ........................................................................................... 50 2.1. Ước lượng độ bất ổn bằng mô hình ARCH (1) ................................................... 50 2.2. Ước lượng độ bất ổn bằng mô hình GARCH (1,1) ............................................. 51 2.3. Độ bất ổn quá khứ .............................................................................................. 52 3. Áp dụng công thức Black – Scholes để xác định giá quyền chọn ........................... 54 NHẬN XÉT VÀ KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO