Luận văn Điều khiển tách kênh hệ tuyến tính bằng phản hồi đầu ra theo nguyên lý tách

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP --------------------------------------- LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT ĐIỀU KHIỂN TÁCH KÊNH HỆ TUYẾN TÍNH BẰNG PHẢN HỒI ĐẦU RA THEO NGUYÊN LÝ TÁCH Ngành : TỰ ĐỘNG HOÁ Mã số:23.04.3898 Học Viên: HOÀNG ĐỨC QUỲNH Người HD Khoa học : PGS.TS. NGUYỄN DOÃN PHƯỚC THÁI NGUYÊN - 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên H O À N G Đ Ứ C Q U Ỳ N H ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP --------------------------------------- LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT T Ự Đ Ộ N G H O Á NGÀNH : TỰ ĐỘNG HOÁ ĐIỀU KHIỂN TÁCH KÊNH HỆ TUYẾN TÍNH BẰNG PHẢN HỒI ĐẦU RA THEO NGUYÊN LÝ TÁCH HOÀNG ĐỨC QUỲNH 2 0 0 7 – 2 0 0 9 Thái nguyên 2009 THÁI NGUYÊN 2009 §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Mục lục Lời mở đầu Mục lục.................................................................................................................. 1 Chương 1. Tổng quan về bộ điều khiển tách kênh 1.1 Nội dung bài toán điều khiển tách kênh....................................................... 3 1.2 Hai phương pháp tách kênh cơ bản............................................................... 4 Chương 2. Điều khiển tách kênh trong miền tần số và nhược điểm của nó 2.1 Mô hình ma trận hàm truyền........................................................................ 6 2.2 Đánh giá sự tương tác các kênh.................................................................... 11 Chương 3. Điều khiển tách kênh bằng phản hồi trạng thái 3.1 Điều khiển phản hồi trạng thái..................................................................... 12 3.2 Thuật toán tìm các bộ điều khiển của bài toán tách kênh............................. 14 Chương 4. Quan sát trạng thái 4.1 Bộ quan sát Luenberger................................................................ 25 4.1.1 Phân tích tính quan sát được............................................................. 25 4.1.1.1. Khái niệm quan sát được và quan sát được hoàn toàn......... 25 4.1.1.2. Một số kết luận chung về tính quan sát được của hệ tuyến tính..................................................................................................... 26 4.1.1.3. Tính đối ngẫu và các tiêu chuẩn xét tính quan sát được của hệ tham số hằng................................................................................. 32 4.1.2 Bộ quan sát Luenberger..................................................................... 35 4.1.2.1. Phương pháp thiết kế............................................................ 35 4.1.2.2. Các phương pháp khác nhau phục vụ bài toán thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái gán điểm cực.................................... 38 a. Phương pháp Ackermann.............................................................. 38 b. Phương pháp Roppenecker............................................................ 40 c. Phương pháp Modal phản hồi trạng thái....................................... 42 §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên d. Bài toán điều khiển phản hồi trạng thái tối ưu Thiết kế bộ điều khiển LQR phản hồi dương.................................... 50 4.2 Các bộ quan sát trạng thái tuyến tính khác................... 58 4.2.1 Bộ quan sát Kalman.......................................................................... 58 4.2.2 Bộ điều khiển tối ưu phản hồi đầu ra LQG....................................... 61 4.3 Kết luận về chất lượng hệ kín: NGUYÊN LÝ TÁCH......... 63 Chương 5. Nghiên cứu khả năng ghép chung bộ điều khiển phản hồi trạng thái tách kênh với bộ quan sát trạng thái 5.1 Mô phỏng hệ MIMO tuyến tính 2 đầu vào 2 đầu ra..................................... 65 5.1.1 Đối tượng thứ nhất............................................................................ 65 5.1.2 Đối tượng thứ hai.............................................................................. 70 5.2 Mô phỏng bộ điều khiển tách kênh cho đối tượng MIMO tuyến tính.......... 75 5.2.1 Đối tượng thứ nhất............................................................................ 75 5.2.2 Đối tượng thứ hai.............................................................................. 83 5.3 Mô phỏng bộ quan sát Luenberger cho đối tượng MIMO tuyến tính........... 91 5.3.1 Đối tượng thứ nhất............................................................................ 91 5.3.2 Đối tượng thứ hai.............................................................................. 99 5.4 Nghiên cứu mô phỏng khả năng ghép chung bộ điều khiển phản hồi trạng thái tách kênh với bộ quan sát trạng thái...................................................... 105 5.4.1 Đối tượng thứ nhất............................................................................ 105 5.4.2 Đối tượng thứ hai.............................................................................. 112 Kết luận ................................................................................................................. 119 Danh mục tài liệu tham khảo Danh mục các hình vẽ, đồ thị sử dụng trong luận văn Tóm tắt luận văn §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên LỜI MỞ ĐẦU Điều khiển hệ thống là bài toán can thiệp vào đối tượng điều khiển để hiệu chỉnh, để biến đổi sao cho nó có chất lượng mong muốn. Kết quả của bài toán điều khiển có thể là một tín hiệu điều khiển thích hợp hoặc một bộ điều khiển tạo tín hiệu điều khiển thích hợp cho đối tượng. Các bộ điều khiển bao gồm các cấu trúc: Điều khiển hở, điều khiển phản hồi trạng thái, điều khiển phản hồi tín hiệu ra. Có rất nhiều bộ điều khiển được ứng dụng thành công lại chỉ dùng được cho hệ SISO (ví dụ: bộ điều khiển PID). Để sử dụng các bộ điều khiển đó cho hệ MIMO, ta phải can thiệp sơ bộ trước vào hệ MIMO, biến một hệ thống MIMO thành nhiều hệ SISO với mỗi đầu ra chỉ phụ thuộc vào một tín hiệu đầu vào. Bộ điều khiển phản hồi trạng thái có khả năng giữ được ổn định chất lượng mong muốn cho đối tượng dù trong qúa trình điều khiển luôn có những tác động nhiễu. Để ứng dụng tốt bộ điều khiển trạng thái trong việc điều khiển hệ thống MIMO, cần sử dụng kết hợp với bộ Quan sát trạng thái để có thể lấy chính xác và đầy đủ nhất các thông tin về chất lượng động học của đối tượng. Xuất phát từ những yêu cầu cấp thiết phải nghiên cứu trên, tác giả muốn đóng góp một phần nhỏ vào việc nghiên cứu khả năng kết hợp giữa bộ quan sát trạng thái với bộ điều khiển phản hồi trạng thái tách kênh hệ MIMO tuyến tính để có được bộ điều khiển tách kênh phản hồi đầu ra. Được sự hướng dẫn chỉ bảo của thầy PGS.TS Nguyễn Doãn Phước – Trưởng bộ môn Điều khiển tự động Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội tôi đã tiến hành nghiên cứu đề tài: ĐIỀU KHIỂN TÁCH KÊNH HỆ TUYẾN TÍNH BẰNG PHẢN HỒI ĐẦU RA THEO NGUYÊN LÝ TÁCH §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Đề tài nghiên cứu thành công sẽ chứng minh khả năng kết hợp giữa bộ quan sát trạng thái với bộ điều khiển phản hồi trạng thái tách kênh hệ M M tuyến tính. Nói cách khác, nó sẽ chứng minh được nguyên lý tách cũng đúng trong điều khiển tách kênh. Dựa trên lý thuyết được nghiên cứu của đề tài sẽ thiết kế được bộ điều khiển cho một số đối tượng tuyến tính trong thực tế và hướng ứng dụng kết quả nghiên cứu vào thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái tách kênh cho các đối tượng tuyến tính trong các hệ thống tự động điều khiển quá trình sản xuất, đặc biệt là với các quá trình chưng cất. Sau một thời gian học tập và nghiên cứu đến nay bản luận văn của tôi đã được hoàn thành. Nhân dịp này tôi xin chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Doãn Phước - Thầy giáo hướng dẫn trực tiếp, người đã đưa ra hướng nghiên cứu tận tình giúp đỡ, chỉ bảo và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin cảm ơn tất cả các thầy cô giáo đã tham gia giảng dạy, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, nâng cao trình độ kiến thức. Tôi xin gửi lời cảm ơn đến tất cả bạn bè, đồng nghiệp và người thân đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình vừa qua. Vì điều kiện về thời và khả năng của bản thân có hạn nên bản luận văn này không tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong các thầy cô cùng các bạn đồng nghiệp góp ý sửa đổi, bổ xung thêm để bản luận văn thêm hoàn thiện. §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan rằng đây là công trình nghiên cứu của tôi, có sự hỗ trợ từ Thầy hướng dẫn và những người tôi đã cảm ơn. Các nội dung nghiên cứu và kết quả trong đề tài này là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất cứ công trình nào. Thái nguyên, ngày 25 tháng 07 năm 2009 Tác giả Hoàng Đức Quỳnh §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch CH•¬ng 1: tæng quan vÒ bé ®iÒu khiÓn t¸ch kªnh Page: 3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Chương 1 TỔNG QUAN VỀ BỘ ĐIỀU KHIỂN TÁCH KÊNH 1.1. Nội dung bài toán điều khiển tách kênh Hệ thống điều khiển nhiều chiều là hệ có nhiều đại lượng điều chỉnh và nhiều đại lượng được điều chỉnh tức là có nhiều đại lượng đầu vào và nhiều đại lượng đầu ra (MIMO). Các đại lượng này không độc lập mà liên quan chặt chẽ tác động qua lại lẫn nhau. Chỉ cần một sự thay đổi nhỏ của đại lượng nào đó cũng gây ra sự thay đổi của đại lượng khác làm mất cân bằng hệ thống. Vì vậy nó là hệ thống khó điều khiển. Có rất nhiều bộ điều khiển được ứng dụng thành công lại chỉ dùng được cho hệ SISO, bộ điều khiển PID là một ví dụ điển hình. Vì mong muốn sử dụng các bộ điều khiển đó cho hệ MIMO, người ta nghĩ đến việc can thiệp sơ bộ trước vào hệ MIMO, biến một hệ thống MIMO thành nhiều hệ SISO với mỗi đầu ra yi (t) chỉ phụ thuộc vào một tín hiệu đầu vào wi (t). Ta nói rằng hệ thống đã được phân ly, tín hiệu ra của 1 kênh bất biến với tác động điều khiển của các kênh khác. 1.2. Hai phương pháp tách kênh cơ bản u1 um y1 ym w1 wm y1 ym §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch CH•¬ng 1: tæng quan vÒ bé ®iÒu khiÓn t¸ch kªnh Page: 4 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Phương pháp 1: Phương pháp Falb – Wolovich Xét đối tượng MIMO tuyến tính có m đầu vào u1, u2,…um và cũng có m đầu ra y1, y2,…,ym mô tả bởi:       xCy uBxA dt xd Để tách kênh, ta phải xác định các bộ điều khiển R và M như ở hình trên mô tả, sao cho đầu ra yi(t) chỉ phụ thuộc vào một tín hiệu đầu vào wi(t) với i = 1,2,..., m. Sự phụ thuộc đó được mô tả trong miền thời gian bởi phương trình vi phân bậc ri hệ số hằng: a 1 0 1 , 1 1 ... i i i i i r r i i i i i i r ir r dy d y d y a a b dt dt dt         wi ri i ri dt yd + 1 0 w ir k i ik i ik k d y a b dt    (1.1) Trong đó bi và aik, i = 1, 2,...,m; k = 0,1,...,ri – 1 là các tham số tự do được chọn tuỳ ý theo chất lượng đặt trước của từng kênh. Nói cách khác, nhiệm vụ thiết kế đặt ra ở đây là phải xác định hai bộ điều khiển tĩnh R và M để với nó hệ kín có ma trận truyền đạt dạng đường chéo: M R w1 wm y1 ym x u w1 wm y1 ym §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch CH•¬ng 1: tæng quan vÒ bé ®iÒu khiÓn t¸ch kªnh Page: 5 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên G(s) = ( ) ... 0 0 ... ( ) i m G s G s           Với các phần tử Gi(s) là những hàm truyền đạt: 1 0 1 , 1 ( ) ... i i i i i r r i i i r b G s a a s a s s        (1.2) có các hệ số bi và aik, i = 1, 2,...,m; k = 0,1,...,ri – 1 cho trước, tương ứng với chất lượng mong muốn của từng kênh. Phương pháp 2: Phương pháp Smith - McMillan Phép biến đổi Smith – McMilan trình bày sau đây cho phép thiết kế các bộ điều khiển nhằm biến đổi mọi ma trận truyền đạt S (s) của đối tượng, không cần phải vuông, tức là không cần phải có giả thiết đối tượng có số tín hiệu vào bằng số các tín hiệu ra, về được dạng: 1( ) 0 0 ( ) ( ) 0 0 0 0 m G s G s G s                     hoặc 1 ( ) 0 0 0 ( ) 0 ( ) 0 0m G s G s G s            Điều đó nói rằng mọi hệ thống MIMO đều có thể tách được kênh. Phép biến đổi Smith – McMilan dựa vào việc thay đổi các dòng hay cột của ma trận bằng những dòng, cột mới tương đương (phép biến đổi tương đương) §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch CH•¬ng 2: §iÒu khiÓn t¸ch kªnh trong miÒn tÇn sè vµ nh•îc ®iÓm cña nã Page: 6 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Chương 2 ĐIỀU KHIỂN TÁCH KÊNH TRONG MIỀN TẦN SỐ VÀ NHƯỢC ĐIỂM CỦA NÓ 2.1. Mô hình ma trận hàm truyền Phép biến đổi Smith – McMilan trình bày sau đây cho phép thiết kế các bộ điều khiển nhằm biến đổi mọi ma trận truyền đạt S (s) của đối tượng, không cần phải vuông, tức là không cần phải có giả thiết đối tượng có số tín hiệu vào bằng số các tín hiệu ra, về được dạng: 1( ) 0 0 ( ) ( ) 0 0 0 0 m G s G s G s                     hoặc 1 ( ) 0 0 0 ( ) 0 ( ) 0 0m G s G s G s            Điều đó nói rằng mọi hệ thống MIMO đều có thể tách được kênh. Phép biến đổi Smith – McMilan dựa vào việc thay đổi các dòng hay cột của ma trận bằng những dòng, cột mới tương đương (phép biến đổi tương đương). Chúng bao gồm: - Hoán đổi vị trí véctơ hàng thứ i với hàng thứ k của S (s). Việc này tương ứng phép nhân Iik với S (s), trong đó Iik là ma trận không suy biến thu được từ ma trận đơn vị I sau khi đổi chỗ hai hàng thứ i và k (hoặc hai cột). Ví dụ: §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch CH•¬ng 2: §iÒu khiÓn t¸ch kªnh trong miÒn tÇn sè vµ nh•îc ®iÓm cña nã Page: 7 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1 1 2 5 3 325 4 4 5 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ( ) 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 t t t t t tI S s t t t t                                          - Hoán đổi vị trí véctơ cột thứ i với cột thứ k của S (s). Việc này tương ứng phép nhân S (s) với Iik, trong đó Iik là ma trận không suy biến thu được từ ma trận đơn vị I sau khi đổi chỗ hai hàng thứ i và thứ k (hoặc hai cột). Ví dụ: 1 2 3 4 5 1 5 3 4 2 25 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ( ) 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 t t t t t t t t t t S s I                           - Hàng thứ i được cộng thêm với tích của c và hàng thứ k trong S (s). Việc này tương ứng phép nhân Cik với S (s), trong đó Cik là ma trận không suy biến thu được từ ma trận đơn vị I sau khi thay phần tử 0 thứ ik bằng phần tử c. Ví dụ: 1 1 2 2 4 3 324 4 4 5 5 1 0 0 0 0 .0 1 0 0 ( ) 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 t t t t c tc t tC S s t t t t                                          - Cột thứ k được cộng thêm với tích của c và cột thứ i trong S (s). Việc này tương ứng phép nhân S (s) với Cik, trong đó Cik là ma trận vuông không §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch CH•¬ng 2: §iÒu khiÓn t¸ch kªnh trong miÒn tÇn sè vµ nh•îc ®iÓm cña nã Page: 8 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên suy biến thu được từ ma trận đơn vị I sau khi thay phần tử 0 thứ ik bằng phần tử c. Ví dụ: 1 2 3 4 5 1 2 3 4 2 5 24 1 0 0 0 0 0 1 0 0 . ( ) 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 c t t t t t t t t t c t t S s C                            Phép biến đổi Smith – McMilan được tóm tắt như sau: 1. Viết lại S (s) thành 1 ( ) ( ) P s d s trong đó d (s) là đa thức bội số chung nhỏ nhất của tất cả các đa thức mẫu số có trong các phần tử của S (s) và P (s) là ma trận có các phần tử là đa thức. Ví dụ: 2. Sử dụng các phép biến đổi tương đương đã nói ở trên để đưa P (s) về dạng “đường chéo” bằng cách đưa dần các phần tử không nằm trên đường chéo về 0 thông qua việc cộng trừ hàng và cột. Điều này đã được Smith – McMillan chuyển thành những bước của thuật toán sau: d(s ) P(s) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 3 2 3 2 1 1 4 2 8 1 ( ) 4 2 8 3 2 3 2 3 2 4 2 8 2 2 4 1 1 s s s s s s s s S s s s s s s s s s s s s s s s s s                                             §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch CH•¬ng 2: §iÒu khiÓn t¸ch kªnh trong miÒn tÇn sè vµ nh•îc ®iÓm cña nã Page: 9 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên a. Đặt d0(s) = 1. b. Chọn d1(s) là ước số chung lớn nhất của tất cả các phần tử của P (s). Ví dụ: d1(s) = ƯSCLN {1, -1, s 2 + s - 4, 2s 2 - s – 4, s2 – 4, 2s2 – 8} = 1 c. Chọn dk(s) là ước số chung lớn nhất của tất cả các phần tử là định thức ma trận vuông kxk lấy từ P (s). Ví dụ: d2(s)= ƯSCLN { 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 4 2 8 det , , 4 2 8 4 2 8 4 2 8 s s s s s s s s s s s s                            } = ƯSCLN { 2 2 23 2 4,3 4, ( 4)s s s s s    }=(s+2)(s-2) d. Ma trận “đường chéo” G (s) tương đương với S (s) sẽ có các phần tử Gk(s) là: Gk(s) = 1 ( )1 . ( ) ( ) k k d s d s d s Ví dụ: 2 1 0 ( 1)( 2) 1 0 1 2 ( ) 0 ( 2)( 2) 0 3 2 1 0 0 0 0 s s s G s s s s s s                                §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch CH•¬ng 2: §iÒu khiÓn t¸ch kªnh trong miÒn tÇn sè vµ nh•îc ®iÓm cña nã Page: 10 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Như vậy phép biến đổi Smith – McMillan không cần có giả thiết S (s) phải là ma trận vuông và có E không suy biến. Ma trận G (s) được tạo thành là tương đương với S (s) theo nghĩa: G(s) = ST(s)S(s)SP(s) Trong đó ST(s) và SP(s) là những ma trận không suy biến (với phần lớn các giá trị s), được sinh ra từ những phép biến đổi hàng cột của S (s). Chúng chính là hai bộ điều khiển tách kênh đối tượng S (s) như mô tả ở hình vẽ trên. ( )PS s ( )TS s ( )S s G(s) H×nh 2.1:ThiÕt kÕ bé ®iÒu khiÓn t¸ch kªnh theo Smith - McMillan §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch CH•¬ng 2: §iÒu khiÓn t¸ch kªnh trong miÒn tÇn sè vµ nh•îc ®iÓm cña nã Page: 11 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 2.2. Đánh giá sự tương tác các kênh Tương tác được hiểu là tác động qua lại hoặc ảnh hưởng lẫn nhau giữa các đối tượng tham gia tương tác. Trong hệ MIMO, sự tương tác được thể hiện qua sự thay đổi của một biến sẽ ảnh hưởng tới các biến còn lại với các mức độ khác nhau. Giữa hai biến xi và xj trong hệ thống có thể có các quan hệ: tương tác 2 chiều (sự thay đổi của bất kỳ biến nào cũng sẽ ảnh hưởng tới biến còn lại); tương tác 1 chiều, chẳng hạn từ xi sang xj (chỉ sự thay đổi của xi mới ảnh hưởng tới xj còn thay đổi xj không ảnh hưởng tới xi ); hoặc giữa 2 biến không có tương tác. Mức độ tương tác giữa các biến được thể hiện qua hệ số tương tác. Hệ số tương tác tĩnh giữa biến vào ui và biến ra yj ký hiệu là ji được định nghĩa là tỷ số giữa hệ số khuếch đại vòng hở (khi chưa có điều khiển) và hệ số khuếch đại vòng kín (khi đã có điều khiển). Khi ji = 1: yj chỉ phụ thuộc vào riêng ui, ji = 0 : giữa ui và yj không có quan hệ gì, ji < 1: thể hiện hệ số khuếch đại từ ui sang yj sẽ giảm khi khép mạch và ngược lại. Giả sử hệ thống có n biến vào điều khiển n biến ra và ma trận truyền đạt: G(s) = [gij]nxn Các hệ số tương tác ji tương ứng với các phần tử của ma trận có hệ số khuếch đại tương đối ký hiệu là  G được xác định theo công thức:  G = G(s) x (G(s) -1 ) T = [ ji (s)]nxn ý nghĩa của hệ số tương tác ji : Đánh giá mức độ tương tác giữa các biến trong hệ thống và trợ giúp việc cặp đôi các biến điều khiển và biến được điều §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch CH•¬ng 2: §iÒu khiÓn t¸ch kªnh trong miÒn tÇn sè vµ nh•îc ®iÓm cña nã Page: 12 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên khiển trong trường hợp sử dụng cấu trúc điều khiển phi tập trung, khi ji  1 sẽ dùng uj để điều khiển yi. Tuyệt đối tránh trường hợp cặp đôi uj và yi mà ji <0. Một trong những nhiệm vụ quan trọng khi điều khiển hệ MIMO là giảm thiểu hoặc khử t •¬ng t¸c gi÷a c¸c ®Çu ra. §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch Ch¦¬ng 3: §iÒu khiÓn t¸ch kªnh b»ng ph¶n håi tr¹ng th¸i Page: 12 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Chương 3 ĐIỀU KHIỂN TÁCH KÊNH BẰNG PHẢN HỒI TRẠNG THÁI 3.1. Điều khiển phản hồi trạng thái ở đối tượng điều khiển, các tín hiệu trạng thái x1(t), x2(t), ..., xn(t) được viết chung dạng véctơ x(t) = (x1(t), x2(t), ..., xn(t)) T , là thành phần chứa đựng đầy đủ nhất các thông tin chất lượng động học hệ thống. Nó phản ánh nhanh nhất sự ảnh hưởng của những tác động bên ngoài vào hệ thống, kể cả những tác động nhiễu không mong muốn. Bởi vậy, để có thể tạo ra được cho đối tượng một chất lượng mong muốn, ổn định với các tác động nhiễu, cần phải có được một tín hiệu áp đặt ở đầu vào là u (t) phản ứng kịp theo những thay đổi trạng thái của đối tượng. Bé ®iÒu khiÓn §èi t•îng ®iÒu khiÓn y x u w e + H×nh 3.1a: Bé ®iÒu khiÓn ®Æt ë vÞ trÝ m¹ch truyÒn th¼ng §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch Ch¦¬ng 3: §iÒu khiÓn t¸ch kªnh b»ng ph¶n håi tr¹ng th¸i Page: 13 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Hình vẽ trên biểu diễn nguyên tắc điều khiển phản hồi trạng thái. Bộ điều khiển sử dụng tín hiệu trạng thái x(t) của đối tượng để tạo ra được tín hiệu đầu vào u (t) cho đối tượng. Vị trí của bộ điều khiển có thể là ở mạch truyền thẳng (hình 3.1a) hoặc ở mạch hồi tiếp (hình 3.1b). Hệ thống điều khiển phản hồi trạng thái có khả năng giữ được ổn định chất lượng mong muốn cho đối tượng, mặc dù trong quá trình điều khiển luôn có những tác động nhiễu. Xét phản ứng của người lái xe làm ví dụ, trong đó người lái xe được xem như là bộ điều khiển và chiếc xe là đối tượng điều khiển. Nhiệm vụ của bộ điều khiển là giữ ổn định tốc độ xe và vị trí của xe phải luôn nằm trong phần đường bên phải của vạch phân cách. Như vậy người lái xe (bộ điều khiển) đã: - Dựa vào khoảng cách của xe với vạch phân cách (trạng thái của đối tượng điều khiển) để đưa ra quyết định phải đánh tay lái sang phải mạnh hay nhẹ. - Dựa vào tình trạng của mặt đường như lên dốc hay xuống dốc (tác động của tín hiệu nhiễu tới chất lượng hệ thống) để điều chỉnh số và bàn đạp ga. Bé ®iÒu khiÓn §èi t•îng ®iÒu khiÓn y x u w + H×nh 3.1b: VÞ trÝ bé ®iÒu khiÓn ®Æt ë m¹ch håi tiÕp §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch Ch¦¬ng 3: §iÒu khiÓn t¸ch kªnh b»ng ph¶n håi tr¹ng th¸i Page: 14 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 3.2. Thuật toán tìm các bộ điều khiển của bài toán tách kênh Xét đối tượng MIMO tuyến tính có m đầu vào u1, u2,…um và cũng có m đầu ra y1, y2,…,ym mô tả bởi:       xCy uBxA dt xd Để tách kênh, ta phải xác định các bộ điều khiển R và M như ở hình trên mô tả, sao cho đầu ra yi(t) chỉ phụ thuộc vào một tín hiệu đầu vào wi(t) với i = M R w1 w2 y1 y2 x u w1 w2 y1 y2 H×nh 3.2: M« t¶ thuËt to¸n t¸ch kªnh §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch Ch¦¬ng 3: §iÒu khiÓn t¸ch kªnh b»ng ph¶n håi tr¹ng th¸i Page: 15 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1,2,..., m. Sự phụ thuộc đó được mô tả trong miền thời gian bởi phương trình vi phân bậc ri hệ số hằng: a 1 0 1 , 1 1 ... i i i i i r r i i i i i i r ir r dy d y d y a a b dt dt dt         wi ri i ri dt yd + 1 0 w ir k i ik i ik k d y a b dt    (3.1) Trong đó bi và aik, i = 1, 2,...,m; k = 0,1,...,ri – 1 là các tham số tự do được chọn tuỳ ý theo chất lượng đặt trước của từng kênh. Nói cách khác, nhiệm vụ thiết kế đặt ra ở đây là phải xác định hai bộ điều khiển tĩnh R và M để với nó hệ kín có ma trận truyền đạt dạng đường chéo: G(s) = ( ) ... 0 0 ... ( ) i m G s G s           Với các phần tử Gi(s) là những hàm truyền đạt: 1 0 1 , 1 ( ) ... i i i i i r r i i i r b G s a a s a s s        (3.2) có các hệ số bi và aik, i = 1, 2,...,m; k = 0,1,...,ri – 1 cho trước, tương ứng với chất lượng mong muốn của từng kênh. Trước hết ta bàn đến vấn đề bậc ri, i = 1,2..., m của mô hình (3.1), cũng như của hàm truyền đạt (3.2) cần phải có, tức là xét xem với ri như thế nào thì vế phải của (3.1) chỉ có wi(t) chứ không có các đạo hàm của wi(t). Để xác định ri cho riêng kênh thứ i ta sử dụng khái niệm bậc tương đối tối thiểu được định nghĩa: Bậc tương đối tối thiểu r =n-m của hệ SISO có hàm truyền đạt G(s) = 0 1 0 1 ... ... m m n n b b s b s a a s a s       (m<n) §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch Ch¦¬ng 3: §iÒu khiÓn t¸ch kªnh b»ng ph¶n håi tr¹ng th¸i Page: 16 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên tương ứng của nó bằng công thức sau: 0 0 2 0 1 T k khi k r c A B khi k r         Ký hiệu ci , i=1,2,..., s là véctơ hàng thứ i của ma trận C, tức là C = 1 ... T T s c c           thì bậc tương đối tối thiểu ri cho kênh thứ i sẽ được xác định theo định lý sau: Định lý 3.1 Từng phần tử của véctơ hàng (r1,...,rm) gọi là véctơ bậc tương đối tối thiểu của hệ MIMO dx Ax Bu dt y C x       có m tín hiệu vào u (t),..., um(t) và m tín hiệu ra y1(t) , ... , ym(t), mô tả bởi ma trận truyền đạt: 11 12 1 21 22 21 1 2 ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m m m m mm G s G s G s G s G s G s G s C sI A B G s G s G s                sẽ được xác định từ mô hình trạng thái dx Ax Bu dt y C x       của nó bằng công thức 0 0 2 0 1 T k khi k r c A B khi k r         (3.3) Trong đó ci T là véctơ hàng thứ i của ma trận C. Chứng minh: §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch Ch¦¬ng 3: §iÒu khiÓn t¸ch kªnh b»ng ph¶n håi tr¹ng th¸i Page: 17 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Sau đây ta sẽ xét bài toán cho hệ MIMO có m tín hiệu vào u1(t), ... , um(t) và m tín hiệu ra y1(t), ... , ym(t) với mô hình trạng thái dạng hợp thức chặt: dx Ax Bu dt y C x       Ta vận dụng định lý 1.2 sau để chứng minh: Định lý 3.2 Xét hệ SISO tham số hằng với mô hình trạng thái dạng: dx Ax Bu dt y C x Du        Được viết lại cho phù hợp với tính chất SISO, tức là m = r = 1 như sau: T dx Ax bu dt y c x du        Nói cách khác, do có m = r = 1 nên ma trận B trở thành véctơ b , ma trận C thành véctơ hàng cT và ma trận D trở thành số thực d. Hệ SISO tuyến tính trên có hàm truyền đạt: G(s) = c T (sI-A) -1 b +d (3.4) Gọi A (s) là đa thức đặc tính của hệ (đa thức mẫu số) và B (s) là đa thức tử số của G (s), tức là G (s) = ( ) ( ) B s A s . Khi đó, nếu mô hình trạng thái T dx Ax bu dt y c x du        không có biến trạng thái thừa (loại biến trạng thái hoàn toàn suy ra được bằng công thức đại số từ những biến trạng thái còn lại), thì: §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch Ch¦¬ng 3: §iÒu khiÓn t¸ch kªnh b»ng ph¶n håi tr¹ng th¸i Page: 18 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên A(s) = a0+a1s+...+ans n = det(sI-A) B(s) = b0+b1s+...+bms m = det( ) T adjc A b d sI A  với adjA là ma trận bù của ma trận (sI-A) Hàm truyền đạt G (s) luôn hợp thức và nếu mô hình trạng thái T dx Ax bu dt y c x du        có d =0 thì G (s) còn là hợp thức chặt (bậc của đa thức tử số nhỏ hơn bậc của đa thức mẫu số) Chứng minh: Chuyển 2 vế của phương trình thứ nhất của hệ T dx Ax bu dt y c x du        sang miền phức nhờ toán tử Laplace và để ý rằng các giá trị đầu xi(0), i=1,2,..., n đều bằng 0, sẽ có: sX(s) = aX(s) +bU(s)  X(s) = (sI-A) -1 bU(s) Tương tự, ảnh Laplace của phương trình thứ hai là: Y(s) = c T X(s)+dU(s) Với hai kết quả trên ta suy ra được điều phải chứng minh thứ nhất: Y(s) = [c T (sI-A) -1 b+d]U(s) Tiếp tục, do: 1( ) det( ) adjA sI A sI A    §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch Ch¦¬ng 3: §iÒu khiÓn t¸ch kªnh b»ng ph¶n håi tr¹ng th¸i Page: 19 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Với adjA là ma trận có các phần tử ( 1) deti j jiija A   , trong đó ma trận jiA thu được từ (sI-A) bằng cách bỏ đi hàng thứ j và cột thứ i (bỏ đi hàng và cột chứa phần tử đối xứng với aiJ ), nên: G(s) = 1( ) ( ) ( ) det( ) T adjTB s c A b c sI A b d d A s sI A       (3.5) và đó là điều phải chứng minh thứ hai. Cuối cùng, do adjA có các phần tử là định thức của ma trận (n-1) hàng (n-1) cột lấy từ (sI-A), tức là đa thức có bậc không quá n -1, nên T adjc A b có bậc cao nhất cũng chỉ là n -1. Bởi vậy từ (3.4) ta suy ra điều phải chứng minh thứ ba. Tương tự như hàm truyền đạt cho hệ SISO, ta định nghĩa: ma trận truyền đạt G (s) cho hệ MIMO là loại ma trận thoả mãn: Y(s) = G(s)U(s) Trong đó U(s) là ký hiệu chỉ ảnh Laplace của véctơ tín hiệu vào u(t) và Y(s) là ảnh Laplace của véctơ tín hiệu ra y(t) khi hệ có tất cả các trạng thái đầu vào bằng 0, thì ma trận G (s) cũng được xác định từ mô hình trạng thái của nó như sau: G(s) = C(sI-A) -1 B + D Vậy với đối tượng MIMO đang xét, ta có ma trận truyền đạt: 11 12 1 21 22 21 1 2 ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m m m m mm G s G s G s G s G s G s G s C sI A B G s G s G s                Từng phần tử Gik(s) của ma trận G (s) chính là hàm truyền đạt giữa tín hiệu vào uk(t) và tín hiệu ra yi(t). Nó được xác định theo công thức (3.4) như sau: §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch Ch¦¬ng 3: §iÒu khiÓn t¸ch kªnh b»ng ph¶n håi tr¹ng th¸i Page: 20 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Gik(s) = ci T (sI-A) -1 bk trong đó ci T là véctơ hàng thứ i của C và bk là véctơ cột thứ k của B Viết lại hệ dx Ax Bu dt y C x       thành m hệ MISO con (nhiều đầu vào, một đầu ra) với mô hình trạng thái của từng hệ con như hình 3.1 Hi: T ii dx Ax Bu dt y c x       (3.6) HÖ MISO H1 HÖ MISO H2 HÖ MISO Hm u1 um y1 y2 ym H×nh 3.3. Xem hÖ MIMO nh• c¸c hÖ MISO nèi song song víi nhau §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch Ch¦¬ng 3: §iÒu khiÓn t¸ch kªnh b»ng ph¶n håi tr¹ng th¸i Page: 21 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Khi đó, trong miền phức, các hệ này cùng có ma trận truyền đạt dạng véctơ hàng: Yi(s) = (Gi1(s) ... Gim(s)) 1( ) ( )m U s U s           Nếu ký hiệu ri1, ... ,rim là các bậc tương đối của các hàm truyền đạt Gi1(s), ... ,Gim(s) của hệ con Hi, xác định theo (1.3) 0 0 2 0 1 T k khi k r c A B khi k r         và gọi: ri = min{ri1, ... ,rim} là bậc tương đối tối thiểu của Hi, ta có thể thấy ngay rằng ri được xác định từ mô hình trạng thái (3.6) của Hi như sau: 0 0 2 0 1 T T k i i T i khi k r c A B khi k r          Suy ra điều phải chứng minh. (Định lý 3.1) Vậy từ đây ta sẽ có từ phương trình mô hình trạng thái với đầu ra thứ i: yi = ci T x các quan hệ sau: §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch Ch¦¬ng 3: §iÒu khiÓn t¸ch kªnh b»ng ph¶n håi tr¹ng th¸i Page: 22 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 ( ) ( ) ( ) i i i i i i i i i i i T Tr r r i i r T T Tr r r k i i iik i i k r T Tr r k i iik k T r i i i c A A BR x c A BM w c A A BR x c A BM w a c A x b w c A A BR x a c A c A BM w b w                         ( ) T T Ti i i i dy dx c c Ax Bu c Ax dt dt     (Vì ci T B = 0 T ) k T ki ik d y c A x dt  Nếu 0 k <ri – 1 1 1 . . ( ) i i i i i i r T T Tr r r rTi i i i ir d y c A x c A B u c A x c A B M w Rx dt       = 1 1 ( )i i i T Tr r r i ic A A BR x c A BM w    Kết quả trên cho thấy bậc ri của phương trình vi phân (3.1) chỉ có thể là bậc tương đối ri của kênh thứ i. Từ đây ta suy ra được cho (3.1): 1 1 1 0 ( ) i i i i r T T Tr r r k i i iik i i k c A A BR x c A BM w a c A x b w          Và 1 1 0 ( ) i i i r T Tr r k i iik k c A A BR x a c A       §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch Ch¦¬ng 3: §iÒu khiÓn t¸ch kªnh b»ng ph¶n håi tr¹ng th¸i Page: 23 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên  1 1 0 i i i r T Tr rT k i ii ik k c A BR c A a c A      (3.7) Và 1iT r i i ic A BM w b w    1 (0,...,0, ,0,...,0)i T r i ic A BM b   (3.8) Viết chung lại cho (3.7) và (3.8) cho tất cả các kênh i = 1,2,..., m ta đi đến : 1 1 11 1 1 01 11 0 1 1 0 1 , 1 1 2 ,( )( )...( ) i i mm m i i i i r T rk T T r k k T rr T rk Tm mmk m k r r i i i r i i i r a c A c A c A B R c A B a c A c A R E F a a s a s s s s s s s s                                          1 1 11 1 1 01 11 0 i i mm m r T rk T T r k k T rr T rk Tm mmk m k a c A c A c A B R c A B a c A c A                             1R E F  (3.9) Với E = 1 1 1 i m T r T r m c A B c A B             ; F = 1 1 11 1 0 1 0 i m m r T rk T k k r T rk T mmk m k a c A c A a c A c A                      Và PhÇn tö thø i §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch Ch¦¬ng 3: §iÒu khiÓn t¸ch kªnh b»ng ph¶n håi tr¹ng th¸i Page: 24 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 11 1 2 1 1 0 0 0 0 0 0 i m T r T r m m b c A B b M M E L c A B b                          (3.10) Với: L = 1 2 0 0 0 0 0 0 m b b b             Hai công thức (3.9) và (3.10) chính là lời giải tìm R và M của bài toán tách kênh. Cũng từ hai công thức đó mà ta thấy điều kiện để bài toán có nghiệm là E phải là ma trận không suy biến. Vậy thuật toán tìm các bộ điều khiển R và M cho bài toán tách kênh sẽ như sau: 1. Xác định véctơ bậc tương đối tối thiểu (r1, ... ,rm) của đối tượng. 2. Chọn tuỳ ý các tham số bi và aik, i = 1,2, ... ,m, k=0,1, ... , ri-1. Ta cũng có thể chọn chúng theo chất lượng định trước cho từng kênh, chẳng hạn: a. Chọn aik, i = 1,2, ..., m, k = 0,1, ... ,ri – 1 để có: 1 0 1 , 1 1 2 ,( )( )...( ) i i i i r r i i i r i i i ra a s a s s s s s s s s          với si1, si2, ... , , ii r s là các điểm cực chọn trước cho kênh thứ i. b. Chọn bi = ai0 để kênh thứ i không có sai lệch tĩnh. 3. Lập các ma trận E, F, L rồi tính M, R theo các công thøc (3.9) vµ (3.10) §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch Ch¦¬ng 3: §iÒu khiÓn t¸ch kªnh b»ng ph¶n håi tr¹ng th¸i Page: 25 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch Ch•¬ng 4: Quan s¸t tr¹ng th¸i Page: 25 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Chương 4 QUAN SÁT TRẠNG THÁI 4.1.Bộ quan sát Luenberger 4.1.1. Phân tích tính quan sát được 4.1.1.1. Khái niệm quan sát được và quan sát được hoàn toàn Trong bài toán điều khiển, người ta thường đề cập đến việc thiết kế bộ điều khiển phản hồi các tín hiệu trạng thái hoặc các tín hiệu ra. Vấn đề muốn nói ở đây không phải là sự cần thiết của việc phản hồi mà phải làm thế nào để thực hiện được việc phản hồi những tín hiệu đó. Tất nhiên rằng ta phải đo chúng, phải xác định được giá trị của các tín hiệu cần phản hồi. Thông thường, việc xác định giá trị tín hiệu một cách đơn giản nhất là đo trực tiếp nhờ các thiết bị cảm biến (sensor). Song không phải mọi tín hiệu đều có thể đo được một cách trực tiếp. Rất nhiều các tín hiệu chỉ có thể được đo một cách gián tiếp thông qua những tín hiệu đo được khác... Chẳng hạn: - Gia tốc không thể đo được trực tiếp mà phải được suy ra từ việc đo tốc độ trong một khoảng thời gian. - Giá trị công suất có được nhờ việc đo dòng điện và điện áp. Để thống nhất chung, người ta sử dụng khái niệm quan sát một tín hiệu để chỉ công việc xác định tín hiệu một cách gián tiếp thông qua các tín hiệu đo được khác (thường là các tín hiệu vào /ra). Định nghĩa 4.1: Một hệ thống có tín hiệu vào u(t) và tín hiệu ra y(t) được gọi là: a. Quan sát được tại thời điểm t0, nếu tồn tại ít nhất một giá trị hữu hạn T >t0 để điểm trạng thái x(t0)=x0, xác định được một cách chính xác thông qua vectơ các tín hiệu vào ra u(t), y(t) trong khoảng thời gian [t0,T]. b. Quan sát được hoàn toàn tại thời điểm t0, nếu với mọi T >t0, điểm trạng thái x0=x(t0) luôn xác định được một cách chính xác từ véctơ các tín hiệu vào ra u(t), y(t) trong khoảng thời gian [t0,T]. Chú ý: Yêu cầu phải đo trong khoảng thời gian hữu hạn là rất quan trọng. Khoảng thời gian quan sát càng ngắn sẽ càng tốt cho công việc điều khiển sau này. Nếu thời gian quan sát quá lớn, điểm trạng thái x0 vừa xác định được sẽ §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch Ch•¬ng 4: Quan s¸t tr¹ng th¸i Page: 26 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên mất ý nghĩa ứng dụng cho bài toán điều khiển, ví dụ khi có được x0 thì có thể hệ đã chuyển đến một điểm trạng thái mới cách rất xa điểm trạng thái x0. 4.1.1.2. Một số kết luận chung về tính quan sát được của hệ tuyến tính Một cách tổng quát, sau đây ta sẽ xét hệ tuyến tính có thể không dừng với: 0 0 0 00 0 00 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). . ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). . ( ). ( ) t t t t dx A t x B t u dt y C t x D t u t t x t C t t t t B u d y t C t t t x C t t B u d D t u C t t t x C t t B u d D t u y t                                           Trong đó ( ) n nA t  , ( ) n mB t  , ( ) r nC t  , ( ) r mD t  là những ma trận có phần tử có thể là hàm số phụ thuộc t. Định lý 4.2: Hệ không dừng ( ) ( ) ( ) ( ) dx A t x B t u dt y C t x D t u        sẽ a. Quan sát được tại t0 khi và chỉ khi tồn tại ít nhất một giá trị T >t0 hữu hạn sao cho các véctơ cột của ma trận C (t)  (t-t0) độc lập tuyến tính trong khoảng thời gian 0t t <T. b. Quan sát được hoàn toàn tại t0 khi và chỉ khi với mọi giá trị T >t0, các véctơ cột của ma trận C (t)  (t-t0) độc lập tuyến tính trong khoảng 0t t <T. Chứng minh: Phương trình vi phân của hệ ( ) ( ) ( ) ( ) dx A t x B t u dt y C t x D t u        với điều kiện đầu x(t0) = x0 có nghiệm: 0 00( ) ( ) ( ) ( ) ( ). . t t x t C t t t x t B u d        §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch Ch•¬ng 4: Quan s¸t tr¹ng th¸i Page: 27 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Thay vào phương trình thứ hai ta được: 00 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). . ( ). t y t C t t t x C t t B u d D t u         00 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). . ( ). ( ) t C t t t x C t t B u d D t u y t          (4.1) Theo định nghĩa 4.1, hệ ( ) ( ) ( ) ( ) dx A t x B t u dt y C t x D t u        quan sát được tại t0 nếu tồn tại một khoảng thời gian hữu hạn [t0,T] để x(t0)=x0 xác định được từ u(t) và y(t) khi có 0t t <T. Điều này đồng nghĩa với việc phương trình (4.1) có nghiệm x0 duy nhất. Do chỉ có thành phần 00( ) ( )C t t t x  chứa x0 nên (4.1) sẽ có nghiệm x0 duy nhất nếu tồn tại ít nhất một giá trị hữu hạn T >t0 sao cho các véctơ cột của 0( ) ( )C t t t  không phụ thuộc tuyến tính trong toàn bộ khoảng [t0,T] và đó chính là điều phải chứng minh. Ví dụ minh hoạ: Xét hệ tuyến tính, có tham số phụ thuộc t với mô hình trạng thái:   0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 (1,1 1 ) 1 ( ) , (1,1 1) 0 1 1 ( ) ( ) (1,1 1) ( 1) 1 0 1 h ng s 1 ( 1) 1 2( 1) 1 dx x Bu dt y t x Du t t t t C t t t C t t t t t t t t khi t t t t t t khi t                                                      » è 0 1 0 0 (1,1 1 ) dx x Bu dt y t x Du                Trong đó: B, D là hai ma trận tuỳ ý. hệ có 0 0 1 ( ) , (1,1 1) 0 1 t t t t C t            Bởi vậy: §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch Ch•¬ng 4: Quan s¸t tr¹ng th¸i Page: 28 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên   0 0 0 0 0 0 1 ( ) ( ) (1,1 1) ( 1) 1 0 1 1 ( 1) 1 2( 1) 1 t t C t t t t t t t t hang so khi t t t t t t khi t                            Khi t0 là tuỳ ý, ta chọn T >t0 và T >1. Hai véctơ cột của 0( ) ( )C t t t  sẽ độc lập tuyến tính trong khoảng 1<t<T , tức là sẽ không phụ thuộc tuyến tính trên toàn bộ khoảng [t0 , T] , bởi vậy hệ quan sát được tại t0. Khia t0>1 hai cột của 0( ) ( )C t t t  sẽ độc lập tuyến tính trong mọi khoảng [t0 , T], nên tại t0>1 hệ không những quan sát được mà còn quan sát được hoàn toàn. Định lý 4.3. Nếu hệ không dừng ( ) ( ) ( ) ( ) dx A t x B t u dt y C t x D t u        có C là ma trận hằng (không phụ thuộc t) quan sát được tại t0 thì nó cũng quan sát được hoàn toàn tại t0 và ngược lại. Chứng minh: Theo định lý 4.2 hệ ( ) ( ) ( ) ( ) dx A t x B t u dt y C t x D t u        quan sát được tại thời điểm t0 nếu tồn tại T1>t0 hữu hạn sao cho các véctơ cột của 0( )C t t  không phụ thuộc tuyến tính trên toàn khoảng [t0, T1]. Vì C là ma trận hằng nên 0( )t t  là thành phần duy nhất phụ thuộc t trong tích 0( )C t t  . (Giả sử đầu tiên ta xét đối tượng dx Ax Bu dt y C x Du        §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch Ch•¬ng 4: Quan s¸t tr¹ng th¸i Page: 29 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Trong đó ( ) 0 ( ) 0 0 0 , , , , , , ( ) (0) ( ) ( ) [ (0) ( ) ] ( ) ( ) n n n n n n n m r n r m t At A t t At A t At At At At At At t t At At A A x u y x A B C D x t e x e Bu d y t C e x e Bu d Du dx dx e e Ax e Bu e e Ax e Bu dt dt d d e x e Bu e x d e Bu dt d                                                    1 ( ) 0 0 ( ) 0 0 1 2 2 1 0 0 0 1 1 0 ( ) ( ) (0) ( ) ( ) (0) ( ) ( ) [ (0) ( ) ] ( ) ( ) (0) ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ). ( ) ( t t At A At A t t At A t t t t d e x t x e Bu d x t e x e Bu d y t C e x e Bu d Du x t t x t B u d t I A d A A d d t t t t t                                                            0 1 0 0 0 ) ( ) ( ) (0) 0 1 0 1 1 (1 ,1) t t t t t I tdx x u dt y x t t                            , , ,n n n nx u y x    và các ma trận , , ,n n n m r n r mA B C D       hoặc là hằng (các phần tử của chúng là những hằng số) hoặc phụ thuộc vào các tham số khác được ghép chung lại thành véctơ tham số v (không phụ thuộc vào t). Phương trình trạng thái dx Ax Bu dt y C x Du        có nghiệm: §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch Ch•¬ng 4: Quan s¸t tr¹ng th¸i Page: 30 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ( ) 0 ( ) 0 ( ) (0) ( ) ( ) [ (0) ( ) ] t At A t t At A t x t e x e Bu d y t C e x e Bu d Du                và ma trận hàm eAt có véctơ cột thứ k là đáp ứng trạng thái của hệ dx Ax Bu dt y C x Du        từ trạng thái ban đầu x(0)=ek khi hệ không bị kích thích, tức là khi có u(t) = 0 , trong đó ek là véctơ đơn vị (véctơ có phần tử thứ k bằng 1) Chứng minhC: Nhân hai vế của phương trình thứ nhất trong hệ dx Ax Bu dt y C x Du        với hàm e -At được: 0 0 ( ) 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) (0) ( ) ( ) (0) ( ) At At At At At At t t At At A A t t At A At A t dx dx e e Ax e Bu e e Ax e Bu dt dt d d e x e Bu e x d e Bu d dt d e x t x e Bu d x t e x e Bu d                                             Để có đáp ứng y(t) ta chỉ cần thay x(t) vào phương trình thứ hai trong dx Ax Bu dt y C x Du        Suy ra: ( ) 0 ( ) [ (0) ( ) ] t At A ty t C e x e Bu d Du     Kết luận cuối cùng là hiển nhiên, vì khi u(t) = 0 , x(0)=ek thì x(t)=e At ek và đó chính là véctơ cột thứ k của ma trận hàm eAt. Tiếp theo ta xét hệ thống có mô hình: ( ) ( ) ( ) ( ) dx A t x B t u dt y C t x D t u        §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch Ch•¬ng 4: Quan s¸t tr¹ng th¸i Page: 31 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Giống như mô hình dx Ax Bu dt y C x Du        không phụ thuộc thời gian, nghiệm của hệ trên sẽ có dạng: 0 ( ) ( ) (0) ( ) ( ). ( ) t x t t x t B u d        Địnhlý 4.4 Tuy nhiên có một sự khác nhau là ma trận hàm ( )t trong phương trình trên là ma trận thoả mãn: a. 1 1 2 2 1 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ... t t t I A d A A d d              b. 1 1 0 0( ). ( ) ( )t t t t t t       c. 1 0 0( ) ( )t t t t     , như vậy ma trận ( )t là không suy biến d. (0) I  (I là ma trận đơn vị)) Tiếp tục chứng minh định lý 4.3: Do 0( )t t  không suy biến với mọi t theo chứng minh trên nên điều này cũng đúng với mọi khoảng [t0,T], trong đó T là số tuỳ ý lớn hơn t0. Định lý 4.5: Nếu hệ không dừng ( ) ( ) ( ) ( ) dx A t x B t u dt y C t x D t u        quan sát được tại thời điểm t0 thì nó cũng quan sát được tại mọi thời điểm t  0 Chứng minh định lý 4.5: Khi hệ ( ) ( ) ( ) ( ) dx A t x B t u dt y C t x D t u        quan sát được tại t0 thì sẽ tồn tại một giá trị hữu hạn T >t0 để các véctơ cột của ma trận C (t) 0( )t t  độc lập tuyến tính trong khoảng thời gian 0t t <T Xét tại một thời điểm t1  0 bất kỳ, từ định lý 4.4 về tính chất của ( )t , ta có: 1( ) ( )C t t t  cũng vì thế mà độc lập tuyến tính trong khoảng thời gian 1t t <T. Bởi vậy theo định lý 4.2, hệ quan sát được tại thời điểm t1 suy ra điều phải chứng minh. §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch Ch•¬ng 4: Quan s¸t tr¹ng th¸i Page: 32 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 4.1.1.3. Tính đối ngẫu và các tiêu chuẩn xét tính quan sát được của hệ tham số hằng Cho hệ tuyến tính tham số hằng mô tả bởi: dx Ax Bu dt y C x Du        (4.2) Với , , ,n n n m r n r mA B C D       Một hệ tuyến tính khác được suy ra từ hệ trên với mô hình: T T T T dx A x B u dt y C x D u        (4.3) Được gọi là hệ đối ngẫu với hệ đã cho. Có thể thấy ngay được là từ ma trận truyền đạt của hệ (4.3): G(s) = C(sI-A)B + D ta cũng có ma trận truyền đạt GT(s) cho hệ đối ngẫu (4.3) với nó. Định lý 4.6: Hệ tham số hằng dx Ax Bu dt y C x Du        quan sát được khi và chỉ khi hệ T T T T dx A x B u dt y C x D u        đối ngẫu với nó điều khiển được. Chứng minh: Nếu hệ dx Ax Bu dt y C x Du        quan sát được tại T * thì theo định lý 4.2, các véctơ cột của ** ( )( ) ( ) A t TC t t T Ce    là độc lập tuyến tính với mọi t. Điều này dẫn đến cá véctơ cột của *( )A t TCe  cũng độc lập tuyến tính vì * *( ) ( )A t T A T te e I  . Suy ra các véctơ hàng của: ( *( )A t TCe  ) T = *( )TA t T Te C §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch Ch•¬ng 4: Quan s¸t tr¹ng th¸i Page: 33 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên là độc lập tuyến tính. Vậy theo định lý 4.2, hệ T T T T dx A x B u dt y C x D u        điều khiển được. Chứng minh tương tự ta có điều ngược lại là khi hệ dx Ax Bu dt y C x Du        điều khiển được thì hệ T T T T dx A x B u dt y C x D u        sẽ quan sát được. Dựa vào nội dung định lý trên và cùng với các tiêu chuẩn xét tính điều khiển được của hệ tuyến tính tham số hằng đã biết, ta sẽ có: Định lý 4.7: Cho hệ tham số hằng dx Ax Bu dt y C x Du        . Các phát biểu sau là tương đương: a. Hệ quan sát được b. sI A Rank C       = n với mọi s. I là ma trận đơn vị. c. 1n C CA Rank CA              = n Chứng minh: §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch Ch•¬ng 4: Quan s¸t tr¹ng th¸i Page: 34 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên * a  b: Theo định lý 2.6: để hệ dx Ax Bu dt y C x Du        quan sát được thì cần và đủ là hệ T T T T dx A x B u dt y C x D u        điều khiển được. Tiếp tục, theo định lý Hautus (đưa ra năm 1969): Cần và đủ để hệ tuyến tính: dx Ax Bu dt   với ,n n n mA B   điều khiển được là: Rank(sI-A , B) = n với mọi s thì hệ T T T T dx A x B u dt y C x D u        điều khiển được khi và chỉ khi: Rank(sI-A T , C T ) = n với mọi s. Suy ra: Rank(sI-A T , C T ) T = sI A Rank C       = n * a  c: Để hệ dx Ax Bu dt y C x Du        quan sát được thì cần và đủ là hệ T T T T dx A x B u dt y C x D u        điều khiển được và theo định lý Kalman (đưa ra năm 1960): Cần và đủ để hệ tuyến tính dx Ax Bu dt   với ,n n n mA B   điều khiển được là: Rank(B, AB, ..., A n-1 B) = n Điều đó tương đương với: Rank(C T , A T C T , ... , (A n-1 ) T C T ) = n Suy ra: §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch Ch•¬ng 4: Quan s¸t tr¹ng th¸i Page: 35 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Rank(C T , A T C T , ... , (A n-1 ) T C T ) = Rank 1n C CA CA              = n 4.1.2. Bộ quan sát Luenberger 4.1.2.1. Phương pháp thiết kế Xét đối tượng hợp thức chặt với mô hình trạng thái: dx Ax Bu dt y C x Du        (4.4) ý tưởng chính của phương pháp thiết kế bộ quan sát trạng thái Lueberger là sử dụng khâu có mô hình: ( ) dx Ax Bu L y y Du dt y Cx          (4.5) làm bộ quan sát để có được sự xấp xỉ x x ít nhất là sau một khoảng thời gian T đủ ngắn, nói cách khác là có được: Hình 4.1: Bộ quan sát trạng thái của Luenberger dx Ax Bu dt y C x Du        u y y x ( ) dx Ax Bu L y Cx Du dt      §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch Ch•¬ng 4: Quan s¸t tr¹ng th¸i Page: 36 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ( ) ( ) ( ) 0e t x t x t Khi t T       (4.6) Nhiệm vụ của thiết kế là xác định L trong (4.5) để có được yêu cầu. Trước tiên ta lập sai lệch từ hai mô hình (4.4) và (4.5) và được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e t x t x t de d x x A x x L y C x Du Ae L C x C x dt dt A LC e                 Như vậy, rõ ràng để e(t)  0 thì A -LC phải là ma trận bền. Sai lệch e(t) sẽ càng tiến nhanh về 0 , tức là thời gian T cần thiết cho việc quan sát tín hiệu vào ra sẽ càng nhỏ, nếu các giá trị riêng của A -LC nằm càng xa trục ảo (về phía -  ). Do đó ta có thể chủ động tìm L với một tốc độ tiến về 0 của e(t) đã được chọn trước bằng cách xác định L sao cho A -LC có các giá trị riêng phù hợp với tốc độ đó. Nếu để ý thêm rằng giá trị riêng của ma trận bất biến với phép chuyển vị, thì công việc xác định L sao cho A -LC có được những giá trị riêng chọn trước cũng đồng nghĩa với việc tìm LT để (A-LC) T = A T -C T L T nhận các giá trị cho trước s1, ..., sn làm giá trị riêng và đây là bài toán thiết kế bộ điều khiển cho trước điểm cực: Đặt vấn đề và phát biểu bài toán: Xét hệ MIMO có mô hình trạng thái tham số hằng: dx Ax Bu dt y C x Du        Ma trận truyền đạt G (s) của hệ thống: G(s) = C(sI-A) -1 B + D = ( ) det( ) adjsI A C B D sI A    §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch Ch•¬ng 4: Quan s¸t tr¹ng th¸i Page: 37 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Trong đó: (sI-A)adj là ma trận bù của (sI-A), ta thấy ngay được rằng giá trị riêng của ma trận A trong mô hình dx Ax Bu dt y C x Du        chính là điểm cực của hệ thống. Mặt khác, chất lượng hệ thống lại phụ thuộc nhiều vào vị trí của các điểm cực (cũng là giá trị riêng của A) trong mặt phẳng phức. Do đó, để hệ thống có được chất lượng mong muốn, người ta có thể can thiệp bằng một bộ điều khiển vào hệ thống sao cho sự can thiệp đó, hệ có được các điểm cực là những giá trị cho trước ứng với chất lượng mong muốn. Cũng vì nguyên lý can thiệp để hệ nhận được các điểm cực cho trước như vậy nên phương pháp thiết kế bộ điều khiển can thiệp này có tên gọi là Phương pháp cho trước điểm cực, hay phương pháp gán điểm cực. Có hai khả năng thiết kế bộ điều khiển gán điểm cực bằng bộ điều khiển R tĩnh là: - Thiết kế bằng phản hồi trạng thái: Với R, hệ kín sẽ có mô hình: ( ) ( ) dx Ax Bu Ax B w Rx Ax Bw BRx A BR x Bw t            Bởi vậy nhiệm vụ “ gán điểm cực” là phải thiết kế R sao cho ma trận A -BR nhận n giá trị si, i = 1,2, ... , n đã được chọn trước từ yêu cầu chất lượng cần có của hệ thống, làm giá trị riêng. Nói cách khác, ta phải giải phương trình: det(sI-A+BR) = (s-s1) (s-s2) (s-s3)... (s-sn) (4.7) dx Ax Bu dt y C x Du        R - w u y x Hình 4.2: Thiết kế bằng phản hồi trạng thái §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch Ch•¬ng 4: Quan s¸t tr¹ng th¸i Page: 38 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Để có bộ điều khiển (m trận) R - Thiết kế bằng phản hồi tín hiệu ra: Vì tín hiệu phản hồi về bộ điều khiển R là y nên hệ kín có mô hình: ( ) ( ) dx Ax Bu Ax B w Ry Ax Bw BRCx A BRC x Bw t            Vậy nhiệm vụ “gán điểm cực” là phải tìm R để ma trận A -BRC có các giá trị riêng là n giá trị si, i = 1,2, ... , n đã được chọn trước từ yêu cầu chất lượng cần có của hệ thống, hay nhiệm vụ thiết kế chính là tìm ma trận R thoả mãn: det(sI-A+BRC) = (s-s1) (s-s2) (s-s3)... (s-sn) (4.8) Để phương trình (2.7) có nghiệm R thì chỉ cần hệ dx Ax Bu dt y C x Du        cho ban đầu điều khiển được là đủ. Ngược lại, đối với phương trình (4.8) thì điều kiện hệ dx Ax Bu dt y C x Du        R - w u y q Hình 4.3: Thiết kế bằng phản hồi tín hiệu ra §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch Ch•¬ng 4: Quan s¸t tr¹ng th¸i Page: 39 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên d x Ax Bu dt y C x Du        điều khiển được là chưa đủ và người ta thường phải mở rộng phạm vi tìm nghiệm sang cả những bộ điều khiển phản hồi đầu ra mang tính động học, chứ không phải chỉ giới hạn trong các bộ điều khiển tĩnh (ma trận hằng) R, tức là phải sử dụng bộ điều khiển có mô hình trạng thái (tuyến tính): R: d z Ez F y dt q Gz H y        4.1.2.2. Các phương pháp khác nhau phục vụ bài toán thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái gán điểm cực: a. Phương pháp Ackermann Phương pháp Ackermann là phương pháp thiết kế bộ điều khiển gán điểm cực R theo nguyên lý phản hồi trạng thái cho đối tượng chỉ có một tín hiệu vào: Trước hếtT, ta xét đối tượng có một đầu vào u mô tả bởi mô hình trạng thái dạng chuẩn điều khiển theo định lý sau: Định lý: Hệ SISO với hàm truyền đạt 0 1 1 0 1 1 ... ( ) ( ) ... ( ) n n n n n b b s b s B s G s a a s a s s A s          có mô hình trạng thái dạng chuẩn điều khiển như sau: 0 1 2 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 ( ) n n n n n n dx x u dt a a a a y b a b b a b x b u                                        (4.9) T n dx Ax bu dt y c x b u         Như vậy đối tượng có đa thức đặc tính là: §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch Ch•¬ng 4: Quan s¸t tr¹ng th¸i Page: 40 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên det(sI-A) = a0 + a1s + ... + an-1s n-1 + s n với nghiệm là các điểm cực của đối tượng. Tương ứng với đối tượng (4.9), bộ điều khiển phản hồi trạng thái R phải là: R = (r1, r2, ... , rn) (4.10) Khi đó hệ kín sẽ có mô hình: ( ) d x A bR x bw dt    1 2 0 1 2 1 0 1 2 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 [ ( , ,..., ) ] 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 n n n r r r x w a a a a x w a a a a                                                                        Với đa thức đặc tính: det(sI-A+bR) = (a0+r1) + (a1+r2)s + ... + (an-1+rn)s n-1 + s n và phương trình (4.8) trở thành: (a0+r1) + (a1+r2)s + ... + (an-1+rn)s n-1 + s n = (s-s1) (s-s2) (s-s3)... (s-sn)  (a0+r1) + (a1+r2)s + ... + (an-1+rn)s n-1 + s n = 1 0 1 1 n n na a s a s s      Suy ra: ri = 1ia  -ai-1 ; i = 1,2, ... ,n Vậy thuật toán xác định bộ điều khiển R gán điểm cực si , i = 1,2, ... , n theo nguyên tắc phản hồi trạng thái cho đối tượng 0 1 2 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1n dx x u dt a a a a                              một đầu vào dạng chuẩn điều khiển gồm các bước sau: §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch Ch•¬ng 4: Quan s¸t tr¹ng th¸i Page: 41 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - Tính các hệ số ia , i = 0,1, ... , n-1 của phương trình đặc tính cần phải có của hệ kín từ những giá trị điểm cực si , i = 1, 2, ... , n đã cho theo (s-s1) (s-s2) (s-s3)... (s-sn) = 10 1 1 n nna a s a s s    - Tính các phần tử ri, i = 1,2, ..., n của bộ điều khiển (4.10) theo công thức: ri = 1ia  -ai-1 b. Phương pháp Roppenecker Giống như phương pháp Ackermann, phương pháp Roppenecker được sử dụng để thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái theo nguyên lý cho trước điểm cực. Khác với Ackermann, phương pháp Roppenecker áp dụng được cho cả hệ MIMO. Để bắt đầu, ta hãy xét đối tượng MIMO: dx Ax Bu dt   Nhiệm vụ đặt ra là phải tìm bộ điều khiển phản hồi trạng thái R sao cho hệ kín ( ) dx A BR x Bw dt    dx Ax Bu dt y C x Du        R - w u y x Hình 4.4: Thiết kế bằng phản hồi trạng thái §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch Ch•¬ng 4: Quan s¸t tr¹ng th¸i Page: 42 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên nhận những giá trị si , i = 1,2, ..., n cho trước làm điểm cực. Chú ý rằng nếu có sk là một số phức thì cũng phải có một giá trọ liên hợp với nó si = ks , vì chỉ như vậy các phần tử của R mới có thể là những số thực. Giả sử rằng đã tìm được R, vậy thì do det (skI-A+BR)= 0 với mọi k = 1,2, ..., n nên ứng với mỗi k phải có một véctơ (riêng bên phải) ak không đồng nhất bằng 0 thoả mãn: (skI-A+BR)ak = 0  (skI-A)ak = -BRak Nếu gọi tk = -Rak là những véctơ tham số thì: (skI-A)ak = -Btk  ak = (skI-A) -1 Btk k = 1,2, ... ,n (4.11) và (t1, ..., tn) = -R(a1,... , an)  R = -(t1, ..., tn)(a1, . .., an) -1 (4.12) Từ đây, ta có thể hình dung sơ lược việc thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái R gán điểm cực sk, k = 1,2, ..., n cho trước, gồm các bước như sau: - Chọn n véctơ tham số t1, ..., tn sao cho với nó n véctơ ak, k = 1,2, ..., n xác định theo công thức: ak = (skI-A) -1 Btk k = 1,2, ... ,n lập thành hệ độc lập tuyến tính, tức là ma trận (a1, ..., an) không bị suy biến. - Xác định R theo công thức: R = -(t1, ..., tn)(a1, . .., an) -1 Thuật toán Roppenecker dạng tổng quát: 1. Tính các véctơ ak ứng với các giá trị sk đã cho: a. Nếu sk không phải là giá trị riêng của A thì tính theo công thức: ak = (skI-A) -1 Btk k = 1,2, ... ,n Trong đó tk là tham số tự do. §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch Ch•¬ng 4: Quan s¸t tr¹ng th¸i Page: 43 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên c. Nếu sk là giá trị riêng của A thì chọn tk = 0 và ak là véctơ riêng bên phải tương ứng của A tính theo công thức: (skI - A)ak = 0 2. Chọn các véctơ tham số còn tự do tk sao cho với nó n véctơ ak , k = 1,2, ..., n xác định ở bước 1 lập thành hệ độc lập tuyến tính, rồi tính R theo công thức: R = -(t1, ..., tn)(a1, . .., an) -1 c. Phương pháp Modal phản hồi trạng thái Phương pháp modal do Rosenbrock xây dựng năm 1962 là phương pháp thiết kế bộ điều khiển tĩnh R, phản hồi trạng thái cho đối tượng MIMO mô tả bởi: dx Ax Bu dt   để hệ kín thu được với mô hình ( ) dx A BR x Bw dt    nhận những giá trị cho trước si , i = 1,2, ..., n làm điểm cực, tức là có: det(siI-A+BR) = với mọi i = 1,2, ...,n Tư tưởng của phương pháp khá đơn giản. Nó bắt đầu từ việc chuyển mô hình đối tượng, cụ thể là ma trận A, sang dạng đường chéo (dạng modal) hay Jordan để thiết kế bộ điều khiển rồi sau đó mới chuyển ngược lại mô hình ban đầu. Để mô tả nội dung phương pháp modal, ta bắt đầu với trường hợp ma trận A của đối tượng có dạng giống đường chéo. dx Ax Bu dt y C x Du        R - w u y x Hình 4.5: Thiết kế bằng phản hồi trạng thái §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch Ch•¬ng 4: Quan s¸t tr¹ng th¸i Page: 44 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Một ma trận A được gọi là giống đường chéo, nếu: - Hoặc là các giá trị riêng gi, i = 1,2, ... , n của nó khác nhau từng đôi một. - Hoặc là ứng với một giá trị riêng gk bội q thì phải có đúng q véctơ riêng bên phải độc lập tuyến tính. Một ma trận A giống đường chéo luôn chuyển được về dạng đường chéo nhờ phép biến đổi tương đương, trong đó ma trận đường chéo thu được có các phần tử trên đường chéo chính là giá trị riêng của nó gi , i = 1,2, ... ,n 1 21 0 0 0 0 ( ) 0 0 i n g g M AM diag g g               và M là ma trận modal có các véctơ cột là véctơ riêng bên phải của A: M = (a1 ,..., an) (giI-A)ai = 0 với mọi i = 1,2, ...,n Gọi gi, i = 1,2, ..., n là các giá trị riêng và M là ma trận modal của A. Khi đó với phép đổi biến x = Mz  z = M -1 x Ta sẽ thu được mô hình trạng thái tương đương cho đối tượng: 1 1 1 dz M AM z M Bu dt Gz M Bu        Trong đó: G = M-1AM = 1 0 0 n g g           =diag(gi) §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch Ch•¬ng 4: Quan s¸t tr¹ng th¸i Page: 45 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Hình 4.6a: Hình 4.6b: Hình 4.6c: Hình 4.6d: B M -1  M G u z x z z B M -1  M G u x z S - G z B M -1  M G w x z T S - G M -1 Bộ điều khiển phản hồi dương B M -1  M G u x z M -1 S-G §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch Ch•¬ng 4: Quan s¸t tr¹ng th¸i Page: 46 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Với việc chuyển đổi trạng thái nhờ ma trận modal M như vậy thì mạch phản hồi chính là ma trận đường chéo chứa các điểm cực của hệ. Do đó, muốn hệ thống nhận tất cả các giá trị cho trước si , i = 1,2, …,n làm giá trị riêng ta chỉ cần nối song song với G một khối khác có S -G (Hình 4.6b) trong đó: 1 2 0 0 0 0 ( ) 0 0 i n s s S diag s s              Chứng minh: Từ sơ đồ khối của hệ ta có mô hình trạng thái: 1 1 1 1 1 1 ( ) dz G S G z M Bu S z M Bu dt d x M SM x M Bu dt MSM x Bu                  Do đó hệ sẽ có các điểm cực là giá trị riêng của MSM -1. Nhưng giá trị riêng của MSM -1 cũng là giá trị riêng của S vì MSM -1 và S là hai ma trận tương đương, nên hệ sẽ có các điểm cực là si, i = 1,2, …,n (Cũng là các giá trị riêng của S). Suy ra điều phải chứng minh. Việc còn lại là phải đưa hệ trong hình 4.6b về dạng thực hiện được, tức là về dạng mà điểm hồi tiếp phải là điểm trạng thái x và đầu ra của khâu hồi tiếp phải kết hợp được với u. Áp dụng quy tắc về đại số sơ đồ khối, trước tiên dễ dàng có ngay sơ đồ khối như hình 4.6c vì M là ma trận không suy biến. Để tiếp tục, ta chuyển điểm hồi tiếp tới trước khâu B. Vấn đề sẽ rất đơn giản nếu B là ma trận không suy biến. Khi đó ta chỉ cần chọn: T = (M -1 B) -1 = B -1 M (4.13) §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch Ch•¬ng 4: Quan s¸t tr¹ng th¸i Page: 47 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên là được và bộ điều khiển phản hồi âm R khi đó sẽ làl: R = -T(S-G)M -1 (4.14) Song nói chung do B không phải ma trận vuông (B có n hàng, r cột với n >r) nên tích M -1B cũng có n hàng, r cột và do đó không thể tính T theo (4.13). Nếu như tích M -1B có hạng là r thì ta có thể giả sử rằng r véctơ hàng đầu tiên của nó là độc lập tuyến tính. Điều giả sử này hoàn toàn không làm mất tính chất tổng quát của phương pháp vì tích M -1B phụ thuộc vào M nên lúc nào ta cũng có thể sắp xếp lại thứ tự các véctơ riêng bên phải của A trong M để có được r véctơ hàng đầu tiên trong M -1B là độc lập tuyến tính. Khi M -1B có r véctơ hàng đầu tiên là độc lập tuyến tính, tức là: M -1 B = r n r K K        (4.15) Trong đó Kr là ma trận vuông không suy biến bao gồm r véctơ hàng đầu tiên của M -1B, thì thay vì xác định T theo (4.13) ta chỉ lấy Tr ; à ma trận nghịch đảo của Kr: Tr = Kr -1 (4.16) Lúc này, do Tr chỉ còn là ma trận kiểu r x r nên công thức (4.14) cũng phải được sửa đổi lại cho phù hợp với phép nhân ma trận như sau: R = -Tr(Sr - Gr)Mr -1 (4.17) Trong đó Sr, Gr là các ma trận vuông kiểu r x r định nghĩa như sau: 1 2 0 0 0 0 0 0 r n s s S s             , 1 2 0 0 0 0 0 0 r n g g G g             (4.18) Và Mr -1 là ma trận gồm r véctơ hàng đầu tiên của M -1. §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch Ch•¬ng 4: Quan s¸t tr¹ng th¸i Page: 48 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Để biểu diễn được các công thức (4.15),(4.16) dưới dạng gọn hơn, ta sử dụng một tính chất sau của đại số ma trận. Nếu: M = (a1, ... ,an) là ma trận modal của A, trong đó ai , i = 1,2, ..., n là các véctơ riêng bên phải của A ứng với các giá trị riêng gi , i = 1, 2, ..., n của nó thì khi biến đổi M-1 về dạng: 1 1 1 1( ,..., ) T n T n b M a a b               (4.19) Các véctơ b1, ... , bn lại chính là những véctơ riêng bên trái của A ứng với gi, i = 1,2, ...,n , tức là bi T (giI-A) = 0 T với mọi i = 1,2, ..., n (4.20) Với tính chất vừa nêu trên của ma trận A thì rõ ràng có: 1 1 T r T r b M b             , 1 1 T r T r b B T b B             (4.21) Ta đi đến thuật toán xác định bộ điều khiển R dịch chuyển điểm cực cho đối tượng có hạng của B là r và A là ma trận giống đường chéo, như sau: - Xác định r theo véctơ riêng bên trái b1, ..., br của A theo công thức (4.20) - Tính Mr -1 và Tr theo công thức (4.21) - Xác định Sr , Gr từ gi , si, i = 1,2, ... , n theo (4.19) - Tính R theo công thức (4.17) Bộ điều khiển R tổng hợp theo thuật toán trên chỉ dịch chuyển được r điểm cực gi , i = 1,2, ..., r trong số n điểm cực của đối tượng (giá trị riêng của A) tới r giá trị mong muốn si , i = 1,2, ..., r. Thuật toán không làm thay đổi vị trí các điểm cực còn lại của đối tượng, tức là hệ kín thu được sẽ có các điểm cực là s1, ..., sr, gr+1, ..., gn. Chứng minh: §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch Ch•¬ng 4: Quan s¸t tr¹ng th¸i Page: 49 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Do giá trị riêng của ma trận (điểm cực của hệ) bất biến với phép biến đổi tương đương nên giá trị riêng của A -BR cũng là giá trị riêng của: 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ,..., ) r r r r T r nr r r n r r r M A BR M G M BRM G M BT S G M M b K G K S G a a K b                              Nhưng vì: T i jb a = 1 0 neu i j neu i j    nên: 1 1 ( ) ( )( , ) r r r r n r r I M A BR M G S G I K K              Trong đó Ir là ma trận đơn vị kiểu r x r, Suy ra: 1 1 1 1 1 ( ) ( , ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 r r r r r n r r n r r r r r r n I S G M A BR M G S G G K K K K S G s s g g                                                Với  là một số thực nào đó. Từ đẳng thức sau cùng ta suy ra được điều phải chứng minh. Như vậy bộ điều khiển R không chuyển được hết tất cả n điểm cực gi , i = 1,2, ..., n của đối tượng tới n giá trị mới si , i = 1,2, ..., n như mong muốn mà chỉ chuyển được r trong số chúng, nếu như B có hạng là r. Song với kết quả trên thì điều đó hoàn toàn không hạn chế khả năng ứng dụng của thuật toán vì hai lý do sau: §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch Ch•¬ng 4: Quan s¸t tr¹ng th¸i Page: 50 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1. Thông thường, ở các bài toán tổng hợp theo nguyên lý cho trước điểm cực ít khi người ta đặt vấn đề dịch chuyển tất cả n điểm cực mà chỉ những điểm cực mang tính quyết định tới sự thay đổi chất lượng của hệ thống. Nói cách khác, thuật toán sẽ được áp dụng trực tiếp cho bài toán có số các điểm cực phải dịch chuyển là r ít hơn số các điểm cực vốn có của đối tượng là n. 2. Trong trường hợp số các điểm cực phải dịch chuyển lại nhiều hơn r hoặc phải dịch chuyển toàn bộ n điểm cực của đối tượng thì dựa vào chứng minh phần trên nói rằng những điểm cực được dịch chuyển sẽ là các điểm cực được sắp xếp trong Sr cũng như trong Gr và thuật toán không làm thay đổi vị trí những điểm cực còn lại, ta có thể lần lượt thực hiện các bước sau: a. Sử dụng thuật toán đã nêu để xác định bộ điều khiển R1 nhằm dịch chuyển r điểm cực gi, i = 1,2, ... , r tới si, i = 1,2, ...,r b. Xem hệ thống gồm đối tượng và bộ điều khiển R1 đã tìm được như một đối tượng mới.Vậy thì đối tượng mới này sẽ có các điểm cực là s1, ..., sr , gr+1, ...,gn. Sắp xếp lại các điểm cực, chẳng hạn như theo thứ tự g1, ..., gn-r, sn-r+1, ..., sn rồi lại sử dụng thuật toán một lần nữa để tìm bộ điều khiển R2 thứ hai nhằm chuyển r trong số n -r điểm cực g1, ... ,gn-r tới các điểm mới s1, ..., sn-r Đối tượng điều khiển R1 R2 Đối tượng mới - - x Hình 4.7: Điều khiển cascade §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch Ch•¬ng 4: Quan s¸t tr¹ng th¸i Page: 51 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên c. Cứ như vậy, ta thực hiện bước b nhiều lần để có được các bộ điều khiển Rk lồng nhau cho tới khi đã chuyển được hết tất cả các điểm cực. Cách tổng hợp những bộ điều khiển Rk lồng nhai như vậy gọi là điều khiển cascade d. Bài toán điều khiển phản hồi trạng thái tối ưu Thiết kế bộ điều khiển LQR phản hồi dương Cho hệ có mô hình: dx Ax Bu dt   , ,n n n mA B   Thông thường, nếu hệ ổn định thì khi không bị kích thích hệ luôn có xu hướng tiến về điểm trạng thái cân bằng (equilibrium point), tức là điểm mà khi không có tác động từ bên ngoài (u = 0) hệ sẽ nằm nguyên tại đó ( 0 dx dt  ). Như vậy rõ ràng điểm trạng thái cân bằng phải là nghiệm của: Ax = 0 Và nếu có giả thiết A là ma trận không suy biến thì hệ tuyến tính dx Ax Bu dt   luôn chỉ có một điểm cân bằng là gốc toạ độ 0 Xét bài toán tìm bộ điều khiển R tĩnh, phản hồi trạng thái (Hình vẽ) để điều khiển đối tượng dx Ax Bu dt   , ,n n n mA B   dx Ax Bu dt   R - w u y x Hình 4.8: Thiết kế bằng phản hồi trạng thái §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch Ch•¬ng 4: Quan s¸t tr¹ng th¸i Page: 52 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Những phương pháp tìm R sao cho hệ có được chất lượng phản ánh bởi vị trí điểm cực đã được mô tả ở phần đầu chương. ở đây, ta sẽ làm quen với một phương pháp thiết kế khác sao cho sau khi bị nhiễu đánh bật ra khỏi điểm cân bằng (hoặc điểm làm việc) đến một điểm trạng thái x0 nào đó, bộ điều khiển R sẽ kéo được hệ từ x0 về gốc toạ độ 0 (hay điểm làm việc cũ) và trong quá trình trở lại này sự tổn hao năng lượng, đánh giá bởi phiếm hàm mục tiêu: 0 1 ( , ) ( ) min 2 T T Q x u x Ex u Fu dt     (4.22) là nhỏ nhất. Bài toán này còn có tên gọi là LQR (linear quadratic regulator) Để bài toán có nghiệm, trong (4.22) ma trận E được giả thiết là ma trận đối xứng xác định không âm và F là ma trận đối xứng xác định dương, tức là: E T = E, a T Ea > 0 với mọi véctơ a F T = F, a T Fa > 0 với mọi véctơ a và: a T Fa = 0 khi và chỉ khi a = 0 Do mục đích đặt ra của bài toán có chứa nhiệm vụ là bộ điều khiển phải đưa hệ đi được từ mọi điểm trạng thái đầu tuỳ ý x0 về gốc toạ độ 0 (hay điểm trạng thái làm việc cũ) nên nếu tồn tại một bộ điều khiển R thoả mãn nhiệm vụ đặt ra, thì chắc chắn R sẽ làm cho hệ kín ổn định (theo nghĩa Lyapunov). Nói cách khác với R tìm được, ma trận A +BR của hệ kín (phản hồi dương): ( ) dx A BR x Bw dt    sẽ có các giá trị riêng nằm bên trái trục ảo. Nhưng trước khi tìm R, có lẽ ta nên xác định xem tín hiệu tối ưu u(t) mà nó phải tạo ra cần có những tính chất gì? Giả sử u(t) là tín hiệu điều khiển được tạo bởi R đã thoả mãn điều kiện tối ưu (4.22), tức là trong số tất cả các tín hiệu ( )u t đưa hệ từ x0 về gốc toạ độ 0 thì u(t) sẽ là véctơ tín hiệu mà: 0 0 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 T T T T Q u x Ex u Fu dt Q u x Ex u Fu dt         (4.23) Bây giờ ta xét đáp ứng của đối tượng với một tín hiệu khác có sai lệch nhỏ u so với u(t), tức là ứng với ( ) ( ) ( )uu t u t t  . Gọi ( ) ( ) ( )ux t x t t  là quỹ đạo trạng thái tương ứng của đối tượng cũng đi từ x0 về gốc toạ độ 0 khi được kích thích bởi ( )u t . Vậy thì: §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch Ch•¬ng 4: Quan s¸t tr¹ng th¸i Page: 53 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên dx Ax Bu dt   và ( ) ( ) ( )x x u d x A x B u dt        Suy ra: 0x xx u x u d d A B A B dt dt           (4.24) Ngoài ra, do quỹ đạo ( ) ( ) ( )xx t x t t  cũng đi từ x0 về gốc toạ độ 0 giống như x(t) nên: (0) ( ) 0x x    (4.25) Tiếp theo ta xét ảnh hưởng của sự biến phân u(t) thành ( ) ( )uu t t đối với giá trị của phiếm hàm mục tiêu: 0 1 ( ) [( ) ( ) ( ) ( )] 2 T T u x x u uQQ Q u x E x u F u dt              (4.26) Trừ vế với vế của (4.25) và (4.23) được: 0 ( ) ( )uQ Q u Q u     0 0 1 ( ) 2 ( ) T T T T T T x x x x u u u u T T x u x E Ex E u F Fu F dt x E u F dt                      (4.27) Vì E, F là hai ma trận đối xứng và do , 0u x  nên ( ) 0 T T x x u uE F     Để kết hợp được điều kiện biên (4.24) và (4.27) ta tạo ra tích vô hướng của véctơ 0 trong (4.24) bằng cách nhân hai vế của nó với một véctơ pT bất kỳ: ( ) 0T x x u d p A B dt      (4.28) Rồi cộng với (4.27) sẽ được: 0 [ ( )] T T T x x u uQ d x E u F p A x B dt dt            (tích phân toàn phần) 0 ( ) ( ) 0 T T T T T T x u x d p p p B u F p A x E dt dt                  §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch Ch•¬ng 4: Quan s¸t tr¹ng th¸i Page: 54 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 0 ( ) ( ) T T T T T xu d p p B u F p A x E dt dt                 Nếu như trong vô số các véctơ pT thoả mãn (4.28) ta chọn: ( ) ( ) T T T T d p p A x E A p Ex dt      và sử dụng ký hiệu hàm Hamilton: H = p T (Ax+Bu) - 1 ( ) 2 T T x Ex u Fu (4.29) thì 0 uQ H dt u        (4.30) Trong đó H u   là ký hiệu chỉ ma trận Jacobi của H, tức là: 1 ( , , ) r H H H u u u        Chú ý: Ký hiệu đạo hàm được sử dụng là đạo hàm Jacobi: ( ) ( ) , T Td Lx d x LL L dx d x   Từ (4.27) và (4.30) ta rút ra được kết luận: Định lý: Nếu u(t) là tín hiệu điều khiển tối ưu thì tín hiệu đó phải thoả mãn: 0 TH u    Trong đó H là hàm Hamiton định nghĩa theo (4.29). Ngoài ra cùng với ký hiệu của hàm Haminton thì T dx H dt p         ; Td p H dt x        Và chúng được gọi là phương trình Euler – Lagrange. Chứng minh: §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch Ch•¬ng 4: Quan s¸t tr¹ng th¸i Page: 55 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Nếu H u   không đồng nhất bằng 0T thì khi chọn u = TH u        Trong đó  là số dương đủ nhỏ để uu  vẫn còn nằm trong lân cận u thì (4.30) có dạng: 2 0 0 0uQ H H dt dt u u                Và đó là điều phi lý với (4.27) Suy ra ĐFCM Định lý: Nếu u(t) là tín hiệu điều khiển tối ưu thì tín hiệu đó phải thoả mãn 1( ) ( )Tu t F B p t Chứng minh: Nội dung định lý này được suy ra trực tiếp từ định lý trên và công thức (4.29) 10 0 T T TH B p Fu u F B p u            Suy ra ĐFCM Định lý trên chỉ ra rằng giữa tín hiệu u(t) tối ưu và biến đồng trạng thái p(t) có quan hệ tĩnh. Do khi w(t) = 0 thì giữa u(t) và véctơ trạng thái x(t) cũng có một quan hệ tĩnh u(t) = Rx(t) nên giữa p(t) và x(t) cũng phải có quan hệ tĩnh tương ứng. Nếu gọi quan hệ đó là: dx Ax Bu dt   R - w u y x Hình 4.9: Thiết kế bằng phản hồi trạng thái §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch Ch•¬ng 4: Quan s¸t tr¹ng th¸i Page: 56 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên p(t) = Kx(t) Ta sẽ được: ( ) ( )T T dx dp K A p Ex E A K x dt dt       ( ) ( )TK Ax Bu E A K x    (thay d x Ax Bu dt   ) 1( ) ( )T TK Ax BF B p E A K x    (thay u = 1 TF B p ) 1( ) ( )T TKA BF B pK x E A K x    (thay p = Kx) 1 T TKA BF B pK E A K    1 T TKBF B K KA A K E    (4.31) Phương trình (4.31) cuối cùng là công thức cho phép xác định quan hệ K (tĩnh) phải có giữa p(t) và x(t). Nó có tên gọi là phương trình Riccati. Với K được xác định theo (4.31), bộ điều khiển R cần tìm sẽ là: u(t) = F -1 B T p(t) = F -1 B T Kx(t) 1 TR F B K  (4.32) Bộ điều khiển R theo (4.32) được xây dựng để đưa hệ kín từ một điểm trạng thái x0 tuỳ ý về gốc toạ độ 0 . Như vậy sẽ có câu hỏi đặt ra là nó có thực sự đưa hệ về lại điểm làm việc cũ (bao gồm cả điểm 0) hay không sau khi bị nhiễu tức thời tác động, trong đó điểm làm việc cũ là điểm được tạo bởi tín hiệu lệnh w(t) ở chế độ xác lập. Ta sẽ thấy rằng để hệ đến được trạng thái mong muốn thì ít nhất tín hiệu điều khiển đối tượng u(t) phải làm theo sai lệch giữa trạng thái mong muốn (được tạo bởi tín hiệu lệnh) và trạng thái thực có x(t) của đối tượng. Nói cách khác ta phải có R ngược dấu với B trong (4.32) hay K phải là ma trận xác định âm. Ngoài ra, do có giả thiết E, F đối xứng nên nghiệm K của (4.32) cũng là ma trận đối xứng. Tổng kết lại các kết quả trên, ta đến được thuật toán tìm bộ điều khiển R, tối ưu theo nghĩa 0 1 ( , ) ( ) min 2 T T Q x u x Ex u Fu dt     , phản hồi dương trạng thái gồm hai bước như sau: 1. Xác định ma trận K đối xứng, xác định âm là nghiệm của phương trình Riccati (4.31). Ma trận K xác định âm khi và chỉ khi ma trận –K xác định dương. Công cụ để kiểm tra tính xác định dương của một ma trận là định lý Sylvester (Trang 276: Lý thuyết điều khiển tuyến tính – Nguyễn Doãn Phước) §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch Ch•¬ng 4: Quan s¸t tr¹ng th¸i Page: 57 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 2. Xác định R từ K theo công thức: 1 TR F B K Quay lại bài toán thiết kế bộ quan sát Luenberger, ta thấy rằng, Bài toán xác đinh bộ quan sát trạng thái Luenberger chính là bài toán thiết kế bộ điều khiển cho trước điểm cực ứng với hệ đối ngẫu của đối tượng đã cho. Điều kiện để áp dụng được phương pháp thiết kế cho trước điểm cực là đối tượng phải điều khiển được thì nay, thông qua hệ đối ngẫu được chuyển thành điều kiện đối tượng phải quan sát được thì mới tồn tại bộ quan sát. Ta đi đến thuật toán tìm L của bộ quan sát trạng thái Luenberger cho đối tượngT dx Ax Bu dt y C x Du        quan sát được gồm 2 bước như sau: 1. Chọn trước n giá trị s 1 ,...s n có phần thực âm ứng với thời gian T mong muốn để quan sát tín hiệu vào ra. C ác giá trị s 1 ,...s n được chọn nằm càng xa trục ảo về phía trái (có phần thực càng nhỏ càng tốt ) so với giá trị riêng của A thì thời gian T sẽ càng ngắn và do đó sai lệch e (t ) càng nhanh tiến về 0. 2. S ử dụng các phương pháp đã biết như R oppenecker , M odal... để tìm bộ điều khiển L T phản hồi trạng thái gán điểm cực s 1 ,...s n cho đối tượng : dx /dt =A T x + C T u Một điều cần chú ý là bộ quan sát trạng thái thường được sử dụng kèm với bộ điều khiển phản hồi trạng thái: dx Ax Bu dt y C x Du        ( ) dx Ax Bu L y Cx Du dt      R w - u y y x Hình 4.10: Sử dụng kết hợp bộ quan sát trạng thái và bộ điều khiển phản hồi trạng thái §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch Ch•¬ng 4: Quan s¸t tr¹ng th¸i Page: 58 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Nói cách khác, trạng thái xấp xỉ x (t) tìm được sẽ là tín hiệu đầu vào của bộ điều khiển. Bởi vậy thời gian xác định trạng thái xấp xỉ x (t) của đối tượng không thể chậm hơn thời gian thay đổi trạng thái ( )x t của bản thân đối tượng. Từ đây suy ra điều kiện tiên quyết để chọn những giá trị s1, ... ,sn là chúng không những phải nằm bê trái các điểm cực của đối tượng mà còn phải nằm bên trái các điểm cực của hệ kín (giá trị riêng A -BR) 4.2. Các bộ quan sát trạng thái tuyến tính khác 4.2.1.Bộ quan sát Kalman Với bộ quan sát trạng thái Luenberger, phải sau khoảng thời gian T nhất định, ta mới phát hiện được sự thay đổi trạng thái x(t) trong đối tượng. Điều này đã hạn chế khả năng ứng dụng của nó, tức là nó chỉ sử dụng được khi nhiễu tác động vào hệ thống là nhiễu tức thời và khoảng thời gian giữa hai lần nhiễu tác động không được nhỏ hơn T. Đã có lúc người ta tìm cách nâng cao khả năng ứng dụng cho bộ quan sát Lueberger bằng cách giảm thời gian quan sát T thông qua việc chọn các giá trị riêng s1, ..., sn càng xa trục ảo về phía trái. Song điều này lại gặp sự giới hạn bởi khả năng tích hợp bộ quan sát, vì không bao giờ ta có thể tích hợp được một thiết bị kỹ thuật có hằng số thời gian nhỏ tuỳ ý (hằng số thời gian càng nhỏ, giá trị riêng nằm càng xa trục ảo về phía trái). Những thiết bị có hằng số thời gian rất nhỏ đến nỗi có thể bỏ qua được (quán tính gần bằng 0) là không tồn tại trong thực tế. Để loại bỏ nhược điểm trên của bộ quan sát Luenberger một cách triệt để, Kalman đã đề nghị phải xét luôn sự tham gia của các tín hiệu nhiễu nx(t) và ( )yn t của đối tượng trong quá trình xác định ma trận L của bộ quan sát. Nói cách khác mô hình mô tả đối tượng phải thể hiện được sự tham gia của tín hiệu nhiễu. §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch Ch•¬ng 4: Quan s¸t tr¹ng th¸i Page: 59 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Xét đối tượng bị nhiễu nx(t) và ( )yn t tác động mô tả bởi: x y dx Ax Bu n dt y C x Du n          (4.33) Hai tín hiệu ngẫu nhiên nx(t) và ( )yn t được giả thiết là: - Chúng là tín hiệu ngẫu nhiên egodic - Chúng có kỳ vọng (giá trị trung bình) bằng 0, tức là 0 x yn n m m  - Hàm hỗ tương quan của chúng có dạng xung Dirac: ( ) ( ) x T x xn xr M n n N      ( ) ( ) y T y yn yr M n n N      Trong đó M [.] là ký hiệu cho phép lấy giá trị trung bình (kỳ vọng). Nx và yN là hai ma trận hằng. - Chúng không tương quan với nhau, ( )yn t không tương quan với trạng thái x(t) và nx(t) không tương quan với trạng thái ( )x  ở thời điểm trước đó ( t  ) , tức là: dx Ax Bu dt y C x Du        u y y x Hình 4.11: Bộ quan sát trạng thái của Kalman ( ) dx Ax Bu L y Cx Du dt      nx ny §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch Ch•¬ng 4: Quan s¸t tr¹ng th¸i Page: 60 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên [ ( )] T T T x y y xM n n M n x M n x         Bộ quan sát trạng thái của Kalman cũng có mô hình giống như bộ quan sát của Luenberger tức là: ( ) dx Ax Bu L y y Du dt y Cx          (4.34) Nhưng khác với Luenberger, Kalman đã tìm L sao cho: 2 1 [ ] [ ] min! n T i i Q M e e M e     (2.35) Trong đó: e(t) = x(t)- ( )x t . Từ (2.34) và (2.35) ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) x y yx de d x x A x x n LC x x Ln dt dt A LC e n Ln             Suy ra: ( ) ( )( ) 0 0 ( ) [ ( ) ( )] t A LC t A LC t x ye t e e e n Ln d         (2.36) Thay (2.25) vào (2.24) có để ý đến các giả thiết về nx(t) và ( )yn t , sau đó tìm L để Q có giá trị nhỏ nhất bằng cách xác định nghiệm của Q L     với Q L   là ký hiệu chỉ ma trận Jacobi của Q, ta sẽ nhận được: L T = 1 yN CP  (2.37) Trong đó P là nghiệm của phương trình Riccati: 1T T y xPC N CP PA AP N     (2.38) Điều thú vị ở đây là các công thức (2.37), (2.38) để xác định bộ quan sát trạng thái Kalman hoàn toàn giống như ở bài toán thiết kế bộ điều khiển tối ưu phản hồi trạng thái (LQR) (Đã trình bày ở phần trước), trong đó vai trò của đối tượng dx Ax Bu dt   nay được thay bằng hệ đối ngẫu với nó nhưng không có nhiễu: T Tdx A x C u dt   (2.39) §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch Ch•¬ng 4: Quan s¸t tr¹ng th¸i Page: 61 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên và hàm mục tiêu 0 1 ( , ) ( ) min 2 T T Q x u x Ex u Fu dt     thì được thay bởi: 0 1 ( ) 2 T T K x yQ x N x u N u dt    (2.40) Từ đây ta đến được thuật toán tìm L cho bộ quan sát trạng thái Kalman theo mô hình ( ) dx Ax Bu L y y Du dt y Cx          gồm các bước như sau: 1. Xác định hai ma trận Nx và yN là ma trận hàm hỗ tương quan của nx(t), ( )yn t 2. Thiết kế bộ điều khiển tối ưu phản hồi trạng thái LT phản hồi âm (Bộ điều khiển LQR) cho đối tượng đối ngẫu T Tdx A x C u dt   và phiếm hàm mục tiêu 0 1 ( ) 2 T T K x yQ x N x u N u dt    3. Thay L tìm được vào ( ) dx Ax Bu L y y Du dt y Cx          để có bộ quan sát. 4.2.2.Bộ điều khiển tối ưu phản hồi đầu ra LQG Bây giờ ta chuyển sang bài toán tổng quát hơn là thiết kế bộ điều khiển tối ưu phản hồi tín hiệu ra cho đối tượng có nhiễu tín hiệu vào ra mô tả bởi x y d x Ax Bu n dt y C x Du n          sao cho với nó có được: 0 1 ( ) min 2 T T RQ x Ex u Fu dt     (2.41) Bộ điều khiển phản hồi đầu ra LQG (linear quadratic Gaussian), mô tả ở hình vẽ sau là bộ điều khiển bao gồm một bộ điều khiển phản hồi trạng thái tối ưu §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch Ch•¬ng 4: Quan s¸t tr¹ng th¸i Page: 62 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên LQRR được thiết kế theo thuật toán đã trình bày ở phần trên, tức là cho đối tượng không có sự tác động của nhiễu (bài toán LQR) d x Ax Bu dt y C x Du        (2.42) và phiếm hàm mục tiêu (2.41), còn sự ảnh hưởng của nhiễu nx(t), ( )yn t sẽ được giám sát (được lọc) bởi bộ quan sát trạng thái Kalman ( ) dx Ax Bu L y y Du dt y Cx          Trong đó L được xác định theo LT = 1 yN CP  và P là nghiệm của phương trình Riccati 1T T y xPC N CP PA AP N     Như vậy để thiết kế bộ điều khiển LQG ta phải sử dụng hai lần thuật toán thiết kế bộ điều khiển LQR: dx Ax Bu dt y C x Du        u y y x Hình 4.12: Hệ thống điều khiển LQG(linear quadratic Gaussian) ( ) dx Ax Bu L y Cx Du dt      nx ny 1 T LQRR F B L  w §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch Ch•¬ng 4: Quan s¸t tr¹ng th¸i Page: 63 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên - Lần thứ nhất là để xây dựng bộ điều khiển phản hồi trạng thái tối ưu LQRR cho đối tượng ( ) dx Ax Bu L y y Du dt y Cx          thoả mãn 0 1 ( ) min 2 T T RQ x Ex u Fu dt     - Lần thứ hai là để xác định ma trận L của bộ quan sát Kalman theo công thức L T = 1 yN CP  với P là nghiệm của phương trình Riccati 1T T y xPC N CP PA AP N     , hay L T chính là bộ điều khiển phản hồi trạng thái tối ưu LQR cho đối tượng đối ngẫu T Tdx A x C u dt   và phiếm hàm mục tiêu 0 1 ( ) 2 T T K x yQ x N x u N u dt    4.3. Kết luận về chất lượng hệ kín: NGUYÊN LÝ TÁCH Bây giờ ta sẽ khảo sát sự ảnh hưởng của bộ quan sát trạng thái đối với chất lượng hệ kín phản hồi đầu ra thông qua vị trí các điểm cực của chúng. Trước tiên ta xét hệ kín phản hồi đầu ra mô tả: Đối tượng điều khiển Bộ quan sát trạng thái xR w - u y y x Hình 4.13: Hệ kín phản hồi trạng thái sử dụng bộ quan sát trạng thái §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch Ch•¬ng 4: Quan s¸t tr¹ng th¸i Page: 64 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Bao gồm bộ điều khiển phản hồi trạng thái và bộ quan sát trạng thái Luenberger ở mạch hồi tiếp. Do điểm cực của hệ thống không thay đổi theo véctơ tín hiệu đầu vào w(t) nên để đơn giản ta sẽ khảo sát hệ thống khi không bị kích thích, tức là khi w(t) = 0 . Với w(t) = 0 thì: , , ( ) ( ) u Rx y C x y C x d x Ax Bu Ax BRx dt d x Ax Bu L y y LC x A LC BR x dt                      Bởi vậy khi ghép chung các phương trình đó lại với nhau sẽ được x A BR xd x LC A LC BR xdt                 và điểm cực của hệ sẽ là nghiệm của: det 0 sI A BR LC sI A LC BR          (2.43) Do định thức của ma trận không thay đổi nếu ta thêm hoặc bớt nội dung của một hàng hay một cột giá trị gồm tổ hợp tuyến tính của những hàng hay cột khác, nên phương trình (2.43) sẽ tương đương với: det 0 det 0 det( )det( ) 0 sI A BR BR sI A BR sI A LC BR sI A BR BR sI A LC sI A BR sI A LC                            Hoàn toàn tương tự ta cũng có cho hệ LQG sử dụng bộ quan sát Kalman vì khi so sánh với bộ quan sát Luenberger, thì hai bộ quan sát này chỉ khác nhau ở phương thức xác định ma trận L: - Luenberger xác định theo nguyên tắc cho trước điểm cực. - Kalman xác định theo cực tiểu phiếm hàm mục tiêu. §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch Ch•¬ng 4: Quan s¸t tr¹ng th¸i Page: 65 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Từ đây ta rút ra được khẳng định: Định lý: Bộ quan sát trạng thái của Luenberger và của Kalman không làm thay đổi vị trí các điểm cực cũ det (sI-A+BR) = 0 của hệ thống. Nó chỉ đưa thêm vào hệ thống các điểm cực mới là nghiệm của det (sI-A+LC) = 0. Điều này cho thấy ở hệt tuyến tính, việc thiết kế bộ điều khiển phản hồi tín hiệu ra là tách được thành hai bài toán riêng biệt gồm bài toán thiết kế bộ điều khiển ph¶n håi tr¹ng th¸i vµ bµi to¸n thiÕt kÕ bé quan s¸t tr¹ng th¸i (Nguyªn lý t¸ch) §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch Ch•¬ng 5: Nghiªn cøu kh¶ n¨ng ghÐp chung bé ®iÒu khiÓn ph¶n håi tr¹ng th¸i t¸ch kªnh víi bé quan s¸t tr¹ng th¸i Page: 65 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Chương 5 NGHIÊN CỨU KHẢ NĂNG GHÉP CHUNG BỘ ĐIỀU KHIỂN PHẢN HỒI TRẠNG THÁI TÁCH KÊNH VỚI BỘ QUAN SÁT TRẠNG THÁI 5.1. Mô phỏng hệ MIMO tuyến tính 2 đầu vào 2 đầu ra 5.1.1 Đối tượng thứ nhất Xét đối tượng MIMO1: 1 1 0 1 0 1 2 1 0 0 0 1 3 0 1 0 1 0 0 0 1 d x x u dt y x                                   Sử dụng phần mềm Matlab Simulink để mô phỏng hệ. Sơ đồ mô phỏng như sau: Hình 5.1: Sơ đồ simulink mô phỏng đối tượng MIMO 1 §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch Ch•¬ng 5: Nghiªn cøu kh¶ n¨ng ghÐp chung bé ®iÒu khiÓn ph¶n håi tr¹ng th¸i t¸ch kªnh víi bé quan s¸t tr¹ng th¸i Page: 66 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Với A, B, C là các khối Matrix Gain. Ma trận A = 1 1 0 1 2 1 0 1 3          ; Ma trận B = 1 0 0 0 0 1           ; Ma trận C = 0 1 0 0 0 1       Sử dụng 2 khối tín hiệu đầu vào dạng Step. 1 khối Mux, 1 khối DeMux, 1 khối Scope và 1 khối cộng tín hiệu trong sơ đồ. Giả sử đầu tiên ta cho 2 tín hiệu đầu vào lần lượt là: tín hiệu step 1 : biên độ = 2 ở thời gian 1s tín hiệu step 2 : biên độ = 1 ở thời gian 10s Chạy mô phỏng, ta có đáp ứng của hệ như sau: Hình 5.2: Đáp ứng của hệ khi cho tín hiệu đầu vào tín hiệu step 1 : biên độ = 2 ở thời gian 1s tín hiệu step 2 : biên độ = 1 ở thời gian 10 s §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch Ch•¬ng 5: Nghiªn cøu kh¶ n¨ng ghÐp chung bé ®iÒu khiÓn ph¶n håi tr¹ng th¸i t¸ch kªnh víi bé quan s¸t tr¹ng th¸i Page: 67 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Giả sử ta thay đổi tín hiệu đầu vào 1 và giữ nguyên tín hiệu đầu vào 2. tín hiệu step 1 : biên độ = 3 ở thời gian 1s tín hiệu step 2 : biên độ = 1 ở thời gian 10s Chạy mô phỏng, ta có đáp ứng của hệ như sau: Nhận xét: Khi thay đổi tín hiệu vào 1 thì cả 2 tín hiệu đầu ra đều thay đổi. Hình 5.3: Đáp ứng của hệ khi cho tín hiệu đầu vào tín hiệu step 1 : biên độ = 3 ở thời gian 1s tín hiệu step 2 : biên độ = 1 ở thời gian 10 s §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch Ch•¬ng 5: Nghiªn cøu kh¶ n¨ng ghÐp chung bé ®iÒu khiÓn ph¶n håi tr¹ng th¸i t¸ch kªnh víi bé quan s¸t tr¹ng th¸i Page: 68 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Giả sử ta thay đổi tín hiệu đầu vào 2 và giữ nguyên tín hiệu đầu vào 1. tín hiệu step 1 : biên độ = 2 ở thời gian 1s tín hiệu step 2 : biên độ = 5 ở thời gian 8s Chạy mô phỏng, ta có đáp ứng của hệ như sau: Hình 5.4: Đáp ứng của hệ khi cho tín hiệu đầu vào tín hiệu step 1 : biên độ = 2 ở thời gian 1s tín hiệu step 2 : biên độ = 5 ở thời gian 8 s §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch Ch•¬ng 5: Nghiªn cøu kh¶ n¨ng ghÐp chung bé ®iÒu khiÓn ph¶n håi tr¹ng th¸i t¸ch kªnh víi bé quan s¸t tr¹ng th¸i Page: 69 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Nhận xét: Khi thay đổi tín hiệu vào 2 thì cả 2 tín hiệu đầu ra đều thay đổi. Tương tự, ta có thể thay đổi 1 trong hai tín hiệu đầu vào đến những giá trị biên độ và thời gian khác nhau nhưng đều nhận thấy kết quả là đáp ứng của hệ thay đổi cả ở 2 đầu ra. Vậy có thể kết luận rằng, ở hệ MIMO tuyến tính các đầu vào có sự ảnh hưởng đến tất cả các đáp ứng đầu ra. Mỗi sự thay đổi của tín hiệu đầu vào đều làm thay đổi tín hiệu đầu ra. §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch Ch•¬ng 5: Nghiªn cøu kh¶ n¨ng ghÐp chung bé ®iÒu khiÓn ph¶n håi tr¹ng th¸i t¸ch kªnh víi bé quan s¸t tr¹ng th¸i Page: 70 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 5.1.2. Đối tượng thứ hai Xét đối tượng MIMO2: 0 0 2 0 1 1 0 4 1 2 0 1 3 1 1 1 0 1 0 1 1 d x x u dt y x                                    Sử dụng phần mềm Matlab Simulink để mô phỏng hệ. Sơ đồ mô phỏng như sau: Hình 5.5: Sơ đồ simulink mô phỏng đối tượng MIMO 2 §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch Ch•¬ng 5: Nghiªn cøu kh¶ n¨ng ghÐp chung bé ®iÒu khiÓn ph¶n håi tr¹ng th¸i t¸ch kªnh víi bé quan s¸t tr¹ng th¸i Page: 71 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Với A, B, C là các khối Matrix Gain. Ma trận A = 0 0 2 1 0 4 0 1 3          Ma trận B = 0 1 1 2 1 1          Ma trận C = 1 0 1 0 1 1       Sử dụng 2 khối tín hiệu đầu vào dạng Step. 1 khối Mux, 1 khối DeMux, 1 khối Scope và 1 khối cộng tín hiệu trong sơ đồ. Giả sử đầu tiên ta cho 2 tín hiệu đầu vào lần lượt là: tín hiệu step 1 : biên độ = 2 ở thời gian 1s tín hiệu step 2 : biên độ = 1 ở thòi gian 10s Chạy mô phỏng, ta có đáp ứng của hệ như sau: §iÒu khiÓn t¸ch kªnh hÖ tuyÕn tÝnh b»ng ph¶n håi ®Çu ra theo nguyªn lý t¸ch Ch•¬ng 5: Nghiªn cøu kh¶ n¨ng ghÐp chung bé ®iÒu khiÓn ph¶n håi tr¹ng th¸i t¸ch kªnh víi bé quan s¸t tr¹ng th¸i Page: 72 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Giả sử ta thay đổi tín hiệu đầu vào 1 và giữ nguyên tín hiệu đầu vào 2. tín hiệu step 1 : biên độ = 3 ở thời gian 1s tín hiệu step 2 : biên độ = 1 ở thời gian 10s Chạy mô phỏng, ta có đáp ứng của hệ như sau: Hình 5.6: Đáp ứng của hệ MIMO 2 khi cho tín hiệu đầu vào tín hiệu step 1 : biên độ = 2 ở thời gian 1s