Tài liệu Luận văn Điện động lực học lượng tử: z
Luận văn tốt nghiệp
Đề tài " Điện động lực học lượng tử "
Điện động lực học lượng tử 1
Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .................................................................................................................................... 2
1. Phƣơng trình Dirac ..................................................................................................................3
2. Các nghiệm của phƣơng trình Dirac .....................................................................................6
3. Hiệp biến song tuyến tính.................................................................................................... 12
4. Photon .................................................................................................................................... 15
5. Các qui tắc Feynman cho Điện động lực học lƣợng tử ................................................... 18
6. Ví dụ .........................................
46 trang |
Chia sẻ: haohao | Lượt xem: 1466 | Lượt tải: 0
Bạn đang xem trước 20 trang mẫu tài liệu Luận văn Điện động lực học lượng tử, để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
z
Luận văn tốt nghiệp
Đề tài " Điện động lực học lượng tử "
Điện động lực học lượng tử 1
Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .................................................................................................................................... 2
1. Phƣơng trình Dirac ..................................................................................................................3
2. Các nghiệm của phƣơng trình Dirac .....................................................................................6
3. Hiệp biến song tuyến tính.................................................................................................... 12
4. Photon .................................................................................................................................... 15
5. Các qui tắc Feynman cho Điện động lực học lƣợng tử ................................................... 18
6. Ví dụ ....................................................................................................................................... 22
7. Thủ thuật Casimir và Định lý vết ....................................................................................... 27
8. Tiết diện va chạm và thời gian sống .................................................................................. 31
9. Sự tái chuẩn hóa.................................................................................................................... 38
KẾT LUẬN .............................................................................................................................. 44
TÀI LIỆU THAM KHẢO..................................................................................................... 45
Điện động lực học lượng tử 2
Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010
MỞ ĐẦU
Trong quang học cổ điển, ánh sáng đƣợc truyền đi theo mọi phƣơng và sự giao thoa
của chúng tuân theo nguyên lý Fermat. Tƣơng tự, trong Điện động lực học lƣợng tử
(QED- quantum electrodynamics), ánh sáng (hay bất kì một hạt nào nhƣ một electron
hoặc một proton) có thể truyền đi theo phƣơng bất kì bởi các gƣơng hoặc thấu kính.
Ngƣời quan sát (ở một vị trí đặc biệt) nhận thấy một cách đơn giản kết quả toán học của
mọi hàm sóng tăng cƣờng, nhƣ là một tổng các tích phân đƣờng. Giải thích theo cách
khác, các quĩ đạo đƣợc quan niệm là phi vật chất, các cấu trúc toán học là tƣơng đƣơng
với chúng, trong giới hạn có thể. Tƣơng tự nhƣ quĩ đạo của cơ học lƣợng tử phi tƣơng đối
tính, các cấu trúc khác nhau đóng góp vào sự phát triển của Trƣờng lƣợng tử mô tả rõ sự
tất yếu hoàn thiện các phƣơng trình chuyển động cổ điển. Do đó theo hình thức luận
QED, ánh sáng có thể truyền nhanh hơn hoặc chậm hơn c, nhƣng sẽ truyền với vận tốc
trung bình c.
Trong QED, lý thuyết nhiễu loạn lƣợng tử miêu tả các hạt tích điện tƣơng tác thông
qua trao đổi các quang tử. Biên độ của các tƣơng tác này có thể tính đƣợc bằng lý thuyết
nhiễu loạn; các công thức hoàn chỉnh có một cách biểu diễn hình tƣợng đáng lƣu ý nhƣ là
các biểu đồ Feynman. QED là lý thuyết mà các biểu đồ Feynman đƣợc áp dụng đầu tiên.
Các biểu đồ này đƣợc phát minh ra trên cơ sở của Lagrangian trong cơ học. Dùng biểu đồ
Feynman, có thể biểu diễn mọi quĩ đạo khả dĩ từ điểm đầu cho đến điểm cuối. Mỗi quĩ
đạo đƣợc gắn với một biên độ xác suất, và biên độ thực mà ta quan sát là tổng của các
biên độ trên các quĩ đạo khả dĩ. Các quĩ đạo với pha không đổi đóng góp nhiều nhất (do
sự giao thoa với các sóng ngƣợc pha) — kết quả này cũng giống nhƣ sự giao thoa sóng
của hai nguồn phát sóng đứng yên trong cơ học.
Mô hình cũ của điện động lực học lƣợng tử chỉ bao gồm trao đổi quang tử riêng lẻ,
nhƣng Sin-Itiro Tomonaga, Julian Schwinger và Richard Feynman nhận ra rằng tình
huống lại phức tạp hơn rất nhiều vì tán xạ điện tử-điện tử có thể bao gồm trao đổi một vài
quang tử. Một điện tích điểm trần trụi không tồn tại trong bức tranh của họ. Điện tích
luôn tạo ra một đám các cặp hạt-phản hạt ảo ở xung quanh nó, do đó, mô men từ hiệu
dụng của nó thay đổi và thế năng Coulomb cũng bị biến đổi tại các khoảng cách ngắn.
Các tính toán từ mô hình này đã tái tạo lại các dữ liệu thực nghiệm của Kusch và Lamb
với một độ chính xác ngạc nhiên và mô hình điện động lực học lƣợng tử mới đƣợc coi là
một lý thuyết chính xác nhất đã từng có. Tomonaga, Schwinger và Feynman cùng nhận
giải Nobel vật lý năm 1965. Phát triển này của điện động lực học lƣợng tử lại có một tầm
quan trọng vĩ đại nhất cho cả việc miêu tả các hiện tƣợng vật lý năng lƣợng cao.
Điện động lực học lượng tử 3
Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010
1. Phương trình Dirac
Mẫu ―ABC‖ tuy là một lý thuyết trƣờng lƣợng tử hoàn toàn phù hợp nhƣng nó
không mô tả đƣợc thế giới thực vì các hạt A,B,C có spin bằng 0 , trong khi đó các quark
và lepton mang spin 1/2, và các trung tử mang spin bằng 1. Việc tính đến spin có thể là
khá phức tạp về mặt số học; đó là lý do tại sao ta đƣa ra phép tính Feynman trong ngữ
cảnh của một lý thuyết ―đồ chơi‖ hoàn toàn không có những rắc rối trên. Trong cơ học
lƣợng tử phi tương đối tính các hạt đƣợc mô tả bởi phƣơng trình Schrödinger, còn trong
cơ học lƣợng tử tương đối tính các hạt có spin bằng 0 đƣợc mô tả bằng phƣơng trình
Klein – Gordon, các hạt có spin 1/2 bởi phƣơng trình Dirac và các hạt có spin 1 bởi
phƣơng trình Proca. Tuy nhiên một khi các qui tắc Feynman đã đƣợc thiết lập thì phƣơng
trình trƣờng cơ bản mất dần hiệu lực về căn bản. Nhƣng với các hạt có spin 1/2, kí hiệu
của qui tắc Feynman đã giả định về sự tƣơng tự với phƣơng trình Dirac. Thế nên trong ba
phần tiếp theo, ta sẽ nghiên cứu lý thuyết Dirac trong theo đúng nghĩa của nó.
Ta đã thiết lập đƣợc phƣơng trình Schrödinger bằng việc bắt đầu với hệ thức năng
xung lƣợng cổ điển
áp dụng cách mô tả lƣợng tử :
và để toán tử thu đƣợc tác dụng lên hàm sóng cho kết quả :
(Phƣơng trình Schrödinger)
Phƣơng trình Klein – Gordon có thể thu đƣợc bằng chính phƣơng pháp này, bắt
đầu với mối liên hệ năng – xung lƣợng tương đối tính
Hoặc
(từ nay ta sẽ bỏ qua thế năng, và ta chỉ xử lý các hạt tự do ). Đáng ngạc nhiên là cách mô
tả lƣợng tử (7.2) không đòi hỏi sự biến đổi tƣơng đối tính; theo kí hiệu vectơ bốn chiều :
Điện động lực học lượng tử 4
Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010
Với
Tức là :
Thay (1.5) vào (1.4) và để đạo hàm tác động lên hàm sóng , ta thu đƣợc :
Hay :
(Phƣơng trình Klein – Gordon )
Schrödinger rõ ràng đã khám phá ra phƣơng trình này trƣớc cả phƣơng trình phi
tƣơng đối tính mang tên ông; nó thậm chí còn bị phủ nhận về căn bản vì bị cho là không
tƣơng thích với ý nghĩa thống kê của hàm sóng [tức (2) là xác suất tìm thấy hạt ở
điểm (x,y,z)]. Nguồn gốc của sự khó khăn này là do phƣơng trình Klein – Gordon là
phƣơng trình bậc hai theo thời gian t (phƣơng trình Schrödinger là phƣơng trình bậc nhất
theo t). Vì thế Dirac bắt đầu tìm kiếm một phƣơng trình phù hợp với công thức năng –
xung lƣợng tƣơng đối tính bậc nhất theo thời gian. Nhƣng năm 1934 Pauli và Weisskopf
đã chỉ ra rằng ý nghĩa thống kê tự nó đã có vấn đề trong lý thuyết lƣợng tử tƣơng đối tính,
và hoàn trả phƣơng trình Klein – Gordon trở lại đúng vị trí tuyệt vời của nó, trong khi
vẫn duy trì phƣơng trình Dirac cho các hạt có spin 1/2.
Chiến lƣợc cơ bản của Dirac là ―đặt thừa số‖ cho hệ thức năng – xung lƣợng
(1.4). Việc này sẽ trở nên dễ dàng nếu ta chỉ có p0 (tức nếu p = 0) :
Ta đƣợc hai phƣơng trình bậc nhất :
hoặc
Phƣơng trình nào trong số hai phƣơng trình này đều đảm bảo rằng p
p - m
2
c
2
=0.
Nhƣng sẽ là một vấn đề khác khi ba thành phần còn lại của p đƣợc tính đến, trong
trƣờng hợp đó ta sẽ đi tìm biểu thức dƣới dạng :
Điện động lực học lượng tử 5
Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010
với
k
và
là tám hệ số cần đƣợc xác định. Khai triển vế phải của (7.12), ta đƣợc :
Để không có số hạng nào phụ thuộc tuyến tính vào pk, ta chọn
k
=
, sau cùng ta
cần tìm hệ số
k
sao cho :
tức là
Ta thấy rằng có thể chọn
0
= 1,
1
=
2
=
3
= 1, nhƣng dƣờng nhƣ không có cách
nào tránh khỏi ―các số hạng chéo‖. Ở điểm này, Dirac đã có một ý tƣởng sáng giá: nếu
là các ma trận thay vì các con số thì sẽ nhƣ thế nào ? Khi các ma trận là không giao hoán,
ta có thể tìm thấy một tập hợp sao cho :
với
Hay ngắn gọn hơn là:
với g
là ma trận Minkowski, và dấu móc nhọn thể hiện một phản giao hoán tử.
Ta có thể tự giải quyết vấn đề này một cách bình thƣờng. Điều này có thể thực hiện đƣợc,
mặc dù ma trận nhỏ nhất là 4 4. Có một số tập hợp tƣơng đƣơng các ―ma trận gamma‖;
ta sẽ sử dụng qui ƣớc chuẩn ― Bjorken và Drell ‖ :
Trong đó
i
(i = 1,2,3) là các ma trận Pauli đã chỉ ra, 1 biểu thị cho ma trận đơn vị cấp 2
2, 0 biểu thị cho ma trận cấp 2 2 của các số 0.
Điện động lực học lượng tử 6
Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010
Nhƣ một phƣơng trình ma trận cấp 4 4, hệ thức năng – xung lƣợng tƣơng đối
tính cho ra thừa số :
Bây giờ ta thu đƣợc phƣơng trình Dirac khi tách ra một số hạng (vấn đề không phải là số
nào, mà đây là một cách chọn theo qui ƣớc):
Thực hiện sự thay thế thông thƣờng p
i
(phƣơng trình 7.5), và cho kết
quả tác dụng lên hàm sóng :
( Phƣơng trình Dirac)
Lƣu ý rằng là một ma trận cấp 4 4 :
Ta gọi đó là ― lƣỡng Spinor‖ hay ― Spin Dirac ‖ (Mặc dù nó gồm 4 thành phần nhƣng đó
không phải là vectơ 4 chiều. Trong phần 3 ta sẽ chỉ ra nó thay đổi nhƣ thế nào khi ta thay
đổi hệ quán tính; nó sẽ không phải là một phép biến đổi Lorenzt thông thƣờng).
2. Các nghiệm của phương trình Dirac
Bây giờ ta sẽ đi tìm các nghiệm đơn giản của phƣơng trình Dirac. Trƣớc hết giả sử
rằng độc lập đối với vị trí :
Cùng với (7.5), phƣơng trình này mô tả một trạng thái có xung lƣợng lƣợng bằng
không( p = 0 ). Phƣơng trình Dirac giản ƣớc thành :
Hoặc :
Điện động lực học lượng tử 7
Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010
Trong đó
mang hai thành phần phía trên, và
mang hai thành phần phía dƣới. Do đó
Và các nghiệm là :
Ta xem thừa số
nhƣ là sự phụ thuộc thời gian đặc trƣng của một trạng thái lƣợng tử với năng lƣợng E.
Đối với một hạt đứng thì E = mc
2
, do đó A trong trƣờng hợp p = 0 chính xác là cái mà
ta mong đợi. Nhƣng với B thì sao ? Dƣờng nhƣ nó mô tả một trạng thái với năng lƣợng
âm (E = -mc
2
). Đây là một thất bại lớn và là điều đầu tiên mà Dirac cố tránh bằng cách
giả thiết về một ―biển vô hạn‖ không nhìn thấy đƣợc của các hạt có năng lƣợng âm, nó
lấp đầy các trạng thái không mong muốn. Thay vì làm thế, bây giờ ta giải thích các
nghiệm ―năng lƣợng âm‖ bằng cách đƣa ra các phản hạt với năng lƣợng dƣơng. Theo đó,
ví dụ nhƣ A mô tả các electron thì B sẽ mô tả các positron. Mỗi hàm sóng là một
spinor hai thành phần, đúng với hệ có spin 1/2. Tóm lại, phƣơng trình Dirac với p = 0
thừa nhận bốn nghiệm độc lập (bỏ qua các thừa số chuẩn hóa )
Điện động lực học lượng tử 8
Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010
lần lƣợt mô tả một electron với spin hƣớng lên, một electron hƣớng xuống, một positron
với spin hƣớng lên và một positron với spin hƣớng xuống.
Tiếp theo ta đi tìm nghiệm sóng phẳng dƣới dạng :
hoặc theo kí hiệu gọn hơn :
(với a là hằng số chuẩn hóa, tuy không phù hợp với mục đích biểu diễn của ta nhƣng cần
thiết sau này để giữ cho đơn vị phù hợp). Ta hi vọng tìm thấy một lƣỡng spin u(p) sao
cho (x) thỏa mãn phƣơng trình Dirac ( lúc này p (E/c,p) chỉ đơn giản là một tập hợp
của bốn tham số tùy ý, nhƣng vì chúng biểu diễn cho năng lƣợng và xung lƣợng nên đơn
giản nhất là ta gán cho chúng các kí tự thích hợp ngay từ khi bắt đầu). Do sự phụ thuộc
vào x xác định bởi số mũ
Thay biểu thức này vào phƣơng trình Dirac (7.20), ta có :
hoặc
Phƣơng trình này đƣợc biết đến nhƣ là ―phƣơng trình Dirac trong không gian xung
lƣợng ‖. Lƣu ý rằng đó là một phƣơng trình thuần túy đại số và không có đạo hàm. Nếu u
thỏa mãn phƣơng trình (2.12) thì (ở phƣơng trình 2.10) thỏa mãn phƣơng trình Dirac
(1.20).
Ta có :
Do đó :
Điện động lực học lượng tử 9
Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010
Trong đó chỉ số dƣới A biểu thị cho hai thành phần phía trên và B biểu thị cho hai thành
phần phía dƣới. Để thỏa mãn phƣơng trình (2.12), ta phải có
Thay uB vào uA ta đƣợc :
Nhƣng do
Nên
với 1 là ma trận đơn vị cấp 2 2.
Vậy
Và do đó
Tức là để thỏa mãn phƣơng trình Dirac, E và p (ở phƣơng trình 2.10) phải tuân
theo hệ thức năng – xung lƣợng tƣơng đối tính. Phƣơng trình theo E ở (2.20) cho ta hai
nghiệm:
Nghiệm dƣơng ứng với các trạng thái hạt, nghiệm âm ứng với các trạng thái của
phản hạt.
Quay lại phƣơng trình (2.15) và sử dụng (2.17), vấn đề trở nên đơn giản khi xây
dựng bốn nghiệm độc lập của phƣơng trình Dirac (bỏ qua các thừa số chuẩn hóa)
Điện động lực học lượng tử 10
Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010
đặt
thì
đặt
thì
đặt
thì
đặt
thì
Với (1) và (2) ta phải dùng dấu cộng ở phƣơng trình (2.21), nếu không uB sẽ bất
định khi p 0, đây là điều dễ hiểu với hàm sóng các hạt. Với (3) và (4) ta buộc phải
dùng dấu trừ, đó là các trạng thái của phản hạt. Thông thƣờng ta chuẩn hóa các spinor
này theo cách sao cho
Với dấu cộng kí hiệu cho liên hợp chuyển vị (hay ―liên hợp Hermit‖)
Do đó
Vậy bốn nghiệm là :
(với
)
Điện động lực học lượng tử 11
Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010
(với
)
Và hằng số chuẩn hóa là
Có thể đoán nhận đƣợc u
(1)
mô tả một electron với spin hƣớng lên, u
(2)
với spin
xuống và cứ nhƣ thế, nhƣng không phải nhƣ vậy. Với các hạt Dirac, các ma trận spin là:
với
và có thể dễ dàng kiểm tra rằng u
(1)
, chẳng hạn, không phải là một trạng thái riêng của z.
Tuy nhiên, nếu ta hƣớng trục z theo chiều chuyển động thì (trƣờng hợp này px = py = 0)
thì u
(1)
, u
(2)
,u
(3)
và u
(4)
là các spinor riêng của Sz; u
(1)
và u
(3)
là spin hƣớng lên, u(2) và u(4)
là các spin hƣớng xuống.
Nhƣ đã nói ở phần trƣớc thì E và p (trong biểu thức 2.10) là các tham số toán học
tƣơng ứng năng lƣợng và xung lƣợng trong vật lí, và điều này hoàn toàn đúng cho các
trạng thái của electron, u(1) và u(2). Tuy nhiên, E ở u(3) và u(4) không thể biểu thị cho năng
lƣợng của positron; tất cả các hạt tự do, nhƣ electron và positron, đều mang năng lƣợng
dƣơng. Nghiệm năng lƣợng âm phải đƣợc giải thích lại nhƣ các trạng thái phản hạt với
năng lƣợng dƣơng. Để biểu diễn các nghiệm này dƣới dạng năng lƣợng và xung lƣợng
của positron, chúng ta đảo các dấu của E và p :
[cho nghiệm (3) và (4)]
Chú ý rằng chúng giống với các nghiệm cũ trong phƣơng trình Dirac; ta chỉ đơn
giản là chấp nhận một qui ƣớc khác về dấu cho các tham số, để phù hợp hơn với ý nghĩa
vật lí của chúng. Ngƣời ta thƣờng sử dụng kí tự cho các trạng thái của positron, đƣợc
biểu diễn dƣới dạng năng lƣợng và xung lƣợng :
Điện động lực học lượng tử 12
Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010
(với
)
Từ đó ta sẽ không đề cập đến u(3) và u(4) nữa; các nghiệm ta sẽ dùng là u(1), u(2)
(biểu diễn hai trạng thái spin của một electron với năng lƣợng E và xung lƣợng p) và
(1), (2) (biểu diễn hai trạng thái spin của positron với năng lƣợng E và xung lƣợng p).
Lƣu ý rằng trong khi u thỏa mãn phƣơng trình Dirac (2.13) trong không gian xung lƣợng
dƣới dạng
Thì tuân theo phƣơng trình với dấu của p ngƣợc lại :
Một cách ngẫu nhiên, sóng phẳng là các nghiệm đặc biệt của phƣơng trình Dirac.
Chúng mô tả các hạt với các năng lƣợng và xung lƣợng đặc trƣng, và trong một thí
nghiệm đơn giản chúng là các tham số mà ta có thể đo và điều chỉnh đƣợc.
3. Hiệp biến song tuyến tính
Ta đã đề cập đến trong phần 1 rằng các thành phần của một spinor Dirac không
biến đổi nhƣ một vectơ bốn chiều khi ta chuyển từ hệ quán tính sang một hệ khác. Vậy
chúng chuyển đổi nhƣ thế nào ? Ta sẽ không nói cụ thể ở đây mà chỉ trích dẫn ra kết quả:
Nếu ta đến một hệ đang dịch chuyển với tốc độ v theo phƣơng x thì qui tắc biến đổi sẽ là
Điện động lực học lượng tử 13
Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010
với S là ma trận cấp 4 4
với
và .
Giả sừ ta muốn xây dựng một đại lƣợng vô hƣớng không có một spinor . Ta thử
biểu thức
Nhƣng đó lại không phải là một vô hƣớng, ta có thể kiểm tra bằng cách áp dụng qui tắc
biến đổi đã có:
Thật vậy:
Dĩ nhiên, tổng các bình phƣơng của các yếu tố của vectơ bốn chiều là bất biến, ta
cần các dấu trừ ― - ‖ cho các thành phần không gian. Với một phép thử-và-lỗi nhỏ ta sẽ
khám phá ra rằng trong trƣờng hợp các spinor, ta cần các dấu trừ cho thành phần thứ 3 và
thứ 4. Do đó ta sẽ đƣa ra phép hiệp biến vectơ bốn chiều để giữ nguyên các kí hiệu về
dấu, bây giờ ta sẽ trình bày hàm liên hiệp:
Ta thừa nhận đại lƣợng
là bất biến tƣơng đối tính. Với S
+
0
S =
0
, và do đó :
Ta đã phân biệt đƣợc vô hƣớng và giả vô hƣớng theo các tính chất của chúng theo
các phép biến đổi chẳn lẽ, P: (x,y,z) (-x,-y,-z) . Các giả vô hƣớng thay đổi dấu, còn các
vô hƣớng thì không. Vậy là vô hƣớng hay giả vô hƣớng? Trƣớc hết ta cần biết spinor.
Dirac biến đổi nhƣ thế nào theo P. Một lần nữa, ta sẽ không thiết lập nó mà chỉ trích dẫn
kết quả :
Điện động lực học lượng tử 14
Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010
Theo đó
Vì thế ( ) là bất biến theo phép biến đổi chẵn- lẽ, nó là một vô hƣớng. Nhƣng ta cũng
có thể đồng thời thực hiện một giả vô hƣớng không có :
với
Theo phép biến đổi chẵn lẽ
[lƣu ý là (
0
)
2
= 1].
0
ở ngƣợc phía với
5
nhƣng ta có thể đảo vị trí của chúng bằng cách
lƣu ý rằng nó phản giao hoán với 1, 2 và 3 (phƣơng trình 7.15) và tự giao hoán với
chính nó (3 0 = - 0 3, 2 0 = - 0 2, 1 0 = - 0 1, 0 0 =0 0)
do đó
Tƣơng tự,
5
cũng phản giao hoán với các ma trận khác:
Trong bất kì trƣờng hợp nào thì
do đó nó là một giả vô hƣớng.
Nhƣ vậy, có 16 tích có dạng i*j (lấy một thành phần của * và một thành
phần của ) khi i, j chạy từ 1 đến 4. Mƣời sáu tích này có thể cộng lại với nhau theo
những tổ hợp tuyến tính khác nhau để xây dựng nên các đại lƣợng với các tính chất dịch
chuyển dễ nhận thấy, nhƣ là :
= vô hƣớng (1 thành phần)
= giả vô hƣớng (1 thành phần)
= vectơ (4 thành phần)
= giả vectơ (4 thành phần)
= tenxơ phản xứng (6 thành phần)
Điện động lực học lượng tử 15
Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010
Với
Nó cho ta 16 số hạng, đây là tất cả những gì ta hi vọng có thể làm đƣợc theo cách
này. Ta không thể thiết lập một tensor đối xứng song tuyến tính trong * và , và nếu ta
đang tìm một vectơ thì chỉ là một đơn cử (nghĩ theo cách khác đó chính là: 1,
5
,
,
5
và
cấu thành một cơ sở của không gian của mọi ma trận cấp 4 4, bất kì
một ma trận 4 4 nào đều có thể viết dƣới dạng phụ thuộc tuyến tính của 16 số hạng này.
Đặc biệt nếu gặp phải tích của năm ma trận chẳng hạn, thì ta có thể chắc chắn rằng nó có
thể đƣợc rút gọn thành tích của không nhiều hơn hai thành phần). Bây giờ ta chú ý đến
các kí hiệu ở (7.68). Đặc tính tensor của các hiệp biến song tuyến tính, và thậm chí là tính
chất của chúng theo toán tử chẳn lẽ đƣợc chỉ ra dễ dàng : giống nhƣ một vectơ
bốn chiều, và nó thực sự là một vectơ bốn chiều. Nhƣng
tự nó không hẳn là một
vectơ bốn chiều, nó là một tập hợp của 4 ma trận cố định (1.17), chúng không đổi khi ta
dịch chuyển qua một hệ quán tính khác, sự thay đổi là của .
4. Photon
Trong điện động lực cổ điển điện trƣờng và từ trƣờng (E và B) đƣợc thiết lập bởi
mật độ điện tích và mật độ dòng J, đƣợc xác định bởi các phƣơng trình Maxwell :
Trong kí hiệu tƣơng đối tính, E và B lập thành một tensor phản xứng bậc hai,
―tensor cƣờng độ trƣờng‖ F
( tức là F01 = Ex, F
12
= - Bz, vv…), trong khi đó và J cấu thành một vectơ 4 chiều :
Hệ các phƣơng trình Maxwell không thuần nhất [(i) và (iv)] bây giờ có thể đƣợc
viết gọn lại:
Điện động lực học lượng tử 16
Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010
Từ sự phản xứng của tenxơ F (F = - F) , ta thấy rằng J là không phân kì.
Hoặc theo kí hiệu vectơ 3 chiều, .J = -
/ t
; đây là một phƣơng trình liên tục
diễn tả sự bảo toàn của điện tích trong trƣờng.
Giống nhƣ với các phƣơng trình Maxwell thuần nhất, (iii) tƣơng đƣơng với cách
phát biểu rằng B có thể đƣợc viết dƣới dạng tích hữu hƣớng của thế vectơ A :
Khi đó (ii) trở thành
cũng tƣơng đƣơng với phát biểu rằng
1/ /E c A t
có thể đƣợc viết nhƣ là một
gradient của thế vô hƣớng V :
Theo kí hiệu tƣơng đối tính, phƣơng trình (4.3) và (4.5) trở thành :
với
Dƣới dạng thế vectơ 4 chiều, các phƣơng trình Maxwell không thuần nhất (4.4)
cho :
Trong điện động lực cổ điển, các trƣờng là các thực thể vật lí, các thế là các công
thức toán học hữu ích đơn giản. Do biểu thức của thế năng luôn tự phù hợp với hệ các
phƣơng trình Maxwell : với các biểu thức (4.3) và (4.4), (ii) và (iii) luôn đƣợc thỏa mãn,
nên V và A ta đã định nghĩa nhƣ trên là có thể hợp lý. Nhƣng ở phƣơng trình (4.8) sự
không thích hợp của biểu thức thế năng là ở chỗ V và A không đƣợc xác định một cách
đơn nhất. Thực vậy, từ phƣơng trình (4.6) ta thấy rằng các thế mới
(với là hàm bất kì của vị trí và thời gian) cũng không xác định đơn nhất vì
A A A A . Sự thay đổi các thế mà không ảnh hƣởng đến trƣờng đƣợc
gọi là phép biến đổi định cỡ. Ta có thể khai thác sự định cỡ tự do này để buộc các điều
kiện bổ sung cho thế:
Điện động lực học lượng tử 17
Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010
Đó chính là điều kiện định cỡ Lorentz, với điều kiện này phƣơng trình Maxwell (7.80)
đƣợc đơn giản hóa hơn nữa:
Trong đó
đƣợc gọi là toán tử D’Alember.
Tuy nhiên, điều kiện Lorentz không xác định đơn nhất A. Các phép biến đổi định
cỡ khác có khả năng hơn, nó không làm nhiễu loạn phƣơng trình (4.10) và chỉ ra rằng
hàm định cỡ thỏa mãn phƣơng trình sóng:
Nhƣng nó không chỉ rõ cách để loại bỏ phần không rõ ràng còn lại trong A
, nên ta
có thể hoặc là (1) chấp nhận sự bất định, nghĩa là chấp nhận một số bậc tự do không rõ
ràng, hoặc (2) buộc một điều kiện bổ sung, nó phá vỡ tính hiệp biến Lorentz của lý thuyết
này. Cả hai phƣơng pháp này đều đƣợc sử dụng trong việc hình thành điện động lực học
lƣợng tử mà ta sẽ tiếp tục nghiên cứu. Trong không gian tự do, nơi mà J = 0 , ta chọn
Điều kiện định cỡ Lorentz lúc này là
Cách chọn này (phép định cỡ n Coulomb) là khá đơn giản, nhƣng bằng cách chọn
một thành phần (A0) với cho phƣơng pháp đặc biệt ta bị giới hạn ở một hệ quán tính cụ
thể (hoặc nó buộc ta thực hiện một phép biến đổi chuẩn trong trong mối tƣơng quan với
mọi phép biến đổi Lorentz duy trì điều kiện chuẩn Coulomb).
Trong điện động lực lƣợng tử A trở thành hàm sóng của photon. Photon tự do
thỏa mãn phƣơng trình (4.11) với J
= 0
ta thấy rõ đó cũng chính là phƣơng trình Klein – Gordon cho hạt không khối lƣợng. Nhƣ
trƣờng hợp phƣơng trình Dirac, ta tìm các nghiệm sóng phẳng với xung lƣợng
p = (E/c,p):
trong đó là véctơ phân cực – đặc trƣng cho spin của photon – và a là thừa số chuẩn
hóa. Thay biểu thức (7.88) vào phƣơng trình (7.87), ta thu đƣợc điều kiện trên p
:
do đó
đó phải là hạt không khối lƣợng.
Thêm vào đó, có bốn thành phần, nhƣng chúng không hoàn toàn độc lập. Điều
kiện Lorentz (4.10) đòi hỏi rằng
Điện động lực học lượng tử 18
Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010
Hơn nữa, theo phép định cỡ Coulomb ta có:
tức là véctơ phân cực ba chiều thẳng góc với phƣơng lan truyền, ta nói một photon tự do
bị phân cực ngang. Vì thế phép định cỡ Coulomb còn đƣợc biết nhƣ là phép đĩnh cỡ
ngang. Nhƣ vậy, có hai véctơ ba chiều độc lập tuyến tính vuông góc với p; ví dụ, nếu p
hƣớng theo trục z thì ta có thể chọn
Do đó thay vì phải có bốn nghiệm độc lập với mỗi xung lƣợng đã cho(quá nhiều
đối với hạt có spin bằng 1), thì ta chỉ còn lại hai. Nhƣ vây, liệu có phải photon có ba trạng
thái spin hay không ? Câu trả lời là không : các hạt có khối lƣợng với spin s thì có 2s + 1
cách định hƣớng spin khác nhau, nhƣng một hạt không khối lƣợng thì chỉ có hai cách,
không tính spin của nó ( ngoại trừ s = 0 thì chỉ có một cách). Dọc theo phƣơng dịch
chuyển chúng chỉ có thể có ms= + s hoặc ms= - s , nói cách khác, độ xoắn của nó chỉ
có thể là + 1 hoặc -1.
5. Các qui tắc Feynman cho Điện động lực lượng tử
Trong phần 2 ta đã tìm thấy rằng các electron và positron tự do có xung lƣợng
p = (E/c,p) với năng lƣợng E = (m2c4 + p2c2)1/2 đƣợc mô tả bởi hàm sóng
với s =1,2 cho hai trạng thái spin. Các spinor u
(s)
và (s) thỏa mãn các phƣơng trình Dirac
trong không gian xung lƣợng :
và các liên hiệp của chúng,
thỏa mãn :
Chúng trực giao
chuẩn hóa
và đủ, theo nghĩa là
Điện động lực học lượng tử 19
Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010
Một tập tƣờng minh thông thƣờng (u(1),u(2),u(3),u(4) ) đƣợc đƣa ra trong các phƣơng trình
(2.24) và (4.28). Thông thƣờng, ta sẽ tính trung bình các spin của electron và positron, và
trong trƣờng hợp đó, vấn đề không còn là spin hƣớng lên hay hƣớng xuống nữa; những gì
ta thật sự cần là tính đủ của chúng. Với một số bài tập trong đó spin đã đƣợc xác định thì
ta phải dùng các spinor thích hợp cho trƣờng hợp này.
Trong khi, một photon tự do có xung lƣợng p = (E/c,p) với năng lƣợng E = pc
đƣợc mô tả bởi hàm sóng
trong đó s = 1,2 cho hai trạng thái của spin (hoặc sự phân cực) của photon. Véctơ phân
cực
s
thỏa mãn điều kiện Lorentz trong không gian xung lƣợng :
Chúng trực giao, theo nghĩa là
và chuẩn hóa
Theo phép định cỡ Coulomb
và véctơ phân cực ba chiều tuân theo hệ thức đủ
Một cặp tƣờng minh thông thƣờng ( (1), (2) ) đƣợc đƣa ra ở biểu thức (4.20).
Để tính biên độ M liên hệ với sơ đồ Feynman cụ thể, ta tiến hành nhƣ sau :
1. Kí hiệu : gán cho các xung lƣợng bốn chiều đi vào và đi ra là p1, p2, …, pn, các
spin tƣơng ứng là s1, s2,…, sn; các nội xung lƣợng bốn chiều là q1, q2,…, qn . Đặt các dấu
mũi tên cho các tuyến nhƣ sau : mũi tên ở các ngoại tuyến Fermion chỉ ra nó là một
electron hay một positron; các mũi tên ở các nội tuyến Fermion đƣợc gán sao cho ―hƣớng
của dòng‖ qua sơ đồ đƣợc bảo toàn (tức là mọi đỉnh phải có một mũi tên đi vào và một
mũi tên đi ra ). Các mũi tên ở các ngoại tuyến photon hƣớng ra phía trƣớc, với các nội
tuyến photon thì sự lựa chọn là tùy ý ( xem hình 1).
Điện động lực học lượng tử 20
Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010
Hình 1 Một sơ đồ Điện động lực lƣợng tử điển hình, với
các ngoại tuyến đã đặt tên (các nội tuyến không đƣợc
chỉ ra ở đây.)
2. Các ngoại tuyến : Các ngoại tuyến đóng góp các thừa số nhƣ sau:
Đến
Các electron
Đi
Đến
Các Positron
Đi
Đến
Các Photon
Đi
3. Các thừa số đỉnh : Mỗi đỉnh đóng góp vào một thừa số
Hằng số ghép cặp không thứ nguyên ge liên hệ với điện tích của positron :
4. Hàm truyền : Mỗi nội tuyến đóng góp một thừa số nhƣ sau:
Điện động lực học lượng tử 21
Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010
Các electron và positron :
Các photon :
5. Sự bảo toàn năng lượng và xung lượng : Với mỗi đỉnh, viết một hàm delta dƣới
dạng :
với k1, k2, k3 là các xung lƣợng bốn chiều đi vào các đỉnh (nếu các mũi tên hƣớng ra
ngoài thì k sẽ là xung lƣợng bốn chiều của các tuyến đó nhƣng mang dấu trừ, ngoại trừ
các positron bên ngoài). Thừa số này buộc phải tuân theo sự bảo toàn của năng lƣợng và
xung lƣợng tại đỉnh.
6. Tích phân theo các nội xung lượng: Với mỗi nội xung lƣợng q, viết một thừa số:
và lấy tích phân.
7. Khử hàm Delta : Kết quả sẽ chứa thừa số
tƣơng ứng với sự bảo toàn năng – xung lƣợng toàn cục. Khử số hạng này thì những gì
còn lại là – iM.
Nhƣ trƣớc đây, quy trình thực hiện là viết ra tất cả sơ đồ đóng góp vào quá trình
đang khảo sát (đến bậc mà ta mong muốn), tính biên độ (M ) cho mỗi sơ đồ, và cộng
chúng lại thành biên độ toàn phần, sau đó chèn biên độ này vào công thức thích hợp của
tiết diện va chạm hoặc thời gian sống, nếu có thể. Đây chỉ là một thủ thuật mới : sự phản
xứng hóa của các hàm sóng fermion đòi hỏi ta phải chèn thêm dấu trừ trong biên độ liên
kết mà chỉ khác nhau khi ta hoán đổi các ngoại fermion giống nhau.Vấn đề không phải là
ta gắn dấu trừ vào sơ đồ nào vì dù sao sau đó tổng cũng sẽ đƣợc bình phƣơng; nhƣng lại
có một dấu trừ tương đối giữa chúng.
8. Sự phản xứng : Tính đến dấu trừ giữa các sơ đồ mà chỉ khác nhau khi hoán đổi hai
electron (hay positron) vào (hoặc ra), hoặc của một electron vào với một electron ra (hoặc
ngƣợc lại)
Việc điều khiển các vòng lặp fermion sẽ đƣợc thảo luận ở phần cuối chƣơng.
Điện động lực học lượng tử 22
Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010
6. Ví dụ
Bây giờ ta đang ở trong hoàn cảnh tái thiết lập nhiều phép tính cổ điển trong điện
động lực lƣợng tử. Để không đi lạc vào chi tiết, ta bắt đầu với một danh mục các quá
trình quan trọng nhất :
BẢNG 1. DANH MỤC CÁC QUÁ TRÌNH CƠ BẢN
CỦA ĐIỆN ĐỘNG LỰC LƢỢNG TỬ
Quá trình bậc hai
Đàn hồi
Tán xạ electron – muon ( e + e + )
(Tán xạ Mott (M >> m) tán xạ Rutherford
(v << c))
Tán xạ electron – electron (e- + e- e- + e-)
(Tán xạ Møller)
Tán xạ electron – positron( e- + e+ e- + e+ )
(Tán xạ Bhabha)
Phi đàn hồi
Hủy cặp (e- + e+ + )
Sinh cặp ( + e- + e+ )
Tán xạ Compton ( + e
-
+ e
-
)
Điện động lực học lượng tử 23
Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010
Quá trình bậc ba quan trọng nhất :
Mômen từ dị thƣờng của electron
Hình 2 Tán xạ electron – muon
Trƣờng hợp đơn giản nhất là tán xạ electron – muon, ở đây chỉ có một sơ đồ đóng góp
vào bậc hai.
Ví dụ 7.1 Tán xạ electron – muon
Áp dụng các quy tắc Feynman, ta tiến hành dịch lùi theo mỗi tuyến fermion
(hình 2):
Lƣu ý rằng các chỉ số không – thời gian trong hàm truyền photon phù hợp với các
chỉ số của các thừa số đỉnh tại những điểm kết thúc khác nhau của tuyến photon. Lấy tích
phân theo q và khai căn hàm delta, ta đƣợc :
Điện động lực học lượng tử 24
Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010
Mặc dù xuất hiện sự phức tạp nhƣng với bốn spinor và tám ma trận thì đây vẫn
chỉ là một con số, ta có thể tính toán một khi các spin đƣợc xác định rõ.
Ví dụ 7.2 Tán xạ electron – muon
Trong trƣờng hợp này có một sơ đồ thứ hai , trong đó electron thoát ra với xung
lƣợng p3 và spin s3 đến từ các electron có xung lƣợng p2 và spin s2 thay vì từ các electron
p1, s1 (Hình 3). Ta thu đƣợc biên độ này từ biểu thức (5.8) một cách đơn giản bằng cách
thay p3, s3 p4, s4 . Theo qui tắc 8, hai sơ đồ đều bị trừ đi, do đó biên độ tổng hợp là
Hình 3 Biểu đồ ―xoắn‖ cho tán xạ electron-electron
Ví dụ 7.3 Tán xạ electron – positron
Một lần nữa, lại có hai sơ đồ. Sơ đồ thứ nhất tƣơng tự với sơ đồ electron – muon
(hình 4).
Lƣu ý rằng quá trình giật lùi dọc theo đƣờng phản hạt giống nhƣ quá trình đi tới
tại cùng thời điểm, thứ tự luôn là hàm spinor liên hiệp / ma trận gamma / hàm spinor. Do
đó biên độ cho biểu đồ này là
Sơ đồ còn lại biểu thị sự hủy ảo của electron và positron, sau đó là sự sinh cặp
(hình 5) :
Điện động lực học lượng tử 25
Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010
Biên độ cho sơ đồ này là
Hình 5
Xây dựng biểu đồ thứ
hai với tán xạ electron -
positron
Hình 4
Tán xạ elctron – positron
Bây giờ ta sẽ cộng thêm chúng vào, hay trừ đi ? Hoán đổi positron vào và electron
ra trong sơ đồ thứ hai (hình 5) và sau đó vẽ lại nó theo một cấu hình tùy biến hơn
ta lại đƣợc biểu đồ đầu tiên ( hình 4). Theo qui tắc 8, ta cần một dấu trừ :
Điện động lực học lượng tử 26
Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010
Ví dụ 7.4 Tán xạ Compton
Xét một ví dụ liên quan đến hàm truyền electron và sự phân cực photon, trong
trƣờng hợp tán xạ Compton, + e +e. Một lần nữa lại có hai sơ đồ, nhƣng chúng
không khác khi hoán đổi các fermion, và biên độ đƣợc cộng thêm vào. Sơ đồ đầu tiên
(hình 6) cho ta
Lƣu ý rằng chỉ số không – thời gian trong mỗi véctơ phân cực photon phù hợp với
chỉ số của ma trận tại các đỉnh nơi photon đƣợc sinh ra hay bị hấp thụ. Cũng cần lƣu ý
hàm truyền electron phù hợp thế nào khi ta lùi theo tuyến fermion. Ở đây ta đƣa ra một
dạng viết tắt tiện lợi là ―a sổ‖ [dấu / là dấu sổ hoặc xuyệt trái].
Hình 7.6 Tán xạ Compton
Rõ ràng biên độ ứng với sơ đồ :
Cùng lúc đó, sơ đồ thứ hai (hình 7.7) cho ta
Và biên độ tổng hợp là M = M1 + M2
Điện động lực học lượng tử 27
Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010
7. Thủ thuật Casimir và Định lý vết
Trong một số thí nghiệm, các spin electron (hay positron) đến và đi đƣợc xác định
rõ, và sự phân cực photon đã đƣợc đƣa ra. Do đó, việc tiếp theo ta cần làm là chèn các
spinor thích hợp và các véctơ phân cực vào biểu thức M, và tính M2, đại lƣợng ta thật
sự cần để xác định tiết diện va chạm và thời gian sống. Tuy nhiên, thƣờng thì ta không
chú ý đến spin. Một thí nghiệm điển hình bắt đầu với một chùm hạt có spin định hƣớng
ngẫu nhiên, và sau đó đơn giản là đếm số hạt tán xạ theo một hƣớng đã chọn. Trong
trƣờng hợp này tiết diện va chạm phù hợp là trung bình của các cấu hình spin ban đầu i,
và tổng các cấu hình spin sau cùng f. Về nguyên tắc, ta có thể tính M( if )2 cho mọi
tổ hợp khả dĩ và sau đó tính tổng và trung bình:
trung bình tính trên các spin ban đầu,
tổng lấy trên các spin sau cùng
Hình 7 Sơ đồ thứ hai cho tán xạ Compton
Trong thực tế, sẽ dễ hơn để tính
2
M
một cách trực tiếp mà không xét đến các
biên độ riêng lẻ.
Ví dụ nhƣ biên độ tán xạ electron – muon (7.104). Bình phƣơng hai vế, ta có :
(để tránh nhầm lẫn, ta dùng cho các chỉ số không – thời gian thứ hai). Số hạng thứ nhất
và thứ ba (hoặc thứ hai và thứ tƣ) có thể viết dƣới dạng tổng quát:
với (a) và (b) đại diện cho các spin và mômen tƣơng ứng, và 1, 2 là hai ma trận 44.
Mọi quá trình khác miêu tả ở phần 6, tán xạ Møller, tán xạ Bhabha và tán xạ Compton,
cũng nhƣ sự sinh và hủy cặp, đƣa ta đến các biểu thức với cấu trúc tƣơng tự. Để bắt đầu
ta lấy liên hiệp phức(cũng là liên hợp Hermit, vì đại lƣợng trong dấu ngoặc là một ―ma
trận‖ 11):
Điện động lực học lượng tử 28
Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010
Với , và ,
do đó :
với
Do đó
Bây giờ ta tính tổng trên các hƣớng spin của hạt (b). Sử dụng hệ thức đủ (4.7), ta
có:
Với Q là kí hiệu tạm thời cho ma trận 44
Tƣơng tự cho hạt (a):
Viết ma trận tích một cách rõ ràng (lấy tổng i và j từ 1 4)
với Tr biểu thị cho vết của ma trận (tổng các phần tử trên đƣờng chéo)
Tóm lại :
các spin
Biểu thức này có thể không giống một sự đơn giản hóa, nhƣng lƣu ý rằng vế trái
không chứa hàm spinor; khi ta tính tổng trên các spin, nó trở về ma trận tích và thu đƣợc
vết. Ta gọi biểu thức (7.6) là ― thủ thuật Casimir‖ khi Casimir là ngƣời đầu tiên sử dụng
nó. Nếu thay u [ở phƣơng trình (7.6)] bởi , khối lƣợng tƣơng ứng ở vế phải đổi dấu.
Điện động lực học lượng tử 29
Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010
Ví dụ 7.5
Trong trƣờng hợp tán xạ electron – muon [biểu thức (6,5)], 2 =
0
và do
đó
. Áp dụng thủ thuật Casimir hai lần, ta tìm đƣợc:
với m là khối lƣợng của electron, M là khối lƣợng của muon. Thừa số 1/4 đã đƣợc tính
đến do ta muốn tính trung bình trên các spin ban đầu; vì có hai hạt, mỗi hạt có hai cách
định hƣớng spin, trung bình là 1/4 của tổng.
Thủ thuật Casimir rút gọn mọi vấn đề về một bài toán là tính vết của một số ma
trận tích phức tạp. Biểu thức số học này đƣợc hỗ trợ bởi một số lý thuyết mà ta đƣa ra
dƣới đây. Trƣớc hết ta nên nhắc lại ba điều tổng quát về vết của ma trận: nếu A và B là
hai ma trận bất kì, và là một số bất kì
Từ mục 3 ta thấy rằng Tr(ABC) = Tr(CBA) = Tr(BCA), nhƣng trong trƣờng hợp
tổng quát chúng không bằng vết của các ma trận theo một thứ tự khác:
Tr(ACB)=Tr(BCA)=Tr(CBA). Theo cách đó ta có thể tách các ma trận khỏi một đầu của
một tích của chúng và chuyển vòng ra phía trƣớc, nhƣng phải giữ nguyên thứ tự. Nên lƣu
ý rằng
và nhắc lại hệ thức phản giao hoán cơ bản của các ma trận (cùng với một qui tắc ứng
với các tích ―sổ‖)
Từ đây suy ra một dãy các ―định lý thu gọn‖:
Và cuối cùng, có một tập các ―định lý vết‖:
10. Vết của một tích của một số lẻ các ma trận bằng 0.
Điện động lực học lượng tử 30
Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010
vì 5 = i0123 là tích của một số chẵn ma trận , từ qui tắc 10 suy ra
Tr(5)=Tr(5)= 0. Khi 5 đƣợc nhân với một số chẵn ma trận , ta tìm đƣợc
với
-1, nếu là một phép hoán vị chẵn của 0123,
= +1, nếu là một phép hoán vị lẻ,
0, nếu hai chỉ số bất kì trùng nhau.
Ví dụ 7.6
Tính vết của tán xạ electron – muon [biểu thức (7.13)]
Giải: Theo qui tắc 10, số hạng trong móc vuông bằng không. Số hạng cuối có thể đƣợc
tính khi dùng qui tắc 12, và qui tắc 13 cho số hạng đầu.
Do đó
Vết thứ hai (ở biểu thức 7.13) cũng tƣơng tự, với mM, 12, 34 và các chỉ số
Hy Lạp ở dƣới. Từ đó
Điện động lực học lượng tử 31
Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010
8. Tiết diện va chạm và thời gian sống
Bây giờ ta quay lại với lĩnh vực quen thuộc. Một khi đã tính M2 (hoặc
M2), ta đặt nó vào công thức tiết diện va chạm:
Trong trƣờng hợp tổng quát:
Cho hai vật thể tán xạ trong CM (Center of Mass: hệ quy chiếu khối tâm):
Hoặc trong phạm vi phòng thí nghiệm (LF: Laboratry Frame, ngƣợc với hệ quy
chiếu khối tâm):
Ví dụ 7.7 Tán xạ Mott và tán xạ Rutherford
Một electron (khối lƣợng m) tán xạ với một muon có khối lƣợng lớn hơn (M>>m).
Giả sử sự bật trở lại của M có thể bỏ qua, tìm tiết diện tán xạ sai phân trong phạm hệ quy
chiếu phòng thí nghiệm (M đứng yên).
Giải: Tiết diện va chạm đƣợc cho bởi
Điện động lực học lượng tử 32
Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010
Do bia đứng yên, ta có (xem Hình 8):
với E là năng lƣợng electron tới (và tán xạ), p1 là xung lƣợng tới, p3 là xung lƣợng tán xạ,
(chúng có độ lớn bằng nhau p1=p3=p, và góc giữa chúng là : p1.p3 =p
2
.cos). Do
đó:
Hình 8 Electron tán xạ từ bia
Trước Sau
Thay vào biểu thức (7.15), ta có:
và do đó ( lƣu ý rằng )
Đây chính là công thức Mott. Với một phép xấp xỉ tốt, nó cho ta tiết diện va chạm sai
phân đối với tán xạ electron – proton. Nếu electron tới là phi tƣơng đối tính thì
p
2
<<(mc)
2
, phƣơng trình (7.11) trở thành công thức Rutherford:
Điện động lực học lượng tử 33
Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010
Còn sự phân rã thì nhƣ thế nào ? Thật ra, trong QED (Quantum ElectroDynamics)
thuần túy, nếu một fecmion đơn đi vào thì cũng chính fecmion đó đi ra, một tuyến
fecmion không thể kết thúc trong phạm vi một sơ đồ; cũng nhƣ không có một cơ chế nào
trong QED cho phép biến đổi một fermion (chẳng hạn một muon) thành một fermion
khác (chẳng hạn một electron). Để chắc chắn, phải tồn tại sự phân rã điện từ trƣờng của
các hạt đối lập, ví dụ nhƣ 0+; nhƣng thành phần điện từ trong quá trình này không
là gì khác ngoài sự hủy cặp quark – phản quark, q +
q
+ . Đó thực sự là một biến cố
tán xạ, mà trong đó sự va chạm của hai hạt xảy ra trong một trạng thái giới hạn. Ví dụ rõ
nhất về quá trình này là sự phân rã của Positronium: e+ + e- + , mà sẽ xét trong ví
dụ sau đây. Ta sẽ phân tích trong hệ quy chiếu Positronium đứng yên (hay trong phạm vi
hệ quy chiếu CM của cặp electron-positron). Chúng thông thƣờng dịch chuyển khá chậm,
thực tế, với mục đích đi tính biên độ ta nên giả sử chúng đứng yên. Nói cách khác, đây là
một trong những trƣờng hợp mà ta không thể tính trung bình trên các spin ban đầu, do
các hệ tổ hợp đều có cấu hình đơn nhất [singlet] – các spin đối song – hoặc theo cấu hình
tam đẳng [triplet]– các spin song song – và công thức cho tiết diện va chạm (và do đó
thời gian sống) là hoàn toàn khác nhau trong hai trƣờng hợp.
Ví dụ 7.8 Sự hủy cặp
Tính toán biên độ M cho e+ + e- + , giả sử electron và positron đứng yên và
đang ở cấu hình spin đơn nhất.
Giải : Có hai sơ đồ đóng góp nhƣ đƣợc chỉ ra ở Hình 9. Các biên độ là (để đơn giản ta sẽ
bỏ các dấu liên hợp phức tạp ở ):
và lấy tổng
Với các hạt ban đầu đứng yên, các photon đi ra ―lƣng đối lƣng‖ [tƣơng tự nhƣ mặt
đối mặt] và ta có thể chọn trục z trùng với tuyến photon, từ đó
Điện động lực học lượng tử 34
Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010
và do đó
Các biên độ có phần đơn giản hóa khi ta khai thác qui tắc 5’ từ phần 7:
Nhƣng 3 chỉ có các thành phần không gian (theo phép định cỡ Coulomb), trong khi đó
p1 chỉ thuần về thời gian, do đó p1.3 =0, và từ đó
Tƣơng tự:
nhƣng p3.3 = 0 do điều kiện Lorentz (7.90), do đó
Vì thế
Nhƣng (p1 - mc)u(1) = 0, do u(1) thỏa mãn phƣơng trình Dirac (7.34), vì thế
Hình 9 Hai đóng góp cho sự hủy cặp
Làm tƣơng tự:
Kết hợp các kết quả lại, ta tìm đƣợc:
Bây giờ
Điện động lực học lượng tử 35
Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010
do đó sự diễn tả trong dấu ngoặc bình phƣơng đƣợc viết lại
Nhƣng
và do đó
Ta đã biết (từ sự đối xứng)
Nó chỉ ra rằng
(ta cũng có thể thiết lập trực tiếp từ qui tắc 5’) và
với
. Vì thế
Đến đây, ta vẫn chƣa nói gì đến spin của electron và positron. Nhớ rằng ta đang
quan tâm đến trạng thái đơn nhất:
Về mặt kí hiệu
M thu đƣợc từ biểu thức (8.13) với spin hƣớng lên cho electron
và spin xuống cho positron
Điện động lực học lượng tử 36
Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010
Sử dụng các spinor này, ta tìm thấy
Do đó
Trong khi, với M ta có
Từ đó nó chỉ ra rằng
Do đó biên độ cho sự hủy của môt cặp e+e- tĩnh trong hai photon thoát ra theo
phƣơng z là
(lƣu ý rằng M = - M , cấu hình tam đẳng ( + ) 2 bằng 0, khẳng định lại quan
sát trƣớc đây của chúng ta lúc trƣớc rằng sự phân rã của hai photon bị cấm trong trƣờng
hợp này).
Sau cùng, ta phải tính các vectơ phân cực photon tƣơng thích. Lƣu ý rằng với spin
hƣớng lên(ms = +1) ta có
trong khi đó với spin hƣớng xuống (ms = -1)
Nếu photon chuyển động dọc theo phƣơng +z, các spin này lần lƣợt tƣơng ứng với
vòng phân cực bên trái và vòng phân cực bên phải. Vì thành phần z của mômen góc toàn
phần phải bằng 0, các spin photon phải sắp ngƣợc chiều nhau: hoặc . Trong trƣờng
hợp đầu ta có
do đó
Trong trƣờng hợp thứ hai, 3 và 4 đƣợc hoán vị cho nhau, vì thế
Rõ ràng, ta cần sự kết hợp phản xứng ( - )
2
, điều đó tƣơng ứng với spin
toàn phần bằng 0, khi kết hợp hai hạt có spin 1/2 thì ta thu đƣợc ngay điều này. Một lần
Điện động lực học lượng tử 37
Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010
nữa, khi biên độ bằng (M - M) 2 thì các mũi tên sẽ đặc trƣng cho sự phân cực
photon.
Sau cùng,
[ta đặt lại liên hiệp phức của các véctơ phân cực, đó đơn giản là việc đảo các dấu ở biểu
thức (8.25) và (8.26)].
Có nhiều vấn đề xuất phát từ đây. Đầu tiên ta có thể tính tổng các tiết diện va
chạm cho sự hủy electron-positron. Trong hệ CM, tiết diện va chạm sai phân là ở chỗ
Ở đây
và khi sự va chạm là phi tƣơng đối tính
với v là tốc độ electron (hoặc photon) tới (ta lấy v=0 khi tính M nhƣng rõ ràng ta không
thể sử dụng nó ở đây. Đó có phải là một mâu thuẫn? Không thực sự vậy. Ta nghĩ điều
này theo hƣớng sau: M(cũng là E1, E2,pf và pi) có thể đƣợc khai triển theo lũy thừa
của v/c. Nhƣ vậy ta đã tính đƣợc số hạng đầu trong mỗi phép khai triển). Gộp tất cả lại, ta
đƣợc:
Khi không có sự phụ thuộc góc, tiết diện va chạm toàn phần là
Sau cùng, ta sẽ xác định thời gian sống của positronium ở trạng thái đơn nhất.
Thời gian sống của positron liên hệ một cách rõ ràng với tiết diện va chạm đối với sự hủy
cặp (8.32), nhƣng mối liên hệ chính xác là gì? Ta đã có
Điện động lực học lượng tử 38
Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010
ta thấy rằng tổng số biến cố tán xạ trên một đơn vị thời gian bằng thời gian chiếu sáng tiết
diện va chạm toàn phần:
Nếu là số hạt tới trong một đơn vị thể tích, và nếu chúng chuyển động với tốc độ
v thì cƣờng độ sáng (Hình 10) là:
Với một nguyên tử duy nhất, mật độ electron là (0)2 và N biểu thị cho xác
suất phân rã trên một đơn vị thời gian, tức tốc độ phân rã. Do đó
Biểu thức (8.32) và (8.35) là các công thức ta có thể sử dụng để xác định thời gian
sống của positron, =1/
Hình 10 Số hạt trong hình trụ là Av dt,
do đó độ chiếu sáng (trên một đơn vị diện
tích trong một đơn vị thời gian) là v.
9. Sự tái chuẩn hóa
Trong phần 6 ta đã xét quá trình tán xạ electron-muon đƣợc mô tả ở bậc thấp nhất
bởi sơ đồ
và biên độ tƣơng ứng
Điện động lực học lượng tử 39
Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010
với
Sau đây là một số phép hiệu chỉnh bậc bốn, mà tiêu biểu nhất là biểu đồ phân cực
―chân không‖
Tại đây, photon ảo nhất thời tách thành một cặp electron – positron, dẫn đến sự
thay đổi điện tích hiệu dụng của electron. Mục đích của chúng ta bây giờ là chỉ ra công
việc này một cách định lƣợng.
Biên độ trong biểu đồ này là
Nó bao gồm một số sự thay đổi của hàm truyền photon:
với [so sánh (8.37) và (8.39)]:
Tuy nhiên, tích phân này là phân kì. Ta thấy rằng
khi
(đó là một phân kì bậc hai). Thật ra, do sự ƣớc lƣợc trong biểu thức số học, nó chỉ còn lại
ln k
(―sự phân kì theo lôga‖). Giống nhƣ các tính chất của các biểu đồ mạch kín trong
phép tính vi tích phân Feynman, một lần nữa, phƣơng pháp sẽ là hấp thụ sự vô định vào
sự tái chuẩn hóa khối lƣợng và hằng số kết hợp.
Điện động lực học lượng tử 40
Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010
Tích phân dạng (8.41) mang hai chỉ số không – thời gian, khi chúng ta lấy tích
phân theo k, vector bốn chiều duy nhất là q, vì thế I phải có dạng tổng quát g( ) +
qq( ), với thành phần trong dấu ( ) bao gồm một số hàm của q
2
. Do đó ta viết lại:
Số hạng thứ hai không có đóng góp gì vào M, vì q phù hợp với ở biểu thức
(8.39), cho ta
mặt khác, từ phƣơng trình (4.22)
và do đó
Từ đó ta sẽ bỏ qua số hạng thứ hai ở biểu thức (7.176). Nhƣ số hạng đầu, tích phân
(8.41) giản ƣớc về dạng
Tích phân đầu cô lập một cách rõ ràng với sự phân kì theo lôga. Để giải quyết nó,
ta tạm thời đặt ra giới hạn M (không nên nhầm lẫn với khối lƣợng của muon) và ta sẽ cho
nó tiến đến vô cùng ở cuối phép tính:
Tích phân thứ hai
là hoàn toàn hữu hạn. Tuy nhiên, tích phân không thể giản ƣớc thành các hàm các hàm cơ
bản. Nhƣng cũng đủ đơn giản để đánh giá một cách số học (Hình 11), và các biểu thức
giới hạn cho x lớn và x bé là đơn giản:
Trong bất kì trƣờng hợp nào
Lƣu ý rằng ở đây q2 có giá trị âm. Nếu xung lƣợng ba chiều của electron tới trong
CM là p, và góc tán xạ là , thì
Điện động lực học lượng tử 41
Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010
Do đó – q2/m2c2 v2/c2 , và trƣờng hợp giới hạn trong biểu thức (9.4) lần lƣợt tƣơng ứng
với tán xạ phi tƣơng đối tính và tán xạ siêu tƣơng đối tính.
Biên độ của tán xạ electron – muon gồm cả sự phân cực chân không, và vì thế
Bây giờ ta đến bƣớc quyết định, ở bƣớc này ta sẽ can thiệp vào sự vô cùng (có
chứa giới hạn M) bằng cách đƣa ra hằng số ghép cặp ―tái chuẩn hóa‖
Viết lại (9.7) dƣới dạng của gR, ta có
Hình 11 Đồ thị của f(x) (phƣơng trình 9.3)
Đƣờng liên tục là kết quả tính số; đƣờng đứt nét
bên dƣới là lnx (gần đúng f(x) với x lớn); đƣờng
thẳng ở trên là x/5 (gần đúng f(x) với x bé).
(phƣơng trình (9.7) hợp lý với bậc ge
4, do đó cũng không có vấn đề gì khi ta sử dụng ge
hoặc gR trong dấu ngoặc nhọn). Có hai lƣu ý quan trọng ở kết quả này:
1. Sự vô cùng đã bị loại bỏ: không còn M trong biểu thức (9.9). Mọi liên quan đến
giới hạn đều bị hấp thụ vào hằng số cặp. Mọi biểu thức bây giờ chỉ viết dƣới dạng của gR,
thay vì ge. Nhƣng điều đó có thuận lợi: gR, chứ không phải ge, là những gì ta thật sự đo
đƣợc trong phòng thí nghiệm (trong hệ đơn vị Heaviside-Lorentz đó là điện tích của
electron hoặc muon, và ta xác định nó hoàn toàn bằng thực nghiệm nhƣ hệ số của sự hút
hoặc đẩy giữa hai hạt). Trong phép phân tích lý thuyết, nếu chỉ tìm thấy biểu đồ ba mức
Điện động lực học lượng tử 42
Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010
(bậc thấp nhất), ta sẽ đi đến giả thiết rằng điện tích cũng giống nhƣ hằng số kết hợp ―tối
thiểu‖ ge. Nhƣng ngay khi tính đến ảnh hƣởng của các bậc cao hơn ta thấy rằng chính là
gR, không phải ge, tƣơng ứng với điện tích cần đo. Điều đó có nghĩa là kết quả ban đầu
của ta là sai? Không. Thực ra đó là do khi giải thích sơ bộ ge nhƣ là điện tích ta đã không
chủ ý tính đến thành phần phân kì trong các sơ đồ bậc cao hơn.
2. Ở đây vẫn còn số hạng hiệu chỉnh không – thời gian, và một lƣu ý quan trọng đó
là nó phụ thuộc vào q2. Ta cũng có thể thu đƣợc nó vào hằng số cặp, nhƣng ―hằng số‖
bây giờ là một hàm của q
2
; ta gọi nó là hằng số ghép cặp ―chạy‖:
hoặc dƣới dạng ―hằng số‖ cấu trúc bền (
)
Điện tích hiệu dụng của electron (và muon) do đó phụ thuộc vào sự chuyển biến
xung lƣợng trong va chạm. Sự dịch chuyển xung lƣợng cao hơn đồng nghĩa với phép gần
đúng chính xác hơn, hay nói cách khác điện tích hiệu dụng của mỗi hạt phụ thuộc chúng
tách rời nhau bao xa. Đó là một hệ quả của sự phân cực chân không _ nó che chắn mỗi
điện tích. Bây giờ ta có một công thức tƣờng minh cho cái mà ở Động lực học hạt cơ
bản chỉ là một cách mô tả thuần túy định tính. Thế nhƣng Millikan và Rutherford, thậm
chí cả Coulomb lại không chú ý đến hiệu ứng này. Nếu điện tích của electron không phải
là một hằng số, thì tại sao nó không làm rối tung mọi thứ từ điện học đến hóa học? Câu
trả lời là trong trƣờng hợp phi tƣơng đối tính, sự thay đổi là cực kì nhỏ. Thậm chí trong
một va cham trực diện ở (1/10)c , số hạng hiệu chỉnh ở biểu thức (9.11) chỉ khoảng
610
6
. Do đó để đạt đƣợc mục đích thì (0)=1/137 là thích hợp nhất. Tuy nhiên, có thể
nhận thấy số hạng thứ hai ở (9.11) có đóng góp vào độ lệch Lamb. Hơn nữa, ta sẽ gặp
phải cùng vấn đề trong sắc động lực học lƣợng tử, với khoảng cách ngắn (do sự giam
hãm quark) miền tƣơng đối tính là khu vực đƣợc quan tâm nhất.
Chúng ta tập trung vào một quá trình bậc bốn đặc biệt (phân cực chân không),
nhƣng tất nhiên còn một vài quá trình khác. Chúng là ―những sơ đồ thang‖:
Điện động lực học lượng tử 43
Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010
Chúng hữu hạn và không biểu diễn các vấn đề đặc trƣng. Nhƣng cũng có ba sơ đồ phân
kì:
(và dĩ nhiên còn ba sơ đồ nữa mà trong đó photon ảo bên ngoài kết hợp với muon). Hai
sơ đồ đầu tái chuẩn hóa khối lƣợng electron; biểu đồ thứ ba làm xác định mômen từ của
nó. Thêm vào đó, cả ba biểu đồ đều tách biệt nhau, đều đóng góp vào sự tái chuẩn hóa
điện tích của electron. May thay, phần đóng góp còn lại triệt tiêu lẫn nhau do đó biểu
thức (9.8) vẫn nghiệm đúng (do sự hiệu chỉnh phụ thuộc vào khối lƣợng hạt mà các dòng
photon ảo kèm theo, và nếu chúng không khử đƣợc ta sẽ sử dụng một sự tái chuẩn hóa
khác cho muon hơn là cho electron. Đồng nhất thức Ward (tên của sự khử này) đảm bảo
rằng sự tái chuẩn hóa bảo toàn đẳng thức điện tích, bất kể khối lƣợng của hạt tải nhƣ thế
nào). Và thậm chí còn có các sơ đồ bậc cao hơn.
Những sơ đồ này giới thiệu các số hạng cao hơn trong biểu thức (9.11), bậc 2, 3
vv…, nhƣng ta sẽ không tiếp tục theo đuổi vấn đề này, vì những ý tƣởng cơ bản bây giờ
đều đã đƣợc trình bày rõ.
Điện động lực học lượng tử 44
Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010
KẾT LUẬN
Điện động lực học lƣợng tử là một lý thuyết đúng đắn đƣợc khẳng định từ lúc mới
ra đời cho đến tận bây giờ vẫn không mất đi giá trị của nó. Tiểu luận đã phần nào trình
bày đƣợc những đặc điểm chủ yếu của lý thuyết này, đƣa ra một số ví dụ cụ thể để thấy
đƣợc tính thực tiễn của thuyết. Vai trò của Điện động lực học lƣợng tử trong Lý thuyết
trƣờng lƣợng tử là không thể phủ nhận, hiện nay nó vẫn đang tiếp tục phát triển và hoàn
thiện hơn.
Là một sinh viên chuyên ngành vật lý lý thuyết, thiết nghĩ việc tìm hiểu những vấn
đề về lý thuyết trƣờng cũng là chuẩn bị những hành trang cần thiết để bƣớc vào thế giới
khoa học của vật lý. Qua bài tiểu luận này tôi đã từng bƣớc tiếp cận đƣợc thêm với Lý
thuyết trƣờng lƣợng tử, thấy đƣợc các ứng dụng cơ bản của Lý thuyết trƣờng.
Tri thức nhân loại luôn rộng lớn hơn từng ngày và trình độ con ngƣời thì vẫn còn
nhiều hạn chế. Với thời gian và năng lực bản thân có hạn, trong khuôn khổ bài tiểu luận
này tôi chƣa thể trình bày hết đƣợc nhiều khía cạnh khác của Điện động lực học lƣợng tử
mà các nhà khoa học trên thế giới đang ngày đêm nghiên cứu; và một điều trăn trở nữa
của tôi đó là mong muốn trình bày bài tiểu luận này trên phần mềm Latex, nhƣng do thời
gian có hạn nên tôi chƣa thể hoàn thành ý định của mình, âu đó cũng là cánh cửa mở thúc
dục các bạn sinh viên khóa sau tiếp tục tìm hiểu. Mong rằng đây có thể là một tài liệu
tham khảo hữu ích cho các bạn sinh viên khóa sau đam mê tìm hiểu về Điện động lực học
lƣợng tử, rất mong các bạn đóng góp ý kiến và tiếp tục hoàn thiện hơn về đề tài này.
Điện động lực học lượng tử 45
Hà Nam Thanh Năm học 2009-2010
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Trần Công Phong, Bài giảng Cơ sở lý thuyết trường lượng tử, Đại học Huế, 2004.
2. J. D. Bjorken and S. D. Drell, Relativistic Quantum Mechanics and Relativistic
Quantum Fields (New York: McGraw-Hill, 1964).
3. J. D. Jackson, Classical Electrodynamics, Tập 2 (New York: Wiley, 1975), mục
6.5.
4. A. Pais, Inward Bound (New York: Oxford, 1986), trang 375.
5. J. M. Jauch and F. Rohrlich, The Theory of Photons and Electrons, Tập 2 (New
York: Springer-Verlag, 1975), mục 12.6.
6. J. J. Sakurai, Advanced Quantum Mechanics (Reading, MA: Addsion-Wesley,
1967), trang 216.
7. F. Halzen and A. D. Martin, Quarks and Leptons, (New York: Wiley, 1984),
Chƣơng 7.
Các file đính kèm theo tài liệu này:
- Đề tài Định luật bảo toàn động lượng.pdf