Luận văn Dạy học giới hạn ở lớp 11 THPT theo hướng phát huy tính tích cực hoạt động học tập của học sinh

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM ---------------    --------------- VŨ THỊ HẠNH DẠY HỌC GIỚI HẠN Ở LỚP 11 THPT THEO HƯỚNG PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC HOẠT ĐỘNG HỌC TẬP CỦA HỌC SINH (THEO NỘI DUNG SGK ĐẠI SỐ LỚP 11 BAN CƠ BẢN) LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC Thái Nguyên - 2008 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 2 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM ---------------    --------------- VŨ THỊ HẠNH DẠY HỌC GIỚI HẠN Ở LỚP 11 THPT THEO HƯỚNG PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC HOẠT ĐỘNG HỌC TẬP CỦA HỌC SINH (THEO NỘI DUNG SGK ĐẠI SỐ LỚP 11 BAN CƠ BẢN) CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢNG DẠY TOÁN Mà SỐ: 60.14.10 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN NGỌC UY THÁI NGUYÊN - 2008 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 3 Lời cảm ơn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo- TS. Nguyễn Ngọc Uy, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện luận văn. Em xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong tổ Phương pháp giảng dạy Toán – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán- Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi và giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Em xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng đào tạo và nghiên cứu khoa học trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để em hoàn thành luận văn . Xin cảm ơn Ban giám hiệu và các bạn đồng nghiệp trường THPT Trại Cau đã động viên, giúp đỡ tôi hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu của mình. Thái nguyên, tháng 9 năm 2008 Vũ Thị Hạnh Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 4 MỤC LỤC Mở đầu ..................................................................................................... 1 I. Lý do chọn đề tài .................................................................................... 1 II. Mục đích nghiên cứu ............................................................................. 2 III. Nhiệm vụ nghiên cứu ............................................................................ 3 IV. Giả thiết khoa học ................................................................................ 3 V. Phương pháp nghiên cứu ........................................................................ 3 VI. Cấu trúc luận văn ................................................................................. 3 Chƣơng 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn ...................................................... 4 1.1. Tính tích cực của học sinh khi học môn toán .................................... 4 1.1.1. Quan niệm về tính tích cực ............................................................... 4 1.1.2. Những cấp độ khác nhau của tính tích cực .......................................... 6 1.1.3. Những biểu hiện của tính tích cực ...................................................... 7 1.1.4. Những yếu tố ảnh hưởng đến tính tích cực ......................................... 8 1.1.5. Sự cần thiết phải phát huy tính tích cực học tập của học sinh ............. 10 1.2. Thực tế dạy học giới hạn ở trƣờng THPT ....................................... 11 1.2.1 Thuận lợi ........................................................................................ 11 1.2.2 Khó khăn ........................................................................................ 11 1.2.3 Những sai lầm thường mắc phải của học sinh ................................... 12 Chƣơng 2. Dạy học giới hạn lớp 11 theo hƣớng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh ................................................................................ 17 2.1 Mục tiêu dạy học giới hạn lớp 11 THPT ........................................... 17 2.2. Những tình huống điển hình trong dạy học giới hạn ......................... 17 2.2.1. Dạy học khái niệm.......................................................................... 17 2.2.2. Dạy học định lý .............................................................................. 21 2.2.3. Dạy học quy tắc.............................................................................. 26 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 5 2.2.4. Dạy học bài tập .............................................................................. 29 2.3 Một số biện pháp nhằm tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh 47 2.3.1 Tổ chức cho học sinh đa dạng hoạt động trong học tập ..................... 48 2.3.2. Truyền thụ tri thức phương pháp qua ............................................. 51 2.3.3.Kết hợp nhiều phương pháp trong giờ dạy ......................................... 53 2.3.4. Khai thác và sử dụng phương tiện hợp lý có hiệu quả ........................ 63 2.3.5. Kiểm tra đánh giá ............................................................................ 68 Chƣơng 3: Thực nghiệm sƣ phạm ........................................................ 71 3.1. Mục đích thực nghiệm ........................................................................ 71 3.2. Nội dung thực nghiệm ........................................................................ 71 Một số giáo án dạy thực nghiệm giới hạn ............................................ 71 3.3. Tổ chức thực nghiệm .........................................................................106 3.4. Đánh giá kết quả thực nghiệm............................................................107 3.5. Kết luận chung về thực nghiệm ..........................................................108 Kết luận .................................................................................................110 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 6 NHỮNG CỤM TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN STT Viết tắt Viết đầy đủ 1 BT Bài tập 2 BTVN Bài tập về nhà 3 DH Dạy học 4 GV Giáo viên 5 HS Học sinh 6 KL Kết luận 7 NXB Nhà xuất bản 8 PPDH Phương pháp dạy học 9 TH Trường hợp 10 THPT Trung học phổ thông 11 SGK Sách giáo khoa 12 SGV Sách giáo viên 13 VD Ví dụ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1 MỞ ĐẦU I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong giai đoạn đổi mới hiện nay trước yêu cầu của sự nghiệp CNH- HĐH đất nước, để tránh nguy cơ bị tụt hậu về kinh tế và khoa học công nghệ thì việc cấp bách là phải nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo. Cùng với thay đổi về nội dung cần có thay đổi căn bản về phương pháp dạy học. Hội nghị TW khoá IV đặc biệt nhấn mạnh “Một trong những nhiệm vụ cần tập trung giải quyết từ nay đến năm 2010 là nâng cao chất lượng và hiệu quả của giáo dục. Muốn vậy phải thực hiện đổi mới giáo dục toàn diện, đổi mới mạnh mẽ về nội dung, chương trình và phương pháp giáo dục theo hướng chuẩn hoá, hiện đại hoá”. Luật giáo dục năm 2005 chương II mục 2 điều 25 có ghi: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động tư duy sáng tạo của HS; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học; khả năng làm việc theo nhóm, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm đem lai niềm vui hứng thú học tập cho học sinh”. Và trong chương I điều 5 có ghi “Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực tự giác, chủ động tư duy sáng tạo của người học, bồi dưỡng năng lực tự học khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý trí vươn lên”. Đứng trước nhu cầu đó đã làm nẩy sinh và thúc đẩy một cuộc vận động đổi mới phương pháp dạy học ở tất cả các cấp trong ngành giáo dục đào tạo, dần dần khắc phục những tồn tại phổ biến của phương pháp dạy học cũ như: Thuyết trình tràn lan, GV cung cấp kiến thức dưới dạng có sẵn, thiếu yếu tố tìm tòi phát hiện. Thầy áp đặt, trò thụ động, thiên về dạy, yếu về học, không kiểm soát được việc học. Thay vào đó là sự đổi mới về phương pháp dạy học, Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 2 với những tư tưởng chủ đạo được phát triển dưới nhiều hình thức khác nhau như “Lấy học sinh làm trung tâm”, “Phương pháp dạy học theo hướng tích cực”,“Tích cực hoá hoạt động dạy và học”. Đây là một hướng đổi mới PPDH được đông đảo các nhà nghiên cứu, các nhà lí luận và các Thầy cô giáo quan tâm. Việc vận dụng phương pháp này vào dạy học môn toán còn gặp rất nhiều hạn chế, còn có những vấn đề cần phải nghiên cứu áp dụng một cách cụ thể. Trong các vấn đề đó có vấn đề dạy học giới hạn ở trường THPT. Trong giải tích toán học thì khái niệm giới hạn giữ vai trò trung tâm. Giới hạn là một trong những khái niệm quan trọng nó chứa đựng nhiều kiến thức, nhiều tư duy, nhất là tư duy trừu tượng, tư duy logic… Trong đó thể hiện nhiều thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá, khái quát hoá, đặc biệt hoá…nó đòi hỏi phẩm chất tư duy như : Linh hoạt sáng tạo, sự tính toán chính xác, các phẩm chất đạo đức kiên trì chịu khó. Mặt khác giới hạn là một khái niệm mới và trừu tượng đối với HS THPT, hơn nữa phân phối chương trình giới hạn chiếm một thời gian rất ít nên việc nắm vững lí thuyết và vận dụng vào làm bài tập đối với HS là rất khó khăn, HS gặp không ít lúng túng sai sót khi làm bài tập. Vì những lí do trên tôi chọn đề tài nghiên cứu luận văn của mình là: “Dạy học giới hạn ở lớp 11 THPT theo hướng phát huy tính tích cực hoạt động học tập của học sinh”. II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Xây dựng một số biện pháp sư phạm nhằm phát huy tính tích cực học tập của học sinh ở trường THPT trong điều kiện và hoàn cảnh hiện nay. Vận dụng các biện pháp đó vào phần dạy học giới hạn ở lớp 11 sách giáo khoa Đại số và Giải tích ban cơ bản,nhằm nâng cao hiệu quả dạy và học môn toán ở trường THPT. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 3 III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU + Tìm hiểu cơ sở lí luận về dạy học theo hướng phát huy tính tích cực của học sinh + Nghiên cứu thực trạng của học sinh khi dạy học giới hạn + Đề xuất những biện pháp nhằm phát huy tính tích cực của học sinh khi dạy học giới hạn. + Thực nghiệm sư phạm, thăm dò ý kiến, kiểm tra tính khả thi của đề tài. IV. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC Nếu xây dựng được một số biện pháp sư phạm theo hướng phát huy tính tích cực hoạt động học tập của học sinh khi dạy học nội dung giới hạn thì sẽ làm cho học sinh hứng thú, chủ động, tích cực học tập, nắm vững kiến thức và phương pháp giải toán giới hạn. Góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy và học tập của giáo viên và học sinh. V. PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU + Nghiên cứu lý luận dạy học môn toán. + Nghiên cứu đề tài và luận văn của đồng nghiệp. + Nghiên cứu SGK Đại số - Giải tích lớp 11 ban cơ bản và sách tham khảo. + Điều tra tìm hiểu thực tiễn dạy học giới hạn ở trường THPT. + Thực nghiệm sư phạm. VI. CẤU TRÚC LUẬN VĂN + Mở đầu + Chương 1 : Cơ sở lý luận và thực tiễn + Chương 2 : Dạy học giới hạn lớp 11 THPT theo hướng phát huy tích cực hoạt động học tập của học sinh + Chương 3 : Thực nghiệm sư phạm + Kết luận. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 4 Chƣơng 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. Tính tích cực học tập của học sinh 1.1.1. Quan niệm về tính tích cực Theo V.O.Kôn “Khi nói đến tính tích cực, chúng ta quan niệm là mong muốn hành động được nảy sinh một cách không chủ định và gây nên những biểu hiện bên ngoài hoặc bên trong của sự hoạt động”. Theo I.kodak : “Tính tích cực nhận thức được thể hiện bằng nhiều biểu hiện như sự căng thẳng chú ý, sự tưởng tượng mạnh mẽ, sự phân tích tổng hợp sâu sắc”. Theo I.F.Kharlamôp: “Tính tích cực là trạng thái hoạt động của chủ thể nghĩa là người hành động. Vậy tính tích cực của nhận thức là trạng thái hoạt động đặc trưng bởi khát vọng học tập, cố gắng trí tuệ và nghị lực cao trong quá trình nắm vững kiến thức” và “Sự học tập là trường hợp riêng của nhận thức, một sự nhận thức đã được làm cho dễ dàng hơn và thực hiện được dưới sự chỉ đạo của giáo viên”. Vì vậy khi nói đến tính tích cực của nhận thức là nói đến tính tích cực học tập. Cũng có những ý kiến cho rằng: “Tính tích cực học tập và tính tích cực nhận thức có liên quan chặt chẽ với nhau nhưng không đồng nhất, tính tích cực học tập là hình thức bên ngoài của tính tích cực nhận thức”. Như vậy hiểu một cách đầy đủ, tính tích cực nhận thức là thái độ cải tạo của chủ thể đối với khách thể thông qua sự huy động ở mức độ cao chức năng tâm lí, nhằm giải quyết vấn đề học tập nhận thức. Nó là mục đích hoạt động, là phương tiện, là điều kiện để đạt được mục đích,đồng thời là kết quả của hoạt động học tập. Nó là phẩm chất nhân cách một thuộc tính của quá trình nhận thức,làm cho quá trình nhận thức luôn đạt kết quả cao giúp cho con người có khả năng học tập không ngừng. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 5 Tính tích cực học tập, vận dụng đối với HS đòi hỏi phải có nhân tố, tính lựa chọn thái độ với đối tượng nhận thức, đề ra cho mình mục đích nhiệm vụ cần giải quyết sau khi đã lựa chọn đối tượng, cải tạo đối tượng trong hoạt động sau này nhằm giải quyết vấn đề. Hoạt động mà thiếu những nhân tố trên thì chỉ có thể nói: Đó là sự thề hiện trạng thái, hành động nhất định của con người mà không thể nói là tính tích cực của nhận thức. Ví dụ: Khi ngồi trong lớp học, GV có thể theo yêu cầu của HS là:Trật tự,đọc sách, nhìn lên bảng, nghe giảng, ghi chép đầy đủ.Tuy nhiên nếu chỉ dừng ở đó, HS tiếp thu kiến thức một cách thụ động. Bởi vì HS không thể hiện thái độ cải tạo đối với những điều đã nghe thấy, họ không hề động não, không có ý định suy ngẫm mối liên hệ giữa điều thấy được, nghe được với điều họ đã biết và tìm ra dấu hiệu mới sau này. Ngược lại nếu HS chăm chú nghe giảng đào sâu suy nghĩ, chủ động tiếp cận kiến thức mới, thể hiện ở chỗ hăng hái phát biểu, biết nhận xét đúng sai khi nghe các ý kiến của các HS khác thì có thể nói rằng HS đó đã tích cực hoạt động học tập. Như vậy tính tích cực là kết quả của quá trình tư duy là mục đích cần đạt được của quá trình dạy học. Có 3 mức độ tư duy khác nhau. + Tư duy tích cực: HS chăm chú nghe giảng để hiểu bài.Nghiêm túc thực hiện các yêu cầu của GV. + Tư duy độc lập: HS tự mình tìm tòi suy nghĩ xây dựng khái niệm, phân tích định lý…Trong quá trình học tập khi vấn đề được đặt ra HS chịu khó tự suy nghĩ tìm tòi cách giải quyết. + Tư duy sáng tạo: Học sinh không chịu dừng lại ở cái chỗ đã biết mà tìm tòi giải pháp mới hoặc tự khám phá vấn đề. Ba mức độ tư duy được biểu diễn bằng ba đường tròn đồng tâm,do đó khi soạn bài GV cần quan tâm đến cả 3 mức độ tư duy, nâng cao hay hạ thấp một cách linh hoạt tuỳ thuộc vào đối tượng HS cụ thể. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 6 Trong hoạt động học tập tính tích cực của nhận thức là điều kiện cần thiết để nắm vững tài liệu học tập, giúp HS hướng sự chú ý của mình vào hoạt động học tập, bồi dưỡng trí tò mò khoa học và lòng ham hiểu biết, hình thành nhu cầu nhận thức. Vì thế HS có thể sẵn sàng dồn hết sức lực trí tuệ để hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập. 1.1.2. Những cấp độ khác nhau của tính tích cực Hoạt động của HS,tuỳ theo việc huy động chủ yếu những chức năng tâm lý nào và mức huy động những chức năng tâm lý đó, mà tính tích cực học tập của HS được phân hoá theo các cấp độ khác nhau. Theo G.I.Sukina trong học tập tính tích cực được phân ra thành ba cấp độ khác nhau. + Tính tích cực tái hiện và bắt trước: Là tính tích cực chủ yếu dựa vào trí nhớ và tư duy tái hiện xuất hiện do các tác động bên ngoài (Các yếu tố bắt buộc của giáo viên). Trong trường hợp này người học thao tác trên đối tượng, bắt trước theo mẫu hoặc mô hình của GV, nhằm chuyển đối tượng từ bên ngoài vào bên trong theo cơ chế nhập tâm chưa có nỗ lực của tư duy. Loại này thường phát triển mạnh ở HS có năng lực nhận thức ở mức độ trung bình và dưới trung bình. Nhưng nó lại là tiền đề cơ bản giúp HS nắm được nội dung bài giảng có điều kiện nâng tính tích cực cao lên. Ví dụ 1: Để giúp học sinh biết cách giải một dạng bài tập, GV có thể giải một bài tập mẫu lên bảng, HS dựa vào bài tập mẫu để giải quyết các bài tập tương tự cùng dạng đó. + Tính tích cực tìm tòi: Là tính tích cực đi liền với quá trình lĩnh hội khái niệm, giải quyết tình huống, tìm tòi các phương thức hành động,…Nó được được trưng bằng sự bình phẩm, phê phán, tìm tòi tích cực về mặt nhận thức, về sáng kiến, lòng khát khao hiểu biết, hứng thú học tập và được thể hiện ở sự tự giác tìm kiếm các phương thức lĩnh hội có hiệu quả. Tính tích cực tìm tòi không bị hạn chế trong khuôn khổ những yêu cầu của GV. Trong Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 7 giờ học.loại này thường phát triển mạnh mẽ ở những HS có lực học trung bình và trên mức trung bình.( khá, giỏi). Ví dụ 2: Đứng trước một bài toán, người học không chỉ dừng lại ở việc giải được bài toán mà còn có nhu cầu tìm ra lời giải ngắn gọn nhất, hay nhất, đó là sự thể hiện tính tích cực tìm tòi. + Tính tích cực sáng tạo: Là tính tích cực có mức độ cao nhất nó được đặc trưng bằng sự khẳng định con đường riêng của mình không giống con đường mà con người đã thừa nhận, đã trở thành chuẩn hoá,để đạt được mục đích. Nó thể hiện khi chủ thể nhận thức tìm tòi kiến thức mới. Tự tìm ra những phương thức hành động riêng trong đó có các cách thức giải quyết mới mẻ, không dập khuôn máy móc. Ví dụ 3: Khi giải một bài toán người học thể hiện tính tích cực sáng tạo ở việc cố gắng tìm cách giải bài toán bằng nhiều con đường khác nhau, nhiều phương pháp khác nhau, đó chính là thói quen nhìn nhận một sự kiện dưới nhiều góc độ khác nhau. Đối với học sinh THPT các em đang ở lứa tuổi hội tụ đầy đủ các yếu tố tâm lý, thể lực, khả năng làm việc độc lập có lòng khao khát thể hiện bản thân có ý thức tích luỹ kiến thức để phục vụ cuộc sống sau này.Điều cần thiết là phải vươn lên tới mức độ tìm tòi và sáng tạo đặc biệt là học sinh khá giỏi. Dựa vào các cấp độ khác nhau của tính tích cực học tập của HS, GV có thể đánh giá tính tích cực ở mỗi HS khi học tập, tuy nhiên sự đánh giá đó còn tương đối khái quát. Do vậy để nhận biết học tập của HS có tích cực hay không người GV thông qua một số dấu hiệu nhận biết sau: 1.1.3. Dấu hiệu nhận biết tính tích cực trong hoạt động học tập + Dấu hiệu về hoạt động nhận thức: Thể hiện ở các thao tác tư duy,ngôn ngữ, sự quan sát, ghi nhớ tư duy hình thành khái niệm, phương thức hành động, hình thành kỹ năng kỹ xảo các câu hỏi nhận thức của HS. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 8 + Dấu hiệu chú ý nghe giảng: Thể hiện ở chỗ chú ý nghe giảng, thực hiện đầy đủ các yêu cầu của GV, hoà nhập với không khí của cả lớp,giải đáp đầy đủ các yêu cầu của GV đưa ra nhanh chóng,chính xác và nhận biết đúng sai sau khi bạn đưa ra ý kiến. + Dấu hiệu về tinh thần,tình cảm học tập: Thể hiện qua sự say mê sốt sắng của HS khi thực hiện yêu cầu mà GV đặt ra: HS thích được trả lời câu hỏi, HS làm bài tập một cách hồ hởi tự nguyện. + Dấu hiệu về ý chí,quyết tâm học tập: Thể hiện ở sự nỗ lực ý trí giải quyết nhiệm vụ học tập, kiên trì tìm tòi đến cùng và cao hơn nữa là vạch ra được mục tiêu kế hoạch học tập. + Dấu hiệu về kết quả nhận thức: Thể hiện ở kết quả lĩnh hội kiến thức nhanh chóng chính xác và tái hiện được khi vận dụng trong các tình huống cụ thể. Ngoài các dấu hiệu dễ nhận biết như trên còn có các dấu hiệu khác khó nhận biết hơn như dấu hiệu nhận thức cảm tính dấu hiệu nhận thức lý tính, dấu hiệu sự biến đổi sinh lý tinh thần, dấu hiệu về trạng thái hoạt động …Vì vậy để có thể điều chỉnh phương pháp của mình sao cho phù hợp với đối tượng HS, người GV cần phải thu nhận các thông tin ngược từ học sinh. Tính tích cực học tập của học sinh tuy nảy sinh trong quá trình học tập nhưng nó lại là kết quả của nhiều nguyên nhân, có nguyên nhân được phát sinh trong lúc học tập, có nguyên nhân được hình thành trong quá khứ, thậm chí từ lịch sử lâu dài của nhân cách, nhưng nhìn chung tính tích cực trong hoạt động học tập của HS phụ thuộc vào các yếu tố sau: 1.1.4. Những yếu tố ảnh hưởng tới tính tích cực học tập của học sinh + Hứng thú: Có vai trò rất lớn trong quá trình học tập của HS, khi HS có hứng thú với đối tượng nào đó, họ thường hướng toàn bộ quá trình nhận thức của mình vào đối tượng, làm cho sự quan sát tinh nhậy hơn, ghi nhớ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 9 nhanh chóng và lâu bền, tưởng tượng phong phú, tư duy tích cực góp phần nâng cao tính tích cực học tập của HS. Hứng thú phát triển đến mức độ nào đó sẽ biến thành nhu cầu, HS thấy cần phải hành động để thoả mãn hứng thú đó và hành động hết sức tự giác , đầy sáng tạo mang lại hiệu quả cao. Với vai trò đó, khi được củng cố và phát triển một cách có hệ thống hứng thú đó sẽ trở thành cơ sở của thái độ tích cực đối với học tập, là một trong những động cơ quan trọng nhất của HS. + Nhu cầu: Nhu cầu và hành động có quan hệ chặt chẽ với nhau, nhu cầu thúc đẩy hành động là nguồn gốc của tính tích cực học tập. Có những lúc, nhu cầu là nguyên nhân nẩy sinh những hứng thú trực tiếp trong học tập (Ví dụ như nhu cầu được điểm tốt). Nhưng quan trọng hơn là nhu cầu tìm hiểu và vận dụng kiến thức vào thực tiễn, điều đó sẽ kích thích được HS thường xuyên hoàn thiện bổ xung tri thức trong quá trình học tập cũng như trong công việc lao động. + Động cơ hoạt động: Được thúc đẩy bởi động cơ xác định và diễn ra trong tình huống cụ thể. Động cơ học tập sẽ làm cho HS có lòng khao khát được mở rộng tri thức, say mê với quá trình giải quyết các nhiệm vụ học tập, nỗ lực vượt qua mọi khó khăn. Động cơ học tập là nguyên nhân bên trong đã được học sinh ý thức trở thành động lực tâm lý nội tại, có tác dụng phát huy mọi sức mạnh về tinh thần và vật chất ở người HS, thúc đẩy họ học tập một cách tích cực. Đồng thời động cơ học tập với tư cách là mục đích sẽ quy định chiều hướng tâm lý của hoạt động học tập. + Năng lực: Là điều kiện về mặt trí tuệ giúp cho HS có khả năng lĩnh hội với tốc độ nhanh, tức là có sự khái quát nhanh, trình độ phân tích tổng hợp cao với tính mềm dẻo của tư duy. + Ý chí: Một trong những phẩm chất quan trọng của nhân cách con người là ý chí, ý chí giúp con người vượt qua mọi khó khăn, đi sâu vào nhận Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 10 thức các quy luật khách quan, tức là một biểu hiện của tính tích cực. Ngược lại có tình cảm học tập và một số mặt tự phát của tính tích cực như: Tò mò yêu thích hoạt động sẽ kích thích được HS có ý thức tìm tòi để chiếm lĩnh kiến thức góp phần hình thành ý chí bản lĩnh cho HS.Vì vậy ý chí có sự liên hệ chặt chẽ với tính tích cực của học tập. + Sức khoẻ: Là nền tảng cho tính tích cực học tập của HS, người có sức khoẻ, thể lực phát triển thì tác phong cử chỉ nhanh nhẹn trạng thái vui tươi, cường độ hoạt động học tập cao, tập chung chú ý được lâu bền. + Môi trường: Là một trong những nhân tố tác động mạnh mẽ tới tính tích cực của nhận thức của HS, góp phần tạo cho HS những hứng thú học tập. 1.1.5. Sự cần thiết phải phát huy tính tích cực học tập của học sinh Trong luật giáo dục 1998 chương 1 điều 2 quy định “Mục tiêu của giáo dục là đào tạo con người Việt Nam phát triển toàn diện có đạo đức, tri thức sức khoẻ, thẩm mỹ và nghề nghiệp, trung thành với lý tưởng độc lập dân tộc và chủ nghĩa xã hội; hình thành và bồi dưỡng nhân cách, phẩm chất năng lực của công dân, đáp ứng yêu cầu xây dựng và bảo vệ tổ quốc”. Và chương 2 mục 2 điều 23 nêu rõ: “Giáo dục THPT nhằm giúp HS củng cố và phát triển những kết quả của giáo dục THCS hoàn thiện học vẫn phổ thông và những hiểu biết thông thường về kỹ thuật hướng nghiệp để tiếp tục học lên đại học và cao đẳng, trung học chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động”. Bên cạnh đó nhiệm vụ cơ bản của trường THPT là đảm bảo cho HS lĩnh hội cơ sở khoa học một cách tích cực, tự giác và có hệ thống Để thể hiện tốt mục tiêu và nhiệm vụ trên trong toàn ngành giáo dục cần có một cuộc vận động đổi mới phương pháp dạy học một chiều sang dạy học theo hướng phát huy tính tích cực của học sinh, làm cho “học” là quá trình kiến tạo HS tìm tòi khám phá,phát hiện nguyên nhân, khai thác và xử lí thông tin…tự hình thành hiểu biết năng lực và phẩm chất.Tổ chức hoạt động Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 11 cho học sinh là dạy cho HS cách tìm ra chân lý chú trọng hình thành các năng lực. Dạy tri thức phương pháp và kỹ thuật khoa học, dạy cách học, học để đáp ứng nhu cầu cuộc sống hiện tại và tương lai. Những điều đã học cần thiết bổ ích cho bản thân HS và cho sự phát triển của xã hội 1.2 Phân tích thực tế dạy học giới hạn ở trƣờng THPT 1.2.1 Thuận lợi - Các khái niệm cơ bản trong SGK được trình bày theo hướng phát huy tính tích cực của học sinh, tức là xuất phát từ kiến thức cũ đặt vấn đề nghiên cứu kiến thức mới. - Phân biệt rõ cho HS hiểu được khái niệm và chứ không trình bầy chung chung là như SGK cũ. - Các khái niệm giới hạn 0 giới hạn vô cực của dãy được đưa vào theo con đường quy nạp. Cụ thể qua các hoạt động khái niệm được mô tả nhờ vào các ghi nhận trực giác số và trực giác hình học, sau đó định nghĩa tổng quát dưới dạng mô tả làm cho HS dễ hiểu vấn đề hơn. - Các bài tập trong SGK tuy ít nhưng đa dạng, phong phú phù hợp với trình độ học sinh. 1.2.2. Khó khăn Kiến thức: - Đây là một trong những chương khó của giải tích ở THPT. Các khái niệm về giới hạn, hàm số liên tục là hoàn toàn mới mẻ, trừu tượng đối với HS THPT. - Cách tiếp cận khái niệm cũng khác trước đây, trong thời gian ngắn của phân phối chương trình HS khó có thể hiểu một cách thấu đáo mọi vấn đề. - Trong chương trình SGK không đưa quy tắc tìm giới hạn dạng vô định dẫn tới khó khăn cho GV khi dạy phần này. - Việc vận dụng quy tắc ở SGK rất khó, HS dễ nhầm khi gặp giới hạn dạng này. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 12 Về tư duy: Trong các quá trình giải các bài toán về giới hạn đòi hỏi HS phải vận dụng linh hoạt các quy tắc các phép biến đổi đại số, điều này không phải HS nào cũng làm được. Phương pháp: Khi học phần này HS đôi khi phải sử dụng đến phương pháp đặc biệt hoá, khái quát hoá… để làm công cụ học tập. Khả năng phân tích tổng hợp, so sánh trừu tượng của HS còn gặp nhiều hạn chế dẫn tới việc học giới hạn còn gặp không ít khó khăn. Kỹ năng: Đối với HS đã chọn học ban cơ bản thì kỹ năng biến đổi đại số còn rất hạn chế dẫn tới tính giới hạn không đúng. 1.2.3. Sai lầm thường mắc phải của học sinh + Sai lầm khi áp dụng sai định lý Ví dụ 1: Khi tính 2 2 2 1 1 1 lim( ... ) 1 2n L n n n n Học sinh làm như sau: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 lim( ... ) 1 2 1 1 1 lim lim ... lim 1 2 0 0 ... 0 0 n n n n L n n n n n n n n Vậy HS sai lầm ở đâu? Cách giải đúng là gì? Sai lầm ở chỗ học sinh hiểu sai định lí các phép toán về giới hạn.định lý này chỉ đúng cho hữu hạn số hạng, còn trong bài này tổng là vô hạn nên không thể áp dụng định lí đó được Lời giải đúng là 2 2 2 1 1 1 n n n k n với k = 1,2, ..., n 2 2 1 1 1 1 n kn n n k Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 13 Mà 2 1 1 lim lim 1 1 1 n n L n n n Vậy 2 1 1 lim 1 n n k L n k + Sai lầm do biến đổi đại số Ví dụ 2: Tìm giới hạn 2 2 4 lim 2x x x Học sinh giải như sau: 2 2 2 2 4 ( 2)( 2) lim lim lim( 2) 4 2 2x x x x x x x x x Lời giải trên là chưa chính xác do học sinh coi 2 2x x với mọi x Lời giải đúng là: 2 2 2 ( 2) 2 x khi x x x khi x Tức là khi 2x thì 2 ( 2)x x Khi 2x thì 2 ( 2)x x Để xem giới hạn khi 2x có tồn tại không ta tính các giới hạn: 2 2 4 lim 2x x x và 2 2 4 lim 2x x x ta có 2 2 2 4 ( 2)( 2) lim lim 4 2 2x x x x x x x 2 2 2 4 ( 2)( 2) lim lim 4 2 ( 2)x x x x x x x Ta thấy 2 2 2 2 4 4 lim lim 2 2x x x x x x vậy không tồn tại giới hạn. 2 2 4 lim 2x x x Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 14 + Sai lầm khi học sinh tìm giới hạn bằng phƣơng pháp đặt ẩn phụ. Ví dụ 3: Tính 0 2 1 1 lim x x x Học sinh giải như sau: Đặt 2 2 12 1 2 1 2 t t x t x x Vậy 2 0 0 0 2 1 1 1 2 lim lim lim 2 1 1 2 x t t x t tx t Vậy HS sai lầm ở chỗ sau khi biến x chuyển sang biến t học sinh chưa tìm giới hạn cho biến t Lời giải đúng là : đặt 2 2 12 1 2 1 2 t t x t x x khi 0x thì 1t Vậy 2 0 1 1 2 1 1 1 2 lim lim lim 1 1 1 2 x t t x t tx t + Sai lầm của học sinh khi gặp giới hạn vô cực Ví dụ 4: Tìm 2 1 lim 2x x x Học sinh tính như sau: lim(2 1)2 1 lim 1 2 lim( 2) x x x xx x x Lời giải ở trên sai lầm ở chỗ +Áp dụng định lý về các phép toán về giới hạn là sai vì tử số và mẫu số không có giới hạn hữu hạn +Học sinh chưa hiểu rõ khái niệm vô cực, vô cực không phải là một số cụ thể mà chỉ là ký hiệu. Lời giải đúng là : Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 15 1 1 1 (2 ) 2 lim(2 ) 2 1 lim lim lim 2 2 1 12 (1 ) 1 lim(1 ) x x x x x x x x x x x x x x x Ví dụ 5: Tính 2lim( 1 ) x x x Học sinh giải như sau: 2 2lim( 1 ) lim 1 lim 0 x x x x x x x Lời giải trên sai ở chỗ HS coi là một số cụ thể nên áp dụng định lý các phép toán về giới hạn hữu hạn và thực hiện phép toán =0 một cách bình thường. Lời giải đúng là 2 2 2 2 2 2 2 1 1 lim( 1 ) lim 1 1 lim 0 1 x x x x x x x x x x x x x x x + Sai lầm khi không hiểu rõ khái niệm giới hạn một phía Ví dụ: Cho hàm số 1 íi x > 1 ( ) 1 2 íi x < 1 x v f x x v Tìm 1 lim ( ) x f x Học sinh làm như sau: 1 1 1 1 1 1. 1 lim ( ) lim lim lim 1 0 1 1x x x x x x x f x x x x Lời giải trên sai ở chỗ khi viết 1x tức là 1x và 1x Vậy lời giải đúng là 1 1 1 1 1 1. 1 lim ( ) lim lim lim 1 0 1 1x x x x x x x f x x x x Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 16 1 1 lim ( ) lim2 2 x x f x Vì 1 1 lim ( ) lim ( ) x x f x f x Nên không tồn tại 1 lim ( ) x f x Như vậy những sai lầm phổ biến của HS khi làm các bài tập về giới hạn thường xuất phát từ chỗ các em chưa nắm vững lý thuyết. Kỹ năng biến đổi đại số chưa thành thạo, khả năng vận dụng tri thức chưa cao. KẾT LUẬN CHƢƠNG 1 Tính tích cực của con người được biểu hiện trong hoạt động, trong đó học tập là hoạt động chủ đạo của lứa tuổi học sinh. Tính tích cực nhận thức là điều kiện cần thiết để nắm vững tài liệu học tập, là trạng thái hoạt động của HS, đặc trưng bởi khát vọng học tập, cố gắng trí tuệ và nghị lực cao trong quá trình nắm vững kiến thức. Tính tích cực học tập được nhận biết qua những dấu hiệu về nhận thức, xúc cảm, ý trí …và chia thành ba cấp độ : tính tích cực tái hiện và bắt chước,tính tích cực tìm tòi,tính tích cực sáng tạo. Muốn HS hoạt động học tập một cách tích cực,người GV cần thiết phải thúc đẩy được các yếu tố như :hứng thú,nhu cầu,động cơ,năng lực,… cho HS. Trong thực tế dạy học ở THPT hiện nay, kỹ năng giải toán của HS nói chung cũng như kỹ năng giải bài tập về giới hạn nói riêng còn gặp rất nhiều hạn chế. Để khắc phục tình trạng này,trong chương II của luận văn đề cập tới vấn đề dạy học giới hạn lớp 11 theo hướng phát huy tính tích cực hoạt động học tập của HS Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 17 Chƣơng 2 DẠY HỌC GIỚI HẠN LỚP 11 THPT THEO HƢỚNG TÍCH CỰC HOÁ HOẠT ĐỘNG HỌC TẬP CỦA HỌC SINH 2.1. Mục tiêu của dạy học giới hạn lớp 11 THPT Khi dạy học chủ đề này GV phải làm cho HS nắm vững được các nội dung sau: + Các khái niệm về giới hạn của dãy số, của hàm số + Các định lí, tính chất về giới hạn của dãy số, hàm số + Các quy tắc phương pháp tìm giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực, giới hạn một bên của dãy số, hàm số. + Học sinh biết cách vận dụng các định nghĩa, tính chất,định lí, quy tắc để làm các bài tập về giới hạn và giải các bài toán thực tế trong đời sống. + Qua chủ đề này, rèn cho học sinh kỹ năng biến đổi đại số, lượng giác. Rèn luyện tính tự giác, tích cực, độc lập phát hiện cũng như lĩnh hội được kiến thức. Trong hoạt động học tập, rèn luyện tính cẩn thận, chính xác trong lập luận và tính toán. 2.2 Những tình huống điển hình trong dạy học giới hạn 2.2.1.Dạy học khái niệm. Trong việc dạy học toán cũng như việc dạy học ở bất kỳ bộ môn nào ở trường THPT, điều quan trọng bậc nhất là hình thành một cách vững trắc cho HS một hệ thống khái niệm. Đó là cơ sở toàn bộ kiến thức toán học của học sinh, là tiền đề để xây dựng cho HS khả năng vận dụng kiến thức đã học. Quá trình hình thành khái niệm có tác dụng rất lớn đến việc phát triển trí tuệ, đồng thời góp phần phát triển thế giới quan cho HS. Việc dạy học khái niệm toán nói chung và dạy khái niệm giới hạn nói riêng cần phải làm cho HS dần dần đạt được các yêu cầu sau: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 18 + Nắm vững được các đặc điểm, đặc trưng cho một khái niệm + Biết nhận dạng khái niệm. + Biết phát hiện một cách chính xác, rõ ràng định nghĩa của một số khái niệm. + Biết vận dụng khái niệm trong các tình huống cụ thể, trong hoạt động giải toán và ứng dụng thực tế. + Biết phân loại khái niệm và nắm vững được nội dung quan hệ của một khái niệm với những khái niệm khác trong cùng một hệ thống khái niệm. Những yêu cầu trên đây, có quan hệ chắt chẽ với nhau nhưng tùy từng khái niệm mà đặt ra các yêu cầu khác nhau. Chẳng hạn đối với khái niệm giới hạn hữu hạn của một dãy số, đòi hỏi HS phải phát biểu được định nghĩa một cách chính xác và vận dụng được định nghĩa trong khi làm bài tập. Còn đối với khái niệm giới hạn vô cực của dãy số, thì không đòi hỏi phải nêu được khái niệm một cách tường minh mà chỉ cần HS hình dung ra được khái niệm, một cách trực quan thông qua ví dụ cụ thể. Từ trước tới nay, giới hạn vẫn là một khái niệm trừu tượng, khó hiểu đối với học sinh THPT. Do vậy GV, cần phải làm cho HS tiếp cận được khái niệm. Đó là khâu đầu tiên, trong quá trình hình thành khái niệm giới hạn. Thông thường,trong dạy học người ta phân biệt ba con đường tiếp cận khái niệm bao gồm: Con đường suy diễn, con đường quy nạp, con đường kiến thiết. Tùy theo từng khái niệm cụ thể, mà GV nên chọn con đường hình thành khái niệm khác nhau. Ví dụ 1: Khi dạy về khái niệm giới hạn của dãy số GV có thể dạy như sau: + Cho HS biểu diễn các dãy số sau trên trục số. (1) Dãy (un) với 1 un n (2) Dãy (un) với 1 n un n Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 19 (3) Dãy (un) với 1 ( 1) un n n (4) Dãy (un) với 2 1n un n (5) Dãy (un) với 6 1n un n (6) Dãy (un) với 3 1 5 2 n un n + Học sinh quan sát các hình biểu diễn và nhận xét xem các dãy số trên có tính chất gì? Nêu lên sự giống nhau và khác nhau, từ đó rút ra tính chất đặc trưng ? + GV hướng dẫn HS nhận xét : Từ chỉ số nào đó khá lớn của n các dãy (1), (2), (3) gần bằng 0, các số hạng của dãy (4) gần bằng 2, các số hạng của dãy (5) gần bằng 6, các số hạng của dãy (6) gần bằng 3 2 . Sau khi đã cùng học sinh quan sát và nhận xét, GV hoặc HS có thể đưa ra định nghĩa giới hạn 0 và giới hạn a của dãy số. Qua ví dụ trên,GV đã cho HS tiếp cận theo con đường quy nạp. Quá trình này chưa kết thúc khi phát biểu được định nghĩa của khái niệm đó. Một khâu rất quan trọng trong dạy học khái niệm là củng cố khái niệm. Trong hoạt động củng số khái niệm thường được tiến hành bằng các hoạt động sau: + Hoạt động nhận dạng và thể hiện khái niệm : Đây là hai dạng hoạt động theo hai chiều hướng trái ngược nhau, có tác dụng củng cố khái niệm, tạo tiền đề cho vận dụng khái niệm. Sau khi học xong khái niệm giới hạn hữu hạn của dãy số, HS làm bài tập sau: Bài tập 1 : CMR 2 lim 1 1 5 n (Nhận dạng ) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 20 Bài tập 2 : Cho 1 2n un tìm lim(un) ( Thể hiện ) + Hoạt động ngôn ngữ : Tức là GV cho HS phát biểu định nghĩa bằng lời lẽ của mình, biết thay đổi cách phát biểu, diễn đạt định nghĩa dưới những dạng ngôn ngữ khác nhau, phân tích nêu bật những ý quan trọng chứa trong định nghĩa một cách tường minh hay ẩn tàng. Hoạt động này góp phần phát triển ngôn ngữ cho HS. Ví dụ 2: Học sinh có thể phát biểu định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số theo các cách như sau: Cách 1 : Dãy (un) được gọi là có giới hạn a nếu khoảng cách từ un đến a càng dần tới 0 khi n càng lớn. Cách 2 : Dãy số (un) được gọi là có giới hạn a khi n tăng lên vô hạn nếu có thể làm cho un sai khác với a một lượng nhỏ bao nhiêu tùy ý, miễn là chọn n đủ lớn. Cách 3: Dãy số là có giới hạn a khi n tăng lên vô hạn nếu điều kiện sau đây được thoả mãn: Với mọi số dương nhỏ tuỳ ý ta đều có thể làm cho nu a miễn là chọn n đủ lớn. Cách 4: Dãy số (un) được gọi là có giới hạn a khi n tăng lên vô hạn nếu điều kiện sau đây được thỏa mãn : Với mọi số dương nhỏ tuỳ ý đều tồn tại N sao cho với mọi n >N ta đều có nu a Cách 5: lim ( 0); ,( )n nu a N n N u a + Khái quát hóa đặc biệt hóa và hệ thống hóa Ví dụ 3: Từ khái niệm về giới hạn hữu hạn của hàm số ta có thể mở rộng ra khái niệm hàm số dần tới vô cực, giới hạn vô cực của hàm số và khái niệm giới hạn một phía. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 21 Ví dụ 4 : Từ khái niệm giới hạn của dãy số bao gồm Giới hạn 0 Giới hạn hữu hạn a Giới hạn vô cực của dãy Giới hạn của hàm số. + Phân chia khái niệm Khi dạy học khái niệm giới hạn GV có thể cho HS phân chia như sau: Khi dạy học khái niệm giới hạn, GV cần làm cho HS thấy rõ không phải dãy số nào, hàm số cũng có giới hạn Ví dụ 5: Dãy số (un) với un = (-1) n . dãy này không có giới hạn vì khi biểu diễn các số hạng của dãy trên trục số ta thấy nếu n chẵn thì un = 1 và nếu n lẻ thì un = -1. Ví dụ 6: Cho hàm số x +1 f(x) = x x hàm số này cũng không có giới hạn khi x 1 2.2.2. Dạy học định lí về giới hạn. “ Dạy học những mệnh đề thực chất là các định lý toán học dù cho nó có được nêu thành định lý trong sách giáo khoa hay không”, Với quan điểm trên thì các công thức, các hệ thức toán học cũng là các định lý. Giới hạn Giới hạn dãy số Giới hạn hàm số Giới hạn vô cực Giới hạn tại vô cực Giới hạn hữu hạn Giới hạn hữu hạn Giới hạn vô cực Nếu x >1 Nếu x <1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 22 Các định lý, cùng với các nội dung toán học tạo thành các nội dung cơ bản của môn toán,làm nền tảng cho việc rèn luyện kỹ năng suy luận, chứng minh, phát triển năng lực trí tuệ chung, việc dạy học định lý toán học nói chung và định lý về giới hạn nói riêng cần đạt được các yêu cầu sau: + Học sinh phải nắm được, hệ thống các định lý và mối liên hệ giữa chúng, từ đó có khả năng vận dụng chúng vào những hoạt động giải toán cũng như giải quyết các vấn đề trong thực tiễn. + Học sinh thấy được, sự cần thiết phải chứng minh định lý, thấy được chứng minh định lý là một yếu tố quan trọng, trong phương pháp làm việc trên lĩnh vực toán học + Học sinh hình thành và phát triển năng lực chứng minh toán học, từ chỗ hiểu chứng minh, trình bầy chứng minh, nâng lên đến mức độ biết cách suy nghĩ,để tìm ra cách chứng minh Việc dạy định lý toán học có hai con đường khác nhau: Con đường có khâu suy đoán và con đường suy diễn. Hai con đường này được minh họa như sau: Vận dụng định lý để giải quyết vấn đề đặt ra Con đường có khâu suy đoán Dự đoán và phát biểu định lý Suy diễn dẫn tới định lý Con đường suy diễn Gợi động cơ phát biểu vấn đề Chứng minh định lý Phát biểu định lý Củng cố định lý Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 23 Việc đi theo con đường nào không phải là tùy tiện, mà tùy theo mỗi nội dung của định lý và tùy theo điều kiện cụ thể của HS, mà lựa chọn con đường nào cho thích hợp. Chẳng hạn, khi dạy cho HS định lý kẹp về giới hạn của dãy số, theo con đường suy diễn, GV có thể gợi động cơ và phát biểu vấn đề bằng cách cho HS làm bài tập sau: Bài tập 1: Cho 3 dãy số (un), (vn) và (wn) với lim un = lim wn = L và n n nu v w Hãy tìm limvn ? HS có thể giải như sau: Xuất phát từ giả thiết n n nu v w suy ra 0 n n n nv u w u *n N Theo định lý về giới hạn ta có Lim (wn- un) = Limwn – Lim un = L- L = 0 Nên Lim (vn – un) = 0 Do đó Lim vn = Lim [(vn- un )+ un] = Lim(vn – un ) + Lim un = 0 + L = L Vậy Lim vn = L. Từ bài toán trên HS có thể suy diễn dẫn tới phát biểu thành định lý sau: Định lý: Cho ba dãy số (un), (vn) và (wn) nếu *n N ta có n n nu v w và Limwn = Lim un = L thì Lim vn = L. n n nu v w Sau khi phát biểu xong định lý GV cho HS vận dụng định lý để giải bài toán sau L Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 24 Bài toán 2 Tìm 3sin 4cos lim 1 n n n Giải : Học sinh nhận xét 2 2 2 2 2(3sin 4cos ) (3 4 )(sin ) 25n n n cos n 3sin 4cos 5 5 3sin 4cos 5n n n n vì n+ 1 > 0 *n N nên 5 3sin 4cos 5 1 1 1 n n n n n Mà 5 5 lim lim 0 1 1n n nên 3sin 4cos lim 0 1 n n n Trong việc dạy học định lý cũng như dạy học khái niệm việc phát triển ngôn ngữ cho HS là không thể thiếu được. GV cần cho học sinh phát biểu định lý dưới nhiều dạng ngôn ngữ khác nhau như : Dạng công thức, dạng mệnh đề có liên từ. “ Nếu – thì”. Ví dụ 1: Từ định lý ở sách giáo khoa là : “Giả sử 0 lim ( ) x x f x L và 0 lim ( ) x x g x M khi đó 0 lim ( ) ( ) x x f x g x L M ” ( L,M R ) Ta có thể cho HS phát biểu như sau: “Nếu 0 lim ( ) x x f x L và 0 lim ( ) x x g x M thì 0 lim ( ) ( ) x x f x g x L M ” ( L,M R ) Từ định lý này có thể khái quát thành định lý sau: “Nếu 0 1 1lim ( ) x x f x M , 0 2 2lim ( ) x x f x M …, 0 lim ( )n n x x f x M (M1, M2…Mn R) thì 0 1 2 1 2lim ( ) ( ) ... ( ) ...n n x x f x f x f x M M M Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 25 hoặc cũng từ định lý “Nếu 0 lim ( ) x x f x L và 0 lim ( ) x x g x M thì 0 lim ( ). ( ) . x x f x g x L M ” Ta có thể đặc biệt hóa như sau: Nếu f(x) = a và g(x) = x k thì 0 0 0lim ( ). ( ) lim( . ) . k k x x x x f x g x a x a x Khi dạy định lý cho HS cần lưu ý tới các điều kiện để áp dụng định lý, tránh những sai lầm đáng tiếc Ví dụ 2: Tìm giới hạn 2 1 2 lim 1x x x x Khi gặp bài toán này, không thể áp dụng định lý về giới hạn hữu hạn của một hàm số được vì 1 lim( 1) 0 x x vi phạm điều kiện ( ) 0g x trong định lý. Hoặc sau khi học xong định lý, GV có thể củng cố định lý bằng cách thành lập các mệnh đề đảo, phản, phản đảo rồi cho HS nhận xét xem các mệnh đề đó có đúng không. Ví dụ 3: Xét xem mệnh đề sau có đúng không : Nếu hai dãy số( Un ) và ( Vn )đều không có giới hạn thì tổng của chúng cũng không có giới hạn . Ta thấy mệnh đề trên rõ ràng là sai vì : Xét 2 dãy số Un = (-1) n và Vn = (-1) n+1 ta thấy rằng(U n )và (Vn )đều không có giới hạn nhưng Lim(Un+Vn) = lim[(-1) n + (-1) n+1 ] = lim 0 = 0 Như vậy hai dãy số không có giới hạn nhưng tổng của chúng vẫn có thể có giới hạn. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 26 2.2.3 Dạy học quy tắc Thực ra quy tắc không hoàn toàn đối lập với định nghĩa định lý có khi nó chỉ là một hình thức phát biểu khác của một định nghĩa hay một định lý. Tuy nhiên việc dạy loại hình này có những nét riêng. Trong luận văn này đề cập dạy học quy tắc để tìm giới hạn dựa trên khái niệm thuật giải. Hằng ngày, con người tiếp xúc với rất nhiều bài toán,từ đơn giản đến phức tạp. Đối với một số bài toán, tồn tại những quy tắc xác định mô tả quá trình giải. Từ đó người ta đi đến khái niệm trực giác về thuật giải và khái niệm này được dùng từ lâu kéo dài suốt mấy nghìn năm lịch sử toán học. Thuật giải, theo nghĩa trực giác được hiểu như một dãy hữu hạn những chỉ dẫn thực hiện một cách đơn trị và kết thúc sau hữu hạn bước. Ví dụ 1: Khi dạy cho HS quy tắc tìm giới hạn vô cực của hàm số, GV có thể hướng dẫn HS làm như sau: Gọi h(x) = f(x).g(x) Để tính 0 lim ( ). ( ) x x f x g x ta tính Bước 1: Tính 0 lim ( ) x x f x , 0 lim ( ) x x g x Bước 2: Nếu 0 lim ( ) x x f x và 0 lim ( ) 0 x x g x L thì 0 lim ( ). ( ) x x f x g x Nếu 0 lim ( ) x x f x và 0 lim ( ) 0 x x g x L thì 0 lim ( ). ( ) x x f x g x Nếu 0 lim ( ) x x f x và 0 lim ( ) 0 x x g x L thì 0 lim ( ). ( ) x x f x g x Nếu 0 lim ( ) x x f x và 0 lim ( ) 0 x x g x L thì 0 lim ( ). ( ) x x f x g x Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 27 Trong quá trình dạy học, ta cũng gặp một số quy tắc, tuy chưa mang đủ các đặc điểm đặc trưng cho thuật giải, nhưng có một số trong các đặc điểm đó và đã tỏ ra có hiệu lực, khi chỉ dẫn hành động và giải toán, đó là những quy tắc tựa thuật giải. Ví dụ 2: Khi gặp giới hạn dạng 0 0 ( biểu thức có chứa căn) Ta khử dạng 0 0 bằng cách nhân chia với lượng liên hợp sau đó tính giới hạn bình thường Trong dạy học thuật giải và quy tắc tựa thuật giải có một số điều cần lưu ý sau: + Nên cho HS biết nhiều hình thức thể hiện một quy tắc, tạo điều kiện thuận lợi cho HS nắm vững được nội dung từng bước và trình tự thực hiện từng bước quy tắc đó. + Cần trình bầy rõ ràng các bước trong những ví dụ cụ thể theo một sơ đồ nhất quán trong một thời gian thích hợp. Ví dụ 3: Khi tính giới hạn 2 1 1 lim 1x x x Bước 1: Nhận dạng giới hạn Ta thấy 2 1 lim( 1) 0 x x và 1 lim( 1) 0 x x Giới hạn có dạng 0 0 Bước 2: Khử dạng 0 0 + Phân tích x 2 -1 = (x-1)(x+1) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 28 + Giản ước 2 1 ( 1)( 1) 1 1 1 x x x x x x Bước 3: áp dụng định lý về giới hạn hữu hạn để tính 2 1 1 1 lim lim( 1) 2 1x x x x x + Cần luyện tập cho HS thực hiện tốt các chỉ dẫn đã nêu trong thuật giải, hoặc quy tắc tựa thuật giải, nếu chủ thể không biết thực hiện các chỉ dẫn như vậy thì dù có thuộc quy tắc tổng quát cũng không áp dụng nó vào trong trường hợp cụ thể. Ví dụ 4: Khi tính 3lim ( 2 ) x x x Nếu HS không biết phân tích (x 3 -2x) thành 3 2 2 (1 )x x thì mặc dù có thuộc công thức cũng không tính được giới hạn. Hoặc khi tính 1 2 3 lim 1x x x . Nếu học sinh không biết là 1 lim( 1) 0 x x và x - 1 < 0 khi x < 1 Thì cũng không áp dụng được quy tắc tìm giới hạn. + Cần cho HS thấy được và biết cách sử dụng các cấu trúc điều khiển cơ bản để quyết định trình tự các bước. + Thông qua dạy học thuật giải và quy tắc tựa thuật giải cần có ý thức góp phần phát triển tư duy thuật giải cho HS. Ví dụ 5: Ta biết khi tính giới hạn dạng 0 0 của hàm phân thức chứa căn đồng bậc thì ta khử dạng 0 0 bằng cách nhân chia với lượng liên hợp. Dựa vào điều đã Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 29 biết đó học sinh có thể phát triển tư duy thuật giải cho trường hợp giới hạn dạng 0 0 của hàm phân thức có chứa căn không đồng bậc chẳng hạn như : Tìm 0 ( ) ( ) lim ( ) m n x x f x g x h x Cùng với thuật giải và tựa thuật giải ta không được lãng quên một số quy tắc và phương pháp có tính chất tìm đoán như : Quy lạ về quen, khái quát hóa trừu tượng hóa… Hiện nay, quy tắc phương pháp như vậy thường không phải là đối tượng dạy học tường minh trong nhà trường, trong điều kiện đó những quy tắc phương pháp này thường được thực hiện theo hai con đường. + Thông báo tri thức phương pháp trong quá trình hoạt động. + Tập luyện cho HS hoạt động ăn khớp với quy tắc, phương pháp mà ta mong muốn họ biết thực hiện Những quy tắc phương pháp tìm đoán chỉ là gợi ý, giải quyết vấn đề chứ không phải là những thuật toán, đảm bảo chắc chắn rằng sẽ dẫn tới thành công. Vì vậy, khi cho HS sử dụng chúng, cần rèn luyện cho HS mềm dẻo, linh hoạt biết điều chỉnh phương hướng, thay đổi phương pháp khi cần thiết. Sẽ không có gì đáng ngại, nếu HS không thành công khi áp dụng quy tắc, phương pháp nào đó. Điều quan trọng là tới một lúc nào đó, họ phát hiện ra sự nhầm đường, biết thay đổi phương hướng và cuối cùng đi tới thành công. Đó chính là học phát hiện và giải quyết vấn đề. Đó chính là cách học, một yêu cầu căn bản đối với mục tiêu và phương hướng dạy học hiện nay. 2.2.4. Dạy học giải bài tập giới hạn, các dạng bài tập về giới hạn. 2.2.4.1. Vai trò của bài tập giới hạn Bài tập giới hạn có vai trò rất quan trọng trong bộ môn giải tích ở THPT. Thông qua giải bài tập, HS phải thực hiện các hoạt động nhất định Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 30 như: Nhận dạng thể hiện định nghĩa, định lý, quy tắc phương pháp, những hoạt động toán phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến, những hoạt động ngôn ngữ… Khi dạy bài tập giáo viên cần phải hướng tới mục tiêu dạy học là: + Hình thành củng cố tri thức, kỹ năng kỹ xảo, những khâu khác của quá trình dạy học, kể cả những kỹ năng ứng dụng giới hạn vào thực tiễn. + Phát triển năng lực trí tuệ, rèn luyện những hoạt động tư duy, hình thành những phẩm chất trí tuệ. + Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành phẩm chất của con người lao động mới. Những bài tập giới hạn là cái giá mang hoạt động liên hệ với nội dung nhất định một phương tiện cài đặt nội dung để hoàn chỉnh hay bổ xung cho những tri thức nào đó đã trình bày trong lý thuyết. Phương pháp dạy học bài tập giới hạn là cái giá mang hoạt động để người học kiến tạo tri thức nhất định, trên cơ sở đó thực hiện mục tiêu dạy học khác, khai thác tốt các bài tập như vậy sẽ góp phần tổ chức cho HS học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác tích cực chủ động sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu. 2.2.4.2.Các yêu cầu đối với lời giải. Khi giải các bài tập về giới hạn yêu cầu phải có lời giải tốt tức là: + Lời giải phải có kết quả đúng, kể cả bước trung gian. + Lập luận chắt chẽ + Lời giải đầy đủ + Ngôn ngữ chính xác + Trình bày rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật. Ngoài ra còn có yêu cầu dành cho học sinh khá giỏi là: + Tìm ra nhiều lời giải, chon lời giải ngắn gọn hợp lý nhất. + Nghiên cứu sâu lời giải. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 31 Trên đây là các yêu cầu đối với các câu hỏi tự luận, bốn yêu cầu đầu tiên là cơ bản, hai yêu cầu cuối dành cho học sinh khá giỏi, yêu cầu thứ 5 là yêu cầu về trình bầy. Ví dụ 1: Khi giải bài tập tính giới hạn. lim2 2 2 2 ... 2nG HS giải như sau : Ta biết: 2 2 2 2. 2 2 2 4 2 cos cos nên 2 2 2 3 3 2 2 2 2 2(1 ) 4 2 2 2 2 2 cos cos cos cos Tương tự suy ra 2 2 2 ... 2 = 2. 2n cos ( n-1 dấu căn) Do đó 2 2 2 ... 2 = ( n dấu căn) = 2 1 1 2 2 2(1 ) 4sin 2.sin 2 2 2 2n n n n cos cos Vậy 1 1 1 1 1 sin 2lim2 .2sin lim(2 .sin ) lim 2 2 2 n n n n n n G Lời giải trên đã đảm bảo được 5 yêu cầu đó là lời giải tốt. Ví dụ 2:Tìm giới hạn 2 30 2 lim 4x x H x x Học sinh giải như sau: Ta có 2 30 0 0 2 2 2 lim lim lim 1 4 44x x x x x H x x xx x Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 32 Ta thấy lời giải trên chưa tốt vì nó vi phạm yêu cầu 1 và 3 của lời giải, sai lầm ở bước trung gian về biến đổi đại số dẫn tới kết quả sai. Lời giải đúng là 2 30 0 2 2 lim lim 44x x x x H x xx x Xét x > 0 thì 1 0 0 0 2 2 2 lim lim lim 1 4 4 4x x x x x H x x x x x Xét x < 0 thì 2 0 0 0 2 2 2 lim lim lim 1 4 ( ) 4 4x x x x x H x x x x x Ta thấy 2 3 2 30 0 2 2 lim lim 4 4x x x x x x x x Vậy không tồn tại giới hạn 2 30 2 lim 4x x H x x Trong thực tế dạy toán, tuỳ từng đối tượng mà dạy cho các em giải nhiều bài toán cùng một phương pháp hoặc hướng dẫn cho HS giải một bài toán bằng nhiều phương pháp khác nhau giúp cho học sinh tăng cường tính sáng tạo, độc lập suy nghĩ để tìm ra các lời giải mới. Ví dụ 3: Tính giới hạn sau: 6 2 2 lim 6x x x Cách 1 : Nhân và chia cả tử và mẫu với 2 2x ta có 6 6 6 2 2 ( 2 2)( 2 2) lim lim 6 ( 6)( 2 2) 2 4 1 lim 4( 6)( 2 2) x x x x x x x x x x x x Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 33 Cách 2: Phân tích đa thức thành nhân tử Ta có 6 6 6 2 2 ( 2 2) 2 2 1 lim lim lim 6 ( 2) 4 4( 2 2)( 2 2)x x x x x x x x x x Cách 3 :đặt ẩn phụ ( Đổi biến số) đặt 2t x 2 20, 2 2t t x x t khi 6x thì 2t Vậy 26 2 2 2 2 2 2 1 lim lim lim 6 4 ( 2)( 2) 4x t t x t t x t t t Cách 4 : Dựa vào định nghĩa đạo hàm đặt ( ) 2 2f x x 1 1 '( ) '(6) 42 2 f x f x và ( ) 6g x x '( ) 1 '(6) 1g x g Ta có 6 6 6 2 2 ( ) '( ) 1 lim lim lim 6 ( ) '( ) 4x x x x f x f x x g x g x 2.2.4.3. Dạy học phương pháp chung để giải các bài toán về giới hạn và các dạng bài tập giới hạn Hiện nay một bộ phận của GV khi dạy học giải bài tập toán học chỉ đơn thuần là cung cấp cho HS lời giải của bài toán. Với cách dạy đó không phát huy được các chức năng của bài tập toán học.Vấn đề đặt ra là dạy học như thế nào để HS có khả năng giải được các bài toán đó.Trong chương trình toán phổ thông có rất nhiều bài toán chưa hoặc không có thuật giải.Đối với những bài toán đó,có thể hướng dẫn HS suy nghĩ cách tìm tòi lời giải :nên bắt đầu từ đâu, nên suy nghĩ theo trình tự nào,nếu gặp khó khăn thì nên làm gì.v v...Chúng ta biết rằng không có phương pháp tổng quát nào,không có thuật toán nào để giải mọi bài toán. Chỉ có thể thông qua dạy HS giải một số bài Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 34 toán cụ thể, dần dần truyền cho các em kinh nghiệm, nghệ thuật trong phương pháp suy nghĩ,giúp họ tự tìm thấy lời giải của các bài toán khác.Với ý nghĩa đó, để tổ chức các hoạt động học tập của HS trong quá trình dạy học giải bài tập toán GV hình thành cho HS về cách thức giải bài toán theo bốn bước của G.Polya là : Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài. Bước 2: Tìm cách giải. Bước3: Trình bày lời giải. Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu sâu lời giải. Khi dạy bài tập về giới hạn GV có thể phân dạng bài tập từ đó tìm ra phương pháp chung để giải mỗi dạng đó,cụ thể khi dạy phần bài tập về giới hạn GV có thể phân chia một cách tương đối thành các dạng sau: Dạng 1: Sự tồn tại của giới hạn Bài tập 1: CMR dẫy số Un = (-1) n không có giới hạn Bài tập 2 :CMR Hàm số f(x) có giới hạn khi x dần tới 1 2 2 2 ( ) 1 1 x x f x x x x Bài tập 3: Cho hàm số 1 ( ) sinf x x và xét giới hạn của hàm số khi x dần tới 0 qua 2 dãy số xn sau dây: a. 1 nx n Xét limf(xn) b. 1 2 2 nx n Xét limf(xn) c. Có kết luận gì về 0 1 limsin x x Với x>1 Với x<1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 35 Để làm được bài toán trên HS phải nắm vững định nghĩa giới hạn, các định lý về sự tồn tại giới hạn. Phương pháp: Dựa vào định nghĩa, định lý và các tính chất của giới hạn Dạng 2: Dạng xác định của giới hạn Đây là dạng bài tập chứng minh giới hạn bằng định nghĩa, tìm giới hạn bằng cách áp dụng trực tiếp định lý, các quy tắc.. Bài tập 1: Áp dụng định nghĩa chứng minh rằng: 1 lim 1 2 n n Bài tập 2: Tính các giới hạn sau: a. 2 1 lim(4 2) x x x b. 1 3 1 lim 2x x x Bài tập 3: Tính giới hạn : 3sin 4cos lim 1 n n n Bài tập 4: Tính giới hạn: 2 sin3 lim x x x Phương pháp: Dựa vào định nghĩa định lý về giới hạn hữu hạn của dãy số và hàm số, sử dụng nguyên lý kẹp, sự biến thiên của hàm số Dạng 3: Các dạng vô định thƣờng gặp Giới hạn có dạng “vô định” ( dạng chưa xác định) là những giới hạn mà ta không thể tìm chúng bằng cách áp dụng trực tiếp các định lý về giới hạn và các giới hạn cơ bản vì nó vi phạm các điều kiện của định lý Vấn đề đặt ra là muốn sử dụng được các định lý về giới hạn thì ta phải “khử” dạng vô định và biến chúng thành dạng xác định Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 36 Trong chương trình lớp 11 THPT các dạng vô định thường gặp là các giới hạn có dạng: 0 , , ,0. ... 0 Để giải bài tập giới hạn dạng vô định thì việc đầu tiên HS cần phải làm là nhận dạng giới hạn. Giả sử cho 0 lim x x x f x I g x Nếu 0 lim ( ) 0 x x x f x và 0 lim ( ) 0 x x x g x thì I có dạng giới hạn 0 0 Nếu 0 lim ( ) x x x f x và 0 lim ( ) x x x g x thì I có dạng giới hạn Nếu 0 lim ( ) x x x f x và 0 lim ( ) x x x g x thì 0 lim ( ) ( ) x x x f x g x có dạng giới hạn Nếu 0 lim ( ) 0 x x x f x và 0 lim ( ) x x x g x thì 0 lim ( ). ( ) x x x f x g x có dạng giới hạn 0. Ta khử các dạng này như sau: + Đối với giới hạn có dạng 0 0 Trường hợp 1 Nếu f(x) và g(x) là các đa thức thì ta phân tích chúng thành các nhân tử tức là 0 0 0 0 1 1 01 0 1 1 1 0 ( ) ( ) ( )( ) lim lim lim ( ) ( ) ( ) ( )x x x x x x x x x f x x x f x f xf x I g x x x g x g x g x (Nếu limg1(x) 0 ) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 37 Nếu 1 0 1 0( ) ( ) 0f x g x thì ta lại tiếp tục phân tích 1 0 2( ) ( ). ( )f x x x f x 1 0 2( ) ( ). ( )g x x x g x Quá trình khử dạng 0 0 là quá trình khử các nhân tử chung 0( ) kx x , quá trình này sẽ dừng lại khi nhận được giới hạn gk(x) 0 Khi đó 0 0 0 0 ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) k k x x x x k kx x f x f x f x I g x g x g x Bài tập1: Tìm giới hạn 2 2 4 lim 2x x M x Giải : + Nhận dạng giới hạn; 2 2 2 lim( 4) lim( 2) 0 x x x x vậy giới hạn có dạng 0 0 + Khử dạng 0 0 2 2 2 2 4 ( 2)( 2) lim lim lim( 2) 4 2 2x x x x x x M x x x Bài tập2 : Tìm giới hạn 4 3 2 4 21 2 5 3 1 lim 3 8 6 1x x x x x L x x x Bài tập 3: Tìm giới hạn 0 1 sin 2 2 lim 1 sin 2 2x x cos x L x cos x Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 38 Khi gặp giới hạn này yêu cầu HS phải có tri thức về phân tích đa thức thành nhân tử, chia đa thức cho đa thức, kỹ năng biến đổi lượng giác. Trường hợp 2 Nếu f(x) và g(x) là các biểu thức đại số có chứa căn thức bậc 2 hoặc căn thức bậc 3 ở tử hoặc mẫu thì ta khử dạng 0 0 bằng cách nhân cả tử và mẫu với lượng liên hợp nhằm loại các nhân tử (x-x0) ra khỏi căn thức Tìm lượng liên hợp bằng cách áp dụng các hằng đẳng thức a 2 – b 2 = ( a-b)( a+b) 3 3 2 2( )( )a b a b a ab b Bài tập 4: Tìm giới hạn 2 20 1 1 lim x x x + Nhận dạng giới hạn : dạng 0 0 + Khử dạng 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 20 0 0 1 1 ( 1 1)( 1 1) 1 1 1 lim lim lim 2( 1 1) ( 1 1)x x x x x x x x x x x x Bài tập 5: Tìm giới hạn sau: a. 3 3 1 2 1 lim 1x x x x b. 3 4 2 1 3 lim 2x x x Bài tập 6: Tìm giới hạn sau 23 1 1 lim 1x x x x x Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 39 Cách 1 + Nhận dạng : giới hạn có dạng 0 0 + Khử dạng 0 0 2 23 3 1 1 1 1 1 lim lim lim 1 1 1x x x x x x x x x x x x (Học sinh là tương tự như bài tập 4 và bài 1) Cách 2 : Đặt 33t x t x khi 1 1x t Vậy 2 6 3 3 53 3 21 1 1 1 1 ( 1)( 1) 1 lim lim lim 1 1 ( 1)( 1) 3x t t x x x t t t t t t x t t t t Nhận xét + Ở BT4 hàm số chỉ chứa 1 căn thức nên ta chỉ cần nhân cả tử và mẫu với 1 biểu thức liên hợp + Ở bài 5 hàm số chứa hai căn thức ở tử và mẫu do vậy ta phải nhân cả tử và mẫu với 2 biểu thức liên hợp của cả tử và mẫu + Ở bài tập 6 đây là dạng khác các dạng trên ta phải dùng phép biến đổi đại số để đưa bài toán về dạng quen thuộc ( quy lạ về quen) Trường hợp 3 Nếu f(x) hoặc g(x) là biểu thức có chứa căn không đồng bậc Giả sử ( ) ( ) ( )m nf x u x v x với 0 0( ) ( ) m nu x v x C , g(x0) = 0 Ta có thể sử dụng phương pháp chèn hằng số để quy lạ về quen 0 0 0 ( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) )( ) lim lim lim ( ) ( ) ( ) m n m n x x x x x x u x v x u x c v x cf x g x g x g x Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 40 0 0 ( ) ( ( ) ) lim lim ( ) ( ) m n x x x x u x c v x c g x g x Các giới hạn trên là dạng quen thuộc TH1 đã biết cách giải Bài tập 7: Tìm giới hạn 3 21 7 3 lim 3 2x x x x x . Sử dụng phương pháp trên Nhận xét Đối với các bài toán không ở dạng quen thuộc thì cần phải linh hoạt trong biến đổi để đưa nó về dạng đã biết cách giải, biến bài toán phức tạp thành bài toán đơn giản. Trường hợp 4 Khử dạng 0 0 bằng đạo hàm (Sau khi học xong chương đạo hàm ở lớp 11) Trong trường hợp giới hạn có dạng 0 0 mà biểu thức của giới hạn cồng kềnh phức tạp, việc áp dụng các cách giải trên là khó khăn thì ta sử dụng đạo hàm để khử dạng 0 0 . Giáo viên cùng HS xây dựng phương pháp này Xét giới hạn 0 ( ) lim ( )x x f x g x với f(x0) = g(x0) = 0, f(x) và g(x) có đạo hàm tại x0 và g’(x0) khác 0 ta có 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) lim '( )( ) lim ( ) ( )( ) '( ) lim x x x x x x f x f x x x f xf x g x g xg x g x x x Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 41 Bài tập 8: Tìm giới hạn sau 2 3 2 31 ... lim ... n mx x x x x n L x x x x m Giải Đặt 2 3( ) .. nf x x x x x n (1) 0f n n 2 3( ) .. mg x x x x x m(1) 0g m m Vậy giới hạn có dạng 0 0 Ta có 2 1 ( 1)'( ) 1 2 3 .. '(1) 1 2 3 ... 2 n n nf x x x nx f n 2 1 ( 1)'( ) 1 2 3 .. '(1) 1 2 3 ... 2 m m mg x x x mx g m Theo phương pháp làm trên ta có 2 3 2 31 ... '(1) ( 1) lim ... '(1) ( 1) n mx x x x x n f n n L x x x x m g m m Bài tập 9 : Tính giới hạn 3 1 3 5 lim 2 3 6x x x x x + Giới hạn dạng 0 0 Đặt 1 3 ( ) 1 3 5 '( ) 2 1 2 3 5 f x x x f x x x Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 42 2 1 ( ) 2 3 6 '( ) 2 2 3 2 6 g x x x g x x x 1 3 1 '(3) 4 4 2 f 1 1 1 '(3) 3 6 6 g Vây 3 3 1 3 5 ( ) '(3) lim lim 3 ( ) '(3)2 3 6x x x x f x f g x gx x Nhận xét : Trên đây là hai bài tập áp dụng đạo hàm để tìm giới hạn. Khi sử dụng phương pháp này phải chú ý điều kiện là f(x) và g(x) phải có đạo hàm, g’(x) khác 0,và phải nắm vững công thức tính đạo hàm. Giới hạn dạng Đây là một dạng giới hạn thường gặp ở THPT để khử dạng này về phương pháp chung là khử tới mức tối đa các thành phần có giới hạn vô cực. Tức là: ( ) lim ( )x f x g x với f(x) và g(x)là các đa thức đại số và với ( ) ( ) f x khi x g x Ta khử như sau: Cách 1 Chia cả tử và mẫu với bậc lũy thừa cao nhất của x có mặt trong phân thức đó Bài tập1 Tính giới hạn sau: 3 5 2 5 2 3 1 lim 1 5 3x x x K x x + Nhận dạng: Giới hạn có dạng Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 43 +Khử dạng , Chia cả tử và mẫu cho x 5 ta có 3 5 2 5 2 5 5 3 2 1 3 2 3 1 lim lim 1 1 51 5 3 3 x x x x x xK x x x x Bài tập2: Tính giới hạn 1 1 ( 2) 3 lim ( 2) 3 n n n n B Chia cả tử và mẫu cho 3 n+1 ta có 11 1 2 1 1 . ( 2) 3 13 3 3 lim lim ( 2) 3 32 1 3 n n n nn n B Nhận xét Trong trường hợp giới hạn có dạng 1 1 2 1 1 1 2 1 ... lim ... m m m n nx n a x a x a I b x b x b ta có thể đoán được kết quả của giới hạn + Nếu m < n thì I = 0 + Nếu m = n thì I = a1 : b1 + Nếu m > n thì I Nếu f(x) và g(x) là các biểu thức chứa căn ta quy ước coi m k (Trong đó m là số mũ cao nhất của biểu thức trong căn, k là bậc của căn thức chứa số hạng đó) là bậc của số hạng nào đó, Bậc của tử (mẫu) là bậc của số hạng có số mũ cao nhất của tử( mẫu)sau đó ta làm tương tự như trường hợp trên. Cách 2: Sử dụng nguyên lý kẹp Phương pháp Chọn k(x) và h(x) sao cho ( ) ( ) ( ) ( ) f x k x h x g x Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 44 Chứng minh lim ( ) lim ( ) x x k x h x L Kết luận ( ) lim ( )x f x K L g x Bài tập 3 Tính giới hạn lim x sinx x Giải Ta biết x R thì sin 1 1 1x sinx nên 1 1 sin 1sinx x x x x x x *x R Ta có 1 1 lim lim 0 x xx x Vậy lim 0 x sinx x Giới hạn dạng ,0. Phương pháp : để khử dạng này ta nhân, chia với lượng liên hợp để đưa về dạng , 0 0 đã biết cách giải Bài tập 4: Tính giới hạn 2lim ( 1 ) x x x x Giải + Ta thấy giới hạn có dang + Khử dạng Nhân và chia với 2( 1 )x x x 2 2 2 2 2 1 1 1 1 lim ( 1 ) lim 21 11 1 1 x x x x x x xx x x lim x x x x x Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 45 Bài tập 5 : Tính giới hạn : 2 2 lim( 2) 4x x x x Giải Giới hạn có dạng 0. Với x > 2 ta có 2 . 2 ( 2) ( 2). 4 2. 2 2 x x x x x x x x x x do đó 2 2 2 . 2 lim( 2) lim 0 4 2x x x x x x x x Nhận xét + Khi giải các dạng bài tập này cần áp dụng các hằng đẳng thức + Nắm vững cách tính giới hạn ; 0 0 + Cần có sự linh hoạt khi sử dụng các phương pháp Dạng 4: ứng dụng giới hạn để giải các bài toán thực tế Trong quá trình nghiên cứu chủ đề giới hạn lớp 11 THPT có rất nhiều bài toán về giới hạn có ứng dụng và liên quan đến thực tế toán học cũng như cuộc sống. Bài toán 1: (Nghịch lý của Zenon) có nội dung là: A sin (kiện tướng chạy nhanh thời Hy lạp cổ) dù chạy nhanh nhưng vẫn không đuổi kịp con rùa. Bài toán được đặt ra như sau: A sin đến được chỗ con rùa,thì con rùa đã tiến lên được một đoạn. A sin đi được một đoạn mà rùa vừa đi,thì rùa đã tiến thêm được một đoạn mới.Cứ như thế rùa bao giờ cũng đứng trước A sin, tức là A sin không đuổi kịp rùa. Cụ thể là,giả sử ban đầu rùa cách A sin 100m. Vận tốc A sin là 100m/s và vận tốc của rùa là 1m/s (có thể là không thực tế) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 46 A sin đi 100m mất 10 giây. Trong khi đó rùa đi được 10m. để đuổi kịp rùa, A sin đi 10m đó trong 1s,thì rùa đi được 1m. A sin đi đoạn đường 1m 1 10 s, thì rùa đã đi được 1 10 m,…..và cứ như thế A sin đuổi rùa.Vậy thời gian A sin đuổi kịp rùa là tổng vô hạn : 10 +1 + 1 10 + 1 100 + ….. Người xưa cho rằng tổng này là một số vô hạn vì thế A sin không đuổi kịp rùa Ngày nay sau khi học xong phần giới hạn của dãy số ta thấy ngay tổng này là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn ( q= 1 10 ) Vậy ta có : lim (10 +1 + 1 10 + 1 100 + …..)= S = 10 1 1 10 =11 1 9 (h) Tổng trên là một số hữu hạn nên A sin đuổi kịp rùa là hiển nhiên. Nghịch lý được bác bỏ bằng kiến thức giới hạn. Bài toán 2 Để trang hoàng cho căn phòng của mình chú chuột mickey quyết định tô mầu cho tấm bìa hình vuông cạnh bằng 1. Nó tô màu xám cho các hình vuông nhỏ được đánh số lần lượt là 1,2,3,4,5,…n trong đó các cạnh của hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh của hình vuông kế tiếp (H2) Tính diện tích của các hình vuông được tô màu Bài toán 3: Trong hình vuông cạnh a. Nếu nối mỗi trung điểm 4 cạnh ta được một hình vuông mới và tiếp tục làm như thế với các hình vuông tiếp theo Tính diện tích tất cả các hình vuông mới tạo thành. Để xây dựng công thức tính diện tích hình tròn người ta làm như sau: Lấy1 đa giác đều nội tiếp trong đường tròn rồi gấp đôi mãi mãi số cạnh của đa giác đó thì diện tích đa giác đều cứ tăng lên mãi mãi và ngày càng gần tới một Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 47 giá trị xác định ( không phụ thuộc vào việc chọn đa giác đều đầu tiên giá trị đó gọi là diện tích hình tròn Tức là - Nếu gọi diện tích đa giác đều n cạnh là Pn - Gọi diện tích hình tròn là S Thì lim n n S P Để hoàn thành định nghĩa lũy thừa với số mũ thực sau khi học xong định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỷ, người ta định nghĩa lũy thừa với số mũ vô tỉ như sau: Cho a > 0 và là số vô tỉ, xét một dãy số bất kì những số hữu tỉ dương r1,r2…rn… sao cho limrn = Xét dãy số những lũy thừa của a tương ứng 1 2, ... ...n rr ra a a Người ta chứng minh được rằng tất cả các dãy số ( )n r a đều có cùng một giới hạn khi n Giới hạn đó gọi là lũy thừa với số mũ vô tỉ của a > 0 Ký hiệu: a lim n r n a a Như vậy nhờ có kiến thức về giới hạn người ta đã giải quyết được một số vấn đề của thực tiễn cuộc sống và thực tiễn toán học. Ngược lại, qua thực tiễn cuộc sống các kiến thức về giới hạn cũng trở nên sinh động hơn, sáng tỏ hơn. 2.3 Một số biện pháp nhằm tích cực hóa các hoạt động học tập của học sinh khi học chủ đề giới hạn Trong quá trình dạy và học hai nhân vật trực tiếp quyết định chất lượng dạy và học là GV và HS. Người Thầy giáo không chỉ dạy nguyên dạng trí thức khoa học hay tri thức chương trình mà phải chuyển hoá từ tri thức Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 48 chương trình thành tri thức dạy học.Để đạt được kết quả tốt thì trong giờ dạy của Thầy HS không tiếp thu kiến thức một cách thụ động mà thầy phải phát huy được tính tích cực học tập của mỗi HS, việc dạy học sẽ có kết quả tốt nếu có sự thống nhất giữa hoạt động dạy của thầy và hoạt động học của trò. + Hoạt động của Thầy: thiết kế, điều khiển + Hoạt động của trò: học tập tự giác tích cực Nếu vai trò của Thày chỉ là “thiết kế ” mà không có “điều khiển” thì việc học chỉ như việc độc thoại, truyền thụ kiến thức một chiều một cách miễn cưỡng từ thày đến trò. Kết quả là học sinh bị nhồi nhét một cách thụ động vốn kiến thức,các em không tự chế biến, phân tích tổng hợp thành vốn tri thức của mình. Ngược lại nếu như người thầy chỉ nặng về “ điều khiển” mà không “ thiết kế ” tốt thì giờ học chỉ sôi nổi về mặt hình thức,mà không đạt kết quả, chính vì vậy khâu soạn bài của GV là vô cùng quan trọng bởi thực chất thiết kế bài dạy là lập kế hoạch chuẩn bị cho quá trình học cả về mục đích lẫn nội dung phương pháp, phương tiện, hình thức tổ chức. Trong điều kiện hiện nay việc soạn bài dạy toán ở trường PTTH theo hướng đổi mới phương pháp dạy học nhằm phát huy tính tích cực, học tập của HS có thể tiến hành theo những biện pháp sau: 2.3.1. Tổ chức cho học sinh đa dạng hoạt động trong học tập phù hợp với nội dung bài dạy Mỗi nội dung dạy học đều liên hệ với những hoạt động học tập nhất định. Đó trước hết là những hoạt động đã được tiến hành trong quá trình lịch sử hình thành và ứng dụng tri thức được bao hàm trong nội dung này cũng chính là những hoạt động để người học có thể kiến tạo và ứng dụng những tri thức trong nội dung đó. Giữa các hoạt động học tập của HS với mục đích nội dung phương pháp học tập có mối quan hệ chặt chẽ với nhau, qua những hoạt động học tập của Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 49 học sinh sẽ thể hiện người học đó có đạt được mục đích đề ra hay không, đạt được đến mức độ nào.Tổ chức các hoạt động của học sinh là tạo ra con đường đúng đắn và hiệu quả để HS chiếm lĩnh trí thức, rèn luyện kỹ năng hình thành thái độ ,ngược lại việc chiếm lĩnh tri thức rèn luyện kỹ năng hình thành thái độ trong phần lớn các trường hợp để trực tiếp hay gián tiếp thực hiện một hoạt động trong học tập cũng như trong cuộc sống. Dạy học là quá trình phức tạp trong quá trình hình thành và vận dụng mỗi nội dung dạy học luôn có một số hoạt động nhất định.Chẳng hạn hoạt động có tác dụng củng cố tri thức,rèn luyện kỹ năng và hình thành kiến thức mới. Hoạt động của HS trong học tập rất đa dạng và có những cấp độ tổng quát khác nhau.Tuy nhiên nhìn chung một cách trìu tượng thì đằng sau toàn bộ nội dung dạy học có những hoạt động cần chú ý sau : + Hoạt động nhận dạng và thể hiện :Đây là hai dạng hoạt động theo chiều hướng trái ngược nhau liên hệ với một định nghĩa, định lý, hay một phương pháp nào đó, có tác dụng củng cố khái niệm, tạo tiền đề cho việc vân dụng khái niệm. Ví dụ 1: Tìm các giới hạn sau a, 3 2 2 lim (1 ) x x x b, 1 2 3 lim ) 1x x x c, 3 2 2 lim (1 ) x x x d, 1 2 3 lim ) 1x x x + Hoạt động toán phức hợp: Chứng minh định nghĩa, giải toán bằng cách lập phương trình, dựng hình…sẽ giúp HS nắm vững nội dung toán học, phát triển kỹ năng cũng như năng lực toán học tương ứng. + Hoạt động trí tuệ phổ biến: Đó là lật ngược vấn đề xét tính giải được, phân chia các trường hợp, tư duy hàm, tư duy thuật giải… Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 50 + Hoạt động trí tuệ chung: Phân tích, tổng hợp, so sánh, xét tương tự, trừu tượng hoá, khái quát hoá… cũng được tiến hành thường xuyên khi học môn toán. + Hoạt động ngôn ngữ : Như phát triển,giải thích ….. Ví dụ 2: Khi dạy cho HS phần giới hạn dạng vô định GV cho HS nhận dạng các giới hạn sau thuộc loại nào? a, 21 1 lim 3 2x x x x b, 5 1 lim 2x x x c, 2lim ( 5 1) x x x d, 3 1 4 3 lim . 1 1x x x x GV yêu cầu HS thể hiện bằng cách tìm giới hạn ( a ) Từ đó nêu lên cách giải của bài toán ( a) và tổng quát hóa thành phương pháp giải bài toán tổng quát Tìm 0 ( ) lim ( )x x f x g x . Trong đó f(x) và g (x) là các đa thức và f(x0) = g(x0) = 0 HS vận dụng phương pháp vừa tìm được để tìm giới hạn (Hoạt động thử nghiệm). 2 31 2 lim 1x x x I x Việc tổ chức các hoạt động trên đã giúp HS hình thành phương pháp tìm giới hạn vô cực và giới hạn dạng 0 0 Ngoài ra để dạy học một nội dung nào đó người ta thường có nhiều phương pháp khác nhau, do đó tùy theo nội dung bài dạy, tùy theo điều kiện cụ thể mà GV có thể lựa chọn cách này hay cách khác, nhưng điều quan trọng nhất quyết định đến kết quả học tập chính là hoạt động học tập của HS mà điều này GV không thể làm thay được. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 51 Vì vậy cần phải tổ chức các hoạt động của HS phù hợp với nội dung bài dạy. 2.3.2.Truyền thụ tri thức phương pháp cho học sinh qua mỗi bài dạy Đối với HS phổ thông, có thể xem việc giải bài tập là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Bởi vì các bài toán ở trường THPT là phương tiện rất hiệu quả và không thể thay đổi được trong việc giúp HS nắm vững tri thức, phát triển tư duy hình thành kỹ năng kỹ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn. Dạy học giải bài tập toán không có nghĩa là GV chỉ đơn thuần cung cấp cho HS lời giải cụ thể của một bài toán, biết lời giải không quan trọng bằng làm thế nào để giải được bài toán. Vì vậy cần phải truyền thụ tri thức phương pháp cho HS trong quá trình truyền thụ kiến thức cơ bản, Tri thức phương pháp giúp cho HS tìm được đường lối, lời giải của bài toán, từ đó phát huy được tính tích cực học tập của HS trong quá trình học tập. Ngoài ra các tri thức phương pháp tiến hành trong hoạt động trí tuệ chung, các hoạt động toán phức hợp,.. cần cung cấp cho HS một số phương pháp chứng minh, phương pháp tìm tòi các lời giải của một bài toán. 2.3.2.1. Những tri thức phương pháp khi dạy bài tập giới hạn Nguyên tắc chung + Đối với các bài tập giới hạn đơn giản, nên tìm trực tiếp bằng cách nhóm các số hạng, nhân liên hợp. + Khi thực hiện các phương pháp có tính chất thủ thuật như: thêm bớt đạo hàm … thì phải dựa vào đặc điểm của từng bài mà lựa chọn cách làm cho hợp lý. Không nên quá lợi dụng một phương pháp cứng nhắc nào cả. + Khi sử dụng dạng vô định thì phải khử cho đến khi nào hết dạng vô định mới thôi. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 52 + Khi dùng phương pháp đổi biến thì phải đổi cận của giới hạn. + Nên vận dụng linh hoạt các bài toán đã biết vào bài tập tìm giới hạn. + Riêng dạng vô định 0 0 nếu sử dụng các phương pháp khác gặp khó khăn thì nên sử dụng phương pháp tìm giới hạn bằng đạo hàm. + Trong các bài toán tìm giới hạn có những kỹ năng như nhận dạng thể hiện, biến đổi chuyển hóa luôn gắn bó chặt chẽ với nhau, cũng có thể ở một vài dạng giới hạn kỹ năng này đóng vai trò chính thì ở dạng giới hạn khác lại là kỹ năng khác, chẳng hạn : Sau khi thực hiện thuật thêm bớt kỹ năng biến đổi hay phép biến đổi (kỹ năng chuyển hóa) ta mới tiến hành nhân liên hợp hay vận dụng các giới hạn cơ bản Nếu ở dạng vô định kỹ năng nhận dạng đóng vai trò quan trọng thì ở dạng vai trò đó lại thuộc về kỹ năng vận dụng và biến đổi 2.3.2.2. Tri thức phương pháp cho từng dạng bài tập cụ thể Giới hạn dạng vô định 0 0 Loại 1 : Nếu f(x) và g(x) là các đa thức thì phân tích f(x), g(x) thành các nhân tử rồi đơn giản làm mất dạng 0 0 Loại 2 : + Nếu f(x) hoặc g(x) chứa 1 hoặc 2 căn thức đồng bậc thị nhân liên hợp + Nếu f(x) hoặc g(x) có chứa căn thức không đồng bậc thì sử dụng thuật thêm bớt ( chèn hằng số vắng) + Nếu các phương pháp trên gặp khó khăn thì dùng đạo hàm. Loại 3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 53 Nếu f(x) và g(x) là các biểu thức lượng giác thì dùng phép biến đổi lượng giác hoặc các giới hạn đã biết Giới hạn dạng + Khử bằng cách chia cả tử và mẫu cho x có số mũ cao nhất. + Đối với một số giới hạn có thể nhìn thấy trước kết quả Các giới hạn , 0. Cần dùng các phép biến đổi đại số để đưa về dạng quen thuộc 0 0 , 2.3.3. Kết hợp nhiều phương pháp dạy học Trong việc tổ chức 1 giờ học cho HS, GV không nên tuyệt đối hóa một phương pháp dạy học nào cả, bởi vì mỗi phương pháp dạy học đều có những ưu điểm, nhược điểm riêng. Phối hợp một cách khéo léo các phương pháp dạy học với nhau sẽ hạn chế được nhược điểm của mỗi phương pháp. Tuy nhiên với mục tiêu “Tất cả các học sinh đều được hoạt động”. Giáo viên có thể kiểm soát được, những phương pháp nào không đạt được yêu cầu này thì không nên sử dụng quá nhiều 2.3.3.1. Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề Việc đổi mới phương pháp dạy học hiện nay là một vấn đề cấp bách của toàn ngành giáo dục, một mặt cải tiến mạnh mẽ phương pháp dạy học cổ truyền, sàng lọc loại bỏ các phương pháp dạy học lỗi thời phát huy các phương pháp tích cực và vận dụng sáng tạo các phương pháp đó vào điều kiện dạy học mới ở các trường THPT. Mặt khác phải nghiên cứu một phương pháp dạy học mới tiên tiến có tác dụng phát huy tính tích cực sáng tạo của HS theo hướng: HS tự “ phát hiện” vấn đề và tìm cách “giải quyết vấn đề” với sự giúp đỡ của giáo viên. Tiến đến GV trao đổi hướng dẫn những vấn đề chung, HS lựa chọn những vấn đề cần thiết cho mình tự tìm cách giải quyết vấn đề. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 54 Phương pháp dạy học phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề góp phần đắc lực cho công cuộc đổi mới đó và phù hợp với thực tiễn ở Việt Nam, phương pháp này có tác dụng kích thích tính tích cực tự nhận thức của HS. Nó thuộc hệ thống các phương pháp dạy học tích cực. Phương pháp dạy học này được đề cấp đến trong rất nhiều tại liệu. Vì vậy trong khuôn khổ của luận án này chỉ nêu tóm tắt phần lý thuyết tập trung chủ yếu vào các vị dụ trình bày minh hoạ, một số cách tạo tình huống có vấn đề. Các khái niệm cơ bản + Vấn đề: Trong dạy học một vấn đề biểu thị bởi một hệ thống các mệnh đề câu hỏi, yêu cầu chưa được giải đáp, chưa có một phương pháp có tính chất thuật giải để giải đáp câu hỏi hoặc thực hiện yêu cầu đặt ra. + Tình huống tạo vấn đề: Là tình huống trong đó tồn tại một vấn đề gợi nhu cầu nhận thức, khơi dạy niềm tin ở khả năng bản thân. Bản chất của phương pháp dạy học” phát hiện và giải quyết vấn đề”; là thầy giáo tạo ra tình huống gợi vấn đề điều khiển HS phát hiện và giải quyết vấn đề, qua đó mà HS lĩnh hội được tri thức, rèn luyện được kỹ năng, đạt được mục đích dạy học. Tư duy chỉ hoạt động tích cực khi được đặt vào tình huống có vấn đề. Vì vậy trong giờ học GV có thể tạo ra tình huống có vấn đề theo một số cách như sau: Một số cách thông dụng để tạo tình huống gợi vấn đề Cách 1: Xuất phát từ kiến thức cũ, đặt vấn đề nghiên cứu kiến thức mới (giúp học sinh chấp nhận kiến thức mới một cách tự nhiên) + Dự đoán nhờ nhận xét trực quan và thực nghiệm Ví dụ 1: Khi dạy cho HS phần quan hệ giữa các góc trong một tam giác GV cho HS cắt một hình tam giác bất kỳ sau đó gấp đôi tam giác theo một đường thẳng song song với một cạnh đáy sao cho đỉnh nằm trên cạnh đáy sau đó gấp hai đỉnh còn lại theo mép của cạnh đáy sao cho ba đỉnh của tam giác trùng nhau) Hỏi học sinh có nhận xét gì về tổng 3 góc trong của tam giác đó. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 55 Ví dụ 2 : Từ những kết quả đã biết sau đây sin 2 30 0 + cos 2 30 0 =1 sin 2 45 0 + cos 2 45 0 =1 sin 2 60 0 + cos 2 60 0 =1 sin 2 90 0 + cos 2 90 0 =1 sin 2 135 0 + cos 2 135 0 =1 Giáo viên gợi vấn đề phải chăng sin 2 x + cos 2 x =1 với mọi x thoả mãn 0 00 180x + Lật ngược vấn đề: Một vấn đề quen thuộc khi lật ngược lại chưa biết đúng hay sai. Từ đó nảy sinh ra vấn đề mới lạ gây ngạc nhiên và hứng thú cho HS, từ đó gợi nhu cầu nhận thức. Khi vấn đề được lật ngược HS cảm thấy gần gũi, đôi khi cảm thấy hiển nhiên gây cho HS niềm tin vào khả năng giải quyết vấn đề. Ví dụ 3: Ta có định lý “Nếu 0 lim ( ) x x f x L và 0 lim ( ) x x g x M thì 0 lim ( ) ( ) x x f x g x L M ” ( L,M R ) Vậy ngược lại: Nếu 0 lim ( ) ( ) x x f x g x L M thì có thể suy ra 0 lim ( ) x x f x L Và 0 lim ( ) x x g x M được không ? + Phép tƣơng tự: Là đúc rút kinh nghiệm từ một chân lí đã biết trước hoặc vừa khám phá. Ví dụ 4: Ta có“Nếu 0 lim ( ) x x f x L và 0 lim ( ) x x g x M thì 0 lim ( ) ( ) x x f x g x L M ” ( L,M R ) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 56 Vậy “Nếu 0 lim ( ) x x f x L , 0 lim ( ) x x g x M và 0 lim ( ) x x v x k Thì 0 lim ( ) ( ) ( ) ? x x f x g x v x ( L,M,k R ) + Khái quát hoá: từ một hay một lớp chân lí đã biết khái quát hoá thuộc lớp suy luận có lý, kết quả thường mang tính giả thiết, dự đoán. Ví Dụ 5: từ các hằng đẳng thức a 2 – b 2 = (a- b)).(a+b) = (a-b) (a 1 b 0 +a 0 b 1 ) a 3 – b 3 = (a- b)).(a 2 + ab +b 2 ) = (a-b) (a 2 b 0 +a 1 b 1 +a 0 b 2 ) Ta có thể dự đoán a n – b n = ? với , 2n N n Cách 2: Nêu lên tiện ích của kiến thức mới xắp học Ví dụ 6: Trước khi học phần tổng các số hạng của một cấp số nhân lùi vô hạn.GV cho HS làm bài toán sau: Trong hình vuông cạnh a. Nếu nối mỗi trung điểm 4 cạnh ta được một hình vuông mới và tiếp tục làm như thế với các hình vuông tiếp theo Tính diện tích tất cả các hình vuông mới tạo thành Khi giải HS có thể lập được tổng diện tích là S = a 2 + 1 2 a 2 + 1 4 a 2 + …… Vậy làm thế nào tính được tổng này ? Ví dụ 7: Khi học bài công thức nhị thức Niutơn, trước khi vào bài mới GV yêu cầu học sinh tìm hệ số trong khai triển nhị thức (a+b) 4 HS có thể làm như sau: (a+b) 4 = (a+b) 2 .(a+b) 2 = (a 2 +2ab+b 2 )(a 2 +ab+b 2 ) = a 4 +4a 3 b + 6a 2 b 2 +4ab 3 + b 4 GV thông báo rằng có thể nhẩm được hệ số của các số hạng trong khai triển (a+b) 4 (a+b) 5 , (a+b) 6 … một cách dễ dàng mà không làm theo cách như trên mà dựa vào tam giác số, tam giác Pascal Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 57 GV hỏi Có muốn biết tam giác đó không? HS sẽ hứng thú với vấn đề mới và chờ đợi sự giải quyết trong bài học Cách 3: Tìm sai lấm trong lời giải Ví dụ 8: GV yêu cầu HS tìm 2 1 1 lim 1x x x Một học sinh làm như sau: 2 1 1 1 1 ( 1)( 1) lim lim lim( 1) 2 1 1x x x x x x x x x Đây là lời giải sai vậy sai từ bước nào? Sai ở đâu? Yêu cầu HS tìm chỗ sai trong lời giải này. Cách 4: Phát hiện nguyên nhân và sửa chữa sai lầm Trong ví dụ trên nếu yêu cầu HS tìm nguyên nhân và sửa chữa sai lầm tức là GV đã đặt HS trước công việc cần phải suy nghĩ Học sinh sẽ phát hiện ra sai do khâu biến đổi đại số. Vậy thì 2 ( 1)( 1) 1 1 ( 1)( 1)1 ( 1) x x x x x xx x Vậy 2 11 ( 1)1 xx xx Vậy để tính 2 1 1 lim 1x x x ta cần phải tính 2 1 1 lim 1x x x và 2 1 1 lim 1x x x 2 1 1 1 ( 1)( 1) lim lim 2 1 1x x x x x x x 2 1 1 1 ( 1)( 1) lim lim 2 1 1x x x x x x x 1 1 1 ( 1) 1 x khix x khix Với x >1 Với x < 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 58 2 2 1 1 1 1 lim lim 1 1x x x x x x vậy không tồn tại 2 1 1 lim 1x x x Cách 5 :Tìm lời giải ngắn gọn hơn Ví dụ 8: Tìm 0 1 1 lim x x x Cách 1: Nhân và chia với lượng liên hợp của tử ta có : 0 1 1 lim x x x = 0 ( 1 1)( 1 1) lim ( 1 1)x x x x x = 0 1 1 lim ( 1 1)x x x x 0 1 1 lim 21 1x x Cách 2: Đặt ẩn số phụ: Đặt t = 1x x + 1 = t 2 x = t 2 -1 Khi x 0 thì t 1 Vậy: 0 1 1 lim x x x = 21 1 lim 1t t t 1 1 1 lim 1 2t t Như vậy rõ ràng nếu HS sử dụng cách 2 sẽ ngắn gọn hơn cách 1 Cách 5: Giải một bài toán mà HS chưa biết thuật giải: Ví dụ 9: Sau khi học xong phần định lý về giới hạn hữu hạn của hàm số GV cho HS tính giới hạn sau : Tìm 0 1 1 lim x x x Rõ ràng để giải được bài toán này buộc HS phải suy nghĩ làm thế nào để đưa giới hạn này về dạng áp dụng được định lý vừa học. Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề cho phép tăng cường tính tích cực độc lập sáng tạo trong học tập của HS đảm bảo học sinh lĩnh hội 1 cách sáng tạo tri thức và phương pháp hoạt động biểu lộ tiềm lực sáng tạo trong tất cả các lĩnh vực sau này. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 59 Như vậy ở bất kỳ đâu bất kỳ lúc nào năng lực sáng tạo đều được nảy sinh và phát triển trong quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề. Tuy nhiên để gây hứng thú học tập cho HS, người GV phải biết kết hợp phương pháp dạy học này với phương pháp dạy học khác nhằm phát huy tính tích cực của HS. 2.3.3.2. Dạy học hợp tác theo nhóm nhỏ Cấu tạo của hoạt động theo nhóm + Làm việc chung cả lớp - Nêu vấn đề xác định nhiệm vụ nhận thức - Tổ chức các nhóm giao nhiệm vụ cho các nhóm - Hướng dẫn cách làm việc theo nhóm + Làm việc theo nhóm - Xác định công việc cần tiến hành sau đó phân công nhiệm vụ cho từng thành viên, từng cá nhân làm việc độc lập - Trao đổi ý kiến thảo luận trong nhóm - Cử đại diện trình bày kết quả làm việc của nhóm +Thảo luận, tổng kết trước toàn lớp - Các nhóm lần lượt báo cáo kết quả. - Thảo luận chung - GV tổng kết, gợi mở vấn đề mới Tác dụng của phƣơng pháp dạy học hợp tác theo nhóm nhỏ - Tạo được sự giao lưu gần gũi, các thành viên trong nhóm chia sẻ được các suy nghĩ, băn khoăn, kinh nghiệm của bản thân với bạn bè - GV dễ dàng thu nhận được thông tin phản hồi từ HS, từ đó GV có thể điều chỉnh nội dung và hình thức tổ chức dạy học để đạt hiệu quả cao hơn - Bài học trở thành quá trình học hỏi lẫn nhau chứ không phải chỉ tiếp nhận thụ động từ GV Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 60 - Kiến thức sẽ được khắc sâu,vì vấn đề nêu ra HS được tham gia trao đổi,trình bày - Việc gợi vấn đề của GV sẽ được phân hoá phù hợp với các đối tượng HS trong lớp. VÝ dô 1: Trong giê d¹y bµi tËp muèn h×nh thµnh cho HS tri thøc ph•¬ng ph¸p t×m giíi h¹n v« ®Þnh 0 0 GV cho HS thùc hiÖn c¸c ho¹t ®éng sau: Ho¹t ®éng 1: Chia líp ra thµnh c¸c nhãm cø hai bµn t¹o thµnh mét nhãm,mçi nhãm thùc hiÖn nhiÖm vô trong phiÕu häc tËp: Nhãm 1: a, T×m giíi h¹n 0 1 1 lim x x x b, Nªu c¸ ch tÝnh giíi h¹n trªn. Nhãm 2: a, T×m giíi h¹n 2 2 lim 7 3x x x b, Nªu c¸ ch tÝnh giíi h¹n trªn. Nhãm 3: a, T×m giíi h¹n 2 1 1 lim 7 3x x x b, Nªu c¸ch tÝnh giíi h¹n trªn. Nhãm 4: a, T×m giíi h¹n 2 2 lim 7 11x x x x b, Nªu c¸ch tÝnh giíi h¹n trªn Ho¹t ®éng 2: C¸c nhãm kiÓm tra chÐo kÕt qu¶ cña nhãm b¹n d•íi sù chØ ®¹o cña GV: Nhãm 1: KiÓm tra phiÕu cña nhãm 2 Nhãm 2: KiÓm tra phiÕu cña nhãm 3 Nhãm 3: KiÓm tra phiÕu cña nhãm 4 Nhãm 4: KiÓm tra phiÕu cña nhãm 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 61 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 62 Ho¹t ®éng 3: + C¸c nhãm b¸o c¸ o kÕt qu¶ +Th¶o luËn gi÷a c¸ c nhãm vÒ kÕt qu¶ vµ c¸ ch tÝnh c¸c giíi h¹n trªn + Nªu kÕt luËn chung vÒ c¸ch t×m giíi h¹n d¹ng nµy GV: NhËn xÐt, ®¸nh gi¸ kÕt qu¶ cña tõng nhãm vµ kÕt luËn vÒ ph•ong ph¸p t×m giíi h¹n d¹ng v« ®Þnh 0 0 ®èi víi hµm sè h÷u tû cã chøa c¨n bËc hai. Ngoµi hai ph•¬ng ph¸p trªn GV cã thÓ kÕt hîp nhiÒu ph•¬ng ph¸p d¹y häc kh¸c trong mçi t×nh huèng hay trong mét bµi d¹y Ví dụ 2 Sau khi học xong định lí về giới hạn hữu hạn của hàm số GV yêu cầu HS tính giới hạn sau 2 21 4 3 lim 1x x x I x Tìm 2 1 lim( 4 3) x x x và 2 1 lim( 1) x x (đối với học sinh yếu) HS phát hiện ra giới hạn (I) có tử số bằng 0 và mẫu số bằng 0 khi x dần tới 1 ( Phát hiện ra vấn đề ) Vậy có thể áp dụng trực tiếp định lý vừa học được không ? Tại sao? (Đối với học sinh trung bình) Vậy thì giới hạn (I) được tính như thế nào? Giáo viên gợi ý: Nhận xét đa thức tử và đa thức mẫu có đặc điểm gì chung không? Lợi dụng đặc điểm chung đó để giản ước Sau đó áp dụng định lí về giới hạn hữu hạn Qua ví dụ trên nêu cách giải bài toán theo từng bước (Đối với học sinh khá) ? ? ? ? Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 63 Qua mỗi lần HS giải quyết được câu hỏi trên HS dần dần hình thành phương pháp tìm giới hạn dạng 0 0 đối với hàm phân thức mà tử và mẫu là các đa thức. HS khái quát hóa thành phương pháp chung. Giáo viên kết luận Ví dụ trên đã kết hợp phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề và dạy học phân hóa kết hợp với khám phá có hướng dẫn, đàm thoại để HS phát hiện ra cách giải bài toán về giới hạn dạng 0 0 . Đồng thời GV thông báo cho HS tri thức phương pháp để giải bài toán trên. Ví dụ 2: Để củng cố phương pháp trên GV phát phiếu học tập cho HS yêu cầu trả lời vào phiếu. Phiếu 1: Hãy tính 3 21 2 8 1 lim 6 5 1x x I x x Bạn hãy chọn một trong các đáp án sau: Nếu bạn chọn I thì xem phiếu 2 Nếu bạn chọn I = 2 thì xem phiếu 3 Nếu bạn chọn I= 6 thì xem phiếu 4 Nếu bạn chọn kết quả khác thì xem phiếu 5 Phiếu 2: Bạn đã chọn sai vì bạn coi 0 0 Hãy quay lại phiếu 1 Phiếu 3 : Bạn đã chọn sai Vì khi phân tích 8x 3 – 1 thành tích bạn đã phân tích nhầm 8x 3 – 1= (2x-1)(4x 2 – 2x+1) Hãy quay lại phiếu 1 Phiếu 4 bạn đã chọn đúng ? Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 64 Vì 3 2 2 2 8 1 (2 1)(4 2 1) 4 2 1 6 5 1 (2 1)(3 1) 3 1 x x x x x x x x x x x vậy 3 21 2 8 1 lim 6 6 5 1x x I x x Phiếu 5: Bạn đã chọn sai. Quay lại phiếu 1 Trên đây là ví dụ về dạy học chương trình hóa nhằm tạo ra sự hứng thú của HS khi học tập, kích thích tính tò mò của HS khi được GV đưa ra câu hỏi dưới nhiều hình thức khác nhau làm cho HS tích cực hoạt động học tập hơn. 2.3.4. Khai thác và sử dụng hiệu quả các phương tiện trợ giúp dạy học Phương tiện dạy học ở đây có thể hiểu là các công cụ được GV và HS sử dụng trực tiếp trong quá trình dạy và học Phương tiện dạy học tạo điều kiện thuận lợi cho việc tổ chức hoạt động học tập, chúng có thể tiếp nối, mở rộng giác quan của con người hình thành môi trường có dụng ý sư phạm, mô phỏng những hiện tượng vượt quá sự hạn chế về thời gian, không gian và chi phí. Trong quá trình dạy học, các phương tiện dạy học giúp cho HS có kiến thức bền vững, chính xác, đồng thời còn gây hứng thú và sự chú ý đối với các hiện tượng nghiên cứu. Kiểm tra sự đúng đắn của lí thuyết. Đối với việc rèn luyện kỹ năng thực hành, các phương tiện dạy học không thể thiếu được để thực hiện học đi đôi với hành. Bởi vì chúng không những làm cho kiến thức lý thuyết từ trừu tượng trở nên dễ hiểu dễ nhớ mà còn gợi nhu cầu vận dụng kiến thức vào thực tế của HS, phương tiện dạy học giúp GV và học sinh tăng năng xuất lao động làm thay đổi cách tư duy, hành động theo hướng hiện đại hoá. Phương tiện dạy học thông dụng có thể liệt kê theo các nhóm sau: Nhóm 1 : Phương tiện nghe nhìn gồm: Các đồ vật : quả bóng, cái nón, chi tiết máy… Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 65 Mô hình: một số khối đa diện, hình tứ diện, mô hình một số quỹ tích, mô hình biến đổi đồ thị. Hình ảnh đồ vật, đồ thị. Máy ghi âm, máy chiếu phim, đèn chiếu… Nhóm 2: Tài liệu in ấn, sách giáo khoa, sách bài tập, sổ tay toán học, phiếu học tập,… Nhóm 3: Công nghệ thông tin và truyền thông: máy vi tính, đĩa mềm, đĩa CD- ROM,.. Trong thực tế và điều kiện nước ta chưa phải toàn bộ các trường THPT đều có đầy đủ trang thiết bị dạy học, vì vậy người GV cần tìm tòi suy nghĩ khai thác những phương tiện dạy học đơn giản sẵn có như để khắc phục cho dạy học như: + Sách giáo khoa, sách tham khảo… những tài liệu này giúp cho HS nhận thức thế giới hiện thực thông qua ngôn ngữ, kí hiệu, tức là qua hệ thống tín hiệu thứ 2, quan trọng hơn dạy cho HS biết sử dụng SGK một cách khoa học, là đã bồi dưỡng cho họ phương pháp tự học để HS có thể tự lực khám phá ra chân trời mới tri thức mới mà không nhà trường nào, GV nào có thể dạy hết được. Do vậy cần khai thác triệt để thế mạnh của tài liệu này bằng cách tổ chức cho HS tự làm việc với SGK vào những khoảng thời gian thích hợp phù hợp với yêu cầu của lý luận dạy học là: + Cần lựa chọn đúng đắn nội dung tài liệu để HS tự nghiên cứu + Cần tổ chức một cuộc đàm thoại mở đầu cặn kẽ để HS có khái niệm về những nội dung cần nghiên cứu. Trong khi HS nghiên cứu tài liệu nên quan sát công việc của HS và giúp đỡ khi cần. Không được để cho HS tự nghiên cứu SGK trong toàn bộ tiết học mà phải phối hợp các hình thức và phương pháp khác, phải kiểm tra chất lượng lĩnh hội tài liệu, luyện tập thực hành đào xâu kiến thức. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 66 Cố gắng để học sinh tự nêu các vấn đề cơ bản sau khi đọc tài liệu +Bảng phụ: là những bảng với nội dung toán học nào đó được in sẵn hoặc vẽ trước để GV hướng dẫn tập thể lớp, đó cũng có thể là hình ảnh một ứng dụng toán học trong thực tế hay chân dung của một nhà toán học, Bảng phụ có thể dùng trong các hoàn cảnh sau: + Hướng dẫn rèn luyện một kỹ năng + Tổng kết hệ thống kiến thức + Thể hiện nhiều trạng thái Bảng phụ chỉ có tác dụng thực sự khi nội dung trên nó là một sơ đồ, một bảng tổng kết có giá trị, một đề bài tập có hình thức mới lạ, một lời giải sẵn để định hướng giúp HS tìm phương pháp giải hoặc tìm sai lầm… Nó hiệu quả hơn nếu được sử dụng ở nhiều tiết học. + Phiếu học tập: là những tờ gấy rời in sẵn những công tác độc lập hoặc làm theo nhóm, được phát cho HS để hoàn thành trong một thời gian ngắn của tiết học, đồng thời nó chính là hệ thống công việc mà HS phải tiến hành để có thể tự mình chiếm lĩnh kiến thức mới, tự mình hình thành kỹ năng mới. Dạy học bằng phiếu giao việc có những ưu điểm sau: +Tạo điều kiện để cho mọi HS phải làm việc, nhờ đó GV có thể kiểm soát chặt chẽ được mọi hoạt động của từng HS. + Qua sản phẩm của quá trình làm việc của HS, GV có được nguồn thông tin phản hồi trung thực hơn, từ đó điều chỉnh được cách dạy học của mình + Chống lại thói quen ỷ lại dựa dẫm của HS trung bình và kém. + Trong lúc HS tiến hành các hoạt động học tập, các biến đổi sinh hoá được diễn ra mạnh sâu sắc hơn trong não, giúp các em hiểu sâu hơn và nhớ bài lâu hơn. + Trong phiếu giao việc có những bài tập mang dáng dấp trắc nghiệm do đó giúp HS nhanh chóng tiếp cận với lối kiểm tra đánh giá mới theo định hướng của bộ giáo dục và đào tạo. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 67 + Phù hợp với quan điểm dạy học mới: lấy HS làm trung tâm nhưng mạnh hơn cả là ưu điểm: tiết kiệm thời gian nhờ đó có thể gia tăng tốc độ làm việc của học sinh. + Bên cạnh ưu điểm trên thì phiếu giao việc cũng còn một số nhược điểm như: -Tạo thói quen làm việc không đầy đủ - Hạn chế năng lực diễn đạt và trình bầy bằng lời + Các mô hình toán học trực quan: có thể giúp HS rèn luyện kỹ năng quan sát phân tích, so sánh. Mỗi phương tiện dạy học có thể giúp HS thực hiện một số chức năng như: - Chức năng rèn luyện kỹ năng - Chức năng kích thích hứng thú học tập - Chức năng điều khiển quá trình học tập - Chức năng hợp lí hoá công việc của Thầy và trò Những phương tiện dạy học nói chung có khả năng đáp ứng những nhu cầu đa dạng. Mỗi phương pháp dạy học cần đến không chỉ một phương tiện dạy học xác định. Mặt khác cùng một phương tiện dạy học có thể phục vụ cho nhiều phương pháp dạy học khác nhau, do vậy cần khai thác khả năng thích ứng linh hoạt này để nâng cao hiệu quả của phương tiện dạy học. Đặc biệt cần tăng cường sử dụng những phương tiện dạy học tạo môi trường tương tác cho HS trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, chủ động và sáng tạo Trong cùng một tình huống những phương tiện dạy học thường được sử dụng phối hợp với nhau, mỗi phương tiện dạy học đều có chỗ mạnh, chỗ yếu cần phải biết lấy chỗ mạnh của phương tiện này để hạn chế chỗ yếu của phương tiện kia nhằm phát huy tối đa sức mạnh tổng hợp của hệ thống phương tiện dạy học. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 68 Sử dụng phương tiện dạy học là một trong những yếu tố góp phần nâng cao hiệu quả giờ dạy. Bởi phương tiện dạy học không những giúp HS thực hiện học đi đôi với hành mà còn tạo hứng thú học tập cho HS từ đó phát huy được tính tích cực học tập của HS trong giờ học. Nhưng sử dụng phương tiện như thế nào để đạt được hiệu quả tốt nhất, đây cũng là vấn đề mà nhiều giáo viên quan tâm trong quá trình đổi mới phương pháp dạy học. Theo kinh nghiệm của bản thân và các đồng nghiệp để thực hiện một giờ dạy có sử dụng phương tiện dạy học tốt cần phải tuân theo các yêu cầu sau: + Lựa chọn phương tiện dạy học phù hợp với đối tượng học sinh, phù hợp với nội dung từng phần của bài dạy. + Lựa chọn thời điểm để sử dụng phương tiện dạy học. + Lựa chọn cách thức sử dụng phương tiện. + Lựa chọn mức độ để sử dụng phương tiện. Có đạt được các yêu cầu trên thì người GV mới làm chủ được phương tiện, không bị phụ thuộc vào phương tiện, GV phải luôn chú ý rằng phương tiện dạy học không thể thay thế được giáo viên trong toàn bộ quá trình dạy học. Ví dụ 1: Giáo viên có thể thiết kế một giờ dạy bằng giáo án điện tử, bài giảng được thiết kế thành một hệ thống liên kết chặt chẽ phối hợp đan xen các hoạt động của thày và trò để đạt được mục đích của giờ dạy. Ví dụ 2: GV có thể sử dụng máy chiếu Project, máy chiếu Overhead để kiểm tra nhanh kết quả học tập của HS sau mỗi phần học giờ học. Ví dụ 3: Để cho HS đoán nhận giới hạn của dãy số hoặc hàm số bằng hình học GV có thể sử dụng phần mềm toán học để vẽ hình, đồ thị.. Ví dụ 4: Với các quy tắc, phương pháp tìm giới hạn trong giờ dạy một cách hợp lí có hiệu quả sẽ làm cho giờ học sinh động hơn, học sinh hứng thú say mê, tích cực hoạt động học tập hơn, tuy nhiên nếu lạm dụng phương tiện dạy học một cách thái quá thì kết quả giờ học sẽ ngược lại so với mong đợi . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 69 3.3.5. Kiểm tra đánh giá Học sinh là đối tượng của giáo dục, là chủ thể của quá trình giáo dục đồng thời thể hiện sản phẩm của giáo dục, đánh giá HS là nhiệm cụ trực tiếp của mỗi GV trong quá trình dạy học. Trong dạy học việc đánh giá HS đều nhằm các mục đích sau: + Đối với học sinh, việc đánh giá kích thích các hoạt động học tập cung cấp cho HS thông tin phản hồi về quá trình học tập của bản thân HS để từ đó có sự điều chỉnh quá trình học tập, việc đánh giá nếu khai thác tốt sẽ kích thích học tập không những về mặt lĩnh hội tri thức, rèn luyện kỹ năng mà còn cả về mặt phát triển năng lực trí tuệ, tư duy sáng tạo và trí thông minh, việc kiểm tra đánh giá nếu được tổ chức tốt sẽ giúp cho HS nâng cao được tinh thần trách nhiệm trong học tập, có ý trí vươn lên để đạt được kết quả cao hơn, củng cố niềm tin vào khả năng của minh, nâng cao ý thức tự giác khắc phục tính chủ quan tự mãn và đặc biệt là phát triển năng lực tự đánh giá. + Đối với giáo viên: Việc kiểm tra đánh giá HS cung cấp những thông tin cần thiết giúp cho GV xác định đúng điểm xuất phát hoặc điểm kế tiếp của quá trình dạy học biết được kết quả học tập của từng HS, những sai sót của từng HS, nguồn gốc của những sai sót đó, và cung thông qua việc kiểm tra đánh giá GV biết được hiệu quả của những phương pháp, phương tiện và hình thức tổ chức dạy học mà mình đang thực hiện Để đạt được các mục tiêu trên yêu cầu của GV trong quá trình kiểm tra đánh giá là: