Luận văn Đặc trưng của môđun cohen–macaulay dãy qua tính chất phân tích tham số

Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn ĐẠI HỌC THÁI NGUYấN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ---------------------------- Lấ THỊ MAI QUỲNH ĐẶC TRƯNG CỦA MễĐUN COHEN–MACAULAY DÃY QUA TÍNH CHẤT PHÂN TÍCH THAM SỐ Chuyờn ngành: Đại số và lý thuyết số Mó số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH NGUYỄN TỰ CƯỜNG THÁI NGUYấN NĂM 2008 1Mục lục Mục lục 1 Lời cảm ơn 2 Phần mở đầu 3 Chương I. Kiến thức chuẩn bị 5 1.1. Hệ tham số 5 1.2. Dãy chính quy và môđun Cohen-Macaulay 7 1.3. Môđun Cohen-Macaulay dãy 10 Chương II. Phân tích tham số và môđun Cohen-Macaulay dãy 14 2.1. Đặc trưng của môđun Cohen-Macalay dãy 14 2.2. Đa thức Hilbert-Samuel của môđun Cohen-Macaulay dãy 27 2.3. Ví dụ 31 Tài liệu tham khảo 38 2Lời cảm ơn Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH Nguyễn Tự Cường. Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc nhất của mình đến thầy. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới PGS.TS Lê Thị Thanh Nhàn, PGS.TS Nguyễn Quốc Thắng cùng toàn thể các thầy cô giáo ở Khoa Toán và Phòng Đào tạo sau Đại học trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập tại trường. Tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ nhiệt thành và chu đáo của NCS Trần Nguyên An, bạn Hoàng Lê Trường phòng đại số trong quá trình thực hiện luận văn này. 3Lời nói đầu Cho R là vành địa phương Noether với iđêan tối đại m và M là R− môđun hữu hạn sinh với dimM = d. Cho x = x1, . . . , xd là hệ tham số của M và q = (x1, . . . , xd) là iđêan tham số của M sinh bởi x. Với mỗi số nguyên dương n, ký hiệu Λd,n = {(α1, . . . , αd) ∈ Zd | αi ≥ 1,∀1 ≤ i ≤ d, d∑ i=1 αi = d+ n− 1} và q(α) = (xα11 , . . . , x αd d ) với ∀α = (α1, . . . , αd) ∈ Λd,n. Ta nói rằng hệ tham số x có tính chất phân tích tham số nếu đẳng thức qnM = ⋂ α∈Λd,n q(α)M đúng với ∀n ≥ 1. Vậy khi nào một hệ tham số cho trước của M có tính chất phân tích tham số. Vấn đề này Heinzer, Ratliff và Shah đã chứng minh rằng một dãy các phần tử R− chính quy luôn có tính chất phân tích tham số. Sau đó, Goto và Shimoda đã chỉ ra rằng điều ngược lại cũng đúng khi mỗi phần tử của dãy không là ước của không trong R. Hơn nữa, họ còn đưa ra một đặc trưng khác của R với dimR ≥ 2, trong đó mọi hệ tham số của R có tính chất phân tích tham số. Ta nói môđun M là môđun Cohen-Macaulay dãy khi và chỉ khi tồn tại một hệ tham số x nào đó sao cho x có tính chất phân tích tham số. Bây giờ, ta hạn chế sự quan tâm của câu hỏi trên cho hệ tham số tốt của M . Khi đó một môđun Cohen-Macaulay dãy có thể được đặc trưng bởi tính chất phân tích tham số của một hệ tham số tốt như thế nào. Nội dung đó được trình bài trong bài báo Parametric decomposition of powers of parameter ideals and sequentially Cohen-Macaulay modules của tác giả Nguyễn Tự Cường và Hoàng Lê Trường. Bài báo sẽ ra ở tạp chí " Proc. Amer. Math. Soc." Mục đích của luận văn này là trình bày lại một cách hệ thống và chi tiết kết quả của bài báo trên. Luận văn được chia làm 2 chương. Chương 1 "Kiến thức chuẩn bị" là chương giới thiệu một số kiến thức cơ bản về đại số giao hoán như hệ tham số, dãy chính quy, môđun Cohen- Macaulay, môđun Cohen-Macaulay dãy. 4Chương 2 "Phân tích tham số và môđun Cohen-Macaulay dãy" trình bày một số bổ đề từ đó đi đến định lý chính của chương nói về đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay dãy qua phân tích tham số và hệ quả của nó. Định lý phát biểu rằng Định lý 2.1.6. Cho (R,m) là vành địa phương Noether.M là R− môđun hữa hạn sinh. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương: (i) M là môđun Cohen-Macaulay dãy. (ii) Mọi hệ tham số tốt của M có tính chất phân tích tham số. (iii) Tồn tại hệ tham số tốt của M có tính chất phân tích tham số. Ngoài ra chương này còn trình bày mối quan hệ giữa môđun Cohen- Macaulay dãy M và biểu thức của hàm Hilbert-Samuel thông qua định lý Định lý 2.2.3. Cho D : D0 ⊂ D1 ⊂ . . . ⊂ Dt = M là lọc chiều của M và đặt Di = Di/Di−1 với mọi i = 1, . . . , t,D0 = D0. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương: (i) M là môđun Cohen-Macaulay dãy. (ii) Với bất kỳ iđêan tham số tốt q của M , đẳng thức l(M/qn+1M) = t∑ i=0 ( n+ di di ) l(Di/qDi) đúng với mọi n ≥ 0. (iii) Tồn tại iđêan tham số tốt q của M sao cho đẳng thức l(M/qn+1M) = t∑ i=0 ( n+ di di ) l(Di/qDi) đúng với mọi n ≥ 0. Phần cuối cùng của chương sẽ xây dựng ví dụ nhằm làm sáng tỏ các kết quả chính đã nêu ở trên. Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Mục đích của chương này là nhắc lại một số kiến thức cơ bản về đại số giao hoán được sử dụng trong luận văn bao gồm định nghĩa, các mệnh đề và bổ đề về hệ tham số, dãy chính quy, môđun Cohen-Macaulay, môđun Cohen-Macaulay dãy. 1.1 Hệ tham số Trong phần này ta sẽ đưa ra khái niệm và một số tính chất cơ bản về hệ tham số, đây là một khái niệm quan trọng xuyên suốt quá trình thực hiện luận văn này. 1.1.1 Định nghĩa. Cho (R,m) là vành địa phương Noether, M là R− môđun hữu hạn sinh với dimM = d. Tập các phần tử x = (x1, x2, . . . , xd), xi ∈ m ,∀i = 1, . . . , d thoả mãn lR(M/xM) < ∞ được gọi là một hệ tham số của M . Giả sử (R,m) là vành địa phương Noether, M là R− môđun hữu hạn sinh với dimM = d. Mệnh đề sau đây nêu lên một số tính chất cơ bản của hệ tham số. 5 61.1.2 Mệnh đề. [1, Mệnh đề A.4] Cho x1, x2, . . . , xt ∈ m khi đó dim(M/(x1, . . . , xt)M) ≥ dimM − t. Đẳng thức sảy ra khi và chỉ khi x1, x2, . . . , xt là một phần của hệ tham số của M . 1.1.3 Mệnh đề. [8, Chú ý 15.20] Nếu x1, . . . , xd là hệ tham số củaM thì với mọi số nguyên dương α1, . . . , αd ta có x α1 1 , . . . , x αd d cũng là hệ tham số của M . Nhận xét. (1) Cho x ∈ m khi đó x là một phần tử của hệ tham số của M khi và chỉ khi x 6∈ p với mọi p ∈ AssR sao cho dimR/p = d. (2) Cho x1, . . . , xd ∈ m xác định bởi xi+1 6∈ p,∀p ∈ AssR(M/(x1, . . . , xi)M), dimR/p = d− i với i = 0, . . . , d− 1. Khi đó {x1, . . . , xd} là hệ tham số của M . Tiếp theo ta sẽ đưa ra định nghĩa về hàm Hilbert-Samuel và định lý đa thức Hilbert, đây là một định lý nổi tiếng và có ứng dụng nhiều trong đại số giao hoán. Trong luận văn này ta chỉ nhắc lại định nghĩa và định lý dùng cho chương sau mà không chứng minh. 1.1.4 Định nghĩa. Cho M là môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương Noether (R,m) với dimM = d, q là iđêan định nghĩa của M ( tức là l(M/qM) < ∞). Khi đó ta định nghĩa một hàm số gọi là hàm Hilber- Samuel Fq,M(n) = l(M/q n+1M). 71.1.5 Mệnh đề. [7, Định lý 13.2] Cho R = ⊕ t≥0Rt là vành phân bậc Noether. R0 là vành Artin và M là R- môđun phân bậc hữa hạn sinh. Giả sử rằng R = R0[x1, . . . , xr] và xi bậc di khi đóFq,M(n) là một hàm hữu tỷ của n hơn nữa tồn tại đa thức Pq,M(n) với hệ số hữu tỷ bậc d sao cho với n đủ lớn thì Fq,M(n) = Pq,M(n). và tồn tại những số nguyên e0(q,M)(> 0), e1(q,M), . . . , ed(q,M) sao cho Pq,M(n) = e0(q,M) ( n+ d d ) +e1(q,M) ( n+ d− 1 d− 1 ) +ã ã ã+ed(q,M). Số e0(q,M) được gọi là số bội Zaziski-Samuel. Khi q sinh bởi một hệ tham số x = {x1, x2, . . . , xd} ta ký hiệu e0(q,M) = e(x,M). 1.2 Dãy chính quy và môđun Cohen-Macaulay Trong phần này ta sẽ trình bày một số khái niệm về dãy chính quy, đó là khái niệm cơ bản để định nghĩa độ sâu của một môđun từ đó đưa đến định nghĩa của vành và môđun Cohen-Macaulay. 1.2.1 Định nghĩa. ChoR là vành giao hoán vàM làR−môđun. Một phần tử x ∈ R được gọi là M− chính quy nếu 0 :M x = 0, tức là xa 6= 0 với ∀a ∈M,a 6= 0. Một dãy các phần tử x1, . . . , xn củaR được gọi làM−dãy chính quy nếu (x1, . . . , xn)M 6= M và xi là M/(x1, . . . , xi−1)M− chính quy với mọi i = 1, . . . , n. Các mệnh đề sau đây nêu lên các tính chất cơ bản của dãy chính quy. 1.2.2 Mệnh đề. [8, Bổ đề 16.4] Cho M là R− môđun khi đó các mệnh đề sau tương đương: 8(i) Dãy x1, . . . , xn là dãy M− chính quy. (ii) Dãy x1, . . . , xi là dãy M− chính quy và xi+1, . . . , xn là dãy M/(x1, . . . , xi)M− chính quy với mọi 1 ≤ i ≤ n− 1. 1.2.3 Mệnh đề. [7, Định lý 16.1] Nếu x1, . . . , xn là dãy M− chính quy thì với mọi số nguyên dương α1, . . . , αn ta có {xα11 , . . . , xαnn } cũng là dãy M− chính quy. 1.2.4 Mệnh đề. [8, Định lý 16.9] Nếu x1, . . . , xn là dãy M− chính quy thì với mọi hoán vị của các phần tử x1, . . . , xn ta vẫn được một dãy M− chính quy. 1.2.5 Mệnh đề. [1, Mệnh đề 1.2.12] Nếu M là R− môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương Noether và x1, . . . , xt là dãy M− chính quy thì x1, . . . , xt là một phần của hệ tham số của M . Với định nghĩa về dãy chính quy nêu trên cho phép đi đến khái niệm độ sâu của một môđun, để từ đó đi đến khái niệm môđun Cohen-Macaulay. 1.2.6 Định nghĩa. Cho I là iđêan của vành R, M là R− môđun hữu hạn sinh sao choM 6= IM . Khi đó độ dài cực đại của dãyM− chính quy của I gọi là độ sâu của iđêan I đối với R− môđunM , kí hiệu depthR(I,M). Nếu (R,m) là vành địa phương Noether, ta có thể kí hiệu độ sâu của R− môđun M là depthRM hoặc có thể đơn giản hơn là depthM . 1.2.7 Mệnh đề. [1, Mệnh đề 1.2.13] Cho (R,m) là vành địa phương Noether, M là R− môđun hữu hạn sinh. Ta có khẳng định sau. depthM ≤ dimR/p ≤ dimM, ∀p ∈ AssM . Và tiếp theo ta nhắc lại khái niệm môđun Cohen- Macaulay. 91.2.8 Định nghĩa. Môđun M được gọi là môđun Cohen-Macaulay nếu M = 0 hoặc M 6= 0 và depthM = dimM. Vành R gọi là vành Cohen- Macaulay nếu nó là R− môđun Cohen-Macaulay. Mệnh đề sau nêu lên các đặc trưng cơ bản của môđun Cohen-Macaulay. 1.2.9 Mệnh đề. [7, Định lý 17.3] (1) Nếu M là môđun Cohen-Macaulay thì với ∀p ∈ AssM ta có dimR/p = dimM . (2) Nếu x1, . . . , xd ∈ m là dãy M− chính quy thì M là môđun Cohen- Macaulay khi và chỉ khi M/(x1, . . . , xd)M là môđun Cohen-Macaulay. 1.2.10 Mệnh đề. [7, Chú ý 136] Nếu M là môđun Cohen-Macaulay thì mọi hệ tham số của M là dãy M− chính quy. 1.2.11 Bổ đề. [3, Bổ đề 2.2] Cho N là môđun con của M thoả mãn dimN < dimM và M/N là môđun Cohen-Macaulay. Cho x1, . . . , xi là một phần của hệ tham số củaM khi đó (x1, . . . , xi)M∩N = (x1, . . . , xi)N . Chứng minh. Ta chứng minh bằng quy nạp theo i. Với i = 1 ta phải chứng minh x1M ∩ N = x1N . Ta luôn có x1N ⊆ x1M ∩N ta chứng minh x1M ∩N ⊆ x1N . Thật vậy, lấy y ∈ x1M ∩N khi đó y ∈ x1M và y = x1m với m ∈ M suy ra y = x1m ∈ N hay x1m + N = 0 + N trong M/N tức x1(m + N) = 0 suy ra m + N = 0 hay m ∈ N . Do đó y = x1m ∈ x1N Giả sử i > 1. Ta luôn có (x1, . . . , xi)N ⊆ (x1, . . . , xi)M ∩ N (1). Lấy a ∈ (x1, . . . , xi)M ∩N khi đó a = x1a1 + ã ã ã+xiai trong đó aj ∈M với mọi j = 1, . . . , i vì a ∈ N nên ai ∈ (N + (x1, . . . , xi−1)M) : xi. Mặt khác, vì dãy x1, . . . , xi là M/N− chính quy và (N + (x1, . . . , xi−1)M) :M xi = N + (x1, . . . , xi−1)M 10 nên ta có ai ∈ N + (x1, . . . , xi−1)M , ai = x1b1 + ã ã ã+ xi−1bi−1 + c trong đó bj ∈M , j = 1, ã ã ã , i− 1 và c ∈ N . Suy ra theo giả thiết quy nạp ta có a− xic ∈ (x1, . . . , xi−1)M ∩N = (x1, . . . , xi−1)N Do đó a ∈ (x1, ã ã ã , xi)N . Vậy (x1, . . . , xi)M∩N ⊆ (x1, . . . , xi)N (2). Từ (1) và (2) ta có (x1, . . . , xi)M ∩N = (x1, . . . , xi)N 1.3 Môđun Cohen-Macaulay dãy Trong phần này ta đưa ra định nghĩa và một số tính chất cơ bản về lọc chiều và môđun Cohen-Macaulay dãy, trước tiên ta nhắc lại khái niệm lọc chiều của môđun. 1.3.1 Định nghĩa. (1) Một lọc các môđun con của M là một họ F : M0 ⊂M1 ⊂ . . . ⊂Mt = M trong đó Mi là các môđun con của M . Lọc các môđun con F của M được gọi là thoả mãn điều kiện chiều nếu dimMi−1 < dimMi với mọi i = 1, 2, . . . , t. (2) Một lọc thoả mãn điều kiện chiều D : D0 ⊂ D1 ⊂ . . . ⊂ Dt = M được gọi là lọc chiều của M nếu nó thoả mãn 2 điều kiện sau (a) D0 = H 0 m(M) là môđun đối đồng điều địa phương thứ 0 của M ứng với iđêan tối đại m. (b) Di−1 là môđun con lớn nhất của Di sao cho dimDi−1 < dimDi với mọi i = 1, 2, . . . , t. 11 Mệnh đề sau sẽ cho ta thấy sự tồn tại của lọc chiều. 1.3.2 Mệnh đề. [2, Chú ý 2.3] Lọc chiều của môđun M luôn tồn tại và duy nhất. Hơn nữa nếu D : D0 ⊂ D1 ⊂ . . . ⊂ Dt = M là lọc chiều của M với dimDi = di thì ta có Di = ⋂ dim(R/pj)≥di+1 Nj với mọi i = 1, 2, . . . , t− 1 trong đó 0 = n⋂ j=1 Nj là phân tích nguyên sơ thu gọn của môđun 0 củaM và Nj là pj− nguyên sơ với mọi j = 1, 2, . . . , n. Nhận xét. Cho N là môđun con của M và dimN < dimM . Từ định nghĩa lọc chiều, tồn tại môđun Di sao cho N ⊆ Di và dimN = dimDi. Do đó nếu F : M0 ⊂M1 ⊂ . . . ⊂Mt = M là lọc thoả mãn điều kiện chiều thì với mỗi Mj luôn tồn tại Di sao cho Mj ⊆ Di và dimMj = dimDi. Hệ tham số tốt là một khái niệm quan trọng được sử dụng trong luận văn này, từ định nghĩa về lọc chiều nêu trên ta có định nghĩa về hệ tham số tốt như sau. 1.3.3 Định nghĩa. Cho F : M0 ⊂ M1 ⊂ . . . ⊂ Mt = M là lọc thoả mãn điều kiện chiều và dimMi = di. Một hệ tham số x = {x1, x2, . . . , xd} của M được gọi là hệ tham số tốt tương ứng với lọc F nếu Mi ∩ (xdi+1, xdi+2, . . . , xd)M = 0 với mọi i = 1, 2, . . . , t− 1. 12 Mọi hệ tham số tốt tương ứng với lọc chiều được gọi là hệ tham số tốt của M . Nhận xét (1) Nếu hệ tham số x = {x1, x2, . . . , xd} là hệ tham số tốt tương ứng với lọc F thì xα11 , . . . , x αd d cũng là hệ tham số tốt tương ứng với lọc F với mọi số nguyên dương α1, . . . , αd. (2) Một hệ tham số tốt của M cũng là hệ tham số tốt tương ứng với bất kỳ lọc thoả mãn thoả mãn điều kiện chiều nào của M . 1.3.4 Bổ đề. [2, Bổ đề 2.5] Luôn tồn tại hệ tham số tốt của M . Chứng minh. Cho D : D0 ⊂ D1 ⊂ . . . ⊂ Dt = M là lọc chiều củaM với dimDi = di. Theo mệnh đề 1.3.2 ta có Di = ⋂ dim(R/pj)≥di+1 Nj trong đó 0 = n⋂ j=1 Nj là sự phân tích nguyên sơ thu gọn của môđun 0 của M . Đặt Ni = ⋂ dim(R/pj)≤di Nj khi đó Di ∩Ni = 0 và dimM/Ni = di. Theo định lý Tránh nguyên tố sẽ tồn tại một hệ tham số x = {x1, x2, . . . , xd} thoả mãn xdi+1, xdi+2, . . . , xd ∈ AnnM/Ni. Suy ra Di ∩ (xdi+1, xdi+2, . . . , xd)M ⊆ Di ∩Ni = 0. 1.3.5 Bổ đề. [3, Bổ đề 2.1] Cho x = {x1, x2, . . . , xd} là hệ tham số tốt của M khi đó Di = 0 :M xj với mọi j = di + 1, . . . , di+1, i = 0, 1, . . . , t − 1 và do đó 0 :M x1 ⊆ 0 :M x2 ⊆ . . . ⊆ 0 :M xd. Chứng minh. Ta có Di ⊆ 0 :M xj với mọi j ≥ di. Thật vậy, lấy x ∈ Di vì Di là môđun con của M nên x ∈ M . Suy ra xjx ∈ (xdi+1, . . . , xd)M , ∀j = di+1, . . . , d hơn nữa xjx ∈ Di. Nên suy ra xjx = 0 hay x ∈ 0 :M xj. Ta còn phải chứng minh rằng 0 :M xj ⊆ Di với mọi di < j < di+1. 13 Giả sử 0 :M xj 6⊆ Di và s là số nguyên lớn nhất sao cho 0 :M xj 6⊆ Ds−1 khi đó t ≥ s > i và 0 :M xj = 0 :Ds xj. Vì ds ≥ di+1 ≥ j, xj là phần tử tham số của Ds và dim 0 :M xj < ds do đó 0 :M xj ⊆ Ds−1 điều này vô lý với việc chọn s. Do vậy 0 :M xj = Di. Trong phần tiếp theo ta sẽ trình bày khái niệm và một vài tính chất đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay dãy được sử dụng trong luận văn này. Trước hết ta có định nghĩa sau. 1.3.6 Định nghĩa. Môđun M được gọi là môđun Cohen-Macaulay dãy nếu với lọc chiều D : D0 ⊂ D1 ⊂ . . . ⊂ Dt = M mỗi môđun Di/Di−1 là Cohen-Macaulay với i = 1, 2, . . . , t. Mệnh đề tiếp theo coi như điều kiện tương đương với định nghĩa môđun Cohen-Macaulay dãy. 1.3.7 Mệnh đề. [2, Định lý 3,9] Cho D : D0 ⊂ D1 ⊂ . . . ⊂ Dt = M là lọc chiều của M với dimDi = di và x = (x1, x2, . . . , xd) là hệ tham số tốt của M . Khi đó các mệnh đề sau là tương đương: (1) M là môđun Cohen-Macaulay dãy. (2) (x1, . . . , xdi) là dãy chính quy trên M/Di−1 với i = 1, . . . , t. (3) depthM/Di−1 = di với i = 1, . . . , t. 1.3.8 Bổ đề. [3, Hệ quả 2.3] Cho x = {x1, x2, . . . , xd} là hệ tham số tốt của môđun Cohen-Macaulay dãy M . Khi đó (x1, . . . , xd)M ∩ Di = (x1, . . . , xdi)Di với mọi i = 1, . . . , t− 1. Chứng minh. Ta cóDi là môđun con củaM , dimDi < M vàM là môđun 14 Cohen-Macaulay dãy nên (x1, . . . , xd)M ∩Di = (x1, . . . , xdi, xdi+1, . . . , xd)M ∩Di = (x1, . . . , xdi)M ∩Di + (xdi+1, . . . , xd)M ∩Di = (x1, . . . , xdi)M ∩Di mà (x1, . . . , xdi) là một phần của hệ tham số củaM nên theo bổ đề 1.2.11 ta có (x1, . . . , xdi)M ∩Di = (x1, . . . , xdi)Di. Chương 2 Phân tích tham số của luỹ thừa iđêan tham số và môđun Cohen-Macaulay dãy Trong chương này ta sẽ trình bày nội dung chính của luận văn. Nội dung chình được chia làm ba tiết. Tiết một trình bày về đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay dãy qua phân tích tham số. Tiết hai sẽ trình bày về đa thức Hilbert-samuel của môđun Cohen-Macaulay dãy và trong tiết ba sẽ đưa ra một số ví dụ nhằm làm sáng tỏ các kết quả đã nêu ở trên. 2.1 Đặc trưng củamôđun Cohen-Macaulay dãy qua phân tích tham số Cho (R,m) là vành địa phương Noether, M là R− môđun hữa hạn sinh với dimM = d. Cho x = {x1, x2, . . . , xd} là hệ tham số của môđun M và q là iđêan sinh bởi x1, x2, . . . , xd. Với số nguyên dương n, s ta có tập Λd,n = {(α1, . . . , αd) ∈ Zd | αi ≥ 1,∀1 ≤ i ≤ d, d∑ i=1 αi = d+ n− 1} với α = (α1, . . . , αd) ∈ Λd,n. Ký hiệu q(α) = (xα11 , . . . , xαdd ). 15 16 2.1.1 Bổ đề. Với các ký hiệu trên ta có qnM ⊆ ⋂ α∈Λd,n q(α)M Chứng minh. Vì q(α)M = (xα11 , . . . , x αd d ) nên q nM được sinh bởi các phần tử có dạng xβ11 . . . x βd d m trong đó βi ∈ N,∀i = 1, . . . , d và d∑ i=1 βi = n. Lấy tuỳ ý α = (α1, . . . , αd) ∈ Λd,n. Ta có d∑ i=1 βi > d∑ i=1 (αi − 1) nên tồn tại βi > αi với i nào đó. Suy ra x β1 1 . . . x βd d m ∈ q(α)M . Vậy với mọi n ta có qnM ⊆ ⋂ α∈Λd,n q(α)M . Nếu ở mệnh đề trên dấu bằng xảy ra với mọi n tức qnM = ⋂ α∈Λd,n q(α)M đúng với mọi n thì ta nói x = x1, . . . , xd có tính chất phân tích tham số. Ta sẽ chứng minh trong tiết này rằng M là môđun Cohen-Macaulay dãy khi và chỉ khi tồn tại một hệ tham số tốt x nào đó củaM để sao cho x có tính chất phân tích tham số . Ta bắt đầu bằng bổ đề về tính chất phân tích tham số của dãy các phần tử chính quy. 2.1.2 Bổ đề. Cho s là một số nguyên dương và y1, . . . , ys làM− dãy chính quy của các phần tử trong m. Khi đó (y1, . . . , ys) nM = ⋂ α∈Λs,n (yα11 , . . . , y αs s )M với mọi n ≥ 1. Chứng minh. Ta kí hiệu y = (y1, . . . , ys) và y(α) = (y α1 1 , . . . , y αs s ). Việc chứng minh bổ đề trên trong vành R là hoàn toàn tương tự như xét trong vành đa thức Z[X1, . . . , Xs] và do đó ta có thể thay thế y bởi X = X1, . . . , Xs. Ta biết rằng dãy X là Z[X1, . . . , Xs]− chính quy, vậy có thể giả sử y là Z[X1, . . . , Xs]− chính quy. 17 Đặt S = R nM là iđêan hoá của M trên R. Khi đó S = R nM là nhóm cộng và phép nhân trong S được định nghĩa như sau (a, x)(b, y) = (ab, ay + bx),∀a, b ∈ R, ∀x, y ∈M. Đặt fi = (yi, 0), (i = 1, . . . , s), ta sẽ chứng minh dãy f = f1, . . . , fs là S− chính quy, tức là (f1, . . . , fi)S : fi+1 = (f1, . . . , fi)S, i = 0, . . . , s− 1. Ta luôn có (f1, . . . , fi)S : fi+1 ⊇ (f1, . . . , fi)S do đó ta chỉ cần phải chứng minh (f1, . . . , fi)S : fi+1 ⊆ (f1, . . . , fi)S, i = 0, . . . , s − 1 là đủ. Lấy bất kỳ g ∈ (f1, . . . , fi)S : fi+1, tức là g = (u, x), u ∈ R, x ∈ M và gfi+1 ∈ (f1, . . . , fi)S, suy ra (u, x)(yi+1, 0) = i∑ j=1 (yj, 0)(uj, xj) hay là (uyi+1, xyi+1) = ( i∑ j=1 yjuj, i∑ j=1 yjxj), trong đó uj ∈ R, xj ∈ M . Vậy uyi+1 = i∑ j=1 yjuj và xyi+1 = i∑ j=1 yjxj. Từ đó uyi+1 ∈ (y1, . . . , yi)R và xyi+1 ∈ (y1, . . . , yi)M tức là u ∈ (y1, . . . , yi)R : yi+1 = (y1, . . . , yi)R x ∈ (y1, . . . , yi)M : yi+1 = (y1, . . . , yi)M với i = 0, . . . , s−1. Suy ra (u, x) ∈ (f1, . . . , fi)S do đó g ∈ (f1, . . . , fi)S. Vậy (f1, . . . , fi)S : fi+1 ⊆ (f1, . . . , fi)S, với mọi i = 0, . . . , s − 1 nên (f1, . . . , fi)S : fi+1 = (f1, . . . , fi)S,∀i = 0, . . . , s − 1 tức là ta có f = f1, . . . , fs là S− chính quy. Từ đây áp dụng [6, Định lý 2.4] ta có (f)nS = ⋂ α∈Λs,n f(α)S,∀n ≥ 1 (1) 18 Tiếp theo ta sẽ chứng minh rằng (f)nS = (y)nRì (y)nM. Thật vậy, lấy tuỳ ý t = ∑ Cβf β1 1 . . . f βs s ∈ (f)nS, trong đó βi ≥ 0, i = 1, . . . , s, s∑ i=1 βi = n, Cβ = (rβ,mβ) ∈ RìM . Ta có t = ∑ (rβ,mβ)(y β1 1 . . . y βs s , 0) = ( ∑ rβy β1 1 . . . y βs s , ∑ mβy β1 1 . . . y βs s ) ∈ (y)nRì (y)nM. Ngược lại, cho t ∈ (y)nRì(y)nM , tức là t = (∑ rβyβ11 . . . yβss ,∑mβyβ′11 . . . yβ′ss ), trong đó βi, β ′ i ≥ 0, s∑ i=1 βi = n, s∑ i=1 β′i = n, r ∈ R,m ∈ M . Đặt fβii = (yβii , 0), f β′i i = (y β′i i , 0), 1 ≤ i ≤ s. Ta có t = ∑ (rβy β1 1 . . . y βs s , 0) + (0, ∑ mβy β′1 1 . . . y β′s s ) = ∑ (rβ, 0)(f β1 1 . . . f βs s ) + ∑ (0,mβ)(f β′1 1 . . . f β′i i ) ∈ (f)nS. Vậy (f)nS = (y)nRì (y)nM (2) Tương tự như chứng minh đẳng thức (2) ta cũng có f(α)S = y(α)Rì y(α)M,n ≥ 1, α ∈ Λs,n. Suy ra ⋂ α∈Λs,n f(α)S = ⋂ α∈Λs,n y(α)Rì ⋂ α∈Λs,n y(α)M (3) Từ (1),(2),(3) dẫn đến kết quả sau (y)nRì (y)nM = ⋂ α∈Λs,n y(α)Rì ⋂ α∈Λs,n y(α)M. Từ đây suy ra (y)nM = ⋂ α∈Λs,n y(α)M,n ≥ 1 hay (y1, . . . , ys) nM = ⋂ α∈Λs,n (yα11 , . . . , y αs s )M với mọi n ≥ 1. 19 2.1.3 Bổ đề. Cho s là một số nguyên dương và y1, . . . , ys là một dãy các phần tử của m thoả mãn (y1, . . . , ys) nM = ⋂ α∈Λs,n (yα11 , . . . , y αs s )M với mọi n ≥ 1. Khi đó (i) (y1, . . . , yi) nM = ⋂ α∈Λi,n (yα11 , . . . , y αi i )M với mọi n ≥ 1 và i < s. (ii) yki+1M ∩ (y1, . . . , yi)mM ⊆ (y1, . . . , yi, yi+1)k+mM với ∀k,m ≥ 1 và i < s. Chứng minh. (i) Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử s ≥ 2 và chỉ cần chứng minh bổ đề đúng với i = s− 1 là đủ. Ta luôn có (y1, . . . , ys−1)nM ⊆ ⋂ α∈Λs−1,n (yα11 , . . . , y αs−1 s−1 )M với mọi n ≥ 1. Thật vậy, vì y(α) = (yα11 , . . . , y αs−1 s−1 ) nên y n = (y1, . . . , ys−1)n được sinh bởi các phần tử có dạng yβ11 . . . y βs−1 s−1 , trong đó βi ∈ N,∀i = 1, . . . , s − 1 và s−1∑ i=1 βi = n. Lấy tuỳ ý phần tử α = (α1, . . . , αs−1) ∈ Λs−1,n. Khi đó ta có s−1∑ i=1 βi = n > s−1∑ i=1 (αi − 1) nên tồn tại i(1 ≤ i ≤ s − 1) sao cho βi > αi. Suy ra y β1 1 . . . y βs−1 s−1 ∈ y(α). Vậy (y1, . . . , ys−1)nM ⊆⋂ α∈Λs−1,n (yα11 , . . . , y αs−1 s−1 )M. Giả sử phản chứng rằng không xảy ra bao hàm thức trên, khi đó sẽ tồn tại x ∈ ⋂ α∈Λs−1,n (yα11 , . . . , y αs−1 s−1 )M mà x 6∈ (y1, . . . , ys−1)nM . Ta chọn số tự nhiên k đủ lớn sao cho x ∈ (y1, . . . , ys−1)nM + yksM,x 6∈ (y1, . . . , ys−1)nM + yk+1s M. Việc chọn như vậy là hoàn toàn xác định vì nếu k = 0 thì hiển nhiên ta có x ∈ (y1, . . . , ys−1)nM+y0sM = M . Mặt khác, nếu x ∈ (y1, . . . , ys−1)nM+ 20 yk+1s M,∀k ≥ 1 thì dẫn đến x ∈ ⋂ k≥1 ((y1, . . . , ys−1)nM + yk+1s M) = (y1, . . . , ys−1) nM. Điều này trái với cách chọn x ban đầu. Vậy ta luôn có thể biểu diễn x = y+ yk+1s a trong đó y ∈ (y1, . . . , ys−1)nM,a ∈M . Để chứng minh bổ đề ta cần chứng minh 2 khẳng định sau. (1) x− y ∈ ⋂ α∈Λs,k+n (yα11 , . . . , y αs s )M = (y1, . . . , ys) k+nM, ∀k, n ≥ 1. (2) (y1, . . . , ys) k+nM ⊆ (y1, . . . , ys−1)nM + yk+1s M . Ta chứng minh (1) như sau. Lấy tuỳ ý α = (α1, . . . , αs) ∈ Λs,k+n. Nếu αs ≤ k, dễ thấy yksM ⊆ (yα11 , . . . , yαss )M , từ đó suy ra x − y ∈ (yα11 , . . . , y αs s )M. Nếu αs ≥ k + 1 thì ta có ⋂ α∈Λs−1,n (yα11 , . . . , y αs−1 s−1 )M ⊆ (yα11 , . . . , yαss )M . Thật vậy, với mọi β = β1, . . . , βs−1 ∈ Λs−1,n ta có s−1∑ i=1 βi = s+ n− 2 ≥ s−1∑ i=1 αi = s+ n+ k − 1− αs, suy ra tồn tại i(1 ≤ i ≤ − 1) sao cho βi ≥ αi. Vậy (yβ11 , . . . , yβs−1s−1 )M ⊆ (yα11 , . . . , y αs−1 s−1 , y αs s )M , tức là ta có ⋂ α∈Λs−1,n (yα11 , . . . , y αs−1 s−1 )M ⊆ (yα11 , . . . , yαss )M . Từ đây suy ra x ∈ (yα11 , . . . , yαss )M . Mặt khác, dễ thấy (y1, . . . , ys−1)nM ⊆ (yα11 , . . . , yαs−1s−1 )M ⊆ (yα11 , . . . , yαs−1s−1 , yαss )M vậy y ∈ (y1, . . . , ys−1)nM ⊆ (yα11 , . . . , yαss )M . Tóm lại ta luôn có x− y ∈ (yα11 , . . . , y αs s )M, ∀α ∈ Λs,k+n, do đó ta có x− y ∈ ⋂ α∈Λs,k+n (yα11 , . . . , y αs s )M = (y1, . . . , ys) k+nM. 21 Để chứng minh (2) ta lấy phần tử sinh tuỳ ý f của (y1, . . . , ys) k+nM, giả sử f viết dưới dạng f = yβ11 . . . y βs s a trong đó s∑ i=1 βi = k + n, βi ≥ 0,∀i = 1, . . . , s và a ∈ M . Xét trường hợp βs ≥ k + 1, hiển nhiên f ∈ yk+1s M , vậy (y1, . . . , ys)k+nM ⊆ yk+1s M . Xét trường hợp βs ≤ k. Ta có (y1, . . . , ys−1)nM sinh bởi các phần tử dạng yα11 . . . y αs−1 s−1 a, trong đó s−1∑ i=1 αi = n, αi ≥ 0,∀i = 1, . . . , s− 1 và a ∈M . Do s−1∑ i=1 βi = k+n−βs ≥ s−1∑ i=1 αi = n nên ta suy ra y β1 1 . . . y βs s a ∈ (y1, . . . , ys−1)nM . Điều này chứng tỏ f ∈ (y1, . . . , ys−1)nM . Tóm lại ta luôn có f ∈ (y1, . . . , ys−1)nM + yk+1s M. Vậy (y1, . . . , ys) k+nM ⊆ (y1, . . . , ys−1)nM + yk+1s M . Ta sẽ chứng minh bổ đề dựa vào hai khẳng định trên. Thật vậy theo (1) ta có x− y ∈ (y1, . . . , ys)k+nM , suy ra x ∈ (y1, . . . , ys−1)nM + (y1, . . . , ys)k+nM. Mặt khác theo (2) ta có (y1, . . . , ys) k+nM ⊆ (y1, . . . , ys−1)nM + yk+1s M , từ đó dẫn đến x ∈ (y1, . . . , ys−1)nM + yk+1s M. Điều này mâu thuẫn với cách chọn ban đầu. Vậy (y1, . . . , ys−1)nM = ⋂ α∈Λs−1,n (yα11 , . . . , y αs−1 s−1 )M. Từ đó ta có (y1, . . . , yi) nM = ⋂ α∈Λi,n (yα11 , . . . , y αi i )M với mọi n ≥ 1, i ≤ s. (ii) Giả sử ngược lại, tức là tồn tại x ∈ yki+1M ∩ (y1, . . . , yi)mM mà x 6∈ (y1, . . . , yi, yi+1)k+mM = ⋂ α∈Λi+1,k+m (yα11 , . . . , y αi i , y αi+1 i+1 )M với k,m ≥ 1, i < s. Khi đó ta chọn được α = (α1, . . . , αi+1) ∈ Λi+1,k+m sao cho x 6∈ (yα11 , . . . , yαii , yαi+1i+1 )M . Vì x ∈ yki+1M nên ta có αi+1 ≥ k + 1. Mặt khác do x ∈ (y1, . . . , yi)mM nên x sinh bởi các phần tử dạng 22 yβ11 . . . y βi i a với a ∈ M và β1 + ã ã ã + βi = m > α1 + ã ã ã + αi. Suy ra x ∈ (yα11 , . . . , yαii , yαi+1i+1 )M . Điều này mâu thuẫn với cách chọn x. Vậy bổ đề được chứng minh. 2.1.4 Bổ đề. Cho s là một số nguyên dương và y1, . . . , ys là một dãy các phần tử của m thoả mãn (y1, . . . , ys) nM = ∩α∈Λs,n(yα11 , . . . , yαss )M với mọi n ≥ 1. Khi đó với 1 ≤ i < s ta có yki+1M ∩ (y1, . . . , yi)mM ⊆ yki+1(y1, . . . , yi, yi+1)M + (y1, . . . , yi)m+1M với ∀k,m ≥ 1. Chứng minh. Theo bổ đề 2.1.3(ii) ta có yki+1M ∩ (y1, . . . , yi)mM ⊆ (y1, . . . , yi, yi+1)k+mM do vậy nếu ta chứng minh được (y1, . . . , yi, yi+1) k+mM ⊆ yki+1(y1, . . . , yi, yi+1)M + (y1, . . . , yi)m+1M với ∀k,m ≥ 1 thì bổ đề được chứng minh. Thật vậy, lấy a ∈M và (n1, . . . , ni, ni+1) ∈ Zi+1 sao cho n1+ã ã ã+ni+1 = k +m. Nếu ni+1 ≥ k khi đó n1 + ã ã ã + ni + (ni+1 − k) = m ≥ 1 suy ra yn11 . . . y ni i y ni+1 i+1 a = y k i+1(y n1 1 . . . y ni i y ni+1−k i+1 )a ∈ yki+1(y1, . . . , yi+1)M . Nếu ni+1 < k hay ni+1 ≤ k − 1 khi đó n1+ã ã ã+ni = k+m−ni+1 ≥ m+1 suy ra yn11 . . . y ni i y ni+1 i+1 a ∈ (y1, . . . , yi)m+1M do đó yn11 . . . y ni i y ni+1 i+1 a ∈ yki+1(y1, . . . , yi+1)M + (y1, . . . , yi)m+1M. Vậy ta có (y1, . . . , yi, yi+1) k+mM ⊆ yki+1(y1, . . . , yi+1)M + (y1, . . . , yi)m+1M với mọi k,m ≥ 1 và 1 ≤ i < s. 23 2.1.5 Bổ đề. Cho x = {x1, x2, . . . , xd} là một hệ tham số của môđun M có tính chất phân tích tham số. Khi đó với ∀1 ≤ i < j ≤ d sẽ tồn tại một số nguyên k ≥ 1 sao cho qiM : xnj = qiM + 0 :M xkj với ∀n ≥ k. Chứng minh. Để chứng minh bổ đề trước hết ta chứng minh xnjM ∩ qiM ⊆ xnj (xj, qi)M, ∀n ≥ 1. Thật vậy, giả sử ngược lại. Khi đó, theo định lý Giao Krull sẽ tồn tại một số nguyên n ≥ 1 sao cho xnjM ∩ qiM ⊆ xnj (xj, qi)M + qmi M nhưng xnjM ∩ qiM 6⊆ xnj (xj, qi)M + qm+1i M . Vì vậy xnjM ∩ qiM ⊆ xnjM ∩ [xnj (xj, qi)M + qmi M ] = xnj (xj, qi)M + x n jM ∩ qmi M. Mặt khác, theo bổ đề 2.1.4 và giả thiết ta có xnjM ∩ qmi M ⊆ xnj (xj, qi)M + qm+1i M suy ra xnjM ∩ qiM ⊆ xnj (xj, qi)M + qm+1i M (điều này vô lý). Do đó xnjM ∩ qiM ⊆ xnj (xj, qi)M . Như vậy xnj (qiM : x n j ) ⊆ xnjM ∩ qiM ⊆ xnj (xj, qi)M . Do đó qiM : xnj ⊆ (xj, qi)M + 0 :M x n i . Lấy k  0 sao cho qiM : x k j = qiM : x k+1 j 0 :M x k j = 0 :M x k+1 j Khi đó qiM : x n j ⊆ (xj, qi)M + 0 :M xkj với ∀n ≥ k. Lấy a ∈ qiM : xnj , ta viết a = xjb+x1b1 + ã ã ã+xibi+c trong đó c ∈ 0 :M xkj . Vì xnj a ∈ qiM 24 và n ≥ k, b ∈ qiM : xn+1j do vậy a ∈ xj(qiM : xn+1j ) + qiM + 0 :M xkj . Suy ra với ∀n ≥ k ta có qiM : x n j = xj(qiM : x n+1 j ) + qiM + 0 :M x k j = xj(qiM : x n j ) + qiM + 0 :M x k j Khi đó theo bổ đề Nakayama ta có qiM : x n j = qiM + 0 :M x k j với mọi n ≥ k. Kết quả dưới đây là định lý chính của chương này 2.1.6 Định lý. Cho (R,m) là vành địa phương Noether.M là R− môđun hữa hạn sinh. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương: (i) M là môđun Cohen-Macaulay dãy. (ii) Mọi hệ tham số tốt của M có tính chất phân tích tham số. (iii) Tồn tại hệ tham số tốt của M có tính chất phân tích tham số. Chứng minh. (i)⇒ (ii). Cho x = x1, . . . , xd là hệ tham số tốt của M . Ta phải chứng minh đẳng thức qnM = ⋂ α∈Λd,n q(α)M đúng với q là iđêan tham số sinh bởi x và q(α) = (xα11 , . . . , x αd d ), (α1, . . . , αd) = α ∈ Λd,n. Kí hiệu D : D0 ⊂ D1 ⊂, . . . , Dt = M là lọc chiều củaM . Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo độ dài t của lọc chiều D của M rằng x có tính chất phân tích tham số. Thật vậy, với t = 1 khi đó M là R− môđun Cohen-Macaulay, x1, . . . , xd là dãy M− chính quy do đó nó có tính chất phân tích tham số. Với t > 1 đặt M = M/Dt−1. Vì x = x1, . . . , xd là hệ tham số của M nên x là hệ tham số củaM mặt khác vìM là môđun Cohen-Macaulay với dimRM = d nên x là M− chính quy ta có qnM = ⋂ α∈Λd,n q(α)M, ∀n ≥ 1. 25 Cho x ∈ ⋂ α∈Λd,n q(α)M khi đó ta có x ∈ qnM, trong đó x là ảnh của x trong M do đó x ∈ qnM + Dt−1. Vậy ⋂ α∈Λd,n q(α)M ⊆ qnM + Dt−1. Vì xα11 , . . . , x αd d là hệ tham số tốt củaM với ∀α ∈ Λd,n và theo bổ đề 1.3.8 là q(α)M ∩Dt−1 = (xα11 , . . . , x αdt−1 dt−1 )Dt−1. Do vậy⋂ α∈Λd,n q(α)M = [ ⋂ α∈Λd,n q(α)M ] ∩ [qnM +Dt−1] = [ ⋂ α∈Λd,n q(α)M ∩ qnM ] + [ ⋂ α∈Λd,n q(α)M ∩Dt−1] = qnM + ⋂ α∈Λd,n [q(α)M ∩Dt−1] = qnM + ⋂ α∈Λd,n (xα11 , . . . , x αdt−1 dt−1 )Dt−1 Ta luôn có (β1, . . . , βdt−1, 1, . . . , 1) ∈ Λd,n với bất kỳ (β1, . . . , βdt−1) ∈ Λdt−1,n và độ dài của lọc chiều của môđun Cohen-Macaulay dãy Dt−1 là t− 1. Do đó theo giả thiết quy nạp ta có⋂ (α1,...,αd)∈Λd,n (xα11 , . . . , x αdt−1 dt−1 )Dt−1 ⊆ ⋂ (β1,...,βdt−1)∈Λdt−1,n (xβ11 , . . . , x βdt−1 dt−1 )Dt−1 = (x1, x2, . . . , xdt−1) nDt−1 ⊆ qnM Suy ra ⋂ α∈Λd,n q(α)M = qnM . (ii)⇒(iii). Vì mọi hệ tham số của M có tính chất phân tích tham số nên luôn tồn tại một hệ tham số nào đó củaM có tính chất phân tích tham số. (iii)⇒ (i). Cho x = x1, . . . , xd là hệ tham số tốt củaM có tính chất phân tích tham số. Ta phải chứng minh M là môđun Cohen-Macaulay dãy hay tương đương với chứng minh Ds/Ds−1,∀s = 1, . . . , t là môdun Cohen- 26 Macaulay với D : D0 ⊂ D1 ⊂ . . . ⊂ Dt = M là lọc chiều của M . Để chứng minh điều đó trước hết ta chứng minh rằng (qiM +Ds) : xi+1 = qiM +Ds với ∀i < ds+1 và s = 0, . . . , t− 1. Thật vậy, theo bổ đề 2.1.5 sẽ tồn tại số nguyên k sao cho qiM : x k i+1 = qiM + 0 :M x k i+1 qiM : x k+1 ds+1 = qiM + 0 :M x k ds+1 . Hơn nữa theo bổ đề 1.3.5 có 0 :M x k i+1 ⊆ 0 :M xkds+1. Khi đó ta có (qiM + 0 :M xds+1) : x k i+1 ⊆ qiM : xds+1xki+1 = (qiM + 0 :M x k i+1) : xds+1 ⊆ qiM : xk+1ds+1 = qiM + 0 :M x k ds+1 mà theo bổ đề 1.3.5 có Ds = 0 : x k ds+1 do đó (qiM +Ds) : x k i+1 = qiM ⊆ (qiM +Ds) : xi+1 với ∀i < ds+1 suy ra (qiM +Ds) : xi+1 = qiM +Ds. Ta có depthM/Ds ≥ ds+1 với s = 0, . . . , t− 1. nên từ dãy khớp ngắn 0 −→ Ds/Ds−1 −→M/Ds−1 −→M/Ds −→ 0 kéo theo Ds/Ds−1 là môđun Cohen-Macaulay với ∀s = 1, . . . , t hayM là môđun Cohen-Macaulay dãy. 2.1.7 Hệ quả. Cho dimM ≥ 2 và H0m(M) là môđun đối đồng điều địa phương thứ 0 của M ứng với iđêan tối đại m. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương: (i) M/H0m(M) là môđun Cohen-Macaulay và mH 0 m(M) = 0. (ii) Mọi hệ tham số của M có tính chất phân tích tham số. 27 Chứng minh. (i)⇒ (ii). Theo giả thiếtM/H0m(M) là môđun Cohen-Macaulay nên M là môđun Cohen-Macaulay dãy với lọc chiều D : H0m(M) ⊂ M . Hơn nữa, theo bổ đề 1.2.11 ta có (x1, . . . , xd)M ∩H0m(M) = (x1, . . . , xd)H0m(M) mặt khác (x1, . . . , xd)H 0 m(M) ⊆ mH0m(M) = 0 với bất kỳ hệ tham số x1, . . . , xd của M . Suy ra (x1, . . . , xd)M ∩ H0m(M) = 0. Điều này có nghĩa rằng mọi hệ tham số của M là tốt, do đó theo định lý chính nó có tính chất phân tích tham số. (ii)⇒ (i). Vì mọi hệ tham số củaM có tính chất phân tích tham số nên theo định lý chính M là môđun Cohen-Macaulay dãy hay ta có M/H0m(M) là môđun Cohen-Macaulay. Ta còn phải chứng minh mH0m(M) = 0.Ta sẽ chứng minh mDt−1 = 0. Thật vậy giả sử ngược lại. Khi đó tồn tại một phần tử x1 ∈ m sao cho x1Dt−1 6= 0 và dimM/x1M = d−1. Vì d ≥ 2 nên ta có thể chọn x2 ∈ m sao cho x2Dt−2 = 0 và dimM/(x1, x2)M = d− 2. Ta dễ thấy rằng dãy x1, x2 và x1, x1 + x2 là các phần tử của hệ tham số của M . Do đó, theo giả thiết và bổ đề 2.1.3(i) ta có (x21, x1 + x2)M ∩ (x1, (x1 + x2)2)M = (x1, x1 + x2)2M = (x1, x2) 2M = (x21, x2)M ∩ (x1, x22)M. Vì M/Dt−1 là môđun Cohen-Macaulay, từ bổ đề 1.2.11 có x1Dt−1 = (x21, x1 + x2)Dt−1 ∩ (x1, (x1 + x2)2)Dt−1 = (x21, x2)Dt−1 ∩ (x1, x22)Dt−1 = x21Dt−1. Theo bổ đề Nakayama ta có x1Dt−1 = 0. Suy ra mDt−1 = 0. 28 2.2 Đa thức Hilbert-Samuel củamôđun Cohen-Macaulay dãy Phần trên đã cho ta thấy một môđun Cohen-Macaulay dãyM có thể được đặc trưng bởi tính chất phân tích tham số của hệ tham số tốt như thế nào, trong phần này ta sẽ chỉ ra rằng vớiM là môđun Cohen-Macaulay dãy thì hàm Hilbert-Samuel Fq,M(n) = l(M/q n+1M) là một biểu thức đặc biệt với hệ số không âm, nó có thể tính toán được bằng lọc chiều và hàm này trùng với đa thức Hilbert-Samuel Pq,M(n) với bất kì iđêan tham số tốt q nào của M và với mọi n ≥ 1. Hơn nữa môđun Cohen-Macaulay dãy M có thể được đặc trưng bởi biểu thức này của hàm Hilbert-Samuel. Trước tiên ta bắt đầu bằng việc chứng minh hai bổ đề sau. 2.2.1 Bổ đề. Cho q là iđêan tham số tốt của môđun Cohen-Macaulay dãy M . Khi đó qnM ∩Di = qnDi với ∀n ≥ 1 và i = 0, . . . , t. Chứng minh. Cho q là iđêan tham số tốt của M và x1, . . . , xd là hệ tham số tốt của m ta ký hiệu qM = (x1, . . . , xd)M . Với ∀n ≥ 1 và i = 0, . . . , t ta luôn có qnDi ⊆ qnM ∩Di. Ta còn phải chứng minh qnM ∩Di ⊆ qnDi. Thật vậy ta có qnM ∩Di = [ ⋂ α∈Λd,n q(α)M ] ∩Di = ⋂ α∈Λd,n (q(α)M ∩Di) = ⋂ α∈Λd,n (xα11 , . . . , x αdi di )Di. 29 Mặt khác ta luôn có (β1, . . . , βdi, 1, . . . , 1) ∈ Λd,n với ∀(β1, . . . , βdi) ∈ Λdi,n. Do đó theo định lý 2.1.6 ta có⋂ α∈Λd,n (xα11 , . . . , x αdi di )Di ⊆ ⋂ (β1,...,βdi)∈Λdi,n (xβ11 , . . . , x βdi di )Di = (x1, . . . , xdi) nDi. Suy ra qnM ∩Di ⊆ (x1, . . . , xdi)nDi ⊆ qnDi. Vậy ta có qnM ∩Di = qnDi với ∀n ≥ 1 và i = 0, . . . , t. 2.2.2 Bổ đề. Cho q là iđêan tham số của môđun M.Khi đó l(M/qn+1M) ≤ ( n+ d d ) l(M/qM). Hơn nữa, bất đẳng thức trở thành đẳng thức khi và chỉ khi M là môđun Cohen-Macaulay. Chứng minh. Giả sử q = (x1, . . . , xd) là iđêan tham số của M . Ta đặt N = (M/qM)[X1, . . . , Xd] và grq(M) = ∞⊕ i=0 qiM/qi+1M khi đó ta có toàn cấu ϕ : N −→ grq(M) xác định bởi ϕ(Xi) = xi = xi + q2M ∈ qM/q2M . Đặt Q = Kerϕ. Theo định lý đồng cấu môđun có N/Q ∼= grq(M). Gọi J là iđêan sinh bởi X1, . . . , Xd suy ra N/JN ∼= M/qM và M/qnM ∼= N/JnN +Q. Do đó l(M/qn+1M) = l(N/Jn+1N +Q) = l(N/Jn+1N)− l(Jn+1N +Q/Jn+1N) ≤ l(N/Jn+1N) 30 mặt khác ta có l(N/Jn+1N) = ( n+ d d ) l(N/JN) = ( n+ d d ) l(M/qM). Suy ra l(M/qn+1M) ≤ ( n+ d d ) l(M/qM). Hơn nữa, bất đẳng thức trở thành đẳng thức khi và chỉ khi ϕ là đẳng cấu hay M là môđun Cohen-Macaulay. 2.2.3 Định lý. Cho D : D0 ⊂ D1 ⊂ . . . ⊂ Dt = M là lọc chiều của M và đặt Di = Di/Di−1 với mọi i = 1, . . . , t,D0 = D0. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương: (i) M là môđun Cohen-Macaulay dãy. (ii) Với bất kỳ iđêan tham số tốt q của M , đẳng thức l(M/qn+1M) = t∑ i=0 ( n+ di di ) l(Di/qDi) đúng với mọi n ≥ 0. (iii) Tồn tại iđêan tham số tốt q của M sao cho đẳng thức l(M/qn+1M) = t∑ i=0 ( n+ di di ) l(Di/qDi) đúng với mọi n ≥ 0. Chứng minh. (i)⇒ (ii). Ta chứng minh bằng quy nạp theo độ dài t của lọc chiều D của M. Trường hợp t = 0 là hiển nhiên vìM là môđun Cohen-Macaulay nên theo bổ đề trên l(M/qn+1M) = ( n+d d ) l(M/qM) = ( n+d0 d0 ) l(D0/qD0). 31 Giả sử t > 0. Ta luôn có dãy khớp ngắn sau 0 −→ qn+1M+Dt−1/qn+1M −→M/qn+1M −→M/qn+1M+Dt−1 −→ 0. Theo định lý đồng cấu môđun ta có qn+1M +Dt−1/qn+1M ∼= Dt−1/qn+1M ∩Dt−1. Mặt khác theo bổ đề 2.2.1 ta có qn+1M ∩ Dt−1 = qn+1Dt−1 nên suy ra qn+1M +Dt−1/qn+1M ∼= Dt−1/qn+1Dt−1. Do đó ta có dãy khớp ngắn 0 −→ Dt−1/qn+1Dt−1 −→M/qn+1M −→M/qn+1M +Dt−1 −→ 0, suy ra ta có l(M/qn+1M) = l(Dt−1/qn+1Dt−1) + l(Dt/qn+1Dt). VìDt−1 là môđun Cohen-Macaulay dãy và lọc chiều của nó có độ dài t−1 theo giả thiết quy nạp ta có l(Dt−1/qn+1Dt−1) = t−1∑ i=0 ( n+ di di ) l(Di/qDi) mặt khác Dt là môđun Cohen-Macaulay với chiều d = dt, ta có l(Dt/q n+1Dt) = ( n+ d d ) l(Dt/qDt). Suy ra l(M/qn+1M) = t∑ i=0 ( n+ di di ) l(Di/qDi) đúng với mọi n ≥ 0. (ii)⇒ (iii) là hiển nhiên. 32 (iii)⇒ (i). Vì dãy sau là khớp Dt−1/qn+1Dt−1 −→M/qn+1M −→M/qn+1M +Dt−1 −→ 0, nên ta có l(M/qn+1M) ≤ l(Dt−1/qn+1Dt−1) + l(Dt/qn+1Dt). Do đó, từ sự quy nạp theo độ dài của lọc chiều ta có thể chỉ ra rằng l(M/qn+1M) ≤ t∑ i=0 l(Di/q n+1Di). Mặt khác theo bổ đề 2.2.2 có l(Di/q n+1Di) ≤ ( n+ di di ) l(Di/qDi) với ∀i = 0, . . . , t, nên theo giả thiết (iii) ta có l(M/qn+1M) ≤ t∑ i=0 l(Di/q n+1Di) ≤ t∑ i=0 ( n+ di di ) l(Di/qDi). do đó l(Di/qDi) = ( n+di di ) l(Di/qDi) với ∀i = 0, . . . , t. Do vậy Di là môđun Cohen-Macaulay với ∀i = 0, . . . , t (cũng theo bổ đề 2.2.2). Do đó M là môđun Cohen-Macaulay dãy. 2.3 Ví dụ Cho S là vành địa phương chính quy với dimS = 3, m là iđêan tối đại của S và giả sửm = (X, Y, Z) vớiX, Y, Z ∈ S. Đặt R = S/(X, Y )∩(Z). Gọi x, y, z tương ứng là ảnh củaX, Y, Z trong R, đồng thời đặt Q = (x+z, y). Khi đó ta có 33 (1) Qn = ⋂ α∈Λ2,n (x+ z, y;α) và lR(R/Q n) = n 2+3n 2 với ∀n ≥ 1. (2) Đặt b1 = x + z và b2 = x + y + z khi đó Q = (b1, b2) và với ∀n ≥ 1 thì lR(R/ ⋂ α∈Λ2,n (b;α)) =  n2 + 2n 2 nếu n = 2q, q ∈ Z (n+ 1)2 2 nếu n = 2q + 1, q ∈ Z do đó hàm lR(R/ ⋂ α∈Λ2,n (b;α)) không trùng với một đa thức của n nên Qn 6= ⋂ α∈Λ2,n (b;α) với n ≥ 2 nào đó và supn>0 lR([ ⋂ α∈Λ2,n (b;α)]/Qn) =∞. Chứng minh. (1) Trước hết ta chứng minh dimR = 2. Thật vậy, từ giả thiết bài toán ta có R/(X, Y ), R/(Z) là vành địa phương chính quy và vì vậy là miền nguyên, suy ra (X, Y ), (Z) là các iđêan nguyên tố vậy AssR = Ass(S/(X, Y ) ∩ (Z)) = {(X, Y ), (Z)}. Do S/(0) và S là miền nguyên nên (0) là iđêan nguyên tố của S. Giả sử P0 ⊂ P1 ⊂ . . . ⊂ Pd là dãy các iđêan nguyên tố trong S chứa P ∈ AssR thì luôn có (0) ⊂ P1 ⊂ . . . Pd là dãy các iđêan nguyên tố trong S. Vậy dimR < dimS hơn nữa (Z) ⊂ (Z,X) ⊂ (Z,X, Y ) = m là một dãy các iđêan nguyên tố chứa (Z) ∈ AssR và có độ dài bằng 2 vậy ta có dimR = 2. Tiếp theo, đặt a1 = x + z, a2 = y, I = (z). Để chứng minh Q n = ⋂ α∈Λ2,n (a1, a2;α) ta sẽ chứng minh (i) Vành R = S/(X, Y ) ∩ (Z) là vành Cohen-Macaulay dãy với lọc (0) ⊂ (Z)/(X, Y ) ∩ (Z) ⊂ R. (ii) (a1, a2) là hệ tham số tốt của R. Thật vậy, ta có R/I = S/((X, Y ) ∩ (Z))/(Z)/((X, Y ) ∩ (Z)) ∼= S/(Z). Do S là vành chính quy và Z là một phần của hệ tham số chính quy nên 34 S/(Z) cũng là vành chính quy, vậy S/(Z) là vành Cohen-Macaulay và dimR/I = 2 hay R/I là vành Cohen-Macaulay (*). Tiếp theo ta có I = (Z)/((X, Y ) ∩ (Z)) ∼= (X, Y, Z)/(X, Y ) do X, Y, Z là R− chính quy nên Z là S/(X, Y )− chính quy từ đây ta có S− đồng cấu θ : S/(X, Y ) −→ S/(X, Y ) xác định bởi θ(u) = uZ. Ker(θ) = AnnS/(X,Y )(Z) = 0 và Im(θ) = Z(S/(X, Y )) = (X, Y, Z)/(X, Y ) = m/(X, Y ) Suy ra S/(X, Y ) ∼= m/(X, Y ) ∼= I . Mặt khác S/(X, Y ) là vành Cohen- Macaulay và dimS/(X, Y ) = 1 nên I là R− môđun Cohen-Macaulay và dimR I = dimS/(X, Y ) = 1 (**). Từ (*) và (**) suy ra R là vành Cohen-Macaulay dãy. Ta có (a1, a2) là hệ tham số tốt của R. Thật vậy, gọi a1, a2 là ảnh của a1, a2 trong R/(z). Ta có (a1, a2)R/(z) = (x+z, y, z)/(z) = (x, y, z)/(z) là iđêan cực đại củaR/(z), Mặt khác dimR = dimR/(z) = 2 nên (a1, a2) là hệ tham số của R/(z)và cũng suy ra (a1, a2) là hệ tham số của R hơn nữa ta có a2I = (yz) = 0 nên (a1, a2) là hệ tham số tốt của R. Từ (i) và (ii) theo định lý 2.1.5 ta có Qn = ⋂ α∈Λ2,n (a1, a2;α). Cuối cùng ta sẽ chứng minh lR(R/Q n) = n 2+3n 2 ,∀n ≥ 1. Trước hết ta thấy nếu ϕ : M −→ N là R− đồng cấu môđun thì ta có dãy khớp 0 −→ M/Kerϕ −→ N −→ N/ Imϕ −→ 0 với α : M/Kerϕ −→ N xác đinh bởi α(m+ Kerϕ) = ϕ(m) và β là toàn cấu tự nhiên. Ta có R− đồng cấu môđun ϕ : I −→ R/(al1, am2 ) trong đó ϕ = pi với i : I −→ R là đơn cấu chính tắc và p : R −→ R/(al1, am2 ) là toàn cấu tự nhiên vậy ta có dãy khớp 0 −→ I/Kerϕ −→ R/(al1, am2 ) −→ (R/(al1, am2 ))/ Imϕ −→ 0 35 với ϕ định nghĩa như trên thì ta có Imϕ = (I + (al1, a m 2 ))/(a l 1, a m 2 ) và Kerϕ = I ∩ (al1, am2 ). Do R/I ∼= S/(Z) nên ta có (R/(al1, a m 2 ))/ Imϕ ∼= R/(I + (al1, am2 )) ∼= (S/Z)/((X + Z)l, Y m, Z)S/(Z) ∼= S/((X + Z)l, Y m, Z) = S/(X l, Y m, Z). Ta có Kerϕ = I ∩ (al1, am2 ) nhưng (al1, am2 ) là R/I− chính quy nên I ∩ (al1, a m 2 ) = (a l 1, a m 2 )I . Mặt khác I ∼= S/(X, Y ) nên I/Kerϕ = I/(al1, a m 2 )I ∼= S/(X, Y )/((X + Z)l, Y m)S/(X, Y ) ∼= S/((X + Z)l, Y m, X, Y ) = S/(X, Y, Z l). Vậy ta có dãy khớp 0 −→ S/(X, Y, Z l) −→ R/(al1, am2 ) −→ S/(X l, Y m, Z) −→ 0, ∀l,m ≥ 1. Do đó ta có lR(R/(a l 1, a m 2 )) = lR(S/(X, Y, Z l)) + lR(S/(X l, Y m, Z)) = e(X, Y, Z l;S) + e(X l, Y m, Z;S) = l.e(X, Y, Z;S) +ml.e(X, Y, Z;S) = l(m+ 1). 36 Vậy ta có lR(R/Q n) = lR(R/ ⋂ α∈Λ2,n (a1, a2;α)) = n∑ i=1 lR(R/(a n+1−i 1 , a i 2))− n−1∑ i=1 lR(R/(a n−i 1 , a i 2)) = n∑ i=1 (n+ 1− i)(i+ 1)− n−1∑ i=1 (n− 1)(i+ 1) = n∑ i=1 (i+ 1) = n2 + 3n 2 . (2) Dễ thấy Q = (x+ z, x+ y + z) = (x+ z, y) hay Q = (b1, b2). Gọi b1, b2 là ảnh của b1, b2 trong R/(z). Khi đó có (b1, b2)R/(z) = (x+ z, x+ y + z, z)/(z) = (x, y, z)/(z) là iđêan cực đại của R/(z) nên b1, b2 là hệ tham số của R/(z) hay là hệ tham số của R/I . Chứng minh tương tự như (1) với ϕ = pi trong đó i : I −→ R là đơn cấu chính tắc và p : R −→ R/(bl1, bm2 ) là toàn cấu tự nhiên ta có (R/(bl1, b m 2 ))/ Imϕ = R/(I + (b l 1, b m 2 )) ∼= (S/Z)/((X + Z)l, (X + Y + Z)m, Z)S/(Z) ∼= S/(X l, (X + Y )m, Z) Mặt khác Kerϕ = I ∩ (bl1, bm2 ) = (bl1, bm2 )I và I/Kerϕ = I/(bl1, b m 2 )I ∼= S/(X, Y )/((X + Z)l, (X + Y + Z)m, X, Y )S/(X, Y ) ∼= S/(X, Y, (Z l, Zm)). 37 Vậy ta có dãy khớp ngắn 0 −→ S/(X, Y, (Z l, Zm)) −→ R/(bl1, bm2 ) −→ S/(X l, (X+Y )m, Z) −→ 0. Do đó lR(R/(b l 1, b m 2 )) = lR(S/(X, Y, (Z l, Zm))) + lR(S/(X l, (X + Y )m, Z)) = e(X, Y, (Z l, Zm);S) + e(X l, (X + Y )m, Z;S). Vậy lR(R/(b l 1, b m 2 )) = lm + min{l,m}. Khi đó theo [4, Mệnh đề 4.3] ta có lR(R/ ⋂ α∈Λ2+n (b1, b2;α)) = = n∑ i=1 lR(R/(b n+1−i 1 , b i 2))− n−1∑ i=1 lR(R/(b n−i 1 , b i 2)) = n∑ i=1 (n+ 1− i)i+ min{n+ 1− i, i} − n−1∑ i=1 (n− i)i+ min{n− i, i} = n+ 1 + (n− 1)n/2 + n−1∑ i=1 (min{n+ 1− i, i} −min{n− i, i}). Nếu n chẵn tức là n = 2q, q ∈ Z thì lR(R/ ⋂ α∈Λ2+n (b1, b2;α)) = n2+n 2 . Nếu n lẻ tức là n = 2q + 1, q ∈ Z thì lR(R/ ⋂ α∈Λ2+n (b1, b2;α)) = (n+1)2 2 . Từ đó ta thấy lR(R/ ⋂ α∈Λ2+n (b1, b2;α)) không phải là đa thức của nmà ta biết phải tồn tại số tự nhiên N đủ lớn sao cho lR(R/Q n) trùng với một đa thức ẩn n với ∀n ≥ N . Do đó ⋂ α∈Λ2,n (b1, b2;α) 6= Qn. Cho n = 2q, q ≥ 1 38 thì ta có lR(R/ ⋂ α∈Λ2,n (b1, b2;α)/Q n) = lR(Q n)− lR(R/ ⋂ α∈Λ2,n (b1, b2;α)) = n2 + 3n 2 − n 2 + 2n 2 = n 2 = q. Điều này chứng tỏ supn>0 lR([ ⋂ α∈Λ2,n (b;α)]/Qn) <∞. Tài liệu tham khảo [1] W. Bruns and J. Herzog, Cohen-Macaulay rings, Cambridge Univer- sity Press. [2] N. T. Cuong and D. T. Cuong, On sequentially Cohen-Macaulay mod- ules, Kodai Math. J, 30 (2007), 409-428. [3] N. T. Cuong and H. L. Truong, Parametric decomposition of powers of parameter ideals and sequentially Cohen-Macaulay modules, to appear in Proc. Amer. Math. Soc. 2008. [4] S. Goto and Y. Shimoda, Parametric decomposition of powers of ideals versus regularity of sequences, Proc. Amer. Math. Soc., 132 (2003), 229-233. [5] S. Goto and Y. Shimoda On the parametric decomposition of powers of parameter ideals in a Noetherian local ring, Tokyo J. Math, 27 (2004), 125-134. [6] W. Heinzer, L. J. Ratliff and K. Shah, Parametric decomposition of monomial ideals (I), Houston J. Math., 21 (1995), 29-52. [7] H. Matsumura, Commutative ring theory, Cambridge University Press, 1986. [8] R. Y. Sharp, Steps in Commutative Algebra, Cambridge University Press, 1980. 39