Luận văn Các ứng dụng của các định lý rôn, lagrăng, bôxanô - Côsi

TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC AN GIANG KHOA SÖ PHAÏM NGUYEÃN HOAØI PHUÙC MSSV: 11105 CAÙC ÖÙNG DUÏNG CUÛA CAÙC ÑÒNH LYÙ ROÂN, LAGRAÊNG, BOÂXANOÂ - COÂSI GIAÙO VIEÂN HÖÔÙNG DAÃN: VOÕ TIEÁN THAØNH AN GIANG, Naêm 2004 LÔØI CAÛM ÔN Tröôùc heát toâi xin göûi lôøi chaân thaønh caûm oûn nhaát ñeán quyù thaày coâ , ban giaùm hieäu tröôøng Ñaïi Hoïc An Giang ,ban chuû nhieäm khoa sö phaïm vaø thaày coâ boä moân toaùn ûtaïo ñieàu kieän cho toâi hoaøn thaønh ñeà taøi naøy ,ñaëc bieät cho toâi coù cô hoäi laøm quen vôùi vieäc nghieân cöùu khoa hoïc. Chaân thaønh caûm oûn thaày Voõ Tieán Thaønh ngöôøi tröïc tieáp höôùng daãn vaø ñoùng goùp söûa chöûa baûn thaûo laøm cho ñeà taøi hoaøn chænh hôn. Long Xuyeân 6/2004 Nguyeãn Hoaøi Phuùc Muïc Luïc Trang Lôøi noùi ñaàu 1 Chöông I:Cô sôû lí luaän cuûa ñeà taøi 2 I.Haøm soá lieân tuïc 2 II.Ñaïo haøm 3 ChöôngII:ÖÙng duïng ñinh lí bonxano-cauchy chöùng minh phöông trình coù nghieäm 5 I.Phöông phaùp chung 5 II.Caùc ví duï 5 ChöôngIII:Duøng ñònh lí Roll-Lagange-Cauchy Chöùng minh phöông trình coù nghieäm 16 I.Phöông phaùp chung 16 II.Caùc ví duï 16 ChöôngIV:Duøng ñònh lí Lagange giaûi phöông trình 25 I.Phöông phaùp chung 25 II.Caùc ví duï 25 ChöôngV:Duøng ñònh lí Lagange chöng1 minh baát ñaúng thöùc 28 I.Caùc ví duï 28 I.Phöông phaùp chung 33 Taøi lieäu tham khaûo 36 LÔØI NOÙI ÑAÀU Trong nhöõng naêm gaàn ñaây ,nhöõng kyø thi hoïc sinh gioûi caáp quoác gia , quoác teá,trong caùc kyø thi Olympic Toaùn Sinh Vieân giöûa caùc tröôøng ñaïi hoïc trong nöôùc thì caùc baøi toaùn lieân quan ñeán tính lieân tuïc vaø ñaïo haøm cuûa haøm soá thöôøng xuyeân xuaát hieän vaø daïng phoå bieán nhaát laø chöùng minh phöông trình coù nghieäm , giaûi phöông trình ,chöùng minh baát ñaúng thöùc . Trong phaïm vi ñeà taøi naøy chuùng ta seõ taäp chung nghieân cöùu caùc öùng duïng cuûa caùc ñònh lí Roll, Lagange ,Bonxano- Cauchy trong vieäc giaûi quyeát caùc baøi taäp neâu treân . I.Ñoái töôïng nghieân cöùu cuûa ñeà taøi : Ñoái töôïng nghieân cöùu cuûa ñeà taøi chuû yeáu laø caùc baøi taäp ra trong caùc saùch giaûi tích ,caùc ñeà thi Olympic lieân quan ñeán öùng duïng lieân tuïc vaø ñaïo haøm . II.Nhieäm vuï cuûa ñeà taøi : Nghieân cöùu caùc öùng duïng cuûa caùc ñònh lí Bonxano-Cauchy, Roll,Langange ñeå chöùng minh phöông trình coù nghieäm ,giaûi phöông trình vaø chöùng minh baát ñaúng thöùc . III.Noäi dung nghieân cöùu cuûa ñeà taøi: Chöông I: nhöõng cô sôû lí luaän cuûa ñeà taøi Chöông II: öùng duïng cuûa ñònh lí Bonxano – Cauchy chöùng minh phöôngtrình coù nghieäm Chöông III: öùng duïng ñònh lí Roll,Lagange,Cauchy chöùng minh phöông trình coù nghieäm Chöông IV: öùng duïng cuûa ñònh lí Lagange giaûi phöông trình Chöông V: öùng duïng ñònh lí Lagange chöùng minh baát ñaúng thöùc Ñoái töôïng nghieân cöùu cuûa ñeà taøi chuû yeáu laø caùc baøi taäp ra trong caùc kyø thi Olympic,ñeà thi hoïc sinh gioûi caáp quoác gia vaø quoác teá. IV. Phöông phaùp nghieân cöùu : -Tham khaûo taøi lieäu. -Heä thoáng caùc baøi taäp vaø phaân loaïi. -Höôùng daån phöông phaùp giaûi. Trang1 CHÖÔNG I : CÔ SÔ LYÙ LUAÄN CUÛA ÑEÀ TAØI I/- HAØM SOÁ LIEÂN TUÏC : 1/- Caùc ñònh nghóa: a/- Haøm soá f(x) xaùc ñònh trong taäp A⊂ R ñöôïc goïi laø lieân tuïc taïi ñieåm a∈ A neáu : ∀ε>0 , ∃δ=δ(a, ε) , ∀x∈A :⏐x – A ⏐< δ⇒ ⏐f(x) – f(a)⏐< ε Nhö vaäy neáu a laø ñieåm tuï cuûa taäp A thì f(x) lieân tuïc taïi ñieåm A neáu : toàn taïi vaø = f(a) )(lim xf ax→ )(lim xf ax→ Neáu f(x) lieân tuïc taïi moïi ñieåm x∈A thì f(x) ñöôïc goïi laø lieân tuïc trong mieàn A. b/- Haøm soá f(x) ñöôïc goïi laø lieân tuïc beân traùi taïi x = a∈A neáu ( ) == − → − afxf ax )(lim ( )af vaø lieân tuïc beân phaûi taïi x = a neáu : ( ) == + → + afxf ax )(lim ( )af Haøm soá f(x) lieân tuïc taïi x = a∈A khi vaø chæ khi f(x) lieân tuïc beân traùi vaø lieân tuïc beân phaûi taïi ñieåm a. 2/- Caùc ñònh lyù : * Ñònh lyù 1 : Neáu f(x) vaø g(x) laø nhöõng haøm lieân tuïc taïi ñieåm x = a, thì f(x) + g(x); g(x) . f(x) laø nhöõng haøm lieân tuïc taïi a. Hôn nöõa g(x) ≠0 thì )( )( xg xf cuõng laø haøm lieân tuïc taïi a. * Ñòng lyù 2 : Neáu haøm soá y=f(x) lieân tuïc treân [a,b] thì noù bò chaën treân ñoaïn ñoù. Töùc laø toàn taïi k > 0 sao cho : ⏐f(x)⏐ ≤ k ∀x ∈ [a,b] * Ñònh lyù 3 : (ñònh lyù Vaâyestras) Neáu haøm soá y=f(x) lieân tuïc treân [a,b] thì noù ñaït giaù trò lôùn nhaát vaø nhoû nhaát treân ñoaïn ñoù. Töùc laø : ∃ m= = min f(x) ( ∈ [a;b]) )( 1xf x1 a ≤ x ≤ b ∃ M = = max f(x) ( ∈ [a;b]) )( 2xf x2 a ≤ x ≤ b -Trang 2 - * Ñònh lyù : (Boânxano – cauchy thöù nhaát ) Neáu haøm soá y=f(x) lieân tuïc treân [a;b] va f(a) . f(b) < 0 thì ∃ c ∈(a;b) sao cho f(c) = 0. * Ñònh lyù 5 : Neáu haøm soá y=f(x) lieân tuïc treân [a;b], f(a) = A, f(b) = B thì haøm soá nhaän moïi giaù trò trung gian giöõa A vaø B. Heä quaû : Neáu haøm soá y = f(x) lieân tuïc treân [a;b] thì noù nhaän moïi giaù trò trung gian giöõa giaù trò lôùn nhaát vaø giaù trò nhoû nhaát. II/- ÑAÏO HAØM : 1/- Caùc ñònh nghóa : a/- Giaû söû f(x) laø haøm soá xaùc ñònh trong khoaûng (a,b), x0 laø moät ñieåm thuoäc khoaûng ñoù. Kyù hieäu : ∆x=x – x0 , x∈(a,b) laø soá gia cuûa ñoái soá taïi ñieåm x0 . ∆y = f(x) – f (x0) laø soá gia cuûa haøm soá öùng vôùi soá gia ∆x cuûa ñoái soá. Xeùt tyû soá x y ∆ ∆ . Neáu toàn taïi giôùi haïn höõu haïn : x y x ∆ ∆ →∆ 0lim = 0 0()(lim 0 xx xfxf xx − − → (1) thì giôùi haïn ñoù ñöôïc goïi laø ñaïo haøm cuûa soá f(x) taïi ñieåm x0. Ñaïo haøm cuûa f(x) taïi x0 thöôøng ñöôïc kyù hieäu : f’(x0) hay dx dt (x0). Trong tröôøng hôïp giôùi haïn (1) toàn taïi vaø baèng +∞hay -∞ thì ngöôøi ta noùi haøm f(x) coù ñaïo haøm voâ haïn taïi x0. b/- Caùc giôùi haïn moät phía : 0 0 00 )()( limlim xx xfxf x y xx − −=∆ ∆ −− →→∆ vaø 0 0 00 )()( limlim xx xfxf x y xx − −=∆ ∆ ++ →→∆ Töông öùng ñöôïc goïi laø ñaïo haøm beân traùi vaø ñaïo haøm beân phaûi cuûa haøm f(x) taïi x0 vaø laàn löôït ñöôïc kyù hieäu laø f+’(x0) vaø f+’(x0). Caùc ñaïo haøm naøy goïi laø ñaïo haøm moät phía cuûa f(x) taïi x0 . c/- Ta coù keát quaû sau ñaây : Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå haøm f(x) coù ñaïo haøm taïi x0 laø caùc ñaïo haøm moät phía cuûa haøm f(x) taïi x0 toàn taïi vaø baèng nhau. Khi ñoù : -Trang 3 - f’(x0) = f-‘(x0) = f+’(x0) d/- Haøm soá y= f(x) goïi laø coù ñaïo haøm treân (a,b) neáu nhö noù coù ñaïo haøm taïi moïi ñieåm x∈(a,b). Haøm soá y = f(x) goïi laø coù ñaïo haøm treân (a,b) neáu nhö noù coù ñaïo haøm taïi moïi ñieåm x∈(a,b); coù ñaïo haøm phaûi f+’(a) vaø ñaïo haøm traùi f-‘(b). 2/- Caùc ñònh lyù: Roân, Lagrange, cauchy: a/- Ñònh lyù Roân : Neáu haøm soá y = f(x) lieân tuïc treân [a;b], khaû vi trong (a,b) vaø f(a)=f(b) thì toàn taïi c ∈(a,b) sao cho f’(c) = 0. b/- Ñònh lyù Lagrange : Neáu y = f(x) lieân tuïc treân [a;b] khaû vi trong (a,b) thì toàn taïi c ∈(a;b) sao cho: f’(c) = ab afbf − − )()(' hay f(b) -f(a) = f’(c).(b – a) ( c ),( ba∈ ) c/- Ñònh lyù Cauchy : Neáu caùc haøm y = f(x) , y = g(x) lieân tuïc treân [a,b] khaû vi trong (a,b) ; g(x) 0 thì toàn taïi c ≠ ],[ bax∈∀ ),( ba∈ sao cho : )()( )()( )(' )(' agbg afbf cg cf − −= CHÖÔNG II : ÖÙNG DUÏNG ÑÒNH LYÙ BOÂNXANOÂ – CAUCHY CHÖÙNG MINH PHÖÔNG TRÌNH COÙ NGHIEÄM I/- PHÖÔNG PHAÙP CHUNG : -Trang 4 - Cho phöông trình f(x) = 0 , ñeå chöùng minh phöông trình coù k nghieäm phaân bieät trong [a,b], ta thöïc hieân theo caùc böôùc sau : Böôùc 1 : Choïn caùc soá a < T1 < T2 < … < Tk-1 < b chia ñoaïn [a,b] thaønh k khoaûng thoõa maõn : ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ < <− 0)().( 0)().( 1 1 Tfaf bfTf k Böôùc 2 : Keát luaän . II/- CAÙC VÍ DUÏ : Ví duï 1 : Giaû söû f : [a,b]→ [a,b] laø moät haøm soá lieân tuïc. Chöùng minh : a)- Phöông trình f(x) = x coù ít nhaát moät nghieäm . b)- ∃ sao cho ],[ bac∈ α f(a) + β f(b) = (α +β ).f(c) (α ,β > 0) (Ñeà thi choïn ñoäi tuyeån Olympic ÑHAG 2003) Giaûi :a/- Ta coù f(x) = x ⇔ f(x) – x = 0 . Töø ñoù ñaët h(x) = f(x) – x thì h(x) lieân tuïc treân [a,b] Ta coù h(a) = f(a) – a 0 ≥ h(b) = f(b) – b 0 ≤ Suy ra h(a).h(b) ≤0 Do h(x) lieân tuïc treân [a,b] neân ∃ x0∈ [a,b] sao cho h(x0) = 0 hay f(x0) = x0 . Vaäy phöông trình f(x) = x coù ít nhaát 1 nghieäm x ∈ [a,b]. b/- Theo ñònh lyù Vaâyestras : ∃ x1, x2 ∈ [a,b] sao cho : NxfxfMax bak == ∈ )()( 1],[ mxfxfMinbax ==∈ )()( 2],[ Do 0,0 >< βα neân (α + β ).m≤ Mbaf )()()(. βαβα +≤++ Xeùt haøm soá )()()()()( bfafxfxg βαβα −−+= Do f(x) lieân tuïc treân [a,b] neân g(x) lieân tuïc treân [a,b]. Khoâng maát tính toång quaùt. Giaû söû x1< x2 vaø [x1,x2] [a,b]. ⊂ Ta coù : ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −−+=−−+= −−+=−−+= )()(.)()(.)(.)()()( )(.)(.)()(.)(.)()()( 11 22 bafMbfafxfxg bfafmbfafxfxg βαβαβαβα βαβαβαβα suy ra g(x1).g(x2) 0 neân ∃ c ∈ [x≤ 1,x2] sao cho g(c) = 0 ⇔ (α+β).f(c) – α.f(a) - βf(b) = 0 ⇔ (α+β).f(c) = α.f(a) – β.f(b) -Trang 5 - Ví duï 2 : Cho haøm soá f(x) lieân tuïc treân [0,1] vaø f(0) = f(1) CMR : vôùi moïi soá töï nhieân n luoân ∃ c ∈ [0,1] sao cho f(c) = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + n cf n 1 Baøi giaûi : Ta coù f(c) = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + n cf n 1 ⇒ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−⇒⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ += n cfcf n cfcf 1)(1)( = 0 Do ñoù ta ñaït : g(x) = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +− n xfxf 1)( Töø giaû thieát suy ra g(x) lieân tuïc treân ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − n n 1,0 ( )111 322 211 1)0()( f n nf n ng n f n f n g n f n f n g n ffxg −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − −−−−−−−−−−−−− ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−= Vaäy 0)1()0(1...1)0( =−=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −++⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+ ff n ng n gg Suy ra ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −∈∃ n n n j n i 1,0, sao cho 0. ≤⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ n jg n ig Giaû söû n j n i < Vaäy ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡∈∃ n j n ic , sao cho g(c)=0 Hay ∃ c ∈ [0,1] sao cho ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ += n cfcf 1)( (ñpcm) Ví duï 3 : Cho haøm soá f(x) lieân tuïc treân [a,b] vaø n ñieåm x1,x2,…,xn ∈ [a,b], Chöùng minh raèng -Trang 6 - ∃ c ∈ (a,b) sao cho : [ ])21 (...)()(1)( nxfxfxfncf +++= Giaûi: Caùch 1 : Ñaët [ ])(...)()(1)()( 21 nxfxfxfnxfxg +++−= ta coù [ ] [ ] [ ]⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ +++−= −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− +++−= +++−= )(...)()(1)()( )(...)()(1)()( )(...)()(1)()( 21 2122 2111 nnn n n xfxfxf n xfxg xfxfxf n xfxg xfxfxf n xfxg Suy ra g(x1)+g(x2)+…+g(xn) = 0)()( 11 =−∑∑ −= n n i n i i xfxf Do ñoù ∃ k, l ∈ { sao cho k< l vaø g(x}n,...,2,1 k).g(xl) ≤ 0 Maø g(x) lieân tuïc treân [a,b] neân lieân tuïc treân [xk , xl ]. ⇒ c ∈ [x∃ k , xl ] sao cho g(c) = 0 ⇒ ∃ c ∈ [a,b] ñeå : f(c) = n 1 [ f(x1)+f(x2)+…+f(xn)] Caùch 2 : Goïi ∆ laø ñoaïn chöùa caùc ñieåm x1,x2,……,xn vaø [a,b]. Haøm f(x) lieân tuïc treân [a,b] ∆ ≤ ⇒ lieân tuïc treân . ∆ Vaäy ∃ m = )(min xf x ∆∈ M = ∃ )(max xf x ∆∈ ta coù : m≤ n 1 [f(x1) + f(x2) +….+ f(xn)] ≤ M Vaäy ∃ c ∈ ∆ c⇒ ∈[a,b] sao cho f(c) = n 1 [ f(x1) + f(x2) +….+ f(xn)] Ví duï 4 : Chöùng minh vôùi moïi tham soá thì phöông trình : a)- acosx + bsin2x + cos3x – x = 0 coù nghieäm. b)- m xx =+ cos 3 sin 1 coù nghieäm. -Trang 7 - c)- asin 3x + 6cos 2x + sinx = 0 coù nghieäm x∈[0,2π ] (Ñaïi hoïc quoác gia Haø Noäi) Giaûi : a)- Ñaët f(x) = acosx + bsin2x + c cos 3x – x thì f(x) lieân tuïc treân D = R. Ta coù f( 2 π− ) = 2 π vaø f( 2 π ) = - 2 π ⇒ f(- 2 π ).f( 2 π ) < 0 Vaäy phöông trình coù nghieäm. b)- ta coù f(x) = m xx −+ cos 3 sin 1 lieân tuïc treân ( 2 π ,π ) vì −∞=+ → )(lim 2 xf x π neân ∃ a ∈ ( 2 π , 2 π + ℰ ) ñeå f(a) < 0 +∞=− → )(lim 2 xf x π neân ∃ b ∈ (π - ℰ’, π ) ñeå f(b) < 0 do ñoù f(a).f(b) < 0 phöông trình coù nghieäm . ⇒ c)- Xeùt f(x) = acos 3x + bcos 2x + c cosx + sinx thì f lieân tuïc treân [0,2π ] Ta coù : f(0) = a + b + c f( 2 π ) = -b + 1 f(π ) = -a + b – c f( 2 3π ) = -b –1 f(0) + f(⇒ 2 π ) + f(π ) + f( 2 3π ) = 0 Do ñoù ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧∈∃ 2 3,, 2 ,01 πππβα ñeå f(α ).f(β )≤ 0. Vaäy phöông trình coù nghieäm x∈[0, 2 3π ] hay coù nghieäm x∈[0,2π ] -Trang 8 - Ví duï 5 : Cho a,b döông . Chöùng minh phöông trình : 0111 =++−+ bxaxx Coù 2 nghieäm x1,x2 vaø ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −<<−<< 33 2; 3 2 3 21 bxbaxa (Voâ ñòch Hungary) Giaûi : Vôùi ñieàu kieän x 0 , x≠ ≠ a , x≠ -b phöông trình : 0111 =++−+ bxaxx x(x – a) + x(x + b) + (x-a)(x-b) = 0 ⇔ Ñaët f(x) = x(x – a) + x(x + b) + (x – a)(x + b) f lieân tuïc treân D = R Ta coù f(-b) = b(a+b) > 0 f(0) = -ab < 0 f(a) = a(a+b) > 0 neân phöông trình f(x) = 0 coù 2 nghieäm –b < x1 < 0 < x2 < a. Hai nghieäm naøy cuõng thoõa ñieàu kieän ban ñaàu vì : 11111 11111 xaxxabxx − 32 aa > vì 11 11 xabx −<+ neân x1< 3 2a -Trang 9 - Töông töï cho x2 thì 33 2 bxb −<<− Ngoaøi caùch giaûi treân chuùng ta cuõng coøn coù caùch giaûi töông ñoái ñôn giaûi hôn nhieàu baèng caùch tính tröïc tieáp ) 3 (), 3 (), 3 (), 3 ( ffff 22 bbaa −− ñeå chöùng minh toàn taïi nghieäm . Ví duï 6 : Cho hai haøm soá lieân tuïc f , g : [0,1] [0,1] thoaõ ñieàu kieän f(g(x)) = g(f(x)) vôùi moïi x → ∈[0,1] . Bieát raèng f laø haøm taêng . Chöùng minh heä phöông trình : coù nghieäm thuoäc [0,1] ⎩⎨ ⎧ = = xxg xxf )( )( (voâ ñòch Myõ_ Olympic sinh vieân 2003) Giaûi : Ñaët h(x) = g(x) – x h(x) laø 1 haøm lieân tuïc treân [0,1] ⇒ Ta coù : h(0) = g(0) – 0 0 ≥ h(1) = g(1) - 1≤ 0 Do ñoù : toàn taïi x0∈[0,1] sao cho h(x0) = 0 g(x⇒ 0) = x0 . + Neáu f(x0) = x0 thì ta coù ngay ñieàu phaûi chöùng minh . + Neáu f(x0) x≠ 0 xeùt daõy { }nx n∞=1 ñöôïc xaùc ñònh bôûi x1= f(x0) , x2= f(x1) ,…., xn+1=f(xn) n 1 , n∀ ≥ ∈N Ta coù : xn∈[0,1] ∀ n≥1 Hôn nöõa f(x) laø haøm taêng treân [0,1] neân { }nx laø daõy ñôn ñieäu : • taêng neáu x{ }nx 0 < f(x0) • giaûm neáu x{ }nx 0 > f(x0) -Trang 10 - suy ra daõy { }nx hoäi tuï khi n→ ∞ ñaët axnn =∞→lim , a∈[0,1] Baèng qui naïp theo n ta seõ chöùng minh g(xn) = xn n≥1 ∀ Thaät vaäy : n = 1 ta coù x1 = f(x0) g(x⇒ 1) = g(f(x0)) = f(g(x0)) = f(x0) = x1 giaû söû g(xk) = xk vôùi k 1 , k≥ ∈N Khi ñoù : xk+1 = f(xk) = f(g(xk)) = g(f(xk)) = g(xk + 1) Theo nguyeân lyù qui naïp ta coù g(xn) = xn ∀ n 1 ≥ Ta coù : f(a) =f( ) = f(xnn x∞→lim ∞→nlim n) = axnn =+∞→ 1lim g(a) = g( ) = = a nn x∞→lim =∞→ )(lim nn xg nn x∞→lim Vaäy coù a∈[0,1] sao cho ⎩⎨ ⎧ = = aag aaf )( )( Hay heä phöông trình coù nghieäm thuoäc [0,1] ⎩⎨ ⎧ = = xxg xxf )( )( Ví duï 7 : Cho haøm soá f : [a,b] [a,b] , a<b thoõa maõn ñieàu kieän : → yxyfxf −<− )()( , ],[, bayx ∈∀ , vaø x≠ y Chöùng minh raèng phöông trình f(x) = x coù duy nhaát nghieäm treân [a,b] (Olympic sinh vieân 1994) Giaûi : Xeùt haøm soá g(x) = xxf −)( . Suy ra g lieân tuïc treân [a,b] . Do ñoù toàn taïi x0∈[a,b] sao cho : g(x o ) = g(x) (1) ta seõ chöùng minh g(x ],[ min bax∈ 0 ) = 0 Thaät vaäy , giaû söû g(x0) ≠ 0⇔ f(x0) ≠ x0 Töø baát ñaúng thöùc ñaõ cho ta coù : oxxfxfxff −>− )()())(( 000 suy ra g( ) < g(x)( 0xf 0) -Trang 11 - maâu thuaãn vôùi (1) , nghóa laø = x)( 0xf 0 giaû söû phöông trình f(x) = x coù nghieäm x1 , x1≠ x0 , x1∈[a,b] khi ñoù : 0101 )()( xxxfxf −=− maâu thuaãn vôùi giaû thieát . Toùm laïi : phöông trình f(x) = x coù duy nhaát nghieäm treân [a,b]. Ví duï 8 : Cho haøm soá f(x) lieân tuïc treân[0, 2 π ] sao cho f(0) > 0 vaø ∫ <20 1)( π dxxf Chöùng minh raèng phöông trình f(x) = sinx coù ít nhaát moät nghieäm trong khoaûng (0, 2 π ) (Olympic sinh vieân 2003) Giaûi : Ta coù : f(x) = sinx ⇔ f(x) – sinx = 0 Do ñoù : ñaët g(x) = f(x) – sinx ∀ x∈[0, 2 π ] Töø giaû thieát thì g(x) lieân tuïc treân ñoaïn [0, 2 π ] vaø g(0) = f(0) >0 . Ta coù : [ ]∫ ∫∫ −=−= 20 2020 1)(sin)()( π ππ dxxfdxxxfdxxg Bôûi vaäy do giaû thieát cuûa ñeà baøi nhaân ñöôïc ∫ 20 )( π dxxg < 0 Suy ra x∃ 0∈(0, 2 π ] sao cho g(x0) 0 ) Treân [0,x0] haøm g(x) lieân tuïc vaø g(0)g(x0) < 0 Do ñoù c ∈(0, ∃ 2 1 ] sao cho g(c) = 0 Hay c ∈(0, ∃ 2 π ] sao cho f(c) =sinc Vaäy phöông trình coù nghieäm treân (0, 2 π ) Ví duï 9 : Tìm d∈(0,1) sao cho vôùi haøm f xaùc ñònh vaø lieân tuïc treân [0,1] . f(0) = f(1) thì toàn taïi x0∈[0,1 – d] sao cho f(x0) = f(x0 + d) . ( Voâ ñòch Aùo) Giaûi : _ Xeùt d = k 1 , k nguyeân döông, k >1 ( )1,0∈⇒ d . -Trang 12 - Ñaët g(x) = f(x + k 1 ) – f(x) , 0≤ x≤ k k 1− Vì g(0) + g( k 1 ) + … + g( k k 1− ) = f( k 1 ) – f(0) + f( k 2 ) – f( k 1 ) + … + f(1) – f( k k 1− ) = 0 Neân toàn taïi g(α ) 0 trong ñoù α , β ∈ ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ − k k kk 1,....,2,1 Suy ra g(α ).g(β ) < 0 ⇒ ∃ x0 ñeå g(x0) = 0 _ Xeùt d≠ m 1 , m nguyeân döông , choïn k nguyeân döông sao cho k.d < 1< (k +1).d giaû söû f lieân tuïc thoõa yeâu caàu thì chon f treân [0. d] f(0) = 0 , f(1 – k.d) = -k , f(d) = 1 tieáp tuïc treân [d, 1] maø f(x) = f(x – d) + 1 thì f lieân tuïc caû [0,1] ⇒ f(1) = f(1 - d) + 1 = f(1 - 2d) +2 = . . . . . = f(1 – kd) + k = 0 = f(0) vaø ∀ x∈[1, 1 – d] thì f(x + d) = f(x) + 1 ≠ f(x) vaäy giaù trò caàn tìm laø d = k 1 , k nguyeân döông k >1 Ví duï 10 : Cho f(x) lieân tuïc treân ñoaïn [0;1] , f(0) > 0 vaø ∫ <10 19981)( dxxf Chöùng minh raèng phöông trình x1997= f(x) coù ít nhaát moät nghieäm thuoäc (0,1) (Olympic sinh vieân 1998) Giaûi : Ñaët g(x) = f(x) – x1997 lieân tuïc treân [0,1] g(0) = f(0) > 0 ∫ ∫ ∫ <−=−=10 10 101997 019981)())(()( dxxfdxxxfdxxg ⇒ x∃ 0∈[0,1] sao cho g(x) < 0 treân [0,x0] haøm g(x) lieân tuïc vaø g(0).g(x0) < 0 suy ra c ∃ ∈(0,x0) hay c ∈(0, 1) ñeå g(c) =0 Vaäy phöông trình coù nghieäm treân (0,1) Ví duï 10 : -Trang 13 - Cho f(x), g(x) laø caùc haøm soá lieân tuïc treân R sao cho f(g(x)) = g(f(x)) x∈R ∀ Chöùng minh raèng : neáu phöông trình f(x) = g(x) voâ nghieäm thì phöông trình f(f(x)) = g(g(x) voâ nghieäm . (Voâ ñòch Canada) Giaûi : Vì phöông trình f(x) = g(x) voâ nghieäm vaø f , g lieân tuïc neân ta coù : Hoaëc f(x) – g(x) > 0 , ∀ x∈R hoaëc f(x) – g(x) < 0 , x∀ ∈R * Neáu f(x) – g(x) > 0 , ∀ x∈R f(x) > g(x) , ⇒ ∀ x∈R f(f(x)) g(f(x)) = f(g(x)) > g(g(x)) ⇒ > phöông trình f(f(x)) = g(g(x)) voâ nghieäm ⇒ * Neáu f(x) – g(x) < 0 ,∀ x∈R f(x) < g(x) ⇒ ∀ x∈R f(f(x)) < g(f(x)) = f(g(x)) < g(g(x)) ⇒ phöông trình f(f(x)) = g(g(x)) voâ nghieäm ⇒ Vaäy phöông trình f(x) = g(x) voâ nghieäm thì phöông trình f(f(x)) = g(g(x)) voâ nghieäm . Ví duï 12 : Giaûi phöông trình : 8x3 – 4x2 – 4x + 1 = 0 Giaûi : Xeùt ña thöùc f(x) = 8x3 – 4x2 – 4x + 1 = 0 baäc 3 neân ta coù toái ña 3 nghieäm Ta coù : f(-1) = -7 0 ; f( 2 1 ) = -1 0 Vìø f lieân tuïc vaø coù 3 nghieäm trong khoaûng (-1 , 1) Ta chæ caàn xeùt x trong khoaûng (-1 , 1) Ñaët x = cosα vôùi 0 <α < π Thay vaøo phöông trình ñaõ cho , ta ñöôïc : 8.cos3α – 4.cos2α – 4.cosα + 1 = 0 4.cos⇔ α (2.cos2α – 1) = 4(1 – sin2α ) – 1 4.cos⇔ α cos2α = 3 – 4sin2α 4.sin⇔ α cosα cos2α = sinα (3 – 4sin2α ) (do sinα >0) sin4⇔ α = sin3α Do ñoù : α 1 = 7 π ; α 2= 7 3π ; α 3= 7 5π -Trang 14 - Vaäy phöông trình coù 3 nghieäm :x1 = cos ( 7 π ) ; x2 = cos( 7 3π ) ; x3 = cox( 7 5π ) Ví duï 13 : Giaûi phöông trình : Sin3x + 4.cosx = 3.cosx Giaûi : Do sinx = 0 khoâng phaûi laø nghieäm cuûa phöông trình , chia 2 veá cho sin3x . Ta coù : 1 + 4.cotg3x = 3 cotgx. x3sin 1 1 + 4.cotg⇔ 3x = 3.cotgx(cotg2x +1) ⇔ cotg3x – 3.cotgx + 1 = 0 Ñaët cotgx = t ; xeùt haøm f(t) = t3 – 3t +1 lieân tuïc treân R Ta coù : f(-2) = -1 ; f(-1) = 1 ; f(1) = -1 ; f(2) = 3 f(x) coù 3 nghieäm trong khoaûng (-2 , 2) . Ta xeùt trong khoaûng (-2 , 2) ⇒ Ñaët t = 2 cosα ⇒ 8 cos3α - 6 cosα + 1 = 0 ⇒2 cos3α + 1 = 0 cos3⇒ α = 2 1− vì α ∈[0, π ]⇒α 1= 9 2; 9 8; 9 4 32 παπαπ == t⇒ 1= 2cos 9 2cos2; 9 8cos2; 9 4 32 πππ == tt Vaäy 3 nghieäm : x1= arccotg t1 ; x2= arccotg t2 ; x3= arccotg t3. -Trang 15 - Chöông III : DUØNG ÑÒNH LYÙ LAGRANGE – ROLL – CAUCHY – CHÖÙNG MINH PHÖÔNG TRÌNH COÙ NGHIEÄM I/-PHÖÔNG PHAÙP CHUNG : _ Baøi toaùn : Chöùng minh phöông trình f(x) = 0 coù nghieäm trong (a,b) vôùi f(x) lieân tuïc trong [a,b] vaø khaû vi (a,b). _ Phöông phaùp giaûi : Ñeå aùp duïng ñònh lyù Roll , Lagrange , Cauchy vaøo vieäc giaûi baøi toaùn naøy, ñeàu quan troïng nhaát laø nhaän ra ñöôïc haøm F(x) ( thöïc chaát ñoù laø nguyeân haøm cuûa haøm f(x)) . Cuï theå ñöôïc thöïc hieän theo caùc böôùc sau : _ Böôùc 1 : Xaùc ñònh haøm soá F(x) khaû vi vaø lieân tuïc treân [a,b] vaø thoõa maõn : i)- F’(x) = f(x) ( töùc laø F(x) = ∫ dxxf )( ) ii)- F(b) – F(a) = 0. _ Böôùc 2 : khi ñoù x∃ 0∈(a,b) sao cho : F’(x0) = 0)( )()( 0 =⇔− − xf ab aFbF ⇔ Phöông trình f(x) = 0 coù nghieäm x0 ∈(a,b) * Löu yù : _ Neáu f coù n nghieäm phaân bieät vaø thoõa maõn ñònh lyù Lagrange thì f’ coù n – 1 nghieäm , f” coù n – 2 nghieäm , . . . ., fk coù n – k nghieäm k < n . _ Deå chöùng minh f(x) coù khoâng quaù m nghieäm thì ta phaûi chöùng minh f’(x) coù khoâng quaù m – 1 nghieäm . II/- CAÙC VÍ DUÏ MINH HOAÏ : Ví duï 1 : Cho n nghuyeân döông , cho ak,bk∈R(k = 1,2, . . . , n) . Chöùng minh raèng : x + 0)cossin( 1 =+∑ = kxbkxa k n k k coù nghieäm trong khoaûng (-π ,π ) . (Olympic sinh vieân 1994) Giaûi : Xeùt haøm F(x) = Rxkx k bkx k ax kn k k ∈+−+∑ = );sincos( 2 1 2 Roõ raøng F(x) lieân tuïc [-π ,π ] , khaû vi treân R vaø : f’(x) = x + )cossin( 1 kxbkxa k n k k +∑ = Ngoaøi ra : F(-π ) = F(π ) = ∑ = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −−+ n k kk k a 1 2 )1( 2 π -Trang 16 - AÙp duïng ñònh lyù Roll : c∈(-∃ π ,π ) sao cho F’(c) = 0 ⇔ c + 0)cossin( 1 =+∑ = kcbkca k n k k ⇔ phöông trình x + coù nghieäm thuoäc (-0)cossin( 1 =+∑ = kxbkxa k n k k π ,π ) .Ví duï 2 : Cho haøm soá f(x) khaû vi treân ñoaïn [a,b] vaø thoõa maõn : a)- f(a) = 2 1 (a – b) b)- f(b) = 2 1 (b – a) c)- 0 2 ≠⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + baf Chöùng minh raèng toàn taïi caùc soá ñoâi moät khaùc nhau c1,c2,c3∈(a,b) sao cho : f’(c1).f’(c2).f’(c3) = 1 . Giaûi : Theo Lagrange , toàn taïi c1∈(a,b) sao cho : 1)()()(' 1 =− −= ab afbfcf Ñaët :h(x) = f(x) + x - 2 ba + Khi ñoù : h(a).h(b) = - (a – b)2 < 0 Do ñoù toàn taïi x0∈(a,b) ñeå cho h(x0) = 0 hay :f(x0) = 02 x ba −+ Theo Lagrange , toàn taïi c2∈(a,x0) , c2≠ c1 sao cho : ax xb ax afxf cf − −=− −= 0 0 0 0 2 )()( )(' Neáu c =2 1c ⇒ ( ) )()(1' 21002 baxxfcf +−=⇒= maø ( ) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +=⇒= 2 0 00 baxxf ( ) 0 20 ≠⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +=⇒ bafxf voâ lyù. Töông töï nhö vaäy , toàn taïi c3∈(x0,b) , c1≠ c3 ñeå cho : 0 0 0 0 3 )()( )(' xb ax xb xfbf cf − −=− −= -Trang 17 - Neáu 13 cc = ( ) ( ) ( ) 03 2 11' xbaxfcf o ++−=⇒=⇒ Roõ raøng c1,c2,c3 phaân bieät vaø tích f’(c1).f’(c2).f’(c3) = 1 . Ví duï 3: Cho m > 0 laø soá nguyeân döông coøn a,b,c laø 3 soá thöïc sao cho : 0 12 =++++ m c m b m a Chöùng minh raèng khi ñoù phöông trình ax2 + bx + c = 0 coù ít nhaát moät nghieäm trong khoaûng (0,1). Giaûi : Xeùt haøm soá F(x) = mmm x m cx m bx m a ++++ ++ 12 12 lieân tuïc [0,1] . Khaû vi (0,1) vaø : F’(x) = xm – 1 (ax2 + bx + c) Ngoaøi ra F(0) = F(1) = 0 AÙp duïng ñònh lyù Roll khi ñoù : ∃ α ∈(0,1) sao cho F’(α ) = 0 ⇔ 1−mα (aα 2 + bα + c) = 0 ⇔ aα 2 + bα + c = 0 ⇔ pt Vaäy phöông trình ax2 + bx + c = 0 coù nghieäm trong (0,1) * Ngöôøi ta coù theå söû duïng caùc phöông phaùp khaùc ñeå giaûi baøi toaùn treân, chaúng haïn ta duøng phöông phaùp ñònh lyù ñaûo tam thöùc baäc hai nhö sau : -Trang 18 - Xeùt hai khaû naêng : i)- Neáu a = 0 : Khi ñoù töø giaû thieát ta coù 0 1 =++ m c m b (*) laïi xeùt khaû naêng : α )- Neáu b = 0 khi ñoù töø (*) suy ra c = o nhö vaäy : ax2 + bx + c = 0 x0⇔ = 0 Phöông trình nghieäm ñuùng ∀ x , noùi rieâng thoûa maõn yeâu caàu ñeà baøi : β )- Neáu b 0 khi ñoù : ≠ ax2 + bx + c = 0 ⇔ bx + c = 0 ⇔ x = b c− Do (*) suy ra x = 1+m m Vì m > 0 neân 0 < x < 1 . Vaäy phöông trình ñaõ cho coù nghieäm thuoäc (0,1). ii)- Neáu a≠ 0 : Deã daøng tính ñöôïc sau khi ñaët f(x) = ax2 + bx + c a.f(0) = a.c a.f( 0 )1( 2) 1 2 2 <+ −=+ m ma m m ( do a≠ 0 ; m > 0) Laïi coù hai khaû naêng xaûy ra : α )- Neáu a.c > 0 ( ) 0 1 .)0(.0)0( <⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +⇒>⇒ m mfafaaf 0 1 )0( <⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +⇔ m mff (**) vì f(x) laø haøm soá lieân tuïc neân töø (**) suy ra toàn taïi x1 , 0 < x1 < 1+m m ñeå cho f(x1) = 0 vì 0 < 1+m m <1 x⇒ 1∈(0,1) β )- Neáu a.c ≤ 0: -Trang 19 - Ta coù: af(1)= a(a+b+c) (***) Töø giaû thieát: 0 12 =++++ m c m b m a ⇒ m mc m mab )1( 2 )1( +−+ +−= vì theá töø (***) ta coù : af(1) = 0 2 2 >−+ m ac m a (do m > 0 , ac≤ 0, a≠ 0) ⇒ ( )⇒⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + )1(1 afm maf f )1( 1 f m m ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ + < 1 Laïi do tính lieân tuïc cuûa haøm f(x) suy toàn taïi x2 . 1 1 2 <<+ xm m ñeå f(x2) = 0 vì m > 0 0 < x⇒ 2 <1 toùm laïi ta luoân thaáy yeâu caàu ñeà baøi ñöôïc thoõa maõn . Ví duï 4 : Giaû söû haøm soá f(x) const≠ lieân tuïc vaø coù ñaïo haøm caáp moät treân khoaûng (0, + ) . Cho a,b laø hai soá thöïc thoaõ maõn 0 < a < b . Chöùng minh raèng phöông trình : ∞ xf’(x) – f(x) = ab bbfaaf − − )()( coù ít nhaát moät nghieäm thuoäc (a,b) . (Olympic sinh vieân 1994) Giaûi : Theo giaû thieát : g(x) = x xf )( vaø h(x) = x 1 laø hai haøm soá khaû vi treân khoaûng (a,b) . Khí ñoù : 2 ' )()(')()(' x xfxxf x xfxg −=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= h’(x) = 2 ' 11 xx −=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ Theo ñònh lyù Cauchy, toàn taïi x0∈(a,b) sao cho : [h(b) – h(a)].g’(x0) = [g(b) – g(a)].h’(x0) Thöïc hieän caùc bieán ñoåi töông ñöông : -Trang 20 - ab abfbafxfxfx xba abfbaf xab xfxfxba xa af b bf x xfxfx ab − −=−⇔ −=−−⇔ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −=−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − )()()()(' .. )()( .. )]()(')[( 1)()()()(11 000 2 0 2 0 000 2 0 2 0 000 Vaäy phöông trình xf’(x) – f(x) = ab abfbaf − − )()( coù ít nhaát moät nghieäm thuoäc (a,b). Ví duï 5 : Giaû söû haøm soá f(x) khaû vi treân [0,1] vaø thoûa maõn : f(0) = 0 ; f(1) = 1 ; 0≤ f(x) ≤ 1 , ∀ x∈R Chöùng minh raèng toàn taïi a,b∈(0,1) , a≠ b , sao cho f’(a).f’(b) = 1 . Giaûi : Xeùt haøm soá g(x) = f(x) + x – 1 laø haøm khaû vi treân[0,1] . Khi ñoù g(0) = -1 , g(1) = 1 . suy ra toàn taïi c∈(0,1) sao cho g(c) = 0 , suy ra f(c) +c –1 = 0 hay f(c)=1 – c . AÙp duïng ñònh lyù Lagrange cho f(x) treân caùc ñoaïn [0,c] vaø [c,1] ta ñöôïc : )(' 0 )0()( af c fcf =− − a∈(0,c) )(' 1 )()1( bf c cff =− − b∈(c,1) Vaäy f’(a).f’(b) = 1 ).1( ).1( 1 )(1.)( =− −=− − cc cc c cf c cf Ví duï 6 : Cho f coù ñaïo haøm treân [x1,x2] maø x1,x2 > 0. Chöùng minh toàn taïi c ∈(x1,x2) : )( 1 1 1 21 xf x xx − )('.)()( 2 2 cfccf xf x −= Giaûi : Ta vieát laïi yeâu caàu chöùng minh : VT = 12 1 1 2 2 21 1221 11 )()( )()( xx x xf x xf xx xfxxfx − − =− − -Trang 21 - Xeùt hai haøm φ (x) = x x x xf 1)(;)( =ϕ thì φ , ϕ ñeàu lieân tuïc khaû ñaïo treân (x1,x2) neân theo ñònh lyù Cauchy thì ∃ c∈(x1,x2) : )(' )(' )()( )()( 12 12 c c xx xx ϕ φ ϕϕ φφ =− − maø φ ’(x) = 2 )().(' x xfxxf − vaø ϕ ’(x) = - 21x Do ñoù : )(' )(' c c ϕ φ = f(c).c.f(c) ñpcm ⇒ Ví duï 7 : Chöùng minh phöông trình ex.cosx = 1 coù 2 nghieäm vaø giöõa 2 nghieäm ñoù coù 1 nghieäm cuûa phöông trình ex.sinx = 1. Giaûi : Xeùt f(x) = ex.cosx – 1 thì f lieân tuïc treân R f(0) = 1 – 1 = 0 neân x1 = 0 laø 1 nghieäm f(π ).f(π ) = (- ex - 1)(e2π - 1) < 0 neân coù theâm nghieäm x2 ∈ (π ,2π ). Vaäy f(x) = 0 e⇔ x..cos x = 1 coù hai nghieäm x1, x2. Xeùt g(x) = cos x - e-x thì g lieân tuïc treân R vaø coù ñaïo haøm g’ x = - sin x + e-x = ex xex sin1− . AÙp duïng ñònh lyù Lagrange treân ñoaïn [x1,x2] thì toàn taïi c ∈ (x1,x2) . )()()( ' 21 21 cg xx xgxg =− − vì g(x) = cos x - e-x = cos x - x x x e xe e 1cos1 −= neân g(x1) = g(x2) = 0. Do ñoù : g’ (c) = 0 hay 1 – ec.sin c = 0 nghóa laø phöông trình : ex. sin x = 1 coù nghieäm x = c naèm giöõa hai nghieäm cuûa phöông trình ex. cos x = 1 Ví duï 8 : Chöùng minh raèng vôùi moïi soá thöïc a,b,c thì phöông trình : a cos 3 x + b cos 2 x + cos x + sin x = 0 luoân coù nghieäm trong (0, 2π ) Giaûi : Xeùt haøm soá : F(x) = xxxbxa cossin2sin 2 3sin 3 1 −++ . -Trang 22 - Roõ raøng F(x) xaùc ñònh vaø lieân tuïc treân [0, 2π ],vaø coù ñaïo haøm taïi moïi ñieåm thuoäc (0, 2π ) vaø F’(x) = a cos 3 x + b cos 2 x + c cos x + sin x Ngoaøi ra : F(0) = F(2π ) = - 1. Theo ñònh lyù Roll, ∃ α , 0 <α < 2π . Sao cho F’(α ) = 0 ⇔ a cos 3α + b cos 2 α + cos α + sin α = 0 ⇔ phöông trình . a cos 3 x + b cos 2 x + cos x + sin x = 0 coù nghieäm α ∈ (0, 2π ) Ví duï 9: Cho f lieân tuïc treân [a, b], f(a) = f(b) = 0 vaø coù ñaïo haøm caáp hai treân ñoù.Chöùng minh vôùi moïi c ∈ (a,b) thì toàn taïi soá α ∈(a,b) : f(c) = ''))(( 2 1 fbcac −− (α ). Giaûi : Xeùt F(x) = f(x) – (x - a)(x - b). ))(( )( bcac cf −− . Thì F lieân tuïc vaø khaû vi treân ( a, c) vaø (c , b) neân theo ñònh lí Lagrage thì toàn taïi d1∈ (a,c) vaø d2 ∈ (c,b): )()()( 1' dFac aFcF =− − ; )()()( 2' dFcb cFbF =− − maø F(a) = F(b) = F (c) = 0 neân = 0 )( 1' dF )( 2' dF= Tieáp tuïc aùp duïng ñònh lyù Lagrange treân [d1,d2] Cho ñaïo haøm F’ thì ∃ α ∈ (d1,d2) )()()( " 12 12 ' αF dd ddF =− − = 0. ⇒ )(" αF Maø : F’(x) = f’(x) – (2 x - a - b). ))(( )( bcac cf −− . )(" xF = f”(x) - ))(( )(2 bcac cf −− . f⇒ ”(x) - ))(( )(2 bcac cf −− = 0 f(c) = ⇒ )())(( 2 1 " αfbcac −−− Ví duï 10 : Cho f(x) = inx ck iiin i +− −∑ = 0 0 )1( ( 2 < n∈ N ; x ∈ R ) Chöùng minh neáu k≥ 1 thì f(x) = 0 khoâng coù nghieäm döông. -Trang 23 - Giaûi : Vôùi k ≥ 1 , Giaû söû phöông trình cho coù nghieäm xo > 0. Xeùt haøm : g(y) = ∑ = −−+− n i inxi n ii yck 1 10)1( = ∑ = −−− −=− n i nxi n inix kyycyky 0 11 )()( 00 Ta coù : g(0) = 0 ; g(1) = 0 . Neân theo ñònh lyù Roll thì ∃ α ∈(o, 1) : g’(α ) = 0 ⇒ kk nx =⇒=−− ααα 0)(10 ⇒ .1<= αk Voâ lyù neân phöông trình f(x) = 0 khoâng theå coù nghieäm döông. -Trang 24 - CHÖÔNG IV : SÖÛ DUÏNG ÑÒNH LYÙ LAGRANGE – GIAÛI PHÖÔNG TRÌNH I/- PHÖÔNG PHAÙP CHUNG : Giaûi phöông trình f(x) = 0 Böôùc 1 : Goïi α laø nghieäm cuûa phöông trình . Böôùc 2 : Bieán ñoåi phöông trình veà daïng thích hôïp f(a) = f(b) . Töø ñoù chæ ra ñöôïc haøm soá F(t) khaû vi vaø lieân tuïc treân [a,b] . Khi ñoù theo ñònh lyù Lagrange c∈(a,b) sao cho : ∃ f’(c) = 0)()( =− − ab afbf (*) Böôùc 3 : giaûi (*) ta ñònh ñöôïc α . Böôùc 4 : thöû laïi . II/- VÍ DUÏ MINH HOAÏ : Ví duï 1 : giaûi phöông trình : 6x + 2x = 5x + 3x (1) Giaûi : Vieát laïi phöông trình döôùi daïng 6x – 5x = 3x – 2x giaûsöû phöông trình coù nghieäm α , khi ñoù : 6x – 5x = 3x – 2x (2) Xeùt haøm soá f(t) = (t +1) - t , vôùi t > 0 α α Töø (2) ta nhaän ñöôïc f(5) = f(1) , do ñoù theo ñònh lyù Lagrange toàn taïi c∈(2,5) sao cho : f’(c) = 0 ⇔ α [(c + 1) - c ] = 0 1−α 1−α ⇔ ⎢⎣ ⎡ = = 1 0 α α thöû laïi ta thaáy x = 0 , x = 1 ñeàu thoaõ maõn (1) Vaäy phöông trình coù nghieäm x = 0 , x = 1 . Ví duï 2 : giaûi phöông trình : 3cosx – 2cosx = cosx Giaûi : Vieát laïi phöông trình : 3cosx – 3.cosx = 2cosx – 2.cosx Giaû söû phöông trình coù nghieäm α , khi ñoù : 3coaα – 3.cosα = 2cosα – 2.cosα (1) Xeùt haøm soá f(t) = t - t.cosαcos α khi ñoù : (1) ⇔ f(3) = f(2) -Trang 25 - Vaø f(t) khaû vi vaø lieân tuïc treân [2,3] do ñoù theo ñònh lyù Lagrange c∈(2,1) sao cho : ∃ f’(c) = 0cos)1( 23 )2()3( 1cos =−⇔− − − ααcff ⇒ ⎢⎣ ⎡ = = 1cos 0cos α α ⇔ ⎢⎢⎣ ⎡ = += πα ππα k k 2 2 Thöû laïi α = 2 π +kπ vaø α =2π k vaøo (1) thaáy ñuùng . Vaäy phöông trình coù hai hoï nghieäm x = ππ k+ 2 vaø x = 2kπ , k∈Z Ví duï 3 : giaûi phöông trình : 3 x + 5 x = 2.4 x Giaûi : ñaët u = x , ñieàu kieän u 0 ≥ Phöông trình coù döôùi daïng : 3u + 5u = 2.4u ⇔ 5u – 4u = 4u – 3u Giaû söû phöông trình coù nghieäm α , khi ñoù : 5α – 4 = 4 - 3 α α α Xeùt haøm soá f(t) = (t + 1) - t , vôùi t > 0 α α Töø (1) ta nhaän ñöôïc f(4) = f(3) do ñoù theo ñònh lyù Lagrange toàn taïi c∈(3,4) sao cho : f’(c) = 0 [ ] ⎢⎣⎡ = =⇔=−+⇔ −− 1 0 0)1( 11 α αα αα cc ⎢⎣ ⎡ = =⇔ ⎢⎢⎣ ⎡ = =⇔⎢⎣ ⎡ = = 1 0 1 0 1 0 x x x x u u Vaäy phöông trình coù nghieäm x = 0 vaø x = 1 . Ví duï 4 : Giaûi phöông trình : 1999x – 2.2002x + 2005x = 0 Giaûi : Goïi α laø nghieäm phöông trình : 1999x – 2.2002x + 2005x = 0 Thì 2005 -2002 = 2002 - 1999 (1) α α α α Xeùt f(t) = (t +3) - t vôùi tα α ∈[1999,2002] thì f lieân tuïc vaø coù f’(t) =α (t + 3) -1α - α t -1α neân theo ñònh lyù Lagrange thì c∈(1999,2002) : ∃ -Trang 26 - )(' 19992002 )1999()2002( cfff =− − töø (1) thì f(2002) = f(1999) neân f’(c) = 0 töø ñoù : α (c + 3) -1α - α c -1α ⇔ α (c + 3) -1α - α c -1α ⇔ ⎢⎣ ⎡ = = 1 0 α α Vaäy phöông trình coù 2 nghieäm x = 0 , x = 1. Ví duï 5 : giaûi phöông trình : 2.x.arctgx = ln(1 + x2) Giaûi : Xeùt x > 0 : Ta coù : 2.x.arctgx = ln(1 + x2) ⇔ 2.x.arctgx - ln(1 + x2) = 0 Xeùt f(x) = 2.x.arctgx - ln(1 + x2) thì f lieân tuïc treân [0,x] coù ñaïo haøm f’(x) = arctgx x xarctgx x x 2 1 22 1 2 22 =+−++ Theo ñònh lyù Lagrange thì ∃ c∈(0,x) : arctgc x xf cf x fxf 2)( )(' 0 )0()( = =− − vì c > 0 neân arctgc > 0 maø x > 0 ⇔ f(x) > 0 _ Xeùt töông töï x 0 . Do ñoù f(x) > 0 , ∀ x≠ 0 Xeùt k = 0 thì phöông trình coù nghieäm ñuùng . Vaäy phöông trình ñaõ cho coù nghieäm x = 0 . -Trang 27 - Chöông V : DUØNG ÑÒNH LYÙ LAGRANGE CHÖÙNG MINH BAÁT ÑAÚNG THÖÙC I/- VÍ DUÏ MINH HOAÏ : Ví duï 1 : Chöùng minh : <− b ab ln a ab a b −< Giaûi : Baát ñaúng thöùc phaûi chöùng minh vieát thaønh : aab ab b 1lnln1 <− −< (vôùi 0 < a < b) Töø ñoù coù haøm soá f(x) = lnx treân [a,b]. _ Haøm soá f(x) = lnx sô caáp treân D = (0,+∞ ) treân neân lieân tuïc treân [a,b] vaø khaû vi trong (a,b) , vaø coù ñaïo haøm laø f’(x) = x 1 treân (a,b) . Theo ñònh lyù Lagrange ta coù : ab afbfcfbac − −=∈∃ )()()(':),( hay ab afbf c bac − −=∈∃ )()(1:),( do c∈(a,b) a < c < b ⇒ ⇒ acb 111 << ⇒ aab afbf b a 1)()( <− −< ⇒ aab ab b 1lnln1 <− −< (ñpcm) Ví duï 2 : Chöùng minh : x x +1 0) Giaûi : Baát ñaúng thöùc phaûi chöùng minh vieát thaønh : 1 1)1( 1ln)1ln( 1 1 1)1ln( 1 1 <−+ −+<+⇔ <+<+ x x x x x x Töø ñoù xeùt haøm soá f(t) = ln t treân [1,1+x] (vôùi x > 0) Haøm soá f(t) = ln t sô caáp treân D = (0,+ ∞ ) neân lieân tuïc treân [1,1+x] vaø coù ñaïo haøm laù f’(t) = t 1 treân (1,1+x) . -Trang 28 - Do ñònh lyù Lagrange ta coù : c∈(1,1+x) : f’(c)= ∃ x x x x )1ln( 11 )1ln()1ln( +=−+ −+ hay c∈(1,1+x) : ∃ x x c )1ln(1 += Do c∈(1,1+x) 1 < c < 1+x ⇒ 11 1 1 <<+⇒ cx 1)1ln( 1 1 <+<+⇒ x x x (ñpcm) Ví duï 3 : Chöùng minh raèng : 2 0; coscos 22 π<<<∀−<−<− ab a batgbtga b ab Giaûi : _ Baát ñaúng thöùc phaûi chöùng minh vieát thaønh : aba tgbtga b 22 cos 1 cos 1 <− −< ( 2 0 π<<< ab ) _ Töø ñoù xeùt f(x) = tgx treân [b,a] _ Ta coù haøm soá f(x) =tgx lieân tuïc treân [b,a] , khaû vi treân (b,a) neân theo ñònh lyù Lagrange ta coù : c∈(b,a) : f’(c) = ∃ ba tgbtga − − hay ∃ c∈(b,a) : ba tgbtga c − −=2cos 1 do c∈(b,a) vaø y = cosx nghòch bieán treân (0, 2 π ) neân acb 222 cos 1 cos 1 cos 1 << aba tgbtga b 22 cos 1 cos 1 <− −<⇒ (ñpcm) Ví duï 4 : Chöùng ming raèng : Nn nnn arctg nn ∈∀+<++<++ ;1 1 1 1 22 1 222 Giaûi : Ta coù : tg[arctg(n+1) – arctg n] = )()).1((1 )())1(( arctgntgnarctgtg arctgntgnarctgtg ++ −+ 1 1 )1(1 )1( 2 ++=++ −+= nnnn nn -Trang 29 - arctg(n+1) – arctgn = arctg⇔ 1 1 2 ++ nn Vì baát ñaúng thöùc caàn chöùng minh vieát laïi thaønh : Nn n arctgnnarctg n ∈∀+<−+<++ ;1 1)1( 1)1( 1 22 Töø ñoù xeùt f(x) = arctgx treân [n,n+1] _ Haøm f(x) = arctgx lieân tuïc treân [n,n+1] khaû vi treân (n,n+1) vaø coù ñaïo haøm f’(x) = 21 1 x+ _ Do ñònh lyù Lagrange ta coù : c∈(n,n+1) : ∃ n arctgnnarctgcf −+ −+= )11( )1()(' hay c∈(n,n+1) : ∃ 1 1 1 1 22 ++=+ nnarctgc do c∈(n,n+1) ⇒n < c < n+1 ⇒ 1 1 1 1 1)1( 1 222 +<+<++ ncn 1 1 1 1 22 1 222 +<++<++⇒ nnnarctgnn (ñpcm) Ví duï 5 : Chöùng minh ex≥1+x Giaûi : • neáu x = 0 thì ex = 1 + x baát ñaúng thöùc nghieäm ñuùng coù daáu = . • neáu x > 0 thì ta chöùng minh ex –1 > x baèng caùch : Xeùt haøm soá f(t) = et treân [0,x] _Haøm soá f(t) = et sô caáp treân D = R neân lieân tuïc treân [0,x] vaø coù ñaïo haøm laø f’(c) = et treân (0,x). Do ñònh lyù Lagrange ta coù : ∃ c∈(0,x) : 0 )0()()(' − −= x fxfcf hay c∈(0,x) : x ee x c 1−= do c∈(0,x) c > 0 ⇒ ⇒ ec >e0 = 1 ⇒ 11 >− x e x xe x >−⇒ 1 * neáu x −1 -Trang 30 - ∃ c∈(0,x) : x ee x c 1−= do c∈(0,x) ⇒c < 0 ⇒ec < e0 = 1 ⇒ 11 <− x e x (vì x −⇒ 1 Vaäy trong moïi tröôøng hôïp ta luoân coù : ex≥1+x ; x∈R ∀ Ví duï 6 : Chöùng minh raèng neáu x > 0 thì ( 1+ x 1 ) x+1 > (1+ x 1 )x Giaûi : Ñaët f(x) = ln (1+ x 1 )x = x ln x x 1+ = x [ln (x + 1) – ln x ] vôùi x > 0 Ta coù : f ‘ ( ) = ln (x + 1 ) – ln x - x x+1 1 Xeùt haøm soá g(t) = ln t lieân tuïc treân [x; x + 1] coù ñaïo haøm treân(x, x + 1) (vôùi x > 0) neân theo ñònh lyù Lagrange. c∈(x, x + 1) ta coù : ∃ xx xx −+ −+ )1( ln)1ln( = g ‘(c) = c 1 > x+1 1 f ⇒ ‘ (x) = ln (x + 1) – ln x - x+1 1 > 0 ∀ x > 0 t taêng treân (0 , + ⇒ ∞ ) ⇒ f (x + 1) > f (x) ∀ x > 0 ln( 1+⇒ x 1 ) x+1 > ln (1+ x 1 )x ln( 1+ x 1 ) x+1 > ln (1+ x 1 )x : ∀ x > 0 (ñ p c m) Ví duï 7: Cho f lieân tuïc treân [a, b], khoâng tuyeán tính vaø coù ñaïo haøm f ‘ bò chaën . Chöùng minh toàn taïi soá c ∈ (a ,b) : >)(' cf ab afbf − − )()( . Giaûi: Ta phaân hoaïch ñoaïn [a,b] bôûi n+1 ñieåm chia: xo = a < x1 < x2 <………< xn = b AÙp duïng ñònh lyù lagrange treân caùc ñoan [xi ,xi+1 ] thì toàn taïi ci ∈ (xi ,xi+1) : -Trang 31 - )()( afbf − = ))( on fxxf − = ( )∑− = + − 1 0 1 ()( n i ii xfxf ≤ ( ) ( )∑− = + − 1 0 1 n i ii xfxf =∑− = + − 1 0 111 )(' n i i xxcf Vì f khoâng tuyeán tinh neân toàn taïi caùch phaân haïch maø )(' 1cf lôùn nhaát taïi c = xi ñoù , neân : abcfxxcfafbf n i ii −=−<− ∑− = + )(')(')()( 1 0 1 Vaäy toàn taïi c∈(a,b) ñeå : ab afbfcf − −> )()()(' 1 Ví duï 8 : Cho a < b < c . Chöùng minh raèng : 3.a < a + b + c - cabcabcba a −−−++ 22' ccabcabcbacba a 322' <−−−+++++< Giaûi : Xeùt f(x) = (x – a)(x – b)(x – c) = x3 – (a+b+c)x2 +(ab+bc+ca)x – abc f(a) = f(b) = f(c) = 0 ⇒ Theo ñònh lyù Lagrange thì ∃ x1,x2 sao cho : a < x1 < b < x2 <c thoaõ maõn : f(b) – f(a) = (b-a).f’(x1) , f(c) – f(b) = (c - b).f’(x2) f’(⇒ 1) = f’(x2) = 0 maø f’(x) = 3x2 – 2x(a+b+c)+ab+bc+ca neân 3 3 222 2 222 1 cabcabcbacbax cabcabcbacbax −−−+++++= −−−++−++= Do a < x1 < x2 < c neân 3a < 3x1 < 3x2 < 3c Ví duï 9 : Cho n∈z+ : Chöùng minh raèng ne xxn 2 11 <− ∀ x∈(0,1) Giaûi : Ta coù ne xxn 2 11 <− ∀ x∈(0,1) -Trang 32 - x⇔ 2n(1 –x) < ne2 1 ∀ x∈(0,1) x⇔ 2n.2n(1 – x) < e 1 Ta coù : x2n.2n(1 – x) = )22(...... 2 nxnxxx n −321 ≤ 1212 12 2 12 )22(2 ++ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ + −+ nn n n n nxnnx Ta seõ chöùng minh en n n 1 12 2 12 <⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + + ⇔ (2n+1)[ln(2n+1) – ln(2n)] >1 ⇔ ln(2n+1) – ln(2n) > 12 1 +n Xeùt haøm f(x) = lnx khaû vi treân (2n,2n+1) Theo ñònh lyù Lagrange thì ∃ c∈(2n,2n+1) Ñeå f’(c) = f(2n+1) – f(2n) ⇔ c 1 = ln(2n+1) – ln(2n) do 2n < c < 2n+1 neân ⇔ c 1 > 12 1 +n ln(2n+1) – ln(2n) >⇒ 12 1 +n Vaäy ne xx n 2 11 <− ∀ x∈(0,1) II/- PHÖÔNG PHAÙP CHUNG : * Baøi toaùn : Chöùng minh baát ñaúng thöùc coù daïng : Veá (I) < Veá (II) < Veá(III) * Phöông phaùp giaûi : _ Bieán ñoåi baát ñaúng thöùc phaûi chöùng minh thaønh daïng sao cho : Veá (II) = ab afbf − − )()( _ Töù ñoù coù haøm f(x) treân [a,b] _ AÙp duïng ñònh lyù Lagrange cho haøm soá f(x) treân [a,b] ab afbfxfbac − −=∈∃ )()()(':),( = Veá (II) _ do c∈(a,b) a < c < b ⇒ -Trang 33 - ⇒Veá (I) < f’(c) < Veá (III) ⇒Veá (I) < Veá (II) < Veá (III) -Trang 34 - KEÁT LUAÄN Ñeà taøi naøy keát thuùc vôùi naêm chöông nhöng cô baûn ñaõ ñaït ñöôïc nhieäm vuï ñöôïc ñaët ra cho ñeà taøi.Trong chöông II cuûa ñeà taøi , coù 2 ví duï trình baøy caùch tìm nghieäm cuûa phöông trình khi ta bieát ñöôïc khoaûng toàn taïi cuûa nghieäm baèng phöông phaùp löôïng giaùc hoùa.Ñoù laø moät trong nhöõng höôùng coù theå phaùt trieån tieáp cuûa ñeà taøi .Maët khaùc ñaây laø moät ñeà taøi söu taäp nhieàu ñeà thi mangø tính khoù neân noù laø moät taøi lieäu raát boå ích cho caùc sinh vieân laøm tö lieäu thi Olympic toaùn,vaø taøi lieäu naøy seõ giuùp cho caùc baïn taân sinh vieân hoïc vaø hieåu veà caùc ñònh lyù Bonxano-Cauchy,Roll,Lagange moät caùch deå daøng hôn.Tuy nhieân ñeà taøi khoâng traùnh khoûi sai xoùt ,raát mong söï ñoùng goùp yù kieán cho ñeà taøi hoaøn thieän hôn. TAØI LIEÄU THAM KHAÛO 1.Leâ Ngoïc Laêng-Nguyeãn Vaên Maäu Olympic Toaùn sinh vieân. –hoäi Toaùn Hoïc Vieät Nam 2004 2.Phan Huy Khaûi Toaùn naâng cao giaûi tích taäp I,II,III-NXB Haø Noäi 2003 3. Vuõ Tuaán Giaûi Tích I,II-NXB ÑHSP Haø Noäi 1980 Trang36