Luận văn Ánh xạ đơn điệu và áp dụng vào các bài toán cân bằng kinh tế

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM -------- -------- NGÔ THỊ VIỆT HẰNG ÁNH XẠ ĐƠN ĐIỆU VÀ ÁP DỤNG VÀO CÁC BÀI TOÁN CÂN BẰNG KINH TẾ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2008 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM -------- -------- NGÔ THỊ VIỆT HẰNG ÁNH XẠ ĐƠN ĐIỆU VÀ ÁP DỤNG VÀO CÁC BÀI TOÁN CÂN BẰNG KINH TẾ Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC TS. NGUYỄN VĂN QUÝ THÁI NGUYÊN – 2008 MỤC LỤC Mở đầu ....................................................................................................1 Chƣơng 1: TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU TRONG KHÔNG GIAN HILBERT 1.1. Không gian Hilbert thực ......................................................................3 1.2. Tập lồi và hàm lồi ...............................................................................7 1.3. Toán tử đơn điệu .................................................................................14 1.3.1. Các định nghĩa về toán tử đơn điệu ...................................................15 13.2. Toán tử đơn điệu tuần hoàn ...............................................................19 1.3.3. Toán tử đơn điệu cực đại ..................................................................21 Chƣơng 2: BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VỚI TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU 2.1. Bất đẳng thức biến phân ......................................................................33 2.2. Bất đẳng thức biến phân với toán tử đơn điệu .......................................39 2.3. Bất đẳng thức biến phân với ánh xạ đa trị.............................................46 2.4. Bất đẳng thức biến phân và các bài toán liên quan ................................49 Chƣơng 3: MÔ HÌNH NASH – COURNOT VỚI TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU 3.1. Phát biểu mô hình ...............................................................................55 3.2. Mô hình Nash – Cournot với bài toán cân bằng ....................................56 3.3. Mô hình Nash – Cournot với bài toán bất đẳng thức biến phân..............57 3.4. Mô hình Nash – Cournot với toán tử đơn điệu ......................................58 KẾT LUẬN ..............................................................................................65 TÀI LIỆU THAM KHẢO..........................................................................66 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1 MỞ ĐẦU Ánh xạ đơn điệu là một trong những lĩnh vực của giải tích hiện đại đã và đang được rất nhiều nhà toán học hàng đầu thế giới nghiên cứu. Đặc biệt phải kể đến như: R. T. Rockafellar, F. E. Browder, (Xem [5], [14]). Bên cạnh các kết quả đặc biệt có ý nghĩa về mặt lý thuyết, ánh xạ đơn điệu là một trong những công cụ được sử dụng nhiều và rất có hiệu quả trong lĩnh vực toán ứng dụng như lĩnh vực tối ưu hóa. Nó giúp ích cho việc chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm cho rất nhiều các lớp bài toán cân bằng, bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán tối ưu. Đề tài của bản luận văn này là nghiên cứu về toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert thực và ứng dụng của nó trong việc khảo sát các bài toán bất đẳng thức biến phân và đặc biệt là mô hình kinh tế nổi tiếng Nash - Cournot. Vì thế, đây là một đề tài vừa có ý nghĩa về mặt lý thuyết, đồng thời vừa có ý nghĩa thực tiễn cao. Nội dung chính của bản luận văn là trình bày một cách hệ thống các kiến thức cơ sở có liên quan; khái niệm, tính chất và các điều kiện cho các toán tử đơn điệu; áp dụng toán tử đơn điệu trong bài toán bất đẳng thức biến phân và mô hình kinh tế Nash - Cournot. Ngoài phần mở đầu, kết luận và các tài liệu tham khảo, các kết quả nghiên cứu trong bản luận văn được trình bày thành ba chương với tiêu đề: Chương 1: Toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert. Chương 2: Bất đẳng thức biến phân với toán tử đơn điệu. Chương 3: Mô hình Nash - Cournot với toán tử đơn điệu. Nội dung chính của các chương là: Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ sở về giải tích lồi phục vụ cho việc nghiên cứu toán tử đơn điệu. Sau đó, trình bày các khái niệm về toán tử đơn điệu, đơn điệu tuần hoàn và đơn điệu cực đại. Song song với các khái niệm này là một số kết quả về tính chất, điều kiện của toán tử đơn điệu. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 2 Chương 2: Trình bày về bài toán bất đẳng thức biến phân và các bài toán liên quan. Sau đó, trình bày một số kết quả về việc sử dụng toán tử đơn điệu trong việc chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân. Chương 3: Trình bày về mô hình kinh tế Nash - Cournot trong lĩnh vực sản xuất kinh doanh. Sau đó, sử dụng toán tử đơn điệu để nghiên cứu về sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm cho mô hình. Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên. Để hoàn thành được bản luận văn này, trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Nguyễn Văn Quý, người thầy đã trực tiếp tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm và hoàn thiện bản luận văn. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy giáo, các cô giáo trong trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên, Viện Toán học Việt Nam, trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ tôi hoàn thành khóa học. Tôi xin cảm ơn tới cơ quan, gia đình và bạn bè đã luôn động viên, ủng hộ giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn tốt nghiệp. Thái Nguyên, tháng 09 năm 2008 Ngô Thị Việt Hằng Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 3 Chương 1 TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Nội dung chính của chương bao gồm: một số kiến thức cơ sở về không gian Hilbert thực và giải tích lồi. Tiếp sau đó là các khái niệm về ánh xạ đơn điệu, đơn điệu tuần hoàn, đơn điệu cực đại. Đồng thời trình bày một số kết quả liên quan đến tính đơn điệu của các toán tử đơn trị và đa trị trong không gian Hilbert. 1.1. Không gian Hilbert thực Chúng ta bắt đầu từ không gian đơn giản nhất là không gian véc tơ tuyến tính trên trường số thực. Đó là một tập hợp khác rỗng X mà trên đó có trang bị hai phép toán: phép toán cộng hai véc tơ và phép toán nhân một số thực với một véc tơ: 1 2 1 2, , ; , , . x x X x x X x X x X R           Nếu trên X được trang bị một tô pô  là một họ các tập con của X thỏa mãn các tính chất: 1. ; X   ; 2. ,A B A B      ; 3.  t t t T A t T A       , ( T là tập chỉ số bất kỳ) thì X được gọi là không gian véc tơ tô pô và thường ký hiệu là  ,X  .  Nếu trên X được trang bị một metric ( . ) với các tính chất: 1. ( , ) 0, , ; ( , ) 0x y x y X x y x y     ; 2. ( , ) ( , ), ,x y y x x y X   ; 3. ( , ) ( , ) ( , ), , ,x y x z y z x y z X      thì X được gọi là không gian metric. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 4  Nếu trên X được trang bị một chuẩn || , || với các tính chất: 1. || || 0, ; || || 0 0x x X x x      ; 2. || || | ||| ||, ,x x x X R     ; 3. || || || || || ||, ,x y x y x y X     thì X được gọi là một không gian định chuẩn. Định nghĩa 1.1. Cho X là một không gian tuyến tính thực. X được gọi là không gian tiền Hilbert nếu: với mọi ,x y H , xác định một số thực ký hiệu là ,x y gọi là tích vô hướng của ,x y X , thỏa mãn các tính chất sau: 1. , ,x y y x ; 2. , , ,x y z x z y z   ; 3. , , ,x y x y R    ; 4. , 0x x  nếu 0x  , , 0x x  nếu 0x  . Mệnh đề 1. 1 (Xem [4]). Mọi không gian tiền Hilbert X là không gian tuyến tính định chuẩn, với chuẩn được xác định: , ,x x x x X   . Định nghĩa 1.2. Cho X là một không gian định chuẩn. Dãy  nx X được gọi là dãy cơ bản trong X nếu : , lim 0n m m n x x    . Nếu trong X,, mọi dãy cơ bản đều hội tụ, tức là 0n mx x  kéo theo sự tồn tại 0x X sao cho 0nx x , thì X được gọi là không gian đủ. Định nghĩa 1.3. Không gian tiền Hilbert và đủ gọi là không gian Hilbert, trong luận văn này ta thống nhất ký hiệu H là một không gian Hilbert thực. Định nghĩa 1.4. Hai véc tơ ,x y H được gọi là hai véc tơ trực giao với nhau, kí hiệu là x y , nếu , 0x y  . Từ định nghĩa dễ dàng suy ra các tính chất đơn giản sau đây: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 5 1. 0 ,x x X   ; 2. x y y x   ; 3.  1 2 1 1 2 2, , ..., ...n n nx y y y x y y y       , *, , 1,2,...,in N R i n   ; 4. ,n nx y y y  khi n thì x y . Định nghĩa 1.5. Cho tập M H , phần bù trực giao của M , kí hiệu M  , là tập hợp sau:  : ,M x H x y y M      . Định lý 1.1 (Định lý F.Riesz). Với mỗi véc tơ a cố định thuộc không gian Hilbert H , hệ thức:   , .f x a x (1.1) Xác định một phiếm hàm tuyến tính liên tục  f x trên không gian H , với || || .f a (1.2) Ngược lại, bất kỳ phiếm hàm tuyến tính liên tục ( )f x nào trên không gian Hilbert H cũng đều có thể biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng ( 1.1 ), trong đó a là một véc tơ của H thỏa mãn (1.2). Chứng minh. Phần thứ nhất của định lý, ta dễ chứng minh được vì   ,f x a x rõ ràng là một phiếm hàm tuyến tính và do :   , .f x a x a x   (1.3)   , .f a a a a a   (1.4) nên phiếm hàm đó giới nội và thỏa mãn (1.2). Để chứng minh phần ngược lại, ta xét một phiếm hàm tuyến tính liên tục ( )f x trên không gian Hilbert H . Tập hợp   : 0M x H f x   Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 6 rõ ràng là một không gian con đóng của H . Nếu  0M   thì dựa vào cách phân tích x y z  với ,y M z M   , ta thấy rằng 0z  , cho nên     0f x f y  với mọi x H , do đó   0,f x x , nghĩa là ta có cách biểu diễn (1.1) với 0a  . Vậy chỉ còn phải xét trường hợp  0M   . Ta có  0 0f x  , nên véc tơ :  0 0 0 0 0 , f x a x x x   . Với mọi x H ,     00 f x y x x M f x    vì          0 0 0 f x f y f x f x f x    . Mà 0x M  , vậy 0, 0y x  , tức là        0 0 0 0 00 0 , , . 0 f x f x x x x x x x x f x f x     hay:    0 0 0 0 , , , f x f x x x a x x x   . Như vậy,  f x có dạng (1.2). Cách biểu diễn đó là duy nhất, vì nếu   ,f x a x thì ', 0a a x  , nghĩa là ' 0a a  . Cuối cùng do (1.3) và (1.4) nên phải có (1.2) như trên. Định lí được chứng minh.  Định lý vừa chứng minh cho phép lập một tương ứng một đối một giữa các phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên H và các véc tơ a H . Tương ứng đó là một phép đẳng cự tuyến tính, cho nên nếu ta đồng nhất hóa phiếm hàm f với véc Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 7 tơ a sinh ra nó thì ta có *H H , nghĩa là : không gian Hilbert trùng với không gian liên hợp của nó. Cho A là toán tử tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert H . Với mỗi y H cố định ta xét phiếm hàm :f H R được xác định như sau:   , ,f x Ax y x H  . Dễ thấy f là phiếm hàm tuyến tính, liên tục trong H nên theo định lý 1.1 về dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục, tồn tại duy nhất *y H để *, , ,Ax y x y x H   . Định nghĩa 1.6. Cho A là một toán tử trong không gian Hilbert H , ánh xạ * :A H H xác định như sau: * *,y H A y y   trong đó: * *, , ,Ax y x A y x y  khi đó *A được gọi là toán tử liên hợp của toán tử A . Nhận xét 1.1. Toán tử liên hợp *A nếu tồn tại là duy nhất. 1.2. Tập lồi và hàm lồi Định nghĩa 1.7. Tập D H được gọi là tập lồi nếu với mọi 1 2,x x D và mọi số thực 0 1  ta đều có:  1 21x x D    . Nhận xét 1.2. Theo định nghĩa, tập  được xem là tập lồi . Định nghĩa 1. 8. Tập K H được gọi là nón có đỉnh tại 0 nếu: , 0x K x K      . K H được gọi là nón có đỉnh tại 0x nếu 0K x là nón có đỉnh tại 0 . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 8 Định nghĩa 1. 9. Nón K có đỉnh tại 0x được gọi là nón lồi nếu K là một tập lồi, có nghĩa là: , , , 0x y K x y K         . Định nghĩa 1. 10. Cho K  là tập lồi trong H và điểm x K , nón pháp tuyến của K tại x là một tập hợp được kí hiệu và xác định như sau:    * * * */ : , 0,N x K x H x x x x K      . Nhận xét 1. 3. (a) Khi  K x thì  /N x K H . (b)  /N x K là một nón lồi. Cho tập D H là tập lồi khác rỗng và hàm  :f D R   . Ta có các định nghĩa về các dạng hàm lồi sau: Định nghĩa 1.11. Hàm f được gọi là (i) Lồi trên D nếu với mọi 0 1, ,x y D    , ta có :         1 1f x y f x f y        ; (ii) Lồi chặt trên D nếu với  0,1  và , ,x y D x y   ta có:         1 1f x y f x f y       ; (iii) Lồi mạnh trên D nếu với  0, 1 , ,x y D    , tồn tại , 0R   , ta có            21 1 1 1 2 f x y f x f y x y             . Nhận xét 1.4. Từ định nghĩa 1.11 ta dễ thấy (ii)  (i), (iii)  (i). Định nghĩa 1.12. Hàm f được gọi là lõm trên D nếu f là hàm lồi trên D . Định nghĩa 1.13. Trên đồ thị (epigraph) của hàm f, ký hiệu là epif , được định nghĩa như sau :     , :epif x r D R f x r    . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 9 Định nghĩa 1.14. Miền hữu hiệu(effective domain) của hàm f , ký hiệu là domf , được định nghĩa như sau :   :domf x D f x    . Định nghĩa 1.15. Hàm f được gọi là chính thường ( proper), nếu domf   và  f x   với mọi x D . Định nghĩa 1.16. Hàm f được gọi là đóng nếu epif là tập đóng trong H R . Định nghĩa 1.17. Với  f x   , hàm f được gọi là nửa liên tục dưới tại x nếu với mọi 0  , tồn tại lân cận x K của x sao cho :    ,f x f y y U    Với ( )f x   , hàm f được gọi là nửa liên tục dưới tại x nếu với mọi 0N  , tồn tại lân cận U của x sao cho :  f y N , y U  . Định nghĩa 1.18. Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới trên H nếu f nửa liên tục dưới tại mọi x H . Định nghĩa 1.19. Với  f x   , hàm f được gọi là nửa liên tục trên tại x nếu với mọi 0  , tồn tại lân cận U của x sao cho :    f x f y  , y U  . Với ( )f x   , hàm f được gọi là nửa liên tục trên tại x nếu với mọi 0N  , tồn tại lân cận U của x sao cho :  f y N  , y U  . Định nghĩa 1.20. Hàm f được gọi là nửa liên tục trên trên H nếu f nửa liên tục trên tại mọi x H . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 10 Nhận xét 1.5. Hàm f liên tục tại x H nếu và chỉ nếu f nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới tại x . Định lí 1.2 (Xem [1]). Giả sử  :f H R   là hàm lồi chính thường trên H . Khi đó, các khẳng định sau là tương đương: (i) f bị chặn trên trong một lân cận của x H ; (ii) f liên tục tại x H ; (iii)  int epif  ; (iv)  int domf  và f liên tục trên  int domf  . Bây giờ, ta giả sử hàm  :f H R   . Định nghĩa 1.21. Cho hàm f xác định trên một lân cận của x H , hàm f được gọi là khả vi tại x , nếu tồn tại *x H sao cho:     *, lim 0 z x f z f x x z x z x      . Hàm f được gọi là hàm khả vi nếu nó khả vi tại mọi điểm x H . Nhận xét 1.6. Điểm *x nếu tồn tại sẽ duy nhất và được gọi là đạo hàm của hàm f tại x , thường kí hiệu là  f x hoặc  f x . Nhận xét 1.9. Giả sử  : nf R R   là hàm lồi, chính thường và x domf . Nếu f khả vi tại x thì với mọi ny R , 0y  , ta có :       0 , lim 0 f x y f x f x y y         và đạo hàm tại x theo phương y là :         0 , lim , f x y f x f x y f x y         , nên Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 11    , , 0 f x y f x y y     . Suy ra ( , ) ( ),f x y f x y   với mọi y . Lấy  1,2,...,iy e i n  là vectơ đơn vị thứ i của nR , ta có :     , /i if x e f x x    , 1,2,...,i n . Vậy      1 , / n i i i f x y y f x x      . Từ đó ta có hai mệnh đề sau : Mệnh đề 1.2 (Xem [2]). Giả sử  : nf R R   là hàm lồi , chính thường và x domf . Hàm f khả vi tại x khi và chỉ khi tồn tại * nx R sao cho  ' *, ,f x y x y với mọi y ,  intx domf và   *f x x  . Mệnh đề 1.3 (Xem [2]). Cho  : nf R R   là hàm khả vi và nD R . Khi đó , ba điều kiện sau là tương đương: (a)  là hệ số lồi của f trên D; (b)       2' , 2 f y f x f x y x x y       ; (c)     2 , 2 f y f x y x x y       . Định nghĩa 1.22. Giả sử f là hàm lồi trên H . Phiếm hàm * *x H được gọi là dưới gradient (subgradient) của hàm f tại x H nếu     *,f x f x x x x   , x H  . Định nghĩa 1.23. Tập tất cả dưới gradient của f tại x được gọi là dưới vi phân (subdifferential) của f tại x , ký hiệu là  f x , tức là :       * * *: , ,f x x H f x f x x x x x H        . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 12 Mệnh đề 1.4 . (Xem [1]). Giả sử f là hàm lồi chính thường trên H , x domf . Khi đó,  f x  khi và chỉ khi  , .f x nửa liên tục dưới tại 0 , trong đó  ,.f x là đạo hàm tại x theo phương bất kì của hàm f . Cho hàm f xác định trên tập Q H . Xét bài toán: (P)   min :f x x Q Định nghĩa 1.24. a) Điểm x Q được gọi là điểm chấp nhận được của bài toán (P) . b) Điểm x Q được gọi là nghiệm tối ưu địa phương của bài toán (P), nếu tồn tại một lân cận U của x sao cho:    f x f x , x Q U   . b) Điểm x Q được gọi là nghiệm tối ưu toàn cục của bài toán (P) nếu:    f x f x , x Q  . Nhận xét 1.8. Hiển nhiên điểm x Q là nghiệm tối ưu toàn cục của bài toán (P) thì x là nghiệm tối ưu địa phương của bài toán (P) . Nếu tập Q là một tập lồi và f là một hàm lồi trên Q thì bài toán (P) được gọi là một bài toán qui hoạch lồi. Nếu Q = H thì bài toán (P) được gọi là bài toán tối ưu không ràng buộc. Mệnh đề 1.5. (i) Nếu bài toán (P) là một bài toán qui hoạch lồi thì mọi nghiệm tối ưu địa phương đều là nghiệm tối ưu toàn cục. (ii) Giả sử trong bài toán (P) ta có Q = H và f là một hàm lồi. Để x là nghiệm tối ưu toàn cục của bài toán (P), điều kiện cần và đủ là :  0 f x . Chứng minh. (i) Giả sử x Q là nghiệm tối ưu địa phương của bài toán (P), theo định nghĩa, tồn tại lân cận U của điểm x sao cho: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 13 ( ) ( ),f x f x x Q U    . Trên Q ta lấy điểm x tùy ý, với 0  đủ nhỏ ta có: (1 )x x U    . Từ đó:  ( ) (1 ) ( ) (1 ) ( )f x f x x f x f x         hay: ( ) ( ) ( ) ( )f x f x f x f x   . Chứng tỏ x là nghiệm tối ưu toàn cục. (ii) x là nghiệm tối ưu toàn cục của (P)     f x f x x X        0 0, x x f x f x x X        0 f x  ( theo Định nghĩa 1.22). Mệnh đề được chứng minh.  Định nghĩa 1.25. Cho f là hàm xác định trên H , có domf   . Hàm liên hợp với hàm f , ký hiệu là *f , là một hàm xác định trên *H và được định nghĩa như sau:     * * *sup , x f x x x f x  . (Cận trên trong trường hợp này chỉ lấy theo x domf ). Ví dụ 1.1. Xét hàm    xf x e x R  , đây là hàm lồi chính thường đóng. Ta có:      * * * *sup , supx x x R x R f x x x e x x e       , *x R . Ta xác định cận trên của biểu thức : * .xx x e (1.5) (a) Nếu * 0x  : (1.5) có thể nhận giá trị lớn nhất bằng cách lấy x là số âm có trị tuyệt đối rất lớn. Do đó, cận trên của (1.5) bằng  (b) Nếu * 0x  : Xét hàm *( ) xg x x x e  ta có:  *( ) ;x xg x x e g x e     ,   *0 lng x x x    ,   ** ln *ln 0xg x e x      . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 14 Do đó tại *lnx x , ( )g x đạt giá trị cực đại. Vậy cận trên của (1.5) là * * *lnx x x hay  * * * * *lnf x x x x  . (c) Nếu * 0x  thì cận trên của (1.5) bằng 0 . Tóm lại :   * * * * * * * * ln 0 0 0 0 khi khi khi x x x x f x x x          Mệnh đề 1.6. (Xem [1]). Cho f là hàm xác định trên H, domf   . Khi đó, *f là hàm lồi đóng * yếu. Mệnh đề 1.7. (Xem [1]). Cho f là hàm xác định trên H, domf   , ta có **f f , trong đó          * * * ** * * * *sup , x H f x f x x x f x     . Mệnh đề 1.8. (Xem [1]). Nếu f là hàm lồi chính thường đóng trên H thì *f là hàm lồi chính thường. Định lý 1.2 (Định lý Fenchel – Moreau – Xem [1]). Cho hàm  : ,f H    , khi đó **f f khi và chỉ khi f là hàm lồi đóng. Sau đây chúng ta sẽ trình bày các khái niệm cơ bản và một số kết quả quan trọng về toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert. 1.3. Toán tử đơn điệu Như chúng ta đã biết, ánh xạ F từ không gian X vào không gian Y là đơn trị nếu ứng với mỗi phần tử x X , xác định duy nhất một phần tử ( )F x y Y  và ta thường ký hiệu là: :F X Y . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 15 Ánh xạ F từ không gian X vào không gian Y là đa trị nếu ứng với mỗi phần tử x X , thì ( )F x là một tập con của không gian Y (có thể là tập rỗng) và ta thường hay ký hiệu là: : 2YF X  hay : ( )F X Y . Hiển nhiên ánh xạ đơn trị là một trường hợp riêng của ánh xạ đa trị. Trong bản luận văn này ta qui ước: nếu chỉ nói ánh xạ (toán tử) thì đó là ánh xạ đơn trị. Trường hợp ánh xạ đa trị sẽ được nói rõ. Đối với ánh xạ đơn trị F thì ánh xạ ngược: 1 :F Y X  được định nghĩa như sau:  1( ) : ( )F y x X F x y    . Nếu F là ánh xạ đa trị thì:  1( ) : ( )F y x X y F x    . 1.3.1. Các định nghĩa về toán tử đơn điệu Định nghĩa 1.26. Toán tử  * *:T H H H H  được gọi là toán tử đơn điệu nếu:    , 0T x T y x y   , ,x y H  . Ví dụ 1.2 . Cho toán tử T đơn trị xác định trên R như sau:   ,T x x x R   . Khi đó, T là toán tử đơn điệu vì với ,x y R  có :       2 , , 0T x T y x y x y x y x y        . Định nghĩa 1.27. Toán tử đa trị : 2HT H  được gọi là toán tử đơn điệu nếu: , 0u v x y   ,    , , ,x y domT u T x v T y      , trong đó,   :domT z H T z   . Ví dụ 1.3. Xét toán tử đa trị trong R : Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 16  1 0 ( ) 0. khi khi x T x x       Hiển nhiên ta có: , 0u v x y   ,    , , ,x y domT u T x v T y      , Khi đó, toán tử 1 : 2HT H  được xác định như sau:     1 : , .T y x H y T x y H      Ví dụ 1.4. Cho hàm lồi  : ,f H    , khi đó ánh xạ dưới vi phân :T f H H   của f là toán tử đa trị đơn điệu. Chứng minh. Với mọi    , , ,x y domT u T x v T y   , ta cần chứng minh rằng: , 0u v x y   . Thực vậy, theo định nghĩa dưới vi phân của hàm lồi, ta có    u T x f x  khi và chỉ khi: ( ) ( ) , ,f z f x u z x z H     . Thay z y ta có :    ( ) ( ) , ,f y f x u y x f y f x u x y        (1.6) Tương tự,    v T y f y  khi và chỉ khi :     , ,f z f y v z y z H     Thay z x ta có :     ,f x f y v x y   (1.7) Cộng hai bất đẳng thức (1.6) và (1.7), ta được: , , 0v x y u x y    , 0v u x y    hay , 0u v x y   Vậy T f  là toán tử đơn điệu. Điều phải chứng minh.  Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 17 Định nghĩa 1.28. Toán tử đa trị : 2HT H  được gọi là đơn điệu chặt nếu: , 0u v x y   với    , , , ,x y domT x y u T x v T y       . Định nghĩa 1.29. Toán tử đa trị : 2HT H  được gọi là đơn điệu mạnh nếu với hằng số , 0R   ,    , , ,x y domT u T x v T y      , ta có 2 ,x y u v x y   . Mệnh đề 1.9. Toán tử tuyến tính :A H H là đơn điệu khi và chỉ khi , 0Az z  , z H  . Chứng minh. Hiển nhiên domA H và A là toán tử đơn trị. Theo định nghĩa, A là toán tử đơn điệu khi và chỉ khi: , 0Ax Ay x y   , ,x y H  , hay  , 0A x y x y   , ,x y H  . Đặt z x y  , ta có : , 0Az z  , z H  . Mệnh đề được chứng minh.  Mệnh đề 1.10. Các tính chất sau là luôn đúng. (i) : 2HT H  đơn điệu khi và chỉ khi 1 : 2HT H  là đơn điệu. (ii) Nếu  : 2 1, 2HiT H i  , là các toán tử đơn điệu và nếu  0 1,2i i   , thì 1 1 2 2T T  cũng là toán tử đơn điệu. (iii) Nếu :A H H là toán tử tuyến tính, b H , và nếu :T H H là toán tử đơn điệu thì    *S x A T Ax b  Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 18 cũng là toán tử đơn điệu. Ngoài ra, nếu A là đơn ánh và T là toán tử đơn điệu chặt thì S là toán tử đơn điệu chặt. ở đây, *A là toán tử liên hợp của A. Chứng minh. (i) Theo định nghĩa, toán tử T là đơn điệu khi và chỉ khi: , 0u v x y   ,    , , ,x y domT u T x v T y      , hay , 0x y u v   ,    1 1 1, , ,u v domT x T u y T v        . Điều này cho thấy 1T  là toán tử đơn điệu. (ii) Hiển nhiên ta có:       1 1 2 2 1 1 2 2:dom T T z H T z T z       = 1 2domT domT  . Giả sử 1 2,x y domT domT  và       1 1 2 2 1 1 2 2u T T x T x T x      ,       1 1 2 2 1 1 2 2v T T y T y T y      . Lấy  i iu T x , ( ) ( )i iv y T y  1,2i  sao cho: 1 1 2 2u u u   , 1 1 2 2v v v   . Do 1 2,T T là các toán tử đơn điệu nên ta có: 1 1, 0,u v x y   (1.8) 2 2, 0.u v x y   (1.9) Nhân bất đẳng thức (1.8) với 1 và bất đẳng thức (1.9) với 2 , rồi cộng lại, ta được : , 0u v x y   . Điều đó chứng tỏ 1 1 2 2T T  là toán tử đơn điệu. (iii) Lấy Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 19 ,x y domT ,    *u S x A T Ax b   ,    *v S y A T Ay b   . Chọn: 1 ( )u T Ax b  và  1v T Ay b  sao cho: * 1u A u , * 1v A v . Do tính đơn điệu của T , ta có:    * *1 1 1 1, , , 0v u y x A v A u y x v u Ay b Ax b           . Từ đó chứng tỏ S là toán tử đơn điệu. Giả sử A là đơn ánh và T là toán tử đơn điệu chặt. Khi đó, nếu x y thì Ay Ax , kéo theo Ay b Ax b   . Giả sử 1 1, , ,u v u v được lấy như ở trên, vì T là toán tử đơn điệu chặt nên:    1 1, 0v u Ay b Ax b     . Suy ra : , 0v u y x   . Từ đó chứng tỏ S là toán tử đơn điệu chặt. Mệnh đề được chứng minh.  1.3.2. Toán tử đơn điệu tuần hoàn Cho T là toán tử đa trị trên nR , tức là với mỗi nx R thì  T x là một tập ( có thể bằng rỗng ) . Như thường lệ, ta ký hiệu miền xác định của T là :   :ndomT x R T x   , và đồ thị của T là :       , :n nG T x y R R y T x    . Định nghĩa 1.30. Cho : 2 nn RT R  là toán tử đa trị và tập hợp khác rỗng C domT . Ta nói T là toán tử đơn điệu tuần hoàn trên C, nếu với mọi số nguyên không âm m và mọi cặp    ,i ix y G T , ix C  0, 1, 2,...,i m ta có: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 20 1 0 0 2 1 1 1 1 0, , ... , , 0m m m m mx x y x x y x x y x x y          . Nhận xét 1.9. Nếu T là toán tử đơn điệu tuần hoàn thì T là toán tử đơn điệu . Mệnh đề 1.11. Giả sử : 2 nn RS R  là một toán tử đa trị . Điều kiện cần và đủ để toán tử S đơn điệu tuần hoàn là tồn tại một hàm lồi, đóng, chính thường f trên nR sao cho    S x f x với mọi nx R . Chứng minh. Điều kiện đủ : Giả sử f là hàm lồi, đóng chính thường,    S x f x với mọi x , dùng định nghĩa của dưới vi phân thấy rằng: với m N  , i nx R  ,  i iy f x  , 0,1,2,...,i m ta có    1 0 0 1 0,x x y f x f x   ,    2 1 1 2 1,x x y f x f x   , ............................................    0 0,m m mx x y f x f x   . Cộng các bất đẳng thức trên, ta thu được: 1 0 0 2 1 1 0, , ... ,m mx x y x x y x x y                 1 0 2 1 0... 0mf x f x f x f x f x f x                  . Vậy theo định nghĩa, f là toán tử đơn điệu tuần hoàn,    S x f x với mọi x nên S là toán tử đơn điệu tuần hoàn. Điều kiện cần: Giả sử S là một toán tử đơn điệu tuần hoàn, ta cần chứng tỏ rằng tồn tại một hàm f là lồi, đóng, chính thường thỏa mãn    S x f x . Thật vậy, ta xác định hàm f trên nR như sau:    1 1 1 0 0sup , , ... , n m m m m m x R f x x x y x x y x x y          , Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 21 trong đó cận trên đúng được lấy trên tất cả các cặp    ,i ix y G S và các số nguyên dương m . Do f là bao trên của một họ các hàm aphin nên f là một hàm lồi đóng. Do S là một toán tử đơn điệu tuần hoàn nên:     0 0 0 1 1 1 0 0sup , , ... , 0 n m m m m m x R f x x x y x x y x x y           . Vậy f là hàm lồi, chính thường. Với bất kỳ cặp    *,x x G S , ta sẽ chỉ ra  *x f x . Muốn thế chỉ cần chỉ ra rằng với mọi  f x  và ny R , ta có:   *, .f y y x x   Thật vậy, do  f x  nên theo tính chất của cận trên đúng, sẽ tồn tại các cặp    ,i ix y G S , 1,2,...,i m và số nguyên dương m thoả mãn: 1 1 1 0 0, , ... ,m m m m mx x y x x y x x y         Theo định nghĩa của hàm f , ta được:    1 1 1 0 0sup , , ... , n m m m m m y R f y y x y x x y x x y          1 1 1 0 0, , ... ,m m m m my x y x x y x x y        1 1 1 1 0 0, , ... ,m m m m my x y x x y x x y         . Thay 1mx x  và 1 *my x  ta có:   * 1 0 0, , ... ,m mf y y x x x x y x x y       > *,y x x    . Điều này đúng với    *,x x G S  nên S f  . Mệnh đề được chứng minh. 1.3.3. Toán tử đơn điệu cực đại Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 22 Định nghĩa 1.31. Toán tử đa trị : 2HT H  là đơn điệu cực đại nếu T là toán tử đơn điệu, và đồ thị của nó không là tập con thực sự của đồ thị của bất cứ một toán tử đơn điệu nào khác. Ví dụ 1.4. Xét các toán tử : 2 ( 1, 2)RiT R i  cho bởi các công thức:         1 1 0 0 x T x x      ,    2 1 ,T x x R   . Dễ nhận thấy 1 2,T T đều là các toán tử đơn điệu. Tuy nhiên, 1T không phải là toán tử đơn điệu cực đại vì  1G T chứa thực sự trong  2G T . Mệnh đề 1.12. Giả sử toán tử : 2HT H  là đơn điệu. Khi đó, T là đơn điệu cực đại khi và chỉ khi, với mọi  ,a b H H  , nếu: , 0b u a x    , ( )x u G T  thì  b T a . Chứng minh. Giả sử T là đơn điệu cực đại mà ( )b T a . Ta mở rộng toán tử T thành toán tử T bằng cách:  ( ) ( )T a T a b  . Từ đây suy ra: ( ) ( ); ( ) ( )G T G T G T G T  là mâu thuẫn với giả thiết. Ngược lại, giả sử ( )b T a . Xét với mọi toán tử đơn điệu Tˆ có: ˆ( ) ( )G T G T . Hiển nhiên nếu ˆ( , ) ( )a b G T thì: , 0b u a x   ,  , ( )x u G T  Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 23 và suy ra ( ) ( , ) ( )b T a a b G T   . Nghĩa là ˆ( ) ( )G T G T . Điều này chứng tỏ T là toán tử đơn điệu cực đại. Mệnh đề được chứng minh.  Định nghĩa 1.32. Toán tử đa trị : 2HS H  được gọi là toán tử tràn khi và chỉ khi với mỗi v H tồn tại x H thoả mãn  v S x . Mệnh đề 1.13. Toán tử đa trị : 2HT H  là đơn điệu cực đại khi và chỉ khi T là toán tử đơn điệu cực đại ( 0  ). Chứng minh. Giả sử T là toán tử đơn điệu cực đại và 0  . Do Mệnh đề 1.10, T là toán tử đơn điệu. Để chứng minh rằng T là toán tử đơn điệu cực đại, ta sử dụng Mệnh đề 1.12. Giả sử  ,a b H H  thoả mãn: , 0b u a x   ,    ,x u G T  . Vì:    ,x u G T      1,u T x x u G T     , điều kiện đó kéo theo: 1 1 , 0b u a x     ,    1,x u G T  . Do T là toán tử đơn điệu cực đại, từ đó ta có  1b T a  . Suy ra   b T a . Vậy T là toán tử đơn điệu cực đại. Ngược lại, giả sử T là toán tử đơn điệu cực đại và 0  . Đặt T T , khi đó 1T T   sẽ là toán tử đơn điệu cực đại. Mệnh đề được chứng minh.  Định nghĩa 1.33. Miền ảnh của một toán tử đa trị : 2HT H  là tập hợp được kí hiệu là rgeT và được cho bởi công thức:   ( ) : ,rge T u H x H u T x     . Định lý 1.4 (Xem [5],[13]). Giả sử C H là một tập khác rỗng, lồi, đóng và : 2HT H  là toán tử đơn điệu. Khi đó, với mọi z H , tồn tại x C thoả mãn , ,x v y x z y x    ,    , ,y v G T y C    . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 24 Định lý 1.5 ( Định lý Minty). Cho : 2HT H  là toán tử đơn điệu và 0  . Khi đó, T là toán tử đơn điệu cực đại khi và chỉ khi I T là toán tử tràn, hay  rge I T H  . Chứng minh. Theo Mệnh đề 1.13, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử 1  . Điều kiện cần: Giả sử T là toán tử đơn điệu cực đại. áp dụng Định lý 1.4 cho C H , ta thấy rằng với mỗi z H , tồn tại x H sao cho: , ,x v y x z y x    ,    , ,y v G T y H    . Tức là với mỗi z H , tồn tại x H sao cho:  , 0v z x y x    ,    , ,y v G T y H    . Do tính đơn điệu cực đại của T và theo Mệnh đề 1.12 ta có:    z x T x  , hay  z x T x  . Từ đó suy ra:   z I T x  . Vậy I T là toán tử tràn, hay  rge I T H  . Điều kiện đủ: Giả sử  rge I T H  và  ,x u H H  thoả mãn: , 0, , ( ).u v x y y v G T     (1.10) Ta khẳng định rằng :  u T x . Thật vậy, vì  rge I T H  nên tồn tại H  sao cho:   u x I T    . Từ đó suy ra:  .u x T    (1.11) Lấy y  và v u x    ta được  v T  hay    ,y v G T . Kết hợp với (1.10) ta được : Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 25  , 0u u x x      . Từ đó suy ra x  . Mặt khác, do (1.11) ta có: ( )u x x T x   hay  u T x . Vậy, T là toán tử đơn điệu cực đại. Định lý được chứng minh.  Định lý 1.6. Cho hàm số  :f H   R là lồi, chính thường, nửa liên tục dưới. Khi đó ánh xạ đa trị : 2HT H  cho bởi công thức:    T x f x  là toán tử đơn điệu cực đại . Chứng minh. Giả sử  :f H   R là hàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới. Ta đã chứng minh T f  là toán tử đơn điệu (Ví dụ 1.4). Theo Định lý 1.5, ta chỉ cần chứng minh rằng I T là toán tử tràn. Thật vậy, với mỗi d H và F ta đặt:     21 , 2 dh x f x x d x   . Ta có  .dh là tổng của một hàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới, một hàm lồi mạnh, liên tục, và một hàm tuyến tính liên tục. Vì vậy  .dh là hàm lồi mạnh, chính thường, nửa liên tục dưới. Nếu y domf và  c f y , thì với mọi x H ta có:     ,f x f y c x y   . Do đó ta thu được: 21( ) ( ) || || , , 2 dh x f y x d x c x y         21 , , 2 dh x f y c y x c d x      . Mặt khác, vì: 2 21 1 , 2 2 x c d x x c d x      khi x  , nên: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 26  dh x  khi x  . Vậy  .dh thoả mãn điều kiện bức, theo nghĩa  dh x  khi x  . Do  .dh là bức và lồi mạnh nên bài toán bài toán:   min : ndh x x R có duy nhất nghiệm. Gọi *x là nghiệm này, khi đó  *0 dh x . Sử dụng Định lý Moreau-Rockafellar, ta có:    * * *0 dh x f x x d     . Từ đó suy ra: * *( )d x f x  . Do d là phần tử bất kỳ nên: I T I f    là toán tử tràn. Vậy, T là toán tử đơn điệu cực đại. Định lý được chứng minh.  Ví dụ 1.5. Xét hàm số : nf R R cho bởi công thức:  f x x . Đặt    T x f x  . Khi đó:     : || || 1 0; ( ) : || || 1 0. khi khi n n p R p x T x p R p x          Vì f là hàm lồi chính thường, nửa liên tục dưới, ta có T là toán tử đơn điệu cực đại (xem Định lý 1.6 ). Đặc biệt, với n=1 ta có:         1 0 1,1 0 1 0 khi khi khi x T x x x         . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 27 Định nghĩa 1.34. Toán tử đa trị : 2HT H  được gọi là bị chặn địa phương tại một điểm  x D T , nếu tồn tại một lân cận U của x sao cho tập hợp:     :T U T u u U   là một tập con bị chặn của H. Để phục vụ cho các kết quả dưới đây, theo [12], ta ký hiệu J là gradient của hàm 21( ) || || 2 h x x hay J còn được gọi là ánh xạ đối ngẫu gán mỗi x H thành một phần tử duy nhất  J x H sao cho:     22 ,x J x x J x  . Như vậy, J là ánh xạ một - một từ H vào H và liên tục từ tôpô mạnh vào tôpô * yếu. Hơn thế nữa, J còn là toán tử đơn điệu chặt. Từ kết quả ở trên ta có: nếu toán tử đa trị : 2HT H  là toán tử đơn điệu cực đại thì khi đó toán tử 1T  là đơn điệu. Ta ký hiệu khoảng biến thiên của T là  R T và được xác định:      1 ( ) :R T D T T x x H   . Mặt khác, nếu 1 2,T T là hai toán tử đơn điệu thì toán tử 1 2T T được xác định như sau:         * * * *1 2 1 2 1 2 1 1 2 2: ( ), ( )T T x T x T x x x x T x x T x       cũng là toán tử đơn điệu theo Mệnh đề 1.10. Vấn đề đặt ra ở đây là nếu 1 2,T T là hai toán tử đơn điệu cực đại thì 1 2T T có là toán tử đơn điệu cực đại không? Để trả lời câu hỏi này chúng ta sẽ sử dụng tới các mệnh đề sau: Mệnh đề 1.14 (Xem [12]). Cho không gian Hilbert H , J là ánh xạ đối ngẫu được xác định ở trên và toán tử : 2HT H  là đơn điệu cực đại. Với mỗi 0  , Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 28  R T J là toàn bộ H và   1 T J  là toán tử đơn trị, đơn điệu cực đại từ *H vào H , và là nửa liên tục, hay liên tục từ tôpô mạnh vào tôpô yếu. Hệ quả 1.1 (Xem [12]). Cho H là không gian Hilbert , J là ánh xạ đối ngẫu được xác định ở trên, toán tử : 2HT H   *H H là đơn điệu. Để toán tử T là cực đại, điều kiện cần và đủ là  R T J là toàn bộ *H . Mệnh đề 1.15 (Xem [12]). Cho H là không gian Hilbert, và cho : 2HT H  là toán tử đơn điệu cực đại. Giả sử rằng tồn tại 0  sao cho: *, 0x x  với x  ,  x D T ,  *x T x . Khi đó tồn tại x H sao cho:  0 T x . Theo [12], với mỗi 0  , ta ký hiệu B là tập dưới vi phân của hàm chỉ số của hình cầu đóng U có tâm 0, bán kính  trong H. Khi đó, B là toán tử chuẩn tắc cho U , nghĩa là:      ; : 0 ; 0 . khi khi khi x B x J x x x               Mệnh đề 1.16 (Xem [12]). Cho không gian Hilbert H và cho : 2HT H  là toán tử đơn điệu sao cho  0 D T . Giả sử rằng tồn tại 0 0  sao cho toán tử đơn điệu T B là cực đại với mọi 0  . Khi đó, T là toán tử đơn điệu cực đại. Sau đây chúng ta sẽ phát biểu và chứng minh kết quả chính của vấn đề được nêu ra ở trên. Định lý 1.7 (Xem [12]). Cho không gian Hilbert H và 1T , 2T là hai toán tử đa trị, đơn điệu cực đại từ H vào 2H . Giả sử rằng một trong hai điều kiện sau được thoả mãn: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 29 (a)  1 2int ( )D T D T  ; (b) tồn tại    1 2x clD T clD T  sao cho 2T bị chặn địa phương tại x . Khi đó 1 2T T là toán tử đơn điệu cực đại. Chứng minh. Trong giả thiết, mệnh đề (a) và (b) là tương đương nên để chứng minh định lý ta chỉ xét trường hợp (a). Nếu cần có thể tịnh tiến, ta giả sử rằng:  1 20 0 0 int ( ). vµ T D T  (1.12) Cho J là ánh xạ đối ngẫu được xác định ở trên. Theo Mệnh đề 1.10, 1 2T T là toán tử đơn điệu. Để chứng minh 1 2T T là toán tử đơn điệu cực đại, theo Hệ quả 1.1 của Mệnh đề 1.14, ta cần chỉ ra  1 2R T T J  là toàn bộ H . Thực vậy, cho *x H , ta phải chỉ ra rằng  * 1 2x R T T J   . Nếu cần, trừ đi một ánh xạ hằng từ 2T , ta có thể quy về lập luận cho trường hợp * 0x  . Như vậy, ta cần chỉ ra sự tồn tại của x H sao cho :   1 20 .T T J x   (1.13) Dễ thấy, (1.13) được thoả mãn nếu và chỉ nếu tồn tại *x H sao cho:    * *1 2 1 1 2 2 vµ . x T J x x T J x                 (1.14) Ta xác định các ánh xạ 1 2,S S từ *H vào H như sau:     1 * * 1 1 1 . 2 S x T J x           (1.15)     1 * * 2 1 . 2 S x T J x         (1.16) Sự tồn tại của x và *x thoả mãn (1.14) tương đương sự tồn tại của *x thoả mãn    * *1 20 .S x S x  (1.17) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 30 Việc chứng minh sự tồn tại của x thoả mãn (1.13) đủ để chứng minh rằng:  1 20 .R S S  (1.18) Để làm được điều này, từ Mệnh đề 1.14 thấy rằng 1 2,S S là hai toán tử đơn trị, đơn điệu cực đại, liên tục từ tôpô mạnh trên *H tới tôpô yếu trên H, sao cho    *1 2 .D S H D S  (1.19) Hiển nhiên 1 2S S là toán tử đơn trị đơn điệu, liên tục từ tôpô mạnh vào tôpô yếu, sao cho   *1 2D S S H  , và theo Định lý Browder (Xem [5]), 1 2S S là cực đại . Mặt khác, vì (0) 0J  nên ta có:  1 1 1 0 0 , 0 (0). 2 suy ra T J S         (1.20) mà:  * * * *1 , 0,S x x x H   (1.21) (do tính đơn điệu của 1S ). Hơn nữa: 2 2 2 1 ( ) ( ) 2 R S D T J D T         , nên  2R S là một tập hợp bị chặn bởi giả thiết ban đầu và ta có:  20 int .R S (1.22) Ta sẽ chỉ ra rằng từ tính chất của  2R S suy ra sự tồn tại của 0  sao cho:  * * *2 , 0 || || . víi S x x x   (1.23) và điều này sẽ chứng tỏ được (1.18). Thực vậy, theo Mệnh đề 1.15, từ (1.21) và (1.23) ta sẽ có:   * *1 2 , 0S S x x  với x  . Với mỗi * *,x y trong *H , ta có: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 31    * * * *2 2 , 0S x S y x y   (do tính đơn điệu của 2S ), hay:        * * * * * * *2 2 2 2, , , .S x x S y x S x S y y   (1.24) Vì  2R S bị chặn trong H nên  2R S chứa trong một hình cầu cố định bán kính 1 0  , tâm là gốc tọa độ, vì thế:    * * * *2 2 1, 2 .S x S y y y  (1.25) Mặt khác, từ (1.22) và do [13, Định lí 1] suy ra 1 2S  bị chặn địa phương tại 0 . Do đó tồn tại các số 20, 0   sao cho:     * *2 2: : .S y y y y    (1.26) Từ (1.24) và (1.25), ta có:    * * * *2 2 1 2, , 2S x x S y x   đúng với mọi *y thoả mãn * 2y  . Vì vậy, theo (1.26) ta có:    * * *2 1 2, sup , 2 y S x x y x      * 1 22x    . Dễ thấy * 1 22x   không âm khi: * 1 22x    , và do đó (1.23) đúng khi 1 22 /   . Các lập luận mà chúng ta sử dụng từ trước tới giờ chỉ ra rằng Định lý 1.7 đúng với giả thiết rằng  2D T là tập bị chặn. Bây giờ chúng ta sẽ chỉ ra rằng dạng thu hẹp của Định lý 1.7 cũng bao hàm dạng tổng quát. Thực vậy, cho 1T , 2T là hai toán tử đơn điệu cực đại sao cho:    1 2int .D T D T  (1.27) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 32 với  2D T không cần bị chặn. Tịnh tiến miền xác định của 1T và 2T nếu cần, ta có thể giả sử rằng điểm gốc tọa độ thuộc vào miền giao của (1.27). Với mỗi 0  , ánh xạ đơn điệu cực đại B được xác định ở trên thoả mãn:    2 intD T D B  , và  D B là bị chặn. Toán tử đơn điệu 2T B là cực đại theo chứng minh trên với 2 :T B . Khi đó, do     2 2D T B x D T x     , và điểm gốc thuộc vào phần giao của (1.27), nên ta có:    1 2intD T D T B   với  2D T B là bị chặn. Vì thế toán tử :    1 2 1 2T T B T T B      là đơn điệu cực đại với mọi 0  theo chứng minh trên với 2 2:T T B  , và ta kết luận từ Mệnh đề 1.16 rằng 1 2T T là cực đại. Đây là chứng minh Định lý 1.7 trong trường hợp tổng quát. Định lý được chứng minh xong.  Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 33 Chương 2 BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VỚI TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU 2.1. Bất đẳng thức biến phân Định nghĩa 2.1. Cho K là một tập con khác rỗng, lồi, đóng của H , và cho ánh xạ :F K H , bài toán bất đẳng thức biến phân, kí hiệu là  ;VIP K F , là bài toán:   * * * ( ( ; )) , 0, . t×m vÐc t¬ sao cho:x K VIP K F F x x x x K        Tập hợp các nghiệm của  ;VIP K F được kí hiệu là  ;SOL VIP K F . Ví dụ 2.1. Trong R , xét tập  1;5K R  và ánh xạ  : 1;5F R được xác định bởi:   1F x x  ,  1;5x . Khi đó  ;VIP K F là: tìm  * 1;5x  sao cho  * *1, 0, 1;5x x x x     (2.1) Ta chứng tỏ rằng :    ; 1SOL VIP K F  . Thực vậy, hiển nhiên * 1x  là một nghiệm. Nếu *0 1x  thì (2.1) chỉ thỏa mãn với *x x . Ngược lại, nếu * 1x  thì (2.1) chỉ thỏa mãn với *x x . Điều đó chứng tỏ * 1x  là nghiệm duy nhất. Sau đây chúng ta sẽ trình bày mối quan hệ giữa VIP(K, F) và nón pháp tuyến của một tập lồi. Định nghĩa 2.2. Cho K là một tập lồi, đóng của H, và cho *x K . Nón pháp tuyến của K tại *x là tập hợp được ký hiệu và xác định như sau :    * *: , 0,KN x d H d x x x K      Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 34 Mệnh đề 2.1. Cho K là một tập con khác rỗng, lồi, đóng của H , và cho ánh xạ :F K H , *x là nghiệm của bất đẳng thức biến phân (VIP(K, F)) khi và chỉ khi  *F x thuộc nón pháp tuyến của K tại *x , tức là :      * * *; Kx SOL VIP K F F x N x     . Chứng minh. Theo định nghĩa:    * * *; , 0x SOL VIP K F F x x x     , x K   * *, 0F x x x    , x K     * *KF x N x  . Mệnh đề được chứng minh.  Nói một cách khác, *x là nghiệm của VIP(K, F) khi và chỉ khi:    * *0 KF x N x  . Định nghĩa 2.3. Cho K là một tập con khác rỗng, lồi, đóng trong H, nón đối ngẫu của K , kí hiệu là *K , là một tập hợp được xác định như sau:  * : , 0,K y H y x x K     . Về mặt hình học, *K là tập hợp bao gồm tất cả các véc tơ y H tạo thành một góc không tù với mọi véc tơ x K . Một trong những lớp bài toán quan trọng và là một trường hợp riêng của bài toán bất đẳng thức biến phân là bài toán bù, được định nghĩa như sau. Định nghĩa 2.4. Cho K là một tập con khác rỗng, lồi, đóng trong H, *K là nón đối ngẫu của K và cho ánh xạ :F K H . Bài toán bù, kí hiệu là  ;NCP K F , là bài toán:     * * * * * ( ; ) ( ) ; , 0. t×m vÐc t¬ sao cho:x K NCP K F F x K x F x       Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 35 Tập hợp các nghiệm của  ;NCP K F được kí hiệu là  ;SOL NCP K F . Mệnh đề 2.2. Nếu K là một nón lồi, đóng trong H thì tập nghiệm của hai bài toán: bài toán  ;NCP K F và bài toán  ;VIP K F là trùng nhau, tức là:    ; ;SOL VIP K F SOL NCP K F   . Chứng minh. Giả sử  * ;x SOL VIP K F  . Theo định nghĩa ta có:   * * * ; , 0, . x K F x x x x K        Bằng cách lấy 0x K  , suy ra:  * *, 0F x x  (2.2) Bằng cách lấy *2x x K  ta thu được:  * *, 0F x x  (2.3) Từ (2.2) và (2.3) ta kết luận :  * *, 0.F x x  (2.4) Mặt khác, từ định nghĩa ta có:        * * * * * *0 , , , ,F x x x F x x F x x F x x     , x K  . Điều này chứng tỏ :  * *F x K . Kết hợp với (2.4) ta có :  * ;x SOL NCP K F  hay    ; ;SOL VIP K F SOL NCP K F   . Ngược lại, giả sử  * ;x SOL NCP K F  . Theo định nghĩa ta có :   * * * * ( ) ; , 0. F x K x F x     Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 36 Mặt khác, vì * *( )F x K , nên với mọi x K ta có :        * * * * * *, , , , 0F x x x F x x F x x F x x     . Điều này suy ra :  * ;x SOL VIP K F  . hay    ; ;SOL NCP K F SOL VIP K F   . Kết luận lại ta có :    ; ;SOL VIP K F SOL NCP K F   . Mệnh đề được chứng minh.  Định nghĩa 2.5. Cho K là một tập khác rỗng, lồi, đóng trong H và ánh xạ : :F K K . Điểm x K được gọi là điểm bất động của ánh xạ F nếu thỏa mãn điều kiện: ( ) .F x x Sau đây chúng ta sẽ nghiên cứu một trong những nội dung quan trọng nhất của bài toán bất đẳng thức biến phân đó là ván đề tồn tại và tính duy nhất nghiệm. Một trong những công cụ hữu hiệu để nghiên cứu vấn đề này là định lý điểm bất động của Brouwer. Trước khi phát biểu định lý, chúng ta đưa ra một số kết quả sau. Bổ đề 2.1 (Xem [8]). Cho K là một tập con khác rỗng, lồi và đóng trong không gian Hilbert H . Khi đó, với mỗi x H có duy nhất y K sao cho: inf . K x y x       (2.5) Theo [8], điểm y thỏa mãn (2.5) đựợc gọi là hình chiếu của x trên K và được ký hiệu là: PrKy x . Dễ thấy: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 37 PrK x x , x K  . Định lý 2.1 (Xem [8]). Cho K là một tập con khác rỗng, lồi và đóng trong không gian Hilbert H và x là một điểm bất kỳ thuộc H. Khi đó: PrKy x khi và chỉ khi: ; , , , . y K y y x y K          Hệ quả 2.1 (Xem [8]). Cho K là một tập con khác rỗng, lồi và đóng trong không gian Hilbert H . Khi đó toán tử Pr :K H H là không giãn, tức là: ' 'Pr PrK Kx x x x   , ',x x H  . Định lý 2.2 (Định lý về điểm bất động của Browder). Cho A là tập khác rỗng, lồi, compact trong H và ánh xạ :P K K là liên tục. Khi đó, có ít nhất một điểm x K sao cho  x P x . Nói một cách khác, tồn tại ít nhất một điểm bất động của ánh xạ P . Định lý 2.3. Cho K là một tập không rỗng, lồi, compact trong H, và :F K H là ánh xạ liên tục. Khi đó, bài toán bất đẳng thức biến phân  ;VIP K F có ít nhất một nghiệm. Chứng minh. Theo định nghĩa, việc chứng minh định lý tương đương với việc chứng minh sự tồn tại của điểm x thỏa mãn:    ; , , , . x K x y x x F x y x y K         Dễ nhận thấy, ánh xạ hợp:  Pr :K I F K K  là ánh xạ liên tục với I là ánh xạ đồng nhất. Theo Định lý 2.2, tồn tại điểm bất động x K sao cho:   Pr ( )Kx I F x  . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 38 Ta sẽ chứng tỏ x là nghiệm của  ;VIP K F . Thực vậy, do  ,x F x K nên PrK x x và    PrK F x F x . Kết hợp với Định lý 2.1 ta có:  , Pr ,Kx y x I F x y x    , y K  .  , Pr Pr ,K Kx y x x F x y x     , y K   , ,x y x x F x y x     , y K   , 0F x y x   , y K  . Điều này chứng tỏ x là nghiệm của  ;VIP K F , hay  ;VIP K F có ít nhất một nghiệm. Định lý được chứng minh. Trong trường hợp tập K không bị chặn, định lý về điểm bất động của Browder không áp dụng được. Khi đó, sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân có thể được thiết lập theo cách khác. Ký hiệu  0;B R là hình cầu đóng tâm 0 , bán kính 0R  trong không gian Hilbert H và đặt:  0;RK K B R  . Hiển nhiên, RK là khác rỗng, lồi đóng và bị chặn và nó là tập compact. Theo Định lý 2.2, bài toán  ;RVIP K F luôn có nghiệm. Định lý 2.4. Cho K H là một tập khác rỗng, lồi và đóng, :F K H là ánh xạ liên tục. Khi đó, điều kiện cần và đủ để bài toán  ;VIP K F có nghiệm là tồn tại số thực 0R  , và bài toán  ;RVIP K F có nghiệm * Rx thoả mãn * Rx R . Chứng minh. Điều kiện cần: Giả sử rằng  * ;x SOL VIP K F  . Theo định nghĩa ta có:  * *, 0F x x x  , x K  . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 39 Lấy 0R  sao cho *x R . Hiển nhiên:  * *, 0, ,RF x x x x K    (2.6) tức là  * ;Rx SOL VIP K F  . Điều kiện đủ: Giả sử rằng tồn tại 0R  , * R Rx K thỏa mãn * Rx R và  * *, 0R RF x y x  , Ry K  . Do tính lồi của tập K , với mỗi x K , ta có thể chọn 0  đủ nhỏ sao cho:  * *R Ry x x x K    . Hiển nhiên : * * R Ry x x x   . Mặt khác, do * Rx R , nên ta có thể chọn 0  đủ nhỏ sao cho: * * R Ry x x x R    hay Ry K . Theo (2.6) ta có :        * * * * * * * *0 , , ,R R R R R R R RF x y x F x x x x x F x x x           hay :  * *, 0R RF x x x  và điều này đúng với mọi x K . Vậy chứng tỏ  * ;Rx SOL VIP K F  . Định lý được chứng minh.  Trên đây là một số kết quả về sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân trong trường hợp ánh xạ F là liên tục. Sau đây là một số kết quả về sự tồn nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân với toán tử F là đơn điệu. 2.2. Bất đẳng thức biến phân với toán tử đơn điệu Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 40 Định lý 2.5. Cho K là một tập khác rỗng, lồi và đóng trong H và ánh xạ :F K H là đơn điệu mạnh. Khi đó, tồn tại duy nhất một nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân  ;VIP K F . Chứng minh. Chứng minh sự tồn tại nghiệm: Do F là ánh xạ đơn điệu mạnh, điều này kéo theo rằng F thỏa mãn điều kiện bức, nghĩa là:     , , lim , . x K x F x F y x y y K x y        (2.7) Vì F thỏa mãn điều kiện (2.7) nên ta có thể chọn các hằng số 0c  , 0R  sao cho:   0c F y  và 0R y  thỏa mãn:    ,F x F y x y c x y    , với mọi x K và x R . Từ đó suy ra:    , ,F x x y c x y F y x y     , Sử dụng đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:            , 0 || || )(víi F x x y c x y F y x y c F y x y c F y x y x R              (2.8) Do F là ánh xạ liên tục, RK là một tập lồi và compact nên theo Định lý 2.3,  ;RVIP K F luôn có một nghiệm * Rx . Theo định lý 2.4, để chứng tỏ * Rx là nghiệm của  ;VIP K F , ta cần chỉ ra rằng * Rx R . Thực vậy, vì  * ;R Rx VIP K F nên:  * *, 0R RF x x x  , Rx K  . Đặc biệt, với x y thì:    * * * *, 0 , 0.R R R RF x y x F x x y     Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 41 Khi đó, theo (2.8) thì * Rx R hay * Rx R và ta thu được điều cần chứng minh. Kết luận * Rx là nghiệm của  ;VIP K F . Chứng minh duy nhất nghiệm: Giả sử rằng *x và 'x là hai nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân  ;VIP K F , và * 'x x . Khi đó, chúng đều thỏa mãn:  * *, 0, .F x x x x K    (2.9)  ' ', 0, .F x x x x K    (2.10) Sau đó ta thế x bởi 'x trong (2.9) và thế x bởi *x trong (2.10), ta thu được:  * ' *, 0F x x x  .  ' * ', 0F x x x  . Cộng các bất đẳng thức vừa có ta được:    * ' ' *, 0F x F x x x   hay    * ' * ', 0.F x F x x x   (2.11) Nhưng bất đẳng thức (2.11) mâu thuẫn tính đơn điệu chặt của F . Như vậy, điều giả sử là sai hay * 'x x . Kết luận: bất đẳng thức biến phân  ;VIP K F luôn có nghiệm duy nhất và định lý được chứng minh.  Định nghĩa 2.6. Cho K là một tập lồi, đóng và khác rỗng trong không gian H; :A K H là ánh xạ liên tục trên không gian con hữu hạn chiều nếu với mỗi không gian con hữu hạn chiều M H , hạn chế của A trên K M là liên tục yếu, nói cách khác, ánh xạ :A K M H  là liên tục yếu. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 42 Định nghĩa 2.7. Cho K là một tập lồi, đóng và khác rỗng trong không gian H; ánh xạ :A K H là bức trên K nếu tồn tại một phần tử K sao cho ,Au A u u        khi u  với u K . Bổ đề 2.2. Cho K là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của H và ánh xạ :A K H là đơn điệu và liên tục trên các không gian con hữu hạn chiều. Khi đó tồn tại u thỏa mãn: ; , 0, . u K Au v u v K       (2.12) nếu và chỉ nếu: ; , 0, . u K Av v u v K       (2.13) Chứng minh. Điều kiện cần: Giả sử tồn tại u K thoả mãn: , 0Au v u  , v K  . Do tính đơn điệu của ánh xạ A nên: 0 , , ,Av Au v u Av v u Au v u       với ,u v K . Vì vậy, tồn tại u K sao cho: 0 , ,Au v u Av v u    , v K  . Điều kiện đủ: Giả sử rằng tồn tại u K thoả mãn: , 0Au v u  , v K  . Với mỗi w K , do K là tập lồi nên:  v u t w u K    , trong đó 0 1t  . Hiển nhiên, từ (2.13) và với 0t  ta có : Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 43     , 0A u t w u t w u    , hay  ( ) , 0A u t w u w u    , w K  . Do ánh xạ A là liên tục yếu trên miền giao của K với không gian con hữu hạn chiều sinh bởi đường thẳng đi qua hai điểm u và v , ta có thể cho 0t  và có được sự tồn tại của u K sao cho: , 0Au w u  , w K  . Điều này cũng chính là (2.12). Bổ đề được chứng minh.  Định lý 2.6. Cho K là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của H, và cho ánh xạ :A K H là đơn điệu và liên tục trên các không gian con hữu hạn chiều. Khi đó tồn tại: ; , 0, . u K Au v u v K       (2.14) Nói cách khác là VIP(A, K) có nghiệm. Ngoài ra, nếu A là đơn điệu chặt thì nghiệm của (2.14) là duy nhất. Chứng minh. Cho M H là một không gian con hữu hạn chiều. Không mất tính chất tổng quát, chúng ta có thể giả sử rằng 0 K . Ta xác định ánh xạ: :j M H . là một đơn ánh và ánh xạ: *: ( )j H H M   là ánh xạ đối ngẫu của nó. Các phép toán ở đây được xác định sao cho: , , M f jx j f x , ,x f H  . Ta đặt: MK K M K jM    và xét ánh xạ: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 44 ' *: ( )Mj Aj K M M  . Khi đó, MK là một tập lồi, compact của M và 'j Aj là ánh xạ liên tục bởi giả thiết từ K vào M . Theo kết quả ở rên, tồn tại một phần tử M Mu K sao cho: , 0M Mj Aju v u   , Mv K  , hay nói cách khác, khi M Mju u và Mjv v , , 0M MAu v u  , Mv K  . Theo Bổ đề 2.2, , 0MAv v u  , Mv K  . Ta xác định tập:    : , 0S v u K Av v u    . Khi đó,  S v là tập đóng yếu với mỗi v K . Hơn nữa, khi K là tập bị chặn, K là tập compact yếu. Do đó,  v K S v , một tập con đóng của K , là một tập compact yếu. Ta sử dụng định lý tương giao hữu hạn để kết luận rằng tập  v K S v khác rỗng. Thực vậy, cho  1,..., mv v K . Ta khẳng định rằng:      1 2 ... mS v S v S v    (2.15) Lấy M là không gian con hữu hạn chiều của X sinh bởi  1,..., mv v và xác định MK K M  như trên. Từ những lập luận trước, có một phần tử Mu K sao cho , 0MAv v u  , Mv K  . Đặc biệt: , 0i i MAv v u  , 1,...,i m , do  M iu S v , 1,...,i m . Hiển nhiên, với mỗi tập hợp 1,..., mv v hữu hạn thì luôn có (2.15). Vì vậy, theo định lý tương giao hữu hạn thì tồn tại một phần tử Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 45   v K u S v    , điều này có nghĩa là: ; , 0, . u K Av v u v K       Dùng Bổ đề 2.2 lần nữa ta có: ; , 0, . u K Au v u v K       Điều này chứng tỏ (2.14) có nghiệm và định lý được chứng minh.  Nhận xét 2.1 (Xem [8]). Từ bổ đề 2.2 thấy rằng tập nghiệm của bất đẳng thức biến phân (2.14) là một tập con lồi đóng của tập K . Định lý 2.7 (Xem [8]). Cho K là một tập con khác rỗng, lồi, đóng của H; cho :A K H là ánh xạ đơn điệu và liên tục trên các không gian con hữu hạn chiều. Điều kiện cần và đủ để tồn tại một nghiệm của bất đẳng thức biến phân ; , 0, . u K Au v u v K       là tồn tại số 0R  sao cho có ít nhất một nghiệm của bất đẳng thức biến phân ; , 0, . R R R R R u K Au v u v K       trong đó:  :RK K v v R   , thỏa mãn bất đẳng thức: Ru R . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 46 Hệ quả 2.2 (Xem [8]) Cho K H là một tập khác rỗng, lồi, đóng, và cho ánh xạ :A K H là đơn điệu, bức, liên tục trên các không gian con hữu hạn chiều. Khi đó tồn tại: ; , 0, . u K Au v u v K       2. 3. Bất đẳng thức biến phân với ánh xạ đa trị Trong mục này, chúng ta sẽ đưa ra một số kết quả về sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân với ánh xạ đa trị trong không gian hữu hạn chiều (trong nR ) Định nghĩa 2.8. Cho U là một tập con khác rỗng, lồi và đóng trong không gian nR ; : 2 nRG U  là ánh xạ đa trị. Bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị, kí hiệu ( , )VIP G U , là bài toán đi tìm điểm *u U sao cho:  * *g G u  , * *, 0g u u  , u U  . Tập nghiệm của ( , )VIP G U có liên quan nhiều đến tập nghiệm của bài toán: * *, 0, , ( ). t×m ®iÓm sao cho:u U g u u u U g G u          Bài toán này còn được gọi là bài toán đối ngẫu của ( , )VIP G U và được ký hiệu là ( , )DVIP G U . Ta ký hiệu *U là tập nghiệm của ( , )VIP G U và dU là tập nghiệm của ( , )DVIP G U . Định nghĩa 2.9. Cho W và V là các tập lồi trong không gian nR , W V ; và cho : 2 nRQ V  là ánh xạ đa trị. Ánh xạ Q được gọi là: (a) Nửa liên tục trên trên W , nếu với mỗi điểm v W và với mỗi tập mở Z sao cho  G v Z , có một lân cận X của v sao cho  Z G w với w X W  ; Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 47 (b) Một K - ánh xạ trên W , nếu nó là nửa liên tục trên trên W và có giá trị là một tập lồi khác rỗng. Mệnh đề 2.3 (Xem [9]). Cho : 2 nRG U  là một K - ánh xạ. Giả sử rằng ít nhất một trong hai điều kiện sau được thoả mãn: (a) Tập hợp U là bị chặn; (b) Tồn tại một tập con W khác rỗng, bị chặn của tập U sao cho với mọi \u U W , có v W để: , 0g u v  ,  g G u  . Khi đó ( , )VIP G U có một nghiệm. Định nghĩa 2.10. Cho W và V là các tập lồi trong nR , W V , và cho : 2 nRQ V  là ánh xạ đa trị. Ánh xạ Q được gọi là: (a) Đơn điệu trên W nếu với mỗi cặp điểm ,u v W phân biệt và mọi  q Q u ,  q Q v , ta có: , 0q q u v    ; (b) Đơn điệu chặt trên W nếu với mọi ,u v W phân biệt và mọi  q Q u ,  q Q v , ta có , 0q q u v    ; (c) Đơn điệu mạnh trên W với hằng số 0  nếu mỗi cặp ,u v W và mọi    ,q Q u q Q v   , ta có 2 ,q q u v u v    ; (d) Giả đơn điệu trên W nếu mỗi cặp điểm ,u v W và mọi    ,q Q u q Q v   , ta có , 0q u v   kéo theo , 0q u v   ; Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 48 (e) Tựa đơn điệu trên W nếu mỗi cặp điểm ,u v W và mọi    ,q Q u q Q v   , ta có: , 0q u v   kéo theo , 0q u v   ; (f) Đơn điệu rõ trên W nếu nó giả đơn điệu trên W và với mọi ,u v W phân biệt và mọi  q Q u ,  q Q v , quan hệ , 0q u v   kéo theo , 0q u v  với một vài     , 0.5 ,q Q z z u v u   . Mệnh đề 2.4 (Xem [9]). Giả sử rằng : 2 nRG U  là ánh xạ tựa đơn điệu rõ và tồn tại một tập con bị chặn W của U , và một điểm v W sao cho, với mọi \u U W và mọi  g G v , ta có: , 0g v u  . Khi đó dU   . Mệnh đề 2.5 (Xem [9]). Cho U là một tập con khác rỗng, lồi và đóng trong không gian nR , : 2 nRG U  là ánh xạ đa trị. (a) Tập hợp dU là lồi và đóng. (b) Nếu G là u  nửa liên tục và có giá trị là một tập lồi, khác rỗng và compact, khi đó *dU U . (c) Nếu G là giả đơn điệu thì * dU U . Mệnh đề 2.6 (Xem [9]). Cho U là một tập con khác rỗng, lồi và đóng trong không gian nR , : 2 nRG U  là ánh xạ đa trị. Khi đó: (a) Nếu G là ánh xạ đơn điệu chặt thì ( , )VIP G U có nhiều nhất một nghiệm. (b) Nếu G là K - ánh xạ đơn điệu mạnh thì ( , )VIP G U có duy nhất một nghiệm. Định lý sau đây, cho chúng ta thấy một cách tương đối toàn diện về sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân với ánh xạ đa trị trong không gian vô hạn chiều. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 49 Định lý 2.8 (Xem [12]). Cho K H , là tập khác rỗng, lồi và đóng. Cho : 2HF H là toán tử đơn điệu đa trị. Giả sử rằng tồn tại a K và 0  sao cho: *, 0x a x  với    *, ,x D F K x x F x   . Đồng thời một trong năm điều kiện sau được thỏa mãn: (a)  D F K và F là đơn trị và hemi-liên tục trên K ; (b) F là đơn điệu cực đại và  intK D F  ; (c) F là đơn điệu cực đại và   intD F K  ; (d) F bị chặn địa phương tại một số điểm  x K clD F  và F là đơn điệu cực đại; (e) H là không gian hữu hạn chiều, F là đơn điệu cực đại và  riD F riK  . Khi đó, bài toán bất đẳng thức biến phân  ;VIP K F có ít nhất một nghiệm, hay tồn ít nhất một điểm  x D F K  sao cho, với  *x F x , *x là véc tơ chuẩn tắc của K tại x . 2.4. Bất đẳng thức biến phân và các bài toán liên quan Định nghĩa 2.11. Cho U là một tập con khác rỗng, lồi và đóng trong không gian Hilbert H. Một song hàm:  :U U R     được gọi là một song hàm cân bằng nếu:  , 0,u u u U    . Định nghĩa 2.12. Cho tập U là tập con khác rỗng, lồi và đóng trong không gian Hilbert H và  :U U R     là một song hàm cân bằng. Bài toán cân bằng, kí hiệu là (EP), là bài toán:   * *, 0, . t×m ®iÓm sao cho:u U u v v U        Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 50 Bằng cách đặt: ( , ) ( ),u v F u v u   . Hiển nhiên (.) là một song hàm cân bằng. Vì thế, bài toán bất đẳng thức biến phân ( , )VIP F U chỉ là một trường hợp riêng của bài toán cân bằng (EP). Mệnh đề 2.7 (Xem [9]). Cho U là một tập con khác rỗng, lồi và đóng trong nR và cho  :U U R     là một song hàm cân bằng sao cho  .,v là nửa liên tục dưới với mỗi v U ,  ,.u là tựa lồi với mỗi u U . Giả sử rằng có ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: (a) Tập U là bị chặn; (b) tồn tại một tập con W khác rỗng, bị chặn của U sao cho với mọi \u U W , có v W mà  , 0u v  . Khi đó (EP) có nghiệm. Định nghĩa 2.13. Cho W và V là các tập lồi, khác rỗng trong nR , W V , và cho  :V V R     là một song hàm cân bằng. Song hàm  được gọi là: (a) Đơn điệu mạnh trên W với hằng số 0  nếu mỗi cặp điểm ,u v W , ta có:     2 , ,u v v u u v    ; (b) Đơn điệu chặt trên W nếu với mỗi cặp điểm ,u v W phân biệt, ta có:    , , 0u v v u   ; (c) Đơn điệu trên W nếu với mỗi cặp điểm ,u v W , ta có:    , , 0u v v u   ; (d) Giả đơn điệu trên W nếu với mỗi cặp điểm ,u v W , ta có:  , 0u v  kéo theo  , 0v u  ; (e) Tựa đơn điệu trên W nếu với mỗi cặp điểm ,u v W , ta có:  , 0u v  kéo theo  , 0v u  ; Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 51 Mệnh đề 2.8 (Xem [9]). Cho U là một tập con khác rỗng, lồi và đóng trong nR và cho  :U U R     là một song hàm cân bằng. (i) Nếu  là đơn điệu chặt thì (EP) có nhiều nhất một nghiệm. (ii) Nếu  .,v là nửa liên tục dưới với mỗi v U ,  ,.u là lồi và nửa liên tục trên với mỗi u U , và  là đơn điệu mạnh, thì (EP) có duy nhất một nghiệm. Định nghĩa 2.14. Cho U là một tập khác rỗng, lồi, đóng trong không gian Hilbert H; :F U H là ánh xạ liên tục. ánh xạ  : H R    là hàm lồi chính thường, nửa liên tục trên. Bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp, kí hiệu là MVI , là bài toán:       * * * *, 0, . t×m ®iÓm sao cho:u U F u v u v u v U           Hiển nhiên, bài toán bất đẳng thức biến phân ( , )VIP F U chỉ là một trường hợp riêng của MVI khi hàm ( ) 0,x x H    . Ngoài ra, nếu ta đặt:        , ,u v F u v u v u      thì hiển nhiên  là một song hàm cân bằng. Vì thế, bài toán MVI cũng chỉ là một trường hợp riêng của bài toán (EP). Như là hệ quả của các mệnh đề 2.7 và 2.8, ta có được hai mệnh đề sau: Mệnh đề 2.9 (Xem [9]). Cho U là một tập khác rỗng, lồi, đóng trong nR , : nF U R là ánh xạ liên tục. ánh xạ  : nR R    là hàm lồi chính thường, nửa liên tục trên. Giả sử rằng có ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: (a) Tập U là bị chặn; (b) Tồn tại một tập con W khác rỗng, bị chặn của U sao cho với mọi \u U W , có v W mà:      , 0F u u v u v    . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 52 Khi đó MVI có một nghiệm. Mệnh đề 2.10. Cho U là một tập khác rỗng, lồi, đóng trong nR , : nF U R là ánh xạ liên tục. ánh xạ  : nR R    là hàm lồi chính thường, nửa liên tục trên. Khi đó (i) Nếu F là ánh xạ đơn điệu chặt thì bài toán MVI có nhiều nhất một nghiệm. (ii) Nếu F là ánh xạ đơn điệu mạnh thì bài toán MVI có duy nhất một nghiệm. Chứng minh. Đặt:        , ,u v F u v u v u     . (i) Với mỗi cặp ,u v U phân biệt và do F là ánh xạ đơn điệu chặt, ta có                , , , ,u v v u F u v u v u F v u v u v                , ,F u v u F v u v       ,F u F v v u      , 0F u F v u v     . Vậy  là đơn điệu chặt, theo Mệnh đề 2.8, (EP) có nhiều nhất một nghiệm nên MVI có nhiều nhất một nghiệm. (ii) Tương tự, nếu F là ánh xạ đơn điệu mạnh thì  là đơn điệu mạnh, theo theo Mệnh đề 2.8, (EP) có duy nhất một nghiệm nên MVI có duy nhất một nghiệm. Mệnh đề được chứng minh.  Sau đây chúng ta sẽ trình bày mói quan hệ giữa nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân và nghiệm của bài toán tối ưu. Cho nK R là một tập lồi, đóng; hàm 1( )f C K và đặt: ( ) ( )F x f x . Xét bài toán tối ưu: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 53 min ( ). x K f x  (2.16) Mệnh đề 2.11. (i) Nếu *x là nghiệm tối ưu của bài toán (2.16) thì *x cũng là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân VIP(K, F). (ii) Ngược lại, nếu f là hàm lồi thì nghiệm của VIP(K,F) cũng là nghiệm của (2.16). Chứng minh. (i) Giả sử *x là nghiệm tối ưu của bài toán (2.16). Hiển nhiên, với mọi x K và 0 1t  ta có: * *( )z x t x x K    . Từ giả thiết suy ra hàm một biến:  * *( ) ( ) , 0 1t f x t x x t      là hàm khả vi và đạt cực tiểu tại điểm 0t  . Vì vậy ta có: * * * *0 (0) ( ), ( ),f x x x F x x x     . Điều đó chứng tỏ *x là nghiệm của VIP(K,F). (ii) Ngược lại, giả sử f là hàm lồi và x là nghiệm của VIP(K, F). Theo định nghĩa ta có: ( ), 0, .F x y x y K    (2.17) Mặt khác, do f là hàm lồi nên: ( ) ( ) ( ), ( ),f y f x f x y x F x y x      . Kết hợp với (2.17) suy ra: ( ) ( ),f y f x y K   . Chứng tỏ x là nghiệm tối ưu của bài toán (2.16). Mệnh đề được chứng minh.  Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 54 Mệnh đề 2.12. Véc tơ *x là nghiệm của  ;VIP K F khi và chỉ khi nó là nghiệm của bài toán tối ưu:  *min , x K F x x  (2.18) Chứng minh. Hiển nhiên từ định nghĩa ta có:    * * *; , 0,x SOL VIP K F F x x x x K          * * *, , , .F x x F x x x K    Điều này tương đương với *x là nghiệm của bài toán tối ưu (2.18). Mệnh đề được chứng minh.  Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 55 Chương 3 MÔ HÌNH NASH-COURNOT VỚI TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU 3. 1. Phát biểu mô hình Có n hãng cùng tham gia sản xuất một loại sản phẩm thuần nhất. Ký hiệu i ix U R  là sản lượng sản phẩm mà hãng  1,2,...,i i n dự định sẽ thực hiện. Ta giả sử rằng giá của một đơn vị sản phẩm do hãng i cung cấp là ip , và nó phụ thuộc vào tổng sản lượng của tất cả các hãng ký hiệu là 1 : n i i x   , nghĩa là ta có  i ip p  . Đặt  i ih x là tổng chi phí sản xuất của hãng i khi hãng thực hiện kế hoạch sản lượng ix và hàm lợi nhuận của hãng được xác định bởi:    1 2 1 , ,..., , 1, 2, ..., . n i n i i i i i i f x x x x p x h x i n           (3.1) Mỗi hãng đều có chung một mong muốn là cực đại hàm lợi nhuận của hãng mình. Ta gọi ( 1, 2, ..., )iU i n là tập chiến lược sản phẩm của hãng i và đặt: 1 2 ... nU U U U    là tập chiến lược của tất cả các hãng. Từ đó ta có định nghĩa sau: Định nghĩa 3.1. Điểm  * * * *1 2, , ..., nx x x x U  được gọi là một điểm cân bằng của mô hình (cân bằng Nash - Cournot) nếu với mọi 1, 2, ...,i n ta đều có:    * * * * * * * * *1 1 1 1 1 1,..., , , ,..., ,..., , , ,..., , .i i i i n i i i i n i if x x y x x f x x x x x y U      (3.2) Từ Định nghĩa 3.1 ta nhận thấy điểm cân bằng có ý nghĩa kinh tế như sau: Tại điểm cân bằng, nếu một hãng 0 0(1 )i i n  nào đó tự ý thay đổi sản lượng sản phầm của hãng mình, trong khi các hãng còn lại 0( )i i vẫn giữ nguyên sản lượng cân bằng, thì lợi nhuận của hãng 0i sẽ không tăng thêm. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 56 Vấn đề tiếp sau đây là việc xác định sự tồn tại của điểm cân bằng cho mô hình và xây dựng cơ sở cho các thuật toán tìm điểm cân bằng. Muốn vậy, chúng ta mô tả mô hình dưới dạng một số lớp bài toán có liên quan. 3. 2. Mô hình Nash-Cournot với bài toán cân bằng Với mỗi 1 2( , , ..., )nx x x x U  và 1 2( , , ..., )ny y y y U  , ta đặt:    1 1 1 1 , ,..., , , ,..., n i i i i n i x y f x x y x x      (3.3) và      , , , .x y x y x x    (3.4) Hiển nhiên  là một song hàm cân bằng trên U và ta có bài toán cân bằng: * * ( ) ( , ) 0, . t×m ®iÓm sao cho:x U EP x y y U        Mệnh đề 3.1. Điểm *x U là một điểm cân bằng khi và chỉ khi *x là nghiệm của bài toán cân bằng (EP). Chứng minh. Tính toán trực tiếp từ (3.3) và (3.4) ta có:    1 1 1 1 1 1 1 ( , ) ,..., , , ,..., ,..., , , ,..., n i j j j n i j j j n i x y f x x x x x f x x y x x          Giả sử *x U là nghiệm của bài toán (EP), tức là:  *, 0, .x y y U    (3.5) Ta sẽ chứng tỏ  * * * *1 2, ,..., nx x x x với * i ix U , là một điểm cân bằng. Thật vậy, giả sử ngược lại,  * * * *1 2, ,..., nx x x x với * i ix U không là điểm cân bằng. Khi đó sẽ tồn tại 0 0, 0i i n  và giá trị 0i i y U sao cho:     0 0 0 0 0 0 0 0 * * * * * * * * * 1 1 1 1 1 1,..., , , ,..., ,..., , , ,...,i i i i n i i i i nf x x x x x f x x y x x    . Lúc này, thay   0 0 0 * * * * 1 1 1,..., , , ,...,i i i ny x x y x x  vào biểu thức của *( , )x y ta có: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 57       0 0 0 0 * * * * * * 1 1 1, ,..., , , ,..., 0i i i i n ix y f x x y x x f x     . Điều này mâu thuẫn với (3.5). Vậy *x là một điểm cân bằng của mô hình. Ngược lại, giả sử *x U là một điểm cân bằng của mô hình. Từ (3.2) - (3.4) ta có:  *, 0, .x y y U    Điều này chứng tỏ *x là một nghiệm của bài toán cân bằng (EP). Mệnh đề được chứng minh.  Vậy là, sự tồn tại điểm cân bằng cho mô hình phụ thuộc vào sự tồn tại nghiệm cho bài toán cân bằng (EP). Đương nhiên nó sẽ phụ thuộc vào đặ tính của các hàm giá ip hay hàm chi phí ( 1, 2, ..., )ih i n và tập chiến lược U của các hãng. 3. 3. Mô hình Nash-Cournot với bài toán bất đẳng thức biến phân Mệnh đề 3.2. Giả sử iU là các tập con khác rỗng, lồi và đóng trong R và if là hàm lõm và khả vi liên tục theo biến iy trên tập ( 1, 2, ..., )iU i n . Khi đó, điểm  * * *1 ,..., nx x x U  là một điểm cân bằng của mô hình khi và chỉ khi *x là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân  ,VIP U F , trong đó:      1i n x i i F x f x    . Chứng minh. Giả sử *x là điểm cân bằng của mô hình. Ta phải chứng minh rằng *x là nghiệm của  ,VIP U F , nghĩa là:  * * * * 1 ( ), ( ) 0, . i n x i i i i F x y x f x y x y U         (3.6) Thực vậy, từ (3.2) ta có * ix là nghiệm của bài toán tối ưu:   * * * *1 1 1min , ... , , , ..., i i i i i i n y U f x x y x x    (3.7) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 58 Theo giả thiết ta có if là hàm lồi theo biến ( 1, ..., )iy i n . Vì vậy, theo Mệnh đề 2.11, với mọi 1, 2, ...,i n thì * ix là nghiệm của bất đẳng thức biến phân:  * *( ) 0, . ix i i i i i f x y x y U     (3.8) Từ đó dễ dàng suy ra (3.6), hay *x là nghiệm của  ,VIP U F . Ngược lại, giả sử *x là nghiệm của  ,VIP U F . Từ (3.6), bằng cách lấy:  * * * *1 1 1,..., , , ,..., ( )i i i n i iy x x y x x y U   ta suy ra (3.8). Do tính lồi của hàm if và lại áp dụng Mệnh đề 2.11 ta có * ix là nghiệm tối ưu của bài toán (3.7), với mọi 1, 2, ...,i n . Điều này chứng tỏ *x là một điểm cân bằng của mô hình. Mệnh đề được chứng minh.  3. 4. Mô hình Nash-Cournot với toán tử đơn điệu Theo [9], chúng ta đưa ra giả thiết sau. Giả thiết 3.1. (i) Giả sử các hàm giá: ( ) ( ) :ip p R R     là khả vi liên tục hai lần và không tăng. Ngoài ra, nếu hàm : R R   được định nghĩa bởi: ( ) ( )p      là hàm lõm với mọi 0  . (ii) Các hàm chi phí: : ( 1, ..., )ih R R i n   là các hàm lồi, khả vi liên tục hai lần. Cũng theo [9], ta đặt:           1 1 2 2 1 , ,..., , 1,1, ...,1 , , nT T n n n x i i H x h x h x h x e R x x e         . Khi đó, chúng ta có mệnh đề sau. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 59 Mệnh đề 3.4 (Xem [9]). Bài toán tìm điểm cân bằng Nash là tương đương với bài toán tìm nghiệm của bất đẳng thức biến phân  ,VIP U F với ánh xạ:         .x xF x H x p e p x    (3.9) Từ Giả thiết 3.1, dễ thấy H là một ánh xạ đơn điệu. Ngoài ra:      F x H x C x   , trong đó  C x được xác định như sau:                                     1 1 1 2 2 2 2 ... 2 ... ( ) ... ... ... ... ... 2 x x x x x x x x x x x x x n x x n x x xn x p x p p x p p x p p x p p x p p x p C x p x p p x p p x p                                                      Mệnh đề 3.5. Nếu Giả thiết 3.1 đúng và p là ánh xạ affine với   0xp   . Khi đó, ánh xạ F trong (3.9) là đơn điệu mạnh trên nR . Chứng minh. Với mỗi ny R , ta có:           ' 2 ' '' 1 1 , , n n x i y x i x i i i F x y y H x y y p y p x p y                  ' 2 ' 2 '' 1 1 n n x i x y y x i i i i p y p p x y               2 1 1 n n x i y x i i i i p y p x y          . Hiển nhiên, nếu p là ánh xạ affine thì   0xp   và ta có được:     2 , , .nxF x y y p y y R     Mặt khác, theo giả thiết thì: ( ) 0xp   . Theo [9] (Mệnh đề 1.1.5), ánh xạ F là đơn điệu mạnh trên nR . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 60 Mệnh đề 3.6 (Xem [9]). Nếu Giả thiết 3.1 đúng và p là hàm lồi thì ánh xạ F trong (3.9) là đơn điệu. Mệnh đề 3.7. Giả sử rằng các hàm p và ih là affine, nghĩa là: ( ) , 0, 0; ( ) , 0, 0, 1, 2, ..., .i i i i i i i p h x x i n                     Khi đó, Giả thiết 3.1 thỏa mãn, F là ánh xạ đơn điệu mạnh và mô hình có duy nhất nghiệm. Chứng minh. Tính toán trực tiếp ta có: ( ) ( ) , 1, 2, ...,i i x i i if x x x i n         và 1( ) ( , ..., ) ( ) . T n xF x e x        Từ đó suy ra: 2 ... 2 ... ( ) ... ... ... ... ... 2 F x                       . Do 0  nên ( )F x là một ma trận đối xứng, xác định dương hay ánh xạ F đơn điệu mạnh. Theo Định lý 2.5, VIP(U, F) hay mô hình có duy nhất nghiệm. Mệnh đề được chứng minh.  Lưu ý rằng, khi hàm giá không còn chung cho tất cả các hãng, hay mỗi hãng có một hàm giá ( 1, ..., )ip i n riêng thì mặc dù các hàm ip thỏa mãn Giả thiết 3.1 và các điều kiện trong Mệnh đề 3.7, nhưng tính đơn điệu của ánh xạ F không còn nữa. Chúng ta sẽ trình bày sự tồn tại nghiệm cho mô hình trong mệnh đề dưới đây. Trước hết ta xét bổ đề: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 61 Bổ đề 3.1 (Xem [9]). Cho nU R là một tập lồi, đóng và khác rỗng,  là một song hàm cân bằng xác định trên U . Giả sử với mỗi x U cố định,  ,.x là một hàm lồi, khả vi liên tục trên một tập mở W U . Đặt   y xJ x y     . Khi đó, bài toán cân bằng (EP) tương đương với bài toán bất đẳng thức biến phân:  , 0, . t×m ®iÓm sao cho:x U J x y x y U       (3.10) Mệnh đề 3.8. Giả sử rằng: [ , ]; ( ) , 0, 0; ( ) , 0, 0, 1, 2, ..., . i i i i i i i i i i i i i i i U a b p h x x i n                       Khi đó, mô hình có duy nhất nghiệm. Chứng minh. Tính toán trực tiếp ta có: ˆ( , ) , ,T Tx y Bx y x y By x Bx        (3.11) trong đó: 1 1 1( , ..., ) ; ( , ..., ) ; ( , ..., ) ; T T T n n n           1 1 1 1 2 2 2 2 0 0 ... 0 0 ... 0 0 ... 0 0 ... ˆ; ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 0 0 0 ... ... 0n n n n B B                                      . Hiển nhiên ma trận B là đối xứng, xác định dương và song hàm cân bằng  thỏa mãn các giả thiết trong Bổ đề 3.1. Tính toán trực tiếp, bài toán bất đẳng thức biến phân (3.10) có dạng: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 62 ˆ , 0, , t×m ®iÓm sao cho:x U Qx y x y U          (3.12) trong đó: 1 1 1 1 2 2 2 2 2 ... 2 ...ˆ ˆ: 2 ... ... ... ... ... ... 2n n n n Q B B                           . Mặt khác, áp dụng Mệnh đề 2.12, x là nghiệm của bất đẳng thức biến phân (3.12) khi và chỉ khi x là nghiệm tối ưu của qui hoạch tuyến tính:  ˆmin ( )T T y U y Qx y     (3.13) Áp dụng định lý Kuhn - Tucker cho qui hoạch tuyến tính (3.13), x là nghiệm tối ưu khi và chỉ khi tồn tại các số thực không âm 2 2 1, ( 1, 2, ..., )i i i n    thỏa mãn hệ: 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 0, ( ) 0, ( ) 0, , 0, 0 ( 1, ..., ). n i i j i i i i j i i i i i i i i i i i x x x a x b a x b i n                                            (3.14) Do 0, 1, ...,i i n    , hệ (3.14) được viết lại là: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 63 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 ( ) 0, 1 ( ) 0, 1 ( ) 0, , 1 1 0, 0 ( 1, ..., ). n i j i i i i j i i i i i i i i i i i i i i i i i i x x x a x b a x b i n                                                     (3.15) Đặt: 2 1 2 1 2 2 1 1 1 ( ); ; , 1, 2, ..., .i i i i i i i i i i q i n              Khi đó, hệ (3.15) được viết lại là: 2 1 2 1 2 2 2 1 2 0, ( ) 0, ( ) 0, , 0, 0 ( 1, ..., ). n i j i i i j i i i i i i i i i i i x x q x a x b a x b i n                                       (3.16) Theo Định lý Kuhn - Tucker, hệ (3.16) chính là điều kiện cần và đủ để x là nghiệm tối ưu của qui hoạch toàn phương lồi mạnh: 1 min 2 T T x U x Cx q x        , trong đó: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 64 1 2 2 1 1 ... 1 1 2 1 ... 1 ; ( , , ..., ). ... ... ... ... ... 1 1 1 ... 2 nC q q q q              Bài toán tối ưu này luôn có duy nhất nghiệm. Mệnh đề được chứng minh.  Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 65 KẾT LUẬN Luận văn này trình bày một số kết quả nghiên cứu về toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert thực, ứng dụng của nó trong việc khảo sát các bài toán bất đẳng thức biến phân, đặc biệt là mô hình kinh tế Nash – Cournot. Ở một số kết quả, chúng tôi đưa thêm hệ quả, nhận xét và ví dụ minh họa để làm rõ ý nghĩa kết quả được trình bày. Luận văn chỉ đưa ra các kết quả đã được thông báo và không có kết quả mới. Mặc dù đã rất cố gắng, nhưng do thời gian và khả năng còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót. Chúng tôi rất mong được thầy cô và bạn đọc đóng góp ý kiến. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 66 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đỗ Văn Lưu và Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội. [2] Lê Dũng Mưu, Nhập môn giải tích lồi ứng dụng (Sắp xuất bản). [3] Nguyễn Văn Quý (2006), “Tiếp cận bất đẳng thức biến phân và tối ưu hóa giải mô hình cân bằng thị trường độc quyền tập đoàn Nash-Cournot với hàm chi phí lõm”, Tạp chí Ứng Dụng Toán Học, tập IV(số 1), 1-23. [4] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực và giải tích hàm (Giải tích hiện đại), Nhà xuất bản Đại học quốc gia, Hà Nội. [5] Browder (1965), Multi-valued Monotone Nonliear Mappings and Duality Mappings in Banach Spaces, Trans. Amer. Math. Soc. 118, 338-351. [6] Ekeland I. and Aubin P. J (1984), Applied Nonliear Analysis, a Wiley- Interscience Publication JOHN WILEY & SONS, USA. [7] Hien N. V. (2004), An Introduction to Variational Inequalities and Related Problems, Ha Noi. [8] Kinderlehrer D. and Stampacchia G. (1980), An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications, Academic Press, 1980. [9] Konnov I. (2001), Combined Relaxation Methods for Variational Inequalities, Springer, Berlin. [10] McCormick P. G. (1983), Nonliear Programming Theory Algorithms and Applications, a Wiley-Interscience Publication JOHN WILEY & SONS, USA. [11] Muu L. D., Hien N. V., Quy N. V. (2008), “On Nash - Cournot oligopolistic market equilibrium models with concave cost functions”, J. Glob Optim, 41: 351 - 364. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 67 [12] Rockafellar R. T. (1970), “On The Maximality of Sum of Nonlinear Monotone Operators”, Transactions of The American Mathetatical Society, Volume 149. [13] Rockafellar R. T (1965), “Multivalued Monotone nonlinear mappings in banach spaces “; Trans. Amer. Math. Soc. 118, 338-351. [14] R. T. Rockafellar (1970), Convex Analysis, Princeton University Press, Princeton.