Luận án Xử lý tín hiệu không gian-Thời gian

Mở đầu Vấn đề xử lý tín hiệu không gian-thời gian bắt đầu được quan tâm từ năm 1958 và được kết hợp với xử lý thích nghi vào khoảng năm 1970, nhưng việc nghiên cứu đi sâu và hình thành những hệ thống thực hiện hữu hiệu chỉ xuất hiện trong vài năm gần đây nhờ sự tiến bộ của công nghệ máy tính. Xử lý tín hiệu không gian-thời gian thích nghi được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như thông tin liên lạc, hàng không, hàng hải, địa chất, thiên văn, xử lý ảnh... Mục đích của quá trình xử lý tín hiệu không gian-thời gian thích nghi là nhằm tách lọc tín hiệu có ích ra khỏi các tín hiệu không mong muốn khác như can nhiễu, tạp âm từ một tập hợp các tín hiệu thu được. Sự loại bỏ hoàn toàn nhiễu và tạp âm và một công việc lý tưởng, không thể thực hiện được trên thực tế. Thực chất, ta chỉ có thể làm sáng rõ tín hiệu có ích trên nền các tín hiệu không mong muốn khác càng nhiều càng tốt, mà về mặt kỹ thuật được hiểu là làm tăng công suất của tín hiệu có ích trong khi làm giảm công suất của nhiễu và tạp âm. Những vấn đề lý thuyết và thực tế kỹ thuật trên đây là cơ sở chủ yếu để hình thành nội dung đề tài luận án: “Xử lý tín hiệu không gian-thời gian”. Mục tiêu của luận án là đi sâu nghiên cứu vấn đề làm cực đại hoá tỷ số tín hiệu trên nhiễu cộng tạp âm SINR, với đối tượng nghiên cứu là kỹ thuật xử lý tín hiệu không gian- thời gian thích nghi. Nhiệm vụ chính của luận án là đưa ra các kỹ thuật biến đổi không gian con, điển hình là hai phương án bộ xử lý vector riêng phụ và bộ xử lý kênh phụ, đồng thời phân tích các ưu nhược điểm của mỗi loại dựa trên các khái niệm cơ bản. Phạm vi nghiên cứu của luận án không đề cập đến tất cả lĩnh vực áp dụng của xử lý không gian- thời gian, mà chỉ nhấn mạnh về xử lý tín hiệu trong radar, bởi môi trường hoạt động của tín hiệu radar là khốc liệt nhất và điển hình nhất. Phương pháp nghiên cứu của luận án là dựa trên các lập luận giải tích, đồng thời thể hiện và kiểm chứng bằng các mô phỏng máy tính. Do đó kết qủa cuối cùng thường được đánh giá và so sánh thông qua các đồ thị đặc tính. Cấu trúc luận án gồm phần mở đầu, 3 chương và phần kết luận: Chương 1: Tổng quan về xử lý không gian và xử lý thời gian. Các khái niệm cơ bản về tín hiệu không gian và các giả thiết ban đầu. Cách biểu diễn tín hiệu không gian và miền đối ngẫu của nó trong hệ toạ độ cực. Cách biểu diễn tín hiệu không gian và miền đối ngẫu của nó trong hệ toạ độ Decade (Cartesian). Bộ tạo tia (Beamformer) và các cấu trúc cơ bản của bộ tạo tia. Mảng tuyến tính cách đều ULA. Hiệu ứng Doppler và nguyên lý phát hiện mục tiêu trong nhiễu phản xạ qua xử lý Doppler. Bank lọc Doppler. Chương 2: Xử lý tín hiệu không gian thời gian thích nghi Tổng quan về quá trình xử lý tín hiệu không gian- thời gian tối ưu. Phân tích quá trình xử lý không gian- thời gian tối ưu. Mạch lọc không gian- thời gian thích nghi. Các khái niệm và kỹ thuật liên quan trong xử lý tín hiệu không gian- thời gian thích nghi. Chương 3: Giải pháp cải thiện xử lý tín hiệu không gian- thời gian thích nghi. Nguyên lý biến đổi không gian con. Bộ xử lý vector riêng phụ AEP. Bộ xử lý kênh phụ ACP. Phần kết luận: Đánh giá các kết quả nghiên cứu và đề xuất hướng phát triển của đề tài. Chương 1 Tổng quan về xử lý không gian và xử lý thời gian 1.1.Các khái niệm cơ bản về tín hiệu không gian Tín hiệu không gian- thời gian, gọi tắt là tín hiệu không gian, là tín hiệu được mang bởi các sóng truyền lan trong không gian, như sóng điện từ, sóng âm thanh... thuộc loại tín hiệu nhiều chiều vì ngoài biến thời gian còn có các biến độc lập khác mang thông tin về vị trí không gian. Các sóng truyền lan mang tín hiệu không gian có biểu thức nhận được từ nghiệm của các phương trình sóng. Đối với sóng điện từ, phương trình sóng có thể được suy ra từ các phương trình Maxwell. Tín hiệu không gian được mang bởi các sóng truyền lan liên tục, đưa tới cho chúng ta thông tin về các sự kiện xảy ra từ một khoảng cách không gian nhất định. Chúng ta thu nhận và xử lý các tín hiệu đó bởi các hệ thống thụ động hoặc tích cực. Hệ thống thụ động thực hiện thu nhận và xử lý các tín hiệu phát ra từ một nguồn ở cách xa trong không gian (ví dụ như thiết bị thu trong hệ thống thông tin), còn hệ thống tích cực tự phát xạ ra các sóng và các sóng này bị phản xạ từ các đối tượng quay trở lại phần thu của hệ thống, mà ở đó sẽ được phân tích để xử lý tách lọc ra thông tin (ví dụ như các hệ thống radar, siêu âm). Từ đó xử lý tín hiệu không gian có thể hiểu như việc tách lọc thông tin từ các sóng truyền lan. Khái niệm này còn có thể hiểu theo một ý khác nữa là quá trình cố gắng tách biệt tín hiệu có ích khỏi tạp âm, nhiễu hay thậm chí cả các tín hiệu khác nữa. Thông thường điều này thực hiện trên cơ sở là năng lượng tín hiệu có ích có khác biệt so với các tín hiệu khác theo các biến thời gian, tần số, hướng truyền lan. Như vậy có thể áp dụng quá trình lọc số nhiều chiều để thực hiện xử lý tín hiệu không gian vì nó cung cấp một cơ chế để tách riêng tín hiệu với một tập hợp đặc biệt các thông số tiêu chuẩn ra khỏi các tín hiệu khác. 1.2. Các giả thiết ban đầu Hoàn toàn không mất tính tổng quát và để đơn giản trong phân tích, ta có thể đưa ra các giả thiết đối với tín hiệu không gian: 1.2.1. Môi trường truyền dẫn là tổn hao tối thiểu, không phân tán. Đó là môi trường không làm suy yếu tín hiệu truyền lan so với các giá trị lý tưởng nhận được từ các phương trình sóng nói trên và tốc độ truyền lan sẽ không bị thay đổi. Một môi trường phân tán sẽ làm tăng thêm sự phụ thuộc tần số vào quá trình truyền lan của sóng. Khi đó tín hiệu chuyển động đúng nhịp theo thời gian do môi trường không phân tán và có một sự liên quan trực tiếp giữa không gian và thời gian mà chúng ta có thể xác định một thông số quan trọng của tín hiệu, đó là bước sóng l được tính bởi công thức: (1.1) đây chính là quãng đường mà tín hiệu di chuyển được trong thời gian một chu kỳ. 1.2.2. Các tín hiệu truyền lan được giả thiết là sinh ra bởi 1 nguồn điểm Nghĩa là kích thước của nguồn rất nhỏ so với khoảng cách giữa nguồn và các cảm biến đo tín hiệu. Mặt khác ta luôn có giả thiết là các cảm biến đo tín hiệu cũng có kích thước không gian là một điểm (gọi là điểm thu) và đặt ngay tại tâm của hệ toạ độ không gian. Khi đó đường thẳng nối giữa nguồn điểm và điểm thu được gọi là phương truyền lan. Trường hợp có nhiều nguồn điểm và một điểm thu, thì không gian lân cận điểm thu chính là môi trường hoạt động của tín hiệu SOE (Signal Operational Environment) và tại điểm thu sẽ có sự chồng chất của các tín hiệu từ các nguồn điểm khác nhau. 1.2.3. Môi trường truyền lan là đẳng hướng Khi đó việc bức xạ năng lượng từ 1 nguồn điểm tạo thành các mặt sóng truyền lan đồng pha hình cầu. Nếu giả thiết rằng khoảng cách giữa nguồn và các cảm biến đo tín hiệu là rất lớn thì có thể suy ra rằng mặt sóng truyền lan hình cầu xấp xỉ thành mặt sóng truyền lan phẳng gọi là mặt phẳng sóng. Như vậy mặt phẳng sóng luôn vuông góc với phương truyền lan. Sự xấp xỉ này được minh hoạ như hình vẽ 1.1 Nguồn phát xạ Trường gần Trường xa . . . . Hình 1.1 1.3. Tín hiệu không gian trong hệ toạ độ cực 1.3.1. Biểu diễn tín hiệu không gian trong hệ toạ độ cực Trường hợp tổng quát, cách biểu diễn trực quan nhất của tín hiệu không gian là ở hệ toạ độ cực, đó là một hàm theo 3 chiều không gian và 1 chiều thời gian, ký hiệu là s(R,t), trong đó là biến véc tơ không gian chỉ vị trí theo toạ độ cực, với gọi là độ lớn hay khoảng cách tới gốc, là góc phương vị, là góc ngẩng. Như vậy tại một thời điểm ti , tín hiệu không gian được biểu diễn bằng một điểm trong không gian (hình 1.2) Phương truyền lan Tín hiệu tới N N-1 1 2 3 Các cảm biến Hình 1.2 Đối với các sóng truyền lan được phát ra từ một nguồn đặt tại R0 , từ phương trình sóng suy ra một nghiệm là tín hiệu không gian có dạng: (1.2) Trong đó: A – Biên độ phức. Fc – Tần số sóng mang. c – Vận tốc truyền lan của sóng. Trong biểu thức này, ngầm định công nhận một giả thiết đặc biệt về vị trí của nguồn phát sóng tín hiệu là tại vô cùng, nghĩa là , khi đó do tính chất truyền lan cách xa nguồn ta đã loại bỏ được sự phụ thuộc vào góc phương vị và góc ngẩng . Nghĩa là tín hiệu đi theo một đường thẳng từ điểm có toạ độ R0 tới gốc toạ độ (là nơi đặt điểm thu). Như vậy góc phương vị và góc ngẩng không thay đổi mà chỉ thay đổi khoảng cách r0 . Đường thẳng này chính là phương truyền lan và các mặt phẳng vuông góc với phương truyền lan chính là mặt phẳng sóng. Góc lập bởi phương truyền lan và đường thẳng đi qua gốc vuông góc với trục gốc (cùng nằm trong một mặt phẳng với phương truyền lan) được gọi là góc tới . Tất cả các tín hiệu truyền lan có cùng góc tới lập thành một mặt nón (Hình 1.2), đặc trưng bằng góc đỉnh nón và ta có: Mặc dù cách biểu diễn trong hệ toạ độ cực là dễ hình dung nhất, nhưng trong các cách biểu diễn sang miền đối ngẫu bằng các phép biến đổi lại trở nên rất phức tạp. Vì thế, khi thực hiện các phân tích tín hiệu và hệ thống, người ta thường sử dụng cách biểu diễn trong hệ toạ độ Cartesian. 1.3.2 Miền đối ngẫu của tín hiệu không gian trong hệ toạ độ cực Tương tự như định nghĩa về tần số f, đại lượng đối ngẫu của thời gian (là số lần chu kỳ thời gian trong một đơn vị thời gian) là: Trong đó T gọi là chu kỳ thời gian để chỉ thời gian thực hiện một quá trình, ví dụ như quá trình truyền lan của tín hiệu theo dạng sóng. Tần số không gian góc (hay số sóng góc) được đinh nghĩa là: (1.3) Hình 1.3 Trong đó là chu kỳ góc không gian, chính là một góc không gian quay được trong khoảng thời gian 1 chu kỳ thời gian T của chuyển động truyền lan tín hiệu sóng. Tần số không gian góc là đại lượng đối ngẫu của góc không gian và là số lần góc không gian quay được cách quãng nhau theo góc trong một đơn vị góc (Hình 1.3) Như vậy tương ứng với góc phương vị và góc ngẩng trong hệ toạ độ cực, ta cũng có các đại lượng tần số không gian góc phương vị và tần số không gian góc ngẩng . Tần số không gian khoảng cách (số sóng khoảng cách): (1.4) Trong đó R là chu kỳ khoảng cách không gian (theo phương truyền lan của tín hiệu) hay cũng chính là khoảng cách giữa hai mặt phẳng sóng đồng pha liên tiếp. Lúc đó, tần số không gian khoảng cách là đại lượng đối ngẫu của khoảng cách không gian và là số lần dịch chuyển qua các khoảng cách chu kỳ R theo phương truyền lan của tín hiệu sóng trên một đơn vị độ dài không gian. Theo hình 1.4, giả sử phương truyền lan của tín hiệu là trục gốc của toạ độ cực có chu kỳ khoảng cách là (bước sóng của tín hiệu truyền lan) thì tín hiệu có phương truyền lan lập với trục gốc góc tới có chu kỳ khoảng cách không gian là , khi đó tần số không gian khoảng cách của tín hiệu này là: Hình 1.4 (1.5) Như vậy với một tín hiệu truyền lan có sóng mang xác định, nghĩa là bước sóng xác định, thì tương ứng với mỗi tần số không gian khoảng cách là một góc xác định. Hay nói cách khác miền đối ngẫu của chuyển dịch vị trí không gian chính là một góc không gian. Từ các khái niệm trên, đối ngẫu với vector không gian là vector tần số không gian . Kết quả, phổ của tín hiệu không gian được xác định qua biến đổi Fourier: (1.6) và ngược lại, tín hiệu không gian s(R,t) trong (1.6) được xác định thông qua biến đổi Fourier ngược là: (1.7) 1.4. Tín hiệu không gian trong hệ toạ độ Decac 1.4.1. Biểu diễn tín hiệu không gian trong hệ toạ độ Decac (Cartesian) Trong hệ toạ độ Decac, tín hiệu không gian được biểu diễn như một hàm của vị trí không gian X và thời gian t, ký hiệu là s(X,t), trong đó X=(x,y,z) là biến vector không gian chỉ vị trí theo toạ độ Decac. Như vậy tại một thời điểm ti, tín hiệu không gian s(X,ti) được biểu diễn bằng một điểm Xi=(xi, yi, zi) trong không gian (hình 1.5) Hình 1.5 Từ hình 1.5, ta có quan hệ giữa các toạ độ không gian hệ Decac và toạ độ không gian hệ cực là: (1.8) Trong một khoảng thời gian liên tiếp, do sự truyền lan của tín hiệu, các điểm biểu diễn tín hiệu theo thời gian sẽ vạch thành đường truyền trong không gian. Sự truyền lan của tín hiệu và đường truyền tín hiệu là các hàm không gian phức tạp được giải theo các phương trình sóng, phụ thuộc vào môi trường truyền dẫn, thường rất khó phân tích trực tiếp. Mặt khác việc phân tích các hệ thống xử lý tín hiệu trong miền không gian- thời gian cũng rất phức tạp. Vì thế, trên thực tế thường biến đổi sang miền đối ngẫu. 1.4.2. Miền đối ngẫu của tín hiệu không gian trong hệ toạ độ Decac Biến đổi Fourier 4 chiều thuận ngược của tín hiệu không gian dẫn tới khái niệm tương ứng là phổ số sóng- tần số với các quan hệ: (1.9) (1.10) Trong đó: - Tần số góc, là đại lượng đối ngẫu của thời gian t. - Véc tơ số sóng (số lượng các sóng trên một đơn vị khoảng cách không gian, còn có thể gọi là tần số không gian góc) là đại lượng đối ngẫu của vector không gian X. Tương tự như trên, miền đối ngẫu của không gian- thời gian (X,t) là miền số sóng góc- tần số góc . Tần số góc có quan hệ rất quen thuộc với tần số f , đó là : Tương tự (1.5), ta có các tần số khoảng cách fx , fy , fz được xác định như sau: , , (1.11) Xét một tín hiệu điều hoà phức không gian thành phần dạng: (1.12) được gọi là tín hiệu cơ sở thành phần. Phổ của tín hiệu cơ sở thành phần trong miền số sóng- tần số theo (1.9) là một xung Đirac 4 chiều tại điểm và : (1.13) nghĩa là tại mỗi điểm trong miền số sóng- tần số tương ứng với 1 tín hiệu, chính là tín hiệu cơ sở thành phần nói trên, được truyền lan trong miền không gian- thời gian (X,t) với một tần số, tốc độ và hướng xác định riêng. Đó là, bằng cách định nghĩa vector như sau: (1.14) Khi đó có thể viết lại (1.12) thành: (1.15) Vậy là có thể hiểu như một sóng phẳng có tần số , truyền lan theo hướng .Khi đó còn được gọi là véc tơ giữ chậm. 1.5. Mạch lọc và quá trình xử lý tín hiệu không gian 1.5.1. Khái niệm chung Trong quá trình xử lý các tín hiệu không gian, mà các tín hiệu này được xét như một hàm của không gian và thời gian đã nêu trong phần trước, chúng ta thường quan tâm đến việc tách biệt các thành phần tín hiệu theo một tần số nhất định nào đó và theo một tốc độ truyền lan nhất định nào đó (cả vận tốc và hướng). Vấn đề này có thể được giải quyết như một bài toán lọc nhiều chiều, định nghĩa lý thuyết như một quá trình lọc trong không gian số sóng- tần số. Nó cũng tương tự như việc muốn tách biệt các thành phần tần số nhất định của tín hiệu thông thường (1 biến thời gian) bằng cách sử dụng các mạch lọc thông dải. 1.5.2. Đáp ứng xung và đáp ứng số sóng- tần số Tín hiệu không gian s(X, t) có phổ số sóng- tần số nhận được từ (1.9). Thực hiện xử lý tín hiệu không gian này bằng một hệ thống tuyến tính dịch chuyển bất biến 4 chiều, hay cũng chính là một mạch lọc không gian có đáp ứng xung h(X, t). Khi đó nhận được trên đầu ra của hệ thống là tín hiệu không gian f(X, t). Đáp ứng xung h(X, t) của mạch lọc này được thiết kế để cho qua các thành phần của tín hiệu quan tâm và loại bỏ các thành phần của các tín hiệu khác không mong muốn, ví dụ như nhiễu. Khi đó các tín hiệu không gian vào và ra của mạch lọc được xác định qua tích phân chập liên tục 4 chiều: (1.16) Trong miền số sóng- tần số, phổ của tín hiệu đầu ra bằng tích của phổ của tín hiệu đầu vào và đáp ứng số sóng- tần số của mạch lọc: (1.17) với là phổ của tín hiệu đầu ra và là đáp ứng số sóng- tần số của mạch lọc, là biến đổi Fourier 4-D tương ứng của f(X, t) và h(X, t). Như vậy để tách lấy các thành phần tín hiệu mong muốn, phải thiết kế được các mạch lọc có đáp ứng số sóng- tần số sao cho xấp xỉ bằng 1 trong khoảng mong muốn của không gian và xấp xỉ bằng 0 trên khoảng còn lại. Nếu chúng ta muốn chọn lọc lấy các thành phần tín hiệu trên một dải tần số hẹp nào đó xung quanh tần số , không kể tới vận tốc hay hướng truyền lan, thì sẽ có dạng của một đáp ứng tần số thông dải 1 chiều mà nó không phụ thuộc vào . Còn nếu chúng ta muốn chọn lọc lấy các thành phần tín hiệu chỉ theo một số hướng truyền lan hẹp nào đó trong không gian với vận tốc truyền lan nhất định, thì sẽ có dạng của một đáp ứng số sóng thông dải 3 chiều trên miền số sóng mà nó không phụ thuộc vào tần số . Trong trường hợp tổng quát nhất, nếu chúng ta muốn chọn lọc lấy các thành phần tín hiệu với 1 tần số, vận tốc và hướng truyền lân cận một giá trị nhất định nào đó , thì sẽ có dạng của 1 đáp ứng số sóng- tần số thông dải 4 chiều trên miền số sóng- tần số mà tâm dải thông của nó chính là . 1.6. Bộ tạo tia (Beam Former) 1.6.1.Bộ tạo tia- Mạch lọc không gian điển hình Hình 1.6 Bộ tạo tia là một dạng điển hình của mạch lọc không gian, mà nó có thể được áp dụng một cách thích hợp cho tín hiệu mang bởi các sóng truyền lan. Mục đích của một hệ thống tạo tia là nhằm tách các thành phần tín hiệu truyền lan theo một hướng nhất định nào đó. Từ giả thiết môi trường tổn hao tối thiểu, không phân tán, nên các sóng đều truyền lan với cùng một tốc độ c, hay nói cách khác tín hiệu quan tâm nằm trên mặt của hình nón trong không gian . Mặt khác, trong trường hợp lý tưởng bộ tạo tia có đặc tính định hướng theo véc tơ . Như vậy, dải thông của bộ tạo tia là phần giao nhau của mặt nón và mặt phẳng chứa vector hướng như mô tả trên hình 1.6. Thực hiện vật lý bộ tạo tia là một mảng gồm N cảm biến đặt trong không gian để thu nhận và xử lý các tín hiệu không gian. Các cảm biến này trong trường hợp thực tế cụ thể có thể là một chấn tử antenna, micro thu thanh... và nói chung là một thiết bị cảm nhận được tín hiệu mang bởi sóng truyền lan. Cảm biến thứ i đặt tại toạ độ Xi và tín hiệu mà nó cảm nhận được ký hiệu là ri(t). Vì vị trí xác định của các cảm biến, nên chúng thực hiện lấy mẫu của tín hiệu không gian s(X, t). Nếu giả sử rằng quá trình lấy mẫu là lý tưởng thì tín hiệu cảm nhận được trên 1 cảm biến ri(t) là: ri(t)= s(X, t) (1.18) Tín hiệu đầu ra của mỗi cảm biến được nhân với một trọng số dạng: (1.19) Cuối cùng, tín hiệu trên các nhánh được tổng hợp lại thành 1 tín hiệu đầu ra của bộ tạo tia. Do các trọng số là phức, được biểu diễn dưới dạng góc pha và biên độ, nên có thể chia các mạch lọc không gian thành một số cấu trúc cơ bản như sau. 1.6.2. Các cấu trúc cơ bản của bộ tạo tia 1.6.2.1. Cấu trúc trễ- lấy tổng Đây là cấu trúc đơn giản nhất của bộ tạo tia, còn gọi là cấu trúc không phụ thuộc tần số, có dạng như hình 1.7 Hình 1.7 Tín hiệu đầu ra là: (1.20) trong đó: wi – Trọng số. - Thời gian trễ đặt lên tín hiệu nhận được trên cảm biến thứ i. Thời gian trễ có ý nghĩa xác định tâm dải thông không gian của bộ tạo tia. Chúng hướng bộ tạo tia theo một hướng nhất định trong không gian, nên thường hay được gọi là độ trễ lái tia. Như vậy, bộ tạo tia sẽ cho đi qua các mặt phẳng sóng truyền lan theo một hướng nhất định nào đó với vector giữ chậm , khi thời gian trễ trên từng nhánh được xác định theo: (1.21) 1.6.2.2. Cấu trúc lọc – lấy tổng Trong một số trường hợp, các thành phần tín hiệu có thể được xử lý khác nhau theo tần số, khi đó các trọng số sẽ phụ thuộc vào tần số, ký hiệu là và biến đổi ngược Fourier tương ứng là . Các cấu trúc như vậy gọi là cấu trúc lọc- lấy tổng, hay còn gọi là cấu trúc phụ thuộc tần số. Trên cảm biến thứ i, tín hiệu thành phần với tần số có thể viết là , trong đó là biến đổi Fourier của tín hiệu cảm nhận được ri(t). Từ hình 1.11, tương tự như (1.20), ta có tín hiệu đầu ra của bộ tạo tia lọc- lấy tổng tại tần số là: (1.22) Để áp dụng toán tử tạo tia phụ thuộc tần số đối với tất cả các tần số, trong (1.22), thay bằng và lấy tích phân theo tần số, ta có: (1.23) trong đó, để đơn giản, ta đã đặt: (1.24) Nếu áp dụng định lý tổng chập, ta có thể viết là: (1.25) Từ (1.25), tín hiệu được xác định như quá trình lọc tín hiệu thu được bởi một mạch lọc có đáp ứng xung , chính vì thế và từ (1.23), bộ tạo tia trường hợp này có tên gọi là lọc và lấy tổng. 1.6.3. Đáp ứng số sóng- tần số và khái niệm giản đồ hướng 1.6.3.1. Đáp ứng số sóng- tần số của cấu trúc trễ- lấy tổng Khảo sát đáp ứng của bộ tạo tia cấu trúc trễ- lấy tổng đối với một tín hiệu không gian s(X, t) đến từ một phía bất kỳ nào đó theo vector giữ chậm . Sau khi lấy mẫu và làm trễ trên từng nhánh của bộ tạo tia trở thành . áp dụng công thức (1.10), ta có: (1.26) Từ (1.21) : , thay vào (1.26), ta có: (1.27) Tín hiệu đầu ra bộ tạo tia theo (1.20) là: (1.28) trong đó, ta đã đặt: (1.29) mà chính là DFT của hàm trọng số wi , tính theo các toạ độ xi của cảm biến tương ứng và được gọi là giản đồ hướng. Giản đồ hướng là một đặc tuyến rất quan trọng, nó cho biết các tính chất về hướng không gian của mạch lọc không gian. Từ (1.29), ta thấy đạt cực đại khi , suy ra từ (1.28), tín hiệu đầu ra bộ tạo tia cũng lớn nhất khi (với ), nghĩa là mạch lọc không gian được lái về hướng vector (với các sóng truyền lan theo vector giữ chậm ) và suy giảm theo các hướng khác. Mặt khác, nếu áp dụng định lý chập vào (1.16), ta có: (1.30) Do đó, nếu đồng nhất đầu ra của bộ tạo tia (1.28) với đầu ra của mạch lọc không gian (1.30), bằng cách đặt vị trí đầu ra của bộ tạo tia ở gốc của hệ toạ độ không gian X=0, nghĩa là y(t)=f(0, t), thì ta có: (1.31) Khi đó, đáp ứng số sóng- tần số của bộ tạo tia chính là giản đồ hướng tại hướng , và mạch lọc không gian (hay bộ tạo tia) được gọi là phù hợp. Chú ý rằng, trong một số trường hợp khi các tần số công tác xấp xỉ tần số trung tâm , trong công thức (1.31) có thể cho , và đó là các bộ tạo tia dải hẹp với đáp ứng số sóng- tần số là: (1.32) Còn ngược lại thì được gọi là bộ tạo tia dải rộng. 1.6.3.2. Đáp ứng số sóng- tần số của cấu trúc lọc- lấy tổng. Tín hiệu đầu ra của mạch lọc không gian trong trường hợp tổng quát như (1.16) có thể viết dưới dạng: (1.33) Đồng nhất (1.33) với tín hiệu đầu ra của bộ tạo tia lọc- lấy tổng (1.23), tương tự như trên ta có đáp ứng số sóng- tần số đối với bộ tạo tia lọc- lấy tổng là: (1.34) Từ (1.34), ta thấy rằng tính chọn lọc tần số của bộ tạo tia lọc- lấy tổng là rất cao, vì đáp ứng số sóng tần số trong trường hợp này phụ thuộc vào các trọng số và các trọng số này phụ thuộc vào tần số. 1.6.4. Mảng tuyến tính cách đều (ULA - Uniform Linear Array) 1.6.4.1. Khái niệm Mảng tuyến tính cách đều là một mảng gồm N cảm biến đặt trên một đường thẳng cách đều nhau một khoảng cách d (), nằm ngay trên trục x từ gốc toạ độ (Hình 1.8). Đây là một trường hợp riêng của mạch lọc không gian tổng quát. Hình 1.8 Từ hình 1.8, ta có toạ độ của cảm biến thứ i là: Không mất đi tính tổng quát, ta giả thiết rằng với mọi i. Thay vào (1.29) và biến đổi, ta có giản đồ hướng của ULA là: (1.35) Chú ý rằng trong trường hợp tổng quát, giản đồ hướng là một hàm của số sóng góc 3 chiều . Nhưng ta chỉ xét trường hợp cụ thể ở đây là chỉ có x biến thiên, còn y=z=0. Hình 1.9 Đồ thị biên độ giản đồ hướng của ULA được vẽ trên hình 1.9. Từ đồ thị ta thấy giản đồ hướng của ULA tuần hoàn theo , với chu kỳ . Giả sử tín hiệu truyền lan đến ULA theo hướng của vector giữ chậm . Khi đó để lái bộ tạo tia phù hợp với hướng tới của tín hiệu thì các độ trễ theo (1.21) là: (1.36) và giản đồ hướng của bộ tạo tia phù hợp với tín hiệu này có dạng . Theo định nghĩa : (1.37) suy ra: (1.38) Theo (1.11) thì , thay vào (1.38), ta có: , thay vào (1.36), ta có: (1.39) 1.6.4.2. Mô hình giải tích dạng vector của tín hiệu rời rạc tác động lên ULA Tín hiệu không gian- thời gian liên tục (truyền lan với tần số f0) s(X, t) được rời rạc hoá theo thời gian, trở thành s(X, n) với tần số lấy mẫu fs (). Tín hiệu thu trên cảm biến thứ i là: (1.40) Với i=0, đặt . Từ hình 1.12, tín hiệu thu được trên cảm biến thứ i chính là tín hiệu s(n) bị trễ đi một khoảng thời gian , tức là: (1.41) Gọi tạp âm trên mỗi nhánh cảm biến là , khi đó vector tạp âm tác động lên toàn bộ ULA là : . Mô hình giải tích dạng vector của các tín hiệu thu được trên toàn bộ ULA là: (1.42) và vector tín hiệu rời rạc đầy đủ trên toàn bộ ULA là: x(n)=r(n) + u(n) (1.43) Thay (1.41) và (1.42) vào (1.43), ta có: (1.44) trong đó: (1.45) được gọi là vector đáp ứng của ULA. Do các cảm biến của ULA đặt cách đều nhau thành đường thẳng với khoảng cách d trong không gian, nên thực chất là nó thực hiện lấy mẫu không gain với tần số: Tần số không gian khoảng cách tương đối là: (1.46) Từ (1.45), ta có: (1.47) Vector đáp ứng dạng (1.47) còn được gọi là vector Vandermonde. 1.6.4.3. Tỷ số tín hiệu trên tạp âm đầu ra ULA Từ công thức (1.20), viết dưới dạng rời rạc ta có: (1.48) trong đó ta đã đặt: gọi là trọng số phức và ký hiệu: (1.49) gọi là vector trọng số ULA. Khi đó, (1.48) được viết gọn lại dưới dạng vector là: y(n)=wH . r(n) (1.49)/ và nếu tính cả tạp âm là: y(n)=wH . x(n) (1.49)// Trong đó [.]T là ký hiệu chuyển vị, [.]H ( hoặc [.]* ) là ký hiệu chuyển vị Hermitian. Giả sử tín hiệu tới ULA với một góc xác định . Với giá trị này, thay (1.44) vào (1.49)//, ta có: (1.50) trong đó, ta đã đặt: chính là tạp âm đầu ra của ULA. Tổng công suất đầu ra ULA: trong đó: là ma trận tương quan tín hiệu đầy đủ ULA. Mặt khác nếu xét trên từng nhánh cảm biến: Gọi công suất tín hiệu trên một nhánh cảm biến là: và công suất tạp âm trên một nhánh cảm biến là: thì tỷ số tín hiệu trên tạp âm đầu vào trên một nhánh cảm biến là: Công suất tín hiệu đầu ra ULA: Công suất tạp âm đầu ra ULA: Ta có tỷ số tín hiệu trên tạp âm đầu ra của ULA là: (1.51) Thông thường để đánh giá hiệu quả của mảng cảm biến ULA, người ta sử dụng hệ số cải thiện IF (Improvement Factor): (1.52) 1.6.4.4. Sự phối hợp không gian của ULA Một mạch lọc được gọi là phối hợp với tín hiệu khi đáp ứng của nó có dạng trùng hợp với dạng thời gian hoặc không gian của tín hiệu. Như vậy ULA được gọi là phối hợp không gian với tín hiệu đến theo góc tới , nếu vector trọng số của ULA bằng với vector đáp ứng của tín hiệu, nghĩa là: Khi đó, từ (1.52), ta có hệ số cải thiện của ULA phối hợp không gian là: (1.53) Như vậy, hệ số cải thiện của ULA phối hợp không gian là lớn nhất và chỉ phụ thuộc vào số lượng cảm biến N. 1.7. Phần xử lý thời gian 1.7.1. Nguyên lý phát hiện mục tiêu trong môi trường nhiễu phản xạ cộng tạp âm Tín hiệu mà radar thu nhận được bao gồm nhiễu phản xạ (bức xạ từ các vật không cần quan tâm) và tín hiệu mục tiêu (bức xạ thu được từ các vật quan tâm). Để tách biệt tín hiệu mục tiêu ra khỏi nền nhiễu phản xạ, ta phải dựa trên các dấu hiệu đặc trưng. Một trong những dấu hiệu đặc trưng thông dụng nhất được sử dụng đó là vận tốc của mục tiêu. Các kỹ thuật phân biệt tín hiệu mục tiêu và nhiễu phản xạ theo vận tốc thường hoạt động dựa trên hiệu ứng Doppler. 1.7.1.1. Hiệu ứng Doppler Giả sử radar phát xạ tín hiệu có dạng: (1.54) trong đó : . là tần số sóng mang . với Pt là công suất phát xạ, và E(t) là đường bao của dạng sóng phát xạ với chuẩn đơn vị, nghĩa là: (1.55) Giả sử một mục tiêu phản xạ lý tưởng cách radar một khoảng Rt , tín hiệu phản xạ thu được là: (1.56) trong đó: , với Pr là công suất thu. là thời gian trễ do tín hiệu truyền lan đi- về giữa radar và mục tiêu, được tính là: (1.57) Tín hiệu thu (1.54) được thực hiện giải điều chế bằng cách nhân với , sau đó cho qua mạch lọc thông thấp, kết quả là: Tín hiệu này được đưa tiếp qua mạch lọc băng giới hạn phối hợp (nghĩa là đáp ứng của mạch lọc này có dạng trùng đúng như đường bao tín hiệu E(t) và tín hiệu đầu ra là: (1.58) trong đó là thời gian tín hiệu tới mạch lọc phối hợp. Theo lý thuyết, tín hiệu đầu ra của mạch lọc phối hợp sẽ đạt giá trị cực đại khi và khi đó nếu thay (1.55) vào (1.58), ta có: (1.59) Biểu thức (1.59) có nghĩa là, thời gian từ lúc phát tín hiệu đi cho đến lúc thu được tín hiệu cực đại đúng bằng Ar chính là là thời gian trễ cần xác định. Nếu biết , thay vào (1.57), ta tính được khoảng cách Rt tới mục tiêu. Xét trường hợp mục tiêu chuyển động với vận tốc xuyên tâm đều . Tại thời điểm t=0, khoảng cách tới mục tiêu là R0. Do mục tiêu chuyển động nên khoảng cách biến thiên theo thời gian: (1.60) Tín hiệu thu được tại thời điểm t đã bị phản xạ tại thời điểm và tại đúng thời điểm phản xạ đó, mục tiêu đang ở khoảng cách là: (1.61) Thay (1.61) vào (1.57), giải phương trình theo ta có: Do vận tốc ánh sáng c là rất lớn nên và có thể bỏ qua, do đó: (1.62) Thay (1.62) vào (1.56), ta có tín hiệu thu được của mục tiêu chuyển động là: (1.63) Như vậy tín hiệu thu được của mục tiêu có 2 hiệu ứng là: Đường bao của tín hiệu có thể bị co vào hoặc giãn ra. Điều này có nghĩa là mạch lọc phối hợp nếu không thay đổi được đáp ứng của nó thì sẽ trở thành không phối hợp. Như vậy để đảm bảo sự phối hợp cần phải sử dụng mạch lọc thích nghi. Trên thực tế, trong một số trường hợp đơn giản thì hiện tượng co giãn đường bao tín hiệu có thể bỏ qua. Tần số mang bị dịch đi một lượng: (1.64) trong đó được gọi là tần số Doppler. Việc dịch tần số sóng mang đi một lượng bằng tần số Doppler này cũng sinh ra sự không phối hợp tần số của mạch lọc phối hợp. Nếu như đảm bảo sao cho tần số Doppler thoả mãn (trong đó Bs là độ rộng băng tín hiệu) thì hiệu ứng không phối hợp tần số có thể bỏ qua. Nếu thực hiện tách sóng và lọc thông thấp cho tín hiệu thu (1.63), ta có: Nếu rời rạc hoá theo thời gian , trở thành: (1.65) 1.7.1.2. Nguyên lý phát hiện mục tiêu trong nhiễu phản xạ qua xử lý Doppler Để có thể phát hiện được tín hiệu mục tiêu trong sự hiện diện của nhiễu phản xạ, kỹ thuật xử lý Doppler dựa trên cơ sở dấu hiệu về vận tốc. Thông thường, các mục tiêu có vận tốc chuyển động nhất định nên tần số Doppler của chúng không nằm trong khoảng tần số thấp và cách xa gốc 0. Ngược lại, các vật gây nhiễu thường đứng yên hoặc có vận tốc chuyển động rất chậm, do đó tần số Doppler của chúng bằng 0 hoặc rất thấp. Như vậy thực chất dấu hiệu phân biệt giữa mục tiêu và vật gây nhiễu chính là sự phân bố phổ của chúng. Hình vẽ sau mô tả nguyên lý của kỹ thuật này: Hình 1.10 Giả sử radar đứng yên và phát đi tín hiệu là các xung sóng sin, với tín hiệu đường bao biên độ tổng quát là: (1.66) Trong đó: p(t) là hàm dạng xung : t0 là thời điểm bắt đầu xung, tx là thời gian kéo dài xung. Khoảng cách giữa 2 xung sóng sin được gọi là khoảng lặp xung PRI (Pulse Repetition Interval), ký hiệu là Tp, là nghịch đảo của tần số lặp xung PRF (Pulse Repetition Frequency), ký hiệu là fp. Tần số của sóng sin (tần số mang) f0 và fp có liên quan đến nhau chặt chẽ. Trong một khoảng lặp xung Tp phải chứa một số nguyên lần các chu kỳ sóng mang T0: , n nguyên Đối với các vật phản xạ đứng yên, khoảng cách giữa 2 xung sóng sin vẫn là PRI. Đối với các vật phản xạ chuyển động (về phía Radar), khoảng cách giữa 2 xung là PRI/ < PRI. Đây chính là cơ sở nguyên lý hoạt động của kỹ thuật chỉ báo mục tiêu di động MTI (Moving Target Indicator), mà điển hình là bank lọc Doppler. 1.7.2. Bank lọc Doppler Sơ đồ nguyên lý của Bank lọc Doppler Trễ 1 TPRI Trễ 2 TPRI Trễ M-1 TPRI s in(t) s0(t) s1(t) s2(t) sM-1(t) sout(t) Hình 1.11 Từ (1.63), do c rất lớn hơn so với vận tốc mục tiêu nên và có thể bỏ qua, nên ta cũng bỏ qua hiệu ứng co giãn đường bao và xét tín hiệu đường bao biên độ tổng quát (1.65), thì tín hiệu phức đầu vào bank lọc Doppler có dạng: Đặt là tần số Doppler và là góc pha ban đầu. Ta có : (1.67) Không làm mất đi tính tổng quát, ta giả thiết góc pha đầu . Khi đó: (1.68) Thành phần trong ngoặc vuông là thành phần điều chế sóng mang cần quan tâm, thành phần còn lại đơn thuần chỉ là sóng mang nên có thể bỏ qua. Xét tín hiệu từ thời điểm , tín hiệu đầu vào tại cổng thứ k () của bộ cộng là: (1.69) Trong (1.69), lưu ý rằng: Thực chất mỗi trọng số là một mạch lọc, được biểu diễn theo một đáp ứng xung phức: , trong đó gọi là tần số lái. Do đó, thay vì phép nhân với trọng số, ta phải thực hiện phép tích chập với đáp ứng xung, hay phép nhân với liên hợp phức của trọng số. Vì chỉ xét tất cả các tín hiệu đầu vào bộ cộng chỉ tại thời điểm cố định , tương đương với 1 số hạng cố định, nên dấu tổng trong (1.68) không còn. Tín hiệu đầu ra bộ cộng là: (1.70) trong đó ta đặt: (1.71) gọi là đáp ứng của bank lọc Doppler. Đây là một hàm của tần số lái . Như vậy, bank lọc Doppler có dạng tương tự như mạch lọc không gian. Thay vì việc lái tia trong không gian, bank lọc Doppler thực hiện lái tần số theo tần số Doppler. Cho với mọi k, và đối với nhiễu phản xạ đứng yên , và biến đổi (1.71), ta có: (1.72) Từ (1.72), ta có đồ thị của có dạng như hình (1.16) với M=10: Hình 1.12 Chương 2 Xử lý tín hiệu không gian – thời gian thích nghi- STAP (Spatial Temporal Adaptive Processing) 2.1. Tổng quan về xử lý tín hiệu không gian- thời gian tối ưu 2.1.1. ý nghĩa của xử lý không gian- thời gian tối ưu Mục đích của xử lý tín hiệu không gian- thời gian tối ưu, là nhằm tách lọc tín hiệu quan tâm ra khỏi các tín hiệu không quan tâm khác như nhiễu và tạp âm, thực hiện đồng thời trên cả 2 chiều không gian và thời gian. Thực chất của quá trình xử lý tối ưu thường gồm 2 giai đoạn: Lọc nén triệt nhiễu và lọc phù hợp tín hiệu, nên đây là một quá trình rất phức tạp. Hình 2.1 Xét một ví dụ hay gặp trong xử lý tín hiệu không gian- thời gian tối ưu của radar. Hình 2.1 mô tả ví dụ này trong không gian tần số Doppler (đối ngẫu của miền thời gian) và góc phương vị – tương ứng với tần số không gian (đối ngẫu của miền không gian). Phổ của các mục tiêu là các vạch nằm tại các vị trí nhất định. Mục tiêu chuyển động chậm có tần số Doppler nhỏ là các vạch đậm. Mục tiêu chuyển động nhanh có tần số Doppler lớn là các vạch nhạt hơn. Phổ của nhiễu phản xạ có phân bố theo cả tần số Doppler và góc phương vị có quan hệ: (2.1) trong đó: .fD là tần số Doppler của nhiễu phản xạ. .vp là vận tốc chuyển động của radar. . là bước sóng tần số sóng mang. . là góc lập bởi phương chuyển động của radar và hướng của nguồn nhiễu tới radar. Do đó phổ của nhiễu phản xạ sẽ nằm trên mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng tần số Doppler – góc phương vị và chứa đường chéo tần số Doppler – góc phương vị. Giả sử biên độ của phổ nhiễu có dạng của giản đồ hướng của antenna thu là hàm sinc. Sử dụng các phương án khác nhau để nén triệt nhiễu với các tình huống như sau: Sử dụng mạch lọc thời gian tối ưu: Đáp ứng mạch lọc tối ưu theo thời gian nằm trên mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng tần số Doppler- góc phương vị và song song với trục tần số Doppler, nên được gọi là mặt phẳng tần số Doppler. Đáp ứng mạch lọc nén triệt nhiễu tối ưu lý tưởng theo nguyên lý chính là đảo ngược của phổ nhiễu. Vì thế đồ thị đáp ứng của mạch lọc này nhận được bằng cách chiếu phổ của nhiễu phản xạ lên mặt phẳng tần số Doppler và được đảo ngược lại. Nó có dạng nằm trên mặt phẳng phía trong của hình 2.1. Ta thấy độ rộng dải chắn của đáp ứng phụ thuộc vào độ rộng búp chính của phổ nhiễu và trong trường hợp này là khá lớn. Mục tiêu chuyển động nhanh nằm cách xa gốc 0 của tần số Doppler nên rơi vào giải thông và dễ dàng phát hiện được. Mục tiêu chuyển động chậm nằm gần ngay gốc 0 của tần số Doppler nên rơi vào dải chắn và bị chặn nén bởi mạch lọc, kết quả không phát hiện được. Sử dụng mạch lọc không gian tối ưu. Tình hình tương tự cũng xảy ra đối với mạch lọc tối ưu không gian. Đáp ứng mạch lọc tối ưu theo không gian nằm trên mặt phẳng ở phía trái của hình 2.1. Đồ thị của nó cũng nhận được bằng cách chiếu phổ nhiễu phản xạ lên mặt phẳng góc phương vị (mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng tần số Doppler- góc phương vị và song song với trục ) và được đảo ngược lại. Chú ý rằng dải chắn nằm đúng hướng búp chính của radar. Vì thế các mục tiêu chuyển động nhanh hay chậm nhưng nằm trong búp chính của radar đều rơi vào dải chắn và bị chặn nén bởi mạch lọc, kết quả đều không phát hiện được. Như vậy mạch lọc tối ưu không gian đã làm cho radar bị “mù”. Sử dụng mạch lọc tối ưu không gian – thời gian. Về nguyên tắc, đáp ứng của mạch lọc theo không gian – thời gian nằm trên một mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng tần số Doppler- góc phương vị và ở bất kỳ vị trí nào. Nếu nó nằm song song với đường chéo chính, nghĩa là song song với mặt phẳng phổ nhiễu thì độ rộng dải chắn là cực đại, nhưng nếu nằm song song với đường chéo phụ như hình vẽ thì độ rộng dải chắn là hẹp nhất và chỉ như một vết khía. Trong trường hợp mạch lọc tối ưu không gian- thời gian, đáp ứng của mạch lọc có dạng vết khía này. Khi đó có thể thấy rằng các mục tiêu chuyển động chậm cũng có thể phát hiện được. Chính vì khả năng phát hiện mục tiêu rất cao của mạch lọc tối ưu không gian- thời gian như trên, trong radar đặc biệt có sự quan tâm đến vấn đề xử lý tín hiệu không gian- thời gian. Trong đề tài này, mặc dù không phải thuộc lĩnh vực radar, nhưng thường nêu các ví dụ và lấy các số liệu, thông số tính toán để làm nổi bật lên các kết quả về xử lý không gian- thời gian và có thể dùng đối với các lĩnh vực ứng dụng khác của xử lý không gian- thời gian tối ưu. 2.1.2. Các khái niệm cơ bản Xử lý tối ưu là quá trình làm cực đại hoá tỷ số tín hiệu trên nhiễu cộng tạp âm của một tín hiệu nhất định và đóng vai trò quan trọng trong quá trình xử lý thích nghi. Bộ xử lý không gian- thời gian tối ưu đồng thời xử lý tối ưu tín hiệu trong cả 2 miền thời gian và không gian. Vì xử lý không gian- thời gian tối ưu là một khâu cơ bản trong quá trình xử lý tín hiệu không gian- thời gian thích nghi STAP (Spatial Temporal Adaptive Processing), cho nên chúng ta xem xét trước hết về STAP. Cơ sở lý thuyết của vấn đề này là xử lý mảng và xử lý tín hiệu nhiều chiều, đã được đưa ra từ những năm 1970, nhưng phải đến mãi những năm gần đây nó mới được phát triển mạnh và có các ứng dụng hữu ích do có sự hỗ trợ của công nghệ máy tính. Hình 2.2 Hình 2.2 là một sơ đồ khối tổng quát của bộ xử lý không gian- thời gian thích nghi tuyến tính (tín hiệu đầu ra là tổ hợp tuyến tính của tín hiệu đầu vào với các trọng số). Các khối chính của sơ đồ này bao gồm: Tập hợp dữ liệu: Bao gồm các khâu thu nhận dữ liệu, giải điều chế, biến đổi A/D…Dữ liệu được thu thập đồng thời theo 2 chiều. Theo chiều không gian, dữ liệu lấy mẫu tín hiệu không gian bởi các mảng cảm biến. Trên thực tế dạng hình học của mảng các cảm biến có thể là bất kỳ, song đa số các trường hợp nhằm đơn giản hoá khi phân tích và thiết kết, người ta thường chọn dạng mảng tuyến tính cách đều ULA. Tín hiệu thu được từ mỗi cảm biến gọi là 1 kênh, được đưa qua một đường dây trễ gồm nhiều khâu, tạo thành luồng dữ liệu theo thời gian. Kết cấu của đường dây trễ (độ trễ mỗi khâu, trọng số,…) quyết định các đặc tính tần số của đường dây trễ như các mạch lọc tần số. Các mạch lọc đường dây trễ hay được dùng là bank lọc Doppler. Ước lượng nhiễu: Xử lý các dữ liệu thông tin. Đánh giá tín hiệu đầu ra so với các tiêu chí đã định. Đưa ra các thông số cần thiết làm cơ sở xác định giá trị các trọng số. Tính toán các trọng số: Thực hiện tính toán các trọng số, thực chất là giải một hệ các phương trình tuyến tính. Trong đó nhất thiết thực hiện 1 trong 2 thuật toán nặng nề nhất là: hoặc là phải nghịch đảo ma trận hiệp biến nhiễu, hoặc là phải xác định ma trận hình chiếu trực giao, tuỳ theo việc lựa chọn thiết kế. Khi kích thước của các ma trận này lớn, tuỳ theo kích thước của dữ liệu đầu vào, thì các thuật toán này trở nên rất phức tạp và chiếm nhiều thời gian của quá trình xử lý. Mạch lọc không gian- thời gian: Đây là phần cấu trúc cơ bản quan trọng nhất của bộ xử lý không gian- thời gian thích nghi. Các kết cấu này quyết định cách thực hiện xử lý tín hiệu của bộ xử lý. Phần này có thể bao gồm cả khối biến đổi không gian con sẽ được trình bày trong chương sau. Các tính toán phải thực hiện ở trong phần này rất đơn giản, chỉ bao gồm các khối cộng và nhân, nhưng có số lượng rất lớn, phụ thuộc vào khối lượng dữ liệu đầu vào. Như vậy việc thực hiện các tính toán phức tạp và nặng nề nhất của bộ xử lý không gian- thời gian thích nghi nằm trong 2 khâu tính toán trọng số và mạch lọc không gian- thời gian. Hai khâu này chính là bộ xử lý không gian- thời gian tối ưu. Bộ xử lý không gian- thời gian thích nghi được ứng dụng trong các hệ thống radar thực với mảng antenna có thể lên đến N=1000 phần tử hoặc hơn nữa, còn số lượng các xung thăm dò dùng để phát hiện mục tiêu cũng có thể lên đến M=1000, khi đó kích thước dữ liệu là NM=106, kéo theo một khối lượng tính toán khổng lồ mà thời gian tính toán, dung lượng bộ nhớ và giá thành không cho phép. Chính vì thế, để không quá phức tạp trong thiết kế và ứng dụng, người ta thường chỉ nghiên cứu các bộ xử lý không gian- thời gian thích nghi tuyến tính. Trong đề tài này, ta chọn một kích thước dữ liệu vừa đủ để tính toán số liệu và mô phỏng là N=24 và M=24. 2.2. Phân tích quá trình xử lý không gian- thời gian tối ưu 2.2.1. Mô hình vector tín hiệu không gian- thời gian Xác định mô hình vector tín hiệu và cách sắp xếp, tổ chức dữ liệu theo một thứ tự nhất định. Mỗi vector tín hiệu bao gồm 2 thành phần: Phần vô hướng chỉ độ lớn của vector và phần vector chỉ phương của vector (thường gọi là vector lái tín hiệu). Trong chương 1, mục 1.6.4.2, ta đã có vector tín hiệu không gian là tập hợp các tín hiệu thu nhận được từ đầu ra của dãy N cảm biến liên tiếp nhau là: trong đó: st(n) là độ lớn (phần vô hướng) của tín hiệu thu được từ dầu ra của một cảm biến bất kỳ tại thời điểm n fs là tần số không gian tương đối: vs(fs) là vector lái tín hiệu không gian, có dạng: (2.2) Chú ý là từ (2.2), suy ra , hay độ dài của vs là đơn vị Tương tự ta cũng có thể xây dựng các khái niệm về vector tín hiệu thời gian và vector lái tín hiệu thời gian. Tín hiệu phản xạ thu nhận được của 1 mục tiêu chuyển động theo (1.65), xác định tại đầu ra của cảm biến thứ n có dạng: (2.3) Khi cho tín hiệu này đi qua một đường dây trễ gồm M-1 khâu, với độ trễ mỗi khâu là Tp , tương đương như việc quay pha đi một góc đúng bằng (radian). Như vậy, từ đầu vào của đường dây trễ là tín hiệu Sau khâu trễ thứ nhất là tín hiệu : Sau khâu trễ thứ hai là tín hiệu: Sau khâu trễ thứ (M-1) là tín hiệu: Gọi sr là vector tín hiệu thời gian bao gồm các tín hiệu đầu ra của tất cả các khâu trễ liên tiếp, ta có: (2.4) trong đó: vt là vector lái tín hiệu thời gian (2.5) với là tần số Doppler tương đối. Chú ý là trong (2.5), cũng có , hay độ dài của vt là đơn vị. Sử dụng các vector tín hiệu một chiều này, ta có thể xây dựng được vector tín hiệu không gian- thời gian. Từ vector lái tín hiệu không gian và vector lái tín hiệu thời gian, ta có mô hình vector lái tín hiệu không gian- thời gian tương ứng với tần số không gian tương đối fs và tần số Doppler tương đối ft là: (2.6) trong đó: là ký hiệu tích Kronecker của 2 vector. Vector này cũng giống như 2 vector lái một chiều tương ứng, đó là có độ dài bằng đơn vị. Từ (2.6), ta thấy vector lái tín hiệu không gian- thời gian có kích thước NM1. Với vector lái tín hiệu không gian- thời gian vst , ta có thể xây dựng được mô hình vector tín hiệu không gian- thời gian cho một tín hiệu không gian tương đối fs và tần số Doppler tương đối ft là: Để đơn giản, ta có thể viết: (2.7) Biểu thức (2.7) là thành phần tín hiệu có ích cần quan tâm, ngoài ra trong môi trường hoạt động của tín hiệu còn có nhiễu và tạp âm. Vì vậy vector tín hiệu tổng hợp không gian- thời gian hay thường gọi là vector dữ liệu không gian- thời gian có dạng: (2.8) Trong đó: i(n) là thành phần vector nhiễu không gian- thời gian của vector dữ liệu. n(n) là thành phần vector tạp âm không gian- thời gian của vector dữ liệu. Chú ý: Tất cả các vector không gian- thời gian trong (2.8) đều có kích thước như của vector tín hiệu, nghĩa là bằng NM1. Vì biến thời gian luôn tính trong một thời điểm n, nên trong các trường hợp chỉ tính theo biến này có thể giảm lược không viết. Đặc điểm của vector nhiễu: Thành phần nhiễu được tạo thành bởi các tín hiệu truyền lan trong không gian mà chúng có thể không tương quan với nhau theo thời gian hoặc bao gồm các lũy thừa phức trong miền thời gian giống như tín hiệu quan tâm. Ví dụ trong trường hợp radar hàng không, nhiễu chèn đè là không tương quan với nhau theo thời gian, còn lại tương quan với nhau theo không gian, nghĩa là có thể cho nhiễu chèn đè như tạp âm không tương quan nhau đến từ một góc nào đó. Mặt khác, nhiễu phản xạ mặt đất lại sinh ra bởi sự phản xạ của tín hiệu radar từ mặt đất nên nó tương quan với nhau theo cả không gian và thời gian. Ma trận hiệp biến nhiễu được định nghĩa là: Đặc điểm của vector tạp âm: Tạp âm không tương quan với nhau theo cả không gian và thời gian. Do đó, ma trận hiệp biến tạp âm được định nghĩa là: 2.2.2. Ma trận hiệp biến nhiễu không gian- thời gian Từ (2.8), ta thấy trong vector dữ liệu ngoài thành phần vector tín hiệu có ích cần quan tâm, thì các thành phần còn lại là nhiễu và tạp âm, ký hiệu là q(n), gọi là vector nhiễu- tạp âm không gian- thời gian: q = i + n (2.9) q có kích thước NM1. Trong trường hợp tổng quát, vector dữ liệu có thể bao gồm vector tín hiệu và vector nhiễu- tạp âm (x =s+q) hoặc chỉ có vector nhiễu- tạp âm (x=q). Để loại bỏ hay giảm lược được nhiễu- tạp âm, thì trước hết phải đánh giá, ước lượng được nó, và khi đó tín hiệu có ích là dữ liệu trừ đi giá trị đã ước lượng nhiễu- tạp âm. Theo nguyên tắc đó, người ta phải xác định ma trận hiệp biến nhiễu- tạp âm không gian- thời gian Q, theo định nghĩa: (2.10) Q có kích thước NMNM. Trong trường hợp không tách được vector nhiễu- tạp âm ra khỏi vector dữ liệu, người ta cũng cần quan tâm đến ma trận hiệp biến tín hiệu cộng nhiễu- tạp âm R, định nghĩa là: (2.11) Các tính chất của bộ xử lý và đặc tính của nó phụ thuộc vào tính chất của ma trận hiệp biến nhiễu- tạp âm, vì thế cần chú ý đến một số tính chất sau: Ma trận hiệp biến nhiễu- tạp âm là Hermitian, nghĩa là Q=Q* Ma trận hiệp biến nhiễu- tạp âm là không âm, nghĩa là đối với một vector phức bất kỳ khác không w, thì dạng bậc 2 của nó là không âm: w*Qw >0. Với 2 tính chất này, ma trận hiệp biến nhiễu- tạp âm thoả mãn tính chất tổng quát sau: Định lý Cholesky: Một ma trận bất kỳ Hermitian, xác định dương Q, luôn có thể phân tích thành tích của 2 ma trận L, có dạng: (2.12) Trong đó L là ma trận tam giác dưới, với các phần tử trên đường chéo có giá trị dương. 2.2.3. Xác định các trọng số của bộ xử lý không gian- thời gian tối ưu Mục tiêu của bộ xử lý tối ưu là đạt được tỷ số tín hiệu trên nhiễu cộng tạp âm SINR tại đầu ra là lớn nhất. Tại đầu vào: Giả thiết tất cả các cảm biến, khâu trễ có đặc tính như nhau trên tất cả các kênh, nên công suất tín hiệu, nhiễu cộng tạp âm của 1 kênh tương ứng lần lượt là: Ps , Pq . Khi đó, công suất của tín hiệu trên tất cả các kênh là: (2.13) Công suất nhiễu cộng tạp âm trên tất cả các kênh là: (2.14) trong đó: tr(Q) là ký hiệu vết của Q. Tỷ số tín hiệu trên nhiễu cộng tạp âm SINR đầu vào là: (2.15) Tại đầu ra: Như đã xác định ban đầu, xét bộ xử lý tối ưu tuyến tính có tín hiệu đầu ra là tổ hợp tuyến tính của dữ liệu đầu vào với các trọng số, nghĩa là: (2.16) Trong đó: w(n) là tập hợp các trọng số trên tất cả các kênh của mạch lọc không gian- thời gian sắp xếp theo thứ tự của vector dữ liệu, được gọi là vector trọng số không gian- thời gian. Công suất đầu ra: với là công suất của tín hiệu trên đầu ra, và là công suất của nhiễu cộng tạp âm đầu ra. (2.17) (2.18) Tỷ số tín hiệu trên nhiễu cộng tạp âm SINR đầu ra là: (2.19) Mặt khác, theo định lý phân tích Cholesky, ta đặt: (2.20) Viết lại (2.19) theo (2.20), ta có: (2.21) áp dụng bất đẳng thức Schwartz: thay vào (2.21), ta có: (2.22) Như vậy giá trị lớn nhất của tỷ số tín hiệu trên nhiễu cộng tạp âm SINR đầu ra là: (2.23) Từ đó, giá trị lớn nhất của tỷ số tín hiệu trên nhiễu cộng tạp âm SINR đầu ra sẽ đạt được khi đặt (Nói cách khác là 2 vector này song song với nhau). Trong đó là một hằng số vô hướng. Thay biểu thức (2.20) vào điều kiện này và giải hệ phương trình, ta có : Người ta gọi vector trọng số làm cực đại hoá tỷ số tín hiệu trên nhiễu cộng tạp âm SINR đầu ra là vector trọng số tối ưu: (2.24) 2.2.4. Thừa số cải thiện IF (Improvement Factor) Để đánh giá phẩm chất của một bộ xử lý tối ưu, người ta đưa ra thừa số cải thiện IF, được định nghĩa là tỷ số của tín hiệu trên nhiễu cộng tạp âm đầu ra trên tỷ số tín hiệu trên nhiễu cộng tạp âm đầu vào: (2.25) Thay (2.15) và (2.19) vào (2.25), ta có: (2.26) Trong nhiều tài liệu, từ (2.26), bằng cách nhân cả tử và mẫu với và lưu ý v*.v =1, có thể viết dưới dạng: (2.27) 2.3. Mạch lọc không gian- thời gian thích nghi 2.3.1. Nguyên lý chung Trên thực tế, do sự biến thiên ngẫu nhiên của môi trường hoạt động của tín hiệu, không thể biết trước được, nên giải pháp khả thi nhất là áp dụng mạch lọc thích nghi. Đặc tính của mạch lọc thích nghi là khả năng hoạt động của nó theo một tiêu chí nhất định trong môi trường ngẫu nhiên, và có thể thay đổi mà không cần sự can thiệp của người thiết kế. Hơn nữa, mạch lọc thích nghi có thể tự cải thiện trong thời gian đang hoạt động bằng cách theo dõi các đặc tính thống kê của tín hiệu. Như vậy, một bộ xử lý tối ưu sử dụng mạch lọc thích nghi để tìm ra và bám theo các thông số thống kê của môi trường hoạt động của tín hiệu, được gọi là bộ xử lý tối ưu thích nghi. Cấu trúc mạch lọc Thuật toán thích nghi Tiêu chí thực hiện Đáp ứng mong muốn Tín hiệu sai số Thông số Tín hiệu vào Tín hiệu ra Hình 2.3 Mỗi mạch lọc thích nghi có dạng tổng quát bao gồm 3 khối chính: Cấu trúc mạch lọc. Khối này tạo thành tín hiệu đầu ra bằng việc đánh giá, tổ hợp từ 1 hay nhiều tín hiệu đầu vào. Cấu trúc mạch lọc được gọi là tuyến tính nếu như tín hiệu đầu ra là tổ hợp tuyến tính của các tín hiệu đầu vào. Còn ngược lại nó được gọi là phi tuyến. Cấu trúc thường được áp dụng là mạch lọc số với đáp ứng xung hữu hạn (FIR), hoặc vô hạn (IIR) có cấu trúc trực tiếp hoặc mạng. Các cấu trúc này được xác định ngay trong quá trình thiết kế và các thông số của nó được điều chỉnh bởi thuật toán thích nghi. Tiêu chí thực hiện. Đầu ra của mạch lọc thích nghi và đáp ứng mong muốn (nếu có) được đưa vào khối này để xử lý. Nó sẽ đối chiếu, đánh giá phẩm chất của các tín hiệu này so với các yêu cầu, ý định của người thiết kế nhằm vào một ứng dụng cụ thể. Việc xác định tiêu chí là sự biến đổi ý tưởng, yêu cầu, mục tiêu ứng dụng thành một dạng mô phỏng toán học làm cơ sở cho thuật toán thích nghi thực hiện. Đa số các mạch lọc thích nghi thường đặt tiêu chí vào đại lượng trung bình của sai số bình phương vì nó dễ thực hiện và dễ thiết kế hệ thống. Thuật toán thích nghi. Trên cơ sở các tiêu chí thực hiện, kết hợp với dữ liệu đầu vào và đáp ứng mong muốn (nếu có), thuật toán thích nghi đặt ra một kế hoạch tính toán, thực hiện tính toán và đưa ra các giá trị quyết định sự thay đổi các thông số của mạch lọc. Độ phức tạp và các đặc điểm kỹ thuật của thuật toán thích nghi phụ thuộc vào cấu trúc lọc và tiêu chí thực hiện. Trong thực tế, việc thiết kế thành công một mạch lọc thích nghi chính là xây dựng được một thuật toán thích nghi có hiệu quả. Vì thế thuật toán thích nghi là khâu phức tạp và rất quan trọng trong mạch lọc thích nghi. Trong trường hợp chung nhất, đối với một mạch lọc thích nghi, đáp ứng mong muốn có thể có hoặc không và sự tồn tại của nó là một yếu tố rất quan trọng khi thiết kế. Nếu có đáp ứng mong muốn thì gọi đó là mạch lọc thích nghi có giám sát, còn ngược lại gọi là mạch lọc thích nghi không giám sát. Mục đích của quá trình thích nghi lý tưởng là tìm ra được các thông số tối ưu của mạch lọc và sau đó dừng điều chỉnh, vì thế hoạt động của mạch lọc thích nghi có thể phân thành 2 giai đoạn. Kể từ lúc bắt đầu hoạt động cho đến khi nó đạt được các thông số xấp xỉ như của một mạch lọc tối ưu tương ứng, gọi là giai đoạn quá độ và hoạt động của mạch lọc thích nghi trong thời gian này gọi là chế độ vươn tới, hay chế độ hội tụ. Sau đó, môi trường hoạt động của tín hiệu thay đổi, mạch lọc thích nghi tiếp tục hoạt động bằng cách điều chỉnh các thông số dao động bám quanh giá trị đúng của mạch lọc tối ưu tương ứng, gọi là giai đoạn trạng thái bền vững, và hoạt động đó gọi là chế độ truy bám. Các giai đoạn và chế độ hoạt động của mạch lọc thích nghi được minh hoạ trên hình 2.4. n w(n) Bám theo w0 Quá độ ổn định n w(n) Bám theo w0(n) Quá độ ổn định w(n) Hình 2.4 Trước khi đi sâu phân tích hoạt động của mạch lọc thích nghi, cần có sự phân biệt giữa khái niệm về mạch lọc tối ưu và mạch lọc thích nghi. Mạch lọc tối ưu tập hợp các thông tin của môi trường hoạt động tín hiệu, ước lượng thành các thông số cần thiết để giải hệ phương trình, tìm ra vector trọng số tối ưu gán cho mạch lọc. Thuật ngữ “ước lượng” ở đây được hiểu là việc tính toán lấy trung bình trên một tập các thể hiện. Nếu môi trường hoạt động của tín hiệu là dừng, thì mạch lọc tối ưu thực hiện 1 lần việc tính toán với 1 thể hiện cụ thể tại 1 thời điểm n và áp dụng như thế đối với tất cả các thể hiện, không cần thay đổi trong suốt thời gian hoạt động. Khi đó mạch lọc tối ưu là bất biến theo thời gian. Nếu môi trường hoạt động của tín hiệu là không dừng, thì theo nguyên tắc đó, mạch lọc tối ưu phải tính toán lặp đi lặp lại tại từng thời điểm n, mỗi lần với 1 thể hiện cụ thể thu thập được tại chính thời điểm ấy. Khi đó mạch lọc tối ưu là không bất biến theo thời gian, hay còn gọi là mạch lọc thích nghi. Trên thực tế, môi trường hoạt động của tín hiệu là ergodic, nên dựa vào tính chất này mạch lọc thích nghi hoạt động theo nguyên tắc khác, mà thực chất việc tính toán các ước lượng không còn dựa trên trung bình của tập hợp các thể hiện, mà là trung bình theo thời gian. Như vậy khi thời gian càng lớn thì các ước lượng càng chính xác và tiến tới giá trị ước lượng thật. Sự khác nhau của 2 loại mạch lọc này về cơ cấu hoạt động được thể hiện trên hình 2.5. w0(n) Giải hệ phương trình Q(n)w0(n)=d(n) Tín hiệu vào x(n) Thông số (a) w (n-1) Thuật toán thích nghi Tín hiệu vào x(n) Thông số Đáp ứng mong muốn y(n) e(n) Tín hiệu sai số (b) Hình 2.5 2.3.2. Cơ chế hoạt động và các thông số cơ bản của mạch lọc thích nghi 2.3.2.1. Cơ chế hoạt động Với sơ đồ thực hiện của mạch lọc thích nghi trên hình 2.5(b), ta có thể phân tích hoạt động của mạch lọc thích nghi. Đối với mạch lọc thích nghi có giám sát, tại một thời điểm n, các dữ liệu cần có là vector dữ liệu đầu vào x(n), đáp ứng mong muốn y(n) và vector trọng số vừa mới được cập nhật (tại thời điểm trước đó) w(n-1). Khi đó mạch lọc thích nghi thực hiện các tính toán theo trình tự sau: Thực hiện lọc: Tìm ra đáp ứng gần đúng của mạch lọc tại thời điểm n, dựa vào vector trọng số của thời điểm trước đó: (2.28) Tính sai số: Sai số là đại lượng mà tiêu chí thực hiện dựa vào đó để đánh giá, đối chiếu xem mạch lọc đã hoạt động như thế nào: (2.29) áp dụng thuật toán thích nghi Xác định vector trọng số chuẩn bị cho chu kỳ tính tiếp theo: (2.30) trong đó: là một hàm của n, gọi là số gia, hay số hạng hiệu chỉnh. Số hạng hiệu chỉnh được xác định bằng thuật toán thích nghi nào đó để sao cho khi thời gian càng tăng lên, thì w(n) càng tiến gần tới w0, là giá trị trọng số tối ưu. Thuật toán thích nghi đó sẽ được gọi là thành công nếu như việc xác định số hạng hiệu chỉnh đảm bảo sao cho sau một khoảng thời gian nhất định ta có , nghĩa là: , đối với mọi giá trị của n. Tại thời điểm n=0, với cặp quan sát ban đầu , từ (2.28), ta cần tìm đáp ứng mong muốn xấp xỉ bằng cách cho trước ước đoán w(-1), mà nó có thể khác xa so với giá trị tối ưu w0. Thường cho w(-1)=0. Vấn đề sẽ hơi khác đi nếu giả thiết ước đoán đầu tiên là w(0)=0. Khi đó cơ chế hoạt động của bộ lọc thích nghi là: Thực hiện lọc: (2.31) Tính sai số: (2.32) áp dụng thuật toán thích nghi (2.33) Thuật toán thích nghi áp dụng các biểu thức (2.28), (2.29), (2.30) gọi là đi trước (Priority). Thuật toán thích nghi áp dụng các biểu thức (2.31), (2.32), (2.33) gọi là đến sau (Posteriority). Nói chung hai cơ chế hoạt động này ở 2 khâu đầu tiên là như nhau về mặt thời gian, không quan trọng theo biến n, nên trong phần sau ta sẽ bỏ qua biến số này, chỉ trong khâu cuối cùng thì các trọng số tại 2 vế là tại 2 thời điểm liên tiếp nhau. 2.3.2.2. Các thông số cơ bản Tính ổn định. Mạch lọc thích nghi cũng cần phải ổn định theo nghĩa đầu vào giới hạn - đầu ra giới hạn (BIBO). Sự hội tụ của w(n) tới w0 khi sẽ đảm bảo tính ổn định BIBO của mạch lọc thích nghi, nghĩa là: (2.34) trong đó, chỉ số k biểu thị một thành phần của vector trọng số w(n). Độ lệch trung bình bình phương MSD (Mean Square Deviation): (2.35) Sai số trung bình bình phương MSE (Mean Square Error): (2.36) Có thể tách sai số trung bình bình phương thành 2 thành phần: Thành phần thứ nhất là trị trung bình của sai số trung bình bình phương , ký hiệu là P0(n). Thành phần thứ hai là phần biến thiên của sai số trung bình bình phương, ký hiệu là Pex(n). Tỷ số của 2 thành phần này gọi là hệ số điều chỉnh sai, được tính là: (2.37) Đồ thị của D(n), P(n) và theo n, thường gọi là đường cong nhận biết , là các đặc tuyến rất quan trọng, cho biết các tính chất đặc trưng của một mạch lọc thích nghi. Ví dụ thời gian kéo dài của giai đoạn quá độ đặc trưng cho vận tốc thích nghi hay tốc độ hội tụ. Còn biên độ của P(n) hay trong giai đoạn trạng thái bền vững đặc trưng cho chất lượng thích nghi. 2.3.3. Các thuật toán thích nghi không gian- thời gian 2.3.3.1. Thuật toán suy giảm dốc đứng – SDA (Steepest Descent Algorithm) Mạch lọc thích nghi hoạt động trên nguyên tắc xác định vector trọng số w(n) có giới hạn tiến tới giá trị tối ưu w0, sao cho sai số trung bình bình phương P(n) là nhỏ nhất, gọi là mạch lọc thích nghi trung bình bình phương tối thiểu. Như vậy ta cần xác định sai số trung bình bình phương như một hàm của vector trọng số w. Từ (2.28) và (2.29), ta có: (bỏ qua biến n như nhận xét cuối mục 2.3.2.1) Thay giá trị này vào biểu thức (2.36) và biến đổi, ta có: (2.38) trong đó: là công suất của đáp ứng mong muốn. là vector tương quan chéo của vector dữ liệu x và đáp ứng mong muốn y. là ma trận tương quan của vector dữ liệu x. Biểu thức (2.38) cho thấy sai số trung bình bình phương P là một hàm bậc 2 của vector trọng số w. Đồ thị của nó là một bề mặt parabol lõm (khi Q là xác định dương) và có 1 cực tiểu duy nhất ứng với vector trọng số tối ưu w0. Có 2 cách khác nhau để xác định cực tiểu này: Giải hệ phương trình chuẩn Qw=d. Đây là cách tính toán của mạch lọc tối ưu. Xác định cực tiểu P(w) bằng một thuật toán lặp. Đây là các giải quyết của mạch lọc thích nghi. Thuật toán lặp điển hình, thường gọi là thuật toán suy giảm dốc đứng, xác định vị trí cực tiểu w0, từ một vị trí bất kỳ , thường chọn . Điểm mấu chốt của thuật toán này là chọn một bước dịch, sao cho cứ sau mỗi bước dịch lại đến một vị trí mới ở thấp hơn và tiếp tục lặp lại cho đến khi tới điểm cực tiểu. Giả thiết hàm P(w) có đạo hàm liên tục (hàm trơn). Khi đó tại lân cận một vị trí bất kỳ có thể khai triển thành chuỗi Taylor: (2.39) Trong đó: là vector gradient có các phần tử dạng là ma trận Hessian có các phần tử dạng Từ (2.38), ta có: (2.40) (2.41) Các số hạng bậc cao hơn trong biểu thức (2.39) rất bé nên ta có thể bỏ qua. Nếu và Q xác định dương thì: , như vậy tại w0 ta có cực tiểu. Từ đó cũng suy ra với mọi . Như vậy, nếu ta chọn bước dịch sao cho thì ta sẽ luôn có , nghĩa là ta đã dịch đến một vị trí thấp hơn, gần đến cực tiểu hơn. Để tốc độ hội tụ lớn, nghĩa là với cùng một bước dịch , càng đến gần một vị trí càng thấp càng tốt, hay nói cách khác là cực đại. Mà cực đại khi ta chọn bước dịch . Tất cả suy luận này tương đương với biểu thức hoá thuật toán thích nghi thành: (2.42) Thay (2.40) vào (2.42), ta có: (2.43) Đây chính là toàn bộ nội dung của thuật toán suy giảm dốc đứng SDA, trong đó là hằng số dương gọi là độ bước lớn. Nó sẽ điều chỉnh độ dốc theo hướng gradient âm. Chỉ số k gọi là các bước lặp, nó chỉ vị trí của các toạ độ vector trong không gian w, tại thời điểm này chưa có quan hệ gì với thời gian và đây cũng là điểm khác biệt giữa thuật toán SDA với các thuật toán thích nghi khác. 2.3.3.2.Mạch lọc thích nghi hoạt động theo thuật toán suy giảm dốc đứng (Mạch lọc thích nghi trung bình bình phương tối thiểu) Trên thực tế không tồn tại các moment bậc 2 là Q và d, nhưng dựa trên tính ergodic của môi trường hoạt động của tín hiệu và các dữ liệu đầu vào và đáp ứng mong muốn , chúng ta có thể tìm được các ước lượng chính xác của vector gradient dạng (2.40). Để xây dựng một mạch lọc thích nghi trên cơ sở thuật toán lặp, chúng ta có thể thực hiện theo các bước sau: (1) Thay thế chỉ số lặp k bằng chỉ số thời gian n. (2) Thay thế Q và d bằng các ước lượng tức thời tương ứng của chúng là và . Khi đó ước lượng tức thời (2.40) của gradient là: (2.44) trong đó: (2.45) gọi là sai số đầu ra của mạch lọc. Thay (2.44) vào (2.42), ta có: (2.46) trong đó thông số gọi là hệ số khuyếc đại thích nghi. Tóm lại, toàn bộ các bước thực hiện của mạch lọc thích nghi theo thuật toán bình phương trung bình tối thiểu LMS là: Thực hiện lọc: (2.47) Tính sai số: (2.48) áp dụng thuật toán thích nghi: (2.49) Thuật toán này cần 2NM+1 phép nhân phức và 2NM phép cộng phức. Sơ đồ khối mạch lọc thích nghi LMS được trình bày trên hình 2.6. Lọc Cập nhật hệ số Tín hiệu vào x(n) Tín hiệu sai số x(n) e(n) Đáp ứng mong muốn y(n) Hình 2.6 w(n) 2.3.3.3. Thuật toán đệ quy RA (Recursive Algorithm) Khác với thuật toán lặp suy giảm dốc đứng dựa vào sai số trung bình bình phương P(n), thuật toán đệ quy dựa vào tổng bình phương sai số: Cụ thể hơn, trong trường hợp thuật toán đệ quy, người ta đưa vào định nghĩa tổng bình phương sai số một hệ số gọi là thừa số giảm nhẹ (), có dạng: (2.50) Tương tự như trên, ta cũng phải tìm cách biểu diễn tổng bình phương sai số như một hàm của trọng số w. Thật vậy, từ (2.50) có thể biến đổi thành: (2.51) Hoạt động của mạch lọc thích nghi là xác định các trọng số w sao cho E(w) là nhỏ nhất và đưa đến giải phương trình đặc trưng: (2.52) trong đó: (2.53) (2.54) Theo nguyên tắc hoạt động thì cho đến khi n >NM, lúc đó thường là không kỳ dị, phải thực hiện tính và , thay vào (2.52) để tìm ra vector trọng số w(n). Công việc này cần rất nhiều thao tác tính toán và mất nhiều thời gian. Để khắc phục, áp dụng thuật toán đệ quy vào (2.53) và (2.54), ta có: (2.55) (2.56) Sử dụng 2 biểu thức đệ quy này, có thể xác định vector trọng số w(n) từ vector trọng số trước đó w(n-1) và cặp quan sát , mà không cần phải giải phương trình (2.52). Thay (2.55) và (2.56) vào (2.52), ta có: Sau khi biến đổi ta được: (2.57) trong đó e(n) có dạng như (2.45): Nếu khả đảo, nhân hai vế của (2.57) với , ta có: (2.58) Đặt: (2.59) gọi là hệ số khuyếc đại thích nghi, thay vào (2.58), ta được: (2.60) Đây chính là toàn bộ thuật toán đệ quy và nó được tóm tắt lại theo trình tự: Bước đầu tiên (n=0): Chọn (), cho trước : và Các bước tiếp theo (n=1,2,3,…): Tính từ (2.55). Với x(n) lấy từ đầu vào mạch lọc. Tính . Tính g(n) từ (2.59). 2.3.3.4. Mạch lọc thích nghi hoạt động theo thuật toán đệ quy (Mạch lọc bình phương tối thiểu đệ quy) Mạch lọc thích nghi bình phương tối thiểu đệ quy RLS (Recursive Least Square), có thuật toán thích nghi chính là thuật toán đệ quy trình bày ở trên. Như vậy, trình tự hoạt động của mạch lọc thích nghi RLS có dạng: Thực hiện lọc: Tính sai số: áp dụng thuật toán thích nghi: Các bước của thuật toán đệ quy: Tính : Tính . Tính g(n): Cập nhật hệ số : Khối lượng tính toán của mạch lọc thích nghi RLS rất lớn, khoảng phép tính nhân và phép tính cộng, chủ yếu là tính toán ở phần đệ quy. Mạch lọc thích nghi RLS có sơ đồ khối được trình bày trên hình 2.7. Lọc Cập nhật hệ số Tín hiệu vào x(n) Tín hiệu sai số x(n) e(n) Đáp ứng mong muốn y(n) Hình 2.7 w(n) Tính vector khuyếc đại g(n) Mạch lọc thích nghi RLS phức tạp hơn so với LMS, nhưng nếu môi trường hoạt động của tín hiệu là không ergodic, thì việc chọn RLS là thích hợp nhất. Và cũng vì thế, RLS có tốc độ hội tụ cao hơn ở giai đoạn quá độ và chất lượng thích nghi tốt hơn trong giai đoạn truy bám, nếu so sánh với LMS trong cùng một môi trường hoạt động của tín hiệu có tính ergodic. 2.4. Các khái niệm và kỹ thuật liên quan trong xử lý tín hiệu không gian- thời gian. 2.4.1. Phân tích phổ giá trị riêng Phân tích phổ giá trị riêng là một công cụ rất mạnh trong xử lý tín hiệu. Thực chất việc phân tích phổ giá trị riêng là sự phân hoạch ma trận hiệp biến thành các thành phần theo giá trị riêng và vector riêng của nó. Trong trường hợp chung nhất, một ma trận Hermitian bất kỳ Q có kích thước , có thể tìm được vector e, kích thước , thoả mãn điều kiện: (2.61) trong đó là một hằng số. Điều kiện này còn có ý nghĩa là một phép biến đổi tuyến tính do ma trận Q không làm thay đổi hướng của vector e, hay nói cách khác Qe là một ánh xạ không đổi hướng. Để xác định vector e, viết lại (2.61) thành: (2.62) trong đó I là ma trận đơn vị kích thước và 0 là vector 0 kích thước . Vì e là bất kỳ, nên để thoả mãn (2.61) thì định thức của bằng 0, nghĩa là: (2.63) Phương trình này là một đa thức bậc K của và được gọi là phương trình đặc trưng của Q. Trong trường hợp tổng quát nó có K nghiệm khác nhau, gọi là các giá trị riêng. Còn nếu các nghiệm của nó là nghiệm bội, thì ma trận Q có các giá trị riêng không sinh. Đối với mỗi giá trị riêng tương ứng có một vector ei thoả mãn (2.61) gọi là vector riêng. Và ma trận Q kích thước , có K vector riêng. Để vector ei xác định đơn trị, thì biểu thức (2.61) có điều kiện chuẩn là . Ma trận hiệp biến nhiễu không gian- thời gian Q như đã trình bày là Hermitian và xác định không âm, nên theo lý thuyết về phân tích phổ giá trị riêng có các tính chất rất đặc biệt cần quan tâm. Xét một vài tính chất điển hình và được áp dụng trong các phần sau. Giả sử ma trận hiệp biến không gian- thời gian Q là Hermitian, xác định không âm và có các giá trị riêng và tương ứng là các vector riêng . Tính chất 1: Ma trận Qk (k=1,2,…) có các giá trị riêng Tính chất 2: Nếu các giá trị riêng là khác nhau, thì các vector riêng tương ứng là độc lập tuyến tính. Tính chất 3: Các giá trị riêng là thực và không âm. Tính chất 4: Nếu các giá trị riêng là khác nhau, thì các vector riêng tương ứng là trực giao với nhau từng đôi một, nghĩa là , với mọi . Tính chất 5: Giả sử là một tập trực giao của các vector riêng tương ứng với các giá trị riêng khác nhau của ma trận hiệp biến nhiễu không gian- thời gian Q kích thước . Khi đó ma trận Q có thể được chéo hoá thành: (2.64) trong đó, là ma trận mà đường chéo của nó là các giá trị riêng của Q, có kích thước . (2.65) E là ma trận mà các cột của nó là các vector riêng của Q, gọi là ma trận riêng của Q, có kích thước : (2.66) Tính chất này có ý nghĩa rất quan trọng trong các lý thuyết phân tích mạch lọc và ước lượng phổ, nó thường được viết lại dưới dạng: (2.67) Tính chất 6: Vết của Q bằng tổng của tất cả các giá trị riêng của nó, nghĩa là: Tính chất 7: Định thức của Q bằng tích của tất cả các giá trị riêng của nó Tính chất 8: Modul của ma trận riêng E là unitar, nghĩa là . Từ đó suy ra , hay nói cách khác là nghịch đảo của ma trận riêng bằng với chuyển vị và liên hợp phức của nó. Tính chất này thường hay áp dụng trong các thuật toán cần tính nghịch đảo của ma trận. Để tổng kết các tính chất trên, ta xét một dạng khai triển đặc biệt của (2.67) rất hay được sử dụng là : (2.68) Và nếu Q là xác định dương (nghĩa là khả đảo), thì nghịch đảo của nó theo (2.67) được tính là: (2.69) Biểu thức (2.68) thường được gọi là cách biểu diễn của ma trận hiệp biến nhiễu và tạp âm không gian- thời gian Q trong không gian đầy đủ của vector riêng . 2.4.2. Phân bố trọng số và kỹ thuật cửa sổ hoá 2.4.2.1. Khái niệm chung: Thực chất chúng ta muốn đi vào các kỹ thuật tổng hợp giản đồ hướng đối với phần xử lý không gian và kỹ thuật tổng hợp đáp ứng mạch lọc số đối với phần xử lý thời gian. Do sự phức tạp của việc xử lý đồng thời theo cả không gian và thời gian, nên về mặt cấu trúc của phần không gian (khoảng cách giữa các cảm biến, dạng hình học phân bố của các cảm biến, khẩu độ,…) và cấu trúc của phần thời gian (dạng FIR, IIR, dạng song song hay nối tiếp, dạng trực tiếp hay mạng,…) đều phải đã xác định và đơn giản nhất. Thông thường về mặt không gian là các mảng cảm biến đường thẳng cách đều ULA, và về mặt thời gian là các mạch lọc số có đáp ứng xung độ dài hữu hạn FIR (Finite Impulse Response). Như vậy, vấn đề còn lại chỉ là việc xác định các trọng số để có giản đồ hướng và đáp ứng xung thích hợp, mà công việc này được gọi theo thuật ngữ là “phân bố trọng số”. Trước hết, các khái niệm giản đồ hướng trong hệ thống xử lý không gian và đáp ứng xung trong hệ thống xử lý thời gian là tương đương nhau, đều chỉ một đặc tuyến mô tả đặc trưng của hệ thống. Vì vậy, chúng ta sẽ chỉ dùng một khái niệm về đáp ứng xung. Xét một hệ thống xử lý thời gian như trên hình 2.8, chính là một mạch lọc FIR đã biết. w1 w2 wM w0 x0(n) x1(n) x2(n) xM(n) x(n) 0 2 M y(n) 1 Hình 2.8 Tín hiệu trên kênh thứ m, sau khi đi qua m khâu trễ là: (2.70) trong đó: f0 là tần số mang của tín hiệu. là tần số tương đối, với Vector tín hiệu đầu vào là: (2.71) trong đó: (2.72) Tín hiệu đầu ra được tính bằng: (2.73) với vector trọng số có dạng: (2.74) Từ (2.73), suy ra đáp ứng tần số của hệ thống xử lý thời gian là: (2.75) Trong trường hợp chung nhất, trọng số là số phức gồm có cả biên độ và pha. Việc phân bố các trọng số được gọi là phân bố theo tổ hợp tuyến tính hay phân bố khẩu độ. Việc phân bố pha của các trọng số thường phụ thuộc vào tín hiệu với mục đích phù hợp chặt chẽ với tín hiệu và để hệ thống là tuyến tính. Như vậy, việc phân bố biên độ của các trọng số như thế nào, ta xem xét 2 khả năng xảy ra như sau. 2.4.2.2. Trọng số phân bố đều (Uniform Distribution) Khi trọng số được phân bố đều có nghĩa là biên độ của tất cả các trọng số đều đặn bằng nhau và không mất tính tổng quát cho bằng . Mặt khác, giả sử các trọng số được tính toán phù hợp với tín hiệu có tần số mang ftd0, nghĩa là có pha xác định theo tính hiệu. Suy ra: (2.76) Khi đó, đáp ứng tần số của hệ thống này theo (2.75) là: Sau khi biến đổi có dạng: (2.77) Biên độ của đáp ứng tần số này với ftd0 = 0 , M=16 được vẽ trên hình 2.9. Hình 2.9 Nếu có một nguồn nhiễu với tần số khoảng và biên độ lớn hơn biên độ tín hiệu khoảng 12dB, thì nguồn nhiễu này đi qua hệ thống với biên độ tương đương độ lớn của tín hiệu vì nó nằm đúng tại vị trí đỉnh búp bên của đáp ứng tần số. Trong trường hợp này, hệ thống xử lý tín hiệu theo thời gian (lọc theo tần số) là mất tác dụng. 2.4.2.3. Trọng số phân bố không đều (Nonuniform Distribution) Có rất nhiều phương pháp tính toán phân bố biên độ trọng số nhằm nén triệt tín hiệu tại tần số này và tăng ích cho tín hiệu tại tần số khác, mà điển hình chính là bộ xử lý tối ưu. Nhưng trong phần này ta sẽ chỉ xét một giải pháp kinh điển, ít phải tính toán nhất, đó là cách phân bố các trọng số theo kỹ thuật cửa sổ hoá (Windowing), cách gọi thông dụng trong miền 1 chiều thời gian, còn trong miền 1 chiều không gian gọi là kỹ thuật tạo búp thon (Tapered). Việc phân bố trọng số đều tương tương như việc cửa sổ hoá dạng hình chữ nhật và thể hiện trên đáp ứng tần số trong hình 2.9 có thành phần . Còn trọng số biên độ phân bố không đều được thực hiện bằng các hàm cửa sổ dạng đặc biệt (Hamming, Kaiser, Dolph-Chebyshev,…). Việc chọn hàm cửa sổ nào là do yêu cầu thiết kế và ứng dụng, nhưng có một số đặc điểm và nguyên tắc chung như sau: Phân bố biên độ đối xứng sẽ cho các mức búp bên thấp hơn. có thể là một hàm chỉ hoàn toàn phụ thuộc vào ftd. Một phân bố có đỉnh càng nhô lên cao thì sẽ tạo ra các đường bao búp bên càng kéo dài ra xa theo hàm . Một phân bố tiến đều đến 0 tại các đầu mút cuối thì sẽ tạo ra các đường bao búp bên càng kéo dài ra xa theo hàm . Một phân bố mà khác 0 tại các đầu cuối (càng dâng cao lên) thì hiệu suất càng cao (khẩu độ hiệu dụng càng lớn). Chương 3 Giải pháp cải thiện xử lý tín hiệu không gian- thời gian thích nghi Bộ xử lý không gian- thời gian thích nghi đầy đủ đã trình bày trong Chương 2 với một khối lượng dữ liệu đầu vào khổng lồ và yêu cầu tính nghịch đảo ma trận hiệp biến, có nhược điểm cơ bản là tính toán rất phức tạp nên trong thực tế ít được sử dụng mà chỉ có ý nghĩa lý thuyết. Để giảm nhẹ gánh nặng tính toán này, năm 1987, Richard Klemm đã đề xuất kỹ thuật biến đổi không gian con không gian- thời gian (gọi tắt là Kỹ thuật không gian con), và ngay lập tức hàng loạt giải pháp áp dụng kỹ thuật này để xử lý tín hiệu không gian- thời gian thích nghi được đưa ra. Trong đó có 2 phương pháp điển hình nhất hiện nay và đồng thời đang được ứng dụng rộng rãi là: Bộ xử lý vector riêng phụ AEP (Auxiliary Eigenvector Processor) và Bộ xử lý kênh phụ ACP (Auxiliary Channel Processor). 3.1. Nguyên lý biến đổi không gian con không gian- thời gian tuyến tính 3.1.1. Cơ sở nguyên tắc biến đổi không gian con tuyến tính Xuất phát từ ý tưởng nhằm làm giảm lược không gian vector dữ liệu đầu vào xuống một không gian vector con có kích thước nhỏ hơn và tiến hành nén triệt nhiễu tại mức không gian con. Điều này có thể thực hiện bởi phép biến đổi tuyến tính không gian con thích hợp qua ma trận T. Ta có: ; ; ; (3.1) Các trọng số tối ưu sau khi biến đổi là: (3.2) và thừa số cải thiện là: (3.3) Như vậy thừa số cải thiện phụ thuộc vào dạng của phép biến đổi T. Để đảm bảo việc bộ xử lý là cận tối ưu, phép biến đổi T phải thoả mãn một số tiêu chí như sau: Không được để tổn hao năng lượng của tín hiệu. Điều này nghĩa là T phải chứa các trọng số bộ tạo tia hoặc một phần của nó sao cho chúng phù hợp với tín hiệu mong muốn và thường được gọi là tia thăm dò. Trong chế độ thăm dò, T phụ thuộc vào hướng của tín hiệu. Việc thích nghi của phải được tính toán riêng biệt theo tất cả các hướng riêng rẽ. Phải có các trọng số phụ thêm vào để ước lượng công suất và hướng của nhiễu, và gọi đây là các tia (kênh) tham chiếu, hay thường gọi ngắn gọn là tia (kênh) phụ. Tỷ số nhiễu trên tạp âm INR trên các kênh phụ không được nhỏ hơn trên kênh thăm dò. Tổng số kênh L (chính là kích thước của không gian vector biến đổi) phải nhỏ hơn so với số lượng của phần tử cảm biến để bảo toàn công suất khi thực hiện xử lý tín hiệu và phép biến đổi có hiệu quả nhất. Số lượng kênh L tối thiểu không được nhỏ hơn số lượng các giá trị riêng của nhiễu của ma trận hiệp biến Q. Điều này có nghĩa là số lượng các hệ số của mạch lọc nén triệt nhiễu nhận được từ phải phù hợp với số lượng DOF (Degree Of Freedom) của nhiễu. Các cột của ma trận biến đổi T phải được chọn sao cho ma trận đó là chính tắc. Trong trường hợp ngược lại sẽ không tồn tại. Tuy nhiên việc nghịch đảo các ma trận hiệp biến có điều kiện yếu có thể khắc phục bằng cách thêm vào các “tạp âm nhân tạo”, cách này được gọi là kỹ thuật đường chéo hoá. Thực chất của kỹ thuật này là nhằm cải thiện điều kiện của các ma trận hiệp biến, được thực hiện như sau: Nếu không áp dụng biến đổi thì việc thêm tạp âm nhân tạo vào ma trận hiệp biến là: (3.4) trong đó: là ma trận hiệp biến đã được chéo hoá là mức chéo hoá Và nếu trong miền biến đổi thì ma trận hiệp biến được chéo hoá là: (3.5) 3.1.2. Các dạng cơ bản của ma trận biến đổi 3.1.2.1. Bộ triệt tiêu búp bên b1 bB bB+1 bN b2 1 2 B B+1 N 1 2 L … … … Hình 3.1 Hình 3.1 trình bày cấu trúc của bộ triệt tiêu búp bên, bao gồm bộ tạo tia và các cảm biến phụ tạo thành kênh tham chiếu. Bộ tạo tia có B cảm biến được trọng số bởi các hệ số bi (), sau đó cộng lại với nhau và đưa tới đầu ra thành tín hiệu kênh thăm dò. Với cấu trúc như thế, ma trận biến đổi T tương ứng có dạng như sau: (3.6) Quan hệ giữa kích thước không gian vector biến đổi L, số lượng cảm biến N và số kênh bộ tạo tia thăm dò B là: (3.7) Để thoả mãn tiêu chí thứ 3 của phép biến đổi không gian thì bộ tạo tia không được phù hợp với hướng của nhiễu, nghĩa là yêu cầu INR trên các kênh tham chiếu càng lớn hơn trên kênh thăm dò càng tốt. Nếu như hướng của nhiễu rơi đúng vào điểm 0 trên giản đồ hướng của bộ tạo tia thì INR trên các kênh tham chiếu đương nhiên lớn hơn trên kênh thăm dò. Còn nếu như hướng của nhiễu rơi đúng vào cực đại búp bên, hay thậm chí rơi vào búp chính của giản đồ hướng bộ tạo tia thì INR trên các kênh tham chiếu và kênh thăm dò có thể xấp xỉ nhau. Điều này chính là điểm hạn chế của cấu trúc bộ triệt tiêu búp bên. 3.1.2.2. Bộ tạo chùm tia Cấu trúc này thường hay sử dụng trong nhiều ứng dụng đặc biệt để nén triệt nhiễu chèn đè như trong các hệ thống Radar xác suất bị chặn thấp đẳng hướng OLPI (Omnidirectional Low Probability of Intercept), rất hay dùng trong các hệ thống sonar và áp dụng trong trường hợp bộ xử lý kênh phụ ACP. Sơ đồ cấu trúc của bộ tạo chùm tia thể hiện trên hình 3.2. bLN b2 bL1 bLN b2 bL2 bLN b2 bLN … 1 2 L … Hình 3.2 … … … … 1 2 N Ma trận biến đổi T tương ứng có dạng như sau: (3.8) trong đó bi là các vector cột bao gồm các trọng số của L bộ tạo tia. Một trong số các bộ tạo tia đó được chọn làm tia thăm dò. Không mất tính tổng quát, ta có thể chọn ngay bộ tạo tia thứ nhất: b = b1 làm tia thăm dò. Các bộ tạo tia còn lại tạo thành tia tham chiếu với ma trận các trọng số B: (3.9) Số lượng của bộ tạo tia L cũng là kích thước rút gọn của phép biến đổi, được xác định dựa vào số lượng của các nguồn nhiễu tác động lên mảng cảm biến. Giả sử có I nguồn nhiễu xác định cả về số lượng và vị trí, lúc đó: (3.10) Bằng cách đó ta có thể lái L-1 bộ tạo tia tham chiếu (3.9) về phía I nguồn nhiễu và trên đầu ra của các bộ tạo tia có thể ước lượng được ngay ma trận hiệp biến nhiễu . Vì tín hiệu và nhiễu luôn luôn rơi vào đúng các búp chính của bộ tạo tia định trước nên tiêu chí thứ 3 bao giờ cũng được thoả mãn, nghĩa là kênh thăm dò phù hợp hoàn toàn với tín hiệu, còn các kênh tham chiếu cũng phù hợp lần lượt với từng nguồn nhiễu một nên đảm bảo INR trên các kênh tham chiếu lớn hơn trên kênh thăm dò. Trong trường hợp này có các tài liệu đã chứng minh được rằng bộ xử lý nén triệt nhiễu đạt được các đặc tính như bộ xử lý tối ưu. Trong trường hợp nếu vị trí của các nguồn nhiễu là không xác định thì có thể áp dụng thêm các kỹ thuật bổ trợ để xác định vị trí của nguồn nhiễu. Thực chất các kỹ thuật này là dựa trên lý thuyết ước lượng phổ thích nghi để tìm ra ma trận hiệp biến nhiễu . Khi đó các tính toán lại trở nên vô cùng phức tạp và giải pháp áp dụng phép biến đổi không gian con chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà không giải quyết được vấn đề gì. Vì vậy ta không đi sâu nghiên cứu về các biến đổi không gian con – không gian, hay biến đổi không gian con – thời gian. 3.1.2.3. Cấu trúc các nhóm con tách rời Thực chất phương pháp này là một cách phân hoạch mảng cảm biến lớn trong không gian thành những mảng cảm biến con với số kênh đầu ra ngày càng giảm lược. Sơ đồ cấu trúc của phương pháp này thể hiện trên hình 3.3 b1 1 2 L Hình 3.3 1 g bg g+1 2g b2g N-g+1 N bN bg+1 bN-g+1 … … … … Ma trận biến đổi T1 tương ứng của 1 lớp nhóm con đầu tiên có dạng: (3.11) Cấu trúc này có thể bao gồm nhiều bộ tạo tia con bởi các nhóm mảng cảm biến tách rời và chia thành nhiều lớp. Mục đích của cấu trúc này là giảm lược kích thước theo chiều không gian gồm N cảm biến xuống còn L kênh tín hiệu. Giả sử mảng cảm biến là dạng đường thẳng và cách đều, với khoảng cách giữa các cảm biến là , thì tâm pha của các mảng cảm biến con liên tiếp sẽ cách nhau . Như vậy càng nhóm nhiều các cảm biến lại thì khoảng cách giữa các tâm pha càng giãn cách xa hơn và kết quả là giản đồ hướng của cả mảng cảm biến càng xấu đi. Để khắc phục hiện tượng này, người ta đưa ra cấu trúc mảng cảm biến con chồng lấn. 3.1.2.4. Cấu trúc các nhóm con chồng lấn. Sơ đồ cấu trúc của phương pháp này thể hiện trên hình 3.4 b1 1 b2 2 b3 3 b4 4 bN-1 N-1 bN N … 1 2 L Hình 3.4 … Bằng cấu trúc này, khoảng cách tâm pha giữa 2 mảng cảm biến con liên tiếp bằng với khoảng cách của 2 cảm biến liên tiếp và bằng . Ma trận biến đổi trong trường hợp này có dạng: (3.12) Trong trường hợp như hình 3.4 và biểu thức (3.12), số lượng các cảm biến trong 1 nhóm con là bằng nhau và bằng g, gọi là các mảng con đều. Các mảng cảm biến đầu tiên của mỗi mảng con cũng lấy liên tiếp cách đều nhau nên các tâm pha cũng cách đều nhau, gọi là các khoảng cách đều. Như vậy trong các trường hợp suy biến thì cấu trúc này có thể có rất nhiều các biến dạng với các mảng con không đều và khoảng cách không đều. 3.1.3. Phương pháp thực hiện biến đổi không gian con không gian- thời gian tuyến tính Xem xét các ma trận biến đổi dạng (3.6) và (3.8), nếu mở rộng thêm cho chiều thời gian, ta đi đến 1 ma trận biến đổi T, có dạng: (3.13) trong đó mỗi phần tử là một vector cột theo thời gian có kích thước , có dạng: (3.14) mà mỗi phần tử của nó lại là một vector con theo không gian, có kích thước và có dạng: (3.15) Như vậy ma trận biến đổi T có kích thước , trong đó C là kích thước giảm lược của không gian vector con. Theo tiêu chí 1, phải có 1 cột của ma trận T phù hợp với tín hiệu mong muốn (chính là kênh thăm dò có giản đồ hướng quay đúng về phía tín hiệu và búp chính của bank lọc Doppler nằm chính giữa tần số Doppler của tín hiệu, hay nói cách khác là nó phải thu nhận được tín hiệu với tỷ số tín hiệu trên nhiễu cộng tạp âm SINR lớn nhất). Không mất tính tổng quát, ta giả thiết đó chính là cột thứ 1 của ma trận T: (3.16) C-1 cột còn lại chính là các kênh phụ, dùng để ước lượng ma trận hiệp biến nhiễu Q. Khi đó, ma trận biến đổi T trong (3.13) trở thành: (3.17) Theo 3.1, ta có tín hiệu trong miền biến đổi không gian con là: (3.18) Nếu cho rằng chỉ có tín hiệu trên kênh thăm dò là thành phần lớn nhất và có giá trị, còn tất cả các thành phần tín hiệu trên kênh tham chiếu có thể bỏ qua, hay nói cách khác là thoả mãn điều kiện: (3.19) thì từ (3.18) suy ra , với là hình chiếu của thành phần tín hiệu trên kênh thăm dò lên chính nó trong miền không gian con biến đổi. Khi đó trọng số của bộ xử lý trong miền không gian con biến đổi trở thành đơn giản hơn (3.2), đó là: (3.20) Từ (3.20) ta có nhận xét rằng trọng số wT chính là cột thứ nhất của . Tín hiệu đầu ra bộ xử lý là: (3.21) Như vậy, bộ xử lý bây giờ là tối ưu trong miền không gian con và nói chung đặc tính của nó bị chi phối bởi lượng thông tin còn bảo tồn được sau phép biến đổi không gian con bởi ma trận T. Đặc tính của bộ xử lý này có thể đánh giá tương đương như bộ xử lý đầy đủ bằng cách tạo thêm vector trọng số dư: (3.22) Hơn nữa cũng cần xem xét ảnh hưởng của phép biến đổi lên ma trận hiệp biến tạp âm N. Giả thiết công suất tạp âm là Pw và không tương quan với nhau, nghĩa là . Sau khi áp dụng phép biến đổi không gian con, ma trận hiệp biến tạp âm trở thành: (3.23) Theo tiêu chí 6, trong trường hợp các ma trận hiệp biến nhiễu sau biến đổi QT có điều kiện yếu, cần nghịch đảo được, thì tạo ra các tạp âm nhân tạo bằng cách nạp đường chéo: (3.24) trong đó là công suất mức nạp và là ma trận hiệp biến đã được nạp đường chéo. Ma trận hiệp biến tạp âm sau khi biến đổi (3.23) có thể không còn tương quan nữa, vì thế nếu xảy ra tương quan thì có thể áp dụng cách nạp đường chéo như (3.24). Vấn đề còn lại là xây dựng ma trận biến đổi tương ứng với các kênh phụ A trong (3.17) như thế nào, bao nhiêu kênh phụ cần thiết, mà trong bất cứ trường hợp nào thì các kênh phụ này cũng phải phù hợp với nhiễu để sao cho tín hiệu trên các kênh phụ có tỷ lệ nhiễu trên tạp âm INR càng cao càng tốt. Hai giải pháp kinh điển thường được sử dụng là AEP và ACP. 3.2. Bộ xử lý vector riêng phụ AEP (Auxiliary Eigenvector Processor) 3.2.1. Nguyên tắc hoạt động Trong phương án này, ma trận biến đổi tương ứng với các kênh phụ A được xác định bằng ma trận các vector riêng E, nhận được từ ma trận hiệp biến nhiễu Q: (3.25) trong đó ma trận E có kích thước , khi đó ma trận biến đổi không gian con T trong (3.17) trở thành: (3.26) Với mục đích chọn các kênh phụ phải phù hợp với nhiễu để sao cho trên các kênh phụ có tỷ lệ nhiễu trên tạp âm INR cao thì số lượng các kênh phụ được xác định phụ thuộc vào số lượng các giá trị riêng của ma trận hiệp biến nhiễu Q. Theo lý thuyết phân tích phổ giá trị riêng ở Chương 2, có thể suy ra số lượng các kênh phụ là: (3.27) Bộ xử lý vector riêng phụ AEP dựa trên cơ sở (3.20) và (3.26) được trình bày trên hình 3.5. Biến đổi không gian con 1 2 M 1 1 2 M 2 1 2 M N … … Nhân với Dòng 1 của nghịch đảo ma trận hiệp biến nhiễu … Hình 3.5 1 2 C Các tín hiệu thu được từ N cảm biến được tách lấy thông tin (giải điều chế, giải mã,…) và được số hoá (không vẽ trên hình), sau đó đưa đến bộ ghi dịch có chiều dài M. Toàn bộ NM mẫu không gian- thời gian của vector dữ liệu đầu vào x được biến đổi theo phép biến đổi theo phép biến đổi vector riêng phụ dạng (3.26) thành vector xT có kích thước , thực hiện bởi khối “Biến đổi không gian con”. Mặt khác, cũng từ vector dữ liệu đầu vào x ước lượng ma trận hiệp biến nhiễu Q kích thước () để xác định các giá trị riêng tương ứng vector riêng E, là thành phần của ma trận biến đổi T trong (3.26) và tìm được ma trận hiệp biến đổi QT, từ đó nghịch đảo thành (các bước tính toán này cũng không vẽ trên hình). Như trên đã nhận xét, vector trọng số wT trong (3.20) chính là cột thứ 1 của . Theo (3.21), tín hiệu đầu ra được lọc nén triệt nhiễu bằng cách nhân liên hợp của vector trọng số wT (chính là dòng thứ 1 của liên hợp ma trận ) với vector xT , mà qúa trình này được thực hiện ở khối thứ 2 của sơ đồ: “Nhân với dòng 1 của nghịch đảo ma trận hiệp biến nhiễu”. Chú ý rằng, kênh thăm dò bao gồm cả bộ tạo tia và bank lọc Doppler. Điều này có nghĩa là quá trình tạo tia và lọc Doppler được thực hiện trước khi nén triệt nhiễu. Như vậy bộ xử lý phải thực hiện nén triệt nhiễu cho tất cả các tần số Doppler của mục tiêu cần quan tâm. 3.2.2. Các đặc điểm kỹ thuật 3.2.2.1. So sánh với bộ xử lý tối ưu lý tưởng Để đánh giá các đặc tính của các bộ xử lý, ta thực hiện tính toán và xây dựng đồ thị của thừa số cải thiện (IF) theo tần số Doppler tương đối ftd (hình3.6), với cùng một cấu trúc gồm 24 cảm biến (N=24) và 24 mẫu thời gian (M=24). Kích thước của ma trận hiệp biến bộ xử lý tối ưu Q là . Kích thước của không gian vector con giảm lược theo (3.27) là C =48, tương ứng với số lượng kênh hay số lượng các giá trị riêng có giá trị lớn. Khi đó, kích thước của ma trận hiệp biến bộ xử lý vector riêng phụ QT được giảm xuống còn . Điều này có thể chứng minh như sau: theo (3.1), ta có: Mà Vậy suy ra: Hình 3.6 Lu ý rằng số lượng phép tính toán cần thiết để nghịch đảo 1 ma trận kích thước xấp xỉ a3 (phép tính toán với số phức). Như vậy trong trường hợp này, số lượng phép tính giảm xuống rất lớn và thời gian tính toán nhanh hơn. Trong trường hợp các điều kiện lý tưởng (các kênh thu đồng nhất, không có các hiệu ứng độ rộng băng), thừa số cải thiện của AEP giống như của bộ xử lý tối ưu. Điều này được thể hiện ở sự trùng khít của 2 đồ thị trên hình 3.6. Trên thực tế, sự nhạy cảm của AEP với các ảnh hưởng của hiệu ứng độ rộng băng làm cho thừa số cải thiện của nó khác biệt nhiều so với lý tưởng. 3.2.2.2. Khả năng giảm lược số lượng kênh Trong các trường hợp không thật sự cần thiết phải đảm bảo nén triệt nhiễu cao, cho phép giảm tỷ số SINR đến một giá trị nhất định, có thể thực hiện việc giảm lược hơn nữa số lượng kênh. Khả năng giảm lược số kênh phụ thuộc vào độ tự do DOF (Degrees Of Freedom) của mạch lọc, mà thực chất số lượng các kênh được giảm lược đi quyết định bởi số lượng các giá trị riêng của nhiễu tương đối nhỏ để các vector riêng tương ứng của chúng không đóng vai trò quan trọng và có thể bỏ qua. Mặt khác, sự phân biệt khác hẳn nhau giữa các giá trị riêng khá lớn và các giá trị riêng rất nhỏ (có thể bỏ qua) lại phụ thuộc vào các thông số như giản đồ hướng phát, giản đồ cảm biến, độ rộng băng hệ thống, độ rộng băng của nhiễu… Chính vì thế, bộ xử lý vector riêng phụ AEP không thích hợp trong trường hợp số lượng các giá trị riêng tăng lên. Để có thể xác định được giới hạn giảm lược số lượng kênh và ảnh hưởng của sự giảm lược kênh lên thừa số cải thiện IF, trên hình 3.7 trình bày đồ thị của các phương án giảm lược số lượng kênh. Với C=48, thừa số cải thiện được cho tương ứng như C=40, và xuống tới C=32, đồ thị thừa số cải thiện không thay đổi và có thể cho là vẫn duy trì giá trị tối ưu. Nhưng khi giảm tới C=24 bắt đầu có sự thay đổi và tổn hao nhỏ. Như vậy, trong những điều kiện nhất định nào đó, nếu có thể giảm lược được số kênh phụ đi 2 lần, thì độ phức tạp tính toán (số lượng phép tính) đã giảm đi được 8 lần. Hình 3.7 3.2.2.3. Các hiệu ứng độ rộng băng Vẫn xét trường hợp giả thiết , nghĩa là số lượng các kênh phụ phù hợp với số lượng các giá trị riêng. Mặt khác, số lượng của các giá trị riêng thay đổi phụ thuộc vào hiệu ứng độ rộng băng. Việc tăng lên của số lượng các giá trị riêng mà số lượng các kênh phụ không tăng sẽ làm ảnh hưởng đến khả năng nén triệt nhiễu của bộ xử lý AEP, thể hiện trực tiếp bằng 2 hậu quả rõ ràng là: Vết khía nén nhiễu bị nới rộng ra. Các tổn hao trên thừa số cải thiện có thể xảy ra do mạch lọc nhiễu không đủ độ tự do. Hậu quả thứ nhất xảy ra chủ yếu là ở vùng lân cận với tần số Doppler của nhiễu. Hậu quả thứ hai ngược lại, thường ảnh hưởng lên thừa số cải thiện tại các tần số Doppler ở xa vết khía nhiễu. Hình 3.8 Đối với sự tăng lên độ rộng băng của nhiễu, hình 3.8 cho thấy ảnh hưởng của sự thăng giáng nhiễu lên thừa số cải thiện. Các đồ thị thừa số cải thiện tương ứng với độ rộng băng của nhiễu thay đổi trong khoảng BC =0; 0.01; 0.03 đã bị nới rộng vết khía ra, nhưng vẫn là các đường cong trơn, không bị gợn sóng. Khi độ rộng băng của nhiễu tăng lên đến 0.1, thì các gợn sóng bắt đầu xuất hiện không những ở xa tần số Doppler của nhiễu mà ngay lân cận vết khía và vết khía bị mở rất rộng. Điều này cho thấy với C=48 là tương đối đủ cho độ rộng băng của nhiễu tăng lên đến BC = 0.03. Đối với sự tăng lên của độ rộng băng hệ thống làm ảnh hưởng đến sự giải tương quan không gian. Mà sự giải tương quan không gian dẫn tới việc suy giảm đặc tính nén triệt nhiễu của thừa số cải thiện được trình bày trên hình 3.9. Đối với BC nhỏ hơn 0.01, mặc dù vết khía bị nới rộng ra, nhưng đồ thị IF vẫn trơn. Khi BC = 0.03 thì bắt đầu xuất hiện các vết gợn nhẹ cách xa tần số Doppler của nhiễu. Đặc biệt khi BC = 0.1 thì các vết gợn xuất hiện ngay lân cận vết khía, làm cho vết khía bị doãng càng rộng, mặt khác có sự tổn hao thừa số cải thiện tại đúng vết khía. Như vậy chứng tỏ độ tự do là không đủ và chọn số lượng kênh phụ C-1 là quá nhỏ. Hình 3.9 3.2.3. Đánh giá chung và các hạn chế Trong phương pháp AEP đã giả thiết rằng ma trận biến đổi không gian con không gian- thời gian có (N+M-1) giá trị riêng và đó cũng chính là số lượng kênh phụ cần thiết. Số lượng kênh phụ này cũng có thể được giảm lược hơn nữa dựa trên nguyên lý các kênh phụ là các vector riêng tương ứng với một số giá trị riêng khá lớn (còn các vector riêng tương ứng với các giá trị riêng nhỏ có thể được bỏ qua). Tiêu chí để các vector riêng được chọn làm kênh phụ là nó tương ứng với các giá trị riêng, mà các giá trị giới hạn dưới của các giá trị riêng này có thể xác định theo một số cách khác nhau là: Dựa vào lượng phổ chéo: (3.28) trong đó: là vector riêng của không gian phụ con. là giá trị riêng tương ứng. là tương quan chéo giữa kênh thăm dò và các kênh phụ. Dựa vào cực đại hoá tỷ số tín hiệu trên nhiễu cộng tạp âm SINR: (3.29) trong đó: là vector riêng được chọn. s là tín hiệu trên kênh thăm dò Như vậy phương pháp AEP nói chung cho phép giảm lược số lượng kênh trong các điều kiện và yêu cầu cụ thể. Hạn chế cơ bản của bộ xử lý vector riêng phụ là ma trận biến đổi T phụ thuộc vào dữ liệu đầu vào. Vì ma trận biến đổi T xác định theo (3.26) là phụ thuộc vào các vector riêng E của ma trận hiệp biến Q. Mặt khác ma trận hiệp biến Q lại được ước lượng từ các dữ liệu đầu vào. Nói cách khác, phép biến đổi là phụ thuộc vào dữ liệu. Trong quá trình thực hiện thích nghi do dữ liệu thay đổi liên tục nên Q cũng thay đổi và như vậy ma trận biến đổi T luôn phải được tính toán. Chính điều này là một nhược điểm chính của phương pháp AEP, hạn chế việc ứng dụng nó trong thực tế. 3.3. Bộ xử lý kênh phụ ACP (Auxiliary Channel Processor) 3.3.1. Nguyên tắc hoạt động Khắc phục nhược điểm cơ bản của phương pháp AEP, năm 1987, Richard Klemm đề xuất một giải pháp biến đổi không gian con không gian- thời gian không phụ thuộc dữ liệu gọi là Bộ xử lý kênh phụ ACP. Nguyên lý hoạt động của ACP dựa trên cơ sở sau: Trước hết xét trong trường hợp đơn giản chỉ theo 1 chiều không gian, việc khử triệt nhiễu không gian bằng các giản đồ hướng có các điểm triệt tiêu. Cho một số nguồn nhiễu nhất định bức xạ lên mảng cảm biến và giả sử vị trí của các nguồn nhiễu là đã biết. Với các điều kiện như vậy, có thể thiết kế một bộ xử lý biến đổi không gian con có cấu trúc của một bộ tạo chùm tia, mà mỗi tia hướng đúng về phía một trong số các nguồn nhiễu và dành một tia hướng về phía mục tiêu, gọi là tia thăm dò. Các tính toán của Klemm cho thấy rằng bộ xử lý nén triệt nhiễu như vậy là tối ưu trên thực tế. Hơn nữa, sau đó có rất nhiều tài liệu đã chứng minh rằng bộ xử lý loại này là tương đương với bộ xử lý hình chiếu trực giao. Vấn đề còn lại ở đây là vị trí của các nguồn nhiễu thường không được xác định rõ. Trên thực tế, về nguyên tắc chung có thể sử dụng một bộ xử lý thích nghi làm nhiệm vụ xác định vị trí của các nguồn nhiễu. Trong trường hợp cụ thể như radar, thì vấn đề này cũng rất đơn giản bởi vì vị trí của nhiễu trong không gian cũng như hướng của nó phụ thuộc vào tần số Doppler, có thể biết được. Từ đó, việc thiết kế một bộ xử lý không gian- thời gian được thực hiện theo (3.20): và ma trận biến đổi dạng (3.17): Trong đó, cột tương ứng với kênh thăm dò theo không gian- thời gian. Ma trận gồm các cột tương ứng với các kênh phụ theo không gian- thời gian, mà mỗi cột của nó phù hợp với nhiễu về hướng và tần số Doppler, nghĩa là: trong đó: là hướng của nguồn nhiễu l là tần số Doppler của nguồn nhiễu l. Nguyên lý hoạt động của bộ xử lý kênh phụ ACP được minh hoạ trên hình 3.10 Hình 3.10 Như đã trình bày về ý nghĩa của xử lý không gian- thời gian trước đây là phổ công suất của nhiễu trải dài theo đường chéo của mặt phẳng tần số Doppler fD và góc phương vị . Các hình elip vẽ trên mặt phẳng fD- biểu diễn hình chiếu của các kênh tín hiệu không gian- thời gian thu được. Các kênh phụ (hình elip chấm) bao phủ toàn bộ phạm vi góc phương vị của nhiễu, mà mỗi kênh lại phù hợp với một tần số Doppler, là các tần số có thể có của mục tiêu. Do đó theo trục tần số Doppler có các elip liền nét là hình chiếu của các tần số Doppler trên kênh thăm dò. Chú ý rằng phải có một kênh phụ cũng hướng về hướng của kênh thăm dò để thu nhận nhiễu truyền trên kênh chính và ngược lại kênh thăm dò không nhất thiết phải phù hợp chính xác với tần số Doppler của nhiễu (tâm của hình vẽ), bởi vì khi đó ma trận biến đổi sẽ trở thành kỳ dị. Điều này có thể được khắc phục bằng cách thêm vào “tạp âm nhân tạo” vào ma trận hiệp biến và được gọi là kỹ thuật đường chéo hoá như đã trình bày trong (3.4) và (3.5). Sơ đồ khối của bộ xử lý kênh phụ ACP được trình bày trên hình 3.11. 1 2 N … Nhân với Dòng 1 nghịch đảo ma trận hiệp biến nhiễu Kênh phụ Hình 3.11 1 2 C Bank lọc Doppler mạch lọc Doppler mạch lọc Doppler M 1 2 M-1 Kênh thăm dò Bộ tạo tia Các tín hiệu đầu ra của N kênh cảm biến được biến đổi bởi một mạng tạo chùm tia. Các tia phụ hướng về các hướng khác nhau sao cho chúng bao trùm toàn bộ các góc phương vị. Tia thăm dò hướng về phía mục tiêu. Đầu ra của mỗi bộ tạo tia được nối với các bộ ghi dịch để hình thành các mẫu theo thời gian. Các mẫu thời gian của 1 kênh (1 bộ tạo tia) tương ứng với 1 kênh phụ được lọc bởi 1 mạch lọc Doppler phù hợp cho 1 tần số Doppler. Tần số Doppler này liên quan với hướng của 1 kênh phụ tương ứng. Riêng các mẫu thời gian tương ứng với 1 kênh thăm dò được nối tiếp với 1 bank lọc Doppler. Các đầu ra của các mạch lọc Doppler và bank lọc Doppler được thực hiện nén triệt nhiễu giống như AEP. Nghĩa là vector trọng số wT trong công thức (3.20) chính là cột thứ 1 của . Theo công thức (3.21), tín hiệu đầu ra được lọc nén triệt nhiễu bằng cách nhân liên hợp của vector trọng số wT (chính là dòng thứ 1 của liên hợp ma trận ) với vector xT. Quá trình này được thực hiện ở khối cuối cùng trên sơ đồ hình 3.11 (Nhân với dòng 1 của nghịch đảo ma trận hiệp biến nhiễu). Ngược với AEP, bank lọc Doppler tín hiệu kênh thăm dò (phù hợp với mục tiêu cần quan tâm) đã được thực hiện trước khi nén triệt nhiễu, vì vậy việc nhân với dòng 1 của nghịch đảo ma trận hiệp biến nhiễu được tiến hành với từng tần số của mục tiêu cần quan tâm. 3.3.2. Các đặc điểm kỹ thuật 3.3.2.1. So sánh với bộ xử lý tối ưu lý tưởng Tương tự như AEP, các ví dụ bằng số để so sánh với bộ xử lý tối ưu cũng dựa trên đồ thị của thừa số cải thiện (IF) theo tần số Doppler tương đối ftd, với cùng một cấu trúc gồm 24 cảm biến () và 24 mẫu thời gian (). Trong trường hợp các điều kiện lý tưởng (các kênh thu đồng nhất, không có các hiệu ứng độ rộng băng), thừa số cải thiện của ACP giống như của bộ xử lý tối ưu. Điều này thể hiện trên sự trùng khít của 2 đồ thị ở hình 3.12. Hình 3.12 Theo nguyên lý, cả 2 bộ xử lý AEP và ACP đều là dạng của bộ xử lý hình chiếu trực giao. Về mặt lý thuyết thì đồ thị thừa số cải thiện IF của bộ xử lý hình chiếu trực giao tại vết khía có thể nén tới tận 0, còn bộ xử lý tối ưu chỉ có thể nén nhiễu xuống dưới mức của tạp âm, vì ma trận hình chiếu trực giao P là một dạng nghịch đảo lý tưởng của ma trận hiệp biến nhiễu . Trên thực tế việc tính toán xác định ma trận P với đầy đủ các giá trị riêng và vector riêng là tương đương với việc nghịch đảo ma trận hiệp biến nhiễu . Trong trường hợp các bộ xử lý AEP và ACP thì nghịch đảo của ma trận hiệp biến nhiễu biến đổi tương đương với ma trận hình chiếu trực giao P/, được tính toán xác định với một số giá trị riêng (có trị số khá lớn) nhất định. Vì thế các bộ xử lý tối ưu và hình chiếu trực giao là tương đương nhau, đặc tính như nhau. Vì vậy đồ thị thừa số cải thiện IF của AEP và ACP trong trường hợp lý tưởng đều trùng khít với đồ thị của bộ xử lý tối ưu. Đây là giới hạn trên của các đồ thị thừa số cải thiện bộ xử lý AEP và ACP. 3.3.2.2. Khả năng giảm lược số lượng kênh Hình 3.13 Sự khác biệt cơ bản giữa bộ xử lý vector riêng phụ AEP và bộ xử lý kênh phụ ACP là: đối với bộ xử lý AEP có các kênh phụ quan trọng (tương ứng với các giá trị riêng biên độ lớn) và có các kênh phụ kém quan trọng hơn (tương ứng với các giá trị riêng biên độ nhỏ), hay nói cách khác là phụ thuộc vào biên độ của các giá trị riêng tương ứng. Còn đối với bộ xử lý ACP thì tất cả các kênh phụ đều có vai trò tương đương nhau. Điều này rất quyết định đến khả năng giảm lược tổng số lượng kênh của các phương án AEP và ACP. Khi đó AEP cho phép có thể giảm lược số lượng kênh phụ nếu biên độ của các giá trị riêng tương ứng là nhỏ hơn các kênh còn lại. Đối với ACP không thể tuỳ tiện giảm lược số lượng các kênh phụ và việc giảm lược số lượng các kênh phụ ngay lập tức sẽ ảnh hưởng lên các đặc tính quan trọng khác. Nói cách khác, ACP nhạy cảm hơn AEP trong việc giảm lược số lượng kênh. Hình 3.13 trình bày hiệu ứng giảm lược số lượng kênh lên đồ thị thừa số cải thiện IF của bộ xử lý ACP với các phương án giảm lược số lượng kênh khác nhau. Giả thiết và , đồ thị thừa số cải thiện IF có dạng của bộ xử lý tối ưu. Khi giảm số lượng kênh xuống , đồ thị thừa số cải thiện IF đã xuất hiện các dao động biên độ khá mạnh và vết khía bị nới rộng đáng kể. Đặc biệt khi giảm số lượng kênh xuống còn 50% () thì đồ thị thừa số cải thiện IF phản ánh một sự tổn hao rất lớn trên toàn bộ đặc tính với sự nới rộng rất lớn tại lân cận vết khía và các dao động biên độ rất mạnh phản ánh các tổn hao trên dải thông của bộ lọc. Điều này cho thấy bộ xử lý không đủ độ tự do (hay thiếu kênh). Khả năng giảm lược số lượng kênh của ACP là một khuyết điểm rất lớn của phương án này, vì nó không cho phép giảm lược số lượng các phép tính toán, tốc độ xử lý thấp, kéo dài thời gian thực và hạn chế khả năng áp dụng xử lý thích nghi. 3.3.2.3. Các hiệu ứng độ rộng băng Hình 3.14 Khi độ rộng băng thay đổi sinh ra hiệu ứng xuất hiện thêm các giá trị riêng và các vector riêng tương ứng của ma trận hiệp biến Q. Vẫn xét trường hợp là số lượng các kênh phụ phù hợp với số lượng các giá trị riêng . Đối với sự thay đổi độ rộng băng của nhiễu, các đồ thị thừa số cải thiện tương ứng được trình bày trên hình 3.14. So sánh đồ thị thừa số cải thiện tương ứng với độ rộng băng BC = 0 với các đồ thị khác cho ta thấy rằng bộ xử lý kênh phụ ACP đã không đủ số lượng độ tự do bởi số lượng thực các giá trị riêng của ma trận hiệp biến Q