Luận án Nghiên cứu giảm dao động cho công trình theo mô hình con lắc ngược chịu tác dụng của ngoại lực

bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o ViÖn khoa häc vµ c«ng nghÖ viÖt nam ViÖn c¬ häc nguyÔn duy chinh nghiªn cøu gi¶m dao ®éng cho c«ng tr×nh theo m« h×nh con l¾c ng−îc chÞu t¸c dông cña ngo¹i lùc luËn ¸n tiÕn sÜ c¬ häc Hµ Néi – 2010 bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o ViÖn khoa häc vµ c«ng nghÖ viÖt nam ViÖn c¬ häc nguyÔn duy chinh nghiªn cøu gi¶m dao ®éng cho c«ng tr×nh theo m« h×nh con l¾c ng−îc chÞu t¸c dông cña ngo¹i lùc chuyªn ngµnh: c¬ häc vËt r¾n m· sè: 62.44.21.01 luËn ¸n tiÕn sÜ c¬ häc ng−êi h−íng dÉn khoa häc pgs. Ts. Khæng do·n ®iÒn - ĐẠI HỌC THỦY LỢI ts. KiÒu thÕ ®øc – ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI Hµ Néi – 2010 1 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu, kết quả nghiên cứu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Tác giả Nguyễn Duy Chinh 2 MỤC LỤC Lời cam đoan.....................................................................................................1 Mục lục..............................................................................................................2 Danh mục các ký hiệu.......................................................................................5 Mở đầu...............................................................................................................8 Chương 1: Tổng quan về bộ hấp thụ dao động thụ động…………….……13 1.1 Giới thiệu chung…………………………………………………….…13 1.2 Nguyên lý cơ bản của bộ hấp thụ dao động thụ động………….……...15 1.3 Tính bộ hấp thụ dao động thụ động cho hệ không có cản nhớt…....….17 1.3.1 Hệ chịu kích động điều hoà…………………………………………. 17 1.3.2 Hệ chịu kích động ồn trắng……………………………………….…..22 1.4 Tính bộ hấp thụ dao động thụ động cho hệ có cản nhớt………….…...23 1.5 Một số tiêu chuẩn để xác định bộ hấp thụ dao động thụ động…….......24 1.6 Bộ hấp thụ dao động cho hệ con lắc ngược……………….……...…...26 1.7 Kết luận chương 1…………………………………………….……….30 Chương 2: Phương trình chuyển động của hệ con lắc ngược có lắp đặt hệ thống giảm dao động TMD………..…………………………………..…....31 2.1 Mô hình tính toán của cơ cấu con lắc ngược, có gắn bộ hấp thụ dao động được nghiên cứu trong luận án….………………………………….…...31 2.2 Thiết lập phương trình vi phân chuyển động của hệ con lắc ngược.……….32 2.2.1 Động năng của cơ hệ……………………………………….………….33 2.2.2 Lực suy rộng của cơ hệ……………………………………….………..38 2.2.2.1 Thế năng của cơ hệ …………………………………………….……39 2.2.2.2 Hàm hao tán của cơ hệ …………………………………………...…41 2.2.2.3 Lực hoạt suy rộng của cơ hệ ………………………………….……..41 2.2.3 Phương trình vi phân chuyển động của hệ…………………………….43 2.3 Kết luận chương 2…………………….…………………….…………46 3 Chương 3. Nghiên cứu, phân tích, tính toán, giảm dao động cho các công trình có dạng hệ con lắc ngược…..…………….…………………..…….....47 3.1 Trường hợp chỉ có bộ hấp thụ dao động TMD-D.…………..……..........49 3.1.1 Phương trình vi phân chuyển động của hệ………………...………….49 3.1.2 Nghiên cứu ổn định chuyển động của hệ con lắc ngược theo tiêu chuẩn kĩ thuật trường hợp chỉ lắp bộ TMD-D………………………….……50 3.1.3 Tính toán các thông số của bộ hấp thụ dao động TMD-D để giảm dao động cho cơ cấu con lắc ngược………………………………….……55 3.2 Trường hợp chỉ lắp đặt bộ hấp thụ dao động TMD-N………...…….......65 3.2.1 Phương trình vi phân chuyển động của hệ khi lắp đặt bộ hấp thụ dao động TMD-N. ……………………………….…………….………….66 3.2.2 Nghiên cứu ổn định chuyển động của hệ con lắc ngược theo tiêu chuẩn kĩ thuật khi lắp bộ hấp thụ dao động TMD-N……………………..….67 3.2.3 Tính toán các thông số của bộ hấp thụ dao động TMD-N để giảm dao động cho cơ cấu con lắc ngược……………………………….………69 3.3 Trường hợp con lắc ngược có lắp đặt đồng thời cả hai bộ hấp thụ dao động TMD-N và TMD-D……………………………………………….81 3.3.1 Nghiên cứu ổn định chuyển động của hệ con lắc ngược theo tiêu chuẩn kĩ thuật trường hợp có lắp đặt cả hai bộ TMD…………………….….82 3.3.2 Tính toán các thông số của bộ hấp thụ dao động để giảm dao động cho cơ cấu con lắc ngược………………………………….………………86 3.4 Kết luận chương 3…………………………………………….…..……103 Chương 4: Mở rộng kết quả nghiên cứu trường hợp có lắp đồng thời hai bộ TMD-D và DVA. Tính toán mô phỏng số các các kết quả nghiên cứu giảm dao động cho một số kết cấu công trình………….………...……………..106 4.1 Mở rộng kết quả nghiên cứu trường hợp có lắp đồng thời hai bộ TMD-D và DVA………………………………………………………...…106 4 4.1.1 Mô hình của con lắc ngược có lắp hai bộ hấp thụ dao động TMD-D và DVA……………………………………. ……………………...……….…106 4. 1.2 Thiết lập phương trình vi phân chuyển động của hệ con lắc ngược có lắp đặt bộ DVA và TMD……………………………..……………………………107 4.1.3 Nghiên cứu xác định các thông số của bộ hấp thụ dao động DVA và bộ TMD-D để công trình làm việc ổn định và giảm dao động cho hệ con lắc ngược một cách tối ưu………………………………………….…….….118 4.2 Tính toán mô phỏng số các kết quả nghiên cứu bộ hấp thụ dao động vào một số kết cấu công trình.………………………..…..……………….……123 4.2.1 Áp dụng kết quả nghiên cứu bộ hấp thụ dao động, tính toán giảm dao động cho tháp nước…………………………………….………………..123 4.2.2 Áp dụng kết quả nghiên cứu bộ hấp thụ dao động, tính toán giảm dao động theo phương thẳng đứng của ô tô..………………………...….…...129 4.2.3 Áp dụng kết quả nghiên cứu bộ hấp thụ dao động, tính toán giảm dao động cho tháp ngoài biển………..……………………………………….132 4.3 Kết luận chương 4………………………...…………………..……….137 Kết luận và kiến nghị …………………….………...………………......…138 Danh mục các công trình đã công bố của tác giả.…………………….……142 Danh mục tài liệu tham khảo……………………………………………….143 Lời cảm ơn……………………………………………………………...…..151 Phụ lục chương trình máy tính : Lập trình vẽ đồ thị trên phần mềm MAPLE để mô phỏng dao động cho hệ ………………...……………………..….…152 5 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU TMD Bộ hấp thụ thụ động dạng khối lượng (Tuned mass damper) TMD-D Bộ hấp thụ thụ động dạng khối lượng để giảm dao động theo phương thẳng đứng của con lắc ngược TMD-N Bộ hấp thụ thụ động dạng khối lượng để giảm dao động theo phương lắc ngang của con lắc ngược DVA Bộ tắt chấn động lực loại con lắc ( Dynamic vibration absorber) TLD Bộ giảm chấn chất lỏng m Khối lượng của bộ TMD M Khối lượng của hệ chính ωa Tần số riêng của bộ TMD ωopt Giá trị tối ưu của tần số của bộ TMD ζ Tỉ số cản nhớt của bộ TMD ζopt Giá trị tối ưu tỷ số cản nhớt của bộ TMD ... Ký hiệu kì vọng toán học ω Tần số của lực kích động điều hoà f Tỷ số của tần số của bộ TMD thụ động và tần số của hệ chính fopt Tỷ số tối ưu của tần số của bộ TMD thụ động và tần số của hệ chính µ Tỷ số khối lượng của bộ TMD và hệ chính h Tỷ số giữa tần số lực tác động và tần số riêng của hệ chính hopt Tỷ số tối ưu giữa tần số lực tác động và tần số riêng của hệ chính B Ma trận chứa các hệ số của lực điều khiển trong phương trình trạng thái C Ma trận cản Q* Lực hoạt suy rộng của cơ hệ 6 ∏ Thế năng của hệ T Động năng của hệ Φ Hàm hao tán của hệ E Tỷ số đánh giá hiệu quả của bộ TMD F Véc tơ lực kích động g Gia tốc trọng trường k2 Hệ số cứng lò xo của hệ chính k1 Hệ số cứng lò xo của bộ TMD kopt Hệ số cứng tối ưu của bộ TMD K Ma trận độ cứng M* Ma trận khối lượng Ω Tần số dao động riêng của hệ chính Eopt Tỷ số đánh giá hiệu quả tối ưu của bộ TMD copt Hệ số cản nhớt tối ưu của bộ TMD P(λ) Đa thức đặc trưng λ Nghiệm của đa thức đặc trưng ( )Re λ Phần thực của nghiệm đa thức đặc trưng ( )Im λ Phần ảo của nghiệm đa thức đặc trưng µu1 Tỉ số khối lượng của bộ hấp thụ dao động TMD-N và con lắc ngược đặc trưng cho chuyển động thẳng. µϕ1 Tỉ số khối lượng của bộ hấp thụ dao động TMD-N và con lắc ngược đặc trưng cho chuyển động quay. γ1 Hệ số biểu thị vị trí lắp đặt bộ hấp thụ dao động TMD-N. ωd1 Tần số dao động riêng của bộ hấp thụ dao động TMD-N. ξ1 Tỉ số cản nhớt của bộ hấp thụ dao động TMD-N. µu2 Tỉ số khối lượng của bộ hấp thụ dao động TMD-D và con lắc ngược đặc trưng cho chuyển động thẳng. 7 µϕ2 Tỉ số khối lượng của bộ hấp thụ dao động TMD-D và con lắc ngược đặc trưng cho chuyển động quay. γ2 Hệ số biểu thị vị trí lắp đặt bộ hấp thụ dao động TMD-D. ωd2 Tần số dao động riêng của bộ hấp thụ dao động TMD-D. ξ2 Tỉ số cản nhớt của bộ hấp thụ dao động TMD-D. ωϕ Tần số dao động riêng của con lắc ngược theo phương ngang. ωu Tần số dao động riêng của con lắc ngược theo phương thẳng đứng. 1dα Tỉ số của tần số của bộ TMD-N và tần số lắc ngang của con lắc ngược 2dα Tỉ số của tần số của bộ TMD-D và tần số lắc ngang của con lắc ngược. uα Tỉ số giữa tần số dao động thẳng đứng và tần số lắc ngang của con lắc ngược γ1opt Hệ số tối ưu biểu thị vị trí lắp đặt bộ hấp thụ dao động TMD-N. γ2opt Hệ số tối ưu biểu thị vị trí lắp đặt bộ hấp thụ dao động TMD-D. ξ1opt Tỉ số tối ưu cản nhớt của bộ hấp thụ dao động TMD-N. ξ2opt Tỉ số tối ưu cản nhớt của bộ hấp thụ dao động TMD-D. 1d optα Tỉ số tối ưu giữa tần số của bộ TMD-N và tần số lắc ngang của con lắc ngược 2d optα Tỉ số tối ưu giữa tần số của bộ TMD-D và tần số lắc ngang của con lắc ngược µu1A Tỉ số khối lượng của bộ hấp thụ dao động DVA và con lắc ngược đặc trưng cho chuyển động thẳng. ωd1A : Tần số dao động riêng của bộ hấp thụ dao động DVA. ξ1A : Tỉ số cản nhớt của bộ hấp thụ dao động DVA. µ: Tỉ số khối lượng của bộ hấp thụ dao động DVA và con lắc ngược đặc trưng cho chuyển động quay. γ: Hệ số biểu thị vị trí lắp đặt bộ hấp thụ dao động DVA. 1d optAα : Tỉ số tối ưu giữa tần số của bộ DVA và tần số lắc ngang của con lắc ngược. 1optAξ : Tỉ số tối ưu cản nhớt của bộ hấp thụ dao động DVA. 8 MỞ ĐẦU 1. Cơ sở khoa học và thực tiễn của đề tài Trong thực tế có nhiều công trình có mô hình ở dạng con lắc ngược như nhà cao tầng, tháp vô tuyến, giàn khoan, công trình biển … cùng với sự phát triển của khoa học kỹ thuật các công trình này ngày càng lớn về chiều dài và chiều cao. Sự gia tăng về quy mô kết cấu sẽ dẫn đến các đáp ứng động lực phức tạp của kết cấu và sẽ sinh ra các dao động có hại. Vì vậy, nghiên cứu giảm dao động có hại cho cơ cấu con lắc ngược là bài toán đang được rất nhiều các nhà khoa học trên thế giới quan tâm nghiên cứu. Một hướng nghiên cứu mang tích thời sự, cấp thiết và quan trọng ở Việt Nam hiện nay là nghiên cứu để giảm dao động cho các công trình biển có dạng con lắc ngược DKI. Bắt đầu từ năm 1989, theo Chương trình Biển Đông - Hải Đảo của Nhà nước đã tiến hành xây dựng các công trình biển dạng DKI. Các công trình này đã và đang góp phần vào xây dựng, bảo vệ đất nước và khai thác tiềm năng vô cùng to lớn của biển. Qua nghiên cứu trong [8], [17], [18] cho thấy đáp ứng gây ra dao động có hại cho công trình DKI bao gồm hai loại chính là đáp ứng ngang và thẳng đứng liên quan đến hiện tượng lắc ngang và nhổ cọc. Dao động của công trình DKI bao gồm hai loại dao động: Dao động rung lắc có tần số là các tần số riêng của công trình và dao động cưỡng bức gây ra bởi tải trọng sóng, trong đó dao động rung lắc đặc biệt có hại với độ bền và tuổi thọ của công trình. Các dao động rung lắc có tần số cao hơn nhiều lần tần số của sóng biển là một trong các dao động có hại không mong muốn cần được hạn chế. Để giảm dao động rung lắc cho công trình DKI theo đề xuất của các nhà khoa học Nguyễn Đông Anh và cộng sự (vcs) [8], Nguyễn Hoa Thịnh vcs [17, 18] có thể lắp vào công trình DKI hai bộ TMD để tiêu tán năng lượng cho hệ. Một bộ TMD được đặt theo hướng tác 9 động của sóng biển để giảm dao động lắc ngang. Một bộ TMD khác được đặt theo hướng thẳng đứng để giảm dao động thẳng đứng và chống nhổ cọc. Các công trình dạng con lắc ngược DKI có vị trí chiến lược quan trọng trong sự phát triển, khai thác tiềm năng biển, tăng cường khả năng quốc phòng, góp phần vào ổn định chính trị của đất nước. Việc tiếp tục nghiên cứu áp dụng các bộ hấp thụ dao động để giảm dao động cho các công trình DKI nhằm nâng cao chất lượng và tuổi thọ của các công trình DKI là vấn đề đã và đang được Bộ Quốc phòng và các nhà khoa học trong nước đang quan tâm nghiên cứu. 2. Mục đích nghiên cứu của luận án Như đã phân tích ở trên: Dao động rung lắc đặc biệt có hại với độ bền và tuổi thọ của công trình có dạng con lắc ngược. Các dao động rung lắc có tần số cao hơn nhiều lần tần số của sóng biển là một trong các dao động có hại không mong muốn cần được hạn chế. Bởi vậy mục đích của luận án là nghiên cứu giảm dao động rung lắc cho các công trình có dạng con lắc ngược. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của luận án * Đối tượng nghiên cứu của luận án Trong [2], [3], [5],[12], [51] đã nghiên cứu dao động của con lắc ngược có lắp bộ hấp thụ dao động. Tuy nhiên các nghiên cứu đó mới chỉ xét đến dao động lắc ngang của con lắc ngược. Nhưng trong thực tế nhiều công trình có dạng con lắc ngược, ngoài thành phần dao động lắc ngang nó còn dao động theo phương thẳng đứng. Vì vậy đối tượng nghiên cứu của luận án là các bộ hấp thụ dao động thụ động TMD cho các công trình dạng con lắc ngược có xét đến cả dao động thẳng đứng và lắc ngang. 10 * Phạm vi nghiên cứu của luận án Để xác định các thông số tối ưu của hệ thống giảm dao động TMD, ta có nhiều phương pháp khác nhau như: Phương pháp điểm cố định, phương pháp cực tiểu mô men bậc hai, phương pháp cực tiểu sai số bình phương, … và ứng với mỗi phương pháp khác nhau ta lại tìm được các thông số tối ưu khác nhau của các bộ hấp thụ dao động. Việc áp dụng phương pháp nào để tìm các thông số tối ưu, hoàn toàn phụ thuộc vào đáp ứng dao động của kết cấu mà yêu cầu của thực tiễn kỹ thuật cần giảm dao động. Trong luận án này, tác giả tìm các thông số tối ưu của các bộ hấp thụ dao động TMD với mục đích là giảm dao động rung lắc của các công trình có dạng con lắc ngược nên phạm vi nghiên cứu của luận án là tính toán các thông số tối ưu của các bộ hấp thụ dao động TMD để tăng các đặc trưng cản lớn nhất của hệ từ đó giảm được thành phần dao động rung lắc của hệ con lắc ngược một cách tốt nhất. 4. Phương pháp nghiên cứu Trên cơ sở các công trình có dạng con lắc ngược có trong thực tế, tác giả chuyển về mô hình lí thuyết của cơ cấu con lắc ngược có lắp đặt hệ thống giảm dao động TMD. Từ mô hình tính toán của hệ con lắc ngược có lắp đặt hệ thống giảm dao động, tác giả sử dụng phương trình Lagrăng loại II để thiết lập phương trình vi phân chuyển động của hệ. Trên cơ sở phương trình chuyển động của con lắc ngược thu được, tác giả tiến hành nghiên cứu, phân tích, tính toán để giảm dao động cho cơ cấu con lắc ngược theo lí thuyết điều khiển chuyển động, tìm nghiệm giải tích của hệ. Với mục tiêu là nghiên cứu, tính toán bộ hấp thụ dao động tối ưu để giảm thành phần dao động rung lắc cho cơ hệ, tác giả đã áp dụng phương pháp cân bằng cực theo các tài liệu [20], [47], [49], [51], [71] đây là phương pháp tìm các thông số tối ưu của các bộ TMD để tăng các đặc trưng cản lớn nhất cho cơ hệ, từ đó giảm được thành 11 phần dao động rung lắc cho hệ một cách tốt nhất. Để kiểm chứng tính đúng đắn của các kết quả nghiên cứu, tác giả đã so sánh các kết quả thu được trong trường hợp đơn giản hơn của luận án với kết quả đã được công bố của các nhà khoa học đã nghiên cứu và đưa ra kết quả trước đây. Để đánh giá hiệu quả giảm dao động của các kết quả nghiên cứu của luận án, do điều kiện về thời gian và kinh phí, không thể nghiên cứu thực nghiệm vào các công trình có trong thực tế, nên luận án xây dựng chương trình máy tính trên phần mềm MAPLE để mô phỏng dao động của cả hệ để người đọc có cái nhìn trực quan về hiệu quả của bộ hấp thụ dao động. Đây là phần mềm được các nhà khoa học trên thế giới chuyên dùng và cho kết quả tin cậy. 5. Những đóng góp mới của luận án a. Thiết lập được phương trình vi phân chuyển động của hệ con lắc ngược có lắp đồng thời hai bộ hấp thụ dao động TMD-D và TMD-N để giảm dao động theo phương thẳng đứng và ngang của hệ con lắc ngược. b. Tính toán tìm được các thông số của các bộ hấp thụ dao động TMD-D và TMD-N để công trình có dạng con lắc ngược làm việc ổn định theo tiêu chuẩn của kỹ thuật. c. Nghiên cứu phân tích, tính toán tìm được các tham số tối ưu của các bộ hấp thụ dao động TMD-D và TMD-N để giảm dao động rung lắc theo phương thẳng đứng và ngang của hệ con lắc ngược. d. Mở rộng các kết quả nghiên cứu trường hợp có lắp đồng thời hai bộ hấp thụ dao động TMD-D và TMD-N cho trường hợp có lắp đặt hệ thống giảm dao động TMD-D và DVA. Đã tìm được các tham số tối ưu của hệ thống giảm dao động TMD-D và DVA để giảm dao động rung lắc cho hệ con lắc ngược. 12 e. Đã áp dụng các kết quả nghiên cứu, tính toán các thông số tối ưu của bộ hấp thụ dao động để giảm dao động cho tháp nước, dao động thẳng đứng của ô tô, tháp ngoài biển, thì thấy biên độ dao động của các cơ cấu này giảm rất nhiều theo thời gian so với trường hợp không lắp đặt bộ hấp thụ dao động. Điều này đáp ứng được yêu cầu giảm dao động của kỹ thuật đặt ra. Các nghiên cứu lý thuyết này đã được tác giả kiểm chứng trên những ví dụ cụ thể bằng phần mềm chuyên dụng MAPLE và cho kết quả tin cậy. Sự đúng đắn của kết quả nghiên cứu còn được kiểm chứng khi so sánh các kết quả thu được trong trường hợp đơn giản hơn với kết quả đã được công bố của các nhà khoa học đã nghiên cứu và đưa ra kết quả trước đây. 6. Bố cục của luận án Luận án gồm phần mở đầu, bốn chương và phần kết luận với 150 trang, 33 hình vẽ và đồ thị. Chương 1 trình bày tổng quan các nghiên cứu về bộ hấp thụ dao động thụ động. Chương 2, 3 giải quyết bài toán tính giảm dao động cho cơ cấu có dạng con lắc ngược có lắp các bộ hấp thụ dao động TMD-D và TMD-N. Chương 4 mở rộng kết quả nghiên cứu trường hợp có lắp đồng thời hai bộ TMD-D và DVA. Tính toán mô phỏng số các các kết quả nghiên cứu giảm dao động cho một số kết cấu công trình. Các kết quả chính của luận án được tóm tắt trong phần kết luận. Phần phụ lục là chương trình máy tính, xây dựng trong phần mềm MAPLE để phục vụ cho việc nghiên cứu của luận án. 13 CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VÒ BỘ HẤP THỤ DAO ĐỘNG THỤ ĐỘNG 1.1 Giới thiệu chung Trong phương pháp hấp thụ thụ động, bộ hấp thụ dao động thụ động được gắn thêm vào hệ máy hay kết cấu. Mục đích của việc sử dụng bộ hấp thụ dao động thụ động là để hấp thụ một phần năng lượng của hệ chính. Ưu điểm của phương pháp là không cần năng lượng sinh ra bởi bộ tạo nguồn lực nên đơn giản cho công tác duy tu, bảo dưỡng. Sự hấp thụ được thực hiện bằng cách truyền một phần năng lượng dao động có hại từ hệ chính tới bộ hấp thụ dao động thụ động. Bộ hấp thụ dao động thụ động dạng khối lượng gọi tắt là TMD (tuned mass damper) có thể mô tả như là một khối lượng được gắn với hệ chính thông qua lò xo và giảm chấn dạng cản nhớt. Sơ đồ kết nối giữa bộ hấp thụ dao động thụ động và hệ dao động chính được biểu diễn trên hình 1.1. k1 m k2 (TMD) F1 F2 c1 c2 M x1 x2 Hình 1.1. Bộ hấp thụ dao động và hệ chính Việc ứng dụng bộ hấp thụ dao động thụ động được nghiên cứu lần đầu tiên bởi Frahm vào năm 1909 [32]. Trong đó bộ hấp thụ dao động thụ động có khối lượng m và lò so với độ cứng k1. Hệ chính là vật M được gắn với nền 14 bằng lò so có độ cứng k2. Khi cả hai hệ đều không chứa lực cản, dưới tác dụng của kích động điều hòa, hệ dao động chính M có thể đứng yên không chuyển động nếu tần số riêng của bộ hấp thụ dao động thụ động, m k a 1=ω , được chọn bằng tần số của lực kích động. Lý thuyết về bộ hấp thụ dao động thụ động có cản nhớt được Den Hartog (1947), [28] phát triển cho các trường hợp hệ chính có cản nhớt. Ông đã đưa ra phương pháp tính toán thông số tối ưu của bộ hấp thụ dao động thụ động. Sau đó, việc nghiên cứu bộ hấp thụ dao động thụ động cho các hệ chính có cản nhớt được tiếp tục bởi Bishop và Welbourn [23]. Trong nhiều trường hợp, việc xác định các thông số tối ưu dưới dạng giải tích cho bộ hấp thụ dao động thụ động đối với các hệ có cản nhớt là không thể thực hiện được. Do vậy phương pháp số đã được nhiều tác giả nghiên cứu để giải quyết các bài toán này: - Jennige và Frohrib (1977), [42] đã dùng phương pháp số để đánh giá bộ hấp thụ dao động thụ động dạng quay cho những cơ hệ chịu uốn và xoắn. - Ioi và Ikeda (1978), [40] đưa ra các công thức kinh nghiệm để tính toán các thông số tối ưu của bộ hấp thụ dao động thụ động cho những hệ chính có hệ số cản nhớt nhỏ. - Randall et al. (1981), [59] đã đưa ra các đồ thị phụ thuộc theo tham số cho các thông số tối ưu khi hệ chính có cản nhớt. - Warbuton và Ayorinde (1981), [69] cũng đưa ra phương pháp tính các thông số tối ưu của bộ hấp thụ dao động thụ động để giảm biên độ dao động cho hệ chính với một số thông số cho trước. 15 1.2 Nguyên lý cơ bản của bộ hấp thụ dao động thụ động Hình 1.1 mô tả hệ dao động một bậc tự do có khối lượng M chịu kích động bởi lực F2(t). Để giảm đáp ứng dao động của hệ chính ta gắn vào hệ dao động một bộ hấp thụ dao động thụ động khối lượng m. Phương trình chuyển động của cơ hệ được mô tả bởi: * ( ) ( ) ( ) ( )t t t+ + =M X CX KX F&& & t (1.1) Ở đây X(t) là véctơ dịch chuyển tương đối của các vật so với nền. M*, C, K tương ứng là các ma trận khối lượng, cản nhớt và độ cứng: 2 1( ) ( ( ), ( )) Tt x t x t=X , 2 1( ) ( ( ), ( ))Tt F t F t=F * 0 0 M m ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦M , 1 2 1 1 1 c c c c c + −⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦ C , 1 2 1 1 1 k k k k k + −⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦ K (1.2) Nhân vào hai vế của phương trình (1.1) và lấy trung bình, ta có: 2x& ( ) ( )22 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 F ( ) ( ) M x x c c x k k x x t x c x x k x x m x x c x c x x k x x k x x F t x ⎧ + + + + = + +⎪⎨ − + − + =⎪⎩ && & & & & & & & && & & & & & & & (1.3) ở đây là kỳ vọng toán học cho trường hợp hệ chịu kích động ngẫu nhiên hay giá trị trung bình cho trường hợp kích động điều hoà. Từ , và cộng 2 phương trình trên lại, ta có phương trình cân bằng năng lượng đơn giản: 022 >==< )t(x)t(x &&& [ ]22 2 2 1 2 1 2( ) ( )c x F t F t x m x x= −& & && & ] (1.4) trong đó, - là năng lượng tiêu hao do tác dụng của lực cản. >< 222 xc & - là năng lượng do kích động từ bên ngoài [ >+< 212 x)t(F)t(F & 16 - Phần năng lượng bằng [ >< 21xxm &&& ] được truyền từ hệ chính sang khối lượng lắp thêm m. Đó chính là nguyên lý hoạt động của bộ hấp thụ dao động thụ động. Trong trường hợp dấu của [ ] dương, bộ hấp thụ dao động thụ động đã hấp thụ một phần năng lượng của dao động. Nếu năng lượng truyền từ hệ chính sang bộ hấp thụ dao động thụ động càng lớn thì dao động của hệ chính sẽ càng nhỏ. Trường hợp dấu của [ >< 21xxm &&& >< 21xxm &&& ] âm, lúc này hệ phụ sẽ truyền năng lượng cho hệ chính, hệ chính sẽ dao động mạnh thêm. Như vậy trong quá trình dao động luôn có sự trao đổi năng lượng giữa hệ chính và hệ phụ. Bộ hấp thụ dao động thụ động sẽ đạt hiệu quả tốt khi dao động của bộ hấp thụ lệch pha 90o so với dao động của hệ chính. Lúc này, gia tốc của bộ hấp thụ dao động thụ động cùng chiều với vận tốc của hệ chính. Khi bộ hấp thụ dao động làm việc có hiệu quả, nó làm tăng hệ số cản của hệ chính theo công thức (1.5) >< ><+= 2 2 21 22 x xx mcc eq & &&& (1.5) Tương tù nhân 2x vào hai vế của phương trình (1.1) và lấy trung bình, ta có: ( ) ( ) 22 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 F ( ) ( ) ⎧ + + + + = + +⎪⎨ − + − + =⎪⎩ && & & && & & M x x c c x x k k x t x c x x k x x m x x c x x c x x k x k x x F t x (1.6) Từ , và cộng 2 phương trình trên lại, ta có phương trình : 022 >==< )t(x)t(x &&& [ ]21 2 2 2 2 1 2 2 2F ( ) ( )m x x k x t F t x M x x+ = + −&& && (1.7) Vậy độ cứng tương đương của hệ chính được xác định theo công thức: 17 1 22 2 2 2 eq x x k k m x = + && (1.8) Ta có thể sử dụng hình 1.2 thay cho hình 1.1 với k2eq và c2eq là độ cứng và hệ số cản của hệ chính tương đương. k2eq F1+ F2 c2eq M+m x2 Hình 1.2: Sơ đồ của hệ chính tương đương 1.3 Tính bộ hấp thụ dao động thụ động cho hệ không có cản nhớt 1.3.1 Hệ chịu kích động điều hoà Việc sử dụng bộ hấp thụ dao động thụ động có cản đã được Den Hartog [28] nghiên cứu cho trường hợp đơn giản khi hệ chính không có cản nhớt và chịu kích động của lực điều hòa tsinP)t(F o ω=2 . Trong ví dụ này, hiệu quả của bộ hấp thụ dao động thụ động được tính thông qua hệ số E là tỷ số giữa biên độ dao động và chuyển vị tĩnh 2 0 2 k P x st = 2 2 2 2 2max 22 2 2 2 2 2 2 2 2st x (f h ) (2 fh)E x ( f h )(1 h ) f h (2 fh) (1 h h ) − + ζ= = − − − µ + ζ − − µ⎡ ⎤⎣ ⎦ 2 (1.9) ë đây Ω ωf a= : TØ sè gi÷a tÇn sè riªng cña bé hÊp thô dao ®éng vµ hÖ chÝnh. Ω ωh = : TØ sè gi÷a tÇn sè lùc kÝch ®éng vµ tÇn sè riªng cña hÖ chÝnh. 18 m k a 1=ω , 2k M Ω = , M mµ = , a cζ 2m = ω là tû số cản nhớt của bộ hấp thụ dao động thụ động. Hệ số biên độ E là một hàm của 4 tham số h,f, , ζµ , đồ thị của E theo biến h trong trường hợp 01.f = , 0,05=µ và các giá trị khác nhau của ζ được biểu thị trên hình 1.3. Chúng ta hãy quan sát sự thay đổi của E khi tăng dần cản nhớt của bộ hấp thụ dao động thụ động. Hình 1.3: HÖ sè E theo biÕn h víi 0,05=µ , 01.f = Từ đồ thị trên hình 1.3 chúng ta có thể thấy rằng nếu bộ hấp thụ dao thụ động không có cản nhớt, hệ số E tăng đến vô hạn tại tần số cộng của hệ chính và tần số cộng hưởng của bộ hấp thụ dao động thụ động. K nhớt của bộ hấp thụ dao động thụ động đạt tới vô hạn, hệ chính và bộ h dao động thụ động coi như gắn cứng với nhau và trở thành hệ một bậc với khối lượng bằng tổng của hai khối lượng và vì vậy, hệ lại dao động h động hưởng hi cản ấp thụ tự do ở chế 19 độ cộng hưởng tại ( )* 1 k m M Ω = + . Như vậy ở giữa những điểm cộng hưởng này phải có giá trị nào đó của ζ mà đỉnh của cộng hưởng là nhỏ nhất. Như chúng ta đã nói ở trên, mục đích của việc gắn thêm bộ hấp thụ dao động thụ động là giảm đỉnh cộng hưởng của biên độ dao động tới giá trị nhỏ nhất có thể. Từ đồ thị chúng ta có thể nhận thấy có hai điểm (S và T) tại đó hÖ sè E không phụ thuộc vào hệ số cản nhớt ζ và như vậy đỉnh của biên độ dao động nhỏ nhất có thể đạt được bằng cách chọn hệ số f để hai điểm S, T có tung độ bằng nhau và đồ thị biểu diễn giá trị của E đạt giá trị cực đại. Tại điểm S do có ζ = 0, hệ số E bằng 2 2 2 2 2 2 2 (f h )E (f h )(1 h ) f h −= − − − µ Tại điểm T do có ζ = ∞, hệ số E bằng ( )2 1E 1 h 1 = − µ + Đỉnh của biên độ dao động có thể đạt được gi¸ trÞ nhỏ nhất bằng cách cho tung độ hai điểm S và T bằng nhau và có giá trị cực đại. Để tung độ của hai điểm S và T bằng nhau ta có : =µ−−− − 22222 22 1 hf)h)(hf( )hf( ( )11 1 2 +µ− h Giải phương trình trên ta nhận được: ( ) ( ) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ +−µ+µ++µ+= 121112 1 24222 21 fffh , m Trong đó h1 (lấy dấu -) là hoành độ của điểm S, h2 (lấy dấu +) là hoành độ của điểm T. Biểu thức xác định tung độ của S và T có dạng : 20 2 111 1 h)( ES µ+−= , 2211 1 h)( ET µ+−−= Do h1 và h2 là hàm của các tham số µ và f nên các tung độ của các điểm S và T phụ thuộc vào µ và f và do vậy phụ thuộc vào các khối lượng m, M và các hệ số độ cứng k2 và k1 . Vì ta đã biết trước M và k2 nên nếu ta chọn m thì chỉ còn lại hệ số f là cần phải xác định để thoả mãn điều kiện tung độ S và T bằng nhau. Giá trị tối ưu của f tìm được bằng cách giải phương trình ES= ET. Sau khi giải ta tìm được: µ+= 1 1 optf (1.10) Với giá trị tìm được của fopt , hÖ sè E, h1 và h2 t¹i hai điểm S và T b»ng µ+= 21E (1.11) ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ µ+ µ µ+= 211 12 21 m,h Tiếp theo ta tìm hệ số cản ζ để đường cong biên độ tần số đạt cực đại tại các điểm S và T. Ta thay các giá trị tìm được của fopt , h1 và h2 vào phương trình 0=∂ ∂ h E và thực hiện một vài phép biến đổi ta nhận được hệ thức giữa tham số ζ và µ : Tại S : ( )32 18 2 3 µ+ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ µ+ µ−µ =ζ Tại T : ( )32 18 2 3 ζ µ+ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ µ+ µ+µ = 21 Theo Brock [24] giá trị tốt nhất của ζ opt có thể chọn bằng trung bình cộng của hai giá trị c¶n tèi −u tìm được tại hai điểm S và T trên và bằng 318 3ζ )(opt µ+ µ= (1.12) Nhìn vào biểu thức (1.12) ta thấy rằng khi chọn được bộ hấp thụ dao động tối ưu hiệu quả của bộ hấp thụ dao động tỷ lệ nghịch với hệ số µ hay nói cách khác việc tăng khối lượng của bộ hấp thụ dao động làm giảm biên độ dao động lớn nhất của hệ chính. Cũng theo phương pháp này Warburton [69] đã tính toán được các thông số tối ưu của bộ hấp thụ dao động thụ động cho một số dạng của kích động điều hòa. Kết quả tính toán được trình bày trong bảng 1.1. Ở trường hợp thứ nhất, lực kích động tuần hoàn tác động vào hệ chính, tiêu chuẩn tối ưu là cùc tiÓu biên độ dao động của hệ chính. Ở trường hợp thứ hai, lực kích động tuần hoàn tác động vào hệ chính, nhưng tiêu chuẩn tối ưu là cùc tiÓu biên độ gia tốc của hệ chính. Trong trường hợp cuối cùng, hệ chịu kích động của gia tốc nền, tiêu chuẩn tối ưu là cùc tiÓu biên độ gia tốc của hệ chính. Thông số tối ưu Dạng Kích động Tiêu chuẩn tối ưu (E) Eopt fopt optζ ti 0 eP ω 0 2 P kx 2/1 21 ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ µ+ µ+1 1 )1(8 3 µ+ µ ti 0 eP ω 0 22 P xm && ( ) 2/1 1 2 ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ µ+µ 2/1 1 1 ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ µ+ )2/1(8 3 µ+ µ ti geX ω&& g g X xX && &&&& 2+ 2/1 21 ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ µ+ µ+1 1 )1(8 3 µ+ µ Bảng 1.1: Các thông số tối ưu của bộ hấp thụ dao động cho cơ hệ một bậc tự do không có cản ( là gia tốc nền) gX&& 22 1.3.2 Hệ chịu kích động ồn trắng Trường hợp hệ dao động mô tả ở trên chịu lực kích động ồn trắng cũng đã được xét trong nghiên cứu của Warburton [69] với giả thiết hệ chịu kích động ồn trắng với mật độ phổ So. Tiêu chuẩn để chọn thông số tối ưu của bộ hấp thụ dao động thụ động là cực tiểu trung bình bình phương của chuyển vị của hệ chính )t(x22 . Để tìm được các thông số tối ưu, giá trị của )t(x22 được tìm như một hàm phụ thuộc vào các tham số f, ζ. Sau đó cho 022 =∂∂ h/x và 022 =ζ∂/x và giải hệ hai phương trình hai ẩn số này để tìm giá trị của f, ζ. Bằng phương pháp này, Warburton đã xác định được các thông số tối ưu của bộ TMD cho hệ dao động một bậc tự do không có cản nhớt. Thông số tối ưu Dạng Kích động Tiêu chuẩn tối ưu (E) Eopt optf optζ Lực (ồn trắng) Ωπ oS Px 2 22 2 2 1 )1(4 34 ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ + + µµ µ µ+ µ+ 1 2/1 ( )( )( )µµ µµ ++ + 12/14 4/31 Gia tốc nền (ồn trắng) oS x π Ω 2 22 1 ( ) 2 1 2 3 4 111 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −+ µµ µ+ µ− 1 2/1 ( ) ( )( )µµ µµ +− − 12/14 4/1 Bảng 1.2. Một số bộ thông số tối ưu của bộ hấp thụ dao động thụ động cho hệ một bậc tự do không cản chịu kích động ồn trắng. Kết quả này được đưa ra trong bảng 1.2 cho hai trường hợp: tr−êng hîp một, hệ chịu lực kích động tác động vào hệ chính, tiêu chuẩn tối ưu là cùc tiÓu trung b×nh b×nh ph−¬ng cña chuyÓn vÞ cña hÖ chính, trường hợp hai, hệ chịu 23 lực kích động của gia tốc nền và tiêu chuẩn tối ưu là cùc tiÓu trung b×nh b×nh ph−¬ng cña chuyÓn vÞ của hệ chính. 1.4 Tính bộ hấp thụ dao động thụ động cho hệ có cản nhớt Xét cơ hệ có lực cản nhớt được mô tả trên hình 1.1 chịu kích động điều hoà, biểu thức tương tự (1.6) mô tả E cũng có thể được xác lập, tuy nhiên các điểm không thay đổi S, T đã nói ở trên không tồn tại. Vì vậy để giải bài toán trên người ta phải sử dụng phương pháp số để xác định cặp giá trị tối ưu của 22xc & ζ,f . Một hướng nghiên cứu được thực hiện bởi Randall et al [59] (1981) là chọn giá trị tối ưu của ζ,f bằng cách làm nhỏ nhất hai đỉnh của đường cong biên độ mô tả trên hình 1.3 bằng phương pháp số. Những giá trị tối ưu của ζ,f cho những trường hợp 2ζ nhỏ cũng được tổng kết bởi Ioi và Ikeda [40] theo công thức sau: 22 2 2 2 910162712410 ζµ+µ−−ζµ−µ+−= )..()...(ff optopt (1.13) 22 2 2 2 3900104021130 ζµ+µ+−ζµ+µ++ζ=ζ )..()...(optopt ở đây 2ζ là tỷ số cản nhớt của hệ chính. Độ chính xác và khoảng sai số cho các công thức trên nhỏ hơn 1% trong khoảng 4.003.0 <µ< và 150010 2 .. <ζ< , đây cũng là khoảng tỉ số khối lượng và cản nhớt thường gặp trong thực tế. Phương pháp xác định tần số được đưa ra bởi Thompson [67] cũng để xác định f, ζ cho hệ chính có cản nhớt. Theo cách tính này f được xác định theo phương pháp số và ζ có thể được xác định bằng giải tích khi đã biết f. Warburton (1982) [70] xác định các thông số tối ưu của bộ hấp thụ dao động thụ động dạng khối lượng cho hÖ một bËc tù do cho các trường hợp kích động là điều hoà và ngẫu nhiên tác động vào hệ chính ở dạng ngoại lực hoặc gia tốc nền. Warburton đã tính đạo hàm của đáp ứng hệ chính theo các tham số của 24 bộ TMD và cho các đạo hàm này bằng không dẫn tới việc giải các phương trình phi tuyến. Việc giải được thực hiện trên máy tính và cho kết quả số. 1.5 Một số tiêu chuẩn để xác định bộ hấp thụ dao động thụ động Phương pháp của Den Hartog [28] như trình bày ở phần trên được thiết lập trên cơ sở làm giảm thiểu chuyển dịch của hệ chính. Điều này cho phép bảo đảm tính an toàn và nguyên vẹn của hệ máy cũng như kết cấu dưới tác động của ngoại lực. Tuy nhiên dưới tác động của kích động làm cho cơ hệ có gia tốc lớn cũng gây ra tác động bất lợi như các phần tử của cơ hệ không thực hiện được các chức năng của chúng, g©y vỡ hỏng nền hay gây khó chịu cho người sử dụng; vì vậy giảm thiểu gia tốc của cơ hệ cũng là một tiêu chuẩn để lựa chọn các thông số của bộ hấp thụ dao động thụ động. Cũng phân tích tương tự như vậy, rất nhiều các tiêu chuẩn khác cũng được dùng để xem xét bởi rất nhiều tác giả. Các tiêu chuẩn để tính toán bộ hấp thụ được điểm lại như sau: a) Làm giảm chuyển vị của hệ chính, Den Hartog [28], Thompson [67], Jacquot và Hoppe [41], Fujino và Abe [33]. b) Tăng độ cứng động của hệ chính, Falcon et al. [30]. c) Tăng hiệu quả giảm chấn của bộ hấp thụ năng lượng, Luft [48]. d) Tiêu chuẩn hỗn hợp: giảm chuyển vị của hệ chính và nâng cao hiệu quả giảm chấn của bộ hấp thụ dao động, Luft [48]. e) Làm giảm thiểu chuyển vị tương đối của bộ hấp thụ dao động so với hệ chính, Luft [48]. f) Làm giảm thiểu vận tốc của hệ chính, Warburton [70]. g) Làm giảm thiểu gia tốc của hệ chính, Ioi và Ikeda [40], Warbuton [70]. h) Làm giảm thiểu lực tác động lên hệ chính, Warburton [69]. 25 i) Làm giảm thành phần dao động tần số riêng, Nguyễn Đông Anh, Nguyễn Bá Nghị [6]. j) Làm giảm dao động tự do, Nguyễn Đông Anh, Phạm Minh Vương [9]. Các nghiên cứu ở trên là đối với cơ hệ một bậc tự do. Vì hệ kết cấu thường có nhiều bậc tự do nên lời giải giải tích cho hệ một bậc tự do chỉ là lời giải gần đúng khi áp dụng cho hệ nhiều bậc tự do. Các nghiên cứu về TMD cho hệ nhiều bậc tự do chịu kích động ngẫu nhiên đã được Nguyễn Đông Anh và các cộng sự nghiên cứu trong [7], [52], [53], [54], [55], [56] có mô hình như sau ( hình 1.4 ) k1 c1 m1 x1 k2 m2 . . . . . . . .F2 F1 c2 x2 kn mn Fn cn xn k0 m0 (TMD) F0 c0 x0 Hình 1.4 Bộ hấp thụ dao động và hệ chính nhiều bậc tự do Trong các nghiên cứu này việc tính toán tìm nghiệm giải tích cho các thông số tối ưu gặp khó khăn, bởi vậy các tác giả đã sử dụng phương pháp số. 26 Mặc dù các nghiên cứu về hệ dao động chịu kích động của ngoại lực đã được nghiên cứu nhiều và có một số lời giải, nhưng các chuyển động trong thực tế là rất đa dạng và phức tạp, mỗi loại chuyển động lại có những đặc thù riêng, để các bộ hấp thụ dao động làm việc có hiệu quả và có thể áp dụng vào các cơ cấu trong thực tế, ta cần nghiên cứu thiết kế các bộ hấp thụ dao động đối với cơ cấu có chuyển động đặc thù để đáp ứng yêu cầu của thực tiễn kỹ thuật. Một trong các cơ cấu có chuyển động đặc thù đó là mô hình có dạng con lắc ngược. 1.6 Bộ hấp thụ dao động cho hệ con lắc ngược Hệ con lắc ngược, trong nhiều trường hợp có thể được sử dụng để mô tả kết cấu công trình. Một trong các mô hình con lắc ngược có lắp bộ hấp thụ dao động được thể hiện như hình 1.5. Trong sơ đồ này, con lắc ngược có khối lượng M, có trọng tâm G cách nền ngang một khoảng L. Liên kết giữa nền ngang và con lắc ngược được thay bằng một lò xo có độ cứng k2, con lắc ngược liên kết với công trình B bởi lò xo có độ cứng k3 cách nền 1l 2l l M k2 k m c1 GB A L 3k 1c Hình 1.5 Mô hình tính toán cơ cấu có dạng hệ con lắc ngược có lắp bộ TMD 27 ngang một khoảng l 1 và liên kết với công trình A bởi bộ cản nhớt tuyến tính có hệ số cản c1 cách nền ngang l 2. Bộ hấp thụ dao động TMD được lắp tại vị trí cách nền ngang một khoảng gồm một vật có khối lượng m, liên kết với con lắc ngược bởi một lò xo có độ cứng k l 1 và một bộ cản nhớt tuyến tính có hệ số cản c. Các kết quả nghiên cứu tìm các thông số tối ưu cho mô hình này đã được các nhà khoa học Nguyễn Đông Anh và các cộng sự nghiên cứu trong [2], [3], [5], [12]. Trong đó các tác giả đã sử dụng phương pháp điểm cố định để xác định các tham số tối ưu. Một hướng nghiên cứu khác để giảm dao động cho hệ con lắc ngược là sử dụng bộ tắt chấn động lực dạng con lắc như hình 1.6 y x θ θd ld l d Hình 1.6. Cơ cấu con lắc ngược có lắp bộ tắt chấn động lực dạng con lắc Trong mô hình 1.6 các tác giả đã thay bộ TMD bằng một con lắc có khối lượng m, chiều dài ld, và liên kết với con lắc ngược bởi một lò xo có độ cứng kd và một bộ cản nhớt có hệ số cản cd. Các kết quả tìm các thông số tối ưu cho mô hình này đã được các nhà khoa học Nguyễn Đông Anh và các cộng sự 28 nghiên cứu trong [51]. Trong đó các tác giả đã sử dụng phương pháp cân bằng cực để xác định các tham số tối ưu. Các cơ cấu con lắc ngược mà các tác giả đã nghiên cứu ở trên mới chỉ tính đến dao động lắc ngang của con lắc ngược. Tuy nhiên, trong thực tế các công trình có dạng con lắc ngược ngoài thành phần dao động lắc ngang nó còn dao động thẳng đứng. Một trong các công trình có cả dao động lắc ngang và dao động thẳng đứng đó là công trình biển. Các nghiên cứu để giảm dao động cho công trình biển đã được nghiên cứu trong [17], [18], [22], [62], [66], [72]. Ở Việt Nam, công nghệ giảm dao động cho kết cấu công trình còn là một lĩnh vực khá mới. Trong những năm gần đây đã có những ứng dụng để giảm dao động cho cầu giao thông. Công trình giao thông đầu tiên được lắp thiết bị giảm dao động là cầu dây văng một mặt phẳng dây Bãi cháy [19], trong đó các nhà nghiên cứu đã sử dụng các bộ giảm chấn TLD. Nguyên lý hoạt động và khả năng ứng dụng của các thiết bị TLD dựa trên cơ sở sự chuyển động văng té của chất lỏng mà kết quả làm cho dao động của kết cấu phân tán một phần năng lượng do tác động của tải trọng động và do vậy tăng tính cản tương đương cho kết cấu. Những năm tiếp theo cũng đã có những thử nghiệm để giảm dao động cho cầu: như cầu Ngòi Lằn và cầu dây văng Bến Cốc [8]. Tuy nhiên các phương pháp giảm dao động ở trên không phải là sử dụng bộ hấp thụ dao động dạng khối lượng TMD. Một hướng nghiên cứu mang tích cấp thiết và quan trọng ở Việt Nam hiện nay là nghiên cứu để giảm dao động cho các công trình DKI. Bắt đầu từ năm 1989, theo Chương trình Biển Đông - Hải Đảo của Nhà nước đã tiến hành xây dựng các công trình biển dạng DKI. Các công trình này đã và đang góp phần vào xây dựng, bảo vệ đất nước và khai thác tiềm năng vô cùng to lớn của biển. Qua nghiên cứu cho thấy đáp 29 ứng gây ra dao động có hại cho công trình DKI bao gồm hai loại chính là đáp ứng ngang và thẳng đứng liên quan đến hiện tượng lắc ngang và nhổ cọc. Dao động của công trình DKI bao gồm hai loại dao động: Dao động rung lắc có tần số là các tần số riêng của công trình và dao động cưỡng bức gây ra bởi tải trọng sóng, trong đó dao động rung lắc đặc biệt có hại với độ bền và tuổi thọ của công trình. Các dao động rung lắc có tần số cao hơn nhiều lần tần số của sóng biển là một trong các dao động có hại không mong muốn cần được hạn chế. Để giảm dao động rung lắc cho công trình DKI theo đề xuất của các nhà khoa học Nguyễn Đông Anh [8], Nguyễn Hoa Thịnh và các cộng sự [17], [18] có thể lắp vào công trình DKI hai bộ TMD để tiêu tán năng lượng cho hệ. Một bộ TMD được đặt theo hướng tác động của sóng biển để giảm dao động lắc ngang. Một bộ TMD khác được đặt theo hướng thẳng đứng để giảm dao động thẳng đứng và chống nhổ cọc. Các công trình DKI có vị trí chiến lược quan trọng trong sự phát triển, khai thác tiềm năng biển, tăng cường khả năng quốc phòng, góp phần vào ổn định chính trị của đất nước. Việc tiếp tục nghiên cứu áp dụng các bộ hấp thụ dao động để giảm dao động cho các công trình DKI nhằm nâng cao chất lượng và tuổi thọ của các công trình DKI là vấn đề đã và đang được Bộ Quốc phòng và các nhà khoa học trong nước đang quan tâm nghiên cứu. 30 1.7 Kết luận chương 1 Chương 1 trình bầy tổng quan các nghiên cứu về bộ hấp thụ dao động. Phần đầu của chương giới thiệu lý thuyết về hấp thụ dao động thụ động. Trong chương này, đã trình bày những nghiên cứu về bộ hấp thụ dao động thụ động của các tác giả trong và ngoài nước khi chịu tác dụng của lực kích động. Trong đó có trình bày nghiên cứu bộ hấp thụ dao động cho hệ con lắc ngược, tuy nhiên trong các kết quả nghiên cứu về cơ cấu con lắc ngược mới chỉ tìm các thông số tối ưu để giảm dao động lắc ngang. Nhưng trong thực tế nhiều cơ cấu con lắc ngược có cả dao động thẳng đứng và lắc ngang, mặt khác qua các kết quả khảo sát, nghiên cứu về công trình DKI cho thấy bao gồm hai loại dao động: Dao động rung lắc có tần số là các tần số riêng của công trình và dao động cưỡng bức gây ra bởi tải trọng sóng, trong đó dao động rung lắc đặc biệt có hại với độ bền và tuổi thọ của công trình. Các dao động rung lắc có tần số cao hơn nhiều lần tần số của sóng biển là một trong các dao động có hại không mong muốn cần được hạn chế. Bởi vậy luận án nghiên cứu tính toán dao động cho cơ cấu cơ học có lắp đồng thời hai bộ hấp thụ dao động TMD để giảm dao động rung lắc theo phương thẳng đứng và ngang của hệ con lắc ngược theo lý thuyết điều khiển tối ưu. 31 CHƯƠNG 2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA HỆ CON LẮC NGƯỢC 2.1 Mô hình tính toán của cơ cấu con lắc ngược, có gắn bộ hấp thụ dao động được nghiên cứu trong luận án Hình (2.1) biểu diễn sơ đồ của con lắc ngược có khối lượng M, cách nền ngang một khoảng L4, thanh đỡ con lắc ngược có khối lượng m, chiều dài L3 , trọng tâm đặt tại G cách nền ngang một khoảng L3/2, liên kết giữa con lắc ngược và nền ngang cố định được thay bằng hai lò xo - lò xo xoắn có độ cứng ks, và lò xo có độ cứng k3. Để giảm dao động cho cơ cấu, ta lắp vào hệ hai bộ hấp thụ dao động TMD [TMD - Tuned mass damper]. Bộ hấp thụ dao động TMD-N để giảm dao động lắc ngang, bộ hấp thụ dao động TMD-D để giảm dao động theo phương thẳng đứng của con lắc ngược. K3 L5 L3/2 G Ks L2 M L4 U2 K2 C2 M2 K1 M1 U1 ϕ1 Hinh 2.1 Mô hình cơ cấu con lắc ngược 32 Bộ hấp thụ dao động TMD-N được lắp tại vị trí cách nền ngang một khoảng L2, có khối lượng M1, liên kết với con lắc ngược bởi một lò xo có độ cứng k1 và một bộ cản nhớt tuyến tính có hệ số cản c1. Bộ hấp thụ dao động TMD-D được lắp tại vị trí cách nền ngang một khoảng L5 gồm một vật có khối lượng M2, liên kết với con lắc ngược bởi một lò xo có độ cứng k2 và một bộ cản nhớt tuyến tính có hệ số cản c2. 2.2 Thiết lập phương trình vi phân chuyển động của hệ con lắc ngược Cơ hệ có 4 bậc tự do ta chọn ϕ1, U0, U1 , U2 là toạ độ suy rộng của cơ hệ trong đó: ϕ1 : Là dịch chuyển góc quay của con lắc ngược U0: dịch chuyển của bộ TMD-N U1: Dịch chuyển của con lắc ngược theo phương thẳng đứng. U2: dịch chuyển của bộ TMD-D Ta có phương trình Lagrăng II cho cơ hệ: 1 0 1 1 1 u 0 0 u 1 1 u2 2 2 d T T( ) Q dt d T T( ) Q dt uu d T T( ) Q dt uu d T T( ) Q dt uu • • • • ϕ ∂ ∂− =∂ϕ∂ϕ ∂ ∂− =∂∂ ∂ ∂− =∂∂ ∂ ∂− =∂∂ (2.1) trong đó 1 Qϕ : Lực suy rộng theo toạ độ ϕ1 33 U0Q : Lực suy rộng theo toạ độ U0 1U Q : Lực suy rộng theo toạ độ U1 U2Q : Lực suy rộng theo toạ độ U2 T: Động năng của cơ hệ. Trong quá trình tính toán động năng, thế năng và hàm hao tán của hệ ta phải xác định tọa độ của các khối lượng và vận tốc của nó. Bởi vậy để đơn giản cho việc tính toán, ta chuyển mô hình cơ cấu con lắc ngược có lắp bộ hấp thụ dao động như hình 2.1 về sơ đồ tính toán như hình 2.2 2.2.1 Động năng của cơ hệ T = Tm+TM + TTMD-D+TTMD-N (2.2) trong đó: Tm: Động năng của thanh đỡ TM: Động năng khối lượng tập trung đầu thanh của con lắc ngược TTMD-D: Động năng của bộ hấp thụ dao động TMD-D TTMD-N: Động năng của bộ hấp thụ dao động TMD-N 2.2.1.1 Động năng khối lượng tập trung của con lắc ngược Động năng khối lượng tập trung của con lắc ngược được xác định theo công thức TM = 2 M Mv 2 1 (2.3) trong đó: M: Khối lượng tập trung của con lắc ngược VM: Vận tốc của của khối lượng tập trung Vận tốc được tính theo công thức: 34 2 2 2 M MMv x y • •= + (2.4) u1 L2 Ks K1 u0 L4 M1 C1 M1 ϕ1 K3 K2 u2 C2 M2 L5 Hình 2.2. Sơ đồ tính toán bộ hấp thụ dao động TMD Từ sơ đồ hình (2.2) ta có: M 1 11 1 4 1M 1 4 1 M 1 4 1 1 11 1 4 1M x U sin (U +L )cosx (U +L )sin y (U +L )cos y U cos (U +L )sin • • • • ⎧ • • = ϕ + ϕ ϕ= ϕ⎧ ⎪→⎨ ⎨= ϕ⎩ ⎪ = ϕ − ϕ ϕ⎩ (2.5) Thay (2.5) vào (2.4) ta có ( )2 22 1M 1 4v U U L• •⇒ = + + ϕ21 (2.6) 35 Thay (2.6) vào (2.3) ta có: TM = ( )2 2 21 1 4 11 M U U L2 ••⎡ ⎤+ + ϕ⎢⎣ ⎦⎥ (2.7) 2.2.1.2 Động năng của thanh đỡ con lắc ngược Thanh đỡ chuyển động song phẳng vậy động năng của thanh đỡ là: 2 2 tdm czm 1 1T = mv J22 ϕ•+ (2.8) trong đó: m: Khối lượng của thanh đỡ Vm: Vận tốc khối tâm của thanh đỡ Jcz: Mô men quán tính của thanh đỡ đối với trục Cz đi qua khối tâm và vuông góc với mặt phẳng hình vẽ td •ϕ : Vận tốc góc của thanh đỡ Vận tốc khối tâm thanh đỡ được xác định theo công thức: 2 2 2 m mmv x y • •= + (2.9) Từ hình (2.2) ta có: 3 3 m 1 1m 1 1 1 1 1 3 3 1 1m 1 1 1 1 1m L Lx (U + )sin x U sin (U + )cos 2 2 L Ly (U + )cos y U cos (U + )sin 2 2 • • • • ⎧ ⎧= ϕ = ϕ +⎪ ⎪⎪ ⎪→⎨ ⎨⎪ ⎪= ϕ = ϕ −⎪ ⎪⎩ ⎩ • • ϕ ϕ ϕ ϕ (2.10) Thay (2.10) vào (2.9) ta có 2 2 2 3 1m 1 Lv U U 2 • •⎛ ⎞= + + ϕ⎜ ⎟⎝ ⎠ 2 1 (2.11) 36 Với 23cz mL12 1J = ; (2.12) 1td •• =ϕϕ Thay (2.11; 2.12) vào (2.8) ta có: 22 2 23 1 1m 1 1 L 1T = m U U L 2 2 12 • • ⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥+ + ϕ + ϕ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ 2 13 • (2.13) 2.2.1.3 Động năng của bộ hấp thụ dao động TMD-N Động năng bộ hấp thụ dao động TMD-N được xác định theo công thức 2 1 M1M1 1T = M v 2 (2.14) trong đó: VM1: Vận tốc của bộ hấp thụ dao động TMD-N M1: Khối lượng của bộ TMD-N Vận tốc của bộ hấp thụ dao động TMD-N được xác định theo công thức sau: 2 2 2 M1 M1M1v x y • •= + (2.15) Từ hình (2.2) ta có: M1 1 2 1 0 1 M1 1 2 1 0 1 M1 1 11 1 2 1 0 1 1 0 1 1 11 1 2 1 0 1 0 1M1 x (U +L )sin U cos y (U +L )cos U sin x U sin (U +L )cos U sin cos U y U cos (U +L )sin U sin U cos • • • • • • • • • = ϕ + ϕ⎧⎨ = ϕ − ϕ⎩ ⎧ = ϕ + ϕ ϕ − ϕ ϕ+ ϕ⎪→ ⎨⎪ = ϕ − ϕ ϕ − ϕ − ϕ⎩ •ϕ 0 ⎤⎥⎦ (2.16) Thay (2.16) vào (2.15) ta có 2 2 2 1 1 1M1 0 1 2v U U (U +L ) U • • • •⎡ ⎤ ⎡= − ϕ + ϕ +⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣ (2.17) Thay (2.17) vào (2.14) ta có: 37 2 2 1 1 1M1 1 0 1 2 1T M U U (U +L ) U 2 • • • • 0 ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛= − ϕ + ϕ +⎜ ⎟ ⎜ ⎞⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ (2.18) 2.2.1.4 Động năng của bộ hấp thụ dao động TMD-D Động năng bộ hấp thụ dao động TMD-D được xác định theo công thức: 2 2 M2M2 1T = M v 2 (2.19) trong đó: VM2: Vận tốc của bộ hấp thụ dao động TMD-D M2: Khối lượng của bộ TMD-D Vận tốc của bộ hấp thụ dao động TMD-D được xác định theo công thức sau: 2 2 2 M2 M2M2v x y • •= + (2.20) Từ hình (2.2) ta có: M2 1 5 2 1 M2 1 5 2 1 M2 1 2 11 1 5 2 1 1 2 1M2 1 1 5 2 1 x (U +L +U )sin y (U +L +U )cos x (U + U )sin (U +L +U )cos y (U + U )cos (U +L +U )sin • • • • • • • • = ϕ⎧⎨ = ϕ⎩ ⎧ = ϕ +⎪→ ⎨⎪ = ϕ −⎩ ϕ ϕ ϕ ϕ (2.21) Thay (2.21) vào (2.20) ta có 2 2 2 2 1 2 1M2 5 12v (U + U ) (U +L +U ) •• •⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ϕ (2.22) Thay (2.22) vào (2.19) ta có: 2 2 2 1 2 1 2M 2 2 5 1 1T M U + U U +L + U 2 •• •⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ϕ (2.23) Thay (2.7; 2.13; 2.18; 2.23) vào (2.2) ta có: Động năng của cơ hệ là: 38 ( ) 22 2 22 2 231 1 1 11 4 1 1 3 2 2 1 1 11 0 1 2 0 2 2 2 1 2 12 5 12 1 1 LT M U U L m U U L 2 2 2 1 M U U (U +L ) U 2 1 M U + U U +L +U 2 •• • • • • • • •• • 21 12 •⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎢ ⎥= + + ϕ + + + ϕ + ϕ⎜ ⎟⎢ ⎥ +⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − ϕ + ϕ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + ϕ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ (2.24) 2.2.2 Lực suy rộng của cơ hệ Lực suy rộng của cơ hệ được xác định theo công thức sau: * 1 1 1 1 * u 0 u 0 0 0 * u1 u1 1 1 * u 2 u 2 2 2 Π ΦQ Q Π ΦQ Q u u Π ΦQ Q u u Π ΦQ Q u u • • • • ϕ ϕ ∂ ∂= − − +∂ϕ ∂ϕ ∂ ∂= − − +∂ ∂ ∂ ∂= − − +∂ ∂ ∂ ∂= − − +∂ ∂ (2.25) trong đó: ∏: Thế năng của hệ. Φ: Hàm hao tán của hệ. QU0*: Lực hoạt suy rộng theo toạ độ U0 QU1*: Lực hoạt suy rộng theo toạ độ U1 QU2*: Lực hoạt suy rộng theo toạ độ U2 Qϕ1*: Lực hoạt suy rộng theo toạ độ U1 39 2.2.2.1 Thế năng của cơ hệ Thế năng của cơ hệ bằng tổng thế năng của trọng lực và thế năng của lò xo Π =ΠTL + ΠLX (2.26) trong đó: ΠTL : Thế năng của trọng lực ΠLX : Thế năng của các lò xo 2.2.2.1.1 Thế năng của trọng lực Thế năng của trọng lực bằng tổng thế năng các phần tử của hệ: ΠTL =ΠM + Πm+ΠTMD-D + ΠTMD-N (2.27) ΠM: Thế năng khối lượng tập trung của con lắc ngược: M M M 1 4=P y Mg(U +L )cosΠ = 1ϕ (2.28) Πm: Thế năng của thanh đỡ con lắc ngược: 3 m m m 1 L=P y mg(U + )cos 2 Π = 1ϕ (2.29) ΠTMD-D: Thế năng của bộ hấp thụ dao động TMD-D: ( )TMD-D TMD-D TMD-D 2 1 5 2 1=P y M g (U +L +U )cosΠ = ϕ (2.30) ΠTMD-N: Thế năng của bộ hấp thụ dao động TMD-N: [ ]TMD-N TMD-N TMD-N 1 1 2 1 0 1=P y M g (U +L )cos u sinΠ = ϕ − ϕ (2.31) Thay (2.28; 2.29; 2.30; 2.31) vào (2.27) ta có thế năng của trọng lực là: +TL 1 4 1=Mg(U +L )cosΠ ϕ 31 1Lmg(U + )cos2 ϕ + + +[ ]1 1 2 1 0 1M g (U +L )cos u sinϕ − ϕ ( )2 1 5 2 1M g (U +L +U )cosϕ (2.32) 40 2.2.2.1.2 Thế năng của lò xo ΠLX =Π1 + Π2+Π3 + ΠS (2.33) Π1: Thế năng lò xo K1: [ 21 1 0 001= K U U2Π − ] (2.34) trong đó: U00: Độ giãn tĩnh ban đầu của lò xo K1 Π2: Thế năng lò xo K2: ( 22 2 2 201= K U U2Π − ) (2.35) trong đó U20: Độ giãn tĩnh ban đầu của lò xo K2 ở vị trí cân bằng Π3: Thế năng lò xo K3: ( 23 3 1 101= K U U2Π − ) (2.36) trong đó U10: Độ giãn tĩnh ban đầu của lò xo K3 ở vị trí cân bằng ΠS: Thế năng lò xo soắn KS: ( 2S S 1 101= K2Π ϕ − ϕ ) (2.37) trong đó: ϕ10: Độ giãn tĩnh ban đầu của lò xo KS Thay (2.34; 2.35; 2.36; 2.37) vào (2.33) ta có thế năng của lò xo là: [ ]2LX 1 0 001= K U U2Π − + ( ) 2 2 2 20 1 K U U 2 − + + ( )23 1 101 K U U2 − + ( 2 S 1 10 1 K 2 ϕ − ϕ ) (2.38) Thay (2.32; 2.38) vào (2.26) ta có thế năng của cơ hệ như sau: ( )31 4 1 2 1 5 2 1 1 2LMg(U L ) mg(U ) M g U L U M g(U +L ) cos2 ⎛ ⎞Π + + + + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠= 1ϕ 1 + 1 0M gu sin− ϕ [ ]21 0 001 K U U2 − + ( ) 2 2 2 20 1 K U U 2 − + + ( )23 1 101 K U U2 − + ( 2 S 1 10 1 K 2 ϕ − ϕ ) (2.39) 41 2.2.2.2 Hàm hao tán Năng lượng dao động có hại của con lắc ngược bị tiêu tán bởi các bộ cản nhớt được lắp vào hai bộ hấp thụ dao động: 1Φ Φ +Φ= 2 (2.40) 1Φ : Hàm hao tán của bộ cản nhớt C1 2 1 1 1Φ C U 2 • = 0 (2.41) 2Φ : Hàm hao tán của bộ cản nhớt C2 2 2 2 1Φ C U 2 • = 2 (2.42) Thay (2.41; 2.42) vào (2.40) ta có: 2 1 0 2 2 1 1Φ C U C U 2 2 • • = + 2 P = P(t) (2.43) 2.2.2.3 Lực hoạt suy rộng Lực hoạt suy rộng đặc trưng cho lực bên ngoài tác dụng lên hệ con lắc ngược, một cách tổng quát giả sử có hai ngoại lực quy đổi tác dụng lên con lắc ngược là (hình 2.3): ™ Lực tác dụng lên con lắc ngược gây ra dao động thẳng đứng phụ thuộc vào thời gian: P r r r Q = Q(t) (2.44) ™ Lực tác dụng lên con lắc ngược tại vị trí cách trục quay một khoảng L gây ra dao động lắc ngang của con lắc ngược phụ thuộc vào thời gian: Q r k3 L Q(t) r P(t) r ksr r (2.45) Hinh 2.3 42 Để tính lực hoạt suy rộng ta cho cơ hệ một di chuyển khả dĩ ứng với các đại lượng biến đổi U0 U1 U2 * * * * 1Q ; Q ; Q ; Qϕ 1 0 1 20; U 0; U 0; U 0δϕ ≠ δ ≠ δ ≠ δ ≠ . Khi đó tổng công khả dĩ các lực hoạt suy rộng trong di chuyển khả dĩ trên bằng: U1 U2U0 * * * * 1 1 0 1A Q +Q U +Q U Q Uϕδ = δϕ δ δ + δ 2 (2.46) và công của lực P, Q rr trong di chuyển khả dĩ trên là: 1A Q(t)L +P(t) Uδ = δϕ δ 1 ( 2.47) Từ (2.46, 2.47) ta suy ra: - Lực hoạt suy rộng ứng với tạo độ suy rộng 1ϕ * 1Q LQ(tϕ )= (2.48) - Lực hoạt suy rộng ứng với tạo độ suy rộng 0U U0 *Q 0= (2.49) - Lực hoạt suy rộng ứng với tạo độ suy rộng 1U U1 *Q P(t) = (2.50) - Lực hoạt suy rộng ứng với tạo độ suy rộng 2U U2 *Q 0= (2.51) Thay (2.39), (2.43) và (2.48 – 2.51) vào (2.25) ta có lực suy rộng của cơ hệ như sau: [ ( ) ( ) ] ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) 3 1 1 4 1 1 1 2 2 1 5 2 1 1 0 1 S 1 10 U0 1 0 00 1 1 1 0 U1 1 2 1 3 1 10 2U2 2 1 2 2 20 2 LQ Mg(U L ) mg(U ) M g U L 2 M g U L U sin M gu cos K LQ(t) Q K u u M gsin C U Q Mg mg M g M g cos K U U P(t) Q M gcos K U U C U • • ϕ = + ϕ + ϕ − ϕ −ϕ = − − + ϕ − = − + + + ϕ − − + = − ϕ − − − + + + + + + + + (2.52) 43 2.2.3 Phương trình vi phân chuyển động của hệ Thay (2.24) và (2.52) vào (2.1) ta có phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ như sau: ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) 1 2 01 11 2 2 1 0 1 1 4 2 3 11 1 1 2 2 1 5 2 1 1 2 1 2 1 3 1 10 M M M m U M U M u 2M u M U L Lm U M U L M (U L +U ) M (U +L ) 2 Mg mg M g M g cos K U U P(t); •• •• •• • • • + + + + − ϕ − ϕ − + ⎛ ⎞+ + + + + + + ϕ⎜ ⎟⎝ ⎠ + + + + ϕ + − = − ; (2.53) ( )21 2 212 2 1 5 2 2 1 2 2 20 2M U U M (U L +U ) M gcos K U U C U 0•• •• • •⎛ ⎞+ − + ϕ + ϕ + − + =⎜ ⎟⎝ ⎠ (2.54) { ( ) ( ) } { ( ) ( ) } [ 2 2 2 23 3 1 4 1 2 1 5 2 2 2 3 1 111 1 2 1 4 10 1 2 1 0 12 1 5 2 1 1 2 0 0 11 1 2 0 1 4 1 L mLM U L m U M U L +U 2 12 LM (U +L ) u 2M U L U 2m U U (2.55) 2 2M U L +U U U 2M (U +L )U u u M (U +L )u u U Mg(U L ) mg(U •• • • • • • • • •• •• ⎛ ⎞+ + + + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎡ ⎤+ + ϕ + + + + +⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤+ + + + + ϕ +⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤+ − −⎢ ⎥⎣ ⎦ + + + ( ) ( ) ] ( ) 3 1 1 2 2 1 5 2 1 1 0 1 S 1 10 L ) M g U L 2 M g U L U sin M gu cos K LQ(t) + + ϕ − ϕ + ϕ − ϕ = + + + + [ ]2011 1 2 1 1 0 1 0 00 1 1 1 01M (U +L ) M u M u K u u M gsin C U 0•• •• • •ϕ + + ϕ + − − ϕ + = (2.56) Hệ phương trình vi phân chuyển động đầy đủ ( 2.53 ÷2.56) là hệ phi tuyến. Theo [20] hầu hết các chuyển động lớn thì phương trình vi phân của hệ là phi tuyến và đối với dao động nhỏ của cơ hệ, người ta thường tuyến tính hóa các phương trình vi phân dao động. Để tuyến tính hóa, ta giả thiết các góc lệch nhỏ và bỏ qua các đại lượng bậc cao thì từ phương trình vi phân phi tuyến ta nhận được phương trình tuyến tính. Còn đối với các công trình trong thực tế, ta cần phải giả thiết thêm là hệ biến dạng bé, khi đó có thể xem lực gây uốn không ảnh hưởng tới lực dọc và ngược lại, điều này dẫn đến hệ phương trình tuyến tính. 44 Xét hệ tại vị trí cân bằng tĩnh ta có: 1 10 1 10 2 20 0 000; U U ; U U ; U U 0;ϕ = ϕ = = = = = PM N4 N3 PM2 Flx2 PM1 Pm PM2 Flx3 N1 N2 M Hình 2.4 Sơ đồ cân bằng tĩnh của hệ con lắc ngược Xét cân bằng cả hệ: Các lực tác dụng lên cơ hệ: - Trọng lực khối lượng tập trung đầu thanh: gMPM rr = - Trọng lực khối lượng thanh đỡ: gmPm rr = - Trọng lực bộ hấp thụ dao động TMD-N: gMP 1M1 rr = (2.57) - Trọng lực bộ hấp thụ dao động TMD-D: gMP 2M2 rr = - Phản lực liên kết của lò xo: lò xo soắn SM r ; và lò xo K3 103LX3 UKF = - Hệ lực cân bằng đặt lên cơ hệ: ( )S M m M1 M2 LX3M ,P ,P P ,P ,Fr r r r r r 0 - Phương trình cân bằng: 45 M m M1 M2 LX3P P P P F 0+ + + + = r r r r r (2.58) Chiếu phương trình (2.58) lên phương thẳng đứng ta có: M m M1 M2 LX3P P P P F 0+ + + − = (2.59) Thay (2.57) vào (2.59) ta có: 0FgMgMmggM LX321 =−+++ gMgMmggMF 21LX3 +++=⇒ gMgMmggMUK 21103 +++=⇒ ( 2.60) Xét cân bằng bộ TMD-D: Các lực tác dụng - Phản lực liên kết lên bốn bánh xe: 4321 N,N,N,N rrrr - Trọng lực bộ hấp thụ dao động TMD-D: gMP 2M2 rr = (2.61) - Phản lực liên kết của lò xo: 202LX2 UKF = - Hệ lực cân bằng đặt lên cơ hệ: ( )1 2 3 4 M2 LX2N ,N ,N ,N ,P ,Fr r r r r r 0 - Phương trình cân bằng: 1 2 3 4 M2 LX2N +N +N ,N +P +F 0= r r r r r r (2.62) Chiếu phương trình (2.62) lên phương thẳng đứng ta có: (2.63) M2 LX2P F− = 0 Thay (2.61) vào (2.63) ta có: 0FgM LX22 =− gMUK 2202 =⇒ ( 2.64) Hầu hết các công trình có dạng con lắc ngược đều dao động bé, theo [20] để đơn giản, ta tiến hành tuyến tính hóa phương trình vi phân phi tuyến ( 2.53 ÷2.56) như sau: Vì dao động nhỏ, ta có: 1 1 1;sin cos 1;ϕ ϕ ϕ≈ ≈ (2.65) Thay (2.60, 2.64, 2.65) vào (2.53÷2.56) và bỏ qua các đại lượng bậc cao, ta có phương trình vi phân chuyển động của hệ dao động quanh vị trí cân bằng tĩnh dạng tuyến tính sau: 46 H H H H (t) •• •+ + =M X C X K X F (2.66) trong đó: ( ) 2 1 2 1 2 2 2 2 23 4 2 5 1 1 H 1 2 2 2 2 mLL +M L + +M L M L 0 0 3 M L 0 0 = 0 0 +M 0 0 M M M M +M +m ⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ M M M (2.67) 3 S 4 1 2 2 5 1 1 1H 3 2 mgLK - MgL - - M gL - M gL - M g 0 0 2 - M g K 0 0= 0 0 0 0 ⎡ ⎤⎛ ⎞⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ K K 0 0 K (2.68) 1 H 2 0 0 0 0 0 C 0 0 = 0 0 0 0 0 0 0 C ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ C ; 1 0 1 2 U U U ϕ•• •• •• •• •• ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ X ; 1 0 1 2 U U U ϕ• • • • • ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ X ; 1 0 1 2 U U U ϕ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ X ; (2.69) T LQ(t) 0 = P(t) 0 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢⎢⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ F ⎥⎥ 2.3 KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 Chương 2 đã thiết lập mô hình cơ học và mô hình toán học để xác định dao động của cơ cấu con lắc ngược có sử dụng đồng thời hai bộ hấp thụ dao động TMD-D và TMD-N. Để tìm dao động của hệ, tác giả sử dụng phương trình Lagrang II. Hệ phương trình vi phân tìm được là hệ tuyến tính. Từ quy luật chuyển động của hệ con lắc ngược, nhận thấy có chứa các đại lượng của bộ hấp thụ dao động, đây chính là cơ sở để các nhà khoa học nghiên cứu, phân tích, tính toán tìm các thông số tối ưu của các bộ hấp thụ dao động theo các tiêu chuẩn tối ưu khác nhau. 47 CHƯƠNG 3 NGHIÊN CỨU, PHÂN TÍCH, TÍNH TOÁN GIẢM DAO ĐỘNG CHO CÁC CÔNG TRÌNH CÓ DẠNG HỆ CON LẮC NGƯỢC Để xác định các thông số tối ưu của hệ thống giảm dao động TMD, ta có nhiều phương pháp khác nhau như: Phương pháp điểm cố định, phương pháp cực tiểu mô men bậc hai, phương pháp cực tiểu sai số bình phương, … và ứng với mỗi phương pháp khác nhau ta lại tìm được các thông số tối ưu khác nhau của các bộ hấp thụ dao động. Việc áp dụng phương pháp nào để tìm các thông số tối ưu, hoàn toàn phụ thuộc vào đáp ứng dao động của kết cấu mà yêu cầu của thực tiễn kỹ thuật cần giảm dao động. Trong giới hạn của luận án này, tác giả tìm các thông số tối ưu của các bộ hấp thụ dao động TMD với mục đích là giảm dao động rung lắc của các công trình có dạng con lắc ngược. Với mục tiêu là nghiên cứu, tính toán bộ hấp thụ dao động tối ưu để giảm thành phần dao động rung lắc cho cơ hệ. Phương pháp tối ưu được sử dụng là phương pháp cân bằng cực theo các tài liệu [20], [47], [49], [51] , [71] đây là phương pháp tìm các thông số tối ưu của các bộ TMD để tăng các đặc trưng cản lớn nhất cho cơ hệ, từ đó giảm được thành phần dao động rung lắc cho hệ một cách tốt nhất. Phương pháp này không phải xét đến hàm mục tiêu rồi cực tiểu ( hoặc cực đại) hóa hàm mục tiêu rồi suy ra các tham số tối ưu. Mà cơ sở khoa học của phương pháp này là từ phương trình dao động tuyến tính của hệ tiến hành tìm đa thức đặc trưng cho hệ. Sau khi tìm được đa thức đặc trưng của hệ tác giả tiến hành nghiên cứu phân tích, tính toán tìm các thông số của các bộ TMD sao cho các cực (các nghiệm) của đa thức đặc trưng có độ lớn của các phần thực càng lớn càng tốt, độ lớn của các phần ảo càng nhỏ càng tốt từ đó suy ra được các thông số tối ưu như hệ số lò xo, hệ số cản nhớt của các bộ TMD. Do cơ cấu con lắc ngược thường có độ cao lớn nên việc phân tích, tính toán các 48 thông số như khối lượng, vị trí lắp đặt bộ hấp thụ dao động sao cho giảm dao động cho hệ con lắc ngược một cách tốt nhất và thỏa mãn điều kiện ổn định cũng là mục tiêu nghiên cứu của luận án. Để tìm hai thông số này tác giả tiến hành phân tích bậc của sự tắt dần sao cho đạt giá trị lớn nhất và thỏa mãn điều kiện ổn định từ đó suy ra được hai thông số là khối lượng và vị trí lắp đặt bộ TMD tối ưu. Để tìm tham số tối ưu cho hệ, tác giả lần lượt nghiên cứu từ trường hợp đơn giản cho đến trường hợp tổng quát nhất. Đầu tiên, tác giả nghiên cứu dao động của cơ cấu con lắc ngược chỉ lắp một bộ hấp thụ dao động TMD-D hoặc TMD-N và phân tích xem các thông số của một bộ TMD có đủ để giảm dao động theo hai phương thẳng đứng và lắc ngang của con lắc ngược không. Nếu các thông số của một bộ TMD đủ để giảm dao động theo hai phương thì ta chỉ cần lắp một bộ TMD. Nếu một bộ TMD không thể giảm dao động được theo hai phương, khi đó ta mới khảo sát cơ cấu con lắc ngược có lắp đồng thời hai bộ hấp thụ dao động TMD-D và TMD-N và tìm các thông số tối ưu để giảm dao động theo hai phương thẳng đứng và lắc ngang của hệ con lắc ngược. 49 3.1 Trường hợp chỉ có bộ hấp thụ dao động TMD-D Trường hợp chỉ có bộ hấp thụ dao động TMD-D được biểu diễn như trên hình 3.1. Sau đây ta đi khảo sát ảnh hưởng của bộ hấp thụ dao động đến dao động thẳng đứng và lắc ngang của cơ cấu con lắc ngược và nghiên cứu để giảm dao động cho cơ cấu con lắc ngược. 3.1.1 Phương trình vi phân chuyển động của hệ x u1 L4 Ks K3 ϕ1 M L5 L3 K2 u2 C2 M2 y Hình 3.1.Sơ đồ tính toán bộ hấp thụ dao động trường hợp chỉ có Bộ hấp thụ dao động TMD-D Trường hợp chỉ có bộ hấp thụ dao động TMD-D khi đó cơ hệ có ba bậc tự do - ϕ1: Là góc quay của con lắc ngược, U1 Dịch chuyển của con lắc ngược theo 50 phương thẳng đứng, U2 dịch chuyển của bộ TMD-D Ta có: 0K0;C0,M 111 === (3.1) Thay (3.1) vào (2.66÷2.69) ta có phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ như sau: •• • ( )P P P P t+ + =M X C X K X F (3.2) trong đó ( ) 2 2 2 3 4 2 5 P 2 2 2 mLL +M L + 0 0 3 = 0 +M 0 M M M +m ⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ M 2M M (3.3) 3 S 4 2 5 3P 2 mgLK - MgL - - M gL 0 0 2 0 K= 0 0 ⎡ ⎤⎛ ⎞⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ K 0 K (3.4) ;P 2 0 0 0 = 0 0 0 0 0 C ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ C 1 1 2 U U ϕ•• •• •• •• ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ X ; 1 1 2 U U ϕ• • • • ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ X ; 1 1 2 U U ϕ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ X ; (3.5) ( )P Q t 4L (t) = P(t) 0 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ F ⎥ 3.1.2 Nghiên cứu ổn định chuyển động của hệ con lắc ngược theo tiêu chuẩn kĩ thuật trường hợp chỉ lắp bộ TMD-D Có rất nhiều tiêu chuẩn để đánh giá độ ổn định. Trong trường hợp này, ta sử dụng tiêu chuẩn ổn định ở vị trí cân bằng của Lyapunov [20]. Theo tiêu chuẩn này, hệ phải thoả mãn các điều kiện sau: ™ Ma trận hệ số cản là ma trận vuông và bán xác định dương. 51 ™ Ma trận độ cứng phải là ma trận vuông và xác định dương. Biến đổi phương trình (3.2 ÷ 3.5) ta có: P* P* P* P* (t) •• •+ + =M X C X K X F (3.6) trong đó ( ) * 22 52 2 4 2 2 P 2 2 3 M1+ L 0 0 ML +mL / 3 M M0 1+= M +m M +m M M0 M +m M +m ⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ M (3.7) ( ) * (3.8) 3 3 2 2 2 s 52 2 2 4 4 4 4 4 P 6M +3m gK LM g- - 0 0 mML +mL / 3 6ML +2mL L LM + 3 = K0 0 M +m M K0 0 M +m M ⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ K *P 2 2 2 0 0 0 = 0 0 0 M C0 0 M +m M ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ C ; 4 1 2 U L U U ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ X ; * ( )P Q 3 t 4 2 2 4 L (t) ML + mL / 3 = P(t) M + m 0 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ F (3.9) 52 Ta đưa vào các tham số sau: 5 32 2 4 1 3 4 , , , , , 3 D D D Du u L KM Mu L L Lm M m L M mMϕ ϕ µ µ γ ω= = = = =+ ++ 4= ( ) ( ( ) )4 2 2 2 4 43 4 4 6 3 6 6 3 6 2/3 2 3D ss M m g K gL M mK ML mLML mL L M mϕ ω + −= − =++ + + (3.10) 2 2 2 2 2 4 , , , , 2 D D D D D D D D D D d u d dD u d k c g M M Lϕϕ ϕ ω ωω ξ α α ηω ω ω ω= = = = = trong biểu thức (3.10): µuD: Tỉ số khối lượng của bộ hấp thụ dao động TMD-D và con lắc ngược đặc trưng cho chuyển động thẳng; µϕD: Tỉ số khối lượng của bộ hấp thụ dao động TMD-D và con lắc ngược đặc trưng cho chuyển động quay; γD : Hệ số biểu thị vị trí lắp đặt bộ hấp thụ dao động TMD-D; ωdD : Tần số dao động riêng của bộ hấp thụ dao động TMD-D; ωϕD : Tần số dao động riêng của con lắc ngược theo phương lắc ngang; ωuD : Tần số dao động riêng của con lắc ngược theo phương thẳng đứng; ξD : Tỉ số cản nhớt của bộ hấp thụ dao động TMD-D Thay các tham số từ (3.10) vào các ma trận (3.6 ÷ 3.9) ta có: 2 * * 0 0 01 0 0 ; 0 0 00 1 0 0 20 D D D D D D D DD D P Pu u d uu u ϕ ϕ µ γ µ µ ξ α µ ωµ µ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =+⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ M C (3.11) ( ) 2 2 2 * * 2 2 3 ( ) 1 0 0 3 ; ( ) ( )0 0 0 0 0 D D D D D D D D D P Pu u d Q t M m t P t M m ϕ ϕ ϕ ϕ µ γ η ω α ω µ α ω ⎡ ⎤⎡ ⎤− ⎢ ⎥+⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥= = ⎢⎢ ⎥ ⎢ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ K F ⎥⎥ (3.12) 53 Thay các hệ thức từ (3.11, 3.12) vào phương trình (3.6) ta có: ( ) 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 0 0 01 0 0 0 0 00 1 0 0 20 3 ( ) 1 0 0 3 0 0 ( ) 0 0 0 D D D D D D D DD D D D D D D D D D D u u d uu u u u d u u u u u u Q t u M m u P t M mu ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ µ γ µ µ ξ α µ ωµ µ µ γ η ω α ω µ α ω •• •⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤+ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ + ++ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤⎡ ⎤− ⎢⎡ ⎤ +⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥+ =⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ +⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢⎣ ⎦ && & && & ⎥⎥⎥⎥⎥ (3.13) Kết hợp điều kiện ổn định của Liapunop và (3.13) ta có : 0 0 0 0 0 0 0 0 2 D D D Dd u ϕξ α µ ω ⎡ ⎤⎢ ⎥ ≥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 0 ; ( ) 2 2 2 2 2 1 0 00 0 0 0 D D D D D D D D D u u d ϕ ϕ ϕ ϕ µ γ η ω α ω µ α ω ⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥ >⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 0 Suy ra: ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 1 0 1 0 0 0 1 0 00 0 0 0 D D D D D D D D D D D D D D D D D D D u u u d A A A ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ µ γ η ω µ γ η ω α ω µ γ η ω α ω µ α ω = − > ⎡ ⎤−⎢ ⎥= >⎢⎣ ⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥= >⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 0 ⎥⎦ (3.14) Từ (3. 14) ta suy ra: ( ) ( ) ( ) 2 1 2 4 2 2 2 6 3 1 0 1 1 0 D D D D D D D D D D D D D D D D u u u d A A A ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ µ γ η ω µ γ η α ω µ γ η µ α α ω = − > = − > = − > 0 (3.15) 54 Vì 0uDµ > , vậy ta có điều kiện ổn định của hệ con lắc ngược như sau: 2 2 60, 0, 0D D Dd u ϕα α ω> > > 1 D D Dϕ 0µ γ η− > (3.16) Khi thiết kế các bộ hấp thụ dao động TMD-D ta phải chọn các thông số thoả mãn hệ thức (3. 16) để công trình làm việc ổn định theo tiêu chuẩn của kỹ thuật. Giả sử khi ưu tiên chọn vị trí lắp đặt bộ hấp thụ dao động trước là L5 = Lopt vấn đề còn lại phải chọn khối lượng của bộ hấp thụ dao động, nếu ta chọn khối lượng nhỏ quá thì khả năng giảm dao động nhỏ, nhưng nếu chọn khối lượng lớn quá sẽ gây mất ổn định cho công trình có thể gây sập, đổ, đứt, gẫy … sẽ rất nguy hiểm, nên ta chọn khối lượng thoả mãn điều kiện sau: Từ (3. 10) và (3. 16) ta có : ( )4 2 6 6 6 s opt 3K gL M m M gL − +< (3.17) Tương tự như vậy, giả sử khi khối lượng của bộ hấp thụ ưu tiên chọn trước M2 = Mopt vấn đề còn lại là chọn vị trí lắp đặt bộ hấp thụ dao động TMD-D, nếu ta chọn vị trí lắp đặt bộ hấp thụ dao động lớn quá sẽ gây mất ổn định cho công trình. Nên ta chọn vị trí lắp đặt bộ hấp thụ dao động TMD-D thoả mãn điều kiện sau: Kết hợp (3. 10) và (3. 16) ta thu được : ( )45 5 4 6 6 31 1 6D D D D D s opt K gL M mL L L gϕ ϕ γ µ η µ η − + M ⎡ ⎤⎣ ⎦< ⇒ < ⇒ < (3.18) 55 3.1.3 Tính toán các thông số của bộ hấp thụ dao động TMD-D để giảm dao động cho cơ cấu con lắc ngược Từ hệ phương trình (3.2) ta thu được hệ phương trình sau: TMD-D TMD-D TMD-D TMD-D (t) •• •+ + =M φ C φ K φ F (3.19) trong đó: 2 0 0 01 0 0 ; 0 0 00 1 0 0 20 D D D D D D DD D TMD D TMD Du u d uu u ϕ ϕ µ γ µ µ ξ α µ ωµ µ − − ⎡ ⎤⎡ ⎤+ ⎢ ⎥⎢ ⎥= =+ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ M C (3.20) ( ) 2 2 2 2 2 1 0 0 0 1 2 u u u ;0 0 0 D D D D D D D D D TMD D u u d ϕ ϕ ϕ ϕ µ γ η ω α ω µ α ω − ⎡ ⎤−⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ K ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ φ (3.21) Ta chuyển hệ phương trình vi phân cấp 2 (3.19) về phương trình vi phân cấp 1 bằng cách đặt như sau: 1 1 2 2 3 4 1 5 2 6 u x ,u x ,u x u x ,u x ,u x • • • = = =⎧⎪⎨ = = =⎪⎩ (3.22) Khi đó ta có hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất bậc sáu: (3.23) (t) (t) • =x Ax Hệ (3.23) luôn luôn tồn tại một hệ cơ bản sáu véc tơ nghiệm độc lập tuyến tính )(tiϕ , i=1÷6. Nó trùng với 6 véc tơ đơn vị ei khi t=0, (0) , 1,6.ie iϕ = = Và thoả mãn điều kiện (3.23) (t) (t) • =φ Aφ (3.24) 56 Các véc tơ nghiệm sẽ tạo thành các cột của ma trận không suy biến 6×6 [ ]1 2 3 4 5 6(t) (t) | (t) | (t) | (t) | (t) | (t)= ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕΦ (3.25) Ma trận (3.25) được gọi là ma trận cơ bản, nó có một số tính chất đặc trưng, đây là véc tơ nghiệm đặc biệt được chuẩn hoá tại thời điểm ban đầu t=0, thì vấn đề trị riêng đặc trưng cho dáng điệu của hệ động lực của con lắc ngược (3.23) theo các nghiệm riêng với tính chất là véc tơ trạng thái x(t) và đạo hàm của nó có cùng hướng trong không gian trạng thái (t) • x (t) (t) • = λx x (3.26) Nếu các nghiệm riêng này tồn tại, khi đó chúng phải thoả mãn không chỉ phương trình (3.23) mà còn cả điều kiện (3.26). Điều này nói lên rằng các quỹ đạo mà giữ nguyên hướng không đổi trong không gian trạng thái phải thoả mãn t(t) eλ=x %x tλ % (3.27) Điều này phù hợp với điều kiện (3.26). Thay (3.27) vào (3.26) ta có te eλλ =x A x% (3.28) Ta được phương trình thuần nhất ( ) 0λ − =E A x% (3.29) Mà được gọi là bài toán trị riêng liên quan với ma trận A Bài toán trị riêng (3.29) có nghiệm véc tơ không tầm thường nếu và chỉ nếu x% ( )λ −E A là ma trận suy biến. Một cách chính xác, đó là trường hợp khi λ là nghiệm của đa thức 6 5 4 3 2 1 2 3 4 5( ) det( )p g g g gλ λ λ λ λ λ λ λ≡ − ≡ + + + + + +E A 6g g (3. 30) đa thức )(λp được gọi là đa thức đặc trưng của hệ (3.19) 57 Ta nhận thấy rằng toàn bộ hệ cũng như các giá trị riêng đều phụ thuộc vào đa thức đặc trưng này, ứng với phương trình đặc trưng (3.30), các giá trị riêng có dạng λi = ρi±iσi, i=1÷6. Các giá trị riêng này có chứa các thông số của bộ hấp thụ dao động. Nếu hệ dao động ổn định với một số tổ hợp tham số chấp nhận được, Re 0, 1 6i iλ < = ÷ . Giá trị riêng của đa thức đặc trưng đầu tiên sẽ được xem xét là bậc của sự ổn định [20] (dự trữ ổn định tuyệt đối), được xác định là khoảng cách đo từ trục ảo tới trị riêng gần nhất. { }0 1,6 max Re i i d λ = = − (3.31) Bậc của sự ổn định đặc trưng cho tốc độ tắt dần của quá trình chuyển tiếp. Nếu bậc của sự ổn định lớn khi đó các dao động riêng sẽ tắt nhanh. Giá trị riêng phức liên hợp λi = ρi±iσi, ρi <0, có thể xác định bậc của sự tắt dần (dự trữ ổn định tương đối ). 0 1,6 Remax i i i D λλ= ⎧ ⎫⎪ ⎪= − ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭ (3.32) Bậc của sự tắt dần là chỉ số tắt dần nhỏ nhất 2 2 , 1 6ii i i D i ρ ρ σ = = ÷ + của các dao động riêng khác nhau, và nó biểu thị sự giảm của độ lệch ban đầu theo số chu kỳ, nếu bậc của sự tắt dần là lớn thì dao động sẽ tắt sau vài chu kỳ. Như vậy, nếu bậc của sự tắt dần là lớn thì dao động sẽ tắt nhanh. Bậc của sự tắt dần lớn cũng bảo đảm biên độ dao động nhỏ và do đó sẽ có dáng điệu ít nhiễu hơn. Các nghiệm của đa thức đặc trưng (3.30) gọi là các cực của hệ thống. Từ (3.31, 3.32) ta có nhận xét: Nếu như hệ làm việc theo điều kiện ổn định (3.16) thì các cực của hệ phải có phần thực âm, nghĩa là chúng nằm trên nửa trái của 58 mặt phẳng phức, phần thực của các cực sẽ thể hiện độ tắt dần của đáp ứng, còn phần ảo thể hiện số chu kỳ dao động thực hiện. Mà mục đích của việc thiết kế bộ hấp thụ dao động TMD-D cho cơ cấu con lắc ngược là làm dao động của con lắc ngược tắt càng nhanh càng tốt. Vì thế quá trình tính toán tìm các thông số của bộ hấp thụ dao động là tìm các hệ số để độ lớn của các phần thực của các cực càng lớn càng tốt và độ lớn của phần ảo của các cực càng bé càng tốt và bậc của sự tắt dần đạt giá trị lớn nhất. Trong )(λp chứa tất cả các tham số của bộ TMD-D. Theo lý thuyết điều khiển tối ưu [20], [47], [49], [51] , [71]các tham số tối ưu của hệ là hệ số lò xo, hệ số cản nhớt của bộ TMD-D được xác định trực tiếp từ hàm )(λp bằng cách cho cực đại hóa mô dun phần thực của các cực và cho cực tiểu hóa mô dun phần ảo của các cực của )(λp . Theo [20] )(λp được xác định như sau: [ ]) 2TMD D TMD D TMD DTMD D 1p(λ det λ λ det − −− −⎡ ⎤≡ + +⎣ ⎦M C KM (3.33) Thay (3.20 – 3.21) vào (3.33) ta có )(λp là: ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 4 3 2 1 2 32 1 2 1 1 1 ( ). ( ) D D D D D D D D 4P a a a a p p ϕ ϕ ϕ ϕ µ γ λ µ γ η ωλ λµ γ λ λ ⎧ ⎫+ + −⎪ ⎪= +⎨ ⎬+⎪ ⎪⎩ ⎭ = λ λ λ+ + + (3.34) trong đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 4 3 2 2 1 2 3 4 2 2 2 1 2 2 3 2 2 4 3 4 1 1 ( ) 1 ( ) (3.35) 2 1 , 1 , 2 , D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D d u u d u d u u d p p a a a a a a a a ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ µ γ λ µ γ η ωλ µ γ λ λ λ λ λ ξ α ω µ µ α α ω ξ α α ω α α ω ⎧ ⎫+ + −⎪ ⎪= ⎨ ⎬+⎪ ⎪⎩ ⎭ = + + + + ⎡ ⎤= + = + +⎣ ⎦ = = 59 Mục tiêu của việc nghiên cứu là tìm các thông số tối ưu ,D Ddα ξ của bộ TMD-D sao cho cực của ( )P λ có ( )Re max , 1,..6 dD i iαλ ⇒ = (3.36) ( )Im min, 1,..6 D i iξλ ⇒ = (3.37) Sau khi tìm được ,D Ddα ξ tối ưu, các thông số khác của bộ hấp thụ dao động ,D Duµ γ được chọn để bậc của sự tắt dần đạt giá trị lớn nhất, nghĩa là , Re max , 1 6 D Du i i i D µ γ λ λ ⎧ ⎫⎪ ⎪= − ⇒ = ÷⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭ i (3.38) ( )p λ có cực là tổ hợp cực của hai đa thức 1( )p λ và 2 ( )p λ . Từ (3.10) và (3.35) ta nhận thấy đa thức 1( )p λ phụ thuộc duy nhất vào khối lượng và vị trí lắp đặt bộ hấp thụ dao động và không chứa các thông số đặc trưng cho chuyển động thẳng mà chỉ chứa các thông số của dao động lắc ngang, vậy 1( )p λ đặc trưng cho chuyển động lắc ngang của con lắc ngược. Kết hợp điều kiện ổn định (3.16), nếu hệ làm việc ổn định thì cực của đa thức này là: ( ) ( ) 2 1,2 2 1 1 D D D D D D i ϕ ϕ ϕ µ γ η ωλ µ γ −= ± + (3.39) Cực của đa thức 1( )p λ trong (3.39) chỉ có phần ảo, không có phần thực, mà phần ảo thể hiện số chu kỳ dao động thực hiện. Vậy để số chu kỳ dao động quay thực hiện là nhỏ, từ (3.39) ta nên chọn khối lượng và vị trí lắp đặt bộ hấp dao động càng lớn càng tốt thoả mãn điều kiện ổn định (3.16): 1 0D D Dϕµ γ η− > 60 Đa thức 2 ( )p λ trong (3.35) phụ thuộc vào tất cả các tham số của bộ hấp thụ dao động và các thông số đặc trưng cho chuyển động thẳng đứng của con lắc ngược. Vậy đa thức 2 ( )p λ đặc trưng cho dao động thẳng đứng. Việc xác định các thông số tối ưu của bộ hấp thụ dao động để giảm dao động thẳng đứng hoàn toàn phụ thuộc vào đa thức này. Xét đa thức 2 ( )p λ , theo vào định lý Vieta, ta có: ( ) (6 1 3 Re 2 1D D D Di d i a ϕ )uλ ξ α ω µ = − = = +∑ (3.40) Biểu thức này dẫn tới hai bất đẳng thức ( )( ) ( ) 3,..6 1 min Re (3.41) 2 D D Dd u ii ϕξα ω µλ= +≤ ( ){ } ( )6 1 3 Re( ) min (Re( ) 4min (Re( ) (3.42)i i i i aλ λ λ = − − = −∑ Từ (3.10) ta có thể thấy rằng vế phải của (3.41) không phụ thuộc vào độ cứng lò xo k2. Do vế trái của (3.41) lại phụ thuộc vào độ cứng của lò xo k2, để bậc của sự ổn định lớn và dao động tắt nhanh thì độ lớn của các phần thực là lớn nhất có thể nên trong bước đầu tiên hệ số lò xo của bộ hấp thụ dao động TMD-D được chọn để (3.41) trở thành đẳng thức. Khi (3.41) trở thành đẳng thức thì vế phải của (3.42) triệt tiêu, dẫn tới tất cả các phần thực bằng nhau. Ta ký hiệu giá trị chung đó là ρ0. Khi đó các trị riêng của hệ là hai cặp phức liên hợp được ký hiệu là λ3,4 = ρ0±iσ1 và λ5,6 =ρ0±iσ2, trong đó σ1 và σ2 tương ứng là các phần ảo. Vậy đa thức 2 ( )p λ là: ( )( ) ( )( )2 222 0 1 0( )p 22λ λ ρ σ λ ρ σ= − + − + 61 ( ){ ( ) ( )( } 4 3 2 2 2 2 2 0 0 1 2 3 2 2 2 2 2 0 0 1 2 0 1 0 2 ( ) 4 6 4 2 p λ λ ρ λ ρ σ σ λ ρ ρ σ σ λ ρ σ ρ σ ⇒ = − + + + − ⎡ ⎤− + + + + +⎣ ⎦ )2 (3.43) Từ biểu thức (3.35) và (3.43) ta thu được hệ phương trình sau: ( )0 2 1D D D Dd4 ϕ uρ ξ α ω µ− = + (3.44) ( )2 2 2 2 20 1 26 1 D D Du d u 2Dϕρ σ σ µ α α ω⎡+ + = + +⎣ ⎤⎦ 3 (3.45) ( )3 2 2 20 0 1 24 2 2 D D D Dd u ϕρ ρ σ σ ξ α α ω− − + = (3.46) ( )( )2 2 2 2 2 20 1 0 2 D Du d 4Dϕρ σ ρ σ α α ω+ + = (3.47) Từ (3.46) suy ra: ( )02 1D D D Dd u 4 ϕ ρξ α ω µ −= + (3.48) Thay ξD từ (3.48) vào (3.46) ta có: ( ) ( )2 22 2 1 22 0 1 D D D u u ϕ 2 σ σα ωρ µ += −+ (3.49) Từ (3.47) suy ra: ( )( )2 2 2 20 1 0 22 2 4dD uD Dϕ ρ σ ρ σα α ω + += (3.50) Thay (3.49, 3.50) vào (3.45) ta có: ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 22 2 1 2 0 1 0 22 2 2 21 2 2 46 11 2D D D DD D Du u uu uϕ Dϕϕ σ σ ρ σ ρ σα ω σ σ µ α ωµ α ⎛ ⎞ ⎡+ + +⎜ ⎟ ⎢ ⎥− + + = + +⎜ ⎟+ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ω ⎤ ⎦ (3.51) 62 Biến đổi biểu thức (3.51), chúng ta thu được biểu thức quan hệ giữa các phần ảo σ1 và σ2. ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2 2 21 2 2 2 2 22 2 2 2 1 2 1 2 2 2 16 2 1 1 1 2 1 2 DD D D D D D D D D D D D D D uu u u u u u u u u ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ µα ω µ σ σ µ α ω σ σ σ σα ω α ω α ωµ µ +− + + − + =⎛ ⎞⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟+ −⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠⎝ ⎠ (3.52) Ta sử dụng bất đẳng thức sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 2 22 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 D D D D D D D D u u u u ϕ ϕσ σ σ σα ω α ω α ω µ µ ⎛ ⎞⎛ ⎞− − D u u ϕ µ ⎡ ⎤⎜ ⎟⎜ ⎟+ − ≤ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟+ + +⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠⎝ ⎠ (3.53) Từ biểu thức (3.52) và (3.53) ta thu được bất đẳng thức sau: ( ) ( )( ) 2 2 2 2 1 2 4 2 1 D D D u u u Dϕµ α ωσ σ µ −+ ≥ + (3.54) ( ) ( )( )21,2 4max 4 1 D DDuii u 2 2Du ϕ µσ α ωµ= −⇒ ≥ + (3.55) Vế phải của biểu thức (3.55) không phụ thuộc vào hệ số cản nhớt c2 của bộ hấp thụ dao động TMD-D, bởi vì chúng ta muốn độ lớn của phần ảo là nhỏ nên trong bước thứ hai hệ số cản nhớt của bộ hấp thụ dao động c2 được chọn để biểu thức (3.55) trở thành đẳng thức, nghĩa là σ1=σ2, Giá trị của chúng là: ( ) ( )1 2 4 4 1 D D D D u u u ϕ µσ σ α ω µ −= = + (3.56) Thay (3.56) vào (3.49) ta có: ( )0 2 1 D D D D u u u ϕα ω µρ µ= − + (3.57) 63 Thay (3.56, 3.57) vào (3.50) ta có: ( )1 DD D u opt u αα µ= + (3.58) Thay (3.57, 3.58) vào (3.48) ta có: ( )1 DD D u opt u µξ µ= + (3.59) Bước cuối cùng ta tìm các thông số khác của bộ hấp thụ dao động được tìm để bậc của sự tắt dần đạt giá trị lớn nhất, trong trường hợp này chỉ có dao động thẳng đứng là chứa phần thực nên tỉ số tắt dần chỉ tính cho trường hợp này: Theo (3.32) ta có 0 0 2 2 21,4 0 1 0 Remax i i i D λ ρ ρλ 0 2 2ρ σ ρ= ⎧ ⎫ − −⎪ ⎪= − = =⎨ ⎬⎪ ⎪ +⎩ ⎭ σ+ (3.60) Thay (3.56, 3.57) vào (3.60) ta thu được: 0 1 2 Du D µ= (3.61) Từ (3.61) ta có thể thấy rằng vế phải của nó phụ thuộc duy nhất vào khối lượng của bộ hấp thụ dao động uDµ không phụ thuộc vị trí lắp đặt bộ hấp thụ dao động Dγ . Vì ta muốn độ lớn của D0 là lớn nên trong bước cuối cùng này ta chọn uDµ để cho D0 đạt giá trị lớn nhất. ax ax0 max uD m optD mD = D khiµ µ µ µ= ⇒ = (3.62) Kết hợp các hệ thức (3.10) và điều kiện ổn định (3.16) ta có 2 2 1, 3 D D D D D D u u M M m M mMϕ ϕ µ µ µ µ γ η= = ⇒ <++ < (3.63) 64 Từ (3.62) và (3.63) ta có: ax 1 D D D opt mµ µ γ η= < (3.64) Các bước thiết kế bộ TMD: Khi thiết kế các thông số tối ưu của bộ hấp thụ dao động, ta xác định như sau: ™ Để tăng đặc tính tắt dần của dao động thẳng đứng và giảm số chu kỳ dao động lắc ngang ta nên chọn khối lượng bộ TMD-D càng lớn càng tốt thoả mãn điều kiện (3.64). ™ Để giảm số chu kỳ dao động lắc ngang ta nên chọn vị trí lắp bộ TMD-D càng cao càng tốt, điều này khẳng định rằng khi lắp bộ hấp thụ dao động ta nên lắp ở vị trí cao nhất của cơ cấu con lắc ngược, tuy nhiên cần đảm bảo điều kiện ổn định (3.16). ™ Bước cuối cùng là các thông số khác của bộ hấp thụ dao động TMD-D là hệ số lò xo, tỉ số cản của bộ hấp thụ dao động được chọn để dao động thẳng đứng tắt nhanh, biên độ dao động nhỏ và dáng điệu ít nhiễu, các thông số này được tính thông qua các hệ thức (3.10), (3.58) và (3.59). 65 3.2 Trường hợp chỉ lắp đặt bộ hấp thụ dao động TMD-N Trường hợp chỉ có bộ hấp thụ dao động TMD-N được biểu diễn như trên hình 3.2. Sau đây ta đi khảo sát ảnh hưởng của bộ hấp thụ dao động đến dao động thẳng đứng và lắc ngang của cơ cấu con lắc ngược và nghiên cứu để giảm dao động cho cơ cấu con lắc ngược một cách tối ưu. K1 ϕ1 M1 c1 M K3 Ks L2 L4 u1 u0 Hình 3.2.Sơ đồ tính toán bộ hấp thụ dao động trường hợp chỉ có Bộ hấp thụ dao động TMD-N 66 3.2.1 Phương trình vi phân chuyển động của hệ khi lắp đặt bộ hấp thụ dao động TMD-N Trường hợp chỉ có bộ hấp thụ dao động TMD-N khi đó cơ hệ có ba bậc tự do - ϕ1 : Là góc quay của con lắc ngược, U0 : dịch chuyển của bộ hấp thụ dao động TMD-N, U1 Dịch chuyển của con lắc ngược theo phương thẳng đứng, còn U2=0 (dịch chuyển của bộ TMD-D) Ta có: 2 2 2M = 0, C = 0; K = 0 (3.65) Thay (3.65) vào (2.66÷2.69) ta có phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ như sau: T T T T (t) •• •+ + =M X C X K X F (3.66) trong đó: ( ) 2 1 2 1 2 2 2 23 4 1 T 1 1 mLML + +M L M L 0 3 = M L M 0 0 0 M +M ⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ M +m (3.67) 3 S 4 1 2 1 T 1 1 3 mgLK - MgL - - M gL - M g 0 2 = - M g K 0 0 ⎡ ⎤⎛ ⎞⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ K 0 K 0 0 (3.68) 0 0 = 0 0 0 0 T 1C ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ C ; 1 0 1 U U ϕ•• •• •• •• ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ X ; 1 0 1 U U ϕ• • • • ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ X ; 1 0 1 U U ϕ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ X ; (3.69) ( )T t LQ(t) = 0 P(t) ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ F ⎥ 67 3.2.2 Nghiên cứu ổn định chuyển động của hệ con lắc ngược theo tiêu chuẩn kĩ thuật khi lắp bộ hấp thụ dao động TMD-N Ta đưa vào các tham số sau: 3 1 4 1 4, , Nu Mu L L L M m ϕ µ= = = + 31 2 4 , , 3 N N Nu KM L m L M mMϕ µ γ ω= = = ++ (3.70) ( ) ( ) ( ) 4 2 2 2 4 43 4 4 6 3 6 6 3 6 2/3 2 3N ss M m g K gL M mK ML mLML mL L M mϕ ω + −= − =++ + + 2 1 1 1 1 4 , , , , 2 N N N N N N N N N N d u d d u dN k c g M M Lϕϕ ϕ ω ωω ξ α α ηω ω ω ω= = = = = trong biểu thức (3.70): µuN: Tỉ số khối lượng của bộ hấp thụ dao động TMD-N và con lắc ngược đặc trưng cho chuyển động thẳng; µϕN: Tỉ số khối lượng của bộ hấp thụ dao động TMD-N và con lắc ngược đặc trưng cho chuyển động quay; γN : Hệ số biểu thị vị trí lắp đặt bộ hấp thụ dao động; ωdN : Tần số dao động riêng của bộ hấp thụ dao động; ωϕN : Tần số dao động riêng của con lắc ngược theo phương ngang; ωuN : Tần số dao động riêng của con lắc ngược theo phương thẳng đứng; ξN : Tỉ số cản nhớt của bộ hấp thụ dao động Thay các tham số từ (3.70) vào phương trình (3.67, 3.68, 3.69) ta có: 21 0 0 0 0 ; 0 20 0 0 00 0 1 N N N N N N N NN N N N T T u ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ µ γ µ γ ξ α µ ωµ γ µ µ ⎡ ⎤ 0d ⎡ ⎤+⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦ M C (3.71) 68 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 3 ( ) 1 0 3 ; 00 ( )0 0 N N N N N N N N N N N N N N dNT T u Q t M m P t M m ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ µ γ η ω µ η ω µ η ω µ ω α α ω ⎡ ⎤⎡ ⎤− − ⎢ ⎥⎢ ⎥ +⎢ ⎥⎢ ⎥= =− ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ +⎣ ⎦ K F (3.72) Thay các tham số từ (3.71, 3.72) vào phương trình (3.66) ta có: 2 0 0 1 1 22 0 2 1 1 0 0 0 0 0 2 00 0 0 00 0 1 3 ( )1 0 3 0 0 ( )0 0 N N N N N N NN N N N N N N N N N N N N dN d u u u u u u u u Q t u M m u P tu M m ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕ µ γ µ γ ω ξ α µµ γ µ µ µ γ η µ η µ η µ αω α ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ ⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣+ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎡− −⎡ ⎤ ⎢⎡ ⎤ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥+ =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦ +⎣ && & && & && & ⎤⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎦ ⎦ (3.73) Kết hợp điều kiện ổn định của Liapunop [20] và (3.73) ta có : 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 N N N Ndϕ ϕω ξ α µ ≥ ; 22 2 1 0 0 0 0 0 N N N N N N N NN N dN u ϕ ϕ ϕ ϕϕ µ γ η µ η µ η µ αω α − − − > Suy ra: 1 2 2 2 3 2 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N dN dN u A A A ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ µ γ η µ γ η µ η µ η µ α µ γ η µ η µ η µ α α = − > − −⎡ ⎤⎢ ⎥= >−⎢ ⎥⎣ ⎦ − −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥= >⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ (3.74) Từ (3.74) ta thu được: 69 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 0 (1 ) 0 (1 ) 0 N N N N N N N N N N N N N N N N dN dN u A A A ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ µ γ η µ γ η µ α µ η µ γ η µ α µ η α ⎧ = − >⎪⎪ = − − >⎨⎪ ⎡ ⎤⎪ = − − >⎣ ⎦⎩ (3.75) Vì 0Nϕµ > , vậy ta có điều kiện ổn định của hệ con lắc ngược như sau: 2 0Nuα > 21 N N N N dN ϕ ηη µ γ α ⎛ ⎞⎜− +⎜⎝ ⎠ 0⎟ >⎟ (3.76) Khi thiết kế các bộ hấp thụ dao động ta phải chọn các thông số thoả mãn hệ thức (3.76) để công trình làm việc ổn định theo tiêu chuẩn của kỹ thuật. Giả sử khi phải chọn vị trí lắp đặt bộ hấp thụ dao động, nếu ta chọn vị trí lắp đặt bộ hấp thụ dao động lớn quá sẽ gây mất ổn định cho công trình có thể gây sập, đổ, đứt, gẫy … sẽ rất nguy hiểm, nên ta chọn vị trí lắp đặt bộ hấp thụ dao động thoả mãn điều kiện sau: 2 44 2 N N N dN LLL ϕ η η µ α ⎛ ⎞⎜< −⎜⎝ ⎠ ⎟⎟ (t) 0 (3.77) 3.2.3 Tính toán các thông số của bộ hấp thụ dao động TMD-N để giảm dao động cho cơ cấu con lắc ngược Từ hệ phương trình (3.66) và (3.70) ta thu được hệ phương trình sau: •• • TMD-N TMD-N TMD-N TMD-N + + =M ψ C ψ K ψ F (3.78) trong đó: -N -N 2 1 0 0 0 0 ; 0 20 0 0 00 0 1 N N N N N N N NN N N N TMD TMD d u ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ µ γ µ γ ξ α µ ωµ γ µ µ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦ M C (3.79) 70 ( ) -N 2 2 2 2 2 2 2 1 0 ;0 0 0 N N N N N N N N N N N N N N TMD dN u ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ µ γ η ω µ η ω µ η ω µ ω α α ω ⎡ ⎤− −⎢ ⎥⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ K 0 1 u u u ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ψ ⎥ (3.80) Ta chuyển hệ phương trình vi phân cấp 2 (3.78) về phương trình vi phân cấp 1 bằng cách đặt như sau: 1 0 2 1 3 4 0 5 1 6 u y ,u y ,u y u y ,u y ,u y • • • = = =⎧⎪⎨ = = =⎪⎩ (3.81) Khi đó ta có hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất bậc sáu: (t) (t) • =y Ay (3.82) Hệ (3.82) luôn luôn tồn tại một hệ cơ bản sáu véc tơ nghiệm độc lập tuyến tính , i=1÷6. Nó trùng với 6 véc tơ đơn vị e( )i tψ i khi t=0, và thoả mãn điều kiện (3.82) (t) (t) • =ψ Aψ (3.83) Các véc tơ nghiệm sẽ tạo thành các cột của ma trận không suy biến 6×6 [ ]1 2 3 4 5 6(t) (t) | (t) | (t) | (t) | (t) | (t)= ψ ψ ψ ψ ψ ψΦ (3.84) Ma trận (3.84) được gọi là ma trận cơ bản, nó có một số tính chất đặc trưng, đây là véc tơ nghiệm đặc biệt được chuẩn hoá tại thời điểm ban đầu t=0, thì vấn đề trị riêng đặc trưng cho dáng điệu của hệ động lực của con lắc ngược (3.82) theo các nghiệm riêng với tính chất là véc tơ trạng thái y(t) và đạo hàm của nó (t) • y có cùng hướng trong không gian trạng thái (t) (t) • = λy y (3.85) 71 Nếu các nghiệm riêng này tồn tại, khi đó chúng phải thoả mãn không chỉ phương trình (3.82) mà còn cả điều kiện (3.84). Điều này nói lên rằng các quỹ đạo mà giữ nguyên hướng không đổi trong không gian trạng thái phải thoả mãn t(t) eλ=y y% (3.86) Điều này phù hợp với điều kiện (3.85). Thay (3.86) vào (3.85) ta có te Aeλλ = tλy y% % (3.87) Ta được phương trình thuần nhất ( ) 0λ − =E A y% (3.88) Mà được gọi là bài toán trị riêng liên quan với ma trận A Bài toán trị riêng (3.88) có nghiệm véc tơ không tầm thường y% nếu và chỉ nếu ( )λ −E A là ma trận suy biến. Một cách chính xác, đó là trường hợp khi λ là nghiệm của đa thức 6 5 4 3 2 1 2 3 4 5( ) det( ) 6p s s s s sλ λ λ λ λ λ λ λ≡ − ≡ + + + + +E A s+ (3.89) đa thức )(λp được gọi là đa thức đặc trưng của hệ (3.78). Ta nhận thấy rằng toàn bộ hệ cũng như các giá trị riêng đều phụ thuộc vào đa thức đặc trưng này, ứng với phương trình đặc trưng (3.89), các giá trị riêng có dạng λi = ςi±iβi , i=1-6. Như vậy sẽ có nghĩa khi nghiên cứu các hệ dao động bằng các trị riêng của đa thức đặc trưng. Các nghiệm của đa thức đặc trưng (3.89) gọi là các cực của hệ thống. Theo lý thuyết điều khiển tối ưu: Nếu như hệ làm việc theo điều kiện ổn định (3.77) thì các cực của hệ phải có phần thực âm, nghĩa là chúng nằm trên nửa trái của mặt phẳng phức, phần thực của các cực sẽ thể hiện độ tắt dần của đáp ứng, còn phần ảo thể hiện số chu kỳ dao động thực hiện. Mà mục đích của việc thiết kế bộ hấp thụ dao động TMD-N cho cơ cấu con lắc ngược là làm dao động của con lắc 72 ngược tắt càng nhanh càng tốt. Vì thế quá trình tính toán tìm các thông số của bộ hấp thụ dao động là tìm các hệ số để độ lớn của các phần thực của các cực càng lớn càng tốt và độ lớn của phần ảo của các cực càng bé càng tốt và bậc của sự tắt dần đạt giá trị lớn nhất. Trong )(λp chứa tất cả các tham số của bộ TMD-N. Theo lý thuyết điều khiển tối ưu [20], [47], [49], [51] , [71] các tham số tối ưu của hệ là hệ số lò xo, hệ số cản nhớt của bộ TMD-N được xác định trực tiếp từ hàm )(λp bằng cách cho cực đại hóa mô dun phần thực của các cực và cho cực tiểu hóa mô dun phần ảo của các cực của )(λp . Theo [20] )(λp được xác định như sau: [ ] 2-N -N -N-N 1( ) det det TMD TMD TMDTMD p λ λ λ⎡ ⎤≡ + +⎣ ⎦M C KM (3.90) Thay (3.79, 3.80) vào (3.90) ta suy ra )(λp như sau ( ) ( )( ) { } ( ) ( ) 2 2 2 4 3 2 2 1 2 3 4 1 2 1 . 1 N N N N N u u u P a a a aϕ ϕ µ λ α ω P Pλ λ λ ω λ λ λµ ⎧ ⎫+ +⎪ ⎪= + + + + =⎨ ⎬+⎪ ⎪⎩ ⎭ λ (3.91) trong đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 4 3 2 2 1 2 3 4 2 2 1 1 2 1 3 4 2 2 3 2 4 2 2 1 2 3 1 1 (3.92) 2 , 1 2 , 1 , 1 , N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N u u u d d d d P P a a a a a b a b a b a b b b b ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ µ λ α ωλ µ λ λ λ λ λ α ξ ω α γ η µ ω α ξ ω ω α η µ γ µ γ η µ η γ + += + = + + + + = = + + = = − = + = − = + 73 Mục tiêu của việc nghiên cứu là tìm các thông số tối ưu ,dN Nα ξ của bộ TMD-N sao cho cực của ( )P λ có ( )Re max , 1,..6 dN i iαλ ⇒ = (3.93) ( )Im min, 1,..6 N i iξλ ⇒ = Sau khi tìm được ,dN Nα ξ tối ưu, các thông số khác của bộ hấp thụ dao động ,N Nϕγ µ được chọn để bậc của sự tắt dần đạt giá trị lớn nhất, nghĩa là , Re max , 1 6 N N i i i D i ϕγ µ λ λ ⎧ ⎫⎪ ⎪= − ⇒ = ÷⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭ (3.94) Cực của đa thức đặc trưng ( )P λ là tổ hợp cực của hai đa thức ( )1P λ và ( )2P λ . Ta nhận thấy đa thức 1( )p λ trong (3.92) phụ thuộc vào thông số đặc trưng cho chuyển động thẳng đứng của con lắc ngược, cực của đa thức 1( )p λ là: 1,2 1 1N N N u u iϕλ α ω µ= ± + (3.95) Cực của đa thức 1( )p λ trong (3.95) chỉ có phần ảo, không có phần thực mà phần ảo thể hiện số chu kỳ dao động thực hiện. Vậy để số chu kỳ dao động thẳng đứng thực hiện là nhỏ thì từ (3.95) ta nên chọn khối lượng của bộ hấp thụ dao động càng lớn càng tốt thoả mãn điều kiện ổn định (3.76). Đa thức 2 ( )p λ trong (3.92) phụ thuộc vào tất cả các tham số của bộ dao động và các thông số đặc trưng cho dao động lắc ngang. Vậy việc x các thông số tối ưu của bộ hấp thụ dao động để giảm dao động lắc ngan toàn phụ thuộc vào đa thức 2 ( )p λ . hấp thụ ác định g hoàn 74 Xét đa thức 2 ( )p λ . Theo định lý Vieta, ta có: ( )6 1 1 3 Re 2 N Ni d i a b Nϕλ α ξ ω = − = =∑ (3.96) ( )( ) 1 3,..6 min Re 2 N N Nd ii b ϕα ξ ωλ=⇒ ≤ (3.97) Các biểu thức không thứ nguyên (3.70) cho thấy vế phải của (3.97) chỉ phụ thuộc vào độ cản của bộ TMD-N, không phụ thuộc vào hệ số lò xo k1. Vì ta muốn độ lớn của các phần thực là lớn nên trong bước đầu tiên hệ số lò xo của bộ hấp thụ dao động TMD-N được chọn để (3.97) trở thành đẳng thức, nghĩa là tất cả các phần thực bằng nhau. Ta ký hiệu giá trị chung đó là ς0 . Khi đó các trị riêng của hệ là hai cặp phức liên hợp được ký hiệu là λ3,4 = ς0±iβ1 và λ5,6 = ς0±iβ2, trong đó β1 và β2 tương ứng là các phần ảo. Khi đó đa thức 2 ( )p λ là: ( )( ) ( )( )2 22 0 1 0( )p 2 22λ λ ς β λ ς β= − + − + (3.98) Biến đổi biểu thức (3.98) ta có: ( )( )2 2 2 2 22 0 0 1 0 0( ) 2 2p 22λ λ λς ς β λ λς ς β= − + + − + + ( ) ( ){ ( )( )} 4 3 2 2 2 2 3 2 2 2 0 0 1 2 0 0 1 2 2 2 2 2 0 1 0 2 ( ) 4 6 4 2p λ λ ς λ ς β β λ ς ς β β λ ς β ς β ⎡ ⎤⇒ = − + + + − + +⎣ ⎦ + + + + N (3.99) Từ biểu thức (3.91) và (3.99) ta thu được hệ phương trình sau: 0 14 2 N Nd b ϕς α ξ ω− = (3.100) ( )2 2 2 20 1 2 16 1 N N N Ndb 2Nϕ ϕς β β α γ η µ ω+ + = + + (3.101) 75 ( )3 2 20 0 1 2 24 2 2 N N Ndb 3ϕς ς β β α ξ ω− − + = (3.102) ( )( ) ( )2 2 2 2 4 2 20 1 0 2 2N NdNbϕ Nϕς β ς β ω α η µ+ + = − (3.103) Từ (3.100) suy ra tỉ số cản nhớt của bộ hấp thụ dao động TMD-N: 0 1 2 N N Nd b ϕ ςξ α ω= − (3.104) Thay (3.104) vào (3.102) ta có: ( )2 2 21 2 22 0 12 Nb b ϕβ β ως += − + (3.105) Thay 20ς từ (3.105) vào (3.103) ta có: ( ) ( )2 2 2 2 21 2 1 22 4 2 4 2 1 1 1 1 2 2 N N N N N N dN b b 2b ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ β β β β η µα ω ω ω ω ⎛ ⎞⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟= + − + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ (3.106) Thay (3.105, 3.106) vào (3.101), chúng ta thu được biểu thức quan hệ giữa các phần ảo β1 và β2. ( ) ( )2 2 2 2 2 21 2 2 1 1 2 22 2 2 2 22 2 2 41 2 2 1 1 1 6 2 2 2 2 N N N N N N N N b b b b bb b b b ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ω β β ω ω ω ωβ β β β η µ ω ⎡ ⎤− + − −⎢ ⎥⎣ ⎦ =⎧ ⎫⎛ ⎞⎛ ⎞− −⎪ ⎪+ + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎝ ⎠⎩ ⎭ (3.107) Ta sử dụng bất đẳng thức hiển nhiên: 22 22 2 2 2 2 21 2 2 1 1 12 2 N Nb b b b ϕ ϕω ωβ β β β⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎡− −+ + ≤⎜ ⎟⎜ ⎟ 2 2 1 Nb b ϕω ⎤⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ⎦ (3.108) Từ biểu thức (3.107) và (3.108) ta thu được bất đẳng thức sau: 76 2 2 2 32 2 1 2 1 2 4 N N b b 2b b ϕ 2 ϕ µβ β −+ ≥ ω (3.109) ( ) 2 22 321,2 1 2 4 max N Nii b b 2b b ϕ 2 ϕ µβ ω = −⇒ ≥ (3.110) Vế phải của biểu thức (3.110) không phụ thuộc vào hệ số cản nhớt c1 của bộ hấp thụ dao động, bởi vì chúng ta muốn độ lớn của phần ảo là nhỏ nên trong bước thứ hai hệ số cản nhớt của bộ hấp thụ dao động c1 được chọn để biểu thức (3.100) trở thành đẳng thức, nghĩa là β1=β2, Giá trị của chúng là: 2 2 2 1 2 1 2 N N 4b b 4b b ϕ ϕ µβ β ω −= = 3 (3.111) Thay (3.111) vào (3.105) ta có: 2 3 0 1 22 N Nb b b ϕ ϕω µς = − (3.112) Từ (3.101) suy ra: ( )2 2 2 22 0 1 2 2 1 26 N N d b bϕ ς β βα ω −+ += − (3.113) Thay (3.111, 3.112) vào (3.113) ta có: 2 2 2 1 1 2 N N Nopt b b b b ϕµ ηα += 2 (3.114) Thay (3.112, 3.114) vào (3.110) ta có: 2 3 2 2 1 2 1 N N N N opt b b b b ϕ ϕ µξ µ η = ⎡ +⎣ ⎦2 ⎤ (3.115) Bước cuối cùng ta tìm các thông số khác của bộ hấp thụ dao động TMD-N để bậc của sự tắt dần đạt giá trị lớn nhất: Bậc của sự tắt dần được xác định theo công thức: 77 0 0 2 2 23,6 0 1 0 2 Remax i i i D λ ς ςλ 0 2ς β ς= ⎧ ⎫ − −⎪ ⎪= − = =⎨ ⎬⎪ ⎪ +⎩ ⎭ β+ (3.116) Thay (3.111, 3.112) vào (3.116) ta thu được ( ) ( ) 2 0 2 2 1 N N N N N N D ϕ ϕ µ γ η µ γ η += − (3.117) ™ Từ (3.70) ta có thể thấy rằng vế phải của (3.117) phụ thuộc vào khối lượng của bộ hấp thụ dao động Nϕµ , và vị trí lắp đặt bộ hấp thụ dao động Nγ . Vì ta muốn độ lớn của D0 là lớn nên trong bước cuối cùng này ta chọn Nϕµ và Nγ để cho D0 đạt giá trị lớn nhất. Như vậy một tiêu chuẩn cần phải đạt được mà có hai thông số được chọn bởi vậy khi thiết kế bộ hấp thụ dao động TMD-N có một thông số được chọn theo ưu tiên về thực hành kỹ thuật, tức là thuận tiện cho sinh hoạt của con người, làm việc của máy móc, khi đó thông số này là ưu tiên chọn trước, còn thông số còn lại được chọn để tăng độ tắt dần lớn nhất cho công trình. ™ Giả sử khi thiết kế bộ hấp thụ dao động, để thuận tiện cho sinh hoạt của con người ta hay lắp đặt bộ TMD-N tại vị trí cao nhất của công trình, tức là tại đỉnh của nó, khi đó Nγ sẽ là thông số chọn trước còn Nϕµ được chọn để tăng độ tắt dần cho hệ. Để xác định giá trị lớn nhất của D0 theo Nϕµ , ta khảo sát phương trình nhận được 0 ( ND f ϕ )µ= là hàm của D0 theo biến Nϕµ như sau: Từ điều kiện ổn định (3.76) ta có: 21 0 N N N N optN ϕ ηη µ γ α ⎛ ⎞⎜ ⎟− + >⎜ ⎟⎝ ⎠ Suy ra 78 ( ) ( ) ( ) 2 2 opt 2 opt 2 2 opt 2 1 0 1 1 N N N N N N N N N N N N N N N N N N ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ µ ηµ γ η α αµ η γ η α µ γ η µ γ η ⎧ − > >⎪⎪⎪⎪ <⎨ +⎪⎪⎪ − = −⎪⎩ (3.118) Từ (3.117) và (3.118) suy ra: ( ) ( ) ( ) 2 0 2 2 12 1 N N N N N N N N N N N N D ϕ ϕ ϕϕ µ γ η γ η µ µ γ ηµ γ η + += = −− (3.119) Từ (3.119) ta có: ( ) ( ) ( )0 2 1 1 22 2 1 2 1 N N N N N NN N N N N N N N N N N D ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ ϕ γ η γ η µµγ η µ µ µ µ γ η µ γ η ⎛ ⎞⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎛ ⎞+∂ ∂ ⎝ ⎠⎜ ⎟= =⎜ ⎟∂ ∂ − −⎝ ⎠ (3.120) Từ (3.118, 3.119, 3.120) ta lập được bảng biến thiên 3.1 sau: Bảng 3.1. Bảng biến thiên của hàm 0 ( )ND f ϕµ= Nϕµ 0 ( )2 2 2optN Nopt N Nα η γ η α+ 0 ND ϕµ∂ ∂ + 0D 0 Từ bảng 3.1 ta thấy 0 N D ϕµ ∂ ∂ >0 với 2 2 2 opt 0 optNN N N N N ϕ αµ η γ η α< < + vậy D0 theo hệ thức (3.117) là đồng biến theo Nϕµ trong khoảng 2 2 20 optN N N N N Nopt ϕ αµ η γ η α< < + , nghĩa là: 79 2 ax ax 2 2 N N N N opt 0 max m opt m opt D = D khi ϕ αµ µ µ µ η γ η α= ⇒ = < + N (3.121) ™ Trong trường hợp Nϕµ là thông số ưu tiên được chọn trước khi đó Nγ là thông số được chọn để tăng độ tắt dần cho hệ. Để xác định giá trị lớn nhất của D0 theo Nγ , ta khảo sát phương trình nhận được 0 ( ND f )γ= là hàm của D0 theo biến Nγ mhư sau: Từ (3.70) và điều kiện ổn định (3.76) ta có 2 2 2 opt2 2 4 4 , ; N NN N N N N N optN L g L Lϕ ϕ ϕ Nα µ ηγ η γω µ η α −= = < (3.122) Trong thực tế ta có: ( )2 22 4 0, 0N N N N gL Lϕ N Nη γ η γ ηω> = > ⇒ + = + (3.123) Từ (3.117), (3.122) và (3.123) ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 2 2 12 1 N N N N N N N N N N N N D ϕ ϕ ϕϕ µ γ η γ η µ µ γ ηµ γ η + +⇒ = = −− (3.124) Từ (3.124) ta suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 2 1 2 1 2 1 N NN N N N N N N N N N D ϕ ϕϕ ϕ ϕ µ η µγ η µ γ γ µ γ η µ γ η ⎛ ⎞ ++∂ ∂ ⎜ ⎟= =⎜ ⎟∂ ∂ − −⎝ ⎠ N (3.125) Từ (3.122, 3.124, 3.125) ta lập được bảng biến thiên 3.2 sau: Bảng 3.2. Bảng biến thiên của hàm 0 ( )ND f γ= Nγ 0 ( ) ( )2 2 optN N N N NoptN ϕ ϕα µ η µ η α− 2 0 ND γ∂ ∂ + 0D 80 Từ bảng 3.2 ta thấy 0 N D γ ∂ ∂ > 0 với mọi 2 2 20 N N N N N N opt opt ϕ ϕ Nα µ ηγ µ η α −< < vậy D0 theo hệ thức (3.124) là đồng biến theo Nγ trong khoảng 2 2 20 N N N N N N opt opt ϕ ϕ Nα µ ηγ µ η α −< < , nghĩa là: 2 2 ax ax 2 N N N N N N opt 0 max m opt m opt D = D khi ϕ ϕ Nα µ ηγ γ γ γ µ η α −= ⇒ = < (3.126) Các bước thiết kế bộ hấp thụ dao động TMD-N: Quá trình thiết kế tìm các thông số của bộ hấp thụ dao động TMD-N thường được thực hiện theo các bước sau: ™ Bước đầu tiên chọn khối lượng của bộ hấp thụ dao động: Từ biểu thức (3.70), (3.121) ta thấy rằng hiệu quả giảm dao động của bộ hấp thụ dao động TMD-N phụ thuộc vào khối lượng của bộ hấp thụ dao động, khối lượng của bộ hấp thụ dao động càng lớn thì hiệu quả giảm dao động cho cơ cấu con lắc ngược càng tăng. Trong thực tế thông số này thường được chọn theo kinh nghiệm và tiêu chuẩn kỹ thuật thực hành. ™ Bước thứ hai ta chọn vị trí lắp đặt bộ hấp thụ dao động: Khi thiết kế bộ hấp thụ dao động TMD-N, nếu các thông số L4, Nϕω là những thông số chọn trước, còn L2 biến đổi thì từ (3.70), (3.126) ta thấy rằng L2 càng lớn thì hiệu quả giảm dao động cho cơ cấu con lắc ngược càng tăng. Điều này khẳng định rằng: Khi lắp bộ hấp thụ dao động TMD-N cho các toà nhà cao tầng ta nên lắp tại tầng cao nhất của toà nhà, đối với các công trình như tháp vô tuyến, giàn khoan ta nên lắp bộ hấp thụ dao động tại đỉnh của nó. Vị trí lắp đặt bộ hấp thụ dao động thường được lắp ở vị trí thuận tiện cho hoạt động của công trình. ™ Bước cuối cùng: Từ các thông số ta đã chọn ở bước một, hai và các biểu thức (3.70, 3.114, 3.115) ta suy ra độ cứng của lò xo k1 và t