Liên thông pháp dạng của mặt trong Rn - Đồng Khắc Soạn

TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 21. 2014 5 LIÊN THƠNG PHÁP DẠNG CỦA MẶT TRONG n Đồng Khắc Soạn 1 , Nguyễn Hữu Quang 2 TĨM TẮT Trong bài viết này, chúng tơi trình bày một số tính chất của liên thơng pháp dạng của một mặt M trong n và ứng dụng nĩ vào việc khảo sát độ cong pháp dạng của mặt M . Từ khĩa: Đạo hàm liên kết, độ cong pháp dạng và ánh xạ pháp dạng 1. MỞ ĐẦU Trong những năm gần đây, việc sử dụng cơng cụ đạo hàm và đạo hàm Lie trên các đại số để nghiên cứu các tính chất hình học trên các đại số và trên các đa tạp Riman hữu hạn chiều đã và đang đƣợc nhiều nhà tốn học trong và ngồi nƣớc quan tâm. Chẳng hạn, (Xem  4 , trang 362-412), năm 2010 Sultanov đã sử dụng cơng cụ đạo hàm Lie của các liên thơng tuyến tính để nghiên cứu các tenxơ cong và tenxơ xoắn trên đại số. Năm 2007, Jeong-Sik Kim, Mohit Kumar Dwivedi và Mukut Mani Tripathi đã sử dụng phép đạo hàm trên mơđun các trƣờng vectơ pháp dạng ( M ) để nghiên cứu độ cong Gauss, độ cong Ricci trên đa tạp Riman k-chiều (Xem  3 , trang 395-406). Ngồi ra, năm 2012, Đồng Khắc Soạn và Nguyễn Hữu Quang đã chỉ ra một số tính chất hình học trên đa tạp Riman bằng việc sử dụng đạo hàm theo hƣớng của ánh xạ kiểu Weingarten (Xem  1 , trang 24-28 và xem  2 , trang 14-18). Trong bài viết này, chúng tơi trình bày một số tính chất của liên thơng pháp dạng bằng việc sử dụng đạo hàm liên kết với liên thơng pháp dạng và khảo sát độ cong pháp dạng của mặt M trong n . Ta kí hiệu là tập hợp các hàm số khả vi trên M ; tƣơng ứng là các trƣờng vectơ tiếp xúc và các trƣờng vectơ pháp dạng trên M ;  và  tƣơng ứng là liên thơng tuyến tính cảm sinh từ phép đạo hàm các trƣờng vectơ thơng thƣờng trong m . ( XY là thành phần tiếp xúc với M của XD Y ; X n  là thành phần pháp dạng của XD n ; ,X Y  , n  . Khi đĩ độ cong pháp dạng R của M đƣợc xác định bởi cơng thức:  ,( , ) X Y Y X X YR X Y n n n n           , ,X Y  , n  Nhƣ chúng ta đã biết, (Xem  1 , trang 27), giả sử  1,....k mn n là cơ sở trực chuẩn của , ánh xạ pháp dạng jh  đƣợc xác định bởi ( ) ( ( )j X jh X n    và đạo hàm theo hƣớng X của jh  đƣợc cho bởi 1 ThS. Khoa KHTN, trường Đại học Hồng Đức 2 PGS. TS. Khoa KHTN, trường Đại học Vinh TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 21. 2014 6 ( )( ) ( ( )) ( )X j X j j Xh Y h Y h Y        Khi đĩ X jh  là một đồng cấu mơđun từ  . 2. CÁC KẾT QUẢ Định nghĩa 2.1. Với mỗi X , phép đạo hàm pháp dạng theo hướng X , ký hiệu X  và được xác định bởi ánh xạ X  :  Xn n  Ta ký hiệu K  . Các phép tốn trên K đƣợc cho bởi: i) ( )( ) ( ) ( ) ,X Y X Yn n n X Y          , n  ; ii) ( . )( ) .( ),X Xn n X        ,  ; iii) , ( ) ( ( )) ( ( ))X Y X Y Y Xn n n              , ,X Y  , n  . Mệnh đề 2.2. Giả sử ,X Y  ; ,n n ;  . Khi đĩ: i) ;X Y X Y       ii) ;X X    iii) ( ) ;X X Xn n n n       iv)  ( . ) . . .X Xn X n n        Chứng minh: i) Với mọi ,X Y  , n ta cĩ: ( )( ) ( ) ( ) ( )X Y X Y X Y X Y X Yn n n D n D n D n n                  . Suy ra X Y X Y       . ii) Với mọi X , n ,  , ta cĩ ( . )( ) .( ) .( ) ( . ) ( )X X X X X Xn n D n D n D n n                 Suy ra X X    . iii)Với mọi X ; ,n n , ta cĩ ( ) ( ( )) ( ) ( )X X X X X Xn n D n n D n D n n n              Do đĩ ( )X X Xn n n n       . iv)Với mọi X ; n ,  , ta cĩ    ( . ) ( ( )) ( . . ) . .X X X Xn D n X n D n X n n                TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 21. 2014 7 Vậy  ( . ) . . .X Xn X n n        Từ iii) và iv) của Mệnh đề 2.2 ta thấy rằng X  là một phép đạo hàm trên mơđun . Mệnh đề 2.3. Giả sử  1,....k mn n là cơ sở trực chuẩn của và X . Khi đĩ ma trận của X  là ma trận phản xứng. Chứng minh. Giả sử  jn , với 1,...,j k m  là cơ sở trực chuẩn của , và X , ta cĩ 2 21 0j jn X n     ( ). 0X j jD n n  ; ( jn là cơ sở trực chuẩn) (( ) ). 0 ( ). 0X j X j j X j jD n n n n n         ( ) .X j jn n    Suy ra 1 1.X j j kn A n    + ++ . ,m kj mA n (Ở đây dấu “ ” biểu thị sự khuyết số hạng). Nhƣ vậy, ma trận XA của X  đối với cơ sở  1,....k mn n cĩ dạng 12 1 21 2 1 2 0 ... 0 ... ... ... ... ... ... 0 m k m k m k m k A A A A A A A                 Mặt khác, ta cĩ  . 0, 1,..., ;j hn n j h k m       . 0 ( ). ( ). ; ( ). ( ). ; , 1,..., . j h X j h X h j X j h X h j jh hj X n n D n n D n n n n n n A A j h k m                      Suy ra 12 1 21 2 1 2 0 ... 0 ... ... ... ... ... ... 0 m k m k m k m k A A A A A A A                  Vậy ma trận của X  là ma trận phản xứng. Mệnh đề 2.4. Giả sử ,X Y  , in  , 1,...,i k m   . Khi đĩ TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 21. 2014 8 i) ( , , ). ( . ( )). , 1,...,i i X Y i iR X Y n n n n i k m           ii) K là một mơđun với phép tốn i), ii) và phép tốn iii) cĩ tính chất phản xứng, thỏa mãn hệ thức Jacơbi ( Các phép tốn i), ii) và iii) đƣợc xác định ở Định nghĩa 2.1). Chứng minh: i) Giả sử ,X Y  , in  , 1,...,i k m   ta cĩ  ,( , , ). ( . . ).i i X Y i Y X i i iX YR X Y n n n n n n            =  ,( . ( )). ( ).X Y i i i iX Yn n n n         (1) Mặt khác, ta lại cĩ: 2 1, 1,...,in i k m      2, 0,iX Y n     ,X Y   ,( ). 0i iX Y n n    (2) Từ (1) và (2), ta thu đƣợc ( , , ). ( . ( )). , 1,...,i i X Y i iR X Y n n n n i k m           . Ta thấy rằng với phép tốn i), ii) thì K là một mơđun trên và phép tốn iii) cĩ tính chất phản xứng. Bây giờ ta kiểm tra hệ thức Jacơbi của phép tốn iii). Thật vậy, với mọi , ,X Y Z  , ta cĩ , ,X Y Z X Y Z Y X Z Z X Y Z Y X                                  (3) , ,Y Z X Y Z X Z Y X X Y Z X Z Y                                  (4) , ,Z X Y Z X Y X Z Y Y Z X Y X Z                                  (5) Cộng (3), (4) và (5) vế theo vế ta đƣợc , , , , , , 0X Y Z Y Z X Z X Y                                         Chú ý rằng, trong trƣờng hợp là siêu mặt trong m và n là pháp tuyến đơn vị của thì ( , , ) 0, , ,R X Y n X Y Z   ( Vì 0X Yn n     ). Định nghĩa 2.5. Giả sử  là một đồng cấu mơđun từ  . Đạo hàm liên kết với  của  , ký hiệu d  và đƣợc xác định bởi  ( )( , ) ( ) ( ) ( , ), , ,X Yd X Y d Y d X X Y X Y Z            . Ví dụ 2.6. Mặt trong 3 đƣợc cho bởi tham số hĩa 2 3:r ( , ) ( , )u v r u v TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 21. 2014 9 Và pháp tuyến đơn vị của đƣợc xác định u v u v R R n R R    , với ( , ); ( , )u v u u R r u v R r u v       . Ta xét ánh xạ :  1 2 1 2. . ( ) ( ).u vX f R f R X f f n    Khi đĩ, ta cĩ  ( )( , ) ( , ) 0 u vu v R R u v d R R n n R R         Mệnh đề 2.7. Giả sử  là một đồng cấu mơđun từ  . Khi đĩ d  là một ánh xạ song tuyến tính, phản xứng từ   . Chứng minh: Ta chứng minh d  là một ánh xạ song tuyến tính với thành phần thứ nhất và chứng minh tƣơng tự cho thành phần thứ hai. Thật vậy, ta cĩ:  '( )( ', ) ( ) ( ') ( ', )X X Yd X X Y Y X X X X Y                '( ) ( ) ( ) ( ') ( , ) ( ', )X X Y YY X X X X Y X Y               ( )( , ) ( )( ', )d X Y d X Y     . Ta lại cĩ  ( )( , ) ( ) ( ) ( . , )fX Yd fX Y Y fX f X Y               . ( ) . ( ) ( ) . ( , ) . ( )X Yf Y Y f X f X f X Y Y f X              ( ( ) ( ) , )X Yf Y X X Y        .( )( , ).f d X Y Mệnh đề 2.8. Giả sử ,X Y  , jn  , 1,...,j k m   . Khi đĩ ( )( , )jd h X Y   = ( , , )jR X Y n  Chứng minh: Với mọi ,X Y  , jn  , 1,...,j k m   , ta cĩ  ( )( , ) ( ( )) ( ( )) ( , )j X j Y j jd h X Y h Y h X X Y            ,( ) ( )X Y j Y X j jX Yn n n          ( , , ), 1,..., .jR X Y n j k m     TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 21. 2014 10 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đồng Khắc Soạn và Nguyễn Hữu Quang, Đạo hàm các ánh xạ Weingarten, tạp chí Khoa học tự nhiên và cơng nghệ, Trƣờng Đại học Hồng Đức, N.8-6/2011, trang 24-28. [2] Đồng Khắc Soạn và Nguyễn Hữu Quang, Về độ cong của đa tạp Riman, Tạp chí Khoa học tự nhiên và cơng nghệ, Trƣờng Đại học Hồng Đức, N.13-12/2012, trang 14-18. [3] Joeng-Sik Kim, Mohit Kumar Dwivedi, and Mukut Mani Tripathi, Ricci curvature of integral submanifold of an s-space form, Bull.Korean Math. Soc. 2007, Vol. 44, No.3, pp 395-406. [4] A. Ya. Sultanov, Derivations of linear algebras and liner connections, Journal of Mathematical sciences, 2010, Vol. 169, No.3, pp 362-412. THE NORMAL CONNECTION OF SUBFACE IN n Dong Khac Doan, Nguyen Huu Quang ABSTRACT In this paper, we present the some properties of normal connection on the subface M in n and using conjugate derivative with normal connection for presenting normal curvature of subface M in n . Key words: Conjugate derivative, normal curvature and normal mapping.