Liên thông của môđun các đạo hàm - Nguyễn Viết Sơn

TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 21. 2014 11 LIÊN THÔNG CỦA MÔĐUN CÁC ĐẠO HÀM Nguyễn Viết Sơn1 TÓM TẮT Trong bài viết này, chúng tôi trình bày một số tính chất của liên thông tuyến tính, đưa ra một số công thức tính đạo hàm Lie của liên thông tuyến tính và một số tính chất của đạo hàm Affin theo một hướng. Từ khóa: Đạo hàm Lie, Liên thông tuyến tính, Đạo hàm của liên thông, Đạo hàm Affin. Trong bài viết này, ta luôn xem K là 1 vành giao hoán có đơn vị 1 0 , A là một đại số giao hoán có đơn vị trên trƣờng P và B là một đại số kết hợp và giao hoán trên A, chiều của đại số A là hữu hạn, F là tập các đạo hàm trên đại số B. 1. LIÊN THÔNG CỦA MÔĐUN CÁC ĐẠO HÀM Ta xét ánh xạ: : F F F    ( , ) , XX Y X Y Y  Thỏa mãn (1) . . ,f X g Y X YZ f Z g Z f g B       (2)      . . ,X X XfY gZ f Y g Z Xf Y Xg Z f g B         1.1. Định nghĩa 1, Ánh xạ  thỏa mãn (1) và (2) đƣợc gọi là một liên thông tuyến tính trên B 2, Với mỗi X F , định nghĩa: :X F F  ; XY Y đƣợc gọi là đạo hàm hiệp biến của đạo hàm Y theo hƣớng X 1.2. Định nghĩa: Các ánh xạ    : ; ( , ) , X , X YT F F F X Y T X Y Y X Y            ,: ; ( , , ) , , Z X Y Y X X YR F F F F X Y Z R X Y Z Z Z        tƣơng ứng đƣợc gọi là ten xơ xoắn và ten xơ cong của B Tƣ̀ định nghĩa ta có: 1,    , ,T X Y T Y X  2,    , , , ,R X Y Z R Y X Z  Chứng minh. 1 ThS. Khoa KHTN, trường Đại học Hồng Đức TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 21. 2014 12                           , , , , , , , , , , X Y Y X X Y Y X X Y Y X X Y Y X T X Y Y X X Y X Y Y X T Y X R X Y Z Z Z Z Z Z Z R Y X Z                         1.1. Mệnh đề: (xem [4]) Các ánh xạ T và R là B – tuyến tính theo từng biến .                             1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 , , , , , , . , , . . , . , . , . , fX gX Y X X Y Y X Y X Y f g B X X Y F T fX gX Y Y fX gX fX gX Y f Y g Y f X g X Y f X Y g X f X Y g X Y Yf X Yg X f Y X X Y g Y X X Y f T X Y g T X Y                                   Do T có tính chất phản xứng nên hiển nhiên là B – tuyến tính theo biến còn lại. 1 2, , , ,f g B X X Y Z F                      1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 11 2 1 2 , , , ( ) ( ) , , , , . . . . . . ( ). . . ( ) fX gX Y Y fX gX fX gX Y X Y X Y Y X X f X Y g X Y Y f X Y g X X Y X Y Y X Y X X X XX Y X Y R fX gX Y Z Z Z Z f Z g Z f Z g Z Z f Z g Z f Z g Z Y f Z Y g Z f Z g Z Y f Z Y g                                                               2 1 1 2 21 2, , 1 2 . . , , . , , X X Y Y X X Y Y XX Y X Y Z f Z Z Z g Z Z Z f R X Y Z g R X Y Z đpcm                Do R là phản xứng với hai biến X,Y Nên :      1 2 1 2, , . , , . , ,R X fY gY Z f R X Y Z g R X Y Z   Nhƣ vậy ta chỉ còn chƣ́ng minh:      1 2 1 2, , , , , ,R X Y fZ gZ fR X Y Z gR X Y Z   Thật vậy TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 21. 2014 13                                             1 2 1 2 1 2 1 2, 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2, , 1 2 1 2 1 2 1 2 1 , , . . . , . , . . . . . X Y Y X X Y X Y Y Y X X X Y X Y X Y X Y X X Y Y Y X R X Y fZ gZ fZ gZ fZ gZ fZ gZ f Z g Z Y f Z Y g Z f Z g Z X f Z X g Z f Z g Z X Y f Z X Y g Z f Z g Z Y f Z Y g Z X f Z X g Z X Y f Z X Y g Z f Z                                                                                        2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1, , 2 2 1 1 1 2 2 2 2, , 1 2 . . . . . . . . . . . . . , , , , Y X Y Y X X X Y X Y X Y Y X X Y Y X Y XX Y X Y g Z X f Z X g Z Yf Z Y g Z Y X f Z Y X g Z f Z g Z X Y f Z Y X f Z X Y g Z Y X g Z f Z Z Z g Z Z Z Z f R X Y Z gR X Y Z                                      Vậy ta đã chƣ́ng minh T và R là B- đa tuyến tính. 1.3. Định nghĩa: : * ; : *T F F F B R F F F F B       thỏa mãn:          , , , ; , , , , ,T X Y T X Y R X Y Z R X Y Z     T gọi là độ soắn của liên thông  R gọi là độ cong của liên thông  1.4. Định nghĩa: : F F F   ;  ,X YY X X Y   1.2. Mệnh đề:  là một liên thông trên B Chƣ́ng minh :             1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 , . . . , , fX gX Y Y Y Y fX gX fX gX Y f X g X Y f X Y g X f X Y g X Y                    1 21 1 2 2 , , XY Y Xf X X Y g X X Y f Y g Y                        1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 , , X fY gY X XY Y fY gY X X fX gX f X g X f X Y Xf Y X g Y f Y g Y Xf Y X g Y                   1.3. Mệnh đề : (xem [4]) 1)  ,X XY Y T X Y   2) X XY Y  TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 21. 2014 14 Chƣ́ng minh :       1) , , ,X Y X X Y XY X X Y Y Y X X Y Y T X Y          2)      , , ,X Y X XY X X Y Y y X X Y Y       1.5. Mệnh đề: Các tensor T và R của liên thông  thỏa mãn                  , , , , , , , ,X Y T X Y T X Y R X Y Z R X Y Z T Y Z T X Y T X T Y Z        Ở đây:         , , , ,X X X XT Y Z T Y Z T Y Z T Y Z      Và   , ,T X T Y Z là tổng            , , , , , , , ,T X T Y Z T X T Y Z T Y T Z X T Z T X Y    Chƣ́ng minh:                1) , , , , , , , X Y Y X X Y T X Y Y X X Y X X Y Y Y X X Y Y X X Y T X Y                                                                            , , , , 2) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , X Y Y X X Y X YY X X Y X Y Y Y X X X Y X Y Y X X YX Y Y X R X Y Z Z Z Z Z T Y Z Z T X Z Z T X Y Z Z T Y Z T X Z T Y Z Z T X Z T Y Z T X Z Z T X Y Z Z Z Z T Y Z T X Z T X T Y Z T X Z T Y Z T Y T X Z T Z X Y R X Y Z                                                     , , , , Y XT X Z T Y Z T X T Y Z   Giả sử  là đơn vị của A , a A . Ta xác định ánh xạ :  : ; a a X XXF F F Y a Y a Y         1.6. Mệnh đề: (xem [4]) a X Y là một liên thông. Chƣ́ng minh: 1 2 1 2 1 2 ( ) . ( ). a fX gX fX gXfX gXY a Y a Y       TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 21. 2014 15             1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 . X XX X X XX X a a X X a f Y g Y a f Y g Y f a Y a Y g a Y a Y f Y g Y                                1 2 1 2 1 2( ) a X XXfY gY a fY gY a fY gY                          1 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 . ,X X fX gY X X a f Y g Y X f Y X g Y a X X fY gY a f Y g Y X f Y X g Y                                                     1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 , , ( ) , , Y Y X Y X Y a f X g X f X Y g X Y X f Y X g Y f a Y a X X Y g a Y a X X Y aX f Y aX g Y a X fY X gY                                               1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 . . X XX X a a X X f a Y a Y g a Y a Y X f Y X g Y f Y g Y X f Y X g Y                    1.7. Mệnh đề:      , 2 , a T X Y a T X Y  Chứng minh:    , , a a a X YT X Y Y X X Y                                    , , , , , , , 2 , Y XX Y Y XX Y a Y a X a X a Y a a X Y a Y X X Y a X Y X Y aT X Y a T X Y aT X Y a T X Y a T X Y                                      1.8. Mệnh đề: ( ) ( , ) a X XY Y a T X Y    Chƣ́ng minh:       , a X XX X XY a Y a Y a Y a Y T X Y                      , ,X X Xa Y a Y a T X Y Y a T X Y            Cho : , 2 a   kí hiệu   0 0 ; 2 a X X X XXY Y Y Y Y        . Lúc này TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 21. 2014 16                     0 0 0 1 1 , , , 2 2 1 1 , , 2 2 1 1 , , 0 2 2 X Y X YX Y X YX Y T X Y Y X X Y Y Y X X X Y Y X X Y Y X X Y T X Y T X Y                      2. ĐẠO HÀM LIE CỦA LIÊN THÔNG TUYẾN TÍNH Cho  là một liên thông trên F và X là một đạo hàm 2.1. Định nghĩa: Ánh xạ : X L F F F            ,, ,X X Y Y X X YX Z L X Z L Z L Z Z     ( ,Y Z F  ) đƣợc gọi là đạo hàm Lie theo hƣớng X của liên thông  2.1. Mệnh đề: Đạo hàm X L  thỏa mãn 1, X L  là B – tuyến tính với mỗi biến 2, 1 2 1 2 1 2 , ; , aX bX X X L aL bL Y Z A X X F        Chƣ́ng minh                               1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2 , , , , , 1, , , ( ) ( ) , X X fY gY fY gY X X fY gY X Y Y Y X Y X f X Y g X Y X f Y X g Y Y Y Y X Y X Y YX Y X Y L fY gY Z L Z L Z Z L f Z g Z f L Z g L Z Z f X f Z g Z f L Z g L Z f Z g Z X f Z X g Z f X                                                                1 2 1 2 1 2 1 1 2 21 2 , , , , 1 2 , . Y Y Y X Y X X Y X Y X Y Y X X Y Y XX Y X Y X X Z g X Z f L Z g L Z f Z g Z f L Z L Z Z g L Z L Z Z f L Y Z gL Y Z                                                             2 1 2 1 2 1 2, 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2, , , , , . , . X X Y Y X X Y X Y Y Y X Y X Y X Y L Y fZ gZ L fZ gZ L fZ gZ fZ gZ L f Z g Z Y f Z Y g Z X fZ gZ f Z g Z Z X Y f Z X Y g Z                          TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 21. 2014 17                                                             1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2, , 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 , , , . . , . , . , , , , . . , , ( ) , , . Y Y Y X Y X Y Y Y Y Y Y Y Y Y X f Z g Z Y f Z Y g Z f X Z g X Z X f Z X g Z f Z g Z X Y f Z X Y g Z f X Z g X Z Y f X Z Y g X Z X f Z X g Z X Y f Z X Y g Z f X Z g X Z X f Z X g Z Y f X Z Y g X Z Y X f Z Y                                               2.X g Z                             1 2 1 1 2 2, , 1 2 1 2 1 2, , . . X Y X Y X Y X Y Y X Y X X Y X Y f Z g Z X Y f Z Y X f Z X Y g Z Y X g Z fL Z gL Z f L Z g L Z f Z g Z                                       1 2 1 2 2 2, , 1 2 . , , X Y Y X X Y Y XX Y X Y X X f L Z L Z Z g L Z L Z Z f L Y Z gL Y Z             Vậy X L  là B – tuyến tính theo tƣ̀ng biến                                                  1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 21 2 1 2 , 1 2 1 2 , , 1 2 1 2 , , , , 2, , , , , , , , , , aX bX aX bX Y Y aX bX aX bX Y Y Y a X Y b X Y Y Y Y Y X Y X Y X Y Y X X Y Y XX Y X Y X X L x y L Z L Z Z aX bX Z aX bX Z Z a X Z b X Z a X Z b X Z a Z b Z a L Z L Z Z b L Z L Z Z aL Y Z bL Y Z                                           1 2 1 2aX bX X X L aL bL        2.2. Mệnh đề:      1 2 2 11 2, X X X XX XL L L L L    Chứng minh.                                            1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 , , , , , , , , , , Y YX X X X X X X X Y X X Y X X Y Y X X X X X X Y X X Y X X Y Y X X X X X X Y L Y Z L Z L Z Z L L Z L L Z L L Z L L Z Z L L Z L L Z L L Z L L Z Z                             Mặt khác       1 2 2 1 , , X X X X L L Y Z L L Y Z    TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 21. 2014 18                   1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 , , , , , , X X X X X X X X X X X X L L Y Z L L Y Z L Y L Z L L Y Z L L Y Z L Y L Z                                                                         1 2 2 22 1 2 2 1 2 11 2 1 1 2 1 1 12 1 2 1 1 2 1 2 22 11 2 1 2 2 1 , , , , , , , , , ,, , X X Y Y X XX Y X Y X X Y X Y X XX Y X X Y X X X Y Y X XX Y X Y X Y X X Y X Y X X XX Y X YX X Y X X Y X X Y L L Z L Z Z L Z L Z Z L L Z L L Z L Z L L Z L Z Z L Z L Z Z L L Z L L Z L Z L L Z L L Z                                                               1 2 2 1 1 2 1 2 1 12 22 1 1 2 , ,, , Y X X Y X X X X Y X X Y X XX Y X YX X Y X X Y L L Z L L Z Z L Z L L Z L L Z L Z                  Lại có:      1 2 2 1 1 2, , , , , , 0X X Y X Y X Y X X                          2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 , , , , , , , , , , , , , , X X Y X X Y X X Y X Y X X X Y Y X X X X Y                                  2.3. Mệnh đề: Đạo hàm Lie của tensor T và R của hàm liên thông  thỏa mãn. 1,      , , ,X X XL T Y Z L Y Z L Z Y    2,            1 21 2 3 2 3 1 2 1 2 3 , , , , , , X Z X Z X X L R Z Z Z L Z Z L Z Z L T Z Z Z      Chứng minh:                                            , , , , 1, , , , , , , , , , , , , , , , X X X X X Y Z X Y Z X Y X X Z X Y Y X X Z Z XX Y X Z L T Y Z L T Y Z T L Y Z T Y L Z L Z Y Y Z Z L Y X Y Z L Z Y Y X Z L Z L Z Z L Y L Y Y X Y Z X Y Z Y X Z                                       Ta lại có: TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 21. 2014 19                   , , , , , , 0 , , , , , , 0 , , , X X X X Y Z Y Z X Z X Y X Y Z Y X Z X Y Z L T Y Z L Y Z L T Z Y                                                                            1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 12 2 1 1 2 1 12 1 2 3 1 2 2 1 1 3 1 3 1 3 2 1 1 2 3 3 3 3 1 2 3, 3 3 3 3 3, , 2, , , , , , , , , , , Z X X Z X Z Z X X Z X Z X Z Z Z X Z Z X X Z X Z ZX Z Z X Z Z Z X Z Z XX Z X Z VP L Z Z L Z Z L Z Z L Z Z L Z Z L Z Z L Z Z Z Z Z L Z L Z Z L Z Z L Z L Z Z L Z L Z Z                                                           2 1 2 1 2 21 1 2 1 3 3 3 3, 2 3 1 3 1 2 3 , , , , , X Z X Z Z Z X Z ZX Z X Z X Z X L Z Z L Z L Z Z L Z Z L Z Z L Z Z Z                                             1 2 2 1 2 21 2 1 1 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 3 3 3 3 3, , , , , : , , , , , , , , , , X X X X X X Z Z Z Z Z ZZ Z X Z X Z X Z Z VP L R Z Z Z L R Z Z Z R L Z Z Z R Z L Z Z R Z Z L Z L Z Z Z Z Z Z                                          1 12 2 1 2 1 2 2 1 1 2 3 3 3, , , , 3 3 3 1 2 3, , , , , , Z ZX Z X Z Z X Z Z Z Z Z XZ Z Z Z Z X Z X Z X Z L Z Z Z                                              1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 3 3 3, ,, , , , 3 3 3, , , , 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 , , , , , , , 0 , , , , , , 0 X Z Z Z ZZ X Z X Z Z X XZ Z Z Z X Z Z L Z Z X Z Z L Z L Z Z Z X Z X Z Z X Z Z Z X Z X Z Z Z Z X                                                1.1. Định lý:    , ,X XL Y Z L Z Y                                          , , , , , , , , , , , , , , , , , , 0 , Y Y X YX X X X Z ZX Z X Z ZX Z X X Z Z X X Z L Y Z L Z L Z Z L Y Y Z Y Y X Z X Y X Y Z L Y Y X Y X Y Z Y X Z Z X Y L Z Y L Y L Y Y                                          TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 21. 2014 20 1.1. Định nghĩa: Một đạo hàm X của đại số B (B là một đại số trên đại số A) đƣợc gọi là một đạo hàm Affin theo hƣớng đối với liên thông  nếu 0XL  . Từ định nghĩa ta có đƣợc nếu 1 2,X X là hai đạo hàm Affin thì 1 1 2 2a X a X cũng là một đạo hàm Affin. Thật vậy 1 1 2 2 1 21 2 0a X a X X XL a L a L    Ta lại có      1 2 2 11 2, X X X XX XL L L L L    nên 1 2,X X là hai đạo hàm Affin thì  1 2;X X cũng là một đạo hàm Affin. 1.3. Mệnh đề: Tập tất cả các đạo hàm Affin theo hƣớng đối với liên thông cùng với các phép cộng tự nhiên, phép nhân với một số trên A và tích trong  .,. là một A-đại số Lie. 1.4. Mệnh đề: X là một đạo hàm trên đại số B. Các mệnh đề sau là tƣơng đƣơng: 1. X là một đạo hàm affin theo hƣớng  . 2. X là một đạo hàm affin theo hƣớng  . 3. X là một đạo hàm affin theo hƣớng 0  và 0XL T  (trong đó T là tensor cong của liên thông ). Chứng minh: Từ  (1) 2 là hiển nhiên do ( , ) ( , )X XL Y Z L Z Y   Do đó X là một đạo hàm theo hƣớng  ( , ) 0 , X L Z Y Y Z B     ( , ) 0 , X L Y Z Y Z B     Từ  (1) 3 . Nếu 0XL  . Ta có:   0 0 0 0 ,( , ) ( ) ( )Y Y X YX X XL Y Z L Z L Z Z     =    ,, 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ( ) ( )) ( ) 2 2 2 2 2 2 Y X YX Y Y X X X Y L Z Z L Z L Z Z Z           = 1 1 ( , ) ( , ) 0 2 2 X XL Y Z L Y Z    và ( , ) ( , ) ( , ) 0X X XL T Y Z L Y Z L Z Y     Từ  (3) 1 , tức là ta đã có 0 0XL  và 0XL T  Ta lại có 0 1 1 ( ) ( ) 2 2 X X XX X XY Y Y Y Y Y        = 1 ( , ) 2 XY T X Y  TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 21. 2014 21 Vậy   0 0 0 0 ,0 ( , ) ( ) ( )Y Y X YX X XL Y Z L Z L Z Z         , 1 1 1 ( ) ( ( , )) ( ) ( , ) ( , , ) 2 2 2 X Y X Y X X X Y L Z L T X Y L Z T Y L Z Z T X Y Z      =   1 ( ) ( ( ( , )) ( , ) ( , , )) 2 X Y X XL Z L T X Y T Y L Z T X Y Z    = 1( ) ( ( , )) ( , ) 2 X Y X XL Z T Y Z L Y Z     TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Hữu Quang, Kiều Phƣơng Chi and Bùi Cao Vân (2012), The Lie derivative of currents on Lie group, Lobasevski journal of Mathematics; Vol33, No1, pp10-21. [2] G-M.Greuel, Introduction to Algebraic geometry, notes for a class taught at the University of Kaiserslautern, Mathematics International Lecture Notes, University of Kaiserslautern (1997-1998). [3] Katharina Haberman, Andreas Klein (2003), Derivative of Symplectic Spinor fields, metaplectic representation, and quantization. Rostock. Math. Kolloq. 57, 71-91. [4] A. Ya. Sultanov, Derivations of linear Algebras and linear connections, Journal of Mathematical Sciences (in Russian), Vol. 169, No. 3, 2010. [5] K. Yano, The theory of Lie derivatives and its applications, North-Holland Publishing Co. Amsterdam; P-Noordhooff Ltd, Gronin-gen; Interscience. Publishers Inc New York. THE LINEAR CONNECTION ON MODULE OF ALGEBRA DERIVATION Le Viet Sơn ABSTRACT In this article , we review the nature of the inter- linear , giving some formula of connected Lie derivative linear and some properties of the derivative in one direction affine interconnected . Key words: Lie derivative, the linear connection, Lie derivative of linear connection, Affine derivations.