Tài liệu Kiến trúc máy tính - Chương 10: Số học máy tính: + Chương 10
Số học máy tính
1
+
NỘI DUNG
10.1 Đơn vị Số học & Logic (ALU)
10.2 Biểu diễn số nguyên
Biểu diễn Dấu-độ lớn
Biểu diễn bù 2
Mở rộng phạm vi
Biểu diễn dấu chấm tĩnh
10.3 Số học số nguyên
phép đảo/ Cộng và trừ / Phép nhân / Phép chia
10.4 Biểu diễn dấu chấm động
10.5 Số học dấu chấm động
2
+
1. Đơn vị logic & số học (ALU)
Phần của máy tính thực hiện phép toán số học và lôgíc
trên dữ liệu
Tất cả các bộ phận khác trong hệ thống máy tính đưa dữ
liệu tới ALU để ALU xử lý rồi sau đó nhận lại kết quả
Sử dụng các linh kiện logic số đơn giản để lưu trữ các
chữ số nhị phân và thực hiện các phép toán logic Boolean
đơn giản
3
Đầu vào và đầu ra ALU
4
5
Mã hóa dữ liệu trong máy tính
Mọi dữ liệu đưa vào máy tính đều phải được mã hóa thành
số nhị phân
Mã hóa theo các chuẩn qui ước
Dữ liệu số:
„Số nguyên: mã hóa theo một số chuẩn
Số thực: mã hóa bằng số dấu chấm động
Dữ liệu ký tự: mã hóa theo bộ mã k...
61 trang |
Chia sẻ: putihuynh11 | Lượt xem: 1981 | Lượt tải: 2
Bạn đang xem trước 20 trang mẫu tài liệu Kiến trúc máy tính - Chương 10: Số học máy tính, để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
+ Chương 10
Số học máy tính
1
+
NỘI DUNG
10.1 Đơn vị Số học & Logic (ALU)
10.2 Biểu diễn số nguyên
Biểu diễn Dấu-độ lớn
Biểu diễn bù 2
Mở rộng phạm vi
Biểu diễn dấu chấm tĩnh
10.3 Số học số nguyên
phép đảo/ Cộng và trừ / Phép nhân / Phép chia
10.4 Biểu diễn dấu chấm động
10.5 Số học dấu chấm động
2
+
1. Đơn vị logic & số học (ALU)
Phần của máy tính thực hiện phép toán số học và lôgíc
trên dữ liệu
Tất cả các bộ phận khác trong hệ thống máy tính đưa dữ
liệu tới ALU để ALU xử lý rồi sau đó nhận lại kết quả
Sử dụng các linh kiện logic số đơn giản để lưu trữ các
chữ số nhị phân và thực hiện các phép toán logic Boolean
đơn giản
3
Đầu vào và đầu ra ALU
4
5
Mã hóa dữ liệu trong máy tính
Mọi dữ liệu đưa vào máy tính đều phải được mã hóa thành
số nhị phân
Mã hóa theo các chuẩn qui ước
Dữ liệu số:
„Số nguyên: mã hóa theo một số chuẩn
Số thực: mã hóa bằng số dấu chấm động
Dữ liệu ký tự: mã hóa theo bộ mã ký tự
6
Thứ tự lưu trữ byte trong bộ nhớ chính
Bộ nhớ chính thường tổ chức theo byte
Hai cách lưu trữ dữ liệu nhiều byte:
Little-endian:
Byte có ý nghĩa thấp được lưu trữ ở ngăn nhớ có địa
chỉ nhỏ, byte có ý nghĩa cao được lưu trữ ở ngăn nhớ
có địa chỉ lớn.
Nền tảng sử dụng: Intel
Big-endian:
Byte có ý nghĩa cao được lưu trữ ở ngăn nhớ có địa chỉ
nhỏ, byte có ý nghĩa thấp được lưu trữ ở ngăn nhớ có
địa chỉ lớn.
Nền tảng sử dụng: IBM zSeries, Motorola 680x0
7
Ví dụ lưu trữ dữ liệu 32-bit
+
2. Biểu diễn số nguyên
Số nguyên không dấu (Unsigned Integer)
Số nguyên có dấu (Signed Integer)
Trong hệ nhị phân, có thể biểu diễn các số bất kì bằng:
Các chữ số 0 và 1
Dấu âm (với số âm)
dấu chấm (với số có phần phân số)
Đối với mục đích lưu trữ và xử lý, sẽ không có lợi khi
dùng các ký hiệu đặc biệt cho dấu trừ và dấu chấm
Chỉ sử dụng các chữ số nhị phân (0,1) để biểu diễn số?
8
9
a. Biểu diễn số nguyên không dấu
Nguyên tắc tổng quát: Dùng n bit biểu diễn số nguyên
không dấu A:
Dải biểu diễn của A: từ 0 đến 2n –1
Với n = 8 bit: Biểu diễn được các giá trị từ 0 đến 255
0000 0000 = 0
0000 0001 = 1
0000 0010 = 2
...
1111 1111 = 255
b. Biểu diễn dấu-độ lớn
Quy ước về biểu diễn số nguyên âm và dương: dùng bit
quan trọng nhất (MSB) trong từ làm bit dấu
• bit dấu là 0 số dương
• bit dấu là 1 số âm
Ví dụ: + 18 = 00010010 - 18 = 10010010
Biểu diễn dấu-độ lớn: cách sử dụng bit dấu đơn giản nhất
Nhược điểm:
• Để thực hiện phép cộng và phép trừ, đòi hỏi phải xem
xét cả dấu và độ lớn của các số
• Có hai biểu diễn của số 0 (+0 và -0)
Biểu diễn dấu-độ lớn hiếm khi được sử dụng trong việc
xử lý phần số nguyên của ALU
10
11
c. Biểu diễn bù 2
Nguyên tắc tổng quát: Dùng n bit biểu diễn số nguyên có
dấu A:
Với A là số dương: bit an-1 = 0, các bit còn lại biểu diễn độ lớn
như số không dấu
Với A là số âm: được biểu diễn bằng số bù hai của số dương
tương ứng, bit an-1 = 1
Quy tắc tìm số bù hai
Số bù một của A = đảo giá trị các bit của A
(Số bù hai của A) = (Số bù một của A) + 1
Ví dụ: +3 = 0000 0011 -3 = 1111 1101
+ c. Biểu diễn bù 2
Sử dụng bit quan trọng nhất làm bit dấu
Có 1 biểu diễn cho số 0
Phạm vi biểu diễn: (– 2n-1) (2n-1 -1)
Dải biểu diễn cho số dương: 0 đến 2n-1 -1
Dải biểu diễn cho số âm: -1 đến - 2n-1
Thực hiện phép toán số học dễ dàng
Để tính A – B, lấy bù 2 của B rồi cộng với A
Khi cộng 2 số cùng dấu, nếu kết quả có dấu ngược lại sẽ gây
tràn (overflow)
được sử dụng trong việc xử lý phần số nguyên của ALU
12
Biểu diễn
số nguyên
4-Bit
13
+
d. Mở rộng phạm vi
Mở rộng phạm vi biểu diễn số nguyên bằng cách tăng độ
dài chuỗi bit
Mở rộng phạm vi trong biểu diễn dấu-độ lớn: di chuyển bit
dấu tới vị trí mới ngoài cùng bên trái và điền thêm các bit 0
Mở rộng phạm vi trong biểu diễn số âm bù 2: di chuyển bit
dấu tới vị trí ngoài cùng bên trái và điền vào các bit giống
bit dấu
Đối với số dương thì điền 0, và số âm thì điền số 1
Đây được gọi là phần mở rộng dấu
14
+
Phạm vi biểu diễn số co dấu bù 2: (– 2n-1) (2n-1 -1)
Bù 2 8 bit
+127 = 01111111 = 27 -1
-128 = 10000000 = -27
Bù 2 16 bit
+32767 = 011111111 11111111 = 215 - 1
-32768 = 100000000 00000000 = -215
Ví dụ Mở rộng phạm vi
Số dương được điền các bit 0
+18 = 00010010
+18 = 00000000 00010010
Số âm được điền các bit 1
-18 = 10010010
-18 = 11111111 10010010
15
+
3. Số học số nguyên
16
+
a. Phép đảo dấu
Phép đảo dấu = lấy bù 2:
Đảo các bit của số nguyên (cả bit dấu)
Kết quả coi như số nguyên nhị phân không dấu, cộng thêm 1
Đảo của đảo của một số là chính nó:
+18 = 00010010 (bù 2)
đảo bit = 11101101
+ 1
11101110 = -18
-18 = 11101110 (bù 2)
đảo bit = 00010001
+ 1
00010010 = +18
17
+
Phép đảo - Trường hợp đặc biệt
0 = 0000 0000 (bù 2)
Đảo bit 1111 1111
Cộng 1 +1
Kết quả 1 0000 0000
Bỏ qua bit tràn: - 0 = 0
-128 = 10000000 (bù 2)
Đảo bit 01111111
Cộng 1 +1
Kết quả 10000000
Vậy: -(-128) = -128 X
18
b. Phép cộng
19
Cộng
như số
nguyên
không
dấu
+
NGUYÊN TẮC TRÀN:
Nếu hai số cộng với nhau, mà
cả hai đều dương hoặc đều
âm, thì sẽ xảy ra tràn nếu kết
quả có dấu ngược lại.
Nguyên tắc
Tràn
20
b.
Phép
trừ
21
+
NGUYÊN TẮC TRỪ:
Để trừ một số (số bị trừ) từ
một số khác (số trừ), lấy bù 2
(đảo) của số trừ và cộng nó
với số bị trừ.
VD: a - b = a + (-b)
Nguyên tắc
Trừ
22
Mô tả hình học của số nguyên bù 2
endpoints are joined
23
Phần cứng thực hiện cộng và trừ
24
d. Phép nhân
Phức tạp
Tính tích cho từng chữ số - tích riêng phần
Quan tâm đến vị trí giá trị (dóng cột)
Cộng tổng các tích tích toàn phần
Ví dụ nhân số nguyên không dấu:
! Kết quả dài gấp đôi
25
Sơ đồ
luồng của
phép nhân
nhị phân
không dấu
26
+
Phần cứng thực
hiện nhân nhị
phân không dấu
+
Phép nhân bù 2 (nhân có dấu)
Nhân hai số nguyên 4 bit không dấu thu được kết quả 8 bit
Nhân 1 số nhị phân với 2n được thực hiện bằng cách dịch số đó sang trái n bit
28
+
So sánh
So sánh phép nhân số nguyên không dấu và số bù 2
29
Thuật
toán
Booth
M
Q
30
Ví dụ thuật toán Booth
31
Ví dụ thuật toán Booth
32
e. Phép chia
Phức tạp hơn phép nhân
Ví dụ: phép chia 2 số nguyên nhị phân không dấu
33
Thuật toán chia restoring bù 2
Input:
M – số chia dương
Q – số bị chia dương
Output:
Q – thương
A – dư
Begin
A 0
Lặp n lần
Dịch trái A, Q
A A – M
Bit dấu của A= 1
Q0 0 và A A + M
Else
Q0 1
End
+
Ví dụ chia Restoring bù 2 (7/3)
35
+
4. Dấu chấm động
Biểu diễn dấu chấm tĩnh có thể biểu diễn một dải số
nguyên dương và nguyên âm xung quanh gốc 0
Biểu diễn số thực dùng dấu chấm tĩnh:
1001.1010 = 23 + 20 +2-1 + 2-3 = 9.625
Hạn chế:
Không thể biểu diễn số rất lớn hoặc phân số rất nhỏ
Phần phân số trong thương của một phép chia hai số lớn có
thể bị mất
36
37
Biểu diễn dấu chấm động
Một số thực bất kỳ được biểu diễn kiểu dấu chấm động
như sau:
Trong đó:
S : phần định trị
B: cơ số
E : số mũ
– Số mũ tương ứng với vị trí dấu chấm
Chuẩn IEEE 754
Các quy ước quan trọng nhất về biểu diễn dấu chấm
động
Hỗ trợ khả năng di động chương trình từ bộ xử lý này
sang bộ xử lý khác và khuyến khích sự phát triển các
chương trình số học tinh vi hơn
Chuẩn được công nhận rộng rãi và được sử dụng trên
hầu hết các bộ xử lý hiện đại và bộ xử lý số học
IEEE 754-2008 bao trùm cả biểu diễn dấu chấm động
nhị phân và thập phân
38
Định dạng
IEEE 754
39
40
Biểu diễn bias
bias = (2n-1 - 1), với n là số bit biểu diễn
Dải biểu diễn: (0 – bias) (2n – 1 – bias)
Số A = Biểu diễn bias của A – bias
Ví dụ:
Định dạng dấu chấm động 32-bit
• Bit dấu d = 0 dương; d = 1 âm
• Cơ số B = 2
• Bias = 127 cho trường mũ 8 bit
• Số mũ E = e – 127
• 23 bit định trị m chứa phần lẻ của S (S = 1.m)
• Công thức xác định giá trị của số: X = (-1)d * 1.m * 2e-127
41
d e m
+
Phần phía sau của một từ
Một số dấu chấm động có thể biểu diễn dưới nhiều dạng
Số nhị phân chuẩn hoá
Bit có trọng số lớn nhất của phần định trị khác 0
Biểu diễn nhị phân chuẩn hoá:
Phần định trị
Các cách viết sau đây là tương đương, trong đó phần định trị
được biểu diễn dưới dạng nhị phân:
0.110 * 25
110 * 22
0.0110 * 26
42
43
Xác định giá trị của số thực được biểu diễn bằng 32-bit sau:
1100 0001 0101 0110 0000 0000 0000 0000
„ d = 1 số âm
„ e = 1000 00102 = 13010 E = 130 -127 = 3
m = 101 0110 0000 0000 0000 0000
Vậy
X = -1.101011 * 23 = -1101.011 = -13.375
Ví dụ 1
44
Biểu diễn số X= 83.75 về dạng số dấu phẩy động 32-bit
Giải:
„ X = 83.75(10) = 1010011.11(2) = 1.01001111 x 2
6
„ Ta có:
d = 0 vì đây là số dương
E = e – 127 = 6 e= 127 + 6 = 133(10) = 1000 0101(2)
Vậy:
X = 0100 0010 1010 0111 1000 0000 0000 0000
Ví dụ 2
+
Dải số biểu diễn được
45
+
Mật độ số dấu chấm động
47
Các số được biểu diễn trong dấu chấm động không cách
đều trên trục số.
Nhược điểm của dấu chấm động: biểu diễn nhiều số
không chính xác và phải làm tròn thành giá trị gần nhất có
thể biểu diễn được.
+
5. Số học dấu chấm động
Các trường hợp tràn:
Overflow mũ: số mũ dương vượt quá giá trị mũ lớn nhất
có thể biểu diễn. Coi là +∞ hoặc - ∞
Underflow mũ: số mũ âm nhỏ hơn giá trị mũ nhỏ nhất có
thể biểu diễn. Coi là 0
Underflow định trị: khi dóng phần định trị, các chữ số có
thể bị vượt ra phía bên phải phần định trị
Overflow định trị: cộng 2 phần định trị cùng dấu có thể
ảnh hưởng bit quan trọng nhất
48
Số và Phép tính dấu chấm động
49
Cộng và trừ dấu chấm động
Bốn giai đoạn cơ bản của thuật toán cộng và trừ:
1. Kiểm tra các số hạng có bằng 0 hay không
2. Căn chỉnh phần định trị (thay đổi số mũ).
3. Cộng hoặc trừ các định trị.
4. Chuẩn hóa kết quả.
50
Cộng và trừ dấu chấm động 51
Nhân và chia dấu chấm động
1. Kiểm tra 0
2. Cộng/trừ số mũ
3. Nhân/chia các định trị (xem dấu)
4. Chuẩn hóa
5. Làm tròn
6. Tất cả các kết quả được lưu trữ với độ dài gấp đôi
52
+
Phép nhân
dấu chấm
động
+
Phép chia
dấu chấm
động
+
Độ chính xác
Guard Bits
55
+
Độ chính xác
4 phương pháp theo chuẩn IEEE:
Làm tròn gần nhất
Làm tròn về phía +∞
Làm tròn về phía -∞
Làm tròn về phía 0
Làm tròn
56
+
Số học khoảng
phương pháp hiệu quả để kiểm soát
lỗi trong tính toán dấu chấm động
bằng cách tạo ra hai giá trị cho mỗi kết
quả
Hai giá trị đó tương ứng với điểm cuối
biên dưới và điểm cuối biên trên của
khoảng có chứa kết quả đúng
Độ rộng của khoảng cho biết độ chính
xác của kết quả
Nếu các điểm cuối không biểu diễn
được thì điểm cuối của khoảng sẽ
được làm tròn xuống và lên tương ứng
Nếu khoảng giữa giới hạn trên và dưới
đủ hẹp thì sẽ thu được một kết quả đủ
chính xác
Làm tròn về phía dương vô cùng và
âm vô cùng
Làm tròn về phía 0
Bỏ qua extra bit
Kỹ thuật đơn giản nhất
a consistent bias toward zero
in the operation
serious bias because it affects
every operation for which there
are nonzero extra bits
Rút gọn
57
+
Chuẩn IEEE cho số học dấu chấm động nhị phân
Được coi là trường hợp đặc biệt của số học thực, với các
giá trị vô cùng được đưa ra như sau:
- ∞ < (mọi số hữu hạn) < + ∞
Vô cùng
Ví dụ:
5 + (+ ∞ ) = + ∞ 5÷ (+ ∞ ) = +0
5 - (+ ∞ ) = - ∞ (+ ∞ ) + (+ ∞ ) = + ∞
5 + (- ∞ ) = - ∞ (- ∞ ) + (- ∞) = - ∞
5 - (- ∞ ) = + ∞ (- ∞ ) - (+ ∞ ) = - ∞
5 * (+ ∞ ) = + ∞ (+ ∞ ) - (- ∞ ) = + ∞
58
+ Tổng kết
ALU
Biểu diễn số nguyên
Biểu diễn dấu-độ lớn
Biểu diễn bù 2
Mở rộng phạm vi
Biểu diễn dấu chấm tĩnh
Biểu diễn dấu chấm động
Nguyên tắc
Chuẩn IEEE cho Biểu diễn
dấu chấm động nhị phân
Số học máy tính
phép đảo
Cộng và trừ
Nhân
Chia
Số học dấu chấm động
Cộng và trừ
Nhân và chia
Độ chính xác
Chuẩn IEEE cho số học dấu
chấm động nhị phân
Chương 10
Số học máy tính
59
+
Câu hỏi chương 10
1. Giải thích ngắn gọn về các biểu diễn: dấu-độ lớn, bù 2, biased.
2. Cách xác định một số là âm hay dương trong các biểu diễn: dấu-độ lớn, bù 2,
biased.
3. Nguyên tắc mở rộng phạm vi biểu diễn số cho biểu diễn bù 2 là gì?
4. Cách đảo một số nguyên trong biểu diễn bù 2?
5. Phân biệt biểu diễn bù 2 của một số và bù 2 của một số?
6. Nếu coi 2 số bù 2 như là số nguyên không dấu khi thực hiện cộng, kết quả hiểu
theo số bù 2 là chính xác. Điều này không đúng với phép nhân. Tại sao?
7. Bốn thành phần của một số trong biểu diễn dấu chấm động là gì?
8. Vì sao sử dụng biểu diễn bias cho số mũ của một số dấu chấm động?
9. Phân biệt tràn dương, tràn số mũ, và tràn định trị?
10. Các yếu tố cơ bản của phép cộng và trừ dấu chấm động là gì?
11. Lý do sử dụng guard bit?
12. Liệt kê bốn phương pháp làm tròn kết quả của phép toán dấu chấm động.
60
+
Bài tập (1)
1. Biểu diễn số thập phân sau sang biểu diễn dấu-độ lớn và bù 2
nhị phân sử dụng 16 bit:
a) +512 b) -29 c) -91
2. Biểu diễn các giá trị bù 2 sau ra dạng thập phân:
a) 1101011 b) 0101101
3. Giả sử dùng biểu diễn bù 2 8 bit. Thực hiện phép tính:
a) 6+13 b) -6+13 c) 6 – 13 d) -6 – 13
4. Thực hiện phép tính số học bù 2:
61
+
Bài tập (2)
5/ x = 0101 và y = 1010 theo biểu diễn bù 2.
Hãy tính tích p = x * y bằng thuật toán Booth.
6/ Tính 29*23 bằng thuật toán Booth, trong đó mỗi số biểu diễn bằng 6
bit.
7/ Biểu diễn các số sau theo định dạng IEEE 32-bit dấu chấm động:
a) -5 b) -6 c) -1.5 d) 384 e) 1/16 f) -1/32
8/ Các số sau biểu diễn theo định dạng IEEE 32-bit dấu chấm động. Xác
định giá trị hệ thập phân tương ứng?
a. 1 10000011 11000000000000000000000
b. 0 01111110 10100000000000000000000
c. 0 10000000 00000000000000000000000
62
Các file đính kèm theo tài liệu này:
- kien_truc_may_tinh_ch10_so_hoc_may_tinh_5334_1993036.pdf