Kĩ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức

Trường THPT chuyên Quang Trung GV: Nguyễn Việt Hải Chuyên đề BĐT cauchy 1 KĨ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM (CAUCHY)  Kỹ thuật chọn điểm rơi hay cịn được gọi kỹ thuật điều chỉnh và lựa chọn tham số. Đối với một số BĐT đồng dạng khơng đối xứng thì dấu BĐT trong BĐT thường xảy ra khi giá trị của các biến tướng ứng khơng bằng nhau. Vì vậy, cần lựa chọn kỹ thuật hợp lý để giải các bài tốn BĐT (hay cực trị) dạng khơng đối xứng là rất cần thiết. Một trong những kỹ thuật cơ bản nhất chính là xây dựng thuật tốn sắp thứ tự gần đều. (kỹ thuật điểm rơi). Kỹ thuật chủ yếu ở đây thường là các giá trị trung gian được xác định theo cách chọn đặc biệt để tất cả các dấu đẳng thức đồng thời xảy ra. Tham số phụ đưa vào một cách hợp lý để phương trình xác định chúng cĩ nghiệm.  Một số bất đẳng thức cơ bản  Bất đẳng thức Cauchy Cho n số thực không âm 1 2 , ,..., ( 2)na a a n ta luôn có 1 2 1 2 ... n n n a a a a a a n  . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1 2 na a a .  Một vài hệ quả quan trọng: 2 1 2 1 2 1 1 1 ( ) với 0, 1,n i n a a a n a i n a a a   2 1 2 1 2 1 1 1 với 0, 1,i n n n a i n a a a a a a   Cho 2n số dương ( , 2n Z n ): 1 2 1 2 , ,..., , , ,...,n na a a b b b ta có: 1 1 2 2 1 2 1 2 ( )( )...( ) ... ...n n nn n n na b a b a b a a a b b b Bài tốn mở đầu: VD1. Cho . Ta cĩ . Khi đĩ ta cĩ hệ quả với thì Rõ ràng với bài tốn trên là kết quả của BĐT Cauchy. Nếu thay điều kiện bởi hay hay … thì lời giải bài tốn như nào?? Bài 1: Cho 3a . Tìm Min của a aS 1 Trường THPT chuyên Quang Trung GV: Nguyễn Việt Hải Chuyên đề BĐT cauchy 2 Bình luận và lời giải : +Sai lầm : +Nguyên nhân : điều này mâu thuẫn với giả thiết 3a +Xác định điểm rơi : Ta thấy rằng khi a tăng thì S cũng càng lớn nên dẫn đến dự đốn khi a=3 thì S nhận giá trị nhỏ nhất . Và 3 3 10 min aS . Do BĐT Cauchy xãy ra dấu đẳng thức tại điều kiện các số tham gia phải bằng nhau nên ta đưa tham số sao cho tại điểm rơi a = 3 thì cặp số a và 1 phải bằng nhau. Với a=3 cho cặp số +Lời giải đúng : Đẳng thức xãy ra 3a Bài 2: Cho 2a .Tìm Min của 2 1 a aS +Xác định điểm rơi : a=2 cho cặp số 2min2 1 .2 1 S a a a aS 1 1 2min a aS 9 3 13 3 11 3 a a 3 10 3 10 9 3.81 . 9 2 9 81 9 1 MinS a aa a a a aS Trường THPT chuyên Quang Trung GV: Nguyễn Việt Hải Chuyên đề BĐT cauchy 3 +Sai lầm : Với a=2 thì 4 9 min S +Nguyên nhân : Lời giải trên mắc sai lầm ở việc đánh giá mẫu số : “ Nếu 2a thì 4 2 8 2 a là đánh giá sai “ Ta phải làm sao để khi sử dụng BĐT Cauchy sẽ khử hết biến số a ở cả mẫu số và tử số +Lời giải đúng : Đẳng thức xãy ra 2a Bài 3: Cho 1 0, ba ba .Tìm min của ab abS 1 +Sai lầm : 8 4 12 4 11 2 2a a 4 9 8 2.7 2.8 2 8 7 8 2 8 71 . 8 2 8 71 8 1 222 a a a a aa a a a aS 4 9 Smin 4 9 8 2.61 . 8 . 8 3 8 61 88 1 3 222 a aaa a aa a aS Trường THPT chuyên Quang Trung GV: Nguyễn Việt Hải Chuyên đề BĐT cauchy 4 +Nguyên nhân : (vơ lí ) +Lời giải đúng : Đặt điều này dẫn đến một bài tốn mới Cho 4t .Tìm min của t tS 1 Với Ta cĩ : Với 4t hay 2 1 ba thì 4 17 min S Lời giải bài 3: Do 2Smin2 1 ab abS 2 1 1 2 1 2 1 1 2min ba ab ab abS 4 2 111 2 baab t ab t 16 4 14 4 11 4 4 t t t 4 17 16 4.151 . 16 2 16 151 16 1 t tt t t t tS Trường THPT chuyên Quang Trung GV: Nguyễn Việt Hải Chuyên đề BĐT cauchy 5 nên Đẳng thức xãy ra 2 1 ba Bài 4: Cho a,b,c>0 thoả mãn 2 3 cba .Tìm min +Sai lầm : +Nguyên nhân : trái với giả thiết . +Xác định điểm rơi : 2 1 4 bat 4 17 min 4 17 2 16 15 16 1 .2 16 15 16 11 2 S baab ab abab ab ab abS 2 2 2 2 2 2 111 a c c b b aS 23min238.3 1 .2 1 .2 1 .23 1 . 1 . 1 3 66 2 2 2 2 2 23 2 2 2 2 2 2 S a c c b b a a c c b b aS 2 3 31 111 23min cba cba cbaS Trường THPT chuyên Quang Trung GV: Nguyễn Việt Hải Chuyên đề BĐT cauchy 6 +Lời giải đúng : Với 2 1 cba thì 2 173 min S . Bài 5: Cho a,b,c>0 và 2032 cba .Tìm min của 16 4 4 1 4111 4 1 2 1 222 222 cba cba cba 2 173 3 222 2 173 )2.2.2(2 173 16 1 .173 161616 17 16 .17 16 .17 16 .17 16 1 ... 16 1 16 1 ... 16 1 6 1 ... 16 1 17 1517 5 17 5558 17 168 17 168 17 168 17 3216 2 17 3216 2 17 3216 2 16 22 2 16 22 2 16 22 2 cbacbacba a c c b b a b a b a b a aa c cc b bb aS        cba cbaS 4 2 93 Trường THPT chuyên Quang Trung GV: Nguyễn Việt Hải Chuyên đề BĐT cauchy 7 Lời giải : Ta dự đốn được S=1 tại điểm rơi a=2 , b=3 , c=4 .Sử dụng BĐT Cauchy ta cĩ : (1) Mà (2) Cộng (1) và (2) vế theo vế được Đẳng thức xãy ra 4,3,2 cba * Bài tập tương tự: Bài 6: Cho Chứng minh rằng: Bài 7: Cho a,b,c>0 và a=max{a,b,c} . Tìm min của 8 4 2 93 424 3 2 16 4 1 3 9 2 1 3 4 4 3 8 16 .2 16 6 9 .2 9 4 4 .2 4 cba cba c c b b a a c c c c b b b b a a a a 5 4 3 24 2032 cba cba 13min13 SS 8;12 0,, bcab cba 2 1218111 2)( abccabcab cbaS 3 1312 a c c b b a S Trường THPT chuyên Quang Trung GV: Nguyễn Việt Hải Chuyên đề BĐT cauchy 8 Bài 8: Cho tam giác ABC .Tìm min của Bài 9: Cho tam giác ABC nhọn .Tìm min của Bài 10. Cho , , 0 1 1 1 4 x y z x y z . Tìm GTLN của 1 1 1 2 2 2 P x y z x y z x y z . Lời giải Sai lầm 1: Ta có 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 1 1 1 10 9 2 9 2 9 2 18 9 P x y z x y z x y z x y z 10 9 MaxP Sai lầm 2: 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 3 3 2 3 3 2 3 3 2 93 2 3 .2 3 2 P x y z x y z x y zxyz x yz xy z Nguyên nhân sai lầm: Cả hai lời giải trên đều đã biết hướng “đích” song chưa biết chọn điểm rơi. 2 2 10 ( )2 9 1 1 1 4 x y z y x z MaxP vnz x y x y z , tức là không tồn tại 10 ( , , ) : 9 x y z D P Lời giải đúng: Từ hai lời giải trên với dự đoán MaxP đạt được tại 4 3 x y z nên tách các số 2x x x ra cho dấu bằng xẩy ra. CBA CBAT sin 1 sin 1 sin 1 sinsinsin A C C B B AT 2 2 2 2 2 2 cos 1 sin cos 1 sin cos 1 sin Trường THPT chuyên Quang Trung GV: Nguyễn Việt Hải Chuyên đề BĐT cauchy 9 Cách 1: Ta có 1 1 1 1 1 1 1 2 16x y z x x y z x x y z , tương tự và ta có: 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 16 P x y z x y z x y z , vậy 1MaxP khi 4 3 x y z . Cách 2: Ta có 4 24 1 1 2 4 . . . 2 4 x y z x x y z x x y z x y z x yz , mặt khác: 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 . . . 4 2 16x x y z x x y z x y z x y z , tương tự ta có: 1 1 1 1 .4 1 16 P x y z . Dấu “=” xảy ra khi 1 4 x y z , suy ra: 1MaxP khi 1 4 x y z . Ta cĩ thể thể mở rộng bài tốn 10. Thành bài tốn tổng quát sau. Cho , , 0 1 1 1 4 x y z x y z . Tìm GTLN của 1 1 1 P x y z x y z x y z . Với , , N