Không gian vector - Nguyễn Phúc Sơn

Không gian Euclid Rn Tổ hợp tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ Chương 2: Không gian vector Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Trường Đại học Kinh tế - Luật Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh Ngày 29 tháng 9 năm 2014 Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 2: Không gian vector Không gian Euclid Rn Tổ hợp tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ Table of Contents 1 Không gian Euclid Rn 2 Tổ hợp tuyến tính 3 Cơ sở và số chiều 4 Tọa độ Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 2: Không gian vector Không gian Euclid Rn Tổ hợp tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ Không gian Rn Ví dụ quen thuộc : R2 và R3. Thời của Euclid: biểu diễn hình học. Thời sau Descertes: biểu diễn đại số Từ biểu diễn đại số, ta có thể mở rộng lên không gian Rn, n > 3 Định nghĩa Không gian Rn là tập hợp tất cả các bộ có thứ tự u = (a1, . . . , an) với ai là số thực, với mọi i . Lưu ý là để thuận tiện cho việc tính toán thì vector u cũng có thể được viết dưới dạng cột u =  a1 a2 ... an  trong đó, ai được gọi là các thành phần của vector u và n là số chiều. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 2: Không gian vector Không gian Euclid Rn Tổ hợp tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ Không gian Rn Ví dụ quen thuộc : R2 và R3. Thời của Euclid: biểu diễn hình học. Thời sau Descertes: biểu diễn đại số Từ biểu diễn đại số, ta có thể mở rộng lên không gian Rn, n > 3 Định nghĩa Không gian Rn là tập hợp tất cả các bộ có thứ tự u = (a1, . . . , an) với ai là số thực, với mọi i . Lưu ý là để thuận tiện cho việc tính toán thì vector u cũng có thể được viết dưới dạng cột u =  a1 a2 ... an  trong đó, ai được gọi là các thành phần của vector u và n là số chiều. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 2: Không gian vector Không gian Euclid Rn Tổ hợp tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ Không gian Rn Ví dụ quen thuộc : R2 và R3. Thời của Euclid: biểu diễn hình học. Thời sau Descertes: biểu diễn đại số Từ biểu diễn đại số, ta có thể mở rộng lên không gian Rn, n > 3 Định nghĩa Không gian Rn là tập hợp tất cả các bộ có thứ tự u = (a1, . . . , an) với ai là số thực, với mọi i . Lưu ý là để thuận tiện cho việc tính toán thì vector u cũng có thể được viết dưới dạng cột u =  a1 a2 ... an  trong đó, ai được gọi là các thành phần của vector u và n là số chiều. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 2: Không gian vector Không gian Euclid Rn Tổ hợp tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ Không gian Rn Ví dụ quen thuộc : R2 và R3. Thời của Euclid: biểu diễn hình học. Thời sau Descertes: biểu diễn đại số Từ biểu diễn đại số, ta có thể mở rộng lên không gian Rn, n > 3 Định nghĩa Không gian Rn là tập hợp tất cả các bộ có thứ tự u = (a1, . . . , an) với ai là số thực, với mọi i . Lưu ý là để thuận tiện cho việc tính toán thì vector u cũng có thể được viết dưới dạng cột u =  a1 a2 ... an  trong đó, ai được gọi là các thành phần của vector u và n là số chiều. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 2: Không gian vector Không gian Euclid Rn Tổ hợp tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ Định nghĩa (tt) Vector 0: 0 = (0, . . . , 0). Vector đối của u: −u = (a1, . . . , an) Phép cộng và phép nhân vô hướng tương tự như trong R3. Các tính chất cơ bản như: kết hợp, giao hoán, etc. hoàn toàn tương tự R3 Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 2: Không gian vector Không gian Euclid Rn Tổ hợp tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ Định nghĩa (tt) Vector 0: 0 = (0, . . . , 0). Vector đối của u: −u = (a1, . . . , an) Phép cộng và phép nhân vô hướng tương tự như trong R3. Các tính chất cơ bản như: kết hợp, giao hoán, etc. hoàn toàn tương tự R3 Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 2: Không gian vector Không gian Euclid Rn Tổ hợp tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ Định nghĩa (tt) Vector 0: 0 = (0, . . . , 0). Vector đối của u: −u = (a1, . . . , an) Phép cộng và phép nhân vô hướng tương tự như trong R3. Các tính chất cơ bản như: kết hợp, giao hoán, etc. hoàn toàn tương tự R3 Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 2: Không gian vector Không gian Euclid Rn Tổ hợp tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ Định nghĩa (tt) Vector 0: 0 = (0, . . . , 0). Vector đối của u: −u = (a1, . . . , an) Phép cộng và phép nhân vô hướng tương tự như trong R3. Các tính chất cơ bản như: kết hợp, giao hoán, etc. hoàn toàn tương tự R3 Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 2: Không gian vector Không gian Euclid Rn Tổ hợp tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ Table of Contents 1 Không gian Euclid Rn 2 Tổ hợp tuyến tính 3 Cơ sở và số chiều 4 Tọa độ Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 2: Không gian vector Không gian Euclid Rn Tổ hợp tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ Định nghĩa Cho u, u1,...,un là các vector trong Rn. u được gọi là một tổ hợp tuyến tính của các vector u1,...,un nếu tồn tại các số thực α1,...,αn sao cho u = α1u1 + · · ·+ αnun Cách tìm tổ hợp tt Giả sử  u = (b1, . . . , bn) u1 = (a11, . . . , a1n) ... um = (am1, . . . , amn) Giải hệ sau (uT1 , . . . , u T m | uT ) Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 2: Không gian vector Không gian Euclid Rn Tổ hợp tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ Định nghĩa Cho u, u1,...,un là các vector trong Rn. u được gọi là một tổ hợp tuyến tính của các vector u1,...,un nếu tồn tại các số thực α1,...,αn sao cho u = α1u1 + · · ·+ αnun Cách tìm tổ hợp tt Giả sử  u = (b1, . . . , bn) u1 = (a11, . . . , a1n) ... um = (am1, . . . , amn) Giải hệ sau (uT1 , . . . , u T m | uT ) Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 2: Không gian vector Không gian Euclid Rn Tổ hợp tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ Định nghĩa Cho u, u1,...,un là các vector trong Rn. u được gọi là một tổ hợp tuyến tính của các vector u1,...,un nếu tồn tại các số thực α1,...,αn sao cho u = α1u1 + · · ·+ αnun Cách tìm tổ hợp tt Giả sử  u = (b1, . . . , bn) u1 = (a11, . . . , a1n) ... um = (am1, . . . , amn) Giải hệ sau (uT1 , . . . , u T m | uT ) Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 2: Không gian vector Không gian Euclid Rn Tổ hợp tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ Cách tìm (tt) Viết dưới dạng ma trận: a11 a21 . . . am1 b1 a12 a22 . . . am2 b2 ... ... ... ... ... a1n a2n . . . amn bn  Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 2: Không gian vector Không gian Euclid Rn Tổ hợp tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ Sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính Định nghĩa Họ các vectors u1, . . . , um được gọi là họ độc lập tuyến tính nếu từ đẳng thức α1u1 + · · ·+ αmum = 0 ta suy ra được α1 = · · · = αm = 0 nghĩa là phương trình x1u1 + · · ·+ xmum = 0 có nghiệm duy nhất α1 = · · · = αm = 0 Họ các vector không độc lập tuyến tính được gọi là phụ thuộc tuyến tính. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 2: Không gian vector Không gian Euclid Rn Tổ hợp tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ Sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính Định nghĩa Họ các vectors u1, . . . , um được gọi là họ độc lập tuyến tính nếu từ đẳng thức α1u1 + · · ·+ αmum = 0 ta suy ra được α1 = · · · = αm = 0 nghĩa là phương trình x1u1 + · · ·+ xmum = 0 có nghiệm duy nhất α1 = · · · = αm = 0 Họ các vector không độc lập tuyến tính được gọi là phụ thuộc tuyến tính. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 2: Không gian vector Không gian Euclid Rn Tổ hợp tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ Sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính Định nghĩa Họ các vectors u1, . . . , um được gọi là họ độc lập tuyến tính nếu từ đẳng thức α1u1 + · · ·+ αmum = 0 ta suy ra được α1 = · · · = αm = 0 nghĩa là phương trình x1u1 + · · ·+ xmum = 0 có nghiệm duy nhất α1 = · · · = αm = 0 Họ các vector không độc lập tuyến tính được gọi là phụ thuộc tuyến tính. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 2: Không gian vector Không gian Euclid Rn Tổ hợp tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ Cách xác định độc lập/phụ thuộc Đặt ma trận A = u1... um  Dùng các phép biến đổi sơ cấp dòng tính r(A). Nếu r(A) = m thì độc lập tuyến tính Nếu r(A) < m thì phụ thuộc tuyến tính Trường hợp đặc biệt: nếu A vuông thì ta có thể tính det(A) thay cho r(A). Khi đó, Nếu det(A) 6= 0 thì độc lập tuyến tính Nếu det(A) = 0 thì phụ thuộc tuyến tính Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 2: Không gian vector Không gian Euclid Rn Tổ hợp tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ Cách xác định độc lập/phụ thuộc Đặt ma trận A = u1... um  Dùng các phép biến đổi sơ cấp dòng tính r(A). Nếu r(A) = m thì độc lập tuyến tính Nếu r(A) < m thì phụ thuộc tuyến tính Trường hợp đặc biệt: nếu A vuông thì ta có thể tính det(A) thay cho r(A). Khi đó, Nếu det(A) 6= 0 thì độc lập tuyến tính Nếu det(A) = 0 thì phụ thuộc tuyến tính Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 2: Không gian vector Không gian Euclid Rn Tổ hợp tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ Cách xác định độc lập/phụ thuộc Đặt ma trận A = u1... um  Dùng các phép biến đổi sơ cấp dòng tính r(A). Nếu r(A) = m thì độc lập tuyến tính Nếu r(A) < m thì phụ thuộc tuyến tính Trường hợp đặc biệt: nếu A vuông thì ta có thể tính det(A) thay cho r(A). Khi đó, Nếu det(A) 6= 0 thì độc lập tuyến tính Nếu det(A) = 0 thì phụ thuộc tuyến tính Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 2: Không gian vector Không gian Euclid Rn Tổ hợp tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ Cách xác định độc lập/phụ thuộc Đặt ma trận A = u1... um  Dùng các phép biến đổi sơ cấp dòng tính r(A). Nếu r(A) = m thì độc lập tuyến tính Nếu r(A) < m thì phụ thuộc tuyến tính Trường hợp đặc biệt: nếu A vuông thì ta có thể tính det(A) thay cho r(A). Khi đó, Nếu det(A) 6= 0 thì độc lập tuyến tính Nếu det(A) = 0 thì phụ thuộc tuyến tính Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 2: Không gian vector Không gian Euclid Rn Tổ hợp tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ Cách xác định độc lập/phụ thuộc Đặt ma trận A = u1... um  Dùng các phép biến đổi sơ cấp dòng tính r(A). Nếu r(A) = m thì độc lập tuyến tính Nếu r(A) < m thì phụ thuộc tuyến tính Trường hợp đặc biệt: nếu A vuông thì ta có thể tính det(A) thay cho r(A). Khi đó, Nếu det(A) 6= 0 thì độc lập tuyến tính Nếu det(A) = 0 thì phụ thuộc tuyến tính Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 2: Không gian vector Không gian Euclid Rn Tổ hợp tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ Cách xác định độc lập/phụ thuộc Đặt ma trận A = u1... um  Dùng các phép biến đổi sơ cấp dòng tính r(A). Nếu r(A) = m thì độc lập tuyến tính Nếu r(A) < m thì phụ thuộc tuyến tính Trường hợp đặc biệt: nếu A vuông thì ta có thể tính det(A) thay cho r(A). Khi đó, Nếu det(A) 6= 0 thì độc lập tuyến tính Nếu det(A) = 0 thì phụ thuộc tuyến tính Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 2: Không gian vector Không gian Euclid Rn Tổ hợp tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ Cách xác định độc lập/phụ thuộc Đặt ma trận A = u1... um  Dùng các phép biến đổi sơ cấp dòng tính r(A). Nếu r(A) = m thì độc lập tuyến tính Nếu r(A) < m thì phụ thuộc tuyến tính Trường hợp đặc biệt: nếu A vuông thì ta có thể tính det(A) thay cho r(A). Khi đó, Nếu det(A) 6= 0 thì độc lập tuyến tính Nếu det(A) = 0 thì phụ thuộc tuyến tính Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 2: Không gian vector Không gian Euclid Rn Tổ hợp tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ Table of Contents 1 Không gian Euclid Rn 2 Tổ hợp tuyến tính 3 Cơ sở và số chiều 4 Tọa độ Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 2: Không gian vector Không gian Euclid Rn Tổ hợp tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ Cơ sở Định nghĩa Tập hợp B trong Rn được gọi là một cơ sở nếu B độc lập tuyến tính và bất kỳ vector v ∈ Rn đều là tổ hợp tuyến tính của các vector trong B. Ở đây thứ tự của các vectors trong B là quan trọng. Tính chất Mọi cơ sở của Rn đều có đúng n vectors. Nếu B độc lập tuyến tính và có đúng n vectors thì B là cơ sở của Rn. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 2: Không gian vector Không gian Euclid Rn Tổ hợp tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ Cơ sở Định nghĩa Tập hợp B trong Rn được gọi là một cơ sở nếu B độc lập tuyến tính và bất kỳ vector v ∈ Rn đều là tổ hợp tuyến tính của các vector trong B. Ở đây thứ tự của các vectors trong B là quan trọng. Tính chất Mọi cơ sở của Rn đều có đúng n vectors. Nếu B độc lập tuyến tính và có đúng n vectors thì B là cơ sở của Rn. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 2: Không gian vector Không gian Euclid Rn Tổ hợp tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ Cơ sở Định nghĩa Tập hợp B trong Rn được gọi là một cơ sở nếu B độc lập tuyến tính và bất kỳ vector v ∈ Rn đều là tổ hợp tuyến tính của các vector trong B. Ở đây thứ tự của các vectors trong B là quan trọng. Tính chất Mọi cơ sở của Rn đều có đúng n vectors. Nếu B độc lập tuyến tính và có đúng n vectors thì B là cơ sở của Rn. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 2: Không gian vector Không gian Euclid Rn Tổ hợp tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ Số chiều Định nghĩa Số vector trong 1 cơ sở của không gian vector được gọi là số chiều của không gian đó. Ký hiệu dimRn = n. Nhận xét Trong Rn bất kỳ tập nào có nhiều hơn n vectors đều phụ thuộc tuyến tính. Lưu ý Tập hợp tất cả các nghiệm của hệ thuần nhất tạo thành 1 không gian vector có số chiều đúng bằng bậc tự do của nghiệm. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 2: Không gian vector Không gian Euclid Rn Tổ hợp tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ Số chiều Định nghĩa Số vector trong 1 cơ sở của không gian vector được gọi là số chiều của không gian đó. Ký hiệu dimRn = n. Nhận xét Trong Rn bất kỳ tập nào có nhiều hơn n vectors đều phụ thuộc tuyến tính. Lưu ý Tập hợp tất cả các nghiệm của hệ thuần nhất tạo thành 1 không gian vector có số chiều đúng bằng bậc tự do của nghiệm. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 2: Không gian vector Không gian Euclid Rn Tổ hợp tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ Số chiều Định nghĩa Số vector trong 1 cơ sở của không gian vector được gọi là số chiều của không gian đó. Ký hiệu dimRn = n. Nhận xét Trong Rn bất kỳ tập nào có nhiều hơn n vectors đều phụ thuộc tuyến tính. Lưu ý Tập hợp tất cả các nghiệm của hệ thuần nhất tạo thành 1 không gian vector có số chiều đúng bằng bậc tự do của nghiệm. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 2: Không gian vector Không gian Euclid Rn Tổ hợp tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ Table of Contents 1 Không gian Euclid Rn 2 Tổ hợp tuyến tính 3 Cơ sở và số chiều 4 Tọa độ Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 2: Không gian vector Không gian Euclid Rn Tổ hợp tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ Định nghĩa Mọi vector v ∈ Rn đều được biểu diễn duy nhất dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vector trong B v = α1u1 + · · ·+ αnun Khi đó, bộ thứ tự [v ]B = (α1, . . . , αn) được gọi là tọa độ của v trong cơ sở B. Tọa độ cũng có thể được viết dưới dạng cột [v ]TB = α1... αn  Cách tìm: Giải hệ phương trình. Ở đây ma trận hệ số vuông nên có thể dùng quy tắc Cramer. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 2: Không gian vector Không gian Euclid Rn Tổ hợp tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ Định nghĩa Mọi vector v ∈ Rn đều được biểu diễn duy nhất dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vector trong B v = α1u1 + · · ·+ αnun Khi đó, bộ thứ tự [v ]B = (α1, . . . , αn) được gọi là tọa độ của v trong cơ sở B.Tọa độ cũng có thể được viết dưới dạng cột [v ]TB = α1... αn  Cách tìm: Giải hệ phương trình. Ở đây ma trận hệ số vuông nên có thể dùng quy tắc Cramer. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 2: Không gian vector Không gian Euclid Rn Tổ hợp tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ Định nghĩa Mọi vector v ∈ Rn đều được biểu diễn duy nhất dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vector trong B v = α1u1 + · · ·+ αnun Khi đó, bộ thứ tự [v ]B = (α1, . . . , αn) được gọi là tọa độ của v trong cơ sở B.Tọa độ cũng có thể được viết dưới dạng cột [v ]TB = α1... αn  Cách tìm: Giải hệ phương trình. Ở đây ma trận hệ số vuông nên có thể dùng quy tắc Cramer. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 2: Không gian vector Không gian Euclid Rn Tổ hợp tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ Định nghĩa Mọi vector v ∈ Rn đều được biểu diễn duy nhất dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vector trong B v = α1u1 + · · ·+ αnun Khi đó, bộ thứ tự [v ]B = (α1, . . . , αn) được gọi là tọa độ của v trong cơ sở B.Tọa độ cũng có thể được viết dưới dạng cột [v ]TB = α1... αn  Cách tìm: Giải hệ phương trình. Ở đây ma trận hệ số vuông nên có thể dùng quy tắc Cramer. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 2: Không gian vector