Tài liệu Khóa luận tốt nghiệp Phương pháp toán tử cho bài toán Exciton hai chiều: BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA VẬT LÝ
o0o
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Giáo viên hướng dẫn:
ThS. HOÀNG ĐỖ NGỌC TRẦM
Sinh viên thực hiện:
TRƯƠNG MẠNH TUẤN
Tp. HỐ HỒ CHÍ MINH 05/2010
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 1
Lời cảm ơn
Trong quá trình thực hiện và hoàn thành khóa luận này, ngoài những nỗ lực của
bản thân, tôi đã nhận được sự quan tâm giúp đỡ và động viên của quý thầy cô
trong khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh
Tôi xin đựơc bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới ThS. Hoàng Đỗ Ngọc Trầm -
giáo viên hướng dẫn luận văn này – cô đã tận tình hướng dẫn, truyền thụ cho tôi
những kiến thức bổ ích, những kinh nghiệm quý báu để tôi thực hiện khóa luận này,
đồng thời truyền cho tôi lòng nhiệt tình trong nghiên cứu khoa học.
Tôi cũng xin được cảm ơn anh Lê Quý Giang, chị Nguyễn Thị Mận và các thành
viên cùng đề tài Nghiên cứu khoa học đã hư...
81 trang |
Chia sẻ: haohao | Lượt xem: 1346 | Lượt tải: 0
Bạn đang xem trước 20 trang mẫu tài liệu Khóa luận tốt nghiệp Phương pháp toán tử cho bài toán Exciton hai chiều, để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA VẬT LÝ
o0o
KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP
Giáo viên hướng dẫn:
ThS. HỒNG ĐỖ NGỌC TRẦM
Sinh viên thực hiện:
TRƯƠNG MẠNH TUẤN
Tp. HỐ HỒ CHÍ MINH 05/2010
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 1
Lời cảm ơn
Trong quá trình thực hiện và hồn thành khĩa luận này, ngồi những nỗ lực của
bản thân, tơi đã nhận được sự quan tâm giúp đỡ và động viên của quý thầy cơ
trong khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh
Tơi xin đựơc bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới ThS. Hồng Đỗ Ngọc Trầm -
giáo viên hướng dẫn luận văn này – cơ đã tận tình hướng dẫn, truyền thụ cho tơi
những kiến thức bổ ích, những kinh nghiệm quý báu để tơi thực hiện khĩa luận này,
đồng thời truyền cho tơi lịng nhiệt tình trong nghiên cứu khoa học.
Tơi cũng xin được cảm ơn anh Lê Quý Giang, chị Nguyễn Thị Mận và các thành
viên cùng đề tài Nghiên cứu khoa học đã hướng dẫn, giúp đỡ tơi trong việc lập
trình với ngơn ngữ lập trình FORTRAN 77.
Xin cảm ơn gia đình, người thân đã hỗ trợ tinh thần tơi cĩ thể hồn thành khĩa
luận này.
Một lần nữa tơi xin chân thành cảm ơn.
Trương Mạnh Tuấn
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 2
MỞ ĐẦU
Ngày nay với sự phát triển như vũ bão của khoa học kỹ thuật, các hệ lượng tử
được xét đến ngày càng đa dạng, trong đĩ cĩ nhiều bài tốn chưa tìm được lời giải, từ
đĩ phát sinh nhu cầu xây dựng và phát triển các phương pháp giải các bài tốn cơ học
lượng tử - cụ thể là giải các phương trình Schrưdinger. Một trong những phương pháp
mạnh và phổ biến cĩ thể kể đến là phương pháp lý thuyết nhiễu loạn. Ý tưởng chính
của lý thuyết nhiễu loạn là tách Hamiltonian của bài tốn thành hai thành phần: một
phần cĩ thể xác định được nghiệm chính xác, phần cịn lại là “nhiễu loạn” sẽ đĩng gĩp
vào kết quả thơng qua các bổ chính; trong đĩ điều kiện áp dụng là thành phần “nhiễu
loạn” phải nhỏ so với thành phần chính. Đây cũng chính là hạn chế lớn của phương
pháp này, vì trong thực tế một số trường hợp thành phần tách ra khơng đủ nhỏ để coi là
“nhiễu loạn”. Như vậy, việc xây dựng một phương pháp để giải các bài tốn phi nhiễu
loạn là cần thiết.
Phương pháp tốn tử (Operator Method, viết tắt là OM) được xây dựng từ thập
niên 80 của thế kỉ trước. Đây là một trong các phương pháp mạnh cho một dải rất rộng
các bài tốn phi nhiễu loạn nêu trên [7].
Ý tưởng chính của OM [7] nằm trong bốn bước sau: (1) - Biểu diễn tốn tử
Hamiltonian qua các tốn tử sinh hủy: ˆ ˆ( , ) ( , , )H x p H a a ω+→ ; (2) - Tách Hamiltonian
thành phần trung hịa và khơng trung hịa: 0ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( , , ) ( , ) ( , , )H a a H a a V a aω ω ω+ + += + ; (3) -
Chọn tham số ω sao cho 0 ˆ ˆ( , )H a a ω+ là thành phần chính của Hamiltonian và từ đây ta
cĩ nghiệm riêng của 0 ˆ ˆ( , )H a a ω+ là năng lượng gần đúng bậc khơng; (4)- Xem
ˆ ˆ( , , )V a a ω+ là thành phần nhiễu loạn và tính các bổ chính bậc cao theo các sơ đồ thích
hợp.
Qua nghiên cứu và ứng dụng trong một loạt các bài tốn cụ thể về lý thuyết
trường, chất rắn, vật lý nguyên tử… OM đã chứng tỏ tính ưu việt và hiệu quả của nĩ [7]
. Một số ưu điểm cĩ thể kể ra như: (1) - Đơn giản hĩa việc tính tốn các yếu tố ma trận
phức tạp, đưa về các phép biến đổi thuần đại số. Vì vậy cĩ thể sử dụng các chương trình
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 3
tính tốn trên biểu tượng như Matlab, Mathematica để tự động hĩa quá trình tính tốn;
(2) - Cho phép xét các hệ lượng tử với trường ngồi cĩ cường độ bất kì. Từ đây cĩ thể
tìm giá trị năng lượng và hàm sĩng của hệ trong tồn miền thay đổi của tham số trường
ngồi.
Một trong những khĩ khăn chung khi áp dụng OM là đa phần các bài tốn cĩ
tốn tử Hamilton chứa các biến động lực ở mẫu số hoặc trong trong dấu căn nên nếu
đơn thuần chuyển sang biểu diễn các tốn tử sinh hủy thì sẽ gây khĩ khăn khi tính tốn.
Để giải quyết vấn đề này, trong các cơng trình trước [2], [7] các tác giả đã sử dụng mối
liên hệ giữa bài tốn nguyên tử hydro và bài tốn dao động tử điều hịa thơng qua phép
biến đổi Levi-Civita giúp đưa các phương trình về dạng bài tốn dao động tử phi hịa
khá quen thuộc – cách giải này khá “đẹp mắt” về hình thức và cũng đã phát huy tác
dụng đối với một số bài tốn [7]. Tuy nhiên, đối với các bài tốn phức tạp hơn, việc
xác định năng lượng một cách gián tiếp như vậy gây một số khĩ khăn khi tính tốn, lập
trình để tìm nghiệm. Do đĩ, trong đề tài này tơi sử dụng phương pháp tốn tử tìm năng
lượng E một cách trực tiếp bằng cách sử dụng phép biến đổi Laplace để đưa phần tọa
độ ra khỏi mẫu số và dấu căn. Đây được coi là một bước phát triển OM.
Với ý nghĩa đĩng gĩp vào sự phát triển của OM, luận văn này chỉ áp dụng OM
cho một bài tốn đơn giản, dễ dàng tìm nghiệm chính xác bằng phương pháp giải tích
để tiện đối chiếu, so sánh và rút ra kết luận: bài tốn exciton hai chiều, từ đĩ cĩ cơ sở để
áp dụng cho các bài tốn phức tạp hơn sau này. Tuy đây là bài tốn đơn giản nhưng
cũng là một bài tốn được quan tâm do ý nghĩa thực tiễn của nĩ [3], [8].
Một trong những khâu quan trọng khi sử dụng OM là chọn giá trị tham số tự do
ω , việc chọn ω phù hợp sẽ tối ưu hĩa tốc độ tính tốn do đĩ khảo sát sự hội tụ của
phương pháp theo tham số ω là một nhiệm vụ quan trọng.
Với mục tiêu là tìm hiểu sâu hơn về một số vấn đề trong cơ học lượng tử và bước
đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học, tác giả tự đặt ra cho mình các nhiệm vụ
như sau:
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 4
- Tìm hiểu về lý thuyết nhiễu loạn, cụ thể là nhiễu loạn dừng, tính lại sơ đồ xác
định các bổ chính năng lượng, hàm sĩng, áp dụng cho một bài tốn phổ biến trong cơ
học lượng tử là bài tốn dao động tử phi điều hịa.
- Tìm hiểu về OM (sơ đồ tính tốn, các ưu điểm..) trên cơ sở đối chiếu, so sánh
với phương pháp lý thuyết nhiễu loạn thơng qua việc giải bài tốn dao động tử phi điều
hịa.
- Hồn thiện các kĩ năng tính tốn: tính tốn trên các tốn tử sinh hủy, biến đổi
giải tích.
- Bước đầu làm quen với ngơn ngữ lập trình (FORTRAN 77, 90).
- Đưa ra lời giải cho bài tốn exciton hai chiều bằng phương pháp tốn tử, so sánh
với kết quả thu được bằng lời giải giải tích.
- Khảo sát tính hội tụ của phương pháp tốn tử theo tham số ω .
Phương pháp nghiên cứu:
- Tính tốn đại số để tìm biểu thức giải tích.
- Sử dụng ngơn ngữ lập trình FORTRAN 77 để tìm nghiệm số.
- Đối chiếu, so sánh kết quả số thu được bằng lời giải giải tích và lời giải theo OM.
Bố cục của luận văn được tác giả chia làm 4 chương:
Chương 1: Giới thiệu phương pháp tốn tử qua bài tốn dao động tử phi điều hịa
Tác giả giới thiệu OM thơng qua ví dụ bài tốn dao động tử phi điều hịa, đồng
thời đối chiếu với phương pháp lý thuyết nhiễu loạn truyền thống để thấy được tính
hiệu quả của phương pháp này. Trước hết tác giả viết lại sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn
Rayleigh-Schrưdinger và áp dụng cho bài tốn nêu trên. Sau đĩ tác giả đưa ra các bước
cơ bản của OM và áp dụng cho cùng một bài tốn. Kết quả bằng số cho thấy phương
pháp nhiễu loạn chỉ áp dụng được cho trường hợp tham số phi điều hịa 0.1λ trong
khi phương pháp tốn tử cho kết quả hội tụ nhanh hơn nhiều lần và đúng cho mọi giá trị
của tham số λ . Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp này để giải quyết vấn đề nêu ra trong
luận văn.
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 5
Chương 2: Exciton – Bài tốn exciton hai chiều
Chương này tác giả giới thiệu các kiến thức cơ bản về exciton, thiết lập phương
trình Schrưdinger cho bài tốn và đưa ra lời giải giải tích. Đây là các kiến thức nền, làm
cơ sở cho phần tiếp theo.
Chương 3: Phương Pháp Tốn Tử Bài tốn exciton hai chiều
Tác giả tiến hành áp dụng OM để giải quyết bài tốn exciton hai chiều. Dùng
chương trình FORTRAN 77 để giải các phương trình truy tốn, tìm ra một số mức năng
lượng của exciton hai chiều, đồng thời khảo sát sự hội tụ tương ứng với mức năng
lượng cơ bản theo giá trị ω .
Phần kết luận: Việc áp dụng phép biến đổi Laplace và OM cĩ thể giải quyết hiệu quả
bài tốn exciton hai chiều. Kết quả thu từ bài tốn exciton hai chiều ngồi trường hợp
mức năng lượng cơ bản, các trường hợp mức năng lượng kích thích hồn tồn phù hợp
với kết quả thu được từ phương pháp giải tích. Với việc khảo sát tham số ω trong bài
tốn, ta đã xác định được các giá trị ω đặc biệt trong trường hợp mức năng lượng kích
thích. Hướng phát triển tiếp của đề tài là: tiếp tục khảo sát ω để tìm ra quy luật tối ưu
hĩa tốc độ tính tốn, sử dụng các sơ đồ khác nhau để tính tốn nghiệm chính xác, chọn
ra được sơ đồ tính tốn phù hợp. Từ đĩ ứng dụng OM cho bài tốn exciton âm và
exciton dương trong từ trường…
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 6
CHƯƠNG 1
GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP TỐN TỬ QUA BÀI
TỐN DAO ĐỘNG TỬ PHI ĐIỀU HỊA
Trong chương này ta sẽ giới thiệu các bước cơ bản của OM thơng qua ví dụ bài
tốn dao động tử phi điều hịa. Để minh họa những ưu điểm của phương pháp mới này
ta sẽ trình bày song song với phương pháp lý thuyết nhiễu loạn [1], [4] và so sánh các
kết quả bằng số của hai phương pháp.
1.1 Sơ đồ Rayleigh- Schrưdinger cho phương pháp nhiễu loạn dừng
Xét phương trình Schrưdinger dừng:
ˆ ( ) ( )H x E xΨ = Ψ , (1.1)
ta tách tốn tử Hamilton của bài tốn thành hai thành phần:
0
ˆ ˆ ˆH H Vβ= + ; (1.2)
trong đĩ thành phần 0ˆH là tốn tử Hamilton cĩ nghiệm riêng chính xác:
0
ˆ
n n nH ψ ε ψ= , (1.3)
thành phần ˆV cịn lại được gọi là thế nhiễu loạn, điều kiện áp dụng lý thuyết nhiễu
loạn là thành phần nhiễu loạn ˆV phải “nhỏ” so với 0ˆH , 0ˆ ˆV H<< , tham số nhiễu
loạn β ( 1β << )được thêm vào để chỉ thành phần ˆV là nhỏ . Khi đĩ, nghiệm của
phương trình (1.3) sẽ gần với nghiệm của phương trình (1.1). Lúc này chúng ta xem nε
và nψ là nghiệm gần đúng bậc khơng của (1.1), các nghiệm gần đúng bậc cao hơn sẽ
được tính bằng cách xét đến ảnh hưởng của ˆV thơng qua các bổ chính năng lượng và
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 7
hàm sĩng. Ở đây ta đưa vào tham số nhiễu loạn β để coi thành phần nhiễu loạn là nhỏ
và dễ dàng nhìn thấy các bậc nhiễu loạn trong sơ đồ tính tốn qua số mũ của β .
Ta giả thiết rằng các trị riêng của ˆH là khơng suy biến và cĩ phổ gián đoạn, hệ
hàm riêng nψ của 0ˆH là đầy đủ và trực giao ứng với năng lượng nε , với 0,1,2,...n = .
Khi đĩ, chúng ta tìm nghiệm của (1.1) dưới dạng khai triển theo các hàm riêng của 0ˆH
như sau:
0
( ) ( )k k
k
x C xψ
+∞
=
Ψ =∑ .
Khơng mất tính tổng quát ta cĩ thể giả thiết hàm sĩng cho trạng thái n như sau:
0
( )
( ) ( ) ( )n n k k
k
k n
x x C xψ ψ
+∞
=
≠
Ψ = + ∑ . (1.4)
Thế(1.4) vào phương trình (1.1) ta cĩ:
0
0, 0,
ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n k k n n k k
k k n k k n
H V x C x E x C xβ ψ ψ ψ ψ+∞ +∞
= ≠ = ≠
+ + = +
∑ ∑ . (1.5)
Nhân hai vế của (1.5) với *( )n xψ rồi tích phân theo tồn miền biến số x ta được:
* *
0
0, 0,
ˆ ˆ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n k k n n n k k
k k n k k n
x H V x C x x E x C xψ β ψ ψ ψ ψ ψ+∞ +∞
= ≠ = ≠
+ + = +
∑ ∑ ,
suy ra:
0 ( )
nn nn k nk n
k k n
H V C V Eβ β +∞
= ≠
+ + =∑ . (1.6)
Bây giờ làm tương tự như trên cho *( ),j x j nψ ≠ ta được:
* *
0
0, 0,
ˆ ˆ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )j n k k j n n k k
k k n k k n
x H V x C x x E x C xψ β ψ ψ ψ ψ ψ+∞ +∞
= ≠ = ≠
+ + = +
∑ ∑ ,
suy ra:
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 8
0
( )n jj j jn k jk
k
k n
E H C V C Vβ β +∞
=
≠
− = + ∑ , ( )j n≠ (1.7)
với ký hiệu các yếu tố ma trận:
*
0
ˆ( ) ( )kk k kH x H x dxψ ψ
+∞
−∞
= ∫ ,
*
ˆ( ) ( )jk j kV x V x dxψ ψ
+∞
−∞
= ∫ . (1.8)
Hệ phương trình đại số (1.6) - (1.7) cĩ thể xem tương đương với phương trình
Schrưdinger (1.1). Giải hệ phương trình này ta thu được năng lượng nE và các hệ số
jC , nghĩa là tìm được hàm sĩng ( )n xΨ qua cơng thức (1.4). Ta cĩ thể sử dụng lý
thuyết nhiễu loạn cho hệ phương trình này bằng cách phân tích theo tham số nhiễu loạn
như sau:
(0) ( )
1
s s
n n
s
E E Eβ+∞
=
= + ∆∑ , (1.9)
(0) ( )
1
,
s s
j j j
s
C C C j nβ+∞
=
= + ∆ ≠∑ . (1.10)
Ở đây ta ký hiệu (0) (0),n jE C là năng lượng và hệ số gần đúng bậc khơng, cịn
( ) ( )
, , 1s sn jE C s∆ ∆ ≥ là các bổ chính vào năng lượng và hệ số hàm sĩng. Đem (1.9) và
(1.10) thế vào (1.7), (1.8) sau đĩ đồng nhất hai vế theo lũy thừa của tham số β ta được:
(0) (0)
, 0n nn jE H C= = ,
(1) (1)
(0), ( )jnn nn j
n jj
V
E V C j n
E H
∆ = ∆ = ≠
−
;
2 :s ≥ ( ) ( 1)
0
s s
n nk k
k
k n
E V C
+∞
−
=
≠
∆ = ∆∑ ,
1
( ) ( 1) ( ) ( )
(0)
0 1
1 ( )
s
s s s t t
j jk k n j
k tn jj
k n
C V C E C j n
E H
+∞ −
− −
= =
≠
∆ = ∆ − ∆ ∆ ≠
−
∑ ∑ . (1.11)
Đây là sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn mà ta sẽ sử dụng trong các phần sau.
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 9
1.2. Phương pháp nhiễu loạn và dao động tử phi điều hịa
Ta xét bài tốn dao động phi điều hịa với tốn tử Hamilton cĩ dạng sau:
2
2 4
2
1 1
ˆ
2 2
dH x x
dx
λ= − + + , (1.12)
với hệ số phi điều hịa 0λ > . Bài tốn này cĩ dạng chuyển động trong hố thế và cĩ các
mức năng lượng gián đoạn.
Ta sẽ sử dụng phương pháp nhiễu loạn đã đề cập ở trên để giải quyết bài tốn này.
Trước hết ta chia tốn tử Hamilton thành hai phần như sau:
0
ˆ ˆ ˆH H V= + ,
với :
2
2
0 2
1 1
ˆ
2 2
dH x
dx
= − + ,
4
ˆV xλ= . (1.13)
Tốn tử Hamilton gần đúng 0ˆH cĩ nghiệm riêng chính xác là các hàm sĩng của
dao động tử điều hịa:
( )
2
exp
2n n n
xA H xψ = −
, (1.14)
với ( )nH x là đa thức Hermit: ( ) 2 2( 1)
n
n x x
n n
dH x e e
dx
−
= − .
Hàm sĩng này ứng với trị riêng là năng lượng gần đúng bậc khơng 1
2n
nε = + .
Các yếu tố ma trận của các tốn tử 0ˆH và ˆV ứng với các hàm số (1.14) cĩ thể
tính được như sau ( xem phụ lục 3):
1
2nn
H n= +
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 10
, 4 ( 4)( 3)( 2)( 1)4n nV n n n n
λ
+ = + + + + ,
, 2 (2 3) ( 2)( 1)2n nV n n n
λ
+ = + + + ,
2(6 6 3)
4nn
V n nλ= + + . (1.15)
Các yếu tố ma trận khác khơng khác thu được từ tính đối xứng: km mkV V= .
Kết quả: Trong các bảng sau chúng ta sẽ đưa ra các số liệu thu được cho trường
hợp trạng thái cơ bản 0n = và một trạng thái kích thích 4n = . Điều kiện áp dụng lý
thuyết nhiễu loạn 0ˆ ˆn n n nV Hψ ψ ψ ψ lúc này trở thành:
2 1
2
(6 6 3)
4
nn n
λ
++ +
( )
2
2 2 1
6 6 3
n
n n
λ +→
+ +
. (1.16)
Với trạng thái cơ bản: 0n = thì 0.67λ→ , ta sẽ xét các trường hợp ứng với các
giá trị 0.01,λ = 0.05λ = , 0.1λ = , 0.3λ = và thu được các mức năng lượng tương ứng
trong bảng 1.1.
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 11
Bảng 1:1 Trạng thái cơ bản 0n = thu được bằng lý thuyết nhiễu loạn.
0.01λ = 0.05λ = 0.1λ = 0.3λ =
( )0
0E 0.5000000000 0.5000000000 0.5000000000 0.5000000000
( )1
0E 0.5075000000 0.5375000000 0.5750000000 0.7250000000
(2)
0E 0.5072375000 0.5309375002 0.5487500013 4.8875000929
( )3
0E 0.5072583125 0.5335390626 0.5695624993 1.0506874797
( )4
0E 0.5072558996 0.5320310060 0.5454335949 -0.9037538228
( )5
0E 0.5072562577 0.5331500624 0.5812433983 7.7980283886
( )6
0E 0.5072561937 0.5321503309 0.5172605857 -38.8454419856
( )7
0E 0.5072562070 0.5331891854 0.6502339597 251.9673269259
( )8
0E 0.5072562038 0.5319607395 0.3357518043 -1811.3500941848
( )9
0E 0.5072562047 0.5335887505 1.1692934364 14595.2498498883
( )10
0E 0.5072562044 0.5311982288 -1.2786007173 -129950.4520395805
Với trạng thái kích thích: 4n = điều kiện ta thu được là 0.146λ→ . Ta sẽ xét
các trường hợp ứng với các giá trị 0.01,λ = 0.03λ = , 0.06λ = , 0.1λ = . Khi đĩ ta cĩ các
mức năng lượng tương ứng ở bảng 1.2.
Bảng 1.2: Trạng thái kích thích 4n = thu được bằng lý thuyết nhiễu loạn.
0.01λ = 0.03λ = 0.06λ = 0.1λ =
( )0
4E 4.5000000000 4.5000000000 4.5000000000 4.5000000000
( )1
4E 4.8075000000 5.4225000000 6.3450000000 7.5750000000
(2)
4E 4.7668874959 5.0569874638 4.8829498552 3.5137495980
( )3
4E 4.7775845596 5.3458081837 7.1935156144 14.2108132978
( )4
4E 4.7738544635 5.0436703988 2.3593110572 -23.0901477918
( )5
4E 4.7753851516 5.4156275988 14.2619414562 129.9786587800
( )6
4E 4.7746833968 4.9040483689 -18.4791292566 -571.7761147298
( )7
4E 4.7750329077 5.6684285196 79.3615300321 2923.3320274444
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 12
( )8
4E 4.7748469756 4.4448528730 -232.9328160495 -15669.8670185477
( )9
4E 4.7749514618 6.5051300165 820.0470425212 888816.3030916408
( )10
4E 4.7748899061 2.8703274765 -2901.9907584706 -526740.6987256789
Nhận xét:
Ta thấy đối với trạng thái cơ bản (bảng 1.1) trong trường hợp 0.01,λ = khá nhỏ so
với giới hạn của điều kiện nhiễu loạn, kết quả bổ chính bậc sáu cho chính xác tới sáu
chữ số sau dấu phẩy. Với trường hợp 0.05λ = , mặc dù vẫn nhỏ so với điều kiện nhiễu
loạn xong đã thấy cĩ dấu hiệu phân kì, chỉ cịn chính xác đến hai chữ số sau dấu phẩy.
Cụ thể đến giá trị 0.1λ = ta thấy kết quả phân kì, các bổ chính bậc ba đã cho kết quả
khơng phù hợp, và với 0.03λ ≥ lý thuyết nhiễu loạn khơng cịn đúng nữa. Ta cũng
nhận thấy kết quả tương tự ở trạng thái kích thích 4n = (bảng 1.2)
Như vậy khi sử dụng sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn chỉ sử dụng được một số bổ chính
đầu tiên. Các bổ chính bậc cao khơng cĩ ý nghĩa, bên cạnh đĩ tốc độ hội tụ của năng
lượng khơng cao và chỉ áp dụng cho miền λ nhỏ.
1.3 Phương pháp tốn tử cho bài tốn dao động tử phi điều hịa
Những ý tưởng về OM đã xuất hiện vào những năm 1979. Tuy nhiên, OM được
đưa ra đầu tiên vào năm 1982 bởi một nhĩm các giáo sư ở trường Đại học Belarus và
được ứng dụng thành cơng cho một nhĩm rộng rãi các bài tốn như các polaron,
bipolaron trong trường điện từ, bài tốn tương tác chùm điện tử với cấu trúc tinh thể,...
trong vật lý chất rắn; bài tốn tương tác hệ các boson trong trong lý thuyết trường.
Phương pháp này được phát triển bởi Fernandez, Meson và Castro, Gerryva Silverman,
Wistchel và nhiều tác giả khác [7].
Ta sẽ trình bày các điểm chính của phương pháp OM trên cơ sở ví dụ bài tốn dao
động tử phi điều hịa một chiều. Kết quả thu được sẽ so sánh với phương pháp nhiễu
loạn ở trên.
Xét phương trình Schrưdinger (1.1) cho dao động tử phi điều hịa với tốn tử
Hamilton khơng thứ nguyên (1.14). Ta sẽ giải phương trình này bằng OM với bốn bước
cơ bản như sau:
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 13
Bước một: Chuyển tốn tử Hamilton về biểu diễn của các tốn tử sinh - hủy bằng
cách đặt biến số động lực (tọa độ và tốn tử đạo hàm) thơng qua các tốn tử sau:
1
ˆ ˆ ˆ ;
2 2
1
ˆ ˆ ˆ .
2 2
i d
a x p x
dx
i d
a x p x
dx
ω ω
ω ω
ω ω
ω ω
+
= + = +
= − = −
(1.17)
Ở đây tốn tử aˆ được gọi là “tốn tử hủy” và aˆ+ được gọi là “tốn tử sinh” (xem
[1],[4]); ω là tham số thực dương được đưa thêm vào để tối ưu quá trình tính tốn, ta sẽ
nĩi rõ hơn về tham số này trong bước ba.
Ta dễ dàng thu được hệ thức giao hốn:
ˆ ˆ, 1a a+ = . (1.18)
Hệ thức này sẽ giúp ta đưa các tốn tử sinh hủy về dạng chuẩn, nghĩa là các tốn
tử sinh nằm ở phía bên trái và các tốn tử hủy nằm về phía bên phải, thuận lợi cho các
tính tốn đại số sau này. Từ đây về sau ta gọi nĩ là dạng chuẩn (normal) của tốn tử
Thế (1.17) vào (1.12) và sử dụng (1.18), ta được biểu thức dạng chuẩn của tốn tử
Hamilton như sau( phụ lục 1):
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2 22
4
4 3 24 3 2
2
1 1 3
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 1 2 2 1
4 4 4
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ4 4 6 6 .
4
H a a a a a a a a
a a a a a a a a
ω ω λ
ω ω ω
λ
ω
+ + + +
+ + + +
+ −
= + + + + + +
+ + + + + + (1.19)
Bước hai: Tách Hamiltonian ở (1.19) thành hai thành phần như sau:
- Phần thứ nhất là ( )0ˆ ˆ ˆ, ,OMH a a λ ω+ chỉ chứa các tốn tử “trung hịa” ˆ ˆ ˆn a a+= ,
nghĩa là bao gồm các tốn tử cĩ số tốn tử sinh và số tốn tử hủy bằng nhau:
( ) ( )2 20 21 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 1 2 2 14 4OMH a a a a a aω λω ω+ + + += + + + + . (1.20)
- Phần cịn lại ta kí hiệu là ( ) ( )0ˆ ˆ ˆ ˆ, ,ˆ ˆ ˆ, , , OMOM H H a aV a a λ ωλ ω ++ = − .
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 14
Như vậy, tương tự như trong lý thuyết nhiễu loạn, ở đây ta tách tốn tử Hamilton
thành hai thành phần: thành phần ( )0ˆ ˆ ˆ, ,OMH a a λ ω+ cĩ nghiệm chính xác mà chúng ta sẽ
dễ dàng xây dựng dưới đây; riêng thành phần ( )ˆ ˆ ˆ, , ,OMV a a λ ω+ được xem như thành
phần “nhiễu loạn” sẽ được điều chỉnh “đủ nhỏ” để thỏa điều kiện của lý thuyết nhiễu
loạn thơng qua việc chọn tham số ω .
Bước ba: Tìm nghiệm chính xác bậc khơng bằng cách giải phương trình:
( ) ( ) ( ) ( )0 0 00ˆ ˆ ˆ, ,OMH a a Eλ ω ψ ψ+ = . (1.21)
Ta thấy ( )0ˆ ˆ ˆ, ,OMH a a λ ω+ giao hốn với tốn tử ˆ ˆ ˆn a a+= và nghiệm của nĩ dễ dàng
xây dựng như sau [4]:
( )1 ˆ( ) 0
!
n
n a
n
ω += , (1.22)
ở đây ta đã sử dụng kí hiệu Dirac để định nghĩa, khi đĩ nghiệm (1.22) ta gọi là vector
trạng thái; và trạng thái “chân khơng” (Vacuum) 0 được xác định bằng phương trình:
ˆ( ) 0 0; 0 0 0a ω = = . (1.23)
Khi cần thiết chúng ta cĩ thể sử dụng phương trình này để xác định dạng tường
minh của hàm sĩng biểu diễn trạng thái chân khơng.
Từ các tính chất của tốn tử sinh – hủy (1.18), ta dễ dàng kiểm chứng:
ˆ ˆ ;a a n n n+ = (1.24)
điều này cĩ nghĩa là trạng thái (1.23) là nghiệm riêng của tốn tử ˆ ˆ ˆn a a+= , nghĩa là nĩ
cũng là nghiệm riêng của tốn tử ( )0ˆ ˆ ˆ, ,H a a λ ω+ .
Ta cĩ:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 20
0 2
2
2
2 ,
1 3
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 1 2 2 1
4 4
1 32 1 2 2 1
4 4
OM
n n n n nE H a a a a a a
n n n
ω λ
ω ω
ω λ
ω ω
+ + +
=
=
+
= + + + +
+
+ + + +
(1.25)
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 15
là năng lượng gần đúng bậc khơng, phụ thuộc vào tham số ω (xem phụ lục 3). Như đã
nĩi, đây là tham số được đưa vào để tối ưu hĩa quá trình tính tốn, ta xác định ω từ
điều kiện:
( )0
0.nE
ω
∂
=∂
(1.26)
Tiêu chí để chọn giá trị ω theo OM đã được thảo luận trong một số cơng trình [7]
và đã chỉ ra rằng điều kiện (1.26) cho ta kết quả tương đối chính xác ở gần đúng bậc
khơng đối với nhiều bài tốn khác nhau. Điều kiện (1.26) cũng phù hợp với điều kiện
0
ˆ ˆH V>> . Với bài tốn chúng ta đang xét, điều kiện (1.26) dẫn tới phương trình để xác
định ω như sau:
( ) ( ) ( )3 22 1 2 1 6 2 2 1 0n n n nω ω λ+ − + − + + = . (1.27)
Bước bốn: Phương pháp tốn tử (OM) tìm nghiệm bằng số:
Đến đây chúng ta cĩ thể sử dụng sơ đồ của lý thuyết nhiễu loạn (1.9)-(1.11) để
tính các bổ chính bậc cao. Ngồi ra, do tính hội tụ của OM rất cao và chúng ta cĩ tham
số tự do ω để điều khiển tốc độ hội tụ, ta cĩ thể sử dụng sơ đồ vịng lặp để giải trực
tiếp hệ phương trình (1.6)-(1.7).
Hàm sĩng cĩ thể viết dưới dạng chuỗi của các vector trạng thái như sau:
( ) ( )
0
( )
n s
s s
n k
k
k n
n C k
+
=
≠
Ψ = + ∑ . (1.28)
Thế (1.28) vào phương trình (1.1) ta cĩ:
( ) ( )
0
0 0
( ) ( )
ˆ ˆ( )
n s n s
s s
k n k
k k
k n k n
H V n C k E n C kβ + +
= =
≠ ≠
+ + = +
∑ ∑ . (1.29)
Nhân hai vế của (1.29) với n ta được:
( ) ( )
0
0 0
( ) ( )
ˆ ˆ( )
n s n s
s s
k n k
k k
k n k n
n H V n C k n E n C kβ + +
= =
≠ ≠
+ + = +
∑ ∑ ,
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 16
suy ra:
( )( )
0,
n s
ss
n nn nn k nk
k k n
E H V C V
+
= ≠
= + + ∑ . (1.30)
Bây giờ làm tương tự như trên cho ,j j n≠ ta được:
( ) ( )
0
0 0
( ) ( )
ˆ ˆ( )
n s n s
s s
k n k
k k
k n k n
j H V n C k j E n C kβ + +
= =
≠ ≠
+ + = +
∑ ∑ ,
suy ra:
( ) ( 1) ( )
0
( )
n s
s s s
n jj j jn k jk
k
k n
E H C V C V
+
+
=
≠
− = +∑ , ( )j n≠ (1.31)
Vì ( )skC và
( )1s
kC
−
cũng như ( )n
s
ε và ( )1n sε − sai khác nhau rất ít. Nên ta cĩ được sơ
đồ vịng vịng lặp như sau:
( )( )
0,
n s
ss
n nn nn k nk
k k n
E H V C V
+
= ≠
= + + ∑ ,
( ) ( 1) ( )
0
( )
n s
s s s
n jj j jn k jk
k
k n
E H C V C V
+
+
=
≠
− = +∑ , (1.32)
với điều kiện ban đầu là ( ) ( )0 0,jC j n= ≠ . Chú ý rằng ở đây chúng ta khơng cần sử
dụng tham số nhiễu loạn cho nên đã cho 1β = . Ngồi ra các giá trị ( )( ) , ssn jE C tương ứng
với các bước lặp khác nhau chứ khơng phải là bổ chính.
Các yếu tố ma trận trong sơ đồ trên cũng như trong sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn
được định nghĩa như (1.6), viết lại như sau:
0
ˆ OM
kkH k H k= , ˆjkV j V k= ; (1.33)
các phần tử ma trận này cĩ thể tính một cách dễ dàng bằng các biến đổi thuần đại số
dựa vào các tính chất (1.18), (1.23). Cụ thể là hai cơng thức sau :
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 17
ˆ ˆ1 1 ; 1 .a n n n a n n n+ = + + = − (1.34)
Việc tính các phần tử ma trận bằng các phép tính thuần đại số là một trong những
ưu điểm của OM. Thật vậy, thay vì định nghĩa các phần tử ma trận như (1.6) và tính các
tích phân tương ứng với các hàm sĩng ở dạng tường minh, ở đây ta chỉ dựa vào các
biến đổi đại số nhờ các hệ thức (1.18) và (1.23) và cụ thể là sử dụng (1.26) và (1.34).
Kết quả ta cĩ các phần tử ma trận khác khơng như sau (xem phụ lục 3):
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
0 2
2
2
2
1 3
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 1 2 2 1
4 4
1 32 1 2 2 1 ,
4 4
nn nn
H H n a a a a a a n
n n n
ω λ
ω ω
ω λ
ω ω
+ + +
+
= = + + + +
+
= + + + +
( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
2
2 3 2
, 2 2
2 2
2 2
2
2
1
ˆ ˆ ˆ ˆ4 6 2
4 4
2 !1 1
4 6 2 1 2 3
4 4 4 2 !
1
= 2 3 2 1 ,
4 2
n n
V n a a a a n
n
n n n n
n
n n n
ω λ
ω ω
ω λ ω λ
ω ω ω ω
ω λ
ω ω
+
+
−
= + + +
+ − −
= + + + + = + +
−
+ + + +
( ) ( )( )( )( )4
, 4 2 2 2
4 !
ˆ 4 4 3 2 1 ;
4 4 ! 4n n
n
V n a n n n n n
n
λ λ λ
ω ω ω+
+
= + = = + + + + (1.35)
các phần tử ma trận khác thu được dựa vào tính đối xứng
nm mnV V= .
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 18
Bảng 1.3: Năng lượng trạng thái cơ bản 0n = thu được bằng OM.
0.01λ = 0.05λ = 0.1λ = 0.3λ = 1.5λ =
( )0
0E 0.5072875410 0.5477040816 0.574999999 0.6689058171 0.9727107180
( )1
0E 0.5072875410 0.5477040816 0.574999999 0.6689058171 0.9727107180
(2)
0E 0.5072563014 0.5323777399 0.558838596 0.6373408787 0.8817884333
( )3
0E 0.5072562707 0.5326638127 0.559112766 0.6378326682 0.8840817664
( )4
0E 0.5072562023 0.5326424521 0.559151382 0.6380153133 0.8849480705
( )5
0E 0.5072620492 0.5326424823 0.559146495 0.6379948737 0.8848112845
( )6
0E 0.5072620448 0.5326427790 0.559146278 0.6379914404 0.8847892918
( )7
0E 0.5072620453 0.5326427553 0.559146329 0.6379917786 0.8847943659
( )8
0E 0.5072620452 0.5326427551 0.559146328 0.6379918013 0.8847946861
( )9
0E 0.5072620452 0.5326427553 0.559146327 0.6379917866 0.8847944336
( )10
0E 0.5072620452 0.5326427552 0.559146327 0.6379917844 0.8847944198
( )
0
TE 0.5072620452 0.5326427552 0.559146327 0.6379917842 0.8847944251
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 19
Bảng 1.4: Năng lượng trạng thái kích thích 4n = thu được bằng OM
0.01λ = 0.03λ = 0.06λ = 0.1λ = 1.5λ =
( )0
4E 4.8092999999 5.2078603252 5.8694444444 6.2490740740 12.4453125000
( )1
4E 4.8092999999 5.2078603252 5.8694444444 6.2490740740 12.4453125000
(2)
4E 4.7736995554 5.2060800093 5.6861199877 6.2223820797 12.3776059956
( )3
4E 4.7747285026 5.2051664217 5.6967910549 6.2199718947 12.3574329062
( )4
4E 4.7749316376 5.2051386595 5.7021291564 6.2202679913 12.3556586805
( )5
4E 4.7749139015 5.2051516636 5.7011304336 6.2203200633 12.3576222919
( )6
4E 4.7749129456 5.2051514395 5.7009480693 6.2203017742 12.3577769104
( )7
4E 4.7749131151 5.2051511291 5.7010151586 6.2202996521 12.3574810758
( )8
4E 4.7749131114 5.2051511437 5.7010178067 6.2203009392 12.3574842521
( )9
4E 4.7749131114 5.2051511499 5.7010146470 6.2203009652 12.3575265919
( )10
4E 4.7749131115 5.2051511492 5.7010148920 6.2203008706 12.3575216732
( )
4
TE 4.7749131114 5.2051511491 5.7010149485 6.2203008813 12.3575176582
Ta thấy khi sử dụng OM, với trường hợp mức năng lượng cơ bản n=0 (bảng 1.3)
và trường hợp kích thích ứng với n = 4 (bảng 1.4) ứng với các giá trị λ khác nhau, sau
bổ chính bậc sáu cũng cĩ kết quả chính xác tới sáu chữ số sau dấu phẩy.
Ta cĩ thể thấy tính hiệu quả của OM so với phương pháp nhiễu loạn đã thu được ở
bảng 1.1 và bảng 1.2 bằng việc xét thêm trường hợp 1.5λ = đối với hai trường hợp
0n = và 4n = . Ta thấy kết quả vẫn hội tụ như các trường hợp λ cĩ giá trị nhỏ.
Như vậy OM cho phép tìm giá trị năng lượng ứng với các giá trị tham số nhiễu
loạn λ khác nhau. Các bổ chính bậc cao hội tụ tốt.
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 20
CHƯƠNG 2
EXCITON – BÀI TỐN EXCITON HAI CHIỀU
Trong chương này tác giả giới thiệu các kiến thức cơ bản về exciton như khái
niệm, phân loại, tính chất. Sau đĩ thiết lập phương trình Schrưdinger cho bài tốn và
đưa ra lời giải giải tích làm cơ sở để so sánh với kết quả thu được bằng OM ở chương
sau.
2.1 Exciton
2.1.1 Khái niệm
Trong chất bán dẫn thơng thường, độ sai khác năng lượng gE giữa dải dẫn và giải
hĩa trị ở khoảng năng lượng kéo dài từ vùng hồng ngoại tới vùng ánh sáng khả kiến.
Một photon năng lượng gh Eω > cĩ thể kích thích một điện tử trong dải hĩa trị nhảy lên
dải dẫn và để lại trong dải hĩa trị một lỗ
trống thể hiện như một điện tích dương.
Một điện tử liên kết với một lỗ trống bởi
tương tác Coulomb sẽ cho ra một hệ
tương tự như nguyên tử hydro. Ở giới
hạn mật độ thấp, khi đĩ ta bỏ qua hiệu
ứng nhiều hạt, cặp điện tử - lỗ trống
được coi như mơt giả hạt tự do gọi là
exciton. Hình 2.1- Các mức năng lượng của exciton [7]
2.1.2 Phân loại
Exciton được phân làm hai loại tùy thuộc vào tính chất và vật liệu đang xét:
- Trong chất bán dẫn: điện tử và lỗ trống tương tác với nhau ở khoảng cách lớn
hơn nhiều lần hằng số mạng, cộng thêm thế màn chắn (thế tương tác) của mơi trường
mạng nên năng lượng liên kết của exciton thường nhỏ hơn nhiều so với năng lượng của
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 21
hydro, loại này gọi là exciton Mott-Wannier ( hình 2.2), thường xảy ra trong tinh thể
đồng hĩa trị.
Hình 2.2 - Exciton Mott Wannier [7]
- Trong chất cách điện: hằng số điện mơi lớn nên điện tử và lỗ trống tương tác với
nhau ở khoảng cách phân tử, loại exciton này được gọi là exciton Frenkel (hình 2.3), do
kích thước nhỏ nên tương tác Coulomb lớn ít ảnh hưởng trường mạng (tinh thể) nên
năng lượng liên kết của nĩ lớn (cỡ 1,5eV)
Hình 2.3 – Exciton Frenkel [7]
2.1.3 Tính chất của exciton
Exciton cĩ các tính chất chính như sau:
- Chỉ cĩ mặt trong bán dẫn hoặc điện mơi.
- Về mặt cấu trúc exciton trung hịa giống như nguyên tử Hydro, tuy nhiên nĩ cĩ
bán kính lớn hơn và năng lượng liên kết nhỏ hơn. Tương tự, các exciton dương hay âm
cho ta hình ảnh ion phân tử 2H + hay nguyên tử He.
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 22
- Việc tạo ra các mức exciton trong vùng cấm (exciton Mott-Wannier) rất giống với
việc tạo ra các mức tạp trong bán dẫn. Ở mức cơ bản năng lượng liên kết exciton trùng
với mức năng lượng tạp chất donor nhĩm V hoặc các bán dẫn nguyên tố nhĩm IV như Si,
Ge (cỡ 0.005eV).
- Khơng phải chỉ cĩ một mức exciton mà cĩ cả một dải các mức exciton gián
đoạn. Phổ hấp thụ exciton là phổ gián đoạn, gồm một dải các vạch như phổ hấp thụ của
hydro.
- Sự tồn tại của exciton được chứng tỏ trong thực nghiệm qua việc phát hiện một
vùng phổ hấp thụ gần bờ hấp thụ cơ bản về phía bước sĩng dài với các mũi nhọn (peak)
hấp thụ (ở nhiệt độ thấp) mà khơng làm thay đổi nồng độ hạt dẫn. Phổ vạch dạng giống
như nguyên tử Hydro đã được phát hiện trong các bán dẫn cĩ vùng cấm rộng như CdS,
HgI2, PbI2, CdI2, CuO2,...[7].
2.2 Bài tốn exciton hai chiều
2.2.1 Phương trình Schrưdinger cho exciton hai chiều
Theo cơ học cổ điển, năng lượng của hệ gồm electron và lỗ trống tương tác
( )
2 2
1 2
1 22 2
p pE U r
m m
= + + , (2.1)
trong đĩ
+ r là khoảng cách giữa hai hạt.
+ 1p là xung lượng của lỗ trống (h).
+ 2p là xung lượng của electron (e).
+ ( )U r là thế tương tác e-h.
Một cách tương ứng Hamiltonian của hệ bằng:
( )
2 2
2 2
1 2
1 2
ˆ
2 2
H U r
m m
= − ∇ − ∇ + . (2.2)
Viết lại (2.2) trong hệ tọa độ chuyển động khối tâm và chuyển động tương đối của
hai hạt (xem phụ lục 4):
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 23
( )
2 2
2 2
2 1
ˆ
2 2( )r GH U rm mµ
= − ∇ − ∇ Ψ +
+
. (2.3)
Trong đĩ:
+
r
∇ xung lượng ứng với chuyển động tương đối của hai hạt
+ G∇ là xung lượng của chuyển động khối tâm.
Tách ˆH thành hai thành phần:
ˆ ˆ ˆ
G rH H H= + , (2.4)
trong đĩ:
+ ( )
2
2
1 2
ˆ
2G G
H
m m
= − ∇
+
: chuyển động khối tâm của hệ cĩ khối lượng m=m1+m2,
+ ( )
2
2
ˆ
2r r
H U r
µ
= ∇ + : chuyển động tương đối của hạt trong trường thế Coulomb
với khối lượng rút gọn 1 2
1 2
.m m
m m
µ =
+
.
Khi đĩ phương trình Schrưdinger cĩ dạng:
( )
2 2
2 2
2 12( ) 2G r
U r E
m m µ
− ∇ Ψ − ∇ Ψ − Ψ = Ψ
+
, (2.5)
Dễ nhận thấy ˆ ˆ, 0G rH H = , do đĩ ˆ ˆ,G rH H giao hốn với ˆH , khi đĩ phương trình trị
riêng được tách thành hai phương trình trị riêng của ˆ ˆ,G rH H .
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2
2
2
2 1
2.6
2
2.7
2( )
r r r r
G G G G
U r r E r
R E R
m m
ψ ψ
µ
ψ ψ
− ∇ + =
− ∇ = +
Khi đĩ:
r GE E E= + ,
( ) ( ).r Gr Rψ ψΨ = .
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 24
Phương trình (2.7) là phương trình Schrưdinger của hạt tự do cĩ m=m1+m2, ta cĩ
thể dễ dàng tìm được năng lượng và hàm sĩng của nĩ như sau [5]:
2 2
2
2
1 2
2
( )G rE nL m m
pi
=
+
,
( ) ( )
1
2
ikr
G r eψ pi
= . (2.8)
Như vậy, ta chỉ cần xác định nghiệm của phương trình chuyển động tương đối
(2.6). viết dưới dạng khơng thứ nguyên sau ( xem phụ lục 4):
2 2
2 2 2 2
1
2
Z E
x y x y
ψ ψ
∂ ∂
− + − = ∂ ∂ +
(2.9)
với
2 2
( , ) ZU x y
x y
=
+
là thế Coulomb.
2.2.2 Phương pháp giải tích cho bài tốn exciton hai chiều.
Trong phần này ta sẽ tiến hành giải (2.9) theo phương pháp giải tích để đối chiếu
với phương pháp tốn tử ở phần sau.
* Phương trình Schrưdinger của exciton hai chiều trong tọa độ cực:
Chuyển tốn tử Hamiton trong phương trình (2.9) qua biểu diễn trong tọa độ cực
ta được
2
2 2
1 1
ˆ
2 2
ZH r
r r r r rϕ
∂ ∂ ∂
= − − − ∂ ∂ ∂
. (2.10)
Với tốn tử cĩ dạng như trên, khi thay vào phương trình Schrưdinger để tìm
nghiệm sẽ khĩ vì trong phương trình chứa hai biến số. Ta sẽ sử dụng một nguyên lý
trong cơ học lượng tử: “Nếu hai tốn tử giao hốn với nhau thì chúng cĩ chung hệ hàm
riêng”, vì vậy ta đi tìm các tốn tử giao hốn với tốn tử ˆH , ta biết đối với bài tốn hệ
nguyên tử hai chiều hình chiếu moment xung lượng trên Oz bảo tồn.Thực vậy ta cĩ:
ˆ
ZL i ϕ
∂
= −
∂
; (2.11)
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 25
Thay vào (2.10) ta được:
2
2
ˆ1
ˆ
2 2
zL ZH r
r r r r r
∂ ∂
= − + − ∂ ∂
. (2.12)
Dựa vào biểu thức tốn tử này, ta thấy hai tốn tử ˆ ˆ và LzH giao hốn với nhau vì
ˆ
zL giao hốn với hàm vơ hướng ( ) ZU r
r
= − và chính nĩ, và ˆzL chỉ phụ thuộc vào biến
số gĩc nên giao hốn với thành phần phụ thuộc vào r của ˆH . Như vậy hai tốn tử
ˆ ˆ
và LzH cĩ chung hệ hàm riêng. Do đĩ để tìm hệ hàm riêng của tốn tử ˆH phụ thuộc
theo hai biến số khơng gian, ta cần lần lượt tìm hàm riêng của ˆzL phụ thuộc theo biến
số ϕ , và cuối cùng thay vào trong phương trình Schrưdinger tìm hàm sĩng của electron
phụ thuộc theo hai biến số r và ϕ .
Phương trình hàm riêng- trị riêng của tốn tử ˆzL là ( xem phụ lục 5):
ˆ ( ) ( )zL u muϕ ϕ= , (2.13)
trong đĩ 1( )
2
imu e ϕϕ
pi
= và 0, 1, 2...m = ± ±
* Năng lượng – hàm sĩng của exciton hai chiều
Phương trình Schrưdinger:
ˆ ( , ) ( , )H r E rϕ ϕΨ = Ψ ,
hay:
2
2
ˆ1 1 ( , ) ( , )
2
zL Zr r E r
r r r r r
ϕ ϕ
∂ ∂
− − − Ψ = Ψ ∂ ∂
. (2.14)
Tìm nghiệm của phương trình (2.14) dưới dạng:
( , ) ( ) ( )r R r uϕ ϕΨ = . (2.15)
trong đĩ ( )u ϕ phụ thuộc vào biến số ϕ , ( )R r phụ thuộc vào biến số r.
Thay (2.13) vào (2.14), sau khi đơn giản số hạng ( )u ϕ ta được:
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 26
( ) ( ) ( )
2
2
1 1
2
d d m Z
r R r R r ER r
r dr dr r r
− − − =
,
hay:
( ) ( ) ( )2 2 1/2 1/2 1/22 21 1/ 42
d m Z
r R r R E r R
dr r r
−
− − − =
. (2.16)
Ta sẽ rút ra nghiệm của phương trình (2.16) bằng phép khai triển chuỗi.
Trước hết với r → ∞ ta cĩ thể bỏ qua các số hạng vơ cùng bé bậc cao hơn ( 2
1 1
;
r r
)
trong phương trình trên.
( ) ( )2 1/ 2 1/ 22 2 0d r R E r Rdr + = , (2.17)
đặt 22E α= − do năng lượng E < 0.
Khi đĩ ta cĩ dạng nghiệm ở trạng thái liên kết là:
( )1/ 2 ~ rr R e G rα− . (2.18)
Thay vào trong phương trình trên ta thu được:
2 2
2 2
1 / 4 22 0d dG m ZG
dr dr r r
α
−
− − + = , (2.19)
Ta giải (2.19) bằng cách đặt G(r) dưới dạng chuỗi lũy thừa của r:
( ) ( )SG r r H r= . (2.20)
Sau khi thay (2.20) vào (2.19) ta thu được phương trình đối với H:
( ) ( )22 2 22 12 2 2 2 1 04
d H dH
r r Sr Sr Zr m S S H
dr dr
α α
+ − + + + − + + − =
. (2.21)
Nếu đặt r = 0 ta cĩ:
( )2 1 11
4 2
m S S m S− = − → + = . (2.22)
Thay (2.14) vào (2.13) ta thu được:
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 27
2
2 2
2
1 12 2 2 2 0
2 2
d dH
r H r m r m r Zr H
dr dr
α α
+ − + + + + + =
,
hay:
2
2
2 1 2 1 22 0
2 2
d H dH Z
m m H
dr r dr r r
α
α
+ − + + + + + =
. (2.23)
Thay ( ) kk
k
H r a r=∑ vào (2.23) ta được:
( ) 1
0
1 11 2 2 2 2 2
2 2kk
k k m a Z m kα α α
∞
+
=
+ + + + − + −
∑ .
Suy ra:
12 2 2 0
2
Z m kα α − + − =
.
Ta tính được:
1
2
Z
m k
α→ =
+ +
,
hay
2
212
2
ZE
m k
→ = −
+ +
; với k = 0,1,2,….
Đặt: 1n k m= + + , ta thu được biểu thức tính năng lượng:
2
212
2
ZE
n
→ = −
−
với n = 1,2,3… (2.24)
n là số lượng tử chính của năng lượng
Khi đĩ hàm bán kính cĩ dạng:
1/ 21/ 2
. . ( ;2 1;2 )mr R A r F k m α+= − − , (2.25)
trong đĩ ( ;2 1;2 )F k m α− − hàm siêu bội [7]:
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 28
Từ (2.25) suy ra:
( ) . . ( ;2 1;2 )mR r A r F k m α= − − . (2.26)
Hàm sĩng cĩ dạng như sau:
( , ) ( ) ( ) . . ( ;2 1;2 )mimr R r u A e r F k mϕϕ ϕ αΨ = = − − . (2.27)
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 29
CHƯƠNG 3
PHƯƠNG PHÁP TỐN TỬ CHO
BÀI TỐN EXCITON HAI CHIỀU
Trong chương này tác giả áp dụng OM để giải bài tốn exciton hai chiều bằng
cách sử dụng phép biến đổi Laplace, tìm ra nghiệm số cho bài tốn, so sánh với kết quả
thu được bằng lời giải giải tích. Sau đĩ, khảo sát tính hội tụ của bài tốn khi giải bằng
OM cho trường hợp năng lượng cơ bản theo tham số ω .
3.1 Phương trình Schrưdinger cho exciton hai chiều biểu diễn qua tốn tử sinh
hủy
Phương trình Schrưdinger:
ˆ ( , ) ( , )n n nH x y x yεΨ = Ψ , (3.1)
với
2 2
2 2
1
ˆ
2
ZH
x y r
∂ ∂
= − + − ∂ ∂
. (3.2)
Trong biểu thức (3.2) cĩ số hạng chứa biến động lực ở mẫu số sẽ gây khĩ khăn khi
sử dụng OM. Để loại trừ khĩ khăn đĩ ta sử dụng phép biến đổi Laplace như sau:
2
1
0
1 1
ˆ
treU dt
r tpi
+∞
−
= = ∫ , (3.3)
từ đĩ thu được Hamiltonian dưới dạng:
2 22 2 ( )
2 2
0
1
ˆ
2
t x yZ eH dt
x y tpi
+∞
− + ∂ ∂
= − + − ∂ ∂ ∫
. (3.4)
3.2 Phương pháp tốn tử giải bài tốn exciton hai chiều
Ta sẽ giải phương trình Schrưdinger (2.9) bằng OM với bốn bước cơ bản như sau:
Bước một: Chuyển tốn tử Hamilton về biểu diễn của các tốn tử sinh - hủy hai chiều
bằng cách đặt biến số động lực (tọa độ và tốn tử đạo hàm) thơng qua các tốn tử sau
(xem phụ lục 6):
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 30
ˆ ˆ( ) , ( ) ,
2 2
ˆ ˆ( ) , ( ) ;
2 2
x x
x x
x x
y y
y y
y y
1 1
a x a x
x x
1 1b y b y
y y
ω ω
ω ω
ω ω
ω ω
ω ω
ω ω
+
+
∂ ∂
= + = − ∂ ∂
∂ ∂
= + = − ∂ ∂
(3.5)
ở đây các tốn tử ˆˆ,a b được gọi là “tốn tử hủy” và ˆ,ˆ ba ++ được gọi là “tốn tử sinh” [4];
,x yωω là các tham số thực dương được đưa thêm vào để tối ưu quá trình tính tốn, ta sẽ
nĩi rõ hơn về các tham số này trong bước ba.
Dễ dàng kiểm chứng các tốn tử sinh hủy (3.5) thỏa mãn hệ thức giao hốn:
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ 1, 1;a a a a bb b b+ + + +− = − = (3.6)
các giao hốn tử khác bằng khơng. Hệ thức này sẽ giúp ta đưa các tốn tử sinh hủy về
dạng chuẩn, nghĩa là các tốn tử sinh nằm ở phía bên trái và các tốn tử hủy nằm về
phía bên phải, thuận lợi cho các tính tốn đại số sau này.
Mặt khác, để thuận tiện trong tính tốn ta sử dụng các tốn tử:
( ) ( ) ( )222 2ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ2 1 , , ,N a a b b M a b M a b+ + + + += + + = + = + (3.7)
trong đĩ ba tốn tử ˆ ˆ ˆ, ,N M M + tạo thành một đại số kín, thỏa mãn các hệ thức giao hốn
( xem phụ lục 6):
ˆ ˆ ˆ
, 2M M N+ = ,
ˆ ˆ ˆ
, 4M N M = ,
ˆ ˆ ˆ
, 4 ,N M M+ + = (3.8)
đồng thời do tính đối xứng nên ta chọn x yω ω ω= = , từ đĩ ta viết lại Hamiltonian (3.4)
như sau:
( ) ( )
0
2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆexp
4
dH M M N Z M N Mω ω τ τ
pi τ
+∞
+ + = − + − − − + +
∫ . (3.9)
Thành phần cĩ dạng hàm mũ ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆexpS N M Mτ τ + = − + + cĩ thể đưa về dạng
chuẩn như sau:
( ) 1ˆ ˆ ˆ ˆexp exp ln 2 1 ( ) exp
2 1 2 2 1
S M N Mτ ττ τ
τ τ
+
= − − + − + +
,
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 31
điều này cho phép ta dễ dàng sử dụng tính tốn đại số dựa vào các tính chất (3.6) và
(3.8) (xem phụ lục 7).
Bước hai: Tách Hamiltonian ở phương trình (3.9) thành hai thành phần như sau:
Phần thứ nhất là ( )0ˆ ˆ ˆˆ ˆ, ,H a a b b ω+ + chỉ chứa các số hạng giao hốn với các tốn tử
ˆ ˆa a+ và ˆ ˆb b+ , chứa các tốn tử “trung hịa”:
( ) ( ) ( )
2
0 ˆ2 / 2
00
2 1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ
4 1 2! 1 2
i
i i
N
i
dH N Z M M
i
ω ω τ τ
pi ττ τ
+∞ ∞
+
=
= − + +
∑∫ , (3.10)
ở đây ta khai triển tốn tử ˆS theo chuỗi Taylor để tách các thành phần trung hịa.
Cịn 0ˆ ˆ ˆV H H= − cĩ thể xem như thành phần “nhiễu loạn”. Nghiệm gần đúng bậc
khơng của phương trình Schrưdinger chính là nghiệm riêng chính xác của tốn tử 0ˆH ,
cịn các bổ chính bậc cao hơn ta cĩ thể tính tốn theo sơ đồ thích hợp.
Bước ba: Tìm nghiệm chính xác bậc khơng bằng cách giải phương trình:
( ) ( )0 0(0)
0
ˆ
n n nH ψ ε ψ= . (3.11)
Trước hết ta chọn bộ hàm sĩng cơ sở cho bài tốn theo bộ hàm cơ sở của dao động
tử điều hồ:
( ) ( ) ( )1 ˆˆ, 0! ! yx
nn
x y
x y
n n a b
n n
ω+ += .
Như đã nĩi, hàm riêng của tốn tử Hamilton cũng đồng thời là nghiệm riêng của
tốn tử ˆzL và tốn tử ˆM
+
, ta viết lại bộ hàm cơ sở cho exciton hai chiều theo trị riêng m
của tốn tử ˆzL (xem phụ lục 9):
( ) ( )2 2ˆ ˆˆ ˆ( ) [( ) ( ) ] 0mkkmk m C a b a ib ω+ + + += + ± . (3.12)
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 32
với:
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
ˆ ˆ
ˆ ˆ[( ) ( ) ] 0 khi m>0
( )
ˆ ˆ
ˆ ˆ[( ) ( ) ] 0 khi m<0
mk
km
mk
km
C a b a ib
k m
C a b a ib
ω
ω
+ + + +
+ + + +
+ +
=
+ −
với k = 0, 1, 2, 3..., 0, 1, 2...m = ± ± và ( )0 ω là trạng thái chân khơng được định nghĩa:
( ) ( )ˆˆ 0 0, 0 0a bω ω= = ; (3.13)
và điều kiện chuẩn hĩa là ( ) ( )0 0 1ω ω = , cho phép ta tìm được hàm sĩng đã chuẩn
hĩa (xem phụ lục 9):
( ) ( )2 21 ˆ ˆˆ ˆ( ) [( ) ( ) ] 0
2 2 !( )!
mk
mk
k m a b a ib
k m k
ω+ + + += + ±
+
, (3.14)
với 0,1,2,...; 0, 1, 2,....k m= = ± ± .
Với hàm sĩng như trên, ta cĩ các biểu thức thường dùng ( xem phụ lục 9):
( )
( )
( )( )
ˆ
, 2 2 1 , ;
ˆ
, 2 1, ;
ˆ
, 2 1 1 1, ,
N k m k m k m
M k m k k m k m
M k m k k m k m+
= + +
= + −
= + + + +
(3.15)
giúp ta xác định được nghiệm của phương trình (3.11):
( ) ( ) ( )
( )
( )
0 2
2 12
0
( )! !1
2 1
2 ( )! !!
i
k k
k
k k m
i
k k m
H k m Z I
k i k m ii
ω
ε ω + +
=
+
= = + + −
− + −
∑ , (3.16)
với
( )
( ) ( ) ( )2
2 1
00
,
1 (2 2 3)!! 2 1 !!2
(1 ) 2 ( 1)!
q q
p p
p q
p q Z
t p q qq dtp t pI
pi
pi
+∞
−
> ≥
∈
−
− − − −
= =
+ −∫
, với , 1, 2,3...p q =
(xem phụ lục 11).
Biểu thức trên chính là năng lượng gần đúng bậc khơng tìm được phụ thuộc vào
tham số ω . Như đã nĩi, đây là tham số được đưa vào để tối ưu hĩa quá trình tính tốn,
ta xác định ω từ điều kiện (1.26) như sau:
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 33
( )
( ) ( )
( )
2
2
2 12
0
!!1
.(2 1) ( )! !!
i
k
k
m
i
m kkZ I
k m k i m k ii
ω + +
=
+
=
+ + − + −
∑ (3.17)
Tuy nhiên việc chọn ω theo điều kiện này cho tốc độ hội tụ chưa cao, việc chọn
ω
để tăng tốc độ hội tụ sẽ khảo sát thêm ở phần sau.
Bước bốn: Phương pháp tốn tử (OM) tìm nghiệm bằng số:
Vì các vector trạng thái (3.12) tạo thành một bộ cơ sở đầy đủ nên lời giải chính
xác của hàm sĩng cĩ thể viết dưới dạng chuỗi của các vector trạng thái đĩ như sau:
0
( ) ( )km l
l
l k
k m C l m
∞
=
≠
Ψ = +∑ , (3.18)
Trong phần này, ta sẽ sử dụng sơ đồ vịng lặp đã đề cập ở mục 1.3 để tìm nghiệm
số chính xác. Khi đĩ hàm sĩng chính xác ở bậc (s) ứng với năng lượng ( )skmE cĩ dạng:
( )
0
( ) ( )Skm
k s
l
l
l k
k m C l m
+
=
≠
Ψ = +∑ , (3.19)
Hệ phương trình truy tốn để xác định năng lượng chính xác ở gần đúng bậc s là:
( ) ( )
0
k s
s s
kk l lk km
l
l k
H C H ε
+
=
≠
=+∑ , (3.20)
( )
( )
( )1
1
0
,
jk jl
s
j s
k jj
k s
s
l
l
l k j
H
C
H
C H
ε −
+
−
=
≠
=
−
+ ∑
, ( )j k≠ , (3.21)
với điều kiện ban đầu là ( ) ( )00 0, km kkk HC ε == .
Các yếu tố ma trận trong sơ đồ trên cĩ thể tính một cách dễ dàng bằng các biến đổi
thuần đại số nhờ các hệ thức (3.8), (3.13) . Kết quả ta cĩ các phần tử ma trận khác
khơng như sau (xem phụ lục 10):
( ) ( )
( )
( )
2
, 2 12
0
( )! !1
2 1
2 ( )! !!
i
k k k m
k
i
k k m
H k m Z I
k i k m ii
ω
ω + +
=
+
= + + −
− + −
∑ ,
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 34
,
ˆ( ) ( ) ,k k sH k m V k s m+ = +
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
1
2 1
, 1 2 2
1
( )! ! 1 ! 1 !11 1
2 ! 1 ! ( 1 )! 1 !
k
i
k k k m
i
k k m k k m
H k k m Z I
i i k i k m i
ω
ω
+
−
+ + +
=
+ + + +
= − + + + −
− + − + + −
∑
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )1
2
, 2 1
( )! ! ! !1
! ! ( )! !s
k s
i s
k k s k m s
i s
k k m k s k m s
H Z I
i i s k s i k m s i
ω
>
+
−
+ + + +
=
+ + + +
= −
− + − + + −
∑ (3.22)
các phần tử ma trận khác thu được dựa vào tính đối xứng kl lkH H= .
Kết quả:
Năng lượng cơ bản (trạng thái 1s) tính theo lời giải giải tích : (0)1 2.00000000E = −
Bảng 3.1: Kết quả năng lượng của exciton ở trạng thái cơ bản ở bước lặp thứ
800.
ω
E (s=800)
1.00000 -1.9951755105
2.00000 -1.9975618222
3.00000 -1.9983674421
3.14159 -1.9984403712
4.00000 -1.9987727201
5.00000 -1.9990168707
6.00000 -1.9991801485
7.00000 -1.9992970683
8.00000 -1.9993848479
9.00000 -1.9994528350
10.00000 -1.9995061730
10.44444 -1.9995433599
10.55555 -1.9995304823
10.66666 -1.9995349157
10.77777 -1.9995392082
10.88888 -1.9995433599
10.99999 -1.9995473709
11.00000 -1.9995473709
11.11111 -1.9995512411
11.44444 -1.9995620012
11.88888 -1.9995743257
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 35
Theo điều kiện (1.26) ứng trường hợp mức năng lượng cơ bản ta cĩ được tham số
ω =3.14. Tuy nhiên, với số liệu thu được ở bảng 3.1 cho thấy vớiω =3.14 thì năng
lượng trạng thái cơ bản tiến về giá trị chính xác khơng nhanh.
Trong bảng 3.1 chúng tơi tiến hành khảo sát ω trong khoảng từ 1 tới 12, thì nhận
thấy khoảng giá trị ω từ 11 đến 12 cho giá trị năng lượng cơ bản tiến nhanh về giá trị
chính xác. (Lưu ý với giá trị tham sốω > 12 thì năng lượng cũng tiến về giá trị chính
xác rất chậm). Chúng tơi tiếp tục tiến hành khảo sát giá trị năng lượng theo tham số ω .
Bằng việc giảm bước nhảy giữa các giá trị ω trong khoảng 11 tới 12 và tăng số vịng
lặp từ 800 lên 1200. Giá trị năng lượng hội tụ tốt hơn, được 7 chữ số sau dấu phẩy (với
số vịng lặp 1200) và chính xác hơn. Giá trị tốt nhất mà chúng tơi chọn đượcω =
11.999999 (xem bảng 3.2).
Bảng 3.2: Khảo sát năng lựơng cơ bản của exciton với vịng lặp 1200
ω
E (s=800) E(1200)
10.999999 -1.9995473710 -1.9997002885
11.222222 -1.9995549709 -1.9997060578
11.555555 -1.9995653016 -1.9997156791
11.666666 -1.9995684569 -1.9997167969
11.777777 -1.9995714655 -1.9997193197
11.888888 -1.9995743258 -1.9997217789
11.888899 -1.9995743262 -1.9997217791
11.999999 -1.9995770359 -1.9997241749
Bằng việc khảo sát trên, chúng tơi thấy sự hội tụ của bài tốn phụ thuộc vào việc
chọn tham số ω . Tuy nhiên để cĩ được quy trình chọnω một cách tổng quát, cần sự
khảo sát chi tiết hơn nữa.
Với các mức năng lượng kích thích, khi mức kích thích càng lớn thì tốc độ hội tụ
càng nhanh. Cụ thể ứng với mức năng lượng ở trạng thái kích thích thứ 6 trở đi thì số
vịng lặp nhỏ hơn 100 và giá trị năng lượng thu được hồn tồn phù hợp với kết quả giải
tích (bảng 3.3). Điều này cần được khảo sát thêm để cĩ thể tìm ta nguyên nhân.
Bảng 3.3: Năng lượng của exciton ở một số trạng thái kích thích n
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 36
n ω
E(s=100) E(s=400) E(giải tích)
2 0.323888888 -0.2222059773 -0.2222212928 - 0.2222222222
3 0.077777777 -0.0799995280 -0.0799999991 - 0.0800000000
4 0.024455555 -0.0408163144 -0.0408163276 - 0.0408163276
5 0.111111111 -0.0246913578 -0.0246913587 - 0.0246913587
6 0.005555555 -0.0165289259 - 0.0165289259
7 0.002100000 -0.0118343195 - 0.0118343195
8 0.001122222 - 0.0088888888
- 0.0088888888
9 0.000713000 -0.0069204152
- 0.0069204152
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 37
Kết luận và hướng phát triển đề tài
Các kết quả mà luận văn đã đạt đựơc
- Thiết lập phương trình Schodinger cho exciton hai chiều, đưa ra lời giải giải tích
cho bài tốn
- Xây dựng được bộ hàm sĩng cơ sở cho bài tốn exciton hai chiều theo OM.
- Tìm nghiệm số chính xác cho năng lựơng của exciton hai chiều ở trường hợp
mức năng lựơng cơ bản và một vài trường hợp kích thích.
- Tiến hành khảo sát sự hội tụ của bài tốn khi giải bằng OM theo giá trị của của
ω
cho trường hợp năng lượng cơ bản.
Hướng phát triển đề tài
Hướng phát triển tiếp của đề tài là: tiếp tục khảo sát ω để tìm ra quy luật tối ưu
hĩa tốc độ tính tốn, sử dụng các sơ đồ khác nhau để tính tốn nghiệm chính xác. Qua
đĩ tìm ra được sơ đồ tính tốn thích hợp và ứng dụng OM cho bài tốn phức tạp hơn
như exciton âm và exciton dương trong từ trường…
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 38
PHỤ LỤC
Phụ lục 1: Các tốn tử sinh – hủy một chiều
A. Một số cơng thức tốn tử thơng dụng:
1. ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , ,AB C ABC CAB ABC ACB ACB CAB A B C A C B = − = − + − = + .
2. ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , ,A BC ABC BCA ABC BAC BAC BCA A B C B A C = − = − + − = + .
3. ˆ ˆ 1 1
2! 3!
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
A A
e B e = B+ A,B + A, A,B + A, A, A,B +...− .
Chứng minh: Xét hàm ( ) ˆ ˆˆtA tAf t e Be−= , đạo hàm theo t ta được:
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ
,
tA tA tA tA tA tAdf Ae Be e BAe e A B e
dt
− − − = − = .
Tiếp tục tính tương tự ta cĩ đạo hàm bậc k của ( )f t như sau:
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
, ,... , ,
k
tA tA
k
d f
e A A A A B e
dt
− =
,
trong đĩ giao hốn tử lấy k lần.
Mặt khác, khai triển Taylor hàm ( )f t tại điểm 0 0t = ta cĩ:
( )
0
0 00
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
, ,... , ,
! !
k k k
k
k kt
t d f tf t A A A A B
k kdt
∞ ∞
= =
=
= =
∑ ∑ .
Cho giá trị 1t = ta cĩ cơng thức cần chứng minh.
B. Các giao hốn tử thơng dụng
ˆ ˆ1. , 1a a+ =
2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2. , , , 2a a a a a a a a a+ + + = + =
( )2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ3. , , , 2a a a a a a a a a+ + + + + + = + = −
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 39
[ ]ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ4. , , ,a a a a a a a a a a+ + + = + =
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ5. , , ,a a a a a a a a a a+ + + + + + + = + = −
( )22 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ6. ( ) , ( ) , ( ) , 2a a a a a a a a a a+ + + + + + + = + = −
2 2 2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ7. , , , 2a a a a a a a a a a+ + + = + =
( ) ( ) ( )2 2 22ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ8. , , , 2 2 2(2 1)a a a a a a a a a a a aa a a+ + + + + + + = + = − − = − +
C. Tốn tử sinh-hủy
Tốn tử sinh, hủy một chiều được định nghĩa như sau:
1 1
ˆ ˆ;
2 2
d d
a x a x
dx dx
+
= + = −
ω ω
ω ω
.
1. Giao hốn tử ˆ ˆ, 1a a+ =
Ta cĩ
2
2
2 2
1 1 1 1
ˆ ˆ ,
2 2
d d d
aa x x x
dx dx dx
ω ω
ω ω ω ω
+
= + − = + −
và
2
2
2 2
1 1 1 1
ˆ ˆ ,
2 2
d d d
a a x x x
dx dx dx
ω ω
ω ω ω ω
+
= − + = − −
từ đây suy ra 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, 1
2
a a aa a a+ + + = − = =
ω
ω
.
2. Chứng minh ˆ ˆa a n n n+ =
Từ định nghĩa ( )1 ˆ 0
!
n
n a
n
+
= ta suy ra với trường hợp 0n = cơng thức trên
đúng: ˆ ˆ 0 0 0 0a a+ = = . Giả sử ta cĩ ˆ ˆ 1 ( 1) 1a a n n n+ − = − − ta sẽ chứng minh
ˆ ˆa a n n n+ = .
Thật vậy:
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 40
( ) ( )( )
( )
11 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 0
! !
1
ˆ ˆ ˆ 1 1 .
n n
a a n a a a a aa a
n n
a a a n
n
−+ + + + + +
+ +
= =
= + −
Từ đây ta cĩ
( )
( ) 1
1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 1 1
1 1
ˆ ˆ 0 .
( 1)!
n
a a n a a a n n a n
n n
n a a n n
n n
+ + + +
−+ +
= + − = −
= =
−
3. Chứng minh ˆ 1a n n n= −
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 1
1 1
1 1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 0 1 0
! ! !
1 1 1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 0 1 1
! !
1 11 ( 1) 1 1 .
n n n
n n
a n a a aa a a a a
n n n
a a a a n a a n
n n n n
n n n n n
n n
− −+ + + + +
− −+ + + +
= = = +
= + = − + −
= − + − − = −
Ta thấy rằng mỗi tốn tử hủy cĩ tác dụng “hủy” (giảm) đi một bậc của vector trạng
thái. Như vậy cứ cĩ bao nhiêu tốn tử hủy tác dụng lên vector trạng thái thì sẽ hủy
đi bấy nhiêu bậc của nĩ.
4. Chứng minh ˆ 1 1a n n n+ = + +
( ) ( ) ( )
1 11 1
ˆ ˆ ˆ0 1 0 1 1
! 1 !
n n
a n a n a n n
n n
+ ++ + +
= = + = + +
+
.
Tương tự, ta cũng thấy rằng mỗi tốn tử sinh cĩ tác dụng “sinh” (tăng) lên một bậc
của vector trạng thái. Như vậy cứ cĩ bao nhiêu tốn tử sinh tác dụng lên vector
trạng thái thì sẽ sinh thêm bấy nhiêu bậc của nĩ.
5. Chứng minh sự liên hợp của ˆ ˆ+a,a
, 1
, 1
ˆ 1 ,
ˆ 1 ,
n j
n j
n a j j n j j
j a n j j n j
−
+
−
= − =
= − =
δ
δ
ˆ ˆn a j j a n+⇒ = .
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 41
Nhận xét: Từ các tính chất (3, 4, 5) ở trên ta thấy rằng: nếu như tác dụng một tốn
tử chứa cùng số tốn tử sinh và tốn tử hủy lên một vector trạng thái, thì sẽ khơng
làm vector này thay đổi bậc, và ta gọi các tốn tử như thế là tốn tử “trung hịa”;
ngược lại nếu tốn tử chứa số tốn tử sinh – hủy khác nhau thì sẽ làm thay đổi bậc
của vector trạng thái. Đây là một tính chất rất quan trọng trong các tính tốn đại số
khi sử dụng biểu diễn tốn tử và cũng chính là yếu tố để ta tiến hành việc tách tốn
tử Hamilton của hệ thành hai thành phần: trung hịa và nhiễu loạn.
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 42
Phụ lục 2. Dạng chuẩn (normal) của một số tốn tử
trong luận văn
Dạng chuẩn (normal) của một tốn tử được định nghĩa là dạng đã được biến đổi
sao cho tốn tử hủy luơn về phía bên phải của biểu thức, tốn tử sinh luơn về phía
bên trái của biểu thức.
aˆ+ trái
aˆ phải.
Mục đích của việc đưa các biểu thức tốn tử về dạng chuẩn là giúp cho việc tính
tốn trong các bài tốn chứa nhiều loại tốn tử được dễ dàng hơn rất nhiều.
Thực vậy, khi biểu biễn tất cả trạng thái qua trạng thái cơ bản 0( )ω thì lợi dụng
tính chất ˆ 0( ) 0a =ω và ˆ 0( ) 0b ω = , chúng ta sẽ biểu diễn tất cả trạng thái cịn lại
qua biểu thức chỉ cịn một loại tốn tử sinh tác dụng.
A. Trường hợp các tốn tử sinh, hủy với số mũ lũy thừa
Trường hợp này ta chỉ cần áp dụng các tính chất của giao hốn tử trên là cĩ thể
đưa về dạng chuẩn.
Ví dụ: Đưa tốn tử ( )22ˆ ˆa a+ về dạng chuẩn ta thực hiện như sau:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
22
2 2
2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 1 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 3 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 3
ˆ ˆ ˆ ˆ2 4 .
a a a aa a a a a a aa aa aa
a a a a a a
a a a a a aa a
a a a a a a
a a a a a a
a a a a
+ + + + + + + +
+ + +
+ + + +
+ + +
+ + +
+ +
= = + = +
= + + + +
= + + + +
= + + +
= + + +
= + +
Các phép biến đổi trên thường được áp dụng khi các biểu thức tốn tử cĩ dạng
như các đa thức.
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 43
B. Trường hợp hàm e mũ của các tốn tử sinh, hủy
Đối với dạng hàm e mũ thì khi vận dụng phép biến đổi như trên sẽ gặp khĩ khăn.
Vì các tốn tử sinh hủy trên mũ khi khai triển để đưa về dạng chuẩn sẽ cĩ bậc lũy
thừa rất cao. Nên ta phải áp dụng phương pháp biến đổi khác như dưới đây.
Ví dụ: ( )ˆ ˆt a ae + +
Vì ta cĩ hệ thức giao hốn ˆ ˆ, 1a a+ = nên từ đây các tốn tử ˆ ˆ,a a
+
và số 1 tạo
thành một đại số kín. Như vậy ta cĩ thể viết:
( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )t a a f t a g t a h te e e e F t+ ++ = = . (A2.1)
và tiến hành tìm các hàm số ( ), ( ), ( )f t g t h t theo các bước sau:
Bước một: Lấy đạo hàm hai vế của (2.1) theo biến số t ta cĩ:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ' ' 't a aa a e f t a F t g t aF t h t F t+ ++ ++ = + + . (A2.2)
Định nghĩa hàm nghịch đảo của ( )F t là ( )1F t− sao cho ( ) ( )1. 1F t F t− = ta cĩ:
( ) ˆ ˆ1 ( ) ( ) ( )h t g t a f t aF t e e e +− − − −= . (A2.3)
Nhân hai vế (2.2) cho ( )1F t− và thu gọn các số hạng ta được:
( ) ( ) ( )ˆ ˆ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ' ' 'f t a f t aa a f t a g t e ae h t+ ++ + −+ = + + (A2.4)
Bước hai: Sử dụng cơng thức quen thuộc (phụ lục 1):
ˆ ˆ 1 1
2! 3!
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
A A
e B e = B+ A,B + A, A,B + A, A, A,B +...−
cùng với hệ thức giao hốn của ˆ ˆ,a a+ ta cĩ:
( ) ( )ˆ ˆ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ...f t a f t ae ae a f t a a a f t+ +− + = + + = − .
Thay vào (2.4), ta cĩ:
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
ˆ ˆ ˆ ˆ' ' '
ˆ ˆ' ' ' ' .
a a f t a g t a f t h t
f t a g t a h t g t f t
+ +
+
+ = + − +
= + + − (A2.5)
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 44
Bước ba: Đồng nhất hai vế của (2.5) và chọn điều kiện biên
Đồng nhất hai vế, ta cĩ hệ phương trình:
( )
( )
( ) ( ) ( )
' 1,
' 1,
' ' 0.
f t
g t
h t g t f t
=
=
− =
Giải hệ này ta cĩ:
( )
( )
( )
1
2
2
1 3
,
,
.
2
f t t c
g t t c
th t c t c
= +
= +
= + +
Dựa vào biểu thức (2.1), ta cĩ điều kiện khi t = 0 thì:
f(t) = g(t) = h(t)= 0.
Suy ra: c1= c2 = c3 = 0.
Như vậy dạng chuẩn của ( )ˆ ˆt a ae + + là:
( ) 2ˆ ˆ ˆ ˆ / 2t a a ta ta te e e e+ ++ = . (A2.6)
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 45
Phụ lục 3: Yếu tố ma trận cho tốn tử Hamilton của dao
động tử phi điều hịa
A. Tính các yếu tố ma trận của tốn tử Hamilton (phương pháp giải tích)
3.1 Tính các yếu tố ma trận:
Theo [1] ta cĩ:
1 1
1( ) . ( ) ( )
2n n n
H n H Hξ ξ ξ ξ
− += + .
Khi đĩ yếu tố ma trận H được tính:
2
(0)* (0) (0)* 2 (0)
0 2
1 1
ˆ ( )
2 2nn n n n n
dH H dx x dx
dx
+∞ +∞
−∞ −∞
= Ψ Ψ = Ψ − + Ψ∫ ∫
2 2
2 2 2
(0)* 2
2
1 1( 1) exp exp
2 2 2 2
n n
n x x
n n n n
d x d x dA e x e dx
dx dx dx
+∞
− −
−∞
= − Ψ − +
∫
2 2 2
2
2 2
2 2 2 1
2
1 2
(0)* 2
2 1 2 2
1 2
exp exp exp
2 2 21 1( 1) exp
2 2 2
exp exp
2 2
n n n
x x x
n n n n
n x
n n nn n
x x
n n
x d x d x d
e x e x e
dx dx dx x dA x e
dxx d x d
x e e
dx dx
+
− − −
++∞
−
+ +
−∞
− −
+ +
+ +
= − Ψ − + + +
∫ dx
( )
2
(0)*
1
2
1 1
ˆ2 exp
2 2 2
1 11
2 2
n
n n n
n
A x
n n n n A xH x dx
A
n n
+∞
+
+
−∞
= − − + + Ψ −
= − + + = +
∫
3.2 Tính yếu tố ma trận V
Từ 1 1
1( ) . ( ) ( )
2n n n
H n H Hξ ξ ξ ξ
− += + ,
ta tính được:
2
1 1 2 2
1 1 1
. ( 1) . ,
2 2 4n n n n n n
H n H H n H n n H Hξ ξ ξ
− + − +
= + = + + − +
3 2
2 2 1 3 1 3
1 1 3 3 1( ) ( 1) . ( 1)( 2) ( 1)
2 4 2 4 8n n n n n n n n
H n H n n H H n H n n n H n H Hξ ξ ξ ξ ξ
− + − − + +
= + + − + = + − − + + +
4 2
2 4 4 2
3 1 1(2 2 1) (2 3) ( 1)( 2)( 3) ( 1)(2 1)
4 4 16n n n n n n
H n n H n H H n n n H n n n Hξ + + − −= + + + + + + − − − + − −
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 46
Tính:
( )
( )
2
2
*(0) (0) *(0) 4
*(0) 22
2 4 4 2
ˆ( ) ( ) exp
2
3 1 1
. 2 2 1 (2 3) ( 1)( 2)( 3) ( 1)(2 1)
4 4 16
m n m n n
x
m n n n n n
mn
x
x V dx x A x H x dx
e n n H n H H n n n n H n n n H dx
V λ λ
λ
+∞ +∞
−∞ −∞
+∞
−
+ + − −
−∞
= Ψ Ψ = Ψ − =
= Ψ + + + + + + − − − + − −
∫ ∫
∫
( )2 2 4 4 2
2 4 4 2
3 2 2 1 (2 3) ( 1)( 2)( 3) ( 1)(2 1)
4 4 16
n n n n
mn n n n n
n n n n
A A A A
n n n n n n n n n n
A A A A
λ δ δ δ δ δ+ + − −
+ + − −
= + + + + + + − − − + − −
Khi đĩ:
( )
2
*(0) (0) *(0) 4
, 4 4 4
ˆ( ) ( ) exp ( 4)( 3)( 2)( 1)
2 4n n n n n n n
xV x V dx x A x H x dx n n n nλλ λ
+∞ +∞
+ + +
−∞ −∞
= Ψ Ψ = Ψ − = + + + +
∫ ∫
( )
2
*(0) (0) *(0)
, 2 2 2
ˆ( ) ( ) exp (2 3) ( 2)( 1)
2 2n n n n n n n
xV x V dx x A H x dx n n nλλ λ
+∞ +∞
+ + +
−∞ −∞
= Ψ Ψ = Ψ − = + + +
∫ ∫
B. Tính các yếu tố ma trận của tốn tử Hamilton( OM)
Ta cĩ:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2 22
4
4 3 24 3 2
2
1 1 3
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 1 2 2 1
4 4 4
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ4 4 6 6 .
4
H a a a a a a a a
a a a a a a a a
ω ω λ
ω ω ω
λ
ω
+ + + +
+ + + +
+ −
= + + + + + +
+ + + + + +
Ta tách ˆH thành hai phần: 0ˆ ˆ ˆH H V= + ,
( ) ( )2 20 21 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 1 2 2 14 4H a a a a a aω λω ω+ + + += + + + + ,
( )( ) ( ) ( ) ( )2 2 4 3 22 3 2 421ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ4 6 4 6 .4 4V a a a a a a a a a aω λω ω+ + + + + −= + + + + + + +
Ta tính các phần tử ma trận khác khơng của ˆH :
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
0 2
2
2
2
1 3
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 1 2 2 1
4 4
1 32 1 2 2 1 ,
4 4
nn nn
H H n a a a a a a n
n n n
ω λ
ω ω
ω λ
ω ω
+ + +
+
= = + + + +
+
= + + + +
( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
2
2 3 2
, 2 2
2 2
2 2
1
ˆ ˆ ˆ ˆ4 6 2
4 4
2 !1 14 6 2 1 2 3 ,
4 4 !4 2
n nV n a a a a n
n
n n n n
n
ω λ
ω ω
ω λ ω λ
ω ωω ω
+
+
−
= + + +
+ − −
= + + + + = + +
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 47
( )4
, 4 2 2
4 !
ˆ 4
4 4 !n n
n
V n a n
n
λ λ
ω ω+
+
= + = ;
các phần tử ma trận khác được tính dựa vào tính đối xứng: nm mnV V= .
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 48
Phụ lục 4: Phương trình Schrưdinger cho bài tốn
exciton hai chiều
Theo cơ học cổ điển, năng lượng của hệ gồm hai hạt tương tác
( )
2 2
1 2
1 22 2
p pE U r
m m
= + + .
trong đĩ r là khoảng cách giữa hai hạt, một cách tương ứng Hamiltonain của hệ
bằng:
( )
2 2
2 2
1 2
1 2
ˆ
2 2
H U r
m m
= − ∇ − ∇ + .
Gọi r1 và r2 là các bán kính vector của hạt 1 và hạt 2, r là bán kính vector từ hạt 1
sang hạt 2, R là bán kính vector của tâm bán kính G.
Chúng ta cĩ các hệ thức:
1 1 2 2
2 1
1 2
,
m r m r
r r r R
m m
+
= − =
+
.
Chiếu hai biểu thức này xuống trục x ta cĩ:
1 1 2 2
2 1
1 2 1 2
;
m x m x
x x x X
m m m m
= − = +
+ +
.
Theo hệ thức trên ta cĩ:
1
1 1 1 1 2
x X m
x x x x x x m m X
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= + = − +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂
;
2 2 22 2 2 2
1 1 1
2 2 2
1 1 1 2 1 2 1 2
2m m m
x x x m m X x m m x X m m X
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= = − + = − + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂
.
Tương tự:
2 2 22 2 2 2
1 2 2
2 2 2
2 2 1 2 1 2 1 2
2m m m
x x x m m X x m m x X m m X
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= = − + = − + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂
.
Từ hai biểu thức trên ta cĩ:
2 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 2 1
1 1 1 1 1
m x m x m m x m m X
∂ ∂ ∂ ∂
+ = + + ∂ ∂ ∂ + ∂
.
Tiến hành trên hai trục cịn lại ta thu được
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 49
2 2 2 2
1 2
1 2 2 1
1 1 1 1
r G
m m m mµ
∇ + ∇ = ∇ + ∇
+
,
trong đĩ 1 2
1 2
m m
m m
µ =
+
gọi là khối lượng rút gọn.
Khi đĩ tốn tử Hamitonain cĩ dạng:
( )
2 2
2 2
2 1
ˆ
2 2( )r GH U rm mµ
= − ∇ − ∇ Ψ +
+
(A4.1)
* Dạng khơng thứ nguyên của phương trình thứ (2.9)
( ) ( )
2 2
2
2 r r r
Ze
r E r
r
ψ ψ
µ
− ∇ − =
.
Hamilton cĩ dạng:
2 2
2
ˆ
2 r
ZeH
rµ
= − ∇ − .
đặt
. , .x ya x a yρ ρ= = và E bε= ;
2 2
2 2 2 2 2
2 2
1
; x y
x x
a a r x y
x x a
ρ ρ
ρ ρ
∂ ∂ ∂ ∂
= ⇒ = = + = +
∂ ∂ ∂ ∂
;
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
1 1
1
2 2x y x y
a aZe e Z bb
a a
µ µψ εψ ψ εψ
µ ρ ρ ρ ρ ρ ρ
∂ ∂ ∂ ∂
− + − = ⇒ − + − = ∂ ∂ ∂ ∂
.
Ta đặt:
2 2
2 2
0
. 11e ea
a r
µ µ
= ⇒ = =
;
2 2 4
2 2 2
.1b a eb
a
µ µ
µ
= ⇒ = =
.
Khi đĩ ta thu được phương trình Schrưdinger khơng thứ nguyên sau:
2 2
2 2
1
2 x y
Z ψ εψ
ρ ρ ρ
∂ ∂
− + − = ∂ ∂
. (A4.2)
Để thuận tiện ta cĩ thể viết lại phương trình Schrưdinger khơng thứ nguyên cĩ
dạng:
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 50
2 2
2 2 2 2
1
2
Z
x y x y
ψ εψ
∂ ∂
− + − = ∂ ∂ +
. (A4.3)
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 51
Phụ lục 5: Hamilton cho bài tốn exciton hai chiều
Chuyển từ tọa độ vuơng gĩc sang hệ tọa độ cực:
os
sin
x rc
y r
ϕ
ϕ
=
=
Chuyển từ tọa độ cực sang hệ tọa độ vuơng gĩc:
2 2
arctg
r x y
y
x
ϕ
= +
=
.
1. Tốn tử Hamilton ˆH
Để chuyển tốn tử
2 2
2 2x y
∂ ∂∆ = +
∂ ∂
sang hệ tọa độ cực, ta tiến hành ta tiến hành
chuyển các đạo hàm theo tọa độ vuơng gĩc sang tọa độ cực.
Lấy ví dụ là đạo hàm theo biến x. Theo quy tắc đạo hàm của hàm số hợp:
r
r
x x x
ϕ
ϕ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
(A5.1)
Muốn thực hiện phép chuyển này ta phải tính các đạo hàm riêng: ,r
x x
ϕ∂ ∂
∂ ∂
,
os
1
sin
r x
c
x r
x r
ϕ
ϕ ϕ
∂
= =∂
∂
= −
∂
, (A5.2)
Thay (5.2) vào (5.1) ta được:
2 2
2 2 2
2 2 2 2
1
os sin
r
1 1
os sin os sin
r r r
1 2 2 1
os sin sin os sin os sin
r rr
c
x r
r
c c
x x r x r
c c c
r r r r
ϕ ϕ
ϕ
ϕϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ
∂ ∂ ∂
= −
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= − + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= + − + +
∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂
Tương tự tính cho
y
∂
∂
, với các đạo hàm riêng:
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 52
sin
;
1
os
r
y
c
y r
ϕ
ϕ ϕ
∂
=∂
∂
=
∂
Ta cĩ:
2
2
2 2
2 2 2
2 2 2
1 1
sin os sin os
r r r
1 1 1
sin sin os os sin os
r r r
2 2 1 1
sin sin os sin os os os
r rr
r
c c
y r y ry
c c c
r r r
c c c c
r rr r
ϕϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= − + + +
∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ 2
Khi chuyển
2 2
2 2x y
∂ ∂∆ = +
∂ ∂
sang hệ tọa độ cực ta được:
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
= .
rr
r
r r r rx y r rϕ ϕ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ + + = + ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂
.
Từ cơng thức của tốn tử Laplace trong tọa độ cực, ta cĩ cơng thức của tốn tử
Hamilton của electron.
2
2 2
1 1
ˆ ( )
2 2
H r U r
r r r r ϕ
∂ ∂ ∂
= − − + ∂ ∂ ∂
(A5.3)
2. Tốn tử ˆxL
ˆ
ˆ ˆ
x z yL yp zp i y z
z y
∂ ∂
= − = − − ∂ ∂
(A5.4)
Thay các biểu thức ở phần trên vào (3) ta cĩ:
1
sin sin os sin
1 1 os
os sin sin os sin
r sin
y r c
z r r
c
z rc c
y r r
θ ϕ θ θ
θ
ϕθ θ ϕ θ ϕ
θ θ ϕ
∂ ∂ ∂
= − ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂
= + + ∂ ∂ ∂ ∂
Từ đĩ ta thu được:
ˆ
ˆ ˆ sin cot osx z yL yp zp i g cϕ θ ϕθ ϕ
∂ ∂
= − = − + ∂ ∂
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 53
3. Với tốn tử ˆ ˆ,y zL L :
ˆ
ˆ
y
Z
L i z y
y z
L i x y
y x
∂ ∂
= − − ∂ ∂
∂ ∂
= − − ∂ ∂
Tương tự như tốn tử ˆxL , ta cũng thay các đạo hàm riêng cĩ được ở trên vào:
ˆ os cot sin
ˆ
y
Z
L i c g
L i
ϕ θ ϕ
θ ϕ
ϕ
∂ ∂
= − − ∂ ∂
∂
= −
∂
4. Tìm riêng và trị riêng của tốn tử ˆzL
Phương trình hàm riêng- trị riêng của ˆzL :
ˆ
z z z
uL u L u i L u
ϕ
∂
= → − =
∂
.
Vì hàm U chỉ phụ thuộc vào biến số ϕ nên ta thay đạo hàm riêng tồn phần thành
đạo hàm tồn phần:
( ) . z
z
iL
dui L u
d
u C e ϕ
ϕ
ϕ
− =
=
,
hệ số C được xác định từ điều kiện chuẩn hĩa:
2
2
0
( ) 1u d
pi
ϕ ϕ =∫ , ta được
1
.
2
C
pi
=
Khi ϕ thay đổi một lượng 2pi thì hạt trở lại vị trí ban đầu. Do đĩ , để ( )u ϕ xác
định đơn giá thì
( 2 )
2
1
2 2
m= 0, 1, 2...
z z
z
iL iL
i L
z
z
e e
e
L m
L m
ϕ ϕ pi
pi ϕ
pi pi
+
=
=
=
= ± ±
Vậy hàm riêng của tốn tử ˆzL là :
1( ) .
2
imu e ϕϕ
pi
= ,
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 54
và trị riêng là m= 0, 1, 2...zL m= ± ±
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 55
Phụ lục 6: Các tốn tử sinh – hủy hai chiều
ˆ ˆ( ) , ( ) ,
2 2
ˆ ˆ( ) , ( ) ;
2 2
x x
x x
x x
y y
y y
y y
1 1
a x a x
x x
1 1b y b y
y y
ω ω
ω ω
ω ω
ω ω
ω ω
ω ω
+
+
∂ ∂
= + = − ∂ ∂
∂ ∂
= + = − ∂ ∂
Suy ra
( ) ( )22ˆ ˆ ˆ ˆ
22
a a a a
x x
ωω
+ ++ +
= → =
( ) ( )22ˆ ˆ ˆ ˆ
22
b b b b
y y
ωω
+ ++ +
= → =
( )
( )
ˆ ˆ
2
ˆ ˆ
2
a a
x
b b
y
ω
ω
+
+
∂
= −
∂
∂
= −
∂
Suy ra :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2x y a a a a b b b b a a b bx y + + + + + +∂ ∂+ = + − + + − = − + −∂ ∂
Ta cĩ:
( ) ( )
( )
2 2 22
2
2 22
2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 1 ;
2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ2 1 .
2
x x
y
a a a a a a
x
b b b b
y
ω ω
ω
+ + +
+ +
∂
= − = − − + ∂
∂
= − − +
∂
( ) ( )
( )
( )
2 2 22
2 2
2 2 2 2
ˆ ˆ
ˆ ˆ
2
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2 ( ) ( )
2
1
ˆ ˆ ˆ
2
a a b b
x y
a b a a b b a b
M N M
ω
ω
ω
+ +
+ + + +
+
∂ ∂ + = − + −
∂ ∂
= + − − − + +
= − +
Mặt khác:
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 56
( )
( )
22 2
22 2
1
ˆ ˆ ˆ ˆ2 1 ;
2
1
ˆ ˆ ˆ ˆ2 1 ;
2
x
y
x a a a a
y b b b b
ω
ω
+ +
+ +
= + + +
= + + +
Suy ra:
( ) ( )
( ) ( )
( )
22
2 2
222 2
ˆ ˆ
ˆ ˆ
2 2
1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
2
1
ˆ ˆ ˆ
2
b ba a
x y
a b aa bb a a b b a b
M N M
ω ω
ω
ω
++
+ + + + + +
+
++
+ = +
= + + + + + + +
= + +
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
ˆ ˆ ˆ ˆˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
2
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
2
yx
z
y x
x y x y
x y
iL ix y b b a a a a b b
y x
i
ab a b ab a b
ωω
ω ω
ω ω ω ω
ω ω
+ + + +
+ + + +
∂ ∂ =− − = + − − + − ∂ ∂
= − − + + −
Khi x yω ω ω= = , ta cĩ:
( ) ( )2 2 222 22 2 ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2 ;2 a b a b a a b bx y ω + + + +∂ ∂ + = + + + − − − ∂ ∂
( ) ( )222 2 2 21 ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2 .2x y a b a b a a b bω + + + + + = + + + + + +
( )ˆ ˆˆ ˆ ˆzL i ab a b+ += − .
A. Để thuận tiện trong tính tốn, ta sử dụng các tốn tử:
( )
( )
22
22
ˆ ˆˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ2 1, , ,
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ2 1, , ,
x
y
N a a A a A a
N b b B b B b
+ + +
+ + +
= + = =
= + = =
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ; ;x yN N N M A B M A B
+ + +
= + = + = +
trong đĩ từng bộ ba tốn tử ˆ ˆˆ , ,xN A A+ , ˆ ˆ ˆ, ,yN B B+ , ˆ ˆ ˆ, ,M M N
+
tạo thành các đại số kín,
thỏa mãn các hệ thức giao hốn:
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 57
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ
, 2 , , 4 , , 4 ,
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
, 2 , , 4 , , 4 ,
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
, 2 , , 4 , , 4 .
x x x
y y y
A A N A N A N A A
B B N B N B N B B
M M N M N M N M M
+ + +
+ + +
+ + +
= = =
= = =
= = =
các giao hốn tử khác bằng 0.
Tính các giao hốn tử:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 22
1 1 1 1
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , , ,
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , , ,
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2 1 2 x
A A a a a a a a a a
aa a a a a a a a a a a a a a a
a a aa a a N
+ + + +
+ + + + + + + +
= = = =
+ + +
= = +
= + + +
= + = + =
( )
[ ]
[ ]
2 2
2
0 0
2
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,2 1 2 , 2 , ,
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 , , , ,
ˆ
ˆ4 4
xA N a a a a a a a a a a a a a a
aa a a a a a a a a a a a a a
a A
+ + + +
+ + + +
= =
= + = = +
= + + +
= =
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
2 2 2 2
0
2 2
ˆˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, 2 1, 2 , 2 , ,
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 , , 4 4
xN A a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a A
+ + + + + + + + +
=
+ + + + + + +
= + = = +
= + = =
0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
, , , , , ,
ˆ ˆ ˆ2 2 2x y
M M A B A B A A A B B A B B
N N N
+ + + + + + +
= =
= + + = + + +
= + =
00
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
, , , , , ,
ˆ ˆ ˆ4 4 4
x y x y x yM N A B N N A N A N B N B N
A B M
==
= + + = + + +
= + =
0 0
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
, , , , , ,
ˆ ˆ ˆ4 4 4
x y x x y yN M N N A B N A N B N A N B
A B M
+ + + + + + +
= =
+ + +
= + + = + + +
= + =
B. Chứng minh tốn tử ˆH giao hốn với tốn tử ˆzL
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 58
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ( )( ) ( ) ( )
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
( )
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
( 1) ( 1) ( 1)
ZL M i ab a b a a b b a a b b i ab a b
i ab a a a a ab b b a b a bb b
i a a a b a aa b b b b a
+ + + + + + + + + + + + +
+ + + + + + + + + + + +
+ + + + + + + + +
= − + − + −
= − + −
= + − − + − − ˆ ˆ ˆ ˆ( 1)
ˆ ˆ
ˆ ˆ
2 2 0
b b b a
i a b a b
+ + +
+ + + +
+
= − =
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ( )( ) ( ) ( )
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
( )
ˆ ˆ
ˆ ˆ
2 2 0
ZL M i ab a b aa bb aa bb i ab a b
i ab bb aaab aaa b a aab
i ab ab
+ + + +
+ + + +
= − + − + −
= − + −
= − + =
+ + + + + + + + + + + + + + + +
+ +
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ( )2( ) 2( ) ( )
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
=2i(aa ab -a aab +b bab -bb ab +a aa b-a a ab+bb a b-bba b
ˆ ˆ
ˆ ˆ
=2i(ab -ab
ZL N i ab a b a a bb a a bb i ab a b
+ + + + + + + + = − + − + −
+ +ˆ ˆ
ˆ ˆ+ab -ab )=0
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 59
Phụ lục 7: Dạng chuẩn của tốn tử { }ˆ ˆ ˆ ˆexp ( )S M M Nτ += − + +
Do các tốn tử ˆ ˆ ˆ, ,M M N+ tạo thành một đại số kín, ta cĩ thể sử dụng cơng thức
cho hai tốn tử khơng giao hốn bất kỳ ˆ ˆ,X Y :
( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1exp exp [ , ] exp exp2X Y X Y X Y+ = − , (A7.1)
ta cĩ thể đưa tốn tử ˆS về dưới dạng chuẩn như sau:
( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆexp ( ) exp ( ) exp ( ) ( ) exp ( )M M N f M g N h Mτ τ τ τ+ +− + + = . (A7.2)
Ở đây chúng ta cần xác định các hàm số ( ), ( ), ( )f g hτ τ τ với điều kiện biên:
(0) 0, (0) 0, (0) 0f g h= = = . (A7.3)
Bước một: Lấy đạo hàm hai vế của (A7.2) theo τ :
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( )exp ( )
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
'( ) '( ) exp ( ) exp ( ) exp ( )
ˆ ˆ ˆ ˆ
'( )exp ( ) exp ( ) exp ( ) .
M M N M N M
f M F g f M N g N h M
h f M g N M h M
τ
τ τ τ τ τ τ
τ τ τ τ
+ +
+ +
+
− + + − + + =
= +
+ (A7.4)
Nhân (A7.4) với tốn tử ngược 1ˆS − : với tốn tử 1ˆ ˆ. 1S S − = ,
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) exp ( ) exp ( )
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) exp ( ) exp ( ) exp ( ) exp ( )
M M N f M g t f M N f M
h f M g N M g N f M
τ τ τ
τ τ τ τ τ
+ + + +
+ +
′ ′
− + + = + −
′+ − − (A7.5)
Bước hai: Ta sử dụng cơng thức
( ) ( ) 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆexp exp , , , , , ,2! 3!X Y X Y X Y X X Y X X X Y − = + + + + …
Tính lần lượt các thành phần của (A7.5):
( ) ( ) 21ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( )exp ( ) exp ( ) ( ) ( ) , ( ) , , ...2!I g f M N f M g N f M N f M M Nτ τ τ τ τ τ+ + + + + ′ ′= − = + + +
( )
21
ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )( 4 ) ( ) , 4 ...
2!
ˆ ˆ( ) 4 ( )
g N f M f M M
g N f M
τ τ τ
τ τ
+ + +
+
′= + − + − +
′= −
(A7.6)
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 60
Trước hết ta tính thành phần:
( ) ( ) 2
2
4 ( )
1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆe x p ( ) ex p ( ) ( ) , ( ) , . ..
2 !
ˆ1 6
ˆ ˆ4 ( ) . ..
2 !
ˆ
.
g
J g N M g N M g N M g N N M
MM M g
M e τ
τ τ τ τ
τ
−
= − = + + +
= − + +
=
(A7
.7)
Tiếp theo ta tính thành phần:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
4 ( )
4 ( ) 2
4 ( ) 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( )exp ( ) exp ( ) exp ( ) exp ( )
ˆ ˆ ˆ( ) exp ( ) exp ( )
1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) , ( ) , , ...
2!
ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( ) 4 ( )
g
g
g
K h f M g N M g N f M
e h f M M f M
e h M f M M f M M M
e h M Nf M f
τ
τ
τ
τ τ τ τ τ
τ τ τ
τ τ τ
τ τ τ
+ +
− + +
− + + +
− +
′= − −
′= −
′= + + +
′= − +
(A7.8)
Thay vào trong biểu thức:
( ) ( ) ( )4 ( ) 2
4 ( ) 4 ( ) 4 ( ) 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 2 ( ) 4 ( )
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) 4 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 4 ( ) ( )
g
g g g
M M N f M g N f M e h M Nf M f
f M g N g f M e h M e h Nf e h f M
τ
τ τ τ
τ τ τ τ τ τ
τ τ τ τ τ τ τ τ τ
+ + + − +
+ + − − − +
′ ′ ′
− + + = + − + − +
′ ′ ′ ′ ′ ′= + − + − +
Bước ba: Đồng nhất các hệ số trước các tốn tử ˆ ˆ ˆ, ,M M N+ ta thu được hệ phương
trình vi phân trên để xác định các hàm số ( ), ( ), ( )f g hτ τ τ :
4 ( ) 2
4 ( )
4 ( )
1 ( ) 4 ( ) ( ) 4 ( ) ( )
1 2 ( ) ( ) ( )
1 ( )
g
g
g
f g f e h f
e h f g
e h
τ
τ
τ
τ τ τ τ τ
τ τ τ
τ
−
−
−
′ ′ ′− = − +
′ ′
− = − +
′
− =
(A7.9)
. ( )2 1 2 1( ) 1 2 ( ) ( ) .
2 2
Cf f f
C
τ
τ τ τ
τ
− + −
′→ = − + → =
+
áp dụng điều kiện biên 1(0) 0 (0) 0 1 ( )
2 2 1
Cf f C f
C
τ
τ
τ
− −
= → = = → = → =
+
(A7.10)
Thay vào trong hệ phương trình:
1( ) ln 2 1
2
g Cτ τ= − + +
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 61
( ) ( )
1 1 1 1 1( ) 1
2 2 1 2 2 2 1 2 1
h ττ
τ τ τ
−
= − = − = + + +
Áp dụng điều kiện biên:
( ) ( )
1 1 1 1 1( ) 1
2 2 1 2 2 2 1 2 1
h ττ
τ τ τ
−
= − = − = + + +
(A7.11)
( ) ( )
1 1 1 1 1( ) 1
2 2 1 2 2 2 1 2 1
h ττ
τ τ τ
−
= − = − = + + +
(A7.12)
Như vậy ta đã tìm được dạng chuẩn của tốn tử
( ) 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆexp ( ) exp exp ln 2 1 ( ) exp .2 1 2 2 1M M N M N Mτ ττ ττ τ+ +− − − + + = − + + + (A7.13)
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 62
Phụ lục 8: Chuyển tốn tử Hamilton qua biểu diễn tốn tử sinh –hủy
2 22 2 ( )
2 2
0
1
ˆ
2
t x yZ eH dt
x y tpi
+∞
− + ∂ ∂
= − + − ∂ ∂ ∫
( ) ( )
0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆexp
4 2
Z dt tH M M N M N M
t
ω
ωpi
+∞
+ +−
= − + − − + +
∫
( ) ( )
0
2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆexp
4
dH M M N Z M N Mω ω τ τ
pi τ
+∞
+ + = − + − − − + +
∫
với tốn tử cĩ dạng hàm mũ ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆexpS N M Mτ τ + = − + + cĩ thể đưa về dạng
chuẩn như sau ( xem phụ lục 5):
( ) 1ˆ ˆ ˆ ˆexp exp ln 2 1 ( ) exp
2 1 2 2 1
S M N Mτ ττ τ
τ τ
+
= − − + − + +
Khai triển S theo chuỗi Taylor ta được:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
1
ˆ ln 1 2
2
0 0
2
ˆ ˆ2 /2 /2
0 0 0
1 2
1
ˆ ˆ ˆ
! ! 1 2
1 1 1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ
1 2 ! ! 1 2! 1 2 1 2
ˆ ˆ
i j
i N j
i j
i i j
i ii j
N N
i i j
i j
S M e M
i j
M M M M
i ji
S S
ττ
τ
τ τ
τ ττ τ
+
∞ ∞
− +
+
= =
+
∞ ∞ ∞
+ +
= = =
≠
−
= +
− −
= + + + + +
= +
∑∑
∑ ∑∑
Khi đĩ ta cĩ thể tách Hamiltonian thành hai thành phần:
( ) ( ) ( )
2
0 ˆ2 / 2
00
2 1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ
4 1 2! 1 2
i
i i
N
i
dH N Z M M
i
ω ω τ τ
pi ττ τ
+∞ ∞
+
=
= − + +
∑∫ ,
( ) ( ) ( ) ( )( ) ˆ / 20 00
12 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
4 ! ! 1 2 1 2
i j i j
i j
N
i j
i j
dV M M Z M M
i j
ω ω τ τ
pi ττ τ
+ ++∞ ∞ ∞
+ +
= =
≠
−
= − + − + +
∑∑∫
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 63
Phụ lục 9: Chuẩn hĩa bộ hàm sĩng cơ sở cho bài tốn exciton hai chiều
Trước hết, ta chọn bộ hàm sĩng của dao động tử điều hịa (vì hàm này chắc chắn
là nghiệm riêng của các tốn tử trung hịa nên sẽ là nghiệm riêng của 0ˆH )
( ) ( ) ( )ˆˆ, 0 ,yx
x y
nn
x y n n x yn n C a b ω ω
+ +
=
,
trong đĩ ,x yn n là các số nguyên dương và 0 là trạng thái chân khơng được định
nghĩa:
( ) ( )ˆˆ 0 , 0, 0 , 0x y x ya bω ω ω ω= = ;
và điều kiện chuẩn hĩa là 0 0 1= .
Như vậy nghiệm riêng của phương trình Schrưdinger ta sẽ viết dưới dạng tổ hợp
tuyến tính của các vector sĩng trên:
( ) ( ) ( )
, ,
ˆ
ˆ, 0 ,yx
x y x y
x y x y
nn
n n x y n n x y
n n n n
C n n C a bψ ω ω+ += =∑ ∑ .
Nhận xét: tổng số mũ của hai tốn tử ˆˆ ,a b+ + là x yn n+ . (*)
Mặt khác do tốn tử ˆzL là đại lượng bảo tồn nên hàm riêng của phương trình
Schrưdinger phải đồng thời là hàm riêng của tốn tử này:
ˆ
zL mψ ψ= , với ( )ˆ ˆˆ ˆ ˆzL i b a a b+ += − .
Ta cĩ:
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
,
1 11 1
,
ˆ ˆ ˆˆ
ˆ ˆ ˆ 0 ,
ˆ ˆ
ˆ ˆ 0 , .
yx
x y
y yx x
x y
nn
z x y
n n
n nn n
x y x y
n n
L Ci b a a b a b
Ci n a b n a b
ψ ω ω
ω ω
+ + + +
+ −
− ++ + + +
= −
= −
∑
∑
Nhận xét: tổng số mũ của hai tốn tử ˆˆ ,a b+ + vẫn là x yn n+ .(**)
Như vậy, từ hai nhận xét (*) và (**), kết hợp với cơng thức khai triển nhị thức
Newton, ta cĩ thể chọn dạng của hàm sĩng cơ sở như sau:
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 64
( )22 )ˆ ˆˆ ˆ, [( ) ( ] 0mkkmk m C a b a ib+ + + += + ± .
Xét:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 1
1 2 2 3 1
2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , ,
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
= , , , ... ,
ˆˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ, , ,
k k k k k k
k k k k k
a M M a a M M a a M M M a M
M a a M M M a M M M a M M M a M
a M a a a b
− −
+ + + + + + + +
− − − −
+ + + + + + + + + + +
+ + +
= + = + +
+ + + + +
= +
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
1 1
1
ˆ2
ˆ
ˆ , 0
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ2 ... 2
ˆ ˆ
ˆ ˆ
2 .
k
k k k k
k k
a
a M
a M M a a M M a
M a k M a
+
+ +
− −
+ + + + + +
−
+ + +
=
=
→ = + + +
= +
Tính các tốn tử sau:
( ) ( ) ( ){ }
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
12
1 1 2 22
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ2
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ4 2 4 ( 1) ;
k k k
k k k k
a M a M a k M a
M a k M a a k M k k M a
−
+ + + +
− − −
+ + + + + +
= +
= + + + −
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )21 1 22 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ4 2 4 ( 1)k k k k kb M M b k M b b k M k k M b− − −+ + + + + + += + + + − ;
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
21 2 22 2
1 1
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ4 1 4 ( 1)
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 4 ( 1) ;
k k k k
k k k
M M M a b k M a a b b k k M a b
M M k M N k k M
− −
+ + + + + + + +
− −
+ + +
→ = + + + + + − +
= + + −
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ2 ;k k ka ib M M a ib k M a ib−+ + + + +± = ± + ±
( ) ( ) ( ) ( )1 2ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2k k ka a M M a a k M a−+ + + + + += + ;
( ) ( ) ( ) ( )21ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ2k k kb b M M b b k M b−+ + + + + += + ;
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ2 1 2 1 4 4k k k k k kN M a a b b M M a a b b k M M N k M+ + + + + + + + + += + + = + + + = +
Tính
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 65
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, 0 0 2 0m m mk k kkm km kma k m C a M a ib C M a a ib kC M a a ib−+ + + + + + + + + += ± = ± + ±
( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, 0 0m mk kkm kma k m C a M a ib C M a a ib+ + + + + + + + += ± = ±
( ) ( ) ( ) ( )1ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ, 0 0m mk kkm kmM k m C M M a ib C M a ib++ + + + + + + += ± = ±
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
1 1
0
1,
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ, 0 2 0 4 ( 1) 0 ,
4 1, .
m m mk k k
km km km
km
k m
M k m C M M a ib kC M N a ib k k C M a ib
Ck k m k m
C
− −
+ + + + + + + + +
=
−
= ± + ± + − ±
= + −
Tính :
( ) 1
1,
,
,
ˆ ˆ
, 4 1,
4 ( 1)( 2)...( 1)( )( 1)...( 1) ,
!( )!
4 , .( )!( )!
j jkm
k m
j km
k j m
j km
k j m
CM k m k k m M k m
C
Ck k k k j m k m k m k j k j m
C
k m k C k j m
k j m k j C
−
−
−
−
= + −
= − − − + + + − + − + −
+
= −
− + −
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ){ }
( )
1
, 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, 2 0
2 , 1
m mk k
km
km
k m
a ib k m C M a ib a ib k M a ib a ib
Ck m k m
C
−
+ + + + + + + +
−
= ± + ±
= + −
∓ ∓ ∓
Tính
( ) ( ) ( )
( )
( )
1
, 1
,
ˆ ˆ
ˆ ˆ, 2 , 1
...
!
2 , .
!
l l
km
k m
l km
k m l
C
a ib k m k m a ib k m
C
k m C k m l
Ck m l
−
−
−
= + −
=
+
= −
+ −
∓ ∓
Từ điều kiện chuẩn hĩa ta thu được như sau:
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 66
( )
( )
( )
2
0,
2
0,
0, 1
2 2
ˆ ˆ
ˆ, , 0 ,
!( )!
ˆ
ˆ4 0 0,
!
!( )!
4 2 ! 0 0
!
2 !( )! 1
m k
km
mk km
m
mk km
m
m
k m
km
m k k m C a ib M k m
k m k C
a ib m
m C
k m k C
m C
m C
k m k C
=
+
=
+
=
+
=
= + =
∓
∓
,
1
2 2 !( )!k m mk
C
k m k
=
+
.
Vậy ta thu được hàm sĩng sau khi chuẩn hĩa cĩ dạng:
( ) ( )1 ˆˆ ˆ, 0
2 2 !( )!
mk
mk
k m M a ib
k m k
+ + +
= ±
+
.
Tính các tác dụng của các tốn tử lên hàm sĩng này:
( )
( )( )
( )
ˆ
, 2 1, ;
ˆ
, 2 1 1 1, ;
ˆ
, 2 2 1 , .
M k m k k m k m
M k m k k m k m
N k m k m k m
+
= + −
= + + + +
= + +
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 67
Phụ lục 10: Các thành phần ma trận cho bài tốn exciton hai chiều
Từ điều kiện chuẩn hố ta thu được bộ hàm cơ sở cho nguyên tử hydro như sau:
( ) ( )1 ˆˆ ˆ, 0
2 2 !( )!
mk
mk
k m M a ib
k m k
+ + +
= ±
+
.
( )
( )
( )
( )
( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
ˆ
, 2 2 1 , ;
ˆ
, 2 1, ;
( )! !
ˆ
, 2 , ;( )! !
ˆ
, 2 1 1 1, ;
! !
ˆ
, 2 , .
! !
j j
i i
N k m k m k m
M k m k k m k m
k k m
M k m k j m
k j k m j
M k m k k m k m
k i k m i
M k m k i m
k k m
+
+
= + +
= + −
+
= −
− + −
= + + + +
+ + +
= +
+
* Tính thành phần ma trận của tốn tử ˆS
Do tốn tử ˆS đựơc tách làm hai thành phần, ta tiến hành tính lần lượt các thành
phần ma trận của tốn tử ˆS là 1 2ˆ ˆS ,S như sau:
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )( )
2
1 ˆ2 /2
0
2
2 2 2 1
0
2
2 2 1
0
1 1
ˆ ˆ ˆ
, ,
1 2! 1 2
( )! ! ! !1 12 2 ,
1 2 ( )! ! ! !! 1 2
( )! !1 12 ( )! !! 1 2
i
i i
N
i
ik
i i
k i m
i
k
i
k m
i
S k m M M k m
i
k k m k k m
k m
k i k m i k i k m ii
k k m
k i k m ii
τ
τ τ
τ
τ τ
τ
τ
∞
+
=
− + +
=
+ +
=
− = + +
+ +
− = + − + − − + − +
+
= −
− + − +
∑
∑
∑ ,k m
Thành phần 2ˆS :
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 68
( ) ( )( )
( )
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 ˆ /2
0 0
2 2 1
0 0
1 1
ˆ ˆ ˆ
, ,
! ! 1 2 1 2
( )! ! ! !1 12 2 ,
! ! 1 2 ( )! ! ! !1 2
( )! ! ! !1 2
! ! (
i j
i j
N
i j
i j
i jk
j i
k j m
i j
i j
i j
S k m M M k m
i j
k k m k i j k m i j
k i j m
i j k j k m j k j k m j
k k m k i j k m i j
i j k j
τ
τ τ
τ
τ τ
τ
+
∞ ∞
+
= =
≠
+
∞
− + +
= =
≠
+
−
= + +
+ + − + + −
−
+ − + − + − − + − +
+ + − + + −
= −
−
=
∑∑
∑∑
( ) ( )( )( ) 2 10 0
1
,)! ! 1 2
k
k j i m
i j
i j
k i j m
k m j τ
∞
− + + +
= =
≠
+ −
+ − +
∑∑
Khi đĩ ta tính
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )( )
( )
( )
( )
( ) ( )( )
2
1 ˆ2 /2
0
2
2 2 1
0
1
2
2 2 1
0
1 1
ˆ ˆ ˆ
, , , ,
1 2! 1 2
( )! !2 1
, ,( )! !! 1 2
( )! !2 1
( )! !! 1 2
i
i i
N
i
ik
k m
i
ik
k m
i
m k S k m m k s M M k m
i
k k m
m k k m
k i k m ii
k k m
k i k m ii
τ
τ τ
τ
τ
τ
τ
∞
+
=
+ +
=
=
+ +
=
− = + + +
+
−
=
− + − +
+
−
=
− + − +
∑
∑
∑
Tính
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
2 ˆ /2
0 0
1 4 4 20 0 2
1 1
ˆ ˆ ˆ
, , , ,
! ! 1 2 1 2
( )! ! ! !1 2 1
, ,
! ! 1 2 ( )! ! 1 2
1 2
! ! 1
2
i j
i j
N
i j
i j
i jk s k
k j mi j
i j
m k s S k m m k s M M k m
i j
k k m k i j k m i j
m k s k i j m
i j k j k m j
i j
τ
τ τ
τ
τ τ
τ
τ
+
∞ ∞
+
= =
≠
++
− + +
= =
≠
− + = + + +
+ + − + + −
−
= + + − + − + − +
−
=
+
∑∑
∑∑
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
,2 2 1
0 0
2
2 1
( )! ! ! ! 1
( )! ! 1 2
( )! ! ! !2 1
!( )! ( )! ! 1 2
i jk s k
s i jk j m
i j
i j
i sk s
k s m
i s
k k m k i j k m i j
k j k m j
k k m k s k m s
i i s k s i k m s i
δ
τ
τ
τ
++
−
− + +
= =
≠
−
+
+ + +
=
+ + − + + −
− + − +
+ + + +
−
=
− + − + + − +
∑∑
∑
* Tính các phần tử ma trận:
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 69
( ) ( )( )
( )
( ) ( )( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )( ) ( )
, 0 1
0
2
2 2 1
00
2
2 2 1
0 0
2
ˆˆ ˆ
, , , ,
4
( )! !22 12 2 1
4 ( )! !! 1 2
( )! ! 22 12 1 2 2
2 ( )! !! 1 2
km km
ik
k
i
i
k
m
i
k m
dH m k H k m m k N Z S k m
k k mdk m Z
k i k m ii
k k m
k m Z d
k i k m ii
ω ω τ
pi τ
τω ω τ
pi τ τ
τω ω
τ
pi τ
+∞
+∞
+ +
=
+∞
+ +
=
= = −
+
−
= + + −
− + − +
+
−
= + + −
− + − +
∫
∑∫
∑ ∫
Đặt 2
2
d
t dt ττ
τ
= → =
( ) ( )
( )
( )
( )
( )( )
( ) ( )
( )
( )
2
, 2 2 1
0 0
2
2 12
0
( )! ! 212 1 2
2 ( )! !! 1 2
( )! !1
= 2 1
2 ( )! !!
i
k k k m
i
k
k
i
k m
i
k k m
H k m Z dt
k i k m ii
k k m
k m Z I
k i k m ii
τω ω
pi τ
ω
ω
+∞
+ +
=
+ +
=
+
−
= + + −
− + − +
+
+ + −
− + −
∑ ∫
∑
với
( )
( ) ( ) ( )2
2 1
00
,
1 (2 2 3)!! 2 1 !!2
(1 ) 2 ( 1)!
q q
p p
p q
p q Z
t p q qq dtp t pI
pi
pi
+∞
−
> ≥
∈
−
− − − −
= =
+ −∫
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )( )
2, , , ,
0
, 1 , 1
,2 1
0 00
2
ˆˆ ˆ ˆ
, , , ,
4
2 2 1 1
4
( )! ! ! !2 1 2 1
! ! 1 2 ( )! ! 1 2
kmkm k s m k s m
k s k k s k
i jk
k s kk s m
i j
i j
dH H m k s V k m m k s M M Z S k m
k k m k k m
k k m k s k m sdZ
i j k s i k m s i
ω ω τ
pi τ
ω δ δ
ω τ τ δ
pi ττ τ
+∞
+
+ +
+ − + +
++∞ ∞
+ ++ + +
= =
≠
= = + = + − + −
= − + + + + +
+ + + +
−
− + + − + + − +
∫
∑ ∑∫
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )( )
( ) ( ) ( )( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
, 1 ,1
22
2 120
, 1 ,1
2
2 1
1 1
2
( )! ! ! !1
2
!( )! ( )! ! 1
1 1
2
( )! ! ! !1
! ! ( )! !
i j
s s
i s
k s
k s m
i s
s s
k m s
k k m k k m
k k m k s k m s t
Z
i i s k s i k m s i t
k k m k k m
k k m k s k m s
Z I
i i s k s i k m s i
ω δ δ
ω
pi
ω δ δ
ω
−
−
−
+∞+
+ + +
=
−
+ + +
= − + + + + +
+ + + + −
−
− + − + + − +
= − + + + + +
+ + + +
−
− + − + + −
∑ ∫
k s
i s
i s
+
−
=
∑
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1, , , , , , , , ,k m k s m k s m k m k m k s mH H H k k s− − += = = −
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 70
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
1
2 1
, 1 2 2
1
( )! ! 1 ! 1 !11 1
2 ! 1 ! ( 1 )! 1 !
k
i
k k k m
i
k k m k k m
H k k m Z I
i i k i k m i
ω
ω
+
−
+ + +
=
+ + + +
= − + + + −
− + − + + −
∑
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )1
2
, 2 1
( )! ! ! !1
! ! ( )! !s
k s
i s
k k s k m s
i s
k k m k s k m s
H Z I
i i s k s i k m s i
ω
>
+
−
+ + + +
=
+ + + +
= −
− + − + + −
∑
* Xác định ( )f ω :
Ta cĩ: ( ) ( ) ( )
( )
( )
0 2
2 12
0
( )! !1
= 2 1
2 ( )! !!
i
k kk k m
i
k k k m
H k m Z I
k i k m ii
ω
ε ω + +
=
+
= = + + −
− + −
∑
( ) ( ) ( )
( )
( )
0
2
2 12
0
( )! !1 10 2 1
2 ( )! !2 !
in
k m
i
k k k mZk m I
k i k m ii
ε
ω ω
+ +
=
+∂
= = + + −
∂ − + −∑
( )
( ) ( )
( )
2
2
2 12
0
!!1
.(2 1) ( )! !!
i
k
k
m
i
m kkZ I
k m k i m k ii
ω + +
=
+
=
+ + − + −
∑
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 71
Phụ lục 11: Hàm Gamma
Hàm Gamma được định nghĩa bằng đẳng thức tích phân sau đây:
( ) ( )1
0
0xe x dtαα α
∞
− −Γ = >∫
Tính tích phân từng phần, ta cĩ:
( ) ( ) 1 100 0 0 01 x x x x xe x dx x d e x e e x dx e x dxα α α α αα α α∞ ∞ ∞ ∞− − − ∞ − − − −Γ + = − = − + =∫ ∫ ∫ ∫
hay ( ) ( )1α α αΓ + = Γ
Khi 1α = và 1
2
α = , hàm ( )αΓ cĩ giá trị:
( ) 11 1,
2
pi
Γ = Γ =
Từ đĩ ta xác định được giá trị của hàm ( )αΓ đối với các α nguyên và bán
nguyên như sau:
( ) ( )1 !n nΓ = −
( )2 1 !!1
2 2n
n
n pi
− Γ + =
trong đĩ n=1,2,3...
Đối với các giá trị khác của α , hàm ( )αΓ cĩ thể tìm trong các bảng riêng.
Tích phân cĩ dạng
( )
( ) ( )
( )
2
2
00
,
1 11
2 2 2
(1 )
q
q
p
p q
p q Z
p q qtq dtp t p
I
pi pi
+∞
> ≥
∈
− Γ − − Γ +
−
= =
+ Γ∫
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 72
với 1
1 1 (2 2 3)!!1
2 2 2 p q
p qp q p q pi
− −
− − Γ − − = Γ − − + =
,
( )2 1 !!1
2 2q
q
q
pi − Γ + =
,
( ) ( 1)!p pΓ = −
khi đĩ tích phân cĩ dạng:
( )
( ) ( ) ( )2
2 1
00
,
1 (2 2 3)!! 2 1 !!2
(1 ) 2 ( 1)!
q q
p p
p q
p q Z
t p q qq dtp t pI
pi
pi
+∞
−
> ≥
∈
−
− − − −
= =
+ −∫
, với , 1, 2,3...p q =
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 73
Phụ lục 12: Lập trình fortran cho mức năng lượng của exciton hai
chiều
c Calculate Exciton2D excited energy
PROGRAM MAIN
integer i,m,k
double precision w,Hmatrix
* From the mininum of energy -> omega=Pi
w=0.0021
m=6
k=0
CALL MAINSUB(w,k,m)
END
* MAIN subroutine calculate approximated energy
SUBROUTINE MAINSUB(w,k,m)
INTEGER Z,i,j,s,L,m,k
DOUBLE PRECISION w,Hmatrix,E,C,H,tuso,mauso,temp,msum
PARAMETER (smax=100,kmax=101)
* Chu y thay kmax=smax+k
DIMENSION E(0:smax),C(0:kmax,0:smax),H(0:kmax,0:kmax)
Z=1
* Initialize matrix Hmatrix
DO i=0,smax+k
write(*,*) i
DO j=0,i
H(i,j)= Hmatrix(w,Z,m,i,j)
H(j,i)=H(i,j)
ENDDO
ENDDO
WRITE(*,*) 'Hmatrix done!'
* Initialize C coefficient matrix
DO i=0,smax
DO j=0,smax+k
C(j,i)=0.0
ENDDO
C(k,i)=1.0
ENDDO
WRITE(*,*) 'C matrix done!'
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 74
* Initialize E(s)
DO i=0,smax
E(i)=0.0
ENDDO
E(0)=H(k,k)
* Calculate E(s): Energy in s th approximation
OPEN(10,FILE='Energy.dat',STATUS='Unknown')
WRITE(10,*) 's=0','E=',E(0)
DO s=1,smax
* Calculate C(L,s)
DO L=0,s+k
IF (L.NE.k) THEN
tuso=H(L,k)
mauso=E(s-1)-H(L,L)
DO i=0,k+s
IF (i.NE.k.AND.i.NE.L) THEN
tuso=tuso+C(i,s-1)*H(L,i)
ENDIF
ENDDO
IF (mauso.EQ.(0.0)) STOP 'Error, division by zero'
C(L,s)=tuso/mauso
ENDIF
ENDDO
* Calculate E(s) from C(L,s)
msum=0.0
DO L=0,k+s
IF (L.NE.k) msum=msum+C(L,s)*H(L,k)
ENDDO
E(s)=H(0,0)+msum
WRITE(10,*) 's=',s,'E=',E(s)
ENDDO
RETURN
END
* function calculate Hmatrix
C Calculate elements of H matrix H(omega,Z,m,row,col)
FUNCTION Hmatrix(w,Z,m,row,col)
INTEGER Z,row,col,r,c,s,k,p,q,I,m1
DOUBLE PRECISION Hmatrix,w,H,msum,coeff1,coeff2
PARAMETER (pi=3.14159265358979323846)
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 75
IF (row<0.OR.col<0) STOP 'Error! Wrong matrix indexes!'
* Note: H(row,col)=H(col,row)
IF (row.LT.col) THEN
r=col
c=row
ELSE
r=row
c=col
ENDIF
s=r-c
k=c
m1=ABS(m)
IF (s.EQ.0) THEN
* Calculate Hkk
msum= 0.0
p=2*k+m1+1
DO i=0,k
msum=msum+coeff1(k,i,k+m1,i,p,2*i)
ENDDO
H=w/2.0*p-Z*SQRT(w*pi)*msum
ELSEIF (s.EQ.1) THEN
* Calculate Hk,k+1
msum= 0.0
p=2*k+m1+2
DO i=1,k+1
msum=msum
& +coeff2(k,k+1,k+1-i,m1)*coeff1(k,i-1,k+1,i,p,2*i-1)
ENDDO
H=(-1.0)*w/2.0*SQRT((k+1.0)*(k+m1+1.0))-Z*SQRT(w*pi)*msum
ELSE
* Calculate Hk,k+s,s>1
msum= 0.0
p=2*k+s+m1+1
DO i=s,k+s
msum=msum
& +coeff2(k,k+s,k+s-i,m1)*coeff1(k,i-s,k+s,i,p,2*i-s)
ENDDO
H=(-1.0)*Z*SQRT(w*pi)*msum
ENDIF
Hmatrix=H
RETURN
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm 2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 76
END
function calculate coefficient 1, 2
c function coeff1
FUNCTION coeff1(n1,k1,n2,k2,p,q)
INTEGER n1,k1,n2,k2,p,q
INTEGER i1,i2
Các file đính kèm theo tài liệu này:
- Khóa luận tốt nghiệp Phương pháp toán tử cho bài toán Exciton hai chiều.pdf