Khóa luận tốt nghiệp Phép biến đổi Laplace

Khóa luận tốt nghiệp “Phép biến đổi Laplace” Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý 1 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh PHẦN 1: MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Toán học là một ngành khoa học không những nó phục vụ cho chính nó, mà nó đặc biệt trở thành một công cụ hữu ích cho việc phát triển các ngành khoa học khác, trong đó có vật lý học. Tính chất cơ bản của vật lý học là tính thực nghiệm. Nhưng muốn trình bày những định luật định lượng của vật lý học một cách chính xác ta thường phải sử dụng phương pháp toán học. Phương pháp toán học được sử dụng từ lâu trong vật lý. Nó là sự giao thoa giữa toán học và vật lý học. Những quy luật đơn giản của vật lý đã được cơ học cổ điển giải quyết gần như trọn vẹn. Nhưng những quy luật vi mô, vĩ mô dưới tác dụng của nhiều trường khác nhau thì nó lại hoàn toàn bất lực. Cùng với điều đó là sự phát triển mạnh mẽ của toán học cả về bề rộng và bề sâu. Dẫn tới sự ra đời của một ngành vật lý mới vật lý lý thuyết. Người ta dùng phương pháp toán học để tìm ra những quy luật mới. Những quy luật tổng quát hơn những quy luật đã biết, đoán trước được mối quan hệ giữa những hiện tượng vật lý mà thực tế chưa quan sát được. Nó tìm được những quy luật tổng quát nhất, phản ánh được bản chất vật lý của nhiều hiện tượng xét một cách tổng quát nhất. Những phương pháp toán học dùng trong vật lý học hiện đại thì rất phong phú và đa dạng. Nó gồm một khối lượng kiến thức lớn thuộc các ngành như: hàm thực, hàm phức, các phương trình vi phân, các phép tính tích phân…Các kiến thức toán này nó không những cần thiết cho các bạn sinh viên để tiếp thu, thực hành cũng như nghiên cứu đối với các môn học khác trong khi học tại trường, mà còn là các công cụ toán hữu ích cho công tác của họ sau khi ra trường. Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý 2 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh Bước đầu khám phá và đi sâu vào các công cụ toán học cũng như ứng dụng của nó trong vật lý. Đề tài: “Phép biến đổi Laplace” cũng là một trong số những công cụ toán có nhiều ứng dụng quan trọng trong vật lý. Nó giúp chúng ta giải quyết các bài toán vật lý một cách đơn giản hơn. Vì vậy khi chọn đề tài này tôi muốn đi sâu vào nghiên cứu, tìm hiểu các công cụ toán dùng trong vật lý nói chung và vật lý lý thuyết nói riêng. 2. Mục đích nghiên cứu - Nâng cao kiến thức toán học và sử dụng chúng một cách linh hoạt trong nghiên cứu vật lý. - Tìm hiểu các phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ Descartes. - Tìm hiểu các phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ cong, đặc biệt là hai hệ tọa độ thường gặp trong vật lý đó là: hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu. 3. Đối tượng nghiên cứu - Các phép biến đổi Laplace và ý nghĩa của chúng. 4. Phương pháp nghiên cứu - Vật lý lý thuyết - Phương pháp giải tích toán học - Đọc tài liệu và tra cứu 5. Cấu trúc khóa luận Đề tài nghiên cứu gồm: - Chương 1: Phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ Descartes. - Chương 2: Phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ cong. - Chương 3: Bài tập Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý 3 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh PHẦN 2: NỘI DUNG Chương 1 PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCARTES 1. GRADIEN CỦA TRƯỜNG VÔ HƯỚNG 1.1 Trường vô hướng và đạo hàm theo đường (cung) Trường vô hướng là một phần của không gian mà mỗi điểm M của nó ứng với một giá trị của một đại lượng vô hướng nào đó f (M). Cho một trường vô hướng có nghĩa là cho một hàm vô hướng u = f (M) có giá trị phụ thuộc vào từng điểm M của miền V. Trong tọa độ Descartes Oxyz ta có: u = f (M) = f (x, y, z) Ví dụ 1: Xét sự phân bố nhiệt độ trong một vật thể nào đó. Tại mỗi điểm được cho tương ứng với một đại lượng vô hướng đó là nhiệt độ tại điểm này. Ta xét trường vô hướng u = f (x, y, z). Nếu hàm vô hướng u = f (M) của trường không thay đổi theo thời gian, ta có trường dừng. Nếu f còn phụ thuộc cả vào thời gian thì ta có trường không dừng hay trường thay đổi f (M, t). Để biểu diễn hình học trường vô hướng ta dùng khái niệm mặt mức. Tập hợp tất cả các điểm sao cho đại lượng u nhận cùng một giá trị C được gọi là mặt mức tương ứng với số C. Ứng với mỗi giá trị của C ta có một mặt mức, cho C các giá trị khác nhau ta có họ mặt mức. Ví dụ như, đối với trường u = x +y + z mặt mức tương ứng với giá trị 1 là mặt phẳng x + y + z = 1. Mặt mức đối với giá trị 2 là mặt phẳng x + y + z = 2. Đối với trường vô hướng cầu nào đó, mặt mức là một mặt cầu với tâm tại gốc tọa Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý 4 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh độ, ví dụ đối với trường 2 2 2 1y x y z    mặt mức u = 4 là hình cầu 2 2 2 1 4 x y z    hay 2 2 2 1 4 x y z   . Giả sử cho đường cong L và trên đường cong này ta chọn một hướng nào đó (ví dụ theo chiều mũi tên). Khi đó đường cong gọi là được định hướng (H.1.1). Giả sử M và 1M là 2 điểm trên đường cong, kí hiệu S là độ dài cung 1MM , S lấy dấu + nếu điểm 1M đứng sau điểm M và lấy dấu - nếu điểm 1M đứng trước điểm M. Tốc độ trung bình của hàm u = f (M) dọc theo cung M 1M là tỷ số của số gia của hàm (khi dịch chuyển từ M đến 1M ) và độ dài cung S , tức bằng: 1( ) ( )f M f M S   Đạo hàm theo đường cong L tại điểm 1M là giới hạn của tỷ số: 1( ) ( )f M f M S   khi điểm M dịch chuyển dọc theo đường cong L tiến đến điểm 1M . Kí hiệu đạo hàm qua f L   , ta có: f L   = 1 1( ) ( )lim M M f M f M S   (1.1) Ta có thể dễ dàng chứng minh: 1M f L    = 1 1 1 cos cos cosM M M f f f x y z              (1.2) trong đó   là các góc tạo bởi vectơ tiếp tuyến với đường cong L tại các đểm 1M và các trục toạ độ. Đạo hàm theo đường cong tại điểm 1M không phụ thuộc vào hình dạng đường cong mà chỉ phụ thuộc vào hướng của tiếp tuyến M1 M L H.1.1   Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý 5 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh với L tại điểm 1M nói cách khác, nếu các đường cong 1L và 2L đi qua 1M có tại điểm này cùng một vectơ tiếp tuyến, thì đạo hàm tại điểm này theo đường cong 1L bằng đạo hàm theo đường cong 2L (H. 1.2). 1.2 Gradien của trường vô hướng Ta xét trường vô hướng u = f(x, y, z) và tính đạo hàm của u theo hướng vectơ  , trong đ ó   = ai  +b j  + ck  . Người ta gọi đạo hàm theo hướng của vectơ   tại điểm M là đạo hàm theo cung L bất kỳ đi qua M và tiếp xúc với  . Đạo hàm riêng u x   là đạo hàm theo hướng vectơ i  , đạo hàm riêng u y   là đạo hàm theo hướng vectơ j  , đạo hàm riêng u z   là đạo hàm theo hướng vectơ k  . Trước hết hãy tìm các cosin theo hướng của vectơ   . 2 2 2 cos a a b c     ; 2 2 2 cos b a b c     ; 2 2 2 cos c a b c     Do đó 2 2 2 u u ua b c u x y z a b c               (1.3) Trong biểu thức trên tử số là tích vô hướng cuả vectơ   và vectơ có toạ độ là ( u x   , u y   , u z   ). Gọi vectơ này là gradien của u và ký hiệu gradu: Gradu = u x   i  + u y   j  + u z   k  (1.4) Do đó: u gradu         1L 2L 1M H. 1.2   Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý 6 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh Hay là: . cos( , )u gradu gradu               Vậy: .cos( , )u gradu gradu       (1.5) Ta thấy vế phải của (1.5) là hình chiếu của gradu lên hướng  . Từ đây ta suy ra đạo hàm tại điểm M theo hướng gradu là lớn nhất. Như vậy gradu là vectơ mà theo hướng của nó hàm u tăng với vận tốc lớn nhất. Ví dụ 1: Cho trường vô hướng 3 2x yu z  xuất phát từ M (1, 2, 1) theo hướng nào hàm u tăng nhanh nhất. Giải: 2 2 3 3 2 2 3 2u u u x y x y x ygradu i j k i j k x y z z z z                   gradu tại M 12 4Mgradu i j k       Đạo hàm theo hướng gradien, tức 2 2 2ax( 12 4 ( 4) 176 13.3m u          Ví dụ 2: Tìm đạo hàm của hàm số 2 2u x y x  tại điểm 0 (1,2)M theo hướng vectơ 0 1M M  trong đó 1(3,0)M . Giải: Ta thấy 0 1 (2, -2)M M    2     ; 22u x y x     ; 2u xy y    Do đó: 0 (6, 4)Mgradu  và . 2u gradu          Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý 7 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh Định lí: Giả sử gradien của hàm u = f (x, y, z) tại điểm M khác không. Khi đó nó vuông góc với đường cong bất kỳ đi qua điểm M và nằm trong mặt mức u(x, y, z) = C, C là hằng số. Chứng minh: Vẽ qua điểm M đường cong l nằm trong mặt mức, bởi vì hàm u không thay đổi khi nó chuyển động theo đường cong l, nên 0u l     . Nhưng đạo hàm theo cung l bằng đạo hàm theo hướng tiếp xúc vì thế 0u    . Theo công thức: .cos( , )u gradu gradu       , do 0u    và gradu ≠ 0 nên cos( , ) 0gradu    . Tức là góc giữa   và gradu bằng 090 . Quỹ tích các tiếp tuyến tại điểm 0M với các đường cong nằm trong mặt mức gọi là mặt tiếp xúc với mặt này tại điểm 0M . Nếu 0M có các toạ độ 0 0 0( , , )x y z thì: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) . ) . ) .M x y z x y z x y z u u ugradu i j k x y z                 Phương trình của mặt phẳng tiếp xúc với mặt mức là: 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 ) .( ) ) .( ) ) .( ) 0x y z x y z x y z u u ux x y y z z x y z                (1.6) Chú ý: Nếu cho mặt xác định bởi f (x, y, z) = 0, ta có thể xem nó là mặt mức của hàm u = f (x, y, z) với C = 0. Do đó ta có thể viết mặt phẳng tiếp xúc với mặt f (x, y, z) = 0 nhờ công thức (1.6). Ví dụ 3: Hãy viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt parabolic 2 2z x y  tại điểm M (2, 1, 5). Mặt đã cho có thể xét như một mặt mức của hàm 2 2u z x y   . Bởi vì: gradu l M H.1.3   Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý 8 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh 2 2 1gradu xi y j k       , cho nên 0 4. 2.Mgradu i j k        . Do đó phương trình của mặt phẳng tiếp xúc của mặt parabolic đã cho tại M có dạng: 4( 2) 2( 1) 1( 5) 0x y z       hay 4 2 5 0x y z     1.3 Các tính chất của Gradien Gradien có các tính chất rất quan trọng sau đây mà ta có thể sử dụng trong chứng minh các công thức vật lý: a/ grad(u+v) = gradu + gradv (1.7) b/ grad(uv) = u.gradv + v. gradu (1.8) c/ grad 2 u vgradu ugradv v v   (v≠0) (1.9) 1.4 Ý nghĩa vật lý của gradien Từ (1.3) ta thấy gradien của một đại lượng vô hướng cho ta một vectơ. Cho nên trong vật lý người ta dùng phương pháp trong đó tính một đại lượng vô hướng (không đơn trị) một cách đơn giản hơn, nhưng gradien của nó lại cho ta một đại lượng vật lý thực dưới dạng vectơ, đơn trị, có thể đo được trên thực nghiệm. Thí dụ, trong điện động lực học người ta tính thế vô hướng φ (không đơn trị), nhưng E grad  là cường độ điện trường có thể đo được trên thực nghiệm. 2. DIVE CỦA TRƯỜNG VECTƠ 2.1 Trường vectơ-đường vectơ H.1.4 Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý 9 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh 2.1.1 Trường vectơ – đường vectơ Trong vật lý ta luôn tiếp xúc với các trường vectơ như trường lực, trường từ hay trường điện như E grad  được nêu ở trên. Để biểu diễn hình học trường vectơ ta dùng các đường vectơ, là các đường trong không gian mà tại mỗi điểm của nó vectơ A  nằm dọc theo tiếp tuyến của trường tại điểm này. Nếu trường vectơ là trường lực hấp dẫn, thì các đường vectơ (gọi là các đường lực) là các tia xuất phát từ gốc toạ độ. Trong trường gradien A grad  đường vectơ của trường là đường mà khi chuyển động dọc theo nó, đại lượng u tăng với vận tốc lớn nhất. Để tìm đường vectơ của trường ( , , ) ( , , ) ( , , )A P x y z i Q x y z j R x y z k       Ta tiến hành như sau: Giả sử phương trình tham số của đường vectơ là x=x(t) ; y=y(t) ; z=z(t) Khi đó vectơ tiếp xúc tại điểm tuỳ ý của đường này có dạng x y zi j k t t t               Theo định nghĩa của trường vectơ, vectơ này đồng phương với vectơ của trường tại điểm (x, y, z). Vì thế hình chiếu lên các trục toạ độ của các vectơ này tỉ lệ với nhau. ( , , ) ( , , ) ( , , ) dx dy dz dt dt dt P x y z Q x y z R x y z   (2.1) Gọi giá trị chung của các tỉ số trên là (x, y, z) ta có: ( , , , ) ( , , )dx x y z t P x y z dt   ; ( , , , ) ( , , )dy x y z t Q x y z dt   ; (2,2) Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý 10 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh ( , , , ) ( , , )dz x y z t R x y z dt   . Chú ý: vì hàm (x, y, z, t) được chọn tuỳ ý nên phương trình của đường vectơ là không duy nhất. Ví dụ: Ta xét trường hấp dẫn sinh ra bởi chất điểm đặt tại gốc toạ độ. Khi đó các đường vectơ là các tia xuất phát từ gốc toạ độ, vì thế ống vectơ trong trường này có dạng hình nón với đỉnh ở gốc toạ độ (H.2.1). 2.1.2 Thông lượng của trường vectơ qua một mặt 2.1.2.1 Thông lượng Ta xét một mặt trơn, hữu hạn S đặt trong một trường vectơ A  nào đó. Ta chọn trên mặt này một hướng xác định mà ta gọi đó là hướng dương hướng ngược lại của mặt là hướng âm. Ta nói rằng mặt như vậy là mặt định hướng. Ta kí hiệu vectơ pháp tuyến đơn vị tại điểm M của mặt S sao cho vectơ này hướng từ âm sang dương là vectơ n  . Vị trí của vectơ n  phụ thuộc vào vị trí điểm M trên mặt. Xét hàm f (M) = (A  , n  ) được xác định tại mọi điểm của mặt S. Nếu A Pi Q j Rk       và các góc chỉ phương của vectơ n  tương ứng bằng , ,  tức là: n cos cos cosi j k          thì f(M) cos cos cosP Q R     hàm này liên tục trên mặt S, do đó tồn tại tích phân của hàm f(M) trên mặt S. Tích phân này gọi là thông lượng của trường vectơ qua S và được ký hiệu bằng chữ : S S = ( , )dS= (Pcos Q cos R cos ) A n dS       (2.2) Chú ý: Khi thay đổi hướng của mặt S ta thay đổi dấu của thông lượng. O z x y H.2.1 Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý 11 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh Nếu mặt S là mặt kín thì ta thường định hướng như sau: Hướng bên ngoài của mặt là hướng dương, hướng bên trong là hướng âm. 2.1.2.2 Ý nghĩa vật lý của thông lượng Trong trường hợp thuỷ động học, thông lượng qua mặt được định hướng bằng khối lượng chất lỏng chảy qua mặt này trong một đơn vị thời gian. Ta xét trường hợp mặt kín S. Nếu thông lượng qua S là mặt dương điều này nghĩa là lượng chất lỏng chảy từ một phần của không gian được giới hạn bởi mặt S lớn hơn lượng chất lỏng chảy vào nó. Ngược lại, nếu thông lượng âm thì lượng chảy vào S lớn hơn lượng chất lỏng chảy ra từ S. Ví dụ: Cho trường vectơ ( ) ( )A x y i y x j zk         Tính thông lượng của trường này qua bề mặt của hình cầu bán kính với tâm tại gốc toạ độ. Trong trường hợp này pháp tuyến tại điểm bất kỳ của mặt S hướng theo bán kính vectơ tại điểm này. Vì thế vectơ pháp tuyến đơn vị 2 2 2 n R xi y j zk xi y j zk R x y z                 do 2 2 2 1x y z   đối với mọi điểm nằm trên mặt đã cho. Như vậy: 2 2 2( , ) ( ) ( )A n x y x y x y zz x y z          Vì thế thông lượng bằng 2 2 2( , ) ( ) 4 S S S A n dS x y z dS dS S           . 2.2 Dive của trường vectơ 2.2.1 Dive của trường vectơ Dive (divergen) của trường vectơ A  tại điểm M là giới hạn của tỉ số thông lượng qua mặt kín bao quanh M và thể tích của miền được giới hạn bởi bề mặt này Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý 12 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh ( , ) lim S V M A n dS divA V      (2.3) Những điểm của trường tại đó dive mang dấu dương được gọi là điểm nguồn. Những điểm mà tại đó dive mang dấu âm được gọi là những điểm hút. Giả sử trường vectơ A Pi Q j Rk       trong đó P, Q, R là những hàm số có đạo hàm cấp1, 2 liên tục thì ( , ) ( cos cos cos ) lim limS S V M V M A n dS P Q R divA V V               (2.4) trong đó , ,  là những góc chỉ phương của pháp tuyến ngoài. Theo công thức Ostrogradski ta đưa tích phân mặt về tích phân 3 lớp: ( ) lim V V M P Q R dV x y z divA V           (2.5) Theo định lý giá trị trung bình, trong miền V, ta tìm được một điểm TBM sao cho: ( ) ( ) . TBM V P Q R P Q RdV V x y z x y z                   vì thế ( ) lim lim ( ) TB V MV M V M P Q R dV x y z P Q RdivA V x y z                      Khi V→ M thì TBM →M, vì thế P Q RdivA x y z           (2.6) Từ công thức (2.4) và (2.5) ta có: ( , ) S V A n ds divAdV    (2.7) Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý 13 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh Như vậy thông lượng của trường vectơ A qua bề mặt kín bằng tích phân 3 lớp của divA  trên miền mà bề mặt này giới hạn. Chú ý rằng công thức này chỉ được nghiệm đúng trong trường hợp khi divA  liên tục trong miền V. Ví dụ: Tính thông lượng của trường vectơ ( ) ( )A x y i y x j zk         qua mặt cầu đơn vị với tâm tại gốc toạ độ. Giải: ( ) ( ) 3x y y x zdivA x y z              Vậy thông lượng 4( , ) 3 3 3. 4 3S V V A n dS divAdV dV V              2.2.2 Trường hình ống Nếu tại tất cả các điểm của miền G nào đó dive của trường A  bằng không, thì ta nói rằng A  là trường hình ống của miền này. Ví dụ: Cho trường hấp dẫn 3 mRF R     trong miền G nào đó không chứa gốc tọa độ. Hãy tính divF  . Giải: 2 2 2 3/ 2 2 2 2 3/ 2 2 2 2 3/ 2( ) ( ) ( ) mx my mzF i j k x y z x y z x y z                  Bằng cách tính trực tiếp ta thấy rằng: 0divF   tại điểm bất kỳ khác gốc toạ độ. Vậy F  là trường hình ống trong miền G. Bây giờ ta tính dive tại gốc toạ độ. Ta thấy thông lượng qua mặt cầu bán kính a bằng -4π m , tỉ số thông lượng và thể tích hình cầu chứa bên trong bề mặt này bằng 3 3 4 3 4 3 m m aa       Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý 14 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh Theo định nghĩa: (0,0,0) 30 3( ) lim a mdivF a        . 2.2.3 Ý nghĩa vật lý của dive Phép tính dive có nhiều ứng dụng trong vật lý như tính thông lượng của trường vectơ. Ngoài ra qua biến đổi của tích phân khi tính thông lượng người ta còn dẫn đến phương trình Maxwell trong điện động lực học Ddiv   trong đó D  là vectơ cảm ứng điện , còn ρ là mật độ của điện tích tự do. 3. ROTA CỦA TRƯỜNG VECTƠ 3.1 Lưu thông của trường vectơ theo chu tuyến Ta xét trường vectơ: A Pi Q j Rk       và chu tuyến l nằm trong trường này. Ta gọi tích phân đường l Pdx Qdy Rdz  (3.1) là lưu thông của trường vectơ A  theo chu tuyến. Ta hiểu ngầm rằng lưu thông không chỉ phụ thuộc vào A  và l, mà còn cả hướng của chu tuyến l. Khi thay đổi hướng của đường cong, lưu thông thay đổi dấu. Ví dụ 1: Nếu A  là trường lực thì lưu thông của trường theo chu tuyến l bằng công khi dịch chuyển chất điểm trong trường lực dọc theo chu tuyến l. Giả sử đường cong cho dưới dạng tham số: x = (t), y = (t) , z = (t) với 0t t T  ta có:        0 ' ' '( ) ( ) ( ) t t l Pdx Qdy Rdz P t t t t Q t t t t R t t t t dt                      Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý 15 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh Như vậy để tính lưu thông của trường vectơ ta có thể áp dụng công thức stockes ( ) os +( ) os ( ) os l S R Q P R Q PPdx Qdy Rdz c c c dS y z z x x y                            Trong trường hợp đặc biệt ( ) l S Q PPdx Qdy dS x y         (3.4) 3.2 Rota của trường Trong không gian Oxyz cho bề mặt S nào đó. Ta xét trường vectơ A Pi Q j Rk       trong đó P, Q, R và các đạo hàm riêng cấp 1 của nó liên tục tại điểm M thuộc S và trong lân cận của điểm M. Trên bề mặt S, ta vẽ chu tuyến đóng l bao quanh điểm M rồi chọn hướng xác định trên chu tuyến này và tính Adl   . Tỷ số lưu thông theo chu tuyến l và diện tích  của bề mặt S được giới hạn bởi chu tuyến l trên được gọi là mật độ lưu thông trung bình l Adl     (3.5) ta gọi giới hạn : lim l M Adl     là mật độ lưu thông tại điểm M trên bề mặt S. Ta có: lim liml l l M l M Adl Pdx Qdy Rdz           z O x y n S Mo σ l M H.3.1 Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý 16 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh 0 ( ) os +( ) os ( ) os lim R Q P R Q Pc c c d y z z x x y                           0 ( ) os +( ) os ( ) os lim TBM R Q P R Q Pc c c y z z x x y                          ( ) os +( ) os ( ) os M R Q P R Q Pc c c y z z x x y                      (3.6) Vậy nếu A Pi Q j Rk       os cos osn c i j c k         thì mật độ lưu thông tại điểm M theo hướng n  bằng: ( ) os +( ) os ( ) osR Q P R Q Pc c c y z z x x y                      Biểu thức trên là tích vô hướng của vectơ n  và vectơ ( ) +( ) ( )R Q P R Q Pi j k y z z x x y                    Vectơ này chỉ phụ thuộc vào trường vectơ đã cho A  . Ta kí hiệu là rot A  Như vậy mật độ lưu thông của trường vectơ A  theo hướng n  bằng rot A  . n  Rota của trường vectơ A  ( ) +( ) ( )R Q P R Q Prot A i j k y z z x x y                      (3.7) có giá trị hoàn toàn xác định (về độ lớn, về hướng) tại mỗi điểm của trường đã cho do đó rota lập thành trường vectơ mới. Biểu thức (3.7) cũng có thể viết dưới dạng định thức như sau: i j k rot A x y z P Q R            (3.8) Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý 17 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh Ví dụ 1: Tính rota của trường vectơ A  cho bởi công thức: 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( )A x y i y z j z x k          Giải: Theo công thức (3.8) ta nhận được ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )rot A z i x j y k          nói riêng, tại điểm (0, 0, 1) 2rot A i    Ví dụ 2: Xét trường vận tốc tại các điểm của một vật thể rắn quay với vận tốc góc không đổi 0 quanh trục Oz. Giải: Ta đã biết trường này được cho bởi công thức: 0 0A yi x j       Do đó 0 0 0( ) 2rot A k k        3.3 Định lý stokes dưới dạng vectơ n l S Adl rot AdS     (3.9) trong đó nrot A  là hình chiếu của vectơ rot A  lên pháp tuyến của mặt S. Như vậy lưu thông của trường vectơ theo chu tuyến đóng l bằng thông lượng của rot A  của trường này trên bề mặt với biên là chu tuyến l. 3.4 Ý nghĩa vật lý của rota Từ rota có nghĩa là xoáy cho nên nó mô tả nhiều hiện tượng điện từ quan trọng như rota của thông lượng của trường từ H  thì sinh ra dòng điện với mật độ j  rotH j   (3.10) còn rota của thông lượng trường điện E  thì sinh ra sự biến thiên của vectơ cảm ứng từ B  theo thời gian Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý 18 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh BrotE t      (3.11) Các phương trình (3.10), (3.11) là các phương trình Maxwell 4. CÁC PHÉP TÍNH ĐỐI VỚI DIVE VÀ ROTA 4.1 Dive và rota của vectơ hằng số bằng không Thật vậy, nếu A ai b j ck       trong đó a, b, c là hằng số thì 0a b cdivA x y z            (4.1) Tương tự 0rot A   (4.2) 4.2 Dive và rota có tính chất tuyến tính Điều này có nghĩa là nếu C A B      trong đó A  , B  là các trường vectơ;  , là các hằng số thì divC divA divB      rotC rot A rot B      Chứng minh: Giả sử 1 1 1A P i Q j R k       2 2 2B P i Q j R k       Khi đó: 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( )C P P i Q Q j R R k               và 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( )divC P P Q Q R Rx y z                    1 1 1 2 2 2( ) ( )P Q R P Q R x y z x y z                     div A divB     4.3 Các phép tính đối với tích Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý 19 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh a/ Giả sử u và v là hai trường vô hướng. Khi đó uv cũng là trường vô hướng ta có: graduv = ugradv+vgradu b/ Giả sử u là trường vô hướng, A  là trường vectơ. Khi đó u A  là trường vectơ và ( , )divu A gradu A udivA     ( )rotu A gradu A urot A      Để chứng minh ta viết vectơ A  dưới dạng A P i Q j R k       c/ Giả sử A  , B  là các trường vectơ. Khi đó ( A  , B  ) là trường vô hướng, còn ( A B   ) là trường vectơ và ( ) ( ) ( )div A B Brot A ArotB         Kết luận: Chương 1 chúng ta đã nghiên cứu những khái niệm quan trọng về trường và những đặc trưng cơ bản của trường vectơ và trường vô hướng. Cùng với nó là các phép tính của trường như: phép tính gradien của trường vô hướng, phép tính dive của trường vectơ và phép tính rota của trường vectơ. Trong phạm vi chương 1 chúng ta chỉ tìm hiểu các phép tính này trong hệ tọa độ Descartes vuông góc. Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý 20 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh CHƯƠNG 2 PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TRONG HỆ TOẠ ĐỘ CONG 1. HỆ TỌA ĐỘ CONG 1.1 Định nghĩa Vị trí của một điểm M trong không gian được xác định bằng bán kính vectơ r  . Trong hệ toạ độ Descartes vuông góc Oxyz: r xi y j zk       . Trong nhiều bài toán để xác định vị trí của điểm M thay cho bộ ba số x, y, z người ta dùng bộ ba số khác 1q , 2q , 3q phù hợp và thuận tiện hơn với bài toán đang xét. Ngược lại, ta giả thiết một bộ ba số 1q , 2q , 3q ứng với một bán kính vectơ r  , do đó ứng với một điểm M nào đó của không gian. Các đại lượng 1q , 2q , 3q được gọi là toạ độ cong của điểm M. Vì mỗi điểm M ứng với hệ toạ độ 1q , 2q , 3q do đó mỗi một toạ độ này là một hàm của bán kính vectơ r  1 1 2 2 3 3 ( ) ( , , ) ( ) ( , , ) ( ) ( , , ) q r q x y z q r q x y z q r q x y z          (1.1) Ngược lại vì bán kính vectơ r  của mỗi điểm trong không gian được xác định hoàn toàn khi cho ba số 1q , 2q , 3q . Nghĩa là 3 thành phần x, y, z của r  là hàm số của 1q , 2q , 3q . 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( , , ) ( , , ) ( , , ) x x q q q y y q q q z z q q q      (1.2) Tập hợp tất cả các điểm trong không gian sao cho trên tập này 1q không đổi gọi là mặt tọa độ 1q . Mặt q2 Mặt q1 Đường q2 Mặt q3 Đường q1 Đường q3 H.1.1 Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý 21 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh Tương tự ta có mặt tọa độ 2q , 3q . Tập hợp tất cả các điểm sao cho trên tập này chỉ có tọa độ 1q thay đổi (còn tọa độ 2q , 3q không thay đổi) được gọi là các đường tọa độ. Hiển nhiên giao tuyến của hai mặt 2q và 1q cho ta đường tọa độ 3q . 1.2 Các ví dụ Hai hệ tọa độ cong hay dùng nhất là hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ cầu. a/ Hệ tọa độ trụ Vị trí của 1 điểm được xác định bởi 1q  , 2q  , 3q z (H.1.2) Ta có mối liên hệ giữa hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ đề các vuông góc: Khoảng biến thiên 0;0 2 ; z         Các mặt tọa độ: onstc  là mặt trụ có trục tọa độ Oz. onstc  là nửa mặt phẳng giới hạn bởi trục Oz. onstz c là mặt phẳng song song với mặt Oxy. Các đường tọa độ: Đường z là đường thẳng song song với trục Oz, đường  là đường tròn có tâm nằm trên trục Oz trong mặt phẳng vuông góc với trục Oz, đường  là nửa đường thẳng xuất phát từ trục Oz và song song với mặt phẳng Oxy. b/ Hệ tọa độ cầu Vị trí của một điểm được xác định bởi bộ ba số 1q r , 2q  , 3q z . Hệ thức liên hệ giữa hệ tọa độ cầu và hệ tọa độ đề các vuông góc: sin cos sin os os x r y r c z rc         Khoảng biến thiên: 0;0 ;0 2r         Các mặt tọa độ: cos sin x y z z          z O x y M z ρ φ H.1.2 Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý 22 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh onstr c là mặt cầu tâm O. onstc  là nửa mặt nón có đỉnh là O, trục là Oz. onstc  là nửa mặt phẳng giới hạn bởi Oz. Các đường tọa độ: Đường r là nửa đường thẳng xuất phát từ gốc O. Đường  là kinh tuyến trên mặt cầu. Đường  là đường tròn vĩ tuyến trên mặt cầu. 1.3 Hệ tọa độ cong trực giao Hệ tọa độ cong mà các đường tọa độ vuông góc với nhau theo từng đôi một tại mỗi điểm được gọi là hệ tọa độ cong trực giao. Trong các ví dụ trên, hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu đều là các hệ tọa độ cong trực giao. Trong không gian cho điểm M nào đó, gọi i   (i=1, 2, 3) là các vectơ đơn vị tiếp xúc tại điểm này với các đường tọa độ iq và hướng theo chiều tăng của các đường tọa độ iq . Ta nhận thấy rằng trong hệ tọa độ Descartes hướng của các véc tơ i   không phụ thuộc vào vị trí của M, còn trong hệ tọa độ cong, ba véctơ đơn vị trực giao 1 2 3, ,e e e    phụ thuộc vào các vị trí của M. Gọi vectơ đơn vị có phương pháp tuyến với mặt tọa độ i iq C và hướng theo chiều tăng của iq là ie  . Trong hệ tọa độ cong trực giao thì ii     (H.1.4) 1.4 Hệ số Lame Xét các đường tọa độ, trên các đường này ta đưa vào các vectơ đơn vị i   (i=1, 2, 3) 1e có phương tiếp tuyến với các đường tọa độ và có chiều theo chiều tăng của các tọa độ iq lấy số gia của bán kính vectơ 1r  có đầu mút ở điểm 1M , có tọa độ 1 1 2 3( , , )q q q q . Lập tỉ số x z O y φ z M θ r H.1.3 i i     iq H.1.4 Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý 23 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh 1 1 2 3 1 2 3 1 1 ( , , ) ( , , )r q q q q r q q qr q q         Lấy giới hạn của tỉ số trên khi 1M tiến đến M, ta có vectơ 1 r q    tiến đến vectơ cùng phương, cùng chiều với vectơ đơn vị 1   tại M. Đó là vectơ đạo hàm 1 r q    , do đó 11 1 r h q       . Đại lượng này xác định vận tốc biến thiên của bán kính vectơ dọc theo đường tọa độ 1q . Hệ số 1h chỉ độ lớn của vectơ 1 r q    Ta có: 1 1 1 1 r x y zi j k q q q q                do đó 2 2 2 21 1 1 1 ( ) ( ) ( )x y zh q q q          Tương tự, ta có: 2 2 3 3 2 3 ;r rh h q q            trong đó: 2 2 2 2( ) ( ) ( )i i i i x y zh q q q          (1.3) được gọi là hệ số lame của hệ tọa độ cong đang xét. Hệ số lame trong hệ tọa độ đề các 2 2 2 2( ) ( ) ( ) 1 1x x x y zh h x x x             . Tương tự 1y zh h  Hệ số lame trong hệ tọa độ cầu M M1 1   1r  r  H.1.5 Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý 24 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh sin ; 1;rh r h h r    Hệ số lame trong hệ tọa độ trụ ; 1; 1zh h h    1.5 Điều kiện cần và đủ để hệ tọa độ cong trực giao Từ định nghĩa hệ tọa độ cong trực giao, ta có: ij 1 ( , ) 0i j khi i j e e khi i j             Hơn nữa ta có:  ( , ) ,i j i j i j r r h h e e q q          từ đó suy ra: ( , ) 0 i j r r q q        với i j (1.4) hay: ( , ) 0 i j i j i j i j r r x x y y z z q q q q q q q q                       với i j (1.5) Bây giờ ta xét các vectơ grad qi i i ii q q qgradq i j k x y z             Ta thấy gradqi có phương vuông góc với mặt tọa độ qi = Ci và theo chiều tăng của qi, nên gradqi cùng phương và cùng chiều với vectơ đơn vị pháp tuyến ie  , ta có thể viết ii igradq gradq e  22 2 2 i i i i q q qgradq x y z                    Bây giờ ta xét mối quan hệ giữa hệ số Lame hi và grad qi. Từ công thức vi phân toàn phần của bán kính vectơ 1 2 3 1 2 3 r r rd r d q d q dq q q q             Nhân vô hướng hai vế với igradq , ta có: Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý 25 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh    1 2 3 1 2 3 i i i i r r rd rgradq gradq dq gradq dq gradq dq a q q q                            Mặt khác ta lại có:  i i ii i q q qdq dx dy dz d rgradq b x y z            So sánh hai đẳng thức (a) và (b) ta có: 1 0i kik khi i kr gradq q khi i k               Xét tích vô hướng 1i ii i i i i i i i r gradq h e gradq e h gradq e e q          Trong một hệ tọa độ cong trực giao i ie e   nên ta có mối quan hệ sau: 22 2 1 : 1 i i i i i i h gradq hay h q q q x y z                     (1.5) Hơn nữa trong hệ tọa độ cong trực giao  ,i je e   = 0 với i j . Suy ra  , 0i jgradq gradq  với i j (1.6) hay 0j j ji i iq q qq q q x x y y z z               với i j (1.7 Công thức (1.4) và (1.7) là điều kiện cần và đủ để một hệ tọa độ cong trực giao Ví dụ: Hãy kiểm tra xem hệ tọa độ cong sau có trực giao hay không Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý 26 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh     2 2 1 2 2 1 1 ln 1 2 2 yarctg x q x y z q x y z q             Giải: Ta sử dụng công thức (1.7) dễ thấy 2 3 3 31 1 1 2 22 2 2 2 2 2 1 2 2 0 1 1 y q q qq q q x yx x y yx x y y z z x y x y x x                              do đó cặp q1 và q3 trực giao với nhau. Xét cặp tọa độ q1, q2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 0q q q q q q x yx y x x y y z z x y x y                     do đó cặp tọa độ q1, q2 trực giao với nhau. Tương tự, ta xét cặp tọa độ q1, q3 ta thấy 2 3 3 32 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 0 1 1 y q q qq q q xy xyx xx y y yx x y y z z x y x y x x                                 Vậy hệ tọa độ cong xét trên là trực giao. 2. GRADIEN CỦA TRƯỜNG VÔ HƯỚNG TRONG HỆ TỌA ĐỘ CONG Trong không gian cho hệ tọa độ q1, q2, q3 và trường vô hướng u = f (q1, q2, q3) (2.1) Hãy tính gradien của trường này tại điểm bất kỳ M (q1, q2, q3). Trước hết, xét hình chiếu gradien của hàm f lên hướng nào đó bằng đạo hàm của hàm f theo hướng này 1 1 e fhc gradf e      (2.2) Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý 27 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh Mặt khác đạo hàm theo hướng 1e  bằng đạo hàm theo cung l của đường tọa độ q1 (H.2.1). Nhưng đạo hàm theo cung theo định nghĩa bằng: 1 1 1 ( ) ( )lim M M f M f Mf l s     Từ đây:     1 1 1 1 2 3 1 2 3 0 1 1 1 2 3 1 2 3 1 0 1 1 1 1 , , ( , , ) lim , , ( , , ) lim 1 q q f q q q q f q q qf l S f q q q q f q q q q q S f q h                    (2.3) Tương tự: 2 2 2 1 e fhc gradf q h     (2.4) 3 3 3 1 e fhc gradf q h     (2.5) Nếu trường hợp cho trong hệ tọa độ Descartes u = f(x, y, z) thì f f fgradu i j k x y z             (2,6) Nếu cho trong hệ tọa độ trụ  , ,f z  thì 1 z f f fgradu e e e z                (2.7) Nếu được cho trong hệ tọa độ cầu thì 1 1 e f fhc gradf le           1 2 3, ,M q q q  1 1 2 3, ,M q q q q  Đường q1 H.2.1 Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý 28 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh 1 1 sinr f f fgradu e e e r r r                (2.8) Cuối cùng muốn tính đạo hàm của trường vô hướng u = (q1, q2, q3) tại điểm M theo hướng véctơ nào đó 1 1 2 2 3 3a a e a e a e       ta chỉ cần lấy hình chiếu của gradien lên véctơ a    31 2 1 1 2 2 3 3 2 2 2 1 2 3 , aa au u u gradu a h q h q h qu a a a a a                 (2.9) 3. DIVE TRONG HỆ TỌA ĐỘ CONG Xét trường véctơ      1 1 2 3 1 2 1 2 3 2 3 1 2 3 3, , , , , ,A A q q q e A q q q e A q q q e       theo định nghĩa dive của trường A  tại điểm M bằng  , lim s V M A n dS divA V      (3.1) trong đó M  V và X là miền được giới hạn bởi bề mặt S. Xét một hình hộp chữ nhật cong có đỉnh tại M đang xét, các mặt bên trùng với các mặt tọa độ, các mặt đối diện với các mặt tọa độ đi qua điểm N. Trong hệ tọa độ cong trực giao V= h1h2h3dq1dq2dq3 mặt MM2N1M3 có diện tích h2 h3dq2 dq3. Thành phần của véctơ A  trên pháp tuyến của mặt này là -A1, do đó thông lượng tương ứng của A  đi qua mặt này là -A1h2h3dq2dq3. Xét mặt M1N3NN2 trên mặt này q1 có giá trị q1+dq1do đó thông lượng qua mặt này là: [A1h2h3+  1 2 3 1 1 A h h dq q   ] dq2dq3 M3 N1 N3 N2 M2 M1 M q1 q2 q3 N H.3.1 Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý 29 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh Do đó thông lượng qua hai mặt MM2N1N3 và M1N3NN2 bằng:  1 2 3 1 2 3 1 A h h dq dq dq q   Tương tự thông lượng qua hai mặt MM1N2M3 và M2N3NN1bằng:  2 1 3 2 1 3 2 A h h dq dq dq q   Tương tự thông lượng qua hai mặt NN1M3N2 và MM1N3 M2 bằng:  3 1 2 3 1 2 3 A h h dq dq dq q   Cộng cả 3 biểu thức trên ta được thông lượng toàn phần qua mặt S: ( , ) S A n ds   Chia cho thể tích hình hộp và qua giới hạn ta được:      1 2 3 2 1 3 3 1 2 1 2 3 1 2 3 1 A h h A h h A h hdivA h h h q q q             (3.2) Nói riêng, nếu trường được cho trong hệ tọa độ Descartes:      , , , , , ,x y zA A x y z i A x y z j A x y z k       thì: yx zAA AdivA x y z          (3.3) Nếu trường được cho trong hệ tọa độ trụ ( , , ) ( , , ) ( , , )s zA A z e A z e A z e               ta nhận được: 1 ( )zA A AdivA z                 (3.4) (vì h =1; h  ; h =1) Nếu trường được cho trong hệ tọa độ cầu      , , , , , ,r rA A r e A r e A r e               (vì rh =1; h r  ; h = rsin ) Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý 30 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh   2 2 sin1 sin sin r AAA rdivA r r r r                (3.5) Ví dụ 1: Tính div của một trường lực hấp dẫn khối lượng m đặt tại gốc tọa độ. Trong hệ tọa độ Descartes trường này có dạng: 3 mrF r     hay 2 2 2 3/ 2 ( ) ( ) m xi y j zkF x y z           ta có thể tính div của trường này nhờ công thức (3.3) nhưng quá trình tính toán rất phức tạp. Bây giờ ta biểu diễn trường vectơ này trong hệ tọa độ cầu. Để ý rằng re  hướng dọc theo hướng bán kính r, vì thế 3 3; ;r r mr mrr re r r F e r r            2 r mF e r       Theo công thức (3.5) ta nhận được 2 2 2 2 2 ( )( )1 1sin sin 0 sin sin r mr F r rdivF r r r r              (3.5’) Ví dụ 2: Tính div của trường vận tốc A của vật thể rắn quay với vận tốc không đổi 0 quanh một trục cố định. Ta xét trường véctơ trong hệ tọa độ trụ và nhận trục Oz làm trục quay. Ta thấy rằng vận tốc quay của một vật thể tại điểm bất kỳ hướng theo véctơ e  và độ lớn bằng 0 r, do đó: 0A re   Sử dụng công thức (3.5’) ta được:   00 ( )1 0rdivA div re r           4. ROTA TRONG TỌA ĐỘ CONG Xét trường véctơ 1 1 2 3 1 2 1 2 3 2 3 1 2 3 3( , , ) ( , , ) ( , , )A A q q q e A q q q e A q q q e          Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý 31 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh Để tìm Rota của trường này ta tính hình chiếu của rota theo một hướng nào đó bằng mật độ lưu thông trung bình của trường A  theo hướng này. Mật độ lưu thông trung bình theo hướng e1 bằng tỷ số lưu thông theo một chu tuyến bất kỳ bao quanh M và diện tích S được giới hạn bởi chu tuyến này, đồng thời miền S phải được phân bố trên bề mặt mà pháp tuyến của nó tại điểm này hướng dọc theo véctơ 1e  . Ta định nghĩa: 1 lime s M Adl rot A S      (4.1) Để thuận tiện ta chọn một tọa độ q1= const đi qua M và miền S là miền MM2N1M được giới hạn bởi các đường tọa độ (H.3.1). Diện tích của yếu tố vi phân mặt được giới hạn bởi chu tuyến đó là: dS = h2h3dq2dq3. Trên cung MM2 ta có: 2 2 2 2 2 2 MM Adl A dS A h dq    Trên cung M3N1 giá trị của tọa độ thứ ba là q3+dq3. Do đó: 3 1 2 2 2 2 3 2 3 ( )( ) M N A hAdl A h dq dq q       Tương tự ta có: 3 3 3 3 MM Adl A h dq   2 1 3 3 3 3 2 3 2 ( )( ) M N A hAdl A h dq dq q       Vậy: 2 1 3 2 2 1 1 1 3 3 3 2 2 2 3 2 3 ( ) ( )( ) MM N M MM M N M N MM A h A hAdl Adl Adl Adl Adl dq dq q q                         Chia biểu thức này cho dS và qua giới hạn ta được: 3 3 2 21 2 3 2 3 ( ) ( )1 ( )A h A hrot A h h q q        (4.2) Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý 32 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh Bằng cách tương tự ta nhận được: 3 31 12 1 3 3 1 ( )( )1 ( )A hA hrot A h h q q       (4.3) và 2 2 1 13 2 1 1 2 ( ) ( )1 ( )A h A hrot A h h q q        (4.4) Nói riêng trong hệ tọa độ Descartes x y zA i+A j+A kA      ( ) ( ) ( )y yx xz zA AA AA Arot A i j k y z z x x y                     (4.5) Trong hệ tọa độ trụ, đối với trường z zA e +A e +A eA        rota được tính theo công thức: ( ) ( )1 1( ) ( ) ( )z z z A A A AA Arot A e e e z z                                    (4.6) Trong hệ tọa độ cầu: rrA e A e A eA          2 ( sin ) ( sin )( ) ( )( ) ( )1 1 1( ) ( ) ( ) sin sin r r r A r A rA r A rA Arot A e e e r r r r r                                  (4.7) Ví dụ 1: Tính rota của trường lực hấp dẫn 2 r mF e r      Các thành phần của véctơ F  là: 2r mF r    ; 0; 0F F   Sử dụng công thức (4.7) ta thấy 0rotF   . Ví dụ 2: Tính rota của trường vận tốc A  của trường vật thể rắn quay với vận tốc góc không đổi quanh một trục cố định. Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý 33 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh 0A e    . Các thành phần của véctơ A  là: 00 , ,zA          . Sử dụng công thức (4.6) ta được: 2 0 0 ( )1 2 2z zRot A e e               . Từ đây ta nhận thấy rằng divA  và rot A  là bất biến đối với cách chọn hệ trục tọa độ. 5. TOÁN TỬ VI PHÂN CẤP HAI 5.1 Toán tử “Nabla” Ký hiệu  là toán tử “Nabla” hay toán tử Hamilton trong hệ tọa độ Descartes vuông góc, nó có dạng: i j k x y z              Dùng ký hiệu toán tử “Nabla”  ta có: , ,grad divA A rot A A                  Nếu tác dụng toán tử  lên chúng một lần nữa ta được toán tử vi phân cấp hai ta có lược đồ sau: div grad    grad     rot grad    div A grad div A A            A  div rot A         rot A       rot rot A           Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý 34 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh Ta dễ dàng suy ra các hệ thức sau: a  0rotgrad  (5.1) Thật vậy          , vì tích hữu hướng của hai véctơ cộng tuyến bằng không. b/ divrot A     =0 (5.2) Vì véc tơ   vuông góc với , và tích vô hướng của hai véctơ vuông góc với nhau bằng không. Đặt B rot A   , ta có 0divB   nghĩa là B  là trường hình ống. c/ ) ( )rotrot A A graddivA A                (5.3) d/ divgrad      (5.4) 5.2 Toán tử “Laplace” Trong vật lý toán người ta gọi toán tử cấp hai divgradu là toán tử “Laplace” ký hiệu bởi toán tử Δ. Từ hệ thức (5.4) ta có:     a/ Trong hệ tọa độ Descartes, xét hàm  , ,u u x y z ta có: ( ) ( ) ( ) u u ugradu i j k x y z u u udiv gradu x x y y z z                             Tức là: 2 2 2 2 2 2 u u uu x y z           (5.5) b/ Trong hệ tọa độ trụ, xét hàm  , ,u u z  trong hệ tọa độ này: 1 z u u ugradu e e e z                Tính div của trường này ta nhận được toán tử Laplace Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý 35 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh 2 2 2 2 1 1u u uu z                          (5.6) c/ Trong hệ tọa độ cầu ( , , )u u    2 2 2 2 1 1sin sin sin sin u u uu r r r r                                d/ Cuối cùng trong hệ trực giao tùy ý, đối với hàm 1 2 3( , , )u u q q q 2 3 1 3 1 2 1 2 3 1 3 1 2 2 2 3 3 3 1 h h h h h hu u uu h h h q h q q h q q h q                               Ví dụ: Cho 2 2 2 1u x y z    . Tính u Để đơn giản việc tính toán ta sử dụng tọa độ cầu. 1u r  khi đó 2 1u r r     nên 0u  Kết luận: Chúng ta cũng đi nghiên cứu về các phép tính gradien, dive, rota nhưng xét trong hệ tọa độ cong, và đặc biệt là hai hệ tọa độ cong thường gặp: hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu. Ngoài ra chúng ta còn đi nghiên cứu về các toán tử vi phân cấp 2: Toán tử Nabla, toán tử Laplace. Mỗi phép tính trên đều có ứng dụng quan trọng trong vật lý. Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý 36 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh Chương 3 BÀI TẬP Bài1: Tính div I R    trong đó onst; R j+zkI c xi y        Giải      x y z y z z x x y i j k I R I I I zI yI i xI zI j yI xI k x y z                         0y z z x x ydiv I R zI yI xI zI yI xIx y z                 Vậy 0div I R     Bài 2: Tính div I RM       trong đó , onstI M c   , R xi+y j+zk     Giải Ta có: R xi+y j+zk     x y zM i+M j+M kM     x y zI i+I j+I kI          z y x z y x x y z i j k RM x y z yM zM i zM xM j xM yM k M M M                        2 x y z z y x z y x y y y x z x z z z z z y x y x x x x z z y z y y i j k I RM I I I yM zM zM xM xM yM xI M yI M zI M xI M i yI M zI M xI M yI M j zI M xI M yI M zI M k div I RM I M                                        Bài 3: Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý 37 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh a/ Tính   rot u R R  b/ Tính ; onst; R y j+zkrot I R I c xi           Giải a/ Tính   rot u R R       ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) ( u R R xu R i yu R j zu R k i j k rot u R R x y z xu R yu R zu R i zu R yu R j xu R zu R k yu R xu R y z z x x y u R R u R R ui z y j x R y R z                                                                      2 2 2 2 ) ( ) ( ) ( ) Mà R 2 . 2 R R u R R u R R u R Rz k y x R z R x R z R x x y z R R xR x x x R                                       Tương tự ta có: ;R y R z y R z R       Suy ra: 0 0 0 R R y zz y z y y z R R R R z xx z x z z x R R R R x yy x y x x y R R                         Vậy { ( ) }=0rot u R R  b/ Tính rot IR    x y z i j k RI I I I x y z         Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý 38 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh ( ) ( ) ( )y z z x x yi I z yI j I x zI k I y xI         IR ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 y z z x x y x y z x y z x y z x y z x x y y z z i j k rot x y z I z yI I x zI I y xI i I y xI I x zI j I z yI I y xI y z z x k I x zI I z yI x y i I I j I I k I I I                                                                Bài 4: Tính  grad ar  với onsta c  Giải x y za a i a j a k       r xi y j zk       , ,x y ya a a là các hằng số    x y zgrad ar i j k a x a y a zx y z                  Vì , , 0 , , 0 , , 0 x x x y y y z z z a a a x y z a a a x y z a a a x y z                      nên   x y zgrad ar a i a j a k a         Bài 5: Tính 3 PRgrad R  trong đó P  là véctơ không đổi, R  là bán kính véctơ 33 2 2 2 2 3 3 33 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 | ( ) ( ) ( ) ( ) x y z x y z x y z x y z PR xP yP zP R x y z xP yP zP xP yP zP xP yP zPPRgrad i j k R x y zx y z x y z x y z                                                   Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý 39 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh Ta có:         '3 3' 2 2 2 2 2 22 2 32 2 2 2 3 5 3 52 2 2 2 2 22 2 ( ) ( ) ( ) 33 , ( ) ( ) x y z x y z x y zx x x y zx x xP yP zP xP yP zP x y z xP yP zP x y z x x y z xP yP zPP P xx R P R Rx y z x y z                                   Tương tự ta có:     3 3 52 2 2 2 3 3 52 2 2 2 3 , ( ) 3 , ( ) x y z y x y z z xP yP zP P y R P y R Rx y z xP yP zP P z R P z R Rx y z                             Vậy         3 3 5 3 5 31 3 x y z PRPRgrad P i P y P z xi y j zk R R R PR RP R R                  Bài 6: Dùng tọa độ Đề các. Tính  /a grad r   /b div r     a r r  Giải a/               r r r r r rr r rgrad r i j k i j k x y z r x r y r z                                        ' r rgradr r r r             b/               dive r r r r r r r r r r r r                                       ' '. 3 3 rr r r r r r r         c/                 a r r r a r r a r r agrad r r a r                        Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý 40 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh          ' 'r r r r a r r a r ar r r                               x y z x y zr a r r a a a xi y j zk r a i a j a k a rx y z                                          ' r a r r r ar a r r           Bài 7: Chứng minh rằng a/    AB rotC B A C A B C               b/  A B Arot B A B AdivB                     c/  A B AdivB ArotB Brot A A B                            Giải a/    AB rotC B A C A B C               Ta có:             B A C A B C C B A C A B C B A A B C AB AB C AB C AB rotC                                                                    b/  A B Arot B A B AdivB                           Arot B A B B A B A B A A B A B A B ArotB A B                                                                                           Mà:     A B A B A B A B A B A B ArotB A B AdivB                                                                          Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý 41 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh c/  A B AdivB ArotB Brot A A B                            Ta có:  A B A B A B A B A B A B A B                                                                             Mà:    Brot A B A B A A B A B A B A B B A                                                                                                               A B Brot A B A Arot B A B A B A B B A Brot A B A A B ArotB A B A B B A Brot A B A A                                                                                                          ( ) .B A rotB A B AdivB ArotB Brot A A B                                    Bài 8: Cho trường vô hướng u=ax2 + by2 –dxy trong đó a>0, b>0, d>0 1/ Tìm độ lớn của gradien của trường vô hướng u tại điểm M (2, 1). 2/ Xét xem tại những điểm nào gradu = 0 và tại những điểm nào nó vuông góc với trục Oy. Giải 1/ Ta có             / 2 2 2 2 4 2 2 4 2 2 M M u ugradu i j ax dy i by dx j x y gradu a d i b d j gradu a d b d                         Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý 42 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh 2/ a. Xét hệ 2 0 2 0 ax dy dx by      Gradu = 0 tại điểm (0, 0) nếu d2 ≠ 4ab và gradu=0 trên đường ay x b  nếu d2=4ab b. Gradu vuông góc với trục Oy tại các điểm trên đường 2by-dx=0 2 dxy b   Bài 9: Cho u=x2 +y2 + z2 tính divgradu trong tọa độ cầu. Giải Trong hệ tọa độ cầu:   2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1sin sin sin sin 0 ; 2 1 sin 2 . 6 sin u u udivgradu u r r r r u x y z r u u u r r u r r r r                                                            Bài10: Cho hệ tọa độ cong 2 2 1 2 32 ; ;4 2 y x yq q q z x       Khảo sát sự trực giao của hệ tọa độ cong này. Giải Xét cặp tọa độ q1, q2 1 2 1 2 1 2 3 2 2 1 0 2 q q q q q q y x y x x y y z z x x                         Vậy q1vuông góc với q2. Xét cặp tọa độ q1, q3 3 3 31 1 1 3 2 2 1.0 .0 0.1 0q q qq q q y x x y y z z x x                      Vậy các tọa độ q1, q3 vuông góc với nhau. Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý 43 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh Xét cặp tọa độ q2,q3 3 3 32 2 2 0q q qq q q x x y y z z               Vậy tọa độ cong trực giao nhau. Bài 11: Chứng minh các hệ thức sau đây: a/.  grad grad grad      b/.  div A div A Agrad       c/.  rot A rot A A grad          d/. div A B Brot A Arot B           e/.    rot A B AdivB BdivA B A A B                   f/.      grad A B A rotB B rot A B A A B                         Giải a/.  grad grad grad         grad grad grad                                    b/.  div A div A Agrad          div A A A A A A Agrad div A                                       c/.  rot A rot A A grad          .    rot A A A A A A rot A A grad                                                             d/. div A B Brot A Arot B           Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý 44 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh div A B A B A B B A B A B A A B Brot A Arot B                                                               e/.    rot A B AdivB BdivA B A A B                           rot AB AB A B A B A B B A A B B A B A Bdiv A AdivB A B                                                                                               f/.      grad A B A rotB B rot A B A A B                          grad AB A B A B                        Ta có  ArotB A B A B A B                             Nên           A B Arot B A B A B Brot A B A grad AB ArotB Brot A A B B A                                                               Bài 12: Tính 3 1 R Rgrad div div R R R     1 2 3 1 1 1 1 3 1 2 Rgrad gradR R gradR R R R Rdu R R R R R R R R R R R                                          Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý 45 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh 3 3 3 3 3 3 3 4 3 3 3 5 1 1 1 1 3 3 3 3 0 R R Rdiv R R R R R R R R R R RgradR RR gradR R R RR R R                                  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý 46 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh PHẦN 3: KẾT LUẬN Đối chiếu với mục đích nghiên cứu, đề tài: “Phép biến đổi Laplace” đã cơ bản hoàn thành những nhiệm vụ đề ra. 1. Nghiên cứu về phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ Đề các. 2. Nghiên cứu về các phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ cong. Đặc biệt là hai hệ tọa độ cong thường gặp là hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ cầu. 3. Đặc biệt từ việc nghiên cứu các phép biến đổi Laplace, đề tài đã đưa ra một số ứng dụng của nó trong vật lý như: điện động lực học, cơ học lượng tử, điện từ trường… Mặt khác khi tìm hiểu các phép biến đổi Laplace ta còn nhận thấy điều quan trọng rằng, nó không chỉ mang tính chất toán học mà nó còn có một ý nghĩa vật lý sâu sắc, nó thực sự là một công cụ phục vụ đắc lực cho việc nghiên cứu vật lý. Tuy nhiên việc nghiên cứu đề tài này mới chỉ mang tính chất toán học. Đề tài này sẽ được mở rộng cho các phép biến đổi khác và ứng dụng trong vật lý hiện đại. Qua thời gian thực hiện đề tài nghiêm túc, khẩn trương tôi đã bước đầu hiểu và làm quen với công tác nghiên cứu khoa học…Mặc dù đã rất cố gắng nhưng chắc rằng không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Tôi chân thành cảm ơn các bạn đọc về mọi ý kiến đóng góp để cuốn luận văn ngày càng hoàn thiện hơn. Trong thời gian thực hiện đề tài tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy cô trong khoa Vật Lý và đặc biệt là cô giáo T.S Phạm Thị Minh Hạnh đã giúp đỡ tôi hoàn thành khóa luận này. Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý 47 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Đỗ Đình Thanh (2002), Phương pháp toán lý, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội. 2. Nguyễn Văn Hùng, Lê Văn Trực (2004), Phương pháp toán cho Vật lý, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia, Hà Nội. 3. Nguyễn Hữu Mình (1998), Cơ học lý thuyết, Nxb Đại học Quốc gia, Hà Nội. 4. Nguyễn Hữu Mình, Đỗ Khắc Hưởng, Nguyễn Khắc Nhạp, Đỗ Đình Thanh, Lê Trọng Tường (1983), Bài tập vật lý lý thuyết, Nxb Giaó dục, Hà Nội. 5. Nguyễn Phúc Thuần (1998), Điện động lực học, Nxb Đại học Quốc gia, Hà Nội. 6. Đào Văn Phúc (1976), Điện động lực học, Nxb Giáo dục, Hà Nội. 7. Nguyễn Khắc Nhạp, Nguyễn Hữu Mình (1978), Giáo trình cơ học lý thuyết, Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội. 8. Nguyễn Trọng Chuyên, Nguyễn Văn Đạo, Ngô Văn Thảo, Nguyễn Thế Tiến (1976), Cơ học lý thuyết, Nxb ĐH và THCN, Hà Nội.