Khóa luận Toán tử dương trong không gian Hilbert

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ? ? ?F ? ?? NGUYỄN THỊ LÝ TOÁN TỬ DƯƠNG TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Bộ môn : Giải tích KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP GV hướng dẫn THS.LƯƠNG HÀ Huế, tháng 5 năm 2011 1 MỤC LỤC Lời mở đầu 3 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4 1.1 Một số toán tử đặc biệt trong không gian Hilbert . . . . . . . . 4 1.2 Một số định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 TOÁN TỬ DƯƠNG TRONG KHÔNG GIAN HILBERT 10 2.1 Định nghĩa toán tử dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Các tính chất của toán tử dương . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3 DẠNG PHÂN TÍCH CỰC CỦA MỘT TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC 27 3.1 Một số định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2 Dạng phân tích cực của một toán tử . . . . . . . . . . . . . . . 37 Kết luận 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO 43 2 LỜI MỞ ĐẦU Giải tích hàm là một trong những ngành toán học đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các cấu trúc toán học. Trong chương trình học của chúng em, bộ môn Giải tích hàm đã được đưa vào và trở thành một học phần quan trọng ở học kì hai năm thứ ba và học kì một năm thứ tư. Việc nghiên cứu các tính chất của các toán tử tuyến tính liên tục là một trong những vấn đề cơ bản của giải tích hàm. Đặc biệt là các toán tử tự liên hiệp có một số tính chất giống với các số thực và toán tử dương có một số tính chất giống với các số dương. Chính vì những tính chất đặc biệt đó, khoá luận này của em đi sâu nghiên cứu về lớp các toán tử dương trong không gian Hilbert. Khóa luận này nhằm mục đích nghiên cứu, hệ thống các tính chất của toán tử dương trong không gian Hilbert đồng thời tìm hiểu về dạng phân tích cực của một toán tử tuyến tính liên tục. Nội dung nghiên cứu của em tuy không phải là những kết quả mới được tìm thấy, nhưng với tinh thần tìm tòi học hỏi kiến thức mới, hy vọng đề tài này sẽ đem lại nhiều kiến thức bổ ích và thú vị cho độc giả. Nội dung khoá luận gồm ba chương: Chương I: Một số kiến thức chẩn bị. Chương II: Toán tử dương trong không gian Hilbert. Chương III: Dạng phân tích cực của một toán tử tuyến tính liên tục. Tuy đã có nhiều cố gắng, song do hạn chế về thời gian và năng lực bản thân nên khoá luận không tránh khỏi những sai sót, rất mong được sự quan tâm góp ý của thầy cô và các bạn. Em xin chân thành cảm ơn! Huế, ngày 8 tháng 5 năm 2011 Tác giả 3 CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số toán tử đặc biệt trong không gian Hilbert Định nghĩa 1.1.1 (Toán tử liên hợp). Cho X, Y là hai không gian Hilbert, A : X −→ Y là một toán tử tuyến tính liên tục. Lúc đó toán tử tuyến tính liên tục A∗ : Y −→ X được gọi là toán tử liên hợp của toán tử A nếu 〈Ax, y〉 = 〈x,A∗y〉, ∀x ∈ X, y ∈ Y. Định nghĩa 1.1.2 (Toán tử tự liên hợp). Cho X là một không gian Hilbert, A ∈ L(X). A gọi là tự liên hợp nếu 〈x,Ay〉 = 〈Ax, y〉, ∀x, y ∈ X Định lý 1.1.3. Cho X là một không gian Hilbert phức và A ∈ L(X). Điều kiện cần và đủ để A tự liên hợp là 〈Ax, x〉 ∈ R với mọi x ∈ X. Định nghĩa 1.1.4 (Toán tử chiếu). Cho X là một không gian vectơ trên trường K (R hoặc C) và X = M ⊕N trong đó M,N là các không gian con của X. Khi đó, mỗi phần tử x ∈ X được biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng x = y + z với y ∈M và z ∈ N . Ánh xạ P : X −→ X x 7−→ y được gọi là toán tử chiếu (hay phép chiếu trực giao) của không gian X lên không gian con M , kí hiệu PM . ∗ Nếu X một không gian Hilbert và M là một không gian con đóng của X 4 thì mọi vectơ x ∈ X đều có thể biểu diễn theo một cách duy nhất dưới dạng: x = y+z, với y ∈M, z ∈M⊥. Lúc đó ánh xạ P được gọi là toán tử chiếu (hay phép chiếu trực giao) của không gian X lên không gian con đóng M . Kí hiệu PM . Định nghĩa 1.1.5 (Toán tử đẳng cự). Cho X, Y là hai không gian Hilbert và toán tử tuyến tính T : X −→ Y sao cho ‖Tx‖ = ‖x‖ với mọi x ∈ X. Lúc đó T được gọi là toán tử đẳng cự. Định nghĩa 1.1.6 (Toán tử unita). Nếu T là toán tử đẳng cự và toàn ánh thì T được gọi là một toán tử unita. Định lý 1.1.7. Cho X, Y là hai không gian Hilbert và T : X −→ Y là một toán tử tuyến tính. Lúc đó các mệnh đề sau tương đương: (i) T là toán tử đẳng cự ; (ii) T liên tục và T ∗.T = IX (IX là toán tử đồng nhất trong X); (iii) T bảo toàn tích vô hướng : 〈Tx1, Tx2〉 = 〈x1, x2〉 với mọi x1, x2 ∈ X. Định lý 1.1.8. Cho X, Y là hai không gian Hilbert và U : X −→ Y là một toán tử tuyến tính. Lúc đó các mệnh đề sau tương đương: (i) U là một toán tử unita; (ii) U là một phép đẳng cấu của X lên Y ; (iii) U liên tục và U∗U = IX , U∗U = IY (IX , IY là các toán tử đồng nhất lần lượt trong X và trong Y ); (iv) U liên tục và U∗ = U−1. Định nghĩa 1.1.9. Cho A là toán tử tuyến tính liên tục từ không gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y . Khi đó: (a) Tập hợp A−1(0) = {x ∈ X : Ax = 0} được gọi là không gian con không của A và kí hiệu là N (A); 5 (b) Tập hợp A(X) = {y ∈ Y : y = Ax, x ∈ X} được gọi là miền giá trị của A và kí hiệu là R(A). Định lý 1.1.10. Nếu A : X −→ Y là một toán tử tuyến tính liên tục của không gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y thì X = N (A)⊕R(A∗) và Y = N (A∗)⊕R(A) trong đó A∗ là toán tử liên hợp của A. Định nghĩa 1.1.11 (Toán tử đẳng cự bộ phận). Giả sử X và Y là hai không gian Hilbert. Một toán tử tuyến tính V : X −→ Y được gọi là toán tử đẳng cự bộ phận nếu X = M ⊕N trong đó M và N là những không gian con đóng trực giao với nhau, sao cho: (i) V x = 0 khi x ∈ N , (ii) ‖V x‖ = ‖x‖ khi x ∈M. Nhận xét: Rõ ràng N (V ) = N . Nếu đặt L = R(V ) thì L = V (X) = V (M). Không gian con M ⊂ X được gọi là miền gốc, còn L ⊂ Y được gọi là miền ảnh của toán tử đẳng cự bộ phận V. Định nghĩa 1.1.12 (Toán tử chuẩn tắc). Toán tử tuyến tính liên tục N trong không gian Hilbert X được gọi là một toán tử chuẩn tắc nếu N giao hoán với toán tử liên hợp N∗ của nó, tức là N∗N = NN∗. Vậy các toán tử tự liên hợp, toán tử unita trong không gian Hilbert X đều là những toán tử chuẩn tắc. Định nghĩa 1.1.13. Cho X là không gian định chuẩn phức. A ∈ L(X) và λ ∈ C . Nếu tồn tại x 6= 0 trong X sao cho Ax = λx thì λ được gọi là một giá trị riêng của toán tử A và x là vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng λ. λ ∈ C là giá trị phổ của A nếu không tồn tại toán tử ngược liên tục (A−λI)−1. Tập các giá trị phổ gọi là phổ của toán tử A, kí hiệu là σ(A). Nếu λ là giá trị riêng của A thì λ ∈ σ(A). 6 Định lý 1.1.14. Cho X là một không gian Banach phức. Khi đó σ(T ) 6= ∅ với mọi T ∈ L(X). Định lý 1.1.15. Cho X là một không gian Hilbert phức và T ∈ L(X) là một toán tử tự liên hợp. Khi đó σ(T ) ⊂ R. Định nghĩa 1.1.16. Cho X là một không gian Banach và T ∈ L(X), khi đó số thực r(T ) := max{|λ| : λ ∈ σ(T )} gọi là bán kính phổ của toán tử T . Định lý 1.1.17. Nếu X là một không gian Banach phức và T ∈ L(X) thì r(T ) = lim n→∞ ‖T n‖ 1n . Hệ quả 1.1.18. Nếu X là một không gian Hilbert phức và T : X −→ X là một toán tử chuẩn tắc thì r(T ) = ‖T‖. 1.2 Một số định lý Định lý 1.2.1. Giả sử toán tử A ∈ L(X, Y ) có toán tử ngược A−1 : Y −→ X liên tục. Khi đó (∀x ∈ X)‖Ax‖ ≥ m‖x‖ với mọi m ≤ ‖A−1‖−1. (1.2.1) Ngược lại, giả sử A là toàn ánh và tồn tại m > 0 để (1.2.1) thỏa mãn thì A−1 tồn tại, liên tục và ‖A−1‖ ≤ m−1. Định lý 1.2.2 (Nguyên lý bị chặn đều). Giả sử X là một không gian Banach, Y là một không gian định chuẩn. Cho (Aα)α∈I là một họ các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y . Nếu họ (Aα)α∈I bị chặn điểm trên X thì sẽ bị chặn đều. Định lý 1.2.3 (Định lý Banach). Giả sử X, Y là hai không gian Banach và A : X → Y là một song ánh tuyến tính liên tục. Khi đó A là một phép đồng phôi tuyến tính. Định lý 1.2.4 (Suy rộng hàm liên tục ). Cho X là một không gian định chuẩn và Y là một không gian Banach. Cho Xo là không gian con trù mật của 7 X và cho To : Xo → Y là toán tử tuyến tính liên tục. Khi đó có duy nhất một toán tử tuyến tính liên tục T : X → Y sao cho T|Xo = To. Toán tử này thu được từ To được gọi là "suy rộng của To bởi tính liên tục". Định nghĩa 1.2.5 (Đại số). Một đại số X trên trường K (gọi tắt là đại số X) là một không gian vectơ trên trường K, mà trên đó tồn tại một phép toán hai ngôi, kí hiệu là (·) gọi là phép nhân, thoả mãn các điều kiện sau đây: (i) x(y + z) = xy + xz, (ii) (x+ y)z = xz + yz, (iii) λ(xy) = (λx)y = x(λy), với mọi x, y, z ∈ X, λ ∈ K. Định nghĩa 1.2.6 (Đại số con). Một tập con của đại số X được gọi là đại số con của đại số X nếu nó là một không gian vectơ con đóng kín đối với phép nhân trên X. Định nghĩa 1.2.7 (Đồng cấu đại số). Một đồng cấu đại số từ đại số X vào đại số Y là một ánh xạ h : X −→ Y sao cho (i) h(x+ y) = h(x) + h(y), (ii) h(x)h(y) = h(xy), (iii) h(rx) = rh(x), với mọi x, y ∈ X, r ∈ K. Định lý 1.2.8. Cho X là một không gian tôpô compact. Ta kí hiệu C(X) := {f : X −→ C : f liên tục}. Khi đó C(X) là một không gian Banach, với chuẩn được xác định bởi ‖f‖ := sup x∈X |f(x)|. Định nghĩa 1.2.9. ChoX là một không gian Banach và một hàm f : X −→ C. Ta kí hiệu f là hàm đi từ X vào C thỏa mãn f(x) = f(x), với mọi x ∈ X. 8 Định lý 1.2.10 (Stone-Weierstrass, xem [2], Định lý 8.1, tr 145). Cho Ω là một không gian tôpô compact. Giả sử rằng A là một đại số con của C(Ω) sao cho: (i) Hàm hằng 1A ∈ A, (ii) A tách các điểm của Ω, nghĩa là nếu ω1 và ω2 là những phần tử khác nhau thuộc Ω thì tồn tại hàm f ∈ A sao cho f(ω1) 6= f(ω2), (iii) Với mọi f ∈ A thì f ∈ A. Khi đó A trù mật trong C(Ω). 9 CHƯƠNG 2 TOÁN TỬ DƯƠNG TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Trong phần còn lại, ta luôn xét các không gian trên trường K = C. 2.1 Định nghĩa toán tử dương Định nghĩa 2.1.1. Cho X là một không gian Hilbert, toán tử A ∈ L(X) được gọi là dương nếu 〈Ax, x〉 ≥ 0 với mọi x ∈ X. Khi đó ta kí hiệu: A ≥ 0. Nhận xét: Theo Định lý 1.1.3 ta suy ra nếu A là một toán tử dương thì A là tự liên hợp. Ví dụ 2.1.2. Giả sử K(t, s) là hàm thuộc không gian L2([a, b] × [a, b]) và K(t, s) ≥ 0 hầu khắp nơi trên hình vuông {a ≤ t, s ≤ b}. Khi đó toán tử tích phân A trong L2[a, b] xác định bởi K(t, s) là dương Ax(t) = ∫ [a,b] K(t, s)x(s)ds, x ∈ L2[a, b] Ta có thể kiểm chứng A là toán tử tuyến tính liên tục. Mặt khác với mọi x ∈ L2[a, b], ta có 〈Ax, x〉 = ∫ [a,b] ∫ [a,b] K(t, s)x(s)x(s)dsdt = ∫ [a,b] ∫ [a,b] K(t, s)|x(s)|2dsdt ≥ 0. 10 Vậy A là một toán tử dương. Ví dụ 2.1.3. Phép chiếu trực giao P lên không gian con đóng M của không gian Hilbert X là một toán tử dương. Ta có P là toán tử tuyến tính liên tục. Mặt khác với mỗi x ∈ X thì x = x1+x2 với x1 ∈M và x2 ∈M⊥, khi đó 〈Px, x〉 = 〈x1, x1 + x2〉 = 〈x1, x1〉 = ‖x1‖2 ≥ 0, do đó P là một toán tử dương. Ví dụ 2.1.4. Giả sử X là một không gian Hilbert n chiều, {e1, e2, .. , en} là một cơ sở trực chuẩn của X và toán tử tự liên hợp A được xác định bởi ma trận cấp n. A = (aki) = (aik) k, i = 1, 2, · · ·, n Giả sử x = x1e1 + x2e2 + .... + xnen, khi đó 〈Ax, x〉 = 〈 n∑ k=1 n∑ i=1 akixiek, n∑ i=1 xiei〉 = n∑ k=1 n∑ i=1 akixixk. Như vậy theo ngôn ngữ đại số tuyến tính, 〈Ax, x〉 là một dạng toàn phương của (x1, x2, .... xn). Vậy để toán tử A là toán tử dương thì điều kiện cần và đủ là: a11 ≥ 0, ∣∣∣∣∣∣ a11 a12a21 a22 ∣∣∣∣∣∣ ≥ 0, · · ·, ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 a12 a1n a21 . . . a2n . . . . . . . . . . an1 . . . ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ≥ 0. Ví dụ 2.1.5. Trong không gian `2 = {x = (xn)n | xn ∈ C, ∞∑ n=1 |xn|2 < +∞}. Cho a = (an)n là một dãy số thực dương bị chặn, khi đó toán tử A : `2 3 x = (ξn)n 7−→ Ax := (anξn)n ∈ `2 là tuyến tính. Mặt khác, vì (an)n bị chặn nên M := sup n∈N∗ |an| < +∞, khi đó với mọi x = (ξn)n ∈ `2 ta có ‖Ax‖2 = ∞∑ n=1 |anξn|2 ≤ ∞∑ n=1 |an|2|ξn|2 ≤M2 ∞∑ n=1 |ξn|2 = M2‖x‖2. 11 Do đó A là toán tử tuyến tính liên tục. Mặt khác, ta luôn có 〈Ax, x〉 = ∞∑ n=1 an|ξn|2 ≥ 0 với mọi x ∈ `2 nên A là một toán tử dương trong `2. 2.2 Các tính chất của toán tử dương Trong mục này ta xét các toán tử trong không gian Hilbert X. Định lý 2.2.1. Nếu A ∈ L(X) thì các toán tử A∗A và AA∗ là dương. Chứng minh. Ta có A và A∗ là các toán tử tuyến tính liên tục nên các toán tử A∗A và AA∗ cũng là các toán tử tuyến tính liên tục. Mặt khác, với mọi x ∈ X,A ∈ L(X) ta có 〈A∗Ax, x〉 = 〈Ax,Ax〉 = ‖Ax‖2 ≥ 0 〈AA∗x, x〉 = 〈A∗x,A∗x〉 = ‖A∗x‖2 ≥ 0. Do đó A∗A và AA∗ là các toán tử dương. Định lý 2.2.2. Nếu A là toán tử dương và B ∈ L(X) thì toán tử B∗AB là dương. Chứng minh. Ta có B∗AB là toán tử tuyến tính liên tục. Mặt khác với mọi x ∈ X, ta có 〈B∗ABx, x〉 = 〈ABx,Bx〉 = 〈Ay, y〉 ≥ 0 (với y = Bx). Do đó B∗AB là toán tử dương. Tính chất 2.2.3. Nếu A là toán tử dương thì với mọi x, y ∈ X |〈Ax, y〉|2 ≤ 〈Ax, x〉〈Ay, y〉. (2.2.1) Chứng minh. • Nếu 〈Ax, y〉 = 0 thì (2.2.1) hiển nhiên đúng. • Giả sử 〈Ax, y〉 6= 0. Với mọi λ ∈ C, ta có 〈Ax+ λAy, x+ λy〉 ≥ 0 ⇐⇒〈Ax, x〉+ λ〈Ay, x〉+ λ〈Ax, y〉+ |λ|2〈Ay, y〉 ≥ 0 12 do đó nếu chọn λ = t〈Ax, y〉 với t là một số thực tùy ý thì 〈Ax, x〉+ 2t|〈Ax, y〉|2 + t2|〈Ax, y〉|2〈Ay, y〉 ≥ 0. (2.2.2) Vì (2.2.2) phải đúng với mọi t ∈ R nên 〈Ay, y〉 > 0. Do đó vế phải của (2.2.2) là một tam thức bậc hai đối với t và không âm với mọi t, vậy biệt số của nó không dương, tức là |〈Ax, y〉|4 ≤ 〈Ax, x〉〈Ay, y〉|〈Ax, y〉|2. Từ đó suy ra 〈Ax, x〉〈Ay, y〉 ≥ |〈Ax, y〉|2. Hệ quả 2.2.4. Nếu A là toán tử dương thì ‖Ax‖2 ≤ ‖A‖〈Ax, x〉 với mọi x ∈ X. Chứng minh. • Nếu ‖Ax‖ = 0 thì bất đẳng thức đã cho hiển nhiên đúng. • Giả sử ‖Ax‖ 6= 0. Với mọi x ∈ X, từ (2.2.1) chọn y = Ax, ta có |〈Ax,Ax〉|2 ≤ 〈Ax, x〉〈A(Ax), Ax〉 ⇐⇒ ‖Ax‖4 ≤ 〈Ax, x〉〈A(Ax), Ax〉. Mặt khác theo bất đẳng thức Schwarz ta có |〈A(Ax), Ax〉| ≤ ‖A(Ax)‖‖Ax‖ ≤ ‖A‖‖Ax‖2. Vì A là toán tử dương nên 〈A(Ax), Ax〉 = |〈A(Ax), Ax〉|. Do đó ‖Ax‖4 ≤ 〈Ax, x〉‖A‖‖Ax‖2 ⇔ ‖Ax‖2 ≤ 〈Ax, x〉‖A‖. Hệ quả 2.2.5. Nếu A là một toán tử dương và (xn)n là một dãy các phần tử trong X sao cho lim n→∞〈Axn, xn〉 = 0 thì limn→∞Axn = 0. Chứng minh. Giả sử (xn)n ⊂ X sao cho lim n→∞〈Axn, xn〉 = 0. Khi đó theo Hệ quả 2.2.4 ta có 0 ≤ ‖Axn‖2 ≤ ‖A‖〈Axn, xn〉 −→ 0 khi n→∞ nên lim n→∞Axn = 0. 13 Một trường hợp đặc biệt của hệ quả trên là: Cho A là một toán tử dương. Khi đó, nếu 〈Ax, x〉 = 0, với mọi x ∈ X thì Ax = 0 hay A = 0. Theo hệ quả 2.2.4 và giả thiết ta có ‖Ax‖2 ≤ ‖A‖〈Ax, x〉 = 0 với mọi x ∈ X. Nên ‖Ax‖ = 0, với mọi x ∈ X. Vậy Ax = 0, với mọi x ∈ X hay A = 0. Tính chất 2.2.6. Cho A là một toán tử dương. Đặt m = inf x∈X,‖x‖=1 〈Ax, x〉, M = sup x∈X,‖x‖=1 〈Ax, x〉 Lúc đó m ∈ σ(A),M ∈ σ(A) và σ(A) ⊂ [m,M ]. Chứng minh. Trước hết ta có A là toán tử dương nên 〈Ax, x〉 ≥ 0 với mọi x ∈ X, do đó ta có thể định nghĩa được các số m và M . Đặt Am = A−mI. Vì A, I là các toán tử tuyến tính liên tục nên Am cũng là toán tử tuyến tính liên tục. Ta có 〈Amx, x〉 = 〈Ax−mx, x〉 = 〈Ax, x〉 −m‖x‖2 ≥ 0 với mọi x ∈ X. Vậy Am là một toán tử dương. Mặt khác inf x∈X,‖x‖=1 〈Amx, x〉 = inf x∈X,‖x‖=1 〈Ax, x〉 −m = 0. Từ đó suy ra sẽ tồn tại một dãy (xn)n ⊂ X với ‖xn‖ = 1 và lim n→∞〈Amxn, xn〉 = 0. Theo Hệ quả 2.2.5 thì lim n→∞Amxn = 0. Giả sử Am có toán tử ngược A −1 m liên tục. Khi đó theo (1.2.1) ta có ‖Amxn‖ ≥ c‖xn‖ = c, ∀c ≤ ‖A−1m ‖−1 • Nếu ‖Am‖ = 0 thì m = M hay A = mI. Suy ra σ(A) = m. • Giả sử ‖Am‖ 6= 0 suy ra c > 0. Vậy ‖Amxn‖ ≥ c > 0 (mâu thuẫn vì Amxn → 0). Suy ra toán tử Am = A−mI không có toán tử ngược liên tục. Do đó m ∈ σ(A). Bây giờ ta chứng minh m −  /∈ σ(A), với mọi  > 0. Với mọi  > 0, ta xét toán tử Am− = A− (m− )I = (A−mI) + I = Am + I. Ta có Am− là toán tử tuyến tính liên tục. Mặt khác, inf x∈X,‖x‖=1 〈Amx, x〉 = 0 nên 〈(Am + I)x, x〉 = 〈Amx, x〉+ 〈x, x〉 ≥ 0 14 do đó Am− là một toán tử dương. Mặt khác với mọi x ∈ X ta có ‖Am−x‖2 = 〈Amx+ x, Amx+ x〉 = ‖Amx‖2 + 2〈Amx, x〉+ 2‖x‖2 ≥ 2‖x‖2. (2.2.3) Suy ra Am− là đơn ánh. Vậy N (Am−) = 0. Ta lại có Am− tự liên hợp nên X = N (Am−)⊕R(Am−) = R(Am−). Do đó với mọi x ∈ X tồn tại (xn)n ⊂ R(Am−) hội tụ đến x. Vì (xn)n ⊂ R(Am−) nên tồn tại (yn)n ⊂ X sao cho xn = Am−yn (n = 1, 2, ...). Từ (2.2.3) suy ra ‖xn − xp‖ = ‖Am−yn − Am−yp‖ = ‖Am−(yn − yp)‖ ≥ ‖yn − yp‖ Do đó (yn)n là dãy Cauchy trong không gian Hilbert X. Vậy tồn tại lim n→∞ yn = y, khi đó Am−y = lim n→∞Am−yn = limn→∞xn = x Do đó x ∈ R(Am−). Vậy X = R(Am−) hay Am− là toàn ánh. Vậy từ (2.2.3) và Định lý 1.2.1 ta suy ra tồn tại toán tử A−1m− liên tục. Do đó m−  /∈ σ(A), với mọi  > 0. Xét toán tử B = MI − A. Ta có các toán tử I và A là các toán tử tuyến tính liên tục nên toán tử B cũng là toán tử tuyến tính liên tục. Mặt khác, 〈Bx, x〉 = 〈Mx− Ax, x〉 = M‖x‖2 − 〈Ax, x〉 ≥ 0 với mọi x ∈ X, vì vậy B là toán tử dương. inf ‖x‖=1 〈Bx, x〉 = inf ‖x‖=1 (M − 〈Ax, x〉) = M − sup ‖x‖=1 〈Ax, x〉 = 0. Vì vậy theo chứng minh ở trên thay toán tử Am bằng toán tử B ta suy ra toán tử B không có toán tử ngược liên tục. Mà B = −(A −MI) nên M ∈ σ(A). Cũng theo chứng minh ở trên ta suy ra với mọi  > 0 thì toán tử B + I có toán tử ngược liên tục với (B + I)−1 = ((M + )I − A)−1 = −(A− (M + )I)−1 vì vậyM+ /∈ σ(A) với mọi  > 0. Mà σ(A) ⊂ R,m− /∈ σ(A) vàM+ /∈ σ(A) với mọi  > 0 nên σ(A) ⊂ [m,M ]. 15 Định lý 2.2.7. Cho A ∈ L(X) là một toán tử tự liên hợp. Đặt m = inf x∈X,‖x‖=1 〈Ax, x〉, M = sup x∈X,‖x‖=1 〈Ax, x〉 Lúc đó m ∈ σ(A),M ∈ σ(A) và σ(A) ⊂ [m,M ]. Chứng minh. Trước hết ta có A là toán tử tự liên hợp nên 〈Ax, x〉 luôn là một số thực với mọi x ∈ X, do đó ta có thể định nghĩa được các số m và M . Xét toán tử tự liên hợp Am = A−mI. Ta có inf x∈X,‖x‖=1 〈Amx, x〉 = 0, sup x∈X,‖x‖=1 〈Amx, x〉 = M −m. Vậy Am là một toán tử dương. Do đó theo Định lý 2.2.6 ta có 0 ∈ σ(Am), M −m ∈ σ(Am), σ(Am) ⊂ [0,M −m] Vì 0 ∈ σ(Am) nên toán tử A −mI không tồn tại toán tử ngược liên tục. Vậy m ∈ σ(A). VìM−m ∈ σ(Am) nên toán tử A−mI−(M−m)I = A−MI không tồn tại toán tử ngược liên tục. VậyM ∈ σ(A). Mặt khác, vì σ(Am) ⊂ [0,M−m] và σ(Am) ⊂ R nên − /∈ σ(Am), M −m+  /∈ σ(Am), ∀ > 0. Do đó các toán tử A−mI − (−I) = A− (m− )I, A−mI − (M −m+ )I = A− (M + )I có toán tử ngược liên tục, hay m−  /∈ σ(A) và M +  /∈ σ(A), với mọi  > 0. Mà σ(A) ⊂ R nên σ(A) ⊂ [m,M ]. Nhận xét 2.2.8. Gọi K là tập hợp tất cả các toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert X. Nếu A,B ∈ K và A − B là một toán tử dương (tức là ta có 〈Ax, x〉 ≥ 〈Bx, x〉, với mọi x ∈ X) thì ta kí hiệu A ≥ B. Khi đó ” ≥ ” là một quan hệ thứ tự bộ phận trong K vì 1. Rõ ràng A ≥ A,∀A ∈ K. 16 2. Nếu A ≥ B và B ≥ C thì A ≥ C. Điều này có được do 〈Ax, x〉 − 〈Cx, x〉 = 〈Ax, x〉 − 〈Bx, x〉+ 〈Bx, x〉 − 〈Cx, x〉 ≥ 0 với mọi x ∈ X. 3. Giả sử A ≥ B và B ≥ A, tức là 〈Ax, x〉 = 〈Bx, x〉 với mọi x ∈ X, suy ra 〈(A − B)x, x〉 = 0 với mọi x ∈ X. Theo Hệ quả 2.2.5 suy ra A − B = 0 hay A = B. 4. Nếu A ≥ B và C ≥ D thì A+ C ≥ B +D. 5. Nếu A ≥ B thì λA ≥ λB với mọi λ ≥ 0. Vì 〈λAx, x〉 = λ〈Ax, x〉 ≥ λ〈Bx, x〉 = 〈λBx, x〉 với mọi x ∈ X. 6. Nếu A ≥ 0 và tồn tại toán tử ngược liên tục A−1 thì A−1 ≥ 0. Vì với mọi y ∈ X, tồn tại x ∈ X để Ax = y, lúc đó 〈A−1y, y〉 = 〈A−1Ax,Ax〉 = 〈x,Ax〉 ≥ 0. Các tính chất nêu trên gợi ý rằng các toán tử tự liên hợp có một số tính chất giống với các số thực và các toán tử dương có một số tính chất giống với các số thực dương. Sự tương tự ấy càng được làm nổi bật bởi những kết quả sau đây. Tính chất 2.2.9. Nếu A,B ∈ L(X), A,B ≥ 0 và A+B = 0 thì A = B = 0. Chứng minh. Từ 〈(A + B)x, x〉 = 0 ta suy ra 〈Ax, x〉 = −〈Bx, x〉 ≤ 0 với mọi x ∈ X. Mà 〈Ax, x〉 ≥ 0 nên 〈Ax, x〉 = 0, do đó A = 0. Tương tự ta cũng chứng minh được B = 0. Vậy A = B = 0. Định lý 2.2.10. Giả sử B và An (n ∈ N∗) là các toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert X thỏa mãn điều kiện A1 ≤ A2 ≤ A3 ≤ ... ≤ An ≤ ... ≤ B. Lúc đó dãy (An)n hội tụ điểm trên X đến một toán tử tự liên hợp A với A ≤ B. Hơn nữa, nếu T là một toán tử tuyến tính liên tục giao hoán với các An (n ∈ N∗) thì T cũng giao hoán với A. 17 Chứng minh. Với mỗi n ∈ N∗ đặt Cn = B − An thì Cn là toán tử dương và C1 ≥ C2 ≥ C3... ≥ Cn ≥ .... ≥ 0. Ta có ‖C1‖ = sup x∈X,‖x‖=1 〈C1x, x〉 ≥ sup x∈X,‖x‖=1 〈Cnx, x〉 = ‖Cn‖ với mọi n ∈ N∗, vì vậy các toán tử Cn n ∈ N∗ có chuẩn bị chặn trên bởi ‖C1‖. Với mỗi x ∈ X ta có dãy bất đẳng thức 〈C1x, x〉 ≥ 〈C2x, x〉 ≥ ... ≥ 〈Cnx, x〉 ≥ ... ≥ 0. Suy ra dãy (〈Cnx, x〉)n∈N∗ hội tụ. Khi p ≥ 1 thì Cn − Cn+p là một toán tử dương, do đó theo Hệ quả 2.2.4 ta có ‖Cnx− Cn+px‖2 ≤ ‖Cn − Cn+p‖(〈Cnx, x〉 − 〈Cn+px, x〉) ≤ (‖Cn‖+ ‖Cn+p‖)(〈Cnx, x〉 − 〈Cn+px, x〉) ≤ 2‖C1‖(〈Cnx, x〉 − 〈Cn+px, x〉)→ 0. Như vậy với mỗi x ∈ X, (Cnx)n là một dãy Cauchy trong không gian Hilbert X do đó hội tụ trong X, khi đó theo nguyên lý bị chặn đều thì tồn tại C ∈ L(X) sao cho lim n→∞Cnx = Cx với mọi x ∈ X, suy ra dãy (An)n hội tụ điểm đến toán tử tuyến tính liên tục A. Mặt khác, ta có ánh xạ ϕ(·) : L(X) 3 S 7−→ S∗ ∈ L(X) là tuyến tính, và với mọi S, S ′ ∈ L(X) ta có ‖ϕ(S)− ϕ(S ′)‖ = ‖S∗ − S ′∗‖ = ‖(S − S ′)∗‖ ≤ ‖S − S ′‖ nên ϕ liên tục. Do đó với mọi x ∈ X ta có A∗x = ( lim n→∞Anx) ∗ = lim n→∞A ∗ nx = Ax. Vậy A là một toán tử tự liên hợp. Mặt khác, ta có 〈Bx, x〉 ≥ 〈Anx, x〉 với mọi n ∈ N∗. Do đó 〈Bx, x〉 ≥ lim n→∞〈Anx, x〉 = 〈 limn→∞Anx, x〉 = 〈Ax, x〉. Vậy B ≥ A. Bây giờ giả sử T là một toán tử tuyến tính liên tục giao hoán với mọi An n ∈ N∗, khi đó với mọi x ∈ X ta có ATx = lim n→∞AnTx = limn→∞TAnx = T ( limn→∞Anx) = TAx. Vậy AT = TA. 18 Định lý 2.2.11. Cho A,B là các toán tử dương và A,B giao hoán với nhau. Lúc đó AB là một toán tử dương. Chứng minh. Trước hết ta chứng minh hai điều nhận xét sau 1) Nếu A,B là hai toán tử dương trong không gian Hilbert X và AB = BA thì AkB = BAk, (k ∈ Z∗). (2.2.4) Từ đó suy ra rằng B giao hoán với mọi đa thức của A, tức là với mọi toán tử có dạng a0I + a1A+ a2A 2 + ...+ amA m, (ai ∈ K). Chứng minh. Ta sẽ chứng minh (2.2.4) bằng phương pháp quy nạp. Với k = 1 theo giả thiết thì (2.2.4) đúng. Giả sử (2.2.4) đúng với k = n tức là AnB = BAn. Khi đó BAn+1 = (BAn)A = (AnB)A = An(BA) = An+1B. Do đó (2.2.4) đúng với k = n + 1. Vậy nguyên lý quy nạp ta có AkB = BAk, với mọi k ∈ Z∗. 2) Nếu C là một toán tử dương trong không gian Hilbert X và ‖C‖ ≤ 1 thì C − C2 cũng là một toán tử dương và ‖C − C2‖ ≤ 1. Chứng minh. Vì C ≥ 0 nên theo hệ quả 2.2.4 ta có 〈C2x, x〉 = 〈Cx,Cx〉 = ‖Cx‖2 ≤ ‖C‖〈Cx, x〉 ≤ 〈Cx, x〉 với mọi x ∈ X, do đó 〈(C − C2)x, x〉 ≥ 0 với mọi x ∈ X. Hơn nữa, ta có ‖C − C2‖ = sup ‖x‖=1 〈(C − C2)x, x〉 ≤ sup ‖x‖=1 〈Cx, x〉 = ‖C‖ ≤ 1. Để chứng minh định lý ta có thể giả thiết rằng ‖A‖ ≤ 1 (vì nếu ‖A‖ 6= 1 ta xét toán tử B = A ‖A‖ khi đó ‖B‖ = 1). 19 Đặt  A0 = A A1 = A0 − A20 A2 = A1 − A21 = A0 − A20 − (A0 − A20)2 .... An+1 = An − A2n , (2.2.5) khi đó các toán tử An(n = 0, 1, ...) là các đa thức của A0 = A. Do đó An giao hoán với B. Từ nhận xét 2) ta suy rằng toán tử A1 dương và ‖A1‖ ≤ 1. Nên toán tử A2 cũng dương và ‖A2‖ ≤ 1. Giả sử toán tử An dương và ‖An‖ ≤ 1. Khi đó An+1 = An − A2n. Do đó toán tử An+1 dương và ‖An+1‖ ≤ 1, với mọi n ∈ N. Cộng (n+1) đẳng thức đầu tiên của (2.2.5) ta được An+1 = A− n∑ k=0 A2k (2.2.6) Do đó với mọi x ∈ X, ta có 〈Ax, x〉 = n∑ k=0 〈A2kx, x〉+〈An+1x, x〉 ≥ n∑ k=0 〈A2kx, x〉 = n∑ k=0 〈Akx,Akx〉 = n∑ k=0 ‖Akx‖2. Bất đẳng thức trên đúng với mọi n ∈ N nên chuỗi ∞∑ k=0 ‖Akx‖2 hội tụ với mọi x ∈ X. Do đó lim k→∞ ‖Akx‖2 = 0. Kết hợp đẳng thức này với (2.2.6) ta có Ax = lim n→∞ n∑ k=0 A2kx, với mọi x ∈ X. Do đó 〈ABx, x〉 = lim n→∞ n∑ k=0 〈A2kBx, x〉 = limn→∞ n∑ k=0 〈AkBx,Akx〉 = lim n→∞ n∑ k=0 〈BAkx,Akx〉 ≥ 0. Vậy AB là một toán tử dương. Nhận xét 2.2.12. Tích của hai toán tử dương không nhất thiết là dương. Xét hai toán tử A,B : C2 → C2 được xác định như sau A(x, y) = (5x+ 2y, 2x+ y), B(x, y) = (2x+ y, x+ y), với mọi x, y ∈ C. 20 Ta có C2 là một không gian định chuẩn hữu hạn chiều mà A,B là các toán tử tuyến tính đi từ C2 vào C2 nên A,B liên tục. Mặt khác, ma trận A,B biểu diễn của toán tử A,B là A =  5 2 2 1  B =  2 1 1 1  Ta có A = At, B = Bt, detA = 1, detB = 1. Vậy A,B là các toán tử dương trong C2. Nhưng lại ta có ma trận biểu diễn của toán tử AB là AB = 12 7 5 3 . Vậy AB 6= (AB)t. Do đó AB không phải là toán tử dương. Hệ quả 2.2.13. Cho A,B là các toán tử tự liên hợp và A ≤ B. Nếu C là toán tử dương giao hoán với cả A và B thì AC ≤ BC. Chứng minh. Ta có B ≥ A suy ra B − A ≥ 0. Mà C ≥ 0 và C giao hoán với cả A và B. Vậy theo Định lý 2.2.11 thì (B − A)C ≥ 0 hay AC ≤ BC. Định lý 2.2.14. Cho A là một toán tử dương thỏa mãn αI ≤ A ≤ βI với 0 < α < β. Khi đó (a) A là song ánh. (b) 1 β I ≤ A−1 ≤ 1 α I. Chứng minh. a) Trước hết ta có αI ≤ A ≤ βI ⇔ α‖x‖2 ≤ 〈Ax, x〉 ≤ β‖x‖2 (2.2.7) với mọi x ∈ X, do đó nếu Ax = 0 thì x = 0. Vậy toán tử A là đơn ánh.Ta chứng minh R(A) đóng. Xét dãy (yn)n ⊂ R(A) sao cho y := lim n→∞ yn. Khi đó tồn tại (xn)n ⊂ X, sao cho yn = Axn. Ta có α‖xn − xm‖2 ≤ 〈A(xn − xm), xn − xm〉 = 〈Axn − Axm), xn − xm〉 = 〈yn − ym, xn − xm〉 ≤ ‖yn − ym‖‖xn − xm‖ suy ra α‖xn− xm‖ ≤ ‖yn− ym‖. Vậy (xn)n là dãy Cauchy trong X nên tồn tại lim n→∞xn = x ∈ X và vì A liên tục nên y = Ax, do đó R(A) là một tập đóng 21 trong X. Ngoài ra mọi y ∈ R(A)⊥ ta có 〈Ay, y〉 = 0, và từ (2.2.7) ta suy ra y = 0. Vậy R(A)⊥ = {0}, do đó X = R(A)⊕R(A)⊥ = R(A)⊕R(A)⊥ = R(A). Vậy A là song ánh, do đó A khả nghịch. b) Ta có A là một song ánh tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert X nên theo Định lý Banach thì A là một phép đồng phôi tuyến tính. Vậy A−1 liên tục mà A là toán tử dương nên theo Nhận xét 2.2.8 A−1 cũng là một toán tử dương. Mặt khác A−1 cũng giao hoán với A và I nên theo Hệ quả 2.2.13 và bất đẳng thức αI ≤ A ≤ βI ta suy ra αA−1 ≤ AA−1 ≤ βA−1. Vậy 1 β I ≤ A−1 ≤ 1 α I. Định nghĩa 2.2.15 (Căn bậc hai của một toán tử dương). Căn bậc hai của toán tử dương A là toán tử tự liên hợp B thỏa mãn B2 = A. Định lý 2.2.16. Cho A là một toán tử dương trong không gian Hilbert X. Khi đó, A có một căn bậc hai dương duy nhất. Hơn nữa, B giao hoán với bất kỳ toán tử tuyến tính liên tục nào giao hoán với A. Chú ý: Toán tử B được gọi là căn bậc hai dương của toán tử dương A và thường được kí hiệu là A 1 2 hay √ A. Chứng minh. Cũng như chứng minh trong Định lý 2.2.11 ở đây ta có thể giả thiết ‖A‖ ≤ 1. Do đó 〈Ax, x〉 ≤ ‖Ax‖‖x‖ ≤ ‖A‖‖x‖‖x‖ ≤ ‖x‖2 = 〈x, x〉. Vậy 0 ≤ A ≤ I và C = I − A là một toán tử dương. Để thấy bản chất quá trình đi tìm toán tử B = A 1 2 ta tạm giả thiết rằng B tồn tại. Đặt S = I − B thì B = I − S. Do đó A = B2 = (I − S)2 = I − 2S + S2. Vậy S là nghiệm của phương trình toán tử S = 1 2 (I − A) + 1 2 S2 = 1 2 C + S2 (2.2.8) Đặt: S0 = I S1 = 1 2 C + 1 2 S20 22 .... Sn+1 = 1 2 C + 1 2 S2n. Vì C ≥ 0 nên Sn ≥ 0 (n = 1, 2, ...). Ta có Sn biểu diễn được qua C và Sn−1 với n ≥ 1 và S0 = I. Suy ra Sn biểu diễn được qua C và I. Vậy Sn là những đa thức của A (vì C = I − A). Do đó các toán tử Sn giao hoán với nhau. Bây giờ ta chứng minh I = S0 ≥ S1 ≥ S2 ≥ ... ≥ Sn ≥ ... ≥ 0. (2.2.9) Tức là Sn − Sn+1 ≥ 0 với mọi (n = 0, 1, 2, ...). Khi n = 0 ta có S0 − S1 = I − (1 2 C + 1 2 I) = 1 2 I − 1 2 (I − A) = A 2 ≥ 0. Giả sử Sn−1 − Sn ≥ 0. Khi đó Sn − Sn+1 = (1 2 C + 1 2 S2n−1)− ( 1 2 C + 1 2 S2n) = 1 2 (S2n−1 − S2n) = 1 2 (Sn−1−Sn)(Sn−1+Sn) (do các Sn giao hoán với nhau). Theo giả thiết quy nạp ta có Sn−1−Sn ≥ 0 mà Sn ≥ 0, với mọi n = 0, 1, 2, .... và các toán tử này giao hoán với nhau nên theo Định lý 2.2.11 thì Sn− Sn+1 ≥ 0. Từ (2.2.9) và Định lý 2.2.10 ta suy ra dãy (Sn)n hội tụ theo điểm đến một toán tử dương S. Lấy x ∈ X tùy ý. Trong đẳng thức Sn+1x = 1 2 Cx + 1 2 S2nx cho n → ∞ ta được Sx = 1 2 Cx + 1 2 S2, với mọi x ∈ X. Vậy S là nghiệm của phương trình (2.2.8). Do đó B = I − S là toán tử phải tìm. Mặt khác giả sử T ∈ L(X) giao hoán với A. Vì Sn (n = 0, 1, 2, ...) là các đa thức của A nên T giao hoán với Sn .Tức là TSnx = SnTx, với mọi x ∈ X cho n → ∞ ta được TSx = STx, với mọi x ∈ X. Vậy T giao hoán với S. Ta có T (I − S) = T − TS = T − ST = (I − S)T. Do đó T cũng giao hoán với I − S = B. Bây giờ giả sử B1 là một toán tử dương trong không gian Hilbert X thỏa mãn điều kiện B21 = A. Khi đó B1A = B1B 2 1 = B 2 1B1 = AB1. Vậy B1 và A giao hoán với nhau. Với mọi x ∈ X, ta có 0 = (A− A)x = (B2 −B21)x = (B +B1)(B −B1)x = (B +B1)y, 23 trong đó y = Bx − B1x. Vì vậy 0 = 〈(B + B1)y, y〉 = 〈By, y〉 + 〈B1y, y〉. Vì B1 và B là các toán tử dương nên ta suy ra rằng 〈By, y〉 = 〈B1y, y〉 = 0 hay 〈(B −B1)y, y〉 = 0. Vì B1 và B là các toán tử dương nên ta có thể giả sử toán tử (B −B1) là dương. Vậy theo Hệ quả 2.2.4 ta có ‖(B −B1)y‖2 ≤ ‖B −B1‖〈(B −B1)y, y〉. Do đó (B−B1)y = 0 hay By = B1y = 0 (nếu toán tử (B1−B) dương ta cũng chứng minh tương tự). Vậy với mọi x ∈ X, ta có B(B −B1)x = By = B1y = B1(B −B1)x = 0, suy ra (B −B1)(B −B1)x = 0. Do đó ‖(B −B1)x‖2 = 〈(B −B1)x, (B −B1)x〉 = 〈(B −B1)(B −B1)x, x〉 = 0. Tức là Bx = B1x, với mọi x ∈ X. Do đó B = B1. Vậy B là căn bậc hai dương duy nhất của A. Ví dụ 2.2.17. Trong không gian `2 = {x = (xn)n | xn ∈ C, ∞∑ n=1 |xn|2 < +∞}. Cho a = (an)n là một dãy số thực dương bị chặn, toán tử A : ` 2 −→ `2 xác định như sau: x = (ξn)n ∈ `2, Ax = (anξn)n. Theo ví dụ 1.1.5 ta chứng minh được A là một toán tử dương. Đặt Tx = ( √ anξn)n, với x = (ξn)n ∈ `2. Khi đó T là cũng là một toán tử dương trong `2. Với mọi x = (ξn)n ∈ `2 ta có T 2(x) = T (T (x)) = ( √ an. √ anξn)n = Ax. Do đó T 2 = A. Vậy T là căn bậc hai dương duy nhất của A. Ví dụ 2.2.18. Tìm toán tử căn bậc hai của toán tử A được cho như sau: A : C2 → C2 (x1, x2) 7−→ (10x1 + 5x2, 5x1 + 5x2) với mọi x1, x2 ∈ C Tương tự ví dụ 2.2.12 ta có A là toán tử tuyến tính liên tục. Mặt khác ta có ma trận biểu diễn của toán tử A là  10 5 5 5 . Ta có A = At và detA = 25. 24 Vậy A là toán tử dương. Giả sử toán tử tự liên hợp B là toán tử căn bậc hai của toán tử A. Và gọi B =  a b b c  (a, b, c ∈ C) là ma trận biểu diễn của toán tử B. Khi đó ta có B2 = A hay  a b b c  .  a b b c  =  10 5 5 5 ⇔  a2 + b2 = 10 b2 + c2 = 5 ab+ bc = 5 , (2.2.10) Vì b = 0 không phải là nghiệm của (2.2.10) nên ta đặt a = αb, c = βb, khi đó (2.2.10) trở thành:  b2(1 + α2) = 10 b2(1 + β2) = 5 b2(α + β) = 5 ⇒  1 + α2 = 2(1 + β2)1 + β2 = α + β , (2.2.11) Cộng vế theo vế hai phương trình trên ta được 2 + α2 + β2 = 2 + 2β2 + α + β ⇔ (α + β)(α− β − 1) = 0 Thay vào (2.2.11) ta được: α = 3, β = 2. Từ đó suy ra a = 3, b = 1, c = 2 Vậy toán tử A có một căn bậc hai là B =  3 1 1 2 . Ví dụ 2.2.19. Tìm toán tử căn bậc hai dương của toán tử A ∈ L2([a, b]) được xác định (Af)(t) = g(t)f(t), trong đó g là một hàm dương, liên tục trên [a, b]. Đặt B = √ g(t)f(t). Ta có thể kiểm tra được B là toán tử dương trong không gian L2([a, b]). Mặt khác ta có B2(f(t)) = B( √ g(t)f(t)) = √ g(t) √ g(t)f(t), với mọi t ∈ [a, b], f ∈ L2([a, b]). Vậy B2 = A. Theo Định lý 2.2.16 ta suy ra căn bậc hai dương của toán tử A là B. Hệ quả 2.2.20. Cho A,B là các toán tử dương trong không gian Hilbert X. Lúc đó nếu A2 = B2 thì A = B. 25 Chứng minh. Đặt S = A2 = B2, khi đó vì A,B là các toán tử dương nên A,B là hai căn bậc hai dương của S, vì vậy theo Định lý 2.2.16 ta suy ra A = B. Hệ quả 2.2.21. Cho A,B là các toán tử dương. Lúc đó nếu AB = BA thì√ AB = √ A √ B. Chứng minh. Ta có AB = BA nên theo Định lý 2.2.16 ta suy ra √ A √ B =√ B √ A. Vậy ( √ A √ B)2 = √ A √ B √ A √ B = √ A √ A √ B √ B = AB. Mặt khác ta có ( √ AB)2 = AB. Vậy √ AB = √ A √ B. Tính chất 2.2.22. Cho A là toán tử dương. Lúc đó ‖√A‖ = √‖A‖. Chứng minh. Ta có ‖A‖ = ‖ √ A √ A‖ ≤ ‖ √ A‖‖ √ A‖ = ‖ √ A‖2. Do đó √‖A‖ ≤ ‖√A‖. Mặt khác ta có ‖ √ Ax‖2 = 〈 √ Ax, √ Ax〉 = 〈Ax, x〉 ≤ ‖Ax‖‖x‖ ≤ ‖A‖‖x‖2. Vậy ‖√A‖ ≤ √‖A‖. Từ đó suy ra √‖A‖ = ‖√A‖. 26 CHƯƠNG 3 DẠNG PHÂN TÍCH CỰC CỦA MỘT TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC 3.1 Một số định nghĩa và tính chất Định nghĩa 3.1.1. Cho X là không gian Banach và T ∈ L(X), K[z] là đại số của các đa thức p(z) = a0 + a1z + a2z 2 + ... + anz n, n ∈ N, ai ∈ K, , i = 1, n. Nếu p(z) = a0 + a1z + a2z 2 + ... + amz m ∈ K[z] thì chúng ta định nghĩa toán tử p(T ) như sau: p(T ) := a0I + a1T + a2T 2 + ...+ amT m. Bổ đề 3.1.2. Ánh xạ f : K[z]→ L(X). p(z) 7−→ p(T ) là một đồng cấu đại số. Chứng minh. Với mọi p, q ∈ K[z], giả sử p(z) = a0 + a1z + ...+ amz m, q(z) = b0 + b1z + ...bnz n. Giả sử m = n vì nếu m 6= n ta có thể thêm vào các số hạng với hệ số bằng 0 vào p(z) hoặc q(z). Khi đó, ta có p(z) + q(z) = (a0 + b0) + (a1 + b1)z + ...+ (am + bm)z m. Suy ra f(p(z) + q(z)) = (a0I + b0)I + ....(am + bm)T m = = (a0I+a1T + ...+amT m)+(b0I+ b1T + ...+ bmT m) = = f(p(z)) + f(q(z)). 27 Vậy f(p+ q) = f(p) + f(q). Mặt khác, với mọi c ∈ K ta có f(cp(z)) = f(ca0 +ca1z+ ...+camz m) = ca0I+ca1T + ...+camT m = = c(a0I + a1T + ...+ amT m) = cf(p(z)). Vậy f(c(p)) = cf(p). Ta lại có p(z).q(z) = c0 + c1z + ...+ c2mz 2m với c0 = a0b0 c1 = a0b1 + a1b0 c2 = a0b2 + a1b1 + a2b0 ... cm = a0bm + a1bm−1 + ...+ am−1b1 + amb0 cm+1 = a1bm + a2bm−1 + ...+ am−1b2 + amb1 ... c2m−1 = am−1bm + ambm−1 c2m = ambm. Do đó f(p(z))f(q(z)) = (a0I+a1T+...+amT m)(b0I+b1T+...+bmT m) = f(p(z)q(z)). Vậy f là một đồng cấu đại số. Bổ đề 3.1.3. Nếu T1, T2, ..., Tm là những toán tử tuyến tính liên tục từng đôi một giao hoán với nhau thì T1, T2, ...Tm khả nghịch khi và chỉ khi tích T1T2...Tm khả nghịch. Chứng minh. Điều kiện cần là hiển nhiên. Giả sử T1T2...Tm khả nghịch, khi đó vì T1, T2, · · ·, Tm đôi một giáo hoán nên Ker(T1) ⊂ Ker(T1T2...Tm) = {0}, do đó T1 là đơn ánh. Mặt khác ta có T1T2...Tm khả nghịch nên T1 là toàn ánh, suy ra T1 khả nghịch. Chứng minh tương tự ta suy ra Tn khả nghịch với mọi n ∈ N, n ≥ 1. Mệnh đề 3.1.4. Nếu T ∈ L(X) và p(z) ∈ C(z) thì p(T ) = {p(λ) : λ ∈ σ(T )} hay σ(p(T )) = p(σ(T )). 28 Chứng minh. Nếu p(z) = a0 là đa thức hằng. Khi đó p(T ) = a0I và σ(p(T )) = σ(a0I) = {a0}. Vì p là hằng và σ(T ) 6= ∅ nên p(λ) = a0 với mọi λ ∈ σ(T ). Vậy σ(p(T )) = p(σ(T )) = {a0}. Giả sử p không phải là đa thức hằng. Cố định µ ∈ C. Theo định lý cơ bản của đại số ta có µ− p(z) = a(z − z1)m1(z − z2)m2...(z − zr)mr , với z1, z2, ..zr là các nghiệm khác nhau của phương trình p(z) = µ và a là một hằng số khác 0, m1,m2, ....mr là những số nguyên dương. Do ánh xạ p(z) 7−→ p(T ) là một đồng cấu đại số nên µI − P (T ) = a(T − T1)m1(T − T2)m2...(T − Tr)mr . Ta có µ ∈ σ(p(T )) khi và chỉ khi µI − P (T ) không khả nghịch. Theo Bổ đề 3.1.3 thì khi đó tồn tại zj, j ∈ {1,m} sao cho T − zjI không khả nghịch. Nghĩa là, µ ∈ σ(p(T )) khi và chỉ khi zj ∈ σ(T ) với j nào đó. Nhưng µ = p(zj) , với mỗi j. Do đó, nếu µ ∈ σ(p(T )) thì µ = p(zj) ∈ p(σ(T )) (vì zj ∈ σ(T )). Vậy σ(p(T )) ⊂ p(σ(T )). Mặt khác, nếu µ ∈ p(σ(T )) thì µ = p(z) với z ∈ σ(T ) mà phương trình µ = p(z) chỉ có các nghiệm z1, z2, ...., zr hay µ = p(zj) với j = 1, r. Từ đó suy ra zj ∈ σ(T ), với mọi j = 1, r nên µ ∈ σ(p(T )). Do đó p(σ(T )) ⊂ σ(p(T )). Vậy σ(p(T )) = p(σ(T )). Một điều đặt ra là nếu T là một toán tử tuyến tính liên tục và f là một hàm bất kỳ không nhất thiết là một đa thức thì ta có thể định nghĩa f(T ) được hay không? Nếu f là tổng của chuỗi lũy thừa thì ta sẽ định nghĩa được f(T ) một cách dễ dàng. Thật vậy: Bổ đề 3.1.5. Cho X là một không gian Bannach và cho T ∈ L(X). Cho ∞∑ n=0 anz n là chuỗi lũy thừa có bán kính hội tụ R. Kí hiệu f(z) là tổng của chuỗi lũy thừa này nếu |z| r(T ). Khi đó chuỗi a0I + a1T + a2T 2 + ... = ∞∑ k=0 akT k hội tụ trong L(X) và chúng ta ký hiệu tổng đó là f(T ). 29 Chứng minh. Chọn  > 0 đủ bé sao cho r(T ) +  < R, suy ra chuỗi ∞∑ n=0 an(r(T ) + ) n hội tụ. Mặt khác theo Định lý 1.1.17 ta có lim k→∞ ‖T k‖ 1k = r(T ) nên tồn tại k0 ∈ N sao cho với mọi k ∈ N, k ≥ k0 thì ‖T k‖ 1k ≤ r(T ) + , khi đó vì ‖akT k‖ ≤ |ak| · ‖T k‖ ≤ |ak|(r(T ) + )k với mọi k ∈ N, k ≥ k0 nên suy ra ∞∑ k=0 ‖akT k‖ hội tụ tuyệt đối trong không gian Banach L(X), do đó ∞∑ k=0 akT k hội tụ trong L(X) . Ví dụ 3.1.6. Cho 1 + z + z2 2! + z3 3! + ... là chuỗi lũy thừa của ez. Tức là ez = ∞∑ n=0 1 n! zn. Ta có lim n→∞ ∣∣∣∣cn+1cn ∣∣∣∣ = limn→∞ ∣∣∣∣ 1n+ 1 ∣∣∣∣ = 0. Vậy bán kính hội tụ của chuỗi đó bằng R =∞. Cho nên chúng ta có thể định nghĩa eT , với mọi T ∈ L(X) bằng tổng của chuỗi I + T + T 2 2! + ... Ví dụ 3.1.7. Xét hai chuỗi lũy thừa sau: z − z 3 3! + z5 5! − z 7 7! + ... = sin z z − z 2 2! + z4 4! − z 6 6! + ... = cos z Hai chuỗi này đều có bán kính hội tụ R = ∞. Cho nên sinT và cosT có thể được định nghĩa cho mọi T ∈ L(X). Vậy nếu T là một toán tử tuyến tính liên tục bất kỳ trên không gian Banach thì chúng ta có định nghĩa f(T ) nếu f là tổng của chuỗi lũy thừa. Tiếp theo chúng ta sẽ chỉ ra rằng nếu T là một toán tử tự liên hợp trên không gian Hilbert thì f(T ) sẽ được định nghĩa cho các hàm f trong trường hợp tổng quát. Giả sử T là một toán tử tự liên hợp trên không gian Hilbert X. Khi đó ta kí hiệu Xo là tập tất cả các đa thức của T xác định và liên tục trên C(σ(T )). Bổ đề 3.1.8. Ta có tương ứng Ψo : Xo −→ L(X p 7→ p(T ) là một đẳng cự và là một đồng cấu đại số. 30 Chứng minh. Rõ ràng Xo là không gian con của C(σ(T )). Vì p(T ) là chuẩn tắc nên theo Hệ quả 1.1.18 ta có ‖p(T )‖ = r(p(T )) = max{|µ| : µ ∈ σ(p(T ))} = max{|p(λ)| : λ ∈ σ(T )} ( Vì p(λ) ∈ p(σ(T )) = σ(p(T )). Do đó ‖p(T )‖ bằng cận trên đúng của chuẩn của hàm λ 7→ p(λ) trên σ(T ). Vậy nếu p và q là hai đa thức và p(λ) = q(λ), với mọi λ ∈ σ(T ). Khi đó ‖p(T )− q(T )‖ = max{|p(λ)− q(λ)| : λ ∈ σ(T )} = 0. Vậy p(T ) = q(T ). Do đó Ψo là một ánh xạ. (và nếu σ(T ) là một tập vô hạn và nếu p(λ) = q(λ), với mọi λ ∈ σ(T ) thì hai đa thức p(z) và q(z) đồng nhất với nhau (các hệ số bằng nhau), bởi vì nếu p(z)− q(z) không đồng nhất không thì p(z) − q(z) = 0 chỉ có hữu hạn nghiệm). Tương tự Bổ đề 3.1.2 ta có thể kiểm tra được rằng Ψo là một đồng cấu đại số. Mặt khác, với mọi p ∈ Xo ta có ‖Ψo(p)‖ = ‖p(T )‖ = max{|p(λ)| : λ ∈ σ(T )} = ‖p‖. Vậy Ψo là một đẳng cự và là một đồng cấu đại số. Nhận xét 3.1.9. Xo trù mật trong C(σ(T )). Chúng ta sẽ áp dụng Định lý Stone-Weierstrass để chứng minh nhận xét trên. Trước hết, rõ ràng Xo là đại số con của C(σ(T )) và chứa hàm hằng f = 1. Hơn nữa, hàm đồng nhất Id : λ 7→ λ được thành lập từ đa thức p(z) = z cũng thuộc Xo. Và với mọi λ1, λ2 ∈ σ(T ), nếu λ1 6= λ2 thì Id(λ1) 6= Id(λ2). Vậy Xo tách các điểm của C(σ(T )). Cuối cùng, nếu f là hàm được thành lập từ đa thức p(z) = a0 + a1z + ...+ anz n. Khi đó vì σ(T ) ⊂ R nên với mọi λ ∈ σ(T ) ta có f(λ) = a0 + a1λ+ ...+ anλn = a0 + a1λ+ ...+ anλ n, điều đó chỉ ra rằng f được thành lập từ đa thức p(z) = a0 +a1z+ ...+anz n nên nó thuộc Xo. Do đó điều kiện của Định lý Stone-Weierstrass được thỏa mãn. Vậy Xo = C(σ(T )). Vậy theo Định lý 1.2.4 ta có thể mở rộng ánh xạ Ψo thành ánh xạ tuyến tính liên tục Ψ : C(σ(T ))→ L(X) và thỏa mãn Ψ|Xo = Ψo . Ta ký hiệu Ψ(f) := f(T ) với f ∈ C(σ(T )). Chúng ta sẽ tóm tắt những tính chất của Ψ trong định lý sau: Định lý 3.1.10. Cho X là một không gian Hilbert phức và T ∈ L(X) là một toán tử tự liên hợp. Khi đó, nếu f ∈ C(σ(T )) chúng ta có thể xác định toán tử f(T ) ∈ L(X) thỏa mãn các điều kiện sau: 31 (i) f(T ) = p(T ) nếu p(z) là một đa thức sao cho f(λ) = p(λ), với mọi λ ∈ σ(T ); (ii) Ánh xạ f 7→ f(T ) là một đẳng cự và là một đồng cấu đại số C(σ(T )) → L(H); (iii) f(T )∗ = f(T ) với f : λ 7→ f(λ); (iv) σ(f(T )) = f(σ(T )) = {f(λ) : λ ∈ σ(T )}.(định lý về phổ của ánh xạ); (v) f(T ) giao hoán với T ,thực ra nếu S ∈ L(X) giao hoán với T thì f(T ) giao hoán với S. Chứng minh. Xét Ψo : Xo → L(X) p 7→ p(T ) Theo như chứng minh ở trước sẽ tồn tại duy nhất ánh xạ tuyến tính liên tục Ψ : C(σ(T ))→ L(X) f 7→ f(T ) thỏa mãn Ψ|Xo = Ψo. (i) Vì f ∈ C(σ(T )) nên tồn tại (fn)n ⊂ Xo sao cho fn → f . Khi đó ta có ‖f(T )− p(T )‖ = ‖ lim n→∞ fn(T )− p(T )‖ = lim n→∞ ‖fn(T )− p(T )‖ = lim n→∞max{|fn(λ)− p(λ)| : λ ∈ σ(T )} = 0. Vậy f(T ) = p(T ). (ii) Ta có Ψo là một đẳng cự và là một đồng cấu đại số nên với mọi p, q ∈ Xo thì ‖Ψo(p)‖ = ‖p‖ và Ψo(pq) = Ψo(p).Ψo(q). Nếu f, g ∈ C(σ(T )), khi đó tồn tại (fn)n, (gn)n ⊂ Xo sao cho fn → f và gn → g. Do đó Ψ(fg) = Ψ( lim n→∞(fngn)) = limn→∞Ψ(fngn) = lim n→∞Ψo(fngn) = limn→∞(Ψo(fn).Ψo(gn)) = Ψ(f).Ψ(g). Tương tự, ta chứng minh được Ψ(rf) = rΨ(f) và Ψ(f) + Ψ(g) = Ψ(f + g). 32 Vậy Ψ là một đồng cấu đại số. Mặt khác, ta có ‖Ψ(f)‖ = ‖Ψ( lim n→∞(fn)‖ = ‖ limn→∞Ψ(fn)‖ = ‖ lim n→∞Ψo(fn)‖ = limn→∞ ‖Ψo(fn)‖ = limn→∞ ‖fn‖ = ‖f‖. Do đó Ψ cũng là đẳng cự. Vậy Ψ là một đẳng cự và là một đồng cấu đại số. (iii) Nếu p(z) = a0 + a1z + ...+ anz n là một đa thức. Khi đó vì T ∗ = T nên p(T )∗ = (a0I + a1T + ...+ anT n)∗ = a0 + a1I + ...anT n do đó p(T )∗ = p(T ) với p = a0 + .... + anzn. Vì vậy nếu f là một hàm được thành lập từ p thì Ψo(f) ∗ = Ψo(f). Mặt khác, ta xét ánh xạ tuyến tính ϕ : L(X)→ L(X) S 7→ S∗ Với mọi S, S ′ ∈ L(X), ta có ‖ϕ(S)− ϕ(S ′)‖ = ‖S∗ − S ′∗‖ = ‖(S − S ′)∗‖ ≤ ‖S − S ′‖. Do đó ϕ liên tục. Với mọi f ∈ C(σ(T )), tồn tại (fn)n ⊂ Xo sao cho fn → f . Khi đó, vì Ψ liên tục nên f(T )∗ = Ψ(f)∗ = (Ψ( lim n→∞ fn)) ∗ = ( lim n→∞Ψo(fn)) ∗. Mặt khác, ϕ cũng liên tục nên ( lim n→∞Ψo(fn)) ∗ = lim n→∞Ψo(fn) ∗ = lim n→∞Ψo(fn) = Ψ(f). Do đó f(T )∗ = f(T ). (iv) Giả sử µ ∈ C và µ 6= f(λ), với mọi λ ∈ σ(T ), tức là µ /∈ f(σ(T )). Khi đó g(λ) = 1 µ− f(λ) là một hàm liên tục trên σ(T ). Vì Ψ là một đồng cấu đại số nên từ g(λ)(µ− f(λ)) = 1 = (µ− f(λ))g(λ), với mọi λ ∈ σ(T ). Suy ra g(T )(µI − f(T )) = I = (µI − f(T ))g(T ). Vậy µ /∈ σ(f(T )). Do đó σ(f(T )) ⊂ f(σ(T )) (3.1.1) Ngược lại, giả sử µ = f(λo), với λo ∈ σ(T ). Khi đó, nếu  > 0 sẽ tồn tại δ > 0 sao cho |f(λ)− f(λo)| ≤ , với mọi λ ∈ σ(T ) mà |λ− λo| ≤ δ. Cho g xác định 33 trên σ(T ) bằng 1 tại λo, và bằng 0 ở ngoài [λo − δ, λo + δ] và là một đường thẳng trên [λo − δ, λo] và [λo, λo + δ] (nói chính xác hơn là giao của σ(T ) với các đoạn đó). Khi đó g liên tục và ‖g‖ = sup λ∈σ(T ) |g(λ)| = 1. Mặt khác, ta có |(µ− f(λ))g(λ)| = |(f(λo)− f(λ))g(λ)| ≤ , với mọi λ ∈ σ(T ) Giả sử µI − f(T ) khả nghịch. Khi đó, ta có 1 = ‖g‖ = ‖g(T )‖ ≤ ‖(µI − f(T ))−1‖‖(µI − f(T ))g(T )‖ ≤ ‖(µI − f(T ))−1‖ Vì  > 0 bất kỳ nên ta có thể chọn  < 1 ‖(µI − f(T ))−1‖ . Từ đó suy ra 1 ≤ ‖(µI − f(T ))−1‖ < 1 (mâu thuẫn) Vậy µI − f(T ) không khả nghịch. Do đó µ ∈ σ(f(T )). Vậy f(σ(T )) ⊂ σ(f(T )) (3.1.2) Từ (3.1.1) và (3.1.2) suy ra σ(f(T )) = f(σ(T )). (v) Giả sử S ∈ L(X) và giao hoán với T . Nếu p là một đa thức thì p(T ) giao hoán với S. Với mọi f ∈ C(σ(T )) tồn tại (fn)n ⊂ Xo sao cho lim n→∞ fn = f . Khi đó f(T )S = lim n→∞ fn(T )S = limn→∞Sfn(T ) = S limn→∞ fn(T ) = Sf(T ). Vậy f(T ) giao hoán với S. Vậy chúng ta đã xác định được hàm f(T ) trong trường hợp f là một hàm liên tục trên C(σ(T )) và T là một toán tử tự liên hợp. Tiếp theo chúng ta sẽ áp dụng định lý trên để nghiên cứu về căn bậc hai dương của một toán tử dương. Định nghĩa 3.1.11. Cho X là một không gian vectơ. Một ánh xạ tuyến tính J : X −→ X được gọi là ánh xạ đối hợp nếu J2 = I. Bổ đề 3.1.12. Cho J : X −→ X là ánh xạ tuyến tính. Khi đó J là một ánh xạ đối hợp nếu và chỉ nếu J = 2P − I với P là một toán tử chiếu trên X. Khi X là không gian Hilbert thì J tự liên hợp khi và chỉ khi P tự liên hợp. 34 Chứng minh. Cho J là ánh xạ đối hợp. Đặt P = (J + I) 2 . Khi đó J = 2P−I và P 2 = (J2 + 2J + I) 4 = (I + 2J + I) 4 = (J + I) 2 = P. Mà X là không gian vectơ nên P là một toán tử chiếu. Ngược lại, nếu J = 2P − I, ở đây P là một toán tử chiếu thì J2 = 4P 2 − 4P + I = I do đó J là ánh xạ đối hợp. Khi X là không gian Hilbert thì I là tự liên hợp nên P tự liên hợp khi và chỉ khi J tự liên hợp. Bổ đề 3.1.13. Cho X là một không gian Hilbert và A,B ∈ L(X) tự liên hợp với AB = BA và A2 = B2. Khi đó A = BJ = JB với J là một ánh xạ đối hợp tự liên hợp. Và J giao hoán với bất kỳ toán tử tuyến tính liên tục nào mà giao hoán với cả A và B. Chứng minh. Cho M = Ker(A−B) và đặt P = PM . Khi đó J = 2P − I là ánh xạ đối hợp tự liên hợp. Nếu x ∈ X thì Px ∈ M cho nên (A− B)Px = 0, nghĩa là AP = BP . Mặt khác, ta có A,B giao hoán nên (A−B)(A+B) = A2− B2 = 0. Vậy (A+B)(X) ⊂M . Do đó P (A+B)x = (A+B)x , với mọi x ∈ X. Từ đó suy ra P (A+B) = A+B. Mặt khác, ta lại có PA = (AP )∗ = (BP )∗ = PB. Vậy 2PA = A+ B. Mà J = 2P − I nên JA = 2PA− A. Suy ra JA = B. Mà B = B∗ = (JA)∗ = A∗J∗ = AJ và A = J(JA) = JB,A = (AJ)J = BJ . Vậy A = BJ = JB. Bây giờ giả sử S ∈ L(X) tự liên hợp và giao hoán với cả A và B. Với mọi x ∈ M ta có (A − B)Sx = S(A − B)x = S(0) = 0 nên Sx ∈ M . Do đó SM ⊂M và do S tự liên hợp nên S giao hoán với P . Từ đó suy ra SJ = S(2P − I) = 2SP − S = 2PS − S = (2P − I)S = JS. Vậy S giao hoán với J . Nếu S ∈ L(X) và giao hoán với cả A và B, khi đó S∗A = (AS)∗ = (SA)∗ = AS∗ và S∗B = (BS)∗ = (SB)∗ = BS∗. Cho nên cả A và B đều giao hoán với các toán tử tự liên hợp S1 = (S + S∗) 2 và S2 = (S − S∗) 2i nên J cũng giao hoán với S1 và S2. Do đó J giao hoán với S = S1 + iS2. 35 Ví dụ 3.1.14. Trong không gian `2 = {x = (ξn)n | ξn ∈ C, ∞∑ n=1 |ξn|2 < +∞}. Cho a = (an)n là một dãy số thực bị chặn chỉ có m (m ∈ N∗) phần tử đầu bằng không, toán tử A,B : `2 −→ `2 xác định như sau: x = (ξn)n ∈ `2, Ax = (anξn)n, Bx = (−anξn)n Tìm ánh xạ đối hợp tự liên hợp J thỏa mãn A = BJ = JB và J giao hoán với bất kỳ toán tử tuyến tính liên tục nào giao hoán với cả A và B. Tương tự Ví dụ 1.1.5 ta chứng minh được A là một toán tử tuyến tính liên tục. Với mọi x = (ξn)n, y = (ηn)n ∈ `2. Ta có 〈A∗x, y〉 = 〈x,Ay〉 = ∞∑ n=0 ξnanηn = ∞∑ n=0 anξnηn = 〈z, y〉. với z = (anξn)n = (anξn)n. Từ đó suy ra 〈A∗x− z, y〉 = 0, với mọi y ∈ `2. Vậy A∗x = z = (anξn)n. Do đó A là tự liên hợp. Tương tự ta cũng chứng minh được B là tự liên hợp. Ta có toán tử (A−B)x = (2anξn)n, với x = (ξn)n ∈ `2. Ta có M = ker(A−B) = {x ∈ `2, x = (ξ1, ξ2, ..., ξm, 0, 0, .., 0, ..), ξi ∈ C, i = 1,m} M⊥ = {x ∈ `2, x = (0, 0, ..., 0, ξm+1, ξm+2, ...), ξi ∈ C, i = m+ 1,m+ 2, ..}. Đặt Jx = (2PM − I)x =  x nếu x ∈M(0, 0, ...,−ξm+1,−ξm+2, ..) nếu x = (ξi)n ∈M⊥ , Vậy theo Bổ đề 3.1.13 ta suy ra J là một ánh xạ đối hợp và J cũng tự liên hợp. Mặt khác, ta có thể kiểm tra được rằng AB = BA và A2 = B2 và A = BJ = JB. Vậy theo Bổ đề 3.1.3 ta suy ra J giao hoán với bất kỳ toán tử tuyến tính liên tục nào giao hoán với cả A và B. Hệ quả 3.1.15. Cho T là một toán tử dương trong không gian Hilbert X. Cho S là một căn bậc hai dương của T và giao hoán với bất kỳ toán tử tuyến tính liên tục nào giao hoán với T . Cho S ′ là một căn bậc hai khác của T và giao hoán với với bất kỳ toán tử tuyến tính liên tục nào giao hoán với T . Khi đó S ′ = SJ với J là một ánh xạ đối hợp và giao hoán với bất kỳ toán tử tuyến tính liên tục nào giao hoán với T . 36 Chứng minh. Do S và S ′ đều giao hoán với T nên theo giả thiết ta có SS ′ = S ′S mà S2 = S ′2 = T . Do đó áp dụng bổ đề trên với A = S và B = S ′. Ta có S ′ = SJ với J là một ánh xạ đối hợp mà giao hoán với bất kỳ toán tử tuyến tính liên tục nào giao hoán với T . Giả sử W ∈ L(X) giao hoán với T theo giả thiết thì W cũng giao hoán với cả S và S ′. Vậy theo Bổ đề 3.1.13 suy ra W cũng giao hoán với J . 3.2 Dạng phân tích cực của một toán tử Định lý 3.2.1. Cho X là một không gian Hilbert phức và U ∈ L(X) là toán tử unita. Khi đó có một toán tử tự liên hợp Θ sao cho U = eiΘ. Chứng minh. Xét các toán tử tự liên hợp V = (U + U∗) 2 và W = (U − U∗) 2i . Khi đó U = V + iW . Vì U là toán tử unita nên theo Định lý 1.1.8 suy ra UU∗ = U∗U = IX nên W và V giao hoán với nhau. Mà U là toán tử unita nên U cũng là đẳng cự do đó ‖2V x‖ = ‖(U + U∗)x‖ ≤ ‖Ux‖+ ‖U∗x‖ ≤ 2‖x‖. Từ đó suy ra V 2 +W 2 = I và ‖V ‖, ‖W‖ ≤ 1. Bây giờ ta xét ánh xạ cos : [0, pi] −→ [−1, 1], đây là một song ánh. Cho f : [−1, 1] −→ [0, pi] là hàm ngược của hàm cos. Khi đó f là một hàm liên tục trên [−1, 1] mà ‖V ‖ ≤ 1 nên f liên tục trên σ(V ). Đặt B = f(V ). Với mọi y ∈ [−1, 1] ta có cos(f(y)) = y. Cho nên cos(B) = cos(f(V )) = V . Ta có (sin(B))2 = I − (cos(B))2 = I − V 2 = W 2. Vì B = f(V ) nên theo Định lý 3.1.10.v) ta suy ra B giao hoán với bất kỳ toán tử nào mà giao hoán với V . Mà W giao hoán với V nên B giao hoán với W . Cũng theo Định lý 3.1.10.v) ta suy ra sin(B) giao hoán với W . Vậy theo Bổ đề 3.1.13 thì W = J sin(B) với J là ánh xạ đối hợp giao hoán với cả sin(B) và W . Mà B cũng giao hoán với sin(B) và W nên B cũng giao hoán với J . Do đó sin(JB) = ∞∑ k=0 (−1)k.(JB) 2k+1 (2k + 1)! = ∞∑ k=0 (−1)kJ 2k+1B2k+1 (2k + 1)! = J ∞∑ k=0 (−1)k B 2k+1 (2k + 1)! suy ra sin(JB) = J sin(B) = W . Tương tự, ta cũng có cos(JB) = cos(B) = V. Vậy nếu Θ = JB thì Θ là tự liên hợp và eiΘ = cosΘ+isinΘ = V +iW = U . 37 Định lý 3.2.2. Cho X là không gian Hilbert phức và T ∈ L(X) chuẩn tắc. Khi đó ta có thể viết T = RU = UR với R là một toán tử dương nào đó và U là một toán tử unita. Do đó T = R.eiΘ với R ≥ 0 và Θ là tự liên hợp. Đây được gọi là sự phân tích cực của T . Chứng minh. Gọi R là căn bậc hai dương của T ∗T . Với mọi x ∈ X ta có ‖Rx‖2 = 〈Rx,Rx〉 = 〈R2x, x〉 = 〈T ∗Tx, x〉 = 〈Tx, Tx〉 = ‖Tx‖2. Xét tương ứng U : R(X) −→ X Rx 7−→ Tx. Với mọi x, y ∈ X nếu Rx = Ry thì R(x− y) = 0. Cho nên ‖Tx− Ty‖ = ‖T (x− y)‖ = ‖R(x− y)‖ = 0. Suy ra Tx = Ty hay U(Rx) = U(Ry). Vậy U là một ánh xạ. Mà T là ánh xạ tuyến tính nên U cũng là ánh xạ tuyến tính. Với mọi y ∈ R(X) tồn tại x ∈ X để R(x) = y. Suy ra ‖Uy‖ = ‖UR(x)‖ = ‖Tx‖ = ‖Rx‖ = ‖y‖. Vậy U là toán tử đẳng cự nên theo Định lý 1.1.7 suy ra U liên tục. Do đó theo Định lý 1.2.4 thì U được mở rộng một cách duy nhất thành ánh xạ tuyến tính liên tục đi từ R(X) vào X và ta ký hiệu là U ′. Vì T chuẩn tắc nên với mọi x ∈ X ta đều có ‖Tx‖2 = 〈Tx, Tx〉 = 〈T ∗Tx, x〉 = 〈TT ∗x, x〉 = 〈T ∗x, T ∗x〉 = ‖T ∗x‖2. Vậy ‖Rx‖ = ‖Tx‖ = ‖T ∗x‖ nên ker(T ) = Ker(T ∗) = ker(R) = ker(R∗) và R(X) = (ker(R∗))⊥ = (ker(T ∗))⊥ = T (X). Bây giờ ta sẽ chứng minh U ′(R(X)) là một tập đóng trong T (X). Ta có thể kiểm tra được rằng U ′(R(X)) ⊂ U ′(R(X)) = T (X). Mặt khác, với mọi dãy (yn)n ⊂ U ′(R(X)), yn → y. Khi đó tồn tại (xn)n ⊂ R(X), sao cho yn = U ′xn. Ta có ‖yn − ym‖ = ‖U ′xn − U ′xm‖ = ‖xn − xm‖, với mọi m,n ∈ N. Vì (yn)n hội tụ nên là dãy Cauchy trong X. Do đó (xn)n cũng hội tụ. Giả sử xn −→ x ∈ R(X) thì U ′xn −→ U ′x. Mà giới hạn của một dãy hội tụ là duy 38 nhất do đó U ′x = y. Từ đó suy ra y ∈ U ′(R(X)). Vậy U ′(R(X)) là một tập đóng trong T (X) . Mặt khác ta lại có T (X) = U ′(R(X)) ⊂ U ′(R(X)). Vậy U ′(R(X)) = T (X). Cho nên ta có thể định nghĩa U ′ trên toàn bộ X bằng cách đặt U ′x = x, với mọi x ∈ (R(X))⊥. Khi đó với mọi x ∈ X thì U ′x = U ′x1+U ′x2 với x = x1 +x2, x1 ∈ R(X) và x2 ∈ (R(X))⊥. Rõ ràng U ′ là một toán tử tuyến tính. Ta có U đẳng cự nên ta cũng có ‖U ′(z)‖ = ‖z‖, với mọi z ∈ R(X). Do đó với mọi x ∈ X ta có ‖U ′x‖2 = ‖U ′x1 + U ′x2‖2 = ‖U ′x1‖2 + ‖U ′x2‖2 = ‖x1‖2 + ‖x2‖2 = ‖x‖2. Vậy U ′ là đẳng cự. Mặt khác, ta có U ′(R(X)) = T (X) = R(X) và U ′((R(X))⊥) = (R(X))⊥. Mà R(X)⊕ (R(X))⊥ = X nên U ′(X) = X. Do đó U ′ là toán tử unita và U ′R = T . Ta có T và T ∗T giao hoán với nhau mà R là căn bậc hai dương của T ∗T nên R giao hoán với T . Do đó với mọi x ∈ X ta có RU ′(Rx) = RTx = TRx. Vậy RU ′ = T trên R(X). Mặt khác với mọi y ∈ R(X), tồn tại (xn)n ⊂ X sao cho y = lim n→∞Rxn. Suy ra RU ′y = lim n→∞(RU ′(Rxn) = lim n→∞(TRxn) = T ( limn→∞Rxn) = Ty. Vậy RU ′ = T trên R(X). Mà (R(X))⊥ = kerR = kerT do đó với mọi x ∈ (R(X))⊥ thì RU ′x = Rx = 0 = Tx. Vậy RU ′ = T trên (R(X))⊥. Từ đó suy ra RU ′ = T. Vậy T = RU ′ = U ′R. Mặt khác U ′ là toán tử unita nên U ′ = eiΘ, trong đó Θ là tự liên hợp. Do đó T = R.eiΘ với R ≥ 0 và Θ là tự liên hợp. Định lý 3.2.3. Mọi toán tử tuyến tính bị chặn A : X → Y của không gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y đều có thể biểu diễn dưới dạng: A = V T , trong đó T : X → X là một toán tử dương trong X và V : X → Y là một toán tử đẳng cự bộ phận với miền gốc R(A∗) = R(T ) ⊂ X và miền ảnh R(A) ⊂ Y . Chứng minh. Vì A∗A là một toán tử dương trong X nên tồn tại một toán tử dương T = (A∗A) 1 2 . Với mọi x ∈ X, ta đều có ‖Tx‖2 = 〈Tx, Tx〉 = 〈T 2x, x〉 = 〈A∗Ax, x〉 = 〈Ax,Ax〉 = ‖Ax‖2, Vậy ‖Tx‖ = ‖Ax‖ , với mọi x ∈ X. Từ đó ta có thể lập được một ánh xạ: V (·) : R(T ) 3 Tx 7−→ Ax ∈ R(A) 39 Tương tự như chứng minh ở Định lý 3.2.2 ta có V là toán tử tuyến tính đẳng cự và ta có thể mở rộng V lên toàn bộ R(T ) ⊂ X và được một toán tử đẳng cự và ta ký hiệu là V ′ và ta cũng có R(A) = V ′(R(T ). Vậy V ′ là một toán tử unita của R(T ) ⊂ X lên R(A) ⊂ Y . Nếu x ∈ Ker(T ) thì ta đặt V ′x = 0. Do đó ta xác định được toán tử đẳng cự bộ phận V ′ của không gian X vào Y với miền gốc R(T ) và miền ảnh R(A). Bây giờ ta chứng minh R(T ) = R(A∗). Thật vậy từ đẳng thức ‖Tx‖2 = 〈Tx, Tx〉 = 〈A∗Ax, x〉, ta suy ra rằng nếu Tx 6= 0 thì A∗Ax 6= 0. Vậy Ker(A∗A) ⊂ Ker(T ) nên R(T ) ⊂ R(A∗A) ⊂ R(A∗). Mặt khác ta có nếu x ∈ R(A∗) thì x ⊥ ker(A). Mà kerA = kerT nên x ⊥ ker(T ), vậy x ∈ R(T ). Do đó R(T ) = R(A∗). Vậy A = V ′T , trong đó T : X → X là toán tử dương trong X và V : X → Y là toán tử đẳng cự bộ phận với miền gốc R(A∗) = R(T ) ⊂ X và miền ảnh R(A) ⊂ Y . Ví dụ 3.2.4. Trong không gian `2 cho a = (an)n là một dãy số phức bị chặn chỉ có m (m ∈ N∗) phần tử đầu bằng không, toán tử A : `2 −→ `2 xác định như sau: x = (ξn)n ∈ `2, Ax = (anξn)n Tìm toán tử T, V : `2 −→ `2, trong đó T là một toán tử dương trong `2 và V là một toán tử đẳng cự bộ phận với miền gốc R(A∗) = R(T ) ⊂ `2 và miền ảnh R(A) ⊂ `2 thỏa mãn: A = V T . Tương tự Ví dụ 1.1.5 ta chứng minh được A là toán tử tuyến tính liên tục và gọi A∗ là toán tử liên hợp của A tương tự ví dụ 3.1.14 ta có A∗x = (anξn)n, với x = (ξn)n ∈ `2. Ta có A∗Ax = (|an|2ξn)n, với x = (ξn)n ∈ `2. Đặt T = (|an|ξn)n, với x = (ξn)n ∈ `2. Khi đó T cũng là toán tử tuyến tính liên tục và T 2 = A∗A. Mặt khác, ta có 〈Tx, x〉 = ∞∑ n=0 |an||ξn|2 ≥ 0 Vậy T là một toán tử dương trong `2. Ta có R(A∗) = R(A∗) = {x ∈ `2, x = (0, 0, ..., 0, ξm+1, ξm+2, ξm+3, ..), ξi ∈ C} 40 R(T ) = R(T ) = {x ∈ l2, x = (0, 0, ..., 0, ξm+1, ξm+2, ξm+3, ..), ξi ∈ C} ker(T ) = {x ∈ `2, x = (ξ1, ξ2, ..., ξm, 0, 0, .., 0, ..), ξi ∈ C}. Khi đó theo chứng minh ở định lý 3.2.3 ta xây dựng toán tử đẳng cự bộ phận V như sau V x =  (0, 0, .., 0, am+1 ξm+1 |am+1| , am+2 ξm+2 |am+2| , ...) nếu x = (ξn)n ∈ R(T ) 0 nếu x ∈ ker(T ) , Vậy V là một toán tử đẳng cự bộ phận với miền gốc R(T ) = R(A∗) = R(T ) và miền ảnh R(A) = R(A). Với mọi x ∈ X, ta kiểm chứng được rằng Ax = V Tx hay A = V T . 41 KẾT LUẬN Trong khoá luận tốt nghiệp này, em đã cố gắng tìm hiểu và nghiên cứu một số tính chất của toán tử dương và dạng phân tích cực của một toán tử tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert. Tuy nhiên do hạn chế về năng lực và thời gian nên khoá luận đã chưa nghiên cứu sâu hơn một số tính chất mới liên quan đến đề tài. Rất mong quý thầy cô giáo cùng các bạn sinh viên đóng góp ý kiến cho khoá luận được hoàn chỉnh hơn. Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn tất cả quý thầy cô giáo cùng các bạn sinh viên đã giúp đỡ em trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành khoá luận này. Huế, tháng 5 năm 2011 Sinh viên thực hiện 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Donald Cartwright, Lectures on Functional Analysis, Nxb giáo dục, Sydney University Press, 1988. [2] John B.Conway, Acourse in Functional Analysis, Gradute Texts in Mathe- matics, Department of Mathematics University of Tenessee Knoxville, TN 37996, USA, 1990. [3] Lokenth Debnath, Piotr Mikusinski, Hilbert spaces with Applications, El- sevier Academic Press, Boston, 2005. [4] Nguyễn Hoàng và Lê Văn Hạp, Giáo trình giải tích hàm, ĐHSP Huế,2008. [5] Nguyễn Xuân Liêm, Bài tập giải tích hàm, Nxb giáo dục, 2000. [6] Phan Đức Chính , Giải tích hàm,tập I, Nxb Đại học và Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội, 1978. [7] Wikipedia, 2010. Polar decompostion. 43