Khóa luận Sử dụng phương pháp hàm green để giải một số bài toán truyền nhiệt

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM BỘ MÔN VẬT LÝ -----oOo----- VÕ THỊ CẨM LOAN Lớp DH5L KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGÀNH VẬT LÝ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM GREEN ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT Giảng viên hướng dẫn: Th.S HỒ XUÂN HUY Long Xuyên, 5-2008 LỜI CẢM ƠN ******** Trước tiên cho tôi được gởi lời cảm ơn chân thành nhất tới Ban Giám Hiệu Trường Đại Học An Giang, Ban Chủ Nhiệm Khoa sư Phạm, hội Đồng Khoa Học và Đào Tạo Khoa sư Phạm Trường Đại Học An Giang, đã tạo điều kiện để tôi được làm khoá luận, đã quan tâm và đôn đốc tôi trong quá trình làm khoá luận này. Xin cảm ơn sâu sắc nhất tới các thầy cô trong Tổ Bộ Môn Vật Lý. Đặt biệt là giáo viên hướng dẫn Thạc Sĩ Hồ Xuân Huy đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành khoá luận này. MỤC LỤC PHẦN I: MỞ ĐẦU.......................................................................................Trang 1 1. Lý do chọn đề tài...................................................................................Trang 1 2. Mục đích nghiên cứu.............................................................................Trang 1 3. Đối tượng nghiên cứu ...........................................................................Trang 1 4. Nhiệm vụ nghiên cứu ............................................................................Trang 1 5. Phương pháp nghiên cứu.......................................................................Trang 2 6. Giả thuyết khoa học ..............................................................................Trang 2 7. Phạm vi nghiên cứu...............................................................................Trang 2 8. Đóng góp của khóa luận........................................................................Trang 2 9. Cấu trúc khóa luận ................................................................................Trang 2 PHẦN II: NỘI DUNG..................................................................................Trang 3 CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI .............................................Trang 3 1.1 Lý luận về bài tập vật lý......................................................................Trang 3 1.2 Bài toán biên .......................................................................................Trang 6 1.3 Khái niệm toán tử, hàm riêng, trị riêng...............................................Trang 8 1.4 Phương pháp tách biến......................................................................Trang 11 1.5 Phương pháp biến thiên tham số .......................................................Trang 15 CHƯƠNG II: XÂY DỰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM GREEN ....................Trang 17 2.1 Khái niệm hàm Green, tính đối xứng của hàm Green.......................Trang 17 2.2 Xây dựng phương pháp hàm Green ..................................................Trang 20 2.3 Hàm riêng, trị riêng cho hàm Green .................................................Trang 21 2.4 Hàm điều hòa. Biễu diễn Green ........................................................Trang 23 CHƯƠNG III: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM GREEN ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TRUYẾN NHIỆT .....................................Trang 27 3.1 Thiết lập phương trình truyền nhiệt ..................................................Trang 27 3.2 Bài toán biên phụ thuộc thời gian .....................................................Trang 30 3.2.1 Phương pháp tách biến Fourier cho bài toán truyền nhiệt .............Trang 30 3.2.2 Phương pháp hàm Green cho bài toán truyền nhiệt .......................Trang 33 3.2.3 Bài toán truyền nhiệt trong miền tròn ............................................Trang 35 3.3 Bài toán biên truyền nhiệt dừng ........................................................Trang 38 PHẦN III: KẾT LUẬN..............................................................................Trang 45 PHỤ LỤC 1...................................................................................................Trang 46 PHỤ LỤC 2...................................................................................................Trang 48 - 1- PHẦN I: MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Phương pháp toán lý là một học phần rất quan trọng trong chương trình đào tạo giáo viên THPT. Giúp cho sinh viên làm quen dần với phương pháp toán học hiện đại trong vật lý, hiểu rõ hơn bản chất của quá trình truyền sóng và quá trình truyền nhiệt trong vật chất. Học phần này có liên quan đến nhiều môn học khác: điện và từ, điện động lực, nhiệt động lực, vật lý thống kê, cơ học lượng tử,… Việc nghiên cứu học phần này là cơ sở nghiên cứu các môn học khác. Vì thế việc nghiên cứu nó gặp nhiều khó khăn. Bên cạnh đó học phần này có nhiều dạng bài tập, mỗi dạng lại có nhiều phương pháp giải đòi hỏi sinh viên phải lựa chọn phương pháp giải phù hợp với mỗi dạng. Cụ thể là bài tập phần truyền nhiệt có các phương pháp giải như: phương pháp tách biến Fourier, phương pháp biến đổi Laplace, phương pháp hàm Green, hàm Bessel ... Mỗi phương pháp đều có ưu điểm và hạn chế riêng. Đối với một số dạng bài tập nhiều chiều, khi giải bằng phương pháp biến đổi Fourier, phương trình Laplace, ... thì việc tìm nghiệm gặp khó khăn và giải rất phức tạp, trong khi đó nếu dùng phương pháp hàm Green thì việc tìm nghiệm của bài toán là đơn giản hơn nhiều, phương pháp hàm Green là phương pháp không giải trực tiếp phương trình vi phân mà tìm hàm Green thông qua việc giải phương trình khác để tìm hàm Green. Rồi biểu diễn nghiệm cần tìm thông qua hàm Green. Phương pháp hàm Green là một phương pháp khó, tuy nhiên nó lại được áp dụng hiệu quả vào việc giải các bài toán biên nhiều chiều. Nhưng các sách lý thuyết thường không đề cặp đến phương pháp này, hoặc đề cặp quá ít, làm cho sinh viên gặp khó khăn trong việc áp dụng phương pháp này vào bài tập. Yêu cầu bổ sung một phương pháp giải hiệu quả cho bài toán truyền nhiệt là rất cần thiết. Với những lý do trên chúng tôi chọn đề tài : “Sử dụng phương pháp hàm Green để giải một số bài toán truyền nhiệt”. 2. Mục đích nghiên cứu • Tìm hiểu các bài toán truyền nhiệt. • Cơ sở toán học cho phương pháp hàm Green. • Dùng phương pháp hàm Green để tìm nghiệm của bài toán truyền nhiệt. 3. Đối tượng nghiên cứu • Cơ sở lý luận về bài tập vật lý. • Cơ sở toán học cho phương pháp hàm Green. • Các bài tập truyền nhiệt . 4. Nhiệm vụ nghiên cứu • Nghiên cứu cơ sở toán học cho việc xây dựng hàm Green. • Xây dựng phương pháp hàm Green để tìm nghiệm của bài toán truyền nhiệt. • Giải một số bài toán truyền nhiệt bằng phương pháp hàm Green. - 2- 5. Phương pháp nghiên cứu • Đọc sách và tham khảo tài liệu. • Phương pháp toán học. • Phương pháp phân tích. • Phương pháp đàm thoại trao đổi ý kiến với giáo viên. 6. Giả thuyết khoa học Nếu dùng phương pháp hàm Green thì có thể tìm được nghiệm của bài toán truyền nhiệt. 7. Phạm vi nghiên cứu • Các bài toán truyền nhiệt ứng với các điều kiện biên. 8. Đóng góp của khóa luận • Có thể làm tài liệu tham khảo cho sinh viên. • Góp phần nâng cao kết quả học tập học phần phương pháp toán lý cho sinh viên. 9. Cấu trúc của khoá luận: gồm Phần I: Mở đầu. Phần II : Nội dung nghiên cứu. Chương I: Cơ sở lý luận của đề tài. Chương II: Xây dựng phương pháp hàm Green. Chương III: Sử dụng phương pháp hàm Green để giải một số bài toán truyền nhiệt. Phần III: Kết luận - 3- PHẦN II: NỘI DUNG CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI 1.1 LÝ LUẬN VỀ BÀI TẬP VẬT LÝ: 1.1.1 Khái niệm về bài tập vật lý Bài tập vật lý là một yêu cầu đặt ra cho người học, được người học giải quyết dựa trên cơ sở các lập luận logic, nhờ các phép tính toán, các thí nghiệm, dựa trên các kiến thức về khái niệm, định luật và các thuyết vật lý. 1.1.2 Vai trò và tác dụng của bài tập vật lý Xét về mặt phát triển tính tự lực của người học và nhất là rèn luyện kỷ năng vận dụng kiến thức đã lĩnh hội được thì vai trò của bài tập vật lý trong quá trình học tập có một giá trị rất lớn. Bài tập vật lý được sử dụng ở nhiều khâu trong quá trình dạy học. - Bài tập là một phương tiện nghiên cứu hiện tượng vật lý. Trong quá trình dạy học vật lý người học được làm quen với bản chất của các hiện tượng vật lý bằng nhiều cách khác nhau như: Kể chuyện, biểu diễn thí nghiệm, làm bài thí nghiệm, tiến hành tham quan. Ở đây tính tích cực của người học và do đó chiều sâu và độ vững chắc của kiến thức sẽ lớn nhất khi “tình huống có vấn đề” được tạo ra, trong nhiều trường hợp nhờ tình huống này có thể làm xuất hiện một kiểu bài tập mà trong quá trình giải người học sẽ phát hiện lại quy luật vật lý chứ không phải tiếp thu quy luật dưới hình thức có sẵn. - Bài tập là một phương tiện hình thành các khái niệm. Bằng cách dựa vào các kiến thức hiện có của người học, trong quá trình làm bài tập, ta có thể cho người học phân tích các hiện tượng vật lý đang được nghiên cứu, hình thành các khái niệm về các hiện tượng vật lý và các đại lượng vật lý. - Bài tập là một phương tiện phát triển tư duy vật lý cho người học. việc giải bài tập làm phát triển tư duy logic, sự nhanh trí. Trong quá trình tư duy có sự phân tích và tổng hợp mối liên hệ giữa các hiện tượng, các đại lượng vật lý đặc trưng cho chúng. - Bài tập là một phương tiện rèn luyện kỷ năng vận dụng các kiến thức của người học vào thực tiễn. Đối với việc giáo dục kỹ thuật tổng hợp bài tập vật lý có ý nghĩa rất lớn. Những bài tập này là một trong những phương tiện thuận lợi để người học liên hệ lý thuyết với thực hành, học tập với đời sống. Nội dung của bài tập phải đảm bảo các yêu cầu sau: + Nội dung của bài tập phải gắn với tài liệu thuộc chương trình đang học. + Hiện tượng đang được nghiên cứu phải được áp dụng phổ biến trong thực tiển. + Bài tập đưa ra phải là những vấn đề gần với thực tế. + Không những nội dung mà còn hình thức của bài tập cũng phải gắn với các điều kiện thường gặp trong cuộc sống. Trong các bài tập đó không có sẵn dữ kiện mà phải tìm dữ kiện cần thiết ở các sơ đồ, bản vẽ kỷ thuật, ở các sách báo tra cứu hoặc từ thí nghiệm. - 4- - Bài tập về hiện tượng vật lý trong sinh hoạt hằng ngày cũng có một ý nghĩa to lớn. Chúng giúp cho người học nhìn thấy khoa học vật lý xung quanh chúng ta, bồi dưỡng cho người học khả năng quan sát. Với các bài tập này, trong quá trình giải, người học sẽ có được kỷ năng, kỷ xảo vận dụng các kiến thức của mình để phân tích các hiện tượng vật lý khác nhau trong tự nhiên, trong kỷ thuật và trong đời sống, đặc biệt có những bài tập khi giải đòi hỏi người học phải sử dụng kinh nghiệm trong lao động, sinh hoạt và sử dụng những kết quả quan sát thực tế hằng ngày. - Bài tập vật lý là một phương tiện để giáo dục người học, nhờ bài tập vật lý ta có thể giới thiệu cho người học biết sự xuất hiện những tư tưởng, quan điểm tiên tiến, hiện đại, những phát minh, những thành tựu của nền khoa học trong và ngoài nước. Tác dụng giáo dục của bài tập vật lý còn thể hiện ở chổ: chúng là phương tiện hiệu quả để rèn luyện đức tính kiên trì, vượt khó, ý chí và nhân cách của người học. Việc giải bài tập vật lý có thể mang đến cho người học niềm phấn khởi sáng tạo, tăng thêm sự yêu thích bộ môn, tăng cường hứng thú học tập. - Bài tập vật lý cũng là phương tiện kiểm tra mức độ nắm vững kiến thức và kỷ năng, kỷ xảo của người học. Đồng thời nó cũng là công cụ giúp người học ôn tập, đào sâu, mở rộng kiến thức. 1.1.3 Cơ sở định hướng giải bài tập vật lý 1.1.3.1 Hoạt động giải bài tập vật lý − Mục tiêu cần đạt tới khi giải một bài toán vật lý là tìm được câu trả lời đúng đắn, giải đáp được vấn đề đặt ra một cách có căn cứ khoa học chặt chẽ. Quá trình giải một bài toán thực chất là tìm hiểu điều kiện của bài toán, xem xét hiện tượng vật lý được đề cập và dựa trên kiến thức vật lý toán để nghĩ tới mối liên hệ có thể có của cái đã cho và cái cần tìm sao cho có thể thấy được cái phải tìm có mối liên hệ trực tiếp hoặc gián tiếp với cái đã cho, từ đó đi đến chỉ rõ được mối liên hệ tường minh trực tiếp của cái phải tìm chỉ với cái đã biết nghĩa là đã tìm được lời giải đáp cho bài toán đặt ra. − Hoạt động giải bài toán vật lý có hai phần việc cơ bản quan trọng là: 1. Việc xác lập các mối liên hệ cơ bản cụ thể dựa trên sự vận dụng kiến thức vật lý vào điều kiện cụ thể của bài toán đã cho. 2. Sự tiếp tục luận giải, tính toán đi từ mối liên hệ đã xác lập được đến kết luận cuối cùng của việc giải đáp vấn đề được đặt ra trong bài toán đã cho. − Sự nắm vững lời giải của một bài toán vật lý phải thể hiện ở khả năng trả lời được câu hỏi: việc giải bài toán này cần xác lập được mối liên hệ nào? Sự xác lập các mối liên hệ cơ bản này dựa trên sự vận dụng kiến thức vật lý nào? Vào điều kiện cụ thể nào của bài toán? − Đối với bài tập định tính, ta không phải tính toán phức tạp nhưng vẫn cần có suy luận logic từng bước để đi đến kết luận cuối cùng. - 5- 1.1.3.2 Phương pháp giải bài tập vật lý Xét về tính chất của các thao tác tư duy khi giải các bài tập vật lý người ta thường sử dụng hai phương pháp sau: − Phương pháp phân tích: theo phương pháp này điểm xuất phát là các đại lượng cần tìm. Người giải phải tìm xem đại lượng chưa biết này có liên quan gì tới đại lượng vật lý khác, và khi biết được sự liên hệ này thì biểu diễn nó thành những công thức tương ứng, cứ làm như thế cho đến khi nào biểu diễn được hoàn toàn đại lượng cần tìm bằng những đại lượng đã biết thì bài toán đã được giải xong. Như vậy, phương pháp này thực chất là đi phân tích một bài toán phức tạp thành những bài tập đơn giản hơn, rồi dựa vào những quy tắc tìm lời giải mà lần lượt giải các bài tập đơn giản này, từ đó đi đến lời giải cho bài toán phức tạp trên. − Phương pháp tổng hợp: theo phương pháp này suy luận không bắt đầu từ đại lượng cần tìm mà bắt đầu từ đại lượng đã biết, nó nêu trong đề bài. Dùng công thức liên hệ các đại lượng này với các đại lượng chưa biết, ta đi dần đến công thức cuối cùng, trong đó chỉ có một đại lượng chưa biết là đại lượng cần tìm. Nhìn chung, việc giải bài tập vật lý phải dùng chung hai phương pháp phân tích và tổng hợp. Phép giải bắt đầu bằng phân tích các điều kiện của bài toán để hiểu đề bài và phải có sự tổng hợp kèm theo ngay để kiểm tra lại mức độ đúng đắn của các sự phân tích ấy. Muốn lập kế hoạch giải phải đi sâu phân tích nội dung vật lý của bài tập, tổng hợp những dữ kiện đã cho với những quy luật vật lý đã biết ta mới xây dựng được lời giải và kết quả cuối cùng. 1.1.3.3 Các bước chung của giải bài toán vật lý Từ phân tích về thực chất hoạt động giải bài toán, ta có đưa ra một cách khái quát các bước chung của tiến trình giải của một bài toán vật lý và các hoạt động chính trong các bước, đó là: Bước 1: − Tìm hiểu đề bài − Đọc ghi ngắn gọn các dữ liệu xuất phát và cái phải tìm. − Mô tả lại tình huống đã nêu trong đề bài, vẽ hình minh họa. − Nếu đề bài yêu cầu thì phải dùng đồ thị hoặc làm thí nghiệm để thu được các dữ liệu cần thiết. Bước 2: Xác lập những mối liên hệ cơ bản của các dữ liệu xuất phát và cái phải tìm. − Đối chiếu với các dữ liệu xuất phát và cái phải tìm, xem xét bản chất vật lý của những tình huống đã cho để nghĩ đến các kiến thức, các định luật, các công thức có liên quan. − Xác lập các mối liên hệ cơ bản, cụ thể của các dữ liệu xuất phát và của cái phải tìm - 6- − Tìm kiếm lựa chọn các mối liên hệ tối thiểu cần thiết sao cho thấy được mối liên hệ của cái phải tìm với các dữ liệu xuất phát, từ đó có thể rút ra được cái cần tìm. Bước 3: Rút ra kết quả cần tìm. Từ các mối liên hệ cần thiết đã xác lập, tiếp tục luận giải, tính toán để rút ra kết quả cần tìm. Bước 4: Kiểm tra xác nhận kết quả, để có thể xác nhận kết quả cần tìm cần kiểm tra lại việc giải theo một hoặc một số cách sau: − Kiểm tra xem có tính toán đúng chưa. − Kiểm tra xem thứ nguyên có phù hợp không. − Giải bài toán theo cách khác xem có cùng kết quả không. Tuy nhiên, trong nhiều bài tập không nhất thiết phải tách bạch một cách cứng nhắc giữa bước 2 và bước 3. Tùy từng bài toán mà ta có thể kết hợp hai bước đó thành một trong tiến trình luận giải. 1.1.3.4 Lựa chọn bài tập vật lý Vấn đề lựa chọn bài tập vật lý góp phần không nhỏ vào việc nâng cao chất lượng học tập môn vật lý của người học và việc lựa chọn bài tập phải thỏa mãn các yêu cầu sau: − Các bài tập phải đi từ dễ đến khó, đơn giản đến phức tạp, giúp người học nắm được phương pháp giải các bài tập điển hình. − Hệ thống bài tập cần bao gồm nhiều thể loại bài tập − Lựa chọn các bài tập nhằm kích thích hứng thú học tập và phát triển tư duy của người học. − Các bài tập nhằm cũng cố, bổ sung và hoàn thiện tri thức cụ thể đã học, cung cấp cho người học những hiểu biết về thực tế, kỹ thuật có liên quan với kiến thức lý thuyết. − Lựa chọn các bài tập điển hình nhằm hướng dẫn cho người học vận dụng kiến thức đã học để giải những loại bài tập cơ bản, hình thành phương pháp chung để giải các loại bài tập đó. − Lựa chọn các bài tập sao cho có thể kiểm tra được mức độ nắm vững tri thức của người học. 1.2 Bài toán biên Xét phương trình vi phân tuyến tính có dạng )()()(...)()()( 11 1 10 xFyxadx dyxa dx ydxa dx ydxayL nnn n n n =++++= −− − (1.2.1) Trong đó: a0(x), a1(x),…,an(x) là các hàm liên tục trong khoảng bxa ≤≤ và 0)(0 ≠xa trong khoảng bxa ≤≤ .Cách chung để giải phương trình (1.2.1) là: trước hết giải phương trình thuần nhất cấp n là L(y)=0, thu được một tập nghiệm cơ bản {y1(x), y2(x),…, yn(x)}, nghiệm tổng quát yc của phương trình thuần nhất là một tổ hợp tuyến tính của tập nghiệm cơ bản: - 7- yc = C1y1(x)+C2y2(x)+…+Cnyn(x), (1.2.2) trong đó: C1, C2, …, Cn là các hằng số tùy ý. Tiếp theo tìm bất cứ nghiệm riêng yp nào của phương trình vi phân không thuần nhất L(y) = F(x). Để giải phương trình này, ta thường dùng phương pháp hệ số bất định hoặc phương pháp biến thiên hằng số để tìm nghiệm riêng . Khi đó nghiệm tổng quát của phương trình (1.2.1) sẽ là y = yc + yp. Trong các bài toán ứng dụng , nghiệm phương trình vi phân (1.2.1) đòi hỏi phải thỏa mãn các điều kiện bổ sung nào đó. Số điều kiện này trong hầu hết các ứng dụng bằng cấp cao nhất của phương trình.Ví dụ, đối với phương trình vi phân cấp 2: 0)()()( 212 2 0 =++ xadx dyxa dx ydxa , bxa ≤≤ (1.2.3) bị lệ thuộc bởi điều kiện bổ sung tại x = a có dạng : ,)(,)( / βα == ayay với α , β là các hằng số. Phương trình vi phân với điều kiện bổ sung được xem như là một bài toán cho trước giá trị ban đầu. Bài toán giá trị ban đầu thường có nghiệm duy nhất. Khi phương trình vi phân (1.2.3) bị hạn chế bởi hai điểm khác nhau, tức là x = a và x = b phương trình có dạng : ⎪⎩ ⎪⎨⎧ ≠+=+ ≠+=+ 0,)()( 0,)()( 2 22 2 21 / 2221 2 12 2 11 / 1211 ccaycayc ccaycayc β α (1.2.4) Trong đó: α,,,, 22211211 cccc và β là các hằng số Điều kịên bổ sung (1.2.4) được gọi là điều kiện biên . Phương trình vi phân (1.2.3) với điều kiện biên (1.2.4) được gọi là bài toán biên . Nghiệm của bài toán biên phụ thuộc vào điều kiện biên . Bài toán biên không chỉ có một nghiệm mà nó có vô số nghiệm. Điều kiện biên có dạng ⎪⎩ ⎪⎨⎧ =+++ =+++ β α )()()()( )()()()( / 2423 / 2221 / 1413 / 1211 aycaycbycbyc bycbycaycayc Trong đó: cij , i= 1,2, j=1,2,3,4 và α , β là các hằng số; được gọi là điều kiện biên hỗn hợp. Bài toán biên hỗn hợp thường khó giải. Xét phương trình tuyến tính cấp 1: ( ) ( ) ( ). (1.2.5)dyL y p x y q x dx = + = Để giải phương trình (1.2.5), trước hết giải phương trình thuần nhất: ( ) ( ) 0 (1.2.6)dyL y p x y dx = + = Để thu được nghiệm tổng quát yc. Ta có thể tách biến phương trình (1.2.6) có dạng: - 8- ( ) (1.2.7)dy p x dx y =− Đặt: ∫= x dpxP 0 )()( ξξ với ( ) (1.2.8)dP p x dx = Tích phân (1.2.7) thu được CxPCxPCxPy eCeCyeeee CxP ==⇒==⇒ +−= −−+− 1 )( 1 )()(ln , )(ln y Vậy nghiệm tổng quát của (1.2.6) là )(1 xP C eCy −= Dùng phương pháp biến thiên hằng số và giả thiết một nghiệm riêng có dạng )()( xPp exuy −= , trong đó C1 ở trong nghiệm tổng quát đã được thay thế bằng hàm chưa biết u(x), nghiệm giả định này có đạo hàm là )()( ))(()( xPxPp e dx duxpexu dx dy −− +−= Thay yp và dx dy p vào phương trình không thuần nhất (1.2.5) ta có ∫==⇒=⇒=+ − x PxPpp deqxuuxqedxduxqyxpdx dy 0 )()( .)()()()()( ξξ ξ Suy ra nghiệm riêng ∫−= x PxPp deqey 0 )()( .)( ξξ ξ Nghiệm tổng quát của phương trình (1.2.5) có dạng ( ) ( ) 1 0 ( ) (1.2.9) x P x P C py y y e C q e d ξξ ξ− ⎡ ⎤= + = +⎢ ⎥⎣ ⎦∫ 1.3 Khái niệm toán tử, hàm riêng, trị riêng: 1.3.1.Toán tử: Toán tử là một qui tắc toán học dùng để biến đổi một hàm này sang hàm khác có cùng bản chất: (1.3.1) Trong đó toán tử ^ A được kí hiệu bằng chữ có mũ, còn qui tắc tác dụng của nó được viết dưới dạng một phép nhân ψ với ^A và được gọi là “toán tử ^ A tác dụng lên hàm ψ cho hàm ϕ ” ^ψ ϕ=A - 9- Để làm sáng tỏ ta xét các ví dụ sau: Ví dụ 1: Toán tử toạ độ hay toán tử nhân ^ A = ^ x = x ( ) ( ) ( )^x x x x xϕ ψ ψ= = (1.3.2) Ví dụ 2: Toán tử vi phân ^ ^ ,= =d dA dx dx ( ) ( ) ( ) ^ d dx x x dx dx ϕ ψ ψ= = (1.3.3) Ví dụ 3: Toán tử Laplace: 2 2 2 2 2 2 2x y z ∂ ∂ ∂∇ = + +∂ ∂ ∂ ( ) ( ) 2 2 22 2 2 2x x x y z ψ ψ ψϕ ψ ∂ ∂ ∂= ∇ = + +∂ ∂ ∂ (1.3.4) Vì các hàm ψ và ϕ ở trong biểu thức (1.3.1) nói chung là những hàm phức cho nên các toán tử trong trường hợp tổng quát cũng là những toán tử phức. Trong số tất cả những toán tử có thể có ta chỉ xét một lớp quan trọng những toán tử, đó là những toán tử tuyến tính. Tóan tử ^ A được gọi là một toán tử tuyến tính nếu nó thoả mãn đòi hỏi sau: ( )^ ^ ^1 1 2 2 1 1 2 2ψ ψ ψ ψ+ = +A C C C A C A (1.3.5) trong đó 1 2,ψ ψ là hai hằng số tuỳ ý, còn 1 2,C C là những hằng số phức tuỳ ý. Từ định nghĩa (1.3.5) ta thấy tính chất tuyến tính của toán tử ^ A biểu thị nguyên lí chồng chất trạng thái. Thật vậy theo định nghĩa về toán tử (1.3.1) ta có: ^ ^ 1 1 2 2,ψ ϕ ψ ϕ= =A A , nên (3.5) trở thành: ( )^ ^ ^1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2ψ ψ ϕ ϕ ψ ψ ϕ+ = + = + =C A C A C C A C C - 10- Nghĩa là ϕ là tổ hợp tuyến tính của hai hàm 1 2,ϕ ϕ . Hay nói cách khác, kết quả tác dụng của một toán tử tuyến tính lên một hàm là tổ hợp tuyến tính của hai hàm 1 2,ψ ψ thì bằng tổ hợp của những kết quả tác dụng của toán tử đó lên mỗi hàm riêng biệt. Rõ ràng rằng các toán tử ^ x ; ^ d dx và 2∇ trong các thí dụ (1), (2), (3) là những toán tử tuyến tính. Còn toán tử chứa tác dụng lấy căn số (hay toán tử ) không phải là toán tử tuyến tính. Tất cả các toán tử dùng trong phương trình vật lý toán là những toán tử tuyến tính ; do đó về sau này khi nói đến toán tử là ta ngụ ý nói đến các toán tử tuyến tính. 1.3.2 Hàm riêng, trị riêng và phương trình trị riêng của toán tử. Nói chung khi cho toán tử A tác dụng lên hàm ( )xΨ thì ta được hàm số ( ) ( )xx ψϕ ≠ . (Với ( )x là tập hợp biến số nào đó). Nhưng cũng có trường hợp ta lại được chính hàm số đó nhân thêm với một hằng số. Tức là: ^ A ( )xΨ = A ( )xΨ Khi đó ta nói ( )xΨ là hàm riêng của toán tử ^A và phương trình trên gọi là phương trình trị riêng của toán tử ^ A . còn A được gọi là trị riêng ứng với hàm riêng ( )xΨ của toán tử ^A . Một toán tử có thể có nhiều hàm riêng và mỗi hàm riêng thì ứng với một trị riêng ( cũng có thể có trường hợp một trị riêng ứng với nhiều hàm riêng, trường hợp này gọi là trị riêng có suy biến), nên ta đánh chỉ số để phân biệt các phương trình trị riêng và được viết như sau: ^ A ( ) ( )xuAxu nnn = Trong đó ( )xu là hàm riêng ứng với trị riêng nA (n = 1;2;3;4;5…). Số trị riêng có thể có là hữu hạn hay vô hạn; có thể là gián đoạn hay liên tục. Để tìm hàm riêng và trị riêng của một toán tử, ta phải giải phương trình trị riêng của một toán tử đó. Thí dụ: Cho toán tử ^ A= ( )xi ∂ ∂− . Hãy tìm hàm riêng và trị riêng của toán tử ^ A , biết rằng hàm riêng tuần hoàn trong khoảng ( )L,0 . Gọi nA và ( )xun là trị riêng và hàm riêng tương ứng của toán tử ^A thì phương trình trị riêng của toán tử ^ A là: - 11- ( ) nnn uAx ui =∂ ∂− ( ta không viết đối số tọa độ để khỏi rờm rà) xiA u u n n n ∂=∂ .lnln CxiAu nn ==⇒ xiA n nCeu =⇒ Với C là hằng số được xác định từ điều kiện chuẩn hóa. Vì hàm số tuần hoàn trong khoảng ( )L,0 nên ta có ( ) ( )Luu nn =0 . Tức là: 1=⇒= LiALiA nn eCeC ( ) πnLA LA n n 2 1cos =⇒ =⇒ Từ đó ta được L nAn π2= . ( n= 0;2;3;…). Ta thấy An có giá trị gián đoạn theo số nguyên n. Còn hàm riêng tương ứng với An là: ( ) xL ìn n Cexu π = . 1.4. Phương pháp tách biến Phương pháp tách biến nhằm xây dựng một nghiệm µ của phương trình đạo hàm riêng cho trước thông qua các hàm có biến số ít hơn. Nói cách khác, ta phỏng đoán rằng µ có thể được viết dưới dạng tổng hoặc tích của các hàm có biến số ít hơn và tách nhau, thay nó vào phương trình đạo hàm riêng để chọn các hàm đó phải đảm bảo µ thực sự là nghiệm phương trình. Kỹ thuật này sẽ được minh họa trong các ví dụ sau. Ví dụ 1: Cho U⊂ ℜ n là một miền bị chặn với biên trơn. Ta xét bài toán giá trị biên-ban đầu đối với phương trình truyền nhiệt trong U ( )∞× ,0 trên [ )∞×∂ ,0U ( )1.4.1 trênU { }0=× t Ở đây g: U ℜ→ là hàm cho trước. Ta giả định tồn tại một nghiệm có dạng ( ) ( ) ( )xwtvtx =,µ ( )0; ≥∈ tUx ; ( )1.4.2 Có nghĩa là, ta xem nghiệm của ( )1.4.1 như là tích của hai hàm số với các biến ( )1,......., nx x x U= ∈ và biến t [ ]T,0∈ tách ra với nhau. Bây giờ ta đi tìm v và w. Để làm điều đó ta tính 0 0 t g µ µ µ µ − ∆ =⎧⎪ =⎨⎪ =⎩ - 12- ( ) ( ) ( )xwtvtxt ,, =µ , ( ) ( ) ( )xwtvtx ∆=∆ ,µ Từ đó ( ) ( )0 , ,t x t x tµ µ= −∆ = ( ) ( )xwtv, ( ) ( )v t w x− ∆ Nếu và chỉ nếu ( ) ( ) ( ) ( )xw xw tv tv ∆= , ( )1.4.3 Với mọi x U∈ và t >0 sao cho v ( )t , w ( )t ≠ 0. Chú ý rằng vế trái của ( )1.4.3 chỉ phụ thuộc vào t và vế phải chỉ phụ thuộc vào x. Điều này chỉ xảy ra khi chúng là hằng số, tức là: ( ) ( ) ( ) ( )xw xw tv tv ∆== µ , ( t Ux∈≥ ,0 ). Khi đó /v µν= (1.4.4) ww µ=∆ (1.4.5) Ta giải các phương trình này để tìm các hàm chưa biết w,v và hằng số µ . Trước hết, để ý rằng, nếu µ đã biết, nghiệm của (1.4.4) là v=de tµ với d là hằng số tùy ý. Vì thế, ta chỉ cần nghiên cứu phương trình (1.4.5). Ta nói rằng λ là một giá trị riêng của toán tử -∆ trong U ( với điều kiện biên bằng 0) nếu tồn tại một hàm 0≠w thõa mãn trong U trên U∂ . Ta gọi hàm w là hàm riêng tương ứng, ta đặt λµ −= để tìm wde tλµ −−= (1.4.6) Thỏa mãn trong U ( )∞× ,0 (1.4.7) trên [ )∞×∂ ,0U với điều kiện ban đầu ( ) dw=0.,µ . Do đó hàm µ được xác định bởi (1.4.6) thỏa mãn (1.4.1), với điều kiện dwg = . Tổng quát hơn, nếu nλλ ,.....,1 là các giá trị riêng , nww ,......,1 là các hàm riêng tương ứng và mdd ,....,1 là các hằng số, thì ⎩⎨ ⎧ = =∆− 0w ww λ ⎩⎨ ⎧ = =∆− 0 0 µ µµt - 13- k tm k k wed k λµ − = ∑= 1 (1.4.8) Thỏa mãn các điều kiện ban đầu ( ) =0.,µ k k k wd∑∞ = = 1 µ . Nếu ta có thể tìm được ,....., 1wm v.v. sao cho gwd k k k =∑∞ =1 trong U (1.4.9) Với các hằng số thích hợp ,......., 21 dd khi đó k t k k wed k λµ −∞ = ∑= 1 (1.4.10) Sẽ là nghiệm của bài toán (1.4.1). Đây là một công thức biểu diễn nghiệm rất đẹp, nhưng nó dựa vào: Khả năng tìm các giá trị riêng, các hàm riêng và các hằng số thỏa mãn (1.4.9) Chuỗi (1.4.10) hội tụ theo một nghĩa thích hợp nào đó. Ví dụ 2: Tiếp theo ta sử dụng kỹ thuật tách biến để tìm nghiệm của phương trình môi trường tổ ong. ( ) 0=∆− γµµt trong ( )∞×ℜ ,0n (1.4.11) Trong đó nghiệm 0≥µ và 1>γ là hằng số. Đây là một phương trình khuếch tán phi tuyến, với tốc độ khuếch tán của mật độ µ phụ thuộc vào chính µ . Như ở ví dụ trứơc, ta tìm một nghiệm dạng ( ) ( ) ( )xwtvtx =,µ ( )0; ≥ℜ∈ tx n (1.4.12) Thế vào ( )1.6.11 , ta được ( ) ( ) ( ) ( )xw xw tv tv γ γ µ ∆== , (1.4.13) Với hằng số µ nào đó và với nx ℜ∈∀ , t 0≥ sao cho ( ) ( ) .0, ≠tvxw Ta giải phương trình vi phân thường đối với v và tìm được ( )( ) λλµγ −+−= 1 11 tv , với hằng số 0>λ nào đó.Để tìm w ta xét phương trình đạo hàm riêng ( ) uww =∆ γ (1.4.14) Ta dự đoán rằng nghiệm w có dạng αxw = với hằng số α sẽ được xác định sau. Khi đó - 14- ( ) ( ) 22 −−=−=∆− αλαγ αγαγ xnxuwuw (1.4.15) Vì vậy, để (1.4.14) thỏa mãn trong nℜ , trước hết ta đòi hỏi rằng 2−= αγα và từ đó 1 2 −= γα (1.4.16) Tiếp theo, từ (1.4.15) dễ thấy rằng cần đặt ( ) 02 >−+= nαγαγµ (1.4.17) Tóm lại, với mỗi 0>λ hàm ( )( ) αγλγµ xut −+−= 1 11 Thỏa mãn phương trình ( )1.4.11 , các tham số µα , được xác định bởi (1.4.16), (1.4.17). Trong các ví dụ trên, sự tách biến được thực hiện dựa vào tính thuần nhất phi tuyến tương thích với hàm µ có dạng tích (1.4.12). Ở trường hợp khác, ta sẽ tìm nghiệm, trong đó các biến được tách dưới dạng một tổng các hàm số. Ví dụ 3: Xét phương trình Hamilton- Jacobi. ( ) 0=+ DuHtµ trong ( )∞×ℜ ,0n (1.4.18) Và tìm một nghiệm µ có dạng ( ) ( ) ( )xwtvtx +=,µ ).0,( ≥ℜ∈ tx n Khi đó ( ) ( )( ) ( ) ( )( )xDwHtvtxDuHtxt +=+= ,,,0 µ Nếu và chỉ nếu ( )( ) ( )tvxDwH ,−= ( ),0, >ℜ∈ tx n Với hằng số µ nào đó. Vì thế, nếu ( ) µ=DwH Với ,R∈µ thì ( ) ( ) butxwtx +−=,µ Sẽ thõa mãn ( ) 0== DuHttµ với hằng số b nào đó. Đặc biệt, nếu chọn ( ) xaxw .= với na ℜ∈ và đặt ( )aH=µ , tìm được nghiệm ( ) btaHxa =−= .µ . Dựa vào tích phân đầy đủ và hàm bao tìm được nghiệm. - 15- 1.5. Phương pháp biến thiên tham số: Để trực tiếp thu được nghiệm của phương trình 2 2 ( ) d u f x dx = , ta xét bài toán không thuần nhất tổng quát: ( ) ( )L u f x= Xác định trong khoảng a <x < b, phụ thuộc vào hai điều kiện thuần nhất, trong đó L là toán tử Sturm –Liouville có dạng .d duL p q dx dx ⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠ Khi p = 1, q = 0 ta được toán tử của phương trình truyền nhiệt trong trạng thái dừng 2 2 d uL dx = Phương trình vi phân thường không thuần nhất luôn có thể giải bằng phương pháp biến thiên tham số, nếu biết hai nghiệm của phương trình không thuần nhất 1( )u x và 2 ( )u x . Theo phương pháp biến thiên tham số, nghiệm riêng của phương trình ( ) ( )L u f x= được tìm dưới dạng 1 1 2 2u u v u v= + Khi đó 1v và 2v là hàm phụ thuộc vào x chưa được xác định. Phương trình vi phân gốc có một hàm chưa biết, vì rằng có một bậc tự do thêm vào là du/dx. Nếu 1v và 2v là hằng số thì 1 2 1 2 du dudu v v dx dx dx = + Vì 1v và 2v không phải là hằng số nên 1 2 1 2 0 dv dvu u dx dx + = Vi phân ( ) ( )L u f x= được thoã mãn nếu 1 1 2 2 ( ).dv du dv dup p f x dx dx dx dx + = Phương pháp biến thiên tham số tạo ra hai phương trình vi phân cho các hàm chưa biết 1 /dv dx và là: - 16- 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 ;dv fu fu du dudx cp u u dx dx dv fu fu du dudx cp u u dx dx − −= =⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ − −= =⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ Trong đó 2 1 1 2 du duc p u u dx dx ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠ , hằng số c tuỳ thuộc vào việc lựa chọn 1u và 2u . Nghiệm tổng quát ( ) ( )L u f x= được cho bởi 1 1 2 2u u v u v= + , ở đây 1v và 2v được xác định bởi tích phân của 1 /dv dx và 2 /dv dx ở trên. Ta định nghĩa Wronskian w là đại lượng 2 1 1 2 du duW u u dx dx = − Nó thoả mãn phương trình vi phân cơ bản 2 2 2 1 2 1 1 2 1 22 2 / /d u d u du dudW dp dx dp dxu u u u W dx dx dx p dx dx p ⎛ ⎞= − = − − = −⎜ ⎟⎝ ⎠ Trong đó, các phương trình vi phân thuần nhất 1( ) 0L u = và 2( ) 0L u = được dùng đến. Giải phương trình trên suy ra /W c p= hay là pW c= . Tiểu kết : Trong chương này chúng tôi đã nêu lên khái niệm về bài tập vật lý, tầm quan trọng của bài tập vật lý. Trình bày các cơ sở toán học cơ bản, cần thiết cho việc xây dựng phương pháp hàm Green. - 17- CHƯƠNG II: XÂY DỰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM GREEN 2.1. Khái niệm hàm Green. Tính đối xứng của hàm Green Để đưa vào khái niệm hàm Green, chúng ta bắt đầu với các toán tử vi phân cấp 2 có dạng đồng nhất với hàm Green. Mọi toán tử vi phân cấp 2 có dạng )1.1.2()()()()( 212 2 0 yxadx dyxa dx ydxayLx ++= Các toán tử liên hợp đồng dạng với nó là: )2.1.2()()]()(2[)()( )(])([])([)( 21 / 02 2 0 * 2102 2 * yxa dx dyxaxa dx ydxayL yxayxa dx dyxa dx dyL x x +−+=⇒ +−= Cho hai hàm u(x) và v(x) là hai hàm liên tục tùy ý cùng với đạo hàm cấp 1 và cấp 2 của nó. Dùng hai toán tử (2.1.1) và (2.1.2) để xác định đồng nhất thức Lagrange của hai hàm u(x) và v(x) như sau )3.1.2()],([)()( * vuP dx dvuLuvL xx =− Trong đó )4.1.2()()()()(),( /0010 uvxadx dvxavuxa dx duxavuP ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +−⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ += Được gọi là hàm song tuyến. Đồng nhất thức Lagrange của 2 hàm khả vi u(x) và v(x) được xác định trên miền { }bxaxI ≤≤= / . Tích phân đồng nhất thức (2.1.3) ta có đồng nhất thức các hàm Green. [ ] )5.1.2(,),()]()([ *∫ =−b a b axx vuPdxvuLuvL Trong đó [ ] )()]()()()([)()]()()()([ )()]()()()([)()]()()()([),( / 0 / 01 / 0 / 0 / 01 / 0 auavaaavaaavauaaauaa bubvbabvbabvbubabubavuP ba +−+− −+−+= Định nghĩa tích hàm của đồng nhất thức Green: ∫= b a xx dxuvLuLv )6.1.2(.)())(,( Tích phân từng phần tích hàm thu được += ))(,())(,( * vLuuLv xx các hạng thức trên biên. - 18- Sử dụng đồng nhất thức Green cho thích hợp để tìm nghiệm phương trình với biên ở hai điểm như sau )7.1.2( )(;)( );()( 2211⎩⎨ ⎧ == = gyBgyB xfyLx Trong đó: Lx là toán tử tuyến tính cho bởi (2.1.1); g1; g2 là các hằng số và B1, B2 là các toán tử biên tuyến tính dạng Robin: bx ax xy dx xdyyB xy dx xdyyB = = ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ += ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ += )()()( ;)()()( 222 111 βα βα (2.1.8) Sử dụng đồng nhất thức Green để giải bài toán biên Dirichlet 1 2 ( ) ( ); (2.1.9) ( ) ( ) 0, ( ) ( ) 0 (2.1.10) xL y f x B y y a B y y b = = = = = Để giải phương trình này, đổi biến x trong phương trình (2.1.1) và (2.1.5) thành biến mới ξ và viết đồng nhất thức Green theo biến mới [ ] )11.1.2(,))(),(()]()()()([ *∫ =−b a b avuPdvLuuLv ξξξξξ ξξ Trong phương trình (2.1.11), biến ξ được dùng như một biến giả của phép lấy tích phân và vì thế các toán tử *ξξ LvàL là toán tử đạo hàm đối với ξ . Để giải phương trình (2.1.9) với điều kiện (2.1.10), đặt u(ξ ) = y(ξ ) là nghiệm của phương trình (2.1.9) với x thay bằng ξ và u thay bằng y trong đồng nhất thức Green. Như vậy, đồng nhất thức Green (2.1.11) thay )()( ξξ fyL = ta có ∫∫ =− b a b a b a vyPdvLydfv )12.1.2())](),(([)()()()( * ξξξξξξξ ξ Trong đó: [ ] )()]()()()([)()]()()()([ )()]()()()([)()]()()()([),( / 0 / 01 / 0 / 0 / 01 / 0 ayavaaavaaavayaaayaa bybvbabvbabvbybabybavyP ba +−+− −+−+= (2.1.13) Chọn v(ξ ) = G*(ξ ;x) là hàm Green thỏa mãn điều kiện )14.1.2(,),());(( ** baxxGL ≤≤−= ξξδξξ Nó là phương trình liên hợp với đạo hàm trong *ξL (đạo hàm theo biến ξ ), )( ξδ −x là hàm Delta Dirac có tính chất - 19- ∫ += −= =− εξ εξ ξξδξ x x xydxy )15.1.2()()()( Thay v(ξ )=G*(ξ ;x) vào đồng nhất thức Green (2.1.12),rút gọn thành )16.1.2());(),(());(),(()()()();( *** xaGayPxbGbyPxydfxG b a ∫ −=−ξξξ Nghiệm y(x) trong bài toán (2.1.9) có thể thu được bằng kết quả của tích phân (2.1.16) . Chúng ta sẽ nghiên cứu kỹ hơn tích phân (2.1.16). Hàm f(ξ ) đã cho từ phương trình (2.1.9), hàm G*(ξ ;x) thu được từ việc giải phương trình (2.1.14) có dạng ).());(( ** ξδξξ −= xxGL Theo điều kiện (2.1.10) ta có )17.1.2(0);(][,0);(][ );()]()([);()]()([)];(),([ *** 2 *** 1 */ 0 */ 0 * ==== −= == ab b a xGGBxGGB xaGayaaxbGbybaxGyP ξξ ξξ ξξ Điều kiện biên này được gọi là điều kiện biên liên hợp. Từ đó ta có nghiệm của (2.1.16) là )18.1.2()();()( *∫= b a dfxGxy ξξξ Trong đó G*(ξ ;x) là hàm Green thỏa mãn phương trình baxxGL ≤≤−= ξξδξξ ),());(( ** , với các điều kiện biên )19.1.2(0);(][,0);(][ ***2 *** 1 ==== xbGGBxaGGB Như vậy, để tìm nghiệm của phương trình (2.1.9), ta đi tìm hàm Green G*(ξ ;x) . Đó chính là phương pháp tìm nghiệm mới, được gọi là phương pháp hàm Green. Nhằm mục đích xây dựng phương pháp hàm Green ta đưa ra 2 hàm Green G và hàm Green liên kết G* thỏa mãn các toán tử Lx và L*x cho bởi phươnng trình (2.1.20) và (2.1.21) sau: )21.1.2(),();( )20.1.2(),();( ** bxaxxGL bxaxxGL x x ≤≤−= ≤≤−= ξδξ ξδξ Với các điều kiện biên 0);(][,0);(][ ***2 *** 1 ==== xbGGBxaGGB Trong các phương trình trên, các vi phân lấy theo biến x các toán tử ( Lx, B1, B2) có dạng liên hợp của nó là ( *2 * 1 * ,, BBLx ), điều kiện biên liên hợp được chọn là 0),( * =baGGP . Hàm Green cho bởi phương trình (2.1.20) và (2.1.21) thỏa mãn quan hệ đối xứng G*(x;ξ ) = G(ξ ;x) (2.1.22) - 20- Để chứng minh tính đối xứng trên, nhân phương trình (2.1.20) với G*(x;t) và sau đó thay biến ξ trong phương trình (2.1.21) bằng biến t, rồi nhân phương trình (2.1.21) với G*(x;ξ ) ta thu được: )();();( )();();( ** txtxGLxG xxGLtxG x x −= −= δξ ξδξ (2.1.23) Trừ hai phương trình trên và sau đó tích phân từ a đến b ta thu được đồng nhất thức Green )24.1.2(0);();()]();()();([ ))];(();());(();([],[ *** ***** =−=−−−= =−= ∫ ∫ ξξδξξδ ξξ tGtGtxxGxtxG txGLxGxGLtxGGGP b a b a xx b a Từ đó suy ra (2.1.22), và gọi là tính chất đối xứng của hàm Green. Như vậy nghiệm của bài toán Dirichlet (2.1.18) có dạng )25.1.2()();()();()( * dxxfxGdfxGxy b a b a ∫∫ == ξξξξ 2.2. Xây dựng phương pháp hàm Green Xét phương trình truyền nhiệt tổng quát có nguồn nhiệt, điều kiện biên thuần nhất: 2 2 2 ( , ) 0 (0, ) 0, ( , ) 0 (2.1) ( ,0) ( ) u ua Q x t x l t x u t u l t u x xϕ ⎧∂ ∂= + < <⎪ ∂ ∂⎪⎪ = =⎨⎪ =⎪⎪⎩ Bước 1: Áp dụng phương pháp tách biến Fourier và phương pháp mở rộng hàm riêng ta chọn nghiệm có dạng ∑ ∑ ∞ = ∞ = = = 1 1 sin)(),( sin)(),( n n n n l xntqtxQ l xntutxu π π Bước 2: Thay vào phương trình (2.1), tìm nghiệm: Phương trình truyền nhiệt )()( )( 2 tqtu l an dt tdu nn n =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+ π . Nghiệm có dạng : - 21- ∫ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛− += t t l an n t l ant l an nn deqeeutu 0 222 )()0()( ττ πππ Dựa vào điều kiện ban đầu tìm hàm un(0) ∫ ∑ =⇒ = ∞ = l n n n d l n l u l xnux 0 1 sin)(2)0( sin)0()( ξπξξϕ πϕ ∑∞ = = 1 sin)(),( n n l xntqtxQ π ∫=⇒ l n dl nQ l tq 0 sin),(2)( ξπξτξ Cuối cùng ta thu được ∑ ∫∞ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛− ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= 1 0 2 sin)(2),( t l anl ed l n l txu π ξπξξϕ l xnded l nQ l e t t l anlt l an πτξπξτξ ππ sinsin),(2 0 0 22 ⎥⎥⎦ ⎤ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛+ ∫ ∫ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛− Đổi thứ tự giữa tổng và tích phân ta thu được ξτππξτξ ξππξξϕ τπ π dde l xn l n l Q de l xn l n l txu n t l anl t n t l anl ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + +⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ = ∑∫ ∫ ∑∫ ∞ = −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛− ∞ = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛− 1 )( 0 0 10 2 2 sinsin2),( sinsin2)(),( Bước 3: Đưa ra hàm Green ∑∞ = −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−= 1 )( 2 sinsin2),;,( n t l an e l xn l n l txG τπππξτξ Như vậy để tìm nghiệm của phương trình ta đi tìm hàm Green. Đó chính là phương pháp tìm nghiệm mới được gọi là phương pháp hàm Green. 2.3 Hàm riêng, trị riêng cho hàm Green Xét phương trình vi phân không thuần nhất Sturm_ Liouville tổng quát: L(u) = f(x) - 22- Giả thiết hai điều kiện biên là thuần nhất, ta đưa vào một bài toán trị riêng tương ứng: λσφφ −=)(L có cùng điều kiện biên thuần nhất, hàm σ có thể tùy ý. Ta tìm nghiệm u(x) bằng cách khai triển vào chuỗi Fourier của các hàm riêng: ∑∞ = = 1 )( n nnaxu φ Tác động toán tử L vào hai vế của đẳng thức trên, thu được ∑∑ ∞ = ∞ = =−= 11 )()( n nnn n nn xfaLa σφλφ Ta có các hàm riêng trực giao nhau theo công thức ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≠ ≠ = ∫∫ /2 / , ,0 )()( / nndx nn dxxx b a n b a nn σφφσφ Suy ra dx dxxf a b a n b a n nn ∫ ∫ =− 2 )( σφ φ λ Nghiệm của bài toán giá trị biên cho phương trình vi phân không thuần nhất là ξξξξ σφλ ξφφξ dxGfd dx xfxu b an b a nn nn b a ),()(( )()( )(()( 1 2 ∫∑ ∫∫ = − = ∞ = Trong đó ∑ ∫ ∞ = − = 1 2 )()( ),( n b a nn nn dx xxG σφλ ξφφξ Áp dụng kết quả trên để giải bài toán: 0)(,0)0();(2 2 === luuxf dx ud Ta có các trị riêng và hàm riêng tương ứng là: 2 n n l πλ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ và ( ) sinn n xX x l π= , với 1,2,...n = - 23- Ta có: 0 ( ) ( ) ( , ) l u x f G x dξ ξ ξ= ∫ 2 1 sin sin2( , ) n n x n l lG x l n l π πξ ξ π ∞ = = − ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ ∑ 2.4 Hàm điều hoà. Biễu diễn Green Giả sử Ω là một miền trong nR còn u là hàm thuộc lớp 2 ( )C Ω .Hàm ( )u x thỏa mãn phương trình Laplaxơ 0u∆ = (2.4.1) với mọi x thuộc Ω được gọi là hàm điều hoà trong Ω . Dạng không thuần nhất của phương trình Laplaxơ được gọi là phương trình Poisson. Nghiệm của phương trình Poisson trong miền Ω là hàm ( )u x thuộc lớp 2 ( )C Ω sao cho ( )u f x∆ = (2.4.2) với bất kỳ x thuộc Ω .Nghiệm như thế còn được gọi là nghiệm cổ điển của phương trình Poisson trong miền Ω . Giả sử c là một miền bị chặn trong nR với biên ∂Ω thuộc lớp 1B và giả sử ( ), ( )u x v x là các hàm thuộc lớp 2 1( ) ( )C CΩ ∩ Ω . Công thức Gauss- Ostrogradsky : 1 1 , n n j j j j jj u dx u ds x υ = =Ω ∂Ω ∂ =∂∑ ∑∫ ∫ Trong đó υ là pháp vectơ đơn vị ngoài tới ∂Ω , ds là phần tử diện tích ∂Ω . Từ công thức này ta nhận được công thức tính tích phân từng phần: 2 2 j j j j j u v u uv dx dx v dS x x x x υ Ω Ω ∂Ω ∂ ∂ ∂ ∂= − +∂ ∂ ∂ ∂∫ ∫ ∫ (2.4.3) Lấy tổng đẳng thức (2.4.3) theo j từ 1 đến n ta nhận được công thức Green thứ nhất: 1 n j j j v u uv udx dx v dS x x υ=Ω Ω ∂Ω ∂ ∂ ∂∆ = − +∂ ∂ ∂∑∫ ∫ ∫ (2.4.4) Đổi vai trò u và v trong công thức (2.4.4), sau đó lấy (2.4.4) trừ đi công thức vừa nhận được, ta có công thức Green thứ hai ( ) ( ) u vv u u v dx v u dSυ υΩ ∂Ω ∂ ∂∆ − ∆ = −∂ ∂∫ ∫ (2.4.5) Các công thức (2.4.4) và (2.4.5) được sử dụng để nghiên cứu phương trình Laplaxơ và phương trình Poisson. - 24- Phương trình Laplaxơ có một nghiệm đối xứng xuyên tâm 2 nr − đối với 2n > và lnr đối vớii 2n = , ở đây r là khoảng cách đến một điểm cố định. Ta cố định điểm y∈Ω và đưa vào một nghiệm cơ bản chuẩn tắc của phương trình Laplaxơ: 21 , 2, (2 )( ) ( ) 1 ln , 2, 2 n n x y n n n wx y x y x y nπ −⎧ − >⎪ −⎪Γ − = Γ − = ⎨⎪ − =⎪⎩ ở đây nw là thể tích hình cầu đơn vị trong nR . Qua một số phép tính ta nhận được { }2 2 1( ) ( ) , 1( ) ( )( ) , i i j n x i i n n x x ij i i j j n D x y x y x y nw D x y x y n x y x y x y nw δ − − − Γ − = − − Γ − = − − − − − ở đây 1ijδ = nếu i j= và 0ijδ = nếu i j≠ . Đương nhiên Γ là hàm điều hoà khi x y≠ . Trong trường hợp khi x y= không thể thay thế hàm Green trong công thức (2.4.5) bằng hàm Γ được. Tuy nhiên việc khó khăn này có thể khắc phục được nhờ việc thay thế Ω bằng \ , ( )B B B yρ ρ ρΩ = là quả cầu tâm y bán kính ρ đủ nhỏ. Công thức (2.4.5) khi đó có dạng \ ( ) ( ) . B B u uudx u ds u ds ρ ρ υ υ υ υΩ ∂Ω ∂ ∂ ∂Γ ∂ ∂ΓΓ∆ = Γ − + Γ −∂ ∂ ∂ ∂∫ ∫ ∫ (2.4.6) Hơn nữa 1( ) ( ) max 0nn B B u u uds ds nw ρ ρ ρ ρ ρυ υ υ − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂Γ = Γ ≤ Γ →∂ ∂ ∂∫ ∫ 0khi ρ → và / ( ) ( ) ( ) B B u ds uds u x u yρ ρ ρ ρυ∂ ∂ ∂Γ = −Γ = − → −∂∫ ∫ Khi 0, x Bρ ρρ → ∈∂ . Từ đó khi cho 0ρ → trong đẳng thức (2.4.6) ta nhận được công thức ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) , .uu y u x y x y ds x y udx yυ υ∂Ω Ω ∂Γ ∂= − −Γ − + Γ − ∆ ∈Ω∂ ∂∫ ∫ (2.4.7) Nếu 0u∆ = trong c thì từ (2.4.7) ta rút ra ( ) ( ( ) ( ) ) ,uu y u x y x y ds yυ υ∂Ω ∂Γ ∂= − −Γ − ∈Ω∂ ∂∫ (2.4.8) - 25- Công thức (2.4.8) cho biễu diễn Green của hàm điều hoà thuộc lớp 2 ( )C Ω tại điểm bất kỳ y∈Ω qua giá trị của ( )u x trên ∂Ω và giá trị của đạo hàm theo pháp tuyến u υ ∂ ∂ trên ∂Ω . Bởi vì trong đẳng thức (2.4.8) các hàm dưới dấu tích phân là các hàm khả vi vô hạn, hơn nữa giải tích theo y , nên hàm ( )u y cũng giải tích trong Ω . Như vậy các hàm điều hoà giải tích trong toàn miền xác định của nó. Do đó chúng được xác định đơn trị nhờ các giá trị của mình trên một tập con mở bất kỳ của miền xác định. Tính chất đáng chú ý này của hàm điều hoà cũng đúng cho lớp các phương trình elliptic với các hệ số giải tích. Tích phân dạng 2 0 0( ) ( ) , 2, nu y a x x y dx n− Ω = − >∫ (2.4.9) được gọi là thế vị khối hay thế vị Newton với mật độ 0 ( )a x trong Ω . Tích phân dạng 2 1 1( ) ( ) , 2, nu y a x x y ds n− ∂Ω = − >∫ (2.4.10) được gọi là thế vị lớp đơn với mật độ 1( )a x trên ∂Ω , còn tích phân dạng 2 2 2( ) ( ) , 2, nx y u y a x ds nυ − ∂Ω ∂ −= >∂∫ (2.4.12) được gọi là thế vị lớp kép với mật độ 2 ( )a x trên ∂Ω . Trong trường hợp n = 2 tương tự ta cũng có các định nghĩa thế vị Newton hay logarit và các thế vị lớp đơn, thế vị lớp kép. Khi đó các công thức (2.4.9) (2.4.10) (2.4.11) cần thay hàm 2 nx y −− bằng hàm ln x y− − . Từ công thức (2.4.8) suy ra một hàm điiều hoà thuộc lớp 2 ( )C Ω có thể biểu diễn dưới dạng tổng của một thế vị lớp đơn và một thế vị lớp kép trên ∂Ω , mật độ của chúng được xác định bởi các giá trị /u υ∂ ∂ vàu trên ∂Ω . Về ý nghĩa vật lý, gradien của thế vị Newton (2.4.9) xác định cường độ của trường tĩnh điện trong 3 \R ∂Ω được tạo thành bởi điện tích phân bố trong Ω với mật độ 0 ( )a x . Thế vị lớp đơn (2.4.10) là thế vị của trường tĩnh điện trong 3 \R ∂Ω được sinh ra bởi điện tích phân bố trên ∂Ω với mật độ 1( )a x . Gradien của thế vị lớp kép (2.4.11) xác định cường độ của trường tĩnh điện được gây ra bởi ngẫu cực phân bố trên ∂Ω với mật độ mặt 2 ( )a x . Bởi vì 20 , 2 n x x n −− > là hàm khả vi vô hạn theo x và 0x khi 0x x≠ , nên 20 1 1 2 0 2 2 0, 0. n n u a x x ds u a x x dsυ − ∂Ω − ∂Ω ∆ = ∆ − = ∂∆ = ∆ − =∂ ∫ ∫ - 26- Do đó các hàm 01( )u x và 0 2 ( )u x là các hàm điều hoà trong \ nR ∂Ω nếu a1 và a2 là các hàm thuộc lớp 0 ( )C ∂Ω . Như vậy các tích phân (2.4.10) và (2.4.11) xác định hai họ nghiệm của phương trình Laplace trong Ω . Cũng lý lụân như vậy ta nhận được thế vị Newton (2.4.9) là hàm điều hoà trong \nR Ω nếu 00 ( ) ( ).a x C∈ Ω Bây giờ giả thiết hàm 2 1( ) ( )h C C∈ Ω ∩ Ω thoả mãn phương trình 0u∆ = trong Ω . Khi đó nhờ công thức Green thứ hai (2.4.5) ta nhận được ( )h uu h ds h udxυ υ∂Ω Ω ∂ ∂− − = ∆∂ ∂∫ ∫ . Cộng đẳng thức này với (2.4.7) và đặt G h= Γ + ta nhận được biễu diễn Green tổng quát hơn ( ) ( ) .G uu y u G ds G udxυ υ∂Ω Ω ∂ ∂= − + ∆∂ ∂∫ ∫ Nếu bổ sung G = 0 trên ∂Ω thì ( ) .Gu y u ds G udxυ∂Ω Ω ∂= + ∆∂∫ ∫ (2.4.12) Hàm ( , )G G x y= như thế được gọi là hàm Green ( của bài toán Dirichlet) đối với miền Ω . Đôi khi nó còn được gọi là hàm Green loại một đối với Ω . Như vậy việc tồn tại được một hàm Green kéo theo khả năng biểu diễn được một hàm điều hoà bất kỳ thuộc 2 1( ) ( )C CΩ ∩ Ω qua các giá trị biên của nó. Tiểu kết: Ở chương này đã xây dựng xong phương pháp hàm Green làm cơ sở cho việc áp dụng nó để giải bài toán truyền nhiệt ở chương sau. Phương pháp hàm Green là phương pháp không giải trực tiếp phương trình vi phân mà tìm hàm Green thông qua việc giải phương trình khác. Rồi biễu diễn nghiệm cần tìm thông qua hàm Green. - 27- CHƯƠNG III: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM GREEN ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT 3.1 Thiết lập phương trình truyền nhiệt: Nhiệt truyền từ nơi có nhiệt độ cao sang nơi có nhiệt độ thấp theo ba cách: quá trình dẫn nhiệt, quá trình bức xạ nhiệt và quá trình đối lưu. Quá trình dẫn nhiệt bên trong vật là do sự chuyển động của các phân tử bên trong vật. Trong vật rắn, dòng nhiệt chuyển từ nơi có nhiệt độ cao (là nơi có một số lớn các phân tử chuyển động có vận tốc lớn hay động năng lớn) sang nơi có nhiệt độ thấp hơn ( là nơi có vận tốc và động năng các phân tử nhỏ hơn). Quá trình bức xạ nhiệt giữa hai vật xảy ra khi nhiệt truyền qua không gian từ vật nóng hơn sang vật lạnh hơn ( không tính đến nhiệt độ không gian giữa hai vật), đó chính là chuyển động nhiệt dưới dạng sóng. Một ví dụ là sự truyền nhiệt độ của Mặt Trời cho Trái Đất. Nhiệt truyền do đối lưu xảy ra do một số loại chuyển động nhiệt di chuyển từ nơi này sang nơi khác. Cường độ của dòng đối lưu xảy ra khi cánh quạt thổi dòng nhiệt từ nơi này sang nơi khác. Có một loại truyền nhiệt khác sinh ra do bay hơi hoặc ngưng tụ. Tất cả các quá trình truyền nhiệt này được nghiên cứu trong các môn học đại cương và chuyên đề về nhiệt. Trong chương này chủ yếu tập trung nghiên cứu quá trình truyền nhiệt trong vật dẫn. Chúng ta nhắc lại định lý Gauss thường dùng để chuyển tích phân mặt sang tích phân 3 lớp. Nếu ),,,( tzyxFF rr = là một trường vectơ liên tục, xác định mọi nơi bên trong thể tích V với bề mặt kín S bao quanh nó, thì theo định lý Gauss ∫∫∫ ∫∫= V S dnFdFdiv ,. στ rrr (3.1.1) trong đó: τd là yếu tố thể tích và σd là yếu tố diện tích bề mặt; nr là pháp tuyến ngoài của bề mặt có độ dài bằng đơn vị. Sử dụng định lý Gauss, định luật Fourier về quá trình truyền nhiệt và định luật bảo toàn năng lượng để xây dựng phương trình truyền nhiệt, theo định luật Fourier về quá trình truyền nhiệt. ,⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂−=∇−=−= k z uj y ui x ukukugradkq rrrr (3.1.2) trong đó: qr là lượng nhiệt truyền qua một đơn vị diện tích trong một đơn vị thời gian; k là hệ số dẫn nhiệt phụ thuộc vào tính chất của vật liệu khi nhiệt truyền qua; hàm ),,( zyxuu = biễu diễn nhiệt độ của vật. Bề mặt có nhiệt độ không đổi ),,( zyxu = const được gọi là mặt đẳng nhiệt. Ta thấy rằng, vectơ gradient trùng với pháp tuyến tại bất kỳ điểm nào trên bề mặt và hướng theo chiều tăng của nhiệt độ. Vì dòng nhiệt hướng từ nóng sang lạnh nên trong công thức (3.1.2) của định luật Fourier về quá trình truyền nhiệt lấy dấu trừ. Như vậy định luật Fourier về quá trình truyền nhiệt có thể được giải thích là dòng nhiệt truyền theo hướng tăng của nhiệt độ. Đại lượng vectơ qr được gọi là vectơ dòng nhiệt, bằng lượng nhiệt truyền qua một đơn vị diện tích. Sử dụng các đại lượng nhiệt sau: - 28- ),,( zyxcc = là nhiệt dung của vật rắn; ),,( zyxρρ = là mật độ khối lượng tính trên một đơn vị thể tích; ),,( zyxkk = là hệ số dẫn nhiệt của chất rắn; ),,,( tzyxqq rr = là dòng nhiệt truyền qua một đơn vị diện tích; ),,,( tzyxHH = là nguồn nhiệt tự sinh ra trên một đơn vị thể tích; ),,,( tzyxuu = là nhiệt độ tại mọi điểm của vật. Viết định luật bảo toàn năng lượng cho một miền tùy ý V với bề mặt kín S bao quanh. Gọi HS là lượng nhiệt thay đổi trong V với khoảng thời gian t∆ . Hc là lượng nhiệt đi qua bề mặt S trong khoảng thời gian t∆ . HG là lượng nhiệt sinh ra trong V trong khoảng thời gian t∆ . Định luật bảo toàn được viết dưới dạng 0=−+⇒+= SGCGCS HHHHHH (3.1.3) Lượng nhiệt có trong yếu tố thể tích τd của V và τρudc . HS là lượng nhiệt thay đổi trong V trong khoảng thời gian t∆ có dạng ∫∫∫∂∂= VS udctH .τρ (3.1.4) HC là lượng nhiệt đi qua bề mặt S trong thời gian )( ucρ , nói cách khác là thông lượng đi qua bề mặt S là ∫∫−= S C dnqH ,. σvv (3.1.5) trong đó dấu trừ để đổi dấu cho vectơ pháp tuyến ngoài có độ dài đơn vị là nv . Theo định lý Gauss, tích phân bề mặt được chuyển thành ∫∫∫−= V C dqdivH .τv (3.1.6) Nhiệt lượng sinh ra trong V được cho bởi ∫∫∫= V C HdH .τ (3.1.7) Kết quả từ các công thức (3.1.4), (3.1.6) và (3.1.7) cho phép viết định luật bảo toàn bởi phương trình τρ duc t Hqdiv V ∫∫∫ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧ ∂ ∂−+− )(r (3.1.8) Kết quả trên cho một thể tích V tùy ý và thời gian tùy ý t∆ , như vậy số hạng trong dấu ngoặc {} phải bằng không. Thay biểu thức của vectơ qr vào phương trình (3.1.2) biểu thị định luật Fourier của quá trình truyền nhiệt ta thu được phương trình truyền nhiệt trong vật dẫn - 29- ).()( uc t Hugradkdiv ρ∂ ∂=+ (3.1.9) Hoặc có thể viết dưới dạng mở rộng ).( uc t H z k zy k yx k x ρ∂ ∂=+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ (3.1.10) Trong trường hợp đặt biệt, nếu k là hằng số ta có .)()( 2 ukukukugradkdiv ∆=∇=∇∇= (3.1.11) ∆=∇ 2 được gọi là toán tử Laplace. Khi các hệ số đều là hằng số, có thể viết phương trình truyền nhiệt dưới dạng ,,,2 ρρ c HQ c kaQua t u ==+∆=∂ ∂ (3.1.12) hệ số a được gọi là độ khuếch tán của vật liệu. Nếu 0lim =∂ ∂ ∞→ t u t thì có thể nói nhiệt độ ở trạng thái dừng hay ổn định. Trong trường hợp trạng thái dừng 0=∂ ∂ t u , trong phương trình (3.1.12) nhiệt độ chỉ phụ thuộc vào các vị trí bên trong. Nếu không có nguồn nhiệt, tức là 0=Q , phương trình truyền nhiệt trở thành phương trình thuần nhất. Ta có thể lập bảng sau cho phương trình truyền nhiệt trong hệ tọa độ Đề- các. Các dạng khác nhau của phương trình truyền nhiệt trong hệ tọa độ Đề- các. Các trường hợp Dạng toán tử Dạng một chiều Tổng quát ( ) t ucHuk ∂ ∂=+∇∇ ρ t ucH x uk x ∂ ∂=+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ ρ Vật liệu đồng chất t u k c k Hu ∂ ∂=+∇ ρ2 t u k c k H x u ∂ ∂=+∂ ∂ ρ 2 2 Trạng thái dừng ( ) 0=+∇∇ Huk 0=+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ H x uk x Trạng thái dừng với vật liệu đồng chất 02 =+∇ k Hu 02 2 =+ k H dx ud - 30- Các điều kiện ban đầu và điều kiện biên cho phương trình truyền nhiệt Cho vật thể V với mặt S bao quanh, các điều kiện biên khác nhau có thể đặt trên mặt biên S như sau: 1. Điều kiện biên Dirichlet hay bài toán biên loại I đòi hỏi nhiệt độ được xác định trên biên của miền, mà tại đó phương trình truyền nhiệt giải được. Loại điều kiện biên này có dạng ),,,,(),,,( 1),,( tzyxftzyxu Szyx =∈ (3.1.13) trong đó 1f là nhiệt độ đã được xác định. 2. Điều kiện biên Neumann hay bài toán biên loại II đòi hỏi dòng nhiệt đi qua biên được xác định rõ trên biên của miền, mà tại đó phương trình truyền nhiệt giải được. Loại điều kiện biên này có dạng ( , , ) ( , , ) 2 ( , , ) ( , , , ) . ( , , , ) ,x y z S x y z S x y z S u x y z t gradu n f x y z t n ∈ ∈ ∈ ∂ = =∂ r (3.1.14) Trong đó 2f là dòng nhiệt đã được xác định. Đối với biên cách nhiệt thì . 0. Bien Bien u gradu n n ∂ = =∂ r (3.1.15) 3. Điều kiện biên Robin hay bài toán biên loại III đòi hỏi dòng nhiệt đi qua biên và nhiệ độ trao đổi với môi trường xung quanh được xác định rõ trên biên của miền, mà tại đó phương ttrình truyền nhiệt giải được. Loại điều kiện bhiên này có dạng ( , , ) 3 ( , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ,x y z S x y z S u x y z t hu x y z t f x y z t n ∈ ∈ ∂ + =∂ (3.1.16) Trong đó: h >0 là hằng số, 3f là dòng nhiệt đã được xác định. 4. Điều kiện biên hổn hợp là kết quả của các điều kiện biên loại I và II. 3.2 Bài toán biên phụ thuộc thời gian 3.2.1 Phương pháp tách biến Fourier cho bài toán truyền nhiệt Tìm sự phân bố nhiệt trong thanh hữu hạn trên đoạn [0, L] nằm dọc theo trục x. Biết hai đầu x = 0 và x = L được giữ ở nhiệt độ bằng không, phân bố nhiệt ban đầu của thanh là ( )f x . ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2( ) 0, 0 . 0, , 0; . ,0 u uL u a x L t x u t u L t u x f x ⎧ ∂ ∂= − = < <⎪ ∂ ∂⎪⎪ = =⎨⎪ =⎪⎪⎩ (3.2.1) - 31- đây là bài toán Dirichlet xác định nhiệt độ tại các đầu mút của thanh và f(x) là nhiệt độ phân bố lúc ban đầu. Dùng phương pháp tách biến. Nghiệm tìm được có dạng: ( ) ( ) ( )tTxXtxuu == , (3.2.2) thay (3.2.2) vào phương trình (3.2.1), ta được: ( ) ( ) ( ) ( )tTxXatTxX ′′=′ 2 tiếp tục, chia hai vế của phương trình cho ( ) ( )tTxXa2 , ta được: ( ) ( ) ( ) ( )xX xX tTa tT ′′=′2 trong đó, vế trái chỉ phụ thuộc vào t, còn vế phải chỉ phụ thuộc vào x, nghĩa là cho dù các biến số thay đổi, nhưng tỷ số luôn luôn bằng nhau. Điều đó chỉ xảy ra khi tỷ số này là một hằng số và được chọn là λ− , với Const=λ .Tức là: ( ) ( ) ( ) ( ) λ−= ′′=′ xX xX tTa tT 2 , ta nhận được hai phương trình vi phân sau: ( ) ( ) ( ) ;0,02 ≠=+′ tTtTatT λ (3.2.3) ( ) ( ) ( ) ;0,0 ≠=+′′ xXxXxX λ (3.2.4) Sử dụng điều kiện biên ban đầu (3.2.1) cho ta: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎩⎨ ⎧ == == 0, 00,0 tTLXtLu tTXtu do ( ) 0≠tT ( ) ( )⎩⎨ ⎧ = =⇒ 0 00 LX X (3.2.5) Xét phương trình (3.2.4): Nếu 0,0 <= λλ , ta có: u (x,t)=0 ( loại) Nếu 0>λ , đặt 2c=λ , ta có nghiệm không tầm thường: ( ) cxBcxAxX sincos += theo điều kiện ban đầu (3.2.5), ta có ( ) ( )⎩⎨ ⎧ == == 0sin 00 cLBLX AX 0B⇒ ≠ và phương trình tìm trị riêng: sincL=0 - 32- L nc π=⇒ Do đó, bài toán chỉ có nghiệm không tầm thường khi giá trị riêng: 2 2 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=== L ncn πλλ với: n=1,2,3….. Với mỗi trị riêng có một hàm riêng tương ứng được viết là: ( ) sinn nX x xL π= Xét phương trình (3.2.3): ( )2222 caca T T −=−=′ ( ) tcann eAtT tca A T AtcaT 22 22 22 ln lnln −=⇒ −=⇒ +−=⇒ với nA là hằng số tuỳ ý. Nghiệm riêng của phương trình truyền nhiệt (3.2.2) là: ( ) ( ) ( ) L xneAtTxXtxuu t L an nnnnn ππ sin, 2 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−=== (3.2.6) Nghiệm tổng quát là tổng của tất cả các nghiệm riêng ứng với các giá trị khả dĩ của n ( ) ( ) ∑∑ ∞ = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−∞ = == 11 sin,, 2 n t L an nn n L xneAtxutxu π π (3.2.7) Điều kiện ban đầu (3.2.1) cho ta xác định tuỳ ý nA . Ta có: ( ) ( ) ∑∞ = == 1 sin0, n n L xnAxfxu π (3.2.8) Theo lý thuyết chuỗi Fourier, có thể tìm được các hệ số nA là: ( ) ( ) dx L xnxf LX XfA L n n n πsin2, 0 2 ∫== (3.2.9) - 33- 3.2.2 Phương pháp hàm Green cho bài toán truyền nhiệt Tìm sự phân bố nhiệt trong thanh hữu hạn trên đoạn [0, l] nằm dọc theo trục x. Biết hai đầu x = 0 và x = l được giữ ở nhiệt độ bằng không, phân bố nhiệt ban đầu của thanh là ( )xϕ và trong thanh có nguồn nhiệt Q (x, t) Giải: 2 2 2 ( , ) 0 (0, ) 0, ( , ) 0 (3.2.10) ( ,0) ( ) u ua Q x t x l t x u t u l t u x xϕ ⎧∂ ∂= + < <⎪ ∂ ∂⎪⎪ = =⎨⎪ =⎪⎪⎩ Áp dụng phương pháp mở rộng hàm riêng ta chọn nghiệm có dạng ∑ ∑ ∞ = ∞ = = = 1 1 sin)(),( sin)(),( n n n n l xntqtxQ l xntutxu π π Thay vào phương trình (3.2.10), tìm nghiệm: Phương trình truyền nhiệt )()( )( 2 tqtu l an dt tdu nn n =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+ π . Nghiệm có dạng : ∫ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛− += t t l an n t l ant l an nn deqeeutu 0 222 )()0()( ττ πππ Dựa vào điều kiện ban đầu tìm hàm un(0) ∫ ∑ =⇒ = ∞ = l n n n d l n l u l xnux 0 1 sin)(2)0( sin)0()( ξπξξϕ πϕ ∑∞ = = 1 sin)(),( n n l xntqtxQ π ∫=⇒ l n dl nQ l tq 0 sin),(2)( ξπξτξ Cuối cùng ta thu được - 34- ∑ ∫∞ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛− ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= 1 0 2 sin)(2),( t l anl ed l n l txu π ξπξξϕ l xnded l nQ l e t t l anlt l an πτξπξτξ ππ sinsin),(2 0 0 22 ⎥⎥⎦ ⎤ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛+ ∫ ∫ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛− Đổi thứ tự giữa tổng và tích phân ta thu được ξτππξτξ ξππξξϕ τπ π dde l xn l n l Q de l xn l n l txu n t l anl t n t l anl ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + +⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ = ∑∫ ∫ ∑∫ ∞ = −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛− ∞ = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛− 1 )( 0 0 10 2 2 sinsin2),( sinsin2)(),( Hàm Green có dạng: ∑∞ = −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−= 1 )( 2 sinsin2),;,( n t l an e l xn l n l txG τπππξτξ Nghiệm của phương trình (3.3.1) có thể viết dưới dạng 0 0 0 ( , ) ( ) ( , , ,0) ( , ) ( , , ,0) . t l t u x t G x t d Q G x t d dϕ ξ ξ ξ ξ τ ξ τ ξ= +∫ ∫ ∫ Như vậy chúng ta đã tìm được sự phân bố nhiệt trên thanh, nghiệm này được biễu diễn thông qua hàm Green. Phương pháp tìm nghiệm được trình bày ở trên là phương pháp hàm Green. Ta nhận thấy phương pháp này có phần đơn giản vì không trực tiếp giải phương trình vi phân không thuần nhất. Đối với bài toán này, để tìm sự phân bố nhiệt độ trong thanh bằng phương pháp tách biến Fourier ta phải đi giải phương trình vi phân không thuần nhất dạng: 2 2 2 ( , ) u ua Q x t t x ∂ ∂= +∂ ∂ . Nghiệm của phương trình này là u(x, t) chính là sự phân bố nhiệt độ trong thanh. Để giải được phương trình đó phải qua nhiều bước: - Dùng phương pháp tách biến tìm nghiệm của phương trình thuần nhất ở dạng u(x,t) = X(x).T(t). Thay nghiệm này vào phương trình thuần nhất một chiều từ đó di đến việc giải các phương trình vi phân. - Sử dụng các điều kiện biên để suy ra dạng của nghiệm u(x,t) của phương trình thuần nhất. - Cho nghiệm u(x,t) của phương trình thuần nhất thoả mãn điều kiện ban đầu, kết hợp với việc áp dụng chuỗi Fourier khai triển hàm 1( , ) ( , )Q x t q x t cρ= - 35- - Thay vào phương trình truyền nhiệt không thuần nhất, từ đó mới suy ra nghiệm cần tìm u(x,t). Như vậy phương pháp hàm green giúp chúng ta giải bài toán này đơn giản hơn, ngắn gọn hơn. 3.2.3 Bài toán truyền nhiệt trong miền tròn Xác định sự phân bố nhiệt độ trong miền tròn bàn kính R, tâm O. Miền tròn D có biên Γ . Giải: Ở đây chúng tôi sẽ giải bài toán này bằng hai phương pháp: tách biến Fourier và phương pháp hàm Green. Cách 1: Phương pháp tách biến Fourier: Giả sử hình tròn bán kính R với tâm tại cực O của hệ toạ độ cực. Ta tìm hàm ( , )u r θ điều hoà trong hình tròn, và trên vòng tròn của nó thoả mãn điều kiện ( ) r R u f θ= = trong đó ( )f θ là hàm cho trước, liên tục trên vòng tròn. Hàm cần tìm phải thỏa mãn trong hình tròn phương trình Laplaxơ. 2 2 2 2 2 0 u u ur r r r θ ∂ ∂ ∂+ + =∂ ∂ ∂ (3.2.11) Giả sử nghiệm riêng được tìm dưới dạng: ( ) ( ).u Q r T θ= Khi đó ta được: 2 // / //. ( ). ( ) ( ). ( ) ( ). ( ) 0r Q r T rQ r T Q r Tθ θ θ+ + = Tách biến: // 2 // /( ) ( ) ( ) ( ) ( ) T r Q r rQ r T Q r θ θ += − Cho mỗi vế của đẳng thức nhận được bằng hằng số 2k− , ta có hai phương trình vi phân thường // 2 2 // / 2 ( ) ( ) 0, ( ) ( ) ( ) 0. T k T r Q r rQ r k Q r θ θ+ = + − = Từ đó, khi 0k = ta nhận được ( ) (3.2.12) ( ) ln . (3.2.13) T A B Q r C D r θ θ= + = + Nếu 0k > , thì ( ) cos sin ,T A k B kθ θ θ= + (3.2.14) Còn nghiệm phương trình thứ hai sẽ tìm dưới dạng ( ) ,mQ r r= và được 2 2 1 2( 1) 0,m m mr m m r rmr k r− −− + − = hay 2 2( ) 0,mr m k− = tức là .m k= ± Do đó - 36- ( ) .k kQ r Cr Dr−= + (3.2.15) Nhận xét rằng ( , )u r θ như là hàm của θ là hàm tuần hoàn chu kỳ 2π , vì đối với hàm đơn trị các đại lượng ( , )u r θ và ( , 2 )u r θ π+ trùng nhau. Bởi vậy , từ (3.2.12) suy ra B=0, còn trong (3.2.14) k có thể nhận một trong các giá trị 1, 2, 3,…( 0k > ). Tiếp theo, trong các đẳng thức (3.2.13) và (3.2.15) phải cho D=0, nếu không hàm số sẽ gián đoạn tại điểm r =0 và do đó không điều hoà trong hình tròn. Vậy ta nhận được vô số nghiệm riêng của phương trình (3.2.11), liên tục trong hình tròn. Chúng có thể viết dưới dạng: 0 0 ( , ) ,2 ( , ) ( cos sin ) ( 1,2,...)nn n n A u r u r A n B n r n θ θ θ θ = = + = Bây giờ ta lập hàm 0 1 ( , ) ( cos sin ) 2 n n n n A u r A n B n rθ θ θ∞ = = + +∑ Do tính tuyến tính và thuần nhất của phương trình Laplaxơ, hàm này cũng là nghiệm của nó. Ta còn xác định A0, An, Bn để hàm đó thoả mãn điều kiện ( ) r R u f θ= = Tức là 0 1 ( ) ( cos sin ) 2 n n n n A f A n B n rθ θ θ∞ = = + +∑ Ở đây ta khai triển hàm ( )f θ thành chuổi Fourier trong đoạn [ ],π π− . Theo công thức đã biết ta có: 0 1 1( ) , ( )cos , 1 ( )sin . n n n n A f d A f n d R B f n d R π π π π π π τ τ τ τ τπ π τ τ τπ − − − = = = ∫ ∫ ∫ Như vậy 1 1 1( , ) ( ). .cos ( ) . 2 n n ru r f n d R π π θ τ τ θ τπ ∞ =− ⎡ ⎤⎛ ⎞= + −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦∑∫ Đặt 1 , ,t R ρ τ θ= − = và biểu diễn biểu thức trong ngoặc vuông dưới dạng - 37- 1 0 1 1cos cos . 2 2 n n n n nt ntρ ρ∞ ∞ = = + = −∑ ∑ Xét chuổi ( ) 0 0 0 cos sin n it n n n n n e nt i ntρ ρ ρ∞ ∞ ∞ = = = = +∑ ∑ ∑ Chuổi này hội tụkhi 1ρ < và tổng của nó bằng 2 1 1 1 cos sin . 1 1 cos sin 1 2 cosit t i t e t i t t ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ − += =− − − − + Do đó 2 2 2 0 1 1 cos 1 1cos 2 1 2 cos 2 2(1 2 cos ) n n tnt t t ρ ρρ ρ ρ ρ ρ ∞ = − −− = − =− + − +∑ . Hay trở về ký hiệu cũ ta được: 2 2 2 2 1( , ) ( ). . 2 2 cos( ) R ru r f d R Rr r π π θ τ τπ τ θ− −= − − +∫ Ta tìm được nghiệm ( , )u r θ là sự phân bố nhiệt độ trong miền tròn thoả mãn điều kiện bài toán. Cách 2: Dùng phương pháp hàm Green: Ta cần tìm hàm u thoả mãn phương trình 0u∆ = trên miền D có biên Γ . O, R là tâm, bán kính của Γ . Hàm u thoã mãn điều kiện biên ( ) ( , )u f x yΓ = vì ( , ) 0,u g x y∆ = = nên áp dụng công thức Green cho u tại điểm M0, ta được: 0 ( ) ( ) ( , ) Gu M f x y ds nΓ ∂= − ∂∫ Ta chọn / 1 1ln 2 v rπ= − thì 0v∆ = và ( )/( ) / 1 1ln 2 1 1 1(ln ln ) 2 v r G n n r r π π ΓΓ = − ∂ ∂= −∂ ∂ Ta tính được / / 1 1(ln ) cos( , ) 1 1(ln ) cos( , ) r n n r r r n n r r ∂⎧ = −⎪⎪∂⎨ ∂⎪ = −⎪∂⎩ r r r r o R M0 ρ ( )Γ - 38- Mặt khác: 2 2 2 cos( , ) , 2 R rr n Rr ρ+ −=r r với 0OMρ = 2 2 2 /cos( , ) 2 r Rr n r ρ ρ + −=r r Vậy 2 2 2 ( ) 1 ( ) 2 G R n Rr ρ πΓ ∂ −=∂ Để xác định u tại điểm M0 trên miền tròn, ta có công thức 2 2 0 2 ( ) 1 )( ) ( , ) 2 Ru M f x y ds R r ρ π Γ ⎛ ⎞−= ⎜ ⎟⎝ ⎠∫ Với toạ độ cực, ta có: 0 2 2 2 ( , ), ( , ) 2 cos( ) M M R r R R ds Rd ρ ϕ θ ρ ρ θ ϕ θ = + − − = Do đó trong toạ độ cực, ta có 2 2 2 2 2 0 1( , ) ( ) 2 2 cos( ) Ru f d R R π ρρ ϕ θ θπ ρ θ ϕ ρ −= − − +∫ Cả hai phương pháp trên chúng ta đều đi đến cùng một kết quả, tìm được sự phân bố nhiệt độ trong miền tròn là như nhau. Nhưng ta nhận thấy đối với bài toán truyền nhiệt trên miền tròn thì giải bằng phương pháp hàm Green là đơn giản, tìm được nghiệm hiệu quả hơn, nhanh hơn. 3.3 Bài toán biên truyền nhiệt dừng Bài toán: Tìm sự phân bố nhiệt độ ở trạng thái dừng trong thanh hữu hạn trên đoạn [0,L].Thanh có nguồn nhiệt Q(x,t) = Q(x). Các điều kiện biên có dạng: u(0) = 0,u(L) = 0 Giải: Ở trạng thái dừng, ta có ( , ) ( ); 0uQ x t Q x t ∂= =∂ Và 2 2 2 ( ) u ua Q x t x ∂ ∂= +∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 0 ( ); ( )( ) ( ) ua Q x x Q x d uf x f x a dx ∂⇔ = +∂ = − ⇒ = - 39- (0) 0; ( ) 0u u L= = Ta sử dụng phương pháp biến thiên tham số cho phương trình 2 2 ( ) d u f x dx = bằng cách xét bài toán không thuần nhất tổng quát ( ) ( )L u f x= . Trong đó toán tử L có dạng: .d duL p q dx dx ⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠ ta đang xét bài toán truyền nhiệt dừng nên p =1, q = 0, ta có hai nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng là 1 và x. Nếu chọn: 1 2; ,u x u L x= = − vì 1,p c L= = − nên thu được: 1 1 0 2 2 0 1( ) ( )( ) , 1( ) ( ) . x x v x f L d c L v x f d c L ξ ξ ξ ξ ξ ξ = − + = − + ∫ ∫ Đây là hai công thức cần thiết trong phương pháp biến thiên hằng số 1 1 2 2( )u u v u v= + . Từ điều kiện biên suy ra: 1 1 2 2 2 1 0 ( ); (0) 0 0 ; ( ) 0 0 ( )( ) . L u u v u v u c L u L f L d c Lξ ξ ξ = + = → = = → = − +∫ Nghiệm của bài toán biên không thuần nhất là ( ) ( )( ) ( ) , L L x o x L xu x f L d f d L L ξ ξ ξ ξ ξ ξ−= − − −∫ ∫ Hay ( ) ( ) ( , ) , L o u x f G x dξ ξ ξ= ∫ Trong đó ( ) ( , ) ( ) x L x LG x L x x L ξ ξ ξ ξ ξ −⎧− ⎪⎩ Ta nhận thấy tính đối xứng của hàm Green ( , ) ( , ).G x G xξ ξ= - 40- Bài toán: Xét phân bố dừng của nhiệt độ trong quả cầu đồng nhất bán kính q với điều kiện nữa trên được giữ ở nhiệt độ không, nữa dưới ở nhiệt độ 1. Giải: Bài toán này ta phải giải phương trình Laplaxơ với điều kiện biên: 0 0 2( , ) 1 2 khi f khi πθ θ ϕ π θ π ⎧ < <⎪⎪= ⎨⎪ < <⎪⎩ Trước hết ta cần đưa ra hàm Green Ta xét vùng V là quả cầu bán kính q, tâm ở góc toạ độ, P0 là một điểm bất kỳ trong đó. Bao quanh V là mặt cầu S0. Kí hiệu V0 là phần của vùng V nằm ngoài S0. Do đó V0 được giới hạn bởi hai mặt S và S0. Công thức Green đối với vùng v0 là: 0 0 ) V S S u v u vv u u v dV v u dS v u dS n n n n ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∆ − ∆ = − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ ∫ (3.3.1) Trong công thức này ta xem u là nghiệm của bài toàn Đirichlet, còn v được chọn là hàm Green G(P) xác định như sau: 0 1( ) ( ) P P G P H p r = + Trong đó 0P P r là khoảng cách giữa P0 và một điểm biến thiên P(x, y, z), H(P) là một hàm thoã mãn phương trình Laplaxơ trong vùng V và nhận giá trị 0 1 P Mr − đối với các điểm M của mặt S 0 1( ) P M H M r = − Do đó 0 1( ) ( ) 0 P M G M H M r = + = Bây giờ ta lấy điểm *0P nằm trên một tia đi từ góc toạ độ, qua điểm P0, sao cho * 20 0r r q= trong đó 2 2 2 *0 0 0 0 0,r x y z r= + + là khoảng cách từ *0P đến tâm quả cầu. Vậy ta có 2 2 2 * 0 0 0 02 2 2 0 0 0 , ,q q qP x y z r r r ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ P0 M O - 41- * 0P nằm ngoài quả cầu( bởi vì r0 < q, nên 2 * 0 0 qr q r = > ). Các điểm P0 và *0P là đối xứng đối với mặt cầu S, giới hạn quả cầu V. M là một điểm bất kỳ trên mặt S, ta chứng minh tỉ số các khoảng cách từ M đến P0 và *0P là một đại lượng không đổi, không phụ thuộc vào M. Nếu kí hiệu P0M và * 0P M qua *0P M r và 0P Mr , ta có * 0 0 rq r q = Từ đó ta rút ra * 0 0 0 P M P M r q const r r = = (3.3.2) Ta chọn hàm Green cho quả cầu V là hàm * 0 0 0 1 1( ) P P P P qG P r r r = − Ta chỉ cần kiểm nghiệm lại là * 0 0 1( ) P P qH P r r = − Thoả mãn phương trình Laplaxơ trong quả cầu V và 0 1 S P M H r = − Vì *0P nằm ngoài quả cầu V, nghĩa là H(P) được xác định ở tất cả các điểm bên trong V và do đó * 0 1 0 P P r ⎛ ⎞⎜ ⎟∆ =⎜ ⎟⎝ ⎠ Mặt khác: * 00 0 1 1( ) S P MP M qH H M r r r = = − = − Đạo hàm theo pháp tuyến ngoài G n ∂ ∂ trên mặt cầu S. Bởi vì đạo hàm theo pháp tuyến ngoài ở điểm M của mặt cầu S trùng với đạo hàm theo phương bán kính; z P0 P O θ γ 0θ - 42- 2 2 2 S r q G G n r r x y z = ∂ ∂=∂ ∂ = + + Nên ta chuyển sang toạ độ cầu. Giả sử toạ độ cầu của điểm P là , , ;r θ ϕ của điểm P0 là 0 0 0, , ;r θ ϕ khi đó *0P sẽ có toạ độ cầu là 2 0 0 0 , ,q r θ ϕ . Các vectơ đơn vị theo các phương OP r và 0OP r là: sin cos sin sin cosi j kθ ϕ θ ϕ θ+ + rr r Và 0 0 0 0 0sin cos sin sin cosi j kθ ϕ θ ϕ θ+ + rr r nên ta có thể tìm góc γ giữa 0OP va OP r r qua tích vô hướng của hai vectơ đơn vị 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0) cos sin sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin sin (cos cos sin sin ) cos cos cos cos sin sin cos( γ θ θ ϕ ϕ θ θ ϕ ϕ θ θ θ θ ϕ ϕ ϕ ϕ θ θ θ θ θ θ ϕ ϕ = + + = + + = + − (3.3.3) Từ công thức 0 2 2 0 02 cosP Pr r r rr γ= + − ta rút ra 0 0 0 3 cos1 P P P P r r r r r γ⎛ ⎞ −∂ = −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠ Và 0 0 0 0 3 2 2 3 0 0 cos cos1 ( 2 cos )P P P P r q q r q r r r r q r qr γ γ γ= ⎛ ⎞ − −∂ = − = −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ + −⎝ ⎠ Nếu thay thế 0r cho 2 0 q r , ta tìm được * 0 2 0 4 2 2 3 2 0 0 2 0 0 2 2 2 3 0 0 cos 1 ( 2 cos ) cos ( 2 cos ) P P r q qq r r r q qq q r r r r q q q r qr γ γ γ γ = −⎛ ⎞∂ ⎜ ⎟ = − =⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠ + − −= − + − Từ công thức Green v đối với vùng V0, ta tìm được 0 1 1( ) ( ) 4 S Gu P f M ds nπ ∂= − ∂∫ Đối với quả cầu có tâm ở góc toạ độ, ta có - 43- 2 2 0 0 12 2 2 3 0 0 1( ) ( ) 4 ( 2 cos )S q r u P f M dS q q r qrπ γ −= + −∫ Hay 2 2 2 0 0 2 2 3 0 0 0 0 ( ) ( , )sin 4 ( 2 cos ) q rqu P f d d q r qr π π θ ϕ θ θ ϕπ γ −= + −∫ ∫ (3.3.4) Trong đó hàm 1( )f M là hàm của các toạ độ cầu vaθ ϕ trên mặt S giới hạn bởi quả cầu V kí hiệu là 2( , ), sin ,f dS q d dθ ϕ θ θ ϕ= còn cosγ được tính bằng (3.3.3). Sử dụng các điều kiện biên 0 0 2( , ) 1 2 khi f khi πθ θ ϕ π θ π ⎧ < <⎪⎪= ⎨⎪ < <⎪⎩ ta được 2 2 2 0 0 2 2 3 0 0 0 2 ( ) sin 4 ( 2 cos ) q rqu P d d q r qr π π π θ θ ϕπ γ −= + −∫ ∫ Ta tìm phân bố nhiệt độ trên bán kính với 0 0θ = và 0θ π= . Khi 0 0, cos cosθ γ θ= = và 2 2 2 0 0 2 2 3 0 0 0 2 2 2 0 2 2 0 0 0 2 2 2 0 2 2 0 00 ( ) sin 4 ( 2 cos ) 2 2 cos 1 1 1 2 q rqu P d d q r qr q rq qr q r qr q r r q rq r π π π θ π πθ θ θ ϕπ θ θ = = −= + − ⎡ ⎤−⎢ ⎥= −⎢ ⎥+ −⎣ ⎦ ⎛ ⎞− ⎜ ⎟= −⎜ ⎟+−⎝ ⎠ ∫ ∫ (3.3.5) Còn khi 0 , cos cosθ π γ θ= = và 2 2 0 0 2 2 0 0 0 1 1 1( ) 2 q r u P r q r q r ⎛ ⎞− ⎜ ⎟= −⎜ ⎟− +⎝ ⎠ (3.3.6) Cả hai công thức này khi 0 0r → cho ta nhiệt độ ở tâm quả cầu. - 44- 00 0 1( ) 2r u P = = ta tìm được nhiệt độ của nó ở giữa bán kính thẳng đứng phía trên ( 0 1 2 r q= trong công thức (3.3.5) và phía dưới ( 0 1 2 r q= trong công thức (3.3.6)) 0 0 0 1 2 0 1 2 3 1 1 3( ) 1 2 22 5 2 5 3 3 1 3( ) 1 2 22 5 2 5 r qtren r qduoi u P u P = = ⎛ ⎞= − = − −⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎛ ⎞= − = + −⎜ ⎟⎝ ⎠ Tiểu kết: Ở chương này chúng tôi đã áp dụng phương pháp hàm Green để giải một số bài toán truyền nhiệt. Qua đó cho thấy khi sử dụng phương pháp hàm Green thì việc giải các bài toán này là đơn giản và tìm được nghiệm nhanh hơn. - 45- PHẦN III: KẾT LUẬN Chương I đã trình bày các cơ sở toán học cơ bản, cần thiết cho việc xây dựng phương pháp hàm Green như: Bài toán biên để sử dụng cho phương trình toán lý, khái niệm toán tử, hàm riêng, trị riêng để ứng dụng vào các chuỗi, một số phương pháp như phương pháp tách biến, phương pháp biến thiên tham số. Từ đó ở chương II tiến hành xây dựng phương pháp hàm Green. Để xây dựng phương pháp hàm Green chúng tôi đã đi từ phương trình truyền nhiệt tổng quát có nguồn nhiệt, điều kiện biên thuần nhất: 2 2 2 ( , ) 0 (0, ) 0, ( , ) 0 ( ,0) ( ) u ua Q x t x l t x u t u l t u x xϕ ⎧∂ ∂= + < <⎪ ∂ ∂⎪⎪ = =⎨⎪ =⎪⎪⎩ và tìm được hàm Green có dạng ∑∞ = −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−= 1 )( 2 sinsin2),;,( n t l an e l xn l n l txG τπππξτξ Tuy nhiên đối với mỗi bài toán truyền nhiệt cụ thể thì hàm Green sẽ có biểu thức cụ thể khác nhau. Vậy kết thúc chương II ta đã xây dựng xong phương pháp hàm Green và nêu lên được tính chất của hàm Green. Trên cơ sở đó, ở chương III chúng tôi đã áp dụng phương pháp hàm Green để giải một số bài toán truyền nhiệt, bên cạnh đó chúng tôi cũng đã trình bày cách giải các bài toán này bằng phương pháp khác để so sánh và thấy được rằng dùng phương pháp hàm Green thì việc giải các bài toán này là đơn giản và tìm được nghiệm nhanh hơn. Do đặc trưng của mỗi bài tập phương trình truyền nhiệt là khá dài nên trong giới hạn của đề tài, chúng tôi chưa đưa ra được nhiều bài tập. Phương pháp toán lý là một học phần rất quan trọng trong chương trình đào tạo giáo viên trung học phổ thông. Học tốt học phần này người học sẽ có những bước đi vững chắc khi học các học phần tiếp theo như: cơ học lượng tử, điện động lực,…Khoá luận này đã bổ sung một phương pháp giải hiệu quả cho bài toán truyền nhiệt trong học phần phương pháp toán lý, từ đó giúp sinh viên học tốt hơn học phần này. Hiện tại khoá luận chỉ dừng lại ở việc sử dụng phương pháp hàm Green để giải một số bài toán truyền nhiệt. Đây là một loại bài tập cơ bản trong học phần phương pháp toán lý. Nếu có thể thì trong tương lai, khoá luận sẽ không dừng lại ở một số bài mà mở rộng ra cho tất cả các dạng phương trình truyền nhiệt. Nếu tiến xa hơn nữa thì áp dụng phương pháp hàm Green để tìm nghiệm của phương trình truyền sóng. Hy vọng khoá luận sẽ được phổ biến và là tài liệu tham khảo hữu ích cho các bạn sinh viên ngành sư phạm vật lý khi học đến học phần phương pháp toán lý. - 46- PHỤ LỤC 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG : Phương trình đạo hàm riêng là một phương trình chứa hàm cần tìm của hai hoặc nhiều biến với các đạo hàm riêng theo các biến này. Cấp của phương trình đạo hàm riêng là cấp cao nhất của đạo hàm có mặt trong phương trình. Thí dụ: 2 2u x y x y ∂ = −∂ ∂ là phương trình đạo hàm riêng cấp hai. Nghiệm của phương trình đạo hàm riêng là một hàm, nó thỏa mãn đồng nhất phương trình Nghiệm tổng quát là nghiệm có chứa số hàm tùy ý độc lập bằng số cấp của phương trình (khác với phương trình vi phân thường, nó có nghiệm phụ thuộc vào hằng số) Nghiệm riêng là một nghiệm có thể nhận được từ nghiệm tổng quát bằng cách chọn thích hợp hàm tùy ý Thí dụ: bằng cách thế vào phương trình ta thấy: 2 21( , ) +F(x)+G(y) 2 u x y x y xy= − là nghiệm của PTDHR trong thí dụ trên. Nó chứa hai hàm độc lập tùy ý F(x) và G(y), vậy nó là nghiệm tổng quát. Trường hợp riêng 2 5F(x)=sin x; G(y)=2y +3 ta được một nghiệm riêng: 2 2 2 51( , ) +sin x+2y +3 2 u x y x y xy= − Nghiệm đặc biệt là nghiệm không thể nhận được từ nghiệm tổng quát bằng cách chọn thích hợp hàm tùy ý. Bài toán biên của phương trình đạo hàm riêng là bài toán tìm kiếm các nghiệm của phương trình trong miền xác định nào đấy thỏa mãn các điều kiện trên biên của miền, gọi là bài toán biên. Định lý liên quan đến tồn tại và duy nhất nghiệm như vậy của bài toán gọi là định lý tồn tại và duy nhất. Ở đây ta chỉ xét các phương trình đạo hàm tuyến tính cấp hai. Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai của hàm hai biến u(x,y) có dạng: 2 2 2 2 2 A u u u u uB C D E Fu G x x y y x y ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (1.1) trong đó A, B, …., G có thể là hàm của x,y nhưng không phụ thuộc u . Phương trình cấp hai của hàm hai biến không có dạng nêu trên thì ta gọi là hàm phi tuyến. Nếu G = 0, phương trình gọi là thuần nhất, nếu G≠ 0 thì ta gọi là phương trình không thuần nhất. Điều này có thể tổng quát hóa cho phương trình cấp cao hơn. Tùy thuộc vào dấu của 2 4B AC− ta phân loại phương trình đạo hàm riêng : - 47- 2 4B AC− >0 – phương trình loại Hyperbolic 2 4B AC− <0 – phương trình loại Eliptic. 2 4B AC− =0 – phương trình loại parabolic - 48- PHỤ LỤC 2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI: Xét phương trình vi phân tuyến tính cấp hai dạng 1 1 2 2( ) ( ) .... ( )c n ny C y x C y x C y x= + + + Giả sử { }1 2y (x),y (x) là tập nghiệm cơ bản của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp hai: 2 0 1 22( ) ( ) ( ) ( ) 0 d y dyL y a x a x a x y dxdx = + + = Suy ra nghiệm tổng quát có dạng : 1 1 2 2( ) ( )= +cy C y x C y x (2.1) trong đó: 1 2,C C là các hằng số tuỳ ý. Dùng phương pháp biến thiên hằng số tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân không thuần nhất: 2 0 1 22( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d y dyL y a x a x a x y F x dxdx = + + = (2.2) có dạng : 1 2( ) ( ) ( ) ( )cy u x y x v x y x= + trong đó: ( ), ( )u x v x là các hàm thay thế hằng số 1 2,C C trong (2.1) Các hàm u ,v cần tìm thoả mãn hệ phương trình : 1 2 ' ' 1 2 0 0 '( )y (x)+ '( )y (x)=0 F(x)'( )y (x)+ '( )y (x)= ( ) 0 ( ) u x v x u x v x a x a x ⎧⎪⎨ ≠⎪⎩ (2.3) Dùng qui tắc Cramer giải hệ phương trình (2.3) đối với ', 'u v ta được: Các phương trình (2.3) sau khi tích phân sẽ thu được các hàm ( ), ( )u x v x : 2 0 1 0 y ( )F( )( ) ( ) ( ) y ( )F( )( ) ( ) ( ) x x u u x d a W v v x d a W α α ξ ξ ξξ ξ ξ ξ ξξ ξ = = − = = ∫ ∫ (2.4) trong đó α là hằng số nào đó và 1 2 ' ' 1 2 y (x) y (x) ( ) y (x) y (x) w x = là định thức Wronskian. Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là : - 49- [ ]2 1 1 2 1 1 2 2 y (x)y ( )-y (x)y ( ) F( ) y (x)+ y (x)+ ( ) ( ) x c py y y C C dp Wα ξ ξ ξ ξξ ξ= + = ∫ (2.5) Một trong những phương trình vi phân cấp hai có cách giải đơn giản là 2 2 0 d F F dx λ+ = (2.6) Phương trình này xuất hiện do việc nghiên cứu nhiều phương trình vi phân đạo hàm riêng trong toạ độ Đế các (Descartesian) đối với các hiện tượng vật lý và kỹ thuật. Phương trình vi phân (2.6) chứa tham số λ , vì thế ta sẽ xét 3 trường hợp của tham số: âm, dương và bằng không . 1 Trường hợp 1: 2λ ω= − ( 0ω > ) Phương trình vi phân có dạng: 2 2 2 0 d F F dx ω− = (2.7) là phương trình vi phân cấp hai với hệ số hằng số, vì thế người ta có thể giả thiết nó có một nghiệm mũ mxF e= ; ta có phương trình đặc trưng là 2 2 0m ω− = với nghiệm đặc trưng m m ω ω =⎧⎨ = −⎩ và tập nghiệm cơ bản là { },x xe eω ω− . Nếu biết được tập nghiệm cơ bản của các nghiệm, có thể tạo nên một tổ hợp tuyến tính của các nghiệm này và sinh ra một tập hợp vô hạn các nghiệm khác. 1 2( ) x xF x C e C eω ω−= + trong đó 1 2,C C là các hằng số tuỳ ý, nó phụ thuộc vào các điều kiện bổ sung là điều kiện ban đầu hoặc điều kiện biên. 2 Trường hợp 2: 0λ = Nghiệm phương trình vi phân 2 2 0 d F dx = có các dạng sau: 1 2 1 2 0 ( ) ( ) ( ) F x C C x F x K K x x = + = + − 3 Trường hợp 3: 2 ( 0)λ ω ω= > Phương trình vi phân 2 2 2 0 d F F dx ω+ = là phương trình vi phân cấp hai với hệ số hằng số, vì thế có thể giả thiết nó có một nghiệm mũ mxF e= , ta có phương trình đặc trưng 2 2 0m ω+ = với các nghiệm đặc trưng: m i m i ω ω =⎧⎨ = −⎩ và tập nghiệm cơ bản là - 50- { },i x i xe eω ω− . Nếu biết được tập nghiệm cơ bản có thể tạo nên một tổ hợp tuyến tính của các nghiệm này và sinh ra một tập hợp vô hạn các nghiệm khác 1 2( ) i x i xF x C e C eω ω−= + trong đó: 1 2,C C là các hằng số tuỳ ý, nó phụ thuộc vào các điều kiện bổ sung là điều kiện ban đầu hoặc điều kiện biên. - 51- TÀI LIỆU THAM KHẢO Đỗ Đình Thanh. 2002. Phương Pháp Toán Lý. NXB Giáo Dục. Đỗ Đình Thanh .1996. Phương Pháp Toán Lý. NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội. Đỗ Đình Thanh. 2002. Phương Pháp Toán Lý. NXB Giáo Dục. Đỗ Đình Thanh. 2002. Phương Trình Đạo Hàm Riêng Trong Vật Lý. NXB Đại Học Quốc Gia TPHCM Đỗ Văn Thông. 2003. Phương Pháp Nghiên Cứu Khoa Học. ĐHAG. Hồ Xuân Huy. 2005. Phương Pháp Toán Lý. ĐHAG. Lê Đình Thịnh- Lê Trọng Vinh. 1994. Bài tập Toán Học cao Cấp. NXB Giáo Dục. Lê Công Triêm. 2005. Phân Tích Chương Trình Vật Lý Phổ Thông. ĐHAG. Nguyễn Mạnh Hùng. 2007. Phương Trình Đạo Hàm Riêng. NXB Đại Học Sư Phạm. Nguyễn Ngọc Giao. 2003. Phép Tính Toán Tử. NXB Đại Học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh. Nguyễn Văn Hạp. 1999. Giáo Trình Phương Trình Vi Phân Và Phương Trình Đạo Hàm Riêng. NXB Đại Học Huế. Phan Huy Thiện 2006. Phương Trình Toán Lý. NXB Giáo Dục. Trần Thể. 2005. Lý Luận Vật Lý Phổ Thông. ĐHAG. Trần Thể. 2005. Bài Tập Vật Lý Phổ Thông, ĐHAG.