Khóa luận Nhón Lie các phép biến đổi một tham số

Mục lục Mục lục 1 Lời cảm ơn 3 Lời mở đầu 4 1 Kiến thức chuẩn bị 6 1.1 Nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số . . . . . . . . . . 9 1.2.1 Nhóm các phép biến đổi . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2 Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số . . . . . . 10 1.2.3 Biến đổi vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.4 Định lý Lie cơ bản thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.5 Toán tử sinh vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2.6 Hàm bất biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.3 Nhóm Lie các phép biến đổi hai tham số . . . . . . . . . . . 24 1.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.3.2 Toán tử sinh vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.3.3 Đại số Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.3.4 Đại số Lie giải được . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1 www.VNMATH.com Mục lục 2 2 ứng dụng tính đối xứng vào việc giải phương trình vi phân 37 2.1 ứng dụng nhóm Lie một tham số vào giải phương trình vi phân cấp I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.1.1 Hệ toạ độ chính tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.1.2 ứng dụng nhóm Lie các phép biến đổi một tham số vào giải phương trình vi phân cấp I . . . . . . . . . . 40 2.2 ứng dụng Đại số Lie để giải phương trình vi phân cấp cao . 43 2.2.1 Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số độc lập, một tham số phụ thuộc . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2.2 Ví dụ ứng dụng Đại số Lie vào giải phương trình vi phân bậc cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Kết luận 53 Tài liệu tham khảo 54 2 www.VNMATH.com Lời cảm ơn 3 Lời cảm ơn Trong suốt thời gian làm khóa luận, tôi đã nhận được sự hướng dẫn rất tận tình, chu đáo của TS Đặng Anh Tuấn. Mặc dù ở xa nhưng Thầy vẫn thường xuyên hướng dẫn, động viên tôi cố gắng hoàn thiện được khoá luận này. Tôi xin được bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc nhất tới Thầy. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới PGS.TS Đặng Đình Châu, Thầy đã cho tôi những lời khuyên quý báu không chỉ về các vấn đề xoay quanh khóa luận mà còn về phương pháp học tập và nghiên cứu, tôi rất trân trọng những góp ý của Thầy, đó cũng là động lực để tôi hoàn thành khóa luận này. Tôi cũng xin cảm ơn ThS Ninh Văn Thu đã giải đáp thắc mắc, đóng góp những ý kiến giúp tôi hoàn thành khoá luận này; đồng thời tôi xin được gửi lời cảm ơn tới các Thầy, Cô trong Bộ môn Giải tích; các Thầy, Cô trong Khoa Toán - Cơ - Tin học - trường ĐH Khoa Học Tự Nhiên - ĐHQGHN đã giảng dạy, dìu dắt tôi trong suốt 4 năm qua. Khóa luận cũng được hoàn thành với sự động viên tinh thần của gia đình và bạn bè. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất về tất cả sự giúp đỡ quý báu đó! Hà Nội, ngày 21 tháng 5 năm 2009 Sinh viên: Nguyễn Thị Hồng Xuân 3 www.VNMATH.com Lời mở đầu 4 Lời mở đầu Trong toán học, một nhóm Lie, được đặt tên theo nhà toán học người Na Uy là Sophus Lie, là một nhóm cũng là một đa tạp trơn (differentiable manifold), với tính chất là các toán tử nhóm tương thích với cấu trúc trơn. Nhóm Lie đại diện cho lý thuyết phát triển của các đối xứng liên tục của các cấu trúc toán học. Điều này đã làm nhóm Lie là công cụ cho gần như tất cả các ngành toán hiện đại, và vật lý lý thuyết hiện đại, đặc biệt là trong vật lý hạt. Bởi vì các nhóm Lie là các đa tạp, chúng có thể được nghiên cứu sử dụng giải tích vi phân (differential calculus), tương phản với trường hợp các nhóm tôpô tổng quát hơn. Một trong những ý tưởng chính trong lý thuyết về nhóm Lie, đề ra bởi Sophus Lie là thay thế cấu trúc toàn cục, nhóm, với phiên bản mang tính địa phương của nó hay còn gọi là phiên bản đã được làm tuyến tính hoá, mà Lie gọi là một nhóm cực nhỏ mà bây giờ được biết đến như là đại số Lie. Nhóm Lie đã cung cấp một phương tiện tự nhiên để phân tích các đối xứng liên tục của các phương trình vi phân (lý thuyết Picard-Vessiot), trong một cách thức như các nhóm hoán vị (permutation group) được sử dụng trong lý thuyết Galois để phân tích các đối xứng rời rạc của các phương trình đại số. Trong bài khoá luận này, tác giả xin trình bày một số nghiên cứu cơ bản về nhóm Lie một tham số, nhóm Lie 2 tham số và các ứng dụng của chúng trong việc giải phương trình vi phân. Các bài toán và ví dụ được trình bày trong khóa luận được trích dẫn từ cuốn Symmetry anh Integration 4 www.VNMATH.com Lời mở đầu 5 Methods for Differential Equations của George W.Bluman and Stephen C. Anco. Đây là tài liệu chính được sử dụng trong khoá luận này. Tác giả xin được trình bày chi tiết các chứng minh và các ví dụ cụ thể để đưa ra những nguyên lý nền tảng như: cấu tạo và tính chất cơ bản của nhóm Lie, cách áp dụng lý thuyết nhóm Lie trong giải PTVP. Cấu trúc của khóa luận gồm 2 chương: Chương1: Kiến thức chuẩn bị 1.1 Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số. Trong phần này, trình bày Định nghĩa nhóm, nhóm các phép biến đổi, nhóm Lie các phép biến đổi một tham số; Biến đổi vi phân, Toán tử sinh vi phân, Định lý cơ bản Lie thứ nhất.Ví dụ. 1.2 Nhóm Lie các phép biến đổi hai tham số. Trong phần này, trình bày Định nghĩa nhóm Lie hai tham số, Đại số Lie, tính giải được. Ví dụ minh họa. Chương2: ứng dụng của tính đối xứng vào việc giải phương trình vi phân 1.1 ứng dụng nhóm Lie các phép biến đổi một tham số để giải phương trình vi phân cấp 1. 1.2 ứng dụng Đại số Lie để giải phương trình vi phân cấp cao. Mặc dù đã rất cố gắng nhưng do thời gian và trình độ còn hạn chế nên khóa luận chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của quý Thầy, Cô và các bạn. 5 www.VNMATH.com Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chúng ta bắt đầu với việc định nghĩa nhóm, xét đến nhóm các phép biến đổi và đặc biệt là nhóm Lie các phép biến đổi một tham số. Trong trường hợp này các phép biến đổi đều thực hiện trên R2. 1.1 Nhóm Định nghĩa 1.1.1. Cho tập hợp G cùng với phép toán φ : Gì G → G. (G, φ) được gọi là một nhóm nếu thoả mãn các tiên đề 1) Tính đóng: Nếu a, b ∈ G thì φ(a, b) ∈ G. 2) Tính kết hợp: Với mọi phần tử a, b, c ∈ G bất kỳ thì φ(a, φ(b, c)) = φ(φ(a, b), c). 3) Phần tử đơn vị: Tồn tại duy nhất phần tử đơn vị e ∈ G sao cho với mọi phần tử a ∈ G: φ(a, e) = φ(e, a) = a. 4) Phần tử nghịch đảo: Với phần tử a bất kỳ thuộc G, tồn tại duy nhất phần tử nghịch đảo a−1 ∈ G sao cho φ(a, a−1) = φ(a−1, a) = e. 6 www.VNMATH.com 1.1. Nhóm 7 Định nghĩa 1.1.2. Nhóm (G, φ) được gọi là nhóm Abel nếu φ(a, b) = φ(b, a), với mọi phần tử a, b ∈ G. Định nghĩa 1.1.3. Cho (G, φ) là một nhóm với phần tử đơn vị e, A ⊂ G, khi đó tập A cùng với phép toán φ được gọi là nhóm con của nhóm (G, .) nếu thoả mãn các điều kiện 1) Với mọi phần tử a, b ∈ A thì φ(a, b) ∈ A. 2) Phần tử đơn vị e ∈ A. 3) Với phần tử a bất kỳ thuộc A, tồn tại phần tử nghịch đảo a−1 ∈ A sao cho φ(a, a−1) = φ(a−1, a) = e. Ví dụ 1.1.4. Cho G = Z - là tập các số nguyên với phép toán cộng φ(a, b) = a + b. i) ánh xạ φ : ZìZ → Z vì tổng a+ b là các số nguyên khi a, b là các số nguyên. ii) Lấy phần tử a, b, c ∈ Z ta có a + (b+ c) = (a + b) + c. iii) Phần tử đơn vị e = 0 ∈ Z thoả mãn a + 0 = 0 + a = a, a ∈ Z. iv) Với mọi a ∈ Z, tồn tại phần tử nghịch đảo a−1 = −a thỏa mãn a + (−a) = (−a) + a = 0. Vậy (Z,+) là một nhóm. Vì a + b = b + a với mọi a, b ∈ Z nên (Z,+) là nhóm Abel. Ví dụ 1.1.5. Cho G = R+ là tập các số thực dương với phép toán nhân φ(a, b) = a.b i) ánh xạ φ : R+ ì R+ → R+ vì tích a.b là số thực dương khi a, b là các số thực dương. 7 www.VNMATH.com 1.1. Nhóm 8 ii) Với các phần tử a, b, c ∈ R+ bất kỳ, ta có φ(φ(a, b), c) = (a.b).c = a.(b.c) = φ(a, φ(b, c)). iii) Tồn tại phần tử đơn vị e = 1 thoả mãn a.1 = 1.a = a, với mọi phần tử a ∈ R+. iv) Với mọi phần tử a ∈ R+ bất kỳ, tồn tại phần tử nghịch đảo a−1 = 1 a thoả mãn a. 1 a = 1 a .a = 1. Vậy (R+, .) là một nhóm. Vì a.b = b.a với mọi a, b ∈ R+ nên nhóm (R+, .) là nhóm Abel. Ví dụ 1.1.6. Cho S = {ε : −1 < ε < +∞} với phép toán giữa các tham số được cho bởi φ(ε, δ) = ε + δ + εδ. i) Ta sẽ chứng minh ánh xạ φ đi từ S ì S vào S, nghĩa là φ(ε, δ) ∈ S, khi ε, δ ∈ S. Lấy ε, δ ∈ S = (−1,+∞). Vì ε ∈ (−1,+∞) nên ε + 1 > 0. Tương tự δ + 1 > 0 Suy ra (ε + 1)(δ + 1) > 0. Vậy ε + δ + εδ ∈ (−1,+∞). ii) Tính kết hợp: Với ε, δ, γ ∈ (−1,+∞) bất kỳ, φ(ε, φ(δ, γ)) = ε + (δ + γ + δγ) + ε(δ + γ + δγ) = ε + δ + γ + δγ + εδ + εγ + εδγ = ((ε + δ + εδ) + γ) + (ε + δ + εδ)γ = φ(φ(ε, δ), γ). iii) Phần tử đơn vị e = 0 ∈ (−1,+∞) thỏa mãn φ(ε, 0) = φ(0, ε) = 0 + ε + 0.ε = ε. iv) Phần tử nghịch đảo: Với phần tử ε ∈ (−1,+∞) bất kỳ tồn tại ε−1 sao cho: φ(ε, ε−1) = φ(ε−1, ε) = ε + ε−1 + εε−1 = 0. 8 www.VNMATH.com 1.2. Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số 9 Suy ra ε−1 = − ε 1 + ε ∈ (−1,+∞). Vậy (S, φ) là một nhóm. Vì φ(δ, ε) = δ+ ε+ δε = ε+ δ+ εδ = φ(ε, δ) nên (S, φ) là nhóm Abel. Ví dụ 1.1.7. Cho G = R2 với phép toán ϕ = (ε, δ) = (ε1 + δ1, eδ1ε2 + δ2), ε = (ε1, ε2) ∈ R2; δ = (δ1, δ2) ∈ R2. i) ánh xạ ϕ : R2 ì R2 → R2 vì (ε1 + δ1, eδ1ε2 + δ2) ∈ R2 vì ε, δ ∈ R2. ii) Với các phần tử α, β, γ bất kỳ, ta có ϕ(ϕ(α, β), γ) = ϕ((α1 + β1, e β1α2 + β2), γ) = (α1 + β1 + γ1, e γ1(eβ1α2 + β2) + γ2) = (α1 + (β1 + γ1), e (β1+γ1)α2 + e γ1β2 + γ2) = ϕ(α, ϕ(β, γ)). iii) Phần tử đơn vị e = (0, 0) thoả mãn ϕ(ε, e) = (ε1 + 0, e 0ε2 + 0) = (ε1, ε2) = ε. iv) Với mọi phần tử ε ∈ R2, ta xác định phần tử nghịch đảo ε−1 Ta có: ϕ(ε, ε−1) = e nên suy ra (ε1 + ε−11 , e ε−11 ε2 + ε −1 2 ) = (0, 0). Suy ra ε−1 = (−ε1,− ε2 eε1 ) ∈ R2. Vậy (R2, ϕ) là một nhóm. Vì ϕ(δ, ε) = (δ1 + ε1, eε1δ2 + ε2) 6= (ε1 + δ1, eδ1ε2 + δ2) = ϕ(ε, δ) nên (R2, ϕ) không là nhóm Abel. 1.2 Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số 1.2.1 Nhóm các phép biến đổi Định nghĩa 1.2.1. Cho D ⊂ R2, S ⊂ R, (S, φ) là một nhóm có phần tử đơn vị e ∈ S. 9 www.VNMATH.com 1.2. Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số 10 Xét ánh xạ X : D ì S → D. Tập hợp { X(., ε) } ε∈S là một nhóm các phép biến đổi một tham số nếu thoả mãn các điều kiện 1) Với mọi phần tử ε ∈ S thì ánh xạ X : D ì S → D là một song ánh. 2) Với ε = e,x ∈ D: X(x, e) = x. 3) X(X(x, ε), δ) = X(x, φ(ε, δ)), với mọi ε, δ ∈ S. 1.2.2 Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số Như phần trên đã xét nhóm các phép biến đổi có cấu trúc đại số. Nếu ta thêm cấu trúc giải tích vào nhóm này thì nó trở thành nhóm Lie các phép biến đổi một tham số. Bây giờ ta xét đến nhóm Lie các phép biến đổi một tham số. Trước hết, ta định nghĩa Định nghĩa 1.2.2. Cho D ⊂ R2 là một miền mở và x = (x1, x2) ∈ D. S là một khoảng trên R, (S, φ) là nhóm có phần tử đơn vị 0. Phép toán φ : S ì S → S là hàm giải tích. ánh xạ X : D ì S → D cho ta tập hợp các phép biến đổi ký hiệu là{ X(., ε) } ε∈S . Tập các phép biến đổi trên được gọi là nhóm Lie các phép biến đổi một tham số nếu thoả mãn các điều kiện 1) Với mọi ε ∈ S, ánh xạ X(., ε) : D ì S → D là một song ánh và khả vi vô hạn. Với x cố định ∈ D, ánh xạ X(x, .) : S → D là hàm giải tích theo ε. 2) X(., 0) = IdD. 3) X(X(x, ε), δ) = X(x, φ(ε, δ)), với mọi ε, δ ∈ S. 10 www.VNMATH.com 1.2. Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số 11 Ví dụ 1.2.3 (Nhóm các phép tịnh tiến trên mặt phẳng). Cho nhóm các phép biến đổi x∗ = x + ε, y∗ = y, ε ∈ R. với phép toán φ(ε, δ) = ε + δ. Như vậy, nhóm các phép tịnh tiến trên mặt phẳng được cho bởi D = R2, (S, φ) là nhóm cộng và ánh xạ X : R2 ì R → R2 ((x, y), ε) 7→ (x∗, y∗) = (x + ε, y). Ta chứng minh nhóm {X(., ε)}ε∈R các phép biến đổi này là nhóm Lie các phép biến đổi một tham số 1) Trước hết ta cần chỉ ra với mọi ε ∈ S, ánh xạ X(., ε) : R2 → R2 là một song ánh. Với mọi số thực ε cố định, lấy (x, y) 6= (x′, y′). Dễ thấy, (x + ε, y) 6= (x′ + ε, y′) nên ánh xạ X(., ε) : R2 → R2 là một đơn ánh. Giả sử có (x, y) bất kỳ ∈ R2 ta tìm được (x1, y1) thoả mãn x = x1 + ε, y = y1. Suy ra (x1, y1) = (x − ε, y) ∈ R2. Tức là ImX ≡ R2. Vậy X : R2 → R2 là song ánh. 2) X((x, y), ε) = (x + ε, y) khả vi vô hạn theo (x, y) do ta có ∂X ∂x = (1, 0), ∂X ∂y = (0, 1), ∂2X ∂x2 = (0, 0), ∂2X ∂y2 = (0, 0), ∂2X ∂x∂y = ∂2X ∂y∂x = (0, 0). 11 www.VNMATH.com 1.2. Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số 12 3) Với (x, y) cố định ∈ R2, ta có biểu diễn x + ε = x + ε0 + (ε− ε0), y = y. Vì X((x, y), .) có khai triển Taylor tại ε0 và hội tụ tại ε0 nên nó giải tích theo ε. 4) Ta có ∂φ ∂ε = 1, ∂φ ∂δ = 1, ∂2φ ∂ε2 = ∂2φ ∂δ2 = 0, ∂2φ ∂ε∂δ = ∂2φ ∂δ∂ε = 0. Suy ra ε + δ = ε0 + δ0 + (ε− ε0) + (δ − δ0). Vì hàm φ(ε, δ) = ε + δ là hàm khai triển được dưới dạng khai triển Taylor và hội tụ tại điểm (ε0, δ0) nên giải tích theo ε, δ. 5) X((x, y), 0) = (x + 0, y) = (x, y). 6) Với ε, δ bất kỳ thuộc S, ta có X(X((x, y), ε), δ) = X((x+ ε, y), δ) = (x + ε + δ, y) = (x + (ε + δ), y) = X((x, y), φ(ε, δ)). Vậy X((x, y); ε) là nhóm Lie các phép biến đổi một tham số. Ví dụ 1.2.4 (Nhóm Scalings). Xét nhóm x∗ = αx, y∗ = α2y, 0 < α < +∞. 12 www.VNMATH.com 1.2. Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số 13 Và phép toán giữa các tham số φ(α, β) = αβ. Vì phần tử đơn vị là α = 1 nên nhóm các phép biến đổi này được tham số hoá lại với số hạng ε = α− 1 nên α = 1 + ε. Khi đó, x∗ = (1 + ε)x, y∗ = (1 + ε)2y; −1 < ε < +∞. Nhóm Scaling được cho bởi D = R2, S = (−1,+∞) với phép toán φ : S ì S → S (ε, δ) 7→ ε + δ + εδ, và ánh xạ X : R2 ì S → R2 ((x, y), ) 7→ (x∗, y∗) = ((1 + ε)x, (1 + ε)2y). Ta chỉ ra rằng nhóm các phép biến đổi X((x, y), .) trên là nhóm Lie các phép biến đổi một tham số 1) Ta chỉ ra rằng với mọi ε ∈ S ánh xạ X(., ε) : R2 → R2 là song ánh. Với mọi ε ∈ (−1,+∞), ta lấy (x, y) 6= (x′, y′). Dễ thấy ((1 + ε)x, (1 + ε)2y) 6= ((1 + ε)x′, (1 + ε)2y′) nên ánh xạ X : R2 → R2 là đơn ánh. Giả sử có (x, y) bất kỳ ∈ R2 ta luôn tìm được (x1, y1) ∈ R2 thoả mãn (1 + ε)x1 = x, (1 + ε)2y = y. Suy ra (x1, y1) = ( 1 1 + ε , 1 (1 + ε)2 ) ∈ R2. Tức là ImX = R2. Vậy X : R2 → R2 là một song ánh. 2) X((x, y), ε) khả vi vô hạn theo (x, y) vì ta có ∂X ∂x = (1 + ε, 0), ∂X ∂y = (0, (1 + ε)2), ∂2X ∂x2 = ∂2X ∂y2 = ∂2X ∂x∂y = ∂2X ∂y∂x = (0, 0). 13 www.VNMATH.com 1.2. Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số 14 3) Với (x, y) cố định ∈ R2, ta có biểu diễn (1 + ε)x = (1 + ε0)x + (ε − ε0)x, (1 + ε)2y = (1 + ε0) 2y + 2(ε− ε0)y + 2(ε − ε0)ε0y + (ε − ε0)2y. Vì X((x, y), ε) khai triển được dưới dạng khai triển Taylor tại ε = ε0 nên nó giải tích theo ε0. 4) Ta có biểu diễn φ(ε, δ) = ε + δ + εδ = ε0 + δ0 + ε0δ0 + ε + δ + εδ − ε0 − δ0 − ε0δ0 = ε0 + δ0 + ε0δ0 + (ε− ε0) + (δ − δ0) + (ε− ε0)(δ − δ0) + εδ0 + ε0δ − ε0δ0 − ε0δ0 = ε0 + δ0 + ε0δ0 + (ε− ε0) + (δ − δ0) + (ε− ε0)(δ − δ0) + ε0(δ − δ0) + δ0(ε − ε0). Ta thấy φ(ε, δ) khai triển được dưới dạng khai triển Taylor và hội tụ tại điểm (ε0, δ0), do đó φ(ε, δ) là hàm giải tích theo ε, δ. 5) X((x, y), 0) = ((1 + 0)x, (1 + 0)2y) = (x, y). 6) Cuối cùng ta chứng minh với ε, δ bất kỳ, ta có X(X(x, y), ε), δ) = (((1 + ε)x, (1 + ε)2y), δ) = ((1 + ε)(1 + δ)x, (1 + ε)2(1 + δ)2y) = ((1 + ε + δ + εδ)x, (1 + ε + δ + εδ)2y) = X((x, y), φ(ε, δ)). Vậy X((x, y), ε) là nhóm Lie các phép biến đổi một tham số. 14 www.VNMATH.com 1.2. Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số 15 1.2.3 Biến đổi vi phân Cho nhóm Lie các phép biến đổi một tham số X∗ = X(x, ε) (1.1) với phần tử đơn vị ε = 0 và phép toán φ. Khai triển Taylor (1.1) tại ε = 0 trong lân cận của ε = 0, ta có x∗ = x + ε (∂X(x, ε) ∂ε ∣∣∣ ε=0 ) + 1 2 ε2 (∂2X(x, ε) ∂ε2 ∣∣∣ ε=0 ) + . . . = x + ε (∂X(x, ε ∂ε ∣∣∣ ε=0 ) + O(ε2). (1.2) Đặt ξ(x) = ∂X(x; ε) ∂ε ∣∣∣ ε=0 . (1.3) Phép biến đổi x + εξ(x) được gọi là biến đổi vi phân của nhóm Lie các phép biến đổi (1.1). Các thành phần của ξ(x) được gọi là vi phân của phép biến đổi (1.1). Một vấn đề đặt ra là nếu chỉ cho biết ξ(x) thì liệu rằng ta có thể biết được biến đổi X(x; ε) hay không? Chúng ta cùng tìm hiểu về Định lý Lie cơ bản thứ nhất để giải quyết vấn đề này. 1.2.4 Định lý Lie cơ bản thứ nhất Trước tiên ta xét bổ đề Bổ đề 1.2.5. Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số (1.1) thỏa mãn hệ thức X(x; ε + ∆ε) = X(X(x; ε);φ(ε−1ε + ∆ε)). (1.4) 15 www.VNMATH.com 1.2. Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số 16 Chứng minh: X(X(x; ε);φ(ε−1, ε + ∆ε)) = X(x;φ(ε, φ(ε−1, ε + ∆ε))) = X(x;φ(φ(ε, ε−1), ε + ∆ε)) = X(x;φ(0, ε + ∆ε)) = X(x; ε + ∆ε). Định lý 1.2.6 (Định lý Lie cơ bản thứ nhất). Tồn tại một phép tham số hóa τ (ε) sao cho Nhóm Lie các phép biến đổi X∗ = X(x; ε) tương ứng với nghiệm của bài toán giá trị ban đầu của hệ phương trình vi phân cấp I dx∗ dτ = ξ(x∗), (1.5) với điều kiện ban đầu x∗ = x, khi τ = 0. (1.6) Trong đó: Phép tham số hoá τ (ε) = ε∫ 0 Γ(ε′)dε′. (1.7) Với Γ(ε) = ∂φ(a, b) ∂b ∣∣∣ (a,b)=(ε−1,ε) , (1.8) và Γ(0) = 1. (1.9) Chứng minh: Trước hết ta chỉ ra (1.1) dẫn đến (1.5) - (1.6) và (1.7) - (1.8). Khai triển chuỗi luỹ thừa vế trái của (1.4) theo ∆ε tại ∆ = 0, ta được X(x; ε + ∆ε) = X(x; ε) + ∂X(x; ε) ∂ε ∆ε + O((∆ε)2). (1.10) 16 www.VNMATH.com 1.2. Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số 17 Khai triển chuỗi luỹ thừa φ(ε−1, ε + ∆ε) theo ∆ε tại ∆ε = 0, ta có φ(ε−1, ε + ∆ε) = φ(ε−1, ε) + ∂φ(ε−1, ε) ∂ε ∆ε +O((∆ε)2) = (∂φ(ε−1, ε) ∂ε ∣∣∣ (ε−1,ε) ) ∆ε + O((∆ε)2). (1.11) Đặt ∂φ(ε−1; ε) ∂ε ∣∣∣ (ε−1,ε) = Γ(ε). Ta dẫn đến φ(ε−1, ε + ∆ε) = Γ(ε)∆ε + O((∆ε)2). (1.12) Sau đó khai triển chuỗi luỹ thừa theo ∆ε vế phải của (1.4) tại∆ε = 0, ta thu được X(x; ε + ∆ε) = X(X(x, ε), φ(ε−1, ε + ∆ε)) = X(X(x, ε),Γ(ε)∆ε+ O((∆ε)2)) = X(X(x, ε), 0) + ∆εΓ(ε) (∂X(X(x, ε), δ) ∂δ ∣∣∣ δ=0 ) + O((∆ε)2) = x∗ + Γ(ε)ξ(x∗)∆ε + O((∆ε)2). (1.13) Từ (1.11) và (1.13) ta thấy x∗ = X(x, ε) thoả mãn bài toán giá trị ban đầu của hệ phương trình vi phân dx∗ dε = Γ(ε)ξ(x∗). (1.14) và giá trị ban đầu x∗ = x, khi ε = 0. (1.15) Từ (1.2) và Γ(0) = 1 phép tham số hoá τ (ε) = ∫ ε 0 Γ(ε ′)dε′ ta suy ra được hệ (1.5) - (1.6). Vì ∂ξ(x) ∂x1 , ∂ξ(x) ∂x2 liên tục nên theo định lý tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy cho hệ phương trình vi phân (1.5) - (1.6), do đó hệ (1.14) - (1.15) tồn tại và duy nhất. Nghiệm đó chính là (1.1). Định lý được chứng minh. 17 www.VNMATH.com 1.2. Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số 18 Ví dụ 1.2.7 (Nhóm các phép tịnh tiến trên mặt phẳng). Cho nhóm các phép biến đổi x∗ = x + ε, y∗ = y. (1.16) với phép toán φ(a, b) = a + b, phần tử nghịch đảo ε−1 = −ε. Do ∂φ(a, b) ∂b = 1 nên Γ(ε) ≡ 1. Ta đặt x = (x, y) nhóm (1.16) trở thành X(x; ε) = (x + ε, y). Vì ∂X(x; ε) ∂ε = (1, 0) nên ta có ξ(x) = ∂X(x; ε) ∂ε ∣∣∣ ε=0 = (1, 0). Bây giờ, giả sử ta chỉ có ξ(x) = (1, 0). Khi đó từ hệ (1.5) - (1.6) ta sẽ xây dựng trở lại nhóm các phép tịnh tiến trên mặt phẳng. Thật vậy, dx∗ dε = 1, dy∗ dε = 0, (1.17) và điều kiện ban đầu x∗ = x, y∗ = y, khi ε = 0. (1.18) Giải hệ (1.17) - (1.18), ta có x∗ = ε + C1, y∗ = C2. Khi ε = 0 thì x∗ = x, y∗ = y nên C1 = x, C2 = y. Vậy nghiệm của hệ (1.17) - (1.18) là x∗ = x + ε, y∗ = y. Ví dụ 1.2.8. Xét nhóm x∗ = (1 + ε)x, y∗ = (1 + ε)2y, −1 < ε < +∞. (1.19) 18 www.VNMATH.com 1.2. Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số 19 với phép toán giữa các tham số là φ(a, b) = a + b + ab, và có phần tử nghịch đảo ε−1 = − ε 1 + ε . Do đó, ∂φ(a, b) ∂b = 1 + a. Suy ra Γ(ε) = ∂φ(a, b) ∂b ∣∣∣ (a,b)=(ε−1,ε) = 1 + ε−1 = 1 1 + ε . Cho x = (x, y). Hệ (1.19) trở thành X = (x; ε) = ((1 + ε)x, (1 + ε)2y) nên ta có ∂X(x; ε) ∂ε = (x, 2(1 + ε)y), và ξ(x) = ∂ X(x; ε) ∂ε ∣∣∣ ε=0 = (x, 2y). Giả sử ta chỉ có ξ(x). Khi đó từ kết quả của hệ (1.14) - (1.15) ta sẽ xây dựng lại nhóm Scalings. Ta có dx∗ dε = x∗ 1 + ε , dy∗ dε = 2y∗ 1 + ε , x∗ = x, y∗ = y, khi  = 0. (1.20) Giải hệ (1.20) ta thu được hệ (1.19) Thực hiện phép tham số hoá τ = ∫ ε 0 Γ(ε′)dε′ = ∫ ε 0 1 1 + ε′ dε′ = ln |1 + ε|. Nhóm (1.19) trở thành x∗ = eτx, y∗ = e2τy, −∞ < τ < +∞. (1.21) với phép toán giữa các tham số mới là φ(τ1, τ2) = τ1 + τ2. 1.2.5 Toán tử sinh vi phân Từ định lý Lie thứ nhất, không mất tính tổng quát ta giả sử rằng nhóm Lie các phép biến đổi một tham số được tham số hoá lại bằng phép toán cho bởi φ(a, b) = a+ b với ε−1 = −ε và Γ(ε) ≡ 1. Do đó, với hàm vi phân là ξ(x) nhóm Lie các phép biến đổi một tham số ε sẽ trở thành dx∗ dε = ξ(x∗), (1.22) 19 www.VNMATH.com 1.2. Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số 20 với điều kiện ban đầu x∗ = x khi ε = 0. (1.23) Định nghĩa 1.2.9. Toán tử sinh vi phân của nhóm Lie các phép biến đổi một tham số là toán tử X = X(x) = ξ(x).∇ = ξ1(x) ∂ ∂x1 + ξ2(x) ∂ ∂x2 . (1.24) với ∇ là toán tử gradient: ∇ = ( ∂ ∂x1 , ∂ ∂x2 ) với mọi hàm khả vi F (x) = F (x1, x2), ta có XF (x) = ξ(x).∇F (x) = ξ1(x)∂F (x) ∂x1 + ξ2(x) ∂F (x) ∂x2 . Chú ý rằng Xx = X(x)x = ( ξ1(x) ∂x1 ∂x1 + ξ2(x) ∂x1 ∂x2 , ξ1(x) ∂x2 ∂x1 + ξ2(x) ∂x2 ∂x2 ) = (ξ(x1), ξ(x2))ξ(x). Theo định lý Lie thứ nhất từ nhóm Lie các phép biến đổi một tham số ta xác định được toán tử sinh vi phân. Định lý dưới đây chỉ ra rằng bằng việc sử dụng toán tử sinh vi phân (1.23) ta dẫn đến thuật toán tìm nghiệm tường minh của bài toán Cauchy. Định lý 1.2.10. Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số tương đương với x = eεXx = x+εXx+ 1 2 ε2X2x+ã ã ã = [1+εX+1 2 ε2X2+. . . ]x = ∞∑ k=0 εk k! .Xkx. (1.25) với toán tử X = X(x) = ξ(x) ∂ ∂xi . và toán tử Xk = Xk(x) k = 1, 2, . . . . Trong đó toán tử XkF (x) được từ toán tử X trong Xk−1F (x), k = 1, 2, . . . , với X0F (x) ≡ F (x). 20 www.VNMATH.com 1.2. Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số 21 Chứng minh: Cho X = X(x) = ξ1(x) ∂ ∂x1 + ξ2(x) ∂ ∂x2 , X(x∗) = ξ1(x∗) ∂ ∂x∗1 + ξ2(x ∗) ∂ ∂x∗2 , (1.26) x∗ = X(x; ε), (1.27) là nhóm Lie các phép biến đổi một tham số. Khai triển Taylor (1.27) tại ε = 0, ta có x∗ = ∞∑ k=0 εk k! (∂X(x; ε) ∂εk ∣∣∣ ε=0 ) = ∞∑ k=0 εk k! (dkx∗ dεk ∣∣∣ ε=0 ) . (1.28) với mọi hàm khả vi F (x), ta thu được d dε F (x∗) = ∂F (x∗) ∂x∗1 dx∗1 dε + ∂F (x∗) ∂x∗2 dx∗2 dε = ξ1(x ∗) ∂F (x∗) ∂x∗1 + ξ2(x ∗) ∂F (x∗) ∂x∗2 = X(x∗)F (X∗). (1.29) Do vậy, dx∗ dε = ξ(x∗) = X(x∗)x∗ d2x∗ dε2 = d dε (dx∗ dε ) = d dε X(x∗)x∗ = X(x∗)X(x∗)x∗ = X2(x∗)x∗. (1.30) Tổng quát dkx∗ dεk = Xk(x∗)x∗, k = 1, 2, . . . (1.31) Do đó, dkx∗ dkε ∣∣∣ ε=0 = Xk(X∗)x∗ = Xk(x)x. vì khi ε = 0 thì x∗ = X(x; ε) = X(x; 0) = x nên ta suy ra x∗ = 2∑ k=1 εk k! Xkx. 21 www.VNMATH.com 1.2. Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số 22 Hệ quả 1.2.11. Nếu F (x) là hàm khả vi vô hạn thì nhóm Lie các phép biến đổi một tham số x∗ = X(x; ε) với toán tử sinh vi phân X(x) = ξ(x) ( ∂ ∂x1 + ∂ ∂x2 ) , ta có F (x∗) = F (eεX .x) = eεX .F (x). (1.32) Chứng minh: F (eεX) = F (x∗) = ∞∑ k=0 εk k! (dkF (x∗) dεk ∣∣∣ ε=0 ) . Từ (1.29) ta thấy d2F (x∗) dε2 = X2(x∗)F (x∗), do đó dkF (x∗) dεk = Xk(x∗)F (x∗). Vì dkF (x∗) dεk ∣∣∣ ε=0 = Xk(x)F (x), nên ta có F (x∗) = F (eεXx) = ( ∞∑ k=0 εk k! Xk(x) ) F (x) = eεXF (x). Ví dụ 1.2.12. Ta xét ví dụ cho nhóm phép quay x∗ = x cos ε + y sin ε, y∗ = −x sin ε + y cos ε. (1.33) Phép biến đổi vi phân của hệ (1.33) ξ(x∗) = (ξ1(x, y); ξ2(x, y)) = (dx∗ dε ∣∣∣ ε=0 , dy∗ dε ∣∣∣ ε=0 ) = (y,−x). Toán tử sinh vi phân của hệ (1.33) X = ξ1(x, y) ∂ ∂x + ξ2(x, y) ∂ ∂y = y ∂ ∂x − x ∂ ∂y . (1.34) Chuỗi Lie tương ứng với hệ (1.34) là (x∗, y∗) = (eεXx, eεY y). Khi đó, Xx = y ∂x ∂x − x∂x ∂y = y, Xy = y ∂y ∂x − x∂y ∂y = −x. 22 www.VNMATH.com 1.2. Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số 23 Ta tính các Xkx; Xky với k = 1, 2, . . . X2x = XXx = Xy = −x, X3x = X2Xx = X2y = XXy = −Xx = −y, X4x = X3Xx = X3y = X2Xy = −X2x = x. X2y = XXy = −Xx = −y, X3y = X2Xy = −X2x = x, X4y = X3Xy = −X3x = −X2Xx = −X2y = y. Do đó, X4nx = x; X4n−1x = −y; X4n−2x = −x; X4n−3x = y; n = 1, 2, . . . , X4ny = y; X4n−1y = x; X4n−2y = −y; X4n−3y = −x; n = 1, 2, . . . . Bởi vậy (x∗, y∗) được viết lại dưới dạng x∗ = eεXx = ∞∑ k=0 Xkx = ( 1− ε 2 2! + ε4 4! + . . . ) x + ( ε − ε 3 3! + ε5 5! + ... ) y = x cos ε + y sin ε. Tương tự: y∗ = eεXy = −x sin ε + y cos ε. 1.2.6 Hàm bất biến Định nghĩa 1.2.13. Cho F : D → D và F (x) là hàm khả vi vô hạn. Khi đó F được gọi là bất biến qua nhóm Lie các phép biến đổi (1.1) nếu và chỉ nếu F (X(x, ε)) = F (x). (1.35) Định lý 1.2.14. F(x) là bất biến qua nhóm Lie các phép biến đổi (1.1) nếu và chỉ nếu XF (x) ≡ 0. Chứng minh: F (x∗) ≡ eεXF (x) ≡ ∞∑ k=0 εk k! XkF (x) ≡ F (x) + εXF (x) + 1 2 ε2X2F (x) + . . . . (1.36) 23 www.VNMATH.com 1.3. Nhóm Lie các phép biến đổi hai tham số 24 Vì F (x) là hàm bất biến nên F (x∗) = F (x). Vậy từ (1.36) ta suy ra XF (x) ≡ 0. Định lý 1.2.15. Cho nhóm Lie các phép biến đổi (1.1), đồng nhất thức F (x∗) ≡ F (x) + ε, (1.37) chỉ xảy ra khi và chỉ khi XF (x) ≡ 1. (1.38) Chứng minh: Cho F (x) thoả mãn (1.37) thì F (x) + ε ≡ F (x) + εXF (x) + 1 2 ε2X2F (x) + . . . . Do đó, XF (x) ≡ 1. Ngược lại, nếu ta cho F (x) thoả mãn XF (x) ≡ 1. Khi đó XnF (x) ≡ 0, với n = 2, 3, . . . . Do vậy, F (x∗) ≡ eεXF (x) ≡ F (x) + εXF (x) ≡ F (x) + ε. 1.3 Nhóm Lie các phép biến đổi hai tham số 1.3.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.3.1. Cho D ⊂ R2, x = (x1, x2) ∈ D, S = (S1, S2), và phần tử ε = (ε1, ε2) ∈ S. (S, φ) là nhóm có phần tử đơn vị e = (0, 0). Phép toán φi : Si ì Si → Si là hàm giải tích. X = (X1, X2) : D ì S → D cho ta tập các phép biến đổi 2 tham số ký hiệu là { X(., ε) } ε∈S . Tập các phép biến đổi trên được gọi là nhóm Lie các phép biến đổi 2 tham số nếu thoả mãn các điều kiện 24 www.VNMATH.com 1.3. Nhóm Lie các phép biến đổi hai tham số 25 1) Với phần tử ε cố định ∈ S : X(., ε) : D ì S → D là một song ánh và khả vi vô hạn. Và với mọi phần tử x cố định ∈ D : X(x, .) : S → D là hàm giải tích theo x. 2) X(., 0) = IdD. 3) Với mọi phần tử ε, δ ∈ S, ta có X(X(x, ε), δ) = X(x, φ(ε, δ)). Ma trận vi phân Ξ(x) cấp 2 ì 2 Ξ(x) = [ ξ11(x) ξ12(x) ξ21(x) ξ22(x) ] =  ∂X1(x; ε)∂ε1 ∣∣∣ ε=0 ∂X2(x; ε) ∂ε1 ∣∣∣ ε=0 ∂X1(x; ε) ∂ε2 ∣∣∣ ε=0 ∂X2(x; ε) ∂ε2 ∣∣∣ ε=0  (1.39) Cho Θ(x) là ma trận cấp 2ì 2 Θ(x) =  ∂φ1(ε, δ)∂δ1 ∣∣∣ δ=0 ∂φ2(ε, δ) ∂δ1 ∣∣∣ δ=0 ∂φ1(ε, δ) ∂δ2 ∣∣∣ δ=0 ∂φ2(ε, δ) ∂δ2 ∣∣∣ δ=0  (1.40) và ma trận nghịch đảo của Θ(ε) Ψ(ε) = Θ−1(ε). (1.41) Định lý 1.3.2 (Định lý Lie cơ bản thứ nhất). Nhóm Lie các phép biến đổi 2 tham số tại lân cận của ε = 0 tương ứng với nghiệm bài toán giá trị ban đầu của hệ phương trình vi phân cấp I∂X1∂ε1 ∂X2∂ε1∂X1 ∂ε2 ∂X2 ∂ε2  = Ψ(ε)Ξ(x∗). (1.42) với điều kiện ban đầu x∗ = x khi ε = 0. (1.43) 25 www.VNMATH.com 1.3. Nhóm Lie các phép biến đổi hai tham số 26 Chứng minh: Ta chứng minh∂X1∂ε1 (x, ε) ∂X2∂ε1 (x, ε)∂X1 ∂ε2 (x, ε) ∂X2 ∂ε2 (x, ε)  = ∂φ1∂δ1 (ε, 0) ∂φ2∂δ1 (ε, 0)∂φ1 ∂δ2 (ε, 0) ∂φ2 ∂δ2 (ε, 0)  ì ∂X1∂ε1 (X(x, ε), 0) ∂X2∂ε1 (X(x, ε), 0)∂X1 ∂ε2 (X(x, ε), 0) ∂X2 ∂ε2 (X(x, ε), 0)  Ta chỉ cần chứng minh ∂X1 ∂ε1 (x, ε) = ∂φ1 ∂δ1 (ε, 0) ∂X1 ∂ε1 (X(x, ε), 0)+ ∂φ2 ∂δ1 (ε, 0) ∂X1 ∂ε2 (X(x, ε), 0). (1.44) Các trường hợp khác tương tự. Vì nhóm (S,ϕ) với S = S1 ì S2 và phép toán ϕ(ε) = (φ1(ε), φ2(ε)) có phần tử đơn vị 0. Phần tử nghịch đảo của ε ∈ S kí hiệu ε−1. Để kiểm tra (1.44) ta cũng làm như phần một tham biến. Đầu tiên ta cũng có đẳng thức X1(x, ε + h1) = X1(X(x, ε),ϕ(ε −1, ε + h1)). (1.45) với h1 = (∆ε1, 0). Đẳng thức (1.45) chứng minh giống đẳng thức (1.4) với chú ý (S,ϕ) là nhóm! Từ đẳng thức (1.45) viết khai triển Taylor X1(x, ε + h1) = X1(x, ε) + ∆ε1 ∂X1 ∂ε1 (x, ε) + O(|h1|2), φ1(ε −1, ε + h1) = φ1(ε−1, ε) + ∆ε1 ∂φ1 ∂ε1 (ε−1, ε) + O(|h1|2), φ2(ε −1, ε + h1) = φ2(ε−1, ε) + ∆ε1 ∂φ2 ∂ε1 (ε−1, ε) + O(|h1|2). Chú ý: 0 = ϕ(ε−1, ε) = (φ1(ε−1, ε), φ2(ε−1, ε)). Sau đó lại khai triển 26 www.VNMATH.com 1.3. Nhóm Lie các phép biến đổi hai tham số 27 Taylor theo biến thứ hai X1(X(x, ε), (∆ε1 ∂φ1 ∂ε1 (ε−1, ε) + O(|h1|2),∆ε1∂φ1 ∂ε1 (ε−1, ε) + O(|h1|2))) = X1(X(x, ε), 0) + ∂X1 ∂ε1 (X(x, ε), 0) ( ∆ε1 ∂φ1 ∂ε1 (ε−1, ε) + O(|h1|2) ) + ∂X1 ∂ε2 (X(x, ε), 0) ( ∆ε1 ∂φ2 ∂ε1 (ε−1, ε) + O(|h1|2) ) + O(|h1|2). mà X1(X(x, ε), 0) = X1(x, ε) nên ta có (1.45). 1.3.2 Toán tử sinh vi phân Định nghĩa 1.3.3. Toán tử sinh vi phân Xα ứng với tham số εα của nhóm Lie các phép biến đổi 2 tham số X1 = ξ11 ∂ ∂x1 + ξ12 ∂ ∂x2 , X1 = ξ11 ∂ ∂x1 + ξ12 ∂ ∂x2 . (1.46) Cách khác để biểu diễn nhóm Lie các phép biến đổi 2 tham số là x∗ = eà1X1eà2X2, (1.47) trong đó, à1, à2 là những hằng số thực. Bậc của những số hạng trong công thức trên có thể được sắp xếp lại bằng cách đánh số lại các toán tử sinh vi phân, có thể không cần phải thứ tự chính xác vì ta có eà1X1eà2X2 = eà2X2eà1X1,. Một thứ tự mới của các số hạng sẽ tương ứng với một phép tham số hoá khác, ví dụ Ψ(ε) sẽ thay đổi. Nhóm Lie các phép biến đổi 2 tham số tương ứng với x∗ = X(x, ε) nếu nó có thể được biểu diễn dưới dạng hệ (1.42) - (1.43) với cùng một Ξ(x). Ta cũng chỉ ra được rằng nhóm Lie các phép biến đổi một tham số của phép biến đổi x∗ = eεXx = eε(σ1X1+σ2X2x. (1.48) 27 www.VNMATH.com 1.3. Nhóm Lie các phép biến đổi hai tham số 28 thu được nhờ sự mũ hoá toán tử sinh vi phân X = σ1X1 + σ2X2 = ζ1(x) ∂ ∂x1 + ζ2(x) ∂ ∂x2 , (1.49) trong đó ζ1(x) = σ1ξ11(x) + σ2ξ21(x), ζ2(x) = σ1ξ12(x) + σ2ξ22(x). (1.50) Số hạng của hằng số thực cố định bất kỳ σ1, σ2 xác định một nhóm Lie các phép biến đổi một tham số là nhóm con của nhóm Lie các phép biến đổi 2 tham số. Ví dụ 1.3.4. Cho và nhóm Lie các phép biến đổi 2 tham số [ε = (ε1, ε2)] trong R2 với [(x1, x2) = (x, y)] được cho bởi x∗ = eε1x + ε2, y∗ = e2ε1y. (1.51) Khi đó, x∗∗ = eδ1x∗ + δ2 = eφ1(ε,δ)x + φ2(ε, δ), y∗∗ = e2δ1y∗ = e2φ1(ε,δ)y. với phép toán giữa các tham số ϕ(ε, δ) = (φ1(ε, δ), φ2(ε, δ)) = (ε1 + δ1, e δ1ε2 + δ2). (1.52) Ta có khai triển Taylor tại (ε0, δ0) của ϕ viết dưới dạng ϕ(ε, δ) = (ε1 + δ1, e δ1ε2 + δ2) = (ε0 + δ0 + ε1 − ε0 + δ1 − δ0, eδ0eδ1−δ0ε0 + δ0 + eδ0eδ−δ0(ε2 − ε0) + (δ2 − δ0). Suy ra ϕ : R2 ì R2 → R2 là hàm giải tích. Ta sẽ kiểm tra họ 2 tham số của phép biến đổi (1.51) với phép toán (1.52) xác định một nhóm Lie các phép biến đổi 2 tham số ở đây, S = (R2,R2); (S,ϕ) là nhóm có đơn vị 0, và ánh xạ X : R2 ì R2 → R2 (x, y)ì (ε1, ε2) 7→ (eε1x + ε2, e2ε1y). 28 www.VNMATH.com 1.3. Nhóm Lie các phép biến đổi hai tham số 29 Trước tiên ta chứng minh rằng với mọi ε ∈ S thì ánh xạ X(., ε) : R2 → R2 là một song ánh. Thật vậy, nếu lấy (x, y) 6= (x′, y′) thì (eε1x + ε2, e2ε1y) 6= (eε1x′+ε2, e2ε1y′). Hơn nữa, giả sử có (x, y) ∈ R2 bất kỳ ta tìm được (x1, y1) thoả mãn x = eε1x1 + ε2, y = e2ε1y1. Suy ra: (x1, y1) = (e−ε1(x− ε2), e−2ε1y) ∈ R2. Tức là, ImX ≡ R2. Vậy ánh xạ X : R2 → R2 là một song ánh. ánh xạ X((x, y), ε) là hàm khả vi vô hạn vì ∂X ∂x = (eε1, 0), ∂X ∂y = (0, e2ε1); ∂2X ∂x2 = ∂2X ∂y2 = ∂2X ∂x∂y = ∂2X ∂y∂x = (0, 0). Với mỗi (x, y) cố định ∈ R2, ta có eε1x + ε2 = e ε0x + ε0 + e (ε1−ε0)x + (ε2 − ε0), e2ε1y = e2ε0y + e2(ε1−ε0)y. Vì X((x, y), .) khai triển được dưới dạng khai triển Taylor tại ε = ε0 nên nó là hàm giải tích theo ε0. Ta có: X(., (0, 0)) = (e0x + 0, e2.0y) = (x, y). Cuối cùng ta chứng minh được X(X(., ε), δ) = X((eε1x + ε2, e 2ε1y), δ) = (eε1eδ1x + ε2 + δ2, e 2ε1e2δ1y) = (eε1+δ1x + (ε2 + δ2), e 2(ε1+δ1)y) = (eφ1(ε,δ) + φ2(ε, δ), e 2φ1(ε,δ)) = X(.,ϕ(ε, δ)). Ta thấy rằng hệ phương trình vi phân (1.42) - (1.43) sẽ trở thành ∂x∗ ∂ε1 = eε1x = x∗ − ε2, ∂y ∗ ∂ε1 = 2e2ε1y = 2y∗, ∂x∗ ∂ε2 = 1, ∂y∗ ∂ε2 = 0. 29 www.VNMATH.com 1.3. Nhóm Lie các phép biến đổi hai tham số 30 Do vậy,  ∂x ∗ ∂ε1 ∂y∗ ∂ε1 ∂x∗ ∂ε2 ∂y∗ ∂ε2  = [ x∗ − 2 2y∗ 1 0 ] (1.53) Do đó, ξ11(x) = ∂x∗ ∂ε1 ∣∣∣ ε=0 = x; ξ12(x) = ∂y∗ ∂ε1 ∣∣∣ ε=0 = 2y; ξ21(x) = ∂x∗ ∂ε2 ∣∣∣ ε=0 = 1; ξ22(x) = ∂y∗ ∂ε2 ∣∣∣ ε=0 = 0. Bởi vậy ma trận vi phân là: Ξ(x) = [ x 2y 1 0 ] (1.54) Để xác định Ψ(ε), ta có: ∂φ1 ∂δ1 = 1, ∂φ2 ∂δ1 = eδ1ε2, ∂φ1 ∂δ2 = 0, ∂φ2 ∂δ2 = 1. Do đó Θ11 = ∂φ1 ∂δ1 ∣∣∣ δ=0 = 1, Θ12 = ∂φ2 ∂δ1 ∣∣∣ δ=0 = ε2, Θ21 = ∂φ1 ∂δ2 ∣∣∣ δ=0 = 0, Θ22 = ∂φ2 ∂δ2 ∣∣∣ δ=0 = 1. Vậy ta có: Θ(ε) = [ 1 ε2 0 1 ] , (1.55) và Ψ(ε) = Θ−1(ε) = [ 1 −ε2 0 1 ] . (1.56) Dễ thấy, Ψ(ε)Ξ(x∗) = [ x∗ − ε2 2y∗ 1 0 ] , (1.57) 30 www.VNMATH.com 1.3. Nhóm Lie các phép biến đổi hai tham số 31 là ma trận (1.53). Kiểm tra lại hệ (1.42) - (1.43). Giải bài toán giá trị ban đầu của hệ phương trình vi phân cấp I ∂x∗ ∂ε1 = x∗ − 2, ∂y∗ ∂ε1 = 2y∗, ∂x∗ ∂ε2 = 1, ∂y∗ ∂ε2 = 0, (1.58) với x∗ = y, y∗ = y khi ε1 = 0, ε2 = 0, dẫn đến hệ (1.51) Toán tử sinh vi phân tương ứng với hệ (1.51) X1 = x ∂ ∂x + 2y ∂ ∂y , X2 = ∂ ∂x . (1.59) Với mọi hàm F (x, y) khả vi vô hạn, ta có eεX1F (x, y) = F (eεx, e2εy), eεX2F (x, y) = F (x + ε, y). (1.60) Ta kiểm tra biểu diễn dưới dạng (1.47) và (1.48) dẫn đến hệ (1.51) Từ (1.58) cho mọi hằng số thực à1, à2, ta có eà1X1eà2X2(x, y) = eà1X1(x + à2, y) = (e à1x + à2, e 2à1y), (1.61) và eà2X2eà1X1(x, y) = eà2X2(eà1x, e2à1y) = (eà1(x + à2), e 2à1y). (1.62) Đặt: x˜ = λ1x + λ2 thì eε(λ1X1+λ2X2)(x, y) = eελ1x˜ ∂ ∂x+2ελ1y ∂ ∂y ( x˜− λ2 λ1 ) = (eελ1x˜ − λ2 λ1 , e2ελ1y ) = ( eελ1x˜ + λ2 λ1 ( eελ1 − 1 ) , e2ελ1y ) . (1.63) 31 www.VNMATH.com 1.3. Nhóm Lie các phép biến đổi hai tham số 32 Do vậy (1.61) đồng nhất với hệ (1.42) - (1.43) với cùng phép toán (1.52); (1.62) tương đương với hệ (1.42) - (1.43) với phép toán giữa các tham số ϕ(ε, δ) = (1 + δ1, ε2 + e −δ1δ2); (1.63) tương đương với hệ (1.42) - (1.43) với phép toán ϕ(ε, δ) = ( ε1 + δ1, ε1 + δ1 eε1+δ1 − 1 ( eδ1 (ε2 ε1 (eε1 − 1) + δ2 δ1 ) − δ2 δ1 )) . 1.3.3 Đại số Lie Định nghĩa 1.3.5. Xét nhóm Lie các phép biến đổi 2 tham số với các toán tử sinh vi phân X1, X2 được xác định bởi (1.39) và (1.46). Tích Lie của X1 và X2 là toán tử cấp I [X1, X2] = X1X2 −X2X1 = (ξ11(x) ∂ ∂x1 )(ξ21(x) ∂ ∂x1 )− (ξ21(x) ∂ ∂x1 )(ξ11(x) ∂ ∂x1 ) + (ξ11(x) ∂ ∂x1 )(ξ22(x) ∂ ∂x2 )− (ξ21(x) ∂ ∂x1 )(ξ12(x) ∂ ∂x2 ) + ξ12(x) ∂ ∂x2 )(ξ21(x) ∂ ∂x1 )− (ξ22(x) ∂ ∂x2 )(ξ11(x) ∂ ∂x1 ) + (ξ12(x) ∂ ∂x2 )(ξ22(x) ∂ ∂x2 )− (ξ22(x) ∂ ∂x2 )(ξ12(x) ∂ ∂x2 ) = (ξ11(x) ∂ ∂x1 )(ξ22(x) ∂ ∂x2 )− (ξ21(x) ∂ ∂x1 )(ξ12(x) ∂ ∂x2 ) + ξ12(x) ∂ ∂x2 )(ξ21(x) ∂ ∂x1 )− (ξ22(x) ∂ ∂x2 )(ξ11(x) ∂ ∂x1 ) = η1(x) ∂ ∂x1 + η2(x) ∂ ∂x2 . (1.64) Khi đó, ηj(x) = 2∑ i=1 ( ξ1i(x) ∂ξ2j(x) ∂xi − ξ2i(x)∂ξ1j(x) ∂xi ) . (1.65) Dễ dàng thấy rằng [Xα, Xβ] = −[Xβ , Xα]. (1.66) 32 www.VNMATH.com 1.3. Nhóm Lie các phép biến đổi hai tham số 33 Định lý 1.3.6 (Định lý Lie cơ bản thứ hai). Hoán tử của 2 toán tử sinh vi phân của nhóm Lie các phép biến đổi 2 tham số cũng là một toán tử sinh vi phân. Đặc biệt, [X1, X2] = aX1 + bX2, (1.67) trong đó, hệ số a, b là những hằng số thực. Chứng minh: Chứng minh cho định lý này chủ yếu dựa vào điều kiện khả tích ∂2x∗i ∂εα∂εβ = ∂2x∗i ∂εβ∂εα , i = 1, 2, α, β = 1, 2. (1.68) được áp dụng từ (1.42). Chứng minh chi tiết định lý này được đề cập trong STK [5] Định nghĩa 1.3.7. Phương trình (1.67) được gọi là quan hệ giao hoán tử của nhóm Lie các phép biến đổi 2 tham số x∗ = X(x, ) với toán tử sinh vi phân (1.46). Cho 3 toán tử sinh vi phân Xα, Xβ , Xγ bất kỳ, ta có đẳng thức Jacobi [Xα, [Xβ , Xγ ]] + [Xβ, [Xγ , Xα]] + [Xγ , [Xα, Xβ]] = 0. (1.69) Định nghĩa 1.3.8. Một đại số Lie L là một không gian véc tơ trên R với dấu ngoặc toán tử song tuyến tính (giao hoán tử) thoả mãn các tính chất (1.66), (1.69), và (1.67). Đặc biệt, các toán tử sinh vi phân X1, X2 của nhóm Lie các phép biến đổi 2 tham số x∗ = X(x, ) lập thành một đại số Lie 2 chiều trên R. Ví dụ 1.3.9. ở ví dụ (1.3.4), trong R2 với X1 = x ∂f ∂x + 2y ∂f ∂y , X2 = ∂f ∂x . Ta tính tích Lie giữa toán tử sinh vi phân X1, X2 [X1, X2] = X1X2 −X2X1 = X1X2(f)−X2X1(f) = (x ∂ ∂x + 2y ∂ ∂y )( ∂f ∂x )− ∂ ∂x (x ∂f ∂x + 2y ∂f ∂y ) = x ∂2f ∂x2 + 2y ∂2f ∂x∂y − (∂f ∂x + x ∂2f ∂x2 + 2y ∂2f ∂x∂y ) = −X2. 33 www.VNMATH.com 1.3. Nhóm Lie các phép biến đổi hai tham số 34 Với a, b, c, d ∈ R2 tích Lie của các toán tử tuyến tính trong không gian R2 [aX1 + bX2, cX1 + dX2] = (aX1 + bX2)(cX1 + dX2)− (cX1 + dX2)(aX1 + bX2) = acX1X1 + adX1X2 + bcX2X1 + bdX2X2 − acX1X1 − bcX1X2 − daX2X1 − dbX2X2 = adX1X2 + bcX2X1 − cbX1X2 − daX2X1 = ad ( x ∂f ∂x + 2y ∂f ∂y )(∂f ∂x ) + bc ∂f ∂x ( x ∂f ∂x + 2y ∂f ∂y ) − cb ( x ∂f ∂x + 2y ∂f ∂y )(∂f ∂x ) − da∂f ∂x ( x ∂f ∂x + 2y ∂f ∂y ) = ad ( x ∂2f ∂x2 + 2y ∂2f ∂x∂y ) + bc (∂f ∂x + x ∂2f ∂x2 + 2y ∂2f ∂x∂y ) − bc ( x ∂2f ∂x2 + 2y ∂2f ∂x∂y ) + bc (∂f ∂x + x ∂2f ∂x2 − ad ∂ 2f ∂x∂y ) = bc ∂f ∂x − ad∂f ∂x = (bc− ad)∂f ∂x = (bc− ad)X2. Do vậy đại số Lie L được xác định bởi tích Lie [X1, X2] và tích Lie [aX1 + bX2, cX1 + dX2] trên không gian R2. Trong trường hợp tổng quát, ta có thể xây dựng giao hoán tử [X1, X2] bằng đối số dưới đây: Đặt G2 = X(x, ε) là nhóm Lie các phép biến đổi 2 tham số. Nhóm Lie một tham số (ε) bất kỳ là nhóm con của G2 có toán tử sinh vi phân tương ứng trong L2. Ví dụ cho X1 ∈ L2 tương ứng với eεX1x ∈ G2, aX1 + bX2 ∈ L2 tương ứng với cả eε(aX1+bX2)x ∈ G2, và eεaX1eεbX2x ∈ G2. Nếu X1, X2 ∈ L2, thì cả eεX1x và eεbX2x thuộc G2 với số thực ε bất kỳ. Xét nhóm Lie các phép biến đổi một tham số (ε) giao hoán tử e−εX1e−εX2eεX1eεX2x = [eεX1 ]−1[eεX2]−1eεX1eεX2x ∈ G2. 34 www.VNMATH.com 1.3. Nhóm Lie các phép biến đổi hai tham số 35 Khi đó, e−εX1e−εX2eεX1eεX2 = (1− εX1 + 1 2 ε2(X1) 2)(1− εX2 + 1 2 ε2(X2) 2) ì (1 + εX1 + 1 2 ε2(X1) 2)(1 + εX2 + 1 2 ε2(X2) 2) + O(ε3) = (1− ε(X1 + X2) + ε2(X1X2 + 1 2 (X1) 2 + 1 2 (X2) 2) ì (1 + ε(X1 + X2) + ε2(X1X2 + 1 2 (X1) 2 + 1 2 (X2) 2) +O(ε3) = 1 + ε2(2X1X2 + (X1) 2 + (X2) 2 − (X1 −X2)2) +O(ε3) = 1 + ε2(X1X2 −X2X1) + O(ε3) = 1 + ε2[X1, X2] +O(ε 3). Do vậy, [X1, X2] ∈ L2. Ta thấy rằng eεX1eδX2 = eδX2eεX1 = eεX1+δX2 nếu và chỉ nếu [X1, X2] = 0. Định nghĩa 1.3.10. Một không gian con J ⊂ L được gọi là một đại số con của đại số Lie nếu [X1, X2] ∈ J với mọi X1, X2 ∈ J . 1.3.4 Đại số Lie giải được Định nghĩa 1.3.11. Một đại số con J ⊂ L được gọi là một iđêan hay một đại số con chuẩn tắc của L nếu [X, Y ] ∈ J với mọi X ∈ J , Y ∈ L. Định nghĩa 1.3.12. L2 là một đại số Lie giải được 2 chiều nếu tồn tại một chuỗi các đại số con L(1) ⊂ L(2) = L2, (1.70) sao cho L(k) là một đại số Lie k chiều và L(k−1) là một iđêan của L(k), k = 1, 2. Cần chú ý rằng L(0) là một iđêan không chỉ chứa véc tơ không. 35 www.VNMATH.com 1.3. Nhóm Lie các phép biến đổi hai tham số 36 Định nghĩa 1.3.13. L được gọi là đại số Lie Abel nếu [X1, X2] = 0, với X1, X2 ∈ L. Định lý 1.3.14. Mọi đại số Lie Abel đều giải được. Định lý 1.3.15. Mọi đại số Lie hai chiều đều giải được. Chứng minh: Cho L là một đại số Lie 2 chiều với toán tử sinh vi phân X1 và X2 là véc tơ cơ bản. Giả sử [X1, X2] = aX1 + bX2 = Y . Nếu c1X1 + c2X2 ∈ L, với mọi hằng số c1, c2 tuỳ ý thì [Y, c1X1 + c2X2] = c1[Y,X1] + c2[Y,X2] = c1b[X2, X1] + c2a[X1, X2] = (c2a− c1b)Y. Do vậy, Y là một iđêan một chiều của L. [Nếu a = b = 0, thì L là một đại số Lie Abel.] 36 www.VNMATH.com Chương 2 ứng dụng tính đối xứng vào việc giải phương trình vi phân 2.1 ứng dụng nhóm Lie một tham số vào giải phương trình vi phân cấp I. 2.1.1 Hệ toạ độ chính tắc Giả sử ta thực hiện đổi hệ toạ độ (xét trong trường hợp đơn ánh và khả vi liên tục trong một miền thích hợp) y∗ = Y (x) = (y1(x), y2(x)). (2.1) Cho nhóm Lie các phép biến đổi một tham số (1.1), với toán tử sinh vi phân X = ξ1(x) ∂ ∂x1 +ξ2(x) ∂ ∂x2 , trên hệ toạ độ x = (x1, x2), biểu diễn toán tử sinh vi phân trên bằng hệ toạ độ y = (y1, y2), xác định bởi (2.1). Toán tử sinh vi phân sẽ trở thành Y = η1(y) ∂ ∂y1 + η2(y) ∂ ∂y2 . (2.2) Trong trường hợp này ta cần Y = X cùng bậc có tác động nhóm tương tự. Phép vi phân trên hệ toạ độ y η(y) = (η1(y), η2(y)) = Y y. (2.3) 37 www.VNMATH.com 2.1. ứng dụng nhóm Lie một tham số vào giải phương trình vi phân cấp I. 38 Chú ý rằng, bằng việc sử dụng quy luật chuỗi, ta có X = ξ1(x) ∂ ∂x1 + ξ2(x) ∂ ∂x2 = ξ1(x) ∂y1(x) ∂x1 ∂ ∂y1 + ξ1(x) ∂y2(x) ∂x1 ∂ ∂y2 + ξ2(x) ∂y1(x) ∂x2 ∂ ∂y1 + ξ2(x) ∂y2(x) ∂x2 ∂ ∂y2 = η1(y) ∂ ∂y1 + η2(y) ∂ ∂y2 = Y. Vì vậy, để Y = X cùng bậc cần có ηj(y) = ξ1(x) ∂yj(x) ∂x1 + ξ2(x) ∂yj(x) ∂x2 = Xyj, j = 1, 2. (2.4) Định lý 2.1.1. Với hệ toạ độ y cho bởi (2.1) thì nhóm Lie các phép biến đổi một tham số (1.1) trở thành y∗ = eεY y. (2.5) Chứng minh: Từ (1.32) và (2.1), ta thu được y∗ = Y (x∗) = eεXY (x) = eεXY = eεY y. Định nghĩa 2.1.2. Phép đổi toạ độ (2.1) xác định một tập các hệ toạ độ chính tắc cho nhóm Lie các phép biến đổi một tham số (1.1) nếu trong hệ toạ độ mới đó nhóm (1.1) có dạng sau: y∗1 = y1, y∗2 = y2 + ε. (2.6) Định lý 2.1.3. Cho nhóm Lie các phép biến đổi (1.1) bất kì, khi đó tồn tại một tập các toạ độ chính tắc y = (y1, y2) sao cho (1.1) tương đương với hệ (2.6). Chứng minh: Từ Định lý (1.2.14), ta có y∗1 = y1(x ∗) = y1(x), 38 www.VNMATH.com 2.1. ứng dụng nhóm Lie một tham số vào giải phương trình vi phân cấp I. 39 nếu và chỉ nếu Xy1(x) ≡ 0. (2.7) Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính thuần nhất cấp I Xu(x) = ξ1(x) ∂u ∂x1 + ξ2(x) ∂u ∂x2 = 0, (2.8) có 1 nghiệm độc lập u(x), chính là nghiệm tổng quát của hệ phương trình vi phân cấp I dx dt = ξ(x), (2.9) kết quả từ phương trình đặc trưng dx1 ξ1(x) = dx2 ξ2(x) . Hệ toạ độ chính tắc này thoả mãn phương trình đầu của (2.6). Từ định lý (1.2.15), ta có y∗2 = y2(x ∗) = y2(x) + ε, nếu và chỉ nếu Xy2(x) ≡ 1. (2.10) Do vậy, y2(x) được tìm ra từ nghiệm riêng ν(x) của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính không thuần nhất cấp I bất kì Xν(x) = ξ1(x) ∂ν ∂x1 + ξ2(x) ∂ν ∂x2 = 1, (2.11) được giải bằng việc xác định một nghiệm tổng quát tương ứng với phương trình đặc trưng của hệ phương trình vi phân cấp I dν dt = 1, dx dt = ξ(x). (2.12) 39 www.VNMATH.com 2.1. ứng dụng nhóm Lie một tham số vào giải phương trình vi phân cấp I. 40 Định lý 2.1.4. Trong các thành phần của tập hợp hệ toạ độ chính tắc bất kì y = (y1(x), y2(x)), toán tử sinh vi phân của nhóm Lie các phép biến đổi một tham số (1.1) trở thành Y = ∂ ∂y2 . (2.13) Chứng minh: Ta có Y = η1(y) ∂ ∂y1 + η2(y) ∂ ∂y2 Từ (2.7) và (2.10) ta suy ra các thành phần của hệ toạ độ chính tắc η1(y) = Xy1 = 0, η2(y) = Xy2 = 1. 2.1.2 ứng dụng nhóm Lie các phép biến đổi một tham số vào giải phương trình vi phân cấp I để giải được một phương trình vi phân cấp I bằng việc sử dụng nhóm Lie các phép biến đổi một tham số. Trước hết ta cần biết được thế nào là nhóm Lie các phép biến đổi một tham số phù hợp với phương trình vi phân. Ta có định nghĩa Định nghĩa 2.1.5. Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số {X(., ε)} được gọi là phù hợp với phương trình vi phân y′ = f(x, y), nếu y∗ = X(y, ε), x∗ = X(x, ε), thì y∗ x∗ = f(x∗, y∗). 40 www.VNMATH.com 2.1. ứng dụng nhóm Lie một tham số vào giải phương trình vi phân cấp I. 41 Ví dụ 2.1.6. Cho phương trình vi phân sau: y′ = f (y x ) , trong đó, f là hàm thuần nhất. Trong R2, ta lấy x1 = x, x2 = y, và cho hệ toạ độ chính tắc được kí hiệu bằng y1 = r, y2 = s, Cho nhóm Lie các phép biến đổi một tham số x∗ = X((x, y), ε) = eεx, y∗ = Y ((x, y), ε) = eεy, (2.14) với toán tử sinh vi phân X = x ∂ ∂x + y ∂ ∂y . dY = eεdy, dX = eεdx suy ra dY dX = dy dx = f (y x ) = f (Y X ) . Toạ độ r(x, y) thoả mãn Xr = x ∂r ∂x + y ∂r ∂y = 0. (2.15) Phương trình vi phân đặc trưng tương ứng được quy về dy dx = y x . (2.16) với nghiệm tổng quát là r(x, y) = y x = const. (2.17) Toạ độ s(x, y) thoả mãn Xs = x ∂s ∂x + y ∂s ∂y = 1. (2.18) Nghiệm riêng của (2.18) là s(x, y) thoả mãn ds dy = 1 y . (2.19) Do vậy, s(x, y) = ln |y|. (2.20) 41 www.VNMATH.com 2.1. ứng dụng nhóm Lie một tham số vào giải phương trình vi phân cấp I. 42 và do đó, hệ (2.14) có hệ toạ độ chính tắc là (r, s) = (y x , ln |y| ) . Ta có phương trình vi phân dạng tách biến: x dx = y dy hay y x = C, nên dr = − y x2 + 1 x dy = [ − y x2 + 1 x f (y x )] = 1 x (−r + f(r))dx. ds = 1 y dy. Do vậy ds dr = 1 f(r)− r . Suy ra s = ∫ 1 f(r)− rdr. Nghiệm tổng quát viết dưới dạng tham số của bài toán phương trình vi phân ban đầu x = es r , y = es. Ví dụ 2.1.7. Giải phương trình vi phân y′ = xy2 − 2y x − 1 x3 . Tương tự ví dụ trên ta xét nhóm Lie các phép biến đổi x∗ = X((x, y), ε) = eεx, y∗ = Y ((x, y), ε) = e−2εy. ξ(X, Y ) = (X,−2Y ), dY = e−2εdy, dX = eεdx. Suy ra dY dX = e−3ε dy dx = e−3ε(xy2 − 2y x − 1 x3 ) = XY 2 − 2Y X − 1 X3 . Toạ độ r(x, y) thoả mãn Xr = x ∂r ∂x − 2y∂r ∂y = 0. Suy ra r(x, y) = x2y. Toạ độ s(x, y) thoả mãn Xs = x ∂s ∂x − 2y ∂s ∂y = 1. 42 www.VNMATH.com 2.2. ứng dụng Đại số Lie để giải phương trình vi phân cấp cao 43 Suy ra s(x, y) = ln |x|. Vậy hệ toạ độ chính tắc là (r, s) = (x2y, ln |x|). Ta có phương trình vi phân dạng tách biến: x dx = −2y dy hay x2y = C, nên dr = 2xydx + x2dy = (2xy + x3y2 − 2xy − x)dx, ds = 1 x dx. Suy ra ds dr = 1 x4y3 − 1 = 1 r2 − 1 . Vậy s = 1 2 ln ∣∣∣r − 1 r + 1 ∣∣∣+ C. Do đó nghiệm tổng quát viết dưới dạng tham số của phương trình vi phân ban đầu x = es, y = r e2s . 2.2 ứng dụng Đại số Lie để giải phương trình vi phân cấp cao 2.2.1 Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số độc lập, một tham số phụ thuộc Nghiên cứu tính bất biến của phương trình vi phân cấp k với biến độc lập x và biến phụ thuộc y nhằm mục đích là tìm ra nhóm Lie các phép biến đổi một tham số nhận được từ biến đổi điểm x∗ = X(x, y; ε), y∗ = Y (x, y; ε). (2.21) với y = y(x). Đặt yk = y (k) = dky dxk , k ≥ 1. (2.22) Khai triển (2.21) trong không gian (x, y, y′, . . . , y(k)), k ≥ 1 đòi hỏi (2.21) phải đảm bảo điều kiện tiếp xúc liên kết các vi phân dx, dy, dy1, . . . , dyk. 43 www.VNMATH.com 2.2. ứng dụng Đại số Lie để giải phương trình vi phân cấp cao 44 Khi đó, ta có dy = y1dx, (2.23) và dyk = yk+1dx, k ≥ 1. (2.24) Đặc biệt, dưới tác động của nhóm các phép biến đổi (2.21), các đạo hàm xác định liên tục y∗i , k ≥ 1 được biến đổi dy∗ = y∗1dx ∗, ... dy∗k = y ∗ k+1dx ∗, (2.25) Với x∗ và y∗ được xác định bởi (2.21), ta có dy∗ = dY (x, y; ε) = ∂Y (x, y; ε) ∂x dx + ∂Y (x, y; ε) ∂y dy, dx∗ = dX(x, y; ε) = ∂X(x, y; ε) ∂x dx + ∂X(x, y; ε) ∂y dy. (2.26) Bởi vậy, từ (2.21) và (2.26), y∗1 thoả mãn ∂Y (x, y; ε) ∂x dx+ ∂Y (x, y; ε) ∂y dy = y∗1 [∂X(x, y; ε) ∂x dx+ ∂X(x, y; ε) ∂y dy ] . (2.27) Thay thế (2.25) vào (2.26), ta thấy y∗1 = Y1(x, y, y1; ε) = ∂Y (x, y; ε) ∂x + y1 ∂Y (x, y; ε) ∂y ∂X(x, y; ε) ∂x + y1 ∂X(x, y; ε) ∂y . (2.28) Định lý 2.2.1. Nhóm Lie một tham số mở rộng thứ 2 của phép biến đổi điểm (2.21) trên không gian toạ độ (x, y) khai triển từ nhóm Lie các phép biến đổi trên không gian (x, y, y1) x∗ = X(x, y; ε), y∗ = Y (x, y; ε), y∗1 = Y1(x, y, y1; ε), (2.29) 44 www.VNMATH.com 2.2. ứng dụng Đại số Lie để giải phương trình vi phân cấp cao 45 với Y1(x, y, y1; ε) được cho bởi công thức (2.28) Chứng minh: Định lý hoàn toàn chứng minh được bằng việc chỉ ra rằng tính đóng được bảo đảm trong khai triển đầu tiên của (2.21) với không gian (x, y, y1). Những tính chất khác của nhóm Lie các phép biến đổi một tham số thì có trực tiếp trong khai triển đầu tiên này. Cho φ(ε, δ) xác định phép toán giữa tham số ε và δ. Đặt (x∗∗, y∗∗) = (X(x∗, y∗; δ), Y (x, y; δ)). (2.30) Tính đóng của nhóm (2.21) thoả mãn hệ thức (x∗∗, y∗∗) = (X(x∗, y∗;φ(ε, δ)), Y (x, y;φ(ε, δ))). Nhưng y∗∗1 thoả mãn dy∗∗ = y∗∗1 dx∗∗. Do đó, y∗∗1 = Y1(x, y, y1;φ(ε, δ)) = ∂Y (x, y;φ(ε, δ)) ∂x + y1 Y (x, y;φ(ε, δ)) ∂y ∂X(x, y;φ(ε, δ)) ∂x + y1 ∂X(x, y;φ(ε, δ)) ∂y . Định lý 2.2.2. Nhóm Lie một tham số của phép biến đổi điểm (2.21) là nhóm Lie các phép biến đổi một tham số trên không gian (x, y, y1, y2) x∗ = X(x, y; ε), y∗ = Y (x, y; ε), y∗1 = Y1(x, y, y1; ε), y∗2 = Y2(x, y, y1, y2; ε) = ∂Y1 ∂x + y1 ∂Y1 ∂y + y2 ∂Y1 ∂y1 ∂X(x, y; ε) ∂x + y1 ∂X(x, y; ε) ∂y , (2.31) với Y1 = Y1(x, y, y1; ε) được cho bởi công thức (2.28). 45 www.VNMATH.com 2.2. ứng dụng Đại số Lie để giải phương trình vi phân cấp cao 46 Định lý 2.2.3. Nhóm Lie một tham số mở rộng thứ k của phép biến đổi điểm (2.21) là nhóm Lie các phép biến đổi một tham số trên không gian (x, y, y1, . . . , yk) x∗ = X(x, y; ε), y∗ = Y (x, y; ε), y∗1 = Y1(x, y, y1; ε), ... y∗k = Yk(x, y, y1, . . . , yk; ε) = ∂Yk−1 ∂x + y1 ∂Yk−1 ∂y + ã ã ã+ yk∂Yk−1 ∂yk−1 ∂X(x, y; ε) ∂x + y1 ∂X(x, y; ε) ∂y , (2.32) với Y1 = Y1(x, y, y1; ε) được xác định bởi (2.28), và Yi = Yi(x, y, y1, . . . , yi; ε), i = 1, 2, . . . , k. Chú ý rằng ta có thể khai triển tập hợp bất kỳ các phép biến đổi 1 - 1 (không nhất thiết phải là một nhóm các phép biến đổi) x† = X(x, y), y† = Y (x, y), (2.33) từ miền D trong không gian (x, y) vào miền D† khác trong không gian (x†, y†), và hàm X(x, y), Y (x, y) là đạo hàm k lần trong D. Ta cũng có thể khai triển tự nhiên các phép biến đổi (2.33) ở không gian (x, y, y1, . . . , yk) để điều kiện tiếp xúc (2.25) được bảo đảm dy† = y†1dx †, dy†k = d † k+1dx †, k ≥ 1. (2.34) ở đây, phép biến đổi mở rộng thứ k từ không gian (x, y, y1, . . . , yk) vào 46 www.VNMATH.com 2.2. ứng dụng Đại số Lie để giải phương trình vi phân cấp cao 47 không gian (x†, y†, y†1, . . . , y † k) được cho bởi x† = X(x, y), y† = Y (x, y), y†1 = Y1(x, y, y1), ... y†k = Yk(x, y, y1, . . . , yk) = ∂Yk−1 ∂x + y1 ∂Yk−1 ∂y + ã ã ã+ ∂Yk−1 ∂yk−1 ∂X(x, y) ∂x + y1 ∂X(x, y) ∂y . (2.35) với Y1 = Y1(x, y, y1) = ∂Y (x, y) ∂x + y1 ∂Y (x, y) ∂y ∂X(x, y) ∂x + y1 ∂X(x, y) ∂y , và Yi = Yi(x, y, y1, . . . , yi), i = 1, 2, . . . , k − 1. Cho nhóm Lie các phép biến đổi một tham số của biến đổi điểm x∗ = X(x, y; ε) = x + εξ(x, y) + O(ε2), y∗ = Y (x, y; ε) = y + εη(x, y) +O(ε2), (2.36) tác động trên không gian (x, y) có vi phân ξ(x, y); η(x, y), với toán tử sinh vi phân tương ứng X = ξ(x, y) ∂ ∂x + η(x, y) ∂ ∂y . 47 www.VNMATH.com 2.2. ứng dụng Đại số Lie để giải phương trình vi phân cấp cao 48 Khai triển thứ k của (2.36) x∗ = X(x, y; ε) = x + εξ(x, y) + O(ε2), y∗ = Y (x, y; ε) = y + εη(x, y) + O(ε2), y∗1 = Y1(x, y, y1, ε) = y1 + εη (1)(x, y, y1) +O(ε 2), ... y∗k = Yk(x, y, y1, . . . , yk; ε) = yk + εη (k)(x, y, y1, . . . , yk) + O(ε 2). (2.37) Vi phân mở rộng thứ k ξ(x, y), η(x, y), η(1)(x, y, y1), . . . , η (k)(x, y, y1, . . . , yk), với toán tử sinh vi phân mở rộng thứ k tương ứng X (k) = ξ(x, y) ∂ ∂x +η(x, y) ∂ ∂y +η(1)(x, y, y1) ∂ ∂y1 +ã ã ã+η(k)(x, y, y1, . . . , yk) ∂ ∂yk , (2.38) với k = 1, 2, . . . . Công thức cho vi phân mở rộng η(k) là kết quả của định lý Định lý 2.2.4. Vi phân mở rộng η(k) thoả mãn hệ thức đệ quy η(k)(x, y, y1, . . . , yk) = Dη (k−1)(x, y, y1, . . . , yk−1)− ykDξ, k = 1, 2, . . . , (2.39) trong đó, η0 = η(x, y). Đặc biệt, η(k) = Dkη − k∑ j=1 k! (k − j)!j! . Chứng minh: Phần chứng minh ta có thể tham khảo ở trang 60 - STK[5]. 48 www.VNMATH.com 2.2. ứng dụng Đại số Lie để giải phương trình vi phân cấp cao 49 Vi phân mở rộng η(k) có các tính chất i) η(k) là tuyến tính của yk, k ≥ 2. ii) η(k) là một hàm đa thức của y1, y2, . . . , yk mà hệ số của nó là tuyến tính thuần nhất ξ(x, y), η(x, y) và đạo hàm riêng của chúng lên đến bậc k. Ví dụ 2.2.5. Nhóm các phép tịnh tiến η(k) = 0, k ≥ 1. Ví dụ 2.2.6. Nhóm Scalings η(k) = (2− k)yk, k ≥ 1. Định lý 2.2.7. Cho X (k)α , X (k) β là toán tử sinh vi phân mở rộng thứ k của toán tử sinh vi phân Xα, Xβ , và [Xα, Xβ ](k) là toán tử sinh vi phân mở rộng thứ k của giao hoán tử [Xα, Xβ ]. Khi đó, [Xα, Xβ ](k) = [X (k) α , X (k) β ], k ≥ 1. Do vậy, nếu [Xα, Xβ] = Xγ , thì [X (k) α , Xβ(k)] = X (k) γ , k ≥ 1. 2.2.2 Ví dụ ứng dụng Đại số Lie vào giải phương trình vi phân bậc cao Ví dụ 2.2.8. Ta xét phương trình vi phân (phương trình Blasius) y′′′ + 1 2 yy′′ = 0. (2.40) nhận được từ nhóm Lie các phép biến đổi 2 tham số với toán tử sinh vi phân X1 = ∂ ∂x , X2 = x ∂ ∂x − y ∂ ∂y . Khi đó, [X1, X2] = X1. Hàm bất biến của X (2)1 được cho dưới dạng u = y, v = y′ = y1, v1 = dv du = y2 y1 . 49 www.VNMATH.com 2.2. ứng dụng Đại số Lie để giải phương trình vi phân cấp cao 50 Tương tự, X (2)2 = x ∂ ∂x − y ∂ ∂y − 2y1 ∂ ∂y1 − 3y2 ∂ ∂y2 , X2u = −y = −u, X (1)2 v = −2y1 = −2v, X (2)2 v1 = − y2 y1 = −v1. thì X (1)2 U(u, v) = 0, X (2) 2 V (u, v, v1) = 0; ta dẫn đến U = u v2 , V = v1 u . Do đó phương trình vi phân bậc 3 (PT Blasius) được đưa về dạng dV dU = d((yy1) −1)y2 d(y−2y1) = y2y1y3 − y2(y2)2 − y(y1)2y2 y(y1)2y2 − 2(y1)4 = 1 2y 3y1y2 + y 2(y2) 2 + y(y1) 2y2 2(y1)4 − y(y1)2y2 . Biến đổi theo u và v phương trình trở thành phương trình vi phân cấp I dV dU = V U [ 1 2 + V + U 2U − V ] . (2.41) Nếu V = φ(U ;C1) là nghiệm tổng quát của (2.41) thì phương trình vi phân cấp I v1 = dv du = uφ( v u2 ;C1), (2.42) nhận được X (1)2 = −u ∂ ∂u − 2v ∂ ∂v . Biến đổi tương đương bằng hệ toạ độ chính tắc r = v u2 , s = ln |v|, phương trình vi phân (2.42) trở thành ds dr = φ(r;C1) r(φ(r; c1)− 2r . (2.43) Điều này dẫn đến phép cầu phương v = C2exp {∫ r φ(ρ;C1) ρ(φ(ρ;C1) = 2ρ) dρ } , (2.44) khi v = y1, r = y1/y2. Theo nguyên tắc, (2.44) có thể khai triển dưới dạng nghiệm tổng quát y′ = Ψ(y;C1, C2). 50 www.VNMATH.com 2.2. ứng dụng Đại số Lie để giải phương trình vi phân cấp cao 51 Ta nhận được X1 = ∂ ∂x và sau đó đưa được về dạng phép cầu phương sau: ∫ dy Ψ(y;C1, C2) = x + C3. (2.45) Phương trình (2.45) biểu diễn nghiệm tổng quát của phương trình Blasius. Ví dụ 2.2.9. Ví dụ tiếp theo chúng ta xét phương trình vi phân bậc 3 yy′ ( y y′ )′′ = ±1. (2.46) Phương trình này có được khi nghiên cứu về tính chất của phương trình sóng với vận tốc sóng y(x). Phương trình vi phân (2.46) hiển nhiên nhận được nhóm Lie các phép biến đổi 2 tham số x∗ = ax + b, y∗ = ay. Ta dễ dàng thấy rằng hàm vi phân bất biến tương ứng với nhóm trên là U = y′, V = yy′′. Do đó, phương trình vi phân (2.46) đưa về dạng dV dU = 2 V U ∓ U V . (2.47) Ngẫu nhiên, phương trình vi phân cấp I (2.47) nhận được nhóm Scalings U∗ = λU, V ∗ = λV. Cho nên, nghiệm tổng quát của PTVP (2.47) tìm được một cách dễ dàng U−2 [(V U )2 ∓ 1 ] = const. (2.48) Có 2 trường hợp xảy ra phụ thuộc vào kí hiệu hằng số ở (2.48). Ta sẽ xét trường hợp khi hằng số được cho bởi ω2 ≥ 0, ω = const. Trong trường 51 www.VNMATH.com 2.2. ứng dụng Đại số Lie để giải phương trình vi phân cấp cao 52 hợp này, để thuận tiện ta chọn hàm vi phân bất biến cấp I tương ứng với hàm bất biến dưới các biến đổi của x như một biến mới: u = y; v = y′ = U. Khi đó, (2.48) trở thành phương trình vi phân cấp I dv du = √ ω2v ± 1 u . (2.49) Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (2.49) v = 1 2ω [(ρu)ω ∓ (ρu)−ω], (2.50) trong đó, ρ là một hằng số tuỳ ý. Không mất tính tổng quát trong công thức biến đổi nhóm Scalings của x và y ta cho ρ = 1. Khi đó phương trình vi phân cấp I (2.46) được đưa về dạng y′ = 1 ω [yω ∓ y−ω]. Chuyển sang dạng toạ độ ta có: y′ = 1 2ω sinh(ω ln |y|), (2.51) hoặc y′ = 1 2ω cosh(ω ln |y|). (2.52) Nếu hằng số trong (2.48) được cho bởi −ω2 ≤ 0, thì với tiến trình tương tự ta thu được dạng toạ độ gọn hơn cho phương trình vi phân (2.46) y′ = − 1 ω sin(ω ln |y|). (2.53) Tính chất nghiệm của phương trình vi phân (2.53) rất thú vị. 52 www.VNMATH.com Kết luận 53 Kết Luận Mục đích chính của khóa luận là đưa ra tính chất đối xứng của nghiệm của phương trình vi phân, từ đó đưa ra ứng dụng của tính chất đó trong nhóm Lie và đại số Lie nhằm biến đổi để giải những phương trình vi phân không giải được bằng các phương pháp thông thường. Các kết quả chính của khóa luận là: • Tổng hợp lại một số kiến thức về lý thuyết nhóm Lie, Đại số Lie. • Trình bày, phân tích và bình luận các bài toán Phương trình vi phân giải được nhờ việc đưa ra tính đối xứng của nghiệm và nhóm Lie, đại số Lie; nêu lên ý nghĩa cơ bản của nó trong giải Phương trình vi phân. • Sử dụng các phương pháp đã nghiên cứu để ứng dụng giải một số ví dụ cụ thể các Phương trình vi phân cấp I, các Phương trình vi phân cấp cao; làm sáng tỏ một số kết quả toán học về ứng dụng tính đối xứng của nghiệm trong giải Phương trình vi phân. 53 www.VNMATH.com Tài liệu tham khảo 54 Tài liệu tham khảo [1]. P.Eisenhart (1961), Continuous groups of transformations, Dover, New York. [2]. Gilmore (1974), Lie groups, Lie algebras and some of their applications, Wiley, New York. [3]. N.H. Ibragimov (1985), Transformation groups applied to mathematical physics, Reidel, Boston. [4]. Hans Stephani (1989), Differential equation - Their solution using sym- metries, University Press, Cambridge, UK. [5]. George W.Bluman and Stephen C. Anco (2002), Symmetry anh Inte- gration Methods for Differential Equations, Springer - Vertal NeW York, Inc. [6]. Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu (2003), Cơ sở phương trình vi phân và lí thuyết ổn định, NXB Giáo Dục. [7]. Trần Văn Trản, Phương pháp số thực hành - tập I, II, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội. 54 www.VNMATH.com