Khóa luận Một số tính chất của hàm lồi và ứng dụng

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ? ? ?F ? ?? TRẦN NGỌC ĐỨC TOÀN MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM LỒI VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Giải tích KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP Cán bộ hướng dẫn TS. TRƯƠNG VĂN THƯƠNG Huế, tháng 5 năm 2011 i LỜI CẢM ƠN Khóa luận này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình, chu đáo của TS Trương Văn Thương. Tôi xin phép được gửi đến Thầy sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc về sự tận tâm của Thầy đối với bản thân tôi không những trong thời gian làm khóa luận mà còn trong suốt quá trình học tập. Tôi cũng xin phép được gửi lời cám ơn chân thành đến quý Thầy cô đã giảng dạy lớp Toán B trường ĐHSP Huế cũng như toàn thể quý thầy cô Khoa Toán trường ĐHSP Huế, những người đã cho tôi kiến thức, quan tâm động viên, nhiệt tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập cũng như trong thời gian thực hiện đề tài. Cuối cùng, tôi xin phép được gửi lời cảm ơn đến những người thân, bạn bè đã quan tâm động viên giúp đỡ tôi trong suốt quãng đường học tập vừa qua. Huế, tháng 5 năm 2011 Trần Ngọc Đức Toàn ii MỤC LỤC Trang phụ bìa i Lời cảm ơn ii MỤC LỤC 1 MỞ ĐẦU 2 1 KIẾN THỨC MỞ ĐẦU - HÀM LỒI VÀ HÀM LOGA-LỒI. 4 1.1 Kiến thức mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Hàm lồi và hàm loga-lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN VÀ CÁC BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN HÀM LỒI. 13 2.1 Một số tính chất cơ bản của hàm lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Các bất đẳng thức liên quan đến hàm lồi. . . . . . . . . . . . . . . . 31 3 MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA HÀM LỒI VÀ HÀM LOGA-LỒI 39 3.1 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số. . . . . . . . . . . . . . 39 3.2 Tổng quan về lớp các hàm loga-lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.3 Hàm gamma và bất đẳng thức về hàm gamma . . . . . . . . . . . . . 43 3.4 Hàm zeta và bất đẳng thức về hàm zeta . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.5 Tích phân elliptic - Tích phân elliptic hoàn chỉnh dạng thứ nhất RK - Các bất đẳng thức liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 KẾT LUẬN 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO 55 1 MỞ ĐẦU Lý thuyết về các tập lồi và hàm lồi có một vị trí quan trọng trong toán học, nó liên quan đến hầu hết các ngành của toán học như giải tích hàm, hình học, toán kinh tế, giải tích lồi, tối ưu phi tuyến. . .Một cách tổng quát, có hai tính chất cơ bản của các hàm lồi làm cho chúng được sử dụng rộng rãi trong toán học lý thuyết và toán ứng dụng, đó là: tính chất đạt giá trị lớn nhất trên biên và bất kỳ cực tiểu địa phương nào cũng là cực tiểu trên tập xác định. Hơn nữa, một hàm lồi thực sự thì điểm cực tiểu nếu có là duy nhất. Có sự tác động qua lại giữa giải tích và hình học trong việc nghiên cứu các hàm lồi. Hiện nay, người ta còn nghiên cứu một số lớp hàm liên quan như hàm loga-lồi, hàm lồi nhân tính, hàm siêu điều hòa và các hàm lồi theo nghĩa nhóm con của nhóm tuyến tính. Có thể nói, nghiên cứu về tập lồi và các hàm lồi là một đề tài thú vị, nhận được sự quan tâm của nhiều nhà toán học. Các vấn đề liên quan đến hàm lồi không ngừng nảy sinh và có nhiều kết quả đẹp, nhiều kết quả của hàm lồi được ứng dụng trong toán học và trong thực tế. Khóa luận hướng đến việc trình bày một số vấn đề lý thuyết liên quan đến hàm lồi, khảo sát các ứng dụng của hàm lồi trong việc tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, tìm hiểu một số kết quả mới về một số hàm lồi đặc biệt như hàm gamma, hàm zeta Riemann và tích phân elliptic, từ đó làm rõ thêm về đề tài thú vị này. Nội dung của khóa luận chia làm ba chương: Chương một đưa ra một số thuật ngữ và ký hiệu sẽ được dùng trong suốt khóa luận, nhắc lại một số kiến thức mở đầu để độc giả có thể theo dõi dễ dàng hơn trong phần sau. Định nghĩa và tính chất của tập lồi, định nghĩa của hàm lồi, hàm loga-lồi và ý nghĩa hình học của tính lồi cũng được giới thiệu. Chương hai trình bày một số vấn đề lý thuyết liên quan đến hàm lồi, từ các phép toán đối với các hàm lồi đến tính liên tục, khả vi cấp một và cấp hai, giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm lồi. Phần cuối của chương được dành để nói về các bất đẳng thức liên quan đến hàm lồi, đồng thời giới thiệu một số bất đẳng thức mới về các hàm lồi. Chương ba khảo sát một số ứng dụng của hàm lồi như việc tìm giá trị nhỏ nhất 2 - lớn nhất, khảo sát lớp hàm loga-lồi. Thông qua việc tìm hiểu các hàm loga-lồi đặc biệt, ta cũng sẽ tìm hiểu và thiết lập một vài bất đẳng thức liên quan đến lớp hàm này. 3 Chương 1 KIẾN THỨC MỞ ĐẦU - HÀM LỒI VÀ HÀM LOGA-LỒI. Trong chương này, chúng tôi nêu ra một số ký hiệu sẽ được dùng trong khóa luận, trình bày ngắn gọn các vấn đề lý thuyết làm cơ sở cho các vấn đề trình bày ở hai chương sau. Các vấn đề về sự tương đương giữa hai không gian tuyến tính định chuẩn, hàm số liên tục, hàm số khả vi, giá trị lớn nhất - nhỏ nhất và các bất đẳng thức liên quan đến tích phân, định lý giới hạn dưới dấu tích phân cũng được nhắc lại. Ta cũng sẽ tìm hiểu sơ qua định nghĩa và các tính chất của tập lồi. Phần cuối chương một chúng tôi tập trung mô tả các định nghĩa về hàm lồi trên một tập, hàm loga-lồi cũng như đề cập đến ý nghĩa hình học về tính lồi của một hàm trên một khoảng của tập số thực. 1.1 Kiến thức mở đầu. Trong mục 1.1 này, tác giả chỉ xin đưa ra một số thuật ngữ, khái niệm, tính chất sẽ được sử dụng trong suốt khóa luận. Các khái niệm không gian tuyến tính, chuẩn, sự hội tụ, ánh xạ tuyến tính, ánh xạ song tuyến tính, số chiều, không gian Banach, sự đồng phôi, không gian topo, độ đo. . . độc giả có thể tìm thấy ở trong [2] và [1] hoặc trong bất kỳ giáo trình giải tích hàm nào. Trong khóa luận này, ta sẽ ký hiệu X, Y là không gian tuyến tính định chuẩn thực. Chuẩn của một phần tử x ∈ X sẽ được ký hiệu là ‖x‖. Ta cũng sẽ ký hiệu I ⊂ R là một khoảng của tập số thực, B(x0, ) là hình cầu mở tâm x0 bán kính , L(X,Y ) là tập hợp tất cả các ánh xạ tuyến tính liên tục từ X vào Y . 4 Các tập số cũng được ký hiệu như thường lệ: N : Tập hợp các số tự nhiên. N∗ : Tập hợp các số nguyên dương. Z : Tập hợp các số nguyên. Q : Tập hợp các số hữu tỉ. R : Tập hợp các số thực. R+ : Tập hợp các số thực không âm. R> : Tập hợp các số thực dương. C : Tập hợp các số phức. Để người đọc theo dõi khóa luận một cách thuận tiện, tôi xin đưa ra một số khái niệm, định lý và tính chất sau. Bạn đọc có thể dễ dàng tìm thấy hoặc xem chứng minh một cách đầy đủ trong nhiều tài liệu giải tích hiện nay. 1.1.1. Sự đồng phôi giữa các không gian định chuẩn. Định nghĩa 1.1.1. [2] Cho X và Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn. Một ánh xạ A : X → Y được gọi là một phép đồng phôi tuyến tính từ X lên Y nếu A là song ánh tuyến tính, A liên tục và toán tử ngược A−1 cũng liên tục. Khi đó người ta nói hai không gian tuyến tính định chuẩn X và Y là đồng phôi tuyến tính với nhau. Định nghĩa 1.1.2. [2] Cho (X, ‖.‖1) và (X, ‖.‖2) là hai không gian tuyến tính định chuẩn. Ta gọi hai chuẩn này là tương đương nếu ánh xạ đồng nhất id : (X, ‖.‖1) → (X, ‖.‖2) là phép đồng phôi tuyến tính. Ta có định lý: Định lý 1.1.1. [2] Tất cả các không gian định chuẩn n-chiều đều đồng phôi tuyến tính với nhau. Do đó, tất cả các không gian định chuẩn n-chiều đều đồng phôi tuyến tính với Rn. 1.1.2. Ánh xạ liên tục. Định nghĩa 1.1.3. Cho X,Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn, U là một tập mở trong X và ánh xạ f : U → Y . Khi đó, f được gọi là liên tục tại x0 nếu với mọi  > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x ∈ U, ‖x− x0‖ < δ thì ‖f(x)− f(x0)‖ < . Nếu f liên tục tại mọi x0 ∈ U thì ta nói ánh xạ f liên tục trên U . 5 Định nghĩa 1.1.4. [6] Cho U ⊂ X là một tập mở trong không gian tuyến tính định chuẩn X. Một hàm f : U → R được gọi là Lipschitz địa phương nếu với mỗi x ∈ U , có một lân cận B(x, ) của x và một số Kx để bất đẳng thức |f(y)− f(z)| ≤ Kx ‖y − z‖ (1.1.1) đúng với mọi y, z ∈ B(x, ). Nếu bất đẳng thức (1.1.1) đúng với mọi phần tử của tập V ⊆ U và K độc lập với x, ta nói f Lipschitz trên V . Nhận xét 1.1.2. Từ (1.1.1) ta suy ra f Lipschitz địa phương trên U thì hàm f liên tục trên U . 1.1.3. Ánh xạ khả vi. Định nghĩa 1.1.5. [6] Cho X,Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn, U là tập mở trong X và ánh xạ f : U → Y . Khi đó f được gọi là khả vi tại x0 nếu có một ánh xạ tuyến tính A : X → Y sao cho với h đủ gần điểm 0 ta có f(x0 + h) = f(x0) + Ah + ‖h‖ (x0, h), trong đó (x0, h) → 0 khi ‖h‖ → 0. Ánh xạ tuyến tính A được gọi là đạo hàm của ánh xạ f tại điểm x0 và được ký hiệu là f ′(x0). Nếu ánh xạ f khả vi tại mọi x ∈ U thì ta nói hàm f khả vi trên U . Nhận xét 1.1.3. Từ Định nghĩa 1.1.5 ta rút ra các nhận xét sau: 1. f ′(x0) là một ánh xạ tuyến tính. 2. Một cách tương đương, f khả vi tại x0 nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính A sao cho lim ‖h‖→0 ‖f(x0 + h)− f(x0)− Ah‖ ‖h‖ = 0. Định nghĩa 1.1.6. [6] Cho X,Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn, U là tập mở trong X và ánh xạ f : U → Y . Khi đó f được gọi là có đạo hàm tại x0 theo hướng h nếu tồn tại giới hạn lim t→0 f(x0 + th)− f(x0) t . Đạo hàm của hàm f tại x0 theo hướng h được ký hiệu là Df(x0, h). Nhận xét 1.1.4. Cho f : U → R là hàm khả vi trên một tập mở U của không gian tuyến tính định chuẩn X. Khi đó, với mọi x ∈ U ta luôn có Df(x, h) = f ′(x)(h). 6 Thật vậy, cố định h ∈ X,h 6= 0. Do f khả vi tại x ∈ U nên ta có f(x + th)− f(x) = f ′(x)(th) + ◦(||th||), trong đó ◦(||th||) → 0 khi ||th|| → 0. Do đó f(x + th)− f(x) t = f ′(x)(h) + ◦(||th||) t . Chuyển qua giới hạn, cho t → 0 ta được Df(x, h) = f ′(x)(h). Đặc biệt, khi X ≡ Rn và h trùng với vectơ đơn vị ei = (0, . . . , 1 . . . , 0) thì Df(x0, ei) được gọi là đạo hàm riêng thứ i của ánh xạ f và ta viết ∂f ∂xi (x0) = f ′ i(x0) = Df(x0, ei). Ta có định lý Định lý 1.1.5. [6] Cho U là tập mở của không gian định chuẩn Rn. Nếu ánh xạ f : U −→ Rm (x1, . . . , xn) 7−→ (f1(x1, . . . , xn), . . . , fm(x1, . . . , xn)) khả vi tại x ∈ U thì tất cả các đạo hàm riêng của hàm f đều tồn tại và [f ′(x)] =   ∂f1 ∂x1 (x) . . . ∂f1 ∂xn (x) ... ... ∂fm ∂x1 (x) . . . ∂fm ∂xn (x)   Định lý 1.1.6. [6] Cho U là một tập mở của không gian tuyến tính định chuẩn Rn. Ánh xạ f : U → Rm có các đạo hàm riêng theo hướng liên tục trên U . Khi đó f ′(x) tồn tại và được xác định như trong Định lý 1.1.5. Bây giờ, cho U là tập mở trong không gian tuyến tính định chuẩn thực X. Nếu hàm f : U → R có đạo hàm trên U thì ta có ánh xạ đạo hàm f ′. Nếu ánh xạ đạo hàm f ′ có đạo hàm tại x ∈ U thì ta cũng nói hàm f có đạo hàm cấp hai tại x và ký hiệu là f ′′(x). Với h ∈ X ta có f ′′(x)(h) là ánh xạ tuyến tính đi từ X → R. Ta suy ra [f ′′(x)(h)](k) là một phần tử của R (k ∈ X). Ta có [f ′′(x)(h)](k) tuyến tính theo cả h và k. Vì vậy, ta xem f ′′(x) là một ánh xạ song tuyến tính từ X ×X vào R và [f ′′(x)(h)](k) sẽ được ký hiệu là f ′′(x)(h, k) (h, k ∈ X). 7 Định nghĩa 1.1.7. [6] Cho X là một không gian tuyến tính thực. Một ánh xạ song tuyến tính B : X × X → R được gọi là đối xứng nếu B(h, k) = B(k, h) ∀ h, k ∈ X. B được gọi là xác định không âm (xác định dương) nếu với mọi h ∈ X khác 0, ta có B(h, h) ≥ 0 (B(h, h) > 0). Ta có định lý Định lý 1.1.7. [6] Cho X, Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn và U là một tập mở trong X, f : X → Y là ánh xạ khả vi liên tục trên U . Khi đó f ′′(x) là đối xứng tại những điểm mà f ′′ tồn tại. Để thuận tiện trong chứng minh ở chương sau, trong phần này ta cũng sẽ giới thiệu khai triển Taylor với phần dư Lagrange thể hiện trong định lý dưới đây: Định lý 1.1.8. [5] Giả sử f : [a; b] → R có đạo hàm liên tục tới cấp n trên [a; b] và có đạo hàm cấp n + 1 trên (a; b). Khi đó tồn tại c ∈ (a; b) sao cho f(b) = n∑ k=0 f (k)(a) k! (b− a)k + f (n+1)(c) (n + 1)! (b− a)n+1. 1.1.4. Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu. Định nghĩa 1.1.8. Cho U là một tập con của không gian tuyến tính định chuẩn X. Hàm f : U → R được gọi là đạt cực đại (cực tiểu) địa phương tại x0 ∈ U nếu có một hình cầu mở B(x0, ) ⊂ U để f(x) ≤ f(x0) (f(x) ≥ f(x0)) với mọi x ∈ B(x0, ). Nếu f(x) ≤ f(x0) (f(x) ≥ f(x0)) với mọi x ∈ U thì f được gọi là đạt cực đại (cực tiểu) trên U . 1.1.5. Bất đẳng thức Ho¨lder - giới hạn dưới dấu tích phân. Định lý 1.1.9. [2] (Bất đẳng thức Ho¨lder). Cho E là một tập khác trống và (E,F, µ) là một không gian độ đo. Giả sử f, g là các hàm số thực đo được trên E. Khi đó∫ E |f.g|dµ ≤ (∫ E |f |pdµ )1/p (∫ E |g|qdµ )1/q với p, q ∈ R>, 1/p + 1/q = 1. Bây giờ, nếu f và g là các hàm số thực dương, với λ ∈ (0, 1), áp dụng bất đẳng thức Ho¨lder ta có ∫ E fλ.g1−λdµ ≤ (∫ E fdµ )λ(∫ E gdµ )1−λ . 8 Nếu λ ∈ {0, 1} và ∫E fdµ > 0, ∫E gdµ > 0 thì bất đẳng thức trên vẫn đúng. Ta có hệ quả: Hệ quả 1.1.10. Cho E là một tập khác trống và (E,F, µ) là một không gian độ đo. Giả sử f, g là các hàm số thực dương đo được trên E, ∫ E fdµ > 0, ∫ E gdµ > 0. Khi đó với λ ∈ [0; 1] ta có ∫ E fλ.g1−λdµ ≤ (∫ E fdµ )λ(∫ E gdµ )1−λ . Hệ quả trên vẫn đúng nếu f, g là các hàm số thực dương hầu khắp nơi trên E. Định lý 1.1.11. [1] (Levi) Cho E là một tập khác trống và (E,F, µ) là một không gian độ đo. Nếu dãy hàm (fn) trong đó 0 ≤ fn là các hàm số thực đo được trên E đơn điệu tăng và dần về hàm f thì lim n→∞ ∫ E fndµ = ∫ E fdµ. Từ Định lý 1.1.11 ta có hệ quả sau: Hệ quả 1.1.12. [1] Cho E là một tập khác trống và (E,F, µ) là một không gian độ đo. Nếu fn là các hàm số thực không âm đo được trên E với mọi n ∈ N∗ thì∫ E ∞∑ n=1 fndµ = ∞∑ n=1 ∫ E fndµ. 1.1.6. Tập lồi và các tính chất của tập lồi. Định nghĩa 1.1.9. [6] Một tập U của một không gian tuyến tính thực X được gọi là tập lồi nếu nó chứa mọi đoạn thẳng [x, y] = {λx + (1− λ)y|λ ∈ [0, 1]} nối bất kỳ hai điểm x, y ∈ U . Đặc biệt, nếu X ≡ R thì tập lồi là một khoảng, một đoạn nay nửa khoảng. Nếu α1, . . . , αn là các số thực không âm, n∑ i=1 αixi = 1 thì x = n∑ i=1 αixi được gọi là một tổ hợp lồi của x1, . . . , xn. Định lý 1.1.13. [6] Một tập U ⊂ X là tập lồi nếu và chỉ nếu mọi tổ hợp lồi của các điểm của U đều nằm trong U . 9 Định lý 1.1.14. [6] Nếu {Ui}, i ∈ J là một họ các tập lồi thì U = ∩i∈JUi là một tập lồi. Định nghĩa 1.1.10. Cho U là một tập con của X. Khi đó, bao lồi của U ký hiệu là co(U), là giao của tất cả các tập lồi chứa U . Bao lồi của U là một tập lồi. Định lý 1.1.15. [6] Cho U là một tập con của X. Khi đó bao lồi của U là tập tất cả các tổ hợp lồi của các phần tử của U . Định nghĩa 1.1.11. [6] Một điểm x0 của tập lồi U được gọi là điểm cực biên nếu x0 không là điểm trong của bất cứ đoạn thẳng nào nằm trong U . Tức là không tồn tại hai điểm x1, x2 ∈ U và λ ∈ (0; 1) để x0 = λx1 + (1− λ)x2. Ta có định lý: Định lý 1.1.16. [6] Cho U ⊆ Rn là một tập lồi, compact. Khi đó U là bao lồi của tất cả các điểm cực biên của nó. 1.2 Hàm lồi và hàm loga-lồi. Các hàm lồi được định nghĩa trên các tập lồi. Định nghĩa 1.2.1. [9] Cho I là một khoảng chứa trong R và hàm f : I → R. 1. f được gọi là hàm lồi nếu f(λx + (1− λ)y) ≤ λf(x) + (1− λ)f(y) (1.2.1) với mọi x, y ∈ I và với mọi λ ∈ [0; 1]. 2. f được gọi là hàm lồi thực sự (chặt) nếu (1.2.1) là bất đẳng thức ngặt với các điểm x, y phân biệt và λ ∈ (0; 1). 3. Nếu −f là hàm lồi (lồi thực sự) thì ta nói f là hàm lõm (lõm thực sự). 4. Nếu f vừa là hàm lồi vừa là hàm lõm thì ta nói f là hàm affine. Thực ra, tại λ = 0 và λ = 1 thì (1.2.1) luôn đúng nên để cho tiện, đôi khi ta chỉ cần xét λ ∈ (0; 1). Trong trường hợp tổng quát, với U là một tập lồi trong không gian tuyến tính định chuẩn thực X. Một hàm f : U → R được gọi là lồi nếu f(λx + (1− λ)y) ≤ λf(x) + (1− λ)f(y) 10 với mọi x, y ∈ U và với mọi λ ∈ [0; 1]. Các khái niệm hàm lồi thực sự, hàm lõm, lõm thực sự cũng được định nghĩa tương tự như trong Định nghĩa 1.2.1. Định nghĩa 1.2.2. Cho I là một khoảng của tập số thực và f : I → (0,∞). Khi đó 1. f được gọi là hàm loga-lồi nếu ln f là hàm lồi. Nói cách khác f(λx + (1− λ)y) ≤ f(x)λf(y)1−λ ∀x, y ∈ I, λ ∈ [0, 1]. 2. f được gọi là hàm loga-lõm nếu ln f là hàm lõm. Nói cách khác f(λx + (1− λ)y) ≥ f(x)λf(y)1−λ ∀x, y ∈ I, λ ∈ [0, 1]. Trong phần cuối của chương 2 ta sẽ chỉ ra rằng hàm loga-lồi cũng là một hàm lồi. Ví dụ 1.2.1. Các hàm sau đây là hàm lồi: 1. f : R → R, f(x) = ax + b với a, b là các số thực bất kỳ. Thật vậy, với bất kỳ a, b ∈ R, x, y ∈ R, λ ∈ [0, 1], ta có f(λx + (1− λ)y) = a(λx+ (1− λ)y) + b = λ(ax + b) + (1− λ)(ay + b) thỏa mãn định nghĩa của hàm lồi. 2. Ánh xạ chuẩn ‖.‖ : X → R với X là một không gian tuyến tính định chuẩn thực. Thật vậy, với x, y ∈ X, λ ∈ [0; 1] ta có ‖λx + (1− λy)‖ ≤ ‖λx‖+ ‖(1− λ)y‖ ≤ λ ‖x‖+ (1− λ) ‖y‖ thỏa mãn định nghĩa của hàm lồi. 3. Hàm khoảng cách dU : Rn → R, dU (x) = d(x, U) = inf z∈U ‖x− z‖ với U là tập lồi không rỗng của Rn. Thật vậy, dU là hàm lồi do với x, y ∈ Rn, λ ∈ [0; 1] ta có dU(λx + (1− λ)y) = inf z∈U ‖λx + (1− λ)y − z‖ = inf z∈U ‖λ(x− z) + (1− λ)(y − z)‖ ≤ inf z∈U ‖λ(x− z)‖+ inf z∈U ‖(1− λ)(y − z)‖ ≤ λ inf z∈U ‖x− z‖+ (1− λ) inf z∈U ‖y − z‖ = λdU(x) + (1− λ)du(y). 11 Các tính chất của hàm lồi và tiêu chuẩn đạo hàm cấp hai trong chương 2 sẽ cho ta nhiều công cụ hơn để chứng minh một hàm nào đó là hàm lồi. Bây giờ, cho f : I → R là một hàm lồi trên một khoảng I ⊂ R. Với u, v ∈ I phân biệt và x ∈ [u; v]. Khi đó tồn tại một số λ ∈ [0; 1] để x = λu + (1− λ)v. Ta có x− u v − u = λu + (1− λ)v − u v − u = (1− λ)(v − u) v − u = 1− λ. (1.2.2) (u,f(u)) (v,f(v)) xO y (x,f(x)) Do đó, f(x) ≤ λf(u) + (1− λ)f(v) = f(u) + (1− λ)(f(v)− f(u)) = f(u) + f(v)− f(u) v − u (x− u) (theo (1.2.2)). Ta có f(u)+ f(v)− f(u) v − u (x−u) = 0 chính là đường thẳng đi qua hai điểm (u, f(u)) và (v, f(v)). Nói cách khác, các điểm trên đồ thị của hàm f |[u;v] nằm dưới dây cung nối hai điểm (u, f(u)) và (v, f(v)), với mọi u, v ∈ I, u < v. Đây chính là ý nghĩa hình học về tính lồi của hàm f . 12 Chương 2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN VÀ CÁC BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN HÀM LỒI. Trong chương này, chúng ta sẽ bắt đầu với một số tính chất đặc trưng cơ bản của hàm lồi. Đầu tiên là các phép toán liên quan đến hàm lồi như tổng của hai hàm lồi, tích của hàm số với một số thực dương, các phép toán lấy giới hạn cũng như hợp của hai hàm lồi. Tiếp đến, ta sẽ tìm hiểu một số tính chất đặc biệt của hàm lồi như tính liên tục, tính khả vi và các định lý liên quan đến giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm lồi. Phần cuối của chương này được dành để nói về một số bất đẳng thức của hàm lồi cũng như thiết lập một vài bất đẳng thức mới về chủ đề này. 2.1 Một số tính chất cơ bản của hàm lồi. Định lý 2.1.1. (Các phép toán với các hàm lồi) Cho U là một tập lồi trong không gian tuyến tính định chuẩn thực X. Khi đó 1. Nếu f và g là các hàm lồi trên U thì f + g cũng là hàm lồi trên U . Nếu f hoặc g là hàm lồi thực sự thì tổng f + g cũng là hàm lồi thực sự. 2. Nếu f là hàm lồi (lồi thực sự) trên U và µ là một số thực dương thì µf là một hàm lồi (lồi thực sự) trên U . 3. Nếu f là một hàm lồi (lồi thực sự) trên U và V là tập con lồi của U . Khi đó hạn chế f |V của hàm f lên V cũng là một hàm lồi (lồi thực sự) trên V . Chứng minh định lý này khá đơn giản. Ta sẽ không chứng minh định lý này. Nhận xét 2.1.2. Từ Định lý 2.1.1 ta có nhận xét sau: 13 1. Cho ϕ là hàm lồi (lồi thực sự) trên R thì hàm f(x1, . . . , xn) = n∑ k=1 ϕ(xk) là hàm lồi (lồi thực sự) trên Rn. 2. Một hàm nhiều biến có thể là hàm lồi theo mỗi biến khi cố định các biến còn lại nhưng không phải là hàm lồi. Chẳng hạn như hàm f(x, y) = xy, (x, y) ∈ R2. Định lý 2.1.3. [9] Cho I, J ⊂ R là các tập lồi. Nếu f là một hàm lồi (lồi thực sự) trên I và g là một hàm lồi không giảm (hàm lồi tăng) trên tập lồi J , f(I) ⊂ J thì g ◦ f là một hàm lồi (lồi thực sự). Chứng minh. Với x, y ∈ I, λ ∈ [0; 1] ta có g(f(λx + (1− λ)y)) ≤ g(λf(x) + (1− λ)f(y)) (do g là hàm lồi không giảm) ≤ λg(f(x)) + (1− λ)g(f(y)) = λ(g ◦ f)(x) + (1− λ)(g ◦ f)(y). hay g ◦ f là hàm lồi. Nếu f là hàm lồi thực sự, g là hàm lồi tăng thì với x 6= y, λ ∈ (0; 1), thực hiện như trên ta thu được bất đẳng thức ngặt, hay g ◦ f là hàm lồi thực sự. Định lý 2.1.4. [9] Cho hàm f : U → R xác định trên tập lồi U của không gian tuyến tính định chuẩn X. Khi đó, f là hàm lồi (lồi thực sự) trên U nếu và chỉ nếu các hàm ϕx,y : [0, 1] → R, ϕx,y(t) := f(tx + (1− t)y) với x, y ∈ U, t ∈ [0, 1] là hàm lồi (lồi thực sự). Chứng minh. ⇒) Giả sử f là hàm lồi thực sự trên U . Với x, y ∈ U cho trước, với mọi u, v ∈ [0; 1] và λ ∈ [0; 1] ta có ϕx,y(λu + (1− λ)v) = f( (λu + (1− λ)v)x+ (1− [λu + (1− λ)v])y ) = f( λ[ux + (1− u)y] + (1− λ)[vx+ (1− v)y] ) ≤ λf(ux + (1− u)y) + (1− λ)f(vx + (1− v)y) = λϕx,y(u) + (1− λ)ϕx,y(v), hay ϕx,y là hàm lồi. Nếu f là hàm lồi thực sự thì theo trên, với u 6= v và λ ∈ (0; 1) ta thu được bất đẳng thức ngặt, ϕx,y là hàm lồi thực sự. 14 ⇐) Giả sử các hàm ϕx′,y′ là các hàm lồi (x′, y′ ∈ U). Với mọi x, y ∈ U , với mọi λ ∈ [0; 1] ta có f(λx + (1− λ)y) = ϕx,y(λ) = ϕx,y(λ.1 + (1− λ)0) ≤ λϕx,y(1) + (1− λ)ϕx,y(0) (do ϕx,y là hàm lồi) = λf(x) + (1− λ)f(y). Vậy, f là hàm lồi. Nếu ϕx,y là các hàm lồi thực sự thì theo trên, với x 6= y và λ ∈ (0; 1) ta thu được bất đẳng thức ngặt, hay f là hàm lồi thực sự. Định lý 2.1.5. Cho U là một tập lồi trong khôn gian tuyến tính định chuẩn thực X. Nếu dãy (fn) (trong đó fn : U → R) là một dãy hàm lồi hội tụ điểm hữu hạn đến một hàm f trên U thì f là hàm lồi. Chứng minh. Với x, y ∈ U, λ ∈ [0; 1], với mọi n ∈ N∗ ta có fn(λx + (1− λ)y) ≤ λfn(x) + (1− λ)fn(y). Chuyển qua giới hạn ta được f(λx + (1− λ)y) ≤ λf(x) + (1− λ)f(y). Vậy, f là hàm lồi. Về tính liên tục của hàm lồi, ta có các tính chất sau: Bổ đề 2.1.6. Cho X là một không gian tuyến tính định chuẩn, B(x0, ) là hình cầu mở tâm x0 bán kính . Khi đó: 1. αB(x0, ) = {αx|x ∈ B(x0, )} là hình cầu mở B(αx0, α) với α là số thực dương. 2. B(x0, ) + y = {x + y|x ∈ B(x0, )} là hình cầu mở B(x0 + y, ) với y là một điểm bất kỳ của X. 3. Tồn tại một số µ > 1 sao cho z = µx0 ∈ B(x0, ). Chứng minh. 1. Lấy z = αx ∈ αB(x0, ) (x ∈ B(x0, )). Ta có ‖z − αx0‖ = ‖αx− αx0‖ = α ‖x− x0‖ < α, 15 hay z ∈ B(αx0, α). Do đó, αB(x0, ) ⊂ B(αx0, α). Ngược lại, với z′ ∈ B(αx0, α) ta có ∥∥z′ − αx0∥∥ = ∥∥∥∥α ( z′ α − x0 )∥∥∥∥ < α hay ∥∥∥∥z′α − x0 ∥∥∥∥ < . Suy ra z′/α ∈ B(x0, ) hay z′ ∈ αB(x0, ). Do đó, B(αx0, α) ⊂ αB(x0, ). Vậy, αB(x0, ) = B(αx0, α). 2. Lấy z = x + y ∈ B(x0, ) + y (x ∈ B(x0, )). Ta chứng minh z ∈ B(x0 + y, ). Ta có ‖z − (x0 + y)‖ = ‖x + y − (x0 + y)‖ = ‖x− x0‖ < . Suy ra z ∈ B(x0 + y, ). Do đó, B(x0, ) + y ⊂ B(x0 + y, ). Ngược lại, với z′ ∈ B(x0 + y, ) ta có ∥∥z′ − (x0 + y)∥∥ <  hay ∥∥(z′ − y)− x0∥∥ < . Suy ra z′ − y ∈ B(x0, ) hay z′ ∈ B(x0, ) + y. Do đó, B(x0 + y, ) ⊂ B(x0, ) + y. Vậy, B(x0, ) + y = B(x0 + y, ). 3. Với z = µx0 ta có ‖z − x0‖ = ‖µx0 − x0‖ = ‖(µ− 1)x0‖. Chọn µ > 1 sao cho µ − 1 đủ nhỏ, ta có ‖z − x0‖ = (µ − 1) ‖x0‖ <  hay z ∈ B(x0, ). Bổ đề được chứng minh. Bây giờ, cho f là hàm lồi trên một tập lồi mở U của không gian tuyến tính định chuẩn X và x0 ∈ U . Đặt V = {x ∈ X : (x + x0) ∈ U}. Suy ra 0 ∈ V . Khi đó, với mọi x, y ∈ V , với mọi λ ∈ [0; 1] ta có x + x0, y + x0 ∈ U và λx + (1− λ)y + x0 = λ(x + x0) + (1− λ)(y + x0). (2.1.1) 16 Do x + x0 và y + y0 thuộc U , U lồi nên từ (2.1.1) ta suy ra λx + (1− λ)y ∈ V hay V là tập lồi. Với mọi x ∈ V , ta có x + x0 ∈ U . Do U là tập lồi mở nên tồn tại một lân cận B(x+ x0, δ) của x+ x0 nằm trong U . Khi đó B(x, δ) = B(x+ x0, δ)− x0 là một lân cận của x. Rõ ràng B(x, δ) ⊂ V . Mỗi điểm x trong V đều tồn tại một lân cận B(x, δ) nằm trong V nên V là tập mở. Vậy, V là tập lồi mở trong X. Ta xét hàm g : V → R xác định bởi g(x) = f(x+x0). Ta có g là một hàm lồi trên V . Thật vậy, với mọi x, y ∈ V , với mọi λ ∈ [0; 1] ta có g(λx + (1− λ)y) = f(λx + (1− λ)y + x0) = f(λ(x + x0) + (1− λ)(y + x0)) ≤ λf(x + x0) + (1− λ)f(y + x0) = λg(x) + (1− λ)g(y). Nhận xét 2.1.7. Với hàm f và hàm g xác định như trên, ta có các nhận xét sau: 1. Hàm f bị chặn trên trong hình cầu mở B(x0, ) ⊂ U tương đương với hàm g bị chặn trên trong hình cầu mở B(0, ) ⊂ V . Thật vậy, f bị chặn trên trong B(x0, ) khi và chỉ khi tồn tại số M sao cho f(x) ≤ M, ∀ x ∈ B(x0, ). Vì B(x0, ) = B(0, ) + x0 nên với mọi y ∈ B(0, ) ta có y + x0 ∈ B(x0, ) và g(y) = f(y + x0) ≤ M, hay g bị chặn trên trong B(0, ). Ngược lại, giả sử g bị chặn trên trong B(0, ) tức tồn tại M để f(y) ≤ M, ∀ y ∈ B(0, ). Vì B(0, ) = B(x0, )− x0 nên với mọi x ∈ B(x0, ) ta có x− x0 ∈ B(0, ) và f(x) = g(x− x0) ≤ M, hay f bị chặn trên trong B(x0, ). 2. Nếu hàm f bị chặn dưới ta cũng có kết quả tương tự. Ta suy ra hàm f bị chặn trong hình cầu mở B(x0, ) ⊂ U tương đương với hàm g bị chặn trong hình cầu B(0, ) ⊂ V . 17 3. Tương tự, hàm f liên tục tại x0 ∈ U tương đương với hàm g liên tục tại 0. Thật vậy, giả sử hàm f liên tục tại x0. Khi đó với mọi  > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x ∈ U, ‖x− x0‖ < δ ta suy ra ‖f(x)− f(x0)‖ < . Suy ra ‖g(x− x0)− g(0)‖ = ‖f(x)− f(x0)‖ <  với mọi x ∈ U, ‖x− x0‖ < δ. (2.1.2) Đặt y = x− x0. Vì x ∈ U nên y = x− x0 ∈ V , (2.1.2) trở thành ‖g(y)− g(0)‖ <  với mọi y ∈ V, ‖y‖ < δ. Suy ra hàm g liên tục tại điểm 0. Ngược lại, giả sử g liên tục tại 0. Khi đó với mọi  > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x ∈ V, ‖x‖ < δ ta suy ra ‖g(x)− g(0)‖ < . Suy ra ‖f(x + x0)− f(x0)‖ = ‖g(x)− g(0)‖ <  với mọi x ∈ V, ‖x‖ < δ. (2.1.3) Đặt y = x + x0. Vì x ∈ V nên y = x + x0 ∈ U , (2.1.3) trở thành ‖f(y)− f(x0)‖ <  với mọi y ∈ U, ‖y − x0‖ < δ. Hay f liên tục tại x0. 4. Ta cũng có thể chứng minh hàm f khả vi tại điểm x0 tương đương hàm g khả vi tại điểm 0. Giả sử f là hàm lồi xác định trên tập lồi U . Theo Nhận xét 2.1.7, nếu f bị chặn trên (bị chặn) trong một hình cầu mở B(x0, ) ⊂ U thì không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử 0 ∈ U và f bị chặn trên (bị chặn) trong hình cầu B(0, ). Tương tự, f liên tục (khả vi) tại điểm x0 ∈ U , không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử 0 ∈ U và hàm f liên tục (khả vi) tại điểm 0. Định lý 2.1.8. [6] Cho f là hàm lồi trên một tập lồi mở U của không gian tuyến tính định chuẩn X. Nếu f bị chặn trên trong một lân cận của điểm x0 ∈ U thì f bị chặn địa phương, tức là mỗi x ∈ U có một lân cận mà trên đó f bị chặn. Chứng minh. Định lý được chứng minh theo hai bước: Bước 1: Giả sử f bị chặn trên trong một lân cận của điểm x0 ∈ U . Ta chứng minh f bị chặn trong lân cận đó. 18 Theo Nhận xét 2.1.7, ta có thể xem 0 ∈ U và f bị chặn trên tại điểm 0. Khi đó tồn tại một hình cầu mở B(0, ) ⊂ U và một số N sao cho f(x) ≤ N, ∀ x ∈ B(0, ). Bây giờ, ta chứng minh f bị chặn trong B(0, ). Với x ∈ B(0, ), vì 0 = 1 2 x + 1 2 (−x) nên ta có f(0) ≤ 1 2 f(x) + 1 2 f(−x)). Do đó, f(x) ≥ 2f(0)− f(−x)). Vì x ∈ B(0, ) nên || − x|| < , do đó −f(−x) ≥ −N hay f(x) ≥ 2f(0)−N . Vậy, f bị chặn dưới trong B(0, ) hay f bị chặn trong B(0, ) bởi M = max{|N |, |2f(0)−N |}. Bước 2: Ta chứng minh f bị chặn địa phương trong U (0 ∈ U), tức là với y ∈ U bất kỳ, ta sẽ chứng minh f bị chặn trong một lân cận nào đó của y. Trường hợp y = 0 đã được xét ở bước 1, ta xét y 6= 0. Do U mở, y ∈ U nên y thuộc một hình cầu mở B(y, ′) tâm y bán kính ′ chứa trong U . Theo Bổ đề 2.1.6, tồn tại µ > 1 sao cho z = µy ∈ B(y, ′) ⊂ U . Đặt λ = 1/µ. Suy ra 0 < λ < 1. Khi đó, theo Bổ đề 2.1.6 thì tập A = {v ∈ X : v = (1− λ)x + λz, x ∈ B(0, )} là một hình cầu mở tâm y = λz với bán kính (1− λ). Với v ∈ A ta có f(v) ≤ (1− λ)f(x) + λf(z) ≤ (1− λ)M + λ|f(z)| ≤ M + |f(z)|. Hay f bị chặn trên trong A, theo bước 1 ta suy ra f bị chặn trong A. Vậy, với mỗi y ∈ U đều tồn tại một lân cận để f bị chặn trong lân cận đó. Nói cách khác, f bị chặn địa phương trong U . Định lý 2.1.9. [6] Cho f là một hàm lồi trên tập lồi mở U ⊆ X. Nếu f bị chặn trên trong một lân cận của một điểm thuộc U , thì f là Lipschitz địa phương trên U . Chứng minh. Theo Định lý 2.1.8 ta suy ra f bị chặn địa phương trong U . Do đó, với x0 ∈ U ta có thể tìm được một lân cận B(x0, 2) ⊆ U và một số M > 0 sao cho |f(x)| ≤ M, ∀x ∈ B(x0, 2). 19 Giả sử f không thỏa mãn điều kiện Lipschitz trên B(x0, ). Khi đó tồn tại x1, x2 ∈ B(x0, ), x1 6= x2 để f(x2)− f(x1) > 2M  ‖x2 − x1‖ . hay f(x2)− f(x1) ‖x2 − x1‖ > 2M  (2.1.4) Vì x1 6= x2 nên ‖x1 − x2‖ > 0, ta chọn α > 0 sao cho ‖α(x1 − x2)‖ =  và đặt x3 = x2 + α(x2 − x1). Suy ra ‖x3 − x2‖ = ‖α(x2 − x1)‖ =  (2.1.5) và ‖x3 − x0‖ = ‖x2 − x0 + α(x2 − x1)‖ ≤ ‖x2 − x0‖+ ‖α(x2 − x1)‖ <  +  = 2. Hay x3 ∈ B(x0, 2). Cũng từ x3 = x2 + α(x2 − x1) ta có x2 = α 1 + α x1 + 1 1 + α x3. Do f là hàm lồi nên f(x2) ≤ α 1 + α f(x1) + 1 1 + α f(x3) hay (1 + α)f(x2) ≤ αf(x1) + f(x3). Suy ra f(x3)− f(x2) ≥ α(f(x2)− f(x1)). (2.1.6) Từ (2.1.4), (2.1.5) và (2.1.6) ta có f(x3)− f(x2) ‖x3 − x2‖ = f(x3)− f(x2) ‖α(x2 − x1)‖ ≥ α(f(x2)− f(x1)) ‖α(x2 − x1)‖ = f(x2)− f(x1) ‖x2 − x1‖ > 2M  . Vì ‖x3 − x2‖ =  (theo (2.1.5)) nên f(x3) − f(x2) > 2M , mâu thuẫn với |f | ≤ M trên B(x0, 2). Định lý được chứng minh. Định lý 2.1.10. [6] Cho f là một hàm lồi trên một tập lồi mở U ⊆ X. Nếu f bị chặn trên trong một lân cận của một điểm của U thì f liên tục trên U . Chứng minh. Từ Định lý 2.1.9 ta suy ra f Lipschitz địa phương trên U . Do đó f liên tục trên U theo Nhận xét 1.1.2. 20 Đặc biệt, nếu U ⊆ Rn ta có định lý sau: Định lý 2.1.11. [6] Cho f là một hàm lồi trên một tập lồi mở U ⊆ Rn. Khi đó f liên tục trên U . Chứng minh. Theo Nhận xét 2.1.7 ta có thể giả sử 0 ∈ U . Chọn α > 0 đủ nhỏ để bao lồi V = co({0, αe1, ..., αen}) ⊆ U. Trước hết ta chứng minh V có phần trong ◦ V khác rỗng. Thật vậy, lấy một phần tử x ∈ V bất kỳ. Khi đó x được biểu diễn dưới dạng x = λ0.0 + λ1.αe1 + . . . + λn.αen (λ0 + λ1 + . . . + λn = 1) (2.1.7) Đặt x0 = 0 + αe1 + . . . + αen n + 1 . Khi đó x0 ∈ co({0, αe1, ..., αen}). Do các λi (i = 0, n) trong biểu diễn của x0 đều bằng 1n+1 > 0 và việc giải các phương trình (2.1.7) để tìm λ0, λ1, . . . , λn quy về việc giải một hệ phương trình tuyến tính với các λi (i = 0, n) phụ thuộc liên tục vào các thành phần tọa độ của x nên tồn tại số δ > 0 sao cho nếu x ∈ B(x0, δ) thì các λi > 0 ∀ i = 0, n. Suy ra B(x0, δ) ⊂ co({0, αe1, ..., αen}) là một lân cận của x0. Vậy, ◦ V 6= ∅. Với x ∈ V bất kỳ ta có biểu diễn x = λ00 + λ1(αe1) + ... + λn(αen) trong đó λi ≥ 0 ∀ i = 0, n, n∑ i=0 λi = 1. Khi đó: f(x) ≤ λ0f(0) + n∑ i=1 λif(αei) ≤ max{f(0), f(αe1), ..., f(αen)}. Do đó f bị chặn trên trong tập mở ◦ V khác rỗng. Theo Định lý 2.1.10 ta có điều phải chứng minh. Về tính khả vi của hàm lồi, ta có các tính chất sau: Định lý 2.1.12. [6] Giả sử hàm f xác định trên một tập lồi mở U ⊆ X. Nếu f là hàm lồi trên U và khả vi tại x0, thì với x ∈ U , ta có f(x)− f(x0) ≥ f ′(x0)(x− x0) (2.1.8) Nếu f khả vi trên U , thì f là hàm lồi nếu và chỉ nếu f thỏa (2.1.8) với mọi x, x0 ∈ U . Hơn nữa, f lồi thực sự nếu và chỉ nếu bất đẳng thức (2.1.8) là bất đẳng thức ngặt. 21 Chứng minh. Nếu f là hàm lồi thì với mọi t ∈ (0; 1), f(x0 + t(x− x0)) = f((1− t)x0 + tx) ≤ (1− t)f(x0) + tf(x) Đặt h = x− x0 ta có f(x0 + th)− f(x0) ≤ t[f(x0 + h)− f(x0)] (2.1.9) Trừ f ′(x0)(th) vào hai vế của (2.1.9) rồi chia cho t với chú ý f ′(x0)(th) t = f ′(x0)(h) (do f ′(x0) là ánh xạ tuyến tính) ta được f(x0 + th)− f(x0)− f ′(x0)(th) t ≤ f(x0 + h)− f(x0)− f ′(x0)(h) Cho t → 0, vế trái của biểu thức trên dần đến 0, vế phải độc lập với t vẫn không đổi. Ta suy ra (2.1.8) đúng. Nếu f lồi thực sự, (2.1.9) là bất đẳng thức ngặt, kết hợp với (2.1.8) trong đó x = x0+th ta có t[f(x0 + h)− f(x0)] > f(x0 + th)− f(x0) ≥ f ′(x0)(th) Chia hai vế cho t ta được f(x0 + h)− f(x0) > f ′(x0)(h), (2.1.8) trở thành bất đẳng thức ngặt. Ngược lại, giả sử f khả vi và thỏa mãn (2.1.8) trên U . Với x1, x2 ∈ U, t ∈ (0; 1), ta đặt x0 = tx1 + (1− t)x2. Ta có t(x1 − x0) + (1− t)(x2 − x0) = tx1 + (1− t)x2 − x0 = x0 − x0 = 0. Khi đó f(x0) = f(x0) + f ′(x0)[t(x1 − x0) + (1− t)(x2 − x0)] = t[f(x0) + f ′(x0)(x1 − x0)] + (1− t)[f(x0) + f ′(x0)(x2 − x0)]. Bất đẳng thức (2.1.8) đúng với x = x1 và x = x2, vì vậy f(x0) ≤ tf(x1) + (1− t)f(x2) (2.1.10) Điều này chứng tỏ f là hàm lồi trên U . Nếu (2.1.8) là bất đẳng thức ngặt thì (2.1.10) là bất đẳng thức ngặt, f là hàm lồi thực sự trên U . Định nghĩa 2.1.1. [6] Cho I ⊂ R là một khoảng và hàm f : I → R là hàm khả vi trên I. Khi đó, f ′(x) được gọi là đơn điệu tăng nếu (f ′(x)− f ′(y))(x− y) ≥ 0, ∀ x, y ∈ I. 22 Nếu với mọi x, y ∈ I, x 6= y, (f ′(x)− f ′(y))(x− y) > 0 thì f ′(x) được gọi là đơn điệu tăng thực sự. Xem f ′ là ánh xạ tuyến tính, ta có định nghĩa tổng quát hơn: Định nghĩa 2.1.2. [6] Cho U ⊂ X là một tập mở và f : U → R là hàm khả vi trên U . Khi đó, f ′(x) được gọi là hàm đơn điệu tăng nếu (f ′(x)− f ′(y))(x− y) ≥ 0, ∀ x, y ∈ U. Nếu bất đẳng thức trên là bất đẳng thức ngặt khi x 6= y thì f ′ được gọi là đơn điệu tăng thực sự trên U . Định lý 2.1.13. [4] Nếu f(x) là hàm số khả vi trên khoảng I ⊂ R thì f(x) là hàm lồi trên I khi và chỉ khi f ′(x) là hàm đơn điệu tăng trên I. Chứng minh. Giả sử f(x) là hàm lồi trên I. khi đó với x1 < x < x2 (x, x1, x2 ∈ I), ta có x2 − x x2 − x1 > 0, x− x1 x2 − x1 > 0, x2 − x x2 − x1 + x− x1 x2 − x1 = 1 và do đó f(x) ≤ x2 − x x2 − x1f(x1) + x− x1 x2 − x1f(x2) (2.1.11) ⇔ ( x2 − x x2 − x1 + x− x1 x2 − x1 ) f(x) ≤ x2 − x x2 − x1f(x1) + x− x1 x2 − x1f(x2) ⇔ f(x)− f(x1) x− x1 ≤ f(x2)− f(x) x2 − x . (2.1.12) Trong (2.1.12), cho x → x1 ta thu được f ′(x1) ≤ f(x2)− f(x1) x2 − x1 . (2.1.13) Tương tự, trong (2.1.12), cho x → x2 ta thu được f(x2)− f(x1) x2 − x1 ≤ f ′(x2). (2.1.14) Từ (2.1.13) và (2.1.14) ta nhận được f ′(x1) ≤ f ′(x2) tức f ′(x) là hàm đơn điệu tăng. Ngược lại, giả sử f ′(x) là hàm số đơn điệu tăng và x1 < x < x2 (x, x1, x2 ∈ I). Theo định lý Lagrange, tồn tại x3, x4 với x1 < x3 < x < x4 < x2 sao cho f(x)− f(x1) x− x1 = f ′(x3), f(x2)− f(x) x2 − x = f ′(x4). Vì f ′(x) là hàm đơn điệu tăng nên f ′(x3) ≤ f ′(x4), ta suy ra f(x)− f(x1) x− x1 ≤ f(x2)− f(x) x2 − x , (2.1.15) 23 tức là ta có (2.1.12), (2.1.11). Bất đẳng thức (2.1.11) chứng tỏ f là hàm lồi trên I. Nhận xét 2.1.14. Trong Định lý 2.1.13, nếu f ′ là hàm đơn điệu tăng thực sự thì (2.1.15) là bất đẳng thức ngặt, ta suy ra (2.1.11) là bất đẳng thức ngặt. Hay f là hàm lồi thực sự trên I. Tổng quát hơn, ta có định lý: Định lý 2.1.15. [6] Cho f : U → R khả vi trên một tập lồi mở U ⊆ X. Khi đó f là hàm lồi (lồi thực sự) nếu và chỉ nếu f ′ đơn điệu tăng (đơn điệu tăng thực sự) trên U . Chứng minh. Đối với một hàm lồi khả vi trên U , Định lý 2.1.12 cho ta f(x)− f(y) ≥ f ′(y)(x− y) f(y)− f(x) ≥ f ′(x)(y − x) Cộng vế theo vế ta được 0 ≥ (f ′(y)− f ′(x))(x− y) hay (f ′(y)− f ′(x))(y − x) ≥ 0 Suy ra f ′ là hàm tăng. Nếu f lồi thực sự thì các bất đẳng thức trên là các bất đẳng thức ngặt, ta suy ra f ′ tăng thực sự. Bây giờ giả sử f ′ là đơn điệu tăng. Với x, y ∈ U , đặt ϕx,y : [0, 1] → R xác định bởi ϕx,y(λ) = f(λx + (1− λ)y). Với 0 ≤ λ1 < λ2 ≤ 1, đặt u1 = λ1x + (1− λ1)y và u2 = λ2x + (1− λ2)y. Theo Nhận xét 1.1.4 và định nghĩa hàm ϕx,y ta có ϕ′x,y(λ1) = lim t→0 ϕx,y(λ1 + t)− ϕx,y(λ1) t = lim t→0 f((λ1 + t)x + (1− λ1 − t)y)− f(λ1x + (1− λ1)y) t = lim t→0 f(u1 + t(x− y))− f(u1) t = f ′(u1)(x− y). Tương tự, ϕ′x,y(λ2) = f ′(u2)(x− y). Ta có u2 − u1 = (λ2 − λ1)(x− y) và f ′ là đơn điệu tăng nên ta suy ra 0 ≤ (f ′(u2)− f ′(u1))(u2 − u1) = (λ2 − λ1)(f ′(u2)− f ′(u1))(x− y). 24 Suy ra f ′(u1)(x− y) ≤ f ′(u2)(x− y). Ta có ϕ′x,y(λ1) = f ′(u1)(x− y) ≤ f ′(u2)(x− y) = ϕ′x,y(λ2) (2.1.16) Suy ra các hàm ϕx,y là các hàm lồi theo Định lý 2.1.13. Vậy, f là hàm lồi theo Định lý 2.1.4. Nếu f ′ đơn điệu tăng thực sự thì bất đẳng thức (2.1.16) ở trên trở thành bất đẳng thức ngặt, ϕx,y là hàm lồi thực sự theo Nhận xét 2.1.14. Nói cách khác, f là hàm lồi thực sự. Bổ đề 2.1.16. [6] Cho f : U → R là hàm khả vi liên tục trên một tập mở U của không gian tuyến tính định chuẩn X và f ′′(x) tồn tại trên U . Khi đó với bất kỳ x, x0 ∈ U , tồn tại s ∈ (0, 1) để f(x) = f(x0) + f ′(x0)(h) + 1 2 f ′′(x0 + sh)(h, h) trong đó h = x− x0. Chứng minh. Với x, x0 ∈ U cho trước, xét hàm φ : (a, b) → R trên khoảng (a, b) chứa [0, 1] trong đó φ(t) = f(x0 + th). Theo Nhận xét 1.1.4 và định nghĩa hàm φ ta có φ′(t) = lim v→0 φ(t + v)− φ(t) v = lim v→0 f(x0 + th + v.h)− f(x0 + th) v = f ′(x0 + th)(h). Tương tự với hàm θ(t) = f ′(x0 + th)(h) ta cũng có φ′′(t) = θ′(t) = f ′′(x0 + th)(h, h) Với t > 0, theo Định lý 1.1.8, tồn tại s ∈ (0, t) để φ(t) = φ(0) + φ′(0)t + 1 2 φ′′(s)t2 hay f(x0 + th) = f(x0) + f ′(x0)(th) + 1 2 f ′′(x0 + sh)(th, th) Với t = 1 ta có: f(x) = f(x0) + f ′(x0)(h) + 1 2 f ′′(x0 + sh)(h, h). Bổ đề được chứng minh. Định lý 2.1.17. [6] Cho I ⊂ R là một khoảng và f : I → R là hàm số có đạo hàm cấp hai f ′′ tồn tại trên I. Khi đó f là hàm lồi (lồi thực sự) khi và chỉ khi f ′′(x) ≥ 0 (f ′′(x) > 0) với mỗi x ∈ I. 25 Chứng minh. Theo tính chất của hàm một biến thực, f ′ tăng (tăng thực sự) nếu và chỉ nếu f ′′ là không âm (dương). Kết hợp với Định lý 2.1.15 ta có điều phải chứng minh. Ví dụ 2.1.18. Từ Định lý 2.1.17 ta suy ra các hàm sau là hàm lồi: • f(x) = eαx, trong đó α ∈ R. • f(x) = xp nếu x > 0, trong đó 1 ≤ p hoặc p ≤ 0. • f(x) = −xp nếu x > 0, trong đó 0 ≤ p ≤ 1. • f(x) = − lnx nếu x > 0. Trong trường hợp tổng quát, ta có định lý: Định lý 2.1.19. [6] Cho f là hàm khả vi liên tục và có đạo hàm cấp hai trên tập lồi mở U ⊆ X. Khi đó f là hàm lồi (lồi thực sự) trên U nếu và chỉ nếu f ′′(x) xác định không âm (xác định dương) với mỗi x ∈ U . Chứng minh. ⇐) Theo Bổ đề 2.1.16 với bất kỳ x, x0 ∈ U , ta có f(x) = f(x0) + f ′(x0)(h) + 1 2 f ′′(x0 + sh)(h, h) trong đó s ∈ (0, 1) và h = x−x0. Giả sử rằng f ′′(x) là xác định không âm. Ta suy ra f(x) ≥ f(x0) + f ′(x0)(x− x0) hay f(x)− f(x0) ≥ f ′(x0)(x− x0). (2.1.17) Theo Định lý 2.1.12 ta suy ra f là hàm lồi. Nếu f ′′(x0) là xác định dương thì bất đẳng thức (2.1.17) trở thành bất đẳng thức ngặt, theo Định lý 2.1.12 ta suy ra f là hàm lồi thực sự. ⇒) Ngược lại, giả sử f là hàm lồi. Với x ∈ U và h ∈ X, đặt g(t) = f(x + th). Dễ thấy g là hàm lồi trên một lân cận của điểm 0. Ta có g′(t) = f ′(x + th)(h) g′′(t) = f ′′(x + th)(h, h). Do g là hàm lồi nên với mỗi t thuộc tập xác định, theo Định lý 2.1.17, g′′(t) ≥ 0. Ta suy ra g′′(0) ≥ 0, hay f ′′(x)(h, h) ≥ 0. Vì h là bất kỳ nên f ′′(x) là xác định không âm. 26 Nếu f là hàm lồi thực sự thì g là hàm lồi thực sự, theo Định lý 2.1.17 ta có g′′(0) > 0. Ta suy ra f ′′(x)(h, h) > 0. Do h bất kỳ nên f ′′(x) là xác định dương. Vậy, định lý được chứng minh. Trong không gian Rn, với một hàm nhiều biến mà tất cả các đạo hàm riêng đều tồn tại, ta luôn có thể xác định ánh xạ tuyến tính với ma trận ∇f(x0) = [ ∂f ∂x1 (x0) . . . ∂f ∂xn (x0) ] = [f1(x0) . . . fn(x0)] được gọi là gradient của f . Việc tồn tại gradient ∇f(x0) không suy ra được sự tồn tại f ′(x0) nhưng đối với hàm lồi ta có định lý sau: Định lý 2.1.20. [6] Nếu f là một hàm lồi trên tập lồi mở U ⊆ Rn và tất cả các đạo hàm riêng tồn tại tại x0 ∈ U thì f ′(x0) tồn tại. Chứng minh. Theo Nhận xét 2.1.7, ta có thể giả sử 0 ∈ U . Vì U là tập mở nên tồn tại một hình cầu mở B(0, δ) sao cho n.B(0, δ) ⊂ U . Khi đó h ∈ B(0, δ) thì n.h ∈ U . Gọi T = [f1(x0) . . . fn(x0)] là ánh xạ tuyến tính xác định bởi tất cả các đạo hàm riêng tại x0. Ta chứng minh T là đạo hàm của hàm f tại x0, tức là chứng minh f(x0 + h) = f(x0) + T (h) + ‖h‖ .(x0, h) trong đó (x0, h) → 0 khi ‖h‖ → 0. Điều này tương đương với việc chứng minh (h) = 1 ‖h‖ [f(x0 + h)− f(x0)− T (h)] → 0 khi ‖h‖ → 0. Trên B(0, δ) đặt φ(h) = ‖h‖ .(h) = f(x0 + h)− f(x0)− T (h). Dễ thấy φ là hàm lồi và với h = h1e1 + ... + hnen là tổ hợp của n vectơ đơn vị trong Rn, ta có φ(h) = φ ( n∑ i=1 1 n hinei ) ≤ 1 n n∑ i=1 φ(hinei), (2.1.18) trong đó φ(hinei) = f(x0 + hinei)− f(x0)− fi(x0)hin 27 Từ định nghĩa của đạo hàm riêng và theo trên ta có lim hi→0 φ(hinei) hin = 0 Từ bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacopski, ta suy ra với hai vectơ u, v ∈ Rn, n∑ i=1 uivi ≤ ‖u‖ . ‖v‖ ≤ ‖u‖ n∑ i=1 |vi|. Từ (2.1.18) và bất đẳng thức trên, lấy tổng theo i với các hi 6= 0 ta được φ(h) ≤ 1 n n∑ i=1 φ(hinei) = ∑ hi φ(hinei) hin ≤ ‖h‖ ∑∣∣∣∣φ(hinei)hin ∣∣∣∣ Tương tự, φ(−h) ≤ ‖h‖ ∑∣∣∣∣φ(−hinei)hin ∣∣∣∣ Do φ là hàm lồi và từ định nghĩa của nó ta có 0 = φ [ h + (−h) 2 ] ≤ 1 2 [φ(h) + φ(−h)] hay −φ(−h) ≤ φ(h). Do đó −‖h‖ ∑∣∣∣∣φ(−hinei)hin ∣∣∣∣ ≤ −φ(−h) ≤ φ(h) ≤ ‖h‖∑ ∣∣∣∣φ(hinei)hin ∣∣∣∣ Suy ra lim ‖h‖→0 (h) = lim ‖h‖→0 φ(h) ‖h‖ = 0. Định lý được chứng minh. Mở rộng Định lý 2.1.20 theo Định lý 2.1.12 và Định lý 2.1.15 trong trường hợp X = Rn ta có định lý sau: Định lý 2.1.21. [6] Giả sử f xác định trên một tập lồi mở U ⊆ Rn. Nếu f lồi trên U và gradient ∇f(x0) tồn tại, thì với x ∈ U , f(x)− f(x0) ≥ ∇f(x0)(x− x0) Nếu f lồi (lồi thực sự) và ∇f(x) tồn tại trên U , thì ∇f đơn điệu tăng (đơn điệu tăng thực sự) trên U . Ngược lại, nếu các đạo hàm riêng của f tồn tại và liên tục trên U và ∇f đơn điệu tăng (đơn điệu tăng thực sự) thì f là hàm lồi (lồi thực sự). 28 Tính liên tục của các đạo hàm riêng cấp hai bảo đảm cho sự tồn tại của f ′′(x).Ta có định lý sau: Định lý 2.1.22. [6] Cho f là một hàm có các đạo hàm riêng cấp hai ∂2f/∂xixj = fij liên tục trên một tập lồi mở U ⊆ Rn. Khi đó f là hàm lồi (lồi thực sự) trên U nếu và chỉ nếu ma trận Hessian A =   f11(x) . . . f1n(x) ... ... fn1(x) . . . fnn(x)   là xác định không âm (xác định dương) với mỗi x ∈ U . Một trong những tính chất hay của hàm lồi là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của nó. Ta có các định lý sau: Định lý 2.1.23. [6] Cho f : U → R là một hàm lồi trên tập lồi U ⊆ X. Khi đó: • Nếu hàm f đạt cực tiểu địa phương tại x0 ∈ U thì f(x0) cũng là cực tiểu của hàm f trên U . • Tập V gồm tất cả các điểm x ∈ U mà f(x) đạt cực tiểu tại x là tập lồi. • Nếu f là hàm lồi thực sự trên một lân cận của điểm cực tiểu x0 thì x0 là điểm cực tiểu duy nhất của hàm f . Chứng minh. Giả sử f đạt cực tiểu địa phương tại x0 ∈ U tức là tồn tại một lân cận B(x0, ) sao cho f(x0) ≤ f(x) ∀x ∈ B(x0, ). Khi đó với x ∈ U và α > 0 đủ nhỏ để (1− α)x0 + αx ∈ B(x0, ) ta có f(x0) ≤ f((1− α)x0 + αx) ≤ (1− α)f(x0) + αf(x). (2.1.19) Suy ra 0 ≤ α[f(x)− f(x0)] hay f(x) ≥ f(x0) (2.1.20) tức là f(x0) là cực tiểu của hàm f trên U . Nếu f đạt giá trị nhỏ nhất là m tại x1, x2 ∈ V , thì với α ∈ (0, 1), m ≤ f((1− α)x1 + αx2) ≤ (1− α)m + α.m = m Vậy, nếu hàm f đạt cực tiểu tại x1, x2 thì hàm f cũng đạt cực tiểu tại các điểm (1− α)x1 + αx2 (α ∈ [0; 1]). Ta suy ra V là tập lồi. 29 Nếu f là hàm lồi thực sự trên một lân cận của một điểm cực tiểu x0, thì (2.1.19) trở thành bất đẳng thức ngặt. Khi đó, (2.1.20) trở thành f(x) > f(x0) với mọi x ∈ U, x 6= x0. Nói cách khác, V = {x0} là điểm cực tiểu duy nhất của hàm f . Định lý được chứng minh. Định lý sau sẽ đề cập đến sự tồn tại giá trị cực tiểu: Định lý 2.1.24. [6] Cho f : U → R là một hàm lồi trên tập U ⊆ X. Khi đó: • Nếu f ′(x0) = 0 tại x0 ∈ ◦ U thì f(x0) là cực tiểu của hàm f . • Nếu f khả vi liên tục trên một lân cận V của điểm cực tiểu x0, f ′′(x) tồn tại và xác định dương trên V thì x0 là điểm cực tiểu duy nhất của f trên U . Chứng minh. Theo Định lý 2.1.12 ta có f(x)− f(x0) ≥ f ′(x0)(x− x0) = 0 ta suy ra f(x) ≥ f(x0) hay f(x0) là giá trị nhỏ nhất của f trên U . Nếu f khả vi liên tục trên một lân cận V của x0 và f ′′(x) tồn tại, xác định dương trên V thì theo Định lý 2.1.19, f lồi thực sự trên V . Do đó, theo Định lý 2.1.23 ta suy ra x0 là điểm cực tiểu duy nhất của hàm f . Các định lý liên quan đến giá trị cực đại: Định lý 2.1.25. [6] Nếu f là hàm lồi trên tập lồi U ⊆ X và đạt giá trị cực đại tại x0 ∈ ◦ U thì f là hàm hằng trên U . Chứng minh. Giả sử f không phải là hàm hằng trên U . Khi đó tồn tại y ∈ U để f(y) < f(x0). Ta chọn α > 1 để z = y + α(x0 − y) ∈ U . Suy ra: x0 = 1 α z + α− 1 α y Do f là hàm lồi nên ta có f(x0) ≤ 1 α f(z) + α− 1 α f(y) < 1 α f(x0) + α− 1 α f(x0) = f(x0) Suy ra mâu thuẫn. Định lý được chứng minh. Định lý 2.1.26. [6] Nếu f là hàm lồi và liên tục trên tập lồi, compact K trong không gian tuyến tính định chuẩn hữu hạn chiều Ln, thì f đạt giá trị lớn nhất tại một điểm cực biên của K. 30 Chứng minh. Giả sử f đạt giá trị lớn nhất tại điểm x0. Ta có Ln đẳng cấu tôpô với Rn nên ta có thể xem K là một tập con của Rn. Mặt khác, một tập lồi, compact trong Rn là là bao lồi của các điểm cực biên của nó. Ta suy ra x0 = m∑ i=1 αivi (αi ≥ 0 ∀ i = 1, n, n∑ i=1 αi = 1) trong đó v1, . . . , vm là các điểm cực biên của K. Khi đó f(x0) ≤ m∑ i=1 αif(vi) ≤ max 1≤i≤m f(vi) Nhưng f(x0) ≥ max 1≤i≤m f(vi), vì vậy f phải đạt giá trị f(x0) tại một số điểm vi nào đó. Định lý được chứng minh. Hệ quả 2.1.27. Nếu f : [a; b] → R là một hàm lồi thì nó đạt giá trị lớn nhất tại a hoặc b, tức là f(x) ≤ max{f(a), f(b)}, ∀ x ∈ [a; b]. Hệ quả 2.1.28. Cho K = [a1; b1]×. . .×[an; bn] (ai, bi ∈ R, i = 1, n) và f(x1, . . . , xn) là hàm lồi theo mỗi biến xi (i = 1, n) khi cố định các biến còn lại trên K. Khi đó, f đạt giá trị lớn nhất tại một điểm x ∈ {a1; b1} × . . .× {an; bn}. Chứng minh. Cố định x2, . . . , xn, hàm f(x1, . . . , xn) là hàm lồi theo biến x1. Theo Hệ quả 2.1.27 ta có f(x1, x2, . . . , xn) ≤ max t1∈{a1;b1} f(t1, x2, . . . , xn) ∀xi ∈ [ai; bi]. (2.1.21) Tương tự, cố định x1, x3, . . . , xn, hàm f(x1, . . . , xn) là hàm lồi theo biến x2, ta có f(t1, x2, . . . , xn) ≤ max t2∈{a2;b2} f(t1, t2, x3, . . . , xn) ∀t1 ∈ { a1, b1 }, xi ∈ [ai; bi], i = 2, n. (2.1.22) Từ (2.1.21) và (2.1.22) ta suy ra f(x1, x2, . . . , xn) ≤ max ti∈{ai;bi} i=1,2 f(t1, t2, x3, . . . , xn) ∀ xi ∈ [ai; bi], i = 1, n. Tiếp tục quá trình trên ta suy ra điều phải chứng minh. 2.2 Các bất đẳng thức liên quan đến hàm lồi. Định lý 2.2.1. (Bất đẳng thức Jensen) Cho U là một tập lồi của X, hàm f : U → R xác định trên U . Khi đó f là hàm lồi nếu 31 và chỉ nếu với mọi x1, . . . , xn thuộc U và với mọi α1, . . . , αn thuộc [0; 1], n∑ i=1 αi = 1 ta luôn có bất đẳng thức f( n∑ i=1 αixi) ≤ n∑ i=1 αif(xi). (2.2.1) Bất đẳng thức trên là bất đẳng thức ngặt nếu và chỉ nếu f là hàm lồi thực sự và các xi phân biệt, αi dương. Chứng minh. ⇒) Giả sử f là hàm lồi, ta chứng minh (2.2.1) bằng quy nạp. Với n = 2 thì (2.2.1) đúng theo định nghĩa của hàm lồi. Giả sử (2.2.1) đúng với n = k tức là bất đẳng thức f( k∑ i=1 αixi) ≤ k∑ i=1 αif(xi) luôn đúng với x1, . . . , xk ∈ U , với αi ≥ 0 ∀ i = 1, k, k∑ i=1 αi = 1. Với n = k + 1: Nếu αk+1 = 0 thì (2.2.1) hiển nhiên đúng. Nếu αk+1 > 0, ta luôn có α1 + . . . + αk−1 + (αk + αk+1) ( αk αk + αk+1 + αk+1 αk + αk+1 ) = 1. Do đó f ( k+1∑ i=1 αixi ) = f ( α1x1 + . . . + αk−1xk−1 + (αk + αk+1) ( αk αk + αk+1 xk + αk+1 αk + αk+1 xk+1 )) ≤ α1f(x1) + . . . + αk−1f(xk−1) + (αk + αk+1)f ( αk αk + αk+1 xk + αk+1 αk + αk+1 xk+1 ) ≤ α1f(x1) + . . . + αk−1f(xk−1) + αkf(xk) + αk+1f(xk+1) = k+1∑ i=1 αif(xi). Vậy (2.2.1) đúng với n = k + 1. Nếu f là hàm lồi thực sự, các xi phân biệt và các αi > 0 thì lập luận tương tự như trên ta suy ra f( n∑ i=1 αixi) < n∑ i=1 αif(xi). 32 Ta thu được bất đẳng thức ngặt. ⇐) Nếu f thỏa mãn bất đẳng thức Jensen thì với n = 2 ta suy ra f(α1x1 + α2x2) ≤ α1f(x1) + α2f(x2) với α1, α2 > 0, α1 + α2 = 1 (2.2.2) hay f là hàm lồi. Với x1, x2 phân biệt và α1, α2 > 0, nếu (2.2.1) là bất đẳng thức ngặt thì (2.2.2) là bất đẳng thức ngặt, f là hàm lồi thực sự. Định nghĩa 2.2.1. [9] Một hàm f : [a, b] → R được gọi là hàm lồi theo nghĩa Jensen hay J-lồi trên [a, b] nếu bất đẳng thức f ( x + y 2 ) ≤ f(x) + f(y) 2 thỏa với mọi điểm x, y ∈ [a, b]. Định lý 2.2.2. [9] (J.L.W.V.Jensen) Cho I là một khoảng của tập số thực và f : I → R là một hàm liên tục. Khi đó f là hàm lồi nếu và chỉ nếu f thỏa mãn f ( x + y 2 ) ≤ f(x) + f(y) 2 với mọi x, y ∈ I. (2.2.3) Chứng minh. ⇒) Giả sử f là hàm lồi, khi đó (2.2.3) là hiển nhiên theo tính chất của hàm lồi. ⇐) Giả sử ta có (2.2.3). Nếu f không phải là hàm lồi trên I thì tồn tại một đoạn [a; b] ⊂ I để đồ thị của hàm f |[a;b] không nằm dưới dây cung nối (a, f(a)) và (b, f(b)). Dây cung nối (a, f(a)) và (b, f(b)) là f(b)− f(a) b− a (x− a) + f(a). (xem ý nghĩa hình học của hàm lồi ở cuối chương 1). Khi đó hàm ϕ(x) = f(x)− f(b)− f(a) b− a (x− a)− f(a), x ∈ [a; b]. có γ = sup{ϕ(x) | x ∈ [a; b]} > 0. Ta có ϕ cũng là hàm J-lồi. Thật vậy, do f là hàm J-lồi nên ta có ϕ ( x + y 2 ) = f ( x + y 2 ) − f(b)− f(a) b− a ( x + y 2 − a ) − f(a) ≤ f(x) 2 − f(b)− f(a) b− a ( x− a 2 ) − f(a) 2 + f(y) 2 − f(b)− f(a) b− a ( y − a 2 ) − f(a) 2 = ϕ(x) 2 + ϕ(y) 2 33 Do f(x) liên tục trên [a; b] nên ta có ϕ(x) liên tục trên [a; b] và do đó tồn tại x ∈ [a; b] để ϕ(x) = γ. Đặt c = inf{x ∈ [a; b] |ϕ(x) = γ}. Ta suy ta ϕ(c) = γ và c ∈ (a; b) vì ϕ(a) = ϕ(b) = 0. Khi đó với h > 0 sao cho c± h ∈ (a; b) ta có ϕ(c− h) < ϕ(c) và ϕ(c + h) ≤ ϕ(c) hay ϕ(c) > ϕ(c− h) + ϕ(c + h) 2 , mâu thuẫn với ϕ là J-lồi. Định lý được chứng minh. Hệ quả 2.2.3. [9] Cho f : I → R là một hàm liên tục. Khi đó f lồi nếu và chỉ nếu f(x + h) + f(x− h)− 2f(x) ≥ 0 với mọi x ∈ I và với mọi h > 0 để x + h và x− h nằm trong I. Ví dụ 2.2.4. Cho hàm ex. Xét biểu thức ex+h + ex−h − 2ex với x ∈ R và h > 0. Theo bất đẳng thức Cauchy, suy ra ex+h + ex−h − 2ex > 0. Do đó, áp dụng Hệ quả 2.2.3 ta có hàm ex là hàm lồi. Định lý 2.2.5. [9] (Bất đẳng thức Popoviciu) Cho I là một khoảng của tập số thực và f : I → R là một hàm lồi trên I. Khi đó bất đẳng thức f(x1) + f(x2) + f(x3) 3 + f ( x1 + x2 + x3 3 ) ≥ 2 3 [ f ( x1 + x2 2 ) + f ( x2 + x3 2 ) + f ( x3 + x1 2 )] (2.2.4) thỏa với mọi x1, x2, x3 ∈ I. Nếu f lồi thực sự thì bất đẳng thức trên là bất đẳng thức ngặt trừ khi x1 = x2 = x3. 34 Chứng minh. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử x1 ≤ x2 ≤ x3. Nếu x2 ≤ x1 + x2 + x3 3 ⇔ x2 ≤ x1 + x3 2 thì ta có x1 + x2 + x3 3 ≤ x1 + x1 + x3 2 + x3 3 = x1 + x3 2 ≤ x3 và x1 + x2 + x3 3 ≤ x2 + x3 2 ≤ x3. Lúc đó, tồn tại hai số s, t ∈ [0, 1] để x1 + x3 2 = s. x1 + x2 + x3 3 + (1− s)x3 (2.2.5) x2 + x3 2 = t. x1 + x2 + x3 3 + (1− t)x3 (2.2.6) Cộng vế theo vế hai biểu thức trên ta có x1 + x2 + x3 2 + x3 2 = (s + t)(x1 + x2 + x3) 3 + (2− s− t).x3 ⇔ ( s + t 3 − 1 2 ) (x1 + x2 + x3) + ( 3 2 − s− t ) .x3 = 0 ⇔ ( s + t− 3 2 ) (x1 + x2 − 2x3) = 0. Nếu x1 + x2 − 2x3 = 0 thì x1 + x2 = 2x3, kết hợp với x1 ≤ x2 ≤ x3 ta suy ra x1 = x2 = x3, bất đẳng thức (2.2.4) là hiển nhiên. Nếu s + t = 3 2 , do f là hàm lồi và theo (2.2.5), (2.2.6), ta có các bất đẳng thức f ( x1 + x3 2 ) ≤ s.f ( x1 + x2 + x3 3 ) + (1− s).f(x3) (2.2.7) f ( x2 + x3 2 ) ≤ t.f ( x1 + x3 + x3 3 ) + (1− t).f(x3) (2.2.8) f ( x1 + x2 2 ) ≤ 1 2 f(x1) + 1 2 f(x2). (2.2.9) Cộng vế theo vế (2.2.7), (2.2.8), (2.2.9) ta được f ( x1 + x2 2 ) + f ( x2 + x3 2 ) + f ( x3 + x1 2 ) ≤ (s + t)f ( x1 + x2 + x3 3 ) + (2− s− t)f(x3) + 1 2 f(x1) + 1 2 f(x2). Vì s + t = 3/2, bất đẳng thức ở trên trở thành bất đẳng thức (2.2.4). Nếu (x1 + x2 + x3)/3 < x2, lý luận tương tự như trường hợp x2 ≤ (x1 + x2 + x3)/3 ta cũng suy ra được (2.2.4) đúng. Định lý được chứng minh. 35 Một hệ quả của bất đẳng thức Popoviciu là bất đẳng thức sau: Định lý 2.2.6. [16] (Via Titu Andreescu) Nếu f : I → R là hàm lồi và x1, x2, x3 nằm trong tập xác định của nó thì f(x1)+f(x2)+f(x3)+f ( x1 + x2 + x3 3 ) ≥ 4 3 [ f ( x1 + x2 2 ) + f ( x2 + x3 2 ) + f ( x3 + x1 2 )] . Chứng minh. Do f là hàm lồi nên ta có f ( x1 + x2 2 ) ≤ 1 2 (f(x1) + f(x2)), f ( x2 + x3 2 ) ≤ 1 2 (f(x2) + f(x3)), f ( x3 + x1 2 ) ≤ 1 2 (f(x3) + f(x1)). Cộng vế theo vế của ba bất đẳng thức trên rồi nhân với 2 ta được 2[f(x1) + f(x2) + f(x3)] ≥ 2 [ f ( x1 + x2 2 ) + f ( x2 + x3 2 ) + f ( x3 + x1 2 )] . (2.2.10) Từ bất đẳng thức Popoviciu ta cũng có f(x1)+f(x2)+f(x3)+3f ( x1 + x2 + x3 3 ) ≥ 2 [ f ( x1 + x2 2 ) + f ( x2 + x3 2 ) + f ( x3 + x1 2 )] . (2.2.11) Cộng vế theo vế hai bất đẳng thức (2.2.10) và (2.2.11) ta được 3[f(x1) + f(x2) + f(x3)] + 3f ( x1 + x2 + x3 3 ) ≥ 4 [ f ( x1 + x2 2 ) + f ( x2 + x3 2 ) + f ( x3 + x1 2 )] . Chia cả hai vế bất đẳng thức trên cho 3 ta suy ra điều phải chứng minh. Định lý 2.2.7. [16] Nếu f là hàm lồi trên một khoảng I và x1, x2, . . . , xn (n ≥ 2) nằm trong tập xác định của nó, thì n∑ i=1 f(xi)− f ( x1 + . . . + xn n ) ≥ n− 1 n [ f ( x1 + x2 2 ) + . . . + f ( xn−1 + xn 2 ) + f ( xn + x1 2 )] . (2.2.12) Chứng minh. Do f là hàm lồi nên f ( x1 + x2 2 ) + . . . + f ( xn−1 + xn 2 ) + f ( xn + x1 2 ) ≤ f(x1) + f(x2) + . . . + f(xn). (2.2.13) 36 Ta biểu diễn n∑ i=1 f(xi) = n n− 1 n∑ i=1 f(xi)− 1 n− 1 n∑ i=1 f(xi), hay n∑ i=1 f(xi) = n n− 1 [ n∑ i=1 f(xi)− n∑ i=1 1 n f(xi) ] . (2.2.14) Từ (2.2.13) và (2.2.14) ta có f ( x1 + x2 2 ) + . . . + f ( xn−1 + xn 2 ) + f ( xn + x1 2 ) ≤ n n− 1 [ n∑ i=1 f(xi)− n∑ i=1 1 n f(xi) ] . (2.2.15) Áp dụng bất đẳng thức Jensen cho vế phải của (2.2.15) ta được f ( x1 + x2 2 ) +. . .+f ( xn−1 + xn 2 ) +f ( xn + x1 2 ) ≤ n n− 1 [ n∑ i=1 f(xi)− f (∑n i=1 xi n )] . Từ đó ta suy ra (2.2.12). Định lý được chứng minh. Định lý 2.2.8. [16] Nếu f là hàm lồi trên một khoảng I và a1, . . . , an (n ≥ 2) nằm trong tập xác định của nó thì (n− 1)[f(b1 + . . . + bn)] ≤ n[f(a1) + . . . + f(an)− f(a)], trong đó a = a1 + . . . + an n và bi = na− ai n− 1 , i = 1, . . . , n. Chứng minh. Theo bất đẳng thức Jensen ta có f(b1) = f ( a1 + . . . + an − a1 n− 1 ) = f ( a2 n− 1 + . . . + an n− 1 ) ≤ f(a2) n− 1 + . . . + f(an) n− 1 . Ta làm tương tự với f(b2), . . . , f(bn) rồi cộng vế theo vế ta được f(b1) + . . . + f(bn) ≤ f(a1) + . . . + f(an). Do đó, f(b1) + . . . + f(bn) ≤ n n− 1[f(a1) + . . . + f(an)]− 1 n− 1[f(a1) + . . . + f(an)], hay f(b1) + . . . + f(bn) ≤ n n− 1[f(a1) + . . . + f(an)]− n n− 1 [ 1 n f(a1) + . . . + 1 n f(an) ] . 37 hay f(b1) + . . . + f(bn) ≤ n n− 1 [ f(a1 + . . . + f(an)− ( 1 n f(a1) + . . . + 1 n f(an) )] . (2.2.16) Áp dụng bất đẳng thức Jensen cho vế phải của (2.2.16) ta nhận được f(b1 + . . . + f(bn) ≤ n n− 1 [ f(a1) + . . . + f(an)− f ( a1 + . . . + an n )] . Ta suy ra điều phải chứng minh. Định lý 2.2.9. [3] (Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân có trọng số) Cho x1, . . . , xn ∈ (0,+∞) và λ1, . . . , λn ∈ (0, 1), n∑ k=1 λk = 1. Khi đó λ1x1 + λ2x2 + . . . + λnxn ≥ xλ11 . . . xλnn . (2.2.17) Dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = . . . = xn. Chứng minh. Theo Ví dụ 2.1.18 ta có − lnx là hàm lồi trên (0,∞) nên theo bất đẳng thức Jensen ta suy ra − ln(λ1x1 + . . . + λnxn) ≤ −λ1 lnx1 − . . .− λn lnxn, (2.2.18) hay ln(λ1x1 + . . . + λnxn) ≥ λ1 lnx1 + . . . + λn lnxn (2.2.19) Ta có (2.2.19) tương đương với ln (λ1x1 + . . . + λnxn) ≥ ln (xλ11 . . . xλnn ). Vì lnx là hàm tăng thực sự nên ta có λ1x1 + λ2x2 + . . . + λnxn ≥ xλ11 ...xλnn và dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi (2.2.18) xảy ra dấu ” = ” theo bất đẳng thức Jensen. Tức là lnx1 = . . . = lnxn hay x1 = . . . = xn. Định lý được chứng minh. Nhận xét 2.2.10. Theo bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân có trọng số, nếu f là hàm loga-lồi, với mọi x, y ∈ I, λ ∈ (0; 1) ta có f((1− λ)x + λy) ≤ f(x)1−λf(y)λ ≤ (1− λ)f(x) + λf(y), nên các hàm loga-lồi là các hàm lồi. Điều ngược lại nói chung là không đúng. Ví dụ, hàm ex − 1 là hàm lồi nhưng không phải là hàm loga-lồi. 38 Chương 3 MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA HÀM LỒI VÀ HÀM LOGA-LỒI Trong chương này, chúng ta sẽ bắt đầu với bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm lồi. Tiếp đến, ta sẽ tìm hiểu tổng quát về lớp các hàm loga-lồi. Phần cuối của chương xin nói về một số hàm loga-lồi đặc biệt và thiết lập một số bất đẳng thức đối với các hàm này. Các hàm loga-lồi đặc biệt đó là hàm gamma, hàm zeta, tích phân elliptic hoàn chỉnh dạng 1 (dạng thứ nhất) RK . Lý thuyết về tích phân elliptic khá dài, do đó trong phần tích phân elliptic ta chỉ đưa ra các định nghĩa vừa đủ, giới thiệu một số kết quả đã được chứng minh giúp cho việc khảo sát hàm RK một cách thuận tiện. Chi tiết hơn về tích phân elliptic, độc giả có thể xem trong [7]. 3.1 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số. Bài toán 3.1.1. [3] Cho a > 0 là một số dương. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = (a− x1)(a− x2) . . . (a− xn), trong đó x1, x2, . . . , xn là những biến độc lập trên đoạn [0; a]. Giải: Xét hàm f(x1, x2, . . . , xn) = (a− x1)(a− x2) . . . (a− xn). Ta suy ra f(x1, x2, . . . , xn) là một hàm lồi theo biến xi (i = 1, n) khi cố định các biến còn lại. Áp dụng Hệ quả 2.1.28 ta suy ra hàm f đạt giá trị lớn nhất tại (x1, . . . , xn) ∈ {0, a} × . . .× {0, a}. Nếu tất cả xi, (i = 1, n) đều bằng 0 thì f(0, . . . , 0) = an. Nếu tồn tại ít nhất một xi = a, (i = 1, n) thì f(x1, . . . , xn) = 0 < an. Vậy, giá trị lớn nhất của biểu thức đã cho là an khi x1 = . . . = xn = 0. 39 Bài toán 3.1.2. [9] Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm f(x, y) = x2 + y2 − 6x− 4y trên miền U = {(x, y) ∈ R2, x ≥ 0, y ≥ 0, x2 + y2 ≤ 1} Giải. Ta có f ′(x, y) = [ 2x− 6 2y − 4 ] f ′′(x, y) = [ 2 0 0 2 ] Vì f ′′(x, y) là xác định không âm nên f(x, y) là hàm lồi trên R2. Giá trị nhỏ nhất của hàm f có thể đạt được trên ◦ U hoặc trên biên δU . O A B 1 1 y x Trên ◦ U , f ′(x, y) = 0 tại điểm (3, 2) không thuộc ◦ U nên f(x, y) không đạt cực tiểu trên ◦ U . Bây giờ ta tìm giá trị nhỏ nhất của hàm f trên δU . Trong mặt phẳng tọa độ, δU gồm đoạn thẳng OA = {0 ≤ x ≤ 1, y = 0}, đoạn thẳng OB = {x = 0, 0 ≤ y ≤ 1} và cung tròn _ AB= {(x, y) ∈ R2, x ≥ 0, y ≥ 0, x2+y2 = 1}. Trên đoạn OA, hàm f trở thành f(x, 0) = g1(x) = x2 − 6x là hàm lồi trên [0; 1]. Khảo sát hàm g1, lập bảng biến thiên, ta suy ra giá trị nhỏ nhất của f(x, 0) = g1(x) là −5 tại điểm (1, 0). Trên đoạn OB, hàm f trở thành f(0, y) = g2(y) = y2 − 4y là hàm lồi trên [0; 1]. Khảo sát hàm g2, lập bảng biến thiên, ta suy ra giá trị nhỏ nhất của f(0, y) = g2(y) là −3 tại điểm (0, 1). Trên cung tròn _ AB ta có x2 + y2 = 1 và y = √ 1− x2 nên f |_ AB = g3(x) = 1− 6x− 4 √ 1− x2. Do đó, trên (0; 1) ta có g′3(x) = −6 + 4x√ 1− x2 Suy ra g′3(x) = 0 ⇔ x = ± 3 √ 13 13 . Ta có bảng biến thiên x 0 1 3 √ 13 13 0g′3(x) g3(x) - + 1− 2√13 -3 -5 40 Suy ra min f |_ AB = 1− 2 √ 13 và max f |_ AB = −3. Vậy, minf |δD = min{−5,−3, 1− 2 √ 13} = 1− 2√13 tại điểm ( 3 √ 13 13 , 2 √ 13 13 ) . Do U ⊂ R2 là tập compact, f(x, y) là hàm lồi và liên tục trên U nên tồn tại giá trị lớn nhất của hàm f trên U . Theo Định lý 2.1.26 thì f đạt giá trị lớn nhất tại một điểm cực biên của U (tất nhiên, điểm cực biên nằm trên δU). Trên đoạn OA, theo Hệ quả 2.1.27, maxf(x, 0) = max{g1(0), g1(1)} = 0. Trên đoạn OB, theo Hệ quả 2.1.27, maxf(0, y) = max{g2(0), g2(1)} = 0. Ta có maxf(x, y)|U = max f(x, y)|δU = max{0,−3} = 0 tại điểm O(0, 0). 3.2 Tổng quan về lớp các hàm loga-lồi Như đã giới thiệu ở chương 1, với I ⊂ R là một khoảng của tập số thực, một hàm f : I → R> là hàm loga-lồi nếu f(λx + (1− λ)y) ≤ f(x)λf(y)1−λ ∀ x, y ∈ I, λ ∈ [0; 1]. Theo Nhận xét 2.2.10, các hàm loga-lồi cũng là các hàm lồi nên lớp các hàm loga-lồi có đầy đủ tính chất của một hàm lồi. Ngoài ra, ta còn có định lý sau. Định lý 3.2.1. [6] Lớp các hàm loga-lồi trên một khoảng I đóng kín đối với phép cộng, phép nhân, và phép lấy giới hạn miễn là giới hạn tồn tại và dương. Chứng minh. Trước hết, giả sử a, b, c, d, α, β là các số dương với α + β = 1. Theo Định lý 2.2.9 ta có aα.bβ ≤ αa + βb. Do đó, ta suy ra aα.bβ + cα.dβ (a + c)α(b + d)β = ( a a + c )α( b b + d )β + ( c a + c )α( d b + d )β ≤ α ( a a + c ) + β ( b b + d ) + α ( c a + c ) + β ( d b + d ) = α + β = 1. Suy ra aα.bβ + cα.dβ ≤ (a + c)α.(b + d)β . (3.2.1) 41 Với x, y ∈ I, f, g là các hàm loga-lồi, theo định nghĩa của hàm loga-lồi và theo (3.2.1) ta có f(αx + βy) + g(αx + βy) ≤ f(x)αf(y)β + g(x)αg(y)β ≤ [f(x) + g(x)]α.[f(y) + g(y)]β. Vậy, f + g là hàm loga-lồi. Nếu f, g là các hàm loga-lồi thì ln f + ln g là hàm lồi theo Định lý 2.1.1. Do đó ln (f.g) = ln f + ln g là hàm lồi hay f.g là hàm loga-lồi. Với dãy hàm loga-lồi (fn) hội tụ về hàm f dương thì ln fn là các hàm lồi với mọi n ∈ N∗. Theo Định lý 2.1.5 và tính chất của hàm logarit ta có ln f = ln ( lim n→∞ fn) = lim n→∞ (ln fn) là một hàm lồi hay f là hàm loga-lồi. Định lý được chứng minh. Đối với các hàm loga-lồi, ta có định lý sau: Định lý 3.2.2. [11] Cho f : R+ → R> là một hàm loga-lồi khả vi, a ≥ 1. Khi đó hàm g(x) = [f(x)]a f(ax) (3.2.2) giảm trên tập xác định của nó. Cụ thể, nếu 0 ≤ x ≤ y, thì ta luôn có bất đẳng thức [f(y)]a f(ay) ≤ [f(x)] a f(ax) ≤ [f(0)]a−1. (3.2.3) Nếu 0 < a ≤ 1 thì g là hàm tăng trên R+ và các bất đẳng thức trong (3.2.3) đổi chiều. Chứng minh. Với a ≥ 1, vì f là hàm loga-lồi nên đạo hàm loga của nó α(x) = (ln f)′ = f ′(x) f(x) là một hàm tăng trên R+. Do đó, α(x) ≤ α(ax) (3.2.4) Lấy logarit hai vế của (3.2.2) rồi đạo hàm, ta có g′(x) g(x) = (a ln f(x)− ln f(ax))′ = a [ f ′(x) f(x) − f ′(ax) f(ax) ] = a[αx− α(ax)]. (3.2.5) Vì g(x) > 0 với mọi x ∈ R+, từ (3.2.4) và (3.2.5) ta suy ra g′(x) ≤ 0. Vậy, g đơn điệu giảm trên tập xác định của nó. Do đó, nếu 0 ≤ x ≤ y thì g(y) ≤ g(x) ≤ g(0), các bất đẳng thức trong (3.2.3) đúng. Nếu 0 < a ≤ 1 thì bất đẳng thức (3.2.4) đổi chiều. Từ (3.2.5) ta suy ra g′(x) ≥ 0 hay g là hàm tăng, các bất đẳng thức trong (3.2.3) đổi chiều. Trong phần còn lại của khóa luận, ta luôn giả sử a ≥ 1. 42 3.3 Hàm gamma và bất đẳng thức về hàm gamma Định nghĩa 3.3.1. [9] Hàm Gamma là hàm có dạng: Γ :(0,∞) → R Γ(x) = ∞∫ 0 tx−1e−tdt với x > 0. Định lý 3.3.1. [9] Hàm Gamma có các tính chất sau: 1. Γ(x + 1) = xΓ(x) với mọi x > 0. 2. Γ(1) = 1. 3. Γ là hàm loga-lồi. Chứng minh. 1. Ta có Γ(x + 1) = ∞∫ 0 txe−tdt. Tích phân từng phần, đặt u = tx, dv = e−tdt ta suy ra du = xtx−1dt, v = −e−t. Ta có: Γ(x + 1) = [−txe−t] ∣∣∣∞ t=0 + x ∞∫ 0 tx−1e−tdt = xΓ(x). với mọi x > 0. 2. Ta có Γ(1) = ∞∫ 0 e−tdt = −e−t ∣∣∣∞ 0 = 1. 3. Với x, y > 0 và λ, µ ≥ 0, λ + µ = 1. Khi đó theo bất đẳng thức Ho¨lder, ta có: Γ(λx + µy) = ∫ ∞ 0 tλx+µy−1e−tdt = ∞∫ 0 (tx−1e−t)λ(ty−1e−t)µdt ≤   ∞∫ 0 tx−1e−tdt   λ  ∞∫ 0 ty−1e−tdt   µ = Γλ(x)Γµ(y). Vậy, Γ là hàm loga-lồi. Định lý được chứng minh Từ tính chất 1 và 2, bằng quy nạp ta có hệ quả sau: Hệ quả 3.3.2. [9] Γ(n + 1) = n! với mọi n ∈ N∗. 43 Từ tính chất 1, ta suy ra lim x→0+ xΓ(x) = lim x→0+ Γ(x + 1) = 1, ta có hệ quả: Hệ quả 3.3.3. [9] Hàm Gamma là hàm lồi và xΓ(x) → 1 khi x → 0+. Định lý tiếp theo sẽ chứng tỏ hàm Gamma là mở rộng loga-lồi duy nhất của hàm giai thừa: Định lý 3.3.4. [9] (H.Bohr và J.Mollerup) Giả sử hàm f : (0,∞) → R thỏa ba điều kiện: 1. f(x + 1) = xf(x) với mọi x > 0. 2. f(1) = 1. 3. f là hàm loga-lồi. Khi đó f = Γ. Chứng minh. Từ giả thiết 1 và 2 ta có f(1) = 1, f(2) = 1.f(1) = 1!, f(3) = 2.f(2) = 2!, . . . Bằng quy nạp, ta dễ dàng chứng minh được f(n + 1) = n! với mọi n ∈ N∗. Bây giờ với x ∈ (0; 1], n ∈ N, theo giả thiết 1 và 3 ta có f(n + 1 + x) = f((1− x)(n + 1) + x(n + 2)) ≤ [f(n + 1)]1−x.[f(n + 2)]x = [f(n + 1)]1−x.(n + 1)x.[f(n + 1)]x = (n + 1)x.f(n + 1) = (n + 1)x.n! (3.3.1) Ta cũng có n! = f(n + 1) = f( x(n + x) + (1− x)(n + 1 + x) ) ≤ [f(n + x)]x.[f(n + 1 + x)]1−x = (n + x)−x.[f(n + 1 + x)]x.[f(n + 1 + x)]1−x = (n + x)−x.f(n + 1 + x). hay (n + x)x ≤ f(n + 1 + x) n! . (3.3.2) 44 Từ f(n + 1 + x) = (n + x)(n− 1 + x) . . . xf(x), kết hợp với (3.3.1) và (3.3.2) ta có ( 1 + x n )x = (n + x)x nx ≤ f(n + 1 + x) nxn! = (n + x)(n− 1 + x) . . . xf(x) nxn! ≤ (n + 1) x.n! nxn! = ( 1 + 1 n )x . Chuyển qua giới hạn ta được lim n→∞ (n + x)(n− 1 + x) . . . xf(x) nxn! = 1 hay f(x) = lim n→∞ nxn! (n + x)(n− 1 + x) . . . x ∀ x ∈ (0; 1]. (3.3.3) Bây giờ, giả sử x > 0, ta chọn số nguyên m sao cho x−m ∈ (0; 1]. Theo giả thiết 1 và theo (3.3.3), với n đủ lớn ta có f(x) = (x− 1) . . . (x−m)f(x−m) = (x− 1) . . . (x−m). lim n→∞ nx−mn! (n + x−m)(n− 1 + x−m) . . . (x−m) = lim n→∞ (x− 1) . . . (x−m).nx−mn! (n + x−m)(n− 1 + x−m) . . . x(x− 1) . . . (x−m) = lim n→∞ [ (n + x)(n + x− 1) . . . (n + x− (m− 1)) (n + x)(n + x− 1) . . . (n + x− (m− 1)) . nx−mn! (n + x−m)(n− 1 + x−m) . . . x ] = lim n→∞ [ nxn! (n + x)(n− 1 + x) . . . x . (n + x)(n + x− 1) . . . (n + x− (m− 1)) nm ] = lim n→∞ [ nxn! (n + x)(n− 1 + x) . . . x ( 1 + x n )( 1 + x− 1 n ) . . . ( 1 + x− (m− 1) n )] = lim n→∞ nxn! (n + x)(n− 1 + x) . . . x Nếu có hàm g thỏa mãn ba điều kiện của định lý thì với x > 0 ta có f(x) = lim n→∞ nxn! (n + x)(n− 1 + x) . . . x = g(x). Tức f là hàm duy nhất thỏa mãn ba điều kiện của định lý. Từ các tính chất của hàm Gamma ta suy ra f = Γ. Định lý được chứng minh. Đối với hàm Gamma, ta có bất đẳng thức thể hiện trong định lý sau: Định lý 3.3.5. [15] Với mọi a ≥ 1 và với mọi x ∈ [0; 1] ta có 1 Γ(1 + a) ≤ [Γ(x + 1)] a Γ(ax + 1) ≤ 1. (3.3.4) 45 Chứng minh. Với x ≥ 0 ta đặt f(x) = Γ(1 + x). Theo Định lý 3.3.1 ta có f là hàm loga-lồi khả vi, áp dụng Định lý 3.2.2, suy ra hàm [Γ(1 + x)]a Γ(1 + ax) giảm với mọi x ≥ 0 và bất đẳng thức [f(y)]a f(ay) ≤ [f(x)] a f(ax) ≤ [f(0)]a−1 (3.3.5) nghiệm đúng với 0 ≤ x ≤ y. Với y = 1, (3.3.5) trở thành [Γ(2)]a Γ(1 + a) ≤ [Γ(x + 1)] a Γ(ax + 1) ≤ [Γ(1)]a−1, Vì Γ(1) = 1,Γ(2) = 1, ta suy ta điều phải chứng minh. Bây giờ, trong (3.3.4), nếu thay a = n là số nguyên dương với chú ý Γ(1+n) = n! ta được 1 n! ≤ [Γ(1 + x)] n Γ(1 + nx) ≤ 1. Ta có hệ quả: Hệ quả 3.3.6. [8] Với n ∈ N∗ và với x ∈ [0; 1] ta có 1 n! ≤ [Γ(1 + x)] n Γ(1 + nx) ≤ 1. 3.4 Hàm zeta và bất đẳng thức về hàm zeta Hàm Riemann zeta hay hàm zeta được định nghĩa như sau Định nghĩa 3.4.1. Với s ∈ C và Res > 1, hàm zeta được xác định bởi chuỗi ζ(s) = ∞∑ n=1 1 ns . Riemann đã chứng minh hàm zeta xác định như trên là giải tích trên tập xác định của nó. Euler đã chứng minh được ζ(2) = pi2 6 , ζ(4) = pi4 90 , ζ(6) = pi6 945 , ζ(26) = 1315862.pi26 11094481976030578125 , . . . Định lý sau đây sẽ cho ta một công thức đẹp giữa hàm gamma và hàm zeta: 46 Định lý 3.4.1. [11] Với x > 1 là số thực, ta có Γ(x)ζ(x) = ∞∫ 0 tx−1 et − 1dt. Chứng minh. Với n là số nguyên dương, xét tích phân ∞∫ 0 e−nttx−1dt. Đổi biến, đặt y = nt, ta suy ra dt = dy n , tx−1 = yx−1 nx−1 , t = 0 thì y = 0, t →∞ thì y →∞. Khi đó ∞∫ 0 e−nttx−1dt = ∞∫ 0 e−y yx−1 nx−1 dy n = ∞∫ 0 e−yyx−1 nx dy = 1 nx ∞∫ 0 e−yyx−1dy = 1 nx Γ(x). (3.4.1) Lấy tổng hai vế của (3.4.1) theo tất cả các số tự nhiên n ≥ 1 ta có Γ(x)ζ(x) = ∞∑ n=1 1 nx Γ(x) = ∞∑ n=1 ∞∫ 0 e−nttx−1dt = ∞∫ 0 [ ∞∑ n=1 e−nt ] tx−1dt Vì ∞∑ n=1 e−nt = ∞∑ n=1 (e−t) n là tổng của một cấp số nhân có số hạn đầu bằng e−t, công bội bằng e−t nên ta có Γ(x)ζ(x) = ∞∫ 0 e−t 1 1− e−t t x−1dt = ∞∫ 0 1 et − 1t x−1dt. Định lý được chứng minh. Định lý 3.4.2. [11] Hàm F (x) = Γ(1 + x)ζ(1 + x) là hàm loga-lồi với mọi x ∈ R>. 47 Chứng minh. Theo Định lý 3.4.1 ta có F (x) = Γ(1 + x)ζ(1 + x) = ∞∫ 0 tx et − 1dt. Theo tính chất của tích phân ta có thể bỏ qua giá trị t = 0 và xét hàm f(x, t) = tx et − 1 với x, t là các số dương. Với t > 0 cố định, ln f(x, t) = ln t.x− ln(et − 1) là hàm lồi nên f(x, t) là hàm loga-lồi theo biến x khi t cố định. Do đó, với t > 0 cố định, với x, y > 0, λ ∈ (0; 1) ta có f(λx + (1− λ)y, t) ≤ [f(x, t)]λ[f(y, t]1−λ. Vì f là hàm dương thực sự, nên F cũng vậy. Với x, y > 0, λ ∈ (0; 1), ta có F (λx + (1− λ)y) = ∞∫ 0 f(λx + (1− λ)y, t)dt ≤ ∞∫ 0 [f(x, t)]λ[f(y, t)]1−λdt Áp dụng bất đẳng thức Ho¨lder về tích phân ta có F (λx + (1− λ)y) ≤   ∞∫ 0 f(x, t)dt   λ   ∞∫ 0 f(y, t)dt   1−λ . hay F (λx + (1− λ)y) ≤ [F (x)]λ[F (y)]1−λ Vậy, F là hàm loga-lồi. Định lý 3.4.3. [11] Với a ≥ 1 và với 0 < x ≤ y ta có [Γ(1 + y)ζ(1 + y)]a Γ(1 + ay)ζ(1 + ay) ≤ [ζ(1 + x)] a ζ(1 + ax) . (3.4.2) Chứng minh. Với 0 < x ≤ y, áp dụng bất đẳng thức (3.2.3) trong Định lý 3.2.2 ta có [Γ(1 + y)ζ(1 + y)]a Γ(1 + ay)ζ(1 + ay) ≤ [Γ(1 + x)ζ(1 + x)] a Γ(1 + ax)ζ(1 + ax) . (3.4.3) Áp dụng bất đẳng thức (3.3.4) đối với vế phải của (3.4.3) ta có [Γ(1 + y)ζ(1 + y)]a Γ(1 + ay)ζ(1 + ay) ≤ [ζ(1 + x)] a ζ(1 + ax) . Định lý được chứng minh. 48 Bây giờ, nếu thay y = 1, 0 < x ≤ 1 vào (3.4.2) với chú ý Γ(2) = 1 và ζ(2) = pi 2 6 ta có ( pi2 6 )a 1 Γ(1 + a)ζ(1 + a) ≤ [ζ(1 + x)] a ζ(1 + ax) hay ( pi2 6 )a 1 Γ(1 + a) ≤ [ζ(1 + x)] aζ(1 + a) ζ(1 + ax) . Ta có hệ quả Hệ quả 3.4.4. [11] Với a ≥ 1 và với 0 < x ≤ 1 ta luôn có bất đẳng thức ( pi2 6 )a 1 Γ(1 + a) ≤ [ζ(1 + x)] aζ(1 + a) ζ(1 + ax) . 3.5 Tích phân elliptic - Tích phân elliptic hoàn chỉnh dạng thứ nhất RK - Các bất đẳng thức liên quan Gọi là tích phân elliptic vì nó xuất phát từ một bài toán cổ: tìm độ dài một cung của một ellipse. Việc tìm độ dài cung này dẫn đến một tích phân của một hàm hữu tỉ theo hai biến x, y (thương của hai đa thức theo x và y), trong đó y là căn bậc hai của một đa thức theo x. Nhiều bài toán khác như tìm độ dài cung của đường hyperbol hay đường lemniscate, tính diện tích mặt của một ellipsoid và nhiều bài toán khác của toán học ứng dụng cũng như toán học thuần túy cũng dẫn đến các tích phân tương tự. Ta có định nghĩa Định nghĩa 3.5.1. [7] Cho (x, y) ∈ R2. Khi đó, tích phân∫ r(x, y)dx, trong đó r là bất kỳ hàm hữu tỉ nào của x và y, y là căn bậc hai của một đa thức bậc nhất hoặc đa thức bậc hai theo x được gọi là tích phân elliptic. Các tính chất quan trọng đầu tiên của tích phân elliptic là các định lý về phép cộng được Euler đưa ra trong những năm 1752 - 1761, và định lý được hoàn thiện nhiều mặt trong luận án của Legendre vào những năm 1825 - 1826. Trong suốt những năm 1827 - 1830, Abel và Jacobi đã khám phá ra một tính chất khá quan trọng của tích phân elliptic: các hàm elliptic là hàm ngược của các tích phân elliptic. 49 Định nghĩa 3.5.2. [11] Cho b = (b1, b2) ∈ R2+. Khi đó µb(t) = Γ(b1 + b2) Γ(b1)Γ(b2) tb1−1(1− t)b2−1 được gọi là độ đo Dirichlet trên [0; 1]. Người ta đã chứng minh được rằng 1∫ 0 µb(t)dt = 1. Nói cách khác, µb là độ đo xác suất trên [0; 1]. Để hiểu thêm về độ đo Dirichlet, độc giả có thể xem trong ([7], trang 64 - 68). Định nghĩa 3.5.3. [10] Cho điểm X = (x, y) ∈ R2>, hàm R-siêu bội Rp(b;X) (p ∈ R) là hàm được xác định bởi công thức Rp(b;X) = 1∫ 0 (u.X)pµb(t)dt, (3.5.1) trong đó u = (t, 1− t) và u.X = tx + (1− t)y. Với p ∈ R, b = (b1, b2) ∈ R2+, X = (x, y) ∈ R2>, ta cũng sẽ ký hiệu Rp(b;X) = Rp(b1, b2;x, y). Việc khảo sát tích phân elliptic đưa đến việc khảo sát một số tích phân cơ bản trong đó có tích phân elliptic hoàn chỉnh dạng thứ nhất RK(x, y) = R−1/2 ( 1 2 , 1 2 ;x, y ) . Ta sẽ chứng minh RK(x, y) là hàm loga-lồi theo các biến và thiết lập một vài bất đẳng thức liên quan đến hàm này. Định lý 3.5.1. [10] Cho p . Khi đó bất đẳng thức Rp(b;λX + (1− λ)Y ) ≤ [Rp(b;X)]λ[Rp(b;Y )]1−λ đúng với mọi 0 ≤ λ ≤ 1. Chứng minh. Theo Ví dụ 2.1.18, hàm x → xp (x > 0) là hàm loga-lồi khi p < 0. Do đó bất đẳng thức (λx + (1− λ)y)p ≤ (xp)λ(yp)1−λ (3.5.2) 50 đúng với mọi số dương x, y. Theo (3.5.1), (3.5.2) và áp dụng bất đẳng thức Ho¨lder trong tích phân ta có Rp(b;λX + (1− λ)Y ) = 1∫ 0 [u.(λX + (1− λ)Y ]pµb(t)dt = 1∫ 0 [λ(u.X) + (1− λ)(u.Y )]pµb(t)dt ≤ ∫ 1 0 [(u.X)pµb(t)] λ[(u.Y )pµb(t)] 1−λdt ≤   1∫ 0 (u.X)pµb(t)dt   λ   1∫ 0 (u.Y )pµb(t)dt   1−λ = [Rp(b;X)] λ[Rp(b;Y )] 1−λ. Định lý được chứng minh. Cũng theo Định lý 3.5.1 và do (λx1 + (1 − λ)x2, y) = λ(x1, y) + (1 − λ)(x2, y) nên Rp(b1, b2;x, y) là hàm loga-lồi theo biến x. Thực hiện tương tự ta cũng suy ra Rp(b1, b2;x, y) là hàm loga-lồi theo biến y. Ta có hệ quả: Hệ quả 3.5.2. [11] Hàm RK(x, y) là hàm loga-lồi theo một biến khi cố định biến còn lại. Bây giờ, theo Hệ quả 3.5.2 với z > 0, a ≥ 1, đặt f(x) = RK(x, z) (x > 0). Áp dụng bất đẳng thức (3.2.3) trong Định lý 3.2.2 ta có [RK(y, z)]a RK(ay, z) ≤ [RK(x, z)] a RK(ax, z) hay [ RK(y, z) RK(x, z) ]a ≤ RK(ay, z) RK(ax, z) (0 < x ≤ y) (3.5.3) Người ta đã chứng minh được RK là hàm liên tục theo các biến của nó và RK(x 2, y2) = RK [( x + y 2 )2 , xy ] , (x, y ∈ R>). (3.5.4) Nói cách khác, RK bất biến qua phép thay x, y bởi trung bình cộng và trung bình nhân của x, y. 51 Khi đó, giới hạn của hai dãy xác định bởi x0 = x, y0 = y, x1 = 1 2 (x + y) y1 = (x.y) 1/2 ... ... xn+1 = 1 2 (xn + yn), yn+1 = (xnyn) 1/2, n ∈ N được gọi là trung bình cộng - trung bình nhân Gauss của x và y, M = M(x, y) = limxn = lim yn. Theo định nghĩa của dãy (xn), (yn) và (3.5.4), ta thấy RK(x2, y2) = RK(x21, y 2 1). Bằng quy nạp ta nhận được RK(x 2, y2) = RK(x 2 1, y 2 1) = . . . = RK(x 2 n, y 2 n) = . . . . (3.5.5) Từ đó, áp dụng tính chất liên tục theo các biến của RK(x, y) và theo (3.5.5) người ta suy ra RK(x 2, y2) = RK(x 2 n, y 2 n) = limn→∞ RK(x 2 n, y 2 n) = RK(M 2,M2) = 1 M(x, y) . Năm 1799, Gauss đã tìm ra công thức nghịch đảo của M(x, y) và đi đến công thức RK(x 2, y2) = 2 pi pi 2∫ 0 (x2 sin2 θ + y2 cos2 θ)−1/2dθ. hay RK(x, y) = 2 pi pi 2∫ 0 (x sin2 θ + y cos2 θ)−1/2dθ (x, y ∈ R>). Người ta cũng định nghĩa Định nghĩa 3.5.4. [11] Dạng Legendre của tích phân hoàn chỉnh dạng 1, ký hiệu bởi K(k) được cho bởi công thức K(k) = pi/2∫ 0 (1− k2 sin2 θ)−1/2dθ. Ta chỉ làm việc với k ∈ (0; 1). 52 Theo định nghĩa của K(k) ta có K(k) = pi/2∫ 0 ((1− k2) sin2 θ + cos2 θ)−1/2dθ = pi 2 RK(1− k2, 1). Bây giờ, giả sử 0 < l ≤ k < 1. Ta có K(k) = pi 2 RK(1− k2, 1), K(l) = pi 2 RK(1− l2, 1). Áp dụng (3.5.3) và theo trên ta có [ K(l) K(k) ]a = [ RK(1− l2, 1) RK(1− k2, 1) ]a ≤ RK(a(1− l 2), 1) RK(a(1− k2), 1) = pi 2RK(1− (1− a + al2), 1) pi 2RK(1− (1− a + ak2), 1) = K(m) K(r) , nếu 0 < m = 1− a + al2 < 1, 0 < r = 1− a + ak2 < 1. Ta có định lý Định lý 3.5.3. [11] Với 0 < l ≤ k < 1, nếu 0 < m = 1 − a + al2 < 1, 0 < r = 1− a + ak2 < 1 thì ta có [ K(l) K(k) ]a ≤ K(m) K(r) 53 KẾT LUẬN Khóa luận đã giải quyết nhiều vấn đề về lý thuyết cũng như ứng dụng của hàm lồi, tập trung vào những nội dung sau: Hệ thống hóa các kiến thức đã biết về không gian tuyến tính định chuẩn, sự liên tục, khả vi, giá trị cực đại và giá trị cực tiểu, các bất đẳng thức và chuyển giới hạn dưới dấu tích phân, tập lồi - hàm lồi và hàm loga-lồi,. . . Các kiến thức này là cần thiết cho việc theo dõi khóa luận. Trình bày một số vấn đề lý thuyết của hàm lồi như các phép toán liên quan đến hàm lồi, tính liên tục, khả vi, các định lý liên quan đến giá trị cực đại và cực tiểu. Đi sâu tìm hiểu về các bất đẳng thức liên quan đến hàm lồi. Khảo sát một số ứng dụng của hàm lồi và hàm loga-lồi. Đó là các vấn đề liên quan đến việc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm lồi, khảo sát lớp hàm loga-lồi và một số hàm đặc biệt cũng như thiết lập các bất đẳng thức liên quan đến chúng. Chúng tôi đã cố gắng hoàn thành luận văn một cách tốt nhất có thể; đi sâu phân tích, chứng minh nhằm giúp người đọc có cái nhìn tổng quát về vấn đề đang nghiên cứu. Tuy nhiên, có thể do hạn chế của bản thân và thời gian có hạn, chắc chắn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được sự nhận xét và góp ý chân thành từ quý thầy cô cũng như độc giả để khóa luận hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn! 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Định và Nguyễn Hoàng, Hàm số biến số thực (cơ sở giải tích hiện đại), NXB Giáo Dục - 2007. [2] Nguyễn Hoàng và Lê Văn Hạp, Giáo trình giải tích hàm, NXB Giáo Dục - 2006. [3] Nguyễn Hữu Điển, Giải toán bằng phương pháp đại lượng cực biên, NXB Giáo Dục 2005, trang 183–218. [4] Nguyễn Văn Mậu, Bất đẳng thức, định lý và áp dụng, NXB Giáo Dục – 2006. [5] Phạm Ngọc Thao, Giáo trình toán đại cương (Phần II: Giải tích – tập I), NXB Đại học quốc gia Hà Nội –1998. [6] A. Wayne Robert và Dale E. Varberg, Convex functions, Academic Press - 1973. [7] B. C. Carlson, Special functions of applied mathematics, Academic Press, New York, 1977. [8] C. Alsina and M. S Tomás, A geometrical proof of a new inequal- ity for the gamma function, Journal of Inequalities in Pure and Ap- plied Mathematics, volume 6. issue 2. 2005, Article 48 [ONLINE: ]. [9] Constantin P. Niculescu and Lars - Erik Persson, Convex functions and their applications, Springer Science + Business Media, 2006. [10] Edward Neuman and József Sándor, On the schwab-borchardt mean II, Mathe- matica Pannonica, 17(1)(2006). [11] Edward Neuman, inequalities involving a logarithmically convex functions and their applications to special functions, Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, volume 7. issue 1. 2006, Article 16 [ONLINE: vu. edu.au/]. 55 [12] H. G. Eggleston, Convexity, the Syndics of the Cambridge University Press, 1958, pages 1–16. [13] Jeffrey Stopple, A primer of analytic number theory from Pythagoras to Riemann, Cambridge University Press, 2003, pages 193–212. [14] John Derbyshire, Prime obsession - Bernhard Riemann and the greatest unsolved problem in mathematics, Joseph Henry Press - Washington D.C, 2003, pages 63– 81. [15] József Sándor, A note on certain inequalities for the gamma function, Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, volume 6. issue 3. 2005, Article 61 [ONLINE: ]. [16] Lazhar Bougoffa, New inequalities about convex functions, Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, volume 7. issue 4. 2006, Article 148 [ONLINE: ]. 56