Khóa luận Mô đun đối đồng điều địa phương

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ? ? ?F ? ?? DƯƠNG HUYỀN PHƯƠNG MÔ ĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐHSP Ngành học : Toán học Cán bộ hướng dẫn TS. PHAN VĂN THIỆN Huế, Khóa học 2007-2011 i LỜI CẢM ƠN Khóa luận này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình, chu đáo của TS. Phan Văn Thiện. Tôi xin phép được gửi đến Thầy sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc về sự tận tâm của Thầy đối với bản thân tôi không những trong thời gian làm khóa luận mà còn trong suốt quá trình học tập tại trường. Tôi xin phép được gửi lời cám ơn chân thành đến quý Thầy cô đã giảng dạy lớp Toán 4B Trường Đại học Sư phạm Huế nói chung cũng như toàn thể quý thầy cô Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Huế nói riêng, những người đã cho tôi nguồn kiến thức vô cùng quý giá và bổ ích, giúp tôi có thêm nguồn kiến thức để bước vào đời. Cuối cùng, tôi cũng xin phép được gửi lời cảm ơn đến những người thân, các bạn sinh viên lớp toán 4B, đã quan tâm động viên giúp đỡ tôi học hành trong suốt 4 năm học tại Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Huế. Tôi xin chân thành cảm ơn rất nhiều. Huế, tháng 5 năm 2011 Dương Huyền Phương ii MỤC LỤC Trang phụ bìa i Lời cảm ơn ii MỤC LỤC 1 LỜI MỞ ĐẦU 1 CÁC KÝ HIỆU SỬ DỤNG TRONG KHÓA LUẬN 2 1 MÔĐUN XOẮN VÀ HÀM TỬ XOẮN 3 1.1 Môđun xoắn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Hàm tử xoắn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Đối phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 PHÉP GIẢI NỘI XẠ 22 2.1 Mô đun nội xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2 Phép giải nội xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3 MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG 31 3.1 Hàm tử đối đồng điều địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2 Môđun đối đồng điều địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.3 Một số tính chất của môđun đối đồng điều địa phương . . . . . . . 34 KẾT LUẬN 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO 44 1 LỜI MỞ ĐẦU Đại số nói chung là môn học khá phổ biến, khá hay của ngành toán trong các trường đại học. Và đối đồng điều địa phương lại là môn chuyên ngành khá mới của đại số. Với mong muốn tìm hiều thêm và hiểu sâu hơn các định nghĩa, cách chứng minh các định lý cùng những tính chất liên quan của chuyên ngành đối đồng điều địa phương, tôi đã thực hiện khóa luận này. Ngoài ra, việc làm khóa luận còn giúp tôi làm phong phú thêm kiến thức về đại số nói chung. Dựa trên những kiến thức về vành noetherian R, iđêan a của R và R-môđun M, tôi sẽ giới thiệu cho người đọc biết về môđun a-xoắn, hàm tử a-xoắn, hàm tử dẫn xuất, hàm tử đối đồng điều địa phương và môđun đối đồng điều địa phương cùng phương pháp xây dựng chúng. Nội dung trọng tâm của khóa luận là đưa ra phương pháp xây dựng môđun a-xoắn, môđun đối đồng điều địa phương cùng một số tính chất cơ bản và chứng minh định lý cùng một số mệnh đề. Những điều này là cơ sở để tiếp tục nghiên cứu chuyên ngành đại số đồng điều. Những kiến thức về nhóm, vành, đồng cấu vành, iđêan, R-môđun M và đồng cấu R-môđun là những kiến thức cần thiết giúp cho tôi nghiên cứu về chuyên ngành này. Trong suốt khóa luận, các vành R được xét là vành giao hoán có đơn vị 1R, vành con A của vành R thỏa mãn: 1R ∈ A, đồng cấu vành biến đơn vị thành đơn vị. Nội dung khóa luận được chia thành ba chương: Chương 1: Môđun xoắn và hàm tử xoắn. Chương này đưa ra các kiến thức cơ bản về môđun a-xoắn, hàm tử a-xoắn, phạm trù, hàm tử, hàm tử tuyến tính hiệp biến, hàm tử khớp, đối phức, đối đồng điều thứ để phục vụ cho việc xây dựng môđun đối đồng điều địa phương ở chương 3. Chương 2: Phép giải nội xạ Chương này đưa ra một số kiến thức cơ bản về môđun nội xạ, phép giải phải, phép giải phải nội xạ cùng một số tính chất để phục vụ cho việc xây dựng môđun đối đồng điều địa phương ở chương 3. Chương 3: Môđun đối đồng điều địa phương. Chương này đưa ra các cơ sở để xây dựng môđun đối đồng điều địa phương và đưa ra một số tính chất của nó. 1 CÁC KÝ HIỆU SỬ DỤNG TRONG KHÓA LUẬN Γa(M) F (•) R-mod Γa(•) hay Γa (M•, d•) h• HomR(M•, N•) h• ∼ l• Hn(M•) Hn(•) ((D•, d•); a) RnF Hna (•) Hna (M) Môđun a-xoắn của M Hàm tử tuyến tính hiệp biến Phạm trù các R-môđun Hàm tử a-xoắn Đối phức của R-môđun M Đồng cấu đối phức giữa hai đối phức Tập tất cả các đồng cấu đối phức của R-môđun Đồng cấu đối phức h• đồng luân với đồng cấu đối phức l• Đối đồng điều thứ n của đối phức (M•, d•) Hàm tử đối đồng điều thứ n của các R-môđun Phép giải phải của R-môđun Hàm tử dẫn xuất phải thứ n Hàm tử đối đồng điều địa phương thứ n Môđun đối đồng điều địa phương thứ n 2 Chương 1 MÔĐUN XOẮN VÀ HÀM TỬ XOẮN Trong chương này, chúng tôi giới thiệu định nghĩa môđun a-xoắn, định nghĩa phạm trù, hàm tử, hàm tử tuyến tính hiệp biến, hàm tử a-xoắn, hàm tử khớp, đối phức, đồng luân, đối đồng điều, cùng những ví dụ cụ thể minh họa cho các định nghĩa trên. Đồng thời chúng tôi cũng nêu một số tính chất cơ bản của môđun a-xoắn, của các loại hàm tử trên và của đối phức cùng phương pháp chứng minh chúng. Chương này bao gồm những kiến thức cơ sở để tiếp tục nghiên cứu môđun đối đồng điều địa phương. 1.1 Môđun xoắn Vành noetherian Định nghĩa 1.1.1. Cho R là vành giao hoán có đơn vị 1. Vành R được gọi là vành noetherian nếu thỏa mãn một trong các điều kiện tương đương sau: i) Mỗi iđêan của R là hữu hạn sinh. ii) Mỗi dây chuyền tăng những iđêan của R: a1 ⊂ a2 ⊂ · · · ⊂ an ⊂ · · · sao cho ai 6= aj đều dừng, tức là ∃n0 ∈ N : an = an0 ∀n > n0. iii) Mỗi tập hợp ∑ 6= ∅ những iđêan của R chứa một phần tử tối đại. Ví dụ 1.1.1. Z là vành noetherian vì mỗi iđêan trong Z đều hữu hạn sinh. Ngoài ra, ta có thể lấy một dãy giảm không dừng đó là: Z ⊃ 2Z ⊃ 22Z ⊃ · · · Môđun xoắn Định nghĩa 1.1.2. Cho R là vành noetherian, a ⊂ R là một iđêan, M là R-môđun, N là môđun con của M . Đặt: (N : M a) := {m ∈M |ma ⊆ N} với: ma = {ma | a ∈ a} 3 Mệnh đề 1.1.2. (N : M a) là một môđun con củaM. Chứng minh. Vì N là môđun con của M nên với mọi n ∈ N , ta có: na ⊆ N (theo định nghĩa (N : M a))⇒ (N : M a) 6= ∅. ∀m,n ∈ (N : M a)⇒ ma ⊆ N, na ⊆ N , khi đó ta có: (m+ n)a ⊂ ma + na ⊆ N ⇒ (m+ n) ∈ (N : M a). ∀m ∈ (N : M a), ∀r ∈ R, khi đó thì ma ⊆ N . (rm)(a) = r(ma) ⊆ N ⇒ rm ∈ (N : M a) (do R là vành giao hoán). Vậy (N : M a) là một môđun con của M . Định nghĩa 1.1.3. Môđun a-xoắn của R-môđun M được định nghĩa như sau: Γa(M) = ⋃ n∈N (0 : M an) Nhớ rằng 0 : R V = {x ∈ R |xV = 0} Mệnh đề 1.1.3. ⋃ n∈N (0 : M an) là một môđun con củaM. Chứng minh. Dễ thấy 0 ∈ (0 : M an)⇒ 0 ∈ ⋃ n∈N (0 : M an)⇒ ⋃ n∈N (0 : M an) 6= ∅. Lấy m,n ∈ ⋃ n∈N (0 : M an), lúc đó ∃m0, n0 ∈ N sao cho m ∈ (0 : M an0), n ∈ (0 : M am0). Đặt k = max{m0, n0}. Khi đó, suy ra m,n ∈ (0 : M ak)⇒ m+ n ∈ (0 : M ak) ⇒ m+ n ∈ ⋃ n∈N (0 : M an). ∀r ∈ R, ∀m ∈ (0 : M an) ⇒ ∃n0 ∈ N : m ∈ (0 : M an0) ⇒ rm ∈ (0 : M an0) ( do (0 : M an) là môđun con của M mà ta đã chứng minh ở Mệnh đề 1.1.2) ⇒ rm ∈ ⋃ n∈N (0 : M an). Vậy ⋃ n∈N (0 : M an) là môđun con của M . Ví dụ 1.1.4. R là một vành. Khi đó, R là R-môđun 0R-xoắn. Thật vậy, ta cần chứng minh rằng: R = ⋃ n∈N (0 : R {0R}n). Lấy x ∈ R, ta có: x.0R = 0⇒ x ∈ ⋃ n∈N (0 : R {0R}n)⇒ R ⊂ ⋃ n∈N (0 : R {0R}n). Hiển nhiên: ⋃ n∈N (0 : R {0R}n) ⊂ R, vậy R = ⋃ n∈N (0 : R {0R}n). Mệnh đề 1.1.5. Cho R là vành noetherian, a là một iđêan của R, M là một R-môđun. Khi đó, ta có: 4 a) Γ0(M) = M , ΓR(M) = 0. b) a ⊆ b⇒ Γb(M) ⊆ Γa(M). Chứng minh. a) Ta có: Γ0(M) = ⋃ n∈N (0 : M 0n) = ⋃ n∈N {m ∈M |0nm = 0} = M. ΓR(M) = ⋃ n∈N (0 : M Rn) = ⋃ n∈N {m ∈M |Rnm = 0} = 0. b) Lấy x ∈ Γb(M)⇒ ∃n0 ∈ N sao cho x ∈ (0 : M bn0)⇒ bn0x = 0. Vì a ⊆ b nên an0x = 0⇒ x ∈ (0 : M an0)⇒ x ∈ ⋃ n∈N (0 : M an0) = Γa(M). Vậy Γb(M) ⊆ Γa(M). 1.2 Hàm tử xoắn Phạm trù và hàm tử Định nghĩa 1.2.1. C được gọi là một phạm trù nếu đã cho: a) Một tập hợp không rỗng, kí hiệu là 0b(C), mà các phần tử được gọi là các vật của phạm trù C. b) Với mỗi cặp vật (A,B) của C, một tập hợp có thể rỗng, kí hiệu là HomC(A,B), mà các phần tử được gọi là mũi tên từ A đến B; A được gọi là nguồn của f và B gọi là đích của f . c) Với mỗi ba vật (A,B,C) của C, một ánh xạ: HomC(B,C) × HomC(A,B) −→ HomC(A,C) (g, f) 7−→ gf được gọi là tích (hay hợp thành) các mũi tên. Các điều đã cho phải thỏa mãn các điều kiện sau: i) Đối với các cặp vật khác nhau (A,B) 6= (C,D) thì: HomC(A,B) ∩HomC(C,D) = ∅ ii) Luật kết hợp: γ(βα) = (γβ)α với α ∈ HomC(A,B), β ∈ HomC(B,C), γ ∈ HomC(C,D). iii) Với mọi vật A của phạm trù C tồn tại một phần tử của HomC(A,A) gọi là mũi tên đồng nhất và kí hiệu là idA sao cho: α = αidA = idBα 5 với mọi α ∈ HomC(A,B). Ví dụ 1.2.1. Phạm trù các tập hợp. Phạm trù này lấy các tập hợp làm các vật và lấy các ánh xạ làm các mũi tên. Tích của các mũi tên được xác định bởi phép hợp thành các ánh xạ. Định nghĩa 1.2.2. Đối với mỗi phạm trù C có một phạm trù đối ngẫu, kí hiệu C′ được xác định như sau: i) Vật của phạm trù C′ chính là vật của C. ii) HomC′(X, Y ) = HomC(Y,X). iii) Cái hợp thành βα trong C′ được hiểu là cái hợp thành αβ trong C. Định nghĩa 1.2.3. Giả sử C vàD là hai phạm trù. Một hàm tử hiệp biến F : C −→ D là một hàm cho ứng với mỗi vật X ∈ C một vật F (X) ∈ D và với mỗi mũi tên α của C một mũi tên F (α) của D thỏa mãn các điều kiện sau: i) Nếu α : X −→ Y thì F (α) : F (X) −→ F (Y ), ii) F (idX) = idF (X), iii) F (α ◦ β) = F (α) ◦ F (β) nếu α ◦ β xác định. Nếu F thỏa mãn các điều kiện sau: i) α : X −→ Y ⇒ F (α) : F (X) −→ F (Y ), ii)F (idX) = idF (X), iii) F (α ◦ β) = F (β) ◦ F (α). thì F được gọi là hàm tử phản biến. Như vậy, nếu F là một hàm tử phản biến từ C đến D thì F là hiệp biến từ C′ đến D. Chú ý: Khi cho một hàm tử nếu không nói gì thêm thì ta hiểu hàm tử đã cho là hiệp biến. Ví dụ 1.2.2. Giả sử C là một phạm trù tùy ý và P là phạm trù các tập hợp. Ta xác định hàm tử hiệp biến từ C′ × C vào P như sau: F (A,B) = HomC(A,B) F (u, v)(α) = v ◦ α ◦ u đối với mọi (u, v) : (A,B) −→ (A1, B1) và α ∈ HomC(A,B). Định lý 1.2.3. Cho M,N là các R-môđun, h : M −→ N là đồng cấu R-môđun. Đặt: HomR(M,N) = {h|h : M −→ N là đồng cấu R-môđun} Trên HomR(M,N) ta định nghĩa phép cộng như sau: 6 (f + g)(m) = f(m) + g(m) với mỗi m ∈M ; f, g ∈ HomR(M,N), Lúc đó, (HomR(M,N),+) trở thành một nhóm aben. Chứng minh. Ta chứng minh tập HomR(M,N) với phép cộng: (f + g)(m) = f(m) + g(m) với mọi m ∈ M ; f, g ∈ HomR(M,N) là một nhóm aben. 1) ∀f, g, h ∈ HomR(M,N), ∀m ∈M , ta có: ((f + g) + h)(m) = ((f + g)(m)) + h(m) = (f(m) + g(m)) + h(m) = f(m) + (g(m) + h(m)) = f(m) + (g + h)(m) = (f + (g + h))(m). Suy ra (f + g) + h = f + (g + h). 2) ∀f, g ∈ HomR(M,N), m ∈M , ta có: (f + g)(m) = f(m) + g(m) = g(m) + f(m) = (g + f)(m). Suy ra f + g = g + f . 3) Xét: 0 : M −→ N x 7−→ 0 0 ∈ HomR(M,N),∀f ∈ HomR(M,N), ∀m ∈M , ta có: (f + 0)(m) = f(m) + 0(m) = f(m). Suy ra f + 0 = f . 4) ∀f ∈ HomR(M,N). Xét: −f : M −→ N m 7−→ −f(m) Lấy f ∈ HomR(M,N),∀m ∈M,∃(−f) ∈ HomR(M,N), ta có: (f + (−f))(m) = f(m) + (−f(m)) = f(m)− f(m) = 0 Suy ra f + (−f) = 0. Vậy (HomR(M,N),+) là một nhóm aben. Định lý 1.2.4. Cho M,N là các R-môđun, h : M −→ N là đồng cấu R-môđun. Đặt: HomR(M,N) = {h|h : M −→ N là đồng cấu R-môđun} 7 Trên HomR(M,N) ta định nghĩa phép cộng và phép nhân như sau: (f + g)(x) = f(x) + g(x) với mọi x ∈M ; f, g ∈ HomR(M,N), (rf)(x) = rf(x) với mọi x ∈M, r ∈ R, f ∈ HomR(M,N). Lúc đó, HomR(M,N) trở thành một R-môđun. Chứng minh. Theo Định lý 1.2.3 ta có (HomR(M,N),+) là một nhóm aben. Bây giờ ta xét tương ứng: R×HomR(M,N) −→ HomR(M,N) (r, f) 7−→ r.f với: rf : M −→ N x 7−→ rf(x) ∀s1, s2 ∈ R, ∀x, y ∈M , ta có: (rf)(s1x+ s2y) = rf(s1x+ s2y) = r(s1f(x) + s2f(y)) = rs1f(x) + rs2f(y) = s1rf(x) + s2rf(y) (do R là vành giao hoán) = s1(rf)(x) + s2(rf)(y). Vậy rf là đồng cấu R-môđun. Kiểm tra 4 tiên đề của R-môđun. 1) ∀r, s ∈ R, ∀f ∈ HomR(M,N), ∀x ∈M , ta có: ((r + s)f)(x) = (r + s)f(x) = rf(x) + sf(x) = (rf + sf)(x). Suy ra (r + s)f = rf + sf . 2) ∀r ∈ R, ∀f, g ∈ HomR(M,N), ∀x ∈M , ta có: (r(f + g))(x) = r((f + g)(x)) = r(f(x) + g(x)) = rf(x) + rg(x) = (rf + rg)(x). Suy ra r(f + g) = rf + rg. 3) ∀r, s ∈ R, ∀f ∈ HomR(M,N), ∀m ∈M , ta có: ((rs)f)(x) = (rs)(f(x)) = r(sf(x)) = (r(sf))(x). Suy ra (rs)f = r(sf). 4) ∀f ∈ HomR(M,N), ∀x ∈M , ta có: (1.f)(x) = 1.f(x) = f(x). Suy ra 1.f = f . Vậy HomR(M,N) trở thành một R-môđun. 8 Cho R là một vành. Ta có các tính chất sau: i) Xét hai cặp R-môđun khác nhau (M,N) 6= (P,Q) ta có: HomR(M,N) ∩HomR(P,Q) = ∅ ii) Với bộ ba R-môđun M,N,P và f ∈ HomR(M,N), g ∈ HomR(N,P ) ta xác định một đồng cấu R-môđun HomR(N,P ) × HomR(M,N) −→ HomR(M,P ) (g, f) 7−→ gf Với f ∈ HomR(M,N), g ∈ HomR(N,P ), h ∈ HomR(P,Q) ta có: h(gf) = (hg)f vì f, g, h là các đồng cấu R-môđun. iii) Với mọi R-môđun M tồn tại idM : M −→ M và với mọi đồng cấu R-môđun f : M −→ N , ta có: f = fidM = idNf Từ đó ta có định nghĩa sau: Định nghĩa 1.2.4. Ta có phạm trù mà lớp các vật là các R-môđun, các mũi tên là các đồng cấu R-môđun. Phạm trù này gọi là phạm trù các R-môđun. Kí hiệu phạm trù các R-môđun là: R-mod. Định nghĩa 1.2.5. Cho f : R −→ R′ là một đồng cấu vành. Hàm tử tuyến tính hiệp biến từ phạm trù R-mod đến phạm trù R′-mod là tương ứng: F (•) = F : (M h−→ N) (F (M) F (h)−→ F (N) với mỗi R-môđun M tương ứng với một R′-môđun F (M) và mỗi đồng cấu R- môđun h : M −→ N tương ứng với đồng cấu R′-môđun F (h) : F (M) −→ F (N), sao cho thỏa mãn các tính chất sau: i) F (idM) = idF (M) với mỗi R-môđun M ; ii) F (h ◦ l) = F (h) ◦ F (l),∀h : N −→ P, l : M −→ N là các đồng cấu R-môđun; iii) F (h+ l) = F (h) + F (l), ∀h, l : M −→ N là các đồng cấu R-môđun; iv) F (ah) = f(a)F (h), ∀h : M −→ N là đồng cấu R-môđun và ∀a ∈ R. Ví dụ 1.2.5. id(•) = id : (M → N) (M → N) là một hàm tử tuyến tính hiệp biến từ phạm trù R-mod đến phạm trù R-mod và gọi là hàm tử đồng nhất của phạm trù R-mod. 9 Ví dụ 1.2.6. Cố định một R-môđun U , nếu h : M −→ N là đồng cấu R-môđun, ta xác định đồng cấu R-môđun HomR(U, h) như sau: HomR(U, h) : HomR(U,M) −→ HomR(U,N) l 7−→ h ◦ l (∀l ∈ HomR(U,M)). Khi đó, tương ứng: HomR(U, •) : (M h−→ N) (HomR(U,M) HomR(U,h)−→ HomR(U,N)) xác định một hàm tử tuyến tính hiệp biến của phạm trù R-môđun. Thật vậy, ta cần kiểm tra hàm tử HomR(U, •) thỏa mãn 4 điều kiện của định nghĩa hàm tử tuyến tính hiệp biến. i) ∀l ∈ HomR(U, •)(idM)(l) = idM ◦ l = l = idHomR(U,M)(l). Suy ra HomR(U, •)(idM) = idHomR(U,M). ii) ∀l ∈ HomR(U,M), h : M −→ N, g : N −→ P là các đồng cấu R-môđun, ta có: (HomR(U, •)(g ◦ h))(l) = HomR(U, g ◦ h)(l) = (g ◦ h) ◦ (l) = g ◦ (h ◦ l) = g ◦ (HomR(U, h)(l)) = (HomR(U, •)(g) ◦HomR(U, •)(h))(l). iii) ∀l ∈ HomR(U,M), h, g : M −→ N là các đồng cấu R-môđun, ta có: HomR(U, •)(h+ g)(l) = (h+ g) ◦ l = h ◦ l + g ◦ l = HomR(U, h)(l) +HomR(U, g)(l) = (HomR(U, •)(h))(l) + (HomR(U, •)(g))(l) = (HomR(U, •)(h) +HomR(U, •)(g))(l). Suy ra HomR(U, •)(h+ g) = HomR(U, •)(h) +HomR(U, •)(g). iv) ∀r ∈ R, l ∈ HomR(U,M), h : M −→ N là đồng cấu R-môđun, ta có: (HomR(U, •)(rh))(l) = (HomR(U, rh))(l) = (rh) ◦ l = r(h ◦ l) = r(HomR(U, h))(l) = r(HomR(U, •)(h))(l). Suy ra HomR(U, •)(rh) = rHomR(U, •)(h). Vậy HomR(U, •) là một hàm tử tuyến tính hiệp biến của phạm trù R-mod 10 Mệnh đề 1.2.7. Cho f : R −→ R′ là một đồng cấu vành, F (•) = F là một hàm tử tuyến tính hiệp biến từ phạm trù R-mod đến phạm trù R′-mod, h : M −→ N là đồng cấu R-môđun. Lúc đó, a) Nếu h = 0 thì F (h) = 0. b) Nếu M = 0 thì F (M) = 0. Chứng minh. a) Ta có 0 = 0 ◦ idM (1), Vì F là hàm tử tuyến tính hiệp biến nên từ phạm trù R-mod đến phạm trù R′-mod nên tác động F lên 2 vế của (1) ta được: F (0) = F (0 ◦ idM) = f(0) ◦ F (idM) = 0 (theo tính chất 4 của định nghĩa hàm tử tuyến tính hiệp biến). Vậy nếu h = 0 thì F (h) = 0. b) Xét idM : M −→M , Theo giả thiết ta có M = 0 khi đó idM = 0⇒ idM + idM = 0 + idM (2). Vì F là hàm tử tuyến tính hiệp biến từ phạm trù R-mod đến phạm trù R′-mod nên ta tác động F lên 2 vế của (2) và được F (idM + idM) = F (idM + 0) ⇒ F (idM) + F (idM) = F (idM)⇒ F (idM) = 0. Mà theo tính chất 1 của định nghĩa ta có F (idM) = idF (M), nên F (idM) = idF (M) = 0 ⇒ F (M) = 0. Vậy nếu M = 0 thì F (M) = 0. Định nghĩa 1.2.6. Dãy khớp: 0 −→ X f−→ Y g−→ Z −→ 0 được gọi là dãy khớp ngắn. Định nghĩa 1.2.7. Một dãy khớp có dạng: 0 −→ N h−→M l−→ P được gọi là dãy khớp trái nếu và chỉ nếu h là đơn cấu và Ker(l) = Im(h). Định nghĩa 1.2.8. Dãy khớp có dạng: N h−→M l−→ P −→ 0 được gọi là dãy khớp phải. Định nghĩa 1.2.9. Một hàm tử F từ phạm trù R-mod đến phạm trù R′-mod được gọi là khớp nếu nó bảo toàn tính khớp với bất kỳ dãy khớp ngắn. Tức là với mọi dãy các đồng cấu R-môđun 0 −→M f−→ N g−→ P −→ 0 11 khớp. thì ta có dãy các đồng cấu R′-môđun: 0 −→ F (M) F (f)−→ F (N) F (g)−→ F (P ) −→ 0 khớp. Định nghĩa 1.2.10. Một hàm tử F từ phạm trù R-mod đến phạm trù R′-mod được gọi là khớp trái nếu nó bảo toàn tính khớp với bất kỳ dãy khớp trái. Tức là với mọi dãy các đồng cấu R-môđun 0 −→ N h−→M l−→ P khớp trái. thì ta có dãy các đồng cấu R′-môđun 0 −→ F (N) F (h)−→ F (M) F (l)−→ F (P ) khớp trái. Định nghĩa 1.2.11. Một hàm tử F từ phạm trù R-mod đến phạm trù R′-mod được gọi là khớp phải nếu nó bảo toàn tính khớp với bất kỳ dãy khớp phải. Tức là với mọi dãy các đồng cấu R-môđun N h−→M l−→ P −→ 0 khớp phải. thì ta có dãy các đồng cấu R′-môđun F (N) F (h)−→ F (M) F (l)−→ F (P ) −→ 0 khớp phải. Ví dụ 1.2.8. Hàm tử HomR(U, •) không khớp. Thật vậy, chọn R = Z, U = Z/2Z f : Z −→ Z z 7−→ 2z g : Z −→ Z/2Z z 7−→ z + 2Z thì ta có dãy đồng cấu Z-môđun 0 −→ Z f−→ Z g−→ Z/2Z −→ 0 (∗) 12 khớp vì dễ thấy f đơn cấu, g toàn cấu, Imf = Z và Kerg = {z ∈ Z | g(z) = 0} = {z ∈ Z | z + 2Z = 0} = Z Vậy (∗) là dãy khớp. Nhưng dãy các đồng cấu Z-môđun: 0 −→ HomZ(Z/2Z,Z) HomZ(Z/2Z,f)−→ HomZ(Z/2Z,Z) HomZ(Z/2Z,g)−→ HomZ(Z/2Z,Z/2Z) −→ 0 (∗∗) không khớp. Ta chứng minh bằng phản chứng. Giả sử dãy (∗∗) khớp, khi đó suy ra HomZ(Z/2Z, g) toàn cấu nên với h = idZ/2Z ∈ HomZ(Z/2Z,Z/2Z) tồn tại l ∈ HomZ(Z/2Z,Z) sao cho g ◦ l=h. Từ đó ta suy ra: ⇒ (g ◦ l)(z + 2Z) = idZ/2Z(z + 2Z) ⇒ g(l(z + 2Z)) = z + 2Z ⇒ l(z + 2Z) + 2Z = z + 2Z ⇒ l(z + 2Z) = z như vậy ta có đồng cấu l được xác định như sau: Z/2Z −→ Z z + 2Z 7−→ z Ta chọn r = 2n(n ∈ Z∗), 1 + 2Z ∈ Z/2Z. Khi đó, h(r(1 + 2Z)) = h(0) = 0 và rh(1 + 2Z) = 2n. Như vậy thì h(r(1 + 2Z)) 6= rh(1 + 2Z) (mâu thuẫn với l là đồng cấu Z-môđun). Tức là dãy (∗∗) không khớp. Vậy hàm tử HomR(U, •) không khớp. Hàm tử a-xoắn Mệnh đề 1.2.9. Cho R là vành giao hoán, a ⊂ R là một iđêan. Nếu h : M −→ N là một đồng cấu R-môđun thì ta có h(Γa(M)) ⊂ Γa(N). Chứng minh. Lấy x = h(m) ∈ h(Γa(M))⇒ m ∈ Γa(M) ⇒ ∃n0 ∈ N sao cho m ∈ (0 : M an0)⇒ man0 = 0. Ta lại có h(m)an0 = h(man0) = h(0) = 0 (do h là đồng cấu R-môđun), hay xan0 = 0⇒ x ∈ (0 : N an0)⇒ x ∈ ⋃ n∈N (0 : N an0) = Γa(N). Tức là h(Γa(M)) ⊂ Γa(N). Từ đó, ta xác định được đồng cấu R-môđun như sau: Γa(h) : Γa(M) −→ Γa(N) m 7−→ h(m) 13 Mệnh đề 1.2.10. Cho R là một vành noetherian, a ⊂ R là một iđêan, h : M −→ N là một đồng cấu R-môđun. Lúc đó, tương ứng: Γa(h) : Γa(M) −→ Γa(N) m 7−→ h(m) là một đồng cấu R-môđun. Chứng minh. Ta có: h(Γa(M)) ⊆ Γa(N) (theo Mệnh đề 1.2.9) do đó, tương ứng: Γa(h) : Γa(M) −→ Γa(N) m 7−→ h(m) được xác định. ∀r, r′ ∈ R;m,m′ ∈ Γa(M), ta có: Γa(h)(rm+ r ′m′) = h(rm+ r′m′) = rh(m) + r′h(m′) = rΓa(h)(m) + r ′Γa(h)(m′) ⇒ Γa(h)(rm+ r′m′) = rΓa(h)(m) + r′Γa(h)(m′). Vậy Γa(h) là một đồng cấu R-môđun. Mệnh đề 1.2.11. Tương ứng: Γa = Γa(•) : (M h−→ N) (Γa(M) Γa(h)−→ Γa(N)) xác định một hàm tử tuyến tính hiệp biến của R-mod. Hàm tử Γa = Γa(•) được gọi là hàm tử a-xoắn. Chứng minh. Ta chứng minh Γa thỏa mãn 4 điều kiện của định nghĩa hàm tử tuyến tính hiệp biến. i) ∀m ∈ Γa(M), ta có: Γa(idM)(m) = idM(m) = m = idΓa(M)(m). Suy ra: Γa(idM) = idΓa(M). ii) ∀m ∈ Γa(M);∀h, l : M −→ N là các đồng cấu R-môđun, ta có: Γa(h + l)(m) = (h + l)(m) = h(m) + l(m) = Γa(h)(m) + Γa(l)(m) = (Γa(h) + Γa(l))(m). Suy ra Γa(h+ l) = Γa(h) + Γa(l). iii) ∀m ∈ Γa(M),∀h : M −→ N, l : N −→ P là các đồng cấu R-môđun, ta có: Γa(l ◦ h)(m) = (l ◦ h)(m) = l(h(m)) = l ◦ (Γa(h)(m)) = (Γa(l) ◦ Γa(h))(m). Suy ra Γa(l ◦ h) = Γa(l) ◦ Γa(h). iv) ∀r ∈ R, ∀h : M −→ N là đồng cấu R-môđun, ta có: 14 Γa(rh)(m) = (rh)(m) = rh(m) = rΓa(h)(m). Suy ra Γa(rh) = rΓa(h). Vậy Γa là một hàm tử tuyến tính hiệp biến của phạm trù R-mod. Mệnh đề 1.2.12. Cho R là vành noetherian, a ⊂ R là một iđêan. Khi đó, hàm tử Γa khớp trái, nhưng không phải là hàm tử khớp. Chứng minh. Giả sử dãy các đồng cấu R-môđun 0 −→M f−→ N g−→ P (1) khớp. Ta cần phải chứng minh dãy các đồng cấu R′-môđun 0 −→ Γa(M) Γa(f)−→ Γa(N) Γa(g)−→ Γa(P ) (2) cũng khớp. Thật vậy: Trước hết ta chứng minh (2) khớp tại Γa(M). Ta có: Ker(Γa(f)) = {m ∈ Γa(M) : (Γa(f))(m) = 0} = {m ∈ Γa(M) : f(m) = 0} = 0 (do f đơn cấu). ⇒ Γa(f) là đơn cấu. Do đó (2) khớp tại Γa(M) Ta chứng minh (2) khớp tại Γa(N) ∀m ∈ Γa(M), ta có: Γa(g)◦Γa(f)(m) = Γa(g)(f(m)) = g(f(m)) = (g◦f)(m) = 0 (do (1) là dãy khớp) ⇒ Im(Γa(f)) ⊆ Ker(Γa(g)). Ngược lại, ta lấy ∀x ∈ Ker(Γa(g)) ⇒ Γa(g)(x) = g(x) = 0 ⇒ x ∈ Ker(g) = Im(f)⇒ ∃m ∈M : f(m) = x. Nếu x ∈ Γa(N)⇒ ∃n0 ∈ N : xan0 = 0 ⇒ an0x = an0f(m) = f(an0m) = 0 (do f là đồng cấu R-môđun) ⇒ an0m = 0 (do f đơn cấu) ⇒ x ∈ Im(Γa(f)) ⇒ Ker(Γa(g)) ⊆ Im(Γa(f)) ⇒ Ker(Γa(g)) = Im(Γa(f)). Từ đó suy ra (2) khớp tại Γa(N). Vậy Γa(•) khớp trái. Nhưng Γa(•) không là hàm tử khớp. 15 Thật vậy, chọn R = Z, a = 2Z, f : Z −→ Z z 7−→ 2z và p : Z −→ Z/2Z z 7−→ z + 2Z Khi đó, dãy các đồng cấu Z-môđun 0 −→ Z f−→ Z p−→ Z/2Z −→ 0 (1) khớp (theo chứng minh giống như ở hàm tử HomR(U, •)), nhưng dãy các đồng cấu Z-môđun 0 −→ Γ2Z(Z) Γ2Z(f)−→ Γ2Z(Z) Γ2Z(p)−→ Γ2Z(Z/2Z) −→ 0 không khớp vì: Γ2Z(Z) = ⋃ n∈N) (0 : Z (2Z)n) = 0, Γ2Z(Z/2Z) = ⋃ n∈N (0 : Z/2Z (2Z)n) = 2Z. Tức là Γ2Z(p) không toàn cấu. Từ đó, ta suy ra 0 −→ Γ2Z(Z) Γ2Z(f)−→ Γ2Z(Z) Γ2Z(p)−→ Γ2Z(Z/2Z) −→ 0 không khớp tức là Γa(•) không khớp. 1.3 Đối phức Đối phức Định nghĩa 1.3.1. Cho dãy các đồng cấu R-môđun · · · −→M i−1 di−1−→M i di−→M i+1 di+1−→M i+2 −→ · · · sao cho Ker(di) ⊇ Im(di−1), ∀i ∈ Z được gọi là đối phức của các R-môđun. Kí hiệu là: (M•, d•). Định nghĩa 1.3.2. Cho (M•, d•), (N•, e• là hai đối phức của R-môđun. Đồng cấu đối phức của các R-môđun h• : (M•, d•) −→ (N•, e•) là họ (hi)i∈Z các đồng cấu R-môđun hi : M i −→ N i sao cho ∀i ∈ Z ta có hi+1 ◦ di = ei ◦ hi, tức là sơ đồ sau: · · ·M i−1d i−1 // hi−1  M i di // hi  M i+1 di+1// hi+1  M i+2 · ·· hi+2  · · ·N i−1e i−1 // N i ei // N i+1 ei+1 // N i+2 · ·· 16 giao hoán. Đặt: HomR(M •, N•) = HomR((M•, d•), (N•, e•)) = {h• : (M•, d•) −→ (N•, e•) là đồng cấu đối phức của R-môđun}. Ví dụ 1.3.1. Họ đồng cấu đồng nhất (idM i)i∈Z của các R-môđun xác định một đồng cấu đối phức của các R-môđun id(M•,d•) : (M •, d•) −→ (M•, d•) Mệnh đề 1.3.2. Cho h• : (M•, d•) −→ (N•, e•), l• : (N•, e•) −→ (P •, f•) là hai đồng cấu đối phức. Lúc đó, họ (li ◦ hi)i∈Z xác định một đồng cấu đối phức của các R-môđun l• ◦ h• : (M•, d•) −→ (P •, f•). Đồng cấu đối phức l• ◦ h• = ((li ◦ hi)i∈Z) được gọi là hợp thành của hai đồng cấu đối phức h• và l•. Chứng minh. Vì h• : (M•, d•) −→ (N•, e•) là đồng cấu đối phức của R-môđun nên ta có họ hi : M i −→ N i là đồng cấu R-môđun và l• : (N•, e•) −→ (P •, f•) là đồng cấu đối phức của R-môđun nên ta có họ li : N i −→ P i là đồng cấu R-môđun. Khi đó, li ◦ hi : M i −→ P i là họ các đồng cấu R-môđun (∀i ∈ Z). Mặt khác, theo định nghĩa đồng cấu đối phức ta có: (li+1 ◦ hi+1) ◦ di = li+1 ◦ (hi+1 ◦ di) = li+1 ◦ (ei ◦ hi) = (li+1 ◦ ei) ◦ hi = (f i ◦ li) ◦ hi = f i ◦ (li ◦ hi). Vậy l• ◦ h• là một đồng cấu đối phức từ (M•, d•) đến (P •, f•) của R-môđun. Mệnh đề 1.3.3. Cho R′ là một vành thứ hai sao cho tồn tại một đồng cấu vành f : R −→ R′. Cho (M•, d•) : · · · −→M i−1 di−1−→M i di−→M i+1 −→ · · · (1) là một đối phức của R-môđun, F là một hàm tử tuyến tính từ phạm trù R-mod đến phạm trù R′-mod. Lúc đó, ta thu được một đồng cấu đối phức của R′-môđun. (F (M•), F (d•)) : · · · −→ F (M i−1) F (d i−1)−→ F (M i F (d i)−→ F (M i+1) −→ · · · hơn nữa, nếu: (hi)i∈Z = h• : (M•, d•) −→ (N•, e•) là một đồng cấu đối phức của R-môđun, thì họ (F (hi))i∈Z xác định một đồng cấu đối phức của R′-môđun. F (h•) : (F (M•), F (d•)) −→ (F (N•), F (e•)) 17 Chứng minh. 1) Vì h• : (M•, d•) −→ (N•, e•) là một đồng cấu đối phức của R- môđun nên ta có họ hi : M i −→ N i là họ các đồng cấu R-môđun. Mà F là hàm tử tuyến tính hiệp biến nên (F (hi))i∈Z là họ các đồng cấu R′-môđun. Vì (1) khớp nên ta có: di ◦ di−1 = 0⇒ F (di) ◦ F (di−1) = F (di ◦ di−1) = F (0) = 0. ⇒ Im(F (di−1)) ⊆ Ker(F (di)). Vậy (F (M•), F (d•)) là một đối phức của các R′-môđun. 2) Với h• ∈ HomR(M•, N•),∀i ∈ Z, ta có: F (ei) ◦ F (hi) = F (ei ◦ hi) = F (hi+1 ◦ di) = F (hi+1) ◦ F (di). Vậy F (d•) = (F (di))i∈Z là một đồng cấu đối phức của các R′-môđun. Đồng luân Định nghĩa 1.3.3. Cho h•, l• là hai đối phức của R-môđun. Một đồng luân từ h• đến l• là họ (ti)i∈Z các đồng cấu R-môđun ti : M i −→ N i−1 sao cho ∀i ∈ Z, ta có: li − hi = ei−1 ◦ ti + ti+1 ◦ di. Ta có sơ đồ sau: M i di // ti ||yy yy yy yy yy hi  li  M i+1 ti−1||xx xx xx xx xx N i−1 ei−1 // N i Ký hiệu là: h• ∼ l• (đọc là h• đồng luân với l•). Mệnh đề 1.3.4. Cho h•, l• ∈ HomR((M•, d•), (N•, e•)). Khi đó, nếu (ti)i∈Z là một đồng luân từ h• đến l•, thì (F (ti))i∈Z là một đồng luân từ F (h•) đến F (l•). Chứng minh. Vì (ti)i∈Z là đồng luân từ h• đến l• nên theo định nghĩa ta có: li − hi = ei−1 ◦ ti + ti+1 ◦ di, (∀i ∈ Z). Do F là hàm tử tuyến tính hiệp biến nên: ⇒ F (li)− F (hi) = F (li − hi) = F (ei−1 ◦ ti + ti+1 ◦ di) = F (ei−1 ◦ ti) + F (ti+1 ◦ di) = F (ei−1) ◦ F (ti) + F (ti+1) ◦ F (di) ⇒ F (li)− F (hi) = F (ei−1) ◦ F (ti) + F (ti+1) ◦ F (di), (∀i ∈ Z). Vậy (F (ti))i∈Z là một đồng luân từ F (h•) đến F (l•). 18 Hệ quả 1.3.5. Cho h•, l• ∈ HomR((M•, d•), (N•, e•)). Nếu h• ∼ l• thì F (h•) ∼ F (l•). Chứng minh. Đây là hệ quả trực tiếp của Mệnh đề 1.3.4 Hệ quả 1.3.6. Cho h•, l• ∈ HomR((M•, d•), (N•, e•)). Nếu h• ∼ l• thì F (h•) = F (l•). Chứng minh. Đây là hệ quả của Mệnh đề 1.3.4 và Hệ quả 1.3.5 Đối đồng điều Định nghĩa 1.3.4. Cố định n ∈ Z. Khi đó, đối đồng điều thứ n của đối phức (M•, d•) của R-môđun M được định nghĩa là: Hn(M•, d•) = Hn(M•) := Ker(dn)/Im(dn−1). Mệnh đề 1.3.7. Cho h• : (M•, d•) −→ (N•, e•) là đồng cấu đối phức của R- môđun. Khi đó, ta có: a) hn(Ker(dn)) ⊆ Ker(en), b) hn(Im(dn−1)) ⊆ Im(en−1). Chứng minh. a) Lấy x ∈ hn(Ker(dn))⇒ ∃a ∈ Ker(dn) : hn(a) = x. Ta có a ∈ Ker(dn)⇒ dn(a) = 0. Theo định nghĩa h• là đồng cấu đối phức nên ta có: hn+1 ◦ dn = en ◦ hn. ⇒ (hn+1 ◦ dn)(a) = (en ◦ hn)(a)⇒ hn+1(dn(a)) = en(hn(a)) ⇒ hn+1(0) = en(hn(a))⇒ en(hn(a)) = 0⇒ hn(a) ∈ Ker(en). tức là: x ∈ Ker(en)⇒ hn(Ker(dn)) ⊆ Ker(en). Vậy hn(Ker(dn)) ⊆ Ker(en) b) Lấy x ∈ hn(Im(dn−1))⇒ ∃a ∈ Im(dn−1) : hn(a) = x. Vì a ∈ Im(dn−1) nên tồn tại b ∈Mn−1 : dn−1(b) = a. Suy ra (hn ◦ dn−1)(b) = hn(dn−1(b)) = hn(a) = x. Theo định nghĩa h• là đồng cấu đối phức nên có: hn ◦ dn−1 = en−1 ◦ hn−1 ⇒ (hn ◦ dn−1)(b) = (en−1 ◦ hn−1)(b)⇒ hn(dn−1(b)) = en−1(hn−1(b)) ⇒ en−1(hn−1(b)) = x⇒ x ∈ Im(en−1)⇒ hn(Im(dn−1)) ⊆ Im(en−1). Vậy hn(Im(dn−1)) ⊆ Im(en−1). Từ định nghĩa kết hợp với Mệnh đề 1.3.7 ta có thể định nghĩa được đồng cấu R-môđun Hn(h•) như sau: 19 Hn(h•) : Hn(M•, d•) −→ Hn(N•, e•) || || Ker(dn)/Im(dn−1) −→ Ker(en)/Im(en−1), ∪ ∪ m+ Im(dn−1) 7−→ hn(m) + (Im(en−1) Đồng cấu này được gọi là đồng cấu cảm sinh của đồng cấu đối phức h• tại đối đồng điều thứ n. Mệnh đề 1.3.8. Tương ứng: Hn(•) = Hn : ((M•, d•) h•−→ (N•, e•)) (Hn(M•, d•) H n(h•)−→ Hn(N•, e•)) xác định một hàm tử tuyến tính hiệp biến từ phạm trù R-mod đến phạm trù R′-mod. Chứng minh. Xét: Hn(id(M•,d•)) : H n(M•, d•) −→ Hn(M•, d•) || || Ker(dn)/Im(dn−1) −→ Ker(dn)/Im(dn−1), ∪ ∪ m+ Im(dn−1) 7−→ idnMn(m) + (Im(dn−1) idHn(M•,d•) : H n(M•, d•) −→ Hn(M•, d•) m+ Im(dn−1) 7−→ m+ Im(dn−1) Ta kiểm tra 4 điều kiện của định nghĩa hàm tử tuyến tính hiệp biến: i) ∀a = m+ Im(dn−1) ∈ Hn(M•, d•), ta có: Hn(idM•,d•)(a) = H n(id(M•,d•))(m+ Im(d n−1)) = idnMn(m) + Im(d n−1) = m+ Im(dn−1) = idHn(M•,d•)(m+ Im(d n−1)) = idHn(M•,d•)(a) Suy ra Hn(id(M•,d•)) = idHn(M•,d•) ii) h• : (M•, d•) −→ (N•, e•), l• : (N•, e•) −→ (P •, f•) là các đồng cấu đối phức của R-môđun, ∀a = m+ Im(dn−1) ∈ Hn(M•, d•), ta có: Hn(l• ◦ h•)(m+ Im(dn−1)) = (ln ◦ hn)(m) + Im(dn−1) = ln(hn(m+ Im(dn−1))) = ln(Hn(h•)(m+ Im(dn−1))) = Hn(l•)(Hn(h•)(m+ Im(dn−1))) = (Hn(l•) ◦ (Hn(h•))(m+ Im(dn−1)). 20 Suy ra Hn(l• ◦ h•) = Hn(l•) ◦Hn(h•). iii) ∀h•, l• : (M•, d•) −→ (N•, e•) là các đồng cấu đối phức của các R-môđun, ∀m+ Im(dn−1) ∈ Hn(M•, d•), ta có: Hn(h• + l•)(m+ Im(dn−1)) = (hn + ln)(m) + Im(dn−1) = hn(m) + Im(dn−1) + lm + Im(dn−1) = Hn(h•)(m+ Im(dn−1)) +Hn(l•)(m+ Im(dn−1)). Suy ra Hn(h• + l•) = Hn(h•) +Hn(l•). iv) h• : (M•, d•) −→ (N•, e•), l• : (N•, e•) −→ (P •, f•) là các đồng cấu đối phức của các R-môđun, ∀r ∈ R, ∀m+ Im(dn−1) ∈ Hn(M•, d•), ta có: Hn(rh•)(m+ Im(dn−1)) = (rhn(m+ Im(dn−1)) = r(hn(m)) + Im(dn−1) = r(Hn(rh•)(m+ Im(dn−1))). Suy ra Hn(rh•) = rHn(h•). Vậy Hn(•) là một hàm tử tuyến tính hiệp biến của phạm trù R-môđun. Định nghĩa 1.3.5. Hàm tử Hn(•) = Hn : ((M•, d•) h•−→ (N•, e•)) (Hn(M•, d•) H n(h•)−→ Hn(N•, e•)) gọi là hàm tử đối đồng điều thứ n của phạm trù R-môđun. 21 Chương 2 PHÉP GIẢI NỘI XẠ Trong chương này, chúng tôi giới thiệu định nghĩa môđun nội xạ, phép giải phải, phép giải phải nội xạ cùng một số ví dụ, tính chất, mệnh đề, định lý minh họa cho các khái niệm trên. Mục đích của chương này tạo kiến thức cơ sở và kiến thức nền cho chúng tôi tiếp tục nghiên cứu môđun đối đồng điều địa phương ở chương 3. 2.1 Mô đun nội xạ Định nghĩa 2.1.1. Môđun I được gọi là nội xạ nếu với mỗi đơn cấu: N i−→ M và với mỗi đồng cấu h : N −→ I, tồn tại một đồng cấu R-môđun l : M −→ I sao cho: h = l ◦ i. Tức là sơ đồ sau giao hoán: 0 N M I - -i ? h ∃l Ví dụ 2.1.1. R là một trường thì mọi R-môđun (tức là R-không gian véctơ) đều nội xạ. Mệnh đề 2.1.2. Cho R là một vành. Khi đó, nhóm cộng aben HomZ(R,Q/Z) cùng với phép nhân vô hướng: với mọi a ∈ R, với mọi f ∈ HomZ(R,Q/Z) (af)(x) = f(ax),∀x ∈ R. là R-môđun nội xạ. Chứng minh. Đặt R∗ = HomZ(R,Q/Z). Ta cần chứng minh R∗ là R-môđun nội xạ. Giả sử ta có với g : M ′ −→M là những đơn cấu, f : M ′ −→ R∗ là đồng cấu những 22 R-môđun. Xét: α : R∗ −→ Q/Z ϕ 7−→ α(ϕ) = ϕ(1) với α là đồng cấu, ∀ϕ ∈ R∗. Do Q/Z là Z-môđun nội xạ nên tồn tại đồng cấu Z-môđun β : M −→ Q/Z sao cho αf = βg. Xét h : M −→ R∗ xác định bởi: h(x)(a) = β(ax). 0 M ′ M R∗ Q/Z - -g ? f h pppppppppppppppppppppp β ? α Ta dễ dàng kiểm chứng rằng h là một đồng cấu R-môđun. Thật vậy: ∀a, b ∈M , ∀r, s ∈ R, ta có: h(x)(ra+ sb) = β((ra+ sb)x) = β(rax+ sbx) = β(rax) + β(sbx) = rβ(ax) + sβ(bx) (do β đồng cấu Z-môđun) = rh(x)(a) + sh(x)(b) Vậy h là đồng cấu Z-môđun. Với mọi x ∈M ′, a ∈ R, ta có: hg(x)(a) = h(g(x))(a) = β(αg(x)) = βg(ax) = α(f(ax)) = f(ax)(1) = gf(x)(1) = f(x)(a.1) = f(x)(a). Suy ra hg = f . Vậy R∗ là môđun nội xạ. Định lý 2.1.3. R-môđun M là nội xạ khi và chỉ khi với mọi iđêan trái I của R, với mọi đồng cấu f : I −→ M , tồn tại phần tử m ∈ M sao cho f(a) = a.m, ∀a ∈ I. (tiêu chuẩn Baer) Định nghĩa 2.1.2. Một Z-môđun D được gọi là chia được nêu với d ∈ D và mọi số nguyên m 6= 0, tồn tại x ∈ D sao cho mx = d. 23 Định lý 2.1.4. Mọi R-môđun M đều đẳng cấu với môđun con của một R-môđun nội xạ hay có thể nói một cách khác là nếu M là một R-môđun thì tồn tại một R-môđun nội xạ I và một đơn cấu từ M tới I. Chứng minh. Để chứng minh Định lý này ta thực hiện các bước như sau: 1. Xét nhóm cộng các số hữu tỉ Q, khi đó nhóm thương Q/Z là một Z-môđun chia được. Thật vậy, mọi 0 6= n ∈ Z, r s ∈ Q, ta có: n( r ns + Z) = r s + Z. Vì Z là một vành chính nên Q/Z là một Z-môđun chia được. Nếu M là một R-môđun phải thì với cách đặt: (fα)(m) = f(αm) ∀m ∈ R,α ∈ M, f ∈ HomZ(M,Q/Z) thì M∗ = HomZ(R,Q/Z) có cấu trúc R- môđun trái. 2. Xét các môđun đặc trưng R-môđun R thì M∗ = HomZ(M,Q/Z). Nếu R được xem là R-môđun phải thì R∗ là R-môđun trái, còn nếu R được xem R-môđun trái thì R∗ là R-môđun phải. Giả sử R được xem là R-môđun phải thì R∗ là R-môđun trái, khi đó ta có các tính chất sau: i. Nếu M là một R-môđun trái thì tồn tại một đồng cấu R-đồng cấu khác không ϕ : M −→ R∗. Thật vậy, vì M 6= 0 nên ∃m, 0 6= m ∈M . Xét nhóm con của M . Xét Z đồng cấu: ϕ′ :−→ Q/Z Nếu m có cấp vô hạn thì ta đặt ϕ(m) là phần tử khác 0 của Q/Z. Nếu m có cấp hữu hạn là k thì ta có km = 0. Khi đó, ta chọn ϕ(m) là phần tử khác 0 của Q/Z sao cho kϕ(m) = 0, chẳng hạn ϕ(m) = 1 k + Z. Trong cả hai trường hợp ta có: ϕ′ 6= 0 vì ϕ′(m) 6= 0. Vì Q/Z là một Z-môđun nội xạ nên biểu đồ sau với dòng khớp sau 0 M Q/Z - - ? ϕ′ ppppppppppp ϕ 24 có thể bổ sung thành giao hoán 0 M Q/Z - - ? ϕ′ ppppppppppp ϕ Như vậy, ϕ′ được mở rộng thành Z-đồng cấu ϕ : M −→ Q/Z. Hiển nhiên ta có ϕ 6= 0 vì ϕ(m) = ϕ′(m) 6= 0. Bây giờ ta định nghĩa ánh xạ: ϕ −→ R∗ = HomZ(R,Q/Z) m 7−→ ϕ(m) : V −→ Q/Z bởi công thức ϕ(m)(α) = ϕ(αm), α ∈ R Vì: ϕ(m) = ϕ((α1 + α2)m) = ϕ(α1m+ α2, ) = ϕ(α1m) + ϕ(α2m) = ϕ(m)(α1) + ϕ(m)(α2) nên ta có ϕ(m) ∈ HomZ(R,Q/Z). Ta chứng minh rằng ϕ là một R-đồng cấu. Thật vậy ∀α1, α2 ∈ R, ∀m1,m2 ∈M ta có: ϕ(α1m1 + α2m2)(α) = ϕ(α(α1m1 + α2m2)) = ϕ(αα1m1 + αα2m2) = ϕ(m1)(αα1) + ϕ(m2)(αα2) = (α1ϕ(m1))(α) + (α2ϕ(m2))(α) = (α1ϕ(m1) + α2ϕ(m2))(α). Từ đó suy ra ϕ(α1m1 + α2m2) = α1ϕ(m1) + α2ϕ(m2). Vậy ϕ ∈ HomR(M,R∗). Vì ϕ(m)(1) = ϕ(1m) = ϕ(m) 6= 0 và vì m 6= 0 nên ϕ 6= 0. ii. R∗ = HomZ(R,Q/Z) là một môđun nội xạ theo Mệnh đề 2.1.2 đã được chứng minh ở trên. 3. Để chứng minh M là môđun bất kì đều đẳng cấu với môđun con của R-môđun 25 nội xạ ta cần chỉ ra rằng tồn tại một R-môđun nội xạ I và một đơn cấu từ M tới I. Thật vậy, nếu M = 0 thì hiển nhiên đúng. Giả sử M 6= 0. Khi đó tồn tại 0 6= m ∈ M . Ta kí hiệu 6= 0 nên theo tính chất (i) tồn tại một R đồng cấu khác không ϕ′m :−→ R∗ sao cho ϕ′m 6= 0. Vì R∗ là nội xạ nên biểu đồ sau với dòng khớp: 0 M R∗ - - ? ϕ′m ppppppppppp ϕm có thể bổ sung thành giao hoán, tức là ϕ′m mở rộng thành một R-đồng cấu: ϕm : M −→ R∗ sao cho: ϕ′m(m) = ϕm(m) 6= 0 Xét tích trực tiếp I = ∏ 0 6=m∈M R∗ trong đó 0 6= m ∈ M,R∗m = R∗.Vì R∗ nội xạ và tích trực tiếp của một họ R-môđun nội xạ nên I là một R-môđun nội xạ. Theo tính chất độc xạ của tích trực tiếp, họ đồng cấu (ϕm)0 6= m ∈ m cảm sinh một R-đồng cấu: ϕ : M −→ I = ∏ 06=m∈M R∗m ϕ là đơn cấu, vì nếu ϕ(x) = 0 thì với mọi 0 6= m ∈M,ϕm(x) = 0 do đó x = 0. Vậy Định lý đã được chứng minh xong. 2.2 Phép giải nội xạ Định nghĩa 2.2.1. Cho M là một R-môđun. Một phép giải phải ((E•, e•); b) của R-môđun M bao gồm đồng cấu đối phức R-môđun (E•, e•) và đồng cấu R-môđun b : M −→ E0 sao cho: (◦) Ei = 0 ∀i < 0, (◦◦) Dãy 0 −→M b−→ E0 e0−→ E1 e1−→ E2 −→ · · · là khớp. Định nghĩa 2.2.2. Cho M là một R-môđun. Một phép giải phải nội xạ của R- môđun M là phép giải phải ((I•, d•); a) sao cho tất cả các R-môđun I i đều là nội xạ. Trong trường hợp này, ta có dãy sau: 0 −→M a−→ I0 d0−→ I1 d1−→ I2 d2−→ I3 −→ · · · 26 là khớp với các môđun I0, I1, I2, I3... là R-môđun nội xạ. Định nghĩa 2.2.3. Cho h : M −→ N là đồng cấu R-môđun. Cho ((D•, d•); a) là phép giải phải của M và cho ((E•, e•); b) là phép giải phải của N . Khi đó, một lời giải phải của h (giữa ((D•, d•); a) và ((E•, e•); b)) là một đồng cấu đối phức h• : (D•; d•) −→ (E•, e•) sao cho h0 ◦ a = b ◦ h, tức sơ đồ sau: 0 // M a // h  D0 // h0  D1 // h1  D2 // h2  D3 // h3  · · · 0 // N b // E0 // E1 // E2 // E3 // · · · giao hoán. Mệnh đề 2.2.1. Mỗi R-môđunM đều tồn tại một phép giải phải nội xạ ((I•, d•); a). Chứng minh. Ta sẽ chứng minh quy nạp theo i Theo Định lý 2.1.4 đã chứng minh với mỗi R-môđun M , tồn tại một R-môđun nội xạ I0 và đơn cấu a : M −→ I0. Khi đó ta có R-môđun thương I0/Im(a) nên theoĐịnh lý 2.1.4 ta lại có R-môđun nội xạ I1 và đơn cấu j : I0/Im(a) −→ I1. Chọn p : I0 −→ I0/Im(a) x 7−→ x+ Im(a) (∀x ∈ I0) Đặt h = j ◦ p thì ta có: Ker(h) = Ker(j ◦ p) = Ker(p) = Im(a) (do j đơn cấu) Do đó dãy các đồng cấu R-môđun 0 −→M a−→ I0 h0−→ I1 là khớp. Bằng quy nạp ta đã xây dựng được các R-môđun nội xạ I2, I3, I4, .... với các đồng cấu R-môđun h1, h2, h3, .... sao cho dãy các đồng cấu R-môđun 0 −→M a−→ I0 h0−→ I1 h1−→ I2 h2−→ I3 · ·· là khớp với các R-môđun (I i)i∈N là nội xạ. Vậy với mỗi R-môđun M ta luôn xây dựng được phép giải phải nội xạ ((I•, e•); a) tương ứng. Mệnh đề 2.2.2. Cho h : M −→ N là đồng cấu R-môđun, ((E•, e•); b) là phép giải phải của R-môđun M , ((I•, d•); a) là phép giải phải nội xạ của R-môđun N . Khi đó, h có một lời giải phải: h• : (E•, e•) −→ (I•, d•) 27 với chú ý rằng: các đồng cấu h0, h1, h2, ....., hn, ... được xây dựng quy nạp theo n với các môđun I0, I1, ...., In, .... là môđun nội xạ. Chứng minh. Vì ((E•, e•); b) là phép giải của R-môđun M nên ta có dãy đồng cấu môđun sau: 0 −→M b−→ E0 e0−→ E1 e1−→ E2 e2−→ E3 · · · (1) khớp. Tương tự ((I•, d•); a) là phép giải phải nội xạ của R-môđun N nên ta có dãy đồng cấu môđun sau: 0 −→ N a−→ I0 d0−→ I1 d1−→ I2 d2−→ I3 · · · (2) là khớp với các môđun I0, I1, ...., In, .... là môđun nội xạ. Do I0 là môđun nội xạ nên theo định nghĩa thì với mỗi đơn cấu b : M −→ E0, đồng cấu a ◦ h : M −→ I0 thì tồn tại đồng cấu R-môđun h0 : E0 −→ I0 sao cho a ◦ h = h0 ◦ b. Vì (1) là dãy khớp nên ta có Ker(e0) = Im(b). Do e0 : E0 −→ E1 là đồng cấu R-môđun nên theo định lý cơ bản của đồng cấu tồn tại duy nhất đồng cấu j : E0/Ker(e0) −→ E1 hay là j : E0/Im(b) −→ E1 thỏa mãn j ◦ p = e0 với: p : E0 −→ E0/Im(b) x0 7−→ x0 + Im(b) Hơn nữa ta lại có Kerj = Ker(e0)/Im(b) = Ker(e0)/Ker(e0) = {0}, tức j là một đơn cấu. Ta có: Ker(p) = {x0 ∈ E0 | p(x0) = 0} = {x0 ∈ E0 |x0 + Im(b) = 0} = Im(b). Lấy x ∈ Im(b) = Ker(p)⇒ ∃m ∈M : b(m) = x. Ta có d0 ◦ h0 : E0 −→ I1 là đồng cấu R-môđun (1). Khi đó (d0 ◦ h0)(x) = (d0 ◦ h0)(b(m)) = (d0 ◦ (h0 ◦ b))(m) = (d0 ◦ (a ◦ h))(m) = ((d0 ◦ a) ◦ h)(m) = 0 (vì (2) là dãy khớp nên ta có d0 ◦ a = 0). Như vậy (d0 ◦ h0)(x) = 0⇒ x ∈ Ker(d0 ◦ h0). ⇒ Ker(p) ⊆ Ker(d0 ◦ h0). (2) Từ (1) và (2) theo định lý cơ bản của đồng cấu R-môđun thì tồn tại duy nhất đồng cấu g : E0/Kerp −→ I1 hay là đồng cấu g : E0/Im(b) −→ I1 sao cho g ◦ p = d0 ◦ h0. Vì I1 là môđun nội xạ nên với đơn cấu j : E0/Im(b) −→ E1, đồng cấu g : E0/Im(b) −→ I1 thì tồn tại đồng cấu h1 : E1 −→ I1 sao cho g = h1 ◦ j. 28 Suy ra g ◦ p = h1 ◦ j ◦ p = d0 ◦ h0 ⇒ h1 ◦ e0 = d0 ◦ h0. Tương tự bằng quy nạp ta xây dựng được dãy các đồng cấu R-môđun (hi)i∈Z sao cho thỏa mãn: hi ◦ ei−1 = di ◦ hi. tức là sơ đồ sau: 0 // M b // h  E0 e0 // h0  E1 e1 // h1  E2 d2 // h2  E3 · ·· h3  0 // N a // I0 d0 // I1 d1 // I2 d2 // I3 · ·· giao hoán. Vậy với ((E•, e•); b) là phép giải phải của R-môđun M và ((I•, d•); a) là phép giải phải nội xạ của R-môđun N , ta luôn xây dựng được một lời giải phải h• của h. Định lý 2.2.3. Cho h : M −→ N là đồng cấu R-môđun, ((E•, e•); b) là phép giải phải củaM , ((I•, d•); a) là phép giải phải nội xạ của N ; h•, l• : (E•, e•) −→ (I•, d•) là các lời giải của h. Khi đó, h• ∼ l•. Chứng minh. Xem chứng minh Định lý này trong [7]. Hệ quả 2.2.4. Cho R′ là vành thứ hai sao cho có đồng cấu vành f : R −→ R′. F là hàm tử tuyến tính hiệp biến từ phạm trù R-mod đến phạm trù R′-mod. Cho h : M −→ N là đồng cấu R-môđun, ((E•, e•); b) là phép giải phải của R-môđunM , ((I•, d•); a) là phép giải phải nội xạ của R-môđun N , và cho h•, l•: (E•, e•) −→ (I•, d•) là các lời giải của h (n ∈ N). Khi đó, hai đồng cấu sau: Hn(F (h•)), Hn(F (l•)) : Hn(F (E•), F (e•)) −→ Hn(F (I•), F (d•)) là bằng nhau, tức là: Hn(F (h•)) = Hn(F (l•)). Chứng minh. Theo Định lý 2.2.3 ta có h• ∼ l•, và Hn(•) là một hàm tử tuyến tính hiệp biến (theo Mệnh đề 1.3.8) nên theo Hệ quả 1.3.6 ta có: Hn(F (h•)) = Hn(F (l•)) Hệ quả 2.2.5. Đặt ((I•, d•); a) := I, ((J•, e•); b) := J là hai phép giải phải nội xạ của R-môđun M và cho i• : (I•, d•) −→ (J•, e•) là lời giải phải của idM : M −→M . Khi đó, với mỗi n ∈ N ta có đồng cấu sau là đẳng cấu: Hn(F (i•)) : Hn(F (I•), F (d•)) ∼=−→ Hn(F (J•, F (e•)). 29 Chứng minh. Ta có ((I•, d•); a) := I, ((J•, e•); b) := J là hai phép giải phải nội xạ của R-môđunM nên theoMệnh đề 2.2.2 tồn tại một lời giải phải j• : (J•, e•) −→ (I•, d•) của đồng cấu idM . Khi đó, theo Mệnh đề 1.3.2 thì j• ◦ i• : (I•, d•) −→ (I•, d•) cũng là một lời giải của đồng cấu idM . Ta lại có id• : (I•, d•) −→ (I•, d•) cũng là một lời giải phải của idM . Theo Hệ quả 2.2.4 ta có: Hn(F (id•)) = Hn(F (j• ◦ i•)). Do Hn(•), F là các hàm tử tuyến tính hiệp biến nên ta có: Hn(F (j• ◦ i•)) = Hn(F (j•) ◦ F (i•)) = Hn(F (j•)) ◦Hn(F (i•)) = Hn(F (id•)) = idHn(F (I•),F (d•)) ⇒ Hn(F (j•)) ◦Hn(F (i•)) = idHn(F (I•),F (d•)) (1). Tương tự ta cũng chứng minh được:Hn(F (i•))◦Hn(F (j•)) = idHn(F (I•),F (d•)) (2). Từ (1) và (2) suy ra Hn(F (i•)) là một đẳng cấu. 30 Chương 3 MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG Trong chương này, chúng tôi đưa ra cách xây dựng hàm tử đối đồng điều địa phương, môđun đối đồng điều địa phương. Những kiến thức ở 2 chương trước là cơ sở và là kiến thức nền giúp chúng tôi xây dựng môđun đối đồng điều địa phương. Đồng thời, chúng tôi đã đưa ra một số tính chất của môđun đối đồng điều địa phương. 3.1 Hàm tử đối đồng điều địa phương Cho R′ là vành thứ hai sao cho có đồng cấu vành f : R −→ R′. Với mỗi R- môđun M ta có thể chọn một phép giải phải nội xạ IM = ((I•M , d•M); aM) (theo Mệnh đề 2.2.1). Tức là với mỗi R-môđun M ta có dãy khớp sau: 0 −→M aM−→ I0M d0M−→ I1M d1M−→ I2M d2M−→ I3M −→ · · · với mỗi InM là môđun nội xạ. Ta có thể viết I∗ với cách gán như sau: M IM = ((I•M , d•M); aM) và gọi I∗ là một phép giải phải nội xạ của R-môđun. Với mỗi R-môđun tùy ý, ta định nghĩa: RnI∗F (M) := Hn(F (I•M), F (d•M)) (n ∈ N) Cũng vậy, ta xem dãy sau: · · · −→ 0 F (d −1 M )−→ F (I0M) F (d0M )−→ F (I1M) F (d1M )−→ F (I2M) F (d2M )−→ F (I3M) −→ · · · là đối phức của các R′-môđun và của R′-môđun thương RnI∗F (M) := Ker(F (dnM))/Im(F (dn−1M )). (1) 31 Bây giờ, cho h : M −→ N là đồng cấu R-môđun. Theo Mệnh đề 2.2.2, h có một lời giải phải: h• : (I•M , d • M) −→ (I•N , d•N) sao cho ta có sơ đồ sau giao hoán với các dòng khớp. 0 // M aM // I0M d0M // h0  I1M d1M // h1  I2M d2M // h2  I3M · ·· h3  0 // N aN // I0N d0N // I1N d1N // I2N d2N // I3N · ·· Theo Hệ quả 2.2.4 ta có đồng cấu sau H(F (h•)) : Hn(F (I•M), F (d • M)) −→ Hn(F (I•N), F (d•N)) là như nhau đối với mọi lời giải h• của h. Mở rộng định nghĩa của phần trên, ta có thể định nghĩa với bất kỳ n ∈ N: RnI∗F (M) RnI∗F (h):=Hn(F (h•))−→ RnI∗F (N) Kết hợp (1) với Mệnh đề 1.3.7 ta có thể viết : RnI∗F (h) : R n I∗F (M) −→ RnI∗F (M) || || Ker(F (dnM))/Im(F (d n−1 M )) Ker(F (d n N))/Im(F (d n−1 N )), ∪ ∪ m+ Im(F (dn−1M )) 7−→ hn(m) + Im(F (dn−1N )) (m ∈ Ker(F (dnM))). Mệnh đề 3.1.1. Cố định n ∈ N. Lúc đó, tương ứng: RnI F (•) = RnI∗F : (M h−→ N) (RnI∗F (M) RnI∗F (h)−→ RnI∗F (N)) xác định một hàm tử tuyến tính hiệp biến từ phạm trù R-mod đến phạm trù R′-mod. Chứng minh. Dễ dàng kiểm chứng tương ứng này thỏa mãn 4 điều kiện của định nghĩa hàm tử tuyến tính hiệp biến. Như vậy hàm tử RnI∗F (•) = RnI∗F được gọi là hàm tử dẫn xuất thứ n của hàm tử F (tùy theo cách chọn phép giải phải nội xạ I∗). Chọn lời giải phải nội xạ thứ hai J? của R′-môđun, với mỗi R-môđun M gán cho một phép giải phải nội xạ JM = ((J•M , e•M); bM) của M . Cố định R-môđun M và chọn i• : (I•M , d • M) −→ (J•M , e•M) 32 là lời giải phải của idM (theo Mệnh đề 2.2.2) Theo Hệ quả 2.2.5 ta có đẳng cấu R′-môđun sau: H(F (i•)) : Hn(F (I•M), F (d • M)) ∼=−→ Hn(F (J•M), F (e•M)). Nếu ta cố định n, thì đẳng cấu H(F (i•)) là như nhau đối với mọi lời giải phải: i• : (I•M , d • M) −→ (J•M , e•M) và nó xác định một đẳng cấu R′-môđun như sau: εn,MI?,J∗ = H n(F (i•)) : RnI∗F (M) ∼=−→ RnJ?F (M) Đẳng cấu này chỉ phụ thuộc vào M, IM , JM . Trong trường hợp đặc biệt h : M −→ N là đồng cấu R-môđun thì ta có: εn,NI?,J∗ ◦ RnI∗F (h) = RnJ∗F (h) ◦ εn,MI?,J∗ và do đó sơ đồ sau giao hoán: RnI0F (M) ξn,MI∗,J∗−−−→∼= R n J∗F (M) RnI∗F (h) y yRnJ∗F (h) RnI∗F (N) ξn,MI∗,J∗−−−→∼= R n I∗F (N) Từ đó, ta có định nghĩa như sau: Định nghĩa 3.1.1. Ta định nghĩa RnF := RnI∗F Hàm tử RnF được gọi là hàm tử dẫn xuất phải thứ n của hàm tử F . Định nghĩa 3.1.2. Cho a ⊆ R là một iđêan, n ∈ N. Ta định nghĩa hàm tử đối đồng điều địa phương thứ n Hna (•) = Hna là hàm tử dẫn xuất phải thứ n RnΓa(•) = RnΓa của hàm tử a-xoắn. Như vậy: Hna (•) = RnΓa(•) 3.2 Môđun đối đồng điều địa phương Cho M là R-môđun. Theo Mệnh đề 2.2.1 thì mỗi R môđun M đều tồn tại phép giải phải nội xạ. Ta chọn phép giải phải nội xạ ((I•, d•); a) của M , sao cho ta có dãy sau khớp: 0 −→M a−→ I0 d0−→ I1 d1−→ I2 d2−→ I3 −→ · · · 33 với mỗi R-môđun I i là môđun nội xạ. Khi đó, theo hàm tử Γa ta có giải phức (I•, d•): · · · −→ 0 d−1−→ I0 d0−→ I1 d1−→ I2 d2−→ I3 −→ · · · với mục đích là để thu được đối phức mới (Γa(I•),Γa(d•)): · · · −→ 0 Γa(d −1)−→ Γa(I0) Γa(d 0)−→ Γa(I1) Γa(d 1)−→ Γa(I2) −→ · · · Khi đó, kết quả cuối cùng của môđun đối đồng điều địa phương thứ n của đối phức này là: Hna (M) = H n(Γa(I •),Γa(d•)) = Ker(Γa(dn))/Im(Γa(dn−1)). Định nghĩa 3.2.1. Hna (M) được gọi là môđun đối đồng điều địa phương thứ n của R-môđun M . Bây giờ cho h : M −→ N là đồng cấu R-môđun. Đồng cấu cảm sinh bởi h trong đối đồng điều thứ n theo iđêan a được định nghĩa như đồng cấu R-môđun: Hna (h) : H n a (M) −→ Hna (N) Đồng cấu này thu được bởi sự lựa chọn phép giải phải nội xạ ((I•M , d • M); aM) và ((I•N , d • N); aN) tương ứng của M và N , bằng sự lựa chọn lời giải: h• : (I•M , d • M) −→ (I•N , d•N) của h và bằng cách đặt như sau: Hna (h) : H n a (M) −→ Hna (N) || || Ker(Γa(dmM))/Im(Γa(d n−1 M )) Ker(Γa(d n N))/Im(Γa(d n−1 N )) ∪ ∪ m+ Im(Γa(d n−1 M )) 7−→ hn(m) + Im(Γa(dn−1N )) (∀m ∈ Ker(Γa(dnM))). 3.3 Một số tính chất của môđun đối đồng điều địa phương Cho R′ là vành thứ hai sao cho có đồng cấu vành f : R −→ R′. Cho F là một hàm tử tuyến tính hiệp biến tử phạm trù R-mod đến phạm trù R′-mod, M là 34 R-môđun và cho ((I•, d•), a) là phép giải phải nội xạ của M . Khi đó, ta có thể viết: R0F (M) = H0(F (I•), F (d•)) = Ker(F (d0))/Im(F (d−1)) = Ker(F (d0))/Im(F (d−1)) = Ker(F (d0))/0 = Ker(F (d0)). Do d0 ◦ a = 0 nên ta có F (d0) ◦ F (a) = F (d0 ◦ a) = F (0) = 0 ⇒ Im(F (a)) ⊆ Ker(F (d0)), và vậy ta có đồng cấu sau: αFM : F (M) −→ R0F (M) = Ker(F (d0)) m 7−→ F (a)(m) Thật vậy: ∀m,n ∈ F (M), ∀r, s ∈ R, ta có: αFM(rm+ sn) = F (a)(rm+ sn) = F (a)rm+ F (a)sn = rF (a)m+ sF (a)n = rαFM(m) + sα F M(n) Ta có sơ đồ sau: (∗) F (M) R0F (M) = Ker(F (d0)) F (I0) -α F M HHHHHHHj F (a)  giao hoán. Nếu h : M −→ N là đồng cấu R-môđun. Khi đó, R0F (h) ◦ αFM = αFN ◦ F (h) thì ta có sơ đồ sau giao hoán: F (M) F (h)  αFM //R0F (M) R0F (h)  F (N) αFN //R0F (N) Nếu F khớp trái thì ta có dãy khớp: 0 −→ F (M) F (a)−→ F (I0) F (d 0)−→ F (I1) =⇒ Ker(F (d0)) = Im(F (a)). Kết hợp với sơ đồ (∗) ta có đẳng cấu sau: αFM : F (M) ∼=−→ R0F (M) 35 Nếu F là khớp trái và h : M −→ N là đồng cấu R-môđun, thì ta có sơ đồ sau giao hoán: F (M) αFM−−−→∼= R 0F (M) F (h) y yR0F (h) F (N) αFN−−−→∼= R 0F (N) Do đó, nếu F khớp trái, ta có thể đồng nhất hàm tử F với hàm tử R0(F ) (sai khác đẳng cấu) là: R0F := F Mệnh đề 3.3.1. Cho a là một iđêan của vành noetherian R. Khi đó, ta có: Γa(•) = H0a(•) Chứng minh. Do Γa(•) là khớp trái. (theo Mệnh đề 1.2.12) Theo tính chất trên, vì Γa(•) khớp trái nên ta có: R0Γa(•) = Γa(•) (∗) Theo định nghĩa hàm tử đối đồng điều thứ n ta có: R0Γa(•) = H0a(•) (∗∗) Từ (∗) và (∗∗) ta suy ra: Γa(•) = H0a(•). Vậy mệnh đề đã được chứng minh xong. Định nghĩa 3.3.1. Cho R′ là vành thứ hai sao cho có đồng cấu vành f : R −→ R′. Lúc đó, có tương ứng: δ•,F∗ : (S : 0 −→ N h−→M l−→ P −→ 0) (δn,FS : RnF (P ) −→ Rn+1F (N))n∈N∗ với mỗi dãy khớp ngắn R-môđun S : 0 −→ N h−→M l−→ P −→ 0 tương ứng với họ: (δn,FS : RnF (P ) −→ Rn+1F (N))n∈N∗ của đồng cấu R-môđun, sao cho ta có dãy khớp sau: ⊗  0 −→ R0F (N) R 0F (h)−→ R0F (M) R 0F (l)−→ R0F (P ) δ0,FS−→ R1F (N) R 1F (h)−→ R1F (M) −→ · · · −→ Rn−1F (P ) δn−1,FS−→ RnF (N) R nF (h)−→ RnF (M) R nF (l)−→ RnF (P ) δn+1,FS−→ Rn+1F (N) R n+1F (h)−→ Rn+1F (M) −→ · · · Đồng cấu: δn+1,FS : RnF (P ) −→ Rn+1F (N) 36 được gọi là đồng cấu nối thứ n với hàm tử F liên kết với dãy khớp ngắn: S : 0 −→ N h−→M l−→ P −→ 0 Dãy (⊗) được gọi là dãy dẫn xuất phải của F liêt kết với S. Nếu ta có sơ đồ giao hoán của R-môđun sau: S : 0 // N h // u  M l // v  P w  // 0 S′ : 0 // N ′ h ′ // M ′ l ′ // P ′ // 0 với các dòng S và S′ là khớp. Khi đó, ta có sơ đồ sau: RnF (P ) RnF (w)  δn,FS //Rn+1F (N) Rn+1F (u)  RnF (P ′) δ n,F S′ //Rn+1F (N ′) giao hoán, ∀n ∈ N∗. Định nghĩa 3.3.2. Cố định một iđêan a của vành noetherian R. Cho S : 0 −→ N h−→M l−→ P −→ 0 là dãy khớp ngắn của R-môđun. Khi đó, ta viết δn,aS cho đồng cấu nối thứ n với hàm tử Γa a-xoắn liên kết với S. Như vậy, ta có: RnΓa(P ) Rn+1Γa(N) || || Hna (P ) δn,aS :=δ n,Γa S−→ Hn+1a (N). Đôi khi ta cũng viết δnS hay δ n hay δ thay cho δn,aS . Dãy dẫn xuất phải của Γa liên kết với S ở định nghĩa trên có dạng như ⊗, bây giờ có dạng: ⊕  0 −→ H0a H0a(h)−→ H0a(M) H0a(l)−→ H0a(P ) δ0,aS−→ H1a(N) H1a(h)−→ H1a(M) −→ · · · −→ Hn−1a (P ) δn−1,aS−→ Hna (N) Hna (h)−→ Hna (M) Hna (l)−→ Hna (P ) δn,aS−→ Hn+1a (N) Hn+1a (h)−→ Hn+1a −→ · · · Ta thường gọi dãy này là dãy khớp dài đối đồng điều theo iđêan a liên kết với dãy khớp ngắn S. 37 Cho sơ đồ giao hoán của R-môđun S : 0 // N h // u  M l // v  P w  // 0 S′ : 0 // N ′ h ′ // M ′ l ′ // P ′ // 0 với các dòng S và S′ là khớp. Khi đó, ta có sơ đồ giao hoán: · · ·Hna (N) Hna (h) // hna (u)  Hna (M) Hna (l) // hna (v)  Hna (P ) δn,aS // hna (w)  Hn+1a (N) · · · hn+1a  · · ·Hna (N ′) Hna (h ′) // Hna (M ′) Hna (l ′)// Hna (P ′) δn,aS′ // Hn+1a (N ′) · · · Định nghĩa 3.3.3. Cho a ⊆ R là một iđêan. Một R-môđun M được gọi là a-xoắn nếu M = Γa(M) hay một cách tương đương nếu mỗi phần tử m ∈ M , với bất kỳ n ∈ N sao cho anm = 0. Mệnh đề 3.3.2. Cho vành noetherian R, M là R-môđun hữu hạn sinh. Lúc đó, tồn tại n ∈ N sao cho anM ∩ Γa(M) = 0. Chứng minh. Ta có: Γa(M) = ⋃ n∈N (0 : M an) = ⋃ n∈N {m ∈M : anm = 0} ⊆M . Mặt khác, ta cũng có: (0 : M a1) ⊆ (0 : M a2) ⊆ · · · ⊆ (0 : M an) ⊆ · · · ⊆ · · · Vì M là hữu hạn sinh nên dãy các R-môđun con trên sẽ dừng. Do vậy: ∃n0 ∈ N : (0 : M an) = (0 : M an0)∀n > n0 Vậy tồn tại n0 ∈ N để Γa(M) = (0 : M an0). Khi đó, ta có: anM ∩ Γa(M) = anM ∩ (0 : M an0). Chọn n = n0, nên khi đó ∀x ∈ anM ∩ Γa(M) ⇒ x = by với b ∈ an0 và an0x = 0 ⇒ an0by = 0⇒ an0y = 0 (do (0 : M an0) = (0 : M a2n0)) ⇒ x = 0. Vậy tồn tại n = n0 ∈ N sao cho anM ∩ Γa(M) = 0. Vậy Mệnh đề đã được chứng minh xong. Mệnh đề 3.3.3. Cố định một iđean a của vành noetherian R. Khi đó, ta có: a) Γa(Γa(M)) = Γa(M) với mỗi R-môđun M . b) Nếu M là một R-môđun tùy ý. Khi đó, Γa(M) là môđun a-xoắn. 38 Chứng minh. a) Lấy x ∈ Γa(Γa(M))⇒ x ∈ ⋃ n∈N (0 : Γa(M) an) ⊂ ⋃ n∈N (0 : M an) ⇒ x ∈ Γa(M)⇒ Γa(Γa(M)) ⊂ Γa(M). Lấy x ∈ Γa(M)⇒ x ∈ ⋃ n∈N (0 : M an)⇒ x ∈ ⋃ n∈N (0 :⋃ n∈N {m∈M |anm=0} an) ⇒ x ∈ ⋃ n∈N (0 : Γa(M) an)⇒ Γa(M) ⊂ Γa(Γa(M)). Vậy Γa(Γa(M)) = Γa(M) b) Theo định nghĩa thì Γa(M) = ⋃ n∈N {m ∈ M |anm = 0} chính là môđun a- xoắn. Mệnh đề 3.3.4. Nếu M là R-môđun a-xoắn và N ⊆ M là môđun con của M . Khi đó, N,M/N là môđun a-xoắn. Chứng minh. Vì M là R-môđun a-xoắn nên M = Γa(M) hay tương đương với ∀m ∈M , bất kỳ n ∈ N sao cho anm = 0. Vì N ⊆M nên x ∈ N ⇒ x ∈M . Với bất kỳ n ∈ N, ta có: anx = 0. Vậy N là môđun a-xoắn. Tương tự, lấy x ∈ M/N , khi đó x = m + N,m ∈ M . Với bất kỳ n ∈ N, ta có: an(m+N) = 0. Vậy M/N là môđun a-xoắn. Mệnh đề 3.3.5. Cho a là một iđêan của vành noetherian R, cho n ∈ N và M là R-môđun. Khi đó, môđun đối đồng điều Hna (M) là môđun a-xoắn. Chứng minh. Theo định nghĩa về môđun đối đồng điều địa phương: Hna (M) = H n(Γa(I •),Γa(d•)) = Ker(Γa(dn))/Im(Γa(dn−1)). Theo định nghĩa: Γa(d) : Γa(M) −→ Γa(N) m 7−→ d(m) Khi đó, dễ thấyKer(Γa(dn)) là môđun con của môđun a-xoắn Γa(M) và Im(Γa(dn−1)) là môđun con của môđun a-xoắn Γa(N). Theo Mệnh đề 3.3.4 ta suy ra môđun thương: Hna (M) = H n(Γa(I•),Γa(d•)) = Ker(Γa(dn))/Im(Γa(dn−1)) là môđun a-xoắn hay môđun đối đồng điều địa phương Hna (M) là môđun a-xoắn. Mệnh đề 3.3.6. Cho a là một iđêan của vành noetherian R và I là một R-môđun nội xạ. Khi đó, Γa(I) cũng là môđun nội xạ. 39 Chứng minh. Chọn h : b −→ Γa(I) là đồng cấu R-môđun, với b là một iđêan của vành R. Theo tiêu chuẩn Baer để chứng minh Γa(I) là môđun nội xạ thì ta cần phải tìm phần tử e ∈ Γa(I) sao cho h(b) = be với mọi b ∈ b. Theo giả thiết I là môđun nội xạ nên tồn tại đồng cấu R-môđun l : R −→ I sao cho h = l ◦ i với i : b −→ R là đơn cấu bao hàm. Đặt f := l(1). Khi đó, ta có: h(b) = (l ◦ i)(b) = l(i(b)) = l(b) = l(b.1) = bl(1) = bf Do đó, h(b) = bf với mọi b ∈ b. Trong trường hợp tổng quát ta có h(b) = bf ⊆ Rf . Vì h là đồng cấu R-môđun nên theo hệ quả bài đồng cấu môđun ta có h(b) là môđun con của môđun Γa(I) và nó là môđun a-xoắn, (theo Mệnh đề 3.3.4). Hiển nhiên rằng h(b) ⊆ Γa(Rf) (1). Khi Rf là môđun hữu hạn sinh, theo Mệnh đề 3.3.2, tồn tại m ∈ N sao cho am(Rf) ∩ Γa(Rf) = 0 Kết hợp với (1) thì ta có: am(Rf) ∩ h(b) = 0. Do đó, amf ∩ bf = 0. Điều này có nghĩa là tổng amf + bf là tổng trực tiếp, sao cho có ánh xạ: ϕ : amf + bf −→ bf (uf + bf) 7−→ bf với mọi u ∈ am, b ∈ b. Khi (am + b)f = amf + bf , ta xác định đồng cấu R-môđun như sau: h˜ : (am + b) −→ bf = h(b) v 7−→ ϕ(vf) với mọi v ∈ am + b. Cũng vậy với mọi u ∈ am và với mọi b ∈ b ta thu được h˜(u+ b) = bf . Theo định nghĩa I là môđun nội xạ nên tồn tại đồng cấu R-môđun l˜ : R −→ I sao cho h˜ = l˜ ◦ i˜ với i˜ : (am + b) −→ R là đơn cấu bao hàm. Ta cũng đặt e = l˜(1), sao cho với mỗi x ∈ R, ta có: l˜(x) = l˜(x.1) = xl˜(1) = xe. Do đó, l˜(x) = xe. Với bất kỳ u ∈ am, ta có: ue = l˜(u) = l˜(˜i(u)) = (l˜ ◦ i˜)(u) = h˜(u) = h˜(u+ 0) = 0f = 0 Do đó, thì ame = 0 và do vậy e ∈ Γa(I). Hơn nữa, với bất kỳ b ∈ b ta có: h(b) = bf = h˜(b+ 0) = h˜(b) = (l˜ ◦ i˜)(b) = l˜(b) = be 40 Như vậy, với h : b −→ Γa(I) là đồng cấu R-môđun ta tìm được phần tử e ∈ Γa(I) sao cho: h(b) = be với mọi b ∈ b. Điều đó chứng tỏ Γa(I) là môđun nội xạ. Vậy Mệnh đề đã được chứng minh xong. Hệ quả 3.3.7. Cho a là một iđêan của vành noetherian R. Cho M là một R- môđun a-xoắn. Khi đó có đơn cấu R-môđun i : M −→ I sao cho I là môđun nội xạ và là môđun a-xoắn. Chứng minh. Theo Định lý 2.1.4 vì M là một R-môđun nội xạ nên tồn tại một R-môđun nội xạ J và một đơn cấu M i−→ J . Mà Γa là hàm tử khớp trái (theo Mệnh đề 1.2.12) nên ta thu được một đơn cấu: Γa(M) Γa(i)−→ Γa(J). Theo định nghĩa M là một R-môđun a-xoắn nên ta có: Γa(M) = M . Theo Mệnh đề 3.3.6 ta thu được I := Γa(J) là môđun nội xạ. Theo Định nghĩa 3.3.3 thì I là môđun a-xoắn. Vậy Hệ quả đã được chứng minh xong. Hệ quả 3.3.8. Cho a là một iđêan của vành noetherian R. Cho M là một R- môđun a-xoắn. Khi đó, M có một phép giải phải nội xạ ((I•, d•); a) với tất cả các môđun (I i)i∈N là môđun a-xoắn. Chứng minh. Trước hết chúng ta phải xây dựng dãy khớp: 0 −→M a−→ I0 d0−→ I1 d1−→ I2 d2−→ I3 −→ · · · với tất cả (I i)i∈N là môđun nội xạ và là môđun a-xoắn. Theo Hệ quả 3.3.7 ta có dãy khớp sau: O −→M a−→ I0 với I0 là môđun nội xạ và là môđun a-xoắn. Đặt Coker(a) = I0/Im(a). Theo Mệnh đề 3.3.4 ta cũng có Coker(a) là môđun a-xoắn. Theo Hệ quả trên, có đồng cấu Coker(a) sao cho I i là R-môđun nội xạ. Bây giờ, cho đồng cấu d0 : I0 −→ I1 u 7−→ t0(u+ Im(a)) Khi đó, Ker(d0) = Im(a). Cũng vậy, ta có dãy khớp sau: 0 −→M a−→ I0 d0−→ I1, 41 với I0, I1 là môđun nội xạ và là môđun a-xoắn. Tiếp tục, theo Hệ quả trên ta có đồng cấu: Coker(d0) t1−→ I2 với I2 là môđun nội xạ và là môđun a-xoắn. Tiếp tục, ta cũng xây dựng được đồng cấu: d1 : I1 −→ I2 u 7−→ t1(u+ Im(d0)) Khi đó, ta có: Ker(d1) = Im(d0). Từ đó, ta thu được dãy khớp: 0 −→M a−→ I0 d0−→ I1 d1−→ I2, với I0, I1, I2 là môđun nội xạ và là môđun a-xoắn. Như vậy bằng quy nạp ta xây dựng được dãy khớp sau: O −→M a−→ I0 d0−→ I1 d1−→ I2 d2−→ I3 −→ · · · với các I i là môđun nội xạ và là môđun a-xoắn. Vậy Hệ quả đã được chứng minh xong. Mệnh đề 3.3.9. Cho a là một iđêan của vành noetherian R vàM là một R-môđun a-xoắn. Khi đó Hna (M) = 0 với mọi n > 0. Chứng minh. Theo Hệ quả 3.3.8 thì M có một phép giải phải nội xạ ((I•, d•); a) với tất cả các môđun I i là môđun a-xoắn và do đó thỏa mãn Γa(I i) = I i. Điều này có nghĩa là đối phức (Γa(I•),Γa(d•)) và đối phức (I•, d•) là bằng nhau. Khi dãy I0 d0−→ I1 d1−→ I2 −→ · · · là khớp, thì ta có dãy sau Γa(I 0) Γa(d 0)−→ Γa(I1) Γa(d 1)−→ Γa(I2) −→ · · · cũng khớp. Khi đó, với mọi n > 0, ta có: Hna (M) = H n(Γa(I •),Γa(d•)) = Ker(Γa(dn))/Im(Γa(dn−1)) = 0 Vậy Mệnh đề đã được chứng minh xong. 42 KẾT LUẬN Nội dung khóa luận được trình bày trong 3 chương: chương 1, chương 2 và chương 3. Mục đích của khóa luận là xây dựng môđun đối đồng điều địa phương và đưa ra một số tính chất của môđun đối đồng điều địa phương. Trong chương 1, chúng tôi đã giới thiệu cho người đọc biết về môđun a-xoắn, hàm tử, hàm tử tuyến tính hiệp biến, hàm tử khớp, hàm tử a-xoắn, đối phức, đồng luân, đối đồng điều cùng một số tính chất của chúng. Những kiến thức này là cơ sở để tiếp tục nghiên cứu về môđun đối đồng điều địa phương ở chương 3. Trong chương 2, chúng tôi đã giới thiệu cho người đọc biết về môđun nội xạ, phép giải phải, phép giải phải nội xạ cùng một số tính chất liên quan đến vấn đề này. Những kiến thức này làm nền để tiếp tục xây dựng về môđun đối đồng điều địa phương ở chương 3. Trong chương 3, chúng tôi đã xây dựng hàm tử đối đồng điều địa phương, môđun đối đồng điều địa phương và đưa ra một số tính chất của môđun đối đồng điều địa phương. Dựa vào những kiến thức nền ở hai chương trước, chúng tôi đã xây dựng được môđun đối đồng điều địa phương, đồng thời chúng tôi cũng đã đưa ra một số tính chất của môđun đối đồng điều địa phương. Chúng tôi đã cố gắng phân tích, dẫn dắt, để người đọc có một cái nhìn tổng thể, đi từ những vấn đề cơ bản đến những vấn đề phức tạp. Tác giả đã cố gắng hoàn thành khóa luận một cách tốt nhất có thể. Tuy nhiên do hạn chế bản thân cũng như trình độ, thời gian có hạn, lần đâu tiên nghiên cứu một đề tài dưới hình thức một khóa luận chắc chắn không thể tránh khỏi những sai sót. Tác giả rất mong được sự góp ý của quý thầy cô cùng các bạn đọc. Tác giả xin chân thành cảm ơn và tiếp thu. 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lê Thanh Hà (2001), Giáo trình đại số đại cương, Tủ sách đại học sư phạm, Huế. [2] S.T.Hu (1973), Đại số đồng điều (Bản dịch tiếng việt của Ngô Thúc Lanh), Nhà xuất bản giáo dục. [3] Nguyễn Hữu Việt Hưng (1998), Đại số đại cương, Nhà xuất bản giáo dục. [4] Serge Lang (1978), Đại số, Nhà xuất bản đại học và trung học chuyên nghiệp. [5] Ngô Thúc Lanh (1985), Đại số, Nhà xuất bản giáo dục. [6] Nguyễn Tiến Quang, Nguyễn Duy Thuận (2001), Cơ sở lý thuyến môđun và vành, Nhà xuất bản giáo dục. [7] Hoàng Viết Trương (2004), Hàm tử đối đồng điều địa phương, Khóa luận tốt nghiệp ĐHSP, Trường Đại học Sư phạm, Huế. [8] Nguyễn Xuân Tuyến (1985), Đại số, Nhà xuất bản giáo dục. TIẾNG ANH [9] M.P.Brodmann (2001), Lectures on local cohomology, Institute of Mathem- matics, Hà Nội. [10] M.P.Mrodmann, R.Y.Sharp (1998), Local cohomology: An algebraic intro- duction with geometry applications, Cambridge University Press. 44