Khóa luận Lập biểu thức xác định nhiệt dung của hệ mạng tinh thể lập phương

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM BỘ MÔN VẬT LÝ XW LÊ GIANG BẮC LỚP DH5L KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC LẬP BIỂU THỨC XÁC ĐỊNH NHIỆT DUNG CỦA HỆ MẠNG TINH THỂ LẬP PHƯƠNG Giảng viên hướng dẫn: ThS. VŨ TIẾN DŨNG Long Xuyên, tháng 05 năm 2008 i LỜI CẢM ƠN Trước tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban Giám Hiệu Trường Đại Học An Giang, khoa sư phạm và tổ bộ môn Vật Lý đã quan tâm và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi được tham gia nghiên cứu khoa học. Đặc biệt, tôi xin chân thành cảm ơn giảng viên hướng dẫn là thầy Vũ Tiến Dũng đã tận tình hướng dẫn và cung cấp nguồn tài liệu quý báu để tôi hoàn thành khoá luận này đúng thời hạn. Cuối cùng, tôi xin cảm ơn tất cả bạn bè và người thân đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian thực hiện đề tài. Tôi hy vọng rằng, kết quả nghiên cứu của khoá luận sẽ không phụ lòng mong mỏi của mọi người và giúp ích cho việc tự học, tự nghiên cứu của bạn đọc. ii LỜI NÓI ĐẦU Trong cuộc cách mạng khoa học công nghệ hiện nay, ngành vật lý chất rắn đóng một vai trò đặc biệt quan trọng. Vật lý chất rắn đã tạo ra những vật liệu cho các ngành kỹ thuật mũi nhọn như điện tử, du hành vũ trụ, năng lượng nguyên tử,…Trong những năm gần đây, xuất hiện hàng loạt công trình về siêu dẫn nhiệt độ cao, đặc biệt là công nghệ nanô làm cho vị trí của ngành vật lý chất rắn ngày càng thêm nổi bật. Vật lý chất rắn chủ yếu đề cập đến các tính chất vật lý tổng quát mà tập hợp nhiều các nguyên tử và phân tử thể hiện trong sự sắp xếp một cách đều đặn và tạo thành các tinh thể. Kể từ khi có sự ra đời của các lý thuyết lượng tử và các tiến bộ của khoa học kỹ thuật thì vật lý chất rắn mới có được cơ sở vững chắc và thu được những kết quả hết sức quan trọng về mặt ứng dụng cũng như lý thuyết. Trong khi học tập môn vật lý chất rắn đại cương, tôi thấy thích thú và bị lôi cuốn bởi môn học này. Bởi lẽ đó, mà tôi quyết định sẽ tìm hiểu và khám phá hơn nữa về môn. Đặc biệt nhất là về: cấu trúc tinh thể, hệ lập phương, lý thuyết về dao động mạng tinh thể và các tính chất nhiệt của chất rắn. Tôi quyết định chọn tên của khóa luận là: “ Lập biểu thức xác định nhiệt dung của hệ mạng tinh thể lập phương” để nghiên cứu và tìm hiểu. Trong đề tài này tôi trình bày các kiến thức về cấu trúc của mạng tinh thể, lý thuyết về dao động mạng và trên cơ sở đó đi thiết lập biểu thức xác định nhiệt dung của chất rắn do dao động của mạng tinh thể. Sau đó, sẽ áp dụng cho hệ mạng tinh thể lập phương và sẽ giải thích một số hiện tượng vật lý có liên quan ở chương trình phổ thông. Chắc chắn rằng khóa luận này còn có những thiếu sót và hạn chế. Rất mong được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô, và bạn đọc để cho khóa luận ngày được hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn. An Giang, tháng 04 năm 2008 Sinh viên thực hiện Lê Giang Bắc NHẬN XÉT CỦA GIẢNG VIÊN X#"W ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ MỤC LỤC Lời cảm ơn ................................................................................................................... i Lời nói đầu .................................................................................................................. ii PHẦN I. MỞ ĐẦU......................................................................................................1 I. Lý do chọn đề tài...................................................................................................1 II. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu ......................................................................1 1. Mục đích nghiên cứu........................................................................................1 2. Nhiệm vụ nghiên cứu .......................................................................................1 III. Khách thể và đối tượng nghiên cứu....................................................................1 1. Khách thể nghiên cứu.......................................................................................1 2. Đối tượng nghiên cứu.......................................................................................1 IV. Phương pháp nghiên cứu....................................................................................2 V. Phạm vi nghiên cứu .............................................................................................2 VI. Giả thuyết khoa học ...........................................................................................2 VII. Đóng góp mới của đề tài ...................................................................................2 VIII. Bố cục của khóa luận.......................................................................................2 PHẦN II. NỘI DUNG ................................................................................................3 CHƯƠNG I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT .........................................................................3 I. Cấu trúc của mạng tinh thể ...............................................................................3 1. Mạng tinh thể................................................................................................3 1.1. Cấu trúc tinh thể ....................................................................................3 1.2. Mạng không gian...................................................................................3 1.3. Các tính chất đối xứng của mạng không gian .......................................4 1.4. Phân loại mạng Bravais .........................................................................6 1.4.1. Hệ lập phương ................................................................................6 1.4.2. Hệ tứ giác .......................................................................................6 1.4.3. Hệ trực giao (còn gọi là hệ vuông góc) ..........................................7 1.4.4. Hệ trực thoi (hay hệ tam giác)........................................................7 1.4.5. Hệ đơn tà ........................................................................................8 1.4.6. Hệ tam tà ........................................................................................8 1.4.7. Hệ lục giác......................................................................................8 1.5. Sơ lược về hệ mạng tinh thể lập phương...............................................8 1.5.1. Mạng tinh thể lập phương đơn giản ...............................................9 1.5.2. Mạng tinh thể lập phương tâm khối ...............................................9 1.5.3. Mạng tinh thể lập phương tâm mặt ................................................9 2. Mạng đảo......................................................................................................9 2.1. Khái niệm mạng đảo..............................................................................9 2.2. Tính chất của các vectơ mạng đảo ......................................................10 2.3. Các tính chất của vectơ mạng đảo.......................................................10 2.4. Ô cơ sở của mạng đảo .........................................................................10 2.5. Ý nghĩa vật lý của mạng đảo ...............................................................11 3. Điều kiện tuần hoàn khép kín Born – Karman...........................................11 II. Lý thuyết cổ điển về dao động mạng tinh thể................................................12 1. Dao động chuẩn của mạng tinh thể ............................................................12 2. Bài toán dao động mạng.............................................................................12 2.1. Dao động của mạng một chiều, một nguyên tử...................................14 2.1.1. Trường hợp q rất nhỏ (qa<<1)......................................................16 2.1.2. Trường hợp a q π±= ....................................................................16 2.2. Dao động của mạng một chiều, hai nguyên tử ...................................17 3. Dao động mạng ba chiều ............................................................................20 4. Tọa độ chuẩn ..............................................................................................24 III. Lý thuyết lượng tử về dao động mạng tinh thể ............................................27 1. Lượng tử hóa dao động mạng.....................................................................27 2. Phonon........................................................................................................28 2.1. Phương pháp chuẩn hạt .......................................................................28 2.2. Tính chất của chuẩn hạt.......................................................................28 2.3. Phonon.................................................................................................29 2.4. Tính chất của phonon ..........................................................................29 CHƯƠNG II. THIẾT LẬP BIỂU THỨC TINH NHIỆT DUNG CỦA HỆ MẠNG TINH THỂ LẬP PHƯƠNG. ..................................................................................31 I. Lý thuyết cổ điển về nhiệt dung......................................................................31 II. Lý thuyết lượng tử về nhiệt dung ..................................................................32 1. Hàm phân bố Bose - Einstein .....................................................................32 2. Lý thuyết Einstein ......................................................................................33 2.1. Trường hợp ở miền nhiệt độ cao .........................................................34 2.2. Trường hợp ở miền nhiệt độ thấp........................................................34 3. Lý thuyết Debye .........................................................................................35 3.1. Trường hợp ở miền nhiệt độ cao .........................................................38 3.2. Trường hợp ở miền nhiệt độ thấp........................................................39 III. Áp dụng công thức nhiệt dung cho mạng tinh thể lập phương ....................40 1. Áp dụng biểu thức nhiệt dung cho hệ mạng lập phương............................40 2. Tính nhiệt dung mol của một số chất .........................................................43 IV. Giải thích một số hiện tượng vật lý trong chương trình phổ thông..............43 1. Phân biệt chất rắn kết tinh và chất rắn vô định hình ..................................43 2. Những tính chất nhiệt của vật rắn ..............................................................45 2.1. Sự giãn nở vì nhiệt của vật rắn............................................................45 2.2. Nhiệt dung mol vật rắn........................................................................46 PHẦN III. KẾT LUẬN ............................................................................................48 TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................................49 SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 1 PHẦN I. MỞ ĐẦU I. Lý do chọn đề tài Như chúng ta đã biết, các vật liệu trong tự nhiên hay đang được sử dụng hàng ngày trong đời sống của con người, có thể tồn tại ở thể rắn, thể lỏng hoặc thể khí. Do vậy, vật lý học cũng chia thành các chuyên ngành nghiên cứu sự vận động của vật chất ở ba thể tồn tại trên. Trong cuộc cách mạng khoa học công nghệ hiện nay, ngành vật lý chất rắn đóng một vai trò đặc biệt quan trọng. Vật lý chất rắn đã tạo ra những vật liệu cho các ngành kỹ thuật mũi nhọn như điện tử, du hành vũ trụ, năng lượng nguyên tử,…Trong những năm gần đây, xuất hiện hàng loạt công trình về siêu dẫn nhiệt độ cao, đặc biệt là công nghệ nanô làm cho vị trí của ngành vật lý chất rắn ngày càng thêm nổi bật. Vật lý chất rắn chủ yếu đề cập đến các tính chất vật lý tổng quát mà tập hợp nhiều các nguyên tử và phân tử thể hiện trong sự sắp xếp một cách đều đặn và tạo thành các tinh thể. Kể từ khi có sự ra đời của các lý thuyết lượng tử và các tiến bộ của khoa học kỹ thuật thì vật lý chất rắn mới có được cơ sở vững chắc và thu được những kết quả hết sức quan trọng về mặt ứng dụng cũng như lý thuyết. Hiện nay, ở nước ta cùng với nhu cầu nghiên cứu và sử dụng các vật liệu rắn, đặc biệt là vật liệu mới ngày càng tăng. Chính vì thế, mà ngành vật lý chất rắn đã được phát triển rất nhanh trong những năm qua. Trong khi học tập môn vật lý chất rắn, tôi thấy mình bị lôi cuốn bởi môn học này, nên tôi thấy mình cần phải tìm hiểu và khám phá hơn nữa về nó. Đặc biệt nhất là về: cấu trúc tinh thể, hệ lập phương, các dao động mạng tinh thể và các tính chất nhiệt của nó. Chính vì những lý do trên, tôi quyết định chọn tên đề tài là: “ Lập biểu thức xác định nhiệt dung của hệ mạng tinh thể lập phương” để nghiên cứu và có được hiểu biết sâu rộng hơn về vấn đề này. II. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 1. Mục đích nghiên cứu Khảo sát tính chất nhiệt của hệ mạng tinh thể lập phương. Qua đó, giải thích một số hiện tượng vật lý liên quan đến chất rắn được trình bày trong chương trình phổ thông. 2. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu về cấu trúc tinh thể của hệ lập phương, dao động mạng tinh thể và các tính chất nhiệt của vật rắn. Lập biểu thức nhiệt dung của hệ mạng tinh thể lập phương. III. Khách thể và đối tượng nghiên cứu 1. Khách thể nghiên cứu Hệ mạng tinh thể lập phương. Chương trình vật lý phổ thông. 2. Đối tượng nghiên cứu Tính chất nhiệt và thiết lập biểu thức xác định nhiệt dung của hệ mạng tinh thể lập phương. SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 2 IV. Phương pháp nghiên cứu Trong khi thực hiện đề tài này, tôi có sử dụng một số phương pháp nghiên cứu sau đây: - Phương pháp đọc sách và tài liệu tham khảo. - Phương pháp hệ thống hóa lý thuyết. - Phương pháp phân tích và tổng hợp lý thuyết. - Phương pháp gần đúng. V. Phạm vi nghiên cứu Thiết lập biểu thức tính nhiệt dung của hệ mạng tinh thể lập phương theo quan điểm năng lượng và chỉ xét đến đóng góp của dao động mạng vào tính chất nhiệt của chất rắn. VI. Giả thuyết khoa học Bằng lý thuyết dao động mạng, có thể thiết lập được biểu thức tính nhiệt dung của hệ mạng tinh thể lập phương và giải thích được một số hiện tượng vật lý liên quan đến chất rắn trong chương trình Vật lý phổ thông. VII. Dự kiến đóng góp của đề tài Phát triển được hướng tiếp cận về tính chất nhiệt của mạng tinh thể lập phương. Giải thích chính xác và hoàn chỉnh các tính chất vật lý liên quan đến chất rắn trong chương trình vật lý phổ thông, làm tiền đề để nâng cao chất lượng dạy và học ở phổ thông. Làm phong phú thêm tư liệu học tập về vật lý chất rắn. VIII. Bố cục của khóa luận Bố cục của khóa luận gồm có 3 phần: Phần I. Mở đầu (2 trang) trình bày về lý do chọn đề tài, mục đích và nhiệm vụ, đối tượng và khách thể nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu, giả thuyết khoa học, đóng góp của đề tài và bố cục của khoá luận. Phần II. Nội dung (43 trang) gồm hai chương. Chương I. Cơ sở lý thuyết. I. Cấu trúc của mạng tinh thể. II. Lý thuyết cổ điển về dao động mạng tinh thể. III. Lý thuyết lượng tử về dao động mạng tinh thể. Chương II. Thiết lập biểu thức xác định nhiệt dung của hệ mạng lập phương. I. Lý thuyết cổ điển về nhiệt dung. II. Lý thuyết lượng tử về nhiệt dung. III. Áp dụng cho hệ mạng tinh thể lập phương. IV. Giải thích một số hiện tượng vật lý trong chương trình phổ thông. Phần III. Kết luận (1 trang) trình bày kết quả đạt được và những hạn chế của khóa luận. SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 3 PHẦN II. NỘI DUNG CHƯƠNG I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT I. Cấu trúc của mạng tinh thể 1. Mạng tinh thể Để mô tả cấu trúc tinh thể người ta dùng khái niệm mạng tinh thể và gắn một nguyên tử hoặc một nhóm các nguyên tử gọi là cơ sở của mạng tinh thể đó. Trong các tinh thể đơn giản nhất như đồng, bạc hay kim loại kiềm chẳng hạn đều có cấu trúc chỉ một nguyên tử, trong các nguyên tử phức tạp hơn đơn vị có thể chứa một vài nguyên tử hoặc phân tử. 1.1. Cấu trúc tinh thể Cấu trúc tinh thể là dạng thực của tinh thể chất rắn nếu ta đặt nguyên tử hay nhóm nguyên tử vào mỗi nút mạng hay gần mỗi nút mạng. Trong các tinh thể phân tử ở mỗi nút mạng là mỗi phân tử có chứa hàng chục có khi hàng trăm nguyên tử. Nguyên tử hoặc nhóm nguyên tử như vậy gọi là gốc. Do đó, có thể viết một cách tượng trưng như sau: Mạng không gian + gốc = Cấu trúc tinh thể Trong không gian, các nguyên tử phân tử được sắp xếp một cách có trật tự đều đặn, tuần hoàn trong không gian mạng tinh thể. 1.2. Mạng không gian Trong các vật rắn, nguyên tử, phân tử được sắp xếp một cách đều đặn, tuần hoàn trong không gian tạo thành mạng tinh thể. Ta bắt đầu bằng việc khảo sát tinh thể lí tưởng, là tinh thể trong đó sự sắp xếp các nguyên tử, phân tử là hoàn toàn tuần hoàn. Tinh thể lí tưởng phải hoàn toàn đồng nhất, nghĩa là mọi nơi, nó đều chứa những loại nguyên tử như nhau, được phân bố như nhau. Tinh thể lí tưởng phải có kích thước trải rộng vô hạn để không có mặt giới hạn làm ảnh hưởng đến tính chất sắp xếp tuyệt đối tuần hoàn của các nguyên tử, phân tử. Có thể xây dựng nên tinh thể bằng cách lặp lại trong không gian theo một quy luật nhất định các đơn vị cấu trúc giống nhau, gọi là các ô sơ cấp. Ở các tinh thể đơn giản như tinh thể đồng, bạc, tinh thể kim loại kiềm, mỗi ô sơ cấp chỉ chứa một nguyên tử. Ở các tinh thể phức tạp, có thể chứa nhiều nguyên tử, phân tử. Để mô tả cấu trúc tinh thể, ta coi như nó gồm các ô sơ cấp lặp lại tuần hoàn trong không gian. Gắn với mỗi đỉnh của ô sơ cấp là một nhóm các nguyên tử. Nhóm nguyên tử đó gọi là gốc. Với tinh thể lí tưởng có thể coi như gồm các nguyên tử phân bố trong mạng không gian. Mạng không gian được xây dựng từ ba vectơ 1a , 2a , 3a , gọi là ba vectơ tịnh tiến cơ sở. Chúng có tính chất là khi khảo sát tinh thể từ một điểm tùy ý có bán kính vectơ r , ta thấy nó giống hệt như khi ta khảo sát nó từ điểm có bán kính vectơ 'r : 'r = r + n1 1a + n2 2a + n3 3a (1.1.1) Trong đó: n1, n2, n3 là các số nguyên tùy ý. SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 4 Tập hợp các điểm có bán kính vectơ 'r (sau này gọi là điểm 'r ) xác định theo (1.1.1) với các giá trị khác nhau của n1, n2, n3 lập thành mạng không gian. Các điểm đó gọi là nút của mạng không gian. Ba vectơ cơ sở 1a , 2a , 3a cũng đồng thời xác định các trục của hệ tọa độ trong tinh thể. Nói chung, đó là hệ tọa độ không vuông góc. Hình hộp được tạo thành từ ba vectơ cơ sở chính là ô sơ cấp. Hình 1.1 Minh họa một số cách chọn các vectơ cơ sở cho mạng hai chiều. Sự lựa chọn ba vectơ cơ sở, và do đó lựa chọn ô sơ cấp không phải là duy nhất. Hình vẽ 1.1 cho ta thấy một vài thí dụ về cách chọn các vectơ cơ sở và ô sơ cấp trong mạng hai chiều. Ngoài ra, trong nhiều trường hợp, còn có thể xây dựng ô sơ cấp sao cho nó có dạng đối xứng trung tâm. Ô như vậy, gọi là ô Vicnơ – Daixơ (Wignet – Seitz). Các ô này được giới hạn bởi các mặt phẳng trung trực của các đoạn thẳng nối nút mạng đang xét với các nút mạng lân cận. Như vậy, mạng lí tưởng là một khái niệm toán học, nó bao trùm toàn bộ không gian, và có tính tuần hoàn trong không gian đặc trưng bằng vectơ 'r như trên. Từ công thức (1.1.1) ta thấy chỉ cần biết các vectơ cơ sở thì ta có thể xác định được toàn mạng. Mạng tinh thể lí tưởng chỉ là hình ảnh trừu tượng hóa của những tinh thể có thực trong tự nhiên hoặc nhân tạo. Tinh thể thực cũng có cấu trúc tuần hoàn, nhưng khác với tinh thể lí tưởng ở chỗ: nó hữu hạn, nghĩa là có kích thước xác định; sự bố trí các nhóm nguyên tử ở các nút mạng không tuyệt đối giống hệt nhau mà có những sai hỏng. Những sai hỏng này có thể xảy ra trong phạm vi một nút hay một tập hợp nút. Ngoài ra, các nguyên tử không cố định mà thực hiện dao động quanh vị trí cân bằng của chúng. Tuy nhiên, khái niệm mạng tinh thể lí tưởng giúp ta bước đầu hiểu được bản chất dị hướng của các đặc trưng vật lý cũng như ảnh hưởng của cấu trúc tuần hoàn lên các tính chất đó của tinh thể thực. Mạng tinh thể được xác định bởi các chỉ số Miller (hkl). Chỉ số Miller cho phép xác định đường thẳng mạng, mặt phẳng mạng và hướng của mạng tinh thể. Ngoài ra, còn giúp ta xác định thể tích ô cơ sở. 1.3. Các tính chất đối xứng của mạng không gian Tất cả các tinh thể đều có một tính chất chung là tính chất tuần hoàn tịnh tiến. Ngoài ra, tùy vào các trường hợp cụ thể, chúng còn có (hoặc không có) các tính chất đối xứng khác nữa. Phép đối xứng của tinh thể được định nghĩa chung như sau: Nếu sau một phép biến đổi cứng rắn (không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất 2a 1a 1a 1a 2a 1a 2a 2a 2a 1a SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 5 ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °°°° ° ° ° ° °° 2 π × × Hình 1.2 kì trong tinh thể) nào đó mà mạng tinh thể chuyển sang một vị trí mới hoàn toàn giống như vị trí cũ (chỉ có sự đổi chỗ của các nguyên tử cùng loại), thì phép biến đổi này được gọi là phép đối xứng của tinh thể. Các phép biến đổi của mạng không gian là: đối xứng với phép tịnh tiến, đối xứng với phép quay quanh một trục xác định, đối xứng với phép nghịch đảo, đối xứng với phép phản xạ qua một số mặt phẳng. Đặc điểm cơ bản của mạng không gian là tính chất đối xứng của nó. Điều này được thể hiện ở chỗ mạng bất biến đối với một số phép biến đổi, hay nói một cách khác là mạng trùng lại với chính nó khi ta thực hiện một số phép biến đổi. Mạng không gian có tính chất đối xứng tịnh tiến. Điều này ta thấy được khi thực hiện một phép dịch chuyển toàn bộ mạng không gian đi một vectơ R , gọi là vectơ tịnh tiến: 332211 anananR ++= (n1, n2, n3 là những số nguyên). Sau phép dịch chuyển này, một nút mạng nào đó đến chiếm vị trí của nút mạng khác. Toàn bộ mạng không có gì thay đổi. Hai nút mạng bất kì được nối với nhau bằng vectơ tịnh tiến R . Nếu ta lấy điểm gốc ở một nút mạng, thì R là vectơ vị trí của các nút mạng, gọi là vectơ mạng. Mạng không gian có tính đối xứng với phép quay quanh một số trục. Thật vậy, ta hãy xét mạng vuông hai chiều như hình vẽ 1.2, có thể coi nó như hình chiếu của mạng không gian trên mặt phẳng, nghĩa là phía trên và phía dưới của mặt phẳng hình vẽ ta có những mạng vuông giống hệt như vậy. Khi ta quay mạng một góc 2 π (hay 4 1 vòng tròn) quanh trục vuông góc với mặt phẳng, đi qua một nút mạng (hoặc một trong các điểm có đánh dấu X như trên hình vẽ 1.2, thì mạng lại trùng với chính nó. Trục quay như vậy, gọi là trục quay bậc 4, và mạng đang xét đối xứng với phép quay quanh trục bậc 4. Mạng không gian chỉ có thể có trục quay bậc n = 2, 3, 4 và 6. Khi quay mạng một góc n πϕ 2= mạng lại trùng với chính nó. Không tồn tại các mạng có trục quay bậc 5, bậc 7 hoặc cao hơn. Mạng không gian có tính đối xứng nghịch đảo. Phép nghịch đảo là phép biến đổi, trong đó vectơ vị trí đổi dấu: r biến thành r− . Như vậy, mạng không gian có tâm đối xứng. Mạng vuông hai chiều trên hình vẽ 1.2 bất biến với phép nghịch đảo và có tâm đối xứng. Mạng không gian có thể đối xứng với phép phản xạ qua một số mặt phẳng. Phép nghịch đảo chính là gồm một phép quay góc π và phản xạ qua mặt phẳng vuông góc với trục quay và đi qua tâm đối xứng. Ở hình vẽ 1.3, ta có O là tâm đối xứng, m là mặt phẳng phản xạ, C là trục ph ản x ạ m ng hịc h đả o A’’ O A A’ C góc quay π Hình 1.3 SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 6 quay góc π. Các phép biến đổi đối xứng vừa nói đến ở trên, có thể cùng tồn tại ở một mạng không gian. Tuy nhiên, thực tế chỉ đối xứng với một số trong các phép biến đổi đó. 1.4. Phân loại mạng Bravais Dựa trên các tính chất đối xứng đối với nhóm tịnh tiến, các mạng Bravais được phân chia ra làm 14 loại. Ngoài tính đối xứng đối với nhóm tịnh tiến, mỗi mạng Bravais còn có tính đối xứng đối với một nhóm điểm nào đó. Các mạng có cùng một nhóm điểm tạo thành một hệ. Căn cứ vào tính đối xứng với các nhóm điểm khác nhau 14 mạng Bravais được chia làm 7 hệ, ứng với 7 loại ô sơ cấp khác nhau, đó là các hệ: lập phương, tứ giác, trực giao, trực thoi, đơn tà, tam tà, lục giác. Mỗi hệ được đặc trưng bởi quan hệ giữa các vectơ cơ sở 321 ,, aaa và các góc α, β, γ giữa các vectơ đó. 1.4.1. Hệ lập phương Hệ lập phương có a1 = a2 = a3 =a ; 090=== γβα . Ô sơ cấp là hình lập phương. Hệ có trục quay bậc 4 qua tâm của các mặt đối diện, bốn trục quay bậc 3 trùng với các đường chéo chính của hình lập phương, sáu trục quay bậc 2 qua điểm giữa của các cạnh đối diện, sáu mặt phẳng phản xạ đi qua các cạnh đối diện, ba mặt phẳng phản xạ chứa trục bậc và song song với các mặt của hình hộp. Hệ lập phương có ba loại mạng: lập phương đơn giản, lập phương tâm khối (hay còn gọi tâm thể), lập phương tâm mặt (hay còn gọi tâm diện). 1.4.2. Hệ tứ giác Hệ tứ giác có a1 = a2 ≠ a3 ; 090=== γβα . Ô sơ cấp có dạng hình lăng trụ đứng, đáy vuông. Hai phương 1a và 2a tương đương nhau. Phương của 3a phân biệt với hai phương trên và gọi là phương c . Hệ có một trục quay bậc 4 theo phương c , bốn trục quay bậc 2 vuông góc với trục bậc 4 và 5 mặt phẳng phản xạ. Hệ tứ giác có hai loại mạng: tứ giác đơn và tứ giác tâm khối. 1a γ 2a Hình 1.4 β α 3a Hệ lập phương: a1 = a2 = a3 ; 090=== γβα đơn tâm khối tâm mặt Hình 1.5 SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 7 1.4.3. Hệ trực giao (còn gọi là hệ vuông góc) Hệ trực giao có a1≠ a2 ≠ a3 ; 090=== γβα . Ô sơ cấp có dạng hình hộp chữ nhật. Hệ có ba trục quay bậc 2 vuông góc với nhau và ba mặt phẳng phản xạ vuông góc với các trục quay. Hệ trực giao có 4 loại mạng: trực giao đơn, trực giao tâm khối, trực giao tâm đáy, trực giao tâm mặt. 1.4.4. Hệ trực thoi (hay hệ tam giác) Hệ trực thoi có có a1 = a2 = a3 ; 090,, ≠γβα . Hệ có một trục quay bậc 3, ba trục bậc 2, cắt nhau dưới góc 600 và ba mặt phẳng phản xạ nằm giữa các trục bậc 2. Hệ chỉ có một loại mạng là mạng đơn. Hệ tứ giác: a1 = a2 ≠ a3 ; 090=== γβα đơn tâm khối Hình 1.6 Hệ trực giao: a1 ≠ a2 ≠ a3 ; 090=== γβα đơn tâm khối tâm mặt tâm đáy Hình 1.7 Hệ trực thoi:a1 = a2 = a3 ; 090,, ≠γβα Hình 1.8 SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 8 1.4.5. Hệ đơn tà Hệ đơn tà có a1≠ a2 ≠ a3 ; 00 90,90 ≠== αγβ . Hệ có một trục quay bậc 2 và mặt phẳng phản xạ vuông góc này. Hệ có hai loại mạng: đơn và tâm khối. 1.4.6. Hệ tam tà Hệ tam tà có a1≠ a2 ≠ a3 ; 090,, ≠γβα . Hệ chỉ đối xứng với phép nghịch đảo. Hệ chỉ có một mạng đơn. 1.4.7. Hệ lục giác Hệ lục giác có ô sơ cấp có dạng lăng trụ đứng, đáy là hình thoi, có góc 600. Tuy nhiên, để nhấn mạnh đến tính đối xứng của hệ lục giác, người ta thường ghép thêm vào hai ô sơ cấp nữa, đặt lệch nhau 1200, để có ô dưới dạng lăng trụ đứng, đáy lục giác, có nút mạng ở tâm hai đáy. Ô này có a1 = a2 ≠ a3 (a3 gọi là c); α = β = 900; γ = 1200. Hệ có một trục quay bậc 6, sáu trục quay bậc 2 cắt nhau góc 300, một mặt phẳng phản xạ vuông góc với trục bậc 6 và sáu mặt phẳng chứa trục bậc 6 và một trục bậc 2. 1.5. Sơ lược về hệ mạng tinh thể lập phương Hệ tinh thể lập phương là một hệ tinh thể có các ô sơ cấp hình lập phương. Đây là một trong những tinh thể đơn giản nhất và phổ biến nhất của các tinh thể kim loại. Hệ đơn tà: a1 ≠ a2 ≠ a3 ; 00 90,90 ≠≠= αγβ đơn tâm đáy Hình 1.9 Hệ tam tà: a1 ≠ a2 ≠ a3 ; 090,, ≠γβα đơn Hình 1.10 Hình 1.11 SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 9 Phổ biến nhất là lập phương tâm khối với các nguyên tố như: Na, Cr, W,……và lập phương tâm mặt như: Cu, Al, Pb, Fe… 1.5.1. Mạng tinh thể lập phương đơn giản Ô cơ sở (hay ô sơ cấp) hình lập phương, với cạnh là a. Trong một ô mạng cơ sở của tinh thể lập phương đơn giản có 8 nguyên tử ở 8 đỉnh. Mỗi nguyên tử này là chung cho 8 ô mạng cơ sở tiếp xúc nhau ở một đỉnh. Vậy trong một ô mạng cơ sở lập phương đơn giản có 1 nguyên tử vì: n = 8 1 .8 =1. Thể tích ô cơ sở của mạng lập phương đơn giản là : 3avc = . 1.5.2. Mạng tinh thể lập phương tâm khối So với một ô mạng lập phương đơn giản, mỗi ô mạng cơ sở của lập phương tâm khối có thêm một nguyên tử ở tâm của nó. Vậy trong một ô mạng cơ sở lập phương tâm khối có 2 nguyên tử. Như vậy, n = 8 1 .8 + 1 = 2 nguyên tử. Thể tích ô cơ sở của mạng lập phương tâm khối là : 2 3avc = . 1.5.3. Mạng tinh thể lập phương tâm mặt So với một ô mạng lập phương đơn giản, mỗi ô mạng cơ sở của lập phương tâm mặt có thêm 6 nguyên tử ở 6 mặt mà mỗi nguyên tử này cho hai mặt tiếp xúc nhau của hai ô mạng cơ sở tiếp xúc qua mặt đó. Vậy trong một ô mạng cơ sở lập phương tâm mặt có 4 nguyên tử. Như vậy, số nguyên tử trong một ô cơ sở là n = 8 1 .8 + 2 1 .6 = 4 nguyên tử. Thể tích ô cơ sở của mạng lập phương tâm mặt là : 4 3avc = . 2. Mạng đảo 2.1. Khái niệm mạng đảo Mạng đảo là một khái niệm hết sức quan trọng của vật lý chất rắn, do Josiah Willard Gibbs (1839 – 1903) đề xuất. Sự xuất hiện của mạng đảo là một hệ quả tất yếu của tính tuần hoàn tịnh tiến của mạng thuận (mạng tinh thể thực). Mạng không gian được xây dựng từ ba vectơ cơ sở là 1a , 2a , 3a , ta định nghĩa mạng đảo là mạng được xây dựng từ ba vectơ 1b , 2b , 3b , được xác định như sau: Hình 1.12 Hình 1.13 Hình 1.14 SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 10 [ ][ ][ ][ ][ ][ ] 321 213 321 13 2 321 32 1 .2 .2 .2 aaa aab aaa aab aaa aab ∧ ∧= ∧ ∧= ∧ ∧= π π π (1.1.2) Các vectơ 1b , 2b , 3b , là các vectơ cơ sở của mạng đảo. Vị trí các nút mạng đảo được xác định bởi vectơ mạng đảo có dạng: 332211 bmbmbmG ++= (1.1.3) Trong đó: m1, m2, m3 là các số nguyên dương hoặc âm có thể bằng 0. 2.2. Tính chất của các vectơ mạng đảo Tính chất 1: 213 132 321 , , , aab aab aab ⊥ ⊥ ⊥ (1.1.4) Tính chất 2: ijji ba πδ2= (1.1.5) Trong đó: ijδ là kí hiệu Kronecker : ij 01 khi i j khi i j δ ≠⎧= ⎨ =⎩ 2.3. Các tính chất của vectơ mạng đảo Tính chất 1: Mạng đảo cũng là một mạng Bravais. Tính chất 2: Mạng đảo của mạng đảo của một mạng Bravais chính là mạng Bravais đã cho. Tinh chất 3: Mỗi một vectơ cơ sở của mạng đảo đều trực giao với một họ mặt phẳng mạng nào đó của mạng thuận. Tính chất 4: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng thuộc họ (hkl) được xác định theo công thức: hkl hkl b d π2= (1.1.6) 2.4. Ô cơ sở của mạng đảo Cách thông thường để xây dựng ô cơ sở của mạng đảo là xây dựng hình hộp không gian trên cơ sở các vectơ 1b , 2b , 3b . Ô cơ sở Wigner – Seitz của mạng đảo được gọi là vùng Brillouin (thứ nhất) của mạng thuận. SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 11 Có thể tính ra rằng thể tích v của ô cơ sở của mạng Bravais (mạng thuận) và thể tích Ω của mạng đảo liên hệ với nhau theo công thức: ( ) v 32π=Ω (1.1.7) 2.5. Ý nghĩa vật lý của mạng đảo Khái niệm mạng đảo nảy sinh ra một cách trực tiếp từ bài toán khai triển Fourier của một hàm tuần hoàn. Tuy vậy, ý nghĩa vật lý của khái niệm này sâu sắc và rộng lớn hơn nhiều vì nó đại diện cho tính chất tuần hoàn của mọi loại chuyển động xảy ra trong tinh thể tuần hoàn tịnh tiến. Có thể nói rằng khái niệm mạng đảo có các ý nghĩa vật lý sau đây: - Mạng đảo là khung của không gian chuyển động. - Mạng đảo thể hiện tính chất: Tinh thể tuần hoàn dẫn đến chuyển động cũng tuần hoàn. - Ý nghĩa thực tế: Khi nghiên cứu cấu trúc tinh thể bằng phương pháp nhiễu xạ tia X thì bức tranh thu được chỉ là ảnh của chùm tia bị tinh thể nhiễu xạ (chứ không phải ảnh chụp cách sắp xếp các nguyên tử trong tinh thể), bức tranh này chính là hình ảnh mạng đảo của tinh thể và từ đó ta có thể suy ra mạng thuận (mạng tinh thể thực). 3. Điều kiện tuần hoàn khép kín Born – Karman Trong thực tế không có tinh thể lớn vô hạn mà chỉ có tinh thể nhiều nguyên tử (N>>1), nếu tinh thể là hữu hạn thì các tính chất của tinh thể vô hạn, chẳng hạn tính đối xứng không còn đúng nữa, ta phải xét điều kiện ở biên tinh thể. Trong mạng tinh thể một chiều đó là đầu và biên của dãy nguyên tử. Tuy nhiên, nếu mạng tinh thể là đủ lớn thì ảnh hưởng của biên là rất nhỏ, và tính chất của tinh thể gần như khi mạng là vô hạn. Để đảm bảo tính chất tuần hoàn tịnh tiến của các nút trong mạng tinh thể. Chúng ta đưa ra điều kiện biên tuần hoàn Born – Karman như sau: Dao động của nguyên tử cuối dãy (nút thứ N) giống hệt như nguyên tử ở đầu dãy (nút thứ 1). Bằng cách đó, ta coi các dãy giống nhau được xếp kế tiếp nhau thành một dãy dài vô hạn. Cũng có thể tưởng tượng là mạng một chiều có đầu và cuối nối nhau thành một vòng kín. Giả thiết là điều kiện tuần hoàn giúp cho việc tính toán được thuận lợi nhưng không ảnh hưởng gì đến kết quả vật lý. Từ điều kiện tuần hoàn, ta thấy dao động thứ m và dao động thứ (m + N) là như nhau: ( ) taNmqiNmm Aerr ϖ−++ == ( ) iqNatqmai eAe ϖ−= iNqamer= Muốn vậy: 1=iqNae Hay: πnqNa 2= (với Ζ∈n ) SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 12 Hoặc: n LNa nq ππ 22 == (1.1.8) Với L là chiều dài của dãy nguyên tử. Trong mạng một chiều a q a ππ ≤≤− , vì vậy; các giá trị nằm trong khoảng: 22 NnN ≤≤− . Các giá trị này cho ta N giá trị khác nhau của q. Như vậy, điều kiện tuần hoàn đã đưa đến sự gián đoạn của các vectơ sóng q. Các giá trị này cách nhau Na π2 . Trong phổ ω(q) chỉ cho các giá trị của ω ứng với N giá trị của q. II. Lý thuyết cổ điển về dao động mạng tinh thể 1. Dao động chuẩn của mạng tinh thể Các nguyên tử trong vật rắn thực hiện dao động xung quanh vị trí cân bằng của mình. Khi dao động thì chúng tương tác với nhau mạnh, dao động này rất phức tạp. Việc mô tả một cách chính xác chuyển động của dao động này vô cùng khó khăn. Vì thế, trong đề tài này tôi đã sử dụng phương pháp gần đúng và các cách đơn giản hóa khác nhau để giải bài toán này. Thay cho việc mô tả dao động của từng hạt riêng lẻ, ta khảo sát sự chuyển động của cả hệ trong tinh thể như là chuyển động của một hệ được sắp xếp một cách đều đặn trong không gian. Cơ sở của việc đơn giản hóa này là ở chỗ các lực liên kết giữa các hạt trong hệ mạnh, dao động xuất hiện ở một hạt sẽ nhanh chóng lan truyền đến hạt bên cạnh, bằng cách đó trong tinh thể xuất hiện chuyển động của tất cả các hạt trong hệ dưới dạng sóng đàn hồi. Chuyển động dao động này của cả hệ được gọi là dao động chuẩn. Số các dao động chuẩn có thể xuất hiện trong mạng bằng số bậc tự do của các hạt có trong tinh thể, tức là 3N (trong đó N là số hạt có trong tinh thể). 2. Bài toán dao động mạng Những tính chất quan trọng của vật rắn đều liên quan đến tính dao động của mạng tinh thể. Mỗi nguyên tử ở nút mạng (có thể là ion hoặc phân tử) tương tác với những nguyên tử khác và có một vị trí cân bằng trung bình mà nó dao động xung quanh. Quá trình này không chỉ hạn chế ở nút mạng đó mà nhờ lực tương tác dao động được lan truyền khắp mạng. Đặc trưng của những sóng dao động này phụ thuộc vào hai yếu tố: loại lực liên kết và cấu trúc của mạng. Yếu tố thứ nhất liên quan đến bản chất của nguyên tử trong tinh thể và sự tương tác giữa chúng. Yếu tố thứ hai liên quan đến sự sắp xếp các nguyên tử ở trong mạng. Thực ra hai yếu tố này không hoàn toàn tách rời nhau ra mà có ảnh hưởng lẫn nhau. Với những tinh thể đã cho những dao động tinh thể riêng này, hay nói cách khác phonon quyết định những tính chất quan trọng của chất rắn. Trong tinh thể các nguyên tử phân tử không hoàn toàn nằm cố định tại các nút mạng hay các vị trí xác định mà luôn luôn thực hiện dao động nhỏ quanh vị trí cân bằng. Ta xét tinh thể gồm N ô sơ cấp có khối lượng M. Năng lượng dao động của tất cả các nguyên tử trong mạng là: UKE đ += (1.2.1) SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 13 Trong đó: ∑ = = N n nđ rMK 1 2 2 1 &r (1. 2. 2) là động năng của các nguyên tử dao động. nr r là độ lệch của nguyên tử khỏi nút thứ n với vectơ mạng nR . nr r& là vận tốc của nguyên tử ở nút nR . Để viết ra dạng tuần hoàn thế năng thì cần phải biết trước lực tác dụng của nguyên tử. Song có thể giải thích một cách tổng quát rằng: Tồn tại một hàm U = U 1 2( , ,..., )Nl l l r ur uur nào đó biểu thị sự phụ thuộc có tính chất tuần hoàn của thế năng tinh thể vào tọa độ của tất cả các nguyên tử trong tinh thể, hay đúng hơn là độ dịch chuyển tức thời của các nguyên tử này. Hàm U = U 1 2( , ,..., )Nl l l r ur uur là thế năng của hệ được tạo nên do tương tác đẩy và hút giữa các nguyên tử trong tinh thể. Vectơ nl ur là vectơ vị trí của nguyên tử thứ n: nnn rRl += (1.2.3) Do đó: ( )NN rRrRrRUU +++= ,...,, 2211 (1.2.4) nr r là độ lệch nhỏ quanh vị trí cân bằng nR , nên có thể phân tích U thành chuỗi Taylor theo nr r . Trong hệ tọa độ Đecac, ta có: 23 3 3 0 1 1 1 1 1 1 1 2 N N N n n m n n mn n m U UU U r r r l l lα α βα α βα α β= = = = = = ⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂= + + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑∑ ∑∑∑∑ (1.2.5) nr r có hình chiếu trên các trục là rnα ; α =1, 2, 3 ứng với x, y, z. Trong biểu thức (1. 2. 5), U0 = U 1 2( , ,..., )nR R R uur uur uur là giá trị thế năng khi mọi hạt đều ở vị trí cân bằng (tức là nằm ở các nút mạng, và mọi rn = 0). Chỉ số 0 là kí hiệu các đại lượng ở vị trí cân bằng. Ta giới hạn khai triển ở số hạng bậc 2, tức là xét phép gần đúng điều hòa. Khi mọi nguyên tử đều nằm ở vị trí cân bằng, thế năng của hệ là cực tiểu. Do đó, đạo hàm số hạng bậc nhất của thế năng U ở vị trí cân bằng bằng 0: 0 n U l α ⎛ ⎞∂ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠ . Mặt khác, ta biết thế năng được xác định sai kém một hằng số. Nếu ta lấy gốc thế năng là giá trị U0, thì có thể bỏ qua số hạng không đổi đó. Khi đó biểu thức (1. 2. 5) sẽ trở thành: 23 3 1 1 1 1 1 2 N N n m n m n m UU r r l l α βα β α β= = = = ⎛ ⎞∂= ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠∑∑∑∑ (1.2.6) Thế năng theo (1. 2. 6), chỉ chứa số hạng bậc hai theo độ dời, đó là số hạng điều hòa. Biết được hàm thế năng U, có thể xác định được lực tác dụng. Thành phần β của lực tác dụng lên nguyên tử thứ m là: 23 1 1 N m n nm n m U UF r r l lβ ααβ α β= = ⎛ ⎞∂ ∂= − = − ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠∑∑ (1.2.7) SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 14 Lực này phụ thuộc vào độ dịch chuyển nr r của các nguyên tử khác vào các hệ số có dạng 2 0n m U l lα β ⎛ ⎞∂⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ . Hệ số này đặc trưng cho lực tương tác giữa hai nguyên tử thứ n và thứ m. Nó không phụ thuộc vào vị trí cụ thể của từng nguyên tử mà vào khoảng cách giữa hai hạt khi chúng cùng ở vị trí cân bằng, tức là vào n mR R− uur uur . Ta có thể viết: ( )2 0 n m n m U U R R l l αβα β ⎛ ⎞∂ = −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ uur uur (1.2.8) Biểu thức của định luật II Newton cho nguyên tử thứ m theo (1.2.7) và (1.2.8) là các phương trình có dạng: ( )3 1 1 . N m m n m n n Mr F U R R rβ β αβ α α= = = = − −∑∑ uur uur&& (1.2.9) Để biết được chuyển động của mọi nguyên tử, ta phải giải một hệ rất lớn (3N phương trình) các phương trình vi phân liên hệ với nhau có dạng như phương trình (1.2.9). 2.1. Dao động của mạng một chiều, một nguyên tử Ta xét trường hợp đơn giản nhất là trường hợp “mạng tinh thể một chiều” gồm các nguyên tử giống nhau, đặt cách đều nhau trên một đường thẳng. Kết quả của bài toán này cũng áp dụng được cho tinh thể ba chiều nếu ta xét trong một số trường hợp đặc biệt, khi sóng đàn hồi thuần túy là dọc hoặc thuần túy ngang. Trong sóng dọc các nguyên tử dịch chuyển song song với phương truyền sóng, còn trong sóng ngang các nguyên tử dịch chuyển vuông góc với phương truyền sóng. Trong các trường hợp này, các nguyên tử nằm trên cùng một mặt phẳng tinh thể vuông góc với phương truyền sóng thì dao động giống nhau. Vì thế thay cho việc nghiên cứu dao động của mọi nguyên tử trong tinh thể, ta chỉ cần xét trên mỗi mặt phẳng tinh thể một nguyên tử. Bài toán này được quy về trường hợp mạng tinh thể một chiều. Để cho đơn giản, giả thiết với dãy nguyên tử một chiều, ta chỉ xét sóng ngang, và coi như chỉ có tương tác giữa nguyên tử đang xét với hai nguyên tử gần nó nhất. Các nguyên tử cách đều nhau một khoảng a nên ô mạng có kích thước là a. Ta viết lại rs - 2 q Sóng ngang rs - 1 rs rs + 1 rs + 2 n + 1 rn - 1 rn + 1 rn + 2 rn + 3 rn + 4 n - 1 n n + 2 n + 4 n + 3 q Sóng dọc Hình 1.15 SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 15 phương trình chuyển động cho nguyên tử thứ m, nhưng bỏ chỉ số α, β, vì đã giả thiết chỉ xét dao động vuông góc với dãy nguyên tử. Khi đó, theo (1.2.9), ta có: ( ) nN n mnm rRRUFrM ∑ = −−== 1 && (1.2.10) Vì chỉ có tương tác giữa hai nguyên tử gần nguyên tử m nhất là đáng kể nên trong tổng ở vế phải chỉ còn lại số hạng ứng với n = m, n = m + 1 và n = m – 1. Ta lại giả thiết rằng lực tương tác là lực đàn hồi, tức là tỉ lệ với độ dời khỏi vị trí cân bằng. Ở đây, vị trí cân bằng ứng với rm = rm+1 = rm – 1= 0. Do đó, phương trình chuyển động là: ( ) ( )11 −+ −−−−= mmmmm rrrrrM αα&& (1.2.11) Hay: ( )112 −+ −−−= mmmm rrrrM α&& (1.2.12) Nghiệm của các phương trình này là một hàm sóng mô tả sự dao động của nguyên tử và sự lan truyền của dao động dọc theo tinh thể. Ta tìm nghiệm dưới dạng sóng: ( )tqRi m mAer ω−= (1.2.13) Ta chọn gốc O sao cho Rm = a.m thì: ( )tqmaim Aer ω−= Lấy đạo hàm cấp 1 và cấp 2 của rm ta được: ( ) ( ) mtiiqmam tiiqma m reiAer eiAer 22 ωω ω ω ω −=−= −= − − && & Sau đó ta thay vào phương trình (1.2.12) và giản ước hai vế ta có: ( )iqaiqa eeM −−−−=− 22 αω (1.2.14) Sử dụng công thức Ơle qaiqaeiqa sin.cos += ta thu được: ( )qaM cos122 −= αω (1.1.15) Từ đó, ta tìm được biểu thức cho tần số góc của dao động: ( ) 2 sin4cos12 22 qa M qa M ααω =−= 2 sin 2 sin.2 max qaqa M hay ωαω == (1.2.16) Trong đó: M αω 2max = Biểu thức (1.2.16) cho ta sự phụ thuộc của tần số góc ω vào q ))(( qωω = và được gọi là hệ thức tán sắc của dao động, với q là độ lớn của a π ω M α2 a π− q O Hình 1.16 SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 16 vectơ sóng q . Vectơ này có cùng phương chiều với hướng lan truyền của sóng. Hình 1.16 biểu diễn sự phụ thuộc của ω theo q. Sau đây, ta sẽ khảo sát sự phụ thuộc của )(qωω = ; ω là hàm tuần hoàn của q với chu kỳ a π2 . Thật vậy, nếu có : q’= q + a π2 thì: ( ) ( ) mmmitqamimitamqim rreeAeAer ==== −− πωπω 22' ' vì ei2πm = 1. Như vậy, vectơ sóng q và ' q mô tả cùng một trạng thái dao động của mạng tinh thể ứng với một giá trị ω của tần số dao động; nghĩa là q và q’ tương đương nhau về tính chất vật lí. Do tính tuần hoàn này ta chỉ cần xét ω trong khoảng a π2 trên trục q. Người ta thường chọn khoảng a π2 đối xứng quanh gốc O, tức là a q a ππ ≤≤− , khoảng này chứa mọi giá trị khả dĩ của ω. q có thứ nguyên của nghịch đảo chiều dài, nên đó chính là đại lượng được xét trong không gian mạng đảo. Trong trường hợp đang xét mạng thuận có chu kì a, thì mạng đảo có chu kì a π2 . Mạng đảo của mạng một chiều là mạng một chiều. Khoảng giá trị a q a ππ ≤≤− trong mạng đảo gọi là vùng Brillouin thứ nhất. Nếu xét tại một thời điểm, thì trạng thái dao động của tinh thể lặp lại một cách tuần hoàn trong không gian, với chu kì là bước sóng λ. Dựa vào biểu thức của hàm sóng ( )tqRi m mAer ω−= , ta có: ( ) ( )[ ]tRqitqRi mm AeAe ωλω −+− = hay eiqλ = 1. Điều này chỉ xảy ra khi: q = λ π2 . 2.1.1. Trường hợp q rất nhỏ (qa<<1) Ở gần tâm vùng Brillouin thứ nhất, tức là với qa<<1, thì sin 22 qaqa ≈ . Do đó: qa M qa M ααω == 2 2 (1.2.17) Ta đi tính vận tốc nhóm của sóng, tức là vận tốc truyền năng lượng dao động trong môi trường: consta Mdq dvg === .αω (1.2.18) Như vậy với giá trị q nhỏ, tức là dao động với bước sóng λ lớn, vận tốc truyền năng lượng dao động là một hằng số. Kết quả này cũng giống như đối với sóng đàn hồi truyền trong môi trường liên tục. 2.1.2. Trường hợp a q π±= Với những giá trị q lớn, vận tốc truyền sóng không còn là hằng số. Khi đó: SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 17 2 cos. qa M a dq dvg αω == (1.2.19) Ở giá trị q = qmax = a π± , vận tốc truyền sóng vg = 0. Như vậy, ở biên vùng Brillouin vận tốc truyền sóng bằng 0, ứng với sự tạo thành sóng đứng. Với qmax = a π± , ta có λmin = 2a. Đó là giá trị bước sóng ngắn nhất có thể tồn tại trong mạng tinh thể. Nó ứng với trường hợp hai nguyên tử lân cận dao động ngược pha nhau nhưng với biên độ bằng nhau. 2.2. Dao động của mạng một chiều, hai nguyên tử Ta xét trường hợp phức tạp hơn, là trường hợp mạng một chiều có chứa hai loại nguyên tử khác nhau. Để cho xác định ta giả thiết, hai loại nguyên tử có khối lượng khác nhau. Giả sử các nguyên tử có khối lượng M1 và M2 đặt xen kẽ nhau, cách đều nhau một khoảng a. Ta giả thiết chỉ xét tương tác giữa hai nguyên tử cạnh nhau, và bỏ qua tương tác xa hơn và chỉ xét sóng ngang. Như vậy, ô sơ cấp có kích thước 2a và mỗi ô chứa hai nguyên tử. Gọi độ lệch của các nguyên tử ở ô thứ m là r1,m và r2,m, ta có thể viết hệ phương trình như sau: ( ) ( )( ) ( )⎩⎨ ⎧ −−−−= −−−−= +− − 1,1,21,1,2,22 ,2,11,2,1,11 mmmmm mmmmm rrrrrM rrrrrM αα αα && && (1.2.20) Ta cũng tìm nghiệm dưới dạng sóng chạy, mà biên độ sóng cho hai loại nguyên tử A1 và A2: ( ) ( )⎩⎨ ⎧ = = − − tamqi m tamqi m eAr eAr ω ω 2 1,1 2 1,1 (1.2.21) Thay (1.2.21)vào (1.2.20), sau khi giản ước ta có hệ phương trình : ( )( )⎩⎨ ⎧ ++−=− ++−=− − qai qai eAAAM eAAAM 2 1222 2 2 2111 2 12 12 ααω ααω (1.2.22) Biến đổi hệ phương trình trên ta được: ο ο ο ο a a M1 M2 M2 M1 M2 M1 M2 m - 1 m + 1 m r1m Hình 1.17 SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 18 ( ) ( )⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −++ =++⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − 021 012 2 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 A M Ae M Ae M A M qai qai αωα ααω (1.2.23) Giải hệ phương trình này, ta tìm được các ẩn A1, A2 và ω(q). Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm không tầm thường là định thức các hệ số của A1, A2 phải bằng o. Tức là: ( ) ( ) 021 12 2 22 2 2 11 2 = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −+ +⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − M e M e MM qai qai αωα ααω (1.2.24) Đây là phương trình trùng phương đối với ω: ( ) 02cos1 . 2 . 2 21 2 2 21 214 =−++− qa MMMM MM αωαω giải phương trình này ta có hai nghiệm: qa MMMMMM 2 21 2 2121 2 sin. . 41111 −⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +±⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +=± ααω (1.2.25) * Ta xét nghiệm ω-: + Khi q = 0, ω- = 0 + Khi q nhỏ, sin2qa ≈ q2a2. Do đó: qa MM . 21 + =− αω (1.2.26) Như vậy, ở gần tâm vùng Brillouin ω tỉ lệ với q (ω∼q). + Khi a q 2 π±= , thì sin2qa = 1 và khi đó: 2 2 M αω =− (1.2.27) * Ta xét nghiệm ω+: + Khi q = 0, 21 21 . 2 MM MM +=+ αω (1.2.28) + Khi a q 2 π±= , 2 2 M αω =+ (1.2.29) SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 19 Giả thiết M1 > M2, thì sự phụ thuộc của ω theo q trong trường hợp mạng có hai nguyên tử được biểu diễn như trên hình 1.18. Ta nhận thấy rằng ω phụ thuộc vào q một cách tuần hoàn với chu kì a π . Vì vậy, ta cũng chỉ xét với các giá trị của q nằm trong vùng Brillouin thứ nhất a q a 22 ππ ≤≤− (vì hằng số mạng là 2a). Đồ thị ω(q) gồm hai nhánh. Nhánh dưới ứng với ω- có dạng giống như trường hợp mạng tinh thể có chứa một loại nguyên tử. Ở q = 0, ω = 0. Với các giá trị q bé, ω∼q. Ở các giá trị a q 2 π±= , ω = ωmax. Như vậy, ở vùng gần tâm vùng Brillouin, vận tốc truyền năng lượng dao động là hằng số, và chính là bằng vận tốc truyền âm. Vì vậy, nhánh ứng với ω- còn được gọi là nhánh âm học. Dựa vào hình vẽ ở trên, ta có thể rút ra một nhận xét quan trọng. Trên phổ ω(q) có một khoảng giá trị từ 21 22 MM αωαω =÷= +− không ứng với nghiệm nào của phương trình truyền sóng trong mạng tinh thể. Hay là, trong mạng tinh thể không có dao động ứng với tần số trong khoảng đó. Đó là đặc điểm của mạng tinh thể có nhiều nguyên tử trong một ô sơ cấp. Trong trường hợp này, ở biên vùng Brillouin thứ nhất có một khu vực cấm. Sóng ứng với tần số trong khu vực đó không lan truyền trong tinh thể được, mà bị hấp thụ mạnh. Nhánh trên biểu diễn ω+. Ở nhánh này, ω ít thay đổi theo q. Ở q = 0, ta có 21 21 max 2 MM MM +=+ αω . Còn ở a q 2 π±= , ta có 2 min 2 M αω =+ , nhánh này gọi là nhánh quang học. Ta trở lại xét các nghiệm r1,m và r2,m ở (1.2.21) xét khi q = 0, thay giá trị ω+ ở (1.2.28) vào (1.2.23), ta thu được: 1 2 2 1 M M A A −= . Mà m m r r A A ,2 ,1 2 1 = nên hai loại nguyên tử q O a2 π− ω 1 2 M α 2 2 M α 21 21 . 2 MM MM +α a2 π Vùng Briloanh thứ nhất Nhánh quang ω+ Nhánh âm ω- Hình 1.18 + + + - - - - + + q Nhánh dao động quang + + + - - -- + + Nhánh dao động âm q Hình 1.19 SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 20 M1 và M2 dao động ngược pha nhau (vì r1,m và r2,m trái dấu nhau). Trong tinh thể ion, các nguyên tử M1 và M2 mang điện tích trái dấu nhau. Khi chúng dao động, mômen lưỡng cực điện do chúng tạo nên cũng biến đổi tuần hoàn. Ánh sáng (sóng điện từ) tương tác mạnh với dao động mạng thuộc loại này. Nói cụ thể hơn, vectơ điện trường E của ánh sáng tương tác mạnh nới mômen lưỡng cực của tinh thể, nếu ánh sáng có tần số bằng ω+. Chính vì lí do đó, mà nhánh này được gọi là nhánh quang học. Khi q ≈ 0, thì với nhánh âm học (ω-), các nguyên tử dao động gần như cùng pha với nhau giống như các dao động âm học có bước sóng lớn. Sự xuất hiện hai nhánh: âm học và quang học trong phổ dao động của mạng tinh thể là kết quả của việc mạng tinh thể có gốc, tức là trong ô sơ cấp có hai nguyên tử hoặc nhiều hơn. 3. Dao động mạng ba chiều Đối với bài toán dao động của mạng ba chiều chứa một loại nguyên tử ta cần tìm nghiệm cho hệ phương trình có dạng như sau: ( )3 1 1 . N m m n m n n Mr F U R R rβ β αβ α α= = = = − −∑∑ uur uur&& (1.2.30) Xét mạng không gian có N nguyên tử thể tích V, mỗi ô cơ sở có một nguyên tử (tất cả các nguyên tử giống nhau). Phương trình định luật II Newton: ( ) ( ) ( ) 0 0 0 3 1 3 1 3 2 1 3 1 2 1 1 3 1 1 =−+ =−+ =−+ ∑∑ ∑∑ ∑∑ = = = = = = β β αβα β β αβα β β αβα mm N m mm N m mm N m rRRUrM rRRUrM rRRUrM && && && (1.2.31) Như vậy, ta sẽ có 3N phương trình, giải hệ phương trình có 3N phương trình đó ta thu được nghiệm tổng quát của độ lệch so với vị trí cân bằng của nguyên tử thứ N theo phương α (chuyển từ tọa độ không gian sang số vectơ sóng). Như đã thấy, nói chung tần số ω và biên độ A của dao động đều là hàm của vectơ sóng q . Trong trường hợp ba chiều, mr là vectơ có hình chiếu lên ba phương của không gian là rmβ (β = 1,2,3 ứng với x, y, z). Nghiệm của hệ phương trình trên được tìm dưới dạng sóng, là tổng hợp các sóng có ω khác nhau và A khác nhau: ( ) ( ) ( )[ ]tqRqi q m meqAqe NM r ωββ −∑= 1 (1.2.32) Với ( )qeβ là các hệ số thực và ( )qA là biên độ dao động. Tổng lấy theo các giá trị của q trong vùng Brillouin thứ nhất. ta giả thiết mạng tinh thể đơn giản, trong mỗi ô sơ cấp có một nguyên tử. Tinh thể có N1, N2, N3 nguyên tử lần lượt theo các phương x, y, z. Ta áp dụng điều kiện biên tuần hoàn cho cả ba phương, thì các giá trị hình chiếu của q lên các phương cũng trở nên gián đoạn. Tinh thể chứa N = N1.N2.N3 SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 21 nguyên tử, thì trong vùng Brillouin thứ nhất có N giá trị của vectơ sóng q . Mặt khác, thể tích của vùng Brillouin thứ nhất (cũng là thể tích của ô sơ cấp mạng đảo) là v 38π với v là thể tích ô sơ cấp của mạng thuận. Nếu tinh thể có thể tích V, và chứa N ô sơ cấp thì thể tích của ô sơ cấp là N Vv = . Do đó, thể tích của vùng Brillouin là N V .8 3π và ứng với mỗi vectơ sóng là một ô nhỏ có thể tích V 38π của vùng Brillouin. Các vectơ q có gốc ở tâm vùng Brillouin và có ngọn ở một trong các ô này. Như vậy, trong một đơn vị thể tích không gian đảo, có 38π V giá trị của vectơ q ở phương trình (1.2.32) NM 1 được gọi là hệ số chuẩn hóa, với M là khối lượng nguyên tử. Ta thay rmβ ở (1.2.32) vào phương trình (1.2.30), ta có: ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]tqRqi q N n mn tqRqi q nm eqAqeRRUeqAqeqM ωα α αβ ω βω − = = − ∑∑∑∑ −= . 1 3 1 2 Sau khi rút gọn ta thu được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0.. 1 3 1 2 =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −− − = = −∑ ∑∑ tqi q N n RRqi mn eqAeqeRRUqeqM mn ω α ααββω (1.2.33) Đây là phương trình để tìm ( )qA vì ( ) ( )tqieqA ω−. khác không, nên hệ phương trình được thỏa mãn nếu: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑ = = −−= N n RRqi mn mneqeRRUqeqM 1 3 1 2 . α ααββω (1.2.34) Phương trình này liên hệ với nút mạng thứ m đang xét với tất cả các nút mạng khác thông qua khoảng cách mn RR − . Nên ta đặt: mn RRh −= (1.2.35) Và: ( ) ( ) hiq h ehU M qG ∑= αβαβ 1 (1.2.36) Thì ta sẽ có được: ( ) ( ) ( ) ( ) 0.. 3 1 2 =+− ∑ = qeqGqeq α α αββω (1.2.37) đây là hệ phương trình tìm ( )qeβ với β = 1, 2, 3. Muốn có nghiệm không tầm thường thì định thức của các hệ số phải bằng 0: SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 22 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 02 2 2 = +− +− +− qGqqGqG qGqGqqG qGqGqGq zzyzxz zyyyxy zxyxxx ω ω ω (1.2.38) Định thức này là phương trình bậc 3 đối với ( )q2ω nên nói chung có ba nghiệm: ( )q21ω ; ( )q22ω ; ( )q23ω , ứng với các tần số ω = ( )qsω , s = 1, 2, 3 ( chỉ lấy nghiệm ω > 0). Vậy có 3 nghiệm ( )qω , chúng ứng với ba nhánh trong phổ của ( )qω . Muốn xác định được các ( )qω , ta phải biết các ma trận ( )qGαβ , rức là biết ( )hUαβ . Khi biết được các ( )qsω , thay giá trị của nó vào (1.2.37) ta tìm được các hình chiếu ( ) ( )qe sβ của vectơ ( ) ( )qe s . Vì có ba nghiệm ( )qsω (s =1, 2, 3), nên cũng có ba vectơ ( ) ( )qe s . Ta sẽ xét đến một số tính chất của ( ) ( )qe s . Các hình chiếu của chúng là nghiệm của phương trình (1.2.37) nên cũng là hàm riêng của ma trận ( )qGαβ . Ma trận ( )qGαβ là ma trận tự liên hợp. Bởi vì: ( ) ( )nmmn RRURRU −=− βααβ (1.2.39) Nên: ( ) ( )hUhU −= βααβ (1.2.40) Từ (1.2.36) và (1.2.40) ta suy ra ( )qGαβ là tự liên hợp. Khi đó, ta có: ( ) ( ) ( )qGehU M qG hiq h αβαββα =−= −∗ ∑ .1 (1.2.41) Ta đã biết hàm riêng của các ma trận tự liên hợp ứng với các trị riêng khác nhau. Ở đây ( )qsω chính là các trị riêng. Do đó các nghiệm ( ) ( )qe 1 , ( ) ( )qe 2 , ( ) ( )qe 3 của hệ phương trình (1.2.37) trực giao nhau. Ta có thể chuẩn hóa các vectơ ( ) ( )qe s sao cho bình phương của vectơ bằng đơn vị. Điều kiện trực giao là: ( ) ( ) ( ) ( ) 11. ssss qeqe δα α α =∑ (1.2.42) Các vectơ ( ) ( )qe s xác định sự phân cực của sóng. Mỗi vectơ đó cho biết ứng với giá trị vectơ sóng q và ứng với tần số ( )qsω thì nguyên tử dao động theo phương nào. Với các phương q tùy ý, nói chung sự phân cực là phức tạp. Tuy nhiên, trong một số trường hợp có thể phân biệt được trong dao động của tinh thể một vectơ phân cực (chẳng hạn ( ) ( )qe 1 ) dọc theo vectơ sóng q và hai vectơ còn lại ( ( ) ( )qe 2 và ( ) ( )qe 3 ) vuông góc với nhau và vuông góc với phương vectơ q . Điều này xảy ra khi vectơ q hướng theo q ( ) qe 1 ( ) qe 2 ( ) qe 3 Hình 1.20 SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 23 các phương đối xứng của tinh thể, hoặc ở giới hạn sóng dài (ứng với các giá trị q nhỏ), khi tinh thể có thể coi như môi trường đẳng hướng. Trong trường hợp này, có một sóng dọc và hai sóng ngang. Nói chung với phương q bất kì, không có sóng thuần túy dọc hoặc sóng thuần túy ngang. Các yếu tố ma trận ( )0αβG có eiqh = 1. Do đó: ( ) ( )hU M G h ∑= αβαβ 10 (1.2.43) Từ phương trình (1.2.7) và (1.2.8), nếu mọi nguyên tử dịch chuyển đi một khoảng b như nhau theo cùng một phương, chẳng hạn phương α thì mọi rnα = b và lực Fmβ sẽ là: ( )bRRUF N n mnm . 1 ∑ = −−= αββ (1.2.44) Như vậy, có nghĩa là toàn bộ tinh thể đều dịch đi một đoạn b theo phương α, và do đó không có lực tác dụng lên nguyên tử thứ m. Khi đó phương trình (1.2.44) sẽ là: ( ) ( ) ( ) 00. 11 ==−=− ∑∑∑ == hURRUhayRRUb h N n mn N n mn αβαβαβ Từ đó, suy ra: Gαβ(0) = 0 (1.2.45) Như vậy, theo (1.2.37) và (1.2.45) ( )qsω tiến đến không khi q→0. Đó là đặc trưng của sóng âm truyền trong môi trường đàn hồi đẳng hướng. Vì vậy, ( )qsω ứng với ba nhánh âm học trong phổ ( )qω . Theo các phương đối xứng ta có một nhánh âm ứng với sóng dọc và hai nhánh âm ứng với sóng ngang. Trong trường hợp chung không phân được nhánh nào ứng với sóng dọc, nhánh nào ứng với sóng ngang, nhưng vẫn có ba nhánh âm học. Trong vùng Brillouin thứ nhất có N giá trị của vectơ q . Vì có ba phương phân cực ứng với ( ) ( )qe s (với q, s = 1, 2, 3) nên có tất cả 3N trạng thái. Số trạng thái trùng với số bậc tự do của các nguyên tử trong tinh thể (N nguyên tử có 3N bậc tự do). Vì có tất cả ba phương phân cực, nên nghiệm của phương trình (1.2.32) được viết dưới dạng có chứa chỉ số s: ( ) ( ) ( ) ( )[ ]tqRqis q s s m smeqAqe NM r . 3 1 1 ω ββ − = ∑∑= (1.2.46) Nếu ô sơ cấp chứa p nguyên tử thì dao động của nguyên tử thứ j ở ô thứ m, theo phương β được viết dưới dạng: o ω q a π a π− Hình 1.21 SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 24 ( )( ) ( ) ( )[ ]tqRqijs q p s s j j jm smeqAqe NM r . 3 1 1 ω ββ − = ∑∑= (1.2.47) Trong đó: Mj là khối lượng của nguyên tử thứ j; N là ô sơ cấp trong tinh thể, còn s lấy giá trị từ 1 ÷ 3p. Lập luận tương tự như trên thay cho (1.2.38) ta có phương trình: ( ) ( ) 0''2 =− qGq jjjj αβαβδδω (1.2.48). Biểu thức trong dấu định thức là công thức tổng quát cho các số hạng của định thức. Định thức này có 3p hàng, 3p cột chính là phương trình bậc ba 3p đối với ω2. Nó có 3p nghiệm dương: ( ) psqs 3...,,2,1; ==ωω (1.2.49) Trong số các nghiệm này, có ba nghiệm ứng với ( ) 00 →→ qkhiqω . Chúng ứng với các dao động âm học. Còn 3(p-1) tần số còn lại ứng với các dao động quang học, có tần số ω không tiến tới không khi 0→q . Phổ dao động của tinh thể gồm ba nhánh âm học và 3. (p- 1) nhánh quang học. 4. Tọa độ chuẩn Nghiệm của phương trình dao động có thể biểu diễn dưới dạng khác, nếu ta đặt: ( ) ( ) ( ) tqisS seqAqB .ω−= (1.2.49) Khi đó (1.2.46) trở thành: ( ) ( ) ( ) mRqis q s s m eqBqeNM r ∑∑ = = 3 1 1 ββ (1.2.50) Và: ( ) ( ) ( ) mRqis q s s m eqBqeNM r && ∑∑ = = 3 1 1 ββ (1.2.51) Sử dụng nghiệm dưới dạng này, ta hãy tính năng lượng dao động theo (1.2.1), (1.2.2) và (1.2.6). Trước tiên, ta sẽ tính động năng của các nguyên tử. Theo (1.2.2): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑∑∑∑∑∑∑ + = = == == n Rqqi ss s q q s s s n n neqBqBqeqe N rMK 1 1 1 1 1 3 1 3 1 3 1 23 1 2 1 2 1 && β β β β β (1.2.52) Tổng cuối cùng có dạng ∑ j Rqi ne , với nR là vectơ vị trí nút mạng thứ n. Nếu ta áp dụng điều kiện biên tuần hoàn Born – Karman cho cả ba chiều của tinh thể, thì trạng thái dao động của nguyên tử ở nút có vectơ vị trí nR cũng giống như trạng thái của nguyên tử ở nút 11aNRn + , ở nút 22 aNRn + và ở nút 33aNRn + . Thay các giá trị này của nR vào biểu thức của dao động, ta thấy điều kiện tuần hoàn dẫn đến: 1332211 === aNqiaNqiaNqi eee (1.2.53) Dựa vào tính chất của vectơ mạng đảo, ta thấy các đẳng thức này thỏa mãn nếu: 3 3 3 2 2 2 1 1 1 222 b N kb N kb N kq πππ ++= (1.2.54) SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 25 với k1, k2, k3 là các số nguyên. Thay (1.2.54) và 332211 anananR ++= , vào ta có: ∑∑ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++= 321 3 3 3 2 2 2 1 1 1 ,, 211 nnn n N kn N kn N ki n Rqi e N e N n π (1.2.55) Trong đó, ni = 0, 1, 2, …Ni-1 (i = 1, 2, 3). Nếu ki ≠ 0, sử dụng công thức cho cấp số nhân, ta có: 0 1 1 2 21 1 2 = − −=∑− = i i ii i i ii N k kiN n N nki e ee π ππ (1.2.56) Vì 12 =ikie π . Do đó, vế phải của (1.2.55) chỉ khác không khi Gqhayq == 0 và khi đó tổng của (1.2.55) bằng 1. Vậy: ⎪⎩ ⎪⎨⎧ ≠≠ ===∑ Gqqkhi GqqkhieN n Rqi n ,00 ,011 (1.2.57) Trong công thức (1.2.55) ở tổng theo n, 1qq + cũng là vectơ sóng. Do đó, theo (1.2.57) tổng này chỉ khác không khi qq −=1 , hay Gqq +−=1 các vectơ sóng khác nhau một vectơ mạng đảo là tương đương nhau. Do vậy, ta chỉ cần giới hạn ở trong trường hợp qq −=1 . Và khi đó, (1.2.52) sẽ trở thành: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑∑∑ = = = −−= 3 1 3 1 3 11 1 12 1 β ββ q s s ss ss qeqeqBqBK & && (1.2.58) Vectơ mr biểu diễn độ lệch của nguyên tử khỏi vị trí cân bằng, nên nó là thực và do đó: ββ mm rr =* ( *βmr là đại lượng liên hợp phức của βmr ). Áp dụng vào (1.2.50), ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) mm Rqis q s sRqi s q s s eqBqeeqBqe ∑∑∑∑ = − = = 3 1 * 3 1 ββ (1.2.59) Chú ý rằng ( )qesβ là đại lượng thực, nên ( ) ( ) ( )qeqe ss ββ =* . q lấy các giá trị trong vùng Brillouin thứ nhất, tức là ứng với mỗi giá trị q thì có một giá trị - q trong tổng. Vì vậy, ở vế phải của (1.2.59), có thể thay tất cả các vectơ q bằng - q . Muốn cho đẳng thức (1.2.59) được thỏa mãn, thì: ( ) ( ) ( ) ( )qeqe ss ββ =− (1.2.60) ( ) ( )qBqB s=−*β (1.2.61) Do vậy, ta thu được biểu thức động năng như sau: ( ) ( )qBqBK s q s s * 3 12 1∑∑ = = & (1.2.62) SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 26 Thế năng trong tinh thể là : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )mn RqRqi n m mnss s q q s s s eRRUqBqBqeqe NM U 1 1 1 1 1 1 3 1 3 1 3 1 3 12 1 + = = = = ∑∑∑∑∑∑∑∑ −= αββ α β α (1.2.63) Đặt mn RRh −= tổng cuối cùng của biểu thức trên được viết lại như sau: ( ) ( ) ( ) ( )∑∑∑∑ ++ =− m qqRihqi h RqRqi n m mn mmn eehUeRRU 11 αβαβ (1.2.64) Do đó: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )qGqeqBqBqeU sss q s s s αβ α α β β ∑∑∑∑∑ == = = −−= 3 1 3 1 3 1 3 1 1 1 2 1 (1.2.65) Theo (1.2.37) ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )qeqqeqG ss βα α αβ ω .. 2 3 1 =∑ = . Do đó: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )qeqeqqBqBU ss q s s sss β β βω ∑∑∑∑ == = −= 3 1 3 1 3 1 2 1 12 1 (1.2.66) Sử dụng điều kiện trực giao (1.2.42), ta thu được biểu thức cho thế năng có dạng như sau: ( ) ( ) ( )qBqBqU ss q s s * 3 1 2 2 1∑∑ = = ω (1.2.67) Vậy năng lượng dao động của các nguyên tử trong tinh thể sẽ là: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∑∑ = +=+= q s sssss qBqBqqBqBUKE 3 1 *2* 2 1 ω& (1.2.68) Hay: ( )∑∑ = = q s s qEE 3 1 (1.2.69) Với: ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ += 22221 qBqqBqE ssss ω& (1.2.70) Với mạng lập phương đơn giản thì ( ) ( ) ( )qEqEqE 321 == là quy luật phân bố đều năng lượng theo các bậc tự do. Năng lượng dao động của tinh thể không biểu thị qua độ lệch rmβ của từng nguyên tử mà qua các đại lượng ( )qBs là các tọa độ chuẩn. Ta có thể coi như (1.2.50) là biểu thức chuyển từ tọa độ thường rmβ sang tọa độ chuẩn ( )qBs . Mỗi tọa độ chuẩn ( )qBs là một nghiệm của phương trình chuyển động của dao động tử điều hòa. Thật vậy, nếu lấy đạo hàm bậc hai theo thời gian nghiệm của phương trình dao động (1.2.49), ta có: ( ) ( ) ( )qBqqB sss 2ω−=&& (1.2.71) SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 27 đây là phương trình chuyển động của dao động tử điều hòa ( )qBs mô tả dao động của một dao động tử có tần số ( )qsω và năng lượng ( )qEs . Như vậy, ta có thể quan niệm năng lượng dao động của tinh thể theo hai cách: như là tổng năng lượng dao động của các nguyên tử trong tinh thể, các nguyên tử này có tương tác với nhau, còn năng lượng thì phụ thuộc vào các tọa độ rmβ và đạo hàm của chúng, hoặc như là tổng năng lượng của các dao động tử điều hòa độc lập nhau, và năng lượng phụ thuộc vào các tọa độ chuẩn ( )qBs và đạo hàm của chúng ( )qBs& . III. Lý thuyết lượng tử về dao động mạng tinh thể 1. Lượng tử hóa dao động mạng Trong cơ học cổ điển, phương trình chuyển động của dao động tử điều hòa: kxxm −=&& (1.3.1) Và nếu ta đặt m k=2ω , thì phương trình sẽ trở thành: 02 =+ωx&& (1.3.2) Năng lượng toàn phần của dao động tử là tổng động năng và thế năng: 22 22 kxxmUKE +=+= & (1.3.3) Ta có thể biểu diễn nó qua tọa độ x và xung lượng p, và được hàm Hamintơn của dao động tử: 2 22 22 xm m pH ω+= (1.3.4) Trong cơ học lượng tử, việc xét chuyển động của dao động tử được thực hiện bằng cách chuyển các biến số tọa độ và xung lượng thành các toán tử tương ứng xˆ và pˆ . Khi đó, toán tử năng lượng toàn phần hay toán tử Hamintơn của dao động tử điều hòa (lượng tử) là: 2 22 ˆ 22 ˆˆ xm m pH ω+= (1.3.5) Giải phương trình Srôđingơ ứng với toán tử Hamintơn này, ta tìm được biểu thức cho năng lượng của dao động tử: ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ += 2 1nEn ωh (1.3.6) Trong đó, n = 0,1,2,3,…. Theo cơ học lượng tử thì giá trị nhỏ nhất của năng lượng dao động tử sẽ là 2 ωh , ứng với n = 0 và được gọi là năng lượng bậc không. Ta thu được năng lượng của dao động tử điều hòa lượng tử là: SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 28 ( ) ( ) ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ += 21sqss nqqE ωh (1.3.7) với ,...3,2,1,0=sqn Công thức trên cho ta thấy rằng năng lượng của một dao động tử điều hòa chỉ có thể thay đổi một cách gián đoạn theo một số nguyên lần ( )qsωh . Năng lượng của cả tinh thể là tổng năng lượng của các dao động tử điều hòa được xác định bởi: ( )qEE q s s∑∑= (1.3.8) 2. Phonon 2.1. Phương pháp chuẩn hạt Khi nghiên cứu các tính chất của tinh thể chúng ta gặp khó khăn là phải xác định chuyển động của rất nhiều hạt (nguyên tử, phân tử) tương tác với nhau. Vì vậy, cần phải sử dụng phương pháp gần đúng và một trong các phương pháp đó là phương pháp chuẩn hạt. Theo phương pháp này, ta coi trạng thái kích thích của tinh thể như là trạng thái của một khối khí lí tưởng gồm các kích thích sơ cấp không tương tác nhau. Các kích thích đó mô tả chuyển động tập thể của các nguyên tử chứ không phải là chuyển động của từng nguyên tử riêng lẻ. Các kích thích sơ cấp chuyển động trong thể tích của tinh thể như là các chuẩn hạt có năng lượng và xung lượng xác định. Năng lượng của trạng thái kích thích của vật rắn là tổng năng lượng của các chuẩn hạt. ( ) p p npE .∑= ε (1.3.9) với p n là số chuẩn hạt có xung lượng là p và năng lượng ( )pε . Khác với các hạt thông thường, chuẩn hạt không tồn tại ngoài vật thể. Sự tồn tại của chúng có quan hệ chặt chẽ với một cấu trúc xác định của vật thể vĩ mô. Khi cấu trúc đó bị mất đi (chẳng hạn như có sự chuyển pha), thì chuẩn hạt tương ứng cũng mất đi. 2.2. Tính chất của chuẩn hạt Ta hãy xét một số tính chất của chuẩn hạt trong vật thể. Năng lượng của khí chuẩn hạt được xác định bởi: ( ) ( ) εεεε dZTfE ∫= ,. (1.3.10) Trong đó: ( )Tf ,ε là hàm phân bố, cho biết số lượng trung bình của các chuẩn hạt ở trạng thái có năng lượng ε và ở nhiệt độ T; ( )εZ V 1 là mật độ trạng thái; đại lượng ( ) εε dZ xác định số trạng thái trong hệ ở khoảng năng lượng từ εεε d+÷ . Vận tốc của chuẩn hạt là: ( )pgradv p ε= SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 29 Mật độ dòng chuẩn hạt là: ( )∑= p pp pgradnj ε Xung lượng toàn phần của khí chuẩn hạt là: ∑= p p npP Chuẩn hạt cũng mang theo năng lượng. Mật độ dòng năng lượng mà các chuẩn hạt chuyển tải được xác định bởi: ( ) ( )ppgradpnU p p εε .∑= (1.3.11) Giả thiết các chuẩn hạt không tương tác với nhau chỉ là gần đúng. Ở các phép gần đúng bậc cao hơn, có thể có các tương tác giữa các chuẩn hạt, nghĩa là khí chuẩn hạt không còn là khí lí tưởng. Khi đó trạng thái của chuẩn hạt chỉ là chuẩn dừng. Nếu thời gian sống của chuẩn hạt là τ thì độ bất định của chuẩn hạt là: τ h≥∆E (1.3.12) Vì vậy, ta chỉ có thể mô tả trạng thái kích thích của vật thể bằng các chuẩn hạt nếu điều kiện sau đây được thỏa mãn: ( ) τε h≥p (1.3.13) 2.3. Phonon Trong phép gần đúng điều hòa, có thể coi trạng thái kích thích yếu của tinh thể như là tập hợp các chuẩn hạt, mỗi chuẩn hạt có năng lượng: ( )qss ωε h= (1.3.14) Và chuẩn xung lượng: qp h= (1.3.15) Chuẩn hạt được xác định bởi (1.3.14) và (1.3.15) được gọi là phonon. Với q và s xác định các mức năng lượng, chúng cách đều nhau và khoảng cách giữa chúng là ( )qsωh . 2.4. Tính chất của phonon Ở trạng thái cân bằng nhiệt, số phonon trung bình có năng lượng ( )qsωh được xác định bởi biểu thức của hàm phân bố Bose – Einstein (hay còn gọi là phân bố Planck) với thế hóa học ( )0=µ bằng không: 0= sq n O 1= sq n 2= sq n 3= sq n q ( )qEs ( )qsωh ( )qsωh21 ( )qsωh23 ( )qsωh21 ( )qsωh25 Hình 1.22 SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 30 ( ) 1 1 − = Tk qsq B s e n ϖh (1.3.16) Năng lượng của dao động mạng là tổng năng lượng của các phonon: ( ) ( ) sq qq s nqqE .∑∑ == ωε h (1.3.17) Khi các phonon tương tác với nhau, định luật bảo toàn năng lượng được thỏa mãn. Còn định luật bảo toàn xung lượng xác định sai kém nhau vectơ mạng đảo G . Chẳng hạn khi có sự va chạm giữa hai phonon có chuẩn xung lượng 1qh và 2qh để tạo thành một phonon có chuẩn xung lượng qh (hoặc quá trình ngược lại, một phonon có chuẩn xung lượng qh tách thành hai phonon có chuẩn xung lượng 1qh và 2qh ). Định luật bảo toàn năng lượng có dạng: ( ) ( ) ( )qqq ss ωωω =+ 21 21 (1.3.18) Với chuẩn xung lượng ta có đẳng thức: Gqqq hhhh +=+ 21 (1.3.19) Khi 0=G , thì (1.3.18) trở thành: qqqhayqqq =+=+ 2121 hhh . Nghĩa là, tổng xung lượng hay tổng vectơ sóng được bảo toàn. Quá trình va chạm thỏa mãn (1.3.18) gọi là quá trình bình thường (quá trình N). Tương tác trong đó tổng của vectơ sóng thay đổi đi một lượng X gọi là quá trình bật ngược (hay quá trình U). Đó là vì trong quá trình bình thường vectơ 21 qq + vượt ra khỏi vùng Brillouin thứ nhất. Nhưng trạng thái ứng với 21 qq + này hoàn toàn tương đương với trạng thái ứng với vectơ q sai khác một vectơ mạng đảo G . Trên hình vẽ ta thấy hai vectơ 1q và 2q hướng theo chiều của trục x nhưng vectơ q lại hướng theo chiều âm. yq q o xq yq 1q 2q Quá trình N xq q o 1q 2q 21 qq + G G Quá trình U Hình 1.23 SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 31 CHƯƠNG II. THIẾT LẬP BIỂU THỨC XÁC ĐỊNH NHIỆT DUNG CỦA HỆ MẠNG TINH THỂ LẬP PHƯƠNG. I. Lý thuyết cổ điển về nhiệt dung Một trong những hệ quả chủ yếu của việc tồn tại dao động mạng tinh thể là khả năng kích thích các dao động này bằng nhiệt. Do đó, các dao động mạng tinh thể biểu hiện ra ngoài trước hết bằng sự đóng góp của chúng vào nhiệt dung của tinh thể. Tuy vậy, nói chung có nhiều loại chuyển động có thể đóng góp vào nhiệt dung, trong đó với tinh thể thì điển hình nhất là dao động của mạng tinh thể và chuyển động của các điện tử. Trong đề tài này, tôi chỉ xét đến đóng góp của dao động mạng tinh thể vào nhiệt dung của tinh thể. Như chúng ta đã biết, nhiệt là năng lượng được chuyển từ một vật này sang vật khác khi chúng có nhiệt độ khác nhau. Nhiệt được chuyển vào vật sẽ làm thay đổi nội năng (năng lượng toàn phần bao gồm tổng động năng và thế năng). Theo nguyên lý I của nhiệt động lực học: δQ = dE – δA = dE – pdV. Nhiệt dung đo tại chế độ thể tích cố định (V = const ⇒dV =0) được định nghĩa như sau: constV V dT dEC = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= trong đó T là nhiệt độ và E là nội năng trung bình của tinh thể tại nhiệt độ T. Như vậy, ý nghĩa của nhiệt dung là nó là nhiệt lượng cần thiết cung cấp để làm cho tinh thể nóng lên 1 độ. Theo lý thuyết cổ điển về nhiệt dung của vật rắn, người ta quan niệm tinh thể là hệ gồm các nguyên tử, mỗi nguyên tử có ba bậc tự do. Trong mạng tinh thể, các nguyên tử ở nút mạng luôn dao động nhiệt. Tuy dao động của các nguyên tử có ảnh hưởng lẫn nhau, nhưng ở nhiệt độ đủ cao, liên kết giữa các nguyên tử không còn ảnh hưởng nhiều lắm đến dao động của chúng và có thể coi như các nguyên tử dao động độc lập nhau. Theo nguyên lí phân bố đều năng lượng theo các bậc tự do, mỗi bậc tự do của nguyên tử ứng với năng lượng trung bình của dao động, bao gồm tổng động năng và thế năng là: TkB.=ε với kB là hằng số Boltzman và T là nhiệt độ tuyệt đối. Vì vậy, nội năng của tinh thể có N nguyên tử là: E = 3N.kB.T. Do đó, nhiệt dung của vật rắn (không cần phân biệt đẳng áp hay đẳng tích bởi vì cả áp suất lẫn thể tích của vật rắn không thay đổi đáng kể) là: BkNdT dEC .3== Nếu xét với 1 mol vật rắn, trong đó có chứa số nguyên tử bằng số Avôgradrô NA thì nhiệt dung của nó xác định bằng nhiệt dung mol của vật rắn là: Cµ = 3NA.kB = 3R ≈ 25 J/mol.K ; với Kmol JR . 31,8= là hằng số chất khí. Như vậy, theo lý thuyết cổ điển nhiệt dung của chất rắn không phụ thuộc vào nhiệt độ. Đó là nội dung của định luật Dulong – Petit được tìm ra bằng thực nghiệm và được phát biểu như sau: nhiệt dung mol của vật rắn không phụ thuộc vào nhiệt độ và như nhau với mọi chất. Nó cho thấy ở nhiệt độ đủ cao (thường là tại các nhiệt độ cao hơn nhiệt độ phòng), nhiệt dung mol của vật rắn không phụ thuộc vào nhiệt độ và như nhau với mọi chất. Tuy nhiên, ở những nhiệt độ thấp nhiệt dung phụ thuộc mạnh vào nhiệt độ và tiến đến 0 khi T →0; do đó, những kết quả thực nghiệm không còn phù hợp với định luật này nữa. Một trong các nguyên nhân của sự sai khác này là tại các vùng nhiệt độ thấp, SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 32 định luật phân bố đều năng lượng theo các bậc tự do không còn đúng. Năng lượng dao động nhiệt tại vùng này phải mang cả các tính chất lượng tử, điều này thì lý thuyết cổ điển không đề cập đến. II. Lý thuyết lượng tử về nhiệt dung Như ta đã biết, đối với trường hợp dao động mạng tinh thể được coi là tập hợp của các dao động điều hòa hoàn toàn độc lập với nhau thì: ( )qE q s∑= ε với ( ) sqsqs nq ωε h.= (2.2.1) Trong đó: sq n biểu diễn biên độ của loại dao động ứng với tần số là sq ω . Nếu xét tại một nhiệt độ nhất định nào đó thì dao động với tần số sq ω sẽ phải có biên độ trung bình là sqn , nó kéo theo các đại lượng sau đây cũng phải có giá trị trung bình: ( ) Eqn ssq →→ε . Từ đây, ta có công thức tính nhiệt dung sẽ là : ( ) ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛== ∑∑ q sqsq q s ndT dq dT d dT dEC ωε h. (2.2.2) 1. Hàm phân bố Bose - Einstein Như vậy, để tính được nhiệt dung chúng ta cần phải đi xác định sqn bằng bao nhiêu. Và sqn phải được xác định theo công thức sau: sq Wnn q sqsq .∑= trong đó sq W là xác suất để giá trị sq n đang xét có mặt trên thực tế. Nhưng ta đã biết, khi dao động tử dao động với biên độ được biểu diễn bằng sq n thì nó sẽ có năng lượng là εs ( )q . Do đó, sq W cũng là xác suất để dao động tử có năng lượng là εs ( )q . Hay nói cách khác, để tìm sq W có thể xét nó như một hàm của năng lượng εs ( )q ; tức là xét ( )( )qWW s sqsq ε= . Có thể tìm ( )( )qW ssq ε bằng cách vận dụng hệ thức Boltzmann. Hệ thức Boltzman là một hệ thức có giá trị như một tiên đề trong vật lý, một định luật tổng quát xuất phát từ nguyên lí năng lượng tối thiểu; nội dung như sau: xác suất W(ε) để một hệ (hoặc một hạt) bất kỳ nào đó có năng lượng là ε bao giờ cũng giảm khi ε tăng theo hàm số mũ sau đây: ( ) TkBeW εε −~ áp dụng hệ thức Boltzmann vào trường hợp cụ thể các dao động tử đang xét ta thấy rằng sq W phải có dạng: Tk q sq B s eDW )( . ε−= Trong đó, D chỉ là hệ số tỷ lệ được xác định từ điều kiện chuẩn hóa: ∑ ∑ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⇒= sq sq sq TBk qs e DW ε 11 . Các phép tính toán đơn giản cho ta kết quả cuối cùng SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 33 sau đây: 1 1 − = TBk sq e n sq ωh . Đây chính là phân bố Bose – Einstein ( hay nó cũng được gọi là phân bố Planck). 2. Lý thuyết Einstein Lý thuyết nhiệt dung riêng của vật rắn đầu tiên dựa trên cơ sở của cơ học lượng tử được Einstein đưa ra vào năm 1906, cho phép giải thích có kết quả sự giảm của nhiệt dung riêng theo nhiệt độ. Einstein giả thiết rằng, trong vật rắn các nguyên tử dao động với cùng một tần số gọi là tần số Einstein Eω . Năng lượng trung bình ε của dao động tử tuyến tính có tần số Eω là: En ωε h.= trong đó n là hàm phân bố Bose – Einstein. Nên ta có: 1− = Tk E B E e ω ωε hh (2.2.3) Năng lượng trong tinh thể là tổng năng lượng của 3N dao động tử, do đó có giá trị: 1 .3.3 − == Tk E E B E e NnNE ω ωω hhh (2.2.3) Từ đó, ta tính được nhiệt dung theo lý thuyết Einstein: ( ) 2 2 2 1 .3 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − == Tk B Tk E B E B E eTk eN dT dEC ω ω ω h h h (2.2.4) ¾ Với mạng tinh thể lập phương đơn giản a1 = a2 = a3 = a; thể tích ô cơ sở Vcs= a3. Trong một đơn vị thể tích số ô cơ sở: 3 11 aV Y cs == . Mỗi ô cơ sở có 1 nguyên tử nên: 3 1 a N = . Nhiệt dung riêng của mạng tinh thể lập phương đơn giản khi đó sẽ được tính bằng cách thay 3 1 a N = vào biểu thức (2.24) ta được: ( ) 2 2 3 2 1 .3 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − = Tk B Tk E B E B E eTk e a C ω ω ω h h h ¾ Với mạng lập phương tâm khối: 3 1.2 a N = . Nhiệt dung riêng của mạng tinh thể lập phương tâm khối sẽ là: SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 34 ( ) 2 2 3 2 1 .6 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − = Tk B Tk E B E B E eTk e a C ω ω ω h h h ¾ Với mạng lập phương tâm mặt: 3 1.4 a N = .. Nhiệt dung riêng của mạng tinh thể lập phương tâm khối sẽ là: ( ) 2 2 3 2 1 .12 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − = Tk B Tk E B E B E eTk e a C ω ω ω h h h Như vây, nhiệt dung riêng của các chất khác nhau là khác nhau và nó phụ thuộc vào hằng số mạng a của mỗi chất và cấu trúc mạng tinh thể của chất đó. 2.1. Trường hợp ở miền nhiệt độ cao Ở miền nhiệt độ cao, ta có: 1:1 +≈<<⇔<< Tk enênTk Tk B ETk BE B E B E ωωω ω hhh h Khi đó, nhiệt dung của vật rắn sẽ là: (ở đây ta bỏ qua đại lượng TkB Eωh vì 1<< TkB Eωh ). ( ) B B E B B E E kN Tk Tk TkNC .3 11 1 .3 2 2 2 = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −+ + = ω ω ω h h h (2.2.5) Đối với 1 mol vật rắn, nhiệt dung mol có giá trị là: 0. 253.3 Kmol JRkNC BA ≈==µ Như vậy, trong vùng nhiệt độ cao kết quả của lý thuyết Einstein phù hợp với kết quả cổ điển, tức là định luật Dulong – Petit. Nhiệt dung mol của mọi chất là như nhau và không phụ thuộc vào hằng số mạng a. 2.2. Trường hợp ở miền nhiệt độ thấp Ở miền nhiệt độ thấp, ta có: TkTkTk BE B E B E B E B E eeenênTk Tk ωωω ωω hhh hh ≈−⇒>>>>⇔>> 11:1 Khi đó: ( ) Tk b E B Tk B Tk E B E B E B E e Tk kN eTk eNC ω ω ω ωω h h h hh − ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛== ...3.3 2 .2 2 2 (2.2.6) SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 35 Từ biểu thức (2.2.6) ta nhận thấy theo lý thuyết của Einstein ở miền nhiệt độ thấp nhiệt dung phụ thuộc nhiệt độ dưới dạng TkB E e T C ωh− 2 1~ . Kết quả này phù hợp về định tính với thực nghiệm: nhiệt dung tiến đến 0 khi T→0. Thật vậy: Đặt: Tk x B Eωh= . Suy ra: xB e xkNC 2 .3= Khi: T→0 02lim2limlimlim 2 0 ==== ∞→∞→∞→→ xxxxxxT ee x e xC Tuy nhiên, thực nghiệm lại cho thấy nhiệt dung giảm theo bậc ba của nhiệt độ: 3~ TC chứ không tiến tới 0 nhanh như quy luật của biểu thức (2.2.6). Mô hình của Einstein có hạn chế chính vì giả thiết cho rằng, trong tinh thể chỉ có một tần số dao động duy nhất. Tuy nhiên, điều quan trọng nhất mà Einstein muốn chứng minh và đã chứng minh thành công qua lý thuyết của mình, là các dao động tử cơ học cũng phải được lượng tử hóa, giống như Planck đã lượng tử hóa các dao động bức xạ. Ứng dụng của lý thuyết nhiệt dung của Einstein là đã giải thích thuyết phục tại sao khi T→ 0 thì nhiệt dung riêng của vật rắn giảm nhanh đến không. Lý thuyết của Einstein mô tả khá tốt tính chất của các phonon có tần số ứng với nhánh quang học, gọi là các phonon quang. Bởi vì, ở các nhánh quang tần số dao động phụ thuộc rất yếu vào vectơ sóng q và có thể coi gần đúng như không đổi. Vì vậy, lý thuyết của Einstein vẫn được dùng để tính toán cho các phonon quang. Sự sai khác của lý thuyết này so với thực nghiệm ở nhiệt độ thấp là tất nhiên, vì ở nhiệt độ thấp các phonon âm đóng vai trò chủ yếu, mà trong lý thuyết Einstein lại không kể đến chúng. 3. Lý thuyết Debye Năm 1912, Debye đưa ra lý thuyết mới về nhiệt dung của chất rắn. So với lý thuyết của Einstein thì lý thuyết Debye phù hợp tốt với thực nghiệm, vì vậy cho đến nay nó vẫn được coi là lý thuyết đúng đắn nhất. Lý thuyết của Einstein cho rằng tất cả các dao động tử, đều dao động với cùng một tần số ωE, còn trên thực tế trong mạng tinh thể chất rắn các nguyên tử tương tác với nhau. Vì vậy, chúng chuyển động như các dao động tử liên kết, chứ không phải là các dao động tử độc lập như trong lý thuyết Einstein. Mỗi nguyên tử có ba bậc tự do, vì vậy tập hợp N nguyên tử trong vật rắn là tập hợp của 3N dao động tử điều hòa lượng tử liên kết với 3N tần số khác nhau, biến thiên trong khoảng maxmin ωωω ≤≤ . Đối với tinh thể đủ lớn có thể coi 0min =ω , ta kí hiệu Dωω =max (tần số Debye) hay: Dωω ≤≤0 . Theo lý thuyết Debye, ta chỉ xét các phonon âm học có bước sóng dài vào nhiệt dung của mạng tinh thể. Khi đó, có thể coi tinh thể là một môi trường liên tục và đẳng hướng. Quy luật tán sắc của chúng được thay bằng đường thẳng: ( ) quq ss .=ω với us là vận tốc truyền sóng phân cực s. Các vận tốc us lại được thay bằng u là vận tốc truyền âm trung bình trong tinh thể nên ta viết lại như sau: ( ) quqs .=ω . Năng SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 36 lượng trung bình của dao động có tần số ( )qsω là: ( ) ( )( ) 1− = Tk q s s B s e qq ω ωε h h (2.2.7) Vì vậy năng lượng trung bình của các dao động tử trong tinh thể là: ( ) ( )( )∑∑ ∑ − == q s sq Tk q s s B s e qqE , 1 ω ωε h h (2.2.8) Ta đã biết thể tích ô cơ sở của mạng đảo bằng v 38π=Ω . Nếu gọi V là thể tích toàn mạng tinh thể thì ta có: vNV .= . Từ đây, ta có thể tính số trạng thái trong một đơn vị thể tích của không gian đảo bằng 38π VN =Ω và thể tích trong không gian q ứng với một vectơ q sẽ bằng VN 38π=Ω . Thực tế tinh thể có chứa N nguyên tử, thì trong vùng Brillouin thứ nhất có N giá trị của vectơ q . Vì N rất lớn, nên ta có thể thay tổng theo q bằng tích phân theo q : ∫ ∫ ∫∑ ∫ ≡→ 338......... dqVqdq q π trong đó 38π V là số giá trị khác nhau của vectơ q trong một đơn vị thể tích của không gian đảo, hay còn gọi là mật độ trạng thái trong không gian đảo Z(q). Vì vậy, (2.2.8) trở thành: ϕθθπ π θ π ϕ dddqq e uqVE D B q q Tk uq ..sin.. 1 8 3 2 0 0 2 0 3 ∫ ∫ ∫ = = = − = hh (2.2.9) Trong đó: ϕθθ dddqqqd ..sin.2= . Hệ số 3 có mặt ở đây vì ta tính đến cả ba nhánh âm. Tích phân theo ϕ cho kết quả 2π, tích phân theo θ cho kết quả 2. Ta viết lại phương trình trên thành: ∫ − = D B q Tk uq e dquqVE 0 . 3 2 1 2 3 h h π (2.2.10) Hay tính theo ωD (vì DD qu.=ω ) là: ∫ − = D B Tke d u VE ω ω ωω π 0 . 3 32 1 2 3 h h (2.2.11) Để tính các biểu thức này một cách dễ dàng, Debye đã giả thiết thay vùng Brillouin thứ nhất bằng một hình cầu có cùng thể tích với nó ở trong không gian đảo. Hình cầu này có bán kính là qD. Ta đã biết ứng với mỗi giá trị của vectơ q là một ô nhỏ trong không gian đảo có thể tích V 38π . Số ô này bằng số các giá trị của vectơ q SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 37 và cũng bằng số ô sơ cấp N trong tinh thể. Vì vây, qD được xác định từ: V Nq V Nq DD .6 8. 3 4 2333 πππ =⇒= (2.2.12) Xét mạng tinh thể có N nguyên tử có thể tích không đổi, số trạng thái để các chuẩn hạt có tần số nằm trong khoảng ωωω d+÷ là Z(ω)dω, có năng lượng trung bình ε thì năng lượng trong tinh thể có 3N dao động tử sẽ là: ( ) ( ) ωωωωωε ω ω ω dZ e dZE D B D Tk .. 1 .. 00 ∫∫ − == hh (2.2.13) So sánh (2.2.11) và (2.2.13), ta thấy trong phép gần đúng của Debye sự phụ thuộc của mật độ trạng thái theo ω có dạng bậc hai như sau: ( ) 2322 3 ωπω u VZ = (2.2.14) Số trạng thái có tần số ω biến đổi từ 0 ≤≤ ω ωD phải bằng số bậc tự do của tinh thể, tức là 3N: ∫ =⇒=D VNuNduV D ω πωωωπ 0 3232 32 632 .3 (2.2.15) Trong phép gần đúng Debye, mật độ trạng thái Z(ω) có dạng: ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ > ≤ D D D khi khiN ωω ωωω ω ,0 ,9 3 2 Đường biểu diễn Z(ω) được vẽ như hình bên. Tóm lại, trong lý thuyết Debye năng lượng dao dộng toàn phần của tinh thể là: dx e x u TVkd e u VE DD B x x B Tk ∫∫ −=− = 0 3 0 332 443 32 12 3 1 2 3 ω ω πω ω π h h h (2.2.16) Trong đó, ta đã đặt TTk x D B D D θω == h , B D D k ωθ h= là nhiệt độ Debye tương ứng với tần số ωD: 3 1 26 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= V N k u B D πθ h (2.2.17) Biểu thức (2.2.16) của E được viết lại như sau: dx e xTTNkE Dx x D B ∫ −⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= 0 33 1 9 θ trong đó N là số nguyên tử trong tinh thể. Để xác định nhiệt dung của tinh thể ở nhiệt độ bất kì ta chỉ cần lấy đạo hàm của E trong (2.2.16) theo nhiệt độ, ta có: ZD(ω) ω ωD O Hình 2.1 SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 38 ( )∫∫ −⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − = DD B B x x x D B Tk Tk B dx e exTNkd e e Tku VC 0 2 43 0 2 4 232 2 1 9 1 2 3 θω ω π ω ω ω h h h (2.2.18) ¾ Với mạng tinh thể lập phương đơn giản a1 = a2 = a3 = a; thể tích ô cơ sở Vcs= a3. Trong một đơn vị thể tích số ô cơ sở: 3 11 aV Y cs == . Mỗi ô cơ sở có 1 nguyên tử nên: 3 1 a N = . Nhiệt dung riêng của mạng tinh thể lập phương đơn giản khi đó sẽ được tính bằng cách thay 3 1 a N = vào biểu thức (2.2.18) ta được: ( )∫ −⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= Dx x x D B dx e exTk a C 0 2 43 3 1 9 θ ¾ Với mạng lập phương tâm khối: 3 1.2 a N = . Nhiệt dung riêng của mạng tinh thể lập phương tâm khối sẽ là: ( )∫ −⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= Dx x x D B dx e exTk a C 0 2 43 3 1 18 θ ¾ Với mạng lập phương tâm mặt: 3 1.4 a N = . Nhiệt dung riêng của mạng tinh thể lập phương tâm khối sẽ là: ( )∫ −⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= Dx x x D B dx e exTk a C 0 2 43 3 1 36 θ Như vây, nhiệt dung riêng của các chất khác nhau là khác nhau và nó phụ thuộc vào hằng số mạng a của mỗi chất và cấu trúc mạng tinh thể của chất đó. 3.1. Trường hợp ở miền nhiệt độ cao Ở miền nhiệt độ cao: xenên T xT xDDD +≈> 11θθ Khi đó: 3 ..9. 11 .9 1 9 33 0 33 0 33 D D B x D B x x D B xTTNkdx x xTTNkdx e xTTNkE DD ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=−+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= ∫∫ θθθ Hay: TNk T TTNkE BD D B .3..3 33 =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= θθ khi DT θ>> SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 39 Suy ra, nhiệt dung của 1 mol vật rắn N = NA: 0.2533 Kmol JRkNC BA ≈==µ phù hợp với kết quả định luật Dulong – Petit cổ điển. Như vậy, nhiệt dung mol của các chất là như nhau và không phụ thuộc vào hằng số mạng a. 3.2. Trường hợp ở miền nhiệt độ thấp Ở nhiệt độ thấp, ta có: ∞→→<< DD xT θ . Khi đó, ta có: 15 . 1 4 0 1 3 0 3 π∫ ∑∫ ∞ ∞ = − ∞ ==− s sx x dxexdxe x Do đó: 5 .3 43 π θ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= D B TTNkE khi DT θ<< Suy ra: 34 5 12 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= D B TNkC θ π Như vậy, theo lý thuyết Debye khi T → 0, nhiệt dung riêng của vật rắn do dao động mạng gây nên tiến đến không theo quy luật T3. Ở nhiệt độ đủ thấp, định luật T3 của Debye phù hợp tốt với thực nghiệm, vì rằng khu vực nhiệt độ đó chỉ có dao động của nhánh âm học ứng với các sóng dài là được kích thích. Những sóng đó có tính chất giống như sóng âm trong môi trường liên tục. Có thể giải thích quy luật C ∼ T3 như sau: Ở nhiệt độ thấp chỉ kích thích một khối lượng đáng kể các dao động mạng mà năng lượng TkB≤ωh , đặc tính kích thích của các dao động này là gần như cổ điển vì năng lượng gần bằng kBT. Thể tích không gian q chứa các điểm ứng với các trạng thái dao động được kích thích chiếm phần 333 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛≈ DD T D T T q q θω ω của thể tích không gian q tức thể tích của quả cầu bán kính qD. qD là giá trị của vectơ sóng đặc trưng cho gần đúng Debye: DBDD kqu θω == .hh ; Tkqu BTT == .hhω . Số dao động được kích thích sẽ là: 3 3 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ D TN θ đều có năng lượng là kBT. Khi đó, ta có: 4 3 ~3. TTNTkE D B ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= θ qy qx qD qT Hình 2.3 O 5 10 15 20 25 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 D T θ Kmol J VC . Hình 2.2 SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 40 Từ đây ta suy ra: 3 .12 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛== D B TkN dT dEC θ đây chính là định luật Debye: C ~T 3 tại các nhiệt độ thấp. Kết quả của định luật này phù hợp với thực nghiệm. III. Áp dụng công thức nhiệt dung cho mạng tinh thể lập phương 1. Áp dụng biểu thức nhiệt dung cho hệ mạng lập phương Xét mạng tinh thể có N nguyên tử, có thể tích không đổi, số trạng thái để các chuẩn hạt có tần số từ ωωω d+÷ là Z(ω)dω có năng lượng trung bình là 1− = TkBe ω ωε hh thì tổng năng lượng trong tinh thể có 3N dao động tử sẽ là: ( ) ωωεω dZE .. 0 ∫= (2.3.1) Áp dụng cho trường hợp ba chiều của hệ mạng tinh thể lập phương với cạnh bằng L chứa N3 ô cơ sở môi trường của tinh thể được coi là đẳng hướng và vận tốc truyền sóng được lấy bằng một giá trị trung bình u không đổi. Khi tinh thể là hữu hạn (các cạnh dài Lx, Lyvà Lz) áp dụng điều kiện biên Born – Karman, ta có: ( ) iqrLriq ee =+ từ đó ta được n LNa nq ππ 22 == (n là số nguyên). Hay : z z z y y y x x x n L q n L q n L q π π π 2 2 2 = = = (2.3.2) trong đó: nx, ny, nz là các số nguyên. Mỗi giá trị của qi (i = x,y,z) xác định một dao động chuẩn với một tần số và bước sóng nhất định: 222 zyx qqqq ++= Khi đó, hệ thức tán sắc trở thành: 222.2.2.. zyxnn nnnL un L uqu ++=== ππω (2.3.3) Xét trong không gian q. Các giá trị được phép của q: 222 zyx qqqq ++= xác định vị trí của các nút của một mạng. Ô sơ cấp của mạng này có dạng lập phương với xq zq q yq • • • • • • • • • • • • • • • • • • 32 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ L π Hình 2.4 SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 41 cạnh bằng L π2 . Như vậy, giá trị được phép của q chiếm một thể tích bằng VL 33 82 ππ =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ , trong đó V = L3 là thể tích của tinh thể. Trong không gian q, quỹ tích của các điểm có cùng một giá trị q là một mặt cầu có bán kính q và thể tích hình cầu: 3 3 4 qπ . Trong thể tích này chứa: 328 3 3 4 6 )( 3 q VqqN V π π π == giá trị được phép của q. N(q) chính là số dao động tử nằm trong khoảng từ 0 đến q. Trong gần đúng liên tục của Debye, thì vận tốc âm coi như là không đổi ( DD qu.=ω ) ta có thể suy ra số dao động tử có tần số nằm trong khoảng từ Dω÷0 là: 3 3 2 .6 )( u VN Dωπω = (2.3.4) Từ đây, ta có thể tính được mật độ trạng thái đối với mỗi loại phân cực: ( ) 32 2 2 )( u V d dNZ π ω ω ωω == (2.3.5) Trong miền Brillouin thứ nhất có N vectơ sóng và có 3 phương phân cực nên: ( ) 32 2 2 3 u VZ π ωω = (2.3.6) Số trạng thái có tần số biến đổi từ Dω÷0 phải bằng số bậc tự do của tinh thể, tức là bằng 3N: ( ) 3 1 32 0 2 32 0 63 2 33 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=⇒=⇔= ∫∫ VNuNduVNdZ D DD πωωωπωω ωω (2.3.7) (ωD được gọi là tần số Debye) Và vectơ sóng Debye: 3 1 26 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛== V N u q DD πω (2.3.8) Khi đó biểu thức năng lượng của 3N dao động tử trở thành: dx e x u TVkd e u VE DD B x x B Tk ∫∫ −=− = 0 3 0 332 443 32 12 3 1 2 3 ω ω πω ω π h h h (2.3.9) Với TTk x D B D D θω == h trong đó: 3 1 26 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= V N k u B D πθ h Vậy: dx e xTTNkE Dx x D B ∫ −⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= 0 33 1 9 θ (2.3.10) SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 42 Để tính nhiệt dung ta chỉ cần lấy đạo hàm E trong (2.3.9) theo nhiệt độ: ( )∫∫ −⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − = DD B B x x x D B Tk Tk B dx e exTNkd e e Tku VC 0 2 43 0 2 4 232 2 1 9 1 2 3 θω ω π ω ω ω h h h (2.3.11) * Ở miền nhiệt độ thấp: Lân cận tâm miền Brillouin thứ nhất DT θ<< thì: ( ) 1541 4 0 2 4 π≈−∫ ∞ dx e ex x x Khi đó: 3443 . 5 12 15 49 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= D B D B TNkTNkC θ ππ θ . Do đó, ở miền nhiệt độ thấp nhiệt dung tỉ lệ với bậc 3 của nhiệt độ. Kết quả này phù hợp tốt với thực nghiệm. Trong công thức này ta thấy có một thong số chưa được xác định đó là nhiệt độ Debye θD. Thông số này có thể được xác định bằng cách so sánh lý thuyết với thực nghiệm và kết quả thu được ở bảng 2.1 cho biết nhiệt độ Debye của một số chất. Chất θD (K) Chất θD (K) Mg 406 Cu 339 Ca 219 Ag 225 Cr 402 Au 165 W 379 Al 418 Fe 467 Kim cương 2000 Co 445 Si 685 Ni 456 Ge 366 * Ở miền nhiệt độ cao: Ở miền nhiệt độ cao: xenên T xT xDDD +≈> 11θθ Khi đó: ( ) ( ) ( ) ( ) 33411 11 334 0 23 0 2 4 0 2 4 DDD xxx x x xxxdxxxdx x xxdx e ex DDD ≈+=+=−+ +=− ∫∫∫ (vì xD<<1) Bảng 2.1 SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng Khoá luận tốt nghiệp Trang 43 Suy ra: B D D B D D B NkT TNkxTNkC 33 3 9 3333 =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= θθθ Kết quả này phù hợp với kết quả của định luật Dulong – Petit cổ điển. 2. Tính nhiệt dung mol của một số chất Theo định luật Dulong – Petit cổ điển về nhiệt dung ta có nhiệt dung mol của các chất thì không phụ thuộc vào nhiệt độ và như nhau đối với mọi chất, có giá trị vào khoảng 25 J/mol.K Ta xét nhiệt dung mol của đồng (Cu), sắt (Fe) và nhôm (Al) là những chất có cấu trúc lập phương tâm mặt, ở nhiệt độ phòng thì theo định luật Dulong – Petit nhiệt dung mol của chúng là không đổi và như nhau có giá trị là C ≈ 25 J/mol.K. Giữa nhiệt dung mol và nhiệt dung riêng có mối quan hệ với nhau bằng biểu thức sau: Cµ = µ.c ; trong đó: Cµ là nhiệt dung mol (J/mol.K), c là nhiệt dung riêng (J/g.K), µ là khối lượng mol phân tử (g/mol). Như vậy, nếu xác định được nhiệt dung riêng của các chất bằng thực nghiệm thì ta có thể tìm được nhiệt dung mol của nó theo biểu thức như trên. Theo tạp chí vật lý việt nam, giá trị nhiệt dung riêng của đồng (Cu), sắt (Fe) và nhôm (Al) được xác định từ thực nghiệm ở nhiệt độ phòng bằng phương pháp calorimetric ta thu được: cCu= 0,385 (J/g.K); cFe= 0,45 (J/g.K); cAl=0,897 (J/g.K). Dựa vào các số liệu thực nghiệm này, chúng ta có thể tính được nhiệt dung mol của các chất trên. CµCu = 64. 0,385 = 24,64 (J/mol.K) CµFe = 56. 0,45 = 25,2 (J/mol.K) CµAl = 27. 0,897 = 24,22 (J/mol.K) Như vậy, tại nhiệt độ phòng kết quả thu được từ thực nghiệm về nhiệt dung của Cu, Fe, Al là gần giống với dự đoán của lý thuyết nhiệt dung cổ điển. Cũng theo tạp chí vật lý việt nam, thí nghiệm đã thực hiện ở điều kiện nhiệt độ thấp dưới nhiệt độ phòng cho thấy nhiệt dung riêng của đồng thấp hơn nhiều so với nhiệt nhiệt dung riêng thu được ở nhiệt độ phòng. Và điều này một lần nữa cho phép chúng ta khẳng định rằng lý thuyết cổ điển về nhiệt dung mol hay định luật Dulong – Petit chỉ đúng ở những vùng nhiệt độ cao vào khoảng nhiệt độ phòng trở lên và khi nhiệt độ xuống dưới nhiệt độ phòng thì lý thuyết cổ điển không còn đúng nữa. Sự hạn chế của lý thuyết cổ điển chỉ có thể được phủ kín hoàn toàn trong cơ học lượng tử và khái niệm về năng lượng kích thích được đưa ra nhằm giải thích cho sự khác biệt của nhiệt dung riêng, ứng với những khoảng nhiệt độ khác nhau. IV. Giải thích một số hiện tượng vật lý trong chương trình phổ thông 1. Phân biệt chất rắn kết tinh và chất rắn vô định hình Các vật chất trong kỹ thuật gồm các vật liệu có cấu trúc rất khác nhau: kim loại, đá, chất dẻo, thuỷ tinh,…Khả năng chống lại sự biến đổi hình dạng là tính chất chung của các chất rắn. Trong vật lý các chất rắn được chia thành hai loại là chất rắn kết tinh