Khóa luận Đo độ radon và định lý biểu diễn riesz

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC SƯ PHẠM CHUYÊN NGÀNH TOÁN ĐỀ TÀI: GVHD : Ths. PHẠM THỊ THU HƯỜNG SVTH : NGUYỄN THỊ ANH ĐÀO CHUYÊN NGÀNH : GIẢI TÍCH An Giang, tháng 05 năm 2008 LỜI CẢM ƠN Quyển luận văn được hoàn thành là nhờ sự ủng hộ, động viên về mặt tinh thần của gia đình và bạn bè, sự giúp đỡ nhiệt tình của quý thầy cô trong bộ môn Toán khoa Sư Phạm của trường. Các thầy cô đã chỉ dẫn cho tôi về hình thức trình bày quyển luận văn thế nào cho đúng và đẹp, cho tôi những lời khuyên khi tôi cảm thấy khó khăn. Đặc biệt là cô Phạm Thị Thu Hường đã tận tình chỉ bảo, giải đáp những điều mà tôi thắc mắc và cho tôi những ý kiến quý báo từ nội dung đến hình thức trình bày quyển luận văn này. Xin chân thành cảm ơn. Tôi cũng xin cảm ơn tất cả các thầy cô đã giảng dạy cho tôi trong suốt thời gian học tập tại trường. Nguyễn Thị Anh Đào  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 1 LỜI NÓI ĐẦU Độ đo và tích phân Lebesgue là một trong những nội dung khá quan trọng của giải tích. Việc xây dựng độ đo xuất phát từ vấn đề: Trên đường thẳng, có những tập được gán một số không âm gọi là độ dài, chẳng hạn như độ dài đoạn thẳng. Nhưng cũng có những tập mà trực quan ta không biết được độ dài của nó xác định như thế nào, chẳng hạn như tập những số hữu tỉ trong đoạn [0, 1]. Người ta đã xây dựng lý thuyết độ đo để có thể đo được những tập như thế. Về tích phân Riemann, tích phân này có một số hạn chế. Với tích phân này, nhiều vấn đề của giải tích đã không được giải quyết một cách thỏa đáng, chẳng hạn vấn đề qua giới hạn dưới dấu tích phân. Tuy nhiên những vấn đề kể trên đã được trình bày rõ trong một số giáo trình nên trong khuôn khổ của bản khoá luận này tôi không trình bày lại. Bạn đọc quan tâm có thể tham khảo “ Hàm Thực & Giải Tích Hàm ” của Hoàng Tụy. Trong bản khóa luận tôi trình bày về một độ đo mới mà với độ đo này thì độ đo của một tập Borel có thể được xấp xỉ bằng độ đo của các tập compact, đó là độ đo Radon. Đối với độ đo Radon ta có một tính chất khá thú vị, thể hiện ở định lý Lusin, ý nghĩa của định lý này là ta có thể xấp xỉ một hàm đo được bằng một hàm liên tục, điều này rất quan trọng trong việc tính tích phân của một hàm đo được. Tôi cũng trình bày về mối quan hệ giữa một độ đo Radon trên một không gian mêtric có một dãy vét cạn compact với một phiếm hàm tuyến tính dương trên không gian các hàm số thực liên tục có giá compact. Một độ đo Radon sinh ra một phiếm hàm tuyến tính dương trên không gian các hàm số thực liên tục có giá compact, nhưng điều ngược lại có đúng không ? Điều này sẽ được khẳng định trong định lý biểu diễn Riesz. Nội dung bản khoá luận gồm có 3 chương: Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về độ đo và tích phân Lebesgue gồm một số định nghĩa và định lý làm cơ sở cho các chương sau. Do  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 2 đây không phải là nội dung chính nên một số kết quả không được chứng minh. Chương 2: ĐỘ ĐO RADON VÀ ĐỊNH LÝ BIỂU DIỄN RIESZ Đây là nội dung chính của bản luân văn. Chương này nói về định nghĩa độ đo Radon, một số tính chất của nó và trình bày chứng minh chi tiết định lý biểu diễn Riesz. Chương 3: MỘT ÁP DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ BIỂU DIỄN RIESZ Đây là chương cuối, trình bày một áp dụng của định lý biểu diễn Riesz. Do nhiều nguyên nhân, một trong những nguyên nhân đó là lần đầu tiên tôi làm một bài nghiên cứu khoa học và cũng hạn chế về thời gian, trình độ nên những thiếu sót chắc chắn không thể tránh khỏi. Rất mong nhận được ý kiến đóng góp từ quý thầy cô và các bạn. An Giang, tháng 05 năm 2008 Sinh viên thực hiện Nguyễn Thị Anh Đào  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 3 MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU ..................................................................................................1 MỤC LỤC.........................................................................................................3 CÁC KÝ HIỆU .................................................................................................4 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ.........................................................5 1. ĐỘ ĐO .......................................................................................................5 1.1. Đại số tập hợp .....................................................................................5 1.2. σ - Đại số tập hợp...............................................................................5 1.3. Hàm tập hợp cộng tính........................................................................6 1.4. Độ đo có dấu .......................................................................................6 1.5. Độ đo dương........................................................................................8 1.6. Không gian độ đo................................................................................9 1.7. Độ đo ngoài .........................................................................................9 2. TÍCH PHÂN LEBESGUE ......................................................................12 2.1. Hàm số đo được ................................................................................12 2.2. Tích phân Lebesgue ..........................................................................15 Chương 2. ĐỘ ĐO RADON VÀ ĐỊNH LÝ BIỂU DIỄN RIESZ ..........24 1. ĐỘ ĐO RADON.....................................................................................24 1.1. Định nghĩa.........................................................................................24 1.2. Một số tính chất của độ đo Radon.....................................................25 2. ĐỊNH LÝ BIỂU DIỄN RIESZ ................................................................32 2.1. Định lý biểu diễn Riesz.....................................................................33 2.2. Bổ đề .................................................................................................35 Chương 3. MỘT ÁP DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ BIỂU DIỄN RIESZ .......41 1. Định nghĩa................................................................................................41 2. Định lý......................................................................................................41 3. Định lý......................................................................................................42 KẾT LUẬN .....................................................................................................44 PHỤ LỤC ........................................................................................................45 TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................46  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 4 CÁC KÝ HIỆU (0, )r∆ : hình tròn mở tâm O bán kính r ( )CC X : không gian các hàm liên tục có giá compact trên X ( )CC D : không gian các hàm liên tục có giá compact trên miền D ( )CC D∞ : không gian các hàm khả vi vô hạn lần, có giá compact trên miền D ( )2C D : lớp các hàm có đạo hàm đến cấp 2 liên tục trên miền D C∞ : lớp các hàm khả vi vô hạn lần ( )A xχ : hàm đặc trưng của A dA : độ đo Lebesgue hai chiều u∆ : toán tử Laplace của hàm u B(X) : σ - đại số Borel K : lớp các tập compact suppφ : giá của hàm φ , ( ){ }supp : 0x X xφ φ= ∈ ≠  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 5 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1. ĐỘ ĐO 1.1. Đại số tập hợp 1.1.1. Định nghĩa Cho X là một tập hợp tùy ý khác rỗng, một lớp C các tập con của X thỏa mãn các điều kiện sau được gọi là một đại số tập hợp : a) X ∈ C b) A ∈ C ⇒ AC = X\A ∈ C c) , ∈A B C ⇒ ∪ ∈A B C 1.1.2. Bổ đề C là một đại số tập hợp khi và chỉ khi C thỏa mãn các điều kiện a), b) và c’) với c’) , A B∈ C ⇒ ∩A B ∈ C 1.2. σ - Đại số tập hợp 1.2.1. Định nghĩa Cho X là một tập khác rỗng . Một họ F các tập con của X được gọi là σ - đại số tập hợp nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: a) X ∈ F b) A ∈ F ⇒ AC = X \ A ∈ F c) An∈ F , n = 1, 2,… 1= ∞ ⇒U n n A ∈ F Ta thấy nếu F là σ - đại số tập hợp thì F cũng là một đại số tập hợp. Tương tự như đối với đại số tập hợp ta có bổ đề sau: 1.2.2. Bổ đề F là σ - đại số các tập con của X khi và chỉ khi F thỏa mãn các điều kiện a), b) và c’) với c’) An∈ F , n = 1, 2,… 1= ∞ ⇒I n n A ∈ F  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 6 1.3. Hàm tập hợp cộng tính 1.3.1. Hàm tập hợp Định nghĩa. Ta gọi hàm tập hợp ( gọi tắt là hàm tập) là một ánh xạ xác định trên một họ nào đó các tập hợp nhận giá trị trong không gian các số thực hoặc phức hoặc trong không gian các số thực mở rộng { };= ∪ −∞ +∞ . Riêng trong trường hợp cuối ta quy ước tập giá trị của ánh xạ chỉ chứa nhiều nhất một trong hai giá trị −∞ hoặc +∞ . 1.3.2. Hàm tập hợp cộng tính Định nghĩa. Hàm tập µ xác định trên một họ các tập con M chứa tập rỗng được gọi là cộng tính nếu nó thỏa mãn : a) ( ) 0µ ∅ = b) A, B ∈ M, A∩B =∅⇒ µ (A∪B) = µ (A) + µ (B) 1.3.3. Hàm tập hợp σ - cộng tính Định nghĩa. Hàm tập µ xác định trên một họ các tập con M chứa tập rỗng được gọi là σ - cộng tính nếu nó thỏa mãn : a) ( ) 0µ ∅ = b) Ai ∈ M (i=1,2….), Ai∩Aj =∅ , 1= ∞ U i i A ∈M ⇒ ( ) 11 i i ii A Aµ µ∞ ∞ == ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠ ∑U 1.4. Độ đo có dấu 1.4.1. Biến phân toàn phần của một hàm tập hợp Định nghĩa. Cho µ là một hàm tập xác định trên đại số C các tập con của X, E∈ C. Ta gọi biến phân toàn phần của µ trên E là số ( ),v Eµ , được định nghĩa nhờ công thức: ( ) ( ) 1 , supµ µ = = ∑n i i v E E Ở đây cận trên được lấy theo tất cả các họ hữu hạn{ }, 1,2,...,iE i n= ⊆ C rời nhau từng đôi một, iE E⊆ . 1.4.2. Biến phân trên, biến phân dưới Định nghĩa. Giả sử µ là hàm tập cộng tính với giá trị thực. Ta gọi biến phân trên µ+ và biến phân dưới µ− là những hàm tập được xác định lần lượt bởi các đẳng thức sau:  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 7 ( ) ( ) ( )( )1 , 2 E v E Eµ µ µ+ = + ( ) ( ) ( )( )1 , 2 E v E Eµ µ µ− = − 1.4.3. Định lý phân tích Jordan Nếu µ là hàm tập hợp cộng tính ( tương ứng σ - cộng tính) bị chặn xác định trên một đại số C thì với mọi E∈ C: ( ) ( ){sup : , E F F E Fµ µ+ = ⊆ ∈ C } ( ) ( ){inf : , E F F E Fµ µ− = − ⊆ ∈ C } Các hàm µ+ , µ− là cộng tính ( tương ứng σ - cộng tính) không âm. ( ) ( ) ( )E E Eµ µ µ+ −= − , ( ) ( ) ( ), , v E E E Eµ µ µ+ −= + ∈ C Chứng minh Chỉ cần xét trường hợp cộng tính, vì trường hợp σ - cộng tính là tương tự. Nếu , ,F E E F⊆ ∈ C thì: ( ) ( ) ( ) ( )2 \F F E E Fµ µ µ µ= + − ( ) ( ) ( )\E F E Fµ µ µ≤ + + ( ) ( ) ( ), 2E v E Eµ µ µ+≤ + = Do đó: ( ) ( )sup F E F Eµ µ+ ⊆ ≤ Mặt khác với mọi 0ε > bao giờ cũng tìm được một họ hữu hạn các tập rời nhau từng đôi một { }:iE i I∈ ⊆ C sao cho: i i I E E ∈ =U và ( ) ( ), i i I v E Eµ ε µ ∈ − <∑ Suy ra: ( ) ( ) ( )2 ,E v E Eµ ε µ µ ε+ − = + − ( ) ( )i i I E Eµ µ ∈ ≤ +∑ ( ) ( )i i i I i I E Eµ µ + −∈ ∈ = −∑ ∑ i i i I i I E Eµ µ + −∈ ∈ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦U U ( )2 2supi F Ei I E Fµ µ + ⊆∈ ⎛ ⎞= ≤⎜ ⎟⎝ ⎠U Vì ε nhỏ tuỳ ý, ta có: ( ) ( )sup F E E Fµ µ+ ⊆ ≤ Vậy ( ) ( )sup F E E Fµ µ+ ⊆ = Từ hai đẳng thức định nghĩa hàm µ+ và µ− ta có ( )µ µ +− = − do đó ( ) ( )inf F E E Fµ µ− ⊆= − Cuối cùng cũng từ hai đẳng thức định nghĩa hàm µ+ và µ− ta có  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 8 ( ) ( ) ( )E E Eµ µ µ+ −= − , ( ) ( ) ( ), , v E E E Eµ µ µ+ −= + ∈ C. 1.4.4. Độ đo có dấu Định nghĩa. Cho C là một đại số các tập con của X. Hàm tập µ xác định trên C được gọi là một độ đo có dấu nếu nó là σ - cộng tính. 1.5. Độ đo dương 1.5.1. Độ đo dương Định nghĩa. Độ đo µ được gọi là độ đo dương nếu µ (A) ≥ 0 với mọi A ∈ C. Trên cơ sở định lý phân tích Jordan và bằng cách biểu diễn độ đo giá trị phức µ dưới dạng Re Imiµ µ µ= + viêc nghiên cứu độ đo với giá trị thực hoặc phức được đưa về việc nghiên cứu độ đo dương. Vì vậy từ đây trở về sau khi nói đến độ đo là ta xét độ đo dương. 1.5.2. Độ đo hữu hạn Định nghĩa. Độ đo µ được gọi là độ đo hữu hạn nếu ( )Xµ < +∞ 1.5.3. Độ đo σ - hữu hạn Định nghĩa. Độ đo µ được gọi là độ đo σ −hữu hạn nếu X có thể biễu diễn dưới dạng: 1 n n X A ∞ = =U với nA ∈ C, ( )µ < +∞nA 1.5.4. Các tính chất cơ bản của độ đo dương Giả sử µ là độ đo dương trên đại số C . Khi đó: 1) A, B ∈ C, B ⊆ A⇒ µ (B) ≤ µ (A) 2) A, B ∈ C, B ⊆ A , µ (B) < +∞ ⇒ µ (A\B)= µ (A) - µ (B). 3) Ai∈ C ( i=1, 2,…, n), A∈ C, A ⊆ 1 i i A = ∞ U ⇒ ( )Aµ ≤ 1 ( )µ = ∞∑ i i A 4) A i∈ C (i=1, 2,…, n), Ai ∩A j= ∅ ∀ i≠ j, A∈C, 1= ∞ U i i A ⊆A ⇒ 1 ( )µ = ∞∑ i i A ( )µ≤ A Chứng minh 1) Vì B A⊆ nên ( \ )A A B B= ∪ do đó ( ) ( ) ( ) ( )\A A B B Bµ µ µ µ= + ≥ . 2) Nếu ( )Bµ < ∞ thì từ ( ) ( ) ( )\A A B Bµ µ µ= + có thể suy ra: ( ) ( ) ( )\A B A Bµ µ µ− = .  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 9 3) Trước hết để ý rằng, bất cứ các tập iB như thế nào ta cũng có thể chọn các /iB để có / 1 1 ∞ ∞ = = =U Ui i i i B B , đồng thời các /iB rời nhau từng đôi một, và nếu iB ∈ C thì /iB ∈ C. Thật vậy chỉ cần đặt ( )/ / /1 1 2 2 1 3 3 1 2, \ , \B B B B B B B B B= = = ∪ , …, 1 / 1 \ n n n i i B B B − = = U ,… ta thấy các /iB có những tính chất đã nêu. Bây giờ ta chứng minh tính chất 3 Vì 1 ∞ = ⊆U i i A A nên 1 ∞ = ⎛ ⎞= ∩⎜ ⎟⎝ ⎠U iiA A A ( )1 1i ii iA A B ∞ ∞ = = = ∩ =U U , với = ∩ ∈i iB A A C (do Ai, A ∈ C ). Theo nhận xét trên A = / 1 1 ∞ ∞ = = =U Ui i i i B B , trong đó /iB ∈ C , /i i iB B A⊆ ⊆ nên theo tính chất 1: ( ) ( )/µ µ≤i iB A và các /iB rời nhau nên theo tính chất σ - cộng tính ( ) ( ) ( )/ 1 1 µ µ µ∞ ∞ = = = ≤∑ ∑i i i i A B A . 4) Từ 1 i i A A ∞ = ⊆U ta suy ra với mọi n: 1 n i i A A = ⊆U , do đó theo tính chất 1, vì 1= ∈U n i i A C (do C là đại số) nên ( ) 1 µ µ = ⎛ ⎞ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠U n i i A A . Mặt khác các iA rời nhau nên: ( ) 11 µ µ == ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠ ∑U n n i i ii A A . Vậy ( ) ( ) 1 µ µ = ≤∑n i i A A và cho →+∞n ta được bất đẳng thức cần chứng minh. 1.6. Không gian độ đo Định nghĩa. Cho X là một không gian mêtric, F là σ − đại số các tập con của X, µ là một độ đo trên F thì bộ ba (X, F, µ ) được gọi là không gian độ đo. 1.7. Độ đo ngoài 1.7.1. Định nghĩa Cho X là một tập hợp khác rỗng. Hàm tập * :µ P(X) +→ được gọi là một độ đo ngoài nếu:  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 10 a) *µ là σ - cộng tính dưới: ( ) 11 * *µ µ∞ ∞ == ⎛ ⎞ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠ ∑U i iii A A , { }∀ ⊆iA P(X) b) ( )* 0µ ∅ = c) ( )* 0, A A Xµ ≥ ∀ ⊆ 1.7.2. Định lý Caratheodory Cho *µ là một độ đo ngoài trên X và L là lớp tất cả các tập con A của X sao cho ( ) ( ) ( )* * * \µ µ µ= ∩ +E E A E A , với mọi ⊆E X . Khi ấy L là một σ - đại số và hàm *µ µ= / L (thu hẹp của *µ trên L) là một độ đo trên L. Độ đo µ gọi là độ đo cảm sinh bởi độ đo ngoài *µ . Các tập ⊆A X thoả điều kiện ( ) ( ) ( )* * * \µ µ µ= ∩ +E E A E A , với mọi ⊆E X gọi là *µ - đo được. Chứng minh ¾ Trước hết ta chứng minh L là một σ - đại số. ™ Chứng minh X ∈ L ∀ ⊆E X : ( ) ( )* * \µ µ∩ +E X E X = ( ) ( )* *µ µ+ ∅E = ( )*µ E Suy ra X ∈ L ™ A∈ L chứng minh \ ∈X A L Vì A∈ L nên với mọi ⊆E X : ( ) ( ) ( )* * * \µ µ µ= ∩ +E E A E A Ta có: ( )\ \∩ =E A E X A ( )\ \= ∩E A E X A , với mọi ⊆E X Suy ra: ( ) ( )( ) ( )( )* * \ \ * \µ µ µ= + ∩E E X A E X A Vậy \ ∈X A L. ™∀ ∈iA L , i=1, 2, …cần chứng minh 1 ∞ = ∈U i i A L . ƒ 1 ∈A L nên ∀ ⊆E X : ( ) ( ) ( )1 1* * * \µ µ µ= ∩ +E E A E A ƒ 2 ∈A L nên 1 1\∀ = ⊆E E A X : ( ) ( )( ) ( )( )1 1 2 1 2* \ * \ * \ \µ µ µ= ∩ +E A E A A E A A Suy ra ( )*µ E = ( )1*µ ∩E A + ( )( ) ( )( )1 2 1 2* \ * \ \µ µ∩ +E A A E A A ƒ 3 ∈A L nên ( )2 1 2\∀ = ∪ ⊆E E A A X : ( )( ) ( )( ) ( )( )1 2 1 2 3 1 2 3* \ * \ * \ \µ µ µ⎡ ⎤ ⎡ ⎤∪ = ∪ ∩ + ∪⎣ ⎦ ⎣ ⎦E A A E A A A E A A A Suy ra ( )*µ E = ( )1*µ ∩E A + ( )( )1 2* \µ ∩E A A  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 11 + ( )( )1 2 3* \µ ⎡ ⎤∪ ∩⎣ ⎦E A A A + 3 1 * \µ = ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠U iiE A …………………………………… ( )*µ E = 1 1 1 * \µ − = = ⎛ ⎞⎛ ⎞∩⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠∑ U jk i j j i E A A + 1 * \µ = ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠U k j j E A Do đó ( )*µ E ≥ 1 1 1 * \µ − = = ⎛ ⎞⎛ ⎞∩⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠∑ U jk i j j i E A A + 1 * \µ ∞ = ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠U jjE A Vì điều này đúng với mọi k nên ( )*µ E ≥ 1 1 1 * \µ −∞ = = ⎛ ⎞⎛ ⎞∩⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠∑ U j i j j i E A A + 1 * \µ ∞ = ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠U jjE A (1) Mặt khác: 1 1 1 \ −∞ = = ⎛ ⎞⎛ ⎞∩⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠U U j i j j i E A A = 1 ∞ = ⎛ ⎞∩⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠U jjE A và 1 1 \ ∞ ∞ = = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⊆ ∩ ∪⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠U Uj jj jE E A E A Suy ra ( ) 1 1 * * * \µ µ µ∞ ∞ = = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞≤ ∩ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠U Uj jj jE E A E A ≤ 1 1 1 * \µ −∞ = = ⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞∩⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦U U j i j j i E A A + 1 * \µ ∞ = ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠U jjE A ≤ 1 1 1 * \µ −∞ = = ⎛ ⎞⎛ ⎞∩⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠∑ U j i j j i E A A + 1 * \µ ∞ = ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠U jjE A ( )*µ≤ E (từ (1)) Vậy ( ) 1 1 * * * \µ µ µ∞ ∞ = = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ∩ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠U Uj jj jE E A E A Do đó 1 ∞ = ∈U i i A L . ¾ Chứng minh *µ µ= / L là một độ đo ™ A∀ ∈ L ta có ( ) ( )* 0A Aµ µ= ≥ ™Ta có ∅∈ L nên ( ) ( )* 0µ µ∅ = ∅ = ™ Cho ∈iA L , i=1, 2, … rời nhau từng đôi một. Ta chứng minh: ( ) 11 *µ µ∞ ∞ == ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠ ∑U i iii A A  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 12 Đặt 1 ∞ = = ∈U i i E A L. Khi đó: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 11 * * *µ µ µ µ µ∞ ∞ ∞ = == ⎛ ⎞= = ≤ =⎜ ⎟⎝ ⎠ ∑ ∑U i i ii iiE E A A A Từ bất đẳng thức (1) ta có ( ) ( ) 1 µ µ∞ = ≥∑ j j E A Suy ra ( ) ( ) 1 µ µ∞ = = ∑ j j E A Vậy µ là σ - cộng tính do đó µ là một độ đo. 2. TÍCH PHÂN LEBESGUE 2.1. Hàm số đo được 2.1.1. Hàm đo được Định nghĩa. Cho (X, F, µ ) là một không gian độ đo, Y là một không gian tách Hausdorff. Ta nói rằng hàm :f X Y→ là đo được ( theo độ đo µ ) nếu nó thoả mãn các điều kiện sau: a) ( )1f G− ∈ F với mọi tập mở G Y⊆ . b) f có ảnh hầu khả ly, tức là tồn tại một tập đếm được H Y⊆ và một tập N X⊆ có độ đo 0, sao cho ( )\f X N H⊆ . 2.1.2. Hàm số đo được với giá trị trong không gian các số thực mở rộng Định nghĩa. Cho (X, F, µ ) là một không gian độ đo. Một hàm số f : X → gọi là đo được trên X đối với σ - đại số F nếu: ( ) ( ){ } :a x X f x a∀ ∈ ∈ < ∈ F . Từ đây về sau khi nói hàm số đo được và không nói gì thêm thì ta hiểu hàm số đó nhận giá trị trong . 2.1.3. Hàm bậc thang Định nghĩa. Cho (X, F, µ ) là một không gian độ đo. Một hàm số f : X → được gọi là hàm bậc thang trên X nếu nó chỉ nhận một số hữu hạn giá trị 1 2, , ..., nα α α . f là hàm bậc thang đo được trên X nó sẽ được biểu diễn như sau: f(x) = ( ) 1 i n i A i xα χ = ∑  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 13 với iα ∈ , iA ∈ F, i=1,……n, i jA A∩ =∅ với i j≠ và 1 n i i X A = =U 2.1.4. Định lý ( Cấu trúc của hàm số đo được) Mỗi hàm số f đo được trên X là giới hạn của một dãy hàm bậc thang đo được fn nhận giá trị trong hội tụ đến f . Nếu ( ) 0f x ≥ với mọi x X∈ thì có thể chọn các fn để cho ( ) 0;nf x ≥ ( ) ( )1 n nf x f x+ ≥ với mọi n và với mọi x X∈ Chứng minh ¾ Giả sử trước hết f(x) 0≥ ta đặt: ( ) ( ) ( ) khi 1 -1 khi 2 2 2 n n n n n f x n f x i i if x ⎧ ≥⎪= ⎨ − ≤ <⎪⎩ Khi đó: i) nf là hàm bậc thang, đo được không âm ii) 1 2 ...f f≤ ≤ và ( ) ( )lim nnf x f x→∞= ™ Thật vậy, nếu đặt: ( )1: 2 2i n n i iX x X f x−⎧ ⎫= ∈ ≤ <⎨ ⎬⎩ ⎭ , 1, 2, ..., 2 ni n= ( ){ }2 1 :nnX x X f x n+ = ∈ > thì iX ( 1, 2, ..., 2 1) ni n= + là các tập đo được và: ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 1 2 n i nn n n X Xn i if x x n xχ χ += −= +∑ nghĩa là fn thoả mãn i). ™ Để chứng tỏ { fn } đơn điệu tăng , ta chú ý: 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2, , , 2 2 2 2 2 2n n n n n n i i i i i i + + + + − − − −⎡ ⎞ ⎡ ⎞ ⎡ ⎞= ∪⎟ ⎟ ⎟⎢ ⎢ ⎢⎣ ⎠ ⎣ ⎠ ⎣ ⎠ (*) Lấy tuỳ ý x X∈ nếu ( )f x n≥ thì ( ) ( )1 1n nf x n n f x+ = + ≥ = còn nếu ( )f x n< thì ắt phải tồn tại 2ni n≤ sao cho: ( )1 2 2n n i if x− ≤ < Từ đẳng thức (*) suy ra: ( ) ( )1 12 22n nn if x f x+ + −= = hoặc ( ) ( )1 12 12n nn if x f x+ + −= ≥  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 14 Vậy trong mọi trường hợp ta đều có: ( ) ( )1n nf x f x+≤ ™ Ta hãy chứng minh rằng ( ) ( )lim nnf x f x→∞= Nếu ( )f x < +∞ thì với n đủ lớn f(x) < n, cho nên tồn tại i để: ( )1 2 2n n i if x− ≤ < , do đó ( ) 1 2n n if x −= chứng tỏ rằng: ( ) ( ) ( )1 0 2n n f x f x n− ≤ → →∞ Nếu ( )f x = +∞ thì ( ) , f x n n≥ ∀ , cho nên ( )nf x n= →∞ . Vậy trong mọi trường hợp: ( ) ( )nf x f x→ . ¾ Bây giờ giả sử f (x) bất kỳ, ta đặt: ( ) ( ){ }max ; 0f x f x+ = , ( ) ( ){ }max ; 0f x f x− = − Ta có ( ) ( ) ( )f x f x f x+ −= − , các hàm số , f f+ − đo được không âm, cho nên theo trên có hai dãy hàm bậc thang đo được nf + và nf − hội tụ tới f + và f − . Đặt ( ) ( ) ( )n n nf x f x f x+ −= − thì { }nf là dãy hàm bậc thang đo được, và ( ) ( )lim nnf x f x→∞= 2.1.5. Hội tụ hầu khắp nơi Định nghĩa. Dãy hàm {fn} đo được trên X gọi là hội tụ hầu khắp nơi tới hàm f nếu tồn tại tập con A X⊆ và ( ) 0Aµ = sao cho: ( ) ( )lim nn f x f x→∞ = với mọi \x X A∈ 2.1.6. Hội tụ theo độ đo Định nghĩa. Cho f, fn , (n = 1, 2, …) là các hàm đo được trên A ∈ F. Ta nói rằng dãy hàm { }nf hội tụ theo độ đo µ đến f và ký hiệu nf fµ⎯⎯→ nếu với mọi số 0ε > ta có: ( ) ( ){ }lim : 0nn x A f x f xµ ε→∞ ∈ − ≥ = 2.1.7. Định lý Egorov Cho một dãy hàm số nf đo được , hữu hạn hầu khắp nơi và hội tụ hầu khắp nơi trên một tập đo được A có độ đo ( )Aµ tồn tại một tập đo được B A⊆ sao cho ( )\A Bµ ε< và dãy nf hội tụ đều trên tập B. Nói vắn tắt, mọi sự hội tụ trên một tập có độ đo hữu hạn có thể biến thành hội tụ đều sau khi bỏ đi một tập có độ đo nhỏ tuỳ ý.  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 15 Chứng minh Không giảm tính tổng quát ta có thể giả thiết các ( )nf x hữu hạn khắp nơi và hội tụ khắp nơi trên A. Cho ( )f x là giới hạn của dãy ( )nf x . Đặt ( ) ( ) 1:kn i i n A x A f x f x k ∞ = ⎧ ⎫= ∈ − <⎨ ⎬⎩ ⎭U ta thấy rằng nếu x A∈ thì với mỗi k phải tồn tại một n nào đó để knx A∈ . Vậy với mọi k kn i n A A ∞ = =U Nhưng rõ ràng 1 2 ... k kA A⊆ ⊆ , cho nên ( ) ( )lim knnA Aµ µ→∞= và với 0ε > cho trước có thể tìm kn để ( )\ 2kkn kA A εµ < .Khi ấy đặt: 1 kknkB A ∞ = =I ta có ( ) 1 \ \ k k n k A B A A ∞ = =U , nên ( ) ( ) 1 1 \ \ 2k k n k k k A B A A εµ µ ε∞ ∞ = = ≤ < =∑ ∑ Dễ thấy rằng dãy ( )nf x hội tụ đều trên tập B, vì với mọi k cho trước: ( ) ( ) 1 k k n ix B x A f x f x k ∈ ⇒ ∈ ⇒ − < với mọi ki n≥ . 2.2. Tích phân Lebesgue 2.2.1. Tích phân của hàm bậc thang đo được không âm Định nghĩa. Giả sử (X, F, µ ) là một không gian độ đo và :f X → là hàm bậc thang đo được không âm. Viết f dưới dạng: f(x) = ( ) 1 i n i A i xα χ = ∑ với iα ∈ , iA ∈ F, i=1,……n, i jA A∩ =∅ với i j≠ và 1 n i i X A = =U Ta gọi tổng ( ) 1 n i i i a Aµ = ∑ (*) là tích phân của f (theo độ đo) trên X và ký hiệu là X fdµ∫ hay đơn giản là X f∫ khi µ đã cố định. Khi tổng (*) hữu hạn ta nói f khả tích trên X.  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 16 Nhận xét: Giả sử f có biểu diễn khác: f(x) = ( ) 1 j m j B j xβ χ = ∑ với jβ ∈ , jB ∈ F, j =1,……m, i jB B∩ =∅ với i j≠ và 1 n j j X B = =U . Khi đó: ( ) 1 1 m m i i i j i j j j A A A A B A B = = ⎛ ⎞= ∩ = ∩ = ∩⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠U U trong đó các tập i jA B∩ rời nhau nên: ( ) ( ) 1 1 1 n n m i i i i j i i j A A Bα µ α µ = = = ⎡ ⎤= ∩⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ∑ ∑ ( )1 1 n m i i j i j A Bα µ = = = ∩∑∑ và cũng như thế: ( ) 1 m j j j Bβ µ = ∑ ( ) 1 1 m n j i j j i A Bβ µ = = = ∩∑∑ . Mặt khác: i jα β= nếu i jA B∩ ≠ ∅ Thật vậy trong trường hợp này với 0 i jx A B∈ ∩ ta có ( )0i jf xα β= = . Do đó: ( ) 1 n i i i Aα µ = ∑ = ( ) 1 m j j j Bβ µ = ∑ . Vậy tích phân của một hàm bậc thang đo được không âm bao giờ cũng được xác định một cách duy nhất. 2.2.2. Tích phân của hàm đo được không âm Định nghĩa. Giả sử :f X +→ là hàm đo được không âm. Ta gọi tích phân của f trên X mà ký hiệu bởi X fdµ∫ là lim nn X f dµ→∞ ∫ Ở đây { }nf là một dãy tăng các hàm bậc thang đo được không âm hội tụ tới f. Khi X fdµ∫ hữu hạn ta nói f khả tích trên X. Nhận xét 1) ( ) X X X f g d fd gdµ µ µ+ = +∫ ∫ ∫ với f và g là các hàm đo được không âm trên X.  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 17 2) X X fd fdα µ α µ=∫ ∫ với mọi 0α > và mọi f đo được không âm trên X 2.2.3. Tích phân của hàm đo được tuỳ ý Định nghĩa. Giả sử :f X → là hàm đo được tuỳ ý. Viết f f f+ −= − với { } { }max ,0 , max ,0 .f f f f+ −= = − đó là các hàm đo được không âm. Nếu cả hai tích phân X f dµ+∫ và X f dµ−∫ không đồng thời bằng +∞ , ta có thể đặt: X X X fd f d f dµ µ µ+ −= −∫ ∫ ∫ và gọi là tích phân của f trên X. Khi cả hai X f dµ+∫ và X f dµ−∫ đều hữu hạn, f sẽ gọi là khả tích trên X. 2.2.4. Định lý Nếu f là hàm đo được trên X và A, B là các tập rời nhau, , A B∈ F thì: A B A B fd fd fdµ µ µ ∪ = +∫ ∫ ∫ miễn là vế trái hoặc vế phải có nghĩa. Chứng minh ¾ f là hàm bậc thang đo được không âm trên A B∪ ( ) 1 , i n i E i i f x Eα χ = =∑ rời nhau, 1 n i i E A B = = ∪U Ta có: ( ) ( )i i iE A E B E= ∩ ∪ ∩ và A, B rời nhau nên ( )iA E∩ và ( )iB E∩ cũng rời nhau. ( ) 1 n i i iA B f Eα µ =∪ =∑∫ ( ) ( ) 1 n i i i i A E B Eα µ = ⎡ ⎤= ∩ ∪ ∩⎣ ⎦∑ ( ) ( ) 1 1 n n i i i i i i A E B Eα µ α µ = = = ∩ + ∩∑ ∑ A B f f= +∫ ∫ ¾ f là hàm đo được không âm Khi đó tồn tại một dãy hàm bậc thang đo được không âm { }, n nf f f Ta có n n n A B A B f f f ∪ = +∫ ∫ ∫ Cho n →∞ ta có: A B A B f f f ∪ = +∫ ∫ ∫  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 18 ¾ f đo được có dấu bất kỳ Giả sử A B f ∪ ∫ có nghĩa: A B A B A B f f f+ − ∪ ∪ ∪ = −∫ ∫ ∫ Giả sử A B f + ∪ < ∞∫ A B A B f f f+ + + ∪ ⇒ = + < ∞∫ ∫ ∫ A B f f + + ⎧ < ∞⎪⎪⇒ ⎨ < ∞⎪⎪⎩ ∫ ∫ A B A B f f f− − − ∪ = +∫ ∫ ∫ A B A B A B A B A B f f f f f f f+ − + + − − ∪ ∪ ∪ ⎛ ⎞= − = + − +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ A A B B f f f f+ − + − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫ A Bf f= +∫ ∫ Hệ quả Cho A ∈ F , nếu ( ) 0Aµ = và f đo được trên A thì 0 A f =∫ . 2.2..5. Định lý Giả sử ( )Xµ < ∞ , khi đó nếu f đo được và bị chặn trên X thì f khả tích trên X. 2.2.6. Định lý ( Tính chất tuyến tính của tích phân) a) Nếu f và g là các hàm đo được trên X thì : ( ) X X X f g d fd gdµ µ µ+ = +∫ ∫ ∫ miễn là vế phải có nghĩa. b) Nếu α ∈ và f đo được trên X thì: X X fd fdα µ α µ=∫ ∫ Chứng minh Ta cần bổ đề sau: 2.2.7. Bổ đề Nếu u v w= − , ở đây u, v và w là các hàm đo được trên X, và nếu v u+≥ thì X X X ud vd wdµ µ µ= −∫ ∫ ∫ miễn là vế phải có nghĩa.  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 19 Chứng minh Do v u+≥ , từ đẳng thức v w u u+ −− = − suy ra 0h v u w u+ −= − = − ≥ hay 0v h u+= + ≥ và 0w h u−= + ≥ Ta có: X X X vd hd u dµ µ µ+= +∫ ∫ ∫ X X X wd hd u dµ µ µ−= +∫ ∫ ∫ bởi vì X vdµ∫ và X wdµ∫ không đồng thời nhận hai giá trị +∞ nên X hdµ < +∞∫ . Suy ra: X X X X X vd wd u d u d udµ µ µ µ µ+ −− = − =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Chứng minh định lý 2.2.6 a) Vì X X fd gdµ µ+∫ ∫ có nghĩa nên có thể viết: X X X X X X fd gd f d f d g d g dµ µ µ µ µ µ+ − + −+ = − + −∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) X X f g d f g dµ µ+ + − −= + − +∫ ∫ Bởi vì 0, 0f g f g+ + − −+ ≥ + ≥ ( ) ( )f g f g f g+ + − −+ = + − + và ( )f g f g ++ ++ ≥ + Áp dụng bổ đề trên với u f g= + và v f g+ += + và w f g− −= + ta được: ( ) ( ) ( ) X X X f g d f g d f g dµ µ µ+ + − −+ = + − +∫ ∫ ∫ X X fd gdµ µ= +∫ ∫ b) Do định nghĩa của tích phân hàm đo được tuỳ ý và nhận xét 2) dễ thấy rằng khẳng định b) đúng với mọi 0α ≥ . Như vậy chỉ cần kiểm tra lại ( ) X X f d fdµ µ− = −∫ ∫ với mọi hàm đo được f trên X. Tuy nhiên đẳng thức trên là rõ ràng vì ( ) ( ), f f f f−+ − += − = và do đó: ( ) X X X X f d f d f d fdµ µ µ µ− +− = − = −∫ ∫ ∫ ∫  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 20 Hệ quả Nếu , f g khả tích thì f gα β+ khả tích với , α β ∈ và: ( ) X X X f g d fd gdα β µ α µ β µ+ = +∫ ∫ ∫ 2.2.8. Định lý Giả sử { fn } là một dãy các hàm đo được không âm và ( ) ( ) 1 n n f x f x ∞ = = ∑ . Khi đó: 1 n nX X fd f dµ µ∞ = = ∑∫ ∫ Chứng minh ƒ Với mọi k ≥ 1 ta có: 1 k n n f f = ≤∑ do đó: 1 1 k k n n n nX X X f d f d fdµ µ µ = = ⎛ ⎞= ≤⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑∫ ∫ ∫ cho k →∞ , ta được: 1 n n X X f d fdµ µ∞ = ≤∑∫ ∫ ƒ Để chứng minh bất đẳng thức ngược lại, với mọi 1n ≥ , xét dãy tăng các hàm bậc thang đo được không âm{ }, 1n m mf ≥ hội tụ đến nf . Đặt , 1 m m n m n g f = = ∑ . Khi đó mg là các hàm bậc thang đo được không âm và: 1 1 , 1 , 1 1, 1 1 1 m m m n m n m m m n n g f f f + + + + + + = = = = +∑ ∑ , 1 m n m m n f g = ≥ =∑ Mặt khác với1 p m≤ ≤ ta có: , , 1 1 1 p m m n m n m m n n n n f f g f f = = = ≤ = ≤ ≤∑ ∑ ∑ cho m →∞ ta được: 1 lim p n mmn f g f →∞= ≤ ≤∑ Do p tuỳ ý nên lim mm g f→∞ = . Vì mg là dãy tăng các hàm bậc thang ta có: , 1 1 lim lim m m n m nm m n nX X X X fd g d f d f dµ µ µ µ∞ →∞ →∞ = = = = ≤∑ ∑∫ ∫ ∫ ∫ 2.2.9. Định lý Lebesgue – Levi về hội tụ đơn điệu Nếu { }nf là dãy tăng các hàm đo được không âm trên X hội tụ tới f thì: lim nn X X f d fdµ µ →∞ =∫ ∫  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 21 Chứng minh Có thể xem nf khả tích với mọi 1n ≥ , vì nếu không thì n X f dµ = +∞∫ với n đủ lớn. Thành thử lim nn X X f d fdµ µ →∞ = +∞ =∫ ∫ Đặt ( ) ( ) ( )0 1 10, u x u x f x= = với mọi x X∈ và ( ) ( )( ) ( ) ( )1 1 0 khi khi n n n n n f x u x f x f x f x+ + ⎧ = +∞⎪= ⎨ − < +∞⎪⎩ Khi đó { }nu là các hàm đo được không âm và 1 lim n nn n f u ∞ →∞ = = ∑ Áp dụng định lí 2.2.8, ta có: ( ) 1 1 lim n n nn n nX X X f d u d u dµ µ µ∞ ∞→∞ = = ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑∫ ∫ ∫ 1 1 limn n nnn X X X f d f d f dµ µ µ∞ − →∞= ⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∫ ∫ ∫ 2.2.10. Bổ đề Fatou Nếu { }nf là dãy hàm đo được không âm trên X thì: ( )lim limn n X X f d f dµ µ≤∫ ∫ Chứng minh Với mỗi 1n ≥ đặt: { }1inf , ,...n n ng f f += . Khi đó { }ng là dãy tăng các hàm đo được không âm và , lim limn n n nng f g f→∞≤ = Áp dụng định lý Lebesgue – Levi cho dãy { }ng ta có: ( )lim lim lim limn n n nn n X X X X f d g d g d f dµ µ µ µ→∞ →∞= = ≤∫ ∫ ∫ ∫ 2.2.11. Định lý Lebesgue về hội tụ bị chặn Giả sử { }nf là dãy các hàm đo được trên X thỏa mãn: (i) fn bị chặn bởi một hàm không âm khả tích trên X: ( ) ( ) , 1, nf x g x n x X≤ ∀ ≥ ∀ ∈ (ii) Dãy { }nf hội tụ hầu khắp nơi hoặc hội tụ theo độ đo µ tới f . Khi đó f khả tích và lim nn X X f d fdµ µ→∞ =∫ ∫  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 22 Chứng minh Trước hết do g khả tích nên nó hữu hạn hầu khắp nơi. Do đó có thể xem g hữu hạn khắp nơi. a) Trường hợp hknnf f⎯⎯→ trên X. Do {( : nx X fµ ∈ → ( )}) 0f x = Có thể xem ( ) ( )nf x f x→ với mọi x X∈ .Vậy từ bất đẳng thức ( ) ( ) , 1, nf x g x n x X≤ ∀ ≥ ∀ ∈ suy ra ( ) ( ) , f x g x x X≤ ∀ ∈ Bất đẳng thức này chứng tỏ rằng hàm g khả tích kéo theo hàm f khả tích và do đó f cũng khả tích. Ta còn phải chứng minh rằng: lim nn X X f d fdµ µ→∞ =∫ ∫ Áp dụng bổ đề Fatou cho dãy { }ng f+ ta được: ( ) ( )lim limn n X X g f d g f dµ µ+ ≤ +∫ ∫ hay: lim limn n X X X X gd f d gd f dµ µ µ µ+ ≤ +∫ ∫ ∫ ∫ do g khả tích ta có: lim limn n X X X fd f d f dµ µ µ= ≤∫ ∫ ∫ Hoàn toàn tương tự, do: 0ng f− ≥ và ( )lim limn ng f g f− = − Theo bổ đề Fatou ta lại có: ( ) ( )lim limn n X X g f d g f dµ µ− ≤ −∫ ∫ hay: lim limn n X X X X gd f d gd f dµ µ µ µ− ≤ −∫ ∫ ∫ ∫ vì g khả tích, nên: lim limn n X X X f d f d fdµ µ µ≤ =∫ ∫ ∫ Vậy: lim nn X X f d fdµ µ→∞ =∫ ∫ b) Trường hợp nf f µ⎯⎯→ . Bởi vì dãy { }nf có một dãy con { }knf hội tụ hầu khắp nơi đến f, nên tính khả tích của f suy ra từ a). Từ định nghĩa giới hạn trên tồn tại dãy { }kn , để limkn n X X f d f dµ µ→∫ ∫  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 23 Mặt khác vì nf f µ⎯⎯→ nên tồn tại dãy { }jkn , sao cho: kj hknnf f⎯⎯→ Theo a): lim kjnj X X f d fdµ µ→∞ =∫ ∫ Và do đó lim n X X f d fdµ µ=∫ ∫ Hoàn toàn tương tự lim n X X f d fdµ µ=∫ ∫ Vậy: lim nn X X f d fdµ µ→∞ =∫ ∫  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 24 Chương 2 ĐỘ ĐO RADON VÀ ĐỊNH LÝ BIỂU DIỄN RIESZ 1. ĐỘ ĐO RADON 1.1. Định nghĩa 1.1.2. Độ đo xác suất Định nghĩa . Cho không gian mêtric X, C là đại số các tập con của X. Độ đo µ được gọi là độ đo xác suất nếu: µ : C [ ]0,1→ và ( ) ( )0, 1Xµ µ∅ = = 1.1.2. Không gian xác suất Định nghĩa. Cho X là một không gian mêtric, F là σ − đại số các tập con của X, µ là một độ đo xác suất trên F. Khi đó bộ ba (X, F, µ ) được gọi là không gian xác suất. 1.1.3. Độ đo Borel Định nghĩa. Cho không gian mêtric X . Độ đo µ xác định trên σ− đại số Borel B(X) được gọi là độ đo Borel. 1.1.4. Độ đo Radon Định nghĩa. Cho không gian tôpô tách Hausdorff X ¾ Một độ đo Borel µ trên X được gọi là độ đo Radon nếu: i) ( )Kµ < +∞ với mọi K compact, K X⊆ ii) ( ) ( ){ }sup : compact, B K K K Bµ µ= ⊆ , ∀B∈ B(X). ¾ Độ đo µ được gọi là chặt nếu: ( ) ( ){ }sup : compact, X K K K Xµ µ= ⊆  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 25 1.1.5. Độ đo Borel chính quy Định nghĩa. Một độ đo Borel hữu hạn µ được gọi là chính quy nếu: µ(B) = sup{µ(F): F đóng, F ⊆ B}, ∀B∈ B(X). (1) Mệnh đề tương đương ta có: Một độ đo Borel hữu hạn µ là chính quy khi và chỉ khi: µ(B) = inf{µ(G): G mở, B ⊆ G}, ∀B∈ B(X). (2) Ta chứng minh định nghĩa (2) là tương đương với định nghĩa (1). ( )⇒ Ta có: µ(B) = sup{µ(F): F đóng, F ⊆ B}, ∀B∈ B(X). Do đó ∀B∈ B(X) ε∀ >, 0 , ∃ F đóng, ⊆F B sao cho: ( ) ( )B Fµ µ ε< + ( ) ( ) ( ) ( )X B X Fµ µ µ µ ε⇒ − > − − ( ) ( )C CB Fµ µ ε⇒ > − Mặt khác ta có: F đóng , CF B F⊆ ⇒ mở và C CF B⊇ B∈ B(X) CB⇒ ∈ B(X) Vậy: µ(B) = inf{µ(G): G mở, B ⊆ G}, ∀B∈ B(X) ( )⇐ Ta có: µ(B) = inf{µ(G): G mở, B ⊆ G}, ∀B∈ B(X) Do đó ∀B∈ B(X) ε∀ >, 0 , ∃ G mở, B G⊆ sao cho: ( ) ( )B Gµ µ ε> − ( ) ( ) ( ) ( )X B X Gµ µ µ µ ε⇒ − < − + ( ) ( )C CB Gµ µ ε⇒ < + Mặt khác ta có: G mở , CB G G⊆ ⇒ đóng và C CG B⊆ B∈ B(X) CB⇒ ∈ B(X) Vậy: µ(B) = sup{µ(F): F đóng, F ⊆ B}, ∀B∈ B(X). 1.2. Một số tính chất của độ đo Radon 1.2.1. Định lý Độ đo hữu hạn µ là độ đo Radon khi và chỉ khi µ là độ đo chính quy chặt trên không gian tôpô X tách Hausdorff.  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 26 Chứng minh ( )⇒ µ là độ đo Radon nên theo định nghĩa: ( ) ( ){ }sup : compact, , B K K K B Bµ µ= ⊆ ∀ ∈ B(X) K compact trong không gian X tách Hausdorff nên K đóng. Vậy µ là độ đo chính quy. Từ định nghĩa độ đo Radon, do X ∈ B(X) nên: ( ) ( ){ }sup : compact, X K K K Xµ µ= ⊆ Vậy µ là độ đo chặt. ( )⇐ Theo giả thiết µ là độ đo chính quy nên: ( ) ( ){supA Fµ µ= , F đóng, }, F A A⊆ ∀ ∈ B(X) Suy ra với A∈ B(X), 0ε∀ > , Fε∃ đóng sao cho F Aε ⊆ và ( )\ 2A Fε εµ < Mặt khác µ là độ đo chặt nên tồn tại tập Kε compact sao cho : ( )\ 2 X Kε εµ < Đặt K K Fε ε= ∩ vì compact, K Fε ε đóng nên K đóng mà K Kε⊆ ⇒K compact Hơn nữa K F Aε⊆ ⊆ và ( ) ( ) ( ) ( )\ \ \ \A K A F K A F A Kε ε ε εµ µ µ ⎡ ⎤= ∩ = ∪⎣ ⎦ ( ) ( )\ \A F A Kε εµ µ≤ + ( ) ( )\ \A F X Kε εµ µ≤ + 2 2 ε ε ε< + = Hay ( ) ( )A Kµ µ ε− < ( ) ( ){ } sup : compact, ,A K K K A Aµ µ⇒ = ⊆ ∀ ∈ B(X) ⇒ µ là độ đo Radon. 1.2.2. Định lý Độ đo hữu hạn µ là độ đo chính quy khi và chỉ khi A∀ ∈ B(X), 0, Fεε∀ > ∃ đóng và Gε mở sao cho: ( ) ) ) \ i F A G ii G F ε ε ε εµ ε ⊆ ⊆ <  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 27 Chứng minh Ta có µ là độ đo chính quy khi và chỉ khi: A∀ ∈ B(X), 0, Fεε∀ > ∃ đóng, ( ) ( ): 2F A F Aε ε εµ µ⊆ > − Và A∀ ∈ B(X), 0, Gεε∀ > ∃ mở, ( ) ( ): 2G A G Aε ε εµ µ⊇ < + Suy ra F A Gε ε⊆ ⊆ và ( ) ( ) ( )\G F G Fε ε ε εµ µ µ= − ( ) ( ) 2 2 A Aε εµ µ ε⎛ ⎞< + − − =⎜ ⎟⎝ ⎠ 1.2.3. Định lý Giả sử X là không gian tôpô sao cho mỗi tập đóng của nó là tập δG (giao đếm được các tập mở). Khi đó mỗi độ đo hữu hạn trên X là chính quy. Chứng minh Giả sử U là lớp gồm tất cả các tập A∈ B(X) thoả mãn các điều kiện sau: ( ) ( ){sup :A F Fµ µ= đóng, }F A⊆ ( ) ( ){inf :A G Gµ µ= mở, }G A⊇ ¾ Trước hết ta chứng minh U là σ − đại số: ƒ Vì ∅ và X là hai tập vừa đóng vừa mở nên ∅∈ U , X ∈ U ƒ Với A∈ U thì A∈ B(X) và ∃ F đóng, , 0F A ε⊆ ∀ > thoả mãn ( ) ( )A Fµ µ ε< + ( ) ( ) ( ) ( )X A X Fµ µ µ µ ε⇒ − > − − ( ) ( )C CA Fµ µ ε⇒ > − Ta có F đóng , CF A F⊆ ⇒ mở và C CF A⊇ Vậy ∈CA U . ƒ Ta phải chứng minh U đóng kín với phép hợp đếm được Giả sử { }nA ⊆U , 1 n n A A ∞ = =U . Ta cần chứng minh A∈ U Thật vậy, do nA ∈ U nên nA ∈ B(X) và 0, nFεε∀ > ∃ đóng, nGε mở sao cho: n n nF A Gε ε⊆ ⊆ và ( )\ 3n n nG Fε ε εµ <  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 28 Đặt 1 1 , n n n n F F G Gε ε ∞ ∞ = = = =U U thì F và G là các tập mở do hợp đếm được các tập mở là tập mở. Do µ là độ đo hữu hạn nên tồn tại k ∈ N sao cho: 1 \ 2 k n n F Fε εµ = ⎛ ⎞ <⎜ ⎟⎝ ⎠U Đặt 1 k n n F Fε ε = =U thì Fε là tập đóng Ta thấy Fε đóng, G Gε= mở, F A Gε ε⊆ ⊆ và: ( ) ( ) ( )\ \ \G F G F F Fε ε εµ µ µ≤ + ( ) 1 \ 2 n n n G Fε ε εµ∞ = ≤ +∑ 1 3 2nn ε ε ε∞ = < + =∑ A⇒ ∈ U Vậy U là σ − đại số. ¾ Như vậy U là σ − đại số, U ⊆ B(X) nên nếu ta chứng minh mỗi tập đóng đều thuộc U thì U = B(X) Do F đóng nên F có dạng 1 n n F G ∞ = = I với nG mở Ta có thể xem nG F (đặt / 1 n n k k G G = = I ) suy ra ( ) ( )nG Fµ µ ⇒ 00 : nn N F G∃ ∈ ⊆ và ( )0 \nG Fµ ε< F⇒ ∈ U ⇒ U = B(X) Nên mỗi độ đo hữu hạn trên không gian tôpô mà mỗi tập đóng của nó là tập Gσ là chính quy. 1.2.4. Mệnh đề Mọi độ đo hữu hạn trên không gian mêtric bất kỳ là chính quy. Chứng minh Thật vậy, trong không gian mêtric với mỗi tập A đóng thì 1 n n A A ∞ = =I với ( ) 1: ,nA x X d x A n ⎧ ⎫= ∈ <⎨ ⎬⎩ ⎭ mở  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 29 Áp dụng định lý 1.2.3 suy ra mọi độ đo hữu hạn trên không gian mêtric bất kỳ là độ đo chính quy. 1.2.5. Định lý Giả sử X là không gian mêtric khả ly và đủ. Khi đó, mọi độ đo xác suất trên X là độ đo Radon. Chứng minh Vì X là không gian khả ly nên có thể phủ X bằng một số đếm được các hình cầu đóng bán kính 1 n tức là: ( ) 1 nj j X B ∞ = =U Giả sử µ là một độ đo xác suất trên X, khi đó tồn tại nk N∈ sao cho: 1 1 2 nk nj n j B εµ = ⎛ ⎞ > −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠U Đặt 1 nk n nj j X B = =U và 1 n n K Xε ∞ = =I Ta thấy rằng Kε là tập đóng và hoàn toàn bị chặn. Do X là không gian đủ nên Kε là tập compact. Hơn nữa ta có: ( ) ( ) 1 1 \ \ 2n nn n X K X Xε εµ µ ε∞ ∞ = = ≤ < =∑ ∑ Suy ra µ là độ đo chặt. Theo mệnh đề 1.2.4 µ là một độ đo xác suất trên không gian mêtric nên µ là độ đo chính quy. Do đó theo định lý 1.2.1 thì µ là độ đo Radon trên X. 1.2.6. Họ có hướng tăng ( giảm ) Định nghĩa. Một họ ( )j j JB ∈ khác rỗng được gọi là họ có hướng tăng (giảm) nếu với bất kỳ 1 2,j j J∈ tồn tại 3j J∈ sao cho: ( )1 2 3 1 2 3j j j j j jB B B B B B∪ ⊆ ∩ ⊇ 1.2.7. Độ đo τ - Trơn Định nghĩa. Một độ đo Borel µ trên không gian tôpô X được gọi là τ - trơn nếu với mỗi lưới có hướng tăng ( )Uλ λ∈Λ các tập con mở của X thì ( )limU Uλ λλλµ µ∈Λ ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠U  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 30 1.2.8. Định lý a) Mọi độ đo Borel trên không gian tôpô X với cơ sở đếm được (đặc biệt là trên không gian mêtric khả ly) là τ - trơn. b) Mọi độ đo hữu hạn τ - trơn trên không gian tôpô chính quy là chính quy. c) Mọi độ đo Radon trên không gian tôpô tách Hausdorff là τ - trơn. Chứng minh a) Do X có cơ sở đếm được nên hợp của một họ tuỳ ý các tập con mở của X trùng với một họ đếm được các tập con mở của X. Suy ra, với họ nA các tập mở có hướng tăng trên X thì: ( ) 1 limn nnn A Aµ µ∞ = ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠U µ⇒ là độ đo τ - trơn. b) Đặt F0 ={B∈ B(X) ( ) ( ){: sup , , B F F B Fµ µ= ⊆ đóng }} F {B= ∈ B(X) : , CB B ∈ F0 } Trước hết ta chứng minh F là σ − đại số. ƒ Vì ∅ và X là hai tập vừa đóng vừa mở nên ∅ , X thuộc F. ƒ Giả sử B∈ F , CB B⇒ ∈ F0 và , CB B ∈ B(X) Ta có CB ∈ F0 ( )CCB B⇒ = ∈ F0⇒ CB ∈ F ƒ Giả sử nB ∈ F, n =1, 2,… đặt 1 n n B B ∞ = =U . Ta cần chứng minh B ∈ F Thật vậy, từ nB ∈ F với ∀n=1, 2, … ta có: , Cn nB B ∈ F0 , ∀n=1, 2, … nên 0, nFεε∀ > ∃ đóng, nGε mở sao cho: n n nF B Gε ε⊆ ⊆ và ( )\ 3n n nG Fε ε εµ < Đặt 1 1 , n n n n F F G Gε ε ε ∞ ∞ = = = =U U Vìµ là độ đo hữu hạn nên 1 : \ 2 k n n k N F Fε εµ = ⎛ ⎞∃ ∈ <⎜ ⎟⎝ ⎠U Đặt 1 k n n F F Fε ε ε = = ⇒U đóng, F Fε ⊆ F B Gε ε⇒ ⊆ ⊆ . Ta lại có: ( ) ( ) ( )\ \ \G F G F F Fε ε ε εµ µ µ≤ +  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 31 1 1 \ 2 n n n n G Fε ε εµ ∞ ∞ = = ⎡ ⎤≤ +⎢ ⎥⎣ ⎦U U ( ) 1 \ 2 n n n G Fε ε εµ ∞ = ⎡ ⎤≤ +⎢ ⎥⎣ ⎦U ( ) 1 \ 2 n n n G Fε ε εµ∞ = ≤ +∑ 1 3 2 2 2nn ε ε ε ε ε∞ = < + = + =∑ 1 n n B B ∞ = ⇒ = ∈U F Vậy F là σ − đại số. Mặt khác do X là không gian tôpô chính quy nên với mỗi tập mở U ⊆ X tồn tại các tập con mở jV U⊆ sao cho: 1 , j j j V U V U ∞ = ⊆ =U Do µ là độ đo τ - trơn nên: ( ) ( ){ }sup :j j j J U V V Uµ µ ∈ = ⊆ Khi đó với 0ε > bé tuỳ ý, 0j J∃ ∈ sao cho: ( ) ( )0jU Vµ µ ε< + ( ) ( )0jU Vµ µ ε⇒ < + U⇒ ∈ F Vậy F = B(X) hay µ là độ đo chính quy trên X. c) Giả sử ( )Uλ λ∈Λ là họ các tập con mở có hướng tăng của X. Đặt U Uλ λ∈Λ = U Vì µ là độ đo Radon trên không gian tôpô Hausdorff nên với mỗi 0ε > tồn tại một tập compact K Uε ⊆ sao cho ( )\U Kεµ ε< Mặt khác Kε là tập compact nên tồn tại phủ mở Uλ phủ Kε suy ra tồn tại ελ sao cho K U εε λ⊆ , do đó ( ) ( ) ( ) ( ) ,U U U U ελ λ εµ µ µ µ λ λ− ( ) ( )U Kεµ µ ε< − < ( ) ( )U Uλµ µ ε⇒ < + ( ) ( ){ }supU U ε λλ λ µ µ > ⇒ =  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 32 ⇒ µ là độ đo τ - trơn. 1.2.9. Định lý Lusin Giả sử µ là độ đo xác suất Radon trong không gian tôpô hoàn toàn chính quy X và : f X → là hàm số đo được ( theo Borel ). Khi đó, 0ε∀ > , Kε∃ ∈ K sao cho ( )\X Kεµ ε< và |Kf ε liên tục. Chứng minh Giả sử { }nf là dãy hàm bậc thang đo được trên X hội tụ tới f . Theo định lý Egorov, 0ε∀ > , Aε∃ ∈ B(X) sao cho ( )\ 4X Aε εµ < và nf hội tụ đều tới f trên Aε . Ta có nf cũng là hàm bậc thang đo được trên Aε nên có thể biểu diễn nf dưới dạng 1 1 , nn nj kk n nj A nj j j f x A Aεχ = = = =∑ U , { }njA ⊆ B(X) Bây giờ có njK ∈ K sao cho nj njK A⊆ và ( )\ 4nj nj n nA K k εµ < ( vì µ là độ đo Radon ). Đặt 1 nk n nj j K K = =U , bởi vì X hoàn toàn chính quy, nf bằng hằng số trên njK và njK đóng, rời nhau nên | nn Kf liên tục. Đặt 1 n n K Kε ∞ = =I , khi đó Kε ∈ K và: ( ) ( ) ( )\ \ \X K X A A Kε ε ε εµ µ µ= + ( ) ( ) 1 \ \ n n X A A Kε εµ µ ∞ = ≤ +∑ 12 4 n n n n k k ε ε ε∞ = < + =∑ Cuối cùng, nK Kε ⊆ nên |Kf ε liên tục ( bởi nó là giới hạn đều của dãy hàm liên tục |n Kf ε ) 2. ĐỊNH LÝ BIỂU DIỄN RIESZ Cho một không gian mêtric X. Ta ký hiệu các hàm liên tục φ : X→ có giá compact là Cc(X). Khi đó Cc(X) là một không gian vectơ.  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 33 Cho µ là độ đo Radon trên X. Xét hàm số sau: : ( ) Λ → CC X φ a ( )φ φ µΛ = ∫ X d Khi đó Λ là phiếm hàm tuyến tính. Thật vậy: do tính chất tuyến tính của tích phân ta có: ƒ ( ) ( )1 2 1 2 1 2 X X X d d dφ φ φ φ µ φ µ φ µΛ + = + = +∫ ∫ ∫ , ( )1 2, CC Xφ φ∀ ∈ ƒ ( ) ( ) X X d dαφ αφ µ α φ µ α φΛ = = = Λ∫ ∫ , ( )C, C Xα φ∀ ∈ ∈ Phiếm hàm tuyến tính này là xác định dương theo nghĩa ( ) 0φΛ ≥ với mọi φ 0≥ Như vậy mỗi độ đo Radon µ trên X sinh ra một phiếm hàm tuyến tính trên Cc(X). Vậy với Λ là một phiếm hàm tuyến tính xác định dương trên Cc(X), liệu có tồn tại hay không một độ đo Radon µ trên X thoả mãn: ( )φ φ µΛ = ∫ X d ? Định lý sau đây sẽ trả lời cho điều này: 2.1. Định lý biểu diễn Riesz Giả sử X là một không gian mêtric có một vét cạn compact. Nếu Λ là một phiếm hàm tuyến tính dương trên Cc(X) thì tồn tại duy nhất một độ đo Radon µ trên X sao cho: ( )φ φ µΛ = ∫ X d (φ ∈Cc(X)) (Ta nói rằng X có một vét cạn Compact nghĩa là tồn tại một dãy các tập con Compact ( ) 1≥n nK sao cho: 1 intn nK K +⊆ với mọi n và U n n K = X ) Chứng minh Việc chứng minh định lý này được chia thành hai phần: Sự tồn tại và tính duy nhất. ¾ Trước hết ta chứng minh tính duy nhất: Giả sử µ1 và µ2 là hai độ đo Radon trên X thoả mãn ( ) 1 X dφ φ µΛ = ∫ 2 X dφ µ= ∫ ( ( )CC Xφ∀ ∈ ) Ta chứng minh µ1 = µ2. Thật vậy ta có: ( )1 2 ,φ µ φ µ φ= ∀ ∈∫ ∫ c X X d d C X Lấy K là tập con compact bất kỳ của X, khi đó ta xét các hàm nφ có dạng: nφ ( ) ( ){ }max 0,1- . , , x n dist x K x X= ∈ Ta thấy: ( ) ( ) ,φ ∈ ∀n cx C X n =1, 2, …  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 34 Thật vậy, ta cần chứng minh nφ (x) là hàm liên tục và supp nφ là tập compact trong X. Chứng minh ( )n xφ là hàm liên tục: ƒ Nếu \x K K∈ ∂ thì ( ) 1n xφ = , x K∀ ∈ khi đó nφ (x) là hàm liên tục ƒ Nếu \x X K∈ và ( ) 1,dist x K n < thì ( ) ( )1 ,n x ndist x Kφ = − . Khi đó:Với mỗi 0 \x X K∈ , ( )0 1,dist x K n< . 0,ε∀ > ( )0min , , 1dist x K n εδ ⎧ ⎫∃ = ⎨ ⎬+⎩ ⎭ 0> sao cho \x X K∀ ∈ , ( ) 1,dist x K n < thỏa ( )0,dist x x δ< ta đều có: ( ) ( ) ( ) ( )0 01 , 1 ,n nx x ndist x K ndist x Kφ φ− = − − + ( ) ( )0 , ,n dist x K dist x K= − ( )0 0( , ) ( , )n dist x K dist x K δ≤ − − nδ≤ . 1 n n ε≤ + ε< Vậy ( )n xφ là hàm liên tục trên \X K với ( ) 1,dist x K n< ƒ Nếu \x X K∈ và ( ) 1,dist x K n > thì ( ) 0n xφ = . Đó là hàm liên tục. ƒ Tại x K∈∂ : Với mỗi 0x K∈∂ , 0, 01n εε δ∀ > ∃ = >+ sao cho x X∀ ∈ thỏa: ( )0,dist x x δ< ta có: ( ) ( ) ( )0 1 , 1n nx x ndist x Kφ φ− = − − 1n n n εδ≤ ≤ + ε< Vậy ( )n xφ liên tục tại những điểm x K∈∂ . ƒ Tại ( ) 1, ,x X dist x K n ∈ = : Với mỗi ( )0 0 1, ,x X dist x K n∈ = , 0, ε∀ > ( )0min , , 0 sao cho1dist x K n εδ ⎧ ⎫∃ = >⎨ ⎬+⎩ ⎭ x X∀ ∈ thỏa ( )0,dist x x δ< ta có: ( ) ( ) ( ){ }0 max 0, 1 ,n nx x ndist x Kφ φ− = − ( )1 ,ndist x K≤ − ( )01 ( , )n dist x K δ≤ − − 1n n n εδ= ≤ + ε< . Vậy ( )n xφ liên tục tại những điểm ( ) 1, ,x X dist x K n∈ = . Vậy ta đã chứng minh được nφ (x) là hàm liên tục trên X.  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 35 Chứng minh supp nφ là tập compact trong X: Ta có: 1supp : ( , )n x X dist x K n φ ⎧ ⎫= ∈ <⎨ ⎬⎩ ⎭ là tập compact trong X. Ta thấy: ( ) ( )0 , n nx xφ φ≤ bị chặn trên X ( ( )0 1n xφ≤ ≤ ) ( ) ( ) 1, lim 0, \nn x K x x x X K φ φ→∞ ∈⎧= = ⎨ ∈⎩ Theo định lý hội tụ bị chặn ta có: 1 2 X X lim limn nn nd dφ µ φ µ→∞ →∞=∫ ∫ 1 2φ µ φ µ⇒ =∫ ∫ X X d d 1 2φ µ φ µ⇒ =∫ ∫ K K d d ( ) ( )1 2µ µ⇒ =K K Suy ra µ1(B) = µ2(B) với mọi tập Borel B. Suy ra µ1 = µ2. ¾ Bây giờ ta chứng minh sự tồn tại của µ Trước hết ta đưa ra một số khái niệm: Cho một tập con compact K của X. Ta viết Kp φ nghĩa là: ( ) ,0 1φ φ∈ ≤ ≤cC X và 1φ = trên K. Tương tự, cho một tập hợp con mở U của X, ta viết φ p U, nghĩa là: ( ) , 0 1cC Xφ φ∈ ≤ ≤ , supp Uφ ⊆ Để chứng minh sự tồn tại của µ ta cần bổ đề phân hoạch đơn vị sau đây: 2.2. Bổ đề Giả sử X là một không gian mêtric có một dãy vét cạn compact, cho K là một tập con compact của X và U1,U2,…UN là một phủ mở của K. Khi đó tồn tại ( )1 2, ,...,ψ ψ ψ ∈N cC X sao cho n nUψ p với mỗi n và 1 N n n K ψ = ∑p Chứng minh Với mỗi x ∈ K, tồn tại một lân cận mở mà bao đóng của nó là một tập con compact của một trong các Un. Tồn tại hữu hạn những lân cận như thế phủ K. Ta ký hiệu Vn là hợp các tập đó nằm trong Un. Khi đó ta được một phủ mở V1, V2, …, VN của K sao cho nV là một tập con compact của Un với mọi n. Với mỗi x∈ X ta xác định hàm sau:  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 36 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 , \ , , \ n n N k k dist x X V x dist x K dist x K V ψ = = +∑ Ta thấy: ( )• 0 1n xψ≤ ≤ ( )• n xψ là hàm liên tục ( ){ }• s upp : 0n n n nx X x V Uψ ψ= ∈ ≠ = ⊆ Suy ra ( ), , n n n cU C X nψ ψ ∈ ∀p Hơn nữa: ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 ...ψ ψ ψ ψ = = + + +∑N n N n x x x x ( ) ( ) ( ) 1 1 , \ , , \ N k K N k K dist x X V dist x K dist x X V = = = + ∑ ∑ Với x K∈ thì ( ), 0=dist x K Suy ra ( ) 1 1 N n n xψ = =∑ Vậy 1 ψ = ∑p N n n K Bây giờ ta chứng minh sự tồn tại của độ đo Radon µ. Ta xác định hàm tập hợp µ* trên X như sau: ƒ Nếu U là mở trong X thì: ( ) ( ){ } ( )* sup : 1U Uµ φ φ= Λ p ƒ Nếu E là một tập con tuỳ ý của X thì: ( ) ( ){* *inf : E U Uµ µ= mở, }U E⊇ (2) ¾ Trước hết ta cần chứng minh µ* là một độ đo ngoài: Thật vậy, ta có: ƒ ( ) ( ){ }* sup , µ φ φ∅ = Λ ∅p ( ){ }sup , 0φ φ= Λ = = 0 (vì Λ là phiếm hàm tuyến tính dương nên ( ) ( )0 0φΛ = Λ = ) ƒ Và µ*(E1) ≤ µ*(E2) với E1 ⊆ E2 ⊆ X. ƒ Ta còn phải chứng minh µ*( 1 n n E ∞ = U ) ≤ µ ∞ = ∑ * 1n (En), với nE X⊆ , 1n ≥  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 37 Nếu tồn tại n để µ*(En) = +∞ thì bất đẳng thức trên luôn đúng nên ta giả sử µ*(En) < +∞ với mọi n Từ định nghĩa (2), 0ε∀ > tuỳ ý, với mỗi n ta có thể chọn tập mở Un sao cho n nE U⊆ và µ* (Un) < µ* (En) + 2n ε (3) Đặt 1 n n U U ∞ = =U . Cho ( )CC Xφ ∈ với Uφ p . Khi đó các tập ( ) 1n nU ≥ lập nên một phủ mở của suppφ . Do suppφ là tập compact nên tồn tại một phủ con hữu hạn U1,….,UN Theo bổ đề 2.2 ta tìm được ( )1,..., N CC Xψ ψ ∈ sao cho n nUψ p với mọi n và φ ψ = ∑p N 1 supp n n . Khi đó ta có: φ φ ψ = =∑N 1 n n và n nUφ ψ p với mọi n. Do đó: ( ) ( ) 1 1 N N n n n n φ φψ φψ = = ⎛ ⎞Λ = Λ = Λ⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑ (Do Λ là phiếm hàm tuyến tính) ( )* 1 µ = ≤∑N n n U (do định nghĩa (1)) ( )* 1 n n Uµ∞ = ≤∑ Vì điều này đúng với mọi φ thỏa mãn φ pU , nên ta có: sup ( ){ }, Uφ φΛ p ( )* 1 n n Uµ∞ = ≤∑ ⇒ ( ) ( )** 1 n n U Uµ µ∞ = ≤∑ Do đó: ( ) 1 * * n n E Uµ µ∞ = ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ≤U ( vì 1 n n E U ∞ = ⊆U ) ( )* 1 n n Uµ∞ = ≤∑ ( )* 1 n n Eµ ε∞ = ≤ +∑ (do (3)) Cho 0ε → ta được: ( )* * 11 µ µ ∞ ∞ == ⎛ ⎞ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠ ∑U n nnn E E , với nE X⊆ , 1n ≥  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 38 Vậy µ* là độ đo ngoài. ¾ Tiếp theo ta chứng tỏ các tập mở là µ* - đo được. Tức là phải chứng minh nếu U là mở trong X và E là một tập con tuỳ ý của X thì: ( ) ( ) ( )* * * \E E U E Uµ µ µ≥ ∩ + Để chứng minh điều này ta giả sử V là một tập mở chứa E và giả sử: ( ) ( ), \ suppV U Vφ ψ φ∩ pp Ta thấy supp V Uφ ⊆ ∩ , supp \ suppVφ φ⊆ ( )supp \ suppV U V Vφ ψ φ+ ⊆ ∩ ∪ ⊆ Suy ra Vφ ψ+ p Do đó: ( ) ( ) ( ) ( )* Vµ φ ψ φ ψ≥ Λ + = Λ + Λ (do định nghĩa (1) và Λ là phiếm hàm tuyến tính) Và điều này đúng với mọi ψ mà ( )\suppVψ φp , nên ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )* * *\ supp \V V V Uµ φ µ φ φ µ≥ Λ + ≥ Λ + Nhưng điều này lại đúng với mọi φ mà ( )V Uφ ∩p nên suy ra: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * * * * * V V \ \ U V U E U E U µ µ µ µ µ ≥ ∩ + ≥ ∩ + Cuối cùng vì điều này đúng với mọi tập mở V chứa E nên ta có: ( )*inf{ , V Vµ mở, } ( ) ( )* * \V E E U E Uµ µ⊇ ≥ ∩ + ⇒ ( ) ( ) ( )* * * \E E U E Uµ µ µ≥ ∩ + Vậy ta có điều phải chứng minh. Ta áp dụng định lý Caratheodory. Gọi L là tập hợp các tập µ*- đo được thì L là một σ- đại số. Nhưng ta đã chỉ ra mọi tập mở là µ*- đo được nên mọi tập Borel là µ*- đo được và hạn chế của µ* trên σ - đại số Borel là độ đo Borel và ký hiệu là µ. ¾ Ta chứng tỏ µ là một độ đo Radon. Thật vậy, nếu K là một tập con compact của X thì ta chứng minh được: ( ) ( ){ }inf :K Kµ φ φ≤ Λ p (là điều ta cần chứng minh) Để chứng minh được điều này ta lấy ( )CC Xφ ∈ với K φp Cho ( )0,1α ∈ . Nếu ta đặt ( ){ }:U x X xφ α= ∈ > thì U là tập mở ( vì ( )1 , ,U φ α φ−= +∞ liên tục nên nghịch ảnh của tập mở là tập mở), K U⊆ và ψφψ α≤ với Uψ p Do đó:  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 39 ( ) ( ) ( ){ } ( ){ } ( ) sup : sup / : K U U U µ µ ψ ψ ψφ α ψ φ α ≤ ≤ Λ ≤ Λ Λ≤ p p Cho: 1α → ( ) ( ) ( ) ( ){ }K inf : K K µ φ µ φ φ ⇒ ≤ Λ ⇒ ≤ Λ p Từ điều này ta thấy: ƒ ( ) , compact, K K K Xµ < +∞ ∀ ⊆ ƒ Hơn nữa: với V là tập mở, V X⊆ ta có: ( ) ( ){ } ( ) sup , ,0 1¸ supp Vc V V C X µ φ φ φ φ φ = Λ ∈ ≤ ≤ ⊆ p (phía sau ta chứng minh được ( ) suppX d d φ φ φ µ φ µΛ = =∫ ∫ suppφ là tập compact trong X ) Nên ( ) ( ){ }sup , compact ,V K K K Vµ µ= ⊆ Vậy µ là độ đo Radon theo định nghĩa. ¾ Công việc còn lại ta còn chứng tỏ ( )φ φΛ = ∫ X du Thật vậy, lấy ( )CC Xφ ∈ và ký hiệu = suppK φ . Cố định 0β > sao cho ( ) ( ),Kφ β β⊆ − . Với 0ε > , chọn 0 1 ... Nγ γ γ< < < sao cho 0 , nγ β γ β= − = và ( )1 1n n n Nγ γ ε−− < ≤ ≤ Với mỗi n đặt: ( ){ }1:n n nE x K xγ φ γ−= ∈ ≤ < Khi đó, do định nghĩa của *µ ta có thể tìm được một tập mở nU chứa nE sao cho ( ) ( )n nU E N εµ µ< + Ta có thể giả thiết thêm nφ γ< trên nU . Do bổ đề 2.2 tồn tại ( )1,..., N cC Xψ ψ ∈ sao cho n nUψ p với mọi n và: 1 ψ = ∑p N n n K . Khi đó 1 φ φψ = =∑N n n và n n nφψ γ ψ≤  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 40 Do đó ( ) ( ) ( ) 1 1 N N n n n n n φ φψ γ ψ = = Λ = Λ ≤ Λ∑ ∑ Vì n nUψ p với mọi n nên ( ) ( )n nUψ µΛ ≤ Ta có, vì 1 ψ = ∑p N n n K suy ra ( ) 1 N n n Kµ ψ = ⎛ ⎞≤ Λ⎜ ⎟⎝ ⎠∑ Do đó: ( ) ( ) ( ) 1 1 N N n n n n n φ γ β ψ β ψ = = ⎛ ⎞Λ ≤ + Λ − Λ⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑ ( ) ( ) ( ) 1 N n n n U Kγ β µ βµ = ≤ + −∑ ( ) ( ) ( )1 1 εγ ε β µ βµ− = ⎛ ⎞≤ + + + −⎜ ⎟⎝ ⎠∑ N n n n E K N ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 N n n n E K Kγ µ ε β µ β ε β ε βµ− = ≤ + + + + + −∑ ( )( )2φ µ ε µ β ε≤ + + +∫ X d K Cho 0ε → ta được ( ) X dφ φ µΛ ≤ ∫ Lập lại lặp luận trên với φ được thay bởi φ− ta được: ( ) X dφ φ µΛ ≥ ∫ Do đó ( ) X dφ φ µΛ = ∫ Như vậy định lý được chứng minh.  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 41 Chương 3 MỘT ÁP DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ BIỂU DIỄN RIESZ 1. Định nghĩa Cho U là tập mở trong , cho r >0. Ta xác định: ( ){ }: dist ,rU z U z U r= ∈ ∂ > Cho hàm u: U → khả tích và cho :φ → là một hàm liên tục với ( )supp 0,rφ ⊆ ∆ (hình tròn mở tâm O, bán kính r) Khi đó tích chập của u và φ là hàm * : ru Uφ → cho bởi ( ) ( ) ( ) ( )* , ru z u z dA z Uφ ω φ ω ω= − ∈∫ Ta đổi biến số t = z - ω ( ) ( ) ( ) ( )* ,u z u t z t dA t z Urφ φ= − ∈∫ Nếu ta chọn Cφ ∞∈ . Khi đó ta có * u Cφ ∞∈ ™ Trong không gian ( )CC D ta định nghĩa chuẩn là: ( )( )sup , C D C Dφ φ φ∞ = ∈ 2. Định lý Cho ( )CC Dφ ∈ và cho U là tập compact tương đối, mở con của D ( với D là một miền trong ) sao cho supp Uφ ⊆ . Khi đó tồn tại ( ) ( )1 ,n n Cn C Dφ φ∞ ∞= ∈ sao cho supp ,n U nφ ⊆ ∀ và 0nφ φ ∞− → . Hơn nữa nếu 0φ ≥ , ta có thể chọn ( ) 1n nφ ∞= sao cho 0,n nφ ≥ ∀ Chứng minh Ta mở rộng φ lên toàn bộ bằng cách đặt 0φ ≡ trên \ D . Ta xét hàm :χ → là một hàm thoả mãn:  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 42 ( ) ( ) ( ), 0, , supp 0,1C z zχ χ χ χ χ∞∈ ≥ = ⊆ ∆ 1dAχ =∫ ( Một ví dụ về hàm χ thoả mãn các tính chất trên là: ( ) 2 1 1 4 1 , 2 10 , 2 zCe z z z χ − − ⎧⎪ <⎪= ⎨⎪ ≥⎪⎩ với C là hằng số được chọn sao cho: 1dAχ =∫ ) Với r > 0 ta định nghĩa: ( ) 21 ,r zz zr rχ χ ⎛ ⎞= ∈⎜ ⎟⎝ ⎠ Ta thấy: ( ) , 0r C rφ χ ∞∗ ∈ ∀ > Ta có: ( )supp suppr Uφ χ φ∗ ⊆ ⊆ Hơn nữa: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )0, supr r z r z z dAφ χ φ φ ω φ χ ω ω∗ ∞ ∈ ∆ − = − −∫ ( ) ( ) z sup r z z ω φ ω φ ∈ < ≤ − − Khi 0r → , do φ liên tục nên 0rφ χ φ∗ ∞− → 3. Định lý Cho ( )2u C D∈ thỏa mãn 0u∆ ≥ .Ta có thể xem u∆ là môt độ đo Radon trên D thỏa: ( )( )C D D u u dA C Dφ φ φ ∞∆ = ∆ ∈∫ ∫ Chứng minh Thật vậy, xét ánh xạ: ( )C: C D∞Λ → φ → ( ) D u dAφ φΛ = ∆∫ Ta thấy Λ là tuyến tính Với 0φ ≥ : 0 D D u dA udAφ φ∆ = ∆ ≥∫ ∫ (Do 0u∆ ≥ ) Hơn nữa, cho tập U compact tương đối, mở con của D. Khi đó tồn tại hằng số C sao cho:  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 43 ( ) ( )( ), , suppCC C D Uφ φ φ φ∞∞Λ ≤ ∈ ⊆ Thật vậy: Lấy ( ) : 0 1, 1CC Dψ ψ ψ∞∈ ≤ ≤ ≡ trên U. Khi đó với ( )CC Dφ ∞∈ sao cho supp Uφ ⊆ ta có: φ ψ φ φ ψ∞ ∞− ≤ ≤ trên D. Do Λ là dương nên: ( ) ( ) ( )φ ψ φ φ ψ∞ ∞− Λ ≤ Λ ≤ Λ chọn ( )C ψ= Λ ta có: ( ) ( )( ), , suppCC C D Uφ φ φ φ∞∞Λ ≤ ∈ ⊆ Vậy Λ bị chặn và Λ là phiếm hàm tuyến tính nên Λ liên tục trên ( )CC D∞ Ta mở rộng ( ): CC DΛ → ( ) ( ) lim nnφ φ φ→∞Λ = Λa Do theo định lý 2, { } ( )1 , n n Cn C Dφ φ ∞=∃ ∈ , supp Uφ ⊆ thì supp n Uφ ⊆ và 0nφ φ ∞− → Và do Λ liên tục nên ( ) ( ) ( )lim limn nn nφ φ φ→∞ →∞Λ = Λ = Λ Suy ra: Λ là phiếm hàm tuyến tính dương trên ( )CC D Theo định lý biểu diễn Riesz tồn tại duy nhất một độ đo Radon trên D sao cho: ( ) ( ), C D d C Dφ φ µ φΛ = ∈∫ Đặt biệt: ( ), C D D D u u dA d C Dφ φ φ µ φ ∞∆ = ∆ = ∀ ∈∫ ∫ ∫ Nên ta xem u∆ là độ đo Radon trên D.  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 44 KẾT LUẬN Qua bản khóa luận tôi đã trình bày được định nghĩa độ đo Radon và một số tính chất của nó. Trong số những tính chất đó có một số tính chất khá quan trọng thể hiện ở định lý 1.2.1, 1.2.5, định lý Lusin. Đặc biệt là định lý Lusin, định lý này cho thấy rằng hàm số đo được là những hàm số có thể trở thành hàm số liên tục sau khi bỏ qua một tập hợp có độ đo nhỏ tuỳ ý, đồng thời định lý Lusin cũng cho thấy rằng tuy lớp các hàm số đo được rộng hơn lớp các hàm số liên tục rất nhiều nhưng mỗi hàm số đo được khác hàm số liên tục không nhiều lắm. Bản khoá luận còn trình bày được định lý biểu diễn Riesz, cho thấy mối quan hệ giữa một độ đo Radon với một phiếm hàm tuyến tính dương. Với định lý biểu diễn Riesz ta có thể đồng nhất một độ đo Radon trên không gian mêtric có một dãy vét cạn compact với một phiếm hàm tuyến tính dương trên không gian các hàm số thực liên tục có giá compact, hay nói cách khác ta có thể xem một độ đo Radon trên một không gian mêtric có một dãy vét cạn compact là một phiếm hàm tuyến tính dương trên không gian các hàm số thực liên tục có giá compact. Và trong phần áp dụng của định lý biểu diễn Riesz, tôi đã chứng minh định lý 3 đúng với hàm ( )2u C D∈ , 0u∆ ≥ nhưng thực chất định lý này đúng cho một hàm u điều hoà dưới bất kỳ. Nhưng do hạn chế về thời gian và khả năng có hạn nên tôi không trình bày chứng minh cho trường hợp u là một hàm điều hoà dưới bất kỳ. Sau này nếu có điều kiện tôi sẽ nghiên cứu thêm.  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 45 PHỤ LỤC Trong phần này tôi nêu một số khái niệm cần thiết về tôpô đại cương được sử dụng trong khóa luận để giúp bạn đọc tra cứu. 1. Không gian tôpô. Cho X là một tập hợp khác rỗng. Một họ T các tập con của X được gọi là một tôpô trên X nếu nó thoả mãn các tính chất sau: 1 2 1 2 ) , ) , ) , i i i I i X ii D D D D iii D i I D Î Æ Î Î Þ Ç Î Î Î Þ ÎU T T T T T Cặp (X, T ) khi đó được gọi là không gian tôpô. Ta thường viết X thay cho (X, T ). 2. Không gian tôpô tách Hausdorff. Cho X là một không gian tôpô. Nếu với bất kỳ hai điểm x, y XÎ tồn tại các lân cận tương ứng , x yV V của x và y sao cho x yV VÇ = Æ thì X được gọi là tách Hausdorff. 3. Không gian tôpô chính quy. Cho X là không gian tôpô. Nếu đối với mọi tập đóng F và đối với mọi x FÏ tồn tại các tập mở U, V sao cho , F UÍ x VÎ và U VÇ = Æ thì X được gọi là không gian tôpô chính quy. 4. Không gian tôpô hoàn toàn chính quy. Không gian tôpô X được gọi là hoàn toàn chính quy nếu với mọi x XÎ và mọi tập đóng F, x FÏ , tồn tại hàm [ ]: 0,1f X ® liên tục sao cho ( ) 1, ( ) 0 f x f y y F= = " Î  Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Duy Tiến ( chủ biên ) – Trần Đức Long, Bài Giảng Giải Tích ( Tập 2 ), Nhà Xuất Bản Đại Học Quốc Gia Hà Nội - 2004. [2] Nguyễn Văn Khuê ( chủ biên) – Bùi Tắc Đắc – Đỗ Đức Thái, Cơ Sở Lý Thuyết Hàm Và Giải Tích Hàm (Tập 1), Nhà Xuất Bản Giáo Dục - 2001. [3] Hoàng Tụy, Hàm Thực Và Giải Tích Hàm, Nhà Xuất Bản Đại Học Quốc Gia Hà Nội - 2005. [4] Lương Hà, Giáo Trình Lý Thuyết Độ Đo Và Tích Phân, Huế - 1994. [5] Thomas Ransford, Potential Theory In The Complex Plane, Cambridge University Press. [6] Joe Luis Menaldi, Measures And Distributions, 2007.