Khóa luận Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số và ứng dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM ^ ] BÙI LÊ PHẠM MỸ PHƯƠNG LỚP DH5A2 KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TỐN CHUYÊN NGÀNH PHƯƠNG PHÁP Khĩa :2004 – 2008 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG Giảng viên hướng dẫn: Th. S Vương Vĩnh Phát Long Xuyên, An Giang 05 - 2008 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương LỜI CẢM ƠN Trước hết em xin gởi lời cám ơn chân thành đến thầy Vương Vĩnh Phát – người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình để em hồn thành khố luận của mình. Em cũng chân thành cám ơn Ban giám hiệu trường Đại học An Giang, tồn thể thầy cơ trong khoa sư phạm đặc biệt là các thầy cơ trong bộ mơn Tốn đã tạo điều kiện để em cĩ thể thực hiện khĩa luận này. Tiếp theo, em xin chân thành cảm ơn các thầy cơ phản biện đã đĩng gĩp ý kiến cho khĩa luận của em để em được học hỏi thêm, biết được những sai sĩt của bản thân mà khắc phục, chuẩn bị cho cơng việc dạy học và giáo dục sau khi ra trường. Kế đến, em xin cảm ơn các thầy cơ trường THPT Nguyễn Khuyến đã tạo điều kiện và sẵn sàng giúp đỡ, đĩng gĩp ý kiến cho luận văn của em để em được tiến hành khảo sát. Cuối cùng, tơi cũng xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới bố mẹ, thầy cơ, bạn bè – tất cả những người đã động viên, giúp đỡ cơng sức và tinh thần cho cơng việc nghiên cứu của con được hồn thành tốt đẹp. Lời cuối xin chúc sức khỏe tất cả các thầy các cơ, chúc thầy cơ luơn hồn thành tốt các nhiệm vụ được giao. Chân thành cảm ơn ! Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN ....................................................................................................... PHẦN MỞ ĐẦU ................................................................................................. 1 I. Lí do chọn đề tài . .................................................................................. 1 II. Đối tượng nghiên cứu............................................................................ 2 III. Nhiệm vụ nghiên cứu ............................................................................ 2 IV. Mục đích nghiên cứu............................................................................. 2 V. Phương pháp nghiên cứu....................................................................... 2 VI. Giả thuyết khoa học............................................................................... 2 VII. Lợi ích của luận văn .............................................................................. 2 VIII. Cấu trúc của luận văn ............................................................................ 2 PHẦN NỘI DUNG .......................................................................................... ...4 A. Cơ sở lí luận .......................................................................................... 4 I. Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ......................... 4 II. Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất......................... 4 1. Phương pháp đạo hàm – khảo sát hàm số ....................................... 4 2. Phương pháp dùng các bất đẳng thức.............................................. 6 2.1. Bất đẳng thức Cauchy ............................................................. 6 2.2. Bất đẳng thức Bunhiacopski.................................................... 7 2.3. Các bất đẳng thức lượng giác .................................................. 8 2.4. Các bất đẳng thức trị tuyệt đối cơ bản..................................... 9 3. Phương pháp miền giá trị của hàm số ............................................... 9 4. Phương pháp dùng lũy thừa với số mũ chẵn................................... 10 5. Phương pháp dùng tính chất hàm lồi, hàm lõm .............................. 11 6. Phương pháp tọa độ - vectơ ........................................................... 13 7. Phương pháp lượng giác hĩa .......................................................... 14 B. Một số bài tốn minh họa cách dùng các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất..................................................................................... 17 C. Ứng dụng của giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất vào việc giải tốn ........ 33 I. Ứng dụng vào việc giải và biện luận phương trình, bất phương trình, ....................................................................................................... 33 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương II. Ứng dụng vào việc tìm điều kiện để hàm số cĩ chứa tham số đồng biến hoặc nghịch biến trên một khoảng xác định................................... 37 III. Ứng dụng vào một số bài tốn trong thực tế ................................... 40 D. Khảo sát thực tế ..................................................................................... 50 I. Mục đích của việc nghiên cứu ......................................................... 50 II. Biện pháp nghiên cứu ...................................................................... 50 III. Kết quả ........................................................................................... 50 PHẦN KẾT LUẬN ................................................................................................. 56 HỆ THỐNG BÀI TẬP THAM KHẢO.................................................................... 58 PHỤ LỤC ...................................................................................................................... TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................ Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương PHỤ LỤC PHỤ LỤC 1 : TRƯỜNG ĐH AN GIANG CỘNG HỊA Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Khoa sư phạm Độc lập – Tự Do – Hạnh phúc # " # " PHIẾU HỎI Ý KIẾN GIÁO VIÊN Em tên : Bùi Lê Phạm Mỹ Phương MSSV : DTN040604 Em đang thực hiện đề tài khĩa luận tốt nghiệp : “Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và một số ứng dụng của nĩ vào thực tiễn “ Kính mong các thầy cơ cho biết một số ý kiến về đề tài này : 1/- Đối với học sinh, bài tốn : “ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất “ là một bài tốn : A/ Rất khĩ B/ khĩ C/ dễ D/ Rất dễ 2/- Số lượng các bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong các sách giáo khoa là : A/ Rất nhiều B/ Nhiều C/ ít D/ Rất ít 3/- Chúng ta cĩ thường gặp bài tốn “ tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất “ trong các cuộc thi ( thi tốt nghiệp, đại học, thi học sinh giỏi, … ) hay khơng ? A/- Thường xuyên B/ thỉnh thoảng C/ ít khi D/ Khơng cĩ 4/- Cung cấp một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất cho học sinh là việc làm : A/ Rất cần thiết B/ cần thiết C/ ít cần D/ Khơng cần 5/- Thầy cĩ nhìn nhận gì về mức độ hiểu biết của học sinh đối với các ứng dụng của tốn học trong thực tế, đặc biệt là dạng tốn: “ tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất” ? 6/- Theo thầy, việc chỉ ra cho học sinh biết được ứng dụng của việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong thực tiễn cĩ ý nghĩa như thế nào ? ( biết liên hệ giữa bài học và thực tiễn, tăng hứng thú trong học tập, … ) 7/- Ý kiến khác về đề tài : GV ký và ghi rõ họ tên Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương PHỤ LỤC 2: TRƯỜNG ĐH AN GIANG CỘNG HỊA Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Khoa sư phạm Độc lập – Tự Do – Hạnh phúc # " # " PHIẾU THĂM DỊ Họ và tên : …………………………………………Lớp : ……………………… Trường : ………………………………………….. Học lực : …………………. Xin bạn vui lịng chọn câu trả lời mà bạn cho là thích hợp. 1/- Em cĩ cảm thấy thích giải tốn hơn khi cĩ các phương pháp để giải nĩ ? A/ Rất thích B/ thích C/ Khơng thích lắm D/ khơng 2/- Tự em cĩ nghĩ đến việc hệ thống lại các phương pháp giải một dạng tốn nào đĩ hay khơng ? A/ Thường xuyên B/ Thỉnh thoảng C/ Ít khi D/ khơng cĩ 3/- Thầy ( cơ ) của em cĩ thường hệ thống lại các phương pháp giải từng dạng bài tập cho các em hay khơng ? A/ thường xuyên B/ Thỉnh thoảng C/ Ít khi D/ khơng cĩ 4/- Đối với bản thân em bài tốn : “ tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất “ là một bài tốn : A/Rất khĩ B/ khĩ C/ dễ D/ rất dễ 5/- Đối với bài tốn : “tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất “ , em đã được làm : A/ nhiều B/ Ít C/ rất ít D/ khơng cĩ 6/- Em hiểu biết bao nhiêu về ứng dụng của tốn học trong thực tiễn ? A/ Nhiều B/ ít C/ rất ít D/ khơng biết 7/- Thầy ( cơ ) của em cĩ thường giới thiệu cho các em ứng dụng của tốn học trong thực tiễn hay khơng ? A/ Thường xuyên B/ thỉnh thỏang C/ ít khi D/ khơng cĩ 8/- Nếu biết được một vài ứng dụng của tốn học nĩi chung, của bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất nĩi riêng thì em cĩ cảm thấy thích học mơn tốn hơn hay khơng ? Vì sao ? Ký tên Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương PHỤ LỤC 3 : MỘT SỐ Ý KIẾN CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH PHỔ THƠNG Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Bittinger, Morrel – Applied calculus – third edition. [2] Dỗn Minh Cường (chủ biên). 2003. “ Tốn ơn thi đại học ” . NXB Đại Học Sư phạm. [3] Hồng Chúng (chủ biên). 1993. “ Các bài tốn cực trị ” . NXB Giáo Dục. [4] Nguyễn Đức Đồng (chủ biên). 2000. “Tuyển tập 599 bài tốn lượng giác ”. NXB Hải Phịng [5] Nguyễn Đức Đồng (chủ biên). 2001. “ Tuyển tập 670 bài tốn rời rạc và cực trị ”. NXB Hải Phịng. [6] Nguyễn Hữu Điển. 2005. “ Giải tốn bằng Đại lượng phương pháp cực biên ” . NXB Giáo Dục. [7] Nguyễn Thái Hịe. 2004. “ Rèn luyện tư duy qua việc giải bài tập tốn ”. NXB Giáo Dục. [8] Nguyễn Văn Nho. 2002. “ Lê Hồng Phị – Phương pháp giải tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất ”. NXB Giáo Dục. [9] Phạm Trọng Thư. 2007. “ Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong đại số ”. NXB Đại Học Sư Phạm. [10] Phan Huy Khải. 2005. “ Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số ”. NXB Giáo Dục. [11] Trần Văn Hạo (chủ biên). 2005. “ Chuyên đề Bất đẳng thức luyện thi vào đại học ” . NXB Giáo Dục. [12] Võ Đại Mau – Võ Đại Hồi Đức. 2000. Các phương pháp đặc biệt tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. NXB Trẻ. [13] Vũ Hữu Bình. 2007. “ Nâng cao và phát triển tốn 9 ” . NXB Giáo Dục. [14] Ngơ Thúc Lanh ( chủ biên ). 2000. Giải tích 12 . NXB Giáo Dục. [15] Tốn học và tuồi trẻ (từ tháng 4 đến tháng 12/2007, từ tháng 1 đến tháng 4/2008 . [16] Tuyển chọn theo chuyên đề Tốn Học & Tuồi trẻ ( Quyển 1 & Quyển 2) – NXB Giáo Dục. Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 1 PHẦN MỞ ĐẦU I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Mục đích của việc giảng dạy mơn tốn ở trường trung học là dạy học sinh về kiến thức tốn, cách giải bài tập, rèn luyện kỹ năng giải tốn, giúp học sinh khai thác được các hoạt động tiềm ẩn trong nội dung mơn tốn và hình thành tư duy logic cho học sinh. Vì vậy, người giáo viên cần phải dạy cho học sinh giải bài tập. Từ đĩ, yêu cầu được đặt ra là giáo viên phải dạy học sinh phương pháp giải các dạng tốn. Chương trình tốn trung học cĩ rất nhiều dạng bài tập khác nhau. Trong đĩ cĩ rất nhiều dạng rất khĩ như chứng minh bất đẳng thức, biện luận về số nghiệm của phương trình, bất phương trình, ... Và dạng bài : “ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một đại lượng ” cũng nằm trong số đĩ. Các dạng bài tập này được gọi chung là bài tốn tìm cực trị hay bài tốn cực trị. Đây thực sự là một chuyên đề khĩ của chương trình tốn trung học bởi vì các bài tốn cực trị rất phong phú, phạm vi nghiên cứu của vấn đề này lại rất rộng. Và nĩ lại là một trong những dạng tốn được quan tâm đến nhiều nhất trong các kì thi tuyển chọn học sinh giỏi trong nước và quốc tế. Thế nhưng, sách giáo khoa cĩ rất ít các bài tập dạng này và do những điều kiện khách quan mà sách giáo khoa khơng hệ thống lại các phương pháp giải. Do đĩ, việc cần thiết là phải cung cấp cho học sinh các phương pháp giải dạng tốn : “ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ”. Việc này sẽ giúp các em dễ dàng hơn trong việc giải bài tốn cực trị. Việc giải các bài tốn này địi hỏi người làm phải vận dụng kiến thức hợp lí, nhiều khi khá độc đáo và bất ngờ. Nĩ đưa chúng ta xích gần lại với các bài tốn thường gặp trong thực tế là đi tìm cái “ nhất ” trong những điều kiện nhất định ( nhiều nhất, ít nhất, nhanh nhất, chậm nhất, … ). Chính điều đĩ làm cho học sinh thấy được tính thiết thực của tốn học trong cuộc sống. Đồng thời, nĩ cũng tạo nên sự thích thú cho học sinh trong quá trình giải tốn. Trong tương lai, khi vào đời học sinh buộc phải giải quyết nhiều vấn đề do thực tiễn cuộc sống đặt ra. Cho nên, học sinh cần cĩ cách giải quyết tối ưu mới mang lại thành cơng trong cuộc sống ( Cách giải quyết tối ưu là những giải pháp đúng nhất, ít hao phí nhất về : vật liệu, thời gian, cơng sức, năng lượng, chi phí thiệt hại … ). Chẳng hạn, những người đi thuyền buồm trên biển phải xác định buồm và bánh lái sao cho thời gian đến đích là ngắn nhất, nhà sản xuất luơn muốn giảm tối đa chi phí sản xuất, nguyên vật liệu mà vẫn đạt lợi nhuận cao nhất … Những lúc như vậy, phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất tỏ ra hữu ích. Với những lí do trên và với tư cách là một người giáo viên dạy tốn trong tương lai, tơi xin hệ thống lại các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất thơng qua việc nghiên cứu đề tài : “ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA NĨ VÀO THỰC TIỄN.” Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 2 II. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU : Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và một số ứng dụng của nĩ trong thực tế. III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU : Hệ thống hĩa các phương pháp giải dạng tốn : “ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một đại lượng ”. Giới thiệu một số ứng dụng của nĩ trong thực tiễn. IV. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU : Cung cấp cho học sinh nhiều cách giải dạng tốn : “ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một đại lượng ” để học sinh giải tốn tốt hơn. Nhờ đĩ, chất lượng học tập và giảng dạy mơn tốn được nâng cao. Để học sinh thấy được tính thiết thực cũng như ứng dụng của các phương pháp giải bài tốn cực trị nĩi riêng và của tốn học nĩi chung trong cuộc sống. Điều đĩ làm cho các em thích thú, say mê học tốn hơn, giờ học cũng sinh động hơn. Các em sẽ học tập tốt hơn. Rèn luyện kĩ năng tư duy của học sinh khi giải bài tốn tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất. V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU : Trong quá trình nghiên cứu đề tài, tơi đã sử dụng một số phương pháp sau : Nghiên cứu lý luận : Tơi đã đọc sách, phân tích, đối chiếu các tài liệu tốn học, tâm lý học, giáo dục học, lý luận dạy học mơn tốn, các sách giáo khoa và các tài liệu hướng dẫn giảng dạy. Điều tra thực tế. Trị chuyện, phỏng vấn. Thống kê tốn học. VI. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC : Nếu học sinh được trang bị các phương pháp giải bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một đại lượng và thấy được những ứng dụng của giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong thực tế thì học sinh sẽ dễ dàng hơn trong việc giải những bài tốn cực trị và học sinh sẽ hứng thú học tốn hơn. VII. LỢI ÍCH CỦA LUẬN VĂN : Luận văn này đề ra các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất mà dựa vào đĩ, học sinh cĩ thể hệ thống lại các kiến thức cĩ liên quan và cĩ thể giải được các bài tốn cực trị, kể cả các bài tốn trong thực tế. Đồng thời, luận văn này cịn giúp cho học sinh thấy được mối liên hệ và sự gần gũi giữa tốn học và thực tiễn. VIII. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN : Lời cảm ơn. Mục lục. Phần mở đầu. Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 3 Phần nội dung. A. Cơ sở lý luận. B. Một số bài tốn minh họa cách dùng các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. C. Ứng dụng của giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất vào việc giải tốn. D. Khảo sát thực tế. Phần kết luận. Hệ thống bài tập tham khảo. Phụ lục. Tài liệu tham khảo. Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 4 PHẦN NỘI DUNG A. CƠ SỞ LÝ LUẬN I. ĐỊNH NGHĨA GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT : Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D. * Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên D (kí hiệu : x D M = max f(x) ∈ hay x D M = max y ∈ ) nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn : 1 1 x D :f(x) M x D:f(x ) = M ∀ ∈ ≤⎧⎨∃ ∈⎩ * Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên D (kí hiệu : x D m = min f(x)∈ hay x Dm = min y∈ ) nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn : 2 2 x D:f(x) m x D: f(x ) = m ∀ ∈ ≥⎧⎨∃ ∈⎩ II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT : Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất, chúng ta cĩ thể sử dụng nhiều phương pháp khác nhau. Ở đây, tơi xin trình bày bảy phương pháp chính như sau : 1. Phương pháp đạo hàm : * Cơ sở của phương pháp này : chủ yếu là dùng đạo hàm để khảo sát chiều biến thiên của hàm số và dựa vào bảng biến thiên cùng với các giá trị đặc biệt trên tập xác định của hàm số mà suy ra kết quả. * Bài tốn: Cho hàm số y = f(x) cĩ tập xác định D. Hãy tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. * Cách giải : - Tính y′ . Cho y′= 0, tìm các nghiệm 1 2 nx , x , ..., x D∈ . - Lập bảng biến thiên. - Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. * Nếu f(x) cĩ tập xác định D = [a; b] thì khơng cần lập bảng biến thiên : - Tìm các điểm tới hạn 1 2 nx , x , ... , x của f(x) trên [a; b]. - Tính 1 2 nf(a), f(b), f(x ), f(x ), ... , f(x ) . - Kết luận : Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 5 • }{ 1 2 nx [a;b]max f(x) = max f(a), f(b), f(x ), f(x ), ... , f(x )∈ . • }{ 1 2 nx [a;b]min f(x) = min f(a), f(b), f(x ), f(x ), ... , f(x )∈ . * Giả sử hàm số y = f(x) liên tục và cĩ đạo hàm trên đoạn [a; b]. Hàm f tăng (giảm) trên (a; b) nếu ' 'f (x) 0 ( f (x) 0 ) ≥ ≤ với mọi x thuộc đoạn [a; b] ( dấu “ = ” chỉ xảy ra ở một số hữu hạn điểm thuộc đoạn [a; b] ). - Nếu f(x) tăng trên đoạn [a; b] thì x D min f(x) f(a) ∈ = và x Dmax f(x) f(b) ∈ = . - Nếu f(x) giảm trên đoạn [a; b] thì x D min f(x) f(b)∈ = và x Dmax f(x) f(a) ∈ = . Ví dụ 1 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 2y x 18 2x= − − . Giải Tập xác định : D = [ 3; 3]− . Ta cĩ: 2 2 2 18 2x 2x4xy ' 1 2 18 2x 18 2x − +−= − =− − . 2 2y ' 0 18 2x 2x 0 18 2x = 2x= ⇔ − + = ⇔ − − 2 2 2 x 0 x 0 x 0 x 3x 3 18 2x 4x x 3 x 3 ≤⎧≤ ≤ ⎪⎧ ⎧ ⎡⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = −=⎨ ⎨ ⎨− = = ⎢⎩ ⎩ ⎪ = −⎢⎣⎩ . Ta cĩ : x = −3 thì y = − 3. x = 3 thì y = 3. x = 3− thì y = 3 3− . Vậy, giá trị lớn nhất của y là 3, đạt được khi x = 3 và giá trị nhỏ nhất của y là −3 3 , đạt được khi −x = 3 . Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của 2 x + 1y = x x 1+ + . Giải Tập xác định: D = . Ta cĩ : 2 2 2 2 2 2 2 (x 1) (2 1)( 1) x 2y' = = (x 1) (x 1) x = 0 y' = 0 x 2x = 0 x = 2 x x x x x x + + − + + − − + + + + ⎡⇔ − − ⇔ ⎢ −⎣ Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 6 10 1 3 − 0 −2 +∞ −∞ x y ' y 0 0 − + − 0 Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên, ta được: • Giá trị lớn nhất của y là 1, đạt được khi x = 0. • Giá trị nhỏ nhất của y là 1 3 − , đạt được khi x = −2. LƯU Ý : Phương pháp đạo hàm được sử dụng rộng rãi để giải bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. Dùng phương pháp đạo hàm cĩ thể giải hầu hết các bài tập dạng này. 2. Phương pháp dùng các bất đẳng thức : 2.1. Bất đẳng thức Cauchy : Với ia 0 ≥ với mọi i = 1, 2, … , n ta cĩ : n 1 2 n 1 2 na + a + ... + a n a a ...a≥ Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi = =1 2 na a ... = a . * Nếu 1 2 na a ...a = P khơng đổi thì 1 2 na + a +...+ a = S đạt giá trị nhỏ nhất là nn P khi và chỉ khi n1 2 na a ... = a P= = = . * Nếu 1 2 na + a + ... + a = S khơng đổi thì 1 2 na a ... a = P đạt giá trị lớn nhất là nS n ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ khi và chỉ khi 1 2 n Sa a ...=a n = = = . Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ nhất của x 1 2 xy = 3 3+ −+ . Giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số khơng âm x+13 và 2 x3 − , ta được : x 1 2 x x 1 2 x 3y = 3 3 2 3 . 3 2 3 6 3+ − + −+ ≥ = = . Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi x 1 2 x 1 3 3 x 1 2 x x 2 + −= ⇔ + = − ⇔ = . Vậy, giá trị nhỏ nhất của y là 6 3 , đạt được khi 1x 2 = . Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 7 LƯU Ý : Khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy, cần đặc biệt chú ý đến điều kiện các ia phải khơng âm. Cũng giống như khi sử dụng các bất đẳng thức khác, cĩ khi phải biến đổi một số bước mới cĩ thể áp dụng trực tiếp. 2.2. Bất đẳng thức Bunhiacopski : Với i ia , b (i 1, ... , n)∈ ≥ : 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 n a b a b ... a b a a ... a . b b ... b+ + + ≤ + + + + + + . Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi 1 2 n 1 2 n a a a ... b b b = = = . LƯU Ý: Khi dùng bất đẳng thức Bunhiacopski thì cĩ lúc ta chỉ cĩ thể tìm được giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất. Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của A 2x 3y= + biết 2 22x 3y 5+ ≤ . Giải : Ta cĩ : ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 222A 2x 3y 2. 2 x 3. 3 y 2 3 x 2 y 3= + = + ≤ + + ( Bất đẳng thức Bunhiacopski ). hay ( )2 2 2A (2 3) 2x 3y 5.5 25≤ + + ≤ = . 2 2 2 2 2 x 2 y 3 x y x y 1 A 25 2 3 x y 12x 3y 5 2x 3y 5 ⎧ = = == ⎧ ⎡⎪= ⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎢ = = −+ = ⎣⎩⎪ + =⎩ . Do 2A 25≤ nên 5 A 5− ≤ ≤ . Vậy : min A 5 x y 1= − ⇔ = = − . max A 5 x y 1= ⇔ = = . Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 1A 1 x x = +− với 0 x 1< < . Giải : Ta cĩ : ( ) ( )2 2 2 22 1 2 1A . 1 x x1 x x 1 x x ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎢ ⎥= + = + − + ≥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎣ ⎦− −⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ 2 2 1. 1 x . x 1 x x ⎛ ⎞≥ − +⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ ( Bất đẳng thức Bunhiacopski ). hay ( )2A 2 1 A 3 2 2≥ + ⇒ ≥ + . Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 8 Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi ( ) 2 2 2 2 2 1 2 11 x x 2x (1 x) 1 x x x1 x − = ⇔ = ⇔ = −− − 2 1x x⇔ = − (vì 0 x 1< < ) ( )x 2 1 1 x 2 1⇔ + = ⇔ = − . Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 3 2 2+ khi và chỉ khi x 2 1= − . 2.3. Các bất đẳng thức lượng giác : * sin u(x) 1≤ với mọi x D∈ . * cos u(x) 1≤ với mọi x D∈ . ( trong đĩ D là tập xác định của u(x) ) * sin u(x) + cos u(x) 2≤ . 2 2 2 tan x 2 tan x* sin 2x 1 1 tan x 1 tan x = ⇒ ≤+ + . 2 2 2 2 1 tan x 1 tan x* cos 2x = 1 1 tan x 1 tan x − −⇒ ≤+ + . Ví dụ : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin x + cos x . Giải Với mọi x , ∈ ta cĩ : 20 sin x 1 sin x sin x≤ ≤ ⇒ ≤ . và 20 cos x 1 cos x cos x≤ ≤ ⇒ ≤ . Do đĩ : 2 2y = sin x + cos x sin x + cos x = 1≥ . Dấu “ = ” xảy ra khi ⎧ = =⎧ ⎧ =⎪ ⎪ ⎪⇔ ∨⎨ ⎨ ⎨= == ⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎩⎩ 2 2 sin x sin x sin x 0 sin x 1 cosx 1 cos x 0cos x cosx ⎡ π⇔ ⇔ = ∈⎢⎣ sin x = 0 x k (k ) cos x = 0 2 . Vậy, giá trị nhỏ nhất của y là 1, đạt được khi k ( ) 2 x kπ= ∈ . Xét ( )22y sin x cosx 1 2 sin x . cosx 1 sin 2x 2= + = + = + ≤ . Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi sin 2x 1 x n (n ) 4 2 π π= ⇔ = + ∈ . Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 9 Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số là 2 khi x n (n Z) 4 2 π π= + ∈ . 2.4. Các bất đẳng thức trị tuyệt đối cơ bản : (1) a 0. (2) a b a b . (3) a b a b . ≥ + ≤ + − ≤ − Ở (1) : Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi a = 0. Ở (2), (3): Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi ≥ab 0 . LƯU Ý : Dạng (2), (3) cần sử dụng thêm tính chất = −a a ; ≤a a ; a a− ≤ . Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) x 1 x 3 x 5 x 7= − + − + − + − . Giải Xét f(x) x 1 x 3 x 5 x 7= − + − + − + − . và 1 f (x) x 1 x 5 x 1 x 5 x 1 x 5 4= − + − = − + − + ≥ − − + = . 2 f (x) x 3 x 7 x 3 x 7 x 3 x 7 4= − + − = − + − + ≥ − − + = . Do đĩ : 1 2 f (x) f (x) f (x) 4 4 8= + ≥ + = . Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi (x 1).(5 x) 0 1 x 5 3 x 5 (x 3).(7 x) 0 3 x 7 − − ≥ ≤ ≤⎧ ⎧⇔ ⇔ ≤ ≤⎨ ⎨− − ≥ ≤ ≤⎩ ⎩ . Vậy, giá trị nhỏ nhất của f(x) là 8, đạt được khi ∈x [3; 5]. 3. Phương pháp miền giá trị của hàm số : ™ Định nghĩa miền giá trị của hàm số : Cho hàm số y = f(x) cĩ miền xác định D. Khi đĩ hàm số cĩ miền giá trị : { }f (D) y / y f (x), x D= ∈ = ∈ . ™ Ta dùng điều kiện tồn tại nghiệm để tìm miền giá trị của hàm số tức là tìm điều kiện để phương trình 0y f (x)= cĩ nghiệm ( với 0y là một giá trị tùy ý của hàm số y f (x)= trên tập xác định D ). Sau đĩ, từ điều kiện tìm được biến đổi về một trong các dạng sau : 1. Nếu 0y M≤ thì x Dmax f (x) M∈ = . 2. Nếu 0 m y ≥ thì x Dmin f (x) m∈ = . Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 10 3. Nếu 0m y M≤ ≤ thì x Dmax f(x) M∈ = và x Dmin f (x) m∈ = . LƯU Ý : Phương trình ( )2ax +bx + c = 0 a 0≠ cĩ nghiệm khi và chỉ khi ∆ ≥ 0 . Phương trình asin x + b cos x = c cĩ nghiệm khi và chỉ khi 2 2 2a b c+ ≥ . Ví dụ : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 2 2x x 1y x x 1 + −= − + . Giải : Tập xác định : D = ( do 2 2 1 3 x x 1 x 2 4 ⎛ ⎞− + = − +⎜ ⎟⎝ ⎠ > 0 với mọi x∈ ). Gọi 0 y là một giá trị bất kì của hàm số đã cho. Khi đĩ, cĩ x∈ sao cho phương trình 2 0 2 2x x 1y x x 1 + −= − + cĩ nghiệm. hay phương trình 20 0 0(2 y )x (1 y )x 1 y 0 (1)− + + − − = cĩ nghiệm x. 0y 2 := (1) trở thành 3 3 0 1x x− = ⇔ = . Do đĩ nhận 0 2y = . (*) 0y 2 :≠ (1) cĩ nghiệm khi và chỉ khi 20 0 0(1 y ) 4(2 y )(1 y ) 0+ + − + ≥ 2 0 0 0 9 6y 3y 0 1 y 3. ⇔ + − ≥ ⇔ − ≤ ≤ Do đĩ, với 0 0y [ 1;3](y 2),∈ − ≠ phương trình (1) cĩ nghiệm. (**) Từ (*) và (**) ta suy ra phương trình (1) cĩ nghiệm khi và chỉ khi 0y [ 1;3]∈ − . Vậy min y = – 1 và max y = 3. 4. Phương pháp dùng lũy thừa với số mũ chẵn : Ta biến đổi đưa về các biểu thức cĩ số mũ chẵn dạng : (1) 2k 2lM = m + A + B ( k, l ,+∈ m là hằng số ). Khi đĩ : M m≥ . Vậy M đạt giá trị nhỏ nhất là m khi và chỉ khi A = 0 B = 0 ⎧⎨⎩ . (2) 2k 2l +M = m A B ( k, l ,− − ∈ m là hằng số ). Khi đĩ : M m≤ . Vậy M đạt giá trị lớn nhất là m khi và chỉ khi A = 0 B = 0 ⎧⎨⎩ . Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 11 Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 2 2A = 4 5x 2y 2xy 8x 2y− − + + + với x, y∈ . Giải : Ta cĩ : 2 2A = 4 5x 2y 2xy 8x 2y− − + + + 2 2 2 24 ( x y 2xy) (4x 8x) (y 2y)= − + − − − − − 2 2 2 = 9 (x y) 4(x 1) (y 1) 9− − − − − − ≤ . Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi x y 0 x 1 x y 1 y 1 − =⎧⎪ = ⇔ = =⎨⎪ =⎩ . Vậy giá trị lớn nhất của A là 9, đạt được khi x = y = 1. Ví dụ 2: Cho 2 số x, y thỏa mãn 2 2 2 18 4 4 x y x + + = . Xác định x, y để tích xy đạt giá trị nhỏ nhất. Giải : Ta cĩ : ( )2 2 2 2 22 21 18x y 4 4x 2 4x y 4xy 4xy 2 04x 4x⎛ ⎞+ + = ⇔ + − + + + − − =⎜ ⎟⎝ ⎠ ( )2 21 14xy 2x 2x y 2 2 xy 2x 2 ⎛ ⎞⇔ = − + + − ≥ − ⇔ ≥ −⎜ ⎟⎝ ⎠ Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi 1 1 12x x x 2x 2 2 2x y y 1 y 1 ⎧ ⎧ ⎧= = = −⎪ ⎪ ⎪⇔ ∨⎨ ⎨ ⎨⎪ ⎪ ⎪− = = − =⎩ ⎩ ⎩ Vậy giá trị nhỏ nhất của xy là 1 2 − , đạt được khi và chỉ khi ( ) 1x, y ; 1 2 ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠ hoặc ( ) 1x, y ;1 2 ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠ . 5. Phương pháp dùng tính chất hàm lồi, hàm lõm : ™ Hàm lồi : - Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) cĩ tập xác định D . f(x) gọi là lồi với mọi 1 21 2 1 2 x xx D x , x D : f (x ) f (x ) 2f 2 +⎛ ⎞∈ ⇔∀ ∈ + ≥ ⎜ ⎟⎝ ⎠ . - Điều kiện cần và đủ để hàm số y = f(x) lồi với mọi x D∈ là: y" f "(x) 0= > với mọi x∈D. - Tính chất : Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 12 1 2 n 1 2 n 1 2 n x x ... xx , x ,..., x D, f (x ) f (x ) ... f (x ) nf n + + +⎛ ⎞∀ ∈ + + + ≥ ⎜ ⎟⎝ ⎠ . Nếu 1 2 nx x ... xnf m n + + +⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠ (hằng số) thì tổng 1 2 nS f (x ) f (x ) ... f (x )= + + + cĩ giá trị nhỏ nhất là m, đạt được khi 1 2 nx x ... x= = = . ™ Hàm lõm : - Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) cĩ tập xác định D . f(x) gọi là lõm với mọi 1 21 2 1 2 x xx D x , x D:f (x ) f (x ) 2f 2 +⎛ ⎞∈ ⇔ ∀ ∈ + ≤ ⎜ ⎟⎝ ⎠ . - Điều kiện cần và đủ để hàm số y = f(x) lõm với mọi Dx∈ là: y" f "(x) 0= < với mọi x∈D. - Tính chất : 1 2 n 1 2 n 1 2 n x x ... xx , x ,..., x D, f (x ) f (x ) ... f (x ) nf n + + +⎛ ⎞∀ ∈ + + + ≤ ⎜ ⎟⎝ ⎠ . Nếu 1 2 nx x ... xnf M n + + +⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠ ( hằng số ) thì tổng 1 2 nS f (x ) f (x ) ... f (x )= + + + cĩ giá trị lớn nhất là M, đạt được khi 1 2 nx x ... x= = = . Đây là trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức Jensen. ™ BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN : Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] và n điểm 1 2 nx , x , ...,x tùy ý trên [a; b], các số thực khơng âm 1 2 n, , ..., (n 2)λ λ λ ≥ sao cho 1 2+ + ...+ =1.nλ λ λ Nếu f "(x) > 0 trong khoảng (a; b) thì : ( )1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n nf(x ) + f(x ) +... + f(x ) f x + x +... + xλ λ λ ≥ λ λ λ . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2x ... nx x= = = . Nếu f "(x) < 0 trong khoảng (a; b) thì : ( )1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n nf(x ) + f(x ) + ... + f(x ) f x + x +...+ xλ λ λ ≤ λ λ λ . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 nx x ... x= = = . Khi giải tốn ta cũng cĩ thể áp dụng trực tiếp bất đẳng thức Jensen nhưng để cho đơn giản ta thường dùng trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức này. Ví dụ : Cho tam giác ABC là tam giác nhọn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = tan A + tan B + tan C. Giải Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 13 Xét hàm số : f(x) = tan x , x 0; . 2 π⎛ ⎞∈⎜ ⎟⎝ ⎠ Ta cĩ : 2 1f '(x) cos x = . 4 3 2cos x. sin x 2sin xf "(x) = 0 cos x cos x = > với mọi x 0; 2 π⎛ ⎞∈⎜ ⎟⎝ ⎠ . Do đĩ f(x) là hàm lồi trên x 0; 2 π⎛ ⎞∈⎜ ⎟⎝ ⎠ . Suy ra : A + B +Cf(A) + f(B) + f(C) 3f 3 ⎛ ⎞≥ ⎜ ⎟⎝ ⎠ . hay A + B + Ctan A + tan B + tan C 3tan 3tan 3 3 3 3 π⎛ ⎞≥ = =⎜ ⎟⎝ ⎠ . Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi A = B = C = 3 π . Vậy min M = 3 3 khi A = B = C = ( ABC 3 π ∆ đều ). 6. Phương pháp tọa độ - vectơ: Cho hai vectơ 1 2a (a ,a )= r và 1 2b (b , b )= r . Ta cĩ các bất đẳng thức sau : (1) a. b a . b≤r r r r . Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi 1 2 2 1a b a b 0− = . (2) a b a b+ ≤ +r r r r . Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi a , bur ur cùng hướng hay 1 2 2 1 1 1 2 2 a b a b 0 a b 0 a b 0 − =⎧⎪ ≥⎡⎨ ⎢⎪ ≥⎣⎩ . Ví dụ 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của 4 4 2 2A = cos x cos y sin x sin y+ + + với mọi x, y∈ . Giải : Xét các vectơ : 2 2 2 2a (cos x ;cos y), b (sin x ;0), c (0;sin y)= = =r r r . a b c (1;1)+ + =r r r . Ta cĩ : a b c a b c + + ≤ + +r r r r r r . hay 4 4 4 42 cos x cos y sin x sin y≤ + + + Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 14 4 4 2 2cos cos sin sin 2x y x y⇔ + + + ≥ . Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi a, b, c r ur r cùng hướng x k (k, l ) y l = π⎧⇔ ∈⎨ = π⎩ . Vậy, giá trị nhỏ nhất của A là 2 , đạt được khi và chỉ khi x k , y l ( k, l )= π = π ∈ LƯU Ý : * Ta cũng cĩ thể biến đổi 22AB AB= uuur , kết hợp với các qui tắc vectơ, các hằng đẳng thức, các bất đẳng thức hiển nhiên để đánh giá. Chú ý các điểm chèn: trung điểm, trọng tâm, tâm ngoại tiếp, … * Khoảng cách giữa A AA(x ; y )và B BB(x ; y ) là : 2 2 B A B AAB (x x ) (y y )= − + − . * Khoảng cách từ điểm 0 0 0M (x ; y ) đến đường thẳng ( ) : Ax By C 0∆ + + = là: 0 0 2 2 Ax By C d A B + += + . * AB BC AC+ ≥ . Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi B thuộc đoạn AC. * Các dạng phương trình đường thẳng, đường trịn trong mặt phẳng Oxy. Ví dụ 2: Cho ABC ∆ và M là điểm tùy ý. Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2 2P = MA + MB + MC . Giải Gọi G là trọng tâm của ABC∆ . Ta cĩ : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 P = MA + MB + MC = MG + GA + MG +GB + MG + GC = 3MG + GA + GB + GC + 2MG GA + GB GC GA + GB + GC . = + ≥ uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuur uuur Dấu “ = ” xảy ra khi M G≡ . Vậy 2 2 2min P GA GB GC= + + khi M G≡ . 7. Phương pháp lượng giác hĩa : Thơng thường, bằng cách đặt ẩn phụ, một số bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất cĩ thể đưa về dạng lượng giác để khảo sát. Khi đĩ, việc giải quyết sẽ thuận lợi hơn nhờ các cơng thức và bất đẳng thức quen thuộc. LƯU Ý : • Cần lưu ý đến giới hạn cung, gĩc, điều kiện. Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 15 • Dựa vào điều kiện ta cĩ thể đặt ẩn phụ như sau : x 1≤ → đặt x sin t hay x cos t= = . ≤ →x a đặt x a sin t hay x a cos t= = . 2 2x y 1+ = →đặt x sin t= và x cos t= . 2 2 2x y a+ = → đặt x a sin t= và y a cos t= . x∈ → đặt x tan t hay x cot t= = . Ví dụ 1 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của ( ) 6 32 1 xy = 1 x + + . Giải : Đặt x tan= α , ta cĩ : ( ) ( ) ( ) 2 4 6 2 4 2 4 3 22 2 4 4 2 2 4 22 2 2 2 2 sin sin11 tan 1 tan tan cos cosy 11 tan 1 tan cos cos sin .cos sin sin cos 3sin .cos 31 sin 2 . 4 α α− ++ α − α+ α α α= = = = + α + α α = α− α α+ α = = α+ α − α α = = − α Vì 20 sin 2 1≤ α≤ nên 21 31 sin 2 1 4 4 ≤ − α≤ . Vậy, max y = 1 khi và chỉ khi sin 2 0α= hay k (k ) 2 πα= ∈ và min y = 1 4 khi và chỉ khi 2 2sin 2 1 cos 2 0 k 4 2 π πα = ⇔ α = ⇔ α = + . Ví dụ 2 : Cho x, y thỏa 2 2x 2y 4+ = . Tìm giá trị lớn nhất của 2f (x, y) x y 2 = − . Giải Ta cĩ: 22 2 2 x yx 2y 4 1 2 2 ⎛ ⎞⎛ ⎞+ = ⇔ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ . Đặt x 2cos a, y 2 sin a= = . Khi đĩ : Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 16 ( ) 2 2 1f x, y 2cos a . 2 sin a 2cos a sin a 5 cos a sin a 2 5 5 ⎛ ⎞= − = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠ . Mà 2 2 2 1 1 5 5 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ nên cĩ thể đặt 2 1cos b, sin b 5 5 = − = . Do đĩ : ( ) ( ) ( )f x, y 5 cos b.cos a sin b.sin a 5 cos a b 5= + = − ≤ . Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi 2 4 5 10a b k2 x 2. , y 5 55 − = π ⇒ = = = − . Vậy max f (x, y) 5= . # Các phương pháp nêu trên đều cĩ ưu, nhược điểm riêng. Tùy theo đặc điểm của từng bài mà ta cĩ thể lựa chọn phương pháp phù hợp nhất. Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 17 B. MỘT SỐ BÀI TỐN MINH HỌA CÁCH DÙNG CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT : I. SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠO HÀM : Bài 1: Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn a b c 3+ + ≤ . Tìm giá trị lớn nhất của 2 2 2 2 2 2 a 1 a a 1 b 1 b b 1 c 1 c c 1 P a 1 b 1 c 1 + + + + + + + + += + ++ + + . Giải : Ta cĩ : 2 2 2 2 2 2 a 1 a a 1 b 1 b b 1 c 1 c c 1 P a 1 b 1 c 1 + + + + + + + + += + ++ + + = = 2 2 2 a 1 b 1 c 1 a b c a 1 b 1 c 1 + + ++ + + + ++ + + . Đặt T = 2 2 2 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 1 + + ++ ++ + + . Xét hàm số 2 x 1f (x) x 1 += + cĩ tập xác định là D = . 2 2 2 2 2 xx 1 (x 1) x 1 1 xf '(x) x 1 (x 1) x 1 + − ++ −= =+ + + . f '(x) 0 x 1= ⇔ = . Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta thấy : f (x) 2≤ với mọi x∈ . Suy ra : 2 a 1 2 . (1) a 1 + ≤+ 1 +∞−∞ f(x) x f (x)′ 0 −+ 2 1 − 1 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 18 2 b 1 2 . (2) b 1 + ≤+ 2 c +1 2 . (3) c 1 ≤+ Cộng (1), (2) và (3) theo vế, ta được : T 3 2≤ . (4) Theo giả thiết : a b c 3+ + ≤ . (5) Cộng (4) và (5) theo vế, ta được : P 3 2 3≤ + . Đẳng thức xảy ra khi a b c 1= = = . Vậy max P 3 2 3= + . Bài 2: Giả sử (x; y) là một nghiệm của hệ 2 2 x y 2 a x y x y 3 + = −⎧⎨ + + =⎩ . Tìm a để biểu thức 2 2M x y x y= + − đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Giải : Ta cĩ : (*) 2 2 2 2 x y 2 a x y 2 a x y 2 a x y xy 3 (x y) xy 3 x y (2 a) 3 + = − + = − + = −⎧ ⎧ ⎧⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨+ + = + − = = − −⎩ ⎩ ⎩ . Hệ (*) cĩ nghiệm khi và chỉ khi 2 2(2 a) 4[(2 a) 3] 0− − − − ≥ 2 2 12 3(2 a) 0 (2 a) 4 2 2 a 2 0 a 4. ⇔ − − ≥ ⇔ − ≤ ⇔ − ≤ − ≤ ⇔ ≤ ≤ Do đĩ, với a [0; 4]∈ thì hệ (*) cĩ nghiệm. Xét 2 2 2 2M x y xy (x y xy) 2xy= + − = + + − 2 23 2[(2 a) 3] 2a 8a 1 f (a)= − − − =− + + = . f '(a) 4a 8. f (a) 0 a 2. f (2) 9; f (0) 1; f (4) 1. = − + ′ = ⇔ = = = = Vậy : Giá trị nhỏ nhất của M là 1, đạt được khi a = 0 hoặc a = 4. Giá trị lớn nhất của M là 9, đạt được khi a = 2. Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 19 II. SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC : 1. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY : Bài 3 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 2 2 2A x y z u= với điều kiện x, y, z, u là những số dương và 2x xy z yzu 4+ + + = . Giải : Ta cĩ : 2 2 2 1A x y z u .2x.xy.z.yzu 2 = = . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 4 thừa số dương 2x, xy, z, yzu ta được : 42x xy z yzu2x.xy.z.yzu 1 4 + + +⎛ ⎞≤ =⎜ ⎟⎝ ⎠ . Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi : y 2 1u 22x x y z yzu 1x 2 z 1 =⎧⎪⎪ =⎪= = = ⇔ ⎨⎪ =⎪⎪ =⎩ . Vậy, giá trị lớn nhất của A là 1 2 , đạt được khi 1x u , y 2, z 1 2 = = = = . Bài 4: Cho điểm M nằm trong gĩc tam diện vuơng (Oxyz) cĩ khoảng cách đến (yOz), (zOx), (xOy) tương ứng là a, b, c. Tìm thể tích bé nhất của tứ diện OABC được tạo thành do mặt phẳng qua M cắt Ox, Oy, Oz tại A, B, C. Giải : Từ M hạ MI, MJ, MK tương ứng vuơng gĩc với 3 mặt phẳng (yOz), (zOx), (xOy). Theo đề, ta cĩ : MI = a, MJ = b, MK = c. Nối MA, MB, MC, MO. Tứ diện OABC bị chia thành 3 tứ diện đỉnh M, ba mặt là OBC, OCA, OAB, với chiều cao lần lượt là a, b, c. Do đĩ : OABC M BOC MCOA M AOBV V V V . 1 1 1 1OA.OB.OC OB.OC.a OC.OB.b OA.OB.c. 6 6 6 6 = + + ⇔ = + + a b c1 OA OB OC ⇒ = + + . Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 20 x y z K O A B C MJ I Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số a b c, , OA OB OC ta được : 3 a b c abc1 3 OA OB OC OA.OB.OC OA.OB.OC 27abc 9V abc. 2 = + + ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi OA 3a a b c 1 OB 3b OA OB OC 3 OC 3c =⎧⎪= = = ⇔ =⎨⎪ =⎩ . Vậy thể tích bé nhất của tứ diện OABC được tạo thành do mặt phẳng qua M cắt Ox, Oy, Oz tại A, B, C là 9 abc 2 . 2. BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPSKI : Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số u y 2x 5= − + biết rằng x và y thỏa mãn phương trình 2 236x 16y 9+ = . Giải : Ta cĩ : 1 1u 5 4y. 6x. 4 3 ⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎝ ⎠ . mà ( ) ( )2 2 21 1 1 14y. 6x. 4y 6x . 4 3 16 9 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤− ≤ + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎝ ⎠ . (Bất đẳng thức Bunhiacopski) Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 21 hay ( )2 2 21 1 25 25 254y. 6x. 16y 36x 9. 4 3 16.9 16.9 16 ⎛ ⎞− ≤ + = =⎜ ⎟⎝ ⎠ . nên 5 1 1 54y. 6x. 4 4 3 4 − ≤ − ≤ . 5 55 5 y 2x 5 4 4 15 25u . 4 4 ⇒ − ≤ + − ≤ + ⇔ ≤ ≤ Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi 2 2 2 36 6 636x 16y 9 x x x 225 15 154y 6x 9 9 91 1 y x y y 8 20 204 3 ⎧ + = ⎧ ⎧ ⎧= = =−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⇔ ⇔ ∨⎨ ⎨ ⎨ ⎨= −⎪ ⎪ ⎪ ⎪=− =− =⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎩ ⎩⎩ . Vậy : Giá trị nhỏ nhất của u là 15 4 , đạt được khi 6 9x , y 15 20 = = − . Giá trị lớn nhất của u là 25 4 , đạt được khi 6 9x , y 15 20 = − = . Bài 6: Trong những nghiệm của hệ sau : 2 2 2 2 x y 9 z t 16 xt yz 12 ⎧ + =⎪ + =⎨⎪ + ≥⎩ . Hãy tìm nghiệm để x z+ đạt giá trị lớn nhất. Giải : Ta cĩ: ( ) ( )( )2 2 2 2 2xt yz x y z t 9.16 144+ ≤ + + = = (theo bất đẳng thức Bunhiacopski). xt yz 12⇒ + ≤ (1). Dấu “ = ”xảy ra khi x y k t z = = . (2) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3kx y x y 9 4k 3t z z t 16 k 4 ⎧ = −⎪+ ⎪⇒ = = = = ⇒ ⎨+ ⎪ =⎪⎩ . Theo giả thiết ta cĩ xt yz 12+ ≥ nên kết hợp với (1) ta cĩ xt yz 12+ = . Từ (2) xz yt⇒ = . Do đĩ : 2 2 2 2 2 2 2 2x y z t x 2xz z y 2yt t+ + + = + + + − + . ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 225 x z y t x z 25 y t 25⇒ = + + − ⇒ + = − − ≤ x z 5⇒ + ≤ . Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 22 Vậy, 9y t x 5x kt 12max(x z) 5 khi y t3 5k 4 16zy kz 5 ⎧=⎧ =⎪⎪ ⎪=⎪⎪ ⎪+ = ⇒ = =⎨ ⎨=⎪ ⎪⎪ ⎪ ==⎪ ⎪⎩ ⎩ . 3. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC : Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : ( )3 2 21y cos x sin x cos x. sin x= + + . Giải : Ta cĩ : ( )3 3sin x cos x 2 2 cos x 2 2 4 π⎛ ⎞+ = − ≥ −⎜ ⎟⎝ ⎠ ( do cos x 14 π⎛ ⎞− ≥−⎜ ⎟⎝ ⎠ ). Dấu “ = ” xảy ra khi 5x k2 4 π= + π . Ngồi ra : 2 2 2 1 4 4 cos x. sin x sin 2x = ≥ ( do 2sin 2x 1≤ ). Khi 5x k2 4 π= + π thì dấu “ = ” cũng xảy ra . Vậy min y = 4 2 2− , đạt được khi 5x k2 4 π= + π . Bài 8: Cho α là một gĩc cố định cho trước. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) ( )2 2y tan x tan x= +α + −α . Giải : Ta cĩ : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 y tan x tan x 1 1tan x tan x tan x tan x 2 2 = +α + −α = +α + −α − +α − −α⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 22 2 22 2 1 sin 2x 1 sin 2 2 cos x .cos x a 2 cos x .cos x 2 sin 2x sin 2sin 2x sin 2 A . 2cos x .cos x a Bcos 2x cos 2 α= ++α − +α −α + α+ α= = =+α − + α Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 23 A đạt giá trị nhỏ nhất khi sin 2x = 0 (vì 2sin 2x 0≥ ) . Khi đĩ: cos 2x = 1 hay cos 2x = −1. Do đĩ B đạt giá trị lớn nhất bằng ( )21 cos 2+ α khi cos 2 0 cos 2 1 α ≥⎧⎨ =⎩ x hay bằng ( )21 cos 2− + α khi cos 2 0 cos 2x 1 α≤⎧⎨ =−⎩ . Vậy : i) Nếu cos 2 0α ≥ thì ( ) 2 2 2 2sin 2min y 2 tan 1 cos 2 α= = α+ α khi x k (k )= π ∈ . ii) Nếu cos 2 0α < thì ( ) 2 2 2 2sin 2min y 2cot 1 cos 2 α= = α− α khi x k2 π= + π . 4. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRỊ TUYỆT ĐỐI CƠ BẢN : Bài 9 : Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số ( ) 5 1f x x x 2 2 = − − + . Giải: Xét ( ) 5 1 5 1f x x x x x 2 2 2 2 = − − + = − − + . ( ) 5 1f x x x 3 2 2 ⎛ ⎞⇒ ≤ − − + =⎜ ⎟⎝ ⎠ . Do đĩ : ( )3 f x 3− ≤ ≤ (*). Dấu “ = ” trong (*) xảy ra khi và chỉ khi 5 1 1 5x . x 0 x x 2 2 2 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + ≥ ⇔ ≤− ∨ ≥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ . Vậy, giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho là −3, đạt được khi 5x 2 ≥ . giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là 3, đạt được khi 1x 2 ≤− . Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 24 Bài 10 : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : ( )f x x 3 4 x 1 x 15 8 x 1= + − − + + − − . Giải : Điều kiện : x 1≥ . Ta cĩ : ( )f x x 3 4 x 1 x 15 8 x 1= + − − + + − − x 1 4 x 1 4 x 1 8 x 1 16= − − − + + − − − + ( ) ( )2 21 2 1 4x x= − − + − − = − − + − − = − − + − − ≥ − − + − − = 1 2 1 4 1 2 4 1 1 2 4 1 2. x x x x x x ( ) ( ) ( )x 1 2 . 4 x 1 0 2 x 1 4f x 2 5 x 17 x 1x 1 ⎧ ⎧− − − − ≥ ≤ − ≤⎪ ⎪= ⇔ ⇔ ⇔ ≤ ≤⎨ ⎨ ≥⎪≥ ⎩⎪⎩ . Vậy, ( ) [ ] x 1 min f x =2 khi x 5; 17≥ ∈ . III. SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP MIỀN GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ : Bài 11: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 2 2 3y 4xyu x y −= + . Giải : Điều kiện : 2 2x y 0+ ≠ . Ta giả sử x 0≠ . Khi đĩ, chia tử và mẫu số của u cho 2x ta được : 2 2 y y3 4 x xu y1 x ⎛ ⎞ −⎜ ⎟⎝ ⎠= ⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠ . Đặt yt x = , khi đĩ : 2 2 3t 4tu 1 t −= + . Giả sử 0u là một giá trị bất kì của hàm số 2 2 3t 4tu 1 t −= + . Khi đĩ, tồn tại t∈ sao cho phương trình ( ) 20 0u 3 t 4t u 0− + + = (*) cĩ nghiệm t. Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 25 • 0u 3= : (*) trở thành 4t + 3 = 0 34t⇔ = − . Do đĩ nhận 0u 3= . • 0u 3≠ : (*) cĩ nghiệm khi và chỉ khi ( )0 04 u u 3 0− − ≥ 2 0 0 0 u 3u 4 0 1 u 4. ⇔ − + + ≥ ⇔ − ≤ ≤ Do đĩ, với 01 u 4− ≤ ≤ thì (*) cĩ nghiệm. Từ đĩ suy ra: 1 u 4− ≤ ≤ với mọi (x, y) thỏa 2 2x y 0+ ≠ . Vậy, min u = − 1 và max y = 4. Bài 12: Cho k 2k cos x k 1y cos x sin x 2 + += + + . Tìm k để giá trị lớn nhất của ky nhỏ nhất. Giải : Miền xác định của hàm ky là D = . Giả sử y là một giá trị bất kì của hàm ky . Khi đĩ, tồn tại x∈ sao cho phương trình 2k cos x k 1y cos x sin x 2 + += + + cĩ nghiệm. hay phương trình ( )y 2k cos x ysin x k 1 2y− + = + − cĩ nghiệm x. ( ) ( )2 22 2 2 2 2 y 2k y k 1 2y 2y 4y 3k 2k 1 0 2 21 3k 2k 1 y 1 3k 2k 1. 2 2 ⇔ − + ≥ + − ⇔ − − + + ≤ ⇔ − − + ≤ ≤ + − + Từ đĩ ta cĩ : 2k 2max y 1 3k 2k 1 2 = + − + 22 1 2 2 2 31 3 k 1 . 1 2 3 3 2 33 ⎛ ⎞= + − + ≥ + = +⎜ ⎟⎝ ⎠ . Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi 1k 3 = . Vậy giá trị lớn nhất của ky đạt giá trị nhỏ nhất là 31 3 + khi 1k 3 = . IV. SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP DÙNG LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ CHẴN : Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 26 Bài 13: Cho tam giác ABC, tìm giá trị lớn nhất của ( )P 3 cos B 3 cos A cosC= + + . Giải : Ta cĩ : A C A CP 3 cos B 6cos . cos 2 2 + −= + = B A C3 cos B 6sin .cos 2 2 −= + (vì A B C+ + =π nên A C B Bcos sin sin 2 2 2 2 + π⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠ ). Suy ra : P 2 B B3 1 2sin 6sin 2 2 ⎛ ⎞≤ − +⎜ ⎟⎝ ⎠ ( vì A Ccos 1 2 − ≤ ) . hay P 2 B B2 3 sin 6sin 3 2 2 ≤ − + + 2 B 3 5 3 5 32 3 sin 2 2 2 2 ⎛ ⎞≤− − + ≤⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ( vì 2 B 3sin 0 2 2 ⎛ ⎞− ≥⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ). Dấu “ = ” xảy ra khi 0 0 A Ccos 1 A C 302 B 3 B 120sin 2 2 −⎧ =⎪ ⎧ = =⎪ ⎪⇔⎨ ⎨ =⎪⎩⎪ =⎪⎩ . Vậy max P = 5 3 2 khi 0 0 A C 30 B 120 ⎧ = =⎪⎨ =⎪⎩ . Bài 14: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2T x y= + biết x và y là nghiệm của phương trình 2 25x 8xy 5y 36+ + = (*) . Giải : Ta cĩ : ( ) ( ) ( )2 2 2 2* x y 4 x 2xy y 36⇔ + + + + = ( ) ( )( ) 2 2 T 4 x y 36 T 36 do x y 0 . ⇔ + + = ⇒ ≤ + ≥ Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi : 2 2 25x 8xy 5y 36 x 18 x y 0 y x ⎧ ⎧+ + = =⇔⎨ ⎨+ = = −⎩ ⎩ Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 27 x 3 2 x 3 2 y 3 2 y 3 2 ⎧ ⎧= = −⎪ ⎪⇔ ∨⎨ ⎨= − =⎪ ⎪⎩ ⎩ . Vậy, max T = 36 x 3 2 x 3 2 y 3 2 y 3 2 ⎧ ⎧= = −⎪ ⎪⇔ ∨⎨ ⎨= − =⎪ ⎪⎩ ⎩ . Mặt khác, ta lại cĩ : ( ) ( ) ( )2 2 2 2* 9 x y 4x 8xy 4y 36⇔ + − − + = ( ) ( )( ) 2 2 9T 4 x y 36 36T 4 do 4 x y 0 . 9 ⇒ − − = ⇒ ≥ = − ≥ Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi : 2 2 25x 8xy 5y 36 x 2 x y 0 y x ⎧ ⎧+ + = =⇔⎨ ⎨− = =⎩ ⎩ . x y 2 x y 2⇔ = = ∨ = = − . Vậy, min T = 4 x y 2 x y 2⇔ = = ∨ = = − . V. SỬ DỤNG TÍNH CHẤT LỒI, LÕM CỦA HÀM SỐ Bài 15: Cho biểu thức 1 1 1F cos A cos B cos C = + + (A, B, C nhọn). Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của F. Giải : Xét hàm số 1y f (x) , x 0; cos x 2 π⎛ ⎞= = ∈ ⎜ ⎟⎝ ⎠ , ta cĩ : 2 sin xy ' cos x = . 3 2 2 4 3 cos x 2sin x.cos x( sin x) cos x 2sin xy" 0 cos x cos x − − += = > với mọi x 0; 2 π⎛ ⎞∈⎜ ⎟⎝ ⎠ . Suy ra f(x) là hàm lồi trên 0; 2 π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ . Do đĩ : ( ) ( ) ( ) A B Cf A f B f C 3f 3 + +⎛ ⎞+ + ≥ ⎜ ⎟⎝ ⎠ 1 1 1 13 A B Ccos A cos B cos C cos 3 1 1 1 13 6. cos A cos B cos C cos 3 ⇔ + + ≥ + + ⇔ + + ≥ =π Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 28 Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi A B C 3 π= = = . Vậy min F = 6 khi A B C 3 π= = = . Bài 16: Cho a, b, c là ba số dương và a + b + c = 1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 10 10 101 1 1P a b c a b c ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ . Giải : Do a, b, c là các số dương và a + b + c = 1 nên 0 a 1 0 b 1 0 c 1 < <⎧⎪ < <⎨⎪ < <⎩ . Xét hàm số ( ) 101f x x x ⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠ với ( )x 0;1∈ . Ta cĩ : ( ) 9 21 1f ' x 10 x 1x x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ . ( ) 8 2 92 31 1 1 2f " x 90 x . 1 10 x . 0x x x x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − + + >⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ với mọi ( )x 0;1∈ . Suy ra f(x) là hàm lồi trên trên (0;1) . Do đĩ, ta cĩ : ( ) ( ) ( )1 a b cf a f b f c f 3 3 + +⎛ ⎞+ + ≥⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠ . hay 1010 10 10 10 9 1 1 1 a b c 3 10a b c 3 a b c 3 a b c 3 ⎡ ⎤ ⎛ ⎞+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + + ≥ + =⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ( do a + b + c = 1 ). Suy ra 10 9 10P 3 ≥ . Dấu “ = ” trong (*) xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 3 . Vậy, min P = 10 9 10 3 khi a = b = c = 1 3 . VI. SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ - VECTƠ : Bài 17: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số u y 2x 5= − + biết rằng x và y thỏa mãn phương trình 2 236x 16y 9+ = . Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 29 Giải : Ta cĩ 1 1u 5 4y. 6x. 4 3 ⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎝ ⎠ . Xét 2 vectơ ( ) 1 1a 4y; 6x ,b ; 4 3 ⎛ ⎞= − = ⎜ ⎟⎝ ⎠ r r . Ta cĩ : ( )2 2 2a. b a . b≤r r ur ur . Nên : ( ) ( ) ( )2 2 2 2 21 1 1 1 25 25 254y. 6x. 4y 6x . 16y 36x 9. 4 3 16 9 16.9 16.9 16 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤− ≤ + − + = + = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi 22 2 36 6 6x x x36x 16y 9 225 15 15 4 3 9 9 9y x y x y y3 2 8 20 20 ⎧ ⎧ ⎧⎧ = = =−+ = ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⇔ ⇔ ∨⎨ ⎨ ⎨ ⎨=−⎪ ⎪ ⎪ ⎪= − =− =⎩ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎩ ⎩ . Vậy : Giá trị nhỏ nhất của u là 15 4 , đạt được khi 6 9x , y 15 20 = = − . Giá trị lớn nhất của u là 25 4 , đạt được khi 6 9x , y 15 20 = − = . Bài 18: Cho điểm A thuộc mặt cầu tâm O cĩ bán kính bằng R. Xét các tứ diện ABCD nội tiếp mặt cầu và gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD. Tìm vị trí của điểm G khi biết 2 2 2 2 2 2AB AC AD BC CD DB+ + − − − đạt giá trị nhỏ nhất. Giải : O A C D A ' B G Kẻ đường kính AA’ của mặt cầu ta cĩ OA ' OA= −uuuur uuur . Ta cĩ : + + − − − =2 2 2 2 2 2AB AC AD BC CD DB Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 30 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − + − + − + − − − − − − = − + + + + + = + uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur 2 2 2 2 2 2 OB OA OC OA OD OA OC OB OD OC OB OD 2OA. OB OC OD 2OC.OB 2OB.OD 2OD.OC 2OA'.OB 2OA'.OC ( ) + + + + = + + + − ≥ − uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur 2 2 2 2OA '.OD 2OC.OB 2OB.OD 2OD.OC OA' OB OC OD 4R 4R . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : OA OB OC OD= + +uuur uuur uuur uuur (1). mà GA GB GC GD 0+ + + =uuur uuur uuur uuur r . 4GO OA OB OC OD 0 (2)⇔ + + + + =uuur uuur uuur uuur uuur r . Từ (1), (2) suy ra 4GO 2OA 0+ =uuur uuur r hay OA 2OG=uuur uuur . Vậy, khi G là trung điểm của đoạn OA thì G sẽ thỏa yêu cầu đề bài. VII. SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HĨA : Bài 19: Cho hai số thực a và b thỏa điều kiện 2 2a b 1+ = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ( ) ( ) ( )5 5 3 3F 16 a b 20 a b 5 a b= + − + + + Giải : Đặt : [ ]a sin x (a, b 1;1 ) b cos x =⎧ ∈ −⎨ =⎩ . Khi đĩ: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 3 3 5 3 5 3 F 16 sin x cos x 20 sin x cos x 5 sin x cos x 16cos x 20cos x 5cos x 16sin x 20sin x 5sin x A B = + − + + + = − + + − + = + Ta cĩ: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 24 2 2 A cos x. 16cos x 20cos x 5 cos x. 4 1 cos 2x 10 1 cos 2x 5 cos x 4cos 2x 2cos 2x 1 cos x 2 1 cos 4x 2cos 2x 1 cos x 2cos 4x 2cos 2x 1 2cos x.cos 4x 2cos x.cos 2x cos x cos5x cos3x cos3x cos x cos x cos5x. ⎡ ⎤= − + = + − + +⎣ ⎦ = − − = + − −⎡ ⎤⎣ ⎦ = − + = − + = + − + + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 24 2 2 B sin x. 16sin x 20sin x 5 sin x. 4 1 cos 2x 10 1 cos 2x 5 sin x 4cos 2x 2cos 2x 1 sin x 2 1 cos 4x 2cos 2x 1 ⎡ ⎤= − + = − − − +⎣ ⎦ = + − = + + −⎡ ⎤⎣ ⎦ ( )sin x 2cos 4x 2cos 2x 1 2sin x.cos 4x 2sin x.cos 2x sin x= + + = + + ( ) ( )sin 5x sin 3x sin 3x sin x sin x sin 5x.= − + − + = Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 31 Do đĩ: F cos5x sin 5x 2 cos 5x 2. 4 π⎛ ⎞= + = − ≤⎜ ⎟⎝ ⎠ Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi 2cos 5x 1 x k ( k ) 4 20 5 π π π⎛ ⎞− = ⇔ = + ∈⎜ ⎟⎝ ⎠ . Vậy, max F = 2 khi 2a sin k 20 5 ( k ) 2b cos k 20 5 ⎧ π π⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎪⎪ ⎝ ⎠ ∈⎨ π π⎛ ⎞⎪ = +⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩ . Bài 20: Cho bốn số thực a, b, c, d thỏa mãn các điều kiện ( ) ( )( ) 2 2 2 2 a b 12 a b * c d 12 c d 3 ⎧ + = +⎪⎨ + = + −⎪⎩ . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của ( ) ( )2 2T a c b d= − + − . Giải : Ta cĩ: ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 2 a 6 b 6 72 * c 6 d 6 36 ⎧ − + − =⎪⇔ ⎨ − + − =⎪⎩ Đặt a 6 6 2 cos c 6 6cos , d 6 6sinb 6 6 2 sin ⎧ = + α = + β⎧⎪⎨ ⎨ = + β= + α ⎩⎪⎩ . Khi đĩ, ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2T 36 2 cos cos 2 sin sin 36 3 2 2. cos .cos sin .sin 36 3 2 2 cos . ⎡ ⎤= α − β + α − β⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎡ ⎤= − α β+ α β⎣ ⎦ = − α −β Ta cĩ : ( )1 cos 1− ≤ α −β ≤ ( )3 2 2 3 2 2 cos 3 2 2⇔ − ≤ − α −β ≤ + ( ) ( )2 2236 2 1 T 36 2 1⇔ − ≤ ≤ + . ( ) ( )6 2 1 T 6 2 1⇒ − ≤ ≤ + . Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 32 Vậy, max T = ( )6 2 1+ khi ( ) cos coscos 1 sin sinα = β⎧α −β = ⇔ ⎨ α = β⎩ và min T = ( )6 2 1− khi ( ) cos coscos 1 sin sinα = − β⎧α −β = − ⇔ ⎨ α = − β⎩ . Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 33 C. ỨNG DỤNG CỦA GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀO VIỆC GIẢI TỐN I. ỨNG DỤNG VÀO VIỆC GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, … - Phương trình ( )f x , x D= α ∈ cĩ nghiệm khi và chỉ khi x D x D m min f (x) max f (x) M ∈ ∈ = ≤ α ≤ = . - Bất phương trình ( )f x , x D≥ α ∈ cĩ nghiệm khi và chỉ khi M ≥ α . - Bất phương trình ( )f x ≥ α nghiệm đúng với mọi x D∈ khi và chỉ khi m ≥ α . - Bất phương trình ( )f x , x D≤ β ∈ cĩ nghiệm khi và chỉ khi m ≤ β . - Bất phương trình ( )f x ≤ β nghiệm đúng với mọi x D∈ khi và chỉ khi M ≤ β . Bài 1: Với giá trị nào của m thì 4mx 4x m 0− + ≥ với mọi x. Giải : Ta cĩ : 4mx 4x m 0− + ≥ với mọi x 44xm x 1⇔ ≥ + với mọi x. (1) Đặt ( ) 44xf x x 1= + . Từ (1) suy ra max f (x) m≤ . ( ) ( )( ) 4 24 4 1 3x f ' x 1 x −= + . ( ) 4 4 1x 3f ' x 0 1x 3 ⎡ =⎢⎢= ⇔ ⎢ = −⎢⎣ . Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 34 4 27 0 0 0 4 1 34 1 3 − +∞−∞ ( )f x′ x f(x) −+− 0 4 27− Bảng biến thiên : Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy 4max f (x) 27= ( khi 4 1x 3 = ). Vậy 4m 27≥ là giá trị cần tìm thỏa đề bài. Bài 2: Cho phương trình : 4 4 21sin x cos x cos 2x sin 2x a 0 4 + − + + = (1). Với giá trị nào của a, phương trình đã cho cĩ nghiệm ? Giải : ( ) 2 21 11 1 sin 2x cos 2x sin 2x a 0 2 4 ⇔ − − + + = ( )2 2 1 1 cos 2x cos 2x a 1 0 4 cos 2x 4cos 2x 4a 3 0. (2) ⇔ − − − + + = ⇔ − + + = Đặt t = cos2x, với 1 t 1− ≤ ≤ . Phương trình (2) trở thành: 2 2t 4t 4a 3 0 4a t 4t 3− + + = ⇔ =− + − . (3) Xét hàm số 2f (t) t 4t 3= − + − trên đoạn [−1; 1], ta cĩ : ( ) ( ) [ ] f ' t 2t 4. f ' t 0 t 2 1; 1 . = − + = ⇔ = ∉ − Suy ra ( )f t 0′ > trên đoạn [−1; 1]. mà f (−1) = − 8 ; f ( 1 ) = 0 . nên [ ]t 1 ; 1min f (t) 8 khi t 1∈ − = − = − và [ ]t 1 ; 1max f (t) 0 khi t 1∈ − = = . Phương trình (1) cĩ nghiệm x khi và chỉ khi phương trình (3) cĩ nghiệm [ ]t 1;1∈ − [ ] ( ) [ ] ( )t 1; 1 t 1; 1min f t 4a max f t∈ − ∈ −⇔ ≤ ≤ 21 sin 2x cos 2x a 1 0 4 ⇔ − − + + = Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 35 8 4a 0 2 a 0⇔ − ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤ 0 Vậy, với [ ]a 2; 0∈ − thì phương trình (1) cĩ nghiệm. Bài 3 : Với những giá trị nào của m thì hệ bất phương trình ( ) ( ) 2 2 x m 2 x 2m 0 x m 7 x 7m 0 ⎧ − + + <⎪⎨ + + + <⎪⎩ (I) cĩ nghiệm? Giải : Ta cĩ : ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 x m 2 x 2m 0 x 2 x m 0 (1) x 7 x m 0 (2)x m 7 x 7m 0 ⎧ − + + < − − <⎧⎪ ⎪⇔⎨ ⎨ + + <+ + + < ⎪⎪ ⎩⎩ . (II) * Nếu ( m = 2 hay m = 7 ) thì hệ (II) vơ nghiệm. Suy ra hệ (I) vơ nghiệm. * Nếu ( m 0≥ và m 2, m 7≠ ≠ ) thì : { } { } (1) x min 2;m 0. (3) (2) x max 7; m 0. (4) ⇒ > ≥ ⇒ < − − ≤ Từ (3) và (4) suy ra x 0 x 0 >⎧⎨ <⎩ ( vơ lí ). Do đĩ (I) vơ nghiệm. * Nếu m < 0 thì (II) { } { }m x 2 max 7;m x min 2; m 7 x m < <⎧⇔ ⇔ − < < −⎨− < < −⎩ . Suy ra (I) cĩ nghiệm. Vậy, với m < 0 thì hệ bất phương trình đã cho cĩ nghiệm. Bài 4: Tìm số k lớn nhất để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x: ( )k sin x cos x 1 sin 2x sin x cos x 2+ + ≤ + + + . (1) Giải : Đặt t sin x cos x , t 0.= + > 2 2t 1 sin 2x 1 t 2 1 t 2⇒ = + ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ . Bất phương trình (1) trở thành : ( ) 22 t t 1kk t 1 t t 1 t 1 1 t 2 1 t 2 ⎧ + +⎧ ≤+ ≤ + +⎪ ⎪ +⇔⎨ ⎨≤ ≤⎪ ⎪⎩ ≤ ≤⎩ . Xét hàm số ( ) 2t t 1f t t 1 + += + trên miền 1; 2⎡ ⎤⎣ ⎦ . Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 36 Ta cĩ ( ) ( ) 2 2 t 2tf ' t t 1 += + . Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta cĩ : 3 f (t) 2 2 1 2 ≤ ≤ − . Bài tốn thỏa khi và chỉ khi 1 t 2 3k min f (t) k 2≤ ≤ ≤ ⇔ ≤ . Vậy giá trị lớn nhất của k phải tìm là 3 2 . + t 0− 2 +∞ + 3 2 2 2 1− + +0−0 1 2−∞ ( )f ' t f(t) Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 37 II. ỨNG DỤNG VÀO VIỆC TÌM ĐIỀU KIỆN SAO CHO HÀM SỐ CĨ CHỨA THAM SỐ ĐỒNG BIẾN HOẶC NGHỊCH BIẾN TRÊN MỘT KHOẢNG XÁC ĐỊNH. Bài 5: Định m để hàm số ( ) ( )y m 3 x 2m 1 cos x= − − + luơn luơn nghịch biến. Giải : Xét hàm số ( ) ( )y m 3 x 2m 1 cos x, x= − − + ∈ . Ta cĩ ( ) ( )y ' m 3 2m 1 sin x= − + + . Hàm số đã cho luơn luơn nghịch biến khi và chỉ khi y ' 0≤ với mọi x∈ . ( ) ( )m 3 2m 1 sin x 0, x⇔ − + + ≤ ∀ ∈ . Đặt sin x = t với 1 t 1− ≤ ≤ . Khi đĩ, ta đi tìm các giá trị của m để ( ) ( )f t 2m 1 t m 3 0= + + − ≤ với mọi t ∈[−1; 1]. ( )2t 1 m 3 t ⇔ + ≤ − với mọi t ∈[−1; 1]. ( ) ( ) 3 t 1m g t với mọi t ; 1 2t 1 2 3 t 1m g t với mọi t 1; 2t 1 2 ⎧ − ⎛ ⎤≤ = ∈ −⎜⎪ ⎥+ ⎝ ⎦⎪⇔ ⎨ − ⎡ ⎞⎪ ≥ = ∈ − − ⎟⎢⎪ + ⎣ ⎠⎩ . ( ) ( )2 7g ' t 0 2 t 1 −= <+ với mọi t. Bảng biến thiên: Do đĩ ta cĩ ( ) ( ) 1 t 1 2 11 t 2 2m min g t 3 24 m 3m max g t 4 − < ≤ − ≤ ≤ − ⎧ ≤ =⎪⎪ ⇔ − ≤ ≤⎨⎪ ≥ = −⎪⎩ . −∞ −∞ +∞ −1 − 4 1 2 − ( )g ' t t 1 g(t) − − 2 3 +∞ Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 38 Vậy, với 24 m 3 − ≤ ≤ thì hàm số đã cho nghịch biến. Bài 6 : Định m để hàm số ( ) ( )3 2y x 3 2m 1 x 12m 5 x 2= − + + + + đồng biến trong các khoảng ( ]; 1−∞ − và [ )2; +∞ . Giải : Ta cĩ : ( ) ( )2y ' x 3x 6 2m 1 x 12m 5= − + + + . Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng ( ]; 1−∞ − và [ )2; +∞ khi và chỉ khi ( )y ' x 0≥ với mọi x ( ; 1] [2; )∈ −∞ − ∪ +∞ . ( ) 212 x 1 m 3x 6x 5⇔ − ≤ − + với mọi x ( ; 1] [2; )∈ −∞ − ∪ +∞ . Trong khoảng ( ]; 1−∞ − , ta cĩ 23x 6x 512m x 1 − +≥ − . (1) Trong khoảng [ )2; +∞ , ta cĩ 23x 6x 512m x 1 − +≤ − . (2) Xét hàm số ( ) 23x 6x 5f x x 1 − += − trên miền D = ( ; 1] [2; )−∞ − ∪ +∞ . Ta cĩ : ( ) ( ) 2 2 3x 6x 1f ' x x 1 − += − . ( ) 3 6x 3f ' x 0 3 6x 3 ⎡ +=⎢⎢= ⇔ ⎢ −=⎢⎣ . Bảng biến thiên : Dựa vào bảng biến thiên, ta cĩ : ( ) x 1 max f x 7 ≤ − = − và ( ) x 2 min f x 5≥ = . 3 6 3 +3 6 3 − + ∞ 0+ + + +0−− 5 - 7 + ∞ − ∞ − ∞ f(x) ( )f ' x - 1 1 2 x Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 39 Từ (1) và (2) suy ra 7m12m 7 12 12m 5 5m 12 ⎧ ≥−⎪≥−⎧ ⎪⇔⎨ ⎨≤⎩ ⎪ ≤⎪⎩ . Vậy, với 7 5m ; 12 12 ⎡ ⎤∈ −⎢ ⎥⎣ ⎦ thì hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng ( ]; 1−∞ − và [ )2; +∞ . Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 40 III. ỨNG DỤNG VÀO CÁC BÀI TỐN THỰC TIỄN : Bài 7: Một cơng ty đánh giá rằng sẽ bán được N lơ hàng nếu tiêu phí hết số tiền là x vào việc quảng cáo, N và x liên hệ với nhau bằng biểu thức 2N(x) x 30x 6,= − + + 0 30x≤ ≤ (x được tính theo đơn vị triệu đồng ). Hãy tìm số lơ hàng lớn nhất mà cơng ty cĩ thể bán sau đợt quảng cáo và số tiền đã dành cho việc quảng cáo đĩ ? Giải : Ta cĩ : N(x) = ( )22x 30x 6 231 x 15 231− + + = − − ≤ ( vì ( )2x 15 0− ≥ ). Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi x = 15 . Do đĩ: [ ]x 0;30max N(x) 231∈ = khi x = 15. Vậy, nếu cơng ty dành 15 triệu cho việc quảng cáo thì cơng ty sẽ bán được nhiều nhất là 231 lơ hàng. Bài 8: Một cơng ty xác định rằng tổng thu nhập (tính bằng $) từ việc sản xuất và bán x đơn vị sản phẩm được cho bởi cơng thức : 2 150000P x 60x 1000 = − + . Hãy tìm số x đơn vị sản phẩm cần sản xuất và bán để tổng thu nhập lớn nhất ? Giải : Ta cĩ : ( )22 150000 150000P 1500 x 60x 1000 x 30 100 = = ≤− + − + (vì ( )2x 30 100 100− + ≥ ). Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi x = 30. Vậy, để tổng thu nhập lớn nhất thì cần sản xuất và bán 30 đơn vị sản phẩm. Bài 9: Nhiệt độ T của một người trong cơn bệnh được cho bởi cơng thức T(t)= - 0.1t 2 + 1.2 t + 98.6, 0 t 12≤ ≤ , trong đĩ T là nhiệt độ ( 0 F ) theo thời gian t trong ngày. Tìm nhiệt độ lớn nhất của người bệnh trong ngày và thời điểm mà nĩ xảy ra. Giải: Xét hàm số T(t) = - 0.1 t 2 + 1.2t + 98.6 = 102.2 - 0.1 (t – 6) 2 ≤ 102.2. Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi t = 6. Do đĩ, max T = 102.2 khi t = 6. Vậy, nhiệt độ lớn nhất của người bệnh trong ngày là 102.2 0 F khi t = 6. Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 41 Bài 10: Một cơng ty đang lập kế hoạch cải tiến sản phẩm và xác định rằng tổng chi phí dành cho việc cải tiến là : ( ) 2C x 2x 4 x 6 = + + − ( với x > 6 ) trong đĩ x là số sản phẩm được cải tiến. Tìm số sản phẩm mà cơng ty cần cải tiến để tổng chi phí là thấp nhất ? Giải: Ta cĩ : ( ) 22 2 8 222 4 6 6 x xC x x x x − −= + + =− − . ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2x 24x 70C ' x 2 . x 6 x 6 x 7 C' x 0 2x 24x 70 0 (do x 6) . x 5 − += − =− − =⎡= ⇔ − + = > ⇔ ⎢ =⎣ Vì x > 6 nên loại x = 5. Vậy, để tổng chi phí là thấp nhất thì cơng ty cần cải tiến 7 đơn vị sản phẩm. Bài 11 : Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hịn đảo tại C. Khoảng cách ngắn nhất từ C đến B là 1. Khoảng cách từ B đến A là 4. Mỗi km dây điện đặt dưới nước mất 5000 USD, cịn đặt dưới đất mất 3000 USD. Hỏi điểm S trên bờ cách A bao nhiêu để khi mắc dây điện từ A qua S rồi đến C là ít tốn kém nhất. Giải : Gọi x là khoảng cách từ S tới B. Khi đĩ khoảng cách từ S tới A là 4 – x ( 0 < x < 4 ). Chi phí khi mắc dây điện từ A qua S rồi đến C là : ( ) ( )2f x 5000 1 x 3000 4 x= + + − . ( ) 2 2 2 5000x 5x 3 x 1 3f x 3000 1000 0 x 4x 1 x 1 ⎛ ⎞− +′ = − = = ⇒ =⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ . C S x 4 4 - x B A Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 42 ( ) ( )32 5000f x 0 1 x ′′ = > + với mọi x . Do đĩ : ( ) 0 x 4 3 3min f x f 16000 (khi x ) 4 4< < ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠ . Vậy, để chi phí ít tốn kém nhất thì điểm S phải cách A là 13 4 . Bài 12: Một con đường được xây dựng giữa 2 thành phố A và B. Hai thành phố này bị ngăn cách một con sơng cĩ chiều rộng r. Người ta cần xây 1 cây cầu bắt qua sơng biết rằng A cách con sơng một khoảng bằng a, B cách con sơng một khoảng bằng b ( a b≤ ) (hình vẽ). Hãy xác định vị trí xây cầu để tổng khoảng cách giữa các thành phố là nhỏ nhất. Giải : Gọi CF = x . Khi đĩ ED = p - x . Khoảng cách giữa các thành phố là : ( ) ( )22 2 2f x x a r b p x= + + + + − . ( ) ( )2 2 22 x x pf ' x x a b p x −= ++ + − . ( ) ( ) ( )22 2 2f ' x 0 x b p x p x x a= ⇒ + − = − + . ( ) ( ) ⎡ = ∈⎢ +⎢⇔ − − + = ⇔ ⎢ =⎢ −⎣ 2 2 2 2 2 2 apx 0;p a b a b x 2a px a p 0 apx (loại) a b . C a b F A p - x r x p D E B sơng Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 43 20 - x x ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 22 2 22 2 a bf x 0 x a b p x ′′ = + > ⎡ ⎤+ + −⎣ ⎦ . Do đĩ : ( ) apmin f x f a b ⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠ . Vậy để khoảng cách giữa 2 thành phố nhỏ nhất thì apx a b = + . Bài 13: Một nhà máy sản xuất máy tính vừa làm ra x sản phấm mới và bán với giá là p = 1000 – x ($) cho mỗi sản phẩm. Nhà sản xuất xác định rằng tổng chi phí làm ra x sản phẩm là C(x) = 3000 + 20x ($). a/-Tìm tổng thu nhập R(x). b/-Tìm tổng lợi nhuận P(x). c/-Nhà máy phải sản xuất và bán bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận lớn nhất. d/-Lợi nhuận lớn nhất là bao nhiêu trong trường hợp c. e/-Giá mỗi sản phẩm là bao nhiêu để lợi nhuận lớn nhất. Giải : a/ R(x) = x ( 1000 – x ) = 1000x – x 2 . b/ P(x) = R(x) – C(x) = − x 2 + 980x − 3000. c/ P(x) = 237 100 − ( x – 490 ) 2 ≤ 237 100 ( do ( x – 490 ) 2 ≥ 0 ). Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi x = 490 . Vậy nhà máy phải sản xuất và bán 490 sản phẩm thì lợi nhuận sẽ lớn nhất. d/ max P = $237100. Do đĩ lợi nhuận lớn nhất là $237100 bằng cách sản xuất và bán 490 sản phẩm. e/ Để lợi nhuận lớn nhất thì giá mỗi sản phẩm là :1000 – 490 = $510. Bài 14: Một cửa hàng bán thú kiểng cần làm một chuồng thú hình chữ nhật sao cho phần cần làm hàng rào là 20 m. Chú ý rằng, hình chữ nhật này cĩ hai cạnh trùng với mép của hai bức tường trong gĩc nhà nên khơng cần rào. Các cạnh cần rào của hình chữ nhật là bao nhiêu để diện tích của nĩ là lớn nhất ? Và diện tích lớn nhất đĩ là bao nhiêu ? Giải : Gọi x là chiều dài một cạnh cần rào của chuồng thú thì 0 < x < 20. Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 44 Khi đĩ chiều dài cạnh cịn lại cần rào của chuồng thú là 20−x . Diện tích của chuồng thú là : S(x) = x.( 20 – x ) = 20x – x 2 = 100 – (x – 10) 2 ≤ 100 ( vì (x – 10) 2 ≥ 0 ). Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi x = 10. Vậy, để diện tích của chuồng thú lớn nhất thì ta rào mỗi cạnh của chuồng dài 10m. Khi đĩ, chuồng thú cĩ diện tích lớn nhất là 100m 2. Bài 15: Một cơng ty Container cần thiết kế các thùng đựng hàng hình hộp chữ nhật, khơng nắp, cĩ đáy là hình vuơng, thể tích là 108 m 3 . Các cạnh hình hộp và cạnh đáy là bao nhiêu để tổng diện tích xung quanh và diện tích của một mặt đáy là nhỏ nhất ? Và tổng diện tích nhỏ nhất đĩ bằng bao nhiêu ? Giải : Gọi x, y lần lượt là chiều dài cạnh đáy và chiều cao của hình hộp ( x > 0, y > 0 ). Tổng diện tích xung quanh và diện tích của một mặt đáy của thùng đựng hàng là : 2S x 4xy= + . Thể tích của thùng đựng hàng là : 2 2 108V x y 108 y x = = ⇒ = . 2 2 2 108 432S x 4x x x x ⎛ ⎞⇒ = + = +⎜ ⎟⎝ ⎠ . Do S và x phải luơn dương nên ta sẽ tìm giá trị nhỏ nhất của S trên khoảng ( )0; +∞ . Ta cĩ : 2 432S' 2x x = − . 2 432S' 0 2x 0 x = ⇔ − = 32 432 0⇔ − =x (vì x > 0) 3x 216 x 6⇔ = ⇔ = . 3 864S" 2 0 x = + > với mọi ( )0;∈ +∞x . Do đĩ min S = S(6) = 26 4.6.3 108+ = và 2108 108y 36 36= = = . Vậy, để diện tích xung quanh của thùng đựng hàng nhỏ nhất thì cạnh hình hộp sẽ là 3 m, cạnh đáy của hình hộp là 6 m và diện tích xung quanh nhỏ nhất là 108 (m 2 ). x x y Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 45 Bài 16:Một cửa hàng bán lẻ bán 2500 cái tivi mỗi năm. Chi phí gởi trong kho là $ 10 một cái trong một năm. Để đặt hàng, chi phí cố định là $20, cộng thêm $9 mỗi cái. Cửa hàng nên đặt hàng bao nhiêu lần mỗi năm và mỗi năm bao nhiêu cái để chi phí hàng tồn kho là nhỏ nhất ? Giải : Gọi x là số tivi của mỗi lần đặt hàng thì x [ ]1; 2500∈ . Khi đĩ, số lượng tivi trung bình gởi trong kho là x 2 . Do đĩ, chi phí gởi hàng trong kho mỗi năm là 10. x 2 = 5x. Số lần đặt hàng mỗi năm là : 2500 x . Do đĩ, chi phí đặt hàng mỗi năm là : (20 + 9x) 2500 x = 50000 x + 22500. Suy ra, chi phí hàng tồn kho là : C(x) = 5x + 50000 x + 22500. Ta cĩ : ( ) 250000C' x 5 x= − . ( ) 2C ' x 0 5x 50000= ⇔ = (do x [ ]1; 2500∈ ) 2 x 100x 10000 x 100 =⎡⇔ = ⇔ ⎢ = −⎣ . Vì x [ ]1; 2500∈ nên ta loại x = – 100. ( ) 3100000C" x 0x= > với mọi x [ ]1; 2500∈ nên [ ] ( ) ( )x 1;2500min C x C 100 23500∈ = = . Khi đĩ, số lần đặt hàng mỗi năm là 2500 25 100 = . Vậy, để chi phí hàng tồn kho nhỏ nhất thì cửa hàng nên đặt hàng 25 lần mỗi năm và 100 cái mỗi năm. Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 46 2a 0 3a 27 a 2 + ∞0 0 0 + − ++ a 2 − ∞ V ' V x Bài 17: Từ một tấm bìa cứng hình vuơng cạnh a, người ta cắt bốn gĩc bốn hình vuơng bằng nhau rồi gấp lại tạo thành một hình hộp khơng nắp. Tìm cạnh của hình vuơng bị cắt để thể tích hình hộp lớn nhất ? Và thể tích lớn nhất đĩ là bao nhiêu? Giải : Gọi x là cạnh hình vuơng bị cắt thì a0 x 2 < < . Khi đĩ, hình hộp tạo thành cĩ đáy hình vuơng cạnh a – 2x và cĩ chiều cao là x. Thể tích hình hộp là : ( )2V a 2x .x= − với a0 x 2 < < . Khi đĩ : ( ) ( ) ( )2 2 2V ' 2 a 2x . 2 x a 2x 12x 8ax a= − − + − = − + . a aV ' 0 x x 6 2 = ⇔ = ∨ = . Vì a0 x 2 < < nên loại ax 2 = . Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên, 3amax V 27 = khi ax 6 = . Vậy, để thể tích hình hộp lĩn nhất thì cần cắt các hình vuơng cĩ cạnh là a 6 và thể tích lớn nhất của hình hộp là 3a 27 . x a – 2x a – 2x a x Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 47 Bài 18: Giám đốc của nhà hát A đang phân vân trong việc xác định giá vé xem các chương trình được trình chiếu trong nhà hát. Việc này rất quan trọng, nĩ sẽ quyết định nhà hát thu được lợi nhuận hay bị tổn thất. Theo những cuốn sổ ghi chép, ơng ta xác định rằng : nếu giá vé vào cửa là $20 thì trung bình cĩ 1000 người đến xem. Nhưng, nếu tăng tiền vé lên $1 mỗi người thì sẽ mất 100 khách hàng trong số trung bình. Trung bình, mỗi khách hàng dành $1.8 cho việc uống nước trong nhà hát. Hãy giúp giám đốc nhà hát này xác định xem cần tính giá vé vào cửa bao nhiêu để tổng thu nhập lớn nhất. Giải : Gọi x là số tiền cần tăng thêm của giá vé vào cửa ( $20), nếu x < 0 thì cĩ nghĩa là giá vé nên giảm. Giả sử R là tổng thu nhập của nhà hát thì R = ( 1000 −100x ).( 20 + x ) + 1.8 (1000 - 100x) = 20000 – 2 000x + 1000x −100x 2 + 1800 −180x = −100x 2 − 1180x + 21800 = 25281 − ( 10x + 59 )2 ≤ 0. (*) Dấu “ = ” trong (*) xảy ra khi và chỉ khi x = −5.9 . Do đĩ: max R = 25281. Vậy, để tổng thu nhập lớn nhất, nhà hát nên tính giá tiền mỗi vé là $20+(− $ 5.9) = $ 14.1. Giá vé này sẽ hấp dẫn nhiều người đến xem hơn, cụ thể là 1000 – 100 (−5.9 ) = 1590 khách hàng. Khi đĩ tổng thu nhập lớn nhất là $ 25281. Bài 19 : Một cơ sở in sách xác định rằng: Diện tích của tồn bộ trang sách là S (cm2). Do yêu cầu kĩ thuật nên dịng đầu và dịng cuối đều phải cách các mép ( trên và dưới ) trang sách là a (cm). Lề bên trái và bên phải cũng phải cách mép trái và mép phải b (cm). Các kích thước của trang sách là bao nhiêu để cho diện tích phần in các chữ cĩ giá trị lớn nhất. Khi đĩ hãy xác định tỷ số các kích thước của trang sách. Giải : Giả sử P, S lần lượt là diện tích phần in chữ của trang sách và diện tích trang sách. Gọi x, y lần lượt là chiều rộng và chiều dài của trang sách (x, y > 0). Ta cĩ ( )( )P x 2b y 2a= − − . (*) mà S = xy nên Sy = x , thay vào (*) ta được : x y a a b b Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 48 C D B A sơng 240 – 3x x ( ) S 2bSP x 2b 2a S 4ab 2ax x x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − = + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ . P đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi 2bS2ax x ⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠ đạt giá trị nhỏ nhất mà 2bS2ax 4 Sab x + ≥ ( Bất đẳng thức Cauchy ). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2bS bS2ax x x a = ⇔ = ( do x > 0 ). Do đĩ P đạt giá trị lớn nhất khi bS aSx , y a b = = . Khi đĩ : 2y S ax x b= = . Bài 20 : Một chủ trang trại nuơi gia súc muốn rào thành 2 chuồng hình chữ nhật sát nhau và sát một con sơng, một chuồng cho cừu, một chuồng cho gia súc. Đã cĩ sẵn 240m hàng rào. Hỏi diện tích lớn nhất cĩ thể bao quanh là bao nhiêu ? Giải : Xét hình chữ nhật ABCD, đặt AB = x thì 0 < x < 80. Khi đĩ BC = 204 – 3x. Diện tích của hình chữ nhật ABCD là : S = x ( 240 – 3x ) = 240x – 3x 2 . Ta cĩ : S(x) = 240x – 3x 2 = 4800 - 3(x – 40) 2 ≤ 4800. Do đĩ ( ) ( )x 0;80max S x 4800∈ = m khi x = 40. Vậy, diện tích lớn nhất cĩ thể bao quanh là 4800 m. Bài 21: Một người thợ mộc cần xây dựng một căn phịng hình chữ nhật bằng gỗ với chu vi là 54 m. Các cạnh của căn phịng là bao nhiêu để diện tích của nĩ lớn nhất ?Diện tích lớn nhất đĩ là bao nhiêu ? Giải : Gọi x, y lần lượt là chiều dài và chiều rộng của căn phịng thì 0 < x < 27 và 0 < y < 27. Khi đĩ ta cĩ : 2 ( x + y ) = 54 nên x + y = 27. Diện tích của căn phịng là S = xy. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số khơng âm x và y, ta được : xy 2x y 729 2 4 +⎛ ⎞≤ =⎜ ⎟⎝ ⎠ .(*) Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 49 Dấu “ = ” trong (*) xảy ra khi và chỉ khi x y 27 27x y x y 2 + =⎧ ⇔ = =⎨ =⎩ . Vậy, để diện tích của căn phịng lớn nhất thì nên xây mỗi cạnh của căn phịng là 27 2 m. Khi đĩ, diện tích lớn nhất của căn phịng là 729 4 m. Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 50 D. KHẢO SÁT THỰC TẾ I. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU : Đợt khảo sát thực tế nhằm biết được những ý kiến của giáo viên và học sinh ở trường phổ thơng về các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và ứng dụng của nĩ trong thực tiễn. Đồng thời cũng nắm được mức độ yêu thích, hứng thú của học sinh đối với mơn tốn. Trên cơ sở đĩ, người thực hiện khảo sát cĩ thể rút ra được những kinh nghiệm, nhận xét bổ ích cho bản thân và phục vụ tốt cho việc dạy học sau này. II. BIỆN PHÁP THỰC HIỆN : Để tiến hành khảo sát, tơi đã soạn một số câu hỏi thăm dị ý kiến giáo viên và học sinh. Bộ câu hỏi này được phát cho một số thầy (cơ) tổ tốn Trường THPT Nguyễn Khuyến ( Huyện Thoại Sơn – An Giang ). Ngồi ra, cĩ một số giáo viên của trường THPT Nguyễn khuyến được phỏng vấn trực tiếp, khơng tiến hành phát “ Phiếu hỏi ý kiến giáo viên “ . Đối với học sinh, tơi phát phiếu thăm dị ở hai lớp 10 ( một lớp tự nhiên và một lớp cơ bản ), hai lớp 11 (một lớp tự nhiên và một lớp cơ bản ) và ba lớp 12 ( một lớp chọn và hai lớp cơ bản) của trường THPT Nguyễn Khuyến. III. KẾT QUẢ : 1. Đối với giáo viên : - Phỏng vấn trực tiếp 2 giáo viên trường THPT Nguyễn Khuyến. - Phát phiếu cho 6 giáo viên trường THPT Nguyễn Khuyến, thu lại được 3 phiếu. Một số ý kiến của thầy ( cơ ) được phỏng vấn trực tiếp : ¾ Ý kiến của thầy Nguyễn Thanh Tú – Tổ trưởng tổ tốn - tin trường THPT Nguyễn Khuyến (phỏng vấn lúc 13 giờ 40 phút ngày 25/03/2008 tại phịng giáo viên trường THPT Nguyễn Khuyến): Mặc dù chúng ta cĩ nhiều phương pháp để giải bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất nhưng thầy khơng thể dạy hết cho học sinh được. Tùy theo từng đối tượng học sinh mà thầy giới thiệu các phương pháp khác nhau. Đối với học sinh khối 10 thì giới thiệu phương pháp dùng bất đẳng thức Cauchy hay đồ thị của hàm số bậc hai, học sinh khối 11 thì dùng các bất đẳng thức lượng giác cơ bản. Cịn đối với học sinh khối 12, thầy chỉ hướng dẫn phương pháp đạo hàm vì nĩ gần gũi với các em. Thầy cho rằng, nếu cĩ điều kiện thì việc cung cấp cho học sinh nhiều phương pháp giải là rất cĩ ích, nhất là đối với những học sinh giỏi. Thầy cũng cho biết thêm, sự hiểu biết của học sinh về các ứng dụng của tốn trong thực tiễn rất hạn chế. Việc giới thiệu cho các em biết ứng dụng của các bài tốn cực trị là cần thiết. Điều đĩ sẽ giúp cho các em thích thú hơn trong việc học tốn. Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 51 ¾ Ý kiến của cơ Châu Thị Phương Thùy – GV trường THPT Nguyễn Khuyến (phỏng vấn lúc 3 giờ 15 phút ngày 27/03/2008 tại thư viện trường THPT Nguyễn Khuyến) : Đây là một dạng tốn khĩ, thường xuất hiện trong các cuộc thi học sinh giỏi ( Tuy trong đề thi tốt nghiệp THPT cũng thường cĩ dạng này nhưng đĩ chỉ là những bài tốn rất đơn giản). Học sinh thường chỉ biết một cách giải, thậm chí cĩ những học sinh cịn khơng làm được. Đa số học sinh thường khơng thích học tốn nhưng khi học phần thống kê ( lớp 10 ), xác suất ( lớp 11 ) các em lại tỏ ra hứng thú hơn. Bởi vì các em thấy được ứng dụng của các phần này trong thực tế. Cho nên, việc chỉ ra cho học sinh biết một vài ứng dụng của tốn (nĩi chung) là cần thiết. Dưới đây là một số ý kiến của các thầy cơ được phát phiếu hỏi ý kiến giáo viên: ¾ Thầy Lê Hồng Thanh Giang – GV trường THPT Nguyễn Khuyến : Bài tốn tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất là bài tốn khĩ nên việc cung cấp cho học sinh các phương pháp giải và chỉ ra một số ứng dụng trong thực tế là cấn thiết nhưng phải phù hợp với từng đối tượng học sinh. Giới thiệu nhiều cách làm dạng tốn này chỉ thích hợp khi đối tượng là các học sinh khá, giỏi. Cịn đối với học sinh trung bình, yếu thì khơng cần thiết. Nhưng, việc chỉ ra ứng dụng trong thực tiễn thì rất cần thiết đối với mọi học sinh. Nĩ sẽ giúp cho các em biết vận dụng những điều đã học vào cuộc sống hàng ngày . Từ đĩ, các em sẽ hứng thú học tốn hơn. ¾ Thầy Trương Quang Thiện – GV trường THPT Nguyễn Khuyến : Ý kiến như thầy Thanh Giang. Việc dạy nhiều phương pháp giải tốn cực trị cho học sinh là rất cần thiết đối với những học sinh khá, giỏi, chuyên cần, tích cực và say mê học tốn. Việc đĩ giúp cho năng lực tư duy của các em phát triển tốt. ¾ Thầy Nguyễn Hồng Giang – GV trường THPT Nguyễn Khuyến : Thầy cho rằng, đây là một dạng tốn phức tạp và rất rộng, địi hỏi học sinh phải hiểu sâu, rộng mới giải được. Các bài tốn trong chương trình sách giáo khoa chỉ là những bài tốn rất đơn giản nên khơng cần giới thiệu nhiều phương pháp. Việc đĩ chỉ làm cho học sinh thêm khĩ hiểu. Trong thực tế, mọi người đều gặp nhiều vấn đề cần thiết phải cĩ phương án tối ưu. Do đĩ, giới thiệu với các em ứng dụng của bài tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong thực tiễn cuộc sống là rất cần thiết.Từ đĩ, các em sẽ cĩ cái nhìn khác về mơn tốn. Các em sẽ được “ học đi đơi với hành”, biết áp dụng những điều đã học vào thực tế. Tổng hợp các ý kiến của giáo viên : Tổng số giáo viên tham gia gĩp ý cho đề tài này là 5, trong đĩ cĩ thầy cho rằng việc cung cấp cho học sinh các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và một số ứng dụng của nĩ trong thực tiễn là cần thiết, cũng cĩ thầy cho rằng việc Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 52 làm này là rất cần thiết. Và hầu hết các giáo viên đều cho rằng việc dạy cho học sinh nhiều cách giải dạng tốn này là cần thiết cho học sinh khá, giỏi nhưng khơng thích hợp cho học sinh trung bình, yếu, kém. Cịn việc giới thiệu cho học sinh thấy một số ứng dụng của tốn học trong cuộc sống là rất cần thiết đối với tất cả học sinh. Thực tế ở phổ thơng, các thầy cơ chỉ dạy cho các em phương pháp gần gũi với chương trình học của các em nhất. Ví dụ như học sinh lớp 12 thì chủ yếu dùng phương pháp đạo hàm để giải bài tốn loại này, cịn học sinh lớp 11 thì dùng các bất đẳng thức lượng giác cơ bản, học sinh lớp 10 thì dùng định lý về dấu của tam thức bậc hai hay bất đẳng thức Cauchy, … Và các thầy cơ cũng ít khi, thậm chí là khơng cĩ giới thiệu cho học sinh một số bài tốn thực tế được. Bởi vì một số nguyên nhân chính sau : - Khơng cĩ điều kiện về trường lớp, thời gian. - Trình độ học sinh thường khơng đồng đều nên khả năng tư duy khơng như nhau. - Học sinh phải cĩ tính chuyên cần. Cần chú ý khi vận dụng các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất : mỗi phương pháp đều cĩ ưu, nhược điểm riêng. Phải tùy theo đặc điểm của từng bài mà vận dụng cho phù hợp. Nếu khơng dùng được phương pháp này thì ta sẽ lựa chọn phương pháp khác. Cịn đối với những bài cĩ nhiều cách giải thì lựa chọn cách giải tùy thuộc vào người làm. 2. Đối với học sinh : - Phát phiếu thăm dị cho 217 học sinh trường THPT Nguyễn Khuyến, ở các lớp 10A1, 10A2, 11A1, 11A5, 12A1,12A2,12A7 ( Phiếu thăm dị nêu trong phần phụ lục ) và cho học sinh lớp 12A2 làm kiểm tra 1 tiết. - Tổng cộng số phiếu thu là 197. BẢNG KẾT QUẢ THEO TỪNG LOẠI Trả lời ( đơn vị phần trăm ) Số học sinh Câu hỏi a b c d 1 66.67 11.11 22.22 0 2 22.22 33.33 33.33 11.12 3 55.56 44.44 0 0 4 22.22 55.56 22.22 0 5 11.11 66.67 22.22 0 6 0 77.78 11.11 11.11 9 học sinh giỏi 7 22.22 77.78 0 0 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 53 1 33.67 58.16 8.17 0 2 13.27 58.16 25.51 3.06 3 54.08 38.78 5.10 2.04 4 7.14 83.67 9.19 0 5 26.53 57.14 14.29 2.04 6 18.37 60.20 17.35 4.08 98 học sinh khá 7 20.41 57.14 20.41 2.04 1 50 37.5 12.5 0 2 6.25 25 31.25 37.5 3 37.5 25 31.25 6.25 4 31.25 68.75 0 0 5 25 31.25 43.75 0 6 12.5 37.5 18.75 31.25 74 học sinh trung bình 7 6.25 43.75 37.5 12.5 1 50 37.5 12.5 0 2 6.25 25 31.25 37.5 3 37.5 25 31.25 6.25 4 31.25 68.75 0 0 5 25 31.25 43.75 0 6 12.5 37.5 18.75 31.25 16 học sinh yếu 7 6.25 43.75 37.5 12.5 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 54 BẢNG KẾT QUẢ TỔNG HỢP Trả lời ( đơn vị phần trăm ) Câu hỏi a b c d 1 39.59 52.79 7.62 0 2 11.68 51.27 25.89 11.16 3 51.78 34.52 11.17 2.53 4 17.77 74.62 7.61 0 5 22.34 54.82 21.32 1.52 6 17.77 51.78 23.35 7.10 7 19.29 55.33 21.83 3.55 Kết quả bài kiểm tra : lớp 12A2 cĩ sĩ số là 43, làm kiểm tra 43 học sinh. Kết quả kiểm tra cho thấy : đa số học sinh chỉ dùng phương pháp đạo hàm để giải bài tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số (41 học sinh, chiếm 95.35%). Chỉ cĩ 2 học sinh dùng phương pháp miền giá trị của hàm số (chiếm 4.65%) Lược ghi vài ý kiến của học sinh : - Đa số học sinh thích giải tốn khi cĩ sẵn phương pháp giải. Khi giải một bài tốn các em thích cĩ nhiều phương pháp để lựa chọn. - Đối với phần lớn học sinh, bài tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất là một bài tốn khĩ mà các em khơng biết nhiều phương pháp giải, thậm chí là khơng biết làm ra sao nên các em rất thích biết nhiều phương pháp để giải và mong muốn thầy cơ cung cấp nhiều phương pháp cho mình. - Rất nhiều học sinh biết rất ít về sự ứng dụng của giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong cuộc sống. - Đa số các em đều thích học tốn hơn nếu biết được một số ứng dụng của tốn học nĩi chung trong cuộc sống ( 55.33 % ). Và, do trong thực tế, các bài tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất diễn ra nhiều nhất nên các em cũng rất mong muốn thầy cơ giới thiệu nhiều bài tốn thực tế. NHẬN XÉT : Dựa vào bảng kết quả theo từng loại và bảng kết quả tổng hợp kết hợp các ý kiến của các em (câu 8) ta thấy cĩ trên một nửa số học sinh thích học và giải tốn hơn khi biết được nhiều phương pháp giải tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và một số ứng dụng của nĩ trong thực tiễn. Đặt biệt, các em học sinh cĩ chủ động hơn trong học tập. Đây là dấu hiệu đáng mừng nhưng cịn rất ít học sinh khơng tự nghĩ phải hệ thống lại kiến thức cũ để học tốt hơn (11.17%). Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 55 Những học sinh khác tuy cĩ suy nghĩ đĩ và cĩ những em đã từng làm nhưng tính thường xuyên của ý nghĩ ấy chưa tốt lắm. Mặc dù vậy, kết quả khảo sát cho thấy việc cung cấp cho học sinh các phương pháp giải bài tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và giới thiệu một số ứng dụng của nĩ trong thực tế là cần thiết. Và, việc làm này sẽ giúp cho học sinh biết liên hệ giữa lý thuyết và thực tiễn cuộc sống, tăng cường sự hứng thú, say mê học tốn của học sinh, nâng cao chất lượng học tập mơn tốn. Đối chiếu kết quả phiếu thăm dị học sinh, bài kiểm tra của các em với kết quả các phiếu hỏi ý kiến của giáo viên, ta cũng thấy cĩ sự tương đồng. Phỏng vấn thêm một số học sinh, các em cho biết, ở trường, thầy cơ cũng cĩ hệ thống lại các kiến thức cũ, phương pháp giải bài tập. Nhưng chưa cung cấp cho các em các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Ngồi ra, các thầy cơ cũng chỉ thỉnh thoảng mới giới thiệu cho các em ứng dụng của tốn học trong cuộc sống chứ chưa cho các em thấy một bài tốn thực tế tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất như thế nào. Hiện nay, sự hiểu biết của học sinh về ứng dụng của tốn học chưa nhiều ( chỉ cĩ 19.29% học sinh cĩ hiểu biết nhiều ). Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 56 PHẦN KẾT LUẬN 1. Việc nghiên cứu lý thuyết cho phép tơi rút ra một số kết luận sau : - Hệ thống các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất cho học sinh là vấn đề cần thiết. Bởi vì, đây là một bài tốn khĩ và phức tạp. Cần biết nhiều phương pháp để dễ dàng hơn trong việc giải tốn dạng này. Đây cũng là dạng tốn giúp phát triển tư duy học sinh rất tốt. Ngồi ra, đây cũng là bài tốn mà trong thực tế cuộc sống chúng ta gặp rất nhiều. Nội dung sách giáo khoa hiện nay chưa cĩ phần hệ thống lại các phương pháp giải dạng tốn này. Tuy trong quá trình giải tốn, học sinh đã được hình thành phương pháp giải nhưng chúng khơng đầy đủ và khơng cĩ tính hệ thống dẫn đến mau quên. Vì vậy, giáo viên cần hệ thống hĩa các phương pháp để học sinh dựa vào đĩ mà cĩ thể định hướng đi cho bài giải. - Tốn học cĩ nhiều ứng dụng trong thực tiễn. Chúng ta bắt gặp nhiều nhất trong cuộc sống hàng ngày là các bài tốn giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, ít nhất, … Sách giáo khoa cũ và các sách tốn tham khảo đề cập rất ít đến ứng dụng của tốn học trong thực tiễn. Tuy bộ sách giáo khoa mới (sách trung học cơ sở, trung học phổ thơng) cĩ thêm vào một số bài tốn và hình ảnh thực tế nhưng vẫn khơng đủ để học sinh nhận thấy rằng việc học tốn là rất cĩ ích. Do đĩ, giáo viên cần giới thiệu thêm nhiều ứng dụng của tốn học cũng như các bài tốn cực trị trong thực tiễn. Từ đĩ sẽ nâng cao được sự hứng thú, say mê học tốn ở học sinh. - Luận văn cĩ đề cập đến một số bài tốn đơn giản, xem như một ví dụ ban đầu để áp dụng từng phương pháp. - Các phương pháp và bài tốn được đề cập trong luận văn cĩ chú ý đến tính phổ thơng. Ngồi ra, cịn cĩ một số bài tập nâng cao và bài tập tham khảo cho học sinh . - Vì thời gian cĩ hạn nên quá trình hệ thống lại các phương pháp giải bài tốn cực trị khơng tránh khỏi thiếu xĩt. Kính mong được sự đĩng gĩp của thầy, cơ, bạn bè để luận văn được hồn chỉnh hơn. 2. Từ kết quả khảo sát thực tế, tơi cĩ những nhận định như sau : - Khả năng học sinh phổ thơng nắm được các phương pháp giải bài tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất là cĩ thể, vì về mặt lý thuyết, các phương pháp này đều là kiến thức phổ thơng, vừa sức và cĩ tính hiện đại. Thực tế các em cũng đã dược làm quen một số phương pháp nhưng các em lại quên đi. Ví dụ, ở cấp hai, cĩ sử dụng phương pháp lũy thừa với số mũ chẵn, bất đẳng thức trị tuyệt đối. Lớp 10 thì áp dụng bất đăng thức Cauchy, lớp 12 thì dùng đạo hàm… Chỉ cần giáo viện nhắc lại thì rất cĩ thể học sinh nắm được và triển vọng cĩ nhiều học sinh yêu thích mơn tốn hơn, chất lượng học tập mơn tốn tốt hơn. - Ở trường phổ thơng, mặc dù các giáo viên biết việc cung cấp cho học sinh nhiều phương pháp giải tốn là cần thiết nhưng các thầy cơ chỉ dừng lại ở việc hướng dẫn các em một cách giải. Chưa cĩ hoặc rất hiếm thầy cơ cung cấp cho học sinh các cách giải bài tốn cực trị và giới thiệu cho các em một số bài tốn thực tiễn dạng này. Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 57 Những nghiên cứu lí luận và khảo sát thực tế đã chứng tỏ rằng, giả thuyết khoa học của luận văn là chấp nhận được, đĩ là : “Nếu học sinh được trang bị các phương pháp giải bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một đại lượng và thấy được những ứng dụng của giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong thực tế thì học sinh sẽ dễ dàng hơn trong việc giải những bài tốn cực trị và học sinh sẽ hứng thú học tốn hơn ”. Nhiệm vụ nghiên cứu hồn thành. Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 58 HỆ THỐNG BÀI TẬP THAM KHẢO 1. Cho hàm số ( ) x x 1y f x 4 m2 m 2+= = − + + . Xác định các giá trị của m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số khơng thể vượt quá 2. 2. Gọi 1 2x , x là hai nghiệm của phương trình : ( ) ( )2 2f x 2x 2 m 1 m 4m 3 0= + + + + + = Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ( )1 2 1 2A x x 2 x x= − + 3. Cho ba số khơng âm a, b, c cĩ tổng bằng 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 3 33F a b c= + + . 4. Cho ba số dương a, b, c thỏa điều kiện : a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a + bT = abc . 5. Cho hai số thực a, b thỏa điều kiện 3 3a b 2+ = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2T a b= + . 6. Định a và b để biểu thức 2 2 x ax b x 1 + + + cĩ giá trị lớn nhất bằng 9 và giá trị nhỏ nhất bằng –1. 7. Biết rằng hệ 2 2 2mx y 3m x y 4y + =⎧⎨ + =⎩ cĩ nghiệm ( ) ( )1 1 2 2x , y , x , y . Tìm giá trị lớn nhất của ( ) ( )2 22 1 2 1P x x y y= − + − . 8. Biết rằng a + b + c = 2 và ax + by + cz = 6 ( a, b, c ≠ 0 ). Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau 2 2 2 2 2 2 2 2 2P 16a a x 16b b y 16z c z= + + + + + . 9. Cho tứ diện ABCD. Hãy xác định điểm M để biểu thức 2 2 2 2T MA MB MC MD= + + + bé nhất. 10. Cho tứ diện ABCD. Hãy xác định điểm M ∈ (ABC) để biểu thức 2 2 2P MB MC MD= + + bé nhất. 11. Cho 2x + 2y – z – 9 = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của ( ) ( ) ( )2 2 2A 1 x 2 y 3 z= − + − + − Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 59 12. Tìm điểm M thuộc đường thẳng d : x t y t z a t =⎧⎪ =⎨⎪ = −⎩ sao cho MA + MB nhỏ nhất, với A(a, 0, a) và B 4a 2a 4a; ; 3 3 3 ⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠ 13. Cho tam thức ( ) 2f x ax bx c= + + . Biết ( ) ( ) ( )f 1 1; f 0 1; f 1 1− ≤ ≤ ≤ . Tìm giá trị lớn nhất của ( )f x trên đoạn [– 1; 1]. 14. Biết rằng phương trình 4 3 2x ax bx ax 1 0+ + + + = cĩ ít nhất một nghiệm thực, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2F a b= + . 15. Cho 4 số a, b, c, d thỏa mãn hệ 2 2a b 1 c d 3 ⎧ + =⎨ + =⎩ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = ac + bd + cd. 16. Tìm khoảng cách ngắn nhất giữa đường cong (C) : 2y x 9= + và đường thẳng d : 4x – 5y – 32 = 0. 17. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) ( )3 3 3 3y x 2 1 x 1 x 2 1 x 1= + + + + + − + . 18. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : ( )f x 3cos 2x 6 sin x= + 19. Cho x, y, z ( )0;∈ π và thỏa điều kiện x + y + z = π . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = cos x + k (cos y + cos z) với k là một số thực cho trước. 20. Cho x, y, z > 0 và thỏa điều kiện x + y + z = π . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = (1 – cos x)(1 – cos y)(1 – cos z). 21. Cho bốn số thực a, b, c, d thỏa mãn các điều kiện ( ) ( ) 2 2 2 2 a b 12 a b c d 12 c d 3 ⎧ + = +⎪⎨ + = + −⎪⎩ . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của ( ) ( )2 2T a c b d= − + − . 22. Định a để phương trình x x x5.16 2.81 a. 36+ = vơ nghiệm. 23. Định m để bất phương trình ( ) ( )2m 1 x 2m 3 x m 3 0− + − + − > cĩ ít nhất một nghiệm nhỏ hơn 1. 24. Định a để hệ bất phương trình sau vơ nghiệm : cos 2x cos x m 0 0 x + + ≤⎧⎨ ≤ ≤π⎩ . Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 60 25. Cho hế bất phương trình ( ) ( ) ( ) ( ) x 1 x x x 1 lg 2 lg 2 1 lg 7.2 12 log x 2 2 +⎧ − + + ⎪⎩ . Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình ( )2x xm.2 2m 1 .2 m 4 0− −− + + + = cĩ hai nghiệm phân biệt 1x và 2x ( 1x < 2x ) sao cho 1x nằm ngồi và 2x nằm trong khoảng nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. 26. Định m để hàm số ( )22x 1 m x 1 my x m + − + += − đồng biến trong khoảng ( )1; +∞ . 27. Tìm giá trị lớn nhất của tham số m sao cho hệ phương trình sau : ( ) ( ) 2 2 m 3 9x 4y 5 log 3x 2y log 3x 2y 1 ⎧ − =⎪⎨ + − − =⎪⎩ cĩ nghiệm (x, y) thỏa mãn 3x 2y 5+ ≤ .