Khóa luận Biểu diễn nghịch đảo Drazin qua ma trận phụ hợp

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ? ? ?F ? ?? NGUYỄN THỊ THANH HƯƠNG BIỂU DIỄN NGHỊCH ĐẢO DRAZIN QUA MA TRẬN PHỤ HỢP KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐHSP Ngành học : Toán học Cán bộ hướng dẫn: TS. CAO HUY LINH Huế, Khóa học 2007 - 2011 i LỜI CẢM ƠN Trước tiên tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn TS. Cao Huy Linh. Thầy đã luôn động viên và hướng dẫn nhiệt tình, chu đáo trong suốt thời gian tôi thực hiện khóa luận này. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành của mình đến quý Thầy Cô giáo trong khoa Toán, Trường Đại Học Sư Phạm Huế, đặc biệt là những Thầy Cô giáo đã từng giảng dạy ở lớp Toán B, khóa học 2007 - 2011. Cảm ơn Thầy Cô đã truyền cho tôi kiến thức và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại khoa. Đồng thời, tôi xin gửi lời cảm ơn đến các Thầy và các bạn trong nhóm Seminar Đại số tuyến tính, đã giúp tôi có cơ hội thảo luận và trình bày về một số vấn đề trong khóa luận của mình. Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến những người thân trong gia đình và bạn bè đã luôn ủng hộ và nhiệt tình giúp đỡ tôi trong thời gian vừa qua. Huế, tháng 5 năm 2011 Sinh viên Nguyễn Thị Thanh Hương ii MỤC LỤC Trang phụ bìa i Lời cảm ơn ii MỤC LỤC 1 LỜI MỞ ĐẦU 2 1 NGHỊCH ĐẢO DRAZIN 4 1.1 Nhắc lại một số khái niệm và các ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Chỉ số của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Nghịch đảo nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Định nghĩa nghịch đảo Drazin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5 Các tính chất của nghịch đảo Drazin . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.6 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 BIỂU DIỄN NGHỊCH ĐẢO DRAZIN QUA MA TRẬN PHỤ HỢP 22 2.1 Mở rộng ma trận phụ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 Mối liên hệ giữa nghịch đảo nhóm và ma trận phụ hợp . . . . . . . 25 2.3 Biểu diễn nghịch đảo Drazin qua ma trận phụ hợp trong trường hợp tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.5 Quy tắc Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 KẾT LUẬN 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO 41 1 LỜI MỞ ĐẦU Một ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi hạng của A bằng cấp của nó. Nhằm mở rộng khái niệm nghịch đảo thông thường, Drazin [9] đã đưa ra định nghĩa nghịch đảo suy rộng cho ma trận vuông bất kỳ mà ngày nay được gọi là nghịch đảo Drazin. Nghịch đảo Drazin, AD, của ma trận vuông A cấp n trên trường F là ma trận X thỏa mãn các tính chất AkAX = Ak, XAX = X,AX = XA với k là chỉ số của ma trận A. Với định nghĩa này thì nghịch đảo Drazin của ma trận A luôn luôn tồn tại duy nhất. Lý thuyết nghịch đảo Drazin có nhiều ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như phương trình vi phân, lý thuyết đồ thị, giải tích hàm, lý thuyết mật mã, lý thuyết điều khiển,...Vì vậy mà ngay từ khi mới ra đời nó đã thu hút sự quan tâm của rất nhiều nhà toán học trên thế giới. Nếu A là ma trận khả nghịch thì ma trận nghịch đảo của A được biểu diễn qua ma trận phụ hợp A−1 = 1 det(A) (A˜). Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là có hay không một biểu diễn tương tự như thế đối với nghịch đảo Drazin của một ma trận vuông bất kỳ? Hay nói một cách khác liệu có tồn tại một biểu diễn của nghịch đảo Drazin qua trận phụ hợp? Mục đích chính của khóa luận là tìm câu trả lời cho câu hỏi trên. Câu hỏi này đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học như Bapat, Bhaskara, Manjunatha [4], Ben-Israel [5], Cambpbell, Meyer [7] và Ji [11]. Trong trường hợp rank(A) = rank(A2) = 1, Nguyễn Tý [3] đã cho một công thức biểu diễn nghịch đảo Drazin AD = 1 (Tr(A))2 A. Trường hợp này nghịch đảo Drazin chính là nghịch đảo nhóm của ma trận. Đây là kết quả khá đẹp đạt được trong khóa luận của mình. Tuy nhiên, tác giả vẫn chưa thấy được mối liên hệ của biểu diễn này với ma trận phụ hợp và công thức này không thể mở rộng cho trường hợp tổng quát. Năm 2010, Kyrchei [12] đã biểu diễn thành công nghịch đảo Drazin của ma trận A qua ma trận phụ hợp trong trường hợp tổng quát. Trong công thức của Kyrchei, khái niệm ma trận phụ hợp đã được mở rộng, nó phụ thuộc vào chỉ số và hạng của ma trận. Trong trường hợp A khả nghịch (ind(A) = 0 và rank(A) = n) thì khái niệm ma trận phụ hợp trong kết quả của Kyrchei lại trùng với ma trận phụ hợp cổ điển. 2 Kết quả đạt được của khóa luận là tổng quan lại một cách hệ thống các khái niệm, tính chất cơ bản liên quan đến nghịch đảo Drazin và trình bày lại một cách chi tiết về biểu diễn nghịch đảo Drazin qua ma trận phụ hợp trong bài báo của Kyrchei: "Analogues of the adjoint matrix for generalized inverses and corresponding Cramer rules, arXiv:1004.4761v1[math. RA] 2010". Khóa luận được chia làm hai chương. Mục đích chính của Chương 1 là trình bày định nghĩa và một số tính chất của nghịch đảo Drazin. Phần này đã được trình bày khá kỹ trong khóa luận của Nguyễn Tý (2010), vì vậy chúng tôi chỉ trình bày lại và bổ sung thêm một số tính chất. Các tính chất đã có trong khóa luận Nguyễn Tý chúng tôi không trình bày chứng minh, một số tính chất bổ sung được tổng quan từ một số tài liệu liên quan được trình bày phần chứng minh cụ thể. Chúng tôi cũng đã đưa nhiều ví dụ minh họa để độc giả thấy rõ ràng hơn. Một số ví dụ được trình bày nhờ sự trợ giúp của phần mềm Maple. Mục đích chính của Chương 2 là cho một biểu diễn nghịch đảo Drazin qua ma trận phụ hợp. Chúng tôi sẽ trình bày lại một cách chi tiết các kết quả trong bài báo "Analogues of the adjoint matrix for generalized inverses and corresponding Cramer rules" của Kyrchei (2010). Trước hết chúng tôi sẽ đề cập đến mối liên hệ giữa nghịch đảo Drazin và ma trận phụ hợp trong các trường hợp đặc biệt, tức là trường hợp chỉ số của ma trận nhỏ hơn hoặc bằng 1. Sau đó mới đề cập đến trường hợp tổng quát hơn với ma trận vuông bất kỳ. Một ứng dụng của công thức biểu diễn này là quy tắc Cramer cho hệ phương trình tuyến tính qua nghịch đảo suy rộng cũng sẽ được trình bày trong chương này. Vì thời gian có hạn và với tầm của một sinh viên chắc chắn sẽ còn nhiều hạn chế và sai sót. Rất mong nhận được những sự góp ý từ Thầy Cô và các bạn. 3 Chương 1 NGHỊCH ĐẢO DRAZIN 1.1 Nhắc lại một số khái niệm và các ký hiệu 1. Chúng ta ký hiệu các vô hướng bởi λ, µ, ... Ta thường làm việc với các trường số phức C và số thực R, nói chung ta gọi là trường F. Vectơ được ký hiệu bởi x,y,... Ta có thể đồng nhất không gian vectơ n chiều trên trường F với Fn, một phần tử của nó có dạng x =  x1 ... xn , hay x = (xi), i = 1...n, xi ∈ F. Vectơ đơn vị ei thứ i là vectơ có thành phần thứ i bằng 1 còn các thành phần khác đều bằng 0. Tập hợp εn = {e1, e2, ..., en} được gọi là cơ sở chính tắc của Fn. 2. Tổng của hai tập L,M trong Cn được xác định như sau: L+M = {y + z|y ∈ L, z ∈M}. Nếu L và M là các không gian con của Cn thì L+M cũng là không gian con của Cn. Nếu có thêm điều kiện L∩M = {0} thì L+M được gọi là tổng trực tiếp của L và M , được ký hiệu bởi L⊕M . Hai không gian con L và M của Cn được gọi là bù nhau nếu Cn = L⊕M. Trong trường hợp này, mỗi vectơ x ∈ Cn được biểu diễn duy nhất dưới dạng x = y + z,y ∈ L, z ∈M. Ta gọi y là ảnh của phép chiếu x lên L. 4 3. Tập hợp các ma trận cấp m× n trên C được ký hiệu là Cm×n. Một ma trận A ∈ Cm×n với m = n được gọi là ma trận vuông. Cho ma trận A = (aij)m,n ∈ Cm×n. Ma trận A được gọi là ma trận chéo nếu aij = 0 với mọi i 6= j. Đường chéo của ma trận A cấp m × n được ký hiệu là A = diag(a11, a22, ..., app) trong đó p = min{m,n}. Cho ma trận A = (aij) ∈ Cm×n + Ma trận chuyển vị của nó ký hiệu là AT ∈ Cn×m. + Ma trận liên hợp của nó ký hiệu là A∗ = (a∗ji) ∈ Cn×m với a∗ji = aij với mọi i = 1, ...,m và j = 1, ..., n. Một ma trận vuông A được gọi là - Hermit nếu A = A∗. Đặc biệt, A là ma trận thực thì A là Hermit nếu A = AT . - Chuẩn nếu AA∗ = A∗A. - Trực giao nếu A∗ = A−1. Đặc biệt, A là ma trận thực thì A trực giao nếu AT = A−1. 4. Cho hai không gian vectơ U ,V trên C có số chiều lần lượt là n và m. Ký hiệu L(U ,V) là tập hợp các ánh xạ tuyến tính từ U vào V . Ta đã biết rằng L(U ,V) là C− không gian vectơ đẳng cấu với không gian Cm×n. Do đó với ma trận A ∈ Cm×n, ta có thể đồng nhất với một ánh xạ tuyến tính A : Cn −→ Cm, với Im(A) = {y ∈ Cm : y = Ax, ∀x ∈ Cn} được ký hiệu là R(A) và Ker(A) = {x ∈ Cn : Ax = 0} ký hiệu là N(A). 5. Cho A ∈ Cn×n và λ ∈ C. Nếu trong Cn tồn tại x 6= 0 sao cho Ax = λx thì ta nói λ là một giá trị riêng của A. Khi đó, vectơ x được gọi là vectơ riêng ứng với giá trị riêng λ. Tập hợp tất cả các giá trị riêng của A được gọi là phổ của A và được ký hiệu là λ(A). Nếu λ là một giá trị riêng của A thì tập hợp {x ∈ Cn : Ax = λx} là một không gian con của Cn và được gọi là không gian con riêng của A ứng với λ. 6. Một ma trận vuông A trên C được gọi là chéo hóa được nếu tồn tại một ma trận khả nghịch C sao cho B = C−1AC có dạng chéo. 5 Nếu xem A là một tự đồng cấu tuyến tính trên Cn thì có thể nói A chéo hóa được nếu tồn tại một cơ sở S của Cn sao cho ma trận của tự đồng cấu A đối với cơ sở S có dạng chéo. 7. Một ma trận vuông A được gọi là chéo hóa Jordan được nếu tồn tại một ma trận khả nghịch P sao cho J = P−1AP =  J1 J2 . . . Jk  , trong đó Ji là các ma trận vuông có dạng Ji =  λi 1 0 ... 0 0 λi 1 . . . ... ... . . . . . . . . . 0 ... . . . λi 1 0 · · · · · · 0 λi  . Mỗi ma trận con Ji ở trên được gọi là một khối Jordan ứng với giá trị riêng λi. Ma trận J trong định nghĩa được gọi là biểu diễn chuẩn tắc Jordan của A, hay còn gọi là dạng chuẩn tắc Jordan của A. Rõ ràng một ma trận A chéo hóa được thì ma trận chéo đồng dạng với A là một trường hợp đặc biệt của biểu diễn dạng chuẩn tắc Jordan của A. Người ta có thể chứng minh được rằng mọi ma trận vuông trên C đều có thể chéo hóa Jordan được. 8. Cho A ∈ Cm×n, ta xem A là một ánh xạ tuyến tính A : Cn −→ Cm. - A là đơn cấu khi và chỉ khi rank(A) = n. - A là toàn cấu khi và chỉ khi rank(A) = m. Trường hợp rank(A) = n thì ta nói A là ma trận đầy đủ hạng theo cột. Nếu rank(A) = m thì ta nói A là ma trận đầy đủ hạng theo dòng. Gọi P : Cn −→ Cn/Ker(A) là phép chiếu chính tắc. Lúc đó theo định lý về nhân tử hóa ánh xạ tuyến tính, tồn tại duy nhất đơn cấu tuyến tính Q : Cn/Ker(A) −→ Cm sao cho A = QP . Do P là toàn cấu nên có thể xem P là ma trận đầy đủ hạng theo dòng và Q là đơn cấu nên có thể xem Q là ma trận đầy đủ hạng theo cột. Như vậy với mỗi ma trận A ∈ Cm×n, luôn luôn tồn tại duy nhất một cách phân tích thành nhân tử A = QP . Lúc đó, ta nói A được phân tích 6 thành nhân tử hóa đầy đủ hạng P và Q. 9. Chuẩn của ma trận A ∈ Cm×n, ký hiệu ‖A‖ là một hàm: Cm×n −→ R thỏa mãn các điều kiện sau: ‖A‖ ≥ 0, ‖A‖ = 0⇔ A = 0, ‖αA‖ = |α|‖A‖, ‖A+B‖ ≤ ‖A‖+ ‖B‖, với mọi A,B ∈ Cm×n, α ∈ C. Nếu thỏa mãn thêm điều kiện ‖AB‖ ≤ ‖A‖‖B‖ thì ‖‖ được gọi là chuẩn nhân. Sau đây là một số mệnh đề và bổ đề mà chúng ta sẽ sử dụng đến trong các phần sau. Giả sử L là không gian con bù của M trong Cn, tức là Cn = L ⊕ M và A ∈ Cn×n. Ta có thể xem A là tự đồng cấu tuyến tính trên Cn. Với mỗi x ∈ Cn, tồn tại duy nhất (y, z) ∈ L ×M sao cho x = y + z, nếu Ax = y thì ta nói A là phép chiếu của Cn lên L. Ta dễ dàng nhận thấy rằng A2 = A. Một cách tổng quát, một ma trận vuông A được gọi là ma trận phép chiếu nếu A2 = A. Một tính chất mà chúng ta đều biết qua đại số tuyến tính đó là nếu A là ma trận phép chiếu thì Fn = R(A)⊕N(A). Điều ngược lại của khẳng định trên là không đúng. Mệnh đề sau đây cho chúng ta biết điều kiện cần và đủ để Cn là tổng trực tiếp của hai không gian con R(A) và N(A). Mệnh đề 1.1.1. ([3, Mệnh đề 1.1.2]) Cho A ∈ Cn×n. Lúc đó, R(A) và N(A) là các không gian con bù nhau trong Cn khi và chỉ khi rank(A) = rank(A2). Bây giờ chúng ta sẽ nhắc lại một số vấn đề liên quan đến không gian bất biến. Định nghĩa 1.1.2. ([2, Chương 5, Mục 5.2]) Cho E là một không gian vectơ hữu hạn sinh trên trường C và ϕ là một toán tử tuyến tính của E. Một không gian con E′ của E được gọi là một không gian bất biến của ϕ nếu ϕ(E′) ⊆ E′. Không gian {0} và E đều là những không gian bất biến của ϕ. Người ta gọi chúng là các không gian bất biến tầm thường của ϕ. Có thể thấy ngay rằng kerϕ và Imϕ cũng là các không gian con bất biến của ϕ. Nếu ϕ không phải là một tự đẳng cấu thì kerϕ 6= {0} sẽ là một không gian bất biến không tầm thường của ϕ. 7 Bổ đề 1.1.3. ([2, Bổ đề 5.2.1]) Không gian con E′ của E là một không gian bất biến khi và chỉ khi ảnh của một hệ sinh của E′ nằm trong E′. Bổ đề 1.1.4. ([2, Bổ đề 5.2.2]) Cho E′ là một không gian con của E với dimE′ = r. Giả sử S = {x1, ..., xn} là một cơ sở của E sao cho R = {x1, ..., xr} là một cơ sở của E′. E′ là một không gian bất biến của ϕ khi và chỉ khi ma trận A của ϕ theo S có dạng A = [ A′ B 0 C ] với A′ là một ma trận vuông cấp r. Khi đó A′ là ma trận của ánh xạ thu hẹp ϕ′ của ϕ theo R. Bổ đề 1.1.5. Cho A, B là hai ma trận sao cho tích AB xác định. Ta luôn có rank(AB) ≤ min{rank(A), rank(B)}. Chứng minh. Giả sử A ∈ Cm×n và B ∈ Cn×p thì AB ∈ Cm×p. Với mọi x ∈ Cp, Bx = 0. Suy ra ABx = 0. Do đó N(B) ⊂ N(AB), nên dim(B) ≤ dim(AB). Điều này dẫn đến p − rank(B) ≤ p − rank(AB). Suy ra rank(AB) ≤ rank(B). Tương tự ta có rank(BTAT ) ≤ rank(AT ). Nhưng vì rankAT = rankA nên ta suy ra rank(AB) ≤ rank(A). Vậy rank(AB) ≤ min{rank(A), rank(B)}. Định nghĩa 1.1.6. Cho A ∈ Cn×n và 1 ≤ i1 < ... < ir ≤ n (r = 1, ..., n) là một dãy số tùy ý. Lúc đó ma trận gồm các phần tử nằm trên các dòng và các cột i1, ..., ir của A được gọi là ma trận con chính cấp r của A và định thức của ma trận đó được gọi là định thức con chính cấp r của A. Nhận xét 1.1.7. Giả sử dr là tổng các định thức con chính cấp r của A ∈ Cn×n. Lúc đó đa thức đặc trưng pA(t) của ma trận A có thể biểu diễn như sau: pA(t) = det(tI − A) = tn − d1tn−1 + d2tn−2 − · · ·+ (−1)ndn. 1.2 Chỉ số của ma trận Cho A là một ma trận vuông cấp n trên C. Ta luôn có R(A0) ⊃ R(A) ⊃ · · · ⊃ R(Ak−1) ⊃ R(Ak) = R(Ak+1) = R(Ak+2) = · · · và N(A0) ⊂ N(A) ⊂ · · · ⊂ N(Ak−1) ⊂ N(Ak) = N(Ak+1) = N(Ak+2) = · · · 8 Từ dãy thứ nhất ta suy ra rằng rank(A0) ≥ rank(A) ≥ · · · ≥ rank(Ak) = rank(Ak+1) = rank(Ak+2) = · · · Như vậy sẽ luôn tồn tại số tự nhiên k sao cho rank(Am) = rank(Ak), với mọi m ≥ k. Từ nhận xét trên ta đi đến định nghĩa sau đây. Định nghĩa 1.2.1. Cho A là ma trận vuông cấp n trên C. Số nguyên không âm nhỏ nhất k sao cho rank(Ak) = rank(Ak+1) được gọi là chỉ số của ma trận A, ký hiệu là ind(A). Từ định nghĩa trên ta dễ thấy được rằng ma trận 0 có chỉ số là 1. Ta có một số tính chất đơn giản sau đây được suy ra trực tiếp từ định nghĩa. Mệnh đề 1.2.2. ([3, Mệnh đề 2.2.2]) Cho A là ma trận vuông cấp n và k = ind(A). Khi đó, (1) 0 ≤ k ≤ n. (2) k = 0 khi và chỉ khi A không suy biến. (3) Nếu A là ma trận phép chiếu và A suy biến thì ind(A) = 1. (4) R(Al) = R(Ak) và N(Al) = N(Ak) với mọi l ≥ k. Ta đã biết rằng k = ind(A) = 1, tức là rank(A) = rank(A2) khi và chỉ khi Cn = R(A)⊕N(A). Trong trường hợp tổng quát thì ta có mệnh đề sau đây. Mệnh đề 1.2.3. ([3, Mệnh đề 2.2.3]) Giả sử A là ma trận vuông cấp n và k = ind(A). Khi đó, Cn = R(Al)⊕N(Al) khi và chỉ khi l ≥ k. 1.3 Nghịch đảo nhóm Định nghĩa 1.3.1. Cho A ∈ Cn×n. Nếu ma trận X ∈ Cn×n thỏa mãn AXA = A, (1) XAX = X, (2) AX = XA. (3) thì X được gọi là nghịch đảo nhóm của A và được ký hiệu là A#. Từ định nghĩa ta có thể suy ra rằng - Nếu A khả nghịch thì A# = A−1. - Nếu A là ma trận phép chiếu thì A# = A. 9 Không phải mọi ma trận vuông A đều tồn tại nghịch đảo nhóm. Chẳng hạn ta xét ma trận sau đây: A =  1 0 0 0 0 1 0 0 0  . Ta có rank(A) = 2 và rank(A2) = rank(A3) = 1. Do đó ind(A) = 2. Giả sử A có nghịch đảo nhóm là X =  x11 x12 x13 x21 x22 x23 x31 x32 x33 . Lúc đó X phải thỏa mãn 3 điều kiện (1), (2), (3). Ta có AXA =  x11 0 x12 x31 0 x32 0 0 0 . Từ (1) ta suy ra  x11 = 1 x12 = 0 x31 = 0 x32 = 1 . (*) Ta lại có AX =  x11 x12 x13 x31 x32 x33 0 0 0  và XA =  x11 0 x12 x21 0 x22 x31 0 x32  . Từ (3) ta suy ra x12 = x13 = x21 = x31 = x32 = 0x33 = x22 (∗∗) Rõ ràng có sự mâu thuẫn giữa (*) và (**). Vậy không thể tồn tại ma trận X nào đồng thời thỏa mãn cả 3 điều kiện (1), (2), (3) ở trên. Tức là A không tồn tại nghịch đảo nhóm. Vậy thì khi nào nghịch đảo nhóm của một ma trận vuông A bất kỳ sẽ tồn tại? Định lý sau đây sẽ cho chúng ta câu trả lời. Định lý 1.3.2. Một ma trận vuông A có nghịch đảo nhóm khi và chỉ khi ind(A) ≤ 1, tức là rank(A) = rank(A2). Hơn nữa nếu nghịch đảo này tồn tại thì nó là duy nhất. Chứng minh. Nếu A là ma trận khả nghịch thì định lý hiển nhiên đúng. Ta xét trường hợp A là ma trận suy biến. Ta đã biết nghịch đảo của ma trận A tồn tại khi và chỉ khi Cn = R(A) ⊕ N(A). Điều này lại tương đương với chỉ số của ma trận A bằng 1. Ta chứng minh sự tồn tại duy nhất của nghịch đảo nhóm. Giả sử X, Y là nghịch đảo nhóm của ma trận A. Ta có AX = AY AX = Y AXA = Y A. 10 Như vậy AX = XA = AY = Y A. Do đó X = XAX = Y AX = Y AY = Y. Mệnh đề 1.3.3. ([3, Mệnh đề 2.3.3]) Cho A ∈ Cn×n và A tồn tại nghịch đảo nhóm. Khi đó, (1) (A#)# = A; (2) (A∗)# = (A#)∗; (3) (AT )# = (A#)T ; (4) (Al)# = (A#)l với mọi số nguyên dương l. Các độc giả có thể xem phần chứng minh của mệnh đề này trong tài liệu tham khảo [3]. Định lý 1.3.4. Cho A là ma trận vuông và A có sự phân tích đầy đủ hạng là F và G, A = FG. Khi đó, A có nghịch đảo nhóm nếu và chỉ nếu GF là không suy biến, trong trường hợp này ta có công thức A# = F (GF )−2G. Chứng minh. Giả sử rank(A) = r. Khi đó GF ∈ Cr×r. Ta có A2 = FGFG và rank(A2) = rank(GF ). Nếu GF không suy biến thì rank(GF ) = r. Do đó rank(A) = rank(A2). Điều này lại tương đương với A có nghịch đảo nhóm. Bằng cách kiểm chứng trực tiếp các điều kiện (1), (2), (3) với ma trận A = FG và ma trận X = F (GF )−2G thì ta được các đẳng thức đúng. Vậy ta đã chứng minh xong định lý. Định lý 1.3.5. Cho A ∈ Cn×n. Lúc đó A có chỉ số bằng 1 khi và chỉ khi giới hạn lim λ→0 (λIn + A)−1A tồn tại. Ngoài ra lim λ→0 (λIn + A) −1A = AA#. 11 Chứng minh. Giả sử rank(A) = r và A có sự phân tích đầy đủ hạng là A = FG. Lúc đó ta luôn có đẳng thức (λIn + A) −1A = F (λIr +GF )−1G. Do đó sự tồn tại của lim λ→0 (λIn + A)−1A tương đương với sự tồn tại của lim λ→0 (λIr+GF )−1. Điều này lại tương đương với GF là không suy biến. Theo Định lý 1.3.4 thì tương đương với A có chỉ số 1. Ta lại có lim λ→0 (λIn + A) −1A = lim λ→0 F (λIr +GF ) −1G = F (GF )−1G = FGF (GF )−2G = AA#. Định lý đã được chứng minh xong. 1.4 Định nghĩa nghịch đảo Drazin Chúng ta đã biết một ma trận vuông A tồn tại nghịch đảo nhóm khi và chỉ khi ind(A) ≤ 1. Trong trường hợp tổng quát, tức là với ind(A) = k bất kỳ, người ta đã tìm cách mở rộng khái niệm nghịch đảo của ma trận. Năm 1958, nhà toán học Drazin đã mở rộng khái niệm nghịch đảo cho ma trận bất kỳ. Ông ta gọi là nghịch đảo suy rộng mà sau đó người ta gọi là nghịch đảo Drazin. Định nghĩa 1.4.1. Cho A ∈ Cn×n và ind(A) = k. Nếu ma trận X ∈ Cn×n thỏa mãn AkXA = Ak, (4) XAX = X, (5) AX = XA. (6) thì X được gọi là nghịch đảo Drazin của A và được ký hiệu là AD. Ví dụ 1. Nghịch đảo nhóm là trường hợp đặc biệt của nghịch đảo Drazin khi k ≤ 1. Ví dụ 2. Nghịch đảo Drazin của ma trận lũy linh là ma trận 0. Ví dụ 3. Ta xét lại ma trận A =  1 0 0 0 0 1 0 0 0  với ind(A) = 2. Ta đã chứng minh được A không tồn tại nghịch đảo nhóm nhưng ta kiểm chứng được rằng ma trận 12 X =  1 0 0 0 0 0 0 0 0  là nghịch đảo Drazin của A bằng cách thử trực tiếp các điều kiện (4), (5), (6). Như vậy một ma trận vuông bất kỳ có thể không tồn tại nghịch đảo nhóm nhưng nghịch đảo Drazin của nó thì luôn luôn tồn tại. Điều này sẽ được khẳng định bằng định lý sau đây. Định lý 1.4.2. Cho A ∈ Cn×n và ind(A) = k. Khi đó nghịch đảo Drazin của A luôn tồn tại và duy nhất. Chứng minh. Vì A là một ma trận vuông nên có thể xem A như là một phép biến đổi tuyến tính. Ta có AR(Ak) = R(Ak+1) = R(Ak). Do đó A|R(Ak) là một đẳng cấu nên A|R(Ak) khả nghịch. Bây giờ ta cho X ∈ Cn×n được định nghĩa như sau: Xu = A −1 |R(Ak)u nếu u ∈ R(Ak), 0 nếu u ∈ N(Ak). Từ đây ta suy ra Với u ∈ R(Ak), ta có AXu = XAu = u và XAXu = Xu. Với u ∈ N(Ak), ta có AXu = A0 = 0. Đồng thời do u ∈ N(Ak) nên Au ∈ N(Ak). Suy ra XAu = 0. Vậy X thỏa mãn điều kiện (5),(6). Mặt khác, với mọi x ∈ Cn×n thì sẽ tồn tại u ∈ R(Ak) và v ∈ N(Ak) sao cho x = u+ v. Ta có AXx = AX(u+ v) = AX(u) = u. Suy ra AkXAx = Aku = Akx. Vậy X thỏa mãn điều kiện (4). Tóm lại X là nghịch đảo Drazin của A. Như vậy nghịch đảo Drazin của một ma trận vuông A bất kỳ luôn tồn tại. Bây giờ ta chứng minh sự duy nhất của nghịch đảo Drazin. Giả sử X và Y là nghịch đảo Drazin của ma trận A, lúc đó ta có AX = AXAX = AXAXAX = ... Suy ra AX là ma trận lũy đẳng, tức là AX = AmXm với m là số nguyên dương. Do đó XA = XkAk = XkAkY A = XAY A = AXAY = AY. 13 Như vậy XA = AX = AY = Y A. Suy ra X = XAX = Y AX = Y AY = Y. Vậy nghịch đảo Drazin của một ma trận vuông A bất kỳ luôn tồn tại và duy nhất. 1.5 Các tính chất của nghịch đảo Drazin Định lý 1.5.1. ([3, Định lý 2.4.5]) (Nghịch đảo Drazin bảo toàn tính đồng dạng của ma trận) Cho B là một ma trận vuông. Nếu X là ma trận khả nghịch thì (XBX−1)D = XBDX−1. Định lý 1.5.2. ([3, Định lý 2.4.6]) Cho A ∈ Cn×n. Khi đó, (1) (A∗)D = (AD)∗; (2) (AT )D = (AD)T ; (3) (Al)D = (AD)l; với l = 1, 2, ... (4) (AD)D = A nếu và chỉ nếu A có chỉ số bằng 1. Các tính chất trên đã được chứng minh chi tiết trong khóa luận của Nguyễn Tý (2010). Các độc giả có thể xem trong tài liệu tham khảo [3]. Sau đây chúng tôi sẽ bổ sung thêm một số tính chất khác nhằm phục vụ cho việc đi tìm công thức biểu diễn nghịch đảo Drazin qua ma trận phụ hợp. Định lý 1.5.3. Cho A ∈ Cn×n và ind(A) = k > 0. Lúc đó luôn tồn tại một ma trận P không suy biến sao cho A = P [ C 0 0 N ] P−1, trong đó C là ma trận không suy biến và N là ma trận lũy linh bậc k. Đồng thời AD = P [ C−1 0 0 0 ] P−1. Chứng minh. Vì A là ma trận vuông nên có thể xem A như là một phép biến đổi tuyến tính. Giả sử E = {e1, e2, ..., er, er+1, ..., en} là cơ sở của Cn và rank(Ak) = r. 14 Vì Cn = R(Ak) ⊕ N(Ak) nên S = {e1, e2, ..., er} và T = {er+1, ..., en} lần lượt là cơ sở của R(Ak) và N(Ak). Mặt khácR(Ak) vàN(Ak) là các không gian con bất biến củaA vàAk(N(Ak)) = {0} nên theo Bổ đề 1.1.4 thì A sẽ có dạng như trên với C là không suy biến và N là ma trận luỹ linh bậc k. Ta cũng dễ dàng kiểm chứng được AD = P [ C−1 0 0 0 ] P−1 thoả mãn 3 điều kiện trong định nghĩa nghịch đảo Drazin. Ak+1AD = Ak, ADAAD = AD, AAD = ADA. Vậy ta đã chứng minh xong định lý. Định lý này đóng một vai trò rất quan trọng, nó sẽ giúp ta chứng minh được rất nhiều tính chất của nghịch đảo Drazin. Định nghĩa 1.5.4. Cho A ∈ Cn×n, lúc đó ta có CA = AADA = A2AD = ADA2 được gọi là nhân của ma trận A. Một cách trực giác, ta thấy rằng "nhân" của A có nghĩa nó là cơ sở trong cấu trúc của A. Tức là nếu loại bỏ CA từ A thì phần còn lại sẽ không đáng kể. Định lý sau đây sẽ cho chúng ta thấy điều cảm giác trên là đúng. Định lý 1.5.5. Cho A ∈ Cn×n và ind(A) = k thì A − CA = NA là một ma trận lũy linh bậc k. Chứng minh. Nếu ind(A) = 0 thì CA = A. Do đó NA = 0. Nếu ind(A) ≥ 1 thì ta có (NA) k = (A− AADA)k = (A(I − AAD))k = Ak(I − AAD) = Ak − Ak = 0. Mặt khác Al−Al+1AD 6= 0 ∀l < k nên k là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn (NA)k = 0. Vậy NA là ma trận lũy linh bậc k. Định nghĩa 1.5.6. Cho A ∈ Cn×n, ma trận NA = A − CA = (I − AAD)A được gọi là phần lũy linh của ma trận A. Định lý 1.5.7. Nếu A ∈ Cn×n và ind(A) = k thì A sẽ có sự phân tích duy nhất thành A = CA + NA sao cho ind(CA) ≤ 1, NA là ma trận lũy linh bậc k và NACA = CANA = 0. 15 Chứng minh. Giả sử A được viết dưới dạng A = P [ C 0 0 N ] P−1, trong đó C là ma trận không suy biến và N là ma trận lũy linh bậc k. Lúc đó ta dễ dàng thấy rằng CA = P [ C 0 0 0 ] P−1 và NA = P [ 0 0 0 N ] P−1. Đồng thời CA và NA thỏa mãn các điều kiện của định lý trên. Ta chứng minh sự phân tích trên là duy nhất. Giả sử A có một sự phân tích khác thành A = X+Y sao cho XY = Y X = 0, ind(X) ≤ 1 và Y là ma trận lũy linh bậc k = ind(A). Nếu ind(X) = 0 thì Y = 0 và A = X là ma trận khả nghịch. Nếu ind(X) = 1 thì sẽ tồn tại P,X1 là hai ma trận khả nghịch sao cho X = P [ X1 0 0 0 ] P−1. Suy ra Y = P [ 0 0 0 Y2 ] P−1 vì XY = Y X = 0 và X1 là khả nghịch. Do Y là ma trận lũy linh bậc k = ind(A) nên Y2 cũng là ma trận lũy linh bậc k. Nhưng A = X + Y = P [ X1 0 0 Y2 ] P−1, do đó X = CA, Y = NA. Hệ quả 1.5.8. Cho A ∈ Cn×n và p là một số nguyên dương, ta có CpA = CAp, NpA = NAP , và A p = CAp +NAp = C p A +N p A. Nếu p ≥ ind(A) thì Ap = CpA. Định lý 1.5.9. Cho A ∈ Cn×n. Lúc đó tồn tại một đa thức p(x) sao cho AD = p(A). Chứng minh. Giả sử A được viết dưới dạng A = P [ C 0 0 N ] P−1, trong đó C là ma trận không suy biến và N là ma trận lũy linh bậc k. Vì C là ma trận không suy biến nên sẽ tồn tại một đa thức q(x) sao cho C−1 = q(C). Giả sử p(x) là đa thức được viết dưới dạng p(x) = xk[(q(x)]k+1. Lúc đó ta có p(A) = Ak[q(A)]k+1 = P [ Ck 0 0 0 ] [ q(C) 0 0 q(N) ]k+1 P−1 = P [ Ck[q(C)]k+1 0 0 0 ] P−1 = P [ C−1 0 0 0 ] P−1 = AD. 16 Định lý 1.5.10. Cho A,B ∈ Cn×n. Khi đó i) (AB)D = A[(BA)2]DB; Nếu AB = BA thì ii) (AB)D = BDAD = ADBD; iii) ADB = BAD và ABD = BDA. Chứng minh. i) Ta đặt Y = A[(BA)2]DB. Rõ ràng ta thấy rằng Y ABY = Y và ABY = Y AB = A(BA)DB. Đặt k = max{ind(AB), ind(BA)}. Khi đó ta có (AB)k+2Y = (AB)k+2A[(BA)2]DB = (AB)k+1ABA[(BA)2]DB = (AB)k+1A(BA)DB = A(BA)k+1(BA)DB = A(BA)kB = (AB)k+1. Vậy Y = (AB)D. ii) và iii) Theo Định lý 1.5.9 ta có AD là một đa thức trong A và BD là một đa thức trong B. Do đó ta chứng minh được ii) và iii). Định lý 1.5.11. Cho A ∈ Cn×n, B ∈ Cn×n là ma trận sao cho Al+1B = Al với mọi l ≥ ind(A) = k. Lúc đó AD = AlBl+1. Chứng minh. Ta giả sử A được biểu diễn dưới dạng A = P [ C 0 0 N ] P−1 và Al+1B = Al. Ta có P [ C l+1 0 0 0 ] P−1B = P [ C l 0 0 0 ] P−1. Suy ra B = P [ C−1 0 B1 B2 ] P−1. Do đó AlBl+1 = P [ C l 0 0 0 ] [ C−l−1 0 X1 X2 ] P−1 = P [ C−1 0 0 0 ] P−1 = AD. Để thấy được một cách tường minh về nghịch đảo Drazin thì định lý sau đây sẽ giúp chúng ta tìm được nghịch đảo của một ma trận vuông bất kỳ. Bằng cách biểu diễn ma trận A dưới dạng Jordan ta sẽ dễ dàng tìm được nghịch đảo Drazin của nó. 17 Định lý 1.5.12. Giả sử A được viết dưới dạng Jordan A = PJP−1 = P [ J1 0 0 J0 ] P−1, trong đó J0 và J1 là thành phần của J tương ứng với giá trị riêng 0 và khác 0. Khi đó AD = P [ J−11 0 0 0 ] P−1. Chứng minh. Rõ ràng ta thấy có sự tương ứng giữa J1 và J0 với ma trận C và N trong Định lý 1.5.3. Dựa vào định lý đó ta suy ra được điều cần phải chứng minh. 1.6 Các ví dụ Ví dụ 1.6.1. Cho ma trận A =  1 0 0 0 1 1 0 1 1 . Hãy tìm nghịch đảo Drazin của ma trận A. Lời giải: Ta kiểm chứng được rank(A) = rank(A2) = 2. Suy ra ind(A) = 1. Dạng chuẩn tắc Jordan của A là J = P−1.A.P với J =  0 0 0 0 1 0 0 0 2  và P =  0 1 0 1 2 0 1 2 −1 2 0 1 2  . Ma trận A có ba giá trị riêng là λ = 0(bội 1), λ = 1(bội 1), λ = 2(bội 1). Theo Định lý 1.5.12 ta có AD = P.  0 (J1(1))−1 (J1(2))−1  .P−1 = P.  0 0 0 0 1 0 0 0 12  .P−1 =  1 0 0 0 14 1 4 0 14 1 4  . 18 Ví dụ 1.6.2. Cho ma trận A =  1 1 −1 0 1 0 1 0 −1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 −2 1  . Hãy tìm nghịch đảo Drazin của ma trận A. Lời giải: Ta kiểm chứng được rank(A2) = rank(A3) = 3 nên ind(A) = 2. Dạng chuẩn tắc Jordan của A J = P−1.A.P với J =  0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1  và P =  1 −3 2 −3 1 0 1 0 0 −2 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 3 0 2 −1  . Ma trận A có hai giá trị riêng là λ = 0(bội 2) và λ = 1(bội 3). Theo Định lý 1.5.12 ta có AD = P. [ 0 (J3(1))−1 ] .P−1 = P.  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 −1 1 0 0 0 1 −1 0 0 0 0 1  .P−1 =  1 −2 −1 8 −1 0 1 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 −4 1  . 19 Ví dụ 1.6.3. Cho ma trận A =  3 1 −2 0 0 0 2 0 0 −2 4 2 0 1 0 −1 . Hãy tìm nghịch đảo Drazin của ma trận A. Lời giải: Ta kiểm chứng được rank(A2) = rank(A3) = 2 nên ind(A) = 2. Dạng chuẩn tắc Jordan của A là J = P−1.A.P với J =  3 1 0 0 0 3 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0  và P =  8 9 5 27 −4 9 −5 27 0 −49 4 3 13 9 0 −23 0 2 3 0 −19 4 3 1 9  . Ma trận A có hai giá trị riêng là λ = 3(bội 2) và λ = 0(bội 2). Theo Định lý 1.5.12 ta được AD = P. [ (J2(3))−1 0 ] .P−1 = P.  1 3 −1 9 0 0 0 13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  .P−1 =  1 3 −1 27 4 27 4 27 0 −427 8 27 4 27 0 −29 4 9 2 9 0 −127 2 27 1 27  . Ví dụ 1.6.4. Cho ma trận A =  1 2 3 5 −2 1 1 2 3 0 0 −1 −1 −2 1 0 3 4 6 −3 1 6 9 13 −5  . Hãy tìm nghịch đảo Drazin của ma trận A. 20 Lời giải: Ta kiểm chứng được rank(A3) = rank(A4) = 2 nên ind(A) = 3. Dạng chuẩn tắc Jordan của A là J = P−1.A.P với J =  1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0  và P =  0 3 1 −2 −5 3 3 2 −6 −3 0 0 0 −1 1 0 0 −1 4 0 3 3 0 1 −3  . Ma trận A có hai giá trị riêng là λ = 0 (bội 3) và λ = 1 (bội 2). Theo Định lý 1.5.12 ta được AD = P. [ (J2(1))−1 0 ] .P−1 = P.  1 −1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  .P−1 AD =  1 3 5 7 −3 −1 −1 −2 −3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 −1 −2 −3 2  . 21 Chương 2 BIỂU DIỄN NGHỊCH ĐẢO DRAZIN QUA MA TRẬN PHỤ HỢP Trước hết chúng ta quy ước sử dụng một số ký hiệu trong chương này như sau: - ai. là dòng thứ i của ma trận A. - a.j là cột thứ j của ma trận A. - Ak = (a(k)ij )n. - a (k) i. và a (k) .j lần lượt là dòng thứ i và cột thứ j của ma trận A k. - A.j(b) là ma trận thu được từ A bằng cách thay cột thứ j của A bằng cột b. - Ai.(a) là ma trận thu được từ A bằng cách thay dòng thứ i của A bằng dòng a. Với α := {α1, ..., αk} ⊆ {1, ..., n} và 1 ≤ k ≤ n, ta ký hiệu - Lk,n := {α = (α1, ..., αk), 1 ≤ α1 ≤ ... ≤ αk ≤ n}. - Lk,n(β) := {J : J ∈ Lk,n, J ⊇ β}. - Jk,n{i} := {α : α ∈ Lk,n, i ∈ α}. - |Aαα| là định thức con chính được xác định bởi các dòng và các cột α. Ví dụ. Với α ∈ Ln,n thì |Aαα| = |A|. Khi α ∈ L1,n({i}) thì α = (i), trong trường hợp này thì |Aαα| = aii là phần tử thuộc đường chéo chính. L2,3({1}) = {α1 = (1, 2), α2 = (1, 3)}. Lúc đó |Aα1α1| là định thức con chính xác định bởi các dòng và các cột 1, 2. |Aα2α2| là định thức con chính xác định bởi các dòng và các cột 1, 3. - Cn×nr là tập con của Cn×n bao gồm các ma trận vuông cấp n và có hạng bằng r. - ‖.‖ = ‖.‖2 là ký hiệu của chuẩn Euclid. Nếu ma trận vuông A khả nghịch (indA = 0) thì ta đã biết một công thức quen thuộc biểu diễn ma trận nghịch đảo của A là A−1 = 1 det(A) (A˜), (7) 22 trong đó (A˜) là ma trận phụ hợp của A được định nghĩa như sau: A˜ = (a˜ij)n = (A) T , với A là ma trận gồm các phần tử aij = (−1)i+jDij, trong đó Dij là định thức con cấp n− 1 của ma trận A thu được bằng cách xóa hàng i và cột j của A. Một câu hỏi đặt ra liệu rằng có hay không một biểu diễn tương tự như thế đối với nghịch đảo Drazin của một ma trận vuông bất kỳ. Câu hỏi này đã thu hút nhiều nhà toán học quan tâm. Ta đã biết rằng nếu rank(A) ≤ n − 1 và với định nghĩa ma trận phụ hợp theo quan niệm như trên thì A˜ = 0, với n ≥ 2. Do đó nếu tồn tại một công thức tương tự thì khái niệm ma trận phụ hợp nhất thiết phải được mở rộng. 2.1 Mở rộng ma trận phụ hợp Như vậy là chúng ta đã biết khái niệm ma trận phụ hợp trong trường hợp A là ma trận khả nghịch, tức là k = ind(A) = 0 và r = rank(A) = n, còn trong trường hợp A là ma trận suy biến, k = ind(A) > 0 và r = rank(A) < n thì ma trận phụ hợp sẽ được biểu diễn như thế nào? Dựa theo kết quả bài báo "Analogues of the adjoint matrix for generalized inverses and corresponding Cramer rules" của Kyrchei, sau đây chúng tôi sẽ đưa ra một khái niệm mở rộng hơn về ma trận phụ hợp. Theo khái niệm này thì ma trận phụ hợp được biểu diễn qua các định thức và nó sẽ bao quát hết tất cả các trường hợp. Trước tiên chúng ta để ý đến trường hợp A là ma trận không suy biến, tức là k = ind(A) = 0 và r = rank(A) = n. Trong trường hợp này A˜ là ma trận phụ hợp của A sẽ gồm các phần tử a˜ij được xác định bởi công thức a˜ij = |A.i(a(0).j )| (8) tức là các phần tử a˜ij bằng định thức của ma trận thu được từ A bằng cách thay cột i bởi cột j của ma trận A0 = I. Thật vậy, ta có |A.i(a(0).j )| = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 a12 ... 0 ... a1n a21 a22 ... 0 ... a2n ... ... ... ... aj1 aj2 ... 1 ... ajn ... ... ... ... an1 an2 ... 0 ... ann ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = (−1)j+iDji = aji = a˜ij. 23 Ví dụ 2.1.1. Cho ma trận A =  1 1 0 0 1 2 1 0 1 . Hãy tìm ma trận phụ hợp của A. Lời giải. Rõ ràng A là ma trận khả nghịch. Ta sẽ đi tìm ma trận phụ hợp của ma trận A như sau. Phần tử a˜11 sẽ bằng định thức của ma trận thu được từ A bằng cách thay cột 1 bởi cột 1 của ma trận A0 = I =  1 0 0 0 1 0 0 0 1 , tức là a˜11 = ∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 1 0 0 1 2 0 0 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣ = 1. Tương tự a˜12 = ∣∣∣∣∣∣∣∣ 0 1 0 1 1 2 0 0 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣ = −1, a˜13 = ∣∣∣∣∣∣∣∣ 0 1 0 0 1 2 1 0 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣ = 2. Tương tự như vậy ta sẽ tính được: a˜21 = 2, a˜22 = 1, a˜23 = −2, a˜31 = −1, a˜32 = 1, a˜33 = 1. Vậy ma trận phụ hợp của A là A˜ =  1 −1 2 2 1 −2 −1 1 1  . Tiếp theo chúng ta sẽ quan tâm đến trường hợp k = ind(A) = 1 và rank(A2) = rank(A) = r < n. Đối với trường hợp này ta có công thức ma trận phụ hợp A˜ = (a˜ij)n với các a˜ij được xác định như sau: a˜ij = ∑ β∈Jr,n{i} ∣∣∣(A2.i(a.j))ββ∣∣∣ , (∀i, j = 1, n). (9) Để có thể hiểu rõ hơn về công thức này chúng ta hãy xem ví dụ sau đây. Ví dụ 2.1.2. Ta xét lại Ví dụ 1.6.1, A =  1 0 0 0 1 1 0 1 1 . Hãy tìm ma trận phụ hợp của ma trận A. Lời giải. Ta đã có rank(A) = rank(A2) = 2, ind(A) = 1 và A2 =  1 0 0 0 2 2 0 2 2 . Ma trận phụ hợp của A là A˜ = (a˜ij). A2.1(a.1) =  1 0 0 0 2 2 0 2 2 . Do đó a˜11 = ∣∣∣∣∣1 00 2 ∣∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∣1 00 2 ∣∣∣∣∣ = 4. 24 A2.1(a.2) =  0 0 0 1 2 2 1 2 2 . Do đó a˜12 = ∣∣∣∣∣0 01 2 ∣∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∣0 01 2 ∣∣∣∣∣ = 0. Tương tự như vậy chúng ta tính được: a˜13 = 0, a˜21 = 0, a˜22 = 1, a˜23 = 1, a˜31 = 0, a˜32 = 1, a˜33 = 1. Vậy ma trận phụ hợp của A là A˜ =  4 0 0 0 1 1 0 1 1  . Trong trường hợp tổng quát, nhà toán học Kyrchei đã đưa ra công thức biểu diễn ma trận phụ hợp như sau: Cho A ∈ Cn×n, nếu ind(A) = k và rank(Ak+1) = rank(Ak) = r ≤ n thì ma trận phụ hợp của A là A˜ gồm các phần tử a˜ij được xác định bởi công thức sau: a˜ij = ∑ β∈Jr,n{i} ∣∣∣∣(Ak+1.i (a(k).j ))ββ ∣∣∣∣ , (∀i, j = 1, n). (10) Lý do vì sao ma trận A˜ được xác định như trên được gọi là ma trận phụ hợp của A chúng ta sẽ được giải thích ở phần sau. Bây giờ chúng ta đi xét mối liên hệ giữa nghịch đảo Drazin và ma trận phụ hợp. Trước hết chúng ta xét trường hợp đặc biệt là nghịch đảo nhóm. 2.2 Mối liên hệ giữa nghịch đảo nhóm và ma trận phụ hợp Ta đã biết nghịch đảo nhóm chính là trường hợp đặc biệt của nghịch đảo Drazin trong trường hợp chỉ số của ma trận nhỏ hơn hoặc bằng 1 và chúng ta cũng đã bàn đến khái niệm ma trận phụ hợp đối với trường hợp này. Vậy thì nghịch đảo nhóm sẽ được biểu diễn qua ma trận phụ hợp như thế nào? Trước tiên chúng ta xét đến trường hợp ind(A) = 0 và rank(A) = n. Trường hợp này thì ta đã biết A−1 = 1 det(A) (A˜), với A˜ = (a˜ij)n là ma trận phụ hợp của A theo nghĩa thông thường. Ta có thể viết lại a˜ij = |A.i(a(0).j )|. Kết quả trường hợp này đã rõ ràng nên không có gì để bàn. Bây giờ chúng ta xét đến trường hợp ind(A) = 1 và rank(A) = rank(A2) = 1. Lớp các ma trận thỏa mãn điều kiện này có dạng tổng quát như sau. Đó là các ma 25 trận có một cột khác không và các cột còn lại tỷ lệ với cột khác không đó. Không mất tính tổng quát, ta giả sử A =  a1 k2a1 ... kna1 a2 k2a2 ... kna2 ... ... ... an k2an · · · knan  , với a1, ..., an không đồng thời bằng 0. Trong trường hợp này, Nguyễn Tý [3] đã chứng minh được rằng A# = 1 (Tr(A))2 A. (11) Đây là công thức cho một biểu diễn nghịch đảo nhóm khá đẹp. Tuy nhiên, tác giả vẫn chưa mở rộng được trong trường hợp tổng quát. Việc mở rộng công thức này cũng gặp khó khăn ngay cả trường hợp rank(A) = 2. Ta có thể viết lại nghịch đảo nhóm của ma trận A trong kết quả của Nguyễn Tý như sau: A# = A˜ d1(A2) , (12) với A˜ chính là ma trận phụ hợp của A, tức là a˜ij = ∑ β∈J1,n{i} ∣∣∣(A2.i(a.j))ββ∣∣∣ , (∀i, j = 1, n) và d1(A 2) = ∑ β∈J1,n ∣∣∣(A2)ββ∣∣∣ . Thật vậy, a˜ij = ∑ β∈J1,n{i} ∣∣∣(A2.i(a.j))ββ∣∣∣ = aij. Như vậy trong trường hợp này A˜ = A. Ngoài ra d1(A 2) = ∑ β∈J1,n ∣∣∣(A2)ββ∣∣∣ = Tr(A2) = (Tr(A))2. và Tr(A2) = (Tr(A))2 vì A2 = (a1 + k2a2 + ...+ knan)A = Tr(A)A. Dựa vào hai trường hợp trên, chúng ta có thể dự đoán được công thức của nghịch đảo nhóm trong trường hợp ind(A) = 1 và rank(A) = rank(A2) = r < n là A# = A˜ dr(A2) , (13) 26 với a˜ij = ∑ β∈Jr,n{i} ∣∣∣(A2.i(a.j))ββ∣∣∣ , (∀i, j = 1, n) và dr(A 2) = ∑ β∈Jr,n ∣∣∣(A2)ββ∣∣∣ . Chúng tôi không trình bày chứng minh các kết quả ở phần này mà sẽ chứng minh cho trường hợp tổng quát sẽ được trình bày ở phần sau. Sau đây là một số ví dụ. Ví dụ 2.2.1. Trở lại Ví dụ 2.1.2 với A =  1 0 0 0 1 1 0 1 1 , ta đã tính được ma trận phụ hợp của A, bây giờ chúng ta sẽ tính đại lượng d2(A2). d2(A 2) = ∣∣∣∣∣1 00 2 ∣∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∣1 00 2 ∣∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∣2 22 2 ∣∣∣∣∣ = 2 + 2 + 0 = 4. Vậy nghịch đảo nhóm của A là A# = A˜ d2(A2) =  1 0 0 0 14 1 4 0 14 1 4  . Ví dụ 2.2.2. Cho A =  1 −1 0 0 2 −2 0 0 1 −4 1 1 1 0 0 1  . Ta sẽ đi tìm nghịch đảo nhóm của A như sau. Ta có A2 =  −1 1 0 0 −2 2 0 0 −5 3 1 2 2 −1 0 1  và rank(A) = rank(A2) = 3 nên ind(A) = 1. d3(A 2) = ∣∣∣∣∣∣∣∣ −1 1 0 −2 2 0 −5 3 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∣∣∣∣ −1 1 0 −2 2 0 2 −1 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∣∣∣∣ −1 0 0 −5 1 2 2 0 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 0 0 3 1 2 −1 0 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0 + 0 + (−1) + 2 = 1. A2.1(a.1) =  1 1 0 0 2 2 0 0 1 3 1 2 1 −1 0 1  . Do đó a˜11 = ∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 1 0 2 2 0 1 3 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 1 0 2 2 0 1 −1 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 0 0 1 1 2 1 0 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣ = 1. 27 Tương tự ta tính được các a˜ij, ∀i, j = 1, 4 còn lại. Cuối cùng ta được A# =  1 −1 0 0 2 −2 0 0 −2 −3 1 −1 1 0 0 1  . 2.3 Biểu diễn nghịch đảo Drazin qua ma trận phụ hợp trong trường hợp tổng quát Để có thể đi đến công thức biểu diễn tổng quát của nghịch đảo Drazin, chúng ta cần phải chứng minh một số bổ đề sau đây. Bổ đề 2.3.1. Nếu A ∈ Cn×n và ind(A) = k thì rankAk+1.i ( a (k) .j ) ≤ rankAk+1, (∀i, j = 1, n). Chứng minh. Ta ký hiệu Pil(−ajl) ∈ Cn×n, (l 6= i) là ma trận với −ajl ở vị trí thứ (i, l), 1 trên đường chéo chính và 0 ở các vị trí còn lại. Đó là ma trận của một phép biến đổi sơ cấp. Lúc đó ta có ∏ l 6=i Pil(−ajl) =  1 0 · · · 0 · · · 0 0 1 · · · 0 · · · 0 ... ... . . . ... ... ... −aj1 −aj2 · · · 1 · · · −ajn ... ... ... ... . . . ... 0 0 · · · 0 · · · 1  . Mặt khác Ak+1.i ( a (k) .j ) =  n∑ l=1 a (k) 1l al1 · · · a(k)1j · · · n∑ l=1 a (k) 1l aln · · · · · · · · · · · · · · · n∑ l=1 a (k) nl al1 · · · a(k)nj · · · n∑ l=1 a (k) nl aln  . Do đó Ak+1.i ( a (k) .j )∏ l 6=i Pil(−ajl) =  ∑ l 6=j a (k) 1l al1 · · · a(k)1j · · · ∑ l 6=j a (k) 1l aln · · · · · · · · · · · · · · ·∑ l 6=j a (k) nl al1 · · · a(k)nj · · · ∑ l 6=j a (k) nl aln  . 28 Ma trận trên có thể phân tích thành thừa số như sau ∑ l 6=j a (k) 1l al1 · · · a(k)1j · · · ∑ l 6=j a (k) 1l aln · · · · · · · · · · · · · · ·∑ l 6=j a (k) nl al1 · · · a(k)nj · · · ∑ l 6=j a (k) nl aln  =  a (k) 11 a (k) 12 · · · a(k)1n a (k) 21 a (k) 22 · · · a(k)2n · · · · · · · · · · · · a (k) n1 a (k) n2 · · · a(k)nn   a11 · · · 0 · · · a1n · · · · · · · · · · · · · · · 0 · · · 1 · · · 0 · · · · · · · · · · · · · · · an1 · · · 0 · · · ann  . Trong đó  :=  a11 · · · 0 · · · a1n · · · · · · · · · · · · · · · 0 · · · 1 · · · 0 · · · · · · · · · · · · · · · an1 · · · 0 · · · ann  là ma trận thu được từ A bằng cách thay tất cả các hạng tử ở hàng thứ j và cột thứ i bởi 0, ngoại trừ hạng tử ở vị trí (j, i) là bằng 1. Ta biết rằng các phép biến đổi tuyến tính sơ cấp của một ma trận sẽ không làm thay đổi hạng của nó. Từ Bổ đề 1.1.5 ta suy ra rankAk+1.i ( a (k) .j ) ≤ min{rankA(k), rank Â}. Vì rank  ≥ rankA ≥ rank(Ak) và rank(Ak) = rank(Ak+1) nên ta có điều cần phải chứng minh, tức là rankAk+1.i ( a (k) .j ) ≤ rankAk+1. Bổ đề 2.3.2. Cho A ∈ Cn×n và λ ∈ R+. Nếu indA = k > 0 thì ma trận Ak+1+λI khả nghịch. Chứng minh. Xem [7] Định lý 2.3.3. Cho A ∈ Cn×n, indA = k và λ ∈ R+. Lúc đó AD = lim λ→0+ (λI + Ak+1)−1Ak. Chứng minh. Theo Định lý 1.5.3 A được biểu diễn dưới dạng A = P [ C 0 0 N ] P−1, 29 trong đó C là không suy biến và N là ma trận luỹ linh bậc k. Ngoài ra AD = P [ C−1 0 0 0 ] P−1. Với λ ∈ R+ theo Bổ đề 2.3.2, ta có ma trận Ak+1 + λI khả nghịch. Lúc đó (Ak+1 + λI)−1Ak = P [ (Ck+1 + λI)−1Ck 0 0 0 ] P−1. Vì C là ma trận không suy biến và lim λ→0+ (Ck+1 + λI)−1Ck = C−1, điều này dẫn đến lim λ→0+ (Ak+1 + λI)−1Ak = P [ C−1 0 0 0 ] P−1 = AD. Định lý 2.3.4. Cho A ∈ Cn×n, indA = k và rankAk+1 = rankAk = r ≤ n. Khi đó, AD = A˜ dr(Ak+1) , (14) trong đó dr(A k+1) = ∑ β∈Jr,n ∣∣∣(Ak+1)ββ∣∣∣ và a˜ij = ∑ β∈Jr,n{i} ∣∣∣∣(Ak+1.i (a(k).j ))ββ ∣∣∣∣ , (∀i, j = 1, n). Chứng minh. Theo Bổ đề 2.3.2, ta có ma trận Ak+1 + λI khả nghịch với mọi λ ∈ R+. Do đó (λI + Ak+1)−1 = 1 det(λI + Ak+1)  L11 L21 · · · Ln1 L12 L22 · · · Ln2 · · · · · · · · · · · · L1n L2n · · · Lnn  , trong đó Lij, ∀i, j = 1, n là phần bù đại số ứng với phần tử aij của ma trận λI + Ak+1. 30 Mặt khác theo Định lý 2.3.3, ta có AD = lim λ→0+ (λI + Ak+1)−1Ak = lim λ→0+  det(λI + Ak+1).1(a (k) .1 ) det(λI + Ak+1) · · · det(λI + A k+1).1(a (k) .n ) det(λI + Ak+1) · · · · · · · · · det(λI + Ak+1).n(a (k) .1 ) det(λI + Ak+1) · · · det(λI + A k+1).n(a (k) .n ) det(λI + Ak+1)  . (i) Theo Nhận xét 1.1.6, ta có det(λI + Ak+1) = λn + d1λ n−1 + d2λn−2 + · · ·+ dn, trong đó dr (∀r = 1, n− 1) là tổng các định thức con chính cấp r của Ak+1 và dn = det(Ak+1). Vì rankAk+1 = rankAk = r nên dn = dn−1 = · · · = dr+1 = 0. Suy ra det(λI + Ak+1) = λn + d1λ n−1 + d2λn−2 + · · ·+ drλn−r. (ii) Tương tự như vậy ∀i, j = 1, n ta cũng có det(λI + Ak+1).i(a (k) .j ) = d (ij) 1 λ n−1 + d(ij)2 λ n−2 + · · ·+ d(ij)n , trong đó d (ij) k = ∑ β∈Jk,n{i} ∣∣∣∣(Ak+1.i (a(k).j ))ββ ∣∣∣∣ , 1 ≤ k ≤ n−1 và d(ij)n = det(Ak+1.i (a(k).j )). Vì rankAk+1.i ( a (k) .j ) ≤ rankAk+1 = r nên nếu k > r thì ∣∣∣Ak+1.i (a(k).j )ββ∣∣∣ = 0, (∀β ∈ Jk,n{i}, ∀i, j = 1, n). Do đó nếu r+1 ≤ k < n thì d(ij)k = ∑ β∈Jk,n{i} ∣∣∣Ak+1.i (a(k).j )ββ∣∣∣ = 0 và d (ij) n = det ( Ak+1.i (a (k) .j ) ) = 0 (∀i, j = 1, n). Vậy det(λI + Ak+1).i(a (k) .j ) = d (ij) 1 λ n−1 + d(ij)2 λ n−2 + · · ·+ d(ij)r λn−r. (iii) Thay (ii) và (iii) vào (i) ta được AD = lim λ→0+  d (11) 1 λ n−1+d(11)2 λ n−2+···+d(11)r λn−r λn+d1λn−1+d2λn−2+···+drλn−r · · · d (1n) 1 λ n−1+d(1n)2 λ n−2+···+d(1n)r λn−r λn+d1λn−1+d2λn−2+···+drλn−r · · · · · · · · · d (n1) 1 λ n−1+d(n1)2 λ n−2+···+d(n1)r λn−r λn+d1λn−1+d2λn−2+···+drλn−r · · · d (nn) 1 λ n−1+d(nn)2 λ n−2+···+d(nn)r λn−r λn+d1λn−1+d2λn−2+···+drλn−r  =  d (11) r dr(Ak+1) · · · d(1n)r dr(Ak+1) · · · · · · · · · d (n1) r dr(Ak+1) · · · d(nn)r dr(Ak+1)  = ( a˜ij dr(Ak+1) ) n×n , 31 với a˜ij = ∑ β∈Jr,n{i} ∣∣∣Ak+1.i (a(k).j )ββ∣∣∣ và dr(A k+1) = ∑ β∈Jr,n ∣∣∣(Ak+1)ββ∣∣∣ . Hệ quả 2.3.5. Nếu A ∈ Cn×n, ind(A) = k và rankAk+1 = rankAk = r ≤ n thì ADA = ( vij dr(Ak+1) ) n×n , với vij = ∑ β∈Jr,n{i} ∣∣∣(Ak+1.i (a(k+1).j ))ββ∣∣∣ , (∀i, j = 1, n). Chứng minh. Bằng cách thay AD = ( a˜ij dr(Ak+1) ) n×n ta được ADA = ( a˜ij dr(Ak+1) ) n×n .(aij)n×n = ( vij dr(Ak+1) ) n×n . Với mọi 1 ≤ i, j ≤ n ta có vij = ∑ s ∑ β∈Jr,n{i} ∣∣∣∣((Ak+1).i(a(k).s ))ββ ∣∣∣∣ asj = = ∑ β∈Jr,n{i} ∑ s ∣∣∣∣((Ak+1).i(a(k).s .asj))ββ ∣∣∣∣ = ∑ β∈Jr,n{i} ∣∣∣(Ak+1.i (a(k+1).j ))ββ∣∣∣ . Chú ý. Với A là ma trận khả nghịch, từ công thức A−1 = 1 detA (A˜) ta có thể viết lại dưới dạng như sau A˜.A = detA.I, (15) với A˜ là ma trận phụ hợp của A theo khái niệm thông thường mà chúng ta đã biết. Giả sử ta đặt AAD = P và từ Công thức (14) ta suy ra được A˜A = dr(A k+1).P, trong đó A˜ được xác định như (10) và P là ma trận lũy đẳng. Điều này đã được chứng minh trong Định lý 1.4.2. Ta biết rằng tất cả các giá trị riêng của một ma trận lũy đẳng chỉ là 0 hoặc 1. Do đó sẽ tồn tại một ma trận Unita U sao cho A˜A = dr(A k+1)Udiag(1, ..., 1, 0, ..., 0)U∗. (16) 32 Rõ ràng ta thấy có sự tương tự giữa (15) và (16). Đây chính là lý do vì sao ma trận A˜ xác định như ở (10) được xem như là ma trận phụ hợp của ma trận A bất kỳ. 2.4 Các ví dụ Ví dụ 2.4.1. Trở lại Ví dụ 1.6.3, A =  3 1 −2 0 0 0 2 0 0 −2 4 2 0 1 0 −1  . Ta sẽ đi tìm nghịch đảo Drazin của A thông qua ma trận phụ hợp như sau. Ta tính được A2 =  9 7 −12 −4 0 −4 8 4 0 −6 12 6 0 −1 2 1  , A3 =  27 29 −52 −20 0 −12 24 12 0 −18 36 18 0 −3 6 3  , rankA = 3, rank(A2) = rank(A3) = 2 nên ind(A) = 2. d2(A 3) = ∣∣∣∣∣27 290 −12 ∣∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∣27 −520 36 ∣∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∣27 −200 3 ∣∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∣−12 24−18 36 ∣∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∣−12 12−3 3 ∣∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∣36 186 3 ∣∣∣∣∣ = 729. A3.1(a 2.1) =  9 29 −52 −20 0 −12 24 12 0 −18 36 18 0 −3 6 3  . Suy ra a˜11 = ∣∣∣∣∣9 290 −12 ∣∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∣9 −520 36 ∣∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∣9 −200 3 ∣∣∣∣∣ = 243. A3.1(a 2 .2) =  7 29 −52 −20 −4 −12 24 12 −6 −18 36 18 −1 −3 6 3  . Suy ra a˜12 = ∣∣∣∣∣ 7 29−4 −12 ∣∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∣ 7 −52−6 36 ∣∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∣ 7 −20−1 3 ∣∣∣∣∣ = −27. 33 A3.2(a 2 .2) =  27 7 −52 −20 0 −4 24 12 0 −6 36 18 0 −1 6 3  . Suy ra a˜22 = ∣∣∣∣∣−4 24−6 36 ∣∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∣−4 12−1 3 ∣∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∣27 70 −4 ∣∣∣∣∣ = −108. Tương tự a˜13 = 108, a˜14 = 108, a˜21 = 0, a˜23 = 216, a˜24 = 108, a˜31 = 0, a˜32 = −162, a˜33 = 324, a˜34 = 162, a˜41 = 0, a˜42 = −27, a˜43 = 54, a˜44 = 27. Vậy AD =  1 3 −1 27 4 27 4 27 0 −427 8 27 4 27 0 −29 4 9 2 9 0 −127 2 27 1 27  . Ví dụ 2.4.2. Ta xét lại Ví dụ 1.6.4, A =  1 2 3 5 −2 1 1 2 3 0 0 −1 −1 −2 1 0 3 4 6 −3 1 6 9 13 −5  . Ta sẽ đi tìm nghịch đảo Drazin của A như sau. Ta có A3 =  1 3 5 7 −3 3 11 18 25 −10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 11 18 25 −10  , A4 =  1 3 5 7 −3 4 14 23 32 −13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 14 23 32 −13  , rank(A3) = rank(A4) = 2 nên ind(A) = 3. d2(A 4) = ∣∣∣∣∣1 34 14 ∣∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∣1 50 0 ∣∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∣1 70 0 ∣∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∣1 −34 −13 ∣∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∣14 230 0 ∣∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∣14 320 0 ∣∣∣∣∣ + ∣∣∣∣∣14 −1314 −13 ∣∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∣0 00 0 ∣∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∣ 0 023 −13 ∣∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∣ 0 032 −13 ∣∣∣∣∣ = 1. 34 A4.1(a 3 .1) =  1 3 5 7 −3 3 14 23 32 −13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 14 23 32 −13  . Suy ra a˜11 = ∣∣∣∣∣1 33 14 ∣∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∣1 50 0 ∣∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∣1 70 0 ∣∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∣1 −33 −13 ∣∣∣∣∣ = 1. Tương tự như vậy ta tính các a˜ij còn lại, ∀i, j = 1, 5. Cuối cùng ta được nghịch đảo Drazin của A là AD =  1 3 5 7 −3 −1 −1 −2 −3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 −1 −2 −3 2  . 2.5 Quy tắc Cramer Một ứng dụng lớn của công thức biểu diễn nghịch đảo Drazin qua ma trận phụ hợp chính là quy tắc Cramer cho hệ phương trình tuyến tính qua nghịch đảo suy rộng. Chúng ta đã biết quy tắc Cramer cho hệ phương trình tuyến tính có dạng A.x = b, (17) trong đó A ∈ Cn×n là ma trận hệ số và A không suy biến. Lúc đó hệ (17) luôn có nghiệm duy nhất và các thành phần x0i của nghiệm x = (x 0 1, x 0 2, ..., x 0 n) T được biểu diễn bởi công thức x0i = |Di| |A| , với |Di| là định thức của ma trận thu được từ A bằng cách thay cột thứ i bởi cột hệ số tự do b. Còn nếu trong trường hợp ma trận hệ số A là suy biến thì ta không thể sử dụng được quy tắc này. Do đó dựa vào công thức biểu diễn nghịch đảo Drazin qua ma trận phụ hợp, nhà toán học Kyrchei đã tìm ra được quy tắc Cramer mở rộng hơn cho hệ phương trình tuyến tính bất kỳ. Để ý rằng nghiệm của hệ phương trình tuyến tính trong trường hợp này được định nghĩa như sau. 35 Định nghĩa 2.5.1. Cho hệ phương trình tuyến tính A.x = b (18) trong đó ma trận hệ số A ∈ Cn×nr và cột hệ số tự do b = (b1, ..., bm)T ∈ Cm. Lúc này ta định nghĩa nghiệm có tổng bình phương nhỏ nhất của hệ (18) là vector x0 ∈ Cn thỏa mãn ‖x0‖ = min x˜∈Cn {‖x˜‖/‖A.x˜− b‖ = min x∈Cn ‖A.x− b‖}. Định lý 2.5.2. Cho A ∈ Cn×n và ind(A) = k thì ADb vừa là nghiệm duy nhất trong R(Ak) của hệ phương trình Ak+1x = Akb (19) vừa là nghiệm có tổng bình phương nhỏ nhất duy nhất theo chuẩn P của hệ (18). Chú ý. Chuẩn P được định nghĩa như sau: ‖x‖P = ‖P−1x‖, x ∈ Cn, trong đó P chính là ma trận chuyển đổi không suy biến của A về dưới dạng Jordan. Chứng minh. Trước hết ta chứng minh ADb là nghiệm duy nhất trong R(Ak) của hệ (19). Rõ ràng ta thấy rằng hệ (19) luôn tồn tại nghiệm và ADb là một nghiệm của nó. Bây giờ ta giả sử hệ (19) tồn tại một nghiệm khác là u ∈ R(Ak). Lúc đó u − ADb ∈ R(Ak). Ngoài ra u − ADb ∈ N(Ak+1) vì u và ADb đều là nghiệm của (19). Do đó u−ADb ∈ R(Ak)∩N(Ak). Mà R(Ak)∩N(Ak) = {0}. Vậy u = ADb. Phần chứng minh ADb là nghiệm có tổng bình phương nhỏ nhất duy nhất theo chuẩn P bạn đọc có thể xem trong ([13, Theorem 3.2]). Sau đây là quy tắc Cramer cho hệ phương trình tuyến tính (18) qua nghịch đảo suy rộng. Định lý 2.5.3. Cho A ∈ Cn×n và indA = k. Lúc đó nghiệm có tổng bình phương nhỏ nhất theo chuẩn P của hệ (18) là x̂ = (x̂1, ..., x̂n)T với các thành phần x̂i được biểu diễn bởi công thức sau x̂i = ∑ β∈Jr,n{i} ∣∣∣(Ak+1.i (Akb))ββ∣∣∣∑ β∈Jr,n ∣∣∣(Ak+1)ββ∣∣∣ , (∀i = 1, n). (20) 36 Chứng minh. Bằng cách áp dụng Định lý 2.3.4 và Định lý 2.5.2 ta có x̂ =  x̂1 · · · x̂n  = ADb = 1dr(Ak+1)  n∑ s=1 d1sbs · · · n∑ s=1 dnsbs  . Do đó x̂i = 1 dr(Ak+1) n∑ s=1 ∑ β∈Jr,n{i} ∣∣∣(Ak+1.i (a(k).s ))ββ∣∣∣ .bs = 1 dr(Ak+1) ∑ β∈Jr,n{i} n∑ s=1 ∣∣∣(Ak+1.i (a(k).s ))ββ∣∣∣ .bs = 1 dr(Ak+1) ∑ β∈Jr,n{i} n∑ s=1 ∣∣∣(Ak+1.i (a(k).s .bs))ββ∣∣∣ = ∑ β∈Jr,n{i} ∣∣∣(Ak+1.i (Akb))ββ∣∣∣∑ β∈Jr,n ∣∣∣(Ak+1)ββ∣∣∣ ∀i = 1, n. Ví dụ 2.5.4. Tìm nghiệm có tổng bình phương nhỏ nhất theo chuẩn P của hệ phương trình tuyến tính  x1 + 2x2 + x3 − x4 = 1, x1 + x2 + x3 = 2, −x1 − x3 + x4 = 1, x1 + 2x2 + x3 + x4 = 3. Ta có ma trận hệ số A =  1 2 1 −1 1 1 1 0 −1 0 −1 1 1 2 1 1 , A2 =  1 2 1 −1 1 3 1 0 1 0 1 1 3 6 3 1  và rankA = rankA2 = 3. Do đó indA=1. Ab =  1 2 1 −1 1 1 1 0 −1 0 −1 1 1 2 1 1   1 2 1 3  =  3 4 1 9  , 37 d3(A 2) = ∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 2 1 1 3 1 1 0 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 1 −1 1 1 1 3 3 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 2 −1 1 3 0 3 6 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∣∣∣∣ 3 1 0 0 1 1 6 3 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣ = 4, A2.1(Ab) =  3 2 1 −1 4 3 1 0 1 0 1 1 9 6 3 1  . Suy ra x̂1 = 1 4  ∣∣∣∣∣∣∣∣ 3 2 1 4 3 1 1 0 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∣∣∣∣ 3 2 −1 4 3 0 9 6 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∣∣∣∣ 3 1 −1 1 1 1 9 3 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣  = 3. Tương tự x̂2 = 1 4  ∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 3 1 1 4 1 1 1 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 3 −1 1 4 0 3 9 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∣∣∣∣ 4 1 0 1 1 1 9 3 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣  = 1, x̂3 = 1 4  ∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 2 3 1 3 4 1 0 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 3 −1 1 1 1 3 9 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∣∣∣∣ 3 4 0 0 1 1 6 9 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣  = −2, x̂4 = 1 4  ∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 2 3 1 3 4 3 6 9 ∣∣∣∣∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 1 3 1 1 1 3 3 9 ∣∣∣∣∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∣∣∣∣ 3 1 4 0 1 1 6 3 9 ∣∣∣∣∣∣∣∣  = 0. Vậy nghiệm có tổng bình phương nhỏ nhất theo chuẩn P của hệ là x̂ =  3 1 −2 0  . Ví dụ 2.5.5. Tìm nghiệm có tổng bình phương nhỏ nhất theo chuẩn P của hệ phương trình tuyến tính sau đây 3x1 + x2 − 2x3 = 1, 2x3 = 0, −2x2 + 4x3 + 2x4 = 2, x3 − x4 = 2. 38 Ma trận hệ số A =  3 1 −2 0 0 0 2 0 0 −2 4 2 0 1 0 −1 , A chính là ma trận trong Ví dụ 1.6.3. Ta đã có ind(A) = 2 và rankA2 = rankA3 = 2. A2 =  9 7 −12 −4 0 −4 8 4 0 −6 12 6 0 −1 2 1  , A3 =  27 29 −52 −20 0 −12 24 12 0 −18 36 18 0 −3 6 3  , A2b =  9 7 −12 −4 0 −4 8 4 0 −6 12 6 0 −1 2 1   1 0 2 2  =  −23 24 36 6  . Ta có A3.1(A 2b) =  −23 29 −52 −20 24 −12 24 12 36 −18 36 18 6 −3 6 3  và trong Ví dụ 2.4.1 ta đã tính được d2(A3) = 729. Do đó x̂1 = 1 729 (∣∣∣∣∣−23 2924 −12 ∣∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∣−23 −5236 36 ∣∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∣−23 −206 3 ∣∣∣∣∣ ) = 675 729 . Tương tự ta tính được x̂2 = 1 729 (∣∣∣∣∣27 −230 24 ∣∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∣24 2436 36 ∣∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∣24 126 3 ∣∣∣∣∣ ) = 648 729 , x̂3 = 1 729 (∣∣∣∣∣27 −230 36 ∣∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∣−12 24−18 36 ∣∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∣36 186 3 ∣∣∣∣∣ ) = 972 729 , x̂4 = 1 729 (∣∣∣∣∣27 −230 6 ∣∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∣−12 24−3 6 ∣∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∣36 366 6 ∣∣∣∣∣ ) = 162 729 . Vậy nghiệm có tổng bình phương nhỏ nhất theo chuẩn P của hệ là x̂ = 1 729  675 648 972 162  . 39 KẾT LUẬN Khóa luận đã hoàn thành với các kết quả đạt được sau đây: - Trong Chương 1, chúng tôi đã trình bày một cách tổng quan các khái niệm và tính chất liên quan đến nghịch đảo Drazin. Ngoài việc phát biểu lại các tính chất đã có trong khóa luận của Nguyễn Tý [3], chúng tôi còn bổ sung thêm một số tính chất khác nhằm phục vụ cho việc đi tìm biểu diễn nghịch đảo Drazin qua ma trận phụ hợp. Chúng tôi cũng đã cố gắng trình bày lại một số chứng minh một cách rõ ràng hơn. - Trong Chương 2, chúng tôi đã trình bày lại các kết quả của nhà toán học Kyrchei trong bài báo [12] theo cách hiểu của riêng mình. Đồng thời, chúng tôi trình bày một cách rõ ràng hơn cho phần chứng minh công thức biểu diễn nghịch đảo Drazin qua ma trận phụ hợp. - Chúng tôi đã đưa ra được nhiều ví dụ minh họa với nhiều trường hợp cụ thể để bạn đọc có thể hiểu rõ hơn về các công thức có trong khóa luận. Tuy nhiên, do bản thân còn hạn chế nên chắc chắn khóa luận còn nhiều thiếu sót. Vì vậy rất mong nhận được sự góp ý từ các Thầy Cô và các bạn để khóa luận được hoàn chỉnh hơn. Huế, ngày 4 tháng 5 năm 2011 Sinh viên Nguyễn Thị Thanh Hương Lớp Toán 4B, Khoa Toán, Khóa 2007-2011 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lê Tuấn Hoa, Đại số tuyến tính qua các ví dụ và bài tập, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, (2005). [2] Ngô Việt Trung, Giáo trình đại số tuyến tính, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, (2001). [3] Nguyễn Tý, Đồ thị hai thành phần và nghịch đảo Drazin của ma trận, Khoá luận tốt nghiệp, Trường Đại học Sư phạm Huế, (2010). TIẾNG ANH [4] R. B. Bapat, K. P. S. Bhaskara, K. Manjunatha Prasad, Generalized inverses over integral domains, Linear Algebra Appl. 140 (1990), 181-196. [5] A. Ben-Israel, Generalized inverses of marices: a perspective of the work of Penrose, Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 100 (1986), 401-425. [6] A. Ben-Israel and T. N. E Greville, Generalized Inverses: Theory and Appli- cations, 2nd Edition, Springer-Verlag, NewYork, (2003). [7] S. L. Cambpbell and C. D. Meyer, Generalized Inverses of Linear Transfor- mations, Pitman, London, (1979). [8] Y. Chen, A Cramer rule for solution of the general restricted linear equation, Linear and Multilinear Algebra 34 (1993), 177-186. [9] M.P. Drazin, Pseudoinverses in associative rings and semigroups, Amer. Math. Monthly 65 (1958), 506-515. [10] R. A. Horn, C. R. Johnson, The Matrix analysis, Cambridge University Press, (1986). [11] J. Ji, Explicit expressions of the generalized inverses and condensed Cramer rules, Linear Algebra Appl. 404 (2005), 183-192. 41 [12] I. I. Kyrchei, Analogues of the adjoint matrix for generalized inverses and corresponding Cramer rules, Pidstrygach Institute for Applied Problems of Mechanics and Mathematics, (2010). [13] Y. M. Wei, H. B. Wu, Additional results on index splittings for Drazin inverse solutions of singular linear systems, The Electronic Journal of Linear Algebra 8 (2001), 83-93. 42