Khảo sát tính đẳng tốc và giới hạn chuyển hướng không gian của một số khớp vạn năng bằng phương pháp số

Điều khiển – Cơ điện tử - Truyền thông P.T. Long, L.T.T. Thủy, “Khảo sát tính đẳng tốc khớp vạn năng bằng phương pháp số.” 138 KHẢO SÁT TÍNH ĐẲNG TỐC VÀ GIỚI HẠN CHUYỂN HƯỚNG KHÔNG GIAN CỦA MỘT SỐ KHỚP VẠN NĂNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ Phạm Thành Long*, Lê Thị Thu Thủy Tóm tắt: Bài báo này trình bày một phương pháp số dùng để khảo sát tính đẳng tốc của các cơ cấu truyền động khớp thấp, có khả năng đổi hướng truyền động trong không gian. Do chuyển vị của ngõ ra và ngõ vào có liên hệ với vận tốc của chúng bằng đạo hàm, việc khảo sát vận tốc có thể trên cơ sở khảo sát chuyển vị của cơ cấu. Do cơ cấu chỉ có một ngõ vào và một ngõ ra nên việc mô phỏng lại tư thế và trạng thái truyền động giống như khi làm việc có thể đạt được thông qua thiết lập các điều kiện tìm nghiệm bài toán động học ngược. Với quan điểm đó phương pháp mà chúng tôi giới thiệu ở đây có thể trả lời chính xác về tính đẳng tốc của các cơ cấu cũng như biên độ biến thiên vận tốc ngõ ra khi giữ cho ngõ vào ổn định. Dựa trên kết quả khảo sát có thể đưa đến kết luận một cơ cấu chuyển hướng không gian truyền động trục cụ thể nào đó có đáp ứng được chất lượng truyền động đề ra hay không, cũng như góc truyền động tối đa có thể đáp ứng được của cơ cấu. Từ khóa: Khớp vạn năng, Tính đẳng tốc, Bài toán động học ngược. I. ĐẶT VẤN ĐỀ Trong các công bố có liên quan [5,6,7] việc chứng minh tính đẳng tốc chưa đạt được. Nhất là ở khía cạnh chỉ ra giới hạn làm việc và tự hãm ứng với các góc truyền động khác nhau. Các cơ cấu đổi hướng không gian nói chung có thể chia làm hai loại khớp thấp và khớp cao. Trong đó cơ cấu khớp thấp chiếm hai ưu thế quan trọng so với cơ cấu khớp cao là [1]: - Thay đổi được góc hướng ngay trong quá trình truyền động mà không cần thiết kế lại; - Có tải trọng lớn hơn cơ cấu khớp cao vì tiếp xúc mặt. Vì có phạm vi thay đổi hướng lớn nó thích hợp với các truyền động mang tính tự lựa ở phạm vi rộng (cardan, persian, ball joint, [1,2,3]). Tuy nhiên có một nhược điểm lớn của kiểu truyền động này không thể không kể đến đó là tính đẳng tốc trên trục ra của cấu trúc khi trục vào có tốc độ không đổi. Các hạn chế về phương thức khảo sát động học trước đây trong các tài liệu [2,3,5] chưa đủ thuyết phục về phản ứng động học thực sự của cơ cấu, cũng như chưa chỉ ra được giới hạn chuyển hướng giữa hai bán trục. Việc vận dụng một phương pháp số mới với độ chính xác cao [4] và xem cơ cấu đổi hướng không gian như một robot hụt dẫn động sẽ đem lại câu trả lời thỏa đáng hơn cho vấn đề này. II. CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA PHƯƠNG PHÁP 2.1 Mô hình hóa truyền động trục Xét truyền động trục tổng quát trên hình 1, giả sử hướng truyền động từ bán trục n0 sang bán trục n1 thay đổi được trong không gian bằng cách điều chỉnh các bậc tự do quay quanh tâm truyền động O0 gồm ,  . Yêu cầu kỹ thuật đặt ra là với kết cấu tường minh của cơ cấu nói trên, cần chỉ ra đặc tính vận tốc của n1 khi giữ cho n0 = const. Liên hệ với một cơ cấu robot có chuỗi động học Nghiên cứu khoa học công nghệ Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san ACMEC, 07 - 2016 139 hở với cấu trúc gồm toàn khớp thấp, hoàn toàn xác định được một phương trình động học dựa trên kỹ thuật ma trận truyền: 1 0 1 1 . n i i i n A n   (1) Trong đó: 1 1 2 1 (q ,q ,...,q ) n i i n i A f   (2) Với 1 0 1; nq n q n  Các chuyển vị từ q2 đến qn-1 thuộc về các khớp trung gian khác của cơ cấu cụ thể, trong trường hợp của cơ cấu hụt dẫn động chuyển động cấp vào cấu trúc chỉ từ q1. Hình 1. Mô tả truyền động trục đổi hướng không gian. Phương trình dạng tổng quát (1) chưa phản ánh được các hạn chế về truyền động bao gồm: - Cấu trúc chỉ có một nguồn dẫn động là n0 (hụt dẫn động); - Tư thế truyền động cụ thể xác định bởi các tham số chỉ hướng bán trục n1. Gọi (3) là phương trình khai triển của (1): ( ) 11 13 14 23 24 33 34 1 1 i x x x y y z z n a p a a a a p a a a p a a                  (3) Để mô tả đường tâm của bán trục n1 đang được giữ ổn định trong một tình huống truyền động, cần giữ O0 và hai góc hướng ( , )  của nó không đổi bằng cách gán vào ma trận tọa độ thực các giá trị tương ứng, cụ thể là: 0 (p ,p ,p ) T x y zO  và 13 23 33(a ,a ,a ) f( , ) T   (4) Trong (3), a11 = cos (x0x6) là cosine chỉ hướng của x0 so với xn cho giá trị này biến thiên từ -1 đến 1 để mô phỏng chuyển động quay của trục zn xung quanh chính nó giống như cơ cấu đang làm việc. Đại lượng z6/x0y0z0 = (cos (z0x6), cos (z0y6), cos (z0z6)) T = (a13, a23, a33) T là cosine chỉ hướng của zn trong hệ quy chiếu x0y0z0. Để kiến tạo các tư thế truyền động khác nhau chỉ cần thay đổi các giá trị ( , )  trong khi giữ nguyên điểm O0. 2.2 Khảo sát tính đẳng tốc truyền động trục Với mô hình toán như trên để xác định quan hệ động học giữa n0 và n1 nhận thấy nếu cho trước n0 vẫn còn thiếu một tập hợp (n-2) tọa độ suy rộng nữa gồm (q2,q3,..,qn-1) mới đủ điều kiện xác định được n1 bằng cách giải bài toán động học thuận. Tập hợp (q2,q3,..,qn-1) không thể xác định được nếu chỉ biết (4). Điều khiển – Cơ điện tử - Truyền thông P.T. Long, L.T.T. Thủy, “Khảo sát tính đẳng tốc khớp vạn năng bằng phương pháp số.” 140 Đảo lại, do bài toán ngược có nghiệm duy nhất nên nếu cho trước chuỗi biến thiên của n1 (tượng trưng bởi chuỗi a11 trong (3)) thì hoàn toàn xác định được chuỗi tương ứng của q1 (hay n0). Trên cơ sở đó đủ điều kiện kết luận tương quan của chúng, tức là tính đẳng tốc của cơ cấu. Do đặc điểm của hàm lượng giác: - 1 ≤ a11 ≤ 1 (5) Để mô tả trục ra đã biến động một lượng 2 xn n   với n là số phần chia [-1;1], cập nhật lại mô hình bài toán ở (3) để có bài toán ngược cho điểm khảo sát thứ i+1: ( 1) 11 13 14 23 24 33 34 1 1 i x x x x y y z z n a p a n a a a p a a a p a a                     (6) Gọi qi+1 = (q1, q2,...,qn) (i+1) là nghiệm của phương trình (6) nói trên, lượng di chuyển góc của đầu vào và đầu ra trong chuyển động mô tả bởi vế phải của (6) được đánh giá như sau: ( ) ( 1) ( ) 1 1 1 ( ) ( 1) ( ) i i i i i i n n n q q q q q q         (7) Quét i = 1 ÷ n để theo dõi sự biến thiên của hai đại lượng này để kết luận về sự đồng tốc giữa trục ra và trục vào. Sử dụng biểu thức dẫn xuất trên cơ sở đạo hàm hai vế của (7): ( ) ( 1) ( ) 1 1 1 ( ) ( 1) ( ) i i i i i i n n n             (8) So sánh ( ) ( ) 1 & i i n  để kết luận đồng tốc. 2.3 Khảo sát giới hạn chuyển hướng của truyền động trục Tư thế truyền động thuận lợi nhất giữa hai bán trục là khi chúng thẳng hàng [6,7] nhưng khi góc truyền động nhỏ hơn 1800 hiệu suất sẽ giảm dần. Do giới hạn chuyển động của các khớp thành phần việc truyền động sẽ không thực hiện được tại một giới hạn nào đấy. Trong mục này có nhiệm vụ xác định giới hạn đó về mặt động học. Có thể nhận thấy với (6) bài toán động học tương đương: 11 13 23 33 14 24 34 x x x y z x y z n a n a a a a a a p a p a p a                (9) Theo [4] mô hình động học ngược có kể đến giới hạn của các khớp thành phần sẽ có dạng: min max min 1 (n 1) i i i L i q q q       (10) Trong đó: 2 211 34(n a ) .... (p a )x nx zL       (11) Nghiên cứu khoa học công nghệ Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san ACMEC, 07 - 2016 141 qimin, qimax là giới hạn cơ học của các khớp thành phần thứ i tạo nên tổ hợp chuyển hướng không gian, các giới hạn này luôn xác định được theo thiết kế. Với mô hình (10) việc đưa các ràng buộc động học vào bài toán thành công sẽ dẫn đến tính toán được chính xác các giới hạn chuyển hướng của cơ cấu bằng cách cho các góc ( , )  biến thiên đầy đủ. Giải lặp lại các mô hình (10) để xác định các vị trí mà tại đó bài toán ngược không có nghiệm nữa đó chính là các giới hạn chuyển hướng cuối cùng nằm ở lân cận mà (10) còn có nghiệm. III. MINH HỌA MỘT SỐ CƠ CẤU TRUYỀN ĐỘNG TRỤC 3.1 Tính đẳng tốc của một số cơ cấu 3.1.1 Cơ cấu Hooke’s joint x1 Z0 Z1 Z2 Z3 Z4 O0O1O2O3O4 x2x3  x0 x4 Hình 2: Cơ cấu Hooke và sơ đồ động của cơ cấu. Bảng thông số D-H cơ cấu hooke. Khớp Rot(z,qi) Tran(z,di) Trans(x,ai) Rot(x,i) 1 q1 0 0 π/2 2 q2 0 0 π/2 3 q3 0 0 -π/2 4 q4 0 0 0 Bảng quan hệ chuyển vị ngõ vào (∆q1) ngõ ra (∆q4) của cơ cấu ở các vị trí khảo sát. a11 q1 q2 q3 q4 Target ∆q1 ∆q4 ∆q4 - ∆q1 -1 -1,5736 1,309 1,57153 3,15302 1,4E-09 -0,9 -1,3601 1,31453 1,51663 3,38887 1,1E-12 0,21355 0,23585 0,02231 -0,8 -1,2671 1,32047 1,49332 3,49114 1,7E-12 0,09298 0,10227 0,00929 -0,7 -1,1937 1,32664 1,47535 3,57161 2,1E-12 0,0734 0,08046 0,00707 -0,6 -1,13 1,33305 1,46013 3,64128 2,1E-12 0,06374 0,06967 0,00594 -0,5 -1,072 1,3397 1,44667 3,70442 1,8E-12 0,05795 0,06314 0,00519 -0,4 -1,0178 1,34661 1,43444 3,76327 1,7E-12 0,05418 0,05885 0,00466 -0,3 -0,9662 1,35382 1,42314 3,81919 2,7E-12 0,05165 0,05592 0,00427 -0,2 -0,9162 1,36135 1,41256 3,87311 2,2E-12 0,04996 0,05393 0,00397 -0,1 -0,8673 1,36924 1,40258 3,92576 1,9E-12 0,04893 0,05265 0,00372 0 -0,8188 1,37754 1,39307 3,97771 1,8E-12 0,04844 0,05195 0,00352 0,1 -0,7704 1,38631 1,38398 4,0295 1,3E-12 0,04844 0,05179 0,00335 0,2 -0,7215 1,39563 1,37522 4,08166 1,1E-12 0,04893 0,05216 0,00322 0,3 -0,6715 1,4056 1,36676 4,13475 1,4E-12 0,04997 0,05309 0,00312 0,4 -0,6199 1,41638 1,35854 4,18946 8,4E-13 0,05165 0,05471 0,00306 0,5 -0,5657 1,42815 1,35052 4,24667 9,8E-13 0,05419 0,05721 0,00302 0,6 -0,5077 1,44125 1,34265 4,30767 1,8E-12 0,05796 0,061 0,00304 Điều khiển – Cơ điện tử - Truyền thông P.T. Long, L.T.T. Thủy, “Khảo sát tính đẳng tốc khớp vạn năng bằng phương pháp số.” 142 0,7 -0,444 1,45621 1,33489 4,37454 1,9E-12 0,06375 0,06687 0,00312 0,8 -0,3706 1,47407 1,32714 4,45129 1,1E-12 0,07341 0,07675 0,00334 0,9 -0,2776 1,49751 1,31924 4,54818 9,1E-13 0,093 0,09689 0,00389 1 -0,064 1,55364 1,30956 4,77002 1,7E-09 0,21352 0,22184 0,00832 Đồ thị quan hệ chuyển vị ngõ vào và ngõ ra của cơ cấu. 3.1.2 Cơ cấu Persian joint Hình 3. Cơ cấu Persian và sơ đồ động của cơ cấu. Joint R(zα) T(zd) T(xa) R(xβ) 1 α1 0 0 -90° 2 α2 0 0 -90° 3 α3 d 0 30° 4 α4 -d 0 -90° 5 α5 0 0 90° 6 α6 0 0 0° Đồ thị quan hệ chuyển vị ngõ vào, ngõ ra của cơ cấu. Nghiên cứu khoa học công nghệ Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san ACMEC, 07 - 2016 143 Bảng quan hệ chuyển vị ngõ vào q1 và ngõ ra q6 của cơ cấu. a11 q1 q2 q3 q4 q5 q6 Target -1 4.990189 1.832581 1.5708 -0.38019 4.71 -5.20575 0.475459 -0.9 4.996701 1.832582 1.5708 -0.32201 4.71 -5.27027 0.377409 -0.8 4.999083 1.832584 1.5708 -0.26354 4.71 -5.34378 0.291061 -0.7 4.996134 1.832585 1.5708 -0.20589 4.71 -5.42735 0.21617 -0.6 4.986463 1.832587 1.5708 -0.15076 4.71 -5.52136 0.152545 -0.5 4.968594 1.832589 1.570799 -0.10069 4.71 -5.62394 0.100058 -0.4 4.941477 1.832591 1.570799 -0.05907 4.71 -5.72887 0.058655 -0.3 4.905464 1.832593 1.570798 -0.0287 4.71 -5.82606 0.028348 -0.2 4.862586 1.832595 1.570797 -0.00987 4.71 -5.9072 0.009176 -0.1 4.815381 1.832596 1.570797 -0.00044 4.71 -5.97038 0.001167 0 5.535249 1.832596 1.570796 0.22891 4.009719 -6.66084 0.000905 0.1 6.420833 1.832596 1.570796 1.75328 3.407608 -7.50421 0.000905 0.2 7.11152 1.832597 1.570797 2.855973 3.891277 -6.51506 0.002309 0.3 7.137167 1.832599 1.570797 2.852514 3.865968 -6.52201 0.013073 0.4 7.162709 1.832602 1.570797 2.84823 3.840925 -6.52974 0.034541 0.5 7.188099 1.832604 1.570798 2.843056 3.816196 -6.5383 0.066861 0.6 7.213287 1.832605 1.570798 2.836926 3.791835 -6.54774 0.110215 0.7 7.238218 1.832607 1.570799 2.829773 3.767897 -6.55813 0.164822 0.8 7.262836 1.832608 1.570799 2.82153 3.744445 -6.56952 0.23093 0.9 7.287076 1.832609 1.570799 2.812137 3.721544 -6.58195 0.308853 1 7.310875 1.83261 1.5708 2.801539 3.699261 -6.59548 0.398885 3.2 Giới hạn góc truyền động của cơ cấu persian joint Gọi z5/x0y0z0 = (cos (z5x0), cos (z5y0), cos (z5z0)) T = (a13, a23, a33) T là cosine chỉ hướng của z5 trong hệ quy chiếu x0y0z0 như mô tả trên hình 3. Với chú ý rằng 2 2 2 13 23 33 1a a a   ; Hình 7. Lược đồ khảo sát giới hạn chuyển hướng giữa hai bán trục trong cơ cấu persian joint. Theo hình 1 và hình 3 có 0 13 90a   như vậy khi ấn định hai trong ba giá trị của cosin chỉ hướng dựa vào ràng buộc trực giao nói trên tính được giá trị còn lại để đưa vào phương trình (6). Trong ví dụ này lấy 5 (0,0,66.37274) TO  , chọn tư thế khảo sát mô tả bởi hướng trục z5 là 0 0 0 5z (cos(15 ),cos(85 ),cos(90 )) (0.966,0.0871,0) T  , các điều kiện về chuyển vị của khớp thành phần giả định là: 2 3 4 5 3 3 , , , 2 2 q q q q      . Điều khiển – Cơ điện tử - Truyền thông P.T. Long, L.T.T. Thủy, “Khảo sát tính đẳng tốc khớp vạn năng bằng phương pháp số.” 144 Bảng 1. Bảng DH của cơ cấu persian. Joint R(zα) T(zd) T(xa) R(xβ) 1 α1 0 0 -90° 2 α2 0 0 -90° 3 α3 d 0 30° 4 α4 -d 0 -90° 5 α5 0 0 90° 6 α6 0 0 0° Trong phương trình (6) lấy a11 bắt đầu từ -1 và n = 20 (hay 0.1  ) để khảo sát khả năng quay toàn vòng của cơ cấu ở tư thế này. Kết quả khảo sát thể hiện trong bảng: a11 q1 q2 q3 q4 q5 q6 Target Đáp ứng -1 4.990189 1.832581 1.5708 -0.38019 4.71 -5.20575 0.475459 - -0.9 4.996701 1.832582 1.5708 -0.32201 4.71 -5.27027 0.377409 - -0.8 4.999083 1.832584 1.5708 -0.26354 4.71 -5.34378 0.291061 - -0.7 4.996134 1.832585 1.5708 -0.20589 4.71 -5.42735 0.21617 - -0.6 4.986463 1.832587 1.5708 -0.15076 4.71 -5.52136 0.152545 - -0.5 4.968594 1.832589 1.570799 -0.10069 4.71 -5.62394 0.100058 - -0.4 4.941477 1.832591 1.570799 -0.05907 4.71 -5.72887 0.058655 + -0.3 4.905464 1.832593 1.570798 -0.0287 4.71 -5.82606 0.028348 + -0.2 4.862586 1.832595 1.570797 -0.00987 4.71 -5.9072 0.009176 ++ -0.1 4.815381 1.832596 1.570797 -0.00044 4.71 -5.97038 0.001167 ++ 0 5.535249 1.832596 1.570796 0.22891 4.009719 -6.66084 0.000905 ++ 0.1 6.420833 1.832596 1.570796 1.75328 3.407608 -7.50421 0.000905 ++ 0.2 7.11152 1.832597 1.570797 2.855973 3.891277 -6.51506 0.002309 ++ 0.3 7.137167 1.832599 1.570797 2.852514 3.865968 -6.52201 0.013073 + 0.4 7.162709 1.832602 1.570797 2.84823 3.840925 -6.52974 0.034541 + 0.5 7.188099 1.832604 1.570798 2.843056 3.816196 -6.5383 0.066861 + 0.6 7.213287 1.832605 1.570798 2.836926 3.791835 -6.54774 0.110215 - 0.7 7.238218 1.832607 1.570799 2.829773 3.767897 -6.55813 0.164822 - 0.8 7.262836 1.832608 1.570799 2.82153 3.744445 -6.56952 0.23093 - 0.9 7.287076 1.832609 1.570799 2.812137 3.721544 -6.58195 0.308853 - 1 7.310875 1.83261 1.5708 2.801539 3.699261 -6.59548 0.398885 - Chú thích: ++ truyền động tốt, + nặng; - kẹt Nhận thấy rằng chuyển động thuận lợi nhất trong khoảng 11 ( 0.2;0.2)a   vì hàm mục tiêu trong đoạn này đáp ứng tốt nhất, ngoài khoảng đó ra cấu trúc chuyển động kẹt dần do bị cản trở của các khớp trung gian do chúng thiếu giới hạn cơ học. IV. KẾT LUẬN Khảo sát động học các cơ cấu đặc biệt cần có phương pháp đặc biệt, cơ cấu hụt dẫn động như giới thiệu trong bài này được ứng dụng nhiều trong các truyền dẫn tự lựa. Thực tế cho thấy các robot dư dẫn động cũng có thể khảo sát bằng phương pháp và công cụ như trong bài báo này. Phương pháp mà chúng tôi để xuất có thể thích hợp với nhiều cơ cấu khác nhau và không chỉ khảo sát được tính đẳng tốc, nó còn chỉ ra được các giới hạn về góc truyền động giữa hai bán trục chủ động và bị động, đây là một ưu thế mà phương pháp khác không thực hiện được. Do cơ cấu thiếu dẫn động nên không có biện pháp nào để điều chỉnh tốc độ ngõ ra ổn định nếu giữ vận tốc ngõ vào là không đổi. Dựa trên kết quả khảo sát động học có thể nhận Nghiên cứu khoa học công nghệ Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san ACMEC, 07 - 2016 145 biết biên độ thay đổi tốc độ của cơ cấu, giới hạn chuyển hướng không gian, việc có thể ứng dụng được một cơ cấu cụ thể nào đó hay không cần dựa trên cơ sở này. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Seherr-Thoss, H. Chr., Schmelz, F., and Aucktor, E., “Universal Joints and Driveshafts”. Germany: Springer, 2006. [2]. Yaghoubi, M., Mohtasebi, S. S., Jafary, A., and Khaleghi, H.,“Design, Manufacture and Evaluation of a New and Simple Mechanism for Transmission of Power between Intersecting Shafts up to 135 Degrees (Persian Joint).” Mechanism and Machine Theory 46, 2011, 861-7. [3]. Yaghoubi, M., Mohtasebi, S. S., and Jafary, A., “Static and Dynamic Simulation of a New High Deflection Constant-Velocity U-joint (Persian Joint).” Report and Opinion 2, 2010, 41-5. [4]. Long, Pham Thanh., “A New Method to Solve the Reverse Kinematic Robot Problem.” Presented at the International Symposium on Technology for Sustainability, Bangkok, Thailand, 2012. [5]. Nguyen, Hoang., Vi Hoang., Lien, Vu Thi., and Long, Tran The., “Kinematic Analysis of Persian Joint Using 3D Rotation Matrix.” Journal of Environmental Science and Engineering A 2: 770-12, ISSN 2162-5298, 2013. [6]. Rzeppa, “Universal Joint has 40 Deg. Maximum Angularity”. Automotive Industries, vol 63, No. 3, 1930, p. 83/84. [7]. Shapiro, J., “Universal Joints”, in: The Engineers’ Digest, Survey No. 6, 1958 ABSTRACT INVESTIGATING THE CONSTANT-VELOCITY AND THE LIMIT OF CHANGING THE DIRECTION OF TRANSMISSION IN SPACE OF SOME UNIVERSAL JOINTS BY NUMERICAL METHOD A numerical method used to investigate the constant-velocity of low pair joints, capable of changing the direction of transmission in space is presented in this paper. Since displacement of input and output shafts has a relationship with velocity by the derivative, investigating the velocity based on the investigating the displacement of the mechanism. Because the mechanism only has an input and an output, simulating the transmission position and the transmission status like its working can be achieved through establishing conditions for searching the root of the reverse kinematic problem. With that viewpoint, the method presented here can answer exactly about the constant-velocity of mechanisms as well as the variable amplitude of the output velocity as the input velocity is kept stable. Based on the investigating results can lead to the conclusion that some detail mechanism with the transmission changing the direction of transmission in space meets the proposed transmission quality or not, and the maximum transmission angle of the mechanism can meet. Keywords: Univeral joint, Constant-velocity, Reverse kinematic problem. Nhận bài ngày 12 tháng 04 năm 2016 Hoàn thiện ngày 23 tháng 06 năm 2016 Chấp nhận đăng ngày 04 tháng 07 năm 2016 Địa chỉ: Bộ môn Cơ điện tử, Khoa Điện tử - ĐH KTCN, ĐH Thái Nguyên. * Email: kalongkc@gmail.com ; SĐT: 0947.169.291.