Khai thác định lý sin và định lý cosin để giải các bài toán Hình học

1 Khai Thác ðịnh Lý Sin và ðịnh Lý Cosin ðể Giải Các Bài Tốn Hình Học Cao Minh Quang THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, Vĩnh Long Trong chương trình hình học lớp 10, định lý sin và định lý cosin là những những định lý quan trọng và cĩ nhiều ứng dụng. Dựa vào hai định lý cơ bản này, cho phép ta giải nhiều bài tốn hình học hay và khĩ. Bài viết sau đây sẽ thể hiện rõ điều đĩ. Trước hết, ta sẽ làm quen với một số ký hiệu được dùng trong bài viết. Cho tam giác ABC . Ta ký hiệu , ,BC a CA b AB c= = = và gọi R là bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác. Ta cĩ các định lý sau. 1. ðịnh lý cosin và định lý sin. 1.1 ðịnh lý cosin. Trong mọi tam giác ABC , ta đều cĩ 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − hay 2 2 2 cos 2 b c aA bc + − = . Tương tự ta cũng cĩ phát biểu cho các trường hợp cịn lại. ðịnh lý cĩ chứng minh rất đơn giản. Chứng minh. Sử dụng các tính chất của tích vơ hướng, ta cĩ ( ) 22 2 22 2 2a BC BC AC AB AC AB AC AB= = = − = + − =




















 2 2 2 22 . .cos 2 cosAC AB AC AB A b c bc A= + − = + − . Một trường hợp đặc biệt của định lý này là định lý Pythagores khi 090A= , khi đĩ 2 2 2a b c= + . Dựa vào định lý này ta cĩ thể xác định được độ dài cạnh thứ ba của một tam giác sau khi biết độ dài hai cạnh và gĩc xen kẻ. Hoặc cĩ thể xác định số đo các gĩc nếu biết độ dài các cạnh. 1.2 ðịnh lý sin. Trong mọi tam giác ABC , ta đều cĩ 2 sin sin sin a b c R A B C = = = . Chứng minh. Gọi O là tâm của đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC . Ta chỉ cần chứng minh một đẳng thức, chẳng hạn 2 sina R A= . Ta sẽ xét ba trường hợp. (i) 090A= . Khi đĩ 2 2 sina BC R R A= = = . (ii) 090A< . Khi đĩ, dễ dàng kiểm tra được điểm O nằm trong tam giác ABC . Dựng đường kính ' 2BB R= . Trong tam giác 'BB C , ta cĩ  2 sin ' 2 sina BC R BB C R BAC= = = (vì  'BAC BB C= ). (iii) 090A> . Khi đĩ, điểm O nằm ngồi tam giác ABC . Dựng đường kính ' 2BB R= . Trong tam giác 'BB C , ta cĩ  2 sin ' 2 sina BC R BB C R BAC= = = (vì   0' 180BAC BB C+ = ). Tiếp theo, ta sẽ cùng tham khảo một số ví dụ minh họa cho việc ứng dụng các định lý sin và định lý cosin. Trong những lời giải này, cịn kết hợp thêm một số cơng cụ đại số như tính chất nghiệm của đa thức bậc 2, bậc 3, các cơng thức lượng giác cơ bản … Và lưu ý rằng, trong một số bài tốn định tính như: chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau, chứng minh sự thẳng hàng, song song, vuơng gĩc …; các bài tốn định lượng như xác định độ lớn của gĩc … thì ta cĩ thể chuẩn hĩa độ dài cạnh nào đĩ (cĩ độ dài 1) để lời giải bài tốn trở nên đơn giản hơn. 2. Một số bài tốn 2 Bài 1. Cho tam giác ABC . Ta ký hiệu ,a am l là độ dài đường trung tuyến và đường phân giác xuất phát từ đỉnh A . Hãy tính ,a am l theo , ,a b c . Lời giải. Giả sử M là trung điểm của đoạn thẳng BC và D là chân đường phân giác của gĩc A . M A B CD Áp dụng định lý cosin cho tam giác ABM , ta cĩ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22. . .cos 2. . . 4 2 2 2 4a a a a c b b c a m AM BA BM BA BM B c c ac + − + = = + − = + − = − . Vì AD là đường phân giác nên BD BA CD CA = hay BD BA BC CA BA = + hay .BC BA acBD CA BA b c = = + + . Do đĩ, áp dụng định lý cosin cho tam giác ABD , ta được ( ) ( ) 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 22. . .cos 2. . . 2a bc b c aac ac a c bl AD BA BD BA BD B c c b c b c ac b c  + −   + −  = = + − = + − =  + + + . Vậy 2 2 2 2 4a b c a m + = − và ( ) 2 2 a bc b c a l b c  + −  = + . Nhận xét. Trong lời giải này ta chỉ cần sử dụng định lý cosin, trong khi sách giáo khoa cũng như một số tài liệu tham khảo khác đã sử dụng các tính chất của vector để tính ,a am l , gây ít nhiều khĩ khăn cho học sinh. Bài tốn 2. Cho tam giác ABC cĩ đoạn thẳng đoạn nối trung điểm của AB và BC bằng 3, cạnh 7AB= và 060C = . Hãy tính cạnh BC . M N A C B Lời giải. ðặt ( 0)x BC x= > . Vì 3MN = nên 6AC = . Áp dụng định lý cosin, ta cĩ 2 2 2 2. . .cosAB CA CB CACB C= + − hay 249 36 6x x= + − hay 3 22x= ± . Vì 0x> nên ta phải cĩ 3 22x= + hay 3 22BC = + . Nhận xét. Lời giải này đã sử dụng định lý cosin khéo léo kết hợp với việc giải phương trình bậc hai, một phương pháp khá lạ đối với học sinh. Bài tốn 3. Cho tam giác ABC vuơng tại B . Kéo dài AC về phía C một đoạn 1CD AB= = . Giả sử  030CBD= . Tính AC . Lời giải. ðặt AC x= . 3 A B C D Trong tam giác ABD , ta cĩ ( ) ( ) 22 2 2 12. . .cos 1 1 2 1 .BD AB AD AB AD A x x x = + − = + + − + Áp dụng định lý sin cho tam giác BCD , ta cĩ  sin sin BD CD BCD CBD = hay  0 1 1 .sin 2sin 2. sin30 BD BCD BCA x = = = . Từ đĩ ta được phương trình ( ) ( ) ( )( )2 4 3 3 32 1 41 1 2 1 . 2 2 4 0 2 2 0 2x x x x x x x x x x + + − + = ⇔ + − − = ⇔ − + = ⇔ = . Vậy 3 2AC = . Nhận xét. ðây là một bài tốn rất hay và cĩ lời giải ấn tượng, cĩ sự kết hợp cả định lý cosin, định lý sin và yếu tố đại số (phương trình bậc 4). Bài tốn 4. Cho các số thực dương , , , , ,x y z a b c sao cho 2 2 2 2 2 2,x xy y a y yz z b+ + = + + = và 2 2 2z zx x c+ + = , đặt 2 a b cp + += . a) Chứng minh rằng ( )( )( )4 3 p p a p b p c xy yz zx − − − + + = . b) Chứng minh rằng 2 22 2a xy c xz b− + − ≥ . ðẳng thức xảy ra khi nào? Lời giải. a) Dựng các đoạn thẳng , ,OA OB OC lần lượt cĩ độ dài là , ,z x y và đơi một hợp với nhau một gĩc là 0120 . A B C O Áp dụng định lý cosin cho tam giác BOC , ta cĩ 2 2 2 2 2 22 . .cosBC OB OC OB OC BOC x y xy a= + − = + + = . Do đĩ BC a= . Tương tự, ta chứng minh được ,CA b AB c= = . Với 2 a b cp + += , ta cĩ ABC AOB BOC COAS S S S= + + , tức là ( )( )( ) ( )0 1 sin120 2 p p a p b p c xy yz zx− − − = + + hay ( )( )( )4 3 p p a p b p c xy yz zx − − − + + = . 4 b) Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại dưới dạng 2 2 2 2 2 2x y xy x z xz y z yz+ − + + − ≥ + + . Dựng các đoạn thẳng , ,IA IB IC lần lượt cĩ độ dài là , ,y x z sao cho   0 0 060 , 60 , 120AIC CIB AIB= = = . I A B C Áp dụng định lý cosin cho tam giác IAC , ta cĩ 2 2 2 2 22. . .cosAC IA IC IA IC AIC y x yx= + − = + − hay 2 2AC x y xy= + − . Tương tự, ta cũng chứng minh được 2 2 2 2,CB x z xz AB y z yz= + − = + + . Theo bất đẳng thức tam giác, ta cĩ AC CB AB+ ≥ hay 2 2 2 2 2 2x y xy x z xz y z yz+ − + + − ≥ + + . ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi điểm C thuộc đoạn thẳng AB , hay 0 0 01 1 1 1 1 1sin120 sin 60 sin 60 2 2 2IAB IAC ICB S S S yz yx xz x y z = + ⇔ = + ⇔ = + . Nhận xét. ðây là một bài tốn hình học ẩn dưới dạng đại số. Dựa trên các đẳng thức của bài tốn, chẳng hạn 2 2 2x xy y a+ + = , đã giúp ta định hướng lời giải bằng cách dựng các đoạn thẳng như đã trình bày. Bài tốn 5. [Bruce Shawyer, Memorial University of Newfoundland, St. John’s, NL] Cho đường trịn tâm O , bán kính r , A , B là các điểm nằm trên đường trịn sao cho  060AOB= . Một hình vuơng MNPQ cạnh s nội tiếp trong hình quạt AOB sao cho hai đỉnh ,M N nằm trên ,OA OB , hai đỉnh ,P Q cịn lại nằm trên cung AB . Hãy xác định tỷ số s r . Lời giải. I O B A M N P Q J Gọi J là trung điểm PQ . Dễ thấy rằng OJ và IJ cùng vuơng gĩc với PQ , do đĩ , ,O I J thẳng hàng. Các tam giác ,OMI ONI bằng nhau nên OM ON= , suy ra tam giác OMN là tam giác đều, do đĩ ON MN s= = . Áp dụng định lý cosin cho tam giác OIP , ta được  ( )2 2 2 2 2 2 2 0 22. . .sin 2 cos150 2 3r OP NO NP NO NP ONP s s s s= = + − = + − = + . Vậy 1 2 3 2 3 s r = = − + . 5 Bài tốn 6. [Bruce Shawyer, Memorial University of Newfoundland, St. John’s, NL] Cho tám đường trịn nhỏ cĩ bán kính bằng nhau, chúng tiếp xúc với nhau từng đơi một và cùng tiếp xúc ngồi với đường trịn bán kính 1. Hãy xác định bán kính của các đường trịn nhỏ. Lời giải. Gọi O là tâm của đường trịn bán kính 1 và iO là tâm của đường trịn nhỏ thứ , 1,...,8i i= . Kí hiệu r để chỉ bán kính của đường trịn nhỏ. Ta để ý rằng    0 0 1 2 2 3 8 1 360 ... 45 8 O OO O OO O OO= = = = = . Áp dụng định lý cosin cho tam giác 1 2OO O , ta được 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 22. . .cosO O OO OO OO OO O OO= + − hay ( )( ) ( )( )22 2 24 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 r r r r r − = − + ⇔ = − + ⇔ = − − . Bài tốn 7. [Toshio Semiya, Kawasaki, Japan] Cho tam giác ABC sao cho  2ABC ACB= và  090BAC> . ðường thẳng vuơng gĩc với đường thẳng AC tại C cắt đường thẳng AB tại D . Chứng minh rằng 1 1 2 AB BD BC − = . Lời giải. ðặt ACB x= . Khi đĩ     2 , 3 , 3 , , 3 2 2 ABC x DAC x BAC x BCD x BDC xπ ππ= = = − = + = − . Áp dụng định lý sin cho các tam giác ,ABC BCD , ta nhận được     ( ) sin 3 sin 3sin sin sin3 cos32 sin sin cossin sin sin 2 x xBC BC BAC BDC x x AB BD x x xACB BCD x π π π   −  −   − = − = − = − =   +    ( )sin 3sin3 cos cos3 sin 2 sin cos sin cos x xx x x x x x x x −− = = = . Nhận xét. Bài tốn này thuần túy là hình học, nhưng giữa các gĩc cĩ mối quan hệ với nhau. Ta đã sử dụng định lý sin để chuyển các quan hệ này về yếu tố lượng giác, thêm một chút phép biến đổi cho ta lời giải khá hay. Các ví dụ tiếp theo dựa trên ý tưởng khá đơn giản là chuẩn hĩa độ dài cạnh. 6 Bài tốn 8. [Babis Stergiou, Chalkida, Greece] Cho tam giác ABC cân tại A , 0100A= . Giả sử P là một điểm trong tam giác sao cho  020PBC = ,  030PCB= . Chứng minh rằng BP BA= . A B C P Lời giải. Khơng mất tính tổng quát, ta cĩ thể giả sử 1AB AC= = . Áp dụng định lý cosin cho tam giác ABC , ta cĩ 2 2 2 0 22 . .cos 2 2cos100 4sin 50BC AB AC AB AC A= + − = − = hay 02sin 50BC = . Mặt khác, áp dụng định lý sin cho tam giác BPC , ta cĩ  sin sin BP BC BCP BPC = hay 0 0sin30 sin130 BCBP= . Từ đĩ ta cĩ 0 0 0 0 2sin50 sin30 2sin 30 1 sin130 BP= = = . Do đĩ, 1BP AB= = . Nhận xét. Yêu cầu bài tốn liên quan đến yếu tố định tính, là BP BA= , nhưng bằng phương pháp chuẩn hĩa độ dài cạnh, ta đã chuyển sang định lượng, giả sử 1AB= và chứng minh 1BP= . Bài tốn 9. [D.J. Smeenk, Zalbommel, the Netherlands] Cho tam giác ABC cân tại A và 0100A= . Giả sử P là một điểm thuộc phần kéo dài của đoạn thẳng AB về phía B sao cho AP BC= . Hãy tính APC . Lời giải. A C P B Khơng mất tính tổng quát, ta cĩ thể giả sử 1AB AC= = . Áp dụng định lý cosin cho tam giác ABC , ta cĩ 2 2 2 0 22 . .cos 2 2cos100 4sin 50BC AB AC AB AC A= + − = − = Suy ra 2AP BC x= = , trong đĩ 0sin50x= . Áp dụng định lý cosin cho tam giác ACP , ta cĩ ( )2 2 2 0 2 3 22. . .cos100 1 2 2.2 1 2 8 4 4 1CP AC AP AC AP x x x x x x= + − = + − − = + − + . Tiếp tục áp dụng định lý cosin cho tam giác ACP , ta cĩ  2 2 2 2 3 2 2 2 1 cos 2. . 8 4 4 1 PA PC AC x xAPC PA PC x x x + − + − = = + − + . Ta để ý 0 3 0 0 13sin 50 4sin 50 sin150 2 − = = , vì vậy x là nghiệm thực dương của phương trình 38 6 1 0x x− + = . 7 Do đĩ,  ( ) 22 4 3 3 2 3 2 2 2 1 4 8 4 1 cos 8 4 4 1 8 4 4 1 x x x x xAPC x x x x x x + − + − + = = = + − + + − + ( )( ) ( ) ( ) 3 2 31 2 3 2 2 2 23 2 1 8 6 1 3 3 3 4 2 28 6 1 4 2 x x x x x x x x xx x x x + − + + + + = = = +− + + + . Từ đĩ suy ra  030APC = . Nhận xét. ðây là một ví dụ tiêu biểu, lời giải cĩ sự kết hợp định lí cosin, yếu tố lượng giác và đại số cùng với phương pháp chuẩn hĩa độ dài cạnh. Cuối cùng là một số bài tập tự luyện dành cho bạn đọc Bài 1. Ba cạnh của một tam giác cĩ độ dài lần lượt là 2 1,2 1x x x+ + + và 2 1x − . Hãy định x để tam giác tồn tại, và trong trường hợp đĩ, chứng minh rằng cĩ một gĩc của tam giác bằng 0120 . Bài 2. [Bruce Shawyer, Memorial University of Newfoundland, St. John’s, NL] Cho chín đường trịn nhỏ đều cĩ bán kính bằng 1 2 , chúng cùng tiếp xúc với đường trịn bán kính 1 và tiếp xúc với nhau từng đơi một, nhưng đường trịn đầu tiên và đường trịn cuối cùng khơng tiếp xúc nhau.Hãy xác định khoảng cách giữa hai tâm của hai đường trịn khơng tiếp xúc này. Bài 3. [Bruce Shawyer, Memorial University of Newfoundland, St. John’s, NL] Cho đường trịn tâm O ; A , B là các điểm nằm trên đường trịn sao cho  045AOB= . Một hình vuơng MNPQ nội tiếp trong hình quạt AOB sao cho hai đỉnh ,M N nằm trên ,OA OB , hai đỉnh ,P Q cịn lại nằm trên cung AB . Biết rằng diện tích của hình vuơng MNPQ là a b c d + , trong đĩ , , ,a b c d đều là các số nguyên. Hãy xác định , , ,a b c d . Bài 4. ðiểm O chia đoạn thẳng AB thành các đoạn 6OA= và 4OB= . Dựng đường trịn tâm O sao cho từ A và B dựng được hai tiếp tuyến với nĩ cắt nhau tại M . Biết rằng 12OM = và các tiếp điểm nằm về một phía đối với cạnh AB . ðặt BOMϕ= . Tính ϕ và bán kính đường trịn tâm O . Bài 5. Cho hình chữ nhật ABCD sao cho 3AB AD= . Trong hình chữ nhật này lấy điểm M sao cho 2, 2, 4 2AM DM BM= = = . Tính BAM và diện tích hình chữ nhật ABCD . Bài 6. Hai tam giác ABC , ' ' 'A B C cĩ  0 0' ', ' ', 60 , ' ' ' 120AB A B AC A C BAC B A C= = = = . Biết rằng ' 'B C n BC = , trong đĩ n là một số nguyên dương lớn hơn 1. Hãy tính AB AC . Bài 7. [Virgil Nicula, Bucharest, Romania] Cho ABCD là một hình thang sao cho AB CD , AD CD= và AC BC= . Gọi E là giao điểm của AC và BD . Ký hiệu , ,x y z lần lượt là số đo của các gĩc , ,ABC BDC AED . Chứng minh rằng 0 2 2 tan 2sin sin 330 , tan , tan 3 tan 2cos cos3 x x xy y z x x x + ≤ = = + + . Tài liệu tham khảo [1] Crux Mathematicorum with Mathematical Mayhem, Vol 31, 2005; Vol 33, 2007 [2] Trần Thành Minh, Trần Quang Nghĩa, Nguyễn Ái Quốc, Nguyễn Anh Trường, “Giải tốn hình học 10 (dùng cho học sinh lớp chuyên), NXB Giáo Dục”, 1995. [3] Minh Trân, “130 bài tốn chọn lọc (từ các tạp chí tốn học của Nga)”, NXB ðà Nẵng, 1997 [4] Vũ Dương Thụy, Nguyễn Văn Nho, “40 năm Olympic Tốn Học Quốc Tế”, NXBGD, 2001.