Kết hợp mô hình mờ và công thức tách biến Galerkin để mô hình hóa quá trình truyền nhiệt trong vật nung dày

Nghiên cứu khoa học cơng nghệ Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 44, 08 - 2016 23 KẾT HỢP MƠ HÌNH MỜ VÀ CƠNG THỨC TÁCH BIẾN GALERKIN ĐỂ MƠ HÌNH HĨA QUÁ TRÌNH TRUYỀN NHIỆT TRONG VẬT NUNG DÀY Nguyễn Việt Dũng* Tĩm tắt: Bài báo giới thiệu một phương pháp mơ tả sự phân bố nhiệt độ trong vật nung dày mà khơng cần phải chia lớp dày của vật nung theo chiều ngang. Phương pháp này là sự kết hợp giữa cơng thức tách biến Galerkin vẫn thường được sử dụng để chuyển hàm hai biến thành tổng tuyến tính của tích các hàm một biến, với lý thuyết mờ để xác định trực tuyến các tham số mơ hình phân bố nhiệt thu được. Mơ hình tốn về phân bố nhiệt trong vật nung dày cịn được bài báo biểu diễn dưới dạng sơ đồ khối, rất tiện cho việc quan sát nhiệt độ trong vật nung trong điều khiển. Kết quả mơ phỏng cũng đã xác nhận khả năng ứng dụng tốt vào thực tế của mơ hình này. Từ khĩa: Tách biến Galerkin, Mơ hình mờ, Truyền nhiệt, Vật nung dày. 1. ĐẶT VẤN ĐỀ Cĩ hai loại mơ hình cơ bản trong mơ tả lị nung là mơ hình tồn diện (comprehensive) và mơ hình rút gọn (reduced). Mơ hình tồn diện thường được sử dụng để nghiên cứu chi tiết bản chất vật lý của lị nung, sự phân bố năng lượng nhiệt trong lị và phân bố nhiệt trong vật nung thơng qua mơ phỏng, dự đốn. Mơ hình rút gọn thường chỉ tập trung mơ tả hiện tượng bức xạ nhiệt trong lị và truyền nhiệt trong vật nung, nên nĩ là mơ hình được dùng trong điều khiển [1, 3, 7, 8, 9, 10]. Như vậy, để cĩ được mơ hình đối tượng phục vụ cơng việc thiết kế bộ điều khiển sau này, ta cần cĩ mơ hình truyền nhiệt trong vật nung. Do ( , , , )T t x y z phụ thuộc vào cả thời gian và khơng gian nên phương trình mơ tả động học sự phân bố nhiệt độ ( , , , )T t x y z trong vật nung sẽ cĩ dạng một phương trình đạo hàm riêng nhiều lớp theo các biến , , ,t x y z . Điều này, trong thực tế, đã hạn chế khả năng sử dụng nĩ vào cơng việc phân tích và điều khiển lị nung. Với mong muốn cĩ được một mơ hình đơn giản dưới dạng phương trình vi phân thường, người ta đã chia lớp bài tốn mơ hình hĩa lị nung thành các bài tốn con cĩ kèm theo những giả thiết cho phép [1, 7, 8, 9]. Bài báo này trình bày một phương pháp mơ hình hĩa sự phân bố nhiệt độ trong vật nung theo chiều dày y , tức là mơ tả hàm ( , )T t y nhờ cơng thức Galerkin và lý thuyết tập mờ. 2. MƠ HÌNH HĨA QUÁ TRÌNH TRUYỀN NHIỆT Để xây dựng mơ hình truyền nhiệt và quá trình phân bố nhiệt trong vật nung dày, ta sẽ chia nhỏ cấu tạo hình học lị và vật nung theo tọa độ 3 chiều , ,x y z thành từng lớp, sau đĩ, mơ hình hĩa quá trình truyền và bức xạ nhiệt trong các lớp nhỏ này dưới dạng hệ phương trình vi phân thường [1, 7]. Như vậy, mơ hình tốn của lị và vật nung sẽ ở dạng gồm nhiều hệ phương trình vi phân thường cĩ các tham số phụ thuộc tọa độ , , , 1, 2, ,j j jx y z j N  , trong đĩ, N là số các lớp. Hình 1 dưới Kỹ thuật điều khiển & Điện tử N. V. Dũng, “Kết hợp mơ hình mờ trong vật nung dày.” 24 đây minh họa cách thức chia lớp để xây dựng mơ hình rút gọn. Điều khác biệt so với việc chia lớp ngang trước đây để cĩ được mơ hình phương trình vi phân thường trong một lớp là ở đây, các lớp được chia khơng cần phải rất mỏng để cĩ thể giả thiết rằng nhiệt độ sẽ được phân bố đồng đều trong lớp đĩ. Nĩi cách khác, sau khi chia lớp vật nung lần này, nhiệt độ vẫn cịn bị phân bố theo chiều dày của lớp. Phần vật nung thứ j được cấp nhiệt phía trên và dưới bởi các dịng nhiệt đầu vào ,j jq q   . Ba hướng dịng nhiệt phân bố trong phần vật nung này được ký hiệu lần lượt bởi ( , ), ( , ), ( , )jx jy jzq t x q t y q t z và nhiệt độ tuyệt đối của phần vật nung đĩ cũng được ký hiệu là ( , , , )jT t x y z . Đây là các hàm phụ thuộc thời gian t và vị trí phân bố chi tiết , ,x y z với khoảng dao động trong phần vật nung thứ j : 2 2, 2 2, 2 2j j j j j j j j j j j jx L x x L y D y y D z W z z W           (1) Với việc chia lớp như trên thì cơng việc xây dựng mơ hình truyền nhiệt trong tồn bộ vậy nung dày sẽ được chuyển về mơ hình hĩa truyền nhiệt cho từng lớp vật nung cĩ kích thước lần lượt là , ,j j jL W D (hình 1). Số lớp chia N đảm bảo sao cho các dịng nhiệt đầu vào ,j jq q   mỗi lớp thứ j theo chiều x nhận được là như nhau. 2.1. Sử dụng cơng thức tách biến Galerkin để mơ tả quá trình truyền nhiệt Xét lớp thứ j , tức là phần vật nung, tính từ vị trí (hình 1): 2, 2, 2j j j j j jx L y D z W   tới vị trí 2, 2, 2j j j j j jx L y D z W   và để ngắn gọn, sau đây ta sẽ viết  ( , ), ( , ), ( , ) , T jx jy jz jj q q t x q t y q t z T thay vì ( , ), ( , ), ( , )j j jq t x q t y q t z và ( , , , )jT t x y z . Theo [1,3] thì giữa jq và jT tồn tại quan hệ của định luật khuếch tán như sau: ( )j j jjq T T   (2) trong đĩ:  là ký hiệu của phép tính vector gradient hàm vơ hướng, ( )j jT là hệ số truyền nhiệt phụ thuộc nhiệt độ jT và:  0 ( ) ( ) ( )j jj j j j j j j j jj T T c T q c T T T t t             (3) với j là khối lượng riêng và ( )j jc T là nhiệt dung riêng của phần vật nung thứ j . jz jq  jq  jW jL jDj Ty x z Hình 1. Chia lớp mơ hình vật nung dày. Nghiên cứu khoa học cơng nghệ Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 44, 08 - 2016 25 Tuy nhiên, trong thực tế, so với vật nung lị nung là vơ cùng rộng và tỷ lệ kích thước vật nung , à j j j jL D v W D cho nên khi chia lớp người ta luơn chia phần vật nung j là đủ nhỏ sao cho giá trị nhiệt độ ( , , , )jT t x y z cĩ thể xem là khơng đổi theo hai chiều , x z trong phần vật nung đĩ và chỉ thay đổi theo y , là chiều bị tác động trực tiếp bởi hai dịng nhiệt đầu vào ,j jq q   . Trong trường hợp như vậy , j jyT q chỉ cịn là hàm hai biến ( , ), ( , )j jT t y q t y và hai cơng thức (2), (3) cho ở trên, trong trường hợp một chiều y sẽ trở thành: ( ) 0 ( ) ( ) ( ) j j jj j j j j j j j j j j j j T q T y T q T T c T c T T t y t y y                           (4) với biến y nay được chuẩn hĩa giá trị thuộc khoảng 2 2j jD y D   . Hệ trên cĩ hai tín hiệu đầu vào là: 2( ) ( , )jj j Dq t q t   và 2( ) ( , ).jj j Dq t q t   Một khĩ khăn cơ bản khi sử dụng mơ hình (4) vào điều khiển lị nung là bản thân nĩ lại là một hệ phương trình vi phân đạo hàm riêng. Để giải quyết được khĩ khăn này, người ta đã sử dụng phép tách biến hàm hai biến ( , )jT t y thành tổng tuyến tính của tích các hàm một biến nhờ cơng thức thay thế Galerkin như sau [4]: , , 1 ( , ) ( ) ( ) H j j i j i i T t y x t h y    (5) trong đĩ: ,1 ,( ), , ( )j j Hh y h y là H hàm cơ sở và ,1 ,2 ,( ), ( ), , ( )j j j Hx t x t x t là các tham số phụ thuộc thời gian của ( , )jT t y . Sử dụng tiếp ký hiệu vector hàm:     ,1 ,2 , ,1 ,2 , ( ) ( ), ( ), , ( ) ( ) ( ), ( ), , ( ) T j j j Hj T j j j Hj x t x t x t x t h y h y h y h y     thì phép tách biến Galerkin (5) sẽ viết lại thành tích vơ hướng của hai vector đĩ: , ( , ) ( ) ( ) T j jj h jT T t y h y x t  (6) Thay (6) vào (4) ta cĩ:  /, ,( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0T Tj j j h j j hj j j jdc T h y x t T x t h ydy   (7) với / ( )jh y là ký hiệu của đạo hàm / ( ) ( )jjh y dh y dy . Mặc dù trong cơng thức (7) khơng cịn phép tính đạo hàm riêng, song lại vẫn chứa các hàm ( , ), ( , )j jc t y t y của hai biến , t h nên việc xác định được nghiệm tường minh ( )jx t là khơng đơn giản. Để khắc phục, ta sử dụng giá trị trung bình Kỹ thuật điều khiển & Điện tử N. V. Dũng, “Kết hợp mơ hình mờ trong vật nung dày.” 26 , ,, , ( ), ( ) j i j ij h j h c t t của ( , ), ( , )j jc t y t y tính theo biến y trong tồn bộ thể tích phần vật nung thứ j . Để xác định giá trị trung bình xây dựng trên nền ánh xạ vào trường số thực của hai hàm , ,( ), ( )j i j kh y h y cấu trúc sau [4]: 2 , , , , 2 ( , ) ( ) ( ) j j D j i j k j i j k D a h h h y h y dy    (8) Khi đĩ, ta sẽ cĩ: , , , , ( , ) ( ), ( , ) ( , ) ( ), j i j j i j j h j j i T t y a h y c t y t c T t y a h y t            , , , , , ( , ) ( ), ( , ) ( , ) ( ), j i j j i j j h j j i T t y a h y t y t T t y a h y t              (9) Thay các giá trị trung bình (9) ngược vào mơ hình (7), trong đĩ biến ( , )jT t y cĩ mặt trong (9) lại được xấp xỉ bởi ,j hT từ (5), sử dụng ba hàm cơ sở giới thiệu bởi các tài liệu [1, 2, 7]: 2 ,1 ,2 ,3 2 2 1 ( ) 1, ( ) , ( ) 3 j j j j j y y h y h y h y D D          (10) ta sẽ được mơ hình truyền nhiệt dạng song tuyến của phần vật nung thứ j như sau: ( ) ( )j jj j j j jx A x x B x u  (11) trong đĩ:   ( ) , ( ) T j jju q t q t   là vector hai tín hiệu đầu vào. (12)   ,1 ,2 ,3( ) ( ) , ( ) , ( ) T j j jjx t x t x t x t là vector biến trạng thái, chúng mơ tả lần lượt các đại lượng nhiệt độ trung bình của vật nung, thành phần khơng đối xứng của , ( , )j hT t y và nhiệt độ tức thời khơng đồng đều trong vật.   ,2 ,3 ,2 ,3 , , 2 2 , , 12 ( )12 ( ) 0 , , 5 0 , 1 , 5 ( ) j j j j j h j h jj j j h j h jj j j j j x A x diag diag c cD c x D                (13) là ma trận hệ thống.  ,1 ,1 ,2 ,2 ,3 ,3 , , , , , , 1 1 1 1 1 3 3 1 ( ) 3 3 ( ) 15 2 15 2 15 15 2 2 j j j j j j j h j h j jj j j h j h j j j j h j h c c B x D c c c x D c c                                (14) là ma trận điều khiển. Nghiên cứu khoa học cơng nghệ Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 44, 08 - 2016 27      , , ,1 , ( ), ( ) , j j h j h j j j j h a c T T c x a h T  và , , , ,1 ( ), ( ) , j h j j h jj j h j T a T y x T a h y               (15) là hai tham số truyền nhiệt của mơ hình. Tương ứng, hai tín hiệu ra của hệ (11) sẽ là: ,1 ,2 ( , 2) 1 1 2 3 ( , 2) 1 1 2 3 j j j jj j j j y T t D y x y T t D                    (16) 2.2. Mờ hĩa tham số truyền nhiệt Như vậy, các bước cần tiến hành khi sử dụng cơng thức tách biến Galerkin để mơ hình hĩa quá trình truyền nhiệt trong vật nung thành dạng song tuyến (11): 1. Chia nhỏ vật nung thành các phần 1, 2, ,j N  dọc theo chiều z sao cho cĩ thể xem sự phân bố nhiệt độ ( , , , )T t x y z trong từng phần vật nung đĩ theo chiều z là khơng đổi. Khi đĩ, sẽ cĩ ( , , , ) ( , , )jT t x y z T t x y . 2. Giả thiết sự thay đổi nhiệt độ ( , , )jT t x y trong phần vật nung thứ j cũng là khơng đổi theo chiều x . Như vậy nhiệt độ trong phần vật nung thứ j sẽ chỉ cịn là hàm của hai biến số ( , )jT t y . 3. Sử dụng cơng thức tách biến Galerkin (5) với ba hàm cơ sở (10) để xấp xỉ ( , )jT t y thành ,j hT . 4. Xác định các tham số truyền nhiệt phụ thuộc trạng thái ( ), ( )j jj jc x x theo các cơng thức (15) và (8). 5. Xác định ma trận hệ thống ( )jA x theo (13) và ma trận điều khiển ( )jB x theo (14). 6. Tính đầu ra theo (16). Tuy nhiên, khi thực hiện các bước trên, đặc biệt là bước 4, cần phải cĩ mơ tả tường minh hàm ( ), ( )j j j jc T T cho hai tham số truyền nhiệt ( ), ( )j j j jc T T . Song đây cũng là điều mà trong nhiều tài liệu cịn thiếu, nĩ mới chỉ thường được cung cấp ở dạng đồ thị thực nghiệm, ví dụ như các đồ thị thực nghiệm trong tài liệu [1]. Nhằm khắc phục hạn chế trên, ta sẽ sử dụng mơ hình mờ để xây dựng hai cơng thức tường minh mơ tả tham số truyền nhiệt ( ), ( )j j j jc T T từ các đồ thị thực nghiệm của ( ), ( )j j j jc T T lấy từ tài liệu [1]. Để làm được điều này, trước tiên, ta xấp xỉ hai cơng thức cho ở (15) với: , , , ,( , ) ( ) ( )j i j k j j i j ka h h D h y h y lấy từ (8), như sau:     , , , , ,1,1 , ( ), ( ) ( ) ( ) , j j h j h j j h j j j hj jj j h a c T T c T c x c T ha h T    Kỹ thuật điều khiển & Điện tử N. V. Dũng, “Kết hợp mơ hình mờ trong vật nung dày.” 28 và , , , , ,1, ,1 ( ), ( ) ( ) ( ) , j h j j h j j h jj j j h jj h j T a T y T x T hT a h y                   Khi đĩ, các ma trận tham số ( ), ( )j jj jA x B x của mơ hình (11) trở thành:  , 2 , 12 ( ) ( ) 0 , 1 , 5 ( ) j j h j j j j h j T A x diag c T D     , , 1 1 1 ( ) 3 3 ( ) 15 2 15 2 j j j j h j B x c T D          (17) Cuối cùng, để cĩ , ,( ), ( )j j h j j hc T T từ đường thực nghiệm đối với vật nung dày là phơi thép tấm (0,1%C) cho ở tài liệu [1], phục vụ việc xác định tham số ( ), ( )j jA x B x của mơ hình (11) theo (17), trong đĩ, ,j hT được tính từ vector trạng thái  ,1 ,2 ,3 , , T j j jjx x x x nhờ cơng thức Galerkin cùng bộ cơ sở (10), tức là: 2 , ,1 ,2 ,3 2 2 1 3 T j h j j jj j j j y y T h x x x x D D               (18) ta sẽ sử dụng cơng cụ xấp xỉ vạn năng của lý thuyết tập mờ như sau [6]: 1. Mờ hĩa tín hiệu vào ra , , , j h j jT c  với các tập mờ cho ở hình 2. 2. Luật hợp thành: Cho j : Nếu ,j h jT T thì j jlamda  ứng với ,j  1,2, 9 và các tập mờ đầu ra là hằng số, tức là: lamda  [60 , 57.5 , 47.5 , 37.5 , 30 , 25 , 27 , 28 , 35] Cho jc : Nếu ,j h jT T thì j jc C ứng với ứng với ,j  1,2, 12 và các tập mờ đầu ra là hằng số: j C  [0.4 , 0.5 , 0.5, 0.6 , 0.7 , 1.8 , 1.8 , 0.6 , 1 , 1 , 0.6 , 0.8] 3. Giải mờ theo phương pháp điểm trọng tâm. Hai hệ mờ trên sẽ cho ra đường đặc tính phi tuyến mơ tả quan hệ các tham số truyền nhiệt , ,( ), ( )j j h j j hc T T phụ thuộc , ( , )j h jT T t y như ở hình 3. Hình 2. Mờ hĩa các tín hiệu , , , j h j jT c  . Nghiên cứu khoa học cơng nghệ Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 44, 08 - 2016 29 Hình 3. Đặc tính của các hệ mờ mơ tả tham số truyền nhiệt của phơi thép (0,1%C). 2.3. Kết quả mơ phỏng Vật nung dày trong mơ phỏng sử dụng mơ hình thép tấm (0,1%C) giả thiết đồng nhất về mặt vật lý, cĩ khối lượng riêng ρ = 7000 kg/m3, chiều dày D = 0,5m, hệ số bức xạ nhiệt hai mặt trên và dưới lần lượt là ε+=0,75 và ε- =0,65. Giá trị bức xạ nhiệt bề mặt dưới nhỏ hơn mặt trên vì ảnh hưởng của cơ cấu đỡ vật nung. Hệ số bức xạ của phần tường lị bao quanh vật nung thứ j là εw +=0,7 và εw - =0,7. Vật nung được gia nhiệt với nguồn nhiệt bức xạ cĩ nhiệt độ: w ( ) 1600T t K   và w ( ) 300T t K   . Dựa vào mơ hình truyền nhiệt (11) và bộ điều khiển mờ xấp xỉ vạn năng tạo ra các hàm , ,( ), ( )j j h j j hc T T ta hồn tồn xác định được giá trị nhiệt độ ( , )jT t y phân bố theo chiều dày bên trong phần vật nung thứ j này tại từng vị trí y bất kỳ thuộc khoảng 2 2j jD y D   nhờ cơng thức Galerkin (6). Sơ đồ hệ mơ phỏng cho cơng việc xác định nhiệt độ ( , )jT t y phân bố theo thời gian t và khơng gian y trong lớp vật nung thứ j được biểu diễn ở hình 4. Sử dụng sơ đồ này để xây dựng mơ hình mơ phỏng ta thu được các kết quả như sau: Hình 4. Sơ đồ khối của mơ hình phân bố nhiệt độ trong vật nung. Kỹ thuật điều khiển & Điện tử N. V. Dũng, “Kết hợp mơ hình mờ trong vật nung dày.” 30 Hình 5. Phân bố nhiệt độ theo chiều dày trong lớp vật nung thứ j . Hình 6. Chênh lệch nhiệt độ hai mặt trên - dưới của lớp vật nung thứ j . Từ đồ thị kết quả mơ phỏng ở trên ta nhận thấy mơ hình truyền nhiệt trong vật nung cho ở cơng thức (11) với các hệ số truyền nhiệt ( ), ( )j jA x B x xác định theo (17) trong khơng gian tách biến Galerkin (18), tức là mơ hình biểu diễn theo sơ đồ khối cho ở hình 4 hồn tồn khớp với bản chất vật lý của quá trình truyền nhiệt. Cụ thể là khi vật nung được gia nhiệt bởi hai nguồn bức xạ nhiệt khác nhau, sự chênh lệch nhiệt độ hai mặt trên và dưới là giảm dần theo thời gian, nhiệt độ trong tâm của vật tại lớp vật nung thứ j là tăng dần. So với các phương pháp trước đây như sai phân hữu hạn (sai phân lưới) ta thấy rõ sự chênh lệch nhiệt độ giữa các lớp trong vật nung dày thể hiện rõ rệt hơn và tính phi tuyến của các tham số nhiệt vật lý của vật nung ảnh hưởng đến phân bố nhiệt độ các lớp rõ rệt. Đối với trường hợp vật nung khác mà khơng cĩ đồ thị mơ tả mối liên hệ các thơng số nhiệt vật lý với nhiệt độ (hình 3) ta hồn tồn cĩ thể tra cứu từ sổ tay vật liệu và sử dụng cơng cụ lý thuyết mờ như đã làm ở trên. Tuy nhiên, kết quả mơ Nghiên cứu khoa học cơng nghệ Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 44, 08 - 2016 31 phỏng hay độ chính xác của mơ hình trường nhiệt phân bố trong vật dày như đã đề xuất cần được kiểm chứng bằng các kết quả thực nghiệm. 3. KẾT LUẬN Bài báo đã đưa ra một mơ hình truyền nhiệt trong vật nung dày trên cơ sở sử dụng cơng thức tách biến Galerkin và lý thuyết tập mờ cùng các kết quả mơ phỏng của nĩ về quá trình truyền nhiệt trong vật nung. Từ các kết quả mơ phỏng này ta cĩ nhận xét như sau: Phương pháp đề xuất tính tốn trường nhiệt độ trong vật rắn nĩi chung, với thơng số nhiệt của vật liệu là phi tuyến với các đầu vào là nhiệt bức xạ,với một vài giả thiết quan trọng đĩ là:  Thỏa mãn điều kiện biên để cĩ thể chia nhỏ vật nung theo các chiều khơng gian ,x z sao cho nhiệt độ của vật nung chỉ phụ thuộc vào chiều khơng gian y (4).  Nhiệt độ của vật nung biến đổi phi tuyến theo khơng gian và thời gian và các thơng số vật liệu cũng phi tuyến, phụ thuộc nhiệt độ: , ,( ), ( )j j h j j hc T T . Việc sử dụng phương pháp tách biến Galerkin (18) với số hàm cơ sở chỉ là ba hàm cho ở cơng thức (10) nhằm mục đích chuyển hàm hai biến thành tổng tuyến tính của tích các hàm một biến, và lý thuyết mờ xác định trực tuyến các thơng số nhiệt vật lý của vật nung đã cho phép biểu diễn được mơ hình trường nhiệt độ trong vật nung. Điều này giúp mơ hình tốn học thu được cĩ kích thước nhỏ, chi phí tính tốn thấp, mở ra khả năng sử dụng trong các ứng dụng điều khiển thực trong việc điều khiển nhiệt độ lị-vật nung theo quỹ đạo, tối ưu hĩa, hay các tác vụ điều khiển khác, khi mà các hạn chế về thời gian tính tốn thường chặt chẽ. Cuối cùng, tác giả xin được gửi lời cám ơn đến GS. Nguyễn Dỗn Phước đã cĩ các gợi ý chuyên mơn quan trọng giúp hồn thành được nghiên cứu này. Cảm ơn Trường Đại học Bách khoa Hà Nội đã hỗ trợ kinh phí cho nghiên cứu trên đây thơng qua Đề tài Cấp trường ĐH BKHN năm 2016. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Steinbưck,A. (2011): “Model-Based Control and Optimization of a Continuous Slab Reheating Furnace”. Shecker Verlag, Aachen 2011. [2]. Wild,D.: “Modellierung und Beobachterentwurf für einen Stoβofen”. Ph.D. Dissertation, Vienna University of Technology, Austria, (2010). [3]. Incropera,F.D.; DeWitt,D.P.; Bergman,T.L. and Lavine,A.S.: “Fundametals of Heat and Mass Transfer”. 6th. ed. Hoboken, NJ. John Wiley&Sons, (2007). [4]. Fletcher,R.: “Computational Galerkin Methods”. New York, Springer, (1984). [5]. Reddy,B.D.: “Introductionary Functional Analysis. Texts in Applied Mathematics”. New York Springer, (1997). [6]. Minh,P.X. và Phước,N.D.: “Lý thuyết điều khiển mờ”. In lần thứ 3, NXB Khoa học và Kỹ thuật, (2002). [7]. Naoharu Yoshitani; Takatsugu Ueyama; Mashiro Usui. (1994): “Optimal Slab Heating Control with Temperature Trajectory Optimazation”. Kỹ thuật điều khiển & Điện tử N. V. Dũng, “Kết hợp mơ hình mờ trong vật nung dày.” 32 [8]. D.F.J.Staalman; A.Kusters.: “On-line slab temperature calculation and control”. Manufactoring Science and Engineering, (1996). [9]. D.Wild; T.Meurer, and Kugi: “Modelling and experimental model validation for a pusher-type reheating furnace”. Mathematical and Computer Modelling of Dynamical Systems, vol.15. [10]. S.H.Han; S.W. Baek and M.Y. Kim.: “Transient radiactive heating characteristics of slabs in a walking beam type reheating furnace”. International Journal of Heat and Mass Transfer, vol 52, (2009). ABSTRACT MODELING CONDUCTION PROCESS IN THICK SLAB REHEATING FURNACE USING FUZZY MODEL AND GALERKIN SEPARATION OF VARIABLES METHOD In this paper, a method for describing the temperature field in a thick slab without dividing the thickness into thin layers horizontally is introduced. The proposed method is a combination of the Galerkin separation of variables method usually used for altering a function of two variables to a linear sum of the product of single-variable functions and fuzzy theory to observe on- line the parameters of the obtained heat distribution model. The mathematical model of the temperature field in the thick slab in this paper is also represented by a block diagram which is convenient to observe the temperature in the slab during the control process. The simulation results also verify a good applicability of this model. Keywords: Galerkin method, Fuzzy model, Heat conduction, Thick slab in furnace. Nhận bài ngày 25 tháng 04 năm 2016 Hồn thiện ngày 18 tháng 07 năm 2016 Chấp nhận đăng ngày 17 tháng 08 năm 2016 Địa chỉ: Viện Điện, Đại học Bách khoa Hà Nội, Số 1, Đại Cồ Việt, Hai Bà Trưng, Hà Nội. *Email: dung.nguyenviet2@hust.edu.vn