Hướng dẫn Bài tập Vật lý thống kê – Thống kê cổ điển

Hướng dẫn Bài tập Vật lý thống kê – Thống kê cổ điển Bài 1. Dùng phân bố chính tắc Gibbs, thiết lập các phân bố sau đây (các dạng khác của phân bố Maxwell) : Xác suất để vận tốc của một hạt của hệ có các thành phần vận tốc ở trong khoảng : ( , ),( , ),( , )x x y y z zv v dx v v dy v v dz Xác xuất để độ lớn vận tốc của một hạt của hệ nằm trong khoảng ( , )v v dv . Xác suất để động năng của một hạt của hệ có giá trị nằm trong khoảng ( , )d Sử dụng các kết quả trên tính các giá trị trung bình sau : a) 2 32 2 2 1 / ( ) ( ) n nn kT m v n b) 8kT m v c) 2 83( ) ( )kT m v v d) 2 2 2 2 21 2 3 2 ( ) ( )m v v kT e) Vận tốc có xác suất lớn nhất : 20 kT m v Hướng dẫn  Xác suất để vận tốc của hạt có các thành phần ở trong khoảng đã cho là : ( ) ( , , ) imv m kT i ikT dW v e dv i x y z 2 2 2  Xác suất để độ lớn vận tốc của hạt nằm trong khoảng đã cho là : ( ) mv m kT kT dW v e v dv 2 3 22 2 4  Xác suất để động năng của hạt nằm trong khoảng đã cho là : ( ) ( ) kTdW e d kT 3 2 a) Ta có ( ) mv n n nm kT kT v v dW v v e dv 2 3 2 2 2 0 0 4 . Đặt n mv n n xkT mv kT kT x v e dv x e dx kT m m 2 1 12 22 2 2 2 2 . Từ đó ta được : nn n n x nkT kT m m v x e dx 1 32 2 2 222 2 2 0 . Trong đó : ( ) a xa x e dx1 0 là hàm Gamma. b) Sử dụng kết quả câu a) khi n 1 , ta có : / ( )kT kT m m v 1 22 2 82 c) Ta có ( ) . ( ) ( )v v v v v v v v2 2 2 2 22 . Theo câu b) ta đã có kT m v 8 Áp dụng kết quả câu a) khi n 2 , ta có ( )kT kT kT m m m v2 32 2 5 2 2 3 2 4 . Từ đó ta tìm được : ( ) kT kT kT m m m v v 2 2 3 8 83 d) Ta có .v v v v v v v v 2 2 2 2 2 4 2 2 2 4 22 . Áp dụng kết quả câu a) với n 2 và n 4 ta có : ( )kT kT m m v2 2 2 5 3 2 và ( )kT kT m m v 2 24 72 2 2 15 . Từ đó ta tìm được : kT kT m m m m v v kT 222 2 2 22 21 3 3 2 2 15 4 . e) Từ biểu thức của xác suất ( ) mv m kT kT dW v v e dv 2 3 2 2 2 4 , ta thấy để xác xuất ( )dW v cực đại thì hàm ( ) mv m kT kT f v v e 2 3 2 2 2 4 phải đạt cực đại. Ta có : ( ) mv mv m mv m mvkT kT kT kT kT kT f v v e ve 2 2 3 23 3 2 2 2 2 2 4 2 . Từ đó suy ra : ( ) , kT m f v v v 20 0 . Lập bảng biến thiên của ( )f v : v 0 kT m 2 ( )f v 0 0 0 ( )f v maxf 0 0 Từ đó ta thấy rằng ( )f v đạt cực đại khi kT m v 2 , nói cách khác vận tốc có xác suất lớn nhất là kT m v 20 . Chú ý : Trong các bài tập trên khi tính toán ta đã sử dụng một số tính chất sau của hàm Gamma : ( ) ( ) ( ), ( ) ! ( )a a a a n n n1 1 1 và ( )=1 2 . Khi đó ta có : ( ) ! , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 35 3 3 3 3 1 3 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 1 1 1 1 và ( ) ( ) ( )= 7 155 5 5 2 2 2 2 4 1 .Trong các tập dưới đây, trong nhiều trường hợp ta sẽ sử dụng công thức sau : ( )m ax m m x e dx a 1 0 1 Bài 2. Viết phân bố Gibbs cho các dao động tử điều hoà tuyến tính cổ điển và tính giá trị trung bình của năng lượng của nó . Hướng dẫn : Hàm phân bố chính tắc Gibbs có dạng ( , ) ( , ) H p q kTp q Ae . Đối với dao động tử điều hòa tuyến tính q x và ( , ) p m x m H x p E 2 2 2 2 2 là năng lượng của dao động tử , do đó phân bố Gibbs cho dao động tử điều hòa tuyến tính có dạng : ( ) E kTE Ae . Từ điều kiện chuẩn hóa ( )E dE 0 1, ta có : ( ) E E kT kTA e dE A kT e 0 0 1 1 .AkT 1, hay kT A 1 . Do đó : ( ) E kT kT E e1 . Năng lượng trung bình : ( ) E kTE E E dE Ee dE kT 0 0 1 . Lấy tích phân từng phần ta được : ( . | ) . | E E E E kT kT kT kT kT E kT Ee kT e dE e d kT e kT1 0 0 0 0 Bài 3. Thiết lập phương trình trạng thái của hệ khí lý tưởng đơn nguyên tử gồm N nguyên tử khí; Biết năng lượng và xung lượng của mỗi hạt khí liên hệ với nhau bởi hệ thức : cp Hướng dẫn : Hàm Hamilton của hệ : N i i H cp 1 . Tích phân trạng thái của hệ : ( ) !( ) !( ) icpH N kT kT i iN N i V Z e d dr e dp N N3 3 1 1 1 2 2 (1) Mặt khác : ( ) i V dr V là thể tích của hệ icp cp kT kT ie dp e p dp 2 0 4 , sử dụng công thức !n ax n n x e dx a 1 0 ta tìm được : icp kTkT i c e dp 3 8 . Thay vào (1) ta được : . . !( ) !( ) N N N N NkT kT c cN N i Z V V V T N N 3 3 3 3 3 1 1 1 8 8 2 2 Trong đó : !( ) N N k cNN 3 3 1 8 2 . Gọi P là áp suất của hệ, ta có : ln ln ln lnZ NkT V V VT P kT NkT V T3 Từ đó suy ra phương trình trạng thái của hệ là : PV NkT Chú ý : trong các bài tập thuộc loại này người ta có thể yêu cầu tính thêm các đại lượng nhiệt động khác như : năng lượng tự do F , entropy S , nội năng U , nhiệt dung đẳng tích VC , thế Gibbs , enthalpy H , nhiệt dung đẳng áp PC . Lúc đó ta sẽ sử dụng các hệ thức liên hệ giữa tích phân trạng thái Z và các đại lượng nhiệt động để tính. Chẳng hạn đối với bài tập trên ta có : ln ln ln lnF kT Z NkT V T3 lnln ln ln ln .F Z T T TV V S k Z kT Nk V T NkT 33 Hay ln lnS S Nk V Nk T0 3 với lnS Nk Nk0 3 . ln ln ln lnZ T TV U F TS kT NkT V T NkT2 2 3 3 U V T V C Nk3 ln ln lnF PV NkT V T NkT3 H U PV NkT NkT NkT3 4 H P T P C Nk4 Bài 4. Thiết lập mối liên hệ giữa năng lượng, áp suất và thể tích của hệ khí lý tưởng đơn nguyên tử gồm N nguyên tử . Biết rằng năng lượng và xung lượng của mỗi hạt liên hệ với nhau bởi hệ thức : 3 ( : )cp c const Hướng dẫn : Hàm Hamilton của hệ : N i i H cp3 1 . Tích phân trạng thái của hệ : ( ) !( ) !( ) icpH N kT kT i iN N i V Z e d dr e dp N N 3 3 3 1 1 1 2 2 (1) Mặt khác : ( ) i V dr V là thể tích của hệ | icp cp cp kT kT kT i kT kT e dp e p dp e c c 3 3 3 2 0 0 4 4 4 3 3 . Thay vào (1) ta được : . . !( ) !( ) N N N N NkT kT c cN N i Z V V V T N N3 33 31 1 1 4 4 2 2 Trong đó : !( ) NN k cNN 33 1 4 2 . Gọi P là áp suất của hệ, ta lại có : ln ln ln lnZ NkT V V VT P kT NkT V T (1) Năng lượng của hệ ln ln ln lnZ T TV U kT NkT V T NkT2 2 (2) Từ (1) và (2) ta có ngay : U PV . Các đại lượng nhiệt động khác : ln ln ln lnF kT Z NkT V T lnln ln ln ln .F Z T T TV V S k Z kT Nk V T NkT 1 Hay ln lnS S Nk V Nk T0 với lnS Nk Nk0 . U V T V C Nk ; ln ln lnF PV NkT V T NkT H U PV NkT NkT NkT2 ; HP T P C Nk2 Bài 5. Thiết lập phương trình trạng thái của hệ khí lý tưởng đơn nguyên tử gồm N nguyên tử.Biết năng lượng và xung lượng của mỗi hạt khí đó liên hệ với nhau bởi hệ thức 4cp Hướng dẫn : Hàm Hamilton của hệ : N i i H cp4 1 . Tích phân trạng thái của hệ : ( ) !( ) !( ) icpH N kT kT i iN N i V Z e d dr e dp N N 4 3 3 1 1 1 2 2 (1) Mặt khác : ( ) i V dr V là thể tích của hệ icp cp kT kT ie dp e p dp 4 4 2 0 4 . Đặt : / // /cp kT kT kT c c x p x p dp x dx 4 1 4 3 41 4 2 1 41 4 Do đó : / // ( ) icp xkT kTkT i c c e dp x e dx 4 3 4 3 41 4 3 4 0 .Thay vào (1) ta được : / / /( ) ( ) !( ) !( ) N N N N NkT kT c cN N i Z V V V T N N 3 4 3 4 3 43 3 4 43 3 1 1 1 2 2 Trong đó : / ( ) !( ) N N k cNN 3 4 3 43 1 2 . Gọi P là áp suất của hệ, ta có : ln ln ln lnZ NkT V V VT P kT NkT V T 3 4 Từ đó suy ra phương trình trạng thái của hệ là : PV NkT Các đại lượng nhiệt động khác : ln ln ln lnF kT Z NkT V T3 4 lnln ln ln ln .F Z T T TV V S k Z kT Nk V T NkT3 3 4 4 Hay ln lnS S Nk V Nk T0 với lnS Nk Nk 3 0 4 . ln ln ln lnZ T TV U F TS kT NkT V T NkT2 2 3 3 4 4 U V T V C Nk3 4 ; ln ln lnF PV NkT V T NkT3 4 H U PV NkT NkT NkT73 4 4 ; HP T P C Nk7 4 Bài 6. Xác định năng lượng và áp suất của khí lý tưởng gồm N hạt chứa trong bình có thể tích V , biết rằng năng lượng của mỗi hạt phụ thuộc vào xung lượng của chúng theo hệ thức : 0 ( , )ap a Hướng dẫn : Hàm Hamilton của hệ : N i i H ap 1 . Tích phân trạng thái của hệ : ( ) !( ) !( ) iapH N kT kT i iN N i V Z e d dr e dp N N3 3 1 1 1 2 2 (1) Mặt khác : ( ) i V dr V là thể tích của hệ iap ap kT kT ie dp e p dp 2 0 4 . Đặt : / //ap kT kT kT a a x p x p dp x dx 3 11 31 2 1 Do đó : / / ( ) iap xkT kTkT i a a e dp x e dx 3 13 3 3 0 4 4 .Thay vào (1) ta được : / / /( ) ( ) !( ) !( ) N N N N NkT kT c aN N i Z V V V T N N 3 4 3 343 3 43 3 1 1 1 2 2 Trong đó : / ( ) !( ) N N k aNN 34 3 3 1 2 . Gọi P là áp suất của hệ, ta lại có : ln ln ln lnZ NkT V V VT P kT NkT V T3 Năng lượng của hệ : ln ln ln lnZ T TV U kT NkT V T NkT2 2 3 3 Các đại lượng nhiệt động khác : ln ln ln lnF kT Z NkT V T3 lnln ln ln ln .F Z T T TV V S k Z kT Nk V T NkT3 3 Hay : ln lnS S Nk V Nk T0 với lnS Nk Nk 3 0 . U V T V C Nk3 ; ln ln lnF PV NkT V T NkT3 H U PV NkT NkT NkT3 3 1 ; HP T P C Nk3 1 Bài 7. Tìm năng lượng tự do, nội năng và nhiệt dung của một cột khí lý tưởng có chiều cao h , diện tích đáy ở trong trọng trường ở nhiệt độ T ,biết rằng số hạt khí là N . Hướng dẫn : Hàm Hamilton của hệ i N p im i H mgz 2 2 1 . Tích phân trạng thái của hệ : ( ) !( ) !( ) i imgz pH N kT kT mkT i iN N i V Z e d e dr e dp N N 2 2 3 3 1 1 1 2 2 (1) Mặt khác : ( ) ( ) ( ) | ( ) i mgh kT hmgz mgz mgz kT kTkT kT kT i mg mg V e dr dxdy e dz e e0 0 1 /( ) ip p mkT mkT ie dp p e dp mkT 2 2 2 3 22 2 0 4 2 . Thay vào (1) ta được : /[ ( )( ) ] !( ) N mgh kT N i kT Z e mkT mgN 3 2 3 1 1 1 2 2 / /[ ( )( ) ] ( ) !( ) mgh mgh N N N NkT kT N kT e mkT T e mgN 3 2 5 2 3 1 1 2 1 2 Trong đó : / !( ) N N N k mk mgN 3 2 3 1 2 2 . Từ đó ta tìm được : Năng lượng tự do : ln [ ln ln( ) ln ] mgh kTF kT Z NkT T e5 2 1 Nội năng : ln [ ln ln( ) ln ]= mgh Z kT T TV U kT NkT T e2 2 5 2 1 = mgh kT mgh mgh kT kT mgh Nmghe kT e e NkT NkT T 2 2 1 1 5 5 2 2  Nhiệt dung : ( ) mgh mgh kT kT mgh mgh kT kT e NmghU V T TV e e C NkT Nk Nmgh 2 21 1 5 5 2 2 Hay : ( ) mgh mgh kT kT mgh mgh mgh kT kT kT V she e C Nk Nk 2 2 2 2 22 2 2 5 5 2 2 Bài 8. Trong bình hình lập phương cạnh L có chứa N phân tử khí lý tưởng ở nhiệt độ T . Bình khí được đặt trong trọng trường. Tìm áp suất tác dụng lên mặt trên của bình Hướng dẫn : Hàm Hamilton của hệ i N p im i H mgz 2 2 1 . Tích phân trạng thái của hệ : ( ) !( ) !( ) i imgz pH N kT kT mkT i iN N i V Z e d e dr e dp N N 2 2 3 3 1 1 1 2 2 (1) Mặt khác : ( ) ( ) | i mgL kT L L Lmgz mgz mgz LkT kTkT kT kT i mg mg V e dr dx dy e dz L e L e2 20 0 0 0 1 /( ) ip p mkT mkT ie dp p e dp mkT 2 2 2 3 22 2 0 4 2 . Thay vào (1) ta được : /[ ( )( ) ] !( ) N mgL kT N i kT Z L e mkT mgN 2 3 2 3 1 1 1 2 2 / /[ ( )( ) ] ( ) !( ) mgL mgL N N N N NkT kT N kT L e mkT L T e mgN 2 3 2 2 5 2 3 1 1 2 1 2 Trong đó : / [ ] !( ) N Nk mgN mk N 3 2 3 1 2 2 . Áp suất tác dụng lên mặt trên của bình là : ln lnZ Z dL V L dVT T P kT kT . Vì V L3 nên : dL dV L dV LdL 2 2 1 3 3 . Từ đó ta có : [ ln ln ln( ) ln ] [ + ]= mgL mgmgL kT kTNkT NkTkT L L mgLL L kT e P L T e e 2 2 5 2 23 3 2 1 1 ( / )[ + ]= [ + ] mgL mgL kT kT mgL kTmgNkT NkT L kT VL e e 2 2 1 2 1 3 33 1 1 (với V L3 ) Bài 9. Hỗn hợp hai khí lý tưởng gồm 1N hạt khối lượng 1m và 2N hạt khối lượng 2m chứa trong một bình hình trụ có chiều cao h và điện tích đáy . Bình khí được đặt trong trọng trường với gia tốc g . Tìm áp suất đặt lên mặt trên của bình và vị trí của khối tâm . Hướng dẫn : Gọi jZ là tích phân trạng thái của hạt loại ( , )j j 1 2 , ta có : ( )!( ) !( ) ij j ij j j j pH m gzN m kTkT kT j j i iN N i Vj j Z e d e dr e dp N N 2 2 3 3 1 1 1 2 2 Mặt khác : ( ) ( ) ( ) | ( ) j i j j m ghj kT j j hm gz m gz m gz hkT kTkT kT kT i m g m g V e dr dxdy e dz e e0 0 1 /( ) i j j p p m kT m kT i je dp p e dp m kT 2 2 2 22 3 2 0 4 2 . Thay vào (1) ta được : /[ ( )( ) ] !( ) jj jj m ghN kT kT j jm gN ij Z e m kT N 3 2 3 1 1 1 2 2 //[ ( )( ) ] ( ) !( ) j j jj j j jj m gh m gh NN N NkT kT kT j jm gN j e m kT T e N 5 23 2 3 1 1 2 1 2 Trong đó : / [ ] !( ) j j jj N Nk j jm gN j m k N 3 2 3 1 2 2 .Tích phân trạng thái của hệ là : j j Z Z 2 1 . Do đó áp suất tác dụng lên mặt trên của bình là : ln lnln j jZ ZZ dh V V h dVT T Tj j P kT kT kT 2 2 1 1 . Vì thể tích của hình trụ là : V h nên dh dV 1 . Từ đó ta tìm được : [ ln ln( ) ln ] m ghjj kTj j m ghj kT m gh N m gkT kT ekT j jh kT j j e P N T e 2 2 5 2 1 1 1 1 Hay : j j m ghj kT N m g j e P 2 1 1 1  Nội năng của hệ : lnln jZZ T TV Vj U kT kT 2 2 2 1 = [ ln ln( ) ln ] [ ] m ghjj kTj m ghj kT m gh m gh ekT j j jT T kT j j e kT N T e kT N 2 2 2 2 25 5 2 2 1 1 1 1 Hay : ( )j j m ghj kT N m gh j j e U N kT 2 5 2 1 1 . Gọi dE là động năng trung bình của hệ, theo định lý phân bố đều động năng ta có : ( )d j j E N N kT N kT 2 3 3 1 22 2 1 . Từ đó suy ra thế năng trung bình của hệ là : ( )j j m ghj kT N m gh t d j j e E U E N kT 2 1 1 (2)  Nếu gọi cz là tọa độ của khối tâm, ta có : t cE Mgz (3) , với M N m N m1 1 2 2 là khối lượng của hệ. Từ (2) và (3) ta tìm được : ( ) ( ) ( ) j j m ghj kT N m ght t c j j e E E z N kT Mg N m N m g N m N m g 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 Bài 10. Biết rằng động năng của chuyển động quay của phân tử 2 nguyên tử đối với khối tâm của chúng bằng : sin ( ) p q I p 2 2 21 2 ở đây I là moment quán tính đối với khối tâm phân tử còn ,p p là xung lượng suy rộng ứng với các tọa độ cầu , . Hãy tính : tổng thống kê, entropy, nhiệt dung ứng với chuyển động quay của phân tử hai nguyên tử Hướng dẫn : Tích phân trạng thái của chuyển động quay là : q kT qZ e d , trong đó : ( , , , <+ )d d d dp dp p p0 0 2 . Từ đó ta có : sin pp IkT I kT qZ d d e dp e dp 22 2 2 2 2 0 0 . Sử dụng tích phân Poisson : axe dx a 2 , ta được : p IkTe dp IkT 2 2 2 và sin sin sin p I kTe dp I kT IkT 2 2 22 2 2 . Thay vào biểu thức của qZ ta có : ( ) sinqZ IkT d d IkT 2 2 0 0 2 8 .  Entropy của hệ : ln ln ln( ) ln( ) = ln(8 ) ln( ) ln [ln( ) ] qZ q T T V T S k Z kT k IkT kT IkT k IkT kT k IkT k k T k Ik 2 2 2 2 21 8 8 8 8 1  Nhiệt dung : { ln [ ln( ) ]} .S kV T T TV C T T k T k Ik T k28 1 Bài 11. Cho một khí lý tưởng ở trong hình trụ bán kính đáy R , chiều cao h . Biết rằng hình trụ quay quanh trục của nó với vận tốc góc . a) Xác định áp suất của khí tác dụng lên thành bình. b)Tìm nội năng của khí. Hướng dẫn : Khi hình trụ trụ quay quanh trục với vận tốc góc , các hạt khí trong hình trụ sẽ quay theo với vận tốc góc . Gọi r là khoảng cách từ hạt khí tới trục hình trụ, lực ly tâm tác dụng lên hạt là : ltf m r 2 . Lực này liên kết với thế năng ly tâm ( )ltu r theo hệ thức : ( )lt m rlt lt lt lt du f du f dr m rdr u r dr 2 22 2 .Từ đó suy ra, hàm Hamilton của hệ là : [ ( )] ( )i i i N N p p m r lt im m i i H u r 2 2 2 2 2 2 2 1 1 .  Tích phân trạng thái của hệ : !( ) !( ) i i N N m r pH N kT kT mkT i iN N i V Z e d e dr e dp 2 2 2 3 3 1 1 2 2 2 2 1  Sử dụng hệ tọa độ trụ ( , , )r z , ta có : | ( ) i h Rm r m r m r m R R hkTkTkT kT kT kT i m m V e dr d dz e rdr h e e 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 0 0 0 0 2 1  /( ) ip p mkT mkT ie dp p e dp mkT 2 2 2 3 22 2 0 4 2  Thay vào biểu thức của Z ta nhận được : / / !( ) [ ( )( ) ] ( ) N N m R m R N N NhkT kT kT N m i Z e mkT T e 2 2 2 2 3 2 3 2 5 221 2 2 2 1 1 2 1 trong đó : / !( ) [ ( ) ] N N Nkh N m mk 3 2 3 221 2 2 . a) Áp suất tác dụng lên thành bình : ln lnZ Z dR V R dVT T P kT kT . Vì V R h2 nên dR dV hR dV hRdR 1 2 2 . Do đó : ln [ ln ln( ) ln ] m R kT m R kT m Rm R e ZkT NkT NkT kTkT Rh R Rh R RhT e P T e 2 2 22 2 2 2 2 2 5 2 2 2 2 2 1 1 Hay : ( / ) m R kT m R kTNkT V e P 2 2 2 2 2 2 1 b) Nội năng của khí : ln [ ln ln( ) ln ] m R kTZ T TV U kT NkT T e 2 2 22 2 5 2 1 [ ] m R kT m R kT m R e kT T e NkT 2 22 2 2 2 2 2 2 2 5 2 2 1 , hay : / m R kT Nm R e U NkT 2 2 2 2 2 25 2 1 Bài 12. Tìm khối tâm của một cột khí lý tưởng nằm trong trọng trường đều, biết rằng gia tốc trọng trường là g , khối lượng một phân tử là m và nhiệt độ là T . Hướng dẫn. Gọi N là số hạt của hệ , thế năng của hệ là : N t i i E mgz 1 . Từ đó suy ra N t i i E mgz 1 (1) . Nếu gọi cz là tọa độ khối tâm của hệ, ta lại có : t cE Mgz (2), trong đó M Nm là khối lượng của hệ. Từ (1) và (2) ta được : N c i i z mgz Nmg 1 1 (3) Để tính iz ta sử dụng hàm phân bố Boltzmann trong trường lực. Biểu thức của hàm phân bố Boltzmann có dạng : ( ) mgz kTz Be . Từ điều kiện chuẩn hóa: ( )z dz 0 1 , ta có : ( ) | mgz mgz mgkT kTkT kT mg mg kT B e dz B e B B0 0 1 . Do đó : ( ) mgz mg kT kT z e . Từ đó ta tìm được : ( ) ( | ) mgz mgz mgz mg mg kT kTkT kT kT i i i i kT kT mg mg z z z dz ze dz ze e dz0 0 0 0 | mgz kT kTkT mg mg e 0 . Thay giá trị này vào (3) ta có : c kT z mg . Bài 13. Khảo sát hệ gồm N dao động tử tuyến tính cổ điển với khối lượng m và tần số . Hãy tính tích phân trạng thái của hệ, từ đó xác định sự phụ thuộc nhiệt độ của nội năng và nhiệt dung của hệ. Hướng dẫn. Hàm Hamilton của hệ là : ( ) N i p m x H m 2 2 2 1 2 2 . Tích phân trạng thái : !( )N N m x p kT mkT N i Z e dx e dp 2 2 2 1 2 2 2 1 . Sử dụng tích phân Poisson : axe dx a 2 , ta được : m x kT kT e dx m 2 2 2 2 2 và p mkTe dx mkT 2 2 2 Từ đó suy ra : !( ) !( ) [ ] . N N N N N NkT kT N m N i Z mkT T 2 2 21 1 2 2 1 2 Với !( )N NN k N 21 2  Nội năng : ln (ln ln )Z T TV U kT NkT T NkT2 2  Nhiệt dung : UV T V C Nk Bài 17. Sử dụng định lý phân bố đều động năng theo các bậc tự do và định lý virial dưới dạng: i i H H i iq q q p , tính năng lượng trung bình của dao động tử điều hoà tuyến tính. Hướng dẫn . Hàm Hamilton của dao động tử là : p m x m H E 2 2 2 2 2 . Do đó, năng lượng trung bình của dao động tử là : p m x m E H 2 2 2 2 2 (1). Theo định lý phân bố đều động năng ta có : p H kT m p p 2 1 2 2 2 (2). Vì lim m x x 2 2 2 nên lim x H . Do đó theo định lý virial, ta có : H kT x x1 2 2 . Từ biểu thức của H , ta lại có : H Hm x m x kT x x x x 2 2 2 21 1 2 2 2 2 2 (3). Thay (2), (3) vào (1) ta tìm được : kT kTE kT 2 2 Bài 18. Sử dụng định lý virial, tính năng lượng trung bình của dao động tử có thế năng. ( )u x kx4 . Hướng dẫn: Hàm hamilton của dao động tử : p m H kx E 2 4 2 . Do đó, năng lượng trung bình là : p m E kx 2 4 2 (1). Theo định lý phân bố đều động năng ta có : p H kT m p p 2 1 2 2 2 (2). Vì lim x kx4 nên lim x H . Do đó theo định lý virial, ta có : H kT x x1 2 2 . Từ biểu thức của H , ta lại có : .H x x x kx kx3 41 1 2 2 4 2 . Từ đó suy ra : H kT kT x x kx kx4 41 2 2 4 2 (3). Thay (2), (3) vào (1) ta tìm được : kT kT kTE 3 2 4 4 Bài 19. Sử dụng định lý virial, tính năng lượng trung bình của hạt chuyển động trong trường lực có thế năng 2( ) nU q q ( n : số tự nhiên, : hằng số dương). Hướng dẫn: Hàm hamilton của hạt : p n m H q E 2 2 2 . Do đó, năng lượng trung bình là : p n m E q 2 2 2 (1). Theo định lý phân bố đều động năng ta có : p H kT m p p 2 1 2 2 2 (2). Vì lim n q q2 nên lim x H . Do đó theo định lý virial, ta có : H kT q q1 2 2 . Từ biểu thức của H , tacó : . n nH q q q n q n q2 1 21 1 2 2 2 . Từ đó suy ra : n nH kT kT q n q n q q2 21 2 2 2 (3). Thay (2), (3) vào (1) ta được : kT kT kT n n E 1 2 2 2 1 Bài 20. Chứng minh các hệ thức sau : a) i i H F q q F kT ( khi )iH q Hướng dẫn : Từ định nghĩa của giá trị trung bình trong phân bố chính tắc, ta có : ( ) ( ) ( , ) H kT i i i s H H H j jq q Z q j F F q p d F e dq dp1 1 [ ] i s H H kT j j iZ q j j i dp dq F e dq1 1 (1) Lấy tích phân từng phần ta có : . . i i ii H H H qH FkT kT kT i iq qq F e dq kT F e kT e dq Vì lim iq H nên lim . i H kT q F e 0 . . i i H q kT q kT F e 0 . Do đó : i i H H H FkT kT i iq q F e dq kT e dq (2). Thay (2) vào (1) ta được : ( ) [ ] ( , ) i i i i s H H F F FkT j j iq Z q q q j j i F dp dq kT e dq kT q p d kT1 1 b) i i H F p p F kT Hướng dẫn : Từ định nghĩa của giá trị trung bình trong phân bố chính tắc, ta có : ( ) ( ) ( , ) H kT i i i s H H H j jp p Z p j F F q p d F e dq dp1 1 [ ] i s H H kT j j iZ p j j i dq dp F e dp1 1 (1) Lấy tích phân từng phần ta có : . . i i ii H H H pH FkT kT kT i ip pp F e dp kT F e kT e dp Vì lim ip H nên lim . i H kT p F e 0 . . i i H p kT p kT F e 0 . Do đó : i i H H H FkT kT i ip p F e dp kT e dp (2). Thay (2) vào (1) ta được : ( ) [ ] ( , ) i i i i s H H F F FkT j j ip Z p p p j j i F dq dp kT e dp kT q p d kT1 1 Hướng dẫn Bài tập Vật lý thống kê – thống kê lượng tử . Bài 1. Khảo sát hệ N dao động tử điều hòa tuyến tính độc lập a) Tính năng lượng tự do và entropy của N dao động tử điều hoà tuyến tính độc lập. b) Tính năng lượng trung bình, nhiệt dung của N dao động tử điều hoà tuyến tính độc lập. Hướng dẫn : Gọi Z là tổng thống kê của hệ, ta có : NZ Z1 , trong đó n kT n Z e1 0 là tổng thống kê của một dao động tử. Vì phổ năng lượng của dao động tử điều hòa tuyến tính là : ( ) ( , , , ...)n n n 1 2 0 1 2 nên, ta có : ( ) sh( ) kTkT kT kT n n kT kT kT kT n n e e e Z e e e e 1 2 22 2 1 1 12 2 1 2 0 0 1 Từ đó ta nhận được : sh( ) [ ]N kT Z 1 2 2 . a) Năng lượng tự do của dao động tử là : ln ln[ sh( )] kT F kT Z NkT 2 2 Entropy của dao động tử : ch( ) sh( ) ln sh( ) ln sh( ) kT kT F T T kT kTV kT S NkT Nk NkT 2 2 2 2 2 2 2 hay : ln sh( ) coth( ) kT kT kT S Nk Nk 2 2 2 b) Năng lượng trung bình : = cothN kT E F TS 2 2 Nhiệt dung sh( ) sh( ) coth( ) .( ). kT kT E N N V T T kT kTV kT C Nk 2 2 2 2 2 21 1 2 2 2 22 Bài 2. Tính năng lượng trung bình và nhiệt dung của hệ N dao động tử điều hoà hai chiều độc lập có các mức năng lượng 1( )n n suy biến bội 1( )ng n . Hướng dẫn : Gọi Z là tổng thống kê của hệ, ta có : NZ Z1 , trong đó ( ) n kT n n Z g e1 0 là tổng thống kê của một dao động tử. Vì phổ năng lượng của dao động tử điều hòa hai chiều là : ( ) ( , ...)n n n1 0 1 có bội suy biến ( )ng n 1 nên, ta có : ( ) sh( ) ( ) [ ]kT kT n n Z n e 2 1 21 1 2 0 1 Từ đó ta nhận được : sh( ) [ ] kT NZ 2 21 2 .  Năng lượng trung bình của hệ : ch( )ln sh( ) ln[ sh( )]= kT kT Z T T kTV kT E kT NkT NkT 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Hay : coth kT E N 2  Nhiệt dung : sh sh coth kT kT E V T T kT kTV kT C N N Nk 2 2 2 2 2 21 1 2 22 2 Bài 3. Tính tổng thống kê và năng lượng trung bình của dao động tử 3 chiều mà các mức năng lượng 3 2n n suy biến bội 1 2 2 ( )( )( ) n nng Hướng dẫn : Gọi Z là tổng thống kê của hệ, ta có : NZ Z1 , với ( ) n kT n n Z g e1 0 là tổng thống kê của một dao động tử. Vì phổ năng lượng của dao động tử điều hòa hai chiều là: ( ) ( , ...)n n n 3 2 0 1 có bội suy biến ( )( )( ) n nng 1 2 2 nên, ta có : ( )( )( ) sh( ) [ ] nn n kT n kT Z e 3 21 2 31 1 2 20 2 Từ đó ta tìm được : sh( ) [ ] kT NZ 2 31 2 .  Năng lượng trung bình của hệ : ch( )ln sh( ) ln[ sh( )]= kT kT Z T T kTV kT E kT NkT NkT 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 Hay : cothN kT E 3 2 2  Nhiệt dung : sh sh coth kT kT E N N V T T kT kTV kT C Nk 2 2 2 2 2 23 3 1 1 2 2 2 22 3 Bài 4. Xác định năng lượng trung bình của hạt có các mức năng lượng không suy biến : 0 1 1 ( : ; , , ..., )const n . Hướng dẫn . Tổng thống kê của hạt n kT kT n n ekT kT e Z e e 1 1 1 1 0 0 1 . Năng lương trung bình : ln [ln( ) ln( )] n Z kT kT T T E kT kT e e12 2 1 1 [ ] n kT kT n n kT kT kT kT n e e nkT kT e e e e kT 2 22 1 1 1 1 Bài 5. Nếu hạt có spin 1/2 đặt trong từ trường H thì các mức năng lượng của nó tách làm 2 : H và H tương ứng với các moment từ - và + song song hay đối song với từ trường H . Giả sử hệ gồm N hạt như thế được đặt trong từ trường H ở nhiệt độ T . Sử dụng phân bố chính tắc Gibbs , xác định nội năng, nhiệt dung, moment từ của hệ. Hướng dẫn : Gọi Z là tổng thống kê của hệ, ta có : NZ Z1 , trong đó n kT n Z e1 là tổng thống kê của một hạt. Vì hạt chỉ có hai mức năng lượng là , H H1 2 nên : ch H H HkT kT kT Z e e1 2 . Do đó tổng thống kê của hệ là [2ch( )] H N kT Z  Năng lượng của hệ : sh ln ch ln[ ch( )]= ( ) .th H kT H kT H H HZ T T kT kTV kT E kT NkT NkT N H 2 2 2 22  Nhiệt dung của hệ : ch ch .( ) H H kT kT H HE V T kTV kT C N H Nk 2 2 2 2 1 1  Moment từ trung bình của hệ : zN , trong đó z là moment từ trung bình cho một hạt. Mặt khác, xác suất để hạt ở trạng thái với moment từ bằng i là ( ) iH kT iW eZ1 1 . Do đó momen từ trung bình của một hạt là : ( )z i i i W . Vì moment từ của một hạt chỉ có thể nhân 2 giá trị bằng và nên : sh( ) ch( ) ch( ) ( ) ( ) .th( ) H H H kT kT kT H H kT kT e e H z kT W W 2 Từ đó ta nhận được moment từ trung binh của hệ là : .th( )H kT N