Hội tụ theo xác suất theo nghĩa Mosco cho dãy biến ngẫu nhiên đa trị - Bùi Nguyên Trâm Ngọc

TAÏP CHÍ KHOA HOÏC ÑAÏI HOÏC SAØI GOØN Soá 14 (39) - Thaùng 3/2016 107 Hội tụ theo xác suất theo nghĩa Mosco cho dãy biến ngẫu nhiên đa trị Convergence in probability in the sense of Mosco for random sets ThS. Bùi Nguyên Trâm Ngọc Trường Đại học Đồng Nai M.A. Bui Nguyen Tram Ngoc The University of Dong Nai Tóm tắt Trong bài báo này, chúng tôi giới thiệu khái niệm hội tụ theo xác suất theo nghĩa Mosco cho dãy biến ngẫu nhiên đa trị và chứng minh một số tính chất của loại hội tụ này. Từ khóa: biến ngẫu nhiên đa trị, hội tụ Mosco. Abstract In this paper, we introduce a new concept of convergent in probability sequence of random sets in the sense of Mosco and prove some interesting properties of this convergence. Keywords: random sets, Mosco convergence 1. Mở đầu Chúng ta biết rằng, hội tụ theo khoảng cách Hausdorff được sử dụng khi nghiên cứu các biến ngẫu nhiên nhận giá trị là các tập compact. Đối với biến ngẫu nhiên đa trị nhận giá trị là các tập đóng (có thể không bị chặn), người ta thường sử dụng các loại hội tụ: hội tụ Kuratowski, hội tụ Mosco và hội tụ Wijsman. Việc nghiên cứu các định lí giới hạn cho các biến ngẫu nhiên đa trị theo hội tụ Mosco mang tới nhiều điều thú vị và ý nghĩa. Trong thời gian gần đây, đã có nhiều tài liệu nghiên cứu về các định lí giới hạn cho các biến ngẫu nhiên đa trị theo hội tụ Mosco (xem chẳng hạn [1], [3], [4] và các tài liệu trích dẫn trong đó). Tuy nhiên, cho đến nay, trong các công trình khoa học, khi nói đến hội tụ Mosco, người ta chỉ đề cập đến khái niệm hội tụ hầu chắc chắn theo nghĩa Mosco. Trong bài báo này, chúng tôi giới thiệu khái niệm hội tụ theo xác suất theo nghĩa Mosco cho dãy biến ngẫu nhiên đa trị và chứng minh một số tính chất của loại hội tụ này. 2. Kiến thức chuẩn bị Trong bài báo này, chúng tôi giả thiết rằng (Ω, A, P) là một không gian xác suất đầy đủ, ( , . )X là không gian Banach khả ly thực và *X là không gian đối ngẫu của nó. X B là  -đại số Borel trên X . Ký hiệu ( )c X là họ tất cả các tập con đóng khác rỗng của không gian Banach X , là tập tất cả các số thực. Trên ( )c X ta xác định một cấu trúc tuyến tính 108 với các phép toán được định nghĩa như sau: { : , }A B a b a A b B     , { : },A a a A   trong đó , ( ),  X A B c . Cho , ( )A B c X , hàm khoảng cách (., )d A , khoảng cách Hausdorff ( , )Hd A B , hàm tựa ( ,.)s A , chuẩn A của A được định nghĩa như sau: ( , ) inf{ , },d x A x y y A x    X , ( , ) max{sup ( , ), sup ( , )}H x A y B d A B d x B d y A    , * * * *( , ) sup{ , : },s x A x y y A x   X , sup{ : }A x x A  . Kí hiệu: { ( ) : }U C c C U    X , trong đó U X . ( )c XB là  -đại số trên ( )Xc sinh bởi tất cả các tập U  , với U là tập con mở của X . 2.1. Biến ngẫu nhiên đa trị Một ánh xạ : ( )F c X được gọi là biến ngẫu nhiên đa trị, nếu với mọi tập con mở U của X thì tập con 1( ) { : ( ) }F U F U       A . Một phần tử ngẫu nhiên :f X được gọi là một hàm chọn của biến ngẫu nhiên đa trị F nếu ( ) ( )f F  h.c.c. với mọi  . Với mỗi biến ngẫu nhiên đa trị F , ta kí hiệu 1 ( ){ ( ) : }F cF   X A U U B . Khi đó FA là  -đại số con bé nhất của A mà F đo được. Với mỗi biến ngẫu nhiên đa trị F -đo được F và với mỗi số thực 1p  , ta kí hiệu ( ) { ( , , , ) : ( ) ( )p pFS f L f F     F F X , h.c.c.}, với F là  -đại số con của A . Nếu F A thì ( )pFS F được viết gọn là p FS . Một biến ngẫu nhiên đa trị : ( )F c X được gọi là khả tích nếu tập 1 FS khác rỗng và được gọi là khả tích bị chặn nếu 1F L . Một dãy { : 1}nF n  của các biến ngẫu nhiên đa trị trong ( )c X được gọi là hội tụ theo xác suất theo khoảng cách Hausdorff, kí hiệu ( )H nF F khi n , nếu dãy biến ngẫu nhiên { ( , ) : 1}H nd F F n  hội tụ theo xác suất đến 0 khi n . 2.2. Hội tụ Mosco 2.2.1. Định nghĩa - Cho dãy  nS các tập con của X ( X là không gian định chuẩn thực). Ta định nghĩa: lim { : lim , , 1}n n n ns S v v s v v S n    - X - lim { : lim , , 1}- X - kn k k n w S v v w v v S k     với   kn S là một dãy con của dãy  nS . Các tập lim ns S- và lim- nw S lần lượt gọi là giới hạn dưới theo topo mạnh trong X và giới hạn trên theo topo yếu trong X của dãy  nS . - Cho dãy  nS các tập con của X . Khi đó, ta nói dãy  nS hội tụ theo nghĩa Mosco đến tập S X nếu, lim lim- -n ns S w S S  Lúc này ta viết, ( )M nS S hay Lim nS S . 109 Rõ ràng, ( )M nS S khi và chỉ khi (i) lim nS s S - (ii) lim- nw S S 2.2.2. Hội tụ của dãy các tập lồi Cho  nS là dãy các tập con lồi, đóng của X . Khi đó, ta có (xem [5]): - Nếu ( )M nS S trong X thì S là tập con lồi, đóng của X . Ngoài ra, - Nếu S là tập con lồi, đóng của X và nS S , với mọi 1n  thì dãy  nS hội tụ theo nghĩa Mosco và Lim nS S . - Nếu Lim nS S và  kS là một dãy con của dãy  nS thì ( )M kS S khi k  . - Nếu bất kì dãy con  kS của dãy  nS chứa một dãy con { }hS hội tụ theo nghĩa Mosco đến S trong X thì dãy nS hội tụ theo nghĩa Mosco đến S trong X . Hội tụ Mosco cho dãy các biến ngẫu nhiên đa trị được định nghĩa tương tự như trên bằng cách thay thế nS bởi ( )nF  và S bởi ( )F  , các phát biểu là đúng h.c.c.. 3. Hội tụ theo xác suất theo nghĩa Mosco cho dãy biến ngẫu nhiên đa trị Trong phần này, ta xét sự hội tụ theo xác suất theo nghĩa Mosco cho dãy biến ngẫu nhiên đa trị và ta sẽ chứng minh một số tính chất của loại hội tụ này. 3.1. Định nghĩa Dãy biến ngẫu nhiên đa trị { : 1}nF n  được gọi là hội tụ theo xác suất theo nghĩa Mosco đến biến ngẫu nhiên đa trị F , kí hiệu ( )M P nF F khi n , nếu mọi dãy con { : 1} kn F k  của dãy { : 1}nF n  , tồn tại một dãy con { : 1} kl nF l  của dãy { : 1}knF k  sao cho ( ) ( ) ( ) kl M nF F  h.c.c. khi l  Rõ ràng rằng nếu một dãy biến ngẫu nhiên đa trị hội tụ h.c.c. theo nghĩa Mosco thì sẽ hội tụ theo xác suất theo nghĩa Mosco. Để chứng minh các kết quả tiếp theo, ta cần bổ đề sau đây 3.2. Bổ đề (Bổ đề 4.1 [4]) Giả sử , , 1nF F n  là các biến ngẫu nhiên đa trị trong không gian Banach khả ly X . Nếu ( ) lim ( )nF s F  - h.c.c., thì limsup ( , ( )) ( , ( ))n n d x F d x F    với mọi xX , h.c.c.. Chứng minh Vì X là không gian khả ly, nên tồn tại tập D đếm được và trù mật trên X . Theo giả thiết, tồn tại tập NA sao cho ( ) 0P N  và với mọi \ N , ( ) lim ( )nF s F  - . (1) Cố định \ N . Khi đó, với mỗi x D và mỗi pN , tồn tại ( )y F  sao cho 1 ( , ( ))x y d x F p    . Từ (1), và với mỗi 1n  , tồn tại ( )n nf F  sao cho nf y khi n . Từ đó, limsup ( , ( )) lim 1 ( , ( )) . n n nn d x F f x x y d x F p          110 Bằng cách cho p , ta nhận được limsup ( , ( )) ( , ( ))n n d x F d x F    . (2) Tiếp theo, ta lưu ý rằng hàm khoảng cách (., )d A là hàm 1-Lipschitz, nghĩa là, với mọi AX và mọi ,x yX , ( , ) ( , ) ( , )d x A d y A d x y x y    . (3) Với x bất kỳ thuộc X , tồn tại dãy { : 1}kx k D  sao cho lim k k x x   . Khi đó, với mỗi 1n  và mỗi 1k  ,   ( , ( )) ( , ( )) ( , ( )) ( , ( )) ( , ( )) ( , ( )) ( , ( )) ( , ( )) n n k n k n k k d x F d x F d x F d x F d x F d x F d x F d x F                  2 ( , ) ( , ( )) ( , ( )) (do (3)).k k n kd x x d x F d x F    Cho n , ta có  limsup ( , ( )) ( , ( )) 2 ( , ) (do (2)).n k n d x F d x F d x x     Sau đó, cho k  , ta nhận được  limsup ( , ( )) ( , ( )) 0.n n d x F d x F     Điều này dẫn đến điều phải chứng minh. ■ Để tìm hiểu một số tính chất của loại hội tụ nêu trên, trước hết ta cần chứng minh sự tồn tại của dãy các hàm chọn hội tụ h.c.c. của dãy các biến ngẫu nhiên đa trị hội tụ h.c.c. theo Mosco. Xem xét sự tồn tại của dãy các hàm chọn đo được hội tụ h.c.c., ta được một số kết quả dưới đây. 3.3. Định lí 1 Cho , , 1nF F n  là các biến ngẫu nhiên đa trị trong không gian Banach khả ly X . Nếu ( ) ( ) ( ) M nF F  h.c.c. khi n , thì với mỗi 0Ff S , có một dãy 0{ } nn F f S sao cho ( ) ( )nf f  h.c.c. khi n . Chứng minh Với mỗi 0 Ff S và 1n  , ta đặt : ( )nG c X xác định bởi 1 ( ) { ( ) : ( ) ( ( ), ( )) }, n n nG x F f x d f F n            . (4) Khi đó ( ) X A BnGr G   , ta có thể chọn một biến ngẫu nhiên : Xnf  với ( ) ( )n nf G  h.c.c. Hơn nữa, ( ) ( ) ( ) M nF F  h.c.c. khi n nên lim ( ) ( ) lim ( )- -n nw F F s F    . Do đó, theo bổ đề 3.2, ta được limsup ( ( ), ( )) ( ( ), ( ))n n d f F d f F      với mọi xX , h.c.c. Vì vậy, ( ( ), ( )) 0nd f F   h.c.c. khi n . Kết hợp với, 1 ( ) ( ) ( ( ), ( ))n nf f d f F n       h.c.c. (5) Ta được 0 nn F f S và ( ) ( ) 0nf f   h.c.c. khi n . ■ Cũng theo cách như trên, ta có được những kết quả sau. 111 3.4. Định lí 2 Giả sử , , 1nF F n  là các biến ngẫu nhiên đa trị trong không gian Banach khả ly X . Nếu ( ) ( ) ( ) M nF F  h.c.c. khi n , thì với mỗi hàm chọn f { : 1}A nF n -đo được của F , có một dãy 0{ ( )}A n nn F F f S sao cho ( ) ( )nf f  h.c.c. khi n . Chứng minh Với mỗi hàm chọn f { : 1}A nF n -đo được của F và với 1n  , xét : ( )nG c X xác định như (4). Khi đó ( ) X A BnGr G   , ta có thể chọn một biến ngẫu nhiên A nF -đo được : Xnf  với ( ) ( )n nf G  h.c.c. Như vậy ta có được điều cần chứng minh, cách chứng minh tương tự như trong định lí 1. ■ Xem xét sự tồn tại của dãy các hàm chọn khả tích hội tụ h.c.c., ta được một số kết quả sau. 3.5. Định lí 3 Giả sử , , 1nF F n  là các biến ngẫu nhiên đa trị trong không gian Banach khả ly X . Nếu ( ) ( ) ( ) M nF F  h.c.c. khi n , thì với mỗi 1Ff S , có một dãy 1{ } nn F f S sao cho lim ( ) ( )n n f f    h.c.c. Chứng minh Giả sử 1 Ff S và 1n  , xét : ( )nG c X và : Xnf  như trong chứng minh định lí 1. Bằng cách lập luận tương tự như trong định lí 1, ta được ( ( ), ( )) 0nd f F   h.c.c. khi n . Kết hợp điều này với 1 ( ) ( ) ( ( ), ( ))n nf f d f F n       ( ) (0, ( )) 1nf d F    h.c.c., (6) ta được 1 nn F f S và ( ) ( ) 0nf f   h.c.c. khi n . Vì vậy, ta có được điều cần chứng minh. ■ 3.6. Định lí 4 Giả sử , , 1nF F n  là các biến ngẫu nhiên đa trị khả tích trong không gian Banach khả ly X . Nếu ( ) ( ) ( ) M nF F  h.c.c. khi n , thì với mỗi f { : 1}A nF n -đo được trong 1 FS , có một dãy 1{ ( )}A n nn F F f S sao cho lim ( ) ( )n n f f    h.c.c. Chứng minh Với mỗi f { : 1}A nF n -đo được trong 1 FS và với mỗi 1n  , ta xét : ( )nG c X và : Xnf  như trong chứng minh định lí 1. Phần còn lại, ta chứng minh tương tự như trong định lí 3. ■ Bây giờ, ta chứng minh một tính chất quan trọng của hội tụ theo xác suất theo nghĩa Mosco. 3.7. Định lí 5 Cho { , , , 1}n nF F G n  là tập hợp các biến ngẫu nhiên đa trị trong ( )Xc sao cho ( ) 0n nF G   khi n . Khi đó, ( )M nF F   khi n nếu và chỉ nếu ( )M nG F   khi n . Chứng minh Giả sử ( )MnF F   khi n . 112 Với mỗi dãy con { : 1} kn G k  của dãy { : 1}nG n  , ta xét dãy con { : 1}knF k  của dãy { : 1}nF n  với tập chỉ số giống như dãy { : 1} kn G k  . Vì ( )MnF F   khi n nên theo định nghĩa 3.1, tồn tại một dãy con { : 1} kl nF l  của dãy { : 1}knF k  sao cho ( ) ( ) ( ) kl M nF F  h.c.c. khi l  . Do đó, ( ) lim ( )- kl nF s F  và từ đây với mỗi 0 Ff S , theo bổ đề 3.2, ta được, limsup ( ( ), ( )) ( ( ), ( )) kl n l d f F d f F      h.c.c., với mọi  , nên có một tập 1 AN  thỏa mãn 1( ) 0N  và ( ( ), ( )) 0 kl nd f F   khi l  , (7) với mọi 1\ N . Mặt khác, với giả thiết ( ) 0n nF G   khi n ta có ( ( , ) 0) 0H n nd F G   khi n . Điều này có nghĩa là, với mọi 0  , ( ( , ) ) ( ( , ) 0) 0H n n H n nd F G d F G      khi n . Do đó, dãy các biến ngẫu nhiên { ( , ) : 1}H n nd F G n  hội tụ theo xác suất đến 0 khi n . Nên dãy { ( , ) : 1} k kl l H n nd F G l  , với tập chỉ số giống như (7), hội tụ theo xác suất đến 0 khi l  . Vì vậy, có một dãy con { ( , ) : 1} k kl ls s H n nd F G s  của dãy { ( , ) : 1} k kl l H n nd F G l  và một tập 2 AN  thỏa mãn 2( ) 0N  và ( ( ), ( )) 0 k kl ls s H n nd F G   khi s , (8) với mỗi 2\ N . Lấy tập 1 2N N N  , thì tập N có xác suất bằng 0. Như vậy, kết hợp (7) và (8), với mỗi 0 Ff S và \ N , ( ( ), ( )) ( ( ), ( )) ( ( ), ( )) k k k kl l l ls s s s n n H n nd f G d f F d F G       0 khi s . Khi đó, tồn tại dãy { }sx trong ( ) kls nG  sao cho ( ) 0sx f   khi s . Do đó, ( ) lim- s s f s x   và ( ) lim ( )- lks nf s G  . Vì vậy, ( ) lim ( )- kls nF s G  . (9) Tiếp đến ta chứng minh lim ( ) ( )- kls nw G F  . Với mỗi lim ( )- kls nx w G  , tồn tại dãy { }tx trong ( ) klst nG  , là dãy con của ( ) kls nG  , sao cho lim- t t x w x   . Với mỗi 1t  , ta chọn được dãy { }ty trong ( ) klst nF  , sao cho 1 ( ( ), ( )) k kl ls st t t t H n nx y d F G t     . Do (8), ta được 0t tx y  khi t  . Khi đó, lim( ) 0- t t t s x y    và dẫn đến lim( ) 0- t t t w x y    . Mặt khác lim- t t x w x   nên lim- t t x w y   . Vì vậy, lim lim ( )- - kls t n t x w y w F     . 113 Ngoài ra, ( ) ( ) ( ) kls M nF F  h.c.c. khi s nên lim ( ) ( )- kls nw F F  . Điều này dẫn đến ( )x F  . Vì vậy, lim ( ) ( )- kls nw G F  . (10) Từ (9) và (10), ta được ( ) ( ) ( ) kls M nG F  h.c.c. khi s . Theo định nghĩa 3.1, điều này có nghĩa là ( )MnG F   khi n và định lí được chứng minh. ■ 3.8. Định lí 6 Cho , , 1nF F n  là các biến ngẫu nhiên đa trị trong ( )Xc . Nếu ( )MnF F   khi n , thì với mỗi 0Ff S , tồn tại một dãy 0{ } nn F f S sao cho nf hội tụ theo xác suất đến f khi n . Chứng minh Với mỗi 0 Ff S và với 1n  , ta xét : ( )nG c X , : Xnf  như trong chứng minh định lí 1. Từ giả thiết ( )M nF F   khi n , với mỗi dãy con { : 1} kn f k  của dãy { : 1}nf n  , xét dãy con { : 1} kn F k  của dãy { : 1}nF n  với cùng tập chỉ số như của dãy { : 1} kn f k  . Theo định nghĩa 3.1, tồn tại dãy con { : 1} kl nF l  của dãy { : 1}knF k  sao cho ( ) ( ) ( ) kl M nF F  h.c.c. khi l  . Điều này dẫn đến ( ) lim ( )- kl nF s F  . Tương tự như trong chứng minh định lí 1, ta có ( ( ), ( )) 0 kl nd f F   h.c.c. khi l  . Kết hợp với bất đẳng thức (5), ta được ( ) ( ) 0 kl nf f   khi l  . Do đó từ (4) ta được 0 nn F f S và nf f   khi n . ■ Bằng cách chứng minh tương tự như định lí 6, ta được kết quả sau. 3.9. Định lí 7 Cho , , 1nF F n  là các biến ngẫu nhiên đa trị trong ( )Xc . Nếu ( )M nF F   khi n , thì với mỗi hàm chọn f { : 1}A nF n -đo được của F , có một dãy 0{ ( )}A n nn F F f S sao cho nf hội tụ theo xác suất đến f khi n . Kết hợp định lí 3 và định lí 6, ta được 3.10. Định lí 8 Cho , , 1nF F n  là các biến ngẫu nhiên đa trị khả tích trong ( )Xc . Nếu ( )M nF F   khi n , thì với mỗi 1 Ff S , có một dãy 1{ } nn F f S sao cho nf hội tụ theo xác suất đến f khi n . Kết hợp định lí 4 và định lí 6, ta được kết quả dưới đây 3.11. Định lí 9 Cho , , 1nF F n  là các biến ngẫu nhiên đa trị khả tích trong ( )Xc . Nếu ( )M nF F   khi n , thì với mỗi f { : 1}A nF n -đo được trong 1 FS , có một dãy 1{ ( )}A n nn F F f S sao cho nf hội tụ theo xác suất đến f khi n . 114 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. S. Li, Y. Ogura and V. Kreinovich (2002). Limit theorems and applications of set- valued and fuzzy set-valued random variables. Theory and Decision. Series B: Mathematical and Statistical Methods, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, The Netherlands. 2. Ilya Molchanov (2005). Theory of Random sets. Springer, London. 3. U. Mosco (1969). “Convergence of convex sets and of solutions of variational inequalities”. Adv. in Math., 3, 510-585. 4. N.V.Quang and D.X.Giap (2014). Convergence in Probability in the sense of Wijsman and the multivalued weak law of large numbers for unbounded random sets (Manuscript). 5. N.V.Quang and D.X.Giap (2013). “Mosco convergence of SLLN for triangular arrays of rowwise independent random sets”. Statistics and Probability Letters, 83, 1117-1126. Ngày nhận bài: 25/01/2016 Biên tập xong: 15/03/2016 Duyệt đăng: 20/03/2016