Hệ thống các bài toán tính tích phân trong các đề thi vào đại học và cao đẳng

hệ thống các bài toán tính tích phân trong các đề thi vào đại học và cao đẳng Trong các đề thi vào Đại học và Cao đẳng thường có các bài toán tính tích phân. Bài viết này xin được chuyển đến bạn đọc chuẩn bị thi vào các trường Đại học và Cao đẳng một hệ thống các bài toán tính tích phân mà chúng tôi đã tích luỹ được. 1. áp dụng một tính chất của nguyên hàm: Nếu = F(x) + C thì = F(u) + C (1) Từ đó: Nếu = F(x) + C thì = F(ax + b) + C, (a 0) Chú ý: = ln + C Ví dụ 1: Tính I = . Ta có: I = = - = Ví dụ 2: Tính I = . (ĐH Cần Thơ - B1999) Ta có: I = = = . Ví dụ 3: Tính I = , (ĐH,CĐ - B2003) Ta có: I = = = = 2. Phương pháp đổi biến. 2.1. Phép đổi biến "trông thấy" (x) = t : Tính I = , (x) đơn điệu trên đoạn [a; b]. ở đây ta "nhìn thấy cả (x) và (x) Đặt (x) = t, khi đó: I = . Thực ra các tích phân như thế không cần đổi biến mà chỉ cần áp dụng (1) vì I = = I = . Ví dụ 1: Tính I = , (ĐH,CĐ - TK1 - 2002) Ta có: I = = - = - = (1- ln2) Ví dụ 2: Tính I = , (ĐH,CĐ - TK2 - 2002) Ta có: I = = = = 2.2. Phép đổi biến "không trông thấy" (x). Tính I = . Đặt (x) = t, (x) đơn điệu trên đoạn [a; b], khi đó: I = . Ví dụ 1: Tính I = , (ĐH,CĐ - A2003) Đặt t = . Suy ra I = = = = Ví dụ 2: Tính I = , (ĐH,CĐ- TK2- A2003) Đặt t = I = = = . Chú ý rằng tích phân này có nhiều cách tính: Cách 2: Đặt t = 1 - x2 Cách 3: Đặt t = x2 Cách 4: Đặt x = cost I = . Cách 4.1. Đặt sint = u costdt = du I = Cách 4.2. I = . Cách 4.3. I = = - Cách 5: I == - Ví dụ 3: Tính I = , (ĐH,CĐ - A2004) Đặt: t = 1 + I = = Ví dụ 4: Tính I = . (ĐH,CĐ - B2004) Đặt t = . Ta có: I = = Ví dụ 5: Tính I = , (ĐH,CĐ - A2005) Đặt t = I = = Ví dụ 6: Tính I = , (a > 0). (I) Đặt: . Khi đó: I = = Ví dụ 7: Tính I = , (a > 0). (II) Tương tự VD5 đặt: 2.3. Phép đổi biến x = (t): Tính I = . Đặt x = (t). I = .(t) đơn điệu trên [] Ví dụ 1: Tính I = , (a > 0). (III) Đăt x = asint Ví dụ 2: Tính I = , (a > 0). (IV) Đặt x = atgt Ví dụ 3: Tính I = , (a > 0). (V) Đăt x = asint Ví dụ 4: Tính I = , ( a > 0) (VI) Đặt x = atgt Ví dụ 5: Tính I = , (a > 0). (VII) Đặt = t dx = dt xdx = = tdt dx = I = = = = - ( Xem (I) và (VI)) 3. Phương pháp tích phân từng phần. 3.1. Tích phân từng phần một lần. Ví dụ 1: I = , (ĐH,CĐ- TK1- A2003) Ta có: I = = = = Ví dụ 2: I = , (ĐH,CĐ- TK1- B2003) Ta có: I = 2 = 2 - 2 = 16 - 2= 16 - = 3.2. Tích phân từng phần nhiều lần. Ví dụ 1: I = = = = - = - ( - 2) = - = - ( - ) = - + = - Ví dụ 2: I = . Đặt = t = dt dx = 2tdt Suy ra I = 2 = 2(- 2) = 2e - 4(-) = 2(e - 2) Ví dụ 3: I = . Ta có: I = = + Đặt J = = + = - + - 2 = - - 4J. Suy ra: J = - I = - = 3.3. Tích phân từng phần xuất hiện tích phân ban đầu. VD1: I = = = (+ 3) = = = = = = - + = - I + I = + = + + = Ví dụ 2: I = , Ta có: I = = - = - J = = = = - 2(e - 1) - 4J J = I = Ví dụ 3: Tính I = Đặt x = - t I = = - I I = . Đặt cosx = t I = = 3.4. Tích phân từng phần xuất hiện tích phân làm triệt tiêu một tích phân khác. Ví dụ: Tính I = , (ĐH Dược HN - A2000) Ta có: I = + = + = - + = = 4. Biến đổi thành tổng: Ví dụ 1: Tính I = = = = - = Ví dụ 2: Tính I = = = = 2(ln2 - 2ln 5. Tính đồng thời hai tích phân. Để tính I = , ta "huy động thêm" J = sao cho I + J và I - J đều tính được hoặc đổi biến thích hợp để có I = Ví dụ 1: Tính I = Ta đặt J = . Ta có I + J = = = I - J = = = = 0 Ví dụ 2: Tính I = (ĐH Huế - A2000) Đặt t = - x . Suy ra: I = 2I = I + I = = 6. áp dụng trực tiếp cách chứng minh một số kết quả về tích phân. 6.1. Nếu f(x) là hàm số lẻ thì = 0. Nếu f(x) là hàm số chẵn thì = Chứng minh ở đây là: = + . Đặt t = - x. Khi đó = , nếu f(x) là hàm số lẻ. = , nếu f(x) là hàm số chẵn. Ví dụ: Tính I = . Ta có: I = + (1) Đặt t = - x. Khi đó = == = - Thay vào (1) ta có: I = = 0. Để ý rằng ở đây đã áp dụng trực tiếp cách chứng minh mà không phải qua hai bước: Chứng minh tính chất, chứng minh hàm dưới dấu tích phân là hàm số chẵn hay lẻ rồi mới áp dụng (như thế lời giải sẽ dài dòng). 6.2. Nếu f(x) là hàm số chẵn thì = . Chứng minh ở đây là: Đặt t = - x. Khi đó: = = == = - = Ví dụ: Tính I = , (HVCNBCVT - A1999) Đặt x = - t. Ta có: = = == = - = = . ở đây ta cũng có một chú ý tương tự chu ý ở 6.1. 7. áp dụng trực tiếp cách tính một tích phân lượng giác. I = , (a2 + b2 > 0) i) a = 0 : Tích phân cơ bản ii) b = 0: Tích phân cơ bản 3i) ab 0: I = . Đặt tgx = t, suy ra I = = .(Xem IV) Ví dụ: Tính I = , (ĐHY Thái Bình - 2000) Ta có: I = = = Đặt t = I = ,( I = ,(, 8. Nắm vững cách tính tích phân các hàm số hữu tỷ. 8.1. I = 8.2. I = 8.3. I = 8.4. I = 8.5. I = 8.6. I = P(x) và Q(x) là các đa thức. * * * Một hệ thống các bài toán tích phân như thế sẽ giúp học sinh vững vàng hơn trong quá trình giải các bài toán tính tích phân theo chương trình hiện hành.