Hệ phương trình mũ và lôgarit

www.MATHVN.com Hệ phương trỡnh mũ và logarit www.mathvn.com 1 Hệ ph−ơng trình mũ và lôgarit A. Ph−ơng pháp biến đổi t−ơng đ−ơng. Ph−ơng pháp: B−ớc 1: Đặt điều kiện cho các biểu thức trong hệ có nghĩa. B−ớc 2: Dùng các phép biến đổi để nhận đ−ợc một ph−ơng trình một ẩn. B−ớc 3: Giải ph−ơng trình một ẩn nhận đ−ợc từ hệ. B−ớc 4: Kết luận. Bài tập: Giải các hệ sau: 1. Bài 1. )1( 1)1( 2 22    =+ =+ ++xxy yx Giải. Điều kiện y > −1.    = = ⇔    = =+ ⇔                 =++ >+ =+ =+ ⇔ 0 2 0 2 02 01 11 2 )1( 2 y x y yx xx y y yx 2. Bài 2.     = = ⇔>     = = − −−+−+ −− )2( )0,:( 1 2 )1()(2 2 22 xy xxyx yx yx xxxxyxyx KĐ    −= = ⇔     =+ = ⇔     −−=+ = ⇔ −− )(1 1 033 1 )(2 1 )1( 322 loạix x x x xxxx x Thay x = 1 vào (2) ta có cặp nghiệm (1,1). 3. Bài 3.     −= =+− ⇔     −= =+ ⇔     =+ =+ − xyxyyx xxxxyx 1 022.32 1 322 1 322 21 www.MATHVN.com Hệ phương trỡnh mũ và logarit www.mathvn.com 2       −=     = = ⇔ xy x x 1 22 12           = =    = = ⇔ 0 1 1 0 y x y x 4. Bài 4.     =+ =+ −− 1 1)44(2 22 yx yx 5. Bài 5. )1( 12 99     = = −+ yx yx yxyx Điều kiện: x, y > 0.     = = ⇔     = = ⇔ − −−+ − −+ −− )3( )2()1( 2 )9(29 2 99 22 xy xx xy yx xxxxyxyx    = = ⇔     −−=+ = ⇔ −− 3/1 1 )9(29 1 )2( 22 x x xxxx x . Thay vào (3) ta đ−ợc các cặp nghiệm: (1,1); (1/3,9). 6. Bài 6.    +=+ +=+ ⇔     = = ⇔     = = 3log213log. 3log23log 18log)2.3(log 12log)3.2(log 182.3 123.2 22 22 22 22 yx yx yx yx yx yx Giải hệ trên bằng ph−ơng pháp định thức ta có cặp nghiêm: (2,1). 7. Bài 7 (HVNH 99).     +−= += ⇔     −= =− ⇔     =− = ⇔     =− =+ + 312 312 222 2)22(2 222 22 222 1 y x xy xx yx yx yx yx     +−= += ⇔ )31(log )31(log 2 2 y x www.MATHVN.com Hệ phương trỡnh mũ và logarit www.mathvn.com 3 8. Bài 8 (ĐHSP II 98).     +=++ =+ +−+ )2(113 )1(2.322 2 3213 xxyx xyyx         −= −≥ = ⇔    =−+ −≥ ⇔     +=++ ≥+ ⇔ xy x x yxx x xxyx x 31 1 0 0)13( 1 113 01 )2( 2 Với x = 0 thay vào (1) ta có cặp nghiệm: ) 11 8log,0( 2 Với    −= −≥ xy x 31 1 , thay vào (1) ta có: 31)31(3113 2.322 +−−−+ =+ xxx Giải ra ta đ−ợc cặp nghiệm: ))83(log2,1)83([log 3 1( 22 +−−+ 9. Bài 9 (ĐHKTQD 99).      = = − − + )2( )1( 13 ) 3 (54 yx yx xy xy Điều kiện: x, y > 0. Từ (2) ta có: y = x− 3, thế vào (1) ta đ−ợc:    = = ⇔     −−=+ = ⇔= −− −− + − − 2 1 ) 3 (154 1 33 ) 3 (154 3 3 x x x xxx x xx x x xx Thay vào (2) ta đ−ợc các cặp nghiệm: (1, 1) và (2, 1/8). 10. Bài 10 (ĐHQG 95).     =+ +−=− )2(2 )1()2)((22 22 yx xyyxyx Tháy (2) vào (1) ta đ−ợc: 333322 2222))((22 yxyxxyyxyx yxyxyx −=−⇔−=−⇔++−=− Nhân xét: x = y thoả mãn ph−ơng trình trên. Nếu x > y có: 33 22 yx yx +>+ www.MATHVN.com Hệ phương trỡnh mũ và logarit www.mathvn.com 4 Nếu x < y có: 33 22 yx yx +<+ Nh− vậy, từ ph−ơng trình trên ta có x = y. Thay vào (2) ta có    −== == 1 1 yx yx 11. Bài 11.     = =+ ⇔     = =+ ⇔     =+ =+ 4 17 2).(log 17 2loglog 17 22 2 22 22 22 xy yx yx yx yx yx Giải ra ta đ−ợc các cặp nghiệm (1, 4); (4, 1). 12. Bài 12. )1( loglog2 42      = = x y x yx y Điều kiện: x > 0, 0 < y ≠ 1.      =− = ⇔      =− = ⇔ y y yy yx y x yx yx 2 2 22 22 2 2 22 4 2 2 2 log log2loglog2 log2log log logloglog loglog )1(           = =    = = ⇔         = = = ⇔     =− = ⇔ 4 16 1 1 4 1 log2log 0log2log log2log 22 2 2 2 22 y x y x y y yx yy yx 13. Bài 13. )1( 1)2(log)2(log 24 22 22     =−−+ =− yxyx yx Điều kiện: 2x+y > 0, 2x − y > 0.    =−−+ =−++ ⇔ 1)2(log)2(log 1)2(log)2(log)1( 22 22 yxyx yxyx    = = ⇔    =− =+ ⇔    =− =+ ⇔ 2/1 4/3 12 22 0)2(log.2 2)2(log.2 2 2 y x yx yx yx yx www.MATHVN.com Hệ phương trỡnh mũ và logarit www.mathvn.com 5 14. Bài 14 (ĐHMĐC 99). )1( 1log)4224(log)1(log )3(log1)2(log)(log 4 2 44 44 22 4      −=+−+−+ +=+−+ y x xyyxy yxxyx Điều kiện: (*) 0 04224 01 03 0 2          > >+−+ >+ >+ > y xyy xy yx x        = +−+ + += + ⇔        = +−+ + += + ⇔ y x xyy xy yx x yx y x xyy xy yx x yx 44224 1 3 2 )(4 4 log 4224 1log )3(log 2 )(4log )1( 2 22 424 4 22 4         = = = ⇔         = = = ⇔    =−− =−− ⇔     =−+− =+− ⇔ 1 2 2 2 0)2)(( 0)2)(( 0442 023 2 22 y x yx x yx yx xyx yxyx xyxyx yxyx Kiểm tra lại điều kiện (*) ta có nghiệm:         = = ∈= 1 2 y x Ryx 15. Bài 15 (ĐHQG Khối −D 95). )1( )(log1)(log 324 33      +−=− = + yxyx x y y x Điều kiện:      ≠ >+ >− 0 0 0 xy yx yx www.MATHVN.com Hệ phương trỡnh mũ và logarit www.mathvn.com 6     =− =−− ⇔      =− =+ ⇔      =− =+ ⇔ 3 0)2)(2( 3 5)(2 1)(log 5)(2 )1( 22 2222 3 yx xyyx yx x y y x yx x y y x (*))( 1 2 33 2 33 2 2 2 do y x y xy y yx    = = ⇔            =− =     = = ⇔ nghiệm)(Vô 16. Bài 16 (ĐHBK 94). )1( 813).122( 3log 2 3     =+− =+ yyy yx x Điều kiện: y > 0.     =−+ +−= ⇔     =+− +−= ⇔ − 012 3log 81.27).122( 3log )1( 2 3 12 3 yy yx yyyy yx    = = ⇔         <−= = +−= ⇔ 3 2 )(04 3 3log3 y x y y yx loại 17. Bài 17 (ĐHTL 2000). )1( 3 2loglog2log. 2 3loglog3log. 333 222       +=+ +=+ y yxx xyyx Điều kiện: x, y > 0.     = = ⇔     = = ⇔       = = ⇔ −− xyyx yx xy yx yx yx xy xy xy y x xy 23 2.33.2 2.33.2 2.33.2 3. 3 22. 2. 2 33. )1( www.MATHVN.com Hệ phương trỡnh mũ và logarit www.mathvn.com 7    = = ⇔      = =      ⇔     = = ⇔ − 1 1 2 3 2 3 16 2.33.2 y x yx xy x yx yx 18. Bài 18 (ĐHTCKT 2000). )1( 1loglog 4 44 loglog 88     =− =+ yx yx xy Điều kiện: x, y > 0.     = =+ ⇔      = =+ ⇔ yx yx y x yx xy xy 4 4 1log 4 )1( 88 88 loglog 4 loglog     = = ⇔     = = ⇔     = = ⇔ −23 3 2 log 2 2 4 2loglog 3 1 4 28 y x yx x yx x x x ( do x = 1 không là nghiệm) 19. Bài 19.       − − = − − = ⇔        −= = − ⇔       −= = ⇔        −= + = − 5 )1(2 1 3 1 52 3 1 52 3 33 42 3 9 3 9 2112 x x x x x xy y x x y y x x x y x x y y x x yx y x x y x x 20. Bài 20 (ĐHXD 94). Giải và biện luận hệ ph−ơng trình:    =+ −= ⇔    =+ −= ⇔    =+ −= ⇔    =+ =+ −− )2(1222 )1(2 122 2 122 2 142 2 2 xaxxaxyxyx xayxayxayayx Đặt xt 2= , t > 0 thay vào (2) ta có: 022 =+− att (3) a2.41∆ −= . Nếu 202.410∆ −>⇔<−⇔< aa : Ph−ơng trình(3) vô nghiêm ⇔ hệ vô nghiệm. www.MATHVN.com Hệ phương trỡnh mũ và logarit www.mathvn.com 8 Nếu 202.410∆ −=⇔=−⇔= aa : Ph−ơng trình (3) có nghiệm t = 1/2, suy ra x = −1, y= −1/2. Nếu 202.410∆ −>⇔>−⇔> aa : Ph−ơng trình (3) có 2 nghiệm:        −+ = −− = ⇔        −+ = −− = ⇒        −+ = −− = 2 2.411log 2 2.411log 2 2.4112 2 2.4112 2 2.411 2 2.411 2 2 a a a x a x a a x x t t Thay vào (1) ta tính đ−ợc y. 21. Bài 21 (ĐHMĐC 2000). Giải và biện luận hệ ph−ơng trình:     = −−= ⇔     = =++ −−−−−−+−+ 22 1))1(1(2 22 1 24.2 1 axaxxaxxyyxa xayayx     −=−−−−−+ −−= ⇔ )2(21))1(1(2 )1(1 axaxxax xay 22. Bài 22 (Đề 135). Cho hệ ph−ơng trình: )1( 0 0loglog 2 1 23 3 2 3      =−+ =− myyx yx a) Giải hệ với m = 2. b) Tìm m để hệ ph−ơng trình sau có nghiệm. Điều kiện: (*) 0 0    > ≠ y x     =−+= = ⇔     =−+ = ⇔ )3((*))(0)( )2( 0 loglog )1( 223 33 domyyyf yx myyx yx a) Với m = 2, giải ra ta có các cặp nghiệm (1, 1); (−1, 1). b) (1) có nghiệm khi và chỉ khi (3) có nghiệm y > 0. Do (3) có −b/a= −1 nên (3) có nghiệm d−ơng khi và chỉ khi f(0) 0. www.MATHVN.com Hệ phương trỡnh mũ và logarit www.mathvn.com 9 23. Bài 23. )1( 2)3(log 2)3(log    =+ =+ kxy kyx y x Điều kiện:0 0, 3y + kx > 0 (*).     =−−−− =+ ⇔     =+ =+ ⇔ 0)3)(( )1( yxkyx 2 2 2 x ky 3x y kx 3y x ky 3x            −−= =+     = =+ ⇔         −−= = =+ ⇔ )3( 3 )2( 3 xky yx xky yx 2 2 2 x ky 3x x ky 3x x ky 3x a) Với k = 2.    = = ⇔     = =− ⇔ 5 505)2( 2 y x yx xx      −=    = −= ⇔     −= =−− ⇔ xy x x yy xx 1 2 1 1 02)3( 2 (loại) b) Biện luận:      =    += = ⇔    = =−− ⇔ yx kx x yx kxx 3 )(0 0)3()2( loại    = += ⇔ yx kx 3 là nghiệm của hệ khi và chỉ khi thoả mãn (*), hay 0 < 3+k ≠ 1⇔ −3 < k ≠ −2.     −−= =−+−+ ⇔ )5(3 )4(0)3()3()3( 2 xky kkxkx Xét ph−ơng trình (4) 0)3()3()( 2 =−+−+= kkxkxxf có:
’ = −3(k − 3)(k + 1). + Nếu
’ 3 hoăc k < −1: (4) vô nghiệm ⇔ (3) vô nghiệm. + Nếu
’= 0 ⇔ k = 3 hoăc k = −1: + k = 3: (4) có nghiệm x = 0 không thoả mãn (*) ⇔ (3) vô nghiệm. + k = −1: (4) có nghiệm x = 2, thay vào (5) có y = 2 ⇔ (2,2) là nghiệm của (3). www.MATHVN.com Hệ phương trỡnh mũ và logarit www.mathvn.com 10 + Nếu
’> 0 ⇔ −1 < k < 3 (**): (4) có 2:       +−−−− == +−−+− == 2 )1)(3(33 2 )1)(3(33 2 1 kkk xx kkk xx Với x = x1, thay vào (5) ta có y1 = x2. Với x = x2, thay vào (5) ta có y1 = x1. Do đó, (3) có nghiệm thoả mãn 0 < x, y ≠ 1 khi và chỉ khi:    −≠ < ⇔      ≠−++− >− >− ⇔      ≠ >+ > 31 0 0)3(31 03 0)3( 0)1( 0 0 21 21 k k kkk k kk f xx xx Kết hợp (**) ta có    −≠ <<− 31 01 k k Kết luận: + Với k ≤ −3 hoặc k = −2 hệ vô nghiệm. + Với }2{\),0[}31{]1,3( −+∞∪−∪−−∈k hệ có nghiệm x=y=3+k. + Với }31{\)0,1( −−∈k hệ có 3 nghiệm:    = =    = =    += += 1 2 2 1; 3 3 xy xx xy xx ky kx và www.MATHVN.com Hệ phương trỡnh mũ và logarit www.mathvn.com 11 B. Ph−ơng pháp đặt ẩn phụ I. Ph−ơng pháp: B−ớc 1: Đặt điệu kiện cho các biểu thức trong hệ có nghĩa. B−ớc 2: Lựa chọn ẩn phụ để biến đổi hệ ban đầu về hệ đại số đã biết (hệ đối xứng, hệ đẳng cấp, ...). B−ớc 3: Giải hệ. B−ớc 4: Kết luận. II. Bài tập. Giải các hệ ph−ơng trình sau: 24. Bài 24. )1( 82.33.2 1723 1 2222     =+ =+ + ++ yx yx Đặt: )2(0,, 2 3 >     = = vu v u y x ,thay vào (1) ta có:    =+ =+ 836 1749 22 vu vu , giải ra ta đ−ợc:    = −= ⇒    = = 1 1 2 3/1 y x v u 25. Bài 25.     −=− −=− + 2232 22.32 22 212 x xx yy y Đặt 1,2 ≥= uu x , thay vào hệ ta có:     −=− −=− 232 232 22 22 uyy yuu , giải ra ta đ−ợc y = u = 2, suy ra hệ có các cặp nghiệm: (0, 1); (1, 2); (−1, 2). 26. Bài 26. )1( 42.4.32 122.4.44 162.32 1424 12 21)1(2 222 222 2 22 2 22     =− =+− ⇔     =− =+− − −− ++ +− yxy yyxx yxy yyxx www.MATHVN.com Hệ phương trỡnh mũ và logarit www.mathvn.com 12 Đặt: (*)0,, 2 4 1 2 >     = = − vu v u y x , thay vào (1) ta có:      − = =−+−−− ⇔     =− =+− v v u vvvvv uvv vuvu 3 4 099)4(12)4( 43 14 2 242222 2 22    = = ⇔      − = = ⇔      − = =−− ⇔ 1 4 3 4 16 3 4 016312 2 2 2 24 u v v v u v v v u vv Thay vào (*) ta đ−ợc các cặp nghiệm: (1, 2); (−1, 2). 27. Bài 27.     =+++ =− )2(1)1()1( )1()(239 22 3log)(log 22 yx xyxy Điều kiên: xy > 0. Đặt: txytxy 2)(log 2 =⇒= , thay vào (1) ta có: 2133033.23)2.(239 23log 2 =⇒=⇔=⇔=−−⇔=− xytttttt (3) 03)(2)(012)(2)()2( 22 =−+++⇔=+−+++⇔ yxyxxyyxyx    −=+ =+ ⇔ 3 1 yx yx (4) Kết hợp (3) và (4) ta có các cặp nghiệm: 1, 2); (2, 1). 28. Bài 28.     =−−+ += )2(233 )1()(24 22 2log)(log 33 yxyx xyxy Điều kiên: xy > 0. Đặt: txytxy 3)(log 3 =⇒= , thay vào (1) ta có: )3(31220222)3(24 22log 3 =⇒=⇔=⇔=−−⇔+= xytttttt 018)(3)(0122)(3)()2( 22 =−+−+⇔=−−+−+⇔ yxyxxyyxyx )4( 3 6    −=+ =+ ⇔ yx yx Từ (3) và (4) ta có các cặp nghiệm )63,63( −+ , )63,63( +− . www.MATHVN.com Hệ phương trỡnh mũ và logarit www.mathvn.com 13 29. Bài 29.      =− =− 723 723 22 2 2 yx yx 30. Bài 30. )1( 299 39.9 2819 39 cot2sin sincot2 cotsin sincot2     =− = ⇔     =− = + gxy ygx gxy ygx Đặt: 0,, 9 9 sin cot2 >     = = vu v u y gx , thay vào (1) ta có:    = = ⇒    = = ⇔    += =+ ⇔    =− = 2/1sin 0cot 3 1 2 3)2( 2 3. y gx v u uv uu uv vu 31. Bài 21 (ĐHDL TL 98). )1( 1lg6 3lg2 1lg3 3lg2 2    =− =+ ⇔     =− =+ yx yx yx yx điều kiện:x ≥ 0, y > 0. Đặt ẩn phụ, giải ra ta đ−ợc cặp nghiệm: )10,4( . 32. Bài 32 (ĐHNN I 98). )1( )3()4( 43 lg4lg lglg     = = y yx yx Điều kiện: x, y > 0. )2( 4lg3lg3lg.lg4lg.lg 04lg.lg3lg.lg )3lg()4lg( )4lg()3lg()1( 223lg4lg lglg    −=− =− ⇔     = = ⇔ yx yx yx yx Đặt:    = = yv xu lg lg , thay vào (2) ta có:    −=− =− 4lg3lg3lg.4lg. 04lg.3lg. 22 vu vu . Giải ra bằng ph−ơng pháp định thức ta đ−ợc:    = = ⇒    −= −= 3/1 4/1 3lg 4lg y x v u www.MATHVN.com Hệ phương trỡnh mũ và logarit www.mathvn.com 14 33. Bài 33 (ĐHQG TPHCM 97).     =+++ =++++− −+ −+ )2(2)21(log)21(log )1(4)21(log)21(log 11 2 1 2 1 xy xxyy yx yx Điều kiện:x > −1/2, x ≠ 0, −1/2 < y < 1, y ≠ 0. 2)1(log 1)1(log2)1(log)1(log)1( 1 111 = − +−⇔=++−⇔ + +−+ y yxy x xyx yxyxyx −=⇔−=+⇔=−⇔ + 111)1(log 1 . Thay vào (2) ta có: 5 2 5 2)1(412)41(log 2221 =⇒ − =⇔+=−⇔=−+ yxxxxx 34. Bài 34 (ĐHTCKT 2000). )1( 1loglog 4 44 loglog 88    =− =+ yx yx xy Điều kiện:x, y > 0. )2( 2 1loglog 4)1( 22 log 3 1log 3 1 22       =− =+ ⇔ yx yx xy Đặt:     = = ⇒    = = v u y x yv xu 2 2 log log 2 2 , thay vào (2) ta có:     =− = ⇔       =− = ⇔       =− =+ 2 1 3 2 1 22 2 1 4)2()2( 33 1 3 1 vu uv vuvu uv u v v u                   = =       = = ⇒              − = −=     −= − = ⇔ 8 1 2 1 2 1 8 1 2 3 2 2 2 3 y x y x v u v u www.MATHVN.com Hệ phương trỡnh mũ và logarit www.mathvn.com 15 35. Bài 35 (Đề 56). Cho hệ ph−ơng trình: )1( 4)(log).(log 4)(log)(log    =++ =+++ bxaybyax bxaybyax yx yx a) Giải hệ khi a = 3, b = 5. b) Giải và biện luận hệ khi a, b > 0. Điều kiện: 0 0, ay + bx > 0. Đặt:    += += )(log )(log bxayv byaxu y x , thay vào (1) ta có: )2( 2)(log 2)(log 2 2 4. 4    =+ =+ ⇒    = = ⇔    = =+ bxay byax v u vu vu y x a) Với a = 3, b = 5: Điều kiện: Điều kiện: 0 < x, y ≠ 1. Từ (2) ta có:    =++− =+ ⇔     =+ =+ ⇔    =+ =+ 0)2)(( 53 53 53 2)53(log 2)53(log 2 2 2 yxyx xyx yxy xyx xy yx y x    = = ⇔           =++ −−=    =− = ⇔ 8 8 )( 0108 2 08 2 2 y x VN xx xy xx yx b) Với a, b > 0: Điều kiện: Điều kiện: 0 < x, y ≠ 1 (*). Từ (2) ta có:    =+−+− =+ ⇔     =+ =+ ⇔    =+ =+ 0))((2)(log 2)(log 2 2 2 bayxyx xbyax ybxay xbyax bxay byax y x           =+−+ =+    = =+ ⇔         =+−+ = =+ )4( 0 )3( 0 2 2 2 bayx xbyax yx xbyax bayx yx xbyax www.MATHVN.com Hệ phương trỡnh mũ và logarit www.mathvn.com 16    += += ⇔         = += = ⇔    =+− = ⇔ bay bax x bax yx xbax yx )(00)( )3( 2 loại Nghiệm của (3) là nghiệm của (1) khi và chỉ khi thoả mãn (*), hay a + b ≠1    =+−−+ −−= ⇔ )5(0)( )4( 22 babxabx xbay Do 0 x > 0. Khi đó nếu (5) có: 0))(3()(4)(∆ 22 >−+=−+−= babababab , 02 <+− bab , nên (5) có hai nghiệm trái dấu: 0 )ạ(0 2 ))(3( 0 2 ))(3( 21 2 1 <=⇒       < −+−− = > −++− = xy ilo bababa x bababa x . Vậy hệ (4) không có nghiệm thoả mãn (*). Kết luận: + Với a + b = 1 hệ vô nghiệm. + Với a + b ≠1, hệ có nghiệm duy nhất x = y = a + b. 36. Bài 36. Giải và biện luận hệ ph−ơng trình: )1( 1232. 33.2     +=+ =+ mm mm yx yx Đặt: (*)0,, 3 2 >     = = vu v u y x .Thay vào (1) ta có: )2( 12 3    +=+ =+ mvmu mmvu 123,22,1 222 ++−=+−=−= mmmmm vu DDD + Nếu D ≠ 0 ⇔ m ≠ 1 và m ≠ −1: Hệ (2) có nghiệm duy nhất:       + + = + = ⇔        − ++− = − +− = m m v m m u m mm v m mm u 1 13 1 2 1 123 1 22 2 2 2 2 Vì điều kiện (*) nên để u, v là nghiệm của (2) ta phải có: www.MATHVN.com Hệ phương trỡnh mũ và logarit www.mathvn.com 17    > −< ⇔           −> −<    > −< ⇔       > + + > + 0 1 3/1 1 0 1 0 1 13 0 1 2 m m m m m m m m m m . Khi đó (1) có nghiệm:       + + = + = m my m m x 1 13log 1 2log 2 2 + Nếu    −= = ⇔=−⇔= 1 1 010 2 m m mD + Với m = 1: Dx ≠ 0 nên hệ (2) vô nghiệm. + Với m = −1: D = Du = Dv = 0: Mọi cặp (u, v) thoả mãn u + v = 3 là nghiệm của (2), suy ra mọi cặp (x, y) thoả mãn x + y = 3 là nghiệm của (1). Kết luận: ∗ Với    > −< 0 1 m m , hệ có nghiêm duy nhất:       + + = + = m my m m x 1 13log 1 2log 2 2 ∗ Với m = −1: mọi cặp (x, y) thoả mãn x + y = 3 là nghiệm của (1). ∗ Với −1 < m < 0: hệ (1) vô nghiệm. 37. Bài 37. Cho hệ ph−ơng trình: )1( 12.3 223. 1 1     +=+ =+ + + mm mm yx yx a) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất. (−2≤ m < −1) b) Tìm m nguyên để nghiệm duy nhất của hệ là nghiệm nguyên. (m = −2) 38. Bài 38. Giải và biên luận hệ ph−ơng trình: )1( 22.2 2.2.22 22. 2.2.2 2 2 12 12     +=+ +=+ ⇔     +=+ +=+ + + xx xxx xx xxx myyy ymy myyy ymy Đặt: 0,2 >= tt x (*). Thay vào (1) ta có: www.MATHVN.com Hệ phương trỡnh mũ và logarit www.mathvn.com 18    =+−+− +=+ ⇔     +=+ +=+ 0)1)(( 2 2 2 2 2 2 mytyt ymtytt tmyyty ymtytt           −+−= +=+    = +=+ ⇔         −+−= = +=+ ⇔ )3( 1 2 )2(2 1 2 2 2 2 mty ymtytt yt ymtytt mty yt ymtytt           + = = = ⇔    =+− = ⇔ 3 1 )(0 0)1(3 )2( 2 m t t yt tmt yt loại Do t > 0 nên: 10 3 1 −>⇔> + m m , khi đó 3 1log 2 + = m x    =−+−− −+−= ⇔ )4(01)1( 1 )3( 2 mtmt mty Giải ph−ơng trình (4): )5)(1(56)1(4)1(∆ 22 −−=+−=−−−= mmmmmm + Nếu    < > ⇔>−−⇔> 1 5 0)5)(1(0∆ m m mm , ph−ơng trình (4) có 2 nghiêm phân biệt:    = = ⇒        +−−− = +−+− = 12 21 2 2 2 1 2 561 2 561 ty ty mmm t mmm t Với m 0, t2 < 0. Do đó hệ (3) có nghiệm duy nhất:        +−−− = +−+− = ⇒        +−−− = +−+− = 2 561 2 561log 2 561 2 561 2 2 2 2 2 mmmy mmm x mmmy mmm t Với m > 5, ph−ơng trình (4) có hai nghiệm t1, t2 thoả mãn: www.MATHVN.com Hệ phương trỡnh mũ và logarit www.mathvn.com 19    > > ⇒    >−= >−=+ 0 0 01. 01 2 1 21 21 t t mtt mtt , nên hệ (3) có các cặp nghiệm:    = =    = = 1 2 2 1 ty tt ty tt và + Nếu    = = ⇔=−−⇔= 1 5 0)5)(1(0∆ m m mm Với m = 5, ph−ơng trình (4) có nghiệm duy nhất t = 4 ⇒ y = 4 ⇒ hệ (3) có nghiêm duy nhất 4,24log 2 === yx . Với m = 1, ph−ơng trình (4) có nghiệm duy nhất t = 0 (không thoả mãn (*)) ⇒ hệ (3) vô nghiệm. + Nếu 510)5)(1(0∆ <<⇔<−−⇔< mmm , ph−ơng trình (4) vô nghiệm ⇒ hệ (3) vô nghiệm. Kết luận: Nếu m ≤ −1, hệ có nghiệm duy nhất:        +−−− = +−+− = 2 561 2 561log 2 2 2 mmmy mmm x Nếu −1 < m < 1 hệ có 2 nghiệm:       + = + = 3 1 3 1log 2 my m x và        +−−− = +−+− = 2 561 2 561log 2 2 2 mmmy mmm x Nếu 1 < m < 5, hệ có nghiệm duy nhất:       + = + = 3 1 3 1log 2 my m x Nếu m = 5, hệ có hai nghiệm:    = =    = = 4 2 2 1 y x y x và www.MATHVN.com Hệ phương trỡnh mũ và logarit www.mathvn.com 20 Nếu m > 5, hệ ph−ơng trình có 3 nghiệm:       + = + = 3 1 3 1log 2 my m x        +−+− = +−−− =        +−−− = +−+− = 2 561 2 561log 2 561 2 561log 2 2 2 2 2 2 mmmy mmm x mmmy mmm x và 39. Bài 39. Giải và biên luận hệ ph−ơng trình: )1( 263 242       −=− −=− ++ −− nnnn mmmm yxyx yxyx Xét với m, n > 0. Đặt:       = = + − 6 4 yx yx nv mu (*). Thay vào (1) ta có: )2( 22 22     −=− −=− nnvv mmuu Xét hàm số: xxxf −= 2)( là hàm đồng biến trên (0, +∞), nên với x≠y thì )()( yfxf ≠ . Do đó    = = ⇔ nv mu)2( . Thay vào (*) ta có:      ∈ = =     ≠= = −     =≠ = −          ≠≠ = + = − ⇔       = = − − Ryx n m nm yx nm yx nm yx yx nn mm yx yx , 1 1 1,1 1 6 1,1 1 4 1,1 1 6 1 4 6 4 hoặchoặchoặc www.MATHVN.com Hệ phương trỡnh mũ và logarit www.mathvn.com 21      ∈ = =    ≠= =−    =≠ =−      ≠≠ = = ⇔ ryx n m nm yx nm yx nm y x , 1 1 1,1 6 1,1 4 1,1 1 5 hoặchoặchoặc Kết luận: Xét với m, n > 0 + Với m = n = 1: Mọi x, y ∈ R là nghiệm của hệ. + Với m = 1, n ≠ 1: Mọi (x, y) thoả mãn x − y = 6 là nghiệm của hệ. + Với m ≠ 1, n = 1: Mọi (x, y) thoả mãn x − y = 4 là nghiệm của hệ. + Với 0 < m, n ≠ 1: Hệ có nghiêm duy nhất (5,1). 40. Bài 40. Cho hệ ph−ơng trình: )1( 221 112 122 1     +−=− ++−−= ++ + my myy xx x a) Giải hệ ph−ơng trình với m = 0. b) Tìm m để hệ có nghiêm. c) Tìm m để hệ coa nghiêm duy nhất. Giải. Đặt: 0,2, 1 2 1 ≥≥     −= = + vu yv u x (*), thay vào (1) ta có:    −++−−=− +−= ⇔     +−= +−= )())(( 2 2 2 vuvuvuvu mvvu muuv mvvu           −= +−=    = +−= ⇔    =+− +−= ⇔ (*))( )2( 0))(( 2 2 2 t/mnghiệmcókhông vu mvvu vu mvvu vuvu mvvu a) Với m = 0, (2) trở thành:    == == ⇔    =− = ⇔    −= = 2 )(0 0)2(2 vu vu uu vu vvu vu loại Thay u = v = 2 vào (*) ta có: www.MATHVN.com Hệ phương trỡnh mũ và logarit www.mathvn.com 22    = = ⇔      = = ≥≥ ⇔      =− = ≥≥ ⇔     =− = + 5 1 5 1 1,0 41 1 1,0 21 22 1 y x y x yx y x yx y x b)    =+−= = ⇔    =+− = ⇔ )3(02)( )2( 22 mvvvf vu vmvv vu Hệ có nghiệm khi và chỉ khi (3) có nghiệm v ≥ 2 0)( 21 2 0)2( 0'∆ 0)2( ≤⇔                 >= − > ≥ ≤ m VN a b f f Vậy với m ≤ 0 thì hệ có nghiệm. c)    =+−= = ⇔    =+− = ⇔ )4(02)( )2( 22 mvvvf vu vmvv vu Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi (3) chỉ có 1 nghiệm v ≥ 2 0 0)2( 21 2 0)2( ≤⇔       <     ≤=− = m f a b f Vậy với m ≤ 0 thì hệ có nghiệm duy nhất. 41. Bài 41. Cho hệ ph−ơng trình: )1( 4.242 4.2.2)42( 242 42 2 2 22     =++ =−+ ⇔     =++ =+ + m m m m yxyx yxyx yxyx yx a) Giải hệ với m = 1. b) Tìm m để hệ có nghiệm. Giải. Đặt: 0,, 4.2 42 >     = += uu v u yx yx (*).Thay vào (1) ta có: www.MATHVN.com Hệ phương trỡnh mũ và logarit www.mathvn.com 23    +−= −=+− ⇔    +−= −= ⇔    =+ =−+ mvu mmmvv mvu mmuv mvu muvvu 222 )(222)(    +−= =−+−= ⇔ mvu mmmvvvf )2(022)( 22 a) Với m = 1 ta có: )( 0 1 1 1 )(0 1 022 2 loại loại    = = ⇔      +−=    = = ⇔    +−= =− u v vu v v vu vv Vậy với m = 1, hệ vô nghiệm. b) Nhận xét: Với m ≤ 0, ph−ơng trình thứ hai của (1) vô nghiệm nên hệ vô nghiệm. Ta xét với m > 0. Khi đó hệ (1) có nghiêm khi và chỉ khi ph−ơng trình (2) có nghiêm v thoả mãn 0 < v < m )( 2/1 0 0 2/1 0 0)(2 0)( 2 1 2 0 0)( 0)0( 0'∆ 0)().0( 2 2 2 22 22 vn m mm mm m mm mmm mm m a b mf f mff       > >− <− ⇔               > >− >−− <− ⇔                 <= − < > > > < ⇔ Vậy không có giá trị của m để ph−ơng trình có nghiệm. 42. Bài 42. Giải và biên luận hệ ph−ơng trình: )1( 3lg2lg)6( 1lglg4    +=++ −−=− myxm mymx Giải bằng ph−ơng pháp định thức. 43. Bài 43.Tìm m để hệ ph−ơng trình sau có nghiệm duy nhất: )1( lglg 1lglg lg 1lglg 2 2    =− =+ ⇔      = =+ myx x m y x x y y Điều kiện: x, y > 0. Đặt:    = = yv xu lg lg , thay vào (1) ta có: www.MATHVN.com Hệ phương trỡnh mũ và logarit www.mathvn.com 24    +−= =−+− ⇔    +−= =++− ⇔    =− =+ mvu mvv mvu vmv mvu vu )2(01221)(1 222222 Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi ph−ơng trình (2) có nghiêm duy nhất 220240)1(20'∆ 222 ±−=⇔=−+−⇔=−−⇔=⇔ mmmmm Bài 43.Tìm m để hệ ph−ơng trình sau có nghiệm: )1( lnlnln lnlnln ln)ln( ln)ln( 2 2 2 2     +=+ +=+ ⇔     += += myyx mxyx myxy mxxy Điều kiện: x, y > 0 Đặt:    = = yv xu lg lg , thay vào (1) ta có:           −= −=    =+− = ⇔         −= = +=+ ⇔     +=+ +=+ )( )3( )( )2(02 2 2 2 2 2 II I mu vu muu vu vu vu muvu mvvu muvu Hệ (1) có nghiêm khi và chỉ khi    ⇔   nghiệmcó)( nghiệmcó(2) nghiệmcó)(I nghiệmcó)( 3i i 1 0 1 0 01 0 0'∆ )2( ≤⇔   ≤ ≤ ⇔   ≤ ≥− ⇔   ≤ ≥ ⇔ m m m m m m 44. Bài 44.Tìm m để hệ ph−ơng trình sau có 2 nghiệm: )1( )( 1)(log 2 22 )(2     =+ =++ myx yxyx Điều kiện:    >+ ≠+< 0 2/10 22 yx yx )2( )( 0)(22)( )( )(2)1( 2 2 2 22     =+ =+−−+ ⇔     =+ +=+ ⇔ myx yxxyyx myx yxyx + Với m ≤ 0, (2) vô nghiệm, suy ra (1) vô nghiệm. + Với m > 0: www.MATHVN.com Hệ phương trỡnh mũ và logarit www.mathvn.com 25 )3(2 2 )2(      =+ − = ⇔ myx mm xy (1) có nghiêm khi và chỉ khi (3) có nghiệm 9 16 0 043 0 24 0 2)( 2 >⇔    > ≥− ⇔    > −≥ ⇔    > ≥+ ⇔ m m mm m mmm m xyyx C. Giải hệ ph−ơng trình bằng ph−ơng pháp hàm số. Ph−ơng pháp: B−ớc 1: Đặt điều kiện cho các biểu thức trong hệ có nghĩa. B−ớc 2: Rút ra từ hệ một ph−ơng trình dạng f(x) = f(y). B−ớc 3: Sử dụng ph−ơng pháp hàm số: Nếu f(x) là hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến thì từ ph−ơng trình f(x) = f(y) ta có x = y. B−ớc 4: Sử dụng kết quả trên để giải hệ. Bài tập: Giải hệ ph−ơng trình: 45. Bài 45. )( )2(3232 322 2222 322 322 322 I yx yx yxyx yx xy yx yx x yx x y x     +=+ +=+ ⇔     +−=−+− +=+ ⇔     +=+ +=+ Xét hàm số: xxf x 32)( += là hàm số đồng biến trên R, nên từ ph−ơng trình (2) ta có: f(x) = f(y) ⇔ x = y. Khi đó hệ (I) trở thành: )( )3(32322 322 II    +−= = ⇔    +=+ = ⇔    = +=+ x yx xx yx yx yx xx x Giải ph−ơng trình (3): Nhận xét: + x = 1 là nghiêm của (3). + Với x > 1: VT(3) > 2, TP(3) < 2 nên ph−ơng trình (3) không có nghiệm x > 1. + Với x 2 nên ph−ơng trình (3) không có nghiệm x < 1. Vậy ph−ơng trình (3) có nghiệm duy nhất x = 1, do đó từ hệ ph−ơng trình (II) ta có (1, 1) là nghiêm của hệ (1). www.MATHVN.com Hệ phương trỡnh mũ và logarit www.mathvn.com 26 46. Bài 46.     =++ +=+ ⇔     =++ −=− )2(12 )1(33 12 33 2222 yxyx yx yxyx xy yxyx Xét hàm số: xxf x += 3)( là hàm số đồng biến trên R, nên từ ph−ơng trình (1) ta có: f(x) = f(y) ⇔ x = y. Khi đó hệ (1) và (2) trở thành:    ±= = ⇔    = = ⇔    =++ = 212312 222 x yx x yx yxyx yx Vậy nghiêm của hệ ph−ơng trình là (2, 2) và −2, −2). 47. Bài 47.     +=+ = ⇔     = = )2(2222 )1(22 22 22 yx y x y yx x y x Xét hàm số xxf x 22)( += là hàm số đồng biến trên R, nên từ (2) ta có: yxyfxf =⇔= )()( . Kết hợp với (1) ta có hệ:         = = = ⇔    =− = ⇔    = = 2 1 02222 x x yx x yx y yx xx ( do hàm số xxf x 22)( −= là hàm lồi, nên ph−ơng trình: 022 =− xx có đúng hai nghiệm. D. Giải hệ ph−ơng trình bằng ph−ơng pháp điều kiện cần và đủ. Ph−ơng pháp: áp dụng co các bài toán: 1. Tìm điều kiện để hệ ph−ơng trình có nghiệm duy nhất. 2. Tìm điều kiện để hệ ph−ơng trình có nghiệm với mọi giá trị của một tham số. Các b−ớc: B−ớc 1. Đặt điều kiện cho các biểu thức trong hệ có nghĩa. B−ớc 2. Tìm điều kiện cần cho hệ dừa vào tính đối xứng hoặc đánh giá. www.MATHVN.com Hệ phương trỡnh mũ và logarit www.mathvn.com 27 B−ớc 3. Kiểm tra điều kiên đủ. Bài tập. 48. Bài 48. Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất. )1()1(22 22    =+ +−=− myx mxyyx Nhận xét: Nếu x0 là nghiệm của hệ thì − x0 cũng à nghiệm của hệ. Do đó để hệ có nghiệm duy nhất thì x0 = − x0 ⇔ x0 = 0. Với x = 0, thay vào hệ ta có: )( 0 0)2(21 2 biến nghịch VT(2)biến,dông VP(2)do    = = ⇔     = =− m y my yy Với m = 0 thay vào (1) ta có:     =+ +=+ ⇔     = −=− )4(0 )3(2222 22 yx yx xy xy yxyx Xét hàm số: ttf t += 2)( là hàm số đồng biến trên R. Nên từ (3) ta có: yxyfxf =⇔= )()( , kết hợp (4) ta có: 0 02 ==⇔     =+ = yx yx yx . Vậy với m = 0 hệ có nghiệm duy nhất. 49. Bài 49. Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất: )1( 1 2 22 2     =+ ++=+ yx mxyxx Nhận xét: Nếu x0 là nghiệm của hệ thì − x0 cũng à nghiệm của hệ. Do đó để hệ có nghiệm duy nhất thì x0 = − x0 ⇔ x0 = 0. Với x = 0, thay vào hệ ta có:          −= =    = = ⇔    = += 1 2 1 0 1 1 2 y m y m y my Với m = 0 thay vào (1) ta có: www.MATHVN.com Hệ phương trỡnh mũ và logarit www.mathvn.com 28     =+ +=+ )3(1 )2(2 22 2 yx xyxx Từ (3) ta có: 2 2 2 1211 10 xyx y xx y x x x +≥+⇒     ≥≥ ≥ ⇒    ≤≤− ≤≤ . Do đó:    = = ⇔     == = ⇔ 1 0 12 )2( 2 y x y xx x , thoả mãn (3), suy ra m = 0 thoả mãn. Với m = 2 thay vào (1) ta có:     =+ ++=+ 1 22 22 2 yx xyxx