Giới hạn dưới, giới hạn trên của mảng các biến ngẫu nhiên và ứng dụng - Dương Xuân Giáp

TAÏP CHÍ KHOA HOÏC ÑAÏI HOÏC SAØI GOØN Soá 22 (47) - Thaùng 11/2016 73 Giới hạn dưới, giới hạn trên của mảng các biến ngẫu nhiên và ứng dụng Lower limit and upper limit of array of random variables and their applications TS. Dương Xuân Giáp, Trường Đại học Vinh ThS. Ngô Hà Châu Loan ThS. Bùi Đình Thắng Trường Đại học Kinh tế Nghệ An Tôn Nữ Minh Ngọc, Sinh viên Trường Đại học Vinh Duong Xuan Giap, Ph.D., Vinh University Ngo Ha Chau Loan, M.Sc. Bui Dinh Thang, M.Sc. Nghe An College of Economics Ton Nu Minh Ngoc, Student of Vinh University Tóm tắt Trong bài báo này, chúng tôi đưa ra khái niệm giới hạn dưới và giới hạn trên của mảng các biến ngẫu nhiên cho hai trường hợp: max hoặc min các tọa độ tiến tới vô cùng. Từ đó, chúng tôi nghiên cứu và mở rộng các tính chất về giới hạn dưới và giới hạn trên từ trường hợp dãy sang trường hợp mảng. Cuối cùng, chúng tôi thu được một số ứng dụng của chúng trong việc thiết lập định lý ergodic cho nhiều phép biến đổi, trong chứng minh luật số lớn đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên 2-hoán đổi được và trong chứng minh chiều “ limsup ” của hội tụ Mosco. Từ khóa: giới hạn dưới, giới hạn trên, biến ngẫu nhiên, bổ đề Fatou, định lý hội tụ bị chặn Lebesgue, định lý ergodic Birkhoff, luật số lớn. Abstract In this paper, we introduce the concepts of lower limit and upper limit of array of random variables for two cases: max of indicators tends to infinity, and min of indicators tends to infinity. Thereby, we study and extend some properties of lower limit and upper limit to the multidimensional array case. Finally, we obtain some of their applications in proving multidimensional Birkhoff’s ergodic theorem, in proving strong law of large numbers for array of - exchangeable random elements, and in proving “ limsup ” part of Mosco convergence. Keywords: lower limit, upper limit, random variable, Fatou’s lemma, Lebesgue’s bounded convergence theorem, Birkhoff’s ergodic theorem, the law of large numbers. 74 1. Phần mở đầu Giới hạn dưới và giới hạn trên của dãy các số thực là một khái niệm có vai trò quan trọng trong lý thuyết xác suất, đặc biệt là trong các định lý giới hạn. Dựa vào các khái niệm này, ta có Bổ đề Fatou và ứng dụng để chứng minh định lý hội tụ bị chặn Lebesgue, định lý hội tụ đơn điệu, các tính chất khả tích đều, định lý ergodic Birkhoff, luật số lớn và chiều “ limsup ” của hội tụ Mosco trong xác suất đa trị, ... Khi nghiên cứu các định lý giới hạn trong lý thuyết xác suất cho cấu trúc nhiều chỉ số, việc xây dựng khái niệm và nghiên cứu tính chất của giới hạn dưới, giới hạn trên đối với mảng các biến ngẫu nhiên đóng một vai trò hết sức quan trọng. 2. Kiến thức chuẩn bị Trong suốt bài báo này, chúng tôi luôn giả thiết rằng là một không gian xác suất, là không gian Banach thực, khả ly và là không gian đối ngẫu của . Ký hiệu là -đại số Borel trên . Ký hiệu (tương ứng, ) là tập tất cả các số thực (tương ứng, tập tất cả các số tự nhiên). Giả sử , ta ký hiệu và . Với , ta viết (tương ứng, ) nếu (tương ứng, ) với mọi . Với hai số thực và , giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của chúng tương ứng được ký hiệu bởi và . Với mỗi , lôgarit cơ số của được ký hiệu là . Định nghĩa 2.1. (xem [10]) Họ các biến ngẫu nhiên được gọi là khả tích đều nếu khi . Bổ đề 2.2. (xem [10]) Họ các biến ngẫu nhiên là khả tích đều khi và chỉ khi hai điều kiện sau thỏa mãn: , với mọi , tồn tại sao cho với mọi , thì Định nghĩa 2.3. Họ các phần tử ngẫu nhiên được gọi là khả tích đều nếu họ các biến ngẫu nhiên là khả tích đều. Bổ đề 2.4. (Định lý hội tụ đơn điệu, xem [1]) Nếu dãy các biến ngẫu nhiên không âm thỏa mãn khi (X là một biến ngẫu nhiên) thì khi . Định nghĩa 2.5. Mảng các phần tử ngẫu nhiên được gọi là 2- hoán đổi được nếu với mọi , và mọi , Định nghĩa 2.6. ([9]) Một phép biến đổi được gọi là đo được nếu , với mọi . Một phép biến đổi được gọi là bảo toàn độ đo nếu T là đo được và đồng thời , với mọi . Khi đó, ta nói là độ đo T-bất biến. Một tập được gọi là T-bất biến nếu . Một biến ngẫu nhiên được gọi là T-bất biến nếu . Một phép biến đổi bảo toàn độ đo được gọi là ergodic nếu các tập T-bất biến chỉ có xác suất 0 hoặc 1; nghĩa là, với mọi , điều kiện kéo theo 75 hoặc . Nhận xét 2.7. (1) Phép biến đổi bảo toàn độ đo được viết một cách đầy đủ là bởi vì tính chất bảo toàn độ đo phụ thuộc vào -đại số và vào độ đo. (2) Họ tất cả các tập T-bất biến lập thành một -đại số con của -đại số . Ta ký hiệu -đại số này là . (3) Nếu là các phép biến đổi bảo toàn độ đo thì tích (còn được viết gọn là ) cũng là phép biến đổi bảo toàn độ đo. Đặc biệt, nếu là một phép biến đổi bảo toàn độ đo thì phép lặp cũng là một phép biến đổi bảo toàn độ đo. (4) Theo U. Krengel [9, tr. 5], biến ngẫu nhiên là T-bất biến nếu và chỉ nếu là -đo được. Ký hiệu là họ tất cả các tập con đóng và khác rỗng của . Với , ký hiệu là bao lồi đóng của A, hàm tựa của A được định nghĩa bởi 3. Giới hạn dưới và giới hạn trên của mảng các biến ngẫu nhiên Định nghĩa 3.1. Giới hạn dưới (tương ứng, ) và giới hạn trên (tương ứng, ) của mảng các số thực khi (tương ứng, ) các tọa độ tiến tới vô cùng, được định nghĩa bởi Định nghĩa 3.2. Ta nói mảng hội tụ tới (hay, là giới hạn của mảng ) khi (tương ứng, ), ký hiệu (tương ứng, ) hoặc khi (tương ứng, ), nếu (tương ứng, ). Ta nói mảng hội tụ tới (hay, là giới hạn của mảng ) khi (tương ứng, ), ký hiệu (tương ứng, ) hoặc khi (tương ứng, ), nếu (tương ứng, ). 76 Định nghĩa 3.3. Mảng được gọi là mảng con của mảng nếu nó là dãy con theo từng tọa độ, nghĩa là, nếu cố định tọa độ thì nó là dãy con ứng với tọa độ còn lại. Giới hạn của mảng con gọi là giới hạn riêng của mảng . Nhận xét 3.4. Với mỗi , đặt Khi đó: 1. Các dãy số và đều là dãy tăng. 2. Các dãy số và đều là dãy giảm. 3. Với mọi , . Từ đó, 4. Giới hạn dưới và giới hạn trên luôn tồn tại (có thể bằng ). 5. Nếu mảng bị chặn trên thì giới hạn dưới thuộc , nếu bị chặn dưới thì giới hạn trên thuộc và nếu bị chặn thì cả giới hạn dưới và giới hạn trên đều thuộc . 6. Nếu và , thì Định lý 3.5. Giả sử và . Khi đó, (tương ứng, ) khi và chỉ khi với mọi , tồn tại sao cho với mọi mà (tương ứng, ), ta có . Chứng minh. Sau đây chúng tôi trình bày chứng minh cho trường hợp , còn đối với trường hợp ta chứng minh hoàn toàn tương tự. Ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp thực ( ). Đối với trường hợp không gian Banach bất kỳ, ta suy trực tiếp từ Định nghĩa 3.2 và kết quả trường hợp thực. : Với mọi : Theo giả thiết thì và . Do đó, tồn tại sao cho với mọi , 77 Khi đó, với mọi mà , ta có . Từ đó, . Như vậy, chiều thuận của định lý được chứng minh. : Với mọi , tồn tại sao cho với mọi mà , ta có , hay . Kết hợp điều này với tính đơn điệu của các dãy số và , ta suy ra và . Do đó, . Từ đó, ta thu được điều phải chứng minh. Định lý 3.6. Đối với mảng các số thực ứng với sự hội tụ khi hoặc các tọa độ tiến tới vô cùng, ta luôn có giới hạn dưới giới hạn riêng giới hạn trên. Chứng minh. Chúng tôi trình bày chứng minh cho trường hợp “giới hạn dưới giới hạn riêng” và . Các trường hợp còn lại, ta chứng minh hoàn toàn tương tự. Ta chứng minh bằng phản chứng: Giả sử và tồn tại mảng con sao cho với . Với mọi , tồn tại sao cho với mọi mà , Do nên với mọi . Cho , ta có . Do điều này đúng với mọi nên (mâu thuẫn với giả thiết phản chứng). Định lý 3.7. (Bổ đề Fatou) Giả sử là mảng các biến ngẫu nhiên không âm. Khi đó, và . 78 Nếu là mảng các biến ngẫu nhiên thỏa mãn h.c.c. với mọi , trong đó là các biến ngẫu nhiên khả tích (nghĩa là, và ), thì và . Chứng minh. Ta chứng minh cho trường hợp . Đối với trường hợp ta chứng minh hoàn toàn tương tự. Đặt , . Do nên theo định lý hội tụ đơn điệu (Bổ đề 2.4), ta có Hơn nữa, với mọi và mọi thỏa mãn . Do đó, với mọi và mọi thỏa mãn . Từ đó, ta suy ra với mọi . Cho ta được điều phải chứng minh. Dựa vào và Nhận xét 3.4 (6). Định lý 3.8. (Định lý hội tụ bị chặn Lebesgue) Giả sử là mảng các biến ngẫu nhiên thỏa mãn với mọi , trong đó , và h.c.c. (tương ứng, h.c.c.). Khi đó, khả tích và khi (tương ứng, ). Đặc biệt, khi (tương ứng, ). Chứng minh. Do h.c.c. nên h.c.c. với mọi . Áp dụng Định lý 3.7 cho mảng các biến ngẫu nhiên ta có điều phải chứng minh. Định nghĩa 3.9. Mảng các phần tử ngẫu nhiên được gọi là hội tụ theo trung bình cấp tới phần tử ngẫu nhiên khi (tương ứng, ) và được ký hiệu trong khi (tương ứng, ), nếu khi (tương ứng, ). Dựa vào bổ đề Fatou đối với mảng các biến ngẫu nhiên, chúng tôi thiết lập mối liên hệ giữa hội tụ h.c.c. và hội tụ theo trung bình cho cả hai trường hợp: và các tọa độ tiến tới vô cùng. Các kết quả này là chìa khóa để thu được các ứng dụng ở mục sau. 79 Định lý 3.10. Giả sử mảng các biến ngẫu nhiên hội tụ h.c.c. tới biến ngẫu nhiên khi . Khi đó, với mọi số thực , hai phát biểu sau đây là tương đương: mảng là khả tích đều, và trong khi . Hơn nữa, nếu và một trong hai điều kiện , thỏa mãn thì khi . Chứng minh. : Theo bổ đề Fatou (Định lý 3.7) và Bổ đề 2.2, ta có Mặt khác, theo bất đẳng thức , ta có với mọi (trong đó, ). Do đó, mảng các biến ngẫu nhiên là khả tích đều. Với mọi và mọi , Do khả tích đều nên tồn tại ( phụ thuộc vào ) sao cho Do bị chặn (bởi ) và hội tụ h.c.c. tới 0 khi nên theo định lý hội tụ bị chặn Lebesgue, ta có khi , nghĩa là, tồn tại sao cho với mọi , , ta có Từ (3.1), (3.2) và (3.3), ta suy ra khi . : Với mọi , ta có Cố định . Do khi nên tồn tại sao cho với mọi , , . Ngoài ra, tồn tại sao cho với mọi , , ta đều có 80 Khi đó, Do khi nên bị chặn. Do đó, trong (3.4), cho , ta được Vì vậy, khả tích đều. Nếu và được thỏa mãn thì khi . Kết hợp điều này với bất đẳng thức , ta suy ra khi . Đối với sự hội tụ khi các tọa độ tiến tới vô cùng, ta chỉ thu được kết quả yếu hơn như sau: Định lý 3.11. Giả sử mảng các biến ngẫu nhiên hội tụ h.c.c. tới biến ngẫu nhiên khi . Khi đó, với mọi số thực , nếu khả tích đều thì và trong khi . Chứng minh. Tương tự như trong chứng minh của Định lý 3.10 (phần ). Ví dụ sau đây sẽ chỉ ra rằng trong phát biểu của Định lý 3.11, ta không thu được kết luận mạnh hơn: “ khả tích đều khi và chỉ khi trong ”. Ví dụ 3.12. Ta định nghĩa mảng các biến ngẫu nhiên như sau Khi đó, mảng hội tụ h.c.c. và theo trung bình cấp tới biến ngẫu nhiên hằng 2015 khi . Tuy nhiên, do nên mảng không khả tích đều. Tiếp theo, chúng tôi mở rộng Định lý 3.10 cho trường hợp phần tử ngẫu nhiên. Định lý 3.13. Giả sử mảng các phần tử ngẫu nhiên hội tụ h.c.c. tới phần tử ngẫu nhiên khi . Khi đó, với mọi số thực , hai phát biểu sau đây là tương đương: mảng là khả tích đều, 81 và trong khi . Hơn nữa, nếu và một trong hai điều kiện , thỏa mãn thì khi . Chứng minh. : Theo bổ đề Fatou (Định lý 3.7), Bổ đề 2.2 và Định nghĩa 2.3, ta có Mặt khác, theo bất đẳng thức , ta có với mọi . Do đó, mảng các biến ngẫu nhiên là khả tích đều. Áp dụng Định lý 3.10 cho mảng các biến ngẫu nhiên ta thu được trong khi . Điều này tương đương với trong . : Áp dụng Định lý 3.10 cho mảng các biến ngẫu nhiên ta suy ra mảng này khả tích đều. Từ giả thiết và bất đẳng thức (với mọi ) ta suy ra mảng là khả tích đều. Cuối cùng, chúng tôi mở rộng Định lý 3.11 cho trường hợp phần tử ngẫu nhiên. Định lý 3.14. Giả sử mảng các phần tử ngẫu nhiên hội tụ h.c.c. tới phần tử ngẫu nhiên khi . Khi đó, với mọi số thực , nếu khả tích đều thì và trong khi . Chứng minh. Lập luận tương tự như chứng minh của Định lý 3.13. 4. Một số ứng dụng Trong [2], N. Dunford chứng minh định lý ergodic Birkhoff với nhiều phép biến đổi cho trường hợp thực, trong đó kết quả hội tụ là một hàm khả tích. Kết quả này sau đó được N. Dunford, J. T. Schwartz [3] và N. A. Fava [6] mở rộng cho trường hợp các toán tử co. Sử dụng Định lý 3.11, chúng tôi thiết lập được định lý ergodic Birkhoff cho nhiều phép biến đổi mà giới hạn thu được là kỳ vọng có điều kiện ứng với -đại số các tập bất biến. Các phép biến đổi bảo toàn độ đo được giả thiết là giao hoán. Định lý 4.1. Giả sử là các phép biến đổi giao hoán, bảo toàn độ đo. Khi đó, nếu phần tử ngẫu nhiên thỏa mãn thì 82 trong đó . Hơn nữa, nếu là ergodic với nào đó thuộc , thì h.c.c. Chứng minh. Đầu tiên, chúng ta sẽ chứng minh định lý cho trường hợp nhận giá trị thực. Với mọi , ta có Dựa trên kết quả của N. A. Fava [6, Hệ quả, tr. 281] (hoặc có thể tham khảo [9,Định lý 1.1, tr. 196]), tồn tại các tập với xác suất sao cho và trong đó và đều thuộc . Do là phép biến đổi bảo toàn độ đo nên . Đặt , ta có . Tiếp tục, đặt , chúng ta có . Vì vậy, trong công thức (4.1), với mọi , cho , chúng ta thu được . Điều này tương đương với h.c.c., và do đó là -đo được. Dựa trên tính giao hoán của các phép biến đổi , ta suy ra hàm giới hạn là biến ngẫu nhiên -đo được với mọi . Từ đó, là -đo được. 83 Cố định bất kỳ thuộc . Với mọi , do là -đo được nên là -bất biến. Điều này dẫn tới Tiếp theo, ta chứng tỏ rằng mảng các biến ngẫu nhiên là khả tích đều. Thật vậy, do nên ta có thể giả sử . Cố định bất kỳ, từ , ta suy ra tồn tại sao cho Đặt , ta kiểm tra được rằng và . Do đó, Từ , ta suy ra . Kết hợp điều này với , ta có . Vì vậy, Tiếp tục, do , nên với mọi , Từ đó, Bây giờ ta chọn sao cho . Khi đó, với mọi thỏa mãn , chúng ta thu được . Kết hợp điều này với với mọi số nguyên dương , ta suy ra rằng là khả tích đều. Kết hợp (4.2) với đẳng thức với mọi , ta thu được rằng mảng các biến ngẫu nhiên 84 hội tụ h.c.c. tới biến ngẫu nhiên khi . Từ đó, theo (4.4) và áp dụng Định lý 3.11, ta có . Vì vậy, . Như vậy, định lý được chứng minh cho trường hợp nhận giá trị thực. Phần tiếp theo, chúng tôi chứng minh định lý cho trường hợp nhận giá trị trên không gian Banach thực, khả ly. Với mọi và mọi , áp dụng định lý ergodic Birkhoff cho biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực (chứng minh ở trên) , ta có Do đó, định lý được chứng minh cho trường hợp là phần tử ngẫu nhiên đơn giản. Với phần tử ngẫu nhiên bất kỳ và với mọi dãy các phần tử ngẫu nhiên đơn giản , ta có Với mỗi cố định, áp dụng định lý ergodic Birkhoff cho mỗi phần tử ngẫu nhiên đơn giản , số hạng thứ hai ở vế phải của bất đẳng thức (4.5) hội tụ tới h.c.c. khi . Do vậy, Bởi vì nên ta có thể chọn được dãy các phần tử ngẫu nhiên đơn giản thoả mãn h.c.c. với mọi , h.c.c. khi , và số hạng cuối ở vế phải của (4.6) hội tụ tới h.c.c. khi . Tiếp theo, từ đẳng thức , ta có , với và . Với mỗi , áp dụng định lý ergodic Birkhoff cho biến ngẫu nhiên thực, ta suy ra hội tụ h.c.c. tới biến ngẫu nhiên khi sao cho . Điều này kéo theo dãy các biến ngẫu nhiên hội tụ theo trung bình tới , và do đó nó hội tụ theo xác suất tới . Từ đó, tồn tại dãy con của dãy sao cho hội tụ h.c.c. tới . Vì vậy, h.c.c. khi . Định lý được chứng minh. Năm 1996, N. Etemadi và M. Kaminski [5] đã chứng minh luật số lớn đối với mảng các biến ngẫu nhiên 2-hoán đổi được cho các trường hợp hội tụ h.c.c. và hội tụ theo trung 85 bình. Sau đó, năm 1997, N. Etemadi [4] mở rộng [5, Định lý 2] của N.Etemadi và M. Kaminski đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian Banach khả ly cho trường hợp hội tụ h.c.c. Dựa trên Định lý 3.10, chúng tôi hoàn thiện sự mở rộng trên của N. Etemadi đối với [5, Định lý 2]. Định lý 4.2. Giả sử là một mảng các phần tử ngẫu nhiên -hoán đổi được, nhận giá trị trên . Nếu thì h.c.c. và trong khi , trong đó là một phần tử ngẫu nhiên nào đó thỏa mãn . Chứng minh. Theo [4, Hệ quả 1], tồn tại phần tử ngẫu nhiên thỏa mãn h.c.c. khi . Sử dụng [5, Định lý 2] cho mảng các biến ngẫu nhiên -hoán đổi được , ta suy ra rằng mảng các biến ngẫu nhiên hội tụ hầu chắc chắn và trong tới một biến ngẫu nhiên nào đó khi sao cho Theo Định lý 3.10, mảng các biến ngẫu nhiên là khả tích đều, và do đó mảng các phần tử ngẫu nhiên cũng là khả tích đều. Hơn nữa, mảng các phần tử ngẫu nhiên này hội tụ hầu chắc chắn tới khi , do vậy nó hội tụ trong tới phần tử ngẫu nhiên khi bằng cách áp dụng Định lý 3.13. Vì vậy, Định lý được chứng minh. Giả sử . Để thuận tiện, các tôpô (tôpô sinh bởi chuẩn) và (tôpô yếu) trên được ký hiệu chung là . Đặt trong đó là một mảng con của mảng (ở đây, mảng con 86 được hiểu theo nghĩa là dãy con theo từng tọa độ). Ta nói mảng hội tụ Mosco tới khi nếu Kết quả thu được sau đây được sử dụng khi chứng minh chiều “ ” của hội tụ Mosco đối với luật số lớn đa trị cho mảng kép. Định lý 4.3. Giả sử và là một tập con đếm được của sao cho khi và chỉ khi với mọi (sự tồn tại của dựa vào định lý tách Hahn-Banach). Khi đó, nếu với mọi , thì Chứng minh. Với mỗi , tồn tại mảng sao cho với là mảng con của mảng và khi . Áp dụng Định lý 3.6, Điều này kéo theo . Do đó, ta thu được điều phải chứng minh. Cuối cùng, chúng tôi cho một ứng dụng của giới hạn dưới và giới hạn trên của mảng các số thực khi mở rộng điều kiện mà F. Hiai sử dụng trong [8, Định lý 3.3] từ trường hợp dãy sang trường hợp mảng nhiều chỉ số. Định lý 4.4. Giả sử . Khi đó, nếu tồn tại sao cho thì với mọi , khi . Chứng minh. Do (4.7) nên Mặt khác, với mỗi , tồn tại mảng sao cho và 87 . Khi đó, với mọi , Do điều này đúng với mọi nên Từ (4.9) và (4.10), ta suy ra Kết hợp điều này với giả thiết (4.8) và sử dụng Nhận xét 3.4 (3), ta thu được điều phải chứng minh. 5. Kết luận Bài báo này đã xây dựng khái niệm giới hạn dưới và giới hạn trên của mảng các biến ngẫu nhiên ứng với max hoặc min các tọa độ tiến tới vô cùng, nghiên cứu một số tính chất và ứng dụng của chúng. Các kết quả này là sự mở rộng các kết quả tương ứng từ trường hợp một chỉ số sang trường hợp nhiều chỉ số và là sự tiếp nối các kết quả nghiên cứu của N. Dunford [2], A. Zygmund [11], N. Dunford và J. T. Schwartz [3] và N. A. Fava [6] về định lý ergodic Birkhoff với nhiều phép biến đổi, của N. Etemadi [4] về luật số lớn cho mảng các phần tử ngẫu nhiên -hoán đổi được, của F. Hiai [8] và C. Hess [7] về chiều “ limsup ” của hội tụ Mosco đối với mảng các biến ngẫu nhiên đa trị. Nghiên cứu này được tài trợ bởi Quỹ Phát triển khoa học và công nghệ Quốc gia (NAFOSTED) trong đề tài mã số . TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt: 1. Nguyễn Duy Tiến và Vũ Viết Yên (2003), Lý thuyết xác suất, Nxb Giáo dục. Tiếng Anh: 2. N. Dunford, An individual ergodic theorem for non-commutative transformations, Acta Scientiarum Mathematicarum (Szeged), 14 (1951), 1-4. 3. N. Dunford and J. T. Schwartz, Convergence almost everywhere of operator averages, J. Rational Mech. Anal., 5 (1956), 129-178. 4. N. Etemadi, Criteria for the strong law of large numbers for sequences of arbitrary random vectors, Statistics and Probability Letters, 33 (1997), 151-157. 5. N. Etemadi and M. Kaminski, Strong law of large numbers for -exchangeable random variables, Statistics and Probability Letters, 28 (1996), 245-250. 6. N. A. Fava, Weak type inequalities for product operators, Studia Mathematica, 42 (1972), 271-288. 7. C. Hess, Loi forte des grands nombres pour des ensembles aléatoires non bornés à valeurs dans un espace de Banach séparable, Comptes 88 Rendus Hebdomadaires des Séances de l’Académie des Sciences, Série A et B, 300 (1985), 177-180. 8. F. Hiai, Convergence of conditional expectation and strong law of large numbers for multivalued random variables, Transactions of the American Mathematical Society, 291 (1985), 613-627. 9. U. Krengel, Ergodic theorems, Walter de Gruyter Studies in Mathematics, 6, Berlin- New York, 1985. 10. D. Williams, Probability with Martingales, Cambridge University Press, New York, 1997. 11. A. Zygmund, An individual ergodic theorem for non-commutative transformations, Acta Scientiarum Mathematicarum (Szeged), 14 (1951), 103-110. Ngày nhận bài: 29/7/2016 Biên tập xong: 15/11/2016 Duyệt đăng: 20/11/2016