Giáo trình Toán kinh tế (Phần 1)

Giáo trình toán kinh tế Tổ môn kế toán 1 Trường cao đẳng nghề nam định Bộ môn kế toán doanh nghiệp Giáo trình Toỏn kinh tế Nam Định,tháng 06 năm 2009. Giáo trình toán kinh tế Tổ môn kế toán 2 Lời nói đầu Trong khoảng hơn 50 năm trở lại đây, toán học đã phát triển rất mạnh và đã được áp dụng một cách rộng rãi và sâu sắc vào kinh tế , vào khoa học kĩ thuật và hầu hết các hoạt động của con người. Từ đó làm nảy sinh cả một ngành toán học mới là Toán kinh tế. Toán kinh tế là một công cụ quan trong vì nó cung cấp phương pháp luận các phương pháp mô hình hóa, các phương pháp tính tối ưu. Do đó , nó không chỉ là công cụ để tư duy về định tính mà cả về định lượng , giúp giải quyết các vấn đề một cách có hiệu quả. Việc lập kế hoạch phát trển kinh tế và việc nâng cao hiệu quả của sản suất xã hội là các vấn đề quan trọng của bất kì một quốc gia nào. Để giải quyết tốt các vấn đề đó thì phải không ngừng các phương pháp điều khiển, quản lý và đẩy nhanh tốc độ tiến bộ khoa học kĩ thuật, thực hiện các biện pháp khoa học cơ bản. Đây là giáo trình dành cho sinh viên ngành kế toán doanh nghiệp được viết theo chương trình khung của bộ lao động thương binh và xã hội, trường cao đẳng nghề Nam Định. Nội dung của giáo trình bao gồm những kết quả cơ bản của toán cao cấp và của lí thuyết tối ưu tuyến tính, đảm bảo cung cấp cho sinh viên những hiểu biết cơ bản về bản chất của lĩnh vực này. Giáo trình bao gồm các chương : 1, Đại số tuyến tính. 2, Xác suất của biến cố. 3, Quy hoạch tuyến tính. 4, Bài toán vận tải. Mỗi chương đều tập trung trình bày những kiến thức lý thuyết cơ bản và các bài tập phù hợp với năng lực của sinh viên. Đại số tuyến tính là chương cơ bản, tiền đề để sinh viên có thể tìm hiểu về các chương tiếp theo. Việc nghiên cứu các hệ thống những hiện tượng ngẫu nhiên để từ đó rút ra những quy luật ngẫu nhiên , đó là mục tiêu của môn xác suất . Trong các ngành thực nghiệm như vật lý , hoá học sinh học , nông , lâm ngư nghiệp , thuỷ hải sản , giao dục ,xã hội học , kinh tế học , đều sử dụng tích cực các mô hình xác suất toán học. Hai chương cuối tập trung trình bày về phương pháp đơn hình, bài toán đối ngẫu, và bài toán vận tải là một trường hợp, dạng đặc biệt của quy hoạch tuyến tính. Để hiểu rão được hai chương này sinh viên phải nắm vững kiến thức về đại số tuyến tính. Do hạn chế về thời lượng môn học nên giáo trình không tham vọng là một cuốn giáo trình đầy đủ về lý thuyết, mà chỉ trình bày một cách cơ bản và ngắn gọn, dễ hiểu. Bạn đọc muốn tìm hiểu sâu các vấn đề thì có thể tham khảo một số giáo trình trong phần sách tham khảo Giáo trình được biên soạn lần đầu, trên cơ sở tập hợp những bài giảng , và tham khảo một số giáo trình đang được giảng dạy ở các trường cao đẳng và đại học với mục đích làm tài liệu học tập cho sinh viên nên chắc chắn không tránh Giáo trình toán kinh tế Tổ môn kế toán 3 khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được các ý kiến phê bình phản hồi từ bạn đọc. Tôi xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo Nguyễn Ngọc Thiện cùng các thầy cô giáo trong ban thẩm định giáo trình đã giúp tôi hoàn thành cuốn giáo trình này. Nam Định, tháng 06 – 2009. Tác giả Giáo trình toán kinh tế Tổ môn kế toán 4 Chương I : Đại số tuyến tính Bài 1: Vectơ nguoc chiều 1. Không gian vec tơ. Định nghĩa Cho V là tập khác rỗng, các phần tử kí hiệu    và K là trường ( Q , R, C ). Giả sử V trang bị hai phép toán a, Phép cộng : V.V→ V (  )     b, Phép nhân : K.V → V (  )   Thoả mãn các điều kiện( hay tiên đề) sau đây: T1 :                    V T2 :               0 V :0 0 . V T3 :                 V, V : T4 : V           T5 : V           T6 : V            T7 :      V T8 :1. V         Khi đó V cùng hai phép toán cộng và nhân là một không gian vectơ trên trường K, hay gọi là K_không gian vectơ V. 2. Vectơ n chiều . Định nghĩa Cho trường K, n ≥ 1. Xét tích đề các Kn = { x=( x1, x2, , xn) | xi  R , i = 1,2... ,n}, với hai phép toán cộng và nhân +, ( x1, x2, , xn) +( y1, y2, yn) = ( x1+y1 , x2+y2, , xn+yn), Giáo trình toán kinh tế Tổ môn kế toán 5 +, k . ( x1, x2, , xn) = (k x1,k x2, , kxn) Thì Kn cùng hai phép toán trên là một không gian vec tơ n chiều trên trường K. Mỗi vectơ u  (x1,x2,.., xn)  R n là một vectơ n chiều.Các xi là các toạ độ (i=1,2,....., n) Ví dụ 1: K=R và n =1 : thì R1_ là không gian vectơ 1 chiều : hình ảnh là trục số. n=2 : thì R2 _ là không gian vectơ 2 chiều : hình ảnh là toàn bộ mặt phẳng. n=3 : thì R3 _ là không gian vectơ 3 chiều : hình ảnh là toàn bộ không gian thực 3 chiều . 3. Các phép toán vectơ . a, Phép cộng: ( x1, x2, ..., xn) +( y1, y2, , yn) = ( x1+y1, x2+y2,, xn+yn), b, Phép nhân vectơ với một số : k . ( x1, x2, xn) = (k x1,k x2, ,kxn) c, tích vô hướng của hai vectơ : ( x1, x2, ,xn) .( y1, y2, ,yn) = x1y1 + x2y2+... +xnyn Trong đó   1 nx (x ,..,x ) ,    n 1 ny (y,...,y ) K , k K ------------------o0o------------------------ Bài 2 : Hệ vectơ độc lập tuyến tính và hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính 1. Hệ vectơ độc lập tuyến tính. Định nghĩa Cho K_không gian vectơ V a, Một tổ hợp tuyến tính của các vectơ       n V là một biểu thức dạng: n i i 1 1 2 2 n n i 1 ...               trong đó 1 2 n, ,..., K    . b, Với V  , nếu                1 1 2 2 n n ... thì ta nói vectơ   được biểu diễn tuyến tính được qua hệ vectơ 1 n ( ,...., )    và đẳng thức 1 1 2 2 n n ...               gọi là một biểu thị tuyến tính của vectơ   qua các vectơ 1 n ,....,    . Giáo trình toán kinh tế Tổ môn kế toán 6 c, (định nghĩa hệ vectơ độc lập tuyến tính và hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính) * Hệ vectơ 1 n ( ,...., )    được gọi là hệ độc lập tuyến tính nếuhệ thức 1 1 2 2 n n ... 0             chỉ xảy ra khi và chỉ khi 1 2 n 0      * Hệ vectơ 1 n ( ,...., )    được gọi là hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính nếu hệ vectơ đó không độc lập tuyến tính . 2. Ví dụ Trong không gian vectơ thực R2 cho hệ 3 vectơ : 1 2 3 (2,0), (0,4), (4,4)         thì hệ 1 2 ( , )    là hệ vectơ độc lập tuyến tính vì : 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 0 (2 ,0) (0,4 ) 0 (2 ,4 ) (0,0) 0                       Còn hệ 1 2 3( , , )      là hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính vì cũng như trên ta biểu diễn được 1 2 3 2 0         . 3. Một số tính chất. a, Hệ ( 1 n ,....,    ) là hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có các vô hướng 1 2 n , ,...,   không đồng thời bằng 0 sao cho : 1 1 2 2 n n ... 0             . b, Hệ gồm 1 vectơ (  ) là hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi 0   . c, Với n >1 hệ n vectơ 1 n ( ,...., )    là hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi một vectơ nào đó biểu thị tuyến tính qua các vectơ còn lại của hệ. d, Mỗi hệ con của hệ vectơ độc lập tuyến tính là một hệ vectơ độc lập tuyến tính. Ví dụ : Giả sử hệ vectơ 1 n ( ,...., )    độc lập tuyến tính thì hệ vectơ con 1 n i ( ,...., )      là độc lập tuyến tính , với i = 1,2,..n-1. --------------------o0o------------------------ Giáo trình toán kinh tế Tổ môn kế toán 7 Bài 3 : Ma trận. I. Định nghĩa. Cho K là một trường tuỳ ý .Một bảng gồm m.n phần tử aij thuộc trường K có dạng: 11 12 1n 21 22 2n m1 m2 mn a a a a a a a a a                    (1) được gọi là một ma trận kiểu (m,n) . Mỗi aij được gọi là một thành phần của ma trận , vectơ dòng  i1 i2 ina a a được gọi là dòng thứ i của ma trận . Vectơ cột: 1j 2 j mj a a a                được gọi là cột thứ j của ma trận . Ta thường kí hiệu các ma trận bằng các chữ cái A,B,C,.. Ma trận (1) có thể kí hiệu đơn giản bởi A=(aij)mxn. Ta cũng nói ma trận A có m dòng , n cột. Khi m = n thì ma trận A=(aij)nxn được gọi là ma trận vuông cấp n. Tập hợp các ma trận kiểu (m,n) với các phần tử thuộc trường K được kí hiệu là Mat(m x n,K). II. Các loại ma trận thường gặp. 1.Ma trận không : Là ma trận mà các phần tử đều bằng không. O = 0 0 0 0                Giáo trình toán kinh tế Tổ môn kế toán 8 2. Ma trận đối : Ma trận đối của ma trận A là ma trận mà các pgần tử của nó là đối của các phần tử tương ứng của ma trận A. Đối của ma trận A kí hiệu là -A. A= 11 1n m1 mn a a a a                11 1n m1 mn a a A a a                   . 3. Ma trận vuông : Là ma trận có số dòng bằng số cột (m=n) A= 11 1n n1 nn a a a a                Chú ý : + Các phần tử 11 22 nna ,a ,...,a của ma trận vuông cấp n được gọi là các phần tử chéo . Tổng 11 22 nna a ... a .   gọi là vết của ma trận + Từ nay dùng kí hiệu Ai,Aj lần lượt là hàng thứ i và cột thứ j . 4. Ma trận đơn vị. Là ma trận vuông cấp n có các phần tử trên đường chéo đều bằng 1 còn các phần tử khác đều bằng 0. I = 1 0 0 0 1 0 0 0 1                    . 5. Ma trận chéo : Là ma trận mà các phần tử nằm ngoài đường chéo đều bằng 0 A= 1 2 n 0 0 0 0 0 0                   6. Ma trận tam giác trên , ma trận tam giác dưới. - Ma trận vuông mà các phần tử nằm dưới đường chéo đều bằng không thì gọi là ma trận tam giác trên. Giáo trình toán kinh tế Tổ môn kế toán 9 A = 11 12 1n 22 2n nn a a a 0 a a 0 0 a                    - Ma trận vuông mà các phần tử nằm trên đường chéo đều bằng không thì gọi là ma trận tam giác dưới. B = 11 21 22 n1 n2 nn a 0 0 a a 0 a a a                    . III. Các phép toán: 1. Ma trận bằng nhau : Hai ma trận A=(aij)mxn và B=(bij)mxn được gọi là bằng nhau nếu aij= bij với i= 1,2, ... m. j = 1,2,..n. Kí hiệu A = B 2.Phép cộng ma trận a. Định nghĩa: Cho A=(aij)mxn và B=(bij)mxn là hai ma trận thuộc Mat(mxn,K) và K .Ta gọi tổng của hai ma trận A và B là ma trận C =(cij)mxn xác định bởi : cij= aij + bij i= 1,2, ... m. j = 1,2,..n. Kí hiệu C = A + B. b. Các tính chất: A+B = B+A A+(B+C) = (A+B)+C 3. Tích của ma trận với một số. a. Định nghĩa: Ta gọi tích của ma trận A với vô hướng  là một ma trận D= (dij)mxn xác định bởi: dij = aij , i= 1,2, ... m. j = 1,2,..n. b. Các tính chất:  ( A+B) = A +B 1.A = A Giáo trình toán kinh tế Tổ môn kế toán 10 (-1).A = -A 0.A = 0  .0 = 0  (A) = (  )A 4. Tích của hai ma trận . a. Định nghĩa: Cho ma trận A=(aij)mxn thuộc Mat(m x n, K) và B=(bj k)nxp thuộc Mat(nxp, K) . Ta gọi tích của ma trận A với ma trận B là một ma trận C=(cjk)m x p thuộc Mat (m x p , K) mà các phần tử được xác định bởi : n ik ij jk j 1 c a b    i = 1..m , k = 1... p, Kí hiệu C=A.B Có thể mô tả cách tìm thành phần cik của ma trận tích A.B bằng sơ đồ sau: Cột k cột k Dòng thứ i k1 k2 i1 i2 in kn b b a a a . b                       = ik c                         dòng i Ví dụ a, 1 2 2 3 0 2( 1) 3.3 0.4 2.2 3.0 0.3 7 4 . 3 0 1 5 1 1( 1) 5.3 ( 1)4 1.2 5.0 ( 1)3 10 1 4 3                                      b, a b c x t ax by cz at bu cv d e f . y u dx ey fz dt eu fv g h i z v gx hy iz gt hu iv                                        Chú ý : Điều kiện để có tích A.B là số cột của A bằng số dòng của B .Như vậy có thể có tích A.B nhưng cũng có thể không có tích B.A Trường hợp đặc biệt khi cả A và B đều là ma trận vuông thì có cả tích A.B và B.A nhưng nói chung là A.B khác B.A (không có tính chất giao hoán) Giáo trình toán kinh tế Tổ môn kế toán 11 ví dụ : 1 0 0 1 0 1 . 0 0 0 0 0 0                   còn 0 1 1 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0                   b. Các tính chất của phép nhân ma trận : + Nâng một ma trận vuông cấp n lên một luỹ thừa: Cho ma trận A vuông cấp n , thì luỹ thừa bậc p ( nguyên dương ) của A là biểu thức có dạng Ap = A.A... A (có n ma trận A) Có tính chất sau : Ap Aq =Ap+q ; (Ap)q=Ap.q Với các ma trận A,B,C và với K các đẳng thức sau là đúng theo nghĩa : Nếu một vế được xác định thì vế kia cũng vậy và hai vế bằng nhau: (A.B).C= A.(B.C); (A+B)C=AC+BC C(A+B)=CA+CB;  (AB)= ( A)B=A( B) Chúng ta dễ dàng chứng minh được các mệnh đề này. IV. Ma trận chuyển vị. 1. Định nghĩa : Cho A=(aij)mxn = 11 12 1n 21 22 2n m1 m2 mn a a ... a a a ... a ... a a ... a                thì ma trận 11 21 m1 12 22 m2 1n 2n mn a a ... a a a ... a ... a a ... a                được gọi là ma trận chuyển vị của ma trận A, Kí hiệu là At . Rõ ràng , At nhận được bằng cách đổi các dòng của ma trận A thành các cột. Ta có tính chất sau: (At)t = A (A+B)t = At+Bt (A.B)t = Bt..At 2. Ma trận đối xứng : Ma trận vuông cấp n được gọi là đối xứng nếu At = A hay aịj = aji i, j Giáo trình toán kinh tế Tổ môn kế toán 12 A=          1 3 4 3 6 5 4 5 7 3. Ma trận phản đối xứng : Ma trận vuông cấp n được gọi là phản đối xứng nếu At = -A A=           0 3 4 3 0 5 4 5 0 Nhận xét: các phần tử trên đường chéo của ma trận phản đối xứng đều bằng 0. --------------------o0o------------------------ Bài 4: Định thức của ma trận . Tất cả các ma trận được xét trong mục này đều là những ma trận vuông cấp n với các phần tử thuộc trường K. I. Định nghĩa Cho A=(aij)nxn . Ta gọi định thức của ma trận A là một phần tử thuộc trường K , kí hiệu là detA , gọi là định thức cấp n và còn được kí hiệu là |A| hay : detA = |A| = 11 12 1n 21 22 2n n1 n2 nn a a a a a a a a a        . 1.Định thức cấp 1: det(a) = a. 2.Định thức cấp 2 : Det 11 12 11 12 11 22 12 21 21 22 21 22 a a a a a .a a .a a a a a         3.Định thức cấp 3 : det 11 12 13 11 12 13 21 22 23 21 22 23 31 32 33 31 32 33 11 22 33 21 32 13 31 12 23 31 22 13 21 12 33 11 32 23 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a                  Giáo trình toán kinh tế Tổ môn kế toán 13 Ta có cách tính định thức đối với định thức cấp 3 như sau: Viết thêm vào bên phải của định thức cấp 3 hai cột 1 và 2 . ta tính các tích theo đường chéo và lấy đường chéo chính trừ đường chéo phụ , đường chéo chính mang dấu cộng, đường chéo phụ mang dấu trừ : _ _ _ 11 12 13 11 12 21 22 23 21 22 31 32 33 31 32 a a a a a a a a a a a a a a a  + + + 11 22 33 21 32 13 31 12 23 31 22 13 21 12 33 11 32 23a a a a a a a a a a a a a a a a a a      . II. Định thức cấp cao. 1.Hoán vị và phép thế. Định nghĩa 1. Cho tập số A = {a1,a2,, ,an}, một cách xắp xếp các phần tử của tập này theo thứ tự nào đó thì được gọi là một hoán vị của tập A . Ví dụ : A={1,2,3} có các hoán vị là : 123, 132, 213, 231, 312, 321. Định nghĩa 2. Trong hoán vị a1a2... an ta nói ai làm với aj một nghịch thế nếu i<j mà có ai>aj . Định nghĩa 3. Một hoán vị gọi là chẵn nếu tổng số nghịch thế trong hoán vị là chẵn, ngược lại là hoán vị lẻ. Ví dụ : Trong hoán vị 1543 có 3 nghịch thế nên là hoán vị lẻ. Định nghĩa 4. Phép đổi chỗ : Cho hoán vị a1a2... an cho hai phần tử đổi chỗ cho nhau tức là ai đổi chỗ cho aj còn các phần tử khác giữ nguyên vị trí thì ta được 1 phép đổi chỗ. Định lý: + Một phép đổi chỗ làm thay đổi tính chẵn lẻ của hoán vị. + Cho hai hoán vị bất kỳ của tập A thì bằng một số phép đổi chỗ ta sẽ biến hoán vị nay thành hoán vị kia. Định nghĩa 5. Giáo trình toán kinh tế Tổ môn kế toán 14 Phép thế: cho tập N={a1,a2, ...,an},ánh xạ p : N N gọi là phép thế bậc n Kí hiệu p=         1 n , , 1 n a a a a biến ai thành ai  1 na a gọi là dòng trên,  , ,1 na a gọi là dòng dưới . Định nghĩa 6. Một phép thế gọi là chẵn nếu tính chẵn , lẻ của dòng trên và dòng dưới là như nhau. 2. Định thức : Cho ma trận vuông A=(aij)nxn ứng với mỗi phép thế p=         1 n , , 1 n a a a a ta lập Tích gồm n phần tử của ma trận ở các hàng và cột khác nhau lập thành tích ai1aj1.ai2aj2... ainajn (*) ta đặt trước (*) đấu (+) nếu phép thế p là chẵn và đấu (- ) nếu phép thế là lẻ. Tổng tất cả các tích dạng (*) với dấu theo quy ước của chúng được gọi là định thức của ma trận A . Tính chất của định thức : a, Định thức của ma trận là bất biến đối với phép chuyển vị |A| = |At| b, Det(AB) = DetA . DetB = DetB. DetA c, Det Ak = (detA)k. d, Khi đổi chỗ 2 cột (dòng) của định thức cho nhau thì định thức đổi dấu. e, Nếu định thức có hai cột (dòng) giống nhau thì bằng 0. f, Có thể đưa ra ngoài thừa số chung của một cột ( dòng) của định thức 11 1n 11 1n n1 nn n1 nn ka a a a k. ka a a a            g, Mỗi phần tử của một cột bằng tổng của hai số thì ta có dạng phân tích: 11 1 1n 11 1n 1 1n n1 n nn n1 nn n nn a k a a a k a a k a a a k a                    h, Nếu nhân các phần tử của một cột (dòng) với một số khác 0 rổi cộng với các phần tử cùng dòng (cột ) khác thì định thức không thay đổi. Giáo trình toán kinh tế Tổ môn kế toán 15 3. Các cách tính định thức cấp n. -Định nghĩa . Định thức con : định thức con úng với phần tử nào đó của định thức |A| là định thức cấp nhỏ hơn 1 đơn vị suy ra từ |A| bằng cách bỏ hàng và cột chứa phần tử đó . Kí hiệu : Dịj là định thức con ừng vời phần tử aij Từ đó ta có cách tính định thức như sau: |A| = n i j ij ij i,j 1 ( 1) .a .D   Như vậy ta có cách tính định thức bằng cách khai triển theo hàng hoặc cột của định thức 4. Hạng của ma trận : -Định nghĩa . Cho ma trận A = (aij )n x n . Hạng của ma trận A bằng cấp cao nhất của các định thức con khác 0 của A . Kí hiệu R(A) = r .Nghĩa là nếu có một định thức con cấp r của A khác 0 con các định thức con khác của A cấp >r đều bằng 0. 5. Chứng minh độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính : Cho hệ vectơ 1 n( ,...., )    .Ta viết các vectơ theo dạng cột , và đưa vào thành ma trận A.Ta tìm hạng của ma trận A : R(A) = r. Nếu r= n thì hệ vectơ 1 n( ,...., )    độc lập tuyến tính Nếu r < n thì hệ vectơ 1 n( ,...., )    phụ thuộc tuyến tính --------------------------o0o------------------------------- Bài 5 : Ma trận nghịch đảo I. Các định nghĩa Định nghĩa 1 Phần bù đại số : Phần bù đại số của phần tử hàng i và cột j aij của |A| là định thức con ứng với phần tử ấy kèm theo dấu (+ ) nếu ( i+j) chẵn và dấu(-) nếu (i+j ) lẻ Kí hiệu Aij là phần bù đại số của aij Định nghĩa 2: Ma trận phụ hợp : Cho ma trận A = (aij )n x n và Aij là phần bù đại số của aij . Lập ma trận Giáo trình toán kinh tế Tổ môn kế toán 16 B = 11 12 1n 21 22 2n n1 n2 nn A A A A A A A A A                    Thì Bt được gọi là ma trận phụ hợp của ma trận A. Kí hiệu PA = B t Định nghĩa 3: Ma trận nghịch đảo : Định lý : Cho ma trận A = (aij )n x n thì phương trình ma trận AX=I và XA=I có nghiệm thì nghiệm cho bởi công thức X = A P | A | nếu |A|  0. Định nghĩa 4 Ma trận A được gọi là khả nghịch nếu |A|  0. Định nghĩa 5 Ma trận X tìm được của 2 phương trình trên là ma trận nghịch đảo của ma trận A. Kí hiệu : Ma trận nghịch đảo của A là A-1 .  cách tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A :  Tính |A|.  Nếu |A| = 0 thì kết lụân không có ma trận nghịch đảo . Nếu |A|  0 thì chuyển sang bước tiếp theo  Tìm PA  Kết luận : A-1 = A P | A | --------------------o0o------------------------ Bài 6 : Hệ phương trình tuyến tính. I . Khái niệm Hệ phương trình tuyến tính tổng quát: 1. Định nghĩa 1 : Một hệ thống m phương trình tuyến tính với n ẩn có dạng : Giáo trình toán kinh tế Tổ môn kế toán 17 11 1 12 2 1n n 1 m1 1 m2 2 mn n m a x a x a x b a x a x a x b               (1) Các aij là các số cho trước thuộc trường K, xj là các ẩn . Các ma trận A = 11 12 1n 21 22 2n m1 m2 mn a a ... a a a ... a ... a a ... a                ; B = 1 m b b            ; AB = 11 1n 1 21 2n 2 m1 mn m a a b a a b a a b                    Lần lượt là ma trận hệ số , ma trận hệ số tự do , ma trận mở rộng của hệ phương trình tuyến tính (1). Nếu viết theo công thức theo ma trận thì ta có : AX = B . với X = 1 2 n x x x              . 2. Định nghĩa 2. hệ phương trình tuyến tính (1) được gọi là thuần nhất nếu các bi = 0 (i=1,2,..,n). Ngược lại thì không là thuần nhất. II. Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính . 1. Định nghĩa 1. Bộ n số 1 n,..,  với i K  gọi là 1 nghiệm của hệ phương trình tuyến tính nếu thay i ix   thì ta được mệnh đề đúng. Tức là  A B với 1 n            , 2. Định nghĩa 2: Hệ (1) được gọi là tương thích nếu nó co nghiệm , ngược lại gọi là không tương thích . Nếu (1) tương thích và có nghiệm duy nhất thì gọi là hệ xác định., ngược lại gọi là hệ vô định. Chú ý : Mọi hệ thuần nhất luôn là hệ tương thích vì luôn có nghiệm x=0 là nghiệm tầm thường. III. Hệ n phương trình và n ẩn : Giáo trình toán kinh tế Tổ môn kế toán 18 1. Dạng phương trình: AX = B với A = 11 12 1n 21 22 2n n1 n2 nn nxn a a ... a a a ... a ... a a ... a                , X = 1 2 n x x x              , B = 1 n b b            . 2. Hệ phương trình tuyến tính Cramer : là hệ phương trình tuyến tính với A không suy biến . 3. Nghiệm của hệ Cramer : Hệ Cramer có nghiệm duy nhất cho bởi công thức (i) i A x A  , i=1,2, ... n . với A(i) là ma trận nhận được từ A bằng cách thay cột thứ i bằng cột ma trận B. Chứng minh : Ta có AX = B 1 1A AX A B   do |A| khác 0 nên A khả nghịch . Khi đó 1 A 11 21 n1 1 1n 2n nn n i 1j 1 2 j 2 nj n (i) P X A B B A A A A b A A A b A 1 x (A b A b ... A b ) A |A | = A                              Ta có điều phải chứng minh. IV. Giải hệ phương trình tuyến tính . 1. Điều kiện tương thích của hệ phương trình tuyến tính . Định lý Kronecker - Capelly. Cho hệ phương trình tuyến tính (1) , Điều kiện cần và đủ để (1) có nghiệm là R(A) = R(AB). 2. Biện luận : Giáo trình toán kinh tế Tổ môn kế toán 19 Hệ phương trình tuyến tính (1 ) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi R(A)=R(AB)= n . Hệ phương trình tuyến tính (1 ) có vô số nghiệm khi và chỉ khi R(A)=R(AB) < n . Hệ phương trình tuyến tính (1 ) vô nghiệm khi và chỉ khi R(A)≠R(AB). 3. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất. Dạng AX = 0 - Luôn có nghiệm tầm thường X=0 . - Nếu R(A) = n thì đó là nghiệm duy nhất. Định lý : Điều kiện cần và đủ để AX = 0 có nghiệm không tầm thường là R(A) < n . Hệ quả 1 : Điều kiện để hệ phương trình tuyến tính n ẩn , n phương trình co nghiệm không tầm thường là |A| = 0 . Hệ quả 2 : Cho hệ phương trình tuyến tính AX = 0 . A  Mat (m,n) co m<n thì có nghiệm không tầm thường. 4. Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss. Giả sử ta giải hệ phương trình tuyến tính sau: 1 1 2 2 3 3 4 1 1 2 2 3 3 4 1 1 2 2 3 3 4 a x a x a x a b x b x b x b c x c x c x c            Với điều kiện hệ tương thích dùng các biến đổi tương đương đưa về dạng: 1 12 2 13 3 14 2 23 3 24 3 34 x x x x x x               Ta giải hệ này thay cho hệ ban đầu . Định lý : Tập nghiệm của hệ phương trình tuyến tính không thay đổi nếu thực hiện các phép biến đỏi sau đây: a, Đổi chỗ hai phương trình của hệ. b, Nhân một phương trình của hệ với một vô hương khác 0. c, Cộng vào một phương trình một tổ hợp tuyến tính các phương trình khác của hệ. Giáo trình toán kinh tế Tổ môn kế toán 20 Do đó khi giải hệ bằng phương pháp Gauss ta viết hệ phương trình đề bài , sau đó viết ma trận mở rộng . áp dụng các biến đổi trên để đưa về dạng ma trận tam giác trên. Ví dụ : Giải hệ phương trình sau: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4x 2x x 7 x x 3x 5 3x 2x x 6            Lời giải : Ta có ma trận mở rộng : (1) (2) B (3) 4 2 1 7 1 1 3 5 A = 1 1 3 5 = 4 2 1 7 3 2 1 6 3 2 1 6 1 1 3 5 1 1 3 5 0 -2 -11 -13 0 -2 -11 -13 0 -1 -8 -9 0 0 1 1                                         Bước (1) : Ta đổi dòng 1 cho dòng 2 Bước (2) : Ta nhân dòng 1 với -4 rồi cộng vào dòng 2, nhân dòng 1 với -3 rồi cộng vào dòng 3. Bước (3) : Ta nhân dòng 2 với rồi cộng vào dòng 3. Cuối cùng ta được ma trận tam giác trên. Nên có x3 = 1 ,thay vào phương trình thứ 2 có x2 = 1 .Thay vào phương trình 1 thì nhận được x1 = 1. Vậy nghiệm của hệ là ( 1;1;1). Bài tập chương 1 1. Xét xem hệ vectơ sau độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính : a, 1  =( -1,-2,1,2), 2  =(0,-1,2,3), 3  =(1, ,3)4,1,2), 4  =(-1,0,1) b, 1  =(-1,1,0,1), 2  =(1,0,1,1), 3  =(-3,1,-2,-1). 2. Trong K - không gian vectơ cho hệ vectơ ( 1  , 2  ,.., n  ) Xét xem hệ này có độc lập tuyến tính hay không trong mỗi trường hợp sau : a, Có một vectơ của hệ bằng vectơ không. b, Có hai vectơ của hệ bằng nhau. c,                        1 1 2 1 2 n 1 2 n , ,..., ... mà hệ (      1 2 n , ,..., ) độc lập tuyến tính. Giáo trình toán kinh tế Tổ môn kế toán 21 3. Cho các ma trận với các phần tử thuộc trường số thực R: A =       1 3 2 0 2 1 1 3 ; B =             1 0 0 2 1 1 2 1 ; C =          1 0 1 1 2 1 0 1 0 1 1 0 ; D =             1 2 1 3 0 1 0 1 0 1 0 1 Hãy tìm các ma trận : a, 2A - 3BT và 3CT + 2D . b, A.B và B.A . c, C.D và D.C . 4. Tìm các ma trận nghịch đảo của các ma trận sau : a,        cos -sin sin cos b,           2 5 7 6 3 4 5 2 3 c,                1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 d,                          1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 e,                      0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 5. Tính hạng của ma trận sau: a,          25 67 35 2001 155 26 98 23 234 66 24 56 32 45 66 b,           5 6 3 2 8 5 3 7 4 Giáo trình toán kinh tế Tổ môn kế toán 22 c,           4 5 5 6 3 8 4 12 2 5 3 8 6. Tính các định thức sau: a, 4 5 2 6 b,     5 6 8 5 4 6 2 4 6 c, 1 2 5 a b c 4 6 5 d,    2 5 4 3 3 5 4 6 8 2 6 5 4 5 6 8 e,       5 4 6 4 2 5 7 6 6 3 6 5 4 6 4 6 7. Giải hệ phương trình sau bằng các phương pháp đã học ( Cramer, Gauss): a,            2x 2y 3z 7 x y z 1 2x y 3z 4 b,                      2x 6y 3z 4t 17 4x 5y 2z t 6 x y z 3t 3 x y 5z 3t 1 c,                        3x 4y z 2t 3 0 3x 5y 3z 5t 6 0 3x 5y 3z 7t 8 0 6x 8y z 5t 8 0 d,                        2x 2y z t 4 0 4x 3y z 2t 6 0 8x 5y 3z 4t 12 0 3x 3y 2z 2t 6 0 --------------------o0o------------------------ Chương 2 : Toán xác suất Bài 1 : Giải tích tổ hợp 1. Tính giai thừa . Giáo trình toán kinh tế Tổ môn kế toán 23 Định nghĩa : Giai thừa : Cho n  N thì n giai thừa kí hiệu là n! và n! = 1.2....n. Quy ước 0! = 1 2. Hoán vị . Định nghĩa: Cho tập M gồm n phần tử . Mỗi cách sắp xếp của n phần tử của tập M theo một thứ tự nhất định được gọi là một hoán vị của n phần tử đã cho. Kí hiệu Pn và Pn = n! Ví dụ: Có bao nhiêu số có 3 chữ số được lập từ các số {1,2,3} ? Lời giải . Số các số được lập là hoán vị của 3 phần tử của tập {1,2,3} = 3! =6. Nhận xét : Hai hoán vị là khác nhau nếu thứ tự của các phần tử là khác nhau. 3. Chỉnh hợp đơn . Định nghĩa: Cho tập M gồm n phần tử . Mỗi cách sắp xếp k phần tử của n phần tử của tập M theo một thứ tự nhất định được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử . Kí hiệu Pn k và P kn = n! (n k)! với 0 k n  Ví dụ : Có bao nhiêu sốcó 2 chữ số và các chữ số khác nhau được lập từ các số {1,2,3}? Số các số là chỉnh hợp đơn chập 2 của 3 chữ số : 23P = 6 số . Nhận xét : Hai chỉnh hợp là khác nhau nếu nếu chúng có thứ tự khác nhau hoặc phần tử khác nhau. 4. Chỉnh hợp lặp . Định nghĩa: Chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử trong tập Mlà một tập hợp có thứ tự gồm k phần tử lấy từ tập M mà mỗi phần tử có thể có mặt k lần . Ví dụ . Cho tập M ={1,2} . Lập số chỉnh hợp lặp chập 3 của 2 phần tử ? Số các chỉnh hợp lặp là : 111, 112, 121, 211, 122, 212, 221, 222. Nhận xét : số chỉng hợp lặp chập k của n phần tử là : nk Ví dụ : Có bao nhiêu cách phân ngẫu nhiên 12 tặng phẩm cho 3 người ? Số cách là chỉnh hợp lặp chập 12 của 3 tức là có 312 cách . Giáo trình toán kinh tế Tổ môn kế toán 24 5. Tổ hợp . Định nghĩa: Cho tập M gồm n phần tử . Một tập con của M ( không kể thứ tự ) gồm k phần tử là một tổ hợp chập k của n phần tử . Kí hiệu là knC và k n n! C k!(n k)!   với 0 k n Ví dụ 1 . Có bao nhêiu cách chọn 5 ngưới trong 50 người đi lao động ? Số cách là một tổ hợp chập 5 của 50 phần tử tức là 550C =  50! 5!(50 5)! . Ví dụ 2 . Có bao nhiêu cách phân 12 hành khách lên 3 toa tàu , mà toa 1 có đúng 3 hành khách ? Đầu tiên chọn 3 hành khách lên toa 1 : 312C cách chọn . Còn lại phân lên 2 toa là chỉnh hợp lặp chập 9 của 2 : 29 cách . Vậy có 312C . 2 9 cách phân chia . Nhận xét : Hai tổ hợp khác nhau nếu có một phần tử khác nhau .  Công thức nhị thức Newton : (a+b)n = n k n k k n k 0 C a b   . Xét các trường hợp đặc biệt : Chứng minh : a, 0 = n n k k n k 0 ( 1) C   b, n n k n k 0 2 C    Chứng minh : a, Từ công thức (a+b)n = n k n k k n k 0 C a b   . Đặt a = -1 ; b = 1 thì ta có 0 = ( -1 +1) n = n n k k n k 0 ( 1) C   . b, lấy a=b=1 thì ta có 2n = (1+1)n = n k n k 0 C   . --------------------o0o------------------------ Giáo trình toán kinh tế Tổ môn kế toán 25 Bài 2 : Biến cố ngẫu nhiên và xác suất Mở đầu Trong nhiều trường hợp , việc lặp lại một thí nghiệm với nhưng điều kiện như nhau nhưng không dẫn tới cùng một kết quả . Ví dụ : Khi gieo ngẫu nhiên một đồng tiền , ta không thể đoán trước được kết quả là mặt sấp hay mặt ngửa xuất hiện . Ví dụ : Khi bắn một viên đạn vào bia ta khong thể biết trước được viên đạn có trúng bia hay không. Vậy ta gọi hiện tượng mà khi biết trước các điều kiện ban đầu không đủ xác định kết quả của nó là hiện tượng ngẫu nhiên . Rất nhiều hiện tượng trong sinh hoc , kinh tế học , kĩ thuật là các hiện tượng ngẫu nhiên . Tất cả các phép đo lường đều chứa đựng sai số ngẫu nhiên . Việc nghiên cứu một đán đông dựa vào mẫu với kích thước hạn chế cũng chứa đựng sai số ngẫu nhiên Việc nghiên cứu các hệ thống những hiện tượng ngẫu nhiên để từ đó rút ra những quy luật ngẫu nhiên , đó là mục tiêu của môn xác suất . Trong các ngành thực nghiệm như vật lý , hoá học sinh học , nông , lâm ngư nghiệp , thuỷ hải sản , giao dục ,xã hội học , kinh tế học , đều sử dụng tích cực các mô hình xác suất toán học. 1. Ngẫu nhiên và tất nhiên. - Ngẫu nhiên : là hiện tượng có thể xảy ra hoặc không thể xảy ra . - Tất nhiên : là hiện tượng chắc chắn xảy ra . - Đối tượng nghiên cứu của xác suất là các hiện tương ngẫu nhiên - Mục đích và nhiệm vụ : Dự báo tương lai giúp nhà nước , cơ quan , gia đình , cá nhân hoạch định kế hoạch chính sách . 2. Phép thử và biến cố ngẫu nhiên . - Phép thử : Việc thựcc hiện một nhóm các điều kiện xác định thì gọi là một phép thử - Phép thử có thể lặp lại nhiều lần và kết quả không biết trước được . Ví dụ 1 . Gieo một đồng tiền xu : ta đã thực hiện một phép thử và có thể cho kết quả là sấp (S) hoặc ngửa (N) . Ví dụ 2: Gieo một lần con xúc xắc được xem như tiến hành một phép thử “gieo xúc xắc “ . kết quả của phép thử này là tập hợp các sự kiện ={ E1 , ... E6 } với Ei là sự kiện mặt trên con xúc xắc có i chấm . Giáo trình toán kinh tế Tổ môn kế toán 26 Ví dụ 3 : Một bà mẹ sinh một con được xem như tiến hành một phép thử “ bà mẹ sinh một con” . Kết quả của phép thử này là tập hợp  = { trai , gái } - Mỗi kết quả của phép thử là một biến cố ngẫu nhiên . - Kí hiệu các biến cố ngẫu nhiên là các chữ cái in hoa : A, B, C.... - Biến cố sơ cấp : Là sự kiện xảy ra khi và chỉ khi có một kết quả cụ thể trong số nhứng kết quả loại trừ nhau . Kí hiệu biến cố sơ cấp là  - Tập các biến cố sơ cấp là không gian biến cố sơ cấp . Kí hiệu là  .  Biến cố  : là biến cố nhất định không xảy ra .  Biến cố  : là biến cố nhất định xảy ra . Ví dụ 4: Gieo một đồng tiền , thì S và N là hai biến cố loại trừ nhau nên  = {S,N} Ví dụ 5: Gieo một con xúc xắc , gọi E1 , ... E6 là biến cố mặt trên có 1 ,..,6 chấm , thì E1 , ... E6 là các biến cố sơ cấp . Và ={ E1 , ... E6 } là không gian biến cố sơ cấp . Nhận xét : Mọi biến cố sơ cấp đều là biến cố ngẫu nhiên , nhưng ngược lại chưa chắc đúng. Ví dụ 6 :Như gieo một con xúc xắc , gọi A là biến cố mặt trên chẵn . Thì A là biến cố ngẫu nhiên nhưng không phải là biến cố sơ cấp . 3. Các phép toán của xác suất . a, Sự kéo theo : A  B nếu A xảy ra nhưng B không xảy ra . Ví dụ : E1 là biến cố “ mặt trên con xúc xắc có 1 chấm “và E là biến cố “ mặt trên con xúc xắc có số chấm lẻ “ Nghĩa là E = {E1 , E3 , E5 }. Ta thấy : E1  E , nghĩa là E1 kéo theo . b, Sự bằng nhau : A = B khi và chỉ khi A  B và B  A . - Các biến cố không đồng thời xảy ra nếu sự xuất hiện của một trong chúng loại trừ sự xuất hiện của những biến cố khác trong cùng một phép thử. - Các biến cố đồng thời xảy ra nếu chúng có thể cùng xuất hiện trong một phép thử . - Các biến cố được gọi là đồng khả năng nếu sự xuất hiện của biến cố này với biến cố khác là có khả năng như nhau . Ví dụ: Gieo một con xúc xắc đồng chất ,cân đối . Thì sự xuất hiện của các mặt E1 ( một chấm) , E2 ( hai chấm ) , E3 ( ba chấm ) , E4 ( bốn chấm ) , E5 ( lăm chấm ) , E6 ( sáu chấm ) là như nhau hay đồng khả năng . Giáo trình toán kinh tế Tổ môn kế toán 27 c, Biến cố tổng (hợp các biến cố ). Cho hai biến cố A và B . Biến cố tổng ( hợp ) A  B xảy ra nếu hoặc A xảy ra hoặc B xảy ra . Trong tính toán chúng ta thay dấu “”bằng dấu “+”. Trong ví dụ trên A là biến cố mặt trên xúc xắc là chẵn thì A = E2E4E6 d, Biến cố tích ( giao các biến cố ). Biến cố tích A B là biến cố xảy ra khi và chỉ khi A và B cùng xảy ra . Trong tính toán thay “” bằng “.” Ví dụ : A là biến cố mặt trên xúc xắc là chẵn thì A = E2E4E6 . B là biến cố mặt trên xúc xắc là lẻ thì B = E1E3E5 khi đó A . B =  .  Các tính chất của phép cộng và phép nhân : A  A = A; A  A = A; A B = B A; A  (BC) = (AB) C; A  (BC) = (AB)  (AC); A  =A; A = ; A  =  ; A   = A; A  B = B A ; A  (B C) = (AB)  C. e, Biến cố hiệu ( phép trừ ) . Hiệu của hai biến cố A và B là biến cố xảy ra khi và chỉ khi biến cố A xảy ra còn biến cố B không xảy ra . Ví dụ : Đặt A = { 1,2,3} và B = { 3,4,5} thì ta có A\ B = {1,2} và B\A = {4,5} . Phép trừ không có tính chất giao hoán A\B khác B\A.  Sự xung khắc : Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc với nhau nếu AB = . f, Biến cố đối lập : biến cố  \A là biến cố đối lập của biến cố A .Kí hiệu là A . --------------------o0o------------------------ Giáo trình toán kinh tế Tổ môn kế toán 28 Bài 3: Các định nghĩa xác suất 1. Định nghĩa cổ điển của xác suất . Giả sử không gian biến cố sơ cấp  gồm n biến cố sơ cấp đồng khả năng xảy ra .  = {A1,A2, . . ., An} . Ai đồng khả năng xảy ra với mọi i = 1,2, ...,n . Và biến cố A = 1 2 mi i i A A ... A   0 m n  ji A  . Khi đó ta gọi tỉ số m n là xác suất của biến cố A Kí hiệu xác suất của biến cố A là P(A) : khi đó P(A) = m n m : là số thuận lợi cho A . n : là tổng số khả năng có thể . Vậy ta có thể viết lại xác suất của biến cố A như sau : P(A) = số thuận lợi cho biến cố A số kh.năng có thể Ví dụ : gieo một lần con xúc xắc cân đối và đồng chất tìm xác suất để : a, mặt trên của nó có một chấm ? b, mặt trên của nó có số chấm là chẵn ? Giải . a, Đặt A là biến cố ‘ mặt trên con xúc xắc có một chấm ‘. Vì con xúc xắc cân đối và đồng chất nên khả năng xuất hiện các mặt E1 , ... E6 là như nhau . Vậy số khả năng có thể n = 6 .Khả năng thuận lợi cho biến cố A là m = 1 . Vậy P(A) = 1 6 . b, Đặt B = {E2,E4,E6} .Nên số khả năng thuận lợi cho B là m = 3 . Vậy P(B) =  3 1 6 2 Ví dụ . Gieo hai đồng xu cân đối và đồng chất thì ta có tổng số khả năng là bao nhiêu ? Tìm xác suất để hai đồng xu cùng mặt ? Giải Tổng số khả năng là 4 vì các khả năng là : SS , SN, NS, NN. Giáo trình toán kinh tế Tổ môn kế toán 29 Gọi A là biến cố “để hai đồng xu cùng mặt “ . số thuận lợi cho A là m = 2 . Nên P(A) = 2 1 4 2  2. Định nghĩa thống kê của xác suất . Xét phép thử ngẫu nhiên nào đó . Biến cố A được quan sát trong phép thử này . Ta lặp lại n lần phép thử này với điều kiện như nhau . Gọi m là số lần xuất hiện biến cố A trong n phép thử đó. tỉ số m n được gọi là tần suất xuất hiện biến cố A . Nói chung tần suất m n bị thay đổi nếu ta thực hiện một loạt các phép thử, song thực nghiệm chứng tỏ rằng số phép thử càng lớn thì tỉ số m n dao động cố định quanh một số nào đó và sự khác nhau giữa chúng càng nhỏ . Tức là tồn tại n m lim n = p . Khi đó ta gọi p là xác suất của biến cố A . Ví dụ : Becnuli đã làm như sau : Gieo một đồng xu cân đối và đồng chất n lần . m là số lần xuất hiện mặt sấp . n 100 1000 10000 100000 m 45 510 5030 49980 Khi đó   n m 1 lim n 2 = P(S). 3. Định nghĩa xác suất hình học . Cho miền  đo được (trong đường thẳng , mặt phẳng , không gian ba chiều v . v..) và miền con S đo được của  . Ta lấy ngẫu nhiên điểm m trong . Đặt A là biến cố M  . Xác suất biến cố A xác định như sau : P(A) =  độ đo của S độ đo của Miền  chính là không gian biến cố sơ cấp .  Nếu miền  là đường cong hay đoạn thẳng thì độ đo của nó là độ dài  Nếu miền  là hình phẳng hay mặt cong thì độ đo của nó là diện tích  Nếu miền  là hình khối ba chiều thì độ đo của nó là thể tích . Ví dụ : Giáo trình toán kinh tế Tổ môn kế toán 30 Hai người hẹn gặp nhau ở một địa điểm xác định vào khoảng từ 8 giờ đến 9 giờ. Người đến trước sẽ đợi người kia 10 phút . Sau đó nếu không gặp thì sẽ đi khỏi điểm hẹn . Hãy tìm xác suất để hai người gặp nhau . Biêt rằng mỗi người có thể đến chỗ hẹn trong khoảng thời gian quy định một cách ngẫu nhiên không phụ thuộc vào người kia đến lúc nào . Giải. Gọi x,y là thời điểm người thứ 1,2 đến điểm hẹn . Hai người gặp nhau khi và chi khi  x y 10 Ta biểu diễn x ,y như các toạ độ trong mặt phẳng toạ độ Đecac vuông góc. Đơn vị ở các trục là phút , không gian biến cố sơ cấp là hình vuông cạnh là 60, còn biến cố sơ cấp thuận lợi cho việc hai người gặp nhau là đa giác AOBCDE Vậy xác suất phải tìm là : P(A) =   2 2 2 60 50 11 60 36 4. Các tính chất của xác suất . a, Cho hai biến cố A và B nếu AB thì P(A)  P(B) . thật vậy , vì AB nên B = A AB A và AB xung khắc nên P(B) = P(A AB ) = P(A) + P( AB ) Vì P(AB ) 0 nên P(A)  P(B) . Từ định nghĩa cổ điển ta suy ra các tính chất sau : b, Với A là biến cố bất kì ta có P(A) 0 . Thật vậy : vì 0 m n  nên P(A) = m n 0 . c, P( ) = 1 vì P( )= n 1 n  . d, Nếu AB =  thì P( A B ) = P(A) + P(B). 60 y E D C A 10 O B10 60 x Giáo trình toán kinh tế Tổ môn kế toán 31 thật vậy , Gọi mA là số khả năng thuận lợi cho biến cố A , mB là ssố khả năng thuận lợi cho biến cố B . Vì AB=  nên số khả năng thuận lợi cho biến cố tổng A+B là mA+mB vậy P(A+B) là A B A Bm m m m n n n    = P(A)+P(B). e, P( A ) = 1- P(A) Thật vậy : vì A. A =  theo trên ta có : P(A+ A ) = P(A) + P( A ) = P( ) =1 Suy ra điều phải chứng minh. Hệ quả : P( ) = 0 vì  =  nên P( ) = 1 - P( ) = 0. f, Nếu A, B là hai biến cố bất kì thì P(A+B) = P(A) + P(B) - P(A.B). Thật vậy : ta có A+B = A+ AB .vì A và AB xung khắc nên P(A+ AB ) = P(A) + P( AB ) mặt khác B = B = (A A) B = AB + AB do đó: P(B) = P( AB + AB ) = P(AB) + P( AB ) từ đó suy ra P( AB ) = P(B) - P(AB) . Nên P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB) . Ta có thể mở rộng ra thành n biến cố : 1 2 n n i j i 1 i j i j k 1 2 n i j k P(A A ... A ) P(A) P(A )P(A ) P(A )P(A )P(A ) ... ( 1)P(A )P(A )...P(A )                   g, Với A và B là hai biến cố bất kì ta có P(A\B) = P(A) - P(AB) . Ví dụ 1. Gieo một lần con xúc xắc cân đối và đồng chất . Gọi A là biến cố “ mặt trên có 1 chấm hoặc 2 chấm hoặc 3 chấm “ và biến cố B là “ mặt trên có 3 chấm hoặc 4 chấm hoặc 5 chấm “. Hãy tính xác suất của A+B , của biến cố A và B , của AB . A\B ? Giải Tổng số khả năng khi gieo con xúc xắc là n = 6 . Nên ta có : Giáo trình toán kinh tế Tổ môn kế toán 32 P(A) = 3 6 = 0,5 .( số thuận lợi cho A là 3 khả năng ) P(B) = 3 6 = 0,5. ( số thuận lợi cho B là 3 khả năng ) Ta có AB = {E3} - mặt trên có 3 chấm . Nên P(AB) = 1 6 ( số thuận lợi cho AB là 1 khả năng ) Theo quy tắc tổng của biến cố ta có : P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 3 6 + 3 6 - 1 6 = 5 6 Tương tự ta có : P(A\B) = P(A) - P(AB) = 3 6 - 1 6 = 1 3 . Ví dụ 2. một lô sản phẩm gồm N sản phẩm . Trong đó có M sản phẩm tốt và N - M sản phẩm xấu . Lấy ngẫu nhiên ra k sản phẩm từ lô hàng . Tìm xác suất để trong k sản phẩm có s sản phẩm tốt . Giải . Số khả năng lấy ra k sản phẩm từ lô hàng là CN k . Số khả năng lấy ra s sản phẩm tốt từ M sản phẩm là : sMC Số khả năng lấy k sản phẩm từ lô hàng trong đó có s sản phẩm tốt và k-s sản phẩm xấu là : S k s M N MC .C   Vậy xác suất phải tìm là : p = S k s M N M k N C .C C   . --------------------o0o------------------------ Giáo trình toán kinh tế Tổ môn kế toán 33 Bài 4 : Xác suất có điều kiện , công thức nhân xác suất, xác suất toàn phần Công thức Bayes . 1. Xác suất có điều kiện . Giả sử cần tính xác suất của biến cố A nào đó biết xác suất của biến cố B xảy ra trước đó , thì gọi là xác suất có điều kiện của biến cố A . Kí hiệu : P(A | B). được tính bởi công thức : P(A | B ) = P(AB) P(B) Từ công thức này suy ra P(AB) = P(B) . P(A | B ). 2. Công thức nhân xác suất . Cho n biến cố Ai , i = 1,2, ... ,n. Thì xác suất của biến cố A1A2... An được tính như sau : P(A1A2... An ) = P(A1). P(A2 | A1) . P(A3 | A1A2) ... P(An | A1A2... An-1 ) Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp : Với n = 2 ta có P(A1 A2) = P(A1). P(A2 | A1) đúng do có từ ccông thức xác suất có điều kiện Giả sử công thức đúng với n = k thì ta có : P(A1A2Ak ) = P(A1). P(A2 | A1) . P(A3 | A1A2) ... P(Ak | A1A2... Ak-1 ) Ta chứng minh công thức đúng với n = k+1 . Tức là : P(A1A2... Ak+1 ) = =P(A1). P(A2 | A1) . P(A3 | A1A2) ... P(Ak | A1A2... Ak-1 ) P(Ak+1 | A1A2Ak ) Ta có P(A1A2... Ak+1 ) = P[(A1A2... Ak )Ak+1] = P(A1A2... Ak ). P(Ak+1 | A1A2... Ak ) = [ P(A1). P(A2 | A1) . P(A3 | A1A2) ... P(Ak | A1A2... Ak-1 ) ] . P(Ak+1 | A1A2... Ak ) =P(A1).P(A2 | A1) .P(A3 | A1A2) ... P(Ak | A1A2... Ak-1 ) P(Ak+1 | A1A2... Ak ). Ta có điều phải chứng minh. Ví dụ 1 : Giáo trình toán kinh tế Tổ môn kế toán 34 Một lô sản phẩm gồm 12 sản phẩm , trong đó có 8 sản phẩm tốt và 4 phế phẩm . 1. Rút ngẫu nhiên liên tiếp không hoàn lại 2 sản phẩm từ lô hàng , tìm xác suất để cả hai sản phẩm đó là sản phẩm tốt ? 2. Rút ngẫu nhiên một sản phẩm từ lô hàng và không hoàn lại , không để ý tới sản phẩm đó là sản phẩm nào . Sau đó rút tiếp sản phẩm thứ 2 . Tìm xác suất để sản phẩm thứ 2 là sản phẩm tốt? Giải . 1, Theo định nghĩa xác suất có điều kiện ta có P(B | A) = P(AB) P(A) suy ra P(AB) = P(A) . P(B|A) Đặt biến cố A = “sản phẩm lấy ra lần 1 là sản phảm tốt “.và B = “sản phẩm lấy ra lần 2 là sản phảm tốt” Xác suất phải tìm là P(AB) = P(A) . P(B|A). Ta có P(A) = 8 12 và P(B|A) = 7 11 . Vậy P(AB) = 8 12 x 7 11 = 14 33 2, Theo kí hiệu ở câu 1 ta có : B =  + B = ( A+ A ).B = AB + A B P(B) = P(AB) + P( A B) = P(A) .P(B|A) + P( A ).P(B| A ) . Có P( A ) = 4 12 ; P(B| A ) = 8 11 Vậy P(B) = 8 12 x 7 11 + 4 12 x 8 11 = 2 3 Ví dụ 2 : Một lô sản phẩm có 100 sản phẩm trong đó có 90 sản phẩm tốt ,và 10 phế phẩm . Kiểm tra ngẫu nhiên liên tiếp không hoàn lại 5 sản phẩm . Nếu có it nhất 1 phế phẩm trong 5 sản phẩm thì không nhận lô hàng . Tim xác suất để nhận lô hàng . Giải: Đặt Ai là biến cố “ sản phẩm thứ i kiểm tra là tốt “ i = 1,2,3,4,5. Đặt A là biến cố “nhận lô hàng “. Thì ta có A = A1 A2 A3 A4 A5 Theo công thức tích các biến cố thì : Giáo trình toán kinh tế Tổ môn kế toán 35 P(A) = P(A1A2... A5 )=P(A1). P(A2 | A1) . P(A3 | A1A2) ... P(A5 | A1A2... A4 ) = 90 89 88 87 86 x x x x 100 99 98 97 96 . Ví dụ 3. Có 3 vé số trong đó có 1 vé trúng thưởng . Có 3 người rút ngẫu nhiên mỗi người 1 vé. Hỏi khả năng trúng thưởng của mỗi người có phụ thuộc vào thứ tự lần rút hay không? Giải . Gọi Ai là biến cố người thứ i trúng thưởng i=1,2,3. Biến cố iA là biến cố người thứ i không trúng thưởng. Khi đó không gian biến cố sơ sấp có 3 phần tử {Ai} i=1,2,3. Và các Ai là xung khắc nhau . Xác suất người thứ nhất trúng là P(A1) = 1 3 . Và P( 1A ) = 2 3 Xác suất người thứ hai trúng là P(A2) = P(A2 ) = P(A2(A1+ 1A )) = P(A1A2) + P( 1A A2). Xác suất P(A1A2) = 0 do hai biến cố xung khắc . P( 1A A2) = P( 1A ) P(A2| 1A ) Khi đó P(A2) = 2 3 . 1 2 = 1 3 Xác suất người thứ ba trúng là P(A3) = P(A3  ) = P(A3(A1+ 1A )(A2+ 2A )) = P(A1A2A3) + P( 1A A2A3) + P(A1 2A A3) + P( 1A 2A A3) = 0 + 0 + 0 + P( 1A 2A A3) = P( 1A ).P( 2A | 1A ) P(A3| 1A 2A ) = 2 1 x x1 3 2 = 1 3 . Vậy khả năng trúng thưởng của mỗi người không phụ thuộc vào thứ tự lần rút . Giáo trình toán kinh tế Tổ môn kế toán 36 3. Công thức xác suất toàn phần . a, Họ đầy đủ các biến cố : Họ {Bi} i=1,2, ... n . được gọi là họ đầy đủ các biến cố khi và chỉ khi i j n i i 1 B B i j B          Ví dụ : Sinh con một lần một con thì biến cố T =” con trai “ G = “con gái” thì họ {T,G} là họ biến cố đầy đủ . Vì TG T G      . b, Công thức toàn phần . Biến cố A xảy ra trong họ các biến cố đầy đủ {Bi} i=1,2,3... n. Khi đó P(A) = n i i i 1 P(B ).P(A | B )   . Chứng minh. Ta có A = A  = A ( n i i 1 P(B )   ) = n i i 1 P(B ).A   Nên P(A) = P( n i i 1 P(B ).A   ) = n i i 1 P((B ).A)   do các Bi là xung khắc Nên P(A) = n i i i 1 P(B ).P(A | B )   suy ra điều phải chứng minh. c, Công thức Bayes. Nếu P(A) > 0 thì k k k P(B )P(A | B ) P(B | A) P(A)  . Chứng minh : kP(B | A)  kP(B A) P(A) = k kP(B )P(A | B ) P(A) Ta có điều phải chứng minh. Ví dụ 1. Giáo trình toán kinh tế Tổ môn kế toán 37 Một trạm cứu bỏng có 68% bệnh nhân bị bỏng nóng, 32% bệnh nhân bị bỏng hoá chất Bỏng nóng có 25% bệnh nhân bị biến chứng , bỏng hoá chất có 40% bệnh nhân bị biến chứng . Lấy ngẫu nhiên một bệnh án . 1. Tìm xác suất lấy được bệnh án của bệnh nhân bị biến chứng . 2. Lấy được bệnh án của bệnh nhân bị biến chứng , hỏi khả năng bệnh án này của bệnh nhân bị bỏng do nguyên nhân nào nhiều hơn? Giải. 1. Gọi B1 là biến cố lấy được bệnh án của bệnh nhân bị bỏng nóng . Gọi B2 là biến cố lấy được bệnh án của bệnh nhân bị bỏng do hoá chất. Ta có P(B1) = 0,68 P(B2) = 0,32 Có 1 2 1 2 B B B B     nên {B1, B2 }laf họ các biến cố đầy đủ. Gọi A là biến cố “lấy được bệnh án của bệnh nhân bị biến chứng” Khi đó P(A) = P(B1).P(A|B1) + P(B2)P(A|B2) = 0,68 . 0,25 + 0,32 . 0,4 = 0,298. 2. Ta có : 1 1 1 1 P(B A) P(B )P(A | B ) P(B |A) = P(A) P(A) 0,68.0,25 170 0,298 298    Vậy khả năng do bị bỏng nóng nhiều hơn. Ví dụ 2 : Người ta biết rằng một cặp trẻ sinh đôI có thể là sinh đôi cùng trứng hoặc sinh đôi không cùng trứng . Một cặp trẻ sinh đôi cùng trứng thì những đứa trẻ luôn cùng giới tính. Còn sinh đôi không cùng trứng thì xác suất để chúng cùng giới tính là 0,5. Giả sử một cặp trẻ sinh đôi cùng trứng với xác suất là p . Tìm xác suất để cặp trẻ sinh đôi cùng giới tính đố là cặp trẻ sinh đôi cùng trứng . Giải . Đặt B1 = biến cố “ cặp trẻ sinh đôi cùng trứng “. Giáo trình toán kinh tế Tổ môn kế toán 38 Đặt B2 = biến cố “ cặp trẻ sinh đôi không cùng trứng “. Khi đó B1, B2 lập thành hệ đầy đủ các biến cố . Đặt A = biến cố “cặp trẻ sinh đôi cùng giới tính “ . Theo công thức xác suất toàn phần ta có : P(A) = P(B1)P(A|B1) + P(B2).P(A|B2) . Theo giả thiết P(A|B1) = 1 , P(A|B2) = 0,5 , P(B1) = p , P(B2) = 1-p . Vậy P(A) = p . 1 + (1 - p) . 0,5 = 1 p 2  . Khi đó xác suất phảI tìm là : 1 1 1 1 P(B A) P(B )P(A | B ) P(B |A) = P(A) P(A) 1.p 2p 1 2 1 p 2      Ví dụ 3: Trong một làng có số đàn ông bằng nửa số đàn bà . Xác suất để đàn ông bị bệnh bạch tạng là 0,06 , Xác suất để đàn bà bị bệnh bạch tạng là 0,0036 . 1. Tìm xác suất để k hi gặp một người ngẫu nhiên trong làng thì người đó là bị bệnh bạch tạng ? 2. Tìm xác suất để một người bị bệnh bạch tạng mà ta gặp trong làng là đàn ông? Giải . 1. Gọi A là biến cố “ một người trong làng bị bệnh bạch tạng “. Gọi B1 là biến cố “Gặp người đần ông trong làng “. Gọi B2 là biến cố “ Gặp người đần bà trong làng “. Khi đó B1 , B2 lập thành hệ đầy đủ các biến cố . Theo công thức toàn phần thì ta có : P(A) = P(B1)P(A|B1) + P(B2).P(A|B2) P(B1) = 1 3 và P(B2) = 2 3 P(A|B1) = 0,06 ; P(A|B2) = 0.0036 ; Giáo trình toán kinh tế Tổ môn kế toán 39 Vậy P(A) = 1 3 . 0,06 + 2 3 . 0.0036 = 0.0224 . 2. Xác suất để một người mà ta gặp trong làng bị bệnh bạch tạng là đàn ông là xác suất có điều kiện của B1 khi biến cố A đã xảy ra . Theo công thức Bayes thì ta có : 1 1 1 P(B )P(A | B ) P(B |A) = P(A) 1 .0.06 3 0.89 0.0224   --------------------o0o------------------------ Bài 5 : Công thức Becnuli . 1. Sự độc lập các biến cố , sự độc lập các phép thử . Định nghĩa : Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu : P(AB) = P(A) . P(B) . Định lí : Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi hoặc P(A\B ) = P(A) hoặc P(B\A) = P(B) . Định lí : Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi hoặc A , B là độc lập , hoặc A , B là độc lập 2. Dãy n biến cố độc lập . Định nghĩa : Dãy n biến cố A1, A2 , ... An được gọi là độc lập nếu ta lấy ra một dãy con các biến cố bất kì từ n biến cố trên thì xác suất của tích các biến cố con đó bằng tích các xác suất của từng biến cố . - Nếu dãy các biến cố thoả mãn định nghĩa trên thì dãy đó được gọi là độc lập trong toàn thể . - Nếu từng đôi một trong dãy đó mà độc lập với nhau thì dãy đó được gọi là độc lập từng đôi . Ta suy ra : Dãy n biến cố A1, A2 , ... An được gọi là độc lập trong toàn thể thì nó độc lập từng đôi , nhưng ngược lạ thì nói chung không đúng . Giáo trình toán kinh tế Tổ môn kế toán 40 Ví dụ : Gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất . Gọi A là biến cố “ con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt trên có số chấm là chẵn “. Gọi B là biến cố “con xúc xắc thứ hai xuất hiện mặt trên có số chấm là số lẻ “ . Gọi C là biến cố “ cả hai con xúc xắc xuất hiện mặt trên có số chấm là chẵn hoặc lẻ “ Xét xem ba biến cố A, B, C có độc lập từng đôI hay không ? có độc lập trong toàn thể hay không ? Giải . Theo giả thiết ta có : P(A) = P(B) = 0.5 =P(C) . Bởi vì C = AB AB . Hai con xúc xắc gieo độc lập ( không phụ thuộc vào nhau) Do đó : P(C) = P(AB AB ) = P(A).P(B) P(A).P(B) = = 0,5 . 0,5 + 0,5 . 0,5 = 0,5 . Và P(AB) = P(A) . P(B) = 0,5 . 0,5 = 0,25. Và P(AC) = P[A(AB AB)] P(AB ) P(AB) 0     Nên P(AC) = P(A) . P( B ) = 0,5 . 0,5 = 0,25. Và P(BC) = P[B(AB AB)] P(AB ) P(AB) 0     Nên P(BC) = P( A ) . P(B) = 0,5 . 0,5 = 0,25 . Từ các kết quả trên ta kết luận : ba biến cố A, B, C, là độc lập từng đôi. Mặt khác A B C =  do đó P(ABC) = 0 và P(A) . P(B) . P(C) = (0,5)3 khác P(ABC) Điều đo chứng tỏ A, B, C không độc lập trong toàn thể . 3. Dãy các phép thử độc lập . Định nghĩa : Dãy n phép thử G1, G2 , ..., Gn trong mỗi phép thử Gi tơương ứng với không gian biến cố sơ cấp  i gồm r biến cố sơ cấp Ai i= 1... r .được gọi là độc lập nếu : 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n i i i i i iP(A A ...A ) P(A )P(A )...P(A ) Trong đó 1 1 iA là một biến cố bất kì trong r biến cố Ai tương ứng với phép thử Gi . n n iA là một biến cố bất kì trong r biến cố Ai tương ứng với phép thử Gn . Ví dụ về dãy phép thử độc lập : Giáo trình toán kinh tế Tổ môn kế toán 41 +, Bắn 20 viên đạn độc lập vào một mục tiêu . Mỗi lần bắn 1 viên , được xem như tiến hành một phép thử . Không gian biến cố sơ cấp tương ứng với mỗi phép thử là  = {trúng đích (biến cố A ) , không trúng đích (biến cố A )}. 20 lần bắn độc lập là 20 phép thử độc lập . +, Gieo 10 lần con xúc xắc cân đối và đồng chất .được xem như tiến hành 10 phép thử độc lập . Không gian biến cố sơ cấp tương ứng là ={ E1 , ... E6 }. 4. Công thức xác suất nhị thức ( công thức Becnuli). Định nghĩa : Dãy n phép thử G1, G2 , ..., Gn được gọi là dãy n phép thử Beclluli nếu thoả mãn các điều kiện sau : a, Dãy n phép thử đó là độc lập . b, Trong mỗi phép thử Gi tương ứng với không gian biến cố sơ cấp  = { A,A } c, Xác suất của biến cố A là P(A) không thay đổi trong mọi phép thử. Đặt P(A)=p Bài toán : Tìm xác suất để trong dãy n phép thử Beclluli biến cố A xuất hiện đúng k lần Giải . xét tích của n biến cố dạng : AA...AAA...A trong tích này có k biến cố A và n - k biến cố A Vì dãy n phép thử độc lập nên : P(AA...AAA...A) = P(A)k P( A )n – k = pk . (1 - p)n – k với k = 1,2, ... n Ta thấy rằng: Biến cố “Trong dãy n phép thử Becnuli , biến cố A xuất hiện đúng k lần “ bằng tổng của Ckn các biến cố xung khắc từng đôi một dạng AA...AAA...A mà mỗi phần tử của tổng này đều có xác suất là : pk .(1- p)n - k Nếu kí hiệu xác suất của biến cố này là Pn(k) thì ta có : Pn(k) = k k n k nC p (1 p)  , k = 0,1,2 ... ,n . công thức này gọi là công thức xác suất nhị thức . Nếu đặt q = 1-p thì ta có : k k n k n nP (k) C p q  . Ví dụ : Gieo ngẫu nhiên 20 lần một đồng tiền cân đối và đồng chất . Tìm xác suất để a, Có đúng 1 lần xuất hiện mặt sấp . Giáo trình toán kinh tế Tổ môn kế toán 42 b, Có ít nhất 2 lần xuất hiện mặt sấp . Giải . a, Xem việc gieo 20 lần một đồng tiền can đối và ssồng chất là tiến hành dãy 20 phép thử Becnuli, xác suất xuất hiện mặt sấp (biến cố A ) luôn luôn bằng 0,5 trong một lần gieo . Theo công thức xác suất nhị thức ta có : k k n k n nP (k) C p q  ở đây n = 20 , k =1 . Vậy : 1 1 19 20 20 18 5 P (1) C (0,5) (1 0,5) 2    . b, ta phảI tính xác suất của biến cố (k2 ) k là số xuất hiện biến cố A trong dãy n phép thử Becnuli . ta có P(k2) = 1- P(k < 2) = 1- P20(0) - P20(1) . 0 0 20 0 1 1 20 1 20 20 20 18 20 1 1 1 1 1 C ( ) (1 ) C ( ) (1 ) 2 2 2 2 1 5 1 20 2 21 1 2            Ví dụ : Một bà mẹ sinh hai con ( mỗi lần sinh một con ) . Giả sử xác suất sinh con trai là 0,51 . Tìm xác suất để trong người con đó : a, Có đúng 1 con trai . b, Có 2 con trai . Giải Trong thống kê người ta chứng minh được rằng : Các lần sinh là độc lập và xác suất sinh con trai là 0,51 trong mọi lần sinh . Theo công thức xác suất nhị thức ta có : xác suất để 2 lần sinh có k con trai là : k k 2 k 2 2P (k) C (0,51) (1 0,51)   a, với k = 1 ta có : 1 1 2 1 2 2P (1) C (0,51) (1 0,51) 0,4998.    b, với k = 0 ta có : 0 0 2 0 2 2P (0) C (0,51) (1 0,51) 0,2401    c, với k = 2 ta có : 2 2 2 2 2 2P (2) C (0,51) (1 0,51) 0, 2601    . Qua ví dụ trên ta thấy trong só nhưng gia đình coá 2 con thì số gia đình có 1 trai và 1 gái là đông hơn cả . Giáo trình toán kinh tế Tổ môn kế toán 43 Ví dụ : Gieo 100 hạt đậu tương . Xác suất nảy mần của mỗi hạt là 0,9 . Tính xác suất để trong 100 hạt : a, Có đúng 80 hạt nảy mầm . b, Có ít nhất 1 hạt nảy mầm . c, Có nhiều nhất 98 hạt nảy mầm . Giải . Gieo ngẫu nhiên 100 hạt đậu tương đương với thực hiện 100 phép thử Becnuli và P(A) = 0,9 ( A là biến cố hạt đậu nảy mầm ). Theo công thức xác suất nhị thức ta có : k k 100 k 100 100P (k) C (0,9) (1 0,9)   a, Có đúng 80 hạt nảy mầm : k = 80 . Nên k 80 100 80 100 100P (80) C (0,9) (1 0,9)   b, Gọi k là số hạt nảy mầm trong 100 hạt . Ta cần tính xác suất P(k1) ta có : P(k1) = 1- p(k = 0 ) 0 0 100 0 100 100 1 C (0,9) (0,1) 1 0,1     c, Gọi k là số hạt nảy mầm trong 100 hạt . Ta cần tính xác suất P(k98). Mà P(k  98) = 1- P (k > 98) 99 99 100 99 100 100 100 100 100 100 99 1 C (0,9) (0,1) C (0,9) (0,1) 1 0,9       Ví dụ : Một lô hàng chứa tấn nhiều sản phẩm với tỉ lệ phế phẩm p = 0,02 . Cần lấy một mẫu với cỡ bằng bao nhiêu , sao cho xác suất để có ít nhất một phế phẩm trong mẫu đó không bé hơn R = 0,95. Giải . Gọi A là biến cố “ trong mẫu có ít nhất một phế phẩm “ . Gọi n là cỡ mẫu phải tìm . Đặt q = 1 - p . Ta có : P(A) =1- P( A ) = 1- 0 0 n n nC p q 1 q R 0,95    . Từ đó ta suy ra (0,98)n  0,05. Giáo trình toán kinh tế Tổ môn kế toán 44 ln 0,05 n ln 0,98  Ta khảo sát sự biến thiên của xác suất Pn(k) khi cố định n cho k biến thiên từ 0 đến n . Muốn vậy ta xét tỉ số : k 1 k 1 n k 1 n n k k n k n n P (k 1) C p q (n k)p P (k) C p q (k 1)q           * Xét trường hợp tỉ số này lớn hơn hoặc bằng 1. Ta suy ra (n k)p 1 (k 1)q    . Ta rút ra (n- k )≥ kq + q hay k ≤ np - q . Vậy khi k tăng từ 0 tới np - q thì xác suất Pn(k) tăng . * , Xét trường hợp tỉ số này nhỏ hơn hoặc bằng 1 .Nghĩa là (n k)p 1 (k 1)q    Ta rút ra k ≥np - q . điều đó chứng tỏ xác suất Pn(k) giảm khi k tăng từ np - q đến n . Khi đó k = np - q thì xác suất Pn(k) đạt cực đại . Ta nhận thấy khi k = np - q thì (n k)p 1 (k 1)q    , nghĩa là Pn(k+1) = Pn(k) . Song k chi nhận giá trị nguyên nên : - Nếu np - q là số nguyên thì k có hai giá trị: - Nếu np - q không nguyên thì k có một giá trị k = [ np - q ] + 1, mà tại đó xác suất Pn(k) đạt cực đại . Trong đó [a] là kí hiệu phần nguyên của a. Ví dụ : Một xạ thủ bắn ngẫu nhiên độc lập 14 viên đạn vào một mục tiêu với xác suất bắn trúng đích của mỗi viên đạn là : 0,2 . Tìm số viên đạn trúng đích với khả năng lớn nhất Giải . Xem việc bắn độc lập 14 viên đạn vào một mục tiêu như là tiến hành 14 phép thử độc lập Beclluli , với xác suất trúng đích của mỗi viên đạn ( biến cố A ) là không đổi p = 0,2 . Ta có n = 14 . Vậy np - q = 14.0,2 - 0,8 = 2 , là số nguyên . Vậy có hai giá trị của k : 2 và 3 là số viên đạn trúng đích mà tại đó xác suất đạt cực đại. Giáo trình toán kinh tế Tổ môn kế toán 45 Bài tập chương 2 . 1. Chứng minh : a, r n r n nC C  và b, r r 1 r n 1 n nC C C     2. Chứng minh : n r k r k n n m m k 0 C C C     3. Tìm n từ các phương trình : a, 2nC 45 b, 4 n 3 n 1 P 60 C   c, 8 12n nC C 4. a, Có mấy cách phân ngẫu nhiên 20 tặng phẩm cho 4 người . b, Có mấy cách phân phối ngẫu nhiên 20 tặng phẩm cho 4 người sao cho người thứ nhất có đúng 3 tặng phẩm . c, Có mấy cách phân phối ngẫu nhiên 20 tặng phẩm cho 4 người sao cho môI người có 5 tặng phẩm . 5. Trên mặt phẳng có 20 điểm ( không có ba điểm nào cùng nằm trên một đường thẳng . Qua mỗi điểm ta vẽ được một đường thẳng . Hỏi có bao nhiêu đường thẳng như vậy? 6. Một học sinh phảI thi 4 môn trong 10 ngày ( mỗi ngày thi một môn ). Có mấy cách lập chương trình thi? 7. Có bao nhiêu chữ số có 5 chữ số ( chữ số đầu tiên khác 0 ) được lập từ các số 0,1, ... 9.? 8. Có mấy cách lập một hội đồng gồm 3 người lấy trong số 4 cặp vợ chồng nếu : a, Trong hội đồng có hai nữ một nam . b, Trong hội đồng chỉ có nam. 9. Các số 1,2 ... n lập thành một hàng ngang . Hỏi có mấy cách sắp xếp sao cho : a, Hai chữ số 1 và 2 đứng cạnh nhau . b, Ba chữ số 1,2 ,3 đứng cạnh nhau . Giáo trình toán kinh tế Tổ môn kế toán 46 10. Trong hộp có 100 sản phẩm gồm có 90 sản phẩm tốt và 10 phế phẩm . Hỏi a, Có bao nhiêu cách chọn ra 10 sản phẩm từ 100 sản phẩm ? b, Có bao nhiêu cách lấy ra 10 sản phẩm từ 100 sản phẩm mà trong đó chỉ có 8 sản phẩm tốt , và hai phế phẩm? 11. Từ thành phố A tới thành phố B có 3 con đường , và từ thành phố B tới thành phố C có 4 con đường . Hỏi có mấy cách đI từ thành phố A tới thành phố C ? ( phải qua thành phố B ) 12. Trên một vòng tròn có 12 điểm . Có mấy cách vẽ dây cung có các mút là các điểm đã cho . Có mấy tam giác nhận các điểm là các đỉnh ? 13. Phân ngẫu nhiên 12 hành khách lên 3 toa tàu . a, có mấy cách phân ngẫu nhiên 12 hành khách lên 3 toa tàu ? b, có mấy cách phân ngẫu nhiên 12 nhành khách lên 3 toa tàu mà toa thứ nhất có đúng 3 hành khách ? c, Có mấy cách phân ngẫu nhiên 12 hành khách lên 3 toa tàu mà trong mỗi toa có 4 hành khách ? 14. Một lô hàng có 12 sản phẩm , trong đó có 8 sản phẩm tốt và 4 phế phẩm.. a, Có mấy cách lấy ngẫu nhiên 4 sản phẩm trong 12 sản phẩm đó ? b, Có mấy cách lấy ngẫu nhiên 4 sản phẩm trong 12 sản phẩm trong đó có 3 sản phẩm tốt và 1 phế phẩm. 15. Kiểm tra theo thứ tự một lô hàng gồm n sản phẩm . Các sản phẩm đều thuộc một trong hai loại tốt hoặc xấu .Kí hiệu Ak là biến cố chỉ sản phẩm kiểm tra thứ k là sản phẩm tốt (k = 1,2, ... n ). Viết bằng kí hiệu các biến cố sau đây : a, Cả n sản phẩm đều tốt . b, Có ít nhất một sản phẩm tốt . c, Có m sản phẩm kiểm tra đầu tiên là tốt , còn lại là sản phẩm xấu. d, Các sản phẩm kiểm tra theo thứ tự chẵn là xấu, các sản phẩm kiểm tra theo thứ tự lẻ là tốt. e, Không gian biến cố sơ cấp gồm mấy phần tử ? 16. Bắn không hạn chế vào một mục tiêu cho tới khi có một viên đạn trúng mục tiêu thì ngừng bắn . Giả sử mỗi lần bắn chỉ có thể có hai khả năng trúng bia ( biến cố A ) và không trúng bia ( biến cố A ) . a, Hãy mô tả không gian biến cố sơ cấp . b, Hãy nêu một hệ đầy đủ các biến cố . Giáo trình toán kinh tế Tổ môn kế toán 47 17. Có n bệnh nhân . Gọi Ak là bệnh nhân thứ k khỏi bệnh . Hãy viết bằng kí hiệu các biến cố sau : a, Tất cả các bệnh nhân đều khỏi bệnh . b, Có ít nhất một người không khỏi bệnh . c, Có đúng một người không khỏi bệnh. d, Có đúng hai người không khỏi bệnh . 18. Một dụng cụ điện tử gồm có 3 bóng đèn loại 1 và 4 bóng đèn loại 2 . Gọi Ak là bóng đèn thứ k loại 1 hoạt động tốt . Gọi Bi là bóng đèn thứ i loại 2 hoạt động tốt . Dụng cụ làm việc được nếu có ít nhất 1 bóng loại 1 và không ít hơn 3 bóng loại 2 làm viêc tốt .Hãy biểu diễn các biến cố sau qua các biến cố Ak và Bi và các biến cố đối của chúng : a, Dụng cụ vẫn làm việc được . b, Dụng cụ không làm việc được . c, Có một và chỉ một bong đèn loại 1 tốt và có đúng 2 bóng đèn loại 2 tốt . 19.Cho ba biến cố A, B ,C . Viết biểu thức chỉ biến cố . a, Chỉ có A xảy ra . b, A và B xảy ra nhưng c không xảy ra . c, Cả 3 biến cố xảy ra . d, Có ít nhất một trong 3 biến cố xảy ra . e, Có ít nhát hai biến cố cùng xảy ra . g, Có một và chỉ một trong ba biến cố xảy ra . h, Chỉ có hai trong ba biến cố xảy ra . k, Không có quá hai biến cố trong ba biến cố đó xảy ra . 20. Có 5 cuốn sách khác nhau trên giá sách : A, B , C , D , E , rút lần lượt (không hoàn lại ba cuốn . a, Không gian biến cố sơ cấp gồm mấy phần tử ? b, Số biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố rút được cuốn sách A và không rút được cuốn sách A là bao nhiêu? 21. Một bà mẹ sinh hai con ( mỗi lần sinh một con hoặc trai hoặc gái ) a, Không gian biến cố sơ cấp có mấy phần tử ? b, Có bao nhiêu biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố hai con có một trai và 1 gái. 22. Chia ngẫu nhiên 15 tặng phẩm cho 3 người . Giáo trình toán kinh tế Tổ môn kế toán 48 a, Có bao nhiêu khả năng thuận lợi cho biến cố “ người thứ nhất được đúng 3 tặng phẩm “. b, Có bao nhiêu khả năng thuận lợi cho biến cố “ mỗi người được đúng 5 tặng phẩm “. 23. Một lo hàng gồm 1000 sản phẩm , trong đó có 30 sản phẩm xấu . Lấy hú họ một sản phẩm từ lô hàng . a, Tìm xác suất dể sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt . b, Lấy ngẫu nhiên ( (1 lần ) 10 sản phẩm từ lô hàng . Tìm xác suất dể trong 10 sản phẩm lấy ra có đúng 8 sản phẩm tốt . 24. Một hộp chứa 12 bi trắng , 7 bi đỏ , 15 bi xanh . Một hộp khác chuă 10 bi trắng , 6 bi đỏ và 9 bi xanh . Ta lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một bi . Tìm xác suất để hai bi rút ra cùng màu. 25. Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối và đồng chất . Tìm xác suất sao cho : a, Tổng số chấm ở hai mặt trên con xúc xắc bằng 8. b, Hiệu số chấm ở hai mặt trên con xúc xắc có giá trị tuyệt đối bằng 2. c, Số chấm ở mặt trên con xúc xắc bằng nhau. 26. Một lô hàng có n sản phẩm trong đó có m sản phẩm xấu . Lấy ngẫu nhiên ra k sản phẩm từ lô hàng . Tìm xác suất để trong k sản phẩm lấy ra có đúng s sản phẩm xấu . 27. Một khoá chữ được lập nên bởi 6 vòng ghép tiếp nhau quay quanh một trục .Mỗi vòng đều chia thành 10 phần bằng nhau . Trên mỗi phần ghi một chữ số. Khoá được mở khi mỗi vòng đặt đúng vị trí xác định trước .Tìm xác suất để mở được khoá . 28. Một khách sạn có 6 phòng phục vụ khách , nhưng có tất cả 10 khách đến xin nghỉ trọ , trong đó có 6 nam và 4 nữ . Khách sạn phục vụ theo nguyên tắc “ ai đến trước thì phục vụ trước và mõi phòng chỉ có một người “. Tìm xác suất để cho: a, Cả 6 người nam được nghỉ trọ . b, Có 4 nam và 2 nữ được nghỉ trọ . c, Có ít nhất 2 trong 4 nữ được nghỉ trọ. 29. Bắn ba viên đạn vào cùng một bia . Xác suất trúng đích của viên thứ nhất, viên thứ hai , viên thứ ba tương ứng bằng 0,4 ; 0,5 ; 0,6 . a, Tìm xác suất sao cho trong 3 viên đạn có ít nhất một viên trúng đích b, Tìm xác suất sao cho trong 3 viên đạn có đúng một viên trúng đích . Giáo trình toán kinh tế Tổ môn kế toán 49 30. Một lô hàng gồm 150 sản phẩm và có chứa 6% phế phẩm . Người ta dùng phương pháp chọn mẫu để kiểm tra lô hàng và quy ước rằng : Kiểm tra lần lượt 6 sản phẩm nếu có ít nhất 1 trong 6 sản phẩm đó là phế phẩm thì loại lô hàng. Tìm xác suất để chấp nhận lô hàng . 31. Bắn liên tiếp vào mục tiêu cho đến khi nào có một viên đầu tiên trúng mục tiêu thì dừng bắn . Tìm xác suất sao cho phảI bằn dến viên thứ 6 , biết rằng xác suất trúng đích của mỗi viên đạn là 0,2 và các lần bứn là độc lập . 32. Một máy bay gồm ba bộ phận có tầm quan trọng khác nhau . Muốn bắn rơi được máy bay , thì chỉ cần có một viên trúng vào bộ phận thứ nhất , 2 viên trúng vào bộ phận thứ hai , 3 viên trúng vào bộ phận thứ ba . Xác suất dể một viên đạn trúng vào bộ phận thứ nhất , hai ,ba với điều kiện là viên đạn đã trúng máy bay lần lượt là : 0,15 ; 0.30 ; 0,55 . Tìm xác suất dể máy bay bị bắn rơI khi : a, Có một viên trúng . b, Có hai viên trúng. c, Có ba viên trúng . d, Có bốn viên trúng . 33.. Một nhà máy sản xuất bóng đèn . Máy A sản xuất 25% số bóng đèn , máy B sản xuất 35% bóng đèn , máy c sản xuất 40% bóng đèn . tỉ lệ sản phẩm hỏng của nhà máy đó trên tổng số sản phẩm do nhà máy sản xuất tương ứn bằng 5% (máy A ) 4% (máy B) 2 % (máy C). lấy ngẫu nhiên một sản phẩm thì được sản phẩm xấu . Tìm xác suất sao cho sản phẩm đó thuộc máy : a, A sản xuất . b, B sản xuất . c, C sản xuất 34. Hai đấu thủ thi đấu một số tận đấu , trong mỗi lần hoặc đấu thủ A thắng hoặc đấu thủ B thắng . Xác suất thắng của đấu thủ A trong mỗi trận đấu là p . Trước lúc vào thi đấu có quy định là mỗi đấu thủ phảI thắng mấy lần mới được xem là thắng cuộc . a, Tìm xác suất để a thắng cuộc , nếu giả sử A cần có 2 lần thắng còn B cần có 3 lần thắng . b, Tìm xác suất thắng cuộc của A , nếu giả sử rằng A cần thắng m lần còn B cần thắng n lần . 35 . Giả sử có ba kiện hàng với số sản phẩm tôt tương ứng là 20, 15, 10. Lấy ngẫu nhiên 1 kiện hàng ( giả sử ba kiện hàng đó có cùng khả năng rút ) rồi từ kiện hàng đó lấy hú hoạ một sản phẩm . Biết rắng mỗi kiện hàng đều có 20 sản phẩm . a, Tìm xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt . Giáo trình toán kinh tế Tổ môn kế toán 50 b, Giả sử sản phẩm chọn ra là sản phẩm tốt . Tìm xác suất để sản phẩm đó thuộc kiện hàng thứ hai. 36 . Với ba kiện hàng được cho như trong bài 35 , ta chọn ngẫu nhiên ra 1 kiện hàng và lấy hú hoạ 1 sản phẩm thấy là sản phẩm tốt . Trả sản phẩm đó lại kiện hàng vừa rút ra , sau đó lại lấy tiếp một sản phẩm thì được sản phẩm tốt . Tìm xác suất để các sản phẩm được lấy từ kiện hàng thứ ba. 37. Tỷ số ôtô tải và ôtô con đi qua đường có trạm bơm dầu là 5/2 . Xác suất để một ôtô tải qua đường được nhận dầu là 0,1. còn xác suất để một ôtô con qua đường nhận được dầu là 0,2 Có một ôtô đi qua đường được nhận dầu . Tìm xác suất để ôtô đó là ôtô tảI ? 38. Một lô hàng chứa rất nhiều sản phẩm với tỉ lệ phế phẩm là 0,02. Cần lấy một mẫu cỡ bao nhiêu , sao cho xác suất để có ít nhất một phế phẩm trong mẫu đó không bế hơn 0,95. 39. Một bà mẹ sinh ba người con ( mỗi lần sinh một con ) . Giả sử xác suất sinh con trai là 0,5 . Tìm xác suất sao cho trong ba người con đó : a, Có hai con trai . b, Có không quá một con trai . c, Có không ít hơn một con trai . 40.. Tỉ lệ học sinh trong trường bị cận thị là 1% . Hỏi cần lấy bao nhiêu học sinh sao cho trong đó có ít nhất một học sinh bị cận thị với xác suất không nhỏ hơn 0,95. 41. Bắn độc lập 14 viên đạn vào một mục tiêu . Xác suất trúng mục tiêu của mỗi viên đạn là 0.2 . Mục tiêu bị phá huỷ hoàn toàn nếu có hai viên đạn trúng . Tìm xác suất để : a, Mục tiêu bị phá huỷ hoàn toàn . b, Mục tiêu bị phá huỷ một phần . --------------------o0o------------------------