Giáo trình toán cao cấp A3 đại học

Chương 1. Hàm số nhiều biến TỐN CAO CẤP A3 ĐẠI HỌC 1. Đại cương về hàm số nhiều biến 2. Đạo hàm – Vi phân 3. Cực trị của hàm số nhiều biến PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH Số tiết học: 30 GV: ThS. Đồn Vương Nguyên
Chương 2. Tích phân bội 1. Tích phân bội hai (kép) 2. Tích phân bội ba 3. Ứng dụng của tích phân bội
Chương 3. Tích phân đường Tích phân mặt 1. Tích phân đường loại 1 2. Tích phân đường loại 2 3. Tích phân mặt loại 1 4. Tích phân mặt loại 2
Chương 4 Phương trình vi phân Hệ phương trình vi phân cấp 1 1. Khái niệm cơ bản về PTVP 2. Phương trình vi phân cấp 1 3. Phương trình vi phân cấp 2 4. Hệ phương trình vi phân cấp 1
Tài liệu tham khảo 3. Giải tích hàm nhiều biến (Tốn 3) – Đỗ Cơng Khanh (chủ biên) – XBĐHQG TP. HCM. 4. Giải tích hàm nhiều biến (Tốn 4) – Đỗ Cơng Khanh (chủ biên) – XBĐHQG TP. HCM. 1. Giáo trình Tốn cao cấp A3 – guyễn Phú Vinh – ĐHC TP. HCM. 2. Ngân hàng câu hỏi Tốn cao cấp – guyễn Phú Vinh – ĐHC TP.HCM. 5. Phép tính Vi tích phân (tập 2) – Phan Quốc Khánh – XB Giáo dục. 6. Phép tính Giải tích hàm nhiều biến – guyễn Đình Trí (chủ biên) – XBGD. 7. Tích phân hàm nhiều biến – Phan Văn Hạp, Lê Đình Thịnh – XB KH và Kỹ thuật. 8. Bài tập Giải tích (tập 2) – guyễn Thủy Thanh – XB Giáo dục. Download Slide bài giảng Tốn A3 tại dvntailieu.wordpress.com
Chương 1. Hàm số nhiều biến §1. KHÁI IỆM CƠ BẢ 1.1. Định nghĩa 1.2. Giới hạn của hàm số hai biến – Hàm số liên tục §2. ĐẠO HÀM RIÊ G – VI PHÂ 2.1. Đạo hàm riêng 2.2. Vi phân 2.3. Đạo hàm của hàm số hợp 2.4. Đạo hàm của hàm số 8n §3. CỰC TRN CỦA HÀM HAI BIẾ SỐ 3.1. Định nghĩa 3.2. Định lý điều kiện cần và đủ 3.3. Cực trị tự do 3.4. Cực trị cĩ điều kiện
Chương 1. Hàm số nhiều biến §1. KHÁI IỆM CƠ BẢ 1.1. Định nghĩa • Cho 2D⊂ ℝ . Tương ứng f : D→ ℝ , (x,y) z f (x,y)=֏ duy nhất, được gọi là hàm số 2 biến x và y. • Tập D được gọi là MXĐ của hàm số và { }f (D) z z f (x,y), (x,y) D= ∈ = ∀ ∈ℝ là miền giá trị. – Nếu M(x, y) thì D là tập hợp điểm M trong 2ℝ sao cho f(M) cĩ nghĩa. Miền D thường là miền liên thơng, nghĩa là nếu M, N thuộc miền D mà tồn tại 1 đường nối M với N nằm hồn tồn trong D thì D là liên thơng.
Chương 1. Hàm số nhiều biến – Trừ trường hợp 2D = ℝ , D thường được giới hạn bởi 1 đường cong kín D∂ (biên) hoặc khơng. Miền liên thơng D là đơn liên nếu D được giới hạn bởi 1 đường cong kín; đa liên nếu được giới hạn bởi nhiều đường cong kín rời nhau từng đơi một.
Chương 1. Hàm số nhiều biến – D là miền đĩng nếu M D M D∈∂ ⇒ ∈ , miền mở nếu M D M D∈∂ ⇒ ∉ . Chú ý • Khi cho hàm số f(x, y) mà khơng nĩi gì thêm thì ta hiểu MXĐ D là tập tất cả (x, y) sao cho f(x, y) cĩ nghĩa. • Hàm số n biến f(x1, x2,…, xn) được định nghĩa tương tự. VD 1. Hàm số z = f(x, y) = x3y + 2xy2 – 1 xác định trên 2ℝ . VD 2. Hàm số 2 2z f (x,y) 4 x y= = − − cĩ MXĐ là hình trịn đĩng tâm O(0; 0), bán kính R = 2. VD 3. Hàm số 2 2z f (x,y) ln(4 x y )= = − − cĩ MXĐ là hình trịn mở tâm O(0; 0), bán kính R = 2.
Chương 1. Hàm số nhiều biến VD 4. Hàm số z f (x, y) ln(2x y 3)= = + − cĩ MXĐ là nửa mp mở biên d: 2x + y – 3 khơng chứa O(0; 0). 1.2. Giới hạn của hàm số hai biến – Hàm số liên tục • Dãy điểm Mn(xn; yn) dần đến điểm M0(x0; y0) trong 2 ℝ , ký hiệu n 0M M→ hay n n 0 0(x ;y ) (x ;y )→ , khi n→ +∞ nếu ( ) 2 2n 0 n 0 n 0 n n limd M ,M lim (x x ) (y y ) 0 →∞ →∞ = − + − = . • Cho hàm số f(x, y) xác định trong miền D (cĩ thể khơng chứa M0), ta nĩi L là giới hạn của f(x, y) khi điểm M(x, y) dần đến M0 nếu mọi dãy điểm Mn (Mn khác M0) thuộc D dần đến M0 thì n nn lim f (x ,y ) L →∞ = . Ký hiệu: 0 0 0(x,y) (x ,y ) M M lim f (x,y) lim f (M) L → → = = .
Chương 1. Hàm số nhiều biến hận xét • Nếu khi n 0M M→ trên 2 đường khác nhau mà dãy {f(xn, yn)} cĩ hai giới hạn khác nhau thì 0M M lim f (M) → ∃ . VD 5. 2 2(x,y) (1, 1) 2x y 3x 1 3 lim xy 3 2→ − − − = − + . VD 6. Cho 2 2 xy f (x,y) x y = + , tính (x ,y) (0,0) lim f (x,y) → . Giải Ta cĩ: x 0 y 0 2 2 2 xy xy 0 f (x,y) x 0 x y y → →≤ = ≤ = → + . Vậy (x ,y) (0,0) lim f (x,y) 0 → = .
Chương 1. Hàm số nhiều biến VD 7. Cho hàm số 2 2 3xy f (x,y) x y = + . Chứng tỏ (x,y) (0,0) lim f (x, y) → khơng tồn tại. Giải Xét dãy điểm ( ){ }n n nM x ; y . Khi nM O(0; 0)→ trên đường y = x thì 2 2(x,y) (0,0) (x ,y) (0,0) 3x 3 lim f (x,y) lim 2x 2→ → = = . Khi nM O(0; 0)→ trên đường y = 2x thì 2 2(x,y) (0,0) (x,y) (0,0) 6x 6 lim f (x,y) lim 5x 5→ → = = . Vậy (x ,y) (0,0) lim f (x, y) → khơng tồn tại.
Chương 1. Hàm số nhiều biến Hàm số liên tục • Hàm số f(x, y) xác định trong D chứa M0, ta nĩi f(x, y) liên tục tại M0 nếu tồn tại 0 0(x ,y) (x ,y ) lim f (x, y) → và 0 0 0 0 (x,y) (x ,y ) lim f (x,y) f (x , y ) → = . • Hàm số f(x, y) liên tục trong D nếu liên tục tại mọi điểm M thuộc D. • Hàm số f(x, y) liên tục trong miền đĩng giới nội D thì đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trong D.
Chương 1. Hàm số nhiều biến VD 8. Xét tính liên tục của hàm số: 2 2 xy , (x,y) (0,0) x yf (x, y) 0, (x, y) (0,0)  ≠ +=   = . Giải Với (x, y) (0,0)≠ thì f(x, y) xác định nên liên tục. Tại (0,0) ta cĩ (x ,y) (0,0) lim f (x,y) → khơng tồn tại (xem VD7). Vậy f(x, y) liên tục trên 2 \ {(0,0)}ℝ .
Chương 1. Hàm số nhiều biến §2. ĐẠO HÀM RIÊ G – VI PHÂ 2.1. Đạo hàm riêng a) Đạo hàm riêng cấp 1 • Cho hàm số f(x, y) xác định trên D chứa M0(x0, y0). Nếu hàm số 1 biến f(x, y0) (y0 là hằng số) cĩ đạo hàm tại x = x0 thì ta gọi đạo hàm đĩ là đạo hàm riêng theo biến x của hàm số f(x, y) tại (x0, y0). Ký hiệu: x 0 0f (x , y ) hay / x 0 0f (x , y ) hay 0 0 f (x , y ). x ∂ ∂ Vậy / 0 0 0 0x 0 0 x 0 f (x x, y ) f (x ,y ) f (x ,y ) lim . x∆ → + ∆ − = ∆
Chương 1. Hàm số nhiều biến • Tương tự ta cĩ đạo hàm riêng theo biến y tại (x0, y0) là: / 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) lim . ∆ → + ∆ − = ∆y y f x y y f x y f x y y • Tại (x, y) tùy ý ta dùng ký hiệu: xf hay / xf hay . ∂ ∂ f x VD 1. Tính các đạo hàm riêng của hàm f(x, y) = x4 – 3x3y2 + 2y3 – 3xy tại (–1; 2). Giải. Ta cĩ: / 3 2 2 /4 9 3 ( 1;2) 46= − − ⇒ − = −x xf x x y y f . / 3 2 /6 6 3 ( 1;2) 39= − + − ⇒ − =y yf x y y x f .
Chương 1. Hàm số nhiều biến VD 2. Tính các đạo hàm riêng của hàm z = xy (x > 0). Giải / 1,−= yxz yx / ln .= yyz x x VD 3. Tính các đạo hàm riêng của cos= x z y tại ( ; 4)π . Giải / / /1 2sin sin ( ;4) 8 π   = − = − ⇒ = −    x x x x x x z z y y y y , / / / 2 2 sin sin ( ;4) 32y y y x x x x z z y y y y π π   = − = ⇒ =    .
Chương 1. Hàm số nhiều biến Chú ý • Với hàm n biến ta cĩ định nghĩa tương tự. VD 4. Tính các đạo hàm riêng của 2 ( , , ) sinx yf x y z e z= . Giải 2 2/ 2 /( ) sin 2 sinx y x yx xf x y e z xye z= = 2 2/ 2 / 2( ) sin sinx y x yy yf x y e z x e z= = 2/ cosx yzf e z= .
Chương 1. Hàm số nhiều biến b) Đạo hàm riêng cấp cao • Các hàm số fx, fy cĩ các đạo hàm riêng (fx)x, (fy)y, (fx)y, (fy)x được gọi là các đạo hàm riêng cấp hai của f. Ký hiệu: ( ) 2 2 // 2x xxx x f f f f f x x x ∂ ∂ ∂ = = = = ∂ ∂ ∂  , ( ) 2 2 / / 2y yy yy f f f f f y y y  ∂ ∂ ∂ = = = = ∂ ∂ ∂  , ( ) 2 // x xy xyy f f f f f y x y x ∂ ∂ ∂ = = = = ∂ ∂ ∂ ∂  , ( ) 2 / / y yx yxx f f f f f x y x y  ∂ ∂ ∂ = = = = ∂ ∂ ∂ ∂  .
Chương 1. Hàm số nhiều biến VD 5. Tính các đạo hàm riêng cấp hai của 3 2 3 4( , ) yf x y x e x y y= + − tại ( 1; 1)− . Giải
Chương 1. Hàm số nhiều biến • Các đạo hàm riêng cấp hai của hàm n biến và đạo hàm riêng cấp cao hơn được định nghĩa tương tự. Định lý (Schwarz) • Nếu hàm số f(x, y) cĩ các đạo hàm riêng fxy và fyx liên tục trong miền D thì fxy = fyx.
Chương 1. Hàm số nhiều biến 2.2. Vi phân a) Vi phân cấp 1 • Cho hàm số f(x, y) xác định trong 2D ⊂ ℝ và 0 0 0( , )M x y D∈ , 0 0( , )M x x y y D+ ∆ + ∆ ∈ . Nếu số gia 0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , )f x y f x x y y f x y∆ = + ∆ + ∆ − cĩ thể biểu diễn dưới dạng: 0 0( , ) . .f x y A x B y x yα β∆ = ∆ + ∆ + ∆ + ∆ trong đĩ A, B là những số khơng phụ thuộc , x y∆ ∆ và , 0α β → khi ( , ) (0,0)x y∆ ∆ → , ta nĩi f khả vi tại M0.
Chương 1. Hàm số nhiều biến • Biểu thức . .A x B y∆ + ∆ được gọi là vi phân cấp 1 (tồn phần) của f(x, y) tại M0(x0, y0) ứng với , x y∆ ∆ . Ký hiệu df(x0, y0). • Hàm số f(x, y) khả vi trên miền D nếu f(x, y) khả vi tại mọi (x, y) thuộc D. hận xét • Nếu f(x, y) khả vi tại M0 thì f(x, y) liên tục tại M0.
Chương 1. Hàm số nhiều biến • Từ 0 0( , ) . .f x y A x B y x yα β∆ = ∆ + ∆ + ∆ + ∆ , ta suy ra: 0 0 0 0( , ) ( , ) .f x x y f x y A x xα+ ∆ − = ∆ + ∆ 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim x f x x y f x y A x∆ → + ∆ − ⇒ = ∆ . Tương tự 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim y f x y y f x y B y∆ → + ∆ − = ∆ . Vậy / /0 0 0 0 0 0( , ) ( , ). ( , ).x ydf x y f x y x f x y y= ∆ + ∆ hay / /0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , )x ydf x y f x y dx f x y dy= + . Tổng quát: / /( , ) ( , ) ( , ) , ( , ) .x ydf x y f x y dx f x y dy x y D= + ∈
Chương 1. Hàm số nhiều biến VD 7. Tính vi phân cấp 1 của 2 3 5x yz x e xy y−= + − tại (–1; 1).
Chương 1. Hàm số nhiều biến VD 8. Tính vi phân cấp 1 của 2 2( , ) sin( )x yf x y e xy−= . Giải
Chương 1. Hàm số nhiều biến Định lý • Nếu hàm số f(x, y) cĩ các đạo hàm riêng liên tục tại M0 trong miền D chứa M0 thì f(x, y) khả vi tại M0. b) Vi phân cấp cao • Vi phân cấp 2: ( ) 2 2 2 // 2 / / / / 2 ( , ) ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , ) .xyx y d f x y d df x y f x y dx f x y dxdy f x y dy = = + + • Vi phân cấp n: ( )1 ( ) 0 ( , ) ( , ) ( , )− − − = = =∑ k n k n n n k n k n k n x y k d f x y d df x y C f x y dx dy .
Chương 1. Hàm số nhiều biến VD 9. Tính vi phân cấp 2 của 2 3 2 3 5( , ) 3= + −f x y x y xy x y tại (2; –1). Giải
Chương 1. Hàm số nhiều biến VD 10. Tính vi phân cấp 2 của 2( , ) ln( )=f x y xy . Giải
Chương 1. Hàm số nhiều biến VD 11. Tính vi phân cấp 3 của 3 2z x y= . Giải
Chương 1. Hàm số nhiều biến 2.3. ðạo hàm của hàm số hợp • Cho hàm số f(u, v), trong đĩ u = u(x) và v = v(x) là những hàm số của biến x. Nếu f(u, v) là hàm khả vi của biến u, v và u(x), v(x) các hàm khả vi của x thì: / /. .u v df du dv f f dx dx dx = + Trong đĩ , , df du dv dx dx dx là các đạo hàm tồn phần theo x.
Chương 1. Hàm số nhiều biến VD 12. Cho 2 2( , ) 2 , , sinxf u v u uv v u e v x−= − + = = . Tính df dx .
Chương 1. Hàm số nhiều biến • Nếu hàm số f(x, y) khả vi của biến x, y và y = y(x) là hàm khả vi của biến x thì: / / .x y df dy f f dx dx = + VD 13. Cho 2 2 2( , ) ln( ), sin= + =f x y x y y x . Tính df dx .
Chương 1. Hàm số nhiều biến 2.4. ðạo hàm của hàm số ẩn • Cho hai biến x, y thỏa phương trình F(x, y) = 0 (*). Nếu y = y(x) là hàm số xác định trong 1 khoảng nào đĩ sao cho khi thế y(x) vào (*) ta được đồng nhất thức thì y = y(x) là hàm số Un xác định bởi (*). • Đạo hàm hai vế (*) theo x, ta được: / /( , ) ( , ). 0x yF x y F x y y′+ = / / / ( , ) ( , ) , ( , ) 0x y y F x y y F x F y x y ′⇒ = ≠− .
Chương 1. Hàm số nhiều biến VD 14. Xác định hàm số Nn y(x) trong phương trình x2 + y2 – 4 = 0.
Chương 1. Hàm số nhiều biến VD 15. Cho 0− + =x yxy e e . Tính ( )y x′ .
Chương 1. Hàm số nhiều biến VD 16. Cho 3 2 4( 1) 0+ + + =y x y x . Tính ′y .
Chương 1. Hàm số nhiều biến VD 17. Cho 2 2ln + = y x y arctg x . Tính ′y .
Chương 1. Hàm số nhiều biến Tương tự: đối với hàm ẩn hai biến • Cho hàm số Nn hai biến z = f(x, y) xác định bởi phương trình F(x, y, z) = 0, với / ( , , ) 0≠zF x y z ta cĩ:  / / /( , , ) ( , , ). ( , ) 0x z xF x y z F x y z z x y+ = / / / ( , , ) ( , ) ( , , ) x x z F x y z z x y F x y z = −⇒ .  / / /( , , ) ( , , ). ( , ) 0y z yF x y z F x y z z x y+ = / / / ( , , ) ( , , ) ., ) ( y y z F x y z z x y F x y z = −⇒
Chương 1. Hàm số nhiều biến VD 18. Cho hàm Nn z(x, y) thỏa phương trình: cos( )= + +xyz x y z . Tính / /, x yz z .
Chương 1. Hàm số nhiều biến VD 19. Cho hàm Nn z(x, y) thỏa phương trình mặt cầu: 2 2 2 2 4 6 2 0x y z x y z+ + − + − − = . Tính /yz .
Chương 1. Hàm số nhiều biến §3. CỰC TRỊ CỦA HÀM HAI BIẾN SỐ 3.1. Định nghĩa • Hàm số z = f(x, y) đạt cực trị (địa phương) tại điểm M0(x0; y0) nếu với mọi điểm M(x, y) khá gần nhưng khác M0 thì hiệu f(M) – f(M0) cĩ dấu khơng đổi. • N ếu hiệu f(M) – f(M0) > 0 thì f(M0) là cực tiểu và M0 là điểm cực tiểu của z. • N ếu hiệu f(M) – f(M0) < 0 thì f(M0) là cực đại và M0 là điểm cực đại của z. Cực đại và cực tiểu gọi chung là cực trị. VD 1. Hàm số f(x, y) = x2 + y2 – xy đạt cực tiểu tại O(0; 0).
Chương 1. Hàm số nhiều biến 3.2. Định lý a) Điều kiện cần • N ếu hàm số z = f(x, y) đạt cực trị tại M0(x0, y0) và tại đĩ hàm số cĩ đạo hàm riêng thì: / / 0 0 0 0( , ) ( , ) 0.x yf x y f x y= = Chú ý • Điểm M0 thỏa / / 0 0 0 0( , ) ( , ) 0= =x yf x y f x y được gọi là điểm dừng, M0 cĩ thể khơng là điểm cực trị của z.
Chương 1. Hàm số nhiều biến b) Điều kiện đủ • Giả sử f(x, y) cĩ điểm dừng là M0 và cĩ đạo hàm riêng cấp hai tại lân cận điểm M0. Đặt 2 2 // // // 0 0 0 0 0 0( , ), ( , ), ( , )= = =xyx yA f x y B f x y C f x y . Khi đĩ:  N ếu AC – B2 > 0 và A > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm M0; AC – B2 > 0 và A < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm M0.  N ếu AC – B2 < 0 thì hàm số khơng cĩ cực trị (điểm M0 được gọi là điểm yên ngựa).  N ếu AC – B2 = 0 thì chưa thể kết luận hàm số cĩ cực trị hay khơng (ta dùng định nghĩa để xét).
Chương 1. Hàm số nhiều biến 3.3. Cực trị tự do • Cho hàm số z = f(x, y). Để tìm cực trị của hàm f(x, y) trên MXĐ D, ta thực hiện các bước sau: Bước 1. Tìm điểm dừng M0(x0; y0) bằng cách giải hệ: / 0 0 / 0 0 ( , ) 0 ( , ) 0  =  = x y f x y f x y . Bước 2. Tính 2 / / / / 0 0 0 0( , ), ( , )= = xyxA f x y B f x y , 2 / / 2 0 0( , )= ⇒ ∆ = −yC f x y AC B . Bước 3. Dựa vào điều kiện đủ để kết luận.
Chương 1. Hàm số nhiều biến VD 2. Tìm điểm dừng của hàm số z = xy(1 – x – y).
Chương 1. Hàm số nhiều biến VD 3. Tìm cực trị của hàm số z = x2 + y2 + 4x – 2y + 8.
Chương 1. Hàm số nhiều biến VD 4. Tìm cực trị của hàm số z = x3 + y3 – 3xy – 2.
Chương 1. Hàm số nhiều biến VD 5. Tìm cực trị của hàm số z = 3x2y + y3 – 3x2 – 3y2 + 2.
Chương 1. Hàm số nhiều biến 3.4. Cực trị cĩ điều kiện • Cho hàm số z = f(x, y) xác định trên lân cận của điểm M0(x0; y0) thuộc đường cong ( , ) 0ϕ =x y . N ếu tại điểm M0 hàm số f(x, y) đạt cực trị thì ta nĩi điểm M0 là điểm cực trị của f(x, y) với điều kiện ( , ) 0ϕ =x y . • Để tìm cực trị cĩ điều kiện của hàm số f(x, y) ta dùng phương pháp khử hoặc nhân tử Lagrange.  Phương pháp khử • Từ phương trình ( , ) 0ϕ =x y , ta rút x hoặc y thế vào f(x, y) và tìm cực trị của hàm 1 biến.
Chương 1. Hàm số nhiều biến VD 6. Tìm cực trị của hàm số: f(x, y) = x2 + y2 – xy + x + y với điều kiện x + y + 3 = 0. VD 7. Tìm cực trị của hàm số: f(x, y) = xy với điều kiện 2x + 3y – 5 = 0.
Chương 1. Hàm số nhiều biến  Phương pháp nhân tử Lagrange • Bước 1. Lập hàm Lagrange: ( , , ) ( , ) ( , )λ λϕ= +L x y f x y x y , λ là nhân tử Lagrange. • Bước 2. Giải hệ: / / /0, 0, 0x yL L Lλ= = = ⇒ điểm dừng M0(x0; y0) ứng với λ0. • Bước 3. Tính vi phân cấp hai tại M0(x0; y0) ứng với λ0: 2 2 2 '' 2 '' '' 2 0 0 0 0( ) ( ) 2 ( ) ( )xyx yd L M L M dx L M dxdy L M dy= + + .
Chương 1. Hàm số nhiều biến Điều kiện ràng buộc: / / 0 0 0 0 0 0( , ) 0 ( , ) ( , ) 0x yd x y x y dx x y dyϕ ϕ ϕ= ⇒ + = (1) và (dx)2 + (dy)2 > 0 (2). • Bước 4. Từ điều kiện (1) và (2), ta cĩ:  N ếu 2 0 0( , ) 0>d L x y thì hàm số đạt cực tiểu tại M0.  N ếu 2 0 0( , ) 0<d L x y thì hàm số đạt cực đại tại M0.  N ếu 2 0 0( , ) 0=d L x y thì điểm M0 khơng là điểm cực trị.
Chương 1. Hàm số nhiều biến VD 8. Tìm cực trị của hàm số f(x, y) = 2x + y với điều kiện x2 + y2 = 5.
Chương 1. Hàm số nhiều biến VD 9. Tìm cực trị của hàm số z = xy với điều kiện 2 2 1 8 2 + = x y .
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI §1. TÍCH PHÂ BỘI HAI (KÉP) 1.1. Bài tốn mở đầu (thể tích khối trụ cong) 1.2. Định nghĩa 1.3. Tính chất của tích phân kép 1.4. Phương pháp tính tích phân kép §2. TÍCH PHÂ BỘI BA 2.1. Bài tốn mở đầu (khối lượng vật thể) 2.2. Định nghĩa 2.3. Phương pháp tính tích phân bội ba §3. Ứ G DỤ G CỦA TÍCH PHÂ BỘI 3.1. Diện tích, thể tích 3.2. Giá trị trung bình của hàm số trên miền đĩng 3.3. Khối lượng 3.4. Momen tĩnh 3.5. Trọng tâm 3.6. Momen quán tính
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI §1. Tích phân bội hai (kép) 1.1. Bài tốn mở đầu (thể tích khối trụ cong) • Xét hàm số z = f(x,y) liên tục, khơng âm và một mặt trụ cĩ các đường sinh song song với Oz, đáy là miền phẳng đĩng D trong mặt phẳng Oxy.
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI Để tính thể tích khối trụ, ta chia miền D thành n phần khơng dẫm nhau, diện tích mỗi phần là ∆Si ( )1,i n= . N hư vậy khối trụ cong được chia thành n khối trụ nhỏ. Trong mỗi ∆Si ta lấy điểm Mi(xi; yi) tùy ý. Ta cĩ thể tích ∆Vi của khối trụ nhỏ là: 1 ( ; ) ( , ) n i i i i i i i i V f x y S V f x y S = ∆ ≈ ∆ ⇒ ≈ ∆∑ . Gọi { }max ( , ) ,i id d A B A B S= ∈ ∆ là đường kính của i S∆ .
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI Ta cĩ: max 0 1 lim ( , ) i n i i i d i V f x y S → = = ∆∑ . Khi đĩ 1 ( , ) n n i i i i I f x y S = = ∆∑ được gọi là tổng tích phân của hàm f(x, y) trên D (ứng với phân hoạch ∆Si và các điểm Mi).
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI 1.2. Định nghĩa • N ếu max 0 1 lim ( , ) i n i i i d i I f x y S → = = ∆∑ tồn tại hữu hạn, khơng phụ thuộc vào phân hoạch ∆Si và cách chọn điểm Mi thì số thực I được gọi là tích phân bội hai của f(x, y) trên D. Ký hiệu ( , ) D I f x y dS= ∫∫
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI Chú ý 1) N ếu chia D bởi các đường thẳng song song với các trục tọa độ thì ∆Si = ∆xi.∆yi hay dS = dxdy. Vậy ( , ) ( , ) D D I f x y dS f x y dxdy= =∫∫ ∫∫ . 2) ( , ) ( , ) D D f x y dxdy f u v dudv=∫∫ ∫∫ . hận xét 1) ( ) D dxdy S D=∫∫ (diện tích miền D). 2) f(x, y) > 0, liên tục ∀(x, y) ∈ D thì ( , ) D f x y dxdy∫∫ là thể tích hình trụ cĩ các đường sinh song song với Oz, hai đáy giới hạn bởi các mặt z = 0 và z = f(x, y).
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI 1.3. Tính chất của tích phân kép • Tính chất 1 Hàm số f(x, y) liên tục trên D thì f(x, y) khả tích trên D. • Tính chất 2 (tính tuyến tính) [ ( , ) ( , )] D D D f x y g x y dxdy fdxdy gdxdy± = ±∫∫ ∫∫ ∫∫ ; ( , ) ( , ) , D D kf x y dxdy k f x y dxdy k= ∈∫∫ ∫∫ ℝ. • Tính chất 3 N ếu chia D thành D1 và D2 bởi đường cong cĩ diện tích bằng 0 thì: 1 2 ( , ) ( , ) ( , ) D D D f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy= +∫∫ ∫∫ ∫∫
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI 1.4. Phương pháp tính tích phân kép 1.4.1. Đưa về tích phân lặp Định lý (Fubini) • Giả sử tích phân ( , ) D f x y dxdy∫∫ tồn tại, với 1 2 {( , ) : , ( ) ( )}D x y a x b y x y y x= ≤ ≤ ≤ ≤ và với mỗi [ ; ]x a b∈ cố định 2 1 ( ) ( ) ( , ) y x y x f x y dy∫ tồn tại.
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI Tương tự, 1 2 {( , ) : ( ) ( ), }D x y x y x x y c y d= ≤ ≤ ≤ ≤ , 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) . x yd D c x y x yd c x y f x y dxdy f x y dx dy dy f x y dx    =      = ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Khi đĩ: 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) . y xb D a y x y xb a y x f x y dxdy f x y dy dx dx f x y dy    =      = ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI Chú ý 1) Khi D là hình chữ nhật {( , ) : , } [ , ] [ , ]D x y a x b c y d a b c d= ≤ ≤ ≤ ≤ = × thì: ( , ) = ( , ) = ( , ) . b d d b D a c c a f x y dxdy dx f x y dy dy f x y dx∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2) N ếu 1 2 {( , ) : , ( ) ( )}D x y a x b y x y y x= ≤ ≤ ≤ ≤ và f(x, y) = u(x).v(y) thì: 2 1 ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) . y xb D a y x f x y dxdy u x dx v y dy=∫∫ ∫ ∫
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI Tương tự, nếu 1 2 {( , ) : ( ) ( ), }D x y x y x x y c y d= ≤ ≤ ≤ ≤ thì: 2 1 ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) . x yd D c x y f x y dxdy v y dy u x dx=∫∫ ∫ ∫ 3) N ếu D là miền phức tạp thì ta chia D ra thành những miền đơn giản.
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI Giải VD 1. Xác định cận ở tích phân lặp khi tính tích phân ( , ) D I f x y dxdy= ∫∫ trong các trường hợp sau: 1) D giới hạn bởi các đường y = 0, y = x và x = a > 0.
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI 2) D giới hạn bởi các đường y = x2 và x + y = 2.
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI VD 2. Tính D I xydxdy= ∫∫ với D giới hạn bởi y = x – 4, y2 = 2x. Giải
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI Đổi thứ tự lấy tích phân 2 1 ( ) ( ) ( , ) y xb a y x I dx f x y dy= ∫ ∫ 2 1 ( ) ( ) ( , ) x yd c x y I dy f x y dx= ∫ ∫
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI VD 3. Đổi thứ tự lấy tích phân trong các tích phân sau: 1) 21 2 0 ( , ) x x I dx f x y dy − = ∫ ∫
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI VD 3. Đổi thứ tự lấy tích phân trong các tích phân sau: 2) 2 2 1 3 1 0 1 9 9 ( , ) ( , ) x x x I dx f x y dy dx f x y dy= +∫ ∫ ∫ ∫ .
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI 1.4.2. Phương pháp đổi biến a) Cơng thức đổi biến tổng quát Định lý • Giả sử x = x(u, v), y = y(u, v) là hai hàm số cĩ các đạo hàm riêng liên tục trên miền đĩng giới nội Duv trong mpOuv. Gọi {( , ) : ( , ), ( , ),( , ) } xy uv D x y x x u v y y u v u v D= = = ∈ . N ếu hàm f(x, y) khả tích trên Dxy và định thức Jacobi ( , ) 0 ( , ) x y J u v ∂ = ≠ ∂ trong Duv thì: ( , ) ( ( , ), ( , )) xy uv D D f x y dxdy f x u v y u v J dudv=∫∫ ∫∫
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI Trong đĩ: / / / / / / / / ( , ) 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) u v u v x y x y x xx y J u v u vy y u u x y v v ∂ = = = = ∂ ∂ ∂ VD 4. Cho miền Duv là hình tam giác O(0;0), A(2;0), B(0;2) trong mpOuv. Gọi miền Dxy là ảnh của Duv qua phép biến hình g: (x, y) = g(u, v) = (u + v, u2 – v). Tính tích phân của hàm 1 ( , ) 1 4 4 f x y x y = + + trên miền biến hình Dxy = g(Duv).
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI VD 5. Cho miền Duv là phần tư hình trịn đơn vị trong mpOuv. Gọi miền Dxy là ảnh của Duv qua phép biến hình g: (x, y) = g(u, v) = (u2 – v2, 2uv). Tính tích phân của hàm 2 2 1 ( , )f x y x y = + trên miền biến hình Dxy.
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI VD 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 4 parapol: y = x2, y = 2x2, x = y2 và x = 3y2.
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI b) Đổi biến trong tọa độ cực • Đổi biến: cos sin x r y r  = ϕ = ϕ với 0, 0 2r ≥ ≤ ϕ ≤ π hoặc 0, r ≥ −π ≤ ϕ ≤ π Khi đĩ, miền Dxy trở thành: 1 2 1 2 {( , ) : , ( ) ( )} r D r r r rϕ = ϕ ϕ ≤ ϕ ≤ ϕ ϕ ≤ ≤ ϕ .
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI / / / / cos sin( , ) sin cos( , ) r r x x rx y J r rr y y ϕ ϕ ϕ − ϕ∂ ⇒ = = = = ϕ ϕ∂ ϕ . Vậy ta cĩ: 2 2 1 1 ( ) ( ) ( , ) ( cos , sin ) ( cos , sin ) . xy r D D r r f x y dxdy f r r rdrd d f r r rdr ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ = ϕ ϕ ϕ = ϕ ϕ ϕ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI Chú ý 1) Đổi biến trong tọa độ cực thường dùng khi biên D là đường trịn hoặc elip. 2) Để tìm 1 2 ( ), ( )r rϕ ϕ ta thay cos sin x r y r  = ϕ = ϕ vào phương trình của biên D. 3) N ếu cực O nằm trong D và mỗi tia từ O chỉ cắt biên D tại 1 điểm thì: ( )2 0 0 ( cos , sin ) r I d f r r rdr ϕπ = ϕ ϕ ϕ∫ ∫ .
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI 4) N ếu cực O nằm trên biên D thì: 2 1 ( ) 0 ( cos , sin ) r I d f r r rdr ϕ ϕ ϕ = ϕ ϕ ϕ∫ ∫ . 5) N ếu biên D là elip thì đặt: cos sin x r a y r b  = ϕ = ϕ {( , ) : 0 2 , 0 1}, r D r rϕ⇒ = ϕ ≤ ϕ ≤ π ≤ ≤ 2 1 0 0 ( cos , sin )J abr I d f ra rb abrdr π = ⇒ = ϕ ϕ ϕ∫ ∫ .
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI VD 7. Biểu diễn tích phân ( , ) D f x y dxdy∫∫ trong tọa độ cực. Biết miền D là miền phẳng nằm ngồi (C1): (x – 1) 2 + y2 = 1 và trong (C2): (x – 2) 2 + y2 = 4.
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI VD 8. Tính diện tích hình ellip: 2 2 2 2 1 x y a b + ≤ .
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI VD 9. Tính tích phân 2 2( )x y D I e dxdy− += ∫∫ với D là hình trịn 2 2 2x y R+ ≤ .
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI VD 10. Tính diện tích miền D (cắt tia Oy) giới hạn bởi: y = –x, 2 2 2 23 3x y x y x+ = + − và 0y ≥ .
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI VD 11. Tính thể tích vật thể V giới hạn bởi phần hình trụ 2 2 2 0x y y+ − = nằm trong hình cầu 2 2 2 4x y z+ + = và 0z ≥ .
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI Cơng thức Walliss 2 2 0 0 ( 1)!! , !! sin cos ( 1)!! . , 2 !! n n n n n xdx xdx n n n π π  −= = π − ∫ ∫ lẻ chẵn . Trong đĩ: 0!! = 1!! = 1; 2!! = 2; 3!! = 1.3; 4!! = 2.4; 5!! = 1.3.5; 6!! = 2.4.6; 7!! = 1.3.5.7; 8!! = 2.4.6.8;…
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI MỘT SỐ MẶT BẬC HAI TRO G KHƠ G GIA Oxyz
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI §2. TÍCH PHÂ BỘI BA 2.1. Bài tốn mở đầu (khối lượng vật thể) • Giả sử ta cần tính khối lượng của vật thể V khơng đồng chất, biết mật độ (khối lượng riêng) tại P(x, y, z) là ( ) ( , , )P x y zρ = ρ = ρ . Ta chia V tùy ý thành n phần khơng dẫm nhau, thể tích mỗi phần là ∆Vi (i=1,2,…,n). Trong mỗi ∆Vi ta lấy điểm Pi(xi; yi; zi) và đường kính của ∆Vi là di.
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI Khối lượng V xấp xỉ: 1 1 ( ) ( , , ) n n i i i i i i i i m P V x y z V = = ≈ ρ ∆ = ρ ∆∑ ∑ . N ếu tồn tại max 0 1 lim ( , , ) i n i i i i d i x y z V → = ρ ∆∑ thì: max 0 1 lim ( , , ) . i n i i i i d i m x y z V → = = ρ ∆∑
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI 2.2. Định nghĩa • Cho hàm số f(x, y, z) xác định trong miền đo được V của khơng gian Oxyz. Chia miền V (bài tốn mở đầu) và lập tổng tích phân: 1 : ( , , ) n n i i i i i I f x y z V = = ∆∑ . N ếu max 0 1 lim ( , , ) i n i i i i d i I f x y z V → = = ∆∑ tồn tại hữu hạn, khơng phụ thuộc vào cách chia V và cách chọn điểm Pi thì số thực I được gọi là tích phân bội ba của hàm số f(x, y, z) trên V.
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI Ký hiệu ( , , ) ( , , ) . V V I f x y z dV f x y z dxdydz= =∫∫∫ ∫∫∫ hận xét 1) N ếu 0f ≥ trên V thì ( , , ) V I f x y z dxdydz= ∫∫∫ là khối lượng vật thể V, với khối lượng riêng vật chất chiếm thể tích V là f(x, y, z). Đặc biệt, nếu f(x, y, z) = 1 thì I là thể tích V. 2) Tích phân bội ba cĩ các tính chất như tích phân kép.
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI Khi đĩ: 2 1 2 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) . z x y V D z x y z x y D z x y f x y z dxdydz f x y z dz dxdy dxdy f x y z dz    =      = ∫∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ a) Giả sử miền V cĩ giới hạn trên bởi mặt z = z2(x, y), giới hạn dưới bởi z = z1(x, y), giới hạn xung quanh bởi mặt trụ cĩ đường sinh song song với trục Oz. Gọi D là hình chiếu của V trên mpOxy. 2.3. Phương pháp tính tích phân bội ba 2.3.1. Đưa về tích phân lặp
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI b) Gọi D là hình chiếu của V trên mpOxz. Giả sử miền V cĩ giới hạn (theo chiều ngược với tia Oy) bởi hai mặt y = y2(x, z) và mặt y = y1(x, z), giới hạn xung quanh bởi mặt trụ cĩ đường sinh song song Oy. Khi đĩ: 2 1 2 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) . y x z V D y x z y x z D y x z f x y z dxdydz f x y z dy dxdz dxdz f x y z dy    =      = ∫∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI c) Gọi D là hình chiếu của V trên mpOyz. Giả sử miền V cĩ giới hạn (theo chiều ngược với tia Ox) bởi hai mặt x = x2(y, z) và mặt x = x1(y, z), giới hạn xung quanh bởi mặt trụ cĩ đường sinh song song Ox. Khi đĩ: 2 1 2 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) . x y z V D x y z x y z D x y z f x y z dxdydz f x y z dx dydz dydz f x y z dx    =      = ∫∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI Đặc biệt • N ếu D là hình hộp chữ nhật {( , , ) : , c , e } [ , ] [ , ] [ , ] D x y z a x b y d z f a b c d e f = ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ = × × thì: ( , , ) ( , , ) . fb d V a c e f x y z dxdydz dx dy f x y z dz=∫∫∫ ∫ ∫ ∫ VD 1. Tính tích phân 8 V I xyzdxdydz= ∫∫∫ với V = [1, 2]×[–1, 3]×[0, 2].
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI VD 2. Tính tích phân lặp 2 1 1 2 1 0 (1 2 ) x I dx dy z dz − = +∫ ∫ ∫ và dựng miền lấy tích phân V.
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI VD 3. Tính tích phân V I ydxdydz= ∫∫∫ với V giới hạn bởi x + y + z – 1 = 0 và 3 mặt phẳng tọa độ.
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI 2.3.2. Đổi biến tổng quát • Đặt ( , , ) ( , , ) ( , , ) x x u v w y y u v w z z u v w  = = = , ta cĩ Jacobien: / / / / / / / / / ( , , ) ( , , ) u v w u v w u v w x x x x y z J y y y u v w z z z ∂ = = ∂ .
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI Giả sử các hàm x, y, z cĩ đạo hàm riêng liên tục trong miền đĩng, giới nội đo được Vuvw trong khơng gian Ouvw và 0J ≠ thì: ( , , ) ( ( , , ), ( , , ), ( , , )). . . uvw V V f x y z dxdydz f x u v w y u v w z u v w J dudvdw= ∫∫∫ ∫∫∫ VD 4. Tính tích phân ( ) V I x y z dxdydz= + +∫∫∫ với : 2V x y z x y z x y z− + + + − + + + − ≤ .
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI VD 5. Tính thể tích của khối elipxoit 2 2 2 2 2 2 2 : x y z V R a b c + + ≤ .
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI 2.3.3. Đổi biến trong tọa độ trụ Đặt cos sin x r y r z z  = ϕ = ϕ = , với 0, 0 2r ≥ ≤ ϕ ≤ π hoặc 0,r ≥ −π ≤ ϕ ≤ π.
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI Jacobien: / / / / / / / / / cos sin 0 sin cos 0 0 0 1 r z r z r z x x x r J y y y r r z z z ϕ ϕ ϕ ϕ − ϕ = = ϕ ϕ = . Khi đĩ ta cĩ: ( , , ) ( cos , sin , ). . . r z V V f x y z dxdydz f r r z r drd dz ϕ = ϕ ϕ ϕ ∫∫∫ ∫∫∫
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI VD 6. Tính thể tích khối V giới hạn bởi các mặt 2 2 4x y z+ = − , 2 2 2x y+ ≥ và z = 0.
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI VD 7. Tính tích phân 2 2 V I z x y dxdydz= +∫∫∫ với V là miền hình trụ giới hạn bởi: 2 2 2x y y+ = , z = 0 và z = 1.
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI VD 8. Tính tích phân 2 2 2( ) V I x y z dxdydz= + +∫∫∫ với V là miền hình nĩn giới hạn bởi các mặt: 2 2 2x y z+ = và z = 1.
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI 2.3.3. Đổi biến trong tọa độ cầu Đặt sin cos sin sin cos x r y r z r  = θ ϕ = θ ϕ = θ , với 0, 0 2 ,0r ≥ ≤ ϕ ≤ π ≤ θ ≤ π
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI Jacobien: / / / / / / 2 / / / ( , , ) sin ( , , ) r r r x x x x y z J y y y r r z z z ϕ θ ϕ θ ϕ θ ∂ = = = θ ∂ ϕ θ . Khi đĩ ta cĩ: 2( , , ) . sin . . r V V f x y z dxdydz f r drd d ϕθ = θ ϕ θ∫∫∫ ∫∫∫
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI VD 9. Tính tích phân 2 2 2 1 V I dxdydz x y z = + + ∫∫∫ với V là miền giới hạn bởi các mặt cầu: 2 2 2 1x y z+ + = và 2 2 2 4x y z+ + = .
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI VD 10. Tính tích phân 2 2( ) V I x y dxdydz= +∫∫∫ với V là miền giới hạn bởi: 2 2 2 4x y z+ + ≤ và 0z ≥ .
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI VD 11. Tính tích phân 2 2 2 V I x y z dxdydz= + +∫∫∫ với V là miền giới hạn bởi: 2 2 2 0x y z z+ + − ≤ .
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI §3. Ứ G DỤ G CỦA TÍCH PHÂ BỘI (tham khảo) 3.1. Diện tích, thể tích (xem nhận xét tích phân bội hai, ba). 3.2. Giá trị trung bình của hàm số trên miền đĩng • Giá trị trung bình của hàm số f(x, y) trên miền đĩng D là: 1 ( , ) . ( ) D f f x y dxdy S D = ∫∫ • Giá trị trung bình của hàm số f(x, y, z) trên miền đĩng Ω là: 1 ( , , ) . ( ) f f x y z dxdydz V Ω = Ω ∫∫∫
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI 3.3. Khối lượng • Cho một bản phẳng chiếm miền D đĩng trong Oxy cĩ khối lượng riêng (mật độ khối lượng) tại điểm M(x, y) thuộc D là hàm ( , )x yρ liên tục trên D. Khối lượng của bản phẳng là: ( , ) D m x y dxdy= ρ∫∫ . • Cho một vật thể chiếm miền V đĩng trong Oxyz cĩ khối lượng riêng tại điểm M(x, y, z) thuộc V là hàm ( , , )x y zρ liên tục trên V. Khối lượng của vật thể là: ( , , ) V m x y z dxdydz= ρ∫∫∫ .
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI 3.4. Momen tĩnh Định nghĩa • Momen tĩnh của một chất điểm cĩ khối lượng m đặt tại điểm M(x, y) trong Oxy đối với trục Ox, Oy theo thứ tự là: My=0 = my, Mx=0 = mx. • Momen tĩnh của một chất điểm cĩ khối lượng m đặt tại điểm M(x, y, z) trong Oxyz đối với các mặt phẳng tọa độ Oxy, Oyz, Oxz theo thứ tự là: Mz=0 = mz, Mx=0 = mx, My=0 = my.
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI Cơng thức tính • Momen tĩnh của bản phẳng chiếm diện tích D trong Oxy cĩ khối lượng riêng tại điểm M(x, y) là hàm ( , )x yρ liên tục trên D là: 0 0 ( , ) , ( , ) y x D D M y x y dxdy M x x y dxdy= == ρ = ρ∫∫ ∫∫ . • Momen tĩnh của vật thể chiếm miền V trong Oxyz cĩ khối lượng riêng tại điểm M(x, y, z) là hàm ( , , )x y zρ liên tục trên V là: 0 0 0 ( , , ) , M ( , , ) , M ( , , ) . z V x V y V M z x y z dxdydz x x y z dxdydz y x y z dxdydz = = = = ρ = ρ = ρ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI 3.5. Trọng tâm • Cho bản phẳng chiếm diện tích D trong Oxy cĩ khối lượng riêng tại điểm M(x, y) là hàm ( , )x yρ liên tục trên D. Khi đĩ, tọa độ trọng tâm G của bản phẳng là: ( , ) 1 ( , ) , ( , ) ( , ) 1 y ( , ) . ( , ) D G D D D G D D x x y dxdy x x x y dxdy mx y dxdy y x y dxdy y x y dxdy mx y dxdy ρ = = ρ ρ ρ = = ρ ρ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI Khi bản phẳng đồng chất thì ( , )x yρ là hằng số nên: 1 1 , y ( ) ( )G G D D x xdxdy ydxdy S D S D = =∫∫ ∫∫ . • Cho vật thể chiếm thể tích V trong Oxyz cĩ khối lượng riêng tại điểm M(x, y, z) là hàm ( , , )x y zρ liên tục trên V. Khi đĩ, tọa độ trọng tâm G của vật thể là: 1 ( , , ) , 1 y ( , , ) , 1 ( , , ) . G V G V G V x x x y z dxdydz m y x y z dxdydz m z z x y z dxdydz m = ρ = ρ = ρ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI Khi vật thể đồng chất thì ( , , )x y zρ là hằng số nên: 1 , 1 y , 1 z . G V G V G V x xdxdydz V ydxdydz V zdxdydz V = = = ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI 3.6. Momen quán tính Định nghĩa • Momen quán tính của một chất điểm cĩ khối lượng m đặt tại điểm M(x, y) đối với trục Ox, Oy và gốc tọa độ O theo thứ tự là: Ix = my 2, Iy = mx 2 và IO = Ix + Iy = m(x 2 + y2). • Momen quán tính của một chất điểm cĩ khối lượng m đặt tại điểm M(x, y, z) đối với trục Ox, Oy, Oz và gốc tọa độ O theo thứ tự là: Ix = m(y 2 + z2), Iy = m(x 2 + z2), Iz = m(x 2 + y2) và IO = Ix + Iy + Iz = m(x 2 + y2 + z2). • Momen quán tính của một chất điểm cĩ khối lượng m đặt tại điểm M(x, y, z) đối với các mặt phẳng tọa độ Oxy, Oyz, Oxz thứ tự là: Iz=0 = mz 2, Ix=0 = mx 2, Iy=0 = my 2.
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI Cơng thức tính • Cho bản phẳng chiếm diện tích D trong mpOxy cĩ khối lượng riêng tại điểm M(x, y) là hàm ( , )x yρ liên tục trên D. Khi đĩ: ( ) 2 2 2 2 ( , ) , ( , ) , ( , ) . x D y D O D I y x y dxdy I x x y dxdy I x y x y dxdy = ρ = ρ = + ρ ∫∫ ∫∫ ∫∫
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI • Cho vật thể chiếm miền V trong Oxyz cĩ khối lượng riêng tại điểm M(x, y, z) là hàm ( , , )x y zρ liên tục trên V. Khi đĩ: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( , , ) , ( , , ) , ( , , ) , ( , , ) x V y V z V O V I y z x y z dxdydz I x z x y z dxdydz I x y x y z dxdydz I x y z x y z dxdydz = + ρ = + ρ = + ρ = + + ρ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫
Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI và 2 0 2 0 2 0 ( , , ) , ( , , ) , ( , , ) . z V x V y V I z x y z dxdydz I x x y z dxdydz I y x y z dxdydz = = = = ρ = ρ = ρ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫
Chương 3. Tích phân đường Tích phân mặt §1. TÍCH PHÂ ĐƯỜ G LOẠI I 1.1. Định nghĩa 1.2. Phương pháp tính 1.3. Ứng dụng §2. TÍCH PHÂ ĐƯỜ G LOẠI II 2.1. Bài tốn mở đầu 2.2. Định nghĩa 2.3. Phương pháp tính 2.4. Cơng thức Green (liên hệ với tích phân kép) 2.5. Điều kiện tích phân đường khơng phụ thuộc đường lấy tích phân
Chương 3. Tích phân đường Tích phân mặt §3. TÍCH PHÂ MẶT LOẠI I 3.1. Định nghĩa 3.2. Phương pháp tính 3.3. Ứng dụng của tích phân mặt loại 1 §4. TÍCH PHÂ MẶT LOẠI II 4.1. Định nghĩa 4.2. Liên hệ với tích phân mặt loại 1 4.3. Phương pháp tính 4.4. Cơng thức Stokes 4.5. Cơng thức Gauss – Ostrogradski
Chương 3. Tích phân đường – mặt §1. TÍCH PHÂ ĐƯỜ G LOẠI I 1.1. Định nghĩa • Giả sử đường cong L trong mặt phẳng Oxy cĩ phương trình tham số: ( ),x x t= ( )y y t= với a t b≤ ≤ và f(x, y) là hàm số xác định trên L. • Chia L thành n cung khơng dẫm lên nhau bởi các điểm chia ứng với 0 1 ... n a t t t b= < < < = .
Chương 3. Tích phân đường – mặt Gọi độ dài cung thứ i là i s∆ . Trên cung thứ i lấy điểm ( , ) i i i M x y . Tổng 1 ( , ) n n i i i i I f x y s = = ∆∑ được gọi là tổng tích phân đường (loại 1) của hàm f(x, y) trên đường cong L. • Giới hạn 0 1 lim ( , ) i n i i i max s i f x y s ∆ → = ∆∑ tồn tại được gọi là tích phân đường loại 1 của f(x, y) trên đường cong L. Ký hiệu là ( , ) . L f x y ds∫
Chương 3. Tích phân đường – mặt hận xét 1) Tích phân đường loại 1 cĩ tất cả các tính chất của tích phân xác định. 2) Tích phân đường loại 1 khơng phụ thuộc vào chiều của L:   ( , ) ( , ) . BAAB f x y ds f x y ds=∫ ∫
Chương 3. Tích phân đường – mặt 1.2. Phương pháp tính a) Đường cong L cĩ phương trình tham số • N ếu L cĩ phương trình ( )x x t= , ( )y y t= với a t b≤ ≤ thì: ( ) ( ) 2 2 / /( , ) ( ( ), ( )) . b t t L a f x y ds f x t y t x y dt= +∫ ∫ • N ếu L trong khơng gian cĩ phương trình ( )x x t= , ( )y y t= , ( )z z t= với a t b≤ ≤ thì: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 / / /( , , ) . . b t t t L a f x y z ds f x y z dt= + +∫ ∫
Chương 3. Tích phân đường – mặt b) Đường cong L cĩ phương trình tổng quát • N ếu L cĩ phương trình ( )y y x= với a x b≤ ≤ thì: ( )2/( , ) ( , ( )) 1 . b x L a f x y ds f x y x y dx= +∫ ∫ • N ếu L cĩ phương trình ( )x x y= với a y b≤ ≤ thì: ( ) 2 /( , ) ( ( ), ) 1 . b y L a f x y ds f x y y x dy= +∫ ∫
Chương 3. Tích phân đường – mặt Đặc biệt • N ếu L cĩ phương trình y = α ∈ ℝ với a x b≤ ≤ thì: ( , ) ( , ) . b L a f x y ds f x dx= α∫ ∫ • N ếu L cĩ phương trình x = α ∈ ℝ với a y b≤ ≤ thì: ( , ) ( , ) . b L a f x y ds f y dy= α∫ ∫
Chương 3. Tích phân đường – mặt • N ếu L được cho trong tọa độ cực ( )r r= ϕ với α ≤ ϕ ≤ β thì ta xem ϕ là tham số. Khi đĩ, phương trình của L là: ( )cos ,x r= ϕ ϕ ( )sin ,y r= ϕ ϕ .α ≤ ϕ ≤ β Ta cĩ: ( )22 /( , ) ( ( )cos , ( )sin ) L f x y ds f r r r r d β ϕ α = ϕ ϕ ϕ ϕ + ϕ∫ ∫
Chương 3. Tích phân đường – mặt VD 1. Tính L zds∫ với L là đường xoắn ốc trụ trịn xoay cĩ phương trình: cosx a t= , siny a t= , z bt= , 0 2t≤ ≤ π.
Chương 3. Tích phân đường – mặt VD 2. Tính ( ) L x y ds+∫ với L là tam giác cĩ các đỉnh: O(0; 0), A(1; 0), B(0; 1).
Chương 3. Tích phân đường – mặt VD 3. Tính 2 41 4 4C y dl x x+ − ∫ với C là phần giao tuyến giữa mặt 2 22 2z x y= − − và 2z x= nằm trong gĩc phần 8 thứ nhất từ điểm A(0; 1; 0) đến B(1; 0; 1).
Chương 3. Tích phân đường – mặt 1.3. Ứng dụng 1) Độ dài cung L là L ds∫ , với 1f ≡ . 2) N ếu dây vật dẫn cĩ hình dạng L và hàm mật độ khối lượng ( , )x yρ phụ thuộc vào điểm M(x, y) trên L thì khối lượng của dây vật dẫn là ( , ) . L m x y ds= ρ∫ • Trọng tâm G của L là: 1 ( , ) G L x x x y ds m = ρ∫ , 1 ( , ) G L y y x y ds m = ρ∫ .
Chương 3. Tích phân đường – mặt 3) N ếu dây vật dẫn cĩ hình dạng L và hàm mật độ khối lượng ( , , )x y zρ phụ thuộc vào điểm M(x, y, z) trên L thì khối lượng của dây dẫn là ( , , ) . L m x y z ds= ρ∫ • Trọng tâm G của L là: 1 ( , , ) G L x x x y z ds m = ρ∫ , 1 ( , , ) G L y y x y z ds m = ρ∫ , 1 ( , , ) G L z z x y z ds m = ρ∫ .
Chương 3. Tích phân đường – mặt VD 4. Tính độ dài cung trịn 2 2 2 0x y x+ − = nằm trong gĩc thứ nhất từ A(2; 0) đến 1 3 ; 2 2 B        .
Chương 3. Tích phân đường – mặt VD 5. Cho một dây thép dạng nửa đường trịn trong mpOyz với phương trình 2 2 1y z+ = , 0z ≥ . Biết mật độ khối lượng ( , , ) 2x y z zρ = − . Tìm khối lượng và trọng tâm của dây thép.
Chương 3. Tích phân đường – mặt §2. TÍCH PHÂ ĐƯỜ G LOẠI II 2.1. Bài tốn mở đầu Tính cơng sinh ra do lực ( )F F M=   tác dụng lên chất điểm M(x, y) di chuyển dọc theo đường cong L. • N ếu L là đoạn thẳng AB thì cơng sinh ra là: ( ). cos ,W F AB F AB F AB= =       . • N ếu L là đường cong thì ta chia L thành n cung nhỏ bởi các điểm chia A0, A1,…, An. Trên mỗi cung  1i i A A− lấy điểm Mi(xi, yi) tùy ý.
Chương 3. Tích phân đường – mặt Chiếu ( ) i F M  và 1i i A A−  lên trục Ox, Oy ta được: ( ) ( , ). ( , ). i i i i i F M P i Q j= ξ η + ξ η    và 1 . . i i i i A A x i y j− = ∆ +∆    . Khi đĩ, cơng W sinh ra: 1 1 1 1 ( ) = ( , ) ( , ) . n n i i i i i i n i i i i i i i W W F M A A P x Q y − = = = ≈ =  ξ η ∆ + ξ η ∆   ∑ ∑ ∑   Vậy 1 0 1 lim ( , ) ( , ) i i n i i i i i i max A A i W P x Q y − → =  = ξ η ∆ + ξ η ∆  ∑ .
Chương 3. Tích phân đường – mặt 2.2. Định nghĩa • Cho hai hàm P(x, y), Q(x, y) xác định trên đường cong L. Chia L thành n cung nhỏ bởi các điểm chia A0, A1,…, An. Trên mỗi cung  1i i A A− lấy điểm Mi(xi, yi) tùy ý. Gọi ( )1 ,i i i iA A x y− = ∆ ∆  . Tổng 1 ( , ) ( , ) n n i i i i i i i I P x Q y =  = ξ η ∆ + ξ η ∆  ∑ được gọi là tổng tích phân đường loại 2 của P(x, y) và Q(x, y) trên đường cong L.
Chương 3. Tích phân đường – mặt Giới hạn 1 0 lim i i n max A A I − →  tồn tại được gọi là tích phân đường loại 2 của P(x, y) và Q(x, y) trên đường cong L. Ký hiệu là: ( , ) ( , ) . L P x y dx Q x y dy+∫
Chương 3. Tích phân đường – mặt hận xét 1) Tích phân đường loại 2 cĩ tất cả các tính chất như tích phân xác định. 2) Tích phân đường loại 2 phụ thuộc vào chiều của L vì khi thay đổi chiều thì ( )1 ,i i i iA A x y− = ∆ ∆  đổi dấu, do đĩ khi viết tích phân ta cần ghi rõ điểm đầu và cuối:   ( , ) ( , ) . BAAB P x y dx Q x y dy Pdx Qdy+ =− +∫ ∫
Chương 3. Tích phân đường – mặt 3) Từ định nghĩa tổng tích phân, ta cĩ thể viết:    ( , ) ( , ) . AB AB AB Pdx Qdy P x y dx Q x y dy+ = +∫ ∫ ∫ Chú ý • N ếu L là đường cong phẳng, kín lấy theo chiều dương (ngược chiều kim đồng hồ) thì ta dùng ký hiệu: ( , ) ( , ) . L P x y dx Q x y dy+∫ • Định nghĩa tương tự: ( , , ) ( , , ) ( , , ) L P x y z dx Q x y z dy R x y z dz+ +∫ .
Chương 3. Tích phân đường – mặt 2.3. Phương pháp tính a) Đường cong L cĩ phương trình tham số • N ếu L cĩ phương trình ( )x x t= , ( )y y t= thì:  ( , ) ( , ) AB P x y dx Q x y dy+∫ / /( ( ), ( )) ( ( ), ( )) . B A t t t t P x t y t x Q x t y t y dt = +  ∫ • N ếu L cĩ pt ( )x x t= , ( )y y t= , ( )z z t= thì:  ( )/ / /. . . . B A t t t t tAB Pdx Qdy Rdz P x Q y R z dt+ + = + +∫ ∫
Chương 3. Tích phân đường – mặt b) Đường cong L cĩ phương trình tổng quát • N ếu L cĩ phương trình ( )y y x= thì:  /( , ( )) ( , ( )). . B A x x xAB Pdx Qdy P x y x Q x y x y dx + = +  ∫ ∫ • N ếu L cĩ phương trình ( )x x y= thì:  /( ( ), ). ( ( ), ) . B A y y yAB Pdx Qdy P x y y x Q x y y dy + = +  ∫ ∫
Chương 3. Tích phân đường – mặt Đặc biệt • N ếu L cĩ phương trình y = α (hằng số) thì:  ( , ) ( , ) ( , ) . B A x xAB P x y dx Q x y dy P x dx+ = α∫ ∫ • N ếu L cĩ phương trình x = α (hằng số) thì:  ( , ) ( , ) ( , ) . B A y yAB P x y dx Q x y dy Q y dy+ = α∫ ∫
Chương 3. Tích phân đường – mặt VD 1. Tính L xdy ydx−∫ với L là elip 2 2 2 2 1 x y a b + = lấy theo chiều dương.
Chương 3. Tích phân đường – mặt VD 2. Tính ( ) ( ) L I x y dx x y dy= − + +∫ với L là đường nối O(0; 0) với A(1; 1) trong các trường hợp: a) đường thẳng y = x; b) đường y = x2; c) đường y x= .
Chương 3. Tích phân đường – mặt VD 3. Tính L I dx ydy dz= − +∫ với L là đường xoắn ốc trụ trịn xoay cĩ phương trình cosx t= , siny t= , 2z t= từ điểm A(1; 0; 0) đến (0; 1; )B π .
Chương 3. Tích phân đường – mặt 2.4. Cơng thức Green (liên hệ với tích phân kép) • Cho miền D là miền liên thơng, bị chặn, cĩ biên L Jordan kín trơn từng khúc. Chiều dương của L là chiều mà khi di chuyển ta thấy miền D nằm về phía tay trái. • N ếu các hàm số P(x, y) và Q(x, y) cĩ các đạo hàm riêng cấp 1 liên tục trên D thì: ( )/ / ( , ) ( , ) .x y D L Q P dxdy P x y dx Q x y dy− = +∫∫ ∫
Chương 3. Tích phân đường – mặt Hệ quả 1 ( ) . 2 D S D xdy ydx ∂ = −∫ VD 4. Tính L xdy ydx−∫ với L là 2 2 2 2 ( ) : 1 x y E a b + = lấy theo chiều dương.
Chương 3. Tích phân đường – mặt VD 5. Tính tích phân 2 2( ) ( 2 )y L I xarctgx y dx x xy y e dy−= + + + +∫ với L là đường trịn 2 2 2 0x y y+ − = .
Chương 3. Tích phân đường – mặt VD 6. Tính 2 2 L xdy ydx I x y − = + ∫ trong các trường hợp: a) L là đường cong kín khơng bao quanh gốc O; b) L là đường cong kín bao quanh gốc O.
Chương 3. Tích phân đường – mặt 2.5. Điều kiện tích phân đường khơng phụ thuộc vào đường lấy tích phân Định lý • Giả sử các hàm số P(x, y), Q(x, y) và các đạo hàm riêng cấp 1 của chúng liên tục trong miền đơn liên D. Khi đĩ, bốn mệnh đề sau tương đương: 1) / /, ( , ) y x P Q x y D= ∀ ∈ . 2) ( , ) ( , ) 0 L P x y dx Q x y dy+ =∫ dọc theo mọi đường cong kín L nằm trong D.
Chương 3. Tích phân đường – mặt Khi đĩ, bốn mệnh đề sau tương đương: 1) / /, ( , ) y x P Q x y D= ∀ ∈ . 2) ( , ) ( , ) 0 L P x y dx Q x y dy+ =∫ dọc theo mọi đường cong kín L nằm trong D. 3)  ( , ) ( , ) AB P x y dx Q x y dy+∫ , trong đĩ AB nằm trong D, chỉ phụ thuộc vào hai mút A, B mà khơng phụ thuộc vào đường nối A với B. 4) Biểu thức P(x, y)dx + Q(x, y)dy là vi phân tồn phần của hàm u(x, y) nào đĩ trong miền D.
Chương 3. Tích phân đường – mặt Hệ quả • N ếu P(x, y)dx + Q(x, y)dy là vi phân tồn phần của hàm u(x, y) nào đĩ trong miền đơn liên D, nghĩa là / /, ( , ) y x P Q x y D= ∀ ∈ thì:  ( , ) ( , ) ( ) ( ). AB P x y dx Q x y dy u B u A+ = −∫ VD 7. Tính 2 2 2 2 L x y x y I dx dy x y x y − + = + + + ∫ với L là đường trơn từng khúc nối A(–1; –1) và B(–2; –2) nằm trong miền D khơng chứa gốc tọa độ O.
Chương 3. Tích phân đường – mặt VD 8. Tích phân đường nào sau đây khơng phụ thuộc vào các đường trơn từng khúc nối hai điểm A và B? A. 3 4(4 2 ) ( 2 ) AB I xy x dx y y x dy= + + + −∫ . B. 3 4 2 2(4 2 1) ( 6 1) AB I xy x dx y x y dy= + − + + −∫ . C. 3 4(4 2 ) ( 2 ) AB I xy x dx y y x dy= + − + −∫ . D. 3 4 2 2(4 2 1) ( 6 1) AB I xy x dx y x y dy= + − − + −∫ .
Chương 3. Tích phân đường – mặt VD 9. Cho biết hàm ( , ) 2 1y xu x y xe ye x= − + + cĩ vi phân tồn phần là: ( 2) ( )y x y xdu e ye dx xe e dy= − + + − Tính (1,0) (1,1) ( 2) ( )y x y xI e ye dx xe e dy= − + + −∫ . A. 1I = − ; B. 2I = − ; C. 1I = ; D. 2I = .
Chương 3. Tích phân đường – mặt VD 10. Tính (3,2) 2 (1,1) ( 2 ) ( ) x y dx ydy I x y + + = + ∫ theo một đường trơn từng khúc khơng cắt 0x y+ = .
Chương 3. Tích phân đường – mặt §3. TÍCH PHÂ MẶT LOẠI I 3.1. Định nghĩa • Cho hàm số f(x, y, z) xác định trên mặt S. Chia S một cách tùy ý thành n phần khơng dẫm nhau, diện tích mỗi phần là ∆Si (i =1, 2,…, n). Trong mỗi ∆Si ta lấy điểm ( , , ) i i i i M ξ η ζ tùy ý và lập tổng tích phân: 1 ( , , ) n n i i i i i I f S = = ξ η ζ ∆∑ .
Chương 3. Tích phân đường – mặt N ếu max ( ) 0 1 lim ( , , ) i n i i i i d S i I f S ∆ → = = ξ η ζ ∆∑ tồn tại hữu hạn, khơng phụ thuộc vào cách chia S và cách chọn điểm Mi thì số thực I được gọi là tích phân mặt loại 1 của hàm f(x, y, z) trên S. Ký hiệu ( , , ) . S I f x y z dS= ∫∫
Chương 3. Tích phân đường – mặt 3.2. Phương pháp tính a) Chiếu S lên Oxy • N ếu S cĩ phương trình z = z(x, y) và S cĩ hình chiếu trên Oxy là D thì: ( ) ( )2 2/ /( , , ( , )) 1 .x y D I f x y z x y z z dxdy= + +∫∫ b) Chiếu S lên Oxz • N ếu S cĩ phương trình y = y(x, z) và S cĩ hình chiếu trên Oxz là D thì: ( ) ( )2 2/ /( , ( , ), ) 1 .x z D I f x y x y z y y dxdz= + +∫∫
Chương 3. Tích phân đường – mặt c) Chiếu S lên Oyz • N ếu S cĩ phương trình x = x(y, z) và S cĩ hình chiếu trên Oyz là D thì: ( ) ( ) 2 2 / /( ( , ), , ) 1 . y z D I f x y z y z x x dydz= + +∫∫ VD 1. Tính 2 2( ) S I x y dS= +∫∫ trong đĩ S là phần mặt nĩn 2 2 2z x y= + với 0 1z≤ ≤ .
Chương 3. Tích phân đường – mặt VD 2. Tính S I zdS= ∫∫ , trong đĩ S là phần mặt cầu 2 2 2 4x y z+ + = với 0x ≥ , 0y ≥ .
Chương 3. Tích phân đường – mặt Cách khác Chiếu S lên Oxy ta được 1 4 hình trịn 2 2: 4D x y+ ≤ và 1 2 S S S= ∪ .
Chương 3. Tích phân đường – mặt VD 3. Tính S I xyzdS= ∫∫ , trong đĩ S là 6 mặt của hình hộp chữ nhật 0 1x≤ ≤ , 0 2y≤ ≤ , 0 3z≤ ≤ .
Chương 3. Tích phân đường – mặt 3.3. Ứng dụng của tích phân mặt loại 1 1) Diện tích mặt S là S dS∫∫ . 2) N ếu mặt S cĩ hàm mật độ khối lượng là ( , , )x y zρ thì khối lượng của mặt S là: ( , , ) . S m x y z dS= ρ∫∫ Khi đĩ, tọa độ trọng tâm G của mặt S là: 1 1 ( , , ) , y ( , , ) , 1 ( , , ) . G G S S G S x x x y z dS y x y z dS m m z z x y z dS m = ρ = ρ = ρ ∫∫ ∫∫ ∫∫
Chương 3. Tích phân đường – mặt §4. TÍCH PHÂ MẶT LOẠI II 4.1. Định nghĩa 4.1.1. Mặt định hướng • Mặt trơn S được gọi là mặt định hướng nếu pháp vector đơn vị n  xác định tại mọi điểm M thuộc S (cĩ thể trừ biên S) biến đổi liên tục khi M chạy trên S. Mặt định hướng cĩ hai phía, phía mà nếu đứng trên đĩ thì n  hướng từ chân lên đầu là phía dương, ngược lại là phía âm.
Chương 3. Tích phân đường – mặt • Hướng của biên S là hướng ngược chiều kim đồng hồ khi nhìn từ ngọn của n  . • Khi mặt S khơng kín, ta gọi phía trên là phía mà n  lập với tia Oz gĩc nhọn, ngược là là phía dưới. • Khi mặt S kín ta gọi phía trong và phía ngồi. • Mặt trơn từng khúc S là định hướng được nếu hai phần trơn bất kỳ của S nối với nhau bởi đường biên C cĩ định hướng ngược nhau.
Chương 3. Tích phân đường – mặt 4.1.2. Định nghĩa tích phân mặt loại 2 • Cho hàm số f(x, y, z) xác định trên mặt định hướng, trơn từng khúc S. Chia S một cách tùy ý thành n phần khơng dẫm lên nhau, diện tích mỗi phần là ∆Si (i=1,2,…,n). Trong mỗi ∆Si ta lấy điểm ( , , )i i i iM ξ η ζ tùy ý. Gọi Di là hình chiếu của ∆Si lên Oxy kèm theo dấu dương nếu ∆Si cĩ định hướng trên, ngược lại là dấu âm.
Chương 3. Tích phân đường – mặt Lập tổng tích phân ( ) 1 ( , , ). n n i i i i i I f S D = = ξ η ζ∑ . N ếu ( ) max ( ) 0 1 lim ( , , ). i n i i i i d S i I f S D ∆ → = = ξ η ζ∑ tồn tại hữu hạn, khơng phụ thuộc vào cách chia S và cách chọn điểm Mi thì số I được gọi là tích phân mặt loại 2 của hàm f(x, y, z) trên mặt định hướng S. Ký hiệu ( , , ) . S f x y z dxdy∫∫
Chương 3. Tích phân đường – mặt • Tương tự, khi chiếu S lên Ozx và Oyz ta cĩ: ( , , ) S f x y z dzdx∫∫ và ( , , ) S f x y z dydz∫∫ . • Kết hợp cả 3 dạng trên ta được tích phân mặt loại 2 của các hàm P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) trên S: ( , , ) ( , , ) ( , , ) . S P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy+ +∫∫ hận xét • N ếu đổi hướng của mặt S thì tích phân đổi dấu. • N ếu S kín thì tích phân cịn được ký hiệu là: . S Pdydz Qdzdx Rdxdy+ +∫∫
Chương 3. Tích phân đường – mặt 4.2. Liên hệ với tích phân mặt loại 1 • Cho mặt định hướng trơn từng khúc S cĩ pháp vector n  . Gọi , , α β γ lần lượt là gĩc hợp bởi n  với các tia Ox, Oy, Oz. Khi đĩ: ( cos cos cos ) . S S Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dS + + = α + β+ γ ∫∫ ∫∫
Chương 3. Tích phân đường – mặt • N ếu S cĩ pháp vector đơn vị ( , , )n a b c=  thì: = ( . . . ) . S S Pdydz Qdzdx Rdxdy P a Qb Rc dS + + + + ∫∫ ∫∫ VD 1. Tính S I dydz dzdx dxdy= + +∫∫ , với S là tam giác giao của mặt phẳng 1x y z+ + = với 3 mặt phẳng tọa độ (lấy phía trên).
Chương 3. Tích phân đường – mặt 4.3. Phương pháp tính a) N ếu S cĩ hình chiếu đơn trị lên Oxy là miền Dxy và cĩ phương trình z = z(x, y) thì: ( , , ) ( , , ( , )) . xy S D R x y z dxdy R x y z x y dxdy= ±∫∫ ∫∫ (dấu + hay – tùy thuộc vào mặt ở phía trên hay dưới). b) N ếu S cĩ hình chiếu đơn trị lên Oxz là miền Dxz và cĩ phương trình y = y(x, z) thì: ( , , ) ( , ( , ), ) . xz S D Q x y z dzdx Q x y x z z dzdx= ±∫∫ ∫∫
Chương 3. Tích phân đường – mặt c) N ếu S cĩ hình chiếu đơn trị lên Oyz là miền Dyz và cĩ phương trình x = x(y, z) thì: ( , , ) ( ( , ), , ) . yz S D P x y z dydz P x y z y z dydz= ±∫∫ ∫∫ VD 2. Tính S I zdxdy= ∫∫ , với S là phía ngồi của mặt cầu 2 2 2 2x y z R+ + = .
Chương 3. Tích phân đường – mặt 4.4. Cơng thức Stokes • Cho S là mặt định hướng trơn từng khúc cĩ biên S∂ trơn từng khúc và khơng tự cắt. Giả sử P, Q, R là các hàm cĩ đạo hàm riêng liên tục trong miền mở chứa S. Khi đĩ: ( ) ( ) ( ) / / / / / / . S y z z x S x y Pdx Qdy Rdz R Q dydz P R dzdx Q P dxdy ∂ + +  − + −  =    + −   ∫ ∫∫  (Hướng của S∂ là hướng dương phù hợp với hướng của S).
Chương 3. Tích phân đường – mặt VD 3. Tính C ydx zdy xdz+ +∫ , với C là đường trịn giao của mặt cầu 2 2 2 2x y z R+ + = và mặt phẳng 0x y z+ + = và hướng tích phân trên C là hướng dương khi nhìn từ ngọn tia Oz.
Chương 3. Tích phân đường – mặt 4.5. Cơng thức Gauss – Ostrogradski • Cho V là một khối giới nội với biên S trơn từng khúc. Giả sử P, Q, R là các hàm cĩ đạo hàm riêng liên tục trong miền mở chứa V. Khi đĩ: ( )/ / / . S x y z V Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dxdydz + + = + + ∫∫ ∫∫∫  (Tích phân S ∫∫ lấy theo phía ngồi của S).
Chương 3. Tích phân đường – mặt VD 4. Tính 3 3 3 S I x dydz y dzdx z dxdy= + +∫∫ , với S là phía ngồi của mặt cầu 2 2 2 2x y z R+ + = .
Chương 3. Tích phân đường – mặt VD 5. Tính S I dxdy= ∫∫ , với S là mặt dưới của mặt 2 2 1, 2 9 y x z+ ≤ = . A. 3I =− π; B. 3I = π; C. 9I = − π; D. 9I = π.
Chương 3. Tích phân đường – mặt VD 6. Tính S I zdxdy= ∫∫ , với S là mặt trên của mặt 2z = được giới hạn bởi 1, 0, 0 1x y x y+ ≤ ≥ ≤ ≤ với pháp vector theo chiều dương. A. 1I = ; B. 2I = ; C. 3I = ; D. 4I = .
Chương 3. Tích phân đường – mặt VD 7. Tính 3 2 S I xdxdy xdydz ydzdx= + −∫∫ , với S là mặt biên ngồi của elipsoid 2 2 2: 1 4 9 y z xΩ + + ≤ . A. 144I = π; B. 32I = π; C. 8I = π; D. 36I = π.
Chương 3. Tích phân đường – mặt VD 8. Tính 2 S I xdydz zdzdx dxdy= + +∫∫ với S là mặt ngồi của mặt cầu: 2 2 2 2 0, 1x y z z z+ + − = ≤ . A. 2 3 I π = − ; B. 2 3 I π = − ; C. 3 I π = ; D. 3 I π = − .
Giải nhanh tích phân từng phần Vậy 3 2( 5 10 7)xI e x x x C= − + − + . 3 22 3x x− + xe 23 4x x− xe 6 4x − xe 6 xe 0 xe VD 1. 3 2( 2 3)xI e x x dx= − +∫
Giải nhanh tích phân từng phần VD 2. lnI x xdx= ∫ ln x x 1 x 2 2 x Vậy 2 2 21 ln ln 2 2 2 4 x x x I x xdx x C= − = − +∫ .
Giải nhanh tích phân từng phần VD 3. 2 sin 3xI e x dx= ∫ sin 3x 2xe 3 cos 3x 2 1 2 xe 9 sin 3x− 2 1 4 xe Vậy 2 1 3 9 sin 3 cos 3 2 4 4 xI e x x I  = − −    2 13 1 3 sin 3 cos 3 4 2 4 xI e x x C  ⇒ = − +    .
Chương 4. Phương trình vi phân §1. KHÁI IỆM CƠ BẢ VỀ PT VI PHÂ §2. PHƯƠ G TRÌ H VI PHÂ CẤP 1 2.1. Khái niệm cơ bản về pt vi phân cấp 1 2.2. Một số phương trình vi phân cấp 1 cơ bản 2.2.1. Phương trình vi phân cấp 1 với biến phân ly 2.2.2. Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1 2.2.3. Phương trình vi phân tồn phần 2.2.4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 2.2.5. Phương trình vi phân Bernoulli
Chương 4. Phương trình vi phân §3. PHƯƠ G TRÌ H VI PHÂ CẤP CAO 3.1. Các dạng phương trình vi phân cấp 2 cơ bản 3.1.1. Phương trình khuyết y và y’ 3.1.2. Phương trình khuyết y 3.1.3. Phương trình khuyết x 3.2. Pt vi phân cấp 2 tuyến tính với hệ số hằng 3.2.1. Phương trình thuần nhất 3.2.2. Phương trình khơng thuần nhất 3.3. Phương trình vi phân cấp n tuyến tính với hệ số hằng
Chương 4. Phương trình vi phân §1. KHÁI IỆM CƠ BẢ VỀ PT VI PHÂ 1. Bài tốn 1 • Tìm phương trình đường cong ( ) : ( )C y f x= đi qua điểm M(2; 3) sao cho mọi đoạn của tiếp tuyến với ( )C nằm giữa hai trục tọa độ đều bị tiếp điểm chia thành hai phần bằng nhau ?
Chương 4. Phương trình vi phân Giải Giả sử ( , ) ( )I x y C∈ , hệ số gĩc tiếp tuyến tại I là: ( ) ( ) PI PI y y x tg y x PA OP x ′ ′= α = − = − ⇒ =− (*). N hận thấy hàm , C y C x = ∈ ℝ thỏa (*). Thay tọa độ M vào C y x = ta được 6 y x = .
Chương 4. Phương trình vi phân 2. Bài tốn 2 • Tìm vận tốc nhỏ nhất để khi phĩng 1 vật theo phương thẳng đứng sao cho vật khơng rơi trở lại trái đất ? Biết lực cản của khơng khí khơng đáng kể. Giải Gọi khối lượng của trái đất và vật phĩng là M, m. Khoảng cách từ tâm trái đất đến trọng tâm của vật phĩng là r. Theo định luật hấp dẫn N ewton, lực hút tác dụng lên vật là 2 . Mm f k r = , k là hằng số hấp dẫn.
Chương 4. Phương trình vi phân Phương trình chuyển động của vật là: 2 2 2 2 2 2 . . . d r Mm d r M m k k dt r dt r =− ⇔ =− (1). Mặt khác, 2 2 . d r dv dv dr dv v dt dr dt drdt = = = nên: 2 2 (1) . dv M kM v k vdv dr dr r r ⇔ =− ⇔ =− 2 12 2 kM v kM vdv dr C rr ⇒ =− ⇒ = +∫ ∫ (2).
Chương 4. Phương trình vi phân Tại t = 0 thì r R= (BK trái đất), 0 v v= nên: 2 22 0 0 1 (2) 2 2 2 v vkM v kM kM C R r R   ⇒ = − ⇒ = + −     (3). Khi r →+∞ thì 2 2 0 0 2 2 v kM v R − = ≥ 0 2kM v R ⇒ ≥ . Vậy 0 11,2 /v km s≈ .
Chương 4. Phương trình vi phân 3. Khái niệm cơ bản về phương trình vi phân • Phương trình chứa đạo hàm hoặc vi phân của 1 hoặc vài hàm cần tìm được gọi là phương trình vi phân. • Cấp cao nhất của đạo hàm chứa trong phương trình vi phân được gọi là cấp của phương trình vi phân đĩ. • Dạng tổng quát của phương trình vi phân cấp n là: ( )( , , , ..., ) 0nF x y y y′ = (*) nếu từ (*) ta giải được theo y(n) thì ptvp cĩ dạng: ( ) ( 1)( , , , ..., )n ny f x y y y −′= .
Chương 4. Phương trình vi phân • N ghiệm của (*) trên khoảng K là hàm số y = φ(x) xác định trên K sao cho khi thay y = φ(x) vào (*) ta được đồng nhất thức trên K. • Phương trình vi phân nếu cĩ nghiệm thì cĩ vơ số nghiệm sai khác hằng số C. • Giải phương trình vi phân là tìm tất cả các nghiệm của nĩ. • Đồ thị của nghiệm y = φ(x) được gọi là đường cong tích phân.
Chương 4. Phương trình vi phân §2. PHƯƠ G TRÌ H VI PHÂ CẤP 1 2.1. Khái niệm cơ bản về pt vi phân cấp 1 • Phương trình vi phân cấp 1 là phương trình cĩ dạng tổng quát ( , , ) 0F x y y ′ = (*), nếu từ (*) ta giải được theo y ′ thì (*) trở thành ( , )y f x y′ = . • Giải ptvp cấp 1 với điều kiện đầu y(x0) = y0 là đi tìm nghiệm thỏa điều kiện đầu, hay tìm 1 đường cong tích phân của ptvp đi qua điểm M0(x0; y0). • N ghiệm chứa hằng số C là nghiệm tổng quát, nghiệm chứa hằng số C0 cụ thể là nghiệm riêng và nghiệm khơng nhận được từ nghiệm tổng quát là nghiệm kỳ dị.
Chương 4. Phương trình vi phân VD 1. Giải ptvp 0y x′ − = , biết đường cong tích phân đi qua điểm M(2; 1).
Chương 4. Phương trình vi phân VD 2. Tìm nghiệm kỳ dị của ptvp 21y y′ = − .
Chương 4. Phương trình vi phân VD 3. Tìm ptvp của họ đường cong y = Cx2.
Chương 4. Phương trình vi phân 2.2. Một số phương trình vi phân cấp 1 cơ bản 2.2.1. Phương trình vi phân cấp 1 với biến phân ly • Phương trình vi phân với biến phân ly cĩ dạng: ( ) ( ) 0 (1).f x dx g y dy+ = Phương pháp giải • Lấy tích phân hai vế (1) ta được nghiệm tổng quát: ( ) ( ) .f x dx g y dy C+ =∫ ∫
Chương 4. Phương trình vi phân VD 4. Giải ptvp 2 2 0 1 1 xdx ydy x y + = + + .
Chương 4. Phương trình vi phân Chú ý 1) Ptvp 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 0f x g y dx f x g y dy+ = (1’) được đưa về dạng (1) như sau: • N ếu g1(y0) = 0 thì y = y0 là nghiệm của (1). • N ếu f2(x0) = 0 thì x = x0 là nghiệm của (1). • N ếu 1 2 ( ) 0, ( ) 0g y f x≠ ≠ thì: 1 2 2 1 ( ) ( ) (1 ') 0 ( ) ( ) f x g y dx dy f x g y ⇒ + = (dạng (1)). 2) Từ đây về sau ta khơng xét nghiệm kỳ dị.
Chương 4. Phương trình vi phân VD 5. Giải phương trình vi phân ( 2)y xy y′ = + .
Chương 4. Phương trình vi phân VD 6. Giải ptvp 2 3( 1) ( 1)( 1) 0x y dx x y dy+ + − − = .
Chương 4. Phương trình vi phân VD 7. Giải ptvp 2xy y y′ + = thỏa điều kiện 1 (1) 2 y = .
Chương 4. Phương trình vi phân 2.2.2. Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1 • Hàm hai biến f(x, y) được gọi là đẳng cấp bậc n nếu với mọi k > 0 thì f(kx, ky) = knf(x, y). Chẳng hạn các hàm ( , ) 2 3 x y f x y x y − = + , 2 ( , ) 2 3 x xy f x y x y − = + , f(x, y) = x2 + xy là đẳng cấp bậc 0, 1, 2 tương ứng.
Chương 4. Phương trình vi phân Phương pháp giải • Đặt y u y u xu x ′ ′= ⇒ = + . • (2) ( ) ( ) du dx u xu u u u x ′⇒ + = ϕ ⇒ = ϕ − ( )( ) 0u u xϕ − ≠ ≠ (ptvp cĩ biến phân ly). • Cho hàm f(x, y) đẳng cấp bậc 0 hay ( , ) y f x y x  = ϕ     . Khi đĩ, phương trình vi phân đẳng cấp cĩ dạng: ( , ) (2).y f x y′ =
Chương 4. Phương trình vi phân VD 8. Giải phương trình vi phân 2 2x xy y y xy − +′ = .
Chương 4. Phương trình vi phân VD 9. Giải phương trình vi phân x y y x y +′ = − với điều kiện đầu y(1) = 0.
Chương 4. Phương trình vi phân 2.2.3. Phương trình vi phân tồn phần • Cho phương trình vi phân cĩ dạng: ( , ) ( , ) 0 (3)P x y dx Q x y dy+ = với điều kiện / / x y Q P= trong miền phẳng D. N ếu tồn tại hàm u(x, y) sao cho: du(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy thì (3) được gọi là phương trình vi phân tồn phần. • N ghiệm tổng quát của (3) là u(x, y) = C.
Chương 4. Phương trình vi phân Phương pháp giải Bước 1. Từ (3) ta cĩ / x u P= (3a) và / y u Q= (3b). Bước 2. Lấy tích phân (3a) theo x: ( , ) ( , ) ( , ) ( )u x y P x y dx x y C y= = ϕ +∫ (3c), với C(y) là hàm theo biến y. Bước 3. Đạo hàm (3c) theo y: / / ( ) y y u C y′= ϕ + (3d). Bước 4. So sánh (3b) và (3d) ta tìm được C(y), thay vào (3c) ta được u(x, y).
Chương 4. Phương trình vi phân VD 10. Cho phương trình vi phân: 2 2(3 2 2 ) ( 6 3) 0y xy x dx x xy dy+ + + + + = (*). a) Chứng tỏ (*) là phương trình vi phân tồn phần. b) Giải phương trình (*).
Chương 4. Phương trình vi phân VD 11. Giải ptvp ( 1) ( ) 0yx y dx e x dy+ − + + = .
Chương 4. Phương trình vi phân Phương pháp giải (phương pháp biến thiên hằng số Lagrange) Bước 1. Tìm biểu thức ( ) ( ) p x dx A x e −∫= . Bước 2. Tìm biểu thức ( ) ( ) ( ). p x dx B x q x e dx∫= ∫ . Bước 3. N ghiệm tổng quát là ( ) ( )y A x B x C = +   . 2.2.4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 • Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 cĩ dạng: ( ) ( ) (4).y p x y q x′ + = • Khi q(x) = 0 thì (4) được gọi là ptvp tuyến tính cấp 1 thuần nhất.
Chương 4. Phương trình vi phân Chú ý • Khi tính các tích phân trên, ta chọn hằng số là 0. • Phương pháp biến thiên hằng số là đi tìm nghiệm tổng quát của (4) dưới dạng: ( ) ( ) . p x dx y C x e −∫= • Tìm nhanh ( ) ( ) ( ) ( ). . ( ) p x dx q x B x q x e dx dx A x ∫= =∫ ∫
Chương 4. Phương trình vi phân VD 12. Trong phương pháp biến thiên hằng số ta tìm nghiệm tổng quát của phương trình 2 4 ln y y x x x ′ + = dưới dạng: A. 2 ( )C x y x = ; B. 3 ( )C x y x = ; C. ( )C x y x = ; D. ( )C x y x =− .
Chương 4. Phương trình vi phân VD 13. Giải phương trình vi phân 2 0y x y′ − = thỏa điều kiện x = 3, y = – e9.
Chương 4. Phương trình vi phân VD 14. Giải phương trình sincos xy y x e−′ + = .
Chương 4. Phương trình vi phân VD 15. Giải phương trình 2( )y x y y′ + = .
Chương 4. Phương trình vi phân 2.2.5. Phương trình vi phân Bernoulli • Phương trình vi phân Bernoulli cĩ dạng: ( ) ( ) (5).y p x y q x yα′ + = • Khi 0α = hoặc 1α = thì (5) là tuyến tính cấp 1. • Khi p(x) = q(x) = 1 thì (5) là pt cĩ biến phân ly.
Chương 4. Phương trình vi phân Phương pháp giải (với α khác 0 và 1)  Với 0y ≠ , chia hai vế cho yα: (5) ( ) ( ) y y p x q x y yα α ′ ⇒ + = 1( ) ( )y y p x y q x−α −α′⇒ + = .  Đặt 1 (1 )z y z y y−α −α′ ′= ⇒ = −α thì: (5) (1 ) ( ) (1 ) ( )z p x z q x′⇒ + −α = −α (phương trình tuyến tính cấp 1). Chú ý • Ptvp Bernoulli luơn cĩ nghiệm kỳ dị là y = 0.
Chương 4. Phương trình vi phân VD 16. Giải phương trình vi phân 2 y y xy x ′ + = với điều kiện x = 1, y = 1.
Chương 4. Phương trình vi phân VD 17. Giải ptvp 3 42y xy x y′ − = .
Chương 4. Phương trình vi phân VD 18. Giải ptvp 3 sin 2 dy dy x y y x dx dx + = .
Chương 4. Phương trình vi phân • Dạng phương trình: ( ) (1).y f x′′ = Phương pháp giải • Lấy tích phân hai vế (1) hai lần. §3. PHƯƠ G TRÌ H VI PHÂ CẤP CAO 3.1. Các dạng phương trình vi phân cấp 2 cơ bản 3.1.1. Phương trình khuyết y và y’
Chương 4. Phương trình vi phân VD 1. Giải phương trình vi phân 2y x′′ = .
Chương 4. Phương trình vi phân VD 2. Giải ptvp 2xy e′′ = với 7 3 (0) , (0) 4 2 y y ′= − = .
Chương 4. Phương trình vi phân 3.1.2. Phương trình khuyết y • Dạng phương trình: ( , ) (2).y f x y′′ ′= Phương pháp giải • Đặt z y ′= đưa (2) về phương trình tuyến tính cấp 1.
Chương 4. Phương trình vi phân VD 3. Giải phương trình vi phân y y x x ′ ′′ = − .
Chương 4. Phương trình vi phân VD 4. Giải ptvp ( 1) 0 1 y y x x x ′ ′′ − − − = − với (2) 1, (2) 1y y ′= = − .
Chương 4. Phương trình vi phân 3.1.3. Phương trình khuyết x • Dạng phương trình: ( , ) (3).y f y y′′ ′= Phương pháp giải • Đặt z y ′= ta cĩ: . dz dz dy dz y z z dx dy dx dy ′′ ′= = = = . Khi đĩ, (3) trở thành ptvp với biến số phân ly.
Chương 4. Phương trình vi phân VD 5. Giải phương trình vi phân ( )22 1yy y′′ ′= + .
Chương 4. Phương trình vi phân VD 6. Giải phương trình vi phân 2 (1 2 ) 0y y y′′ ′+ − = với điều kiện 1 (0) 0, (0) 2 y y ′= = .
Chương 4. Phương trình vi phân 3.2. Phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính với hệ số hằng 3.2.1. Phương trình thuần nhất • Dạng phương trình: 1 2 0 (4)y a y a y′′ ′+ + = (a1, a2 là các hằng số). Phương pháp giải • Xét phương trình đặc trưng của (4): 2 1 2 0 (5).k a k a+ + =
Chương 4. Phương trình vi phân 1) Trường hợp 1 Phương trình (5) cĩ hai nghiệm thực phân biệt k1, k2. Khi đĩ, (4) cĩ hai nghiệm riêng: 1 2 1 2 , k x k x y e y e= = và nghiệm tổng quát là 1 2 1 2 . k x k x y C e C e= + 2) Trường hợp 2 Phương trình (5) cĩ nghiệm kép thực k. Khi đĩ, (4) cĩ hai nghiệm riêng: 1 2 , kx kxy e y xe= = và nghiệm tổng quát là 1 2 .kx kxy C e C xe= +
Chương 4. Phương trình vi phân 3) Trường hợp 3 Phương trình (5) cĩ hai nghiệm phức liên hợp k i= α ± β. Khi đĩ, (4) cĩ hai nghiệm riêng: 1 2 cos , sinx xy e x y e xα α= β = β và nghiệm tổng quát: ( )1 2cos sin .xy e C x C xα= β + β
Chương 4. Phương trình vi phân VD 7. Giải phương trình vi phân: 2 3 0y y y′′ ′+ − = .
Chương 4. Phương trình vi phân VD 8. Giải phương trình vi phân: 6 9 0y y y′′ ′− + = .
Chương 4. Phương trình vi phân VD 9. Giải phương trình vi phân 16 0y y′′ + = .
Chương 4. Phương trình vi phân VD 10. Giải phương trình vi phân 2 7 0y y y′′ ′+ + = .
Chương 4. Phương trình vi phân VD 11. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình: 0y y y′′ ′− + = .
Chương 4. Phương trình vi phân Phương pháp giải • N ếu (4) cĩ hai nghiệm riêng y1(x), y2(x) thì (6) cĩ nghiệm tổng quát là 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ).y C x y x C x y x= + 3.2.2. Phương trình khơng thuần nhất • Dạng phương trình: 1 2 ( ) (6)y a y a y f x′′ ′+ + = (a1, a2 là các hằng số). • Để tìm C1(x) và C2(x), ta giải hệ Wronsky: 1 1 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). C x y x C x y x C x y x C x y x f x  ′ ′ + = ′ ′ ′ ′ + =
Chương 4. Phương trình vi phân VD 12. Giải phương trình vi phân: 1 cos y y x ′′ + = (a).
Chương 4. Phương trình vi phân Định lý • N ghiệm tổng quát của (6) bằng tổng nghiệm tổng quát của (4) với 1 nghiệm riêng của (6). VD 13. Cho phương trình vi phân: 22 2 (2 ) xy y y x e′′ ′− + = + (*). a) Chứng tỏ (*) cĩ 1 nghiệm riêng là 2 xy x e= . b) Tìm nghiệm tổng quát của (*).
Chương 4. Phương trình vi phân VD 14. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình: 2 sin 2 4 cos2y y x x′′ ′+ = + biết 1 nghiệm riêng là cos2y x= − .
Chương 4. Phương trình vi phân VD 15. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình: 22cosy y x′′ ′− = . Cho biết: 1y y′′ ′− = cĩ nghiệm riêng 1 y x=− , cos2y y x′′ ′− = cĩ N R 2 2 1 cos2 sin 2 10 10 y x x=− − . Định lý (nguyên lý chồng nghiệm) • Cho ptvp 1 2 1 2 ( ) ( ) (7)y a y a y f x f x′′ ′+ + = + . Giả sử 1 ( )y x và 2 ( )y x lần lượt là nghiệm riêng của 1 2 1 ( )y a y a y f x′′ ′+ + = , 1 2 2 ( )y a y a y f x′′ ′+ + = thì 1 2 ( ) ( )y y x y x= + là nghiệm riêng của (7). 3.3. Phương trình vi phân cấp n tuyến tính với hệ số hằng Định lý • Cho phương trình: ( ) ( 1) ( 2) 1 2 1 + + +...+ + 0(8).n n n n n y a y a y a y a y− − − ′ = N ếu phương trình đặc trưng: 1 2 1 2 1 ... 0n n n n n k a k a k a k a− − −+ + + + + = cĩ n nghiệm thực đơn 1 2 1 , , ..., , n n k k k k− thì (8) cĩ n N R 1 2 1 1 2 1 , , ..., , .n n k x k x k x k x n n y e y e y e y e−−= = = = và nghiệm tổng quát là: 1 2 1 1 2 1 ... .n n k x k x k x k x n n y C e C e C e C e−−= + + + +
Chương 4. Phương trình vi phân VD 16. Giải phương trình vi phân: 2 2 0y y y y′′′ ′′ ′− − + = .