Giáo trình Toán cao cấp 2 - Bài 4: Không gian Véc tơ

v1.0018112205 BÀI 4 KHÔNG GIAN VÉC TƠ 1 v1.0018112205 TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG Không gian trạng thái của nền kinh tế quốc dân Ký hiệu K(t) là vốn, Y(t) là tổng sản phẩm, L(t) là lao động, I(t) là vốn đầu tư thêm, s(t) là tỷ trọng tích lũy ở năm t đều là các véc tơ có nhiều thành phần. Ta có các hệ thức sau : Hàm sản xuất Y(t) = F[L(t), K(t)] K(t + 1) – K(t) = I(t) – μ K(t), μ là hệ số hao mòn vốn 0 < μ < 1 I(t) = s(t) Y(t). Từ các hệ thức trên suy ra : K(t + 1) = K(t) + s(t).[L(t), K(t)] – μ K(t) Coi K(t) là trạng thái, s(t) là biến điều khiển. Phương trình trên gọi là phương trình trạng thái. Biết K(0) là trạng thái ở thời điểm ban đầu và luật tác động s(t), L(t) ta sẽ suy được K(t) tại mọi thời điểm, tức là biết quỹ đạo của nền kinh tế trong không gian trạng thái. 2 v1.0018112205 MỤC TIÊU BÀI HỌC • Nắm được khái niệm về không gian véc tơ; • Nắm được khái niệm về không gian con và hệ sinh; • Nắm được khái niệm về không gian hữu hạn chiều; • Giải được các bài toán về không gian véc tơ. 3 v1.0018112205 CẤU TRÚC NỘI DUNG 4 4.1 Định nghĩa không gian véc tơ Không gian con và hệ sinh4.2 4.3 Không gian hữu hạn chiều v1.0018112205 4.1. ĐỊNH NGHĨA KHÔNG GIAN VÉC TƠ 5 4.1.2 Ví dụ 4.1.1 Định nghĩa và tính chất v1.0018112205 4.1.1. ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT Định nghĩa 4.1: Xét tập V khác rỗng, trong đó mỗi phần tử ta quy ước gọi là một véc tơ và trường số thực . Tập V được gọi là một không gian véc tơ trên trường số thực , nếu tập V được trang bị hai phép toán: Phép cộng hai véc tơ và phép nhân véc tơ với một số thực sao cho các điều kiện sau đây được thỏa mãn: 1) (V,+) là một nhóm Abel 2) (x + y) = x + y,   , x, y  V 3) ( + )x = x + x, ,   , x  V 4) (x) = ()x, ,   , x  V 5) 1x = x, x  V. 6 v1.0018112205 4.1.1. ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT (tiếp theo) • Phần tử trung hòa của nhóm Abel (A, +) gọi là véc tơ không, ký hiệu là θ. Phần tử đối của phần tử x trong nhóm Abel (V, +) gọi là véc tơ đối của véc tơ x, ký hiệu là -x. Ta có: x + θ = x x + (–x) = θ, x  V • Các tính chất: 1) 0x = θ, x  V 2) θ = θ,    3) x = θ  ( = 0)  (x = θ) 4) (–x) = –(x),   , x  V 7 v1.0018112205 4.1.2. VÍ DỤ Xét n là tập mà mỗi phần tử là một bộ n số thực có thứ tự còn gọi là một véc tơ n thành phần. Xét x = (x1, x2,..., xn) và y = (y1, y2,, yn). Phép cộng véc tơ và phép nhân với một số thực được định nghĩa như sau: x + y = (x1 + y1, x2 + y2,, xn + yn) (4.1) x = (x1, x2,, xn) (4.2) Ngoài ra, x = y  xi = yi i. Dễ dàng kiểm tra được n là một không gian véc tơ. 8 v1.0018112205 4.1.2. VÍ DỤ (tiếp theo) Chú ý: • Mỗi cặp số (a1, a2)  2 có hai ý nghĩa hình học: Có thể biểu diễn nó bằng một điểm M trong mặt phẳng tọa độ, trong đó a1 là hoành độ, còn a2 là tung độ. Mặt khác, cũng có thể biểu diễn nó như là một véc tơ mà a1 là thành phần thứ nhất và a2 là thành phần thứ hai. Ta viết • Mỗi bộ ba số (a1, a2, a3)  3 có thể biểu diễn bằng một điểm M(a1, a2, a3) với a1 là hoành độ, a2 là tung độ và a3 là cao độ. Ta cũng có thể biểu diễn như một véc tơ với ba thành phần. • Mỗi bộ n số (a1, a2,..., an)  n có thể xem là điểm M có n tọa độ, hay véc tơ có n thành phần. ( , )1 2a a a x1 a2 a1 M Hình 4.1 Hình 4.2 a x2 0 x2 x1 a2 a1 (a1,a2) 0 a a 9 v1.0018112205 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Véctơ không của không gian véc tơ ℝ3 thông thường là: A. (0;0;0) B. (1;0;0) C. (0;1;0) D. (0;0) • Đáp án đúng là: A. (0;0;0) • Vì: và 10 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x {( ; ; ) | , , } 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x 0 0 0 x 0 x 0 x 0 x x x     ( ; ; ) ( ; ; ) ( ; ; ) ( ; ; ) v1.0018112205 4.2. KHÔNG GIAN CON VÀ HỆ SINH 11 4.2.2 Không gian con sinh bởi một họ véc tơ 4.2.3 Họ véc tơ độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính 4.2.1 Không gian con v1.0018112205 4.2.1. KHÔNG GIAN CON Định nghĩa 4.1: Bộ phận W khác rỗng của không gian véc tơ V gọi là một không gian con của V nếu các điều kiện sau đây được thỏa mãn: (a) x, y  W  x + y  W (b)   , x  W  x  W. Vì W khác rỗng nên tồn tại x  W. Theo điều kiện (b) ta có: θ = 0x W, do đó mỗi không gian con đều chứa véc tơ θ. Nếu x  W thì theo điều kiện (b) ta có: -x = (-1)x W Vậy mỗi không gian con của không gian véc tơ V cũng là một không gian véc tơ. 12 v1.0018112205 4.2.2. KHÔNG GIAN CON SINH BỞI MỘT HỌ VÉC TƠ Định lý 4.2: Để bộ phận khác rỗng W của không gian véc tơ V là một không gian con của V thì điều kiện cần và đủ là điều kiện sau được thỏa mãn: Với mọi x, y  W  x + y  W, đối với mọi ,   . Ví dụ: Mỗi phần tử của 2 là một cặp số x = (x1,x2) biểu diễn bằng một điểm trong mặt phẳng tọa độ Ox1x2. Xét tập W = {(x1, x2)  2 ax1+ bx2 = 0} W là tập điểm thuộc đường thẳng đi qua gốc tọa độ có phương trình: ax1+ bx2 =0 a và b không đồng thời bằng 0. Giả sử x = (x1, x2), y = (y1, y2)  W và    Ta có nghĩa là x + y  W; (ax1) + (bx2) = 0, nghĩa là x  W Do đó, W là không gian con của 2.          1ax ( ) ( ) 2 1 1 2 2 1 2 bx 0 a x y b x y 0 ay by 0 13 v1.0018112205 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Cho V1 và V2 là hai không gian con của không gian véctơ V. Khẳng định nào sau đây có thể SAI? A. V1  V2 là không gian con của V B. V1  V2   C. V1  V2 là không gian con của V D. V1  V2   • Đáp án đúng là: V1  V2 là không gian con của V • Vì: Nếu ta đặt Khi đó x = (0,1); y = (1,0)  V1  V2. Nhưng x + y = (1,1)  V1  V2. Theo mục 4.2, V1  V2 không phải là không gian con của V. 14      1 2 2V 0 V 0   1 2 1 1 2x ,x x , x ,x x v1.0018112205 4.2.3. HỌ VÉC TƠ ĐỘC LẬP TUYÊN TÍNH VÀ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH • Định nghĩa 4.4: Cho V là một không gian véc tơ, • Xét điều kiện • C1x1 + C2x2 +...+ Cnxn = θ (4.3) • Trong đó • Nếu điều kiện (4.3) chỉ xảy ra khi C1= 0, C2 = 0,, Cn = 0 thì ta nói họ S độc lập tuyến tính (không biểu diễn qua nhau được). • Nếu tồn tại các số thực C1, C2,, Cn không đồng thời bằng 0 để (4.1) thỏa mãn thì ta nói họ S phụ thuộc tuyến tính. • Ví dụ: Xét họ S = {e1, e2}, e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) trong 2. • Điều kiện (4.3) viết c1(1, 0) + c2 (0, 1) = (0, 0) •  (c1, c2) = (0, 0) • Vậy điều kiện (4.3) chỉ xảy ra khi c1= 0, c2= 0. Do đó, e1, e2 là độc lập tuyến tính trong 2.   , ,..., .1 2 nS x x x V   , ; .jC j 1 n 15 v1.0018112205 4.3. KHÔNG GIAN HỮU HẠN CHIỀU 16 4.3.2 Hạng của họ véc tơ 4.3.1 Khái niệm về không gian hữu hạn chiều và cơ sở của nó v1.0018112205 4.3.1. KHÁI NIỆM VỀ KHÔNG GIAN HỮU HẠN CHIỀU VÀ CƠ SỞ CỦA NÓ • Định nghĩa 4.5: • Không gian véc tơ V được gọi là không gian n chiều (n  1, nguyên) nếu trong V tồn tại n véc tơ độc lập tuyến tính và không tồn tại quá n véc tơ độc lập tuyến tính. Khi đó, ta nói số chiều của không gian V là n và ký hiệu là dim(V). 17 v1.0018112205 4.3.1. KHÁI NIỆM VỀ KHÔNG GIAN HỮU HẠN CHIỀU VÀ CƠ SỞ CỦA NÓ (tiếp theo) Cơ sở của không gian n chiều Định nghĩa 4.6: Trong không gian n chiều V, một họ gồm n véc tơ độc lập tuyến tính gọi là một cơ sở của V. Các tính chất Định lý 4.3: Giả sử V là một không gian véc tơ, S = {v1, v2,..., vn} là một họ gồm n véc tơ của V. (1) Nếu V là không gian n chiều và S là một cơ sở thì x  V có biểu diễn duy nhất x = c1v1 +...+ cnvn (4.4). (2) Nếu mọi x  V có biểu diễn duy nhất (4.4) thì V là không gian véctơ n chiều Ví dụ: Trong không gian n, các véc tơ e1 = (1, 0,, 0) e2 = (0, 1,, 0) en = (0, 0,, 1) là độc lập tuyến tính và chúng tạo thành một cơ sở của n. Mọi véc tơ x = (x1, x2,, xn)  n đều có biểu diễn duy nhất x = x1e1 + x2e2 + + xnen. 18 v1.0018112205 4.3.1. KHÁI NIỆM VỀ KHÔNG GIAN HỮU HẠN CHIỀU VÀ CƠ SỞ CỦA NÓ (tiếp theo) Định lý 4.4: Các véc tơ v1, v2, vn là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi n véc tơ cột của A tạo bởi chúng là độc lập tuyến tính, hoặc hạng của A bằng n, tức là det A  0. Ví dụ: Xét ba véc tơ thuộc 3 v1 = (1, 2, 1); v2 = (2, 1, 4); v3 = (3, 2, 1). Ta lập ma trận A: Ta có det A  0. Vậy họ {v1, v2, v3} là độc lập tuyến tính.          1 2 3 A 2 1 2 1 4 1 19 v1.0018112205 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Hệ véctơ nào sau đây là cơ sở của không gian ℝ3? A. B. C. D. • Đáp án đúng là: B. • Vì: Hệ vec tơ là cơ sở nếu vừa là hệ độc lập tuyến tính, vừa là hệ sinh. (chú ý: số véc tơ trong một cơ sở bằng số chiều của không gian). 20  0 0 0 11 0 11 2( ; ; ),( ; ; ),( ; ; )  1 0 0 0 1 0 0 0 1( ; ; ),( ; ; ),( ; ; )  11 0 111( ; ; ),( ; ; )  1 0 0 11 0 111 1 2 3( ; ; ),( ; ; ),( ; ; ),( ; ; )  1 0 0 0 1 0 0 0 1( ; ; ),( ; ; ),( ; ; ) v1.0018112205 4.3.2. HẠNG CỦA HỌ VÉC TƠ Định nghĩa 4.7: Cho S = {u1, u2,..., un} là một họ gồm n véc tơ thuộc không gian véc tơ V. Hạng của họ S ký hiệu là rank S = r là số tối đa các véc tơ độc lập tuyến tính mà ta có thể chọn từ họ đó. Dĩ nhiên r  n Ví dụ: Trong R3, xét họ S = {u1, u2, u3, u4}  3. u1 = (1, 3, 0); u2 = (0, 2, 4); u3 = (1, 5, 4); u4 = (1, 1, –4). Ta lập ma trận A có 4 hàng là 4 véc tơ trên rồi thực hiện biến đổi: Vậy r(S) = 2                                             3 1 3 1 4 1 4 2 L L L L L L L L 1 3 0 1 3 0 1 3 0 0 2 4 0 2 4 0 2 4 A 1 5 4 0 2 4 0 0 0 1 1 4 0 2 4 0 0 0 21 v1.0018112205 GIẢI QUYẾT TÌNH HUỐNG 22 v1.0018112205 TÓM LƯỢC CUỐI BÀI Các bạn cần ghi nhớ các vấn đề sau: • Nắm được khái niệm về không gian véc tơ; • Nắm được khái niệm về không gian con và hệ sinh; • Nắm được khái niệm về không gian hữu hạn chiều; • Giải được các bài toán về không gian véc tơ. 23