Giáo trình Toán cao cấp 2 - Bài 3: Hệ phương trình Đại số tuyến tính

v1.0018112205 BÀI 3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 1 v1.0018112205 TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG Mô hình input – output Leontief (cân đối liên ngành) Xét mô hình đầu vào – đầu ra Leontief với ma trận đầu vào: Ta có hệ phương trình: x – Ax = d. Tình huống: Biết véctơ cầu d = (10, 5, 6) T (x100 tỷ đồng). Xác định mức sản xuất đầu ra của từng ngành x. Giải quyết: Ta có : x – Ax = d  (E - A)x = d  x = (E - A)-1 d = [24,84 ; 20,68 ; 18,36] T (x100 tỷ đồng). 2 0 2 0 3 0 2 0 4 0 1 0 2 0 1 0 3 0 2 , , , A , , , , , ,          v1.0018112205 MỤC TIÊU BÀI HỌC • Nắm được khái niệm về các loại hệ phương trình đại số tuyến tính; • Nắm được phương pháp giải hệ phương trình có số phương trình và số ẩn bằng nhau theo phương pháp Cramer và phương pháp Gauss; • Nắm được phương pháp giải hệ phương trình thuần nhất; hệ phương trình đại số tuyến tính tổng quát; • Giải được các bài toán về hệ phương trình đại số tuyến tính, theo cách tự luận và theo trắc nghiệm. 3 v1.0018112205 CẤU TRÚC NỘI DUNG 4 3.1 Dạng của hệ phương trình đại số tuyến tính Giải hệ phương trình đại số tuyến tính3.2 3.3 Hệ phương trình thuần nhất 3.4 Phương pháp Gauss v1.0018112205 3.1. DẠNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Dạng tổng quát của hệ phương trình đại số tuyến tính được viết như sau: Hệ này được viết dưới dạng ma trận là: Ax = b ( 3.2) ở đây A là ma trận được thành lập từ các hệ số của các biến A = [aij]mn x: Véc tơ cột của các biến (3.3) b: Véc tơ cột các số hạng tự do (3.4) 11 1 12 2 1n n 1 21 1 22 2 2n n 2 m1 1 m2 2 mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 3 1                     ( . ) ... ... .................................... ... 1 2 n x x x x             ... 1 2 n b b b b             ... 5 v1.0018112205 3.1. DẠNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH (tiếp theo) • Hệ phương trình đại số tuyến tính được gọi là:  Thuần nhất nếu tất cả các bi = 0, i = 1, 2,..., m;  Không thuần nhất nếu có ít nhất một bi ≠ 0;  Tương thích nếu hệ có ít nhất một nghiệm, tức là tồn tại một bộ giá trị của x1, x2,...,xn mà khi thay vào sẽ có một đồng nhất thức;  Không tương thích nếu không có một nghiệm nào;  Xác định nếu hệ chỉ có một nghiệm duy nhất;  Bất định nếu tồn tại quá một nghiệm. • Muốn giải hệ phương trình đại số tuyến tính thì trước hết phải xác định xem hệ đã cho tương thích hay không tương thích. Nếu là hệ tương thích thì lại phải xem hệ là xác định hay bất định. Nếu hệ phương trình là xác định thì ta đi tìm nghiệm duy nhất của nó. 6 v1.0018112205 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Hệ nào trong các hệ sau là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất? • Đáp án đúng là: • Vì: Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất khi vế phải đều bằng không, vế trái là phương trình bậc nhất đối với các biến. 7 1 2 3 2 3 x x x 0 x x 0      A. 1 2 3 1 2 x 2x 3x 0 x x 1       B. 1 2 3 2 3 x x 2x 0 x x 0       C. 1 2 3 1 2 2x x x 1 x x 2        D. 1 2 3 2 3 x x 2x 0 x x 0       C. v1.0018112205 3.2. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Khi giải hệ phương trình đại số tuyến tính có thể xảy ra hai trường hợp: m = n và m ≠ n. Trường hợp m = n: Lúc này ma trận A có dạng: • Định nghĩa: Hệ (3.2) gọi là hệ Cramer nếu det(A) ≠ 0 (ma trận A không suy biến). Khi đó sẽ tồn tại ma trận nghịch đảo A-1. • Định lý 3.1 (Cramer): Hệ Cramer có nghiệm duy nhất tính bằng công thức (3.8) • Vì vậy, có thể phát biểu quy tắc Cramer: Nếu định thức gồm các hệ số của hệ n phương trình tuyến tính với n ẩn khác 0 thì hệ có một nghiệm duy nhất được tính bằng công thức (3.8).     , ,...,j j x j 1 2 n 8 11 12 1n 21 22 2n n1 n2 nn a a a a a a A a a a             ... ... ... ... ... ... ... v1.0018112205 3.2. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH (tiếp theo) Ví dụ: Giải hệ Giải: Ta có Ta tính được: det(A) = 44 ≠ 0; det(A1) = - 40; det(A2)=72; det(A3) = 152 Ta có nghiệm của hệ đã cho là:             x 0y 2z 6 3x 4y 6z 30 x 2y 3z 8            1 0 2 A 3 4 6 1 2 3           , 6 b 30 8                                     , , 1 2 3 6 0 2 1 6 2 1 0 6 A 30 4 6 A 3 30 6 A 3 4 30 8 2 3 1 8 3 1 2 8    ; ; 1 2 3 40 72 152 x x x 44 44 44 9 v1.0018112205 3.2. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH (tiếp theo) Trường hợp m ≠ n • Ta gọi A = (aij)mn là ma trận của hệ. Sau khi thêm cột các số hạng tự do b vào ma trận A, ta lập được ma trận mở rộng B: • Định lý 3.2 (Croneke - Capeli): Điều kiện cần và đủ để hệ (3.1) có nghiệm là hạng của ma trận A bằng hạng của ma trận mở rộng B.  Nếu r(A)= r(B)= n thì hệ (3.1) có một nghiệm duy nhất.  Nếu r(A)= r(B) < n thì hệ (3.1) có vô số nghiệm. 10 11 12 1n 1 21 22 2n 2 m1 m2 mn m a a a b a a a b B a a a b             ... ... ... ... ... ... ... ... v1.0018112205 3.2. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH (tiếp theo) Ví dụ: Giải hệ phương trình Giải: Ở đây m = 3, n = 4. Ta có r(A) = r(B) = 3 < n = 4. Vậy hệ có vô số nghiệm.               1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x 3x x x 7 2x 5x x 2x 22 3x 8x x x 24                                           1 3 1 1 7 1 3 1 1 7 1 3 1 1 7 B 2 5 1 2 22 0 1 3 4 8 0 1 3 4 8 3 8 1 1 24 0 1 2 2 3 0 0 1 2 5 11 v1.0018112205 3.2. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH (tiếp theo) Với ma trận cuối cùng ta có: Đặt x4 = c, ta được: Vậy các nghiệm có dạng              1 2 3 4 2 3 4 3 4 x 3x x x 7 x 3x 4x 8 x 2x 5              1 2 3 2 3 3 x 3x x 7 c x 3x 8 4c x 5 2c                       3 2 1 x 5 2c x 8 4c 15 6c 7 2c x 7 c 21 6c 5 2c 9 5c             1 2 3 4 x 9 5c x 7 2c x 5 2c x c 12 v1.0018112205 3.3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT Đây là trường hợp riêng của hệ (3.1), khi bi=0 với mọi i = 1, 2,..., m nên Định lý Croneke – Capeli vẫn đúng. Nhưng với trường hợp này, ta luôn có r(A) = r(B) nên hệ thuần nhất luôn có nghiệm. Chẳng hạn, ta thấy ngay x1 = 0, x2 = 0,..., xn = 0 là một nghiệm của hệ, gọi là nghiệm tầm thường. Vậy khi nào hệ thuần nhất có nghiệm không tầm thường? Định lý 3.3: Nếu r(A) = n thì hệ thuần nhất chỉ có nghiệm tầm thường, nếu r(A) < n thì hệ thuần nhất có vô số nghiệm, do đó ngoài nghiệm tầm thường phải có nghiệm không tầm thường. 13 v1.0018112205 3.3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT (tiếp theo) Ví dụ: Giải hệ phương trình Ta có Hệ có vô số nghiệm Xét định thức cấp 2: Bởi vậy, ta lấy 2 phương trình đầu            1 2 3 1 2 3 1 2 3 x 2x 3x 0 2x x x 0 x 3x 4x 0              1 2 3 2 1 1 4 2 18 3 16 3 0 1 3 4      2 2 1 4 5 0 1 1        1 2 3 1 2 3 x 2x 3x 0 2x x x 0 14 v1.0018112205 3.3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT (tiếp theo) Chuyển X3 sang vế phải Lấy (b) nhân với 2 rồi cộng với (a), ta có: Vậy hệ đã cho có vô số nghiệm       ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 x 2x 3x a 2x x x b          ;1 3 1 3 2 3 1 3 3 3 1 2 7 5x x x x x x 2x x x x 5 5 5        1 3 3 2 3 1 x x 5 x 7 x x 5 15 v1.0018112205 3.4. PHƯƠNG PHÁP GAUSS Nội dung của phương pháp Gauss là dùng cách khử dần các ẩn số để đưa hệ (2.18) về dạng tam giác: rồi giải hệ này. Muốn vậy ta chia hai vế phương trình thứ nhất cho hệ số của x1. Tiếp đó khử x1 từ phương trình thứ hai và thứ ba. Sau đó chia phương trình thứ hai cho hệ số của x2. Cuối cùng khử x2 từ phương trình thứ ba. Hệ tam giác (3.9) rất dễ giải: Từ phương trình thứ 3, ta suy ra x3, thế x3 vào phương trình thứ 2, ta suy ra x2, thế x2 và x3 vào phương trình thứ nhất, ta suy ra x1.                ( . ) 1 2 2 3 3 4 2 3 3 4 3 3 4 x x x x x 3 9 x 16 v1.0018112205 3.4. PHƯƠNG PHÁP GAUSS (tiếp theo) Ví dụ: Xét hệ Có thể giải bằng phương pháp Gausse một cách trình tự. Trong thực hành, ta có thể thực hiện biến đổi ma trận như sau: Từ đây, ta có ngay nghiệm của hệ:            ( ) . ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2x 3x 5x 3 a 3x 2 5x 4x 10 b 4x 3x 2x 10 c        1 2 3 x 1 x 2 x 2                                         1 2 1 2 3 1 3 1 L . L L L L2 L L L . . . . . . . 1 3 4 2 3 5 2 1 1 5 2 5 1 1 1 5 2 5 1 3 2 5 4 10 3 2 5 4 10 0 7 3 5 7 4 3 2 2 4 3 2 2 0 9 12 6                               2 2 3 2 3 L L L L L . . . . . 1 97 3 5 1 1 1 1 5 2 5 1 2 2 0 1 0 5 1 0 1 0 5 1 0 9 12 6 0 0 7 5 15 17 v1.0018112205 GIẢI QUYẾT TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG Mô hình cân bằng thị trường Bài làm: Hệ phương trình xác định giá cân bằng là Vậy giá cân bằng mỗi loại là Ta cũng gọi bộ (3,1,2) là điểm cân bằng của thị trường. Lượng hàng cân bằng của từng loại như sau: 18 1 1 1 2 3 1 2 3 2 2 1 2 3 1 2 3 3 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 31 2 3 2 4 10 2 1 4 1 2 2 4 3 2 2 6 2 2 12 3 6 2 2 1 22 6 5 s d s d s d Q Q p p p p p p Q Q p p p p p p Q Q p p p p p p p p p p p p p pp p p                                                       1 2 3 3 1 2p , p , p   1 1 2 2 3 3 7 4 4s d s d s dQ Q , Q Q , Q Q      v1.0018112205 TÓM LƯỢC CUỐI BÀI • Nắm được phương pháp giải hệ phương trình có số phương trình và số ẩn bằng nhau theo phương pháp Cramer và phương pháp Gauss; • Nắm được phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính tổng quát. Nắm được phương pháp giải hệ phương trình thuần nhất; • Giải được các bài toán về hệ phương trình đại số tuyến tính. 19