Giáo trình Toán cao cấp 2 - Bài 2: Định thức và ma trận

v1.0018112205 BÀI 2 ĐỊNH THỨC VÀ MA TRẬN 1 v1.0018112205 TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG Mô hình input – output Leontief (cân đối liên ngành)  Xét mô hình đầu vào – đầu ra Leontief với ma trận đầu vào:  a11 = 0,2; a21 = 0,4; a31 = 0,1: để sản xuất ra 1 triệu đồng hàng hóa loại 1, cần có lượng đầu vào là 0,2 triệu đồng hàng hóa loại 1; 0,4 triệu đồng hàng hóa loại 2 và 0,1 triệu đồng hàng hóa loại 3. Lãi: 1 - a11 – a21 – a31 (lãi được dành để trả lương cho đầu vào cơ bản)  a12 = 0,3; a22 = 0,1; a32 = 0,3: để sản xuất ra 1 triệu đồng hàng hóa loại 2, cần có lượng đầu vào là 0,3 triệu đồng hàng hóa loại 1; 0,1 triệu đồng hàng hóa loại 2 và 0,3 triệu đồng hàng hóa loại 3. Lãi: 1 - a12 – a22 – a32. (lãi được dành để trả lương cho đầu vào cơ bản)  ...  di: nhu cầu chung của xã hội về hàng hóa loại i không tính dùng cho sản xuất (i = 1,2,3). d =(d1, d2, d3) T. xi: mức sản xuất đầu ra của ngành công nghiệp i (i = 1,2,3). x =(x1, x2, x3) T.  Mô hình cân đối liên ngành: x – Ax = d. Tình huống: Biết véctơ cầu d = (10, 5, 6) T (x100 tỷ đồng). Xác định mức sản xuất đầu ra của từng ngành x. 2 0 2 0 3 0 2 0 4 0 1 0 2 0 1 0 3 0 2 , , , A , , , , , ,          v1.0018112205 MỤC TIÊU BÀI HỌC • Nắm được khái niệm về ma trận, các phép toán về ma trận; khái niệm về hạng của ma trận. • Hiểu về định thức, các tính chất và cách tính định thức; • Nắm được phương pháp giải hệ phương trình có số phương trình và số ẩn bằng nhau. • Giải được các bài toán về định thức và ma trận, các bài toán về hệ phương trình đại số tuyến tính, theo cách tự luận và theo trắc nghiệm. 3 v1.0018112205 CẤU TRÚC NỘI DUNG 4 2.1 Ma trận Định thức1.2 2.3 Ma trận nghịch đảo 2.4 Hạng của ma trận và số dạng độc lập tuyến tính v1.0018112205 2.1. MA TRẬN 5 2.1.2 Số học ma trận 2.1.1 Khái niệm ma trận v1.0018112205 2.1.1. KHÁI NIỆM Các ma trận sẽ được dùng trong việc giải hệ phương trình đại số tuyến tính, trong ánh xạ tuyến tính... và trong các vấn đề thực tiễn như các mạng thông tin và các hệ thống giao thông vận tải, trong đồ thị. Nhiều thuật toán sẽ được phát triển để dùng các mô hình ma trận đó. Định nghĩa 2.1: Ma trận là một bảng số xếp thành m hàng và n cột aij (Phần tử thứ (i, j) của A) : là số nằm ở hàng thứ i và cột thứ j của A. Ký hiệu ngắn gọn: A = [aij]m  n, ký hiệu đó cho biết A là một ma trận có kích thước m  n. Ví dụ:            11 1n m1 mn a a A a a 12 23 1 3 5 A m 2 n 3 a 3 a 6 2 4 6 , , ,           6 v1.0018112205 2.1.1. KHÁI NIỆM (tiếp theo) Ma trận mà các cột của nó là các hàng tương ứng của A được gọi là ma trận chuyển vị của A, ký hiệu là A’, có kích thước n  m: Ví dụ: Ma trận mà tất cả các phần tử của nó đều là số 0 gọi là ma trận không, cũng viết là 0. '            11 m1 1n mn a a A a a 1 2 1 3 5 A A 3 4 2 4 6 5 6                   ' 7 v1.0018112205 2.1.1. KHÁI NIỆM (tiếp theo) • Ma trận có số hàng bằng số cột (m = n) được gọi là ma trận vuông. Lúc đó người ta nói rằng ma trận có cấp n. Ví dụ: • Ma trận vuông có dạng: trong đó aii = 1 và aij = 0(i j) được gọi là ma trận đơn vị. • Hai ma trận được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng kích thước và các phần tử tương ứng bằng nhau.             1 0 0 0 1 0 A 0 0 1 1 3 5 2 4 6 3 7 8 9              A m n 8 v1.0018112205 2.1.2. SỐ HỌC MA TRẬN a. Phép cộng các ma trận Định nghĩa 2.3: Cho A = [aij] và B = [bij] là các ma trận m  n. Tổng của A và B được ký hiệu là A + B là ma trận A + B =[aij + bij]. Ví dụ: b. Phép nhân các ma trận Nhân ma trận với một hằng số  Định nghĩa 2.4: Cho A = [aij]mn, . Khi đó tích .A là ma trận kích thước mn xác định bởi .A = [.aij]mn. Như vậy muốn nhân ma trận với một số ta nhân mỗi phân tử của ma trận với số đó. Ví dụ: 1 3 2 3 1 2 3 3 3 6 2 4 1 5 2 1 4 5 3 9                               ,A B A B 4 6 4 6 20 30 5 5 0 3 0 3 0 15                        . .A A 9 v1.0018112205 2.1.2. SỐ HỌC MA TRẬN (tiếp theo) Định nghĩa 2.5: Xét hai ma trận A = [aik]mp; B = [bkj]pn trong đó số cột của ma trận A bằng số hàng của ma trận B. Người ta gọi tích AB là ma trận C = [Cij]mn có m hàng, n cột mà phần tử Cij là tích vô hướng của hàng thứ i ma trận A và cột thứ j của ma trận B. Ví dụ 3: Cho   p ij ik kj k 1 c a b                                 1 0 4 14 4 2 4 2 1 1 8 9 A , B 1 1 C A.B 3 1 0 7 13 3 0 0 2 2 8 2 10 v1.0018112205 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Cho các ma trận . Khi đó là: • Đáp án đúng là: • Vì: 11   1 0 3 A 1 2 B C 3 1 2              , , 1 3 A 0 4      . 1 5 B 2 4       . 1 5 2 4      C. 1 3 0 4      D. 1 1 1 2 1 2 0 1 3 1 3 2 3 6 3 2 1 0 2 1 1 3 3 3 6 2 0 4                                            ' ' BA C BA C 1 3 0 4       'BA C v1.0018112205 2.2. ĐỊNH THỨC 12 2.2.2 Phần phụ đại số 2.2.3 Các tính chất của định thức 2.2.1 Định thức của ma trận vuông cấp n v1.0018112205 2.2. ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN VUÔNG CẤP N Định thức cấp 2: Cho ma trận vuông cấp 2: Định thức của ma trận A được xác định theo công thức: Ví dụ:        1 1 2 2 a b A a b     1 1 1 2 2 1 2 2 a b a b a b a b      . . 2 3 2 5 3 4 2 4 5 13 v1.0018112205 2.2. ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN VUÔNG CẤP N (tiếp theo) Định thức cấp 3: Định thức của ma trận cấp 3: xác định bởi:         1 1 1 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 2 1 3 3 3 a b c a b c a b c b c a c a b b a c a c b a b c a b c            1 1 1 2 2 2 3 3 3 a b c A a b c a b c 14 v1.0018112205 2.2. ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN VUÔNG CẤP N (tiếp theo) Có thể nhớ cách lập biểu thức của  theo quy tắc Sarrus Ví dụ: 3 số mang dấu (+) theo đường chéo chính 3 số mang dấu (-) theo đường chéo phụ o o o o o o o o o o o o o o o o o o               . . . . .( ).( ) . .( ) . .( ) . . 2 3 1 5 0 4 2 0 3 2 3 4 5 1 1 2 0 1 2 4 1 5 3 3 8 2 1 3 15 v1.0018112205 2.2. ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN VUÔNG CẤP N (tiếp theo) Định nghĩa 2.5 Định thức của ma trận vuông [aij]nn cấp n có dạng như sau: Người ta còn có thể ký hiệu định thức của ma trận A là det(A).   ... . ... . . . ... . . . ... . . . ... . . . ... . 11 12 1j 1n 21 22 2j 2n i1 i2 ij in n1 n2 nj nn a a a a a a a a a a a a a a a a 16 v1.0018112205 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Cho các ma trận . Định thức của ma trận A-B là: A. 0 B. 1 C. 18 D. 6 • Đáp án đúng là: 1 • Vì: 17 1 3 2 3 A B 2 4 1 5              , 1 2 3 3 1 0 A B 2 1 4 5 1 1 1 0 A B 1 1 0 1 1 1                           ( ).( ) v1.0018112205 2.2.2. PHẦN PHỤ ĐẠI SỐ Cho ma trận A=[aij] vuông cấp n. Ký hiệu Dij là định thức con ứng với phần tử aij có được từ Δ bằng cách bỏ đi hàng i và cột j từ ma trận nn. Ký hiệu Aij là phần phụ đại số ứng với phần tử aij xác định bởi: Định thức ma trận: 1  ( )i jij ijA D         ( ) n n i j ij ij ij ij i 1 i 1 1 a D a A 18 v1.0018112205 2.2.3. CÁC TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC Để dễ hiểu ta xét chứng minh cho các định thứ cấp 3: • Tính chất 1: Khi ta đổi hàng thành cột, đổi cột thành hàng thì định thức không đổi. Do tính chất 1, từ nay về sau ta phát biểu các tính chất cho cột và cần phải hiểu nó cũng đúng đối với hàng. • Tính chất 2: Khi ta đổi vị trí hai cột cho nhau thì định thức đổi dấu. • Tính chất 3: Một định thức có 2 cột giống nhau thì bằng 0. • Tính chất 4: Thừa số chung của các phần tử của cùng một cột có thể đưa ra ngoài dấu định thức. • Tính chất 5: • Tính chất 6: Nếu cộng các phần tử của một cột nào đó với những phần tử của một cột khác nhân với cùng một số k thì định thức không đổi.               1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 a a b c a b c a b c a a b c a b c a b c a a b c a b c a b c 19 v1.0018112205 2.3. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 20 2.3.2 Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo 2.3.1 Định nghĩa v1.0018112205 2.3.1. ĐỊNH NGHĨA Định nghĩa 2.6: Một ma trận vuông X cùng cấp với ma trận vuông A được gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A nếu AX = XA = E. Ta ký hiệu ma trận nghịch đảo của ma trận A là A–1. Theo định nghĩa A A–1 = A–1 A = E. 21 v1.0018112205 2.3.2. ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Xét một ma trận vuông cấp n bất kỳ ứng với ma trận A ta lập ma trận Trong đó Aij là phần phụ đại số của phần tử aij trong định thức |A|. Ma trận A* được gọi là ma trận chuyển vị của ma trận phụ hợp của ma trận A. .             ... ... . . ... . ... 11 12 1n 21 22 2n n1 n2 nn a a a a a a A a a a             * ... ... . . ... . ... 11 21 n1 12 22 n2 1n 2n nn A A A A A A A A A A 22 v1.0018112205 2.3.2. ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (tiếp theo) Định nghĩa 2.7: Ma trận vuông A được gọi là ma trận không suy biến nếu d = |A|  0 Định lý 2.2: Điều kiện cần và đủ để một ma trận vuông A có ma trận nghịch đảo là d = |A|  0 tức là ma trận A không suy biến. Ma trận A có ma trận nghịch đảo là Ví dụ 1: Cho ma trận Ma trận này không có ma trận nghịch đảo vì |A| = 0   *.1 1 A A d              1 2 3 A 1 0 2 0 2 1 23 v1.0018112205 2.3.2. ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (tiếp theo) Ví dụ 2: Tìm nghịch đảo của ma trận Đối với ma trận này ta có: do đó, nó có ma trận nghịch đảo.            1 2 0 A 0 3 1 0 1 2    1 2 0 d 0 3 1 5 0 0 1 2 24 v1.0018112205 2.3.2. ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (tiếp theo) Để tìm ma trận nghịch đảo, trước hết, ta tìm ma trận phụ hợp A*. Ta có: Ma trận nghịch đảo của ma trận đã cho là:                                   * ; , , , , , 11 12 13 21 22 23 31 32 33 11 21 31 12 22 32 13 23 33 A 5 A 0 A 0 A 4 A 2 A 1 A 2 A 1 A 3 A A A 5 4 2 A A A A 0 2 1 A A A 0 1 3                       * *1 4 2 1 5 5 1 1 2 2 A A A 0 d 5 5 3 1 3 0 5 5 25 v1.0018112205 2.3.2. ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (tiếp theo) Nhận xét: Cho A và B là hai ma trận vuông cấp n, trong đó A là ma trận không suy biến. Xét các phương trình ma trận AX = B và YA = B. Dễ thấy rằng các phương trình này có nghiệm duy nhất tương ứng: X = A–1B Y = BA–1 (2.11) 26 v1.0018112205 2.3.2. ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (tiếp theo) Ví dụ: Cho hai ma trận Ma trận A là ma trận không suy biến (|A| = 1) do đó, nó có ma trận nghịch đảo Nghiệm của các phương trình AX = B và YA = B là: Nếu A và B là các ma trận vuông cùng cấp và không suy biến thì AB có ma trận nghịch đảo là (AB)–1 = B–1A–1.              3 2 1 5 A B 1 1 1 6        1 1 2A 1 3                                           1 1 1 2 1 5 3 7 X A B 1 3 1 6 4 13 1 5 1 2 6 17 Y BA 1 6 1 3 5 16 27 v1.0018112205 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Ma trận nghịch đảo của ma trận là: • Đáp án đúng là: • Vì: 28 1 0 A 0 2        1 0 1 0 2         A. 1 0 0 2       B. 2 0 0 1       C. 1 0 2 0 1 D.         1 1 0 2 01 A 1 2 0 1 0 2               1 0 1 0 2         A. v1.0018112205 2.4. HẠNG CỦA MA TRẬN VÀ SỐ DẠNG ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH Xét ma trận . Từ ma trận A lấy k hàng và k cột bất kỳ (k  min{m,n}) thì những phần tử chung của k hàng và k cột đó tạo thành một ma trận vuông. Định thức ứng với ma trận vuông đó gọi là định thức con cấp k của ma trận A. Định nghĩa 2.8: Cấp cao nhất của định thức con khác 0 của ma trận A gọi là hạng của ma trận A, ký hiệu là r(A). Dễ thấy .     ij m n A a    min , 0 r A m n 29 v1.0018112205 2.4. HẠNG CỦA MA TRẬN VÀ SỐ DẠNG ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH (tiếp theo) Muốn tính hạng của ma trận, người ta dựa vào các tính chất sau: Tính chất 1: Hạng của ma trận không thay đổi nếu ta thực hiện các phép biến đổi sau: 1. Đổi cột thành hàng, hàng thành cột. 2. Đổi chỗ 2 hàng (cột) cho nhau. 3. Nhân các phần tử của cùng một hàng (cột) với cùng một số khác 0. 4. Cộng vào một hàng (cột) các phần tử tương ứng của hàng (cột) khác đã được nhân với một số. 5. Thêm hoặc bớt đi một hàng (cột) là tổ hợp tuyến tính của các hàng (cột) khác. Trường hợp riêng là thêm hoặc bớt đi một hàng (cột) gồm toàn số 0. Các tính chất này dễ dàng suy ra từ các tính chất của định thức, bởi vì các phép toán trên phép toán 1 đến phép toán 4 không làm thay đổi tính chất khác 0 hay bằng 0 của định thức còn định thức thu được sau phép toán 5 sẽ bằng 0. 30 v1.0018112205 2.4. HẠNG CỦA MA TRẬN VÀ SỐ DẠNG ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH (tiếp theo) Tính chất 2: Nếu một định thức cấp k nào đó của ma trận A khác 0 mà các định thức cấp k + 1 chứa nó đều bằng 0 thì r(A) = k. Ý nghĩa của tính chất 1: Cho phép ta biến đổi ma trận để tính các định thức con dễ hơn khi tìm hạng của ma trận. Ý nghĩa của tính chất 2: Nếu đã tìm được một định thức D cấp k khác 0 rồi, ta không cần tính tất cả các định thức cấp k + 1 của ma trận A mà chỉ cần tính các định thức cấp k + 1 chứa định thức D. Nếu các định thức này bằng 0 cả thì ta kết luận r(A) = k. Nếu có một định thức cấp k + 1 khác 0 thì ta lặp lại như cũ. 31 v1.0018112205 2.4. HẠNG CỦA MA TRẬN VÀ SỐ DẠNG ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH (tiếp theo) Ví dụ: Tính hạng của ma trận                3 5 9 0 1 0 0 1 0 6 10 10 6 10 18 0 2 0 A 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 8 12 4 8 12 4 8 12 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 1 2 3 1 2 3 1 2 0 0 0 0       0 1 0 1 0 2 0 2 1 2 1 0 32 v1.0018112205 2.4. HẠNG CỦA MA TRẬN VÀ SỐ DẠNG ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH (tiếp theo) Ta có r(A)  2. Xét định thức cấp 2: Vậy r(A)=2. Áp dụng tính chất 2, ta thấy có một định thức cấp 2 khác 0 Ta hãy tính hai định thức cấp 3 chứa nó vậy r(A)= 2.      0 1 0 1 0 1 0 2 1 0    6 10 D 2 0 1 2      1 2 3 5 9 6 10 18 6 10 18 0 1 2 3 0 1 2 3 4 8 12 33 v1.0018112205 GIẢI QUYẾT TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG Mô hình input – output Leontief (cân đối liên ngành) Xét mô hình đầu vào – đầu ra Leontief với ma trận đầu vào: Ta có hệ phương trình: x – Ax = d. Tình huống: Biết véctơ cầu d = (10, 5, 6) T (x100 tỷ đồng). Xác định mức sản xuất đầu ra của từng ngành x. Giải quyết: Ta có : x – Ax = d  (E - A)x = d  x = (E - A)-1 d = [24,84 ; 20,68 ; 18,36] T (x100 tỷ đồng). 34 0 2 0 3 0 2 0 4 0 1 0 2 0 1 0 3 0 2 , , , A , , , , , ,          v1.0018112205 TỔNG KẾT BÀI HỌC Các bạn đã được học về Ma trận và định thức. Các bạn cần ghi nhớ các vấn đề sau: • Nắm được khái niệm về ma trận, các phép toán về ma trận; • Định thức cấp 2, cấp 3 và cấp n tổng quát cùng các tính chất và cách tính; • Khái niệm của ma trận nghịch đảo, công thức và điều kiện nghịch đảo; • Khái niệm và cách tính hạng của ma trận; • Giải được các bài toán về định thức và ma trận cách tự luận và theo trắc nghiệm. 35