Giáo trình Toán cao cấp 2 - Bài 1: Tập hợp - Ánh xạ

V1.0018112205 BÀI 1 TẬP HỢP – ÁNH XẠ 1 V1.0018112205 TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG Khi phân tích thị trường hàng hóa, người ta thường sử dụng hàm cung và hàm cầu để biểu diễn sự phụ thuộc của lượng cung Qs và lượng cầu Qd đối với một loại hàng hóa vào giá của hàng hóa đó. Hàm cung và hàm cầu có dạng: Qs = S(P), Qd = D(P) (*) P là giá hàng hóa; Qs là lượng cung – lượng hàng hóa mà người bán bằng lòng bán với mức giá P; Qd là lượng cầu – lượng hàng hóa mà người mua bằng lòng mua với mức giá P. Ví dụ: Biết hàm cung, cầu của một loại hàng hóa cho bởi Xác định giá của sản phẩm P theo hàm cung Qs , theo hàm cầu Qd (Nghĩa là xác định hàm ngược của hàm F và G) 2 24 1 4s dQ F(P) P ; Q G(P) P      V1.0018112205 MỤC TIÊU BÀI HỌC • Hiểu về tập hợp và các phép toán về tập hợp; • Nắm được khái niệm về quan hệ giữa các tập hợp, đặc biệt là quan hệ hai ngôi và các quan hệ cơ bản: Quan hệ tương đương và quan hệ thứ tự; • Khái niệm về ánh xạ với các ánh xạ cơ bản: Đơn ánh, song ánh, toàn ánh. Tiếp đó là ánh xạ ngược, thu hẹp và mở rộng một ánh xạ; • Cuối cùng là lực lượng của tập hợp; • Giải được các bài toán thông thường về tập hợp, quan hệ, ánh xạ theo cách tự luận và theo trắc nghiệm. 3 V1.0018112205 CẤU TRÚC NỘI DUNG Tập hợp, quan hệ và ánh xạ là các công cụ cơ bản để xây dựng nên các đối tượng của toán học nói chung và của đại số tuyến tính nói riêng. 4 1.1 Tập hợp và các phép toán về tập hợp Quan hệ1.2 1.3 Ánh xạ V1.0018112205 1.1. TẬP HỢP VÀ CÁC PHÉP TOÁN VỀ TẬP HỢP 5 1.1.2 Mô tả tập hợp 1.1.3 Quan hệ giữa các tập hợp 1.1.4 Các phép toán về tập hợp 1.1.1 Khái niệm về tập hợp V1.0018112205 1.1.1. KHÁI NIỆM VỀ TẬP HỢP Người ta hiểu tập hợp là một sự tụ tập các đối tượng có tính chất chung nào đó. Các đối tượng đó gọi là các phần tử của tập hợp đang xét. 6 V1.0018112205 1.1.2. MÔ TẢ TẬP HỢP Để mô tả một tập hợp người ta thường dùng hai phương pháp sau: • Phương pháp 1: Liệt kê các phần tử của tập hợp đó. Ví dụ: Tập hợp các số tự nhiên: • Phương pháp 2: Chỉ ra những tính chất mà mọi phần tử của tập hợp đó đều có. Ví dụ như tập hợp A gồm những phần tử x có tính chất p(x), ta viết A = {x | p(x)}. Ví dụ: Tập hợp các số chẵn: A = {m | m = 2n, n nguyên}.     , , , ,..., ,... ; * , , ,..., ,... .0 1 2 3 n 1 2 3 n 7 V1.0018112205 1.1.3. QUAN HỆ GIỮA CÁC TẬP HỢP • Tập hợp con A là tập hợp con của B khi mọi phần tử của A đều thuộc về B và ký hiệu A  B. Đọc:  A bao hàm trong B;  B chứa A;  A là tập con của B. • Sự bằng nhau của 2 tập hợp Nếu một phần tử bất kỳ của tập hợp A đều thuộc về tập hợp B và ngược lại, thì ta nói A và B bằng nhau. Hình 1.2 A 8 V1.0018112205 1.1.4. CÁC PHÉP TOÁN VỀ TẬP HỢP a. Phép hợp • Định nghĩa 1.1: Hợp của hai tập A và B là tập hợp tạo bởi tất cả các phần tử thuộc A hoặc thuộc B (hình 1.2). • Ký hiệu A B. Đọc A hợp B. (x  A  B)  (x  A hoặc x  B) Hình 1.3 9 A B A  B V1.0018112205 1.1.4. CÁC PHÉP TOÁN VỀ TẬP HỢP (tiếp theo) Tính chất 1.1: (1) A A = A (tích lũy đẳng) (2) A B = B  A (tính giao hoán) (3) A (B  C) = (A B)  C (tính kết hợp) (4)   A = A  = A 10 V1.0018112205 1.1.4. CÁC PHÉP TOÁN VỀ TẬP HỢP (tiếp theo) b. Phép giao • Định nghĩa 1.2: Giao của hai tập hợp A và B là tập hợp tạo bởi các phần tử vừa thuộc A và vừa thuộc B (hình 1.4). • Ký hiệu A  B. Đọc A giao B (x  A  B)  (x  A và x  B) Hình 1.4 11 A B A  B V1.0018112205 1.1.4. CÁC PHÉP TOÁN VỀ TẬP HỢP (tiếp theo) • Tính chất 1.2 (1) A A = A (tích lũy đẳng) (2) A B = B  A (tính giao hoán) (3) A (B  C) = (A B)  C (tính kết hợp) (4)   A = A  = A • Tính chất 1.3: (tính chất chung của  và ) (1) A (B  C) = (A B)  (A  C): Tính phân phối của  đối với  (2) A (B  C) = (A B)  (A C): Tính phân phối của  đối với  12 V1.0018112205 1.1.4. CÁC PHÉP TOÁN VỀ TẬP HỢP (tiếp theo) c. Hiệu của hai tập hợp • Định nghĩa 1.3: Hiệu của tập A và tập B là tập tạo bởi tất cả các phần tử thuộc A mà không thuộc B (hình 1.5). • Ký hiệu:  \ và   A B x A x B B Hình 1.5 A 13 V1.0018112205 1.1.4. CÁC PHÉP TOÁN VỀ TẬP HỢP (tiếp theo) d. Tập bù Khi A  E thì E\ A gọi là bù của A trong E. Ký hiệu: Luật DeMorgan EC A hay A             A, B E Ta có: A B A B 1 A B A B 2 A E Hình 1.6 A 14 V1.0018112205 1.1.4. CÁC PHÉP TOÁN VỀ TẬP HỢP (tiếp theo) e. Tích của 2 tập hợp (tích Đề các) • Định nghĩa 1.4: Tích của tập hợp A với tập hợp B (theo thứ tự ấy) là tập hợp gồm tất cả các cặp thứ tự (x, y) với x  A, y  B. (hình 1.7). • Ký hiệu: A x B hoặc A.B. Đọc là A nhân B.    , và y .    x y A B x A B Hình 1.7: Mặt phẳng tọa độ xOy được đồng nhất với tích Đề các . A.B B A 0   x 15 V1.0018112205 1.1.4. CÁC PHÉP TOÁN VỀ TẬP HỢP (tiếp theo) g. Phân hoạch Ta nói các tập con A1, A2,..., An của tập X tạo nên một phân hoạch của X nếu:     ;        A n i i 1 i j 1 A X 2 A A i j 16 V1.0018112205 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Cho X = {a,b}, Y = {c,d}. Phần tử (b,c) thuộc tập nào trong các tập sau? A. X  Y B. Y  X C. X  Y D. X  Y • Đáp án đúng là: X  Y • Vì: X  Y = {(a,c),(a,d),(b,c),(b,d)} Y  X = {(c,a),(d,a),(c,b),(d,b)} X  Y = {a,b,c,d} X  Y = Ø 17 V1.0018112205 1.2. QUAN HỆ 18 1.2.2 Các tính chất có thể có của quan hệ trong một tập hợp 1.2.3 Quan hệ tương đương 1.2.4 Quan hệ thứ tự 1.2.1 Khái niệm về quan hệ hai ngôi V1.0018112205 1.2.1. KHÁI NIỆM VỀ QUAN HỆ HAI NGÔI Giả sử cho tập X khác rỗng và một tính chất  được thỏa mãn với một số cặp phần tử a, b nào đó của X. Khi đó, ta nói a có quan hệ  với b và viết là ab, còn  được gọi là một quan hệ hai ngôi trong X. Ví dụ: 1. Trong tập  mọi số thực, quan hệ “a = b” hoặc quan hệ “a  b” là các quan hệ hai ngôi. 2. Trong tập mọi đường thẳng trên mặt phẳng, quan hệ vuông góc giữa hai đường thẳng là quan hệ hai ngôi. 19 V1.0018112205 1.2.2. CÁC TÍNH CHẤT CÓ THỂ CÓ CỦA QUAN HỆ TRONG MỘT TẬP HỢP Quan hệ  trong tập X (tức   X2) có thể có các tính chất sau: • Tính phản xạ: aa, aX (tức là (a,a), aX); • Tính đối xứng: ab  ba (tức là (a,b) thì (b,a)); • Tính phản đối xứng: ab và ba  a = b; • Tính bắc cầu: (ab) và (bc)  ac. 20 V1.0018112205 1.2.3. QUAN HỆ TƯƠNG ĐƯƠNG Quan hệ  trong tập X gọi là quan hệ tương đương nếu nó có tính phản xạ, đối xứng, bắc cầu. Trong trường hợp này, ta viết a~b thay vì ab. • Ví dụ: Quan hệ song song giữa các đường thẳng trong tập mọi đường thẳng của không gian (coi 2 đường thẳng trùng nhau là song song); Các lớp tương đương: Giả sử ~ là một quan hệ tương đương trong X. Với mỗi phần tử aX, ta ký hiệu C(a) là tập hợp mọi phần tử thuộc X tương đương với a và gọi là lớp tương đương chứa a. • Định lý: Một quan hệ tương đương trong X xác định một phân hoạch của X, mỗi phần tử của phân hoạch này là một lớp tương đương. Họ các lớp tương đương này được gọi là tập thương, ký hiệu X/~. 21 V1.0018112205 1.2.4. QUAN HỆ THỨ TỰ Định nghĩa 1.5: Quan hệ  trong X gọi là quan hệ thứ tự (hay quan hệ thứ tự bộ phận) nếu có tính phản đối xứng và bắc cầu. Nếu ngoài ra, với bất kỳ hai phần tử nào xX, yY đều có xy hoặc yx thì quan hệ thứ tự gọi là thứ tự toàn phần (hay thứ tự tuyến tính). Ví dụ: Quan hệ < hoặc  thông thường trong tập hợp các số thực là các quan hệ thứ tự toàn phần,  là tập được sắp thứ tự. 22 V1.0018112205 1.3. ÁNH XẠ 23 1.3.2 Đơn ánh – Toàn ánh – Song ánh 1.3.3 Ánh xạ hợp của các ánh xạ 1.3.4 Ánh xạ ngược (của một song ánh) 1.3.1 Khái niệm về ánh xạ 1.3.5 Lực lượng của tập hợp V1.0018112205 1.3.1. KHÁI NIỆM VỀ ÁNH XẠ Định nghĩa 1.6: Cho X và Y là hai tập hợp tùy ý khác rỗng. Một ánh xạ f từ X đến Y là một quy tắc nào đó cho ứng với mỗi phần tử xX là một phần tử xác định y của Y. Khi đó ta viết y = f(x). Ký hiệu ánh xạ từ X đến Y: • Tập X gọi là miền xác định hay nguồn của ánh xạ. • Tập Y gọi là đích của ánh xạ. • Phần tử yY ứng với phần tử xX bởi quy tắc đã cho gọi là ảnh của phần tử x, ký hiệu y = f(x). • Nói riêng, khi X và Y là các tập hợp số thì khái niệm ánh xạ trở thành khái niệm hàm số. • f(X) là ảnh của miền xác định X được gọi là miền giá trị của ánh xạ f và ký hiệu bởi f(X) = Imf. : f X Y 24 V1.0018112205 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Cho ánh xạ f: ℝ+ℝ, f(x) = x 2 . Khi đó, tập nghịch ảnh f–1({3}) là: A. {–3,1} B. {–3} C. {1} D. {3,1} • Đáp án đúng là: {1} • Vì: 25 1 2 2 x f f x x R x 2x 3 x R x 2x 3 0 x R x 1                    ({3}) ( ) {3}, , , V1.0018112205 3.1.2. ĐƠN ÁNH – TOÀN ÁNH – SONG ÁNH • Đơn ánh: Ánh xạ f gọi là đơn ánh nếu f(x1)= f(x2) thì x1= x2, nói cách khác hai phần tử khác nhau sẽ có ảnh khác nhau. Ví dụ 1: Xét * là tập các số thực dương thì ánh xạ f : *  diễn tả bởi f(x) = x + 1 là một đơn ánh. • Toàn ánh: Ánh xạ f gọi là toàn ánh nếu f(X) = Y, nói cách khác yY đều tồn tại xX sao cho f(x) = y. Ví dụ 2: Ánh xạ f : * * diễn tả bởi f(x) = x2 là một toàn ánh. • Song ánh: Một ánh xạ vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh gọi là song ánh. Ta cũng gọi nó là ánh xạ một đối một (ánh xạ 1 – 1). Ví dụ 3: Ánh xạ f :   diễn tả bởi f(x) = x3 là một song ánh. 26 V1.0018112205 1.3.3. ÁNH XẠ HỢP CỦA CÁC ÁNH XẠ Cho hai ánh xạ f: X  Y và g: Y  Z Ánh xạ h: X  Z xác định bởi  x  X, h(x) = g(f(x)) được gọi là hợp thành của các ánh xạ f và g, ký hiệu theo thứ tự đó, h còn gọi là ánh xạ hợp hay tích của các ánh xạ f và g. Ví dụ: f và g là các ánh xạ từ  vào  bởi f(x) = sinx, g(y) = y2 thì ; còn Các tính chất : • Nếu f và g đều là đơn ánh thì đơn ánh. • Nếu f và g đều là song ánh thì song ánh. • Nếu f và g đều là toàn ánh thì toàn ánh. h g f     sin sin  2 2g f x x x  ( ) sin( ) 2f g x x g f g f g f 27 V1.0018112205 1.3.4. ÁNH XẠ NGƯỢC (CỦA MỘT SONG ÁNH) Giả sử f: X  Y là song ánh thì với bất kỳ y  Y đều tồn tại duy nhất một phần tử x  X sao cho f(x) = y. Ánh xạ f–1: Y  X xác định bởi f–1(y)=x  y = f(x) gọi là ánh xạ ngược của f. Ví dụ: Ánh xạ f:   xác định bởi f(x) = x3 có ánh xạ ngược Nếu f: X  Y và g: Y  Z là các song ánh thì ánh xạ tích cũng là song ánh và  1 3f x x    : ( ) ( )   g f X Z g f x g f x   .    1 1 1g f f g 28 V1.0018112205 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Cho ánh xạ g:[0,1]  [0,1] xác định bởi . Ánh xạ ngược của nó là: A. B. C. D. không tìm được • Đáp án đúng là: • Vì: 29 2g x 1 x ( ) 1 2g y 1 y  ( ) 1 2g y 1 y   ( ) 1 2g y 1 y   ( )    2 2 2y 1 x x 1 y x 0 1 y 0 1      , , , , 1 2g y 1 y  ( ) V1.0018112205 1.3.5. LỰC LƯỢNG CỦA TẬP HỢP Khái niệm “lực lượng” (power) là sự trừu xuất hóa của khái niệm số lượng thông thường của các tập hữu hạn. Ví dụ: Với tập các số 1,2,, n ta đặt En= {1, 2,, n} Rõ ràng, mỗi tập hợp hữu hạn gồm n phần tử được đánh số bởi n số nguyên dương ai, i = 1,2,, n ta đặt: A = {a1,a2,a3,,an }. Định nghĩa 1.7: Cho hai tập hợp A và B khác rỗng (hữu hạn hoặc vô hạn). Nếu tồn tại một song ánh f: AB thì ta nói A và B đồng lực lượng. Tập có đồng lực lượng với tập En gọi là tập hữu hạn. Rõ ràng, hai tập hữu hạn đồng lực lượng khi và chỉ khi chúng có cùng số phần tử. Vậy khái niệm “cùng lực lượng” là sự khái quát hóa khái niệm “cùng số lượng” thông thường. 30 V1.0018112205 1.3.5. LỰC LƯỢNG CỦA TẬP HỢP (tiếp theo) Nếu A và B đồng lực lượng, ta nói A tương đương với B và viết A B. Tập có cùng lực lượng với tập số  gọi là tập vô hạn đếm được. Tập vô hạn không cùng lực lượng với tập  gọi là tập không đếm được. Người ta chứng minh được rằng tập các số thực  là tập không đếm được. Các tập hữu hạn, hoặc vô hạn đếm được thường được gọi chung là đếm được. Nếu X là một tập vô hạn đếm được thì sẽ tồn tại một song ánh f:  X. • Định lý: Hợp của một họ đếm được các tập đếm được là một tập đếm được. • Hệ quả: Nếu X và Y là các tập đếm được thì tích Đề các XY cũng là một tập đếm được. 31 V1.0018112205 GIẢI QUYẾT TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG Biết hàm cung, cầu của một loại hàng hóa cho bởi Xác định giá của sản phẩm P theo hàm cung Qs , theo hàm cầu Qd (Nghĩa là xác định hàm ngược của hàm F và G) Bài làm 32 24 1 4s dQ F(P) P ; Q G(P) P      2 1 14 1 4 4 4 4 ss d d d P (Q )Q F(P) P Q G(P) P P Q (Q )                V1.0018112205 TỔNG KẾT BÀI HỌC Các bạn cần ghi nhớ các vấn đề sau: • Hiểu về tập hợp và các phép toán về tập hợp; • Nắm được khái niệm về quan hệ giữa các tập hợp, đặc biệt là quan hệ hai ngôi và các quan hệ cơ bản: Quan hệ tương đương và quan hệ thứ tự; • Khái niệm về ánh xạ với các ánh xạ cơ bản: Đơn ánh, song ánh, toàn ánh. Tiếp đó là ánh xạ ngược, thu hẹp và mở rộng một ánh xạ; • Cuối cùng là lực lượng của tập hợp; • Giải được các bài toán thông thường về tập hợp, quan hệ, ánh xạ theo cách tự luận và theo trắc nghiệm. 33