Giáo trình Toán cao cấp 1 - Bài 4: Hàm số nhiều biến số

v1.0018112205 BÀI 4 HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ v1.0018112205 TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG Lợi nhuận tối đa Cho hàm lợi nhuận của một công ty đối với một sản phẩm là  = R – C = PQ - wL - rK Trong đó  là lợi nhuận, R là doanh thu, C là chi phí, L là lượng lao động, w là tiền lương cho một lao động, K là tiền vốn, r là lãi suất của tiền vốn, P là đơn giá bán sản phẩm. Ví dụ: Giả sử Q là hàm sản xuất Cobb – Douglas dạng Q = L1/3. K1/3 Xét trường hợp w = 1, r = 0,02, P = 3. Khi đó hàm lợi nhuận trở thành:  = 3L1/3. K1/3 – L – 0,02K Tìm L, K để lợi nhuận đạt tối đa? (Gợi ý: sử dụng đạo hàm riêng cấp 1 và đạo hàm riêng cấp 2 cho hàm ) 2 v1.0018112205 MỤC TIÊU BÀI HỌC • Nắm được các khái niệm về hàm nhiều biến, đạo hàm riêng, vi phân, cực trị hàm nhiều biến. • Làm được bài tập về hàm nhiều biến, đặc biệt là phần cực trị hàm nhiều biến. 3 v1.0018112205 CẤU TRÚC NỘI DUNG 4 4.1 Giới hạn và tính liên tục của hàm số Đạo hàm riêng và vi phân cấp cao4.2 4.3 Cực trị của hàm nhiều biến v1.0018112205 4.1. GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC HÀM SỐ 4.1.1 Khái niệm hàm nhiều biến 4.1.2 Giới hạn của hàm nhiều biến 4.1.3 Hàm số liên tục 5 v1.0018112205 4.1.1. KHÁI NIỆM HÀM NHIỀU BIẾN a. Khái niệm • Định nghĩa: Cho D (khác rỗng) là một tập con của không gian ℝn. Ta gọi ánh xạ f: D  ℝn xác định bởi là một hàm n biến số xác định trên D. Điểm M(x1,x2,,xn)  D nên ta có thể viết hàm u = f(M), M  D. Tập D gọi là miền xác định. Miền giá trị của hàm số u = f(M) là tập tất cả các giá trị của hàm số khi điểm M biến thiên trong miền các định D. • Ví dụ: Hàm số 2 biến số Miền xác định D là mặt tròn x2 + y2 ≤ 1, tâm O bán kính 1. Miền giá trị là đoạn [0;1]. 1 2 n 1 2 n(x ,x ,...,x ) D u f(x ,x ,...,x )   2 2z f(x,y) 1 x y .    6 v1.0018112205 4.1.1. KHÁI NIỆM HÀM NHIỀU BIẾN (tiếp theo) Đồ thị của hàm hai biến Định nghĩa: Đồ thị của hàm số z = z(x,y) là tập hợp tất cả các điểm M(x,y,z) trong không gian ℝ3, trong đó (x,y) là toạ độ của điểm M thuộc miền xác định D và z là giá trị của hàm số tại điểm đó. Đồ thị của hàm hai biến số là một mặt trong không gian ba chiều ℝ3. Ví dụ: Đồ thị của hàm số là nửa mặt cầu có tâm tại gốc toạ độ O và bán kính R = 1, nằm trong nửa không gian z ≥ 0. 2 2z z(x,y) 1 x y    7 v1.0018112205 4.1.2. GIỚI HẠN HÀM NHIỀU BIẾN • Định nghĩa: Ta nói dãy điểm Mn(xn,yn) dần tới điểm M0(x0,y0), viết Mn(xn,yn)  M0(x0,y0) hay Mn  M0 nếu • Định nghĩa: Cho hàm z = f(x,y) xác định trong lân cận U nào đó của điểm M0(x0,y0), có thể trừ tại M0. Ta nói hàm f(x,y) có giới hạn là L khi M(x,y) dần đến M0(x0,y0) khi và chỉ khi mọi dãy điểm Mn(xn,yn)  M0 ta đều có Ta viết Ví dụ: Tìm Khi (x,y)  (0;0) thì t = x2 + y4  0 nên 2 2 n 0 n 0 n 0 n n lim d(M ,M ) lim (x x ) (y y ) 0.        n n n lim f(x ,y ) L.   0 0 0(x,y) (x ,y ) M M lim f(x,y) L hay lim f(M) L     2 4 2 4(x,y) (0;0) ln(1 x y ) lim x y    2 4 2 4(x,y) (0;0) t 0 ln(1 x y ) ln(1 t) lim lim 1 tx y        8 v1.0018112205 4.1.2. GIỚI HẠN HÀM NHIỀU BIẾN (tiếp theo) Tính chất của giới hạn Định lý: Giả sử f(M), g(M) là hai hàm số có giới hạn khi M  M0. Khi đó   0 0 0M M M M M M lim f(M) g(M) lim f(M) lim g(M)         0 0M M M M lim kf(M) k lim f(M)    (k là hằng số)   0 0 0M M M M M M lim f(M)g(M) lim f(M). lim g(M)     0 0 0 M M M M M M lim f(M) f(M) lim g(M) lim g(M)     nếu   0M M lim g(M) 0 9 v1.0018112205 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Giới hạn của dãy điểm khi n   là: A. (0,0) B. (0,-2) C. (0,2) D. không có giới hạn • Đáp án đúng là: (0,2) • Vì: 10          n 2 1 2n 3 M , n n   2n n n 1 2n 3 lim 0;lim 2 n n M 0;2        v1.0018112205 4.1.3. HÀM SỐ LIÊN TỤC Khái niệm hàm nhiều biến số liên tục được định nghĩa như trong trường hợp của hàm số một biến số. Định nghĩa: Cho hàm số f: D  ℝ xác định trên miền D ⊂ ℝn, và M0 là một điểm thuộc D. Hàm số f(M) được gọi là liên tục tại M0 nếu Hàm số không liên tục tại điểm M0 được gọi là gián đoạn tại điểm đó. Nếu hàm số f(M) liên tục tại mọi điểm M0 thuộc miền D ta nói f(M) liên tục trên D. 0 0 M M lim f(M) f(M )   11 v1.0018112205 4.2. ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN 12 4.2.1 Số gia riêng và số gia toàn phần 4.2.2 Đạo hàm riêng của hàm nhiều biến 4.2.3 Vi phân toàn phần 4.2.4 Đạo hàm riêng và vi phân cấp cao v1.0018112205 4.2.1. SỐ GIA RIÊNG VÀ SỐ GIA TOÀN PHẦN • Một hàm nhiều biến số u = f(x1, x2,, xn) có thể xem như là hàm số của một biến số xk khi ta cố định giá trị của các biến còn lại. Từ đây có thể định nghĩa đạo hàm riêng của một hàm nhiều biến đối với một biến số nào đó. • Xét hàm số z = f(x, y) xác định trên miền D, và M0(x0,y0)  D. Cho số gia x, số gia riêng phần theo biến x là Số gia riêng phần theo biến y là x 0 0 0 0f f(x x,y ) f(x ,y )     y 0 0 0 0f f(x ,y y) f(x ,y )     13 v1.0018112205 4.2.2. ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM NHIỀU BIẾN a. Đạo hàm riêng Định nghĩa: Xét hàm số u= f(x,y) xác định trong một miền D, M0(x0,y0)  D. • Đạo hàm riêng của f đối với biến x tại điểm M0 là: • Đạo hàm riêng của f đối với biến y tại điểm M0 là: • Các đạo hàm riêng đối với biến x, biến y tại điểm M0 tương ứng còn được ký hiệu là: • Các đạo hàm riêng của hàm n biến được định nghĩa tương tự. ' 0 0 0 0x x 0 0 x 0 x 0 f(x x,y ) f(x ,y )f f (x ,y ) lim lim x x           y' 0 0 0 0 y 0 0 y 0 y 0 f f(x ,y y) f(x ,y ) f (x ,y ) lim lim y y            0 0 0 0 f f (x ,y ) (x ,y ) x y     14 v1.0018112205 4.2.2. ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM NHIỀU BIẾN (tiếp theo) Khi tính đạo hàm riêng của hàm theo biến nào, ta xem hàm này chỉ phụ thuộc vào biến ấy, các biến còn lại được coi như hằng số, sau đó áp dụng các quy tắc tính đạo hàm của hàm một biến số. • Ví dụ 1: Tính các đạo hàm riêng của • Ví dụ 2: Tính các đạo hàm riêng của và 3 2 f 1 x y 1 (x y)       3f(x,y) x y arctan(x y)   2 2 f 1 3x y x 1 (x y)       2 3 4 3 2zu ln(x y z ) x ye    2 2z 2 3 4 u 2x 3x ye x x y z       2 3 2z 2 3 4 u 3y x e y x y z       3 3 2z 2 3 4 u 4z 2x ye z x y z       15 v1.0018112205 4.2.2. ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM NHIỀU BIẾN (tiếp theo) b. Đạo hàm riêng của hàm hợp • Công thức đạo hàm hàm hợp Hàm số F được xác định như trên được gọi là hàm số hợp của hai hàm f và . • Định lý: Nếu hàm số f có các đạo hàm riêng là các hàm liên tục trong (d) và nếu u,v có các đạo hàm riêng trong D, thì trong D tồn tại các đạo hàm riêng và ta có f F : (x,y) D (u(x,y),v(x,y)) (D) f(u(x,y),v(x,y)) F(x,y)     f f ; u v     u u v v ; ; ; x y x y         F F ; x y     F f u f v x u x v x F f u f v y u y v y                         16 v1.0018112205 4.2.2. ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM NHIỀU BIẾN (tiếp theo) Ví dụ: Cho hàm số Ta có Áp dụng định lý về đạo hàm hàm hợp, ta được: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y 1 x y 2 2 x y 1 x y z (x y )(xy) y 2x(xy) ln(xy) x z (x y )(xy) x 2y(xy) ln(xy) y                 v 2 2z u , u xy, v x y    v 1 vz zvu ; u lnu u v      u u v v y; x; 2x; 2y x y x y             17 v1.0018112205 4.2.3. VI PHÂN TOÀN PHẦN Cho hàm số z = f(x,y) và các số gia x, y. Số gia toàn phần tại điểm M0(x0,y0) là Định nghĩa: Nếu hàm số z = f(x,y) có biểu thức số gia toàn phần tại điểm M0 có thể viết ở dạng: trong đó A, B là các số chỉ phụ thuộc x0, y0 và ,  có giới hạn bằng 0 khi x  0, y  0, thì f được gọi là khả vi tại điểm M0 và biểu thức Ax + By được gọi là vi phân toàn phần của hàm số f(x,y) tại điểm M0, ký hiệu là df. 0 0 0 0 0f(M ) f(x x,y y) f(x ,y )       0f(M ) A x B y x y        0df(M ) A x B y    18 v1.0018112205 4.2.3. VI PHÂN TOÀN PHẦN (tiếp theo) Định lý: Cho hàm z = f(x,y) có các đạo hàm riêng trong lân cận của điểm M0(x0,y0) và các đạo hàm riêng đó liên tục tại M0(x0,y0) thì hàm này khả vi tại M0(x0,y0) và ta có Với f(x,y) = x thì df = dx = x. Tương tự dy = y Vậy vi phân toàn phần Ví dụ: Cho hàm số Các đạo hàm riêng Suy ra    2 2 3dz df 3x y 2y dx x 4xy dy     ' ' 0 x 0 y 0df(M ) f (M ) x f (M ) y    3 2z f(x,y) x y 2xy   ' 2 2 ' 3 x yz 3x y 2y , z x 4xy    f f df dx dy x y       19 v1.0018112205 4.2.4. ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN CẤP CAO a. Đạo hàm riêng cấp cao Xét hàm hai biến z = f(x,y) xác định trên miền D. Ta có bốn đạo hàm riêng cấp hai được ký hiệu như sau: Ví dụ: Cho hàm số Ta có và '' 4 2y '' 2 3 2y '' xx xy yxz 6xy 6e , z 12x y 12xe z     2 2 '' '' xx xy2 2 2 '' '' yx yy2 f f f f f (x,y) , f (x,y), x x y x y xx f f f f f (x,y) , f (x,y). x y x y y y y                                                    3 4 2 2yz x y 3x e  ' 2 4 2y ' 3 3 2 2y x yz 3x y 6xe , z 4x y 6x e    '' 3 2 2 2y yyz 12x y 12x e  20 v1.0018112205 4.2.4. ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN CẤP CAO (tiếp theo) Định lý (Schwarz) Nếu trong một lân cận U nào đó của điểm M0(x0,y0) hàm số z = f(x,y) có các đạo hàm riêng và nếu các đạo hàm riêng ấy liên tục tại M0 thì '' '' xy yxf , f '' '' xy 0 yx 0f (M ) f (M ). 21 v1.0018112205 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Cho hàm số z(x,y) = f(x)g(y), trong đó f(x), g(y) là các hàm số một biến khả vi. Khi đó, z”xy bằng A. B. C. D. • Đáp án đúng là: • Vì: Ta có 22 f ''(x)g(y) f(x)g''(y) f ''(x)g(y) f(x)g''(y) f '(x)g'(y)       ' ' x ' " ' ' ' xy x y z f (x)g(y) z z f (x)g (y) f '(x)g'(y) v1.0018112205 4.2.4. ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN CẤP CAO (tiếp theo) b. Vi phân cấp cao • Định nghĩa: Hàm số z = f(x,y) có các đạo hàm riêng cấp hai, thì vi phần toàn phần cấp hai của hàm số đó là Giả thiết fxy" và fyx" liên tục, suy ra: • Ví dụ: Cho hàm số Ta có và Suy ra  2 2x 2 2d z e 4siny(dx) 4cosydxdy siny(dy)   '' ''xy yxf f 2 '' 2 '' '' '' 2 xx xy yx yyd z d(dz) f (dx) (f f )dxdy f (dy)     2 '' 2 '' '' 2 xx xy yyd z f (dx) 2f dxdy f (dy)   2xz e siny ' 2x ' 2x x yz 2e siny, z e cosy  '' 2x '' '' 2x '' 2x xx xy yx yyz 4e siny, z z 2e cosy , z e siny     23 v1.0018112205 4.3. CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN 24 4.3.1 Định nghĩa 4.3.2 Quy tắc tìm cực trị v1.0018112205 4.3.1. ĐỊNH NGHĨA Định nghĩa: Cho hàm số z = f(x,y) xác định trong miền D và M0  D. Nếu f(M) – f(M0) > 0, (f(M) – f(M0) < 0) với mọi điểm M khác M0 và nằm trong lân cận nào đó của điểm M0 thì M0 là điểm cực tiểu (cực đại). Định lý 1: Cho hàm số z = f(x,y) có cực trị tại điểm M0. Nếu hàm f(x,y) có các đạo hàm riêng tại điểm M0 thì ' ' x 0 y 0f (M ) 0 f (M )  25 v1.0018112205 4.3.1. ĐỊNH NGHĨA (tiếp theo) • Tại điểm M0 ta ký hiệu • Định lý 2: Giả sử hàm z = f(x,y) có các đạo hàm riêng đến cấp hai liên tục trong một lân cận nào đó của điểm M0(x0,y0) và tại điểm M0 ta có p = q = 0. Khi đó tại M0:  Nếu B2 – AC 0.  Nếu B2 – AC > 0 thì f(x,y) không đạt cực trị tại M0.  Nếu B2 – AC = 0 thì f(x,y) có thể đạt hoặc không đạt cực trị tại M0 (trường hợp nghi ngờ). ' ' x 0 y 0p f (M ) , q f (M )  '' '' '' xx 0 xy 0 yy 0A f (M ) , B f (M ), C f (M )   26 v1.0018112205 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Điểm dừng của hàm số z(x,y) = x2 + 2xy – 2y là: A. (1, –1) B. (1,1) C. (–1,1) D. (–1,–1) • Đáp án đúng là: A. (1, –1) • Vì: Điểm dừng của z(x,y) là các điểm thỏa mãn hệ 27            ' ' 2 2 0 1 12 2 0 x y z x y y xz x v1.0018112205 4.3.2. QUY TẮC TÌM CỰC TRỊ • Bước 1: Tìm các điểm dừng, là các điểm có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình • Bước 2: Tính các giá trị đạo hàm riêng cấp hai tại các điểm dừng M0 và xét dấu biểu thức  Nếu  > 0, hàm số không đạt cực trị tại M0.  Nếu  0 là điểm cực đại nếu A < 0).  Nếu  = 0, không thể kết luận có là điểm cực trị hay không (ta dùng phương pháp khác). ' ' x yf f 0.  '' '' '' xx 0 xy 0 yy 0A f (M ), B f (M ), C f (M )   28 v1.0018112205 4.3.2. QUY TẮC TÌM CỰC TRỊ (tiếp theo) Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số Tìm các điểm dừng Ta được các điểm • Tính các giá trị:  Tại điểm M1(0;0):  = –36 < 0, A = –6 < 0 hàm số đạt cực đại,  Tại điểm M2(0;2):  = –36 0 hàm số đạt cực tiểu,  Tại điểm M3(1;1) và M4(–1;1):  = 36 > 0 điểm M3, M4 không phải là điểm cực trị của hàm số. 2 3 2 2z 3x y y 3x 3y 1     ' x 2 2' 2 2 y z 6xy 6x 0 x(y 1) 0 x y 2y 0z 3x 3y 6y 0                1 2 3 4M (0;0), M (0;2), M (1;1), M ( 1;1) '' '' '' xx xy yyA z 6y 6, B z 6x, C z 6y 6        max 1z z(M ) 1.  min 2z z(M ) 3.   29 v1.0018112205 GIẢI QUYẾT TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG Lợi nhuận tối đa. Tình huống: Giả sử Q là hàm sản xuất Cobb – Douglas dạng Q = L1/3. K1/3 Xét trường hợp w = 1, r = 0,02, P = 3. Khi đó hàm lợi nhuận trở thành:  = 3L1/3. K1/3 – L – 0,02K Tìm L, K để lợi nhuận đạt tối đa? Bài làm:  = 3L1/3K1/3 – L – 0,02K ’L = L–2/3K1/3 – 1, ’K = L1/3K–2/3 – 0,02 Tìm điểm dừng bằng cách giải hệ ’L = 0, ’K = 0 ta được L = 50, K = 2500. Xét các đạo hàm riêng cấp hai tại điểm dừng (L0,K0) = (50,2500) ta có Vậy lợi nhuận đạt tối đa khi L = 50, K = 2500 với max = 50 30 2 2 " 5/3 1/3 " 2/3 2/3 " 1/3 5/3 LKL K 2 1 2 L K , L K , L K 3 3 3            A B1 1 1 1 A 0, B , C , 0 75 7500 187500 B C 18750000         v1.0018112205 TỔNG KẾT BÀI HỌC Trong bài này chúng ta đã nghiên cứu những vấn đề sau: • Hàm nhiều biến số. Khái niệm liên tục của hàm nhiều biến số. • Đạo hàm riêng, vi phân toàn phần. • Cực trị của hàm số. Bài này trình bày những khái niệm và kết quả cơ bản về phép tính vi phân của hàm số nhiều biến số: Định nghĩa hàm số nhiều biến số, miền xác định, cách biểu diễn hình học, giới hạn và tính liên tục của hàm số nhiều biến số, đạo hàm riêng và vi phân toàn phần, đạo hàm cấp cao, cực trị của hàm số nhiều biến. Khi học, học viên cần lưu ý đến sự khác biệt giữa hàm số một biến số và hàm số nhiều biến số. 31