Giáo trình Toán cao cấp 1 - Bài 3: Phép tính tích phân

v1.0018112205 BÀI 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN 1 v1.0018112205 TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG Thặng dư của người tiêu dùng và thặng dư của nhà sản xuất Giả sử hàm cung và hàm cầu của một loại hàng hóa theo giá P cho bởi Qs = Qs(P) và Qd = Qd(P). Khi đó tìm giá P theo lượng cung, cầu ta được các hàm cung ngược P = Ps(Qs) và hàm cầu ngược P = Pd(Qd). Giải phương trình cân bằng Qs = Qd ta xác định được điểm cân bằng (P0, Q0). Khi đó thặng dư của người tiêu dùng CS (Consumers’ Surplus) và thặng dư của nhà sản xuất PS (Producers’ Surplus) được xác định bởi các tích phân xác định theo công thức dưới đây: Ví dụ: Biết hàm cung, cầu của một loại hàng hóa cho bởi Hãy xác định thặng dư của người tiêu dùng và nhà sản xuất đối với hàng hóa đó. 2 0 0 0 0 0 0 0 0 Q Q d d d s s sCS P (Q )dQ PQ ; PS PQ P (Q )dQ     1 113s dQ P ; Q P    v1.0018112205 MỤC TIÊU BÀI HỌC • Nắm được các khái niệm về tích phân bất định, tích phân xác định; • Làm được bài tập về tích phân bất định, tích phân xác định; • Áp dụng phần mềm Maple để tính tích phân. 3 v1.0018112205 CẤU TRÚC NỘI DUNG 4 3.1 Tích phân bất định Tích phân xác định3.2 v1.0018112205 3.1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 5 3.1.1 Khái niệm tính tích phân bất định 3.1.2 Các phương pháp tính tích phân bất định 3.1.3 Tích phân hàm phân thức hữu tỷ 3.1.4 Tích phân hàm lượng giác 3.1.5 Tích phân hàm chứa căn thức v1.0018112205 3.1.1. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH a. Nguyên hàm Đặt vấn đề: • Trước đây ta đã biết tìm đạo hàm của một hàm số đã cho. Bây giờ ta xét bài toán ngược lại: Biết đạo hàm của F(x) là f(x), hãy tìm lại hàm số nguyên thủy F(x). • Định nghĩa: Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên một khoảng D nếu: F’(x) = f(x), x  D hay dF(x) = f(x)dx. • Ví dụ: F(x) = x – cosx là nguyên hàm của f(x) = 1 + sinx, x  ℝ vì (x – cosx)’ = 1 + sinx Nhận xét: x – cosx + 2 hay x – cosx + C (C là hằng số) đều là nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 + sinx, x  ℝ 6 v1.0018112205 3.1.1. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH (tiếp theo) b. Tích phân bất định • Bổ đề: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thì F(x) + C, C là hằng số, cũng là nguyên hàm của hàm f(x) và mọi nguyên hàm của hàm số f(x) đều có dạng F(x) + C. • Định nghĩa: Tích phân bất định của hàm số f(x) là họ các nguyên hàm F(x) + C, ký hiệu là Ví dụ: Nhận xét: 7  f(x)dx   f(x)dx F(x) C        2x 2x1(1 sinx)dx x cosx C e dx e C 2          1. f(x)dx ' f(x) hay d f(x)dx f(x)dx 2. F'(x)dx F(x) C v1.0018112205 3.1.1. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH (tiếp theo) c. Các tính chất cơ bản của tích phân bất định 1. (k là hằng số). 2. . 3. Nếu thì trong đó u = u(x) là một hàm số. Ví dụ: Với u = x2 + 1 8  kf(x)dx k f(x)dx      f(x) g(x) dx f(x)dx g(x)dx   f(x)dx F(x) C   f(u)du F(u) C                 2 2 2 2 2 2xcos(x 1)dx cos(x 1)d(x 1) cosudu sinu C 2xcos(x 1)dx sin(x 1) C v1.0018112205 3.1.1. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH (tiếp theo) d. Các công thức tích phân cơ bản: 9                  1 2 x x dx C,( 1) 1 sinxdx cosx C dx tanx C cos x           2 dx ln x C x cos xdx sin x C dx cot x C sin x v1.0018112205 3.1.1. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH (tiếp theo) 10               x x 2 2 2 2 a a dx C,(a 0,a 1) lna dx 1 x arctan C a ax a dx 1 a x ln C 2a a xa x                 x x 2 2 2 2 e dx e C dx ln x x C x dx x arcsin C , a 0 aa x v1.0018112205 3.1.2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH a. Các phương pháp đổi biến Phép đổi biến thuận • Định lý: Nếu f(x) là một hàm số liên tục trên khoảng I, u = g(x) là một hàm số khả vi liên tục, lấy giá trị trên I, thì • Ví dụ: Tính • Đặt thì x2 = u2 + 4 và xdx = udu 11  f(g(x))g'(x)dx f(u)du.   2x 4 dx x  2u x 4                            2 2 2 2 2 2 2 2 x 4 x 4 u 4 dx xdx udu 1 du x x u 4 u 4 x 4 u x 4 dx u 2arctan C x 4 2arctan C x 2 2 v1.0018112205 3.1.2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH (tiếp theo) Phép đổi biến ngược Định lý: Nếu x = (t) là một hàm khả vi liên tục, đơn điệu, lấy giá trị trong một khoảng I, hàm f(x) liên tục trong I thì Ví dụ: Tính tích phân Đặt x = 2sint, t  (-/2; /2) thì dx = 2 cost và 12    f(x)dx f( (t)) '(t)dt.    2 2 x I dx 4 x  24 x 2cos t                  2 2 2 4sin t I 2cos tdt 4sin t dt 2 1 cos2t dt 2t sin2t C 2cos t x x I 2t 2sin t cos t 2arcsin 4 x C 2 2 v1.0018112205 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Tích phân bằng: • Đáp án đúng là: • Vì: 13   31 A. lnx 2 lnx C 3     3 B. lnx 2 lnx C  32C. ln x 4lnx C 3     3 D.2 lnx 4 lnx C         1/2 1/2 3 3lnx 2 3lnx 2 dx d(lnx) x lnx lnx 3 lnx 2 lnx d(lnx) 2 lnx 4 lnx C             3lnx 2 dx x lnx     3 D.2 lnx 4 lnx C  v1.0018112205 3.1.2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH (tiếp theo) b. Phương pháp tích phân từng phần • Giả sử u(x) và v(x) là các hàm khả vi liên tục, khi đó ta có • Chú ý tách biểu thức f(x)dx thế nào để tích phân vdu đơn giản hơn tích phân udu. • Gọi P(x) là đa thức, xét các dạng sau: • Dạng 1: Khi đó ta đặt u=P(x), dv là phần còn lại. Ví dụ 1: Tính Đặt u = x + 1, dv = e2xdx thì du=dx, 14   udv uv vdu    axP(x)e dx P(x)sin(ax)dx P(x)cos(ax)dx  2x(x 1)e dx  2x 1 v e 2          2x 2x 2x 2x 2x1 1 1 1(x 1)e dx (x 1)e e dx (x 1)e e C 2 2 2 4 v1.0018112205 3.1.2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH (tiếp theo) • Dạng 2: Khi đó ta đặt dv=P(x)dx, u là phần còn lại. Ví dụ 2: Tính Đặt u = arctanx, dv = xdx thì Ta được • Dạng 3: Ví dụ 3: Tính e2xsinxdx Gợi ý: Sử dụng tích phân từng phần hai lần, đặt u = e2x, dv = sinxdx 15    nP(x)(lnx) dx P(x)arcsinxdx P(x)arctanxdx  I xarctanxdx     2 2 1 1 1 du dx, v x 2 2x 1        2 21 1 1 1I (x 1)arctanx dx (x 1)arctanx x C 2 2 2 2     x xe sin( x)dx e cos( x)dx v1.0018112205 3.1.3. TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ a. Định nghĩa: Một hàm phân thức hữu tỷ là một hàm số có dạng Khi m < n ta có một phân thức hữu tỷ thực sự. Khi m ≥ n bằng phép chia đa thức ta được một đa thức cộng một phân thức hữu tỷ thực sự. Ta sẽ xét việc tìm nguyên hàm của phân thức hữu tỷ thực sự bằng cách phân tích nó thành tổng (hoặc hiệu) của các phân thức hữu tỷ thuộc một trong các dạng sau: trong đó k là số nguyên dương, p2 – 4q < 0. Các hệ số A, B được xác định bằng phương pháp hệ số bất định. 16  m n P (x) f(x) Q (x)    k 2 k A A x B (x a) (x px q) v1.0018112205 3.1.3. TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ (tiếp theo) b. Phương pháp hệ số bất định Ví dụ: Tính tích phân Do mẫu thức chứa nhân tử (x – 1)2 và x2 + 1 nên ta phân tích Quy đồng mẫu số ở vế phải Đồng nhất hệ số ta được 17       2 2 2 3x 2x 1 I dx (x 1) (x 1)            2 2 2 2 2 3x 2x 1 A B Cx D f(x) x 1(x 1) (x 1) (x 1) x 1                3 2 2 2 (A C)x ( A B 2C D)x (A C 2D)x A B D f(x) (x 1) (x 1)                             A C 0 A 1 A B 2C D 3 B 3 A C 2D 2 C 1 A B D 1 D 1 v1.0018112205 3.1.3. TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ (tiếp theo) Suy ra Vậy Bài tập: Tính tích phân 18                         2 2 2 2 2 1 3 x 1 I dx x 1 (x 1) x 1 1 3 1 2x 1 I dx x 1 2(x 1) x 1 x 1         23 1I ln | x 1| ln(x 1) arctanx C x 1 2     4 3 2 2x dx x x x 1 v1.0018112205 3.1.4. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC a. Phương pháp chung Xét tích phân R(sinx,cosx)dx. Ta có thể sử dụng phép đổi biến số Khi đó Tích phân đang xét được đưa về tích phân của hàm số theo biến t. Ví dụ: Tính tích phân Đổi biến số ta được Vậy 19  x t tan . 2        2 2 2 2 2t 1 t 2dt sinx ; cosx ; dx 1 t 1 t 1 t dx I 2sinx cosx 1    x t tan 2  2 2dt dx 1 t   2 2 2 2 1 2 1 1 I dt dt ln | 2t 1| C 2t 1 24t 1 t 1 t 1 1 t 1 t              1 x I ln | 2 tan 1| C 2 2    v1.0018112205 3.1.4. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC (tiếp theo) b. Tích phân dạng trong đó m, n là các số nguyên. • Nếu m là số lẻ, ta đặt t = cosx • Nếu n là số lẻ, ta đặt t = sinx • Nếu m, n là các số chẵn và lớn hơn hoặc bằng 0, ta sử dụng công thức hạ bậc: • Nếu m, n là các số chẵn và ít nhất một trong hai số đó âm, ta đặt t = tanx Ví dụ: Tính tích phân Đặt t = cosx thì dt = –sinxdx 20 3 4I sin xcos xdx.  2 21 cos2x 1 cos2xsin x ; cos x 2 2     2 4 2 4 6 4 7 5 7 5 I (cos x 1)cos x ( sinx)dx (t 1)t dt (t t )dt 1 1 1 1 I t t C cos x cos x C 7 5 7 5                 m nsin xcos xdx v1.0018112205 3.1.5. TÍCH PHÂN HÀM CHỨA CĂN THỨC Xét tích phân có dạng trong đó R(u, v) là các hàm số hữu tỷ. • Với dạng đặt x = tant • Với dạng đặt x = sint hoặc x = cost • Với dạng đặt hoặc Ví dụ: Tính tích phân 21      2 2 2 2R(x, x )dx, R(x, x )dx 2 2R(x, x )dx  2 2R(x, x )dx  2 2R(x, x )dx  x sin t   x cos t   2 2 dx x x 1  v1.0018112205 3.2. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 22 3.2.1 Khái niệm tích phân xác định 3.2.2 Công thức Newton - Leibnitz 3.2.3 Các phương pháp tính tích phân xác định v1.0018112205 3.2.1. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH a. Định nghĩa tích phân xác định: • Cho hàm số f(x) xác định trên đoạn [a, b]. Chia đoạn [a,b] bởi các điểm x0  a < x1 << xk << xn  b, xk = xk+1 - xk • Trên mỗi đoạn [xk, xk+1] lấy một điểm k bất kỳ và lập tổng tích phân nếu tồn tại giới hạn hữu hạn (giới hạn này không phụ thuộc vào cách chia đoạn [a,b] và cách chọn các điểm k) thì hàm f(x) được gọi là khả tích trên đoạn [a,b] và I được gọi là tích phân xác định của hàm số f(x) trên đoạn [a,b] và ký hiệu: Ý nghĩa hình học của tích phân xác định là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm số f(x) (f(x) ≥ 0) và các đường thẳng x = a, x = b, y = 0. 23 n 1 n k k k 0 S f( ) x      k n 1 k k n , max x 0 k 0 I lim f( ) x         b a I f(x)dx  v1.0018112205 3.2.1. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH (tiếp theo) b. Các tính chất cơ bản của tích phân xác định • • Nếu hàm số f(x) khả tích trên đoạn [a,b] thì • Nếu f(x) khả tích trên đoạn [a,b] và c là một điểm bất kỳ nằm giữa a và b, thì hàm số f(x) cũng khả tích trên mỗi đoạn [a, c]; [c, b] và 24 b c b a a c f(x)dx f(x)dx f(x)dx    a b b a f(x)dx f(x)dx   a a f(x)dx 0 v1.0018112205 3.2.2. CÔNG THỨC NEWTON - LEIBNIZ Định lý: (Định lý cơ bản 2) Nếu hàm f(x) liên tục trên [a,b] và F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng đó thì Công thức này gọi là công thức Newton-Leibniz. Công thức Newton-Leibniz cho phép ta tính tích phân xác định thông qua nguyên hàm của hàm số đó. 25 b b a a f(x)dx F(b) F(a) F(x)   v1.0018112205 3.2.3. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH a. Phương pháp tích phân từng phần Cho u(x), v(x) là các hàm số khả vi liên tục. Khi đó Ví dụ: Tính tích phân đặt Suy ra 26   b b b a a a udv uv vdu   1 3x 0 I xe dx  3x3x du dx u x e dv e dx v 3          1 13x 3 31 3x 3x 0 00 xe 1 e 1 2e 1 I e dx e 3 3 3 9 9       v1.0018112205 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất là . Tính xác suất để X nhận giá trị trong khoảng [1,2]? • Đáp án đúng là: • Vì: Ta có 27    1f(x) e (lnx 1),x 1,e 1A.2e 1B.e ln 2 1C.e ln2 1D.e ln4                             2 1 1 22 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 P(1 X 2) e (lnx 1)dx e .x(lnx 1) e xd(lnx 1) x 2e (ln2 1) e dx x 2e ln2 e e e ln4 1D.e ln4 v1.0018112205 3.2.3. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH (tiếp theo) b. Phương pháp đổi biến • Định lý 1: Nếu f(x) là một hàm liên tục trong khoảng I, u = g(x) là một hàm khả vi liên tục, lấy giá trị trên I thì • Định lý 2: Nếu f(x) là hàm liên tục trên [a,b], x = g(t) là một hàm khả vi liên tục trên [,] với g() = a, g() = b sao cho khi t biến thiên trong [,] thì g(t)  [a,b]. Khi đó 28 g(b)b a g(a) f(g(x))g'(x)dx f(u)du  b a f(x)dx f(g(t))g'(t)dt     v1.0018112205 3.2.3. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH (tiếp theo) • Ví dụ 1: Tính tích phân Đặt • Ví dụ 2: Tính tích phân Đặt ta có Vậy 29 1 3x x 0 e I dx e 1    x 2sin t,(0 t ), 2     2dx 2cos tdt, 4 x 2cos t   /2/2 /2 2 2 00 0 sin4t K 16 sin tcos tdt 2 (1 cos4t)dt 2 t 4                 2 2 2 0 K x 4 x dx  x x 1 e e2x 2 x x 0 1 1 e 2 2 1 t e : dt e dx; x 0 t 1; x 1 t e e t 1 I e dx dt t 1 dt t 1 t 1e 1 1 1 1 I t t ln(t 1) e e ln(e 1) ln2 2 2 2                                       v1.0018112205 KHỞI ĐỘNG BÀI Thặng dư của người tiêu dùng và thặng dư của nhà sản xuất Tình huống: Biết hàm cung, cầu của một loại hàng hóa cho bởi Hãy xác định thặng dư của người tiêu dùng và nhà sản xuất đối với hàng hóa đó. Giải: Các hàm cung, cầu ngược cho bởi P = (Qs + 1) 2, P = 113 – Qd 2 Điểm cân bằng thị trường cho bởi phương trình Qs – Qd, tức là: Thặng dư của người tiêu dùng là: Thặng dư của nhà sản xuất là 30 1 113   s dQ P ; Q P    0 01 113 64 7s dQ Q P P P ,Q ,           0 77 2 3 0 0 0 0 0 1 686 113 64 7 113 448 3 3 Q d d d dP Q dQ PQ Q dQ Q Q                   0 7 7 3 2 0 0 0 0 0 1 833 64 7 1 448 3 3 Q s s s s s (Q ) P Q P Q dQ (Q ) dQ                v1.0018112205 TỔNG KẾT BÀI HỌC Trong bài này chúng ta nghiên cứu các vấn đề sau: • Nguyên hàm của một hàm số. • Tích phân bất định của một hàm số. • Tích phân xác định của hàm số trên một đoạn. Khi học, sinh viên cần nắm vững các khái niệm, các phương pháp tính tích phân, vận dụng thành thạo và linh hoạt các phương pháp đó. 31