Giáo trình Toán cao cấp 1 - Bài 2: Đạo hàm và vi phân

v1.0018112205 BÀI 2 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 1 v1.0018112205 TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG Lựa chọn tối ưu trong kinh tế Gọi P là đơn giá, Q = Q(P) là hàm sản lượng, R = P.Q là hàm doanh thu, C = C(Q) là hàm chi phí,  = R - C là hàm lợi nhuận. Trong kinh tế ta thường giải các bài toán sau: • Tìm P để sản lượng Q đạt tối đa (cực đại). • Tìm P hoặc tìm Q để doanh thu R đạt tối đa. • Tìm P hoặc tìm Q để lợi nhuận  đạt tối đa. • Tìm Q để chi phí C đạt tối thiểu (cực tiểu). Ví dụ: Cho hàm cầu Q = 300 – P, hàm chi phí C = Q3 – 19Q2 + 333Q + 10. Tìm Q để lợi nhuận lớn nhất? 2 v1.0018112205 MỤC TIÊU BÀI HỌC • Hiểu được khái niệm đạo hàm, vi phân của hàm số. • Giải được các bài tập về đạo hàm, vi phân. • Biết vận dụng linh hoạt các định lý, khai triển và các quy tắc trong giải bài tập. • Khảo sát tính chất, dáng điệu của các hàm cơ bản. • Hiểu ý nghĩa hình học cũng như ý nghĩa thực tiễn của đạo hàm và vi phân. 3 v1.0018112205 CẤU TRÚC NỘI DUNG 2.1 Đạo hàm Vi phân2.2 2.3 Các định lý cơ bản về hàm số khả vi 2.4 Đạo hàm và vi phân cấp cao 2.5 Công thức Taylor và công thức Maclaurin 2.6 Ứng dụng của đạo hàm 4 v1.0018112205 2.1. ĐẠO HÀM 5 2.1.1 Khái niệm đạo hàm 2.1.2 Các phép toán về đạo hàm 2.1.3 Bảng đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản v1.0018112205 2.1.1. KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM • Cho hàm số f(x) xác định trong (a,b) và x0  (a,b) . Nếu tồn tại giới hạn của khi x  x0 thì giới hạn ấy được gọi là đạo hàm của hàm y = f(x) tại điểm x0 kí hiệu là f’(x0) hay y’(x0). Đặt: x = x – x0, y = y – y0 ta được: • Về mặt hình học, đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của đường tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f(x) tại điểm M0(x0,f(x0)). Nó đo tốc độ biến thiên của hàm f(x) tại x0. Phương trình tiếp tuyến tại điểm x0 là y = f’(x0)(x – x0) + f(x0). Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = sinx   0 0 f(x) f(x ) x x      0 x 0 y y '(x ) lim . x 6 v1.0018112205 2.1.2. CÁC PHÉP TOÁN VỀ ĐẠO HÀM Nếu các hàm số u(x), v(x) có các đạo hàm tại x thì: u(x) + v(x) cũng có đạo hàm tại x và (u(x) + v(x))’ = u’(x) + v’(x). u(x).v(x) cũng có đạo hàm tại x và: (u(x).v(x))’ = u’(x).v(x) + u(x).v’(x). cũng có đạo hàm tại x, trừ khi v(x) = 0 và: Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm theo x, hàm số y = f(u) có đạo hàm theo u thì hàm số hợp y = f(g(x)) có đạo hàm theo x và y’(x) = f’(u)u’(x). u(x) v(x)        ' 2 u(x) u'(x).v(x) u(x).v '(x) v(x) v (x) 7 v1.0018112205 2.1.3. BẢNG ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN Ta có bảng các đạo hàm cơ bản sau:                        1 a 2 2 2 x ' x , 1 log x ' x lna sinx ' cosx 1 tanx ' cos x 1 arcsinx ' 1 x 1 arctanx ' 1 x                         x x 2 2 2 a ' a lna 1 lnx ' x cosx ' sinx 1 cot x ' sin x 1 arccosx ' 1 x 1 arccot x ' 1 x   x xe ' e 8 v1.0018112205 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Đạo hàm của hàm f(x) = arccosx bằng: • Đáp án đúng là: • Vì: 9 2 1 A. 1 x 2 1 B. 1 x   2 1 C. 1 x 2 1 D. 1 x   2 1 (arccosx)' 1 x    2 1 B. 1 x   v1.0018112205 2.2. VI PHÂN 10 2.2.1 Định nghĩa 2.2.2 Vi phân của tổng, tích, thương 2.2.3 Vi phân của hàm hợp – tính bất biến về dạng của biểu thức vi phân v1.0018112205 2.2.1. ĐỊNH NGHĨA Cho hàm số y = f(x), có đạo hàm tại x, biểu thức f’(x)x gọi là vi phân của hàm số y = f(x) tại x. Kí hiệu là dy hay df(x). Vậy: dy = f’(x)x • Nếu hàm số có vi phân tại x, ta nói f(x) khả vi tại x. • Nếu y = x thì dy = dx = 1.x. Vậy đối với biến độc lập x, ta có dx = x. Do đó, vi phân có thể viết là dy = f’(x)dx Ví dụ: Vi phân của hàm số f(x) = sin2x là df(x) = sin2xdx 11 v1.0018112205 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Tính vi phân của hàm số f(𝑥) = 𝑥(ln𝑥 – 1) A. d𝑥 B. ln𝑥d𝑥 C. (ln𝑥 – 1)d𝑥 D. 𝑥ln𝑥d𝑥 Đáp án đúng là: ln𝑥d𝑥 Vì: 12  f '(x) x(lnx 1) ' 1 (lnx 1) x. lnx x df(x) f '(x)dx lnx.dx          v1.0018112205 2.2.2. VI PHÂN CỦA TỔNG, TÍCH, THƯƠNG Từ công thức đạo hàm của tổng, tích, thương của hai hàm số suy ra:             2 d(u v) du dv d(uv) udv vdu u vdu udv d (v 0) v v 13 v1.0018112205 2.2.3. VI PHÂN CỦA HÀM HỢP – TÍNH BẤT BIẾN VỀ DẠNG CỦA BIỂU THỨC VI PHÂN Nếu y = f(x) và x =  (t) thì y = f( (t)) ta có dy = y’tdt = (y’x x’t)dt = y’x(x’tdt) = y’xdx. Như vậy biểu thức vi phân vẫn giữ nguyên dạng trong trường hợp x không phải là biến độc lập, mà phụ thuộc vào một biến độc lập khác. 14 v1.0018112205 2.3. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ KHẢ VI 15 2.3.1 Định lý Fermat 2.3.2 Định lý Rolle 2.3.3 Định lý Lagrange 2.3.4 Định lý Cauchy v1.0018112205 2.3.1. ĐỊNH LÝ FERMAT Giả sử hàm số f(x) xác định trong khoảng (a,b) và đạt cực trị (cực đại hay cực tiểu) tại c  (a,b). Khi đó nếu tại c hàm số f(x) có đạo hàm thì f’(c) = 0. Pierre de Fermat (1601-1665) là nhà toán học nổi tiếng của Pháp, là cha đẻ của lý thuyết số hiện đại. 16 v1.0018112205 2.3.2. ĐỊNH LÝ ROLLE • Giả sử hàm số f(x) xác định và liên tục trên [a,b], khả vi trong khoảng (a,b), f(a) = f(b). Khi đó, tồn tại điểm c  (a,b) sao cho f’(c) = 0. • Ý nghĩa hình học của định lý Rolle: Nếu hai điểm A, B có tung độ bằng nhau và được nối với nhau bằng một đường cong liên tục y = f(x), có tiếp tuyến tại mọi điểm, thì trên đường cong có ít nhất một điểm mà tại đó tiếp tuyến song song với trục hoành. Michel Rolle (1652-1719) là nhà toán học người Pháp, đưa ra định lý này năm 1691. 17 v1.0018112205 2.3.3. ĐỊNH LÝ LAGRANGE • Giả sử hàm số f(x) xác định và liên tục trên [a,b], khả vi trong khoảng (a,b). Khi đó, tồn tại điểm c  (a,b) sao cho: • Ý nghĩa: Nếu đồ thị hàm số y = f(x) có tiếp tuyến tại mọi điểm trên cung AB, thì trên đường cong đó có ít nhất một điểm mà tại đó tiếp tuyến song song với dây cung AB. Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) là người Anh-Ý. Ví dụ: |arctana – arctanb|  |a – b| (a, b  ℝ)    f(b) f(a) f '(c) b a 18 v1.0018112205 2.3.4. ĐỊNH LÝ CAUCHY • Giả sử các hàm số f(x) và g(x) xác định và liên tục trên [a,b], khả vi trong khoảng (a,b), g’(x)  0, x  (a,b). Khi đó tồn tại điểm c  (a,b) sao cho: • Nhận xét: Định lý Lagrange là một trường hợp riêng của định lý Cauchy (với g(x) = x).    f '(c) f(b) f(a) g'(c) g(b) g(a) 19 v1.0018112205 2.4. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP CAO 2.4.1 Đạo hàm cấp cao 2.4.2 Vi phân cấp cao 20 v1.0018112205 2.4.1. ĐẠO HÀM CẤP CAO • Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm thì y’ = f’(x) gọi là đạo hàm cấp một của f(x). • Đạo hàm, nếu có của đạo hàm cấp một gọi là đạo hàm cấp hai. Ký hiệu là: y’’ = f’’(x). y’’ = f’’(x) = (f’(x))’ • Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp (n-1) của f(x) gọi là đạo hàm cấp n, kí hiệu là: f(n)(x) f(n)(x) = (f(n-1)(x))’ Ví dụ:              (n) n(n) nx x n 1 1 ( 1) n! a a lna x a (x a) 21 v1.0018112205 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Đạo hàm cấp n của hàm số bằng: • Đáp án đúng là: • Vì: Ta có công thức Áp dụng với a = 1, b = 2 22   1 f(x) 1 2x    n n 1 ( 1) n! A. (2x 1)  n n 1 2 n! B. (2x 1)    n n n 1 ( 1) 2 n! C. (2x 1)   n n n ( 1) 2 n! D. (2x 1) n n n n 1 1 1 n a ax b ax b         ( ) ( ) ! ( )    n n n 1 ( 1) 2 n! C. (2x 1) v1.0018112205 2.4.2. VI PHÂN CẤP CAO • Định nghĩa: Vi phân cấp n của hàm số y = f(x) là vi phân của vi phân cấp (n-1) của hàm số đó. Ký hiệu là: dny, dnf(x) • Vi phân cấp n của hàm số y=f(x) là Ví dụ: Vi phân cấp n của hàm số y = 2x là  n n 1d f(x) d d f(x) n (n) nd f(x) f (x)(dx)   n n x x n nd f(x) d 2 2 (ln2) (dx) 23 v1.0018112205 2.5. CÔNG THỨC TAYLOR VÀ CÔNG THỨC MACLAURIN 2.5.1 Công thức Taylor 2.5.2 Công thức Maclaurin 24 v1.0018112205 2.5.1. CÔNG THỨC TAYLOR Định lý: Cho hàm số f(x) có các đạo hàm đến cấp n liên tục trong đoạn [a,b] và có đạo hàm cấp n+1 trong khoảng (a,b). Khi đó tồn tại c  (a,b) sao cho với x0  (a,b) và với mọi x  (a,b) ta có: Với c = x0 + (x – x0), 0 <  < 1 Brook Taylor (1685-1731) là một nhà toán học người Anh, đưa ra công thức Taylor năm 1712.           (n) (n 1) n n 10 0 0 0 0 0 f '(x ) f (x ) f (c) f(x) f(x ) (x x ) ... (x x ) (x x ) 1! n! (n 1)! 25 v1.0018112205 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Cho f(𝑥) là một đa thức bậc 4, biết f(2) = –1, f’(2) = 0, f”(2) = 2, f’”(2) = –12, f(4)(2) = 24. Tính f'(0) . A. –60 B. 60 C. 30 D. –30 • Đáp án đúng là: –60 • Vì: Khai triển Taylor tại x = 2, ta được Do đó, 26 4 2 3 4 2 3 4 2 3 4 f 2 f 2 f 2 f 2 f x f 2 x 2 x 2 x 2 x 2 1 2 3 4 0 2 12 24 1 x 2 x 2 x 2 x 2 1 2 3 4 1 x 2 2 x 2 x 2                             ( )'( ) ''( ) '''( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ! ! ! ! ( ) ( ) ( ) ( ) ! ! ! ! ( ) ( ) ( ) 2 3f x 2 x 2 6 x 2 4 x 2 f 0 4 24 32 60            / /( ) ( ) ( ) ( ) ( ) v1.0018112205 2.5.2. CÔNG THỨC MACLAURIN • Trong công thức Taylor, khi x0 = 0  (a,b) ta có khai triển Công thức trên gọi là công thức khai triển Maclaurin. • Khai triển Maclaurin của một số hàm sơ cấp Thay x bởi –x vào công thức trên ta có:                  n 1 2 n n n 1 n 1 1 x 1 x x ... ( 1) x ( 1) ; 0 1 1 x (1 x)                             n 1 2 n n 1 2 n x x n 1 1 x 1 x x ... x ; 0 1 1 x (1 x) x x x e e 1 ... x ; 0 1. 1! 2! n! n 1 !          (n) (n 1) n n 1f '(0) f (0) f ( x)f(x) f(0) x ... x x , x (a,b) 1! n! (n 1)! 27 v1.0018112205 2.6. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM 2.6.2 Sự biến thiên của hàm số 2.6.3 Cực trị của hàm số 2.6.4 Liên hệ với đạo hàm cấp hai và tính lồi lõm của hàm số 28 2.6.1 Tính các giới hạn dạng vô định v1.0018112205 2.6.1. TÍNH CÁC GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH Quy tắc L’Hospital • Quy tắc này cho phép ta sử dụng đạo hàm để khử các dạng vô định và khi tính giới hạn của hàm số. • Định lý: Giả sử các hàm số u(x) và v(x) thỏa mãn các điều kiện:  Giới hạn có dạng vô định hoặc , tức là hai hàm số u(x) và v(x) cùng có giới hạn 0 hoặc cùng có giới hạn vô cùng.  Tồn tại giới hạn (hữu hạn hoặc vô hạn). Khi đó Ví dụ: Tính   x a u(x) lim v(x) 0 0 x a u'(x) lim v '(x)    x a x a u(x) u'(x) lim lim . v(x) v '(x)    x 3 2x 0 x arcsinx x e lim lim x x 0 0   29 v1.0018112205 2.6.2. SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ Định lý: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm tại mọi điểm thuộc khoảng (a,b). Khi đó:  Nếu f’(x)>0, (f’(x)<0) tại mọi điểm x  (a,b) thì hàm số f(x) đơn điệu tăng (đơn điệu giảm) trong khoảng (a,b).  Nếu f’(x) = 0 tại mọi điểm x  (a,b) thì f(x) nhận giá trị không đổi trong khoảng (a,b). • Ví dụ 1: Hàm số y = arctanx là hàm số tăng trên ℝ • Ví dụ 2: Chứng minh rằng:            2x a) x ln(x 1) x x 0 2 b) arcsinx arccos x x 2 30 v1.0018112205 2.6.3. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Khái niệm cực trị địa phương • Giả sử hàm số f(x) xác định và liên tục trong khoảng (a,b). Ta nói rằng hàm số nhận giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) tại điểm x0  (a,b) nếu tồn tại số δ > 0 đủ nhỏ sao cho bất đẳng thức f(x) f(x0)) luôn được thỏa mãn khi 0 < |x – x0| < δ. • Điểm x0 mà tại đó hàm số f(x) nhận giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của nó. Điểm cực đại (điểm cực tiểu) được gọi chung là điểm cực trị của hàm số. 31 v1.0018112205 2.6.3. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ (tiếp theo) Điều kiện cần của cực trị • Định lý: Nếu hàm số f(x) đạt cực đại hoặc cực tiểu tại điểm x0  (a,b) và tại đó hàm số có đạo hàm thì: f’(x0) = 0. • Nhận xét: Định lý cho biết hàm số f(x) chỉ có thể đạt cực trị tại các điểm thuộc một trong hai loại sau:  Điểm mà tại đó đạo hàm triệt tiêu (gọi là điểm dừng);  Điểm mà tại đó hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm. Các điểm thuộc một trong hai loại trên được gọi chung là điểm tới hạn của hàm số. Để tìm cực trị của hàm số trước hết ta tìm các điểm tới hạn (giải điều kiện cần), sau đó dùng một trong các điều kiện đủ dưới đây để kiểm tra từng điểm tới hạn. 32 v1.0018112205 2.6.3. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ (tiếp theo) Điều kiện đủ theo đạo hàm cấp một • Định lý: Giả sử x0 là một điểm tới hạn của hàm số f(x) và hàm số f(x) có đạo hàm trong một lân cận (x0 – δ, x0 + δ) (có thể trừ tại x0). Khi đó:  Nếu qua điểm x0 từ trái qua phải, đạo hàm f’(x) đổi dấu từ + sang – (từ – sang +) thì hàm số f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại điểm đó.  Nếu qua x0 đạo hàm f’(x0) không đổi dấu thì hàm số không đạt cực trị tại điểm đó. • Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số        2 x 3 a) f(x) (x 3)e b) g(x) ln(x 3) arctanx c) h(x) 24lnx x 33 v1.0018112205 2.6.3. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ (tiếp theo) Điều kiện đủ theo đạo hàm cấp cao Gọi x0 là một điểm dừng của hàm số f(x). Định lý: Giả sử tồn tại số tự nhiên n≥ 2 sao cho f'(x0) = f''(x0) = ... = f (n-1)(x0) = 0 và f (n)(x0) ≠ 0. Khi đó: • Nếu n là số chẵn thì x0 là một điểm cực trị của hàm số f(x)  x0 là điểm cực đại nếu f (n)(x0) < 0;  x0 là điểm cực tiểu nếu f (n)(x0) > 0. • Nếu n lẻ thì x0 không phải là điểm cực trị của hàm số f(x). 34 v1.0018112205 2.6.3. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ (tiếp theo) Bài toán cực trị toàn thể • Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a,b] thì trên đoạn đó hàm số có giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN). • Nếu hàm số đạt GTLN (GTNN) tại một điểm x0 bên trong khoảng (a,b) thì f(x0) là một giá trị cực đại (cực tiểu). Ngoài ra, các giá trị tại đầu mút a, b cũng có thể là GTLN hoặc GTNN của hàm số. • Như vậy, để tìm GTLN (GTNN) của hàm số f(x), trước hết ta phải tìm tất cả các điểm tới hạn. Sau đó so sánh các giá trị đó cùng với các giá trị f(a) và f(b) để chọn ra số lớn nhất, số nhỏ nhất. 35 v1.0018112205 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Hàm số y = 2sin𝑥 + cos2𝑥 có mấy điểm cực trị trên đoạn [0,2]? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 • Đáp án đúng là: 4 • Vì: Ta có Hơn nữa, ta nhận thấy khi 𝑥 đi qua các điểm này thì y’ đổi dấu nên chúng đều là các điểm cực trị. 36 / / y 2cosx 2sin(2x) 2cosx(1 2sin x) 3 cosx 0 x ;x 2 2 y 0 1 5sin x x ;x2 6 6                      v1.0018112205 2.6.4. LIÊN HỆ VỚI ĐẠO HÀM CẤP HAI VÀ TÍNH LỒI LÕM CỦA HÀM SỐ a. Liên hệ với đạo hàm cấp hai Định lý: Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng (a,b). Khi đó nếu f"(x) ≥ 0 thì hàm số f(x) lồi trên (a,b); nếu f"(x) ≤ 0 thì hàm số f(x) lõm trên (a,b). Sử dụng định lý trên ta có thể xác định các khoảng lồi, lõm của hàm số thông qua việc xét dấu của đạo hàm cấp hai. 37 v1.0018112205 2.6.4. LIÊN HỆ VỚI ĐẠO HÀM CẤP HAI VÀ TÍNH LỒI LÕM CỦA HÀM SỐ (tiếp theo) b. Tính lồi lõm của hàm số Điểm uốn của đồ thị hàm số • Mệnh đề: Nếu hàm f(x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng (a,b), tại x0  (a,b) đạo hàm f"(x0) = 0 và nếu f"(x) đổi dấu khi x đi qua điểm x0 thì x0 là điểm uốn của đồ thị hàm số f(x). • Chú thích: Khẳng định trên cũng đúng khi f"(x0) không tồn tại, nhưng f"(x) đổi dấu khi x đi qua điểm x0. Ví dụ: Xét tính lồi, lõm và tìm điểm uốn của đồ thị hàm số   xf(x) (x 1)e 38 v1.0018112205 GIẢI QUYẾT TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG • P là đơn giá, Q = Q(P) là hàm sản lượng, • R = P.Q là hàm doanh thu, C = C(Q) là hàm chi phí, •  = R - C là hàm lợi nhuận. • Cho hàm cầu Q = 300 – P, hàm chi phí C = Q3 – 19Q2 + 333Q + 10. Tìm Q để lợi nhuận lớn nhất? Giải: • Ta có Q = 300 – P, suy ra P = 300 – P • Do đó doanh thu R = PQ = (300 – Q)Q, lợi nhuận là:  = R – C = (300 – Q)Q – (Q3 – 19Q2 + 333Q + 10) = – Q3 + 18Q2 – 33Q – 10 ’(Q) = –3Q2 + 36Q – 33; ’(Q) = 0  Q = 1 hoặc Q = 11 Mặt khác ”(Q) = –6Q + 36; ”(1) = 30 > 0; ”(11) = –30 < 0 Vậy  đạt cực đại khi Q = 11, max = (11) = 474 39 v1.0018112205 TỔNG KẾT BÀI HỌC Trong bài này chúng ta đã nghiên cứu bốn vấn đề là: • Đạo hàm, vi phân của hàm số; • Các định lý cơ bản về hàm khả vi; • Khai triển Taylor, Maclaurin; • Ứng dụng của đạo hàm. 40