Giáo trình Toán cao cấp 1 - Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục

V1.0018112205 BÀI 1 HÀM SỐ, GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 1 V1.0018112205 KHỞI ĐỘNG BÀI Bài toán cung – cầu • Khi phân tích thị trường hàng hóa, người ta thường sử dụng hàm cung và hàm cầu để biểu diễn sự phụ thuộc của lượng cung Qs và lượng cầu Qd đối với một loại hàng hóa vào giá của hàng hóa đó. Hàm cung và hàm cầu có dạng: Qs = S(P), Qd = D(P) (*)  P là giá hàng hóa;  Qs là lượng cung – lượng hàng hóa mà người bán bằng lòng bán với mức giá P;  Qd là lượng cầu – lượng hàng hóa mà người mua bằng lòng mua với mức giá P. • Ví dụ: Biết hàm cung, cầu của một loại hàng hóa cho bởi 1. Qs, Qd là hàm đồng biến hay nghịch biến? 2. Xác định giá của sản phẩm P theo hàm cung Qs (hoặc hàm cầu Qd). 3. Xác định điểm cân bằng thị trường: người bán bán hết, người tiêu dùng mua đủ, thị trường không có hiện tượng dư thừa hoặc khan hiếm hàng hóa. 2 1 113s dQ P ; Q P    V1.0018112205 MỤC TIÊU BÀI HỌC • Hiểu được khái niệm hàm số, giới hạn, sự liên tục; • Giải được các bài tập về hàm số, giới hạn, tính liên tục; • Áp dụng phần mềm toán để tính toán với hàm số, giới hạn. 3 V1.0018112205 HƯỚNG DẪN HỌC • Đây là bài học nhằm ôn tập và hệ thống hóa lại các kiến thức toán học đã học trong chương trình phổ thông nên bạn cần đọc kỹ lại các lý thuyết về hàm số, giới hạn. • Sau khi đọc kỹ lý thuyết bạn cần làm bài tập càng nhiều càng tốt để củng cố và nâng cao kiến thức. • Bạn nên học và làm bài tập của bài này trong hai tuần, mỗi tuần khoảng 3 đến 4 giờ đồng hồ. 4 V1.0018112205 CẤU TRÚC NỘI DUNG 5 1.1 Hàm số một biến số Dãy số và giới hạn của dãy số1.2 1.3 Giới hạn và sự liên tục của hàm số V1.0018112205 1.1. HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ 6 1.1.2 Đồ thị của hàm số 1.1.3 Hàm số đơn điệu, hàm số chẵn, lẻ, tuần hoàn 1.1.4 Hàm số hợp 1.1.5 Hàm số ngược 1.1.6 Các hàm số sơ cấp cơ bản 1.1.1 Định nghĩa hàm số một biến số V1.0018112205 1.1.1. ĐỊNH NGHĨA HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ • Cho tập X  ℝ khác rỗng, ánh xạ f: X ℝ được gọi là một hàm số một biến số thực. • Tập X được gọi là miền xác định, tập f(X) được gọi là miền giá trị của hàm số f, x được gọi là biến độc lập hay đối số; f còn gọi là quy luật của hàm, người ta thường ký hiệu y = f(x) hoặc y = y(x). Ví dụ: Hàm số xác định khi 1 – x2 ≥ 0 hay -1 ≤ x ≤ 1 Do đó, miền xác định của hàm số là [-1;1]. Miền giá trị của hàm số này là [0;1]. 2y=f(x)= 1-x 7 V1.0018112205 1.1.2. ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Đồ thị của hàm số y = f(x) là tập hợp những điểm M(x,y) trong mặt phẳng có tọa độ Oxy, ở đó y = f(x), với x thuộc miền xác định X. Ví dụ 1: Đồ thị của hàm số là nửa đường tròn tâm O, bán kính 1. Ví dụ 2: Đồ thị của hàm số y = x2 là đường parabol.  2y 1- x 8 V1.0018112205 1.1.3. HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU, HÀM SỐ CHẴN, LẺ, TUẦN HOÀN Những khái niệm này các anh chị đã được học ở PTTH. Chúng ta đọc thêm trong tài liệu. 9 V1.0018112205 1.1.4. HÀM SỐ HỢP • Cho hai hàm số y = f(u) và u = g(x). Giả sử khi x thay đổi trong miền X, các giá trị của hàm số u = g(x) luôn thuộc vào miền xác định của hàm y = f(u). • Hàm số hợp của hàm f và hàm g, ký hiệu , là hàm số xác định bởi: Ví dụ: Hàm số y = sin5x là hàm số hợp của hai hàm y = u5 và hàm u = sinx (f g)(x) f(g(x)) 10 f g V1.0018112205 1.1.5. HÀM SỐ NGƯỢC • Cho hàm f: X  Y là một song ánh. Hàm số f-1: Y  X biến mỗi số y thành nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = y được gọi là hàm số ngược của hàm số f. • Ví dụ:  Hàm số y = f(x) = x3 (ℝ ℝ) có hàm ngược là hàm , viết  Hàm số y = ax, (a > 0, a ≠ 1) có hàm ngược là hàm số x = logay, viết f -1(x)=logax Hai hàm số ngược nhau có đồ thị đối xứng nhau qua đường phân giác góc phần tư thứ nhất.  3x y  1 3f (x) x. 11 V1.0018112205 1.1.6. CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN • Hàm lũy thừa: y = x(ℝ) • Hàm mũ: f(x) = ax (a > 0, a ≠ 1) • Hàm số lôgarit: f(x) = logax, (a > 0, a ≠ 1) • Các hàm lượng giác: y = sinx, y = cosx, y = tanx và y = cotx • Các hàm lượng giác ngược: y = arcsinx, y = arccosx, y = arctanx và y = arccotx 12 V1.0018112205 1.2. DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 13 1.2.2 Giới hạn của dãy số 1.2.3 Tiêu chuẩn tồn tại giới hạn 1.2.1 Khái niệm 1.2.4 Các định lý về giới hạn của dãy số V1.0018112205 1.2.1. KHÁI NIỆM Định nghĩa: Dãy số là một ánh xạ từ ℕ vào ℝ, ký hiệu bởi {xn} Ví dụ: Dãy                 n 1 2 3 n 1 n 1 1 1 1 1 1 1, , , ,..., ,... 22 2 2 2 14 V1.0018112205 1.2.2. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ • Định nghĩa: Dãy {xn} có giới hạn a hữu hạn khi n tiến tới vô cùng nếu với mọi số  > 0 cho trước (bé tùy ý), tồn tại số tự nhiên n0 sao cho với mọi n > n0 thì |xn – a| <  • Ta viết: hay xn  a khi n  . • Ví dụ:  n n lim x a      n 1n n 1 n 1 lim 0 lim 1 n2 15 V1.0018112205 1.2.3. TIÊU CHUẨN TỒN TẠI GIỚI HẠN • Nguyên lý giới hạn kẹp: Nếu có ba dãy số {xn}, {yn} và {zn} thỏa mãn yn < xn < zn và (a có thể hữu hạn, hoặc ) thì dãy {xn} có giới hạn và • Định lý Weierstrass: Dãy số tăng và bị chặn trên (hoặc giảm và bị chặn dưới) thì có giới hạn. • Ví dụ: Dãy là dãy số tăng và bị chặn trên bởi số 3.    n n n n lim y lim z a  n n lim x a        n n 1 x 1 n         n n 1 lim 1 e n 16 V1.0018112205 1.2.4. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Các phép toán về giới hạn: Cho {xn}, {yn} là các dãy có giới hạn hữu hạn, ta có các kết quả sau:        n n n n n n n lim x y lim x lim y      n n n n n n n lim x y lim x . lim y     n nn n n n n lim xx lim y lim y  n n (khi lim y 0) 17 V1.0018112205 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Giới hạn của dãy số bằng: A. 0 B. C. 2 D. + • Đáp án đúng là: + • Vì: 18  nx 2n 3 n 1                                n n n n 2 2 (2n 3) (n 1) n 4 lim 2n 3 n 1 lim lim 2n 3 n 1 2n 3 n 1 4 1 nlim 2 3 1 1 n n n n 2 1 V1.0018112205 1.3. GIỚI HẠN VÀ SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ 19 1.3.2 Các phép toán về giới hạn 1.3.3 Vô cùng lớn, vô cùng bé 1.3.1 Định nghĩa 1.3.4 Hàm số liên tục V1.0018112205 1.3.1. ĐỊNH NGHĨA Định nghĩa (Giới hạn của hàm số) • Cho hàm số f(x) xác định ở lân cận điểm x0 (có thể trừ tại x0). Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là L khi x dần tới x0 nếu với mọi số  > 0 cho trước, đều tồn tại một số  > 0 sao cho khi: |x – x0| <  thì |f(x) – L| < . Kí hiệu là: hay f(x)  L khi x  x0. • Định nghĩa tương đương: Ta nói f(x) có giới hạn là L khi x  x0 khi và chỉ khi với mọi dãy {xn}  x0 ta có dãy {f(xn)}  L Ví dụ:   0x x lim f(x) L    x x 1 x 0 1 lime e lim xsin 0 x 20 V1.0018112205 1.3.1. ĐỊNH NGHĨA (tiếp theo) Định nghĩa (giới hạn một phía) • Giới hạn của hàm f(x) khi hoặc khi được gọi tương ứng là giới hạn bên phải hoặc giới hạn bên trái của hàm số f tại điểm x0.  Giới hạn bên phải:  Giới hạn bên trái: Ví dụ: • Định lý: Điều kiện cần và đủ để là  0x x  0x x     0 00 x x ,x xx x lim f(x) lim f(x)     0 00 x x ,x xx x lim f(x) lim f(x)   0x x lim f(x) L      0 0x x x x lim f(x) lim f(x) L   x 0 lim x sinx 0 21 V1.0018112205 Tính A. 0 B.  C. 2 D. -2 • Đáp án đúng là: -2. • Vì: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 22    2 x 1 x 1 lim x 1                   2 x 1 x 1 x 1 x 1 (x 1)(x 1) lim lim lim (x 1) 2 x 1 (1 x) V1.0018112205 1.3.2. CÁC PHÉP TOÁN VỀ GIỚI HẠN Ta có thể chứng minh được các tính chất sau đây: Định lý: Nếu và (L1, L2 là các số thực) thì Ví dụ: Tìm giới hạn   1 x a lim f(x) L   2 x a lim g(x) L                  1 2 x a 1 2 x a 1 x a 1 2 x a 2 lim f(x) g(x) L L lim f(x)g(x) L L lim kf(x) kL Lf(x) lim (khi L 0) g(x) L        x 0 x 0 x 4 2 1 1 lim lim x 4x 4 2 23 V1.0018112205 1.3.3. VÔ CÙNG BÉ, VÔ CÙNG LỚN a. Khái niệm: Đại lượng f(x) gọi là một vô cùng bé (viết tắt là VCB) khi x  a nếu Ở đây, a có thể là hữu hạn hay vô cùng.  Từ định nghĩa giới hạn của hàm số, ta suy ra rằng nếu: thì f(x)= L + (x), trong đó (x) là một VCB khi x  a  Đại lượng F(x) gọi là một vô cùng lớn (viết tắt là VCL) khi x  a nếu   x a lim f(x) 0.   x a lim f(x) L    x a lim | F(x) | 24 V1.0018112205 1.3.3. VÔ CÙNG BÉ, VÔ CÙNG LỚN (tiếp theo) Ví dụ: Hàm x + x2, sinx là các VCB khi x  0 Hàm x + x2, ex, ln(x2 + 1) là các VCL khi x  + • Chú ý 1:  Một hàm hằng khác không dù nhỏ bao nhiêu cũng không là một VCB khi x  a  Một hàm hằng lớn bao nhiêu cũng không thể là một VCL khi x  a • Chú ý 2:  Nếu f(x) là một VCB khác 0, khi x  a thì là VCL.  Nếu F(x) là một VCL khác 0, khi x  a thì là VCB. 1 f(x) 1 F(x) 25 V1.0018112205 1.3.3. VÔ CÙNG BÉ, VÔ CÙNG LỚN (tiếp theo) b. Tính chất: • Nếu f1(x), f2(x) là hai VCB khi x  a thì f1(x)  f2(x) và f1(x)f2(x) cũng là những VCB khi x  a • Nếu f1(x), f2(x) cùng dấu và là hai VCL khi x  a thì f1(x) + f2(x) cũng là một VCL khi x  a Tích của hai VCL khi x  a cũng là một VCL khi x  a 26 V1.0018112205 1.3.3. VÔ CÙNG BÉ, VÔ CÙNG LỚN (tiếp theo) c. So sánh các vô cùng bé Bậc của các VCB: Định nghĩa: Giả sử (x), (x) là hai VCB khi x  a • Nếu ta nói rằng (x) là VCB bậc cao hơn (x), ký hiệu (x) = o((x)) khi x  a • Nếu ta nói rằng (x) là VCB bậc thấp hơn (x). • Nếu ta nói rằng (x) và (x) là hai VCB cùng bậc. Ví dụ: 1 – cosx và x2 là hai VCB cùng bậc khi x  0.    x a (x) lim 0 (x)     x a (x) lim (x)       x a (x) lim k,k 0, k (x) 27 V1.0018112205 1.3.3. VÔ CÙNG BÉ, VÔ CÙNG LỚN (tiếp theo) d. Các vô cùng bé tương đương thường gặp VCB tương đương Định nghĩa: Hai VCB (x) và (x) khi x  a gọi là tương đương với nhau nếu Kí hiệu: (x) ~ (x) Chú ý: Nếu (x)  0 khi x  a thì sin(x) ~ (x) tan(x) ~ (x) arcsin(x) ~ (x) arctan(x) ~ (x)    x a (x) lim 1 (x) 28 V1.0018112205 1.3.3. VÔ CÙNG BÉ, VÔ CÙNG LỚN (tiếp theo) Một số giới hạn cơ bản         x 0 x 0 x 0 x 0 sinx arcsinx tanx arctanx lim lim lim lim 1 x x x x       x x 0 x 0 e 1 ln(x 1) lim lim 1 x x        x a x 0 x 0 log (x 1)a 1 1 lim lna, lim (0 a 1) x x lna            t1 x x 0 t 1 lim(x 1) e lim 1 t 29 V1.0018112205 1.3.3. VÔ CÙNG BÉ, VÔ CÙNG LỚN (tiếp theo) Ví dụ: Tìm Giải: 30     2xx 0 ln 1 4x lim e 1                  2x 2xx 0 x 0 ln 1 4x ln 1 4x 2x lim lim 2 2 4xe 1 e 1 V1.0018112205 1.3.4. HÀM SỐ LIÊN TỤC • Cho f là một hàm số xác định trong khoảng (a,b), x0 là một điểm thuộc (a,b). Ta nói rằng hàm số f liên tục tại x0 nếu  Nếu hàm số f không liên tục tại x0, ta nói rằng nó gián đoạn tại x0.  Nếu đặt: x = x0 + x, y = f(x) – f(x0) thì đẳng thức có thể viết là hay • Chú ý: Ta cũng có thể nói rằng f liên tục tại x0  (a,b) nếu: Có thể chứng minh được rằng mọi hàm số sơ cấp cơ bản đều liên tục tại những điểm thuộc miền xác định của nó.   0 0 x x lim f(x) f(x ).      0 0 x x lim f(x) f(x ) 0     x 0 lim y 0.    0 0x x x x lim f(x) f( lim x). 31 V1.0018112205 1.3.4. HÀM SỐ LIÊN TỤC (tiếp theo) a. Định nghĩa: Hàm f(x) được gọi là liên tục trong khoảng (a,b) nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó; liên tục trên đoạn [a,b] nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng (a,b) và đồng thời liên tục phải tại a, tức là và liên tục trái tại b, tức là   x a lim f(x) f(a)   x b lim f(x) f(b) 32 V1.0018112205 1.3.4. HÀM SỐ LIÊN TỤC (tiếp theo) b. Các phép toán về hàm liên tục Từ các định lý về giới hạn của tổng, tích, thương và từ định nghĩa của hàm số liên tục tại một điểm, ta có thể suy ra: • Định lý: Nếu f và g là hai hàm số liên tục tại x0 thì f(x) + g(x) liên tục tại x0 f(x).g(x) liên tục tại x0 liên tục tại x0 nếu g(x0)≠0. • Định lý: Nếu hàm số u = (x) liên tục tại x0, hàm số y = f(u) liên tục tại u0 = (x0) thì hàm số hợp liên tục tại x0. f(x) g(x)    y (f )(x) f( (x)) 33 V1.0018112205 1.3.4. HÀM SỐ LIÊN TỤC (tiếp theo) c. Tính chất của hàm số liên tục • Định lý 1: Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a,b] thì nó bị chặn trên đoạn đó, tức là tồn tại hai số m và M sao cho m ≤ f(x) ≤ M x  [a,b] • Định lý 2: Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a,b] thì nó đạt giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của nó trên đoạn ấy, tức là tồn tại hai điểm x1, x2 sao cho: f(x1) = m ≤ f(x) x  [a,b]; f(x2) = M ≥ f(x) x  [a,b] 34 V1.0018112205 1.3.4. HÀM SỐ LIÊN TỤC (tiếp theo) • Định lý 3 (về giá trị trung gian): Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a,b]; m và M là các giá trị nhỏ nhất và lớn nhất trên đoạn đó thì với mọi số  nằm giữa m và M, luôn tồn tại   [a,b] sao cho: f() =  • Hệ quả: Nếu f(x) liên tục trên [a,b], f(a)f(b) < 0 thì trong khoảng (a, b) tồn tại điểm  sao cho: f() = 0 Ví dụ: Chứng minh rằng phương trình x3 + sin(2x – 1) – ax2 + 3 = 0 có ít nhất một nghiệm, với mọi a ℝ 35 V1.0018112205 Đáp án tình huống Ví dụ: Biết hàm cung, cầu của một loại hàng hóa cho bởi 1. Qs , Qd là hàm đồng biến hay nghịch biến? 2. Xác định giá của sản phẩm P theo hàm cung Qs (hoặc hàm cầu Qd). 3. Xác định điểm cân bằng thị trường: người bán bán hết, người tiêu dùng mua đủ, thị trường không có hiện tượng dư thừa hoặc khan hiếm hàng hóa. Bài làm: 1. Hàm cung là hàm nghịch biến, hàm cầu là hàm đồng biến. 2. Các hàm cung, cầu ngược cho bởi P = (Qs + 1) 2, P = 113 – Qd 2. 3. Điểm cân bằng thị trường cho bởi phương trình Qs = Qd, tức là: 36 1 113   s dQ P ; Q P 0 0 1 113 64 7     s dQ Q P P (P ,Q ) ( , ) V1.0018112205 TỔNG KẾT BÀI HỌC Trong bài này chúng ta đã nghiên cứu các vấn đề sau: • Những vấn đề cơ bản về hàm số một biến số. • Dãy số và giới hạn của dãy số. • Giới hạn của hàm số. • Hàm số liên tục. Các anh chị cần làm thành thạo các bài tập về giới hạn. 37