Giáo trình Giải tích hàm nhiều biến - Chương V: Chuỗi - Nguyễn Thị Xuân Anh

CHƯƠNG IV: CHUỖI §1. CHUỖI SỐ 1.CHUỖI SỐ DƯƠNG 2.CHUỖI ĐAN DẤU 3.CHUỖI CÓ DẤU BẤT KỲ §2. CHUỖI LŨY THỪA 1.CHUỖI LŨY THỪA 2.CHUỖI TAYLOR - MACLAURINT CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số Định nghĩa: Cho dãy số {un}. Ta gọi tổng tất cả các số hạng của dãy (TỔNG VÔ HẠN) 1 n n u là chuỗi số Ta gọi: 1. un là số hạng tổng quát của chuỗi 2. Tổng riêng thứ n của chuỗi là tổng n – số hạng đầu tiên : Sn=u1+u2++un 3. Tổng của chuỗi là giới hạn hữu hạn (nếu có) n n S lim S Khi đó, ta nói chuỗi hội tụ. Ngược lại, tức là hoặc không tồn tại giới hạn hoặc giới hạn ra vô tận thì ta nói chuỗi phân kỳ Vậy khi chuỗi hội tụ, chuỗi có tổng 1 limn n nn u S S CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số Ví dụ: Tìm số hạng tổng quát của các chuỗi: 1 3 7 15 ... 2 4 8 16 2 1 2 n n n u 2 3 42 2 2 2 ... 1 1.2 1.2.3 1.2.3.4 2 ! n nu n Ví dụ: Tính số hạng un của các chuỗi 1 2 4 1n n n Tính u5? 5 5 2 7 4.5 1 19 u 1 (2 1)!! ( 1)!n n n Tính u6 6 (2.6 1)!! 11!! 1.3.5.7.9.11 99 (6 1)! 7! 1.2.3.4.5.6.7 48 u CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số Ta bắt đầu từ việc tính tổng riêng thứ n của chuỗi 21 ... nnS q q q , 1 1 , 1 1 n n q q q q Rõ ràng khi q=1, Sn=n thì chuỗi là phân kỳ Khi |q|<1: 1 lim 1 n n S S q qn→0 khi n→∞ nên Tức là chuỗi hội tụ và có tổng là S Dãy {Sn} không có giới hạn → chuỗi phân kỳ Khi |q|>1: Ví dụ: Tính tổng của chuỗi cấp số nhân 0 n n q Vậy chuỗi cấp số nhân 0 n n q hội tụ khi và chỉ khi |q|<1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số Ví dụ: Tính tổng của chuỗi 0 1 1 3 5n nn Áp dụng kết quả ví dụ trên, ta có 0 0 1 1 1 3 ( ) 13 23 1 3 n n n n 0 0 1 1 1 5 ( ) 15 45 1 5 n n n n Vậy: 0 1 1 3 5 1 2 4 43 5n nn CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số Ví dụ: Tính tổng riêng và tổng (nếu có) của 2 1 1 4 1n n Tổng riêng: 1 2 ...n nS u u u Ta có: Tổng của chuỗi: 2 1 1 1 1 ( ) 2 2 1 2 14 1 nu n nn 1 1 1 1 1 1 1 1 2 ... 1 3 3 5 5 7 2 1 2 1 nS n n 1 2 1 2 1 nS n 2 1 1 1 lim 24 1 n nn S S n CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 1 1 ln(1 ) n n Tổng riêng: 1 1 1 ln(1 ) ln(1 ) ln n n n k k S k k k (ln2 ln1) (ln3 ln2) ... (ln( 1) ln )nS n n ln( 1)nS n Ta có: lim lim ln( 1)n n n S S n Vậy chuỗi đã cho phân kỳ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1. Chuỗi số - Tính chất & điều kiện cần của sự hội tụ Điều kiện cần của sự hội tụ : 1 n n uChuỗi hội tụ thì un→0 Ta thường dùng điều kiện này để chứng minh chuỗi số phân kỳ bằng cách chứng minh Ví dụ: Các chuỗi sau phân kỳ theo đkccsht 1 , v? lim lim 1 0 1 1 n n nn n n u n n 1. lim 0 2. lim n n n n u u 1 , v? lim lim 1 0 ( 1) ( 1) nn nn nn n n u n n 1 ( 1) ( 1) , v? lim 1 0 n n nn n n n n CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1. Chuỗi số - Tính chất & điều kiện cần của sự hội tụ Tính chất 1: Tính hội tụ (phân kỳ) của chuỗi không thay đổi nếu ta bỏ đi một số hữu hạn các phần tử của chuỗi. Tức là 2 chuỗi sau cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ 1 v?n n n n p u u Tính chất 2: Cho 2 chuỗi hội tụ 1 1 v?n n n n u Q v P Các chuỗi sau hội tụ với tổng 1 1 , = Qn n n n n u v Q P u Chú ý: Tổng của 1 chuỗi HT và 1 chuỗi PK thì PK CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Khi đó, dãy tổng riêng {Sn} là dãy số không giảm nên chuỗi HT khi và chỉ khi dãy {Sn} bị chặn trên Chuỗi số 1 , 0n n n u u với tất cả các số hạng không âm thì gọi là chuỗi không âm §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Để khảo sát sự hội tụ của chuỗi số dương, chúng ta sẽ sử dụng 1 trong 4 tiêu chuẩn : 1.Tiêu chuẩn tích phân Maulaurint – Cauchy 2.Tiêu chuẩn so sánh 3.Tiêu chuẩn Cauchy 4.Tiêu chuẩn d’Alembert CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Tiêu chuẩn tích phân Maclaurint – Cauchy: Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi Cho hàm f(x)≥0, liên tục và đơn điệu giảm trên [1,∞). Khi ấy, chuỗi 1 ( ) n f n HT khi và chỉ khi tp 1 ( )f x dx HT 1 1 n n * Khi α<0: 1 limn n n u u n Chuỗi PK theo đkccsht * Khi α=0: 1 lim 1 0n n n u n u Chuỗi PK theo đkccsht * Khi α>0: Xét hàm 1 ( )f x x thỏa các điều kiện của tiêu chuẩn tích phân CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Vì tích phân 1 1 dx x hội tụ khi và chỉ khi α>1 nên Chuỗi 1 1 n n Hội tụ khi α>1 và phân kỳ khi α≤1 Ví dụ: Khảo sát sự HT của chuỗi 2 1 (ln )n n n Xét hàm 1 ( ) (ln ) f x x x trên [2,+∞), ta có f(x) không âm, hàm liên tục và khi x tăng thì lnx tăng nên f(x) giảm tức là hàm f(x) thỏa điều kiện của tiêu chuẩn tích phân CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Mặt khác 2 2 (ln ) (ln ) (ln ) dx d x x x x 1 khi 1 1 khi >1 ( 1)(ln2) Vậy chuỗi 2 1 (ln )n n n HT khi β>1 và PK khi β≤1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Tiêu chuẩn so sánh 1: 1 1 v?n n n n u vCho 2 chuỗi số không âm thỏa : n np u v n p Khi ấy: Ghi nhớ: Chuỗi “lớn” HT kéo theo chuỗi “nhỏ” HT và ngược lại chuỗi “nhỏ” PK kéo theo chuỗi “lớn” PK 1 1 1. HT HTn n n n u v 1 1 2. PK PKn n n n v u CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 1 2 3 1 n n n Ta so sánh 2 2 , 3 1 3 n n n nn n u v n Vì 1 1 1 2 2 2 , 3 33 nn n n n n n q q là chuỗi hội tụ Suy ra chuỗi đã cho hội tụ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Tiêu chuẩn so sánh 2: Khi ấy: 1 1 v?n n n n u vCho 2 chuỗi số không âm thỏa lim n n n u K v 1. Nếu K=∞ thì 1 1 HT HTn n n n u v 2. Nếu 0<K<∞ thì 2 chuỗi cùng HT hoặc cùng PK 3. Nếu K=0 thì 1 1 HT HTn n n n v u CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Khi dùng tiêu chuẩn so sánh, thường xuyên ta sẽ so sánh với 1 trong 2 chuỗi cơ bản sau Chuỗi cấp số nhân: 0 1 , 1 1 n n q q q1 n n q Hội tụ khi |q|<1 Phân kỳ khi |q|≥1 Chuỗi điều hòa : 1 1 n n Hội tụ khi α>1 Phân kỳ khi α≤1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 2 3 1 2 2 1n n n n n Ta dùng T/c so sánh 2 bằng cách tính khi n→∞ Khi n→∞ thì 2 3 2 2 1 1 n n n n u v nn n Tức là lim 1n n n u v Mà 1 1 1 n n n v n là chuỗi phân kỳ (hai chuỗi cùng HT hoặc cùng PK) Vậy chuỗi đã cho phân kỳ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 2 1 1 1 n n n nn Khi n→∞ thì 2 2 1 1 1 . n n n n u e v nn n Mà chuỗi 2 1 1 1 .n n n v e n hội tụ Theo tiêu chuẩn so sánh 2 ta được kết quả: Chuỗi đã cho HT CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 1 1 2 1 ln 1 1n n n n Ta có : 1 2 1 1 3 ln ln 2(1 1 1 1 2( 1) n n u n n n n 1 3 ln2 1 3 ln2 ln(1 ) ln(1 ) 1 2( 1) 1 1 2( 1) nu n n n n n 2 1 3 1 3 3 : ln(1+ ) . 1 2( 1) 1 2( 1) 2( 1) n n n n n n Do Nên theo t/c so sánh 2: chuỗi đã cho PK vì nó là tổng của 2 chuỗi 2 2 ln2 1 3 PK v? ln(1 ) HT 1 2 2( 1)n nn n n CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 1 1 1 sin n n n Khi n→∞ thì 1 0 n Nên ta có thể khai triển Maclaurint hàm 1 sin n Vậy khi n→∞ thì 1 1 sinnu n n Mà chuỗi Nên chuỗi đã cho HT 3 3 1 1 1 1 1 ( ) 3! n O n n n 2 1 6n 2 1 1 6n n HT CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 2 3 2 1 ln 1 n n n e n nn            Khi n →∞ : 2 2 1 0n n e e Suy ra 2 2 3 3 1 1 ln( ) ln(1 ) 1 1 n n n n e n n e u n nn n 2 3 3 3 1 1 1 ln(1 ) 1 n n n e n u n nn n n Mà chuỗi 3 1 1 n n phân kỳ nên chuỗi đã cho phân kỳ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Xét chuỗi số dương: Tiêu chuẩn d’Alembert : Đặt : •  q < 1: Dn < q : chuỗi hội tụ • Dn  1 : chuỗi phân kỳ • D < 1 : hội tụ • D > 1 : phân kỳ • D = 1 : không có kết luận 1 n n u 1n n n u D u  1lim lim nn n n n u D D u      CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Tiêu chuẩn Cauchy : Xét chuỗi số dương: 1 n n u •  q < 1: Cn < q : chuỗi hội tụ • Cn  1 : chuỗi phân kỳ Đặt : • C < 1 : hội tụ • C > 1 : phân kỳ • C = 1 : không có kết luận n n nC u lim lim nn n n n C C u     CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Tiêu chuẩn Rapb : (sử dụng khi D = 1 và Dn < 1 hoặc C=1 và Cn<1) • R > 1 : hội tụ • R < 1 : phân kỳ • R = 1 : không có kết luận Hoặc 11 lim n n n n n u R n u R R            1 lim n n n n n R n u R R     Đặt CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi sau: 2 4 1 ( 1) 1 1 ln 1 (2 1)! 1/ 4 1 2 / (2 1)!! 3 / (2 )!!(2 1) 4 / , 0 n n n n n n n n n n n n n n a a CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm 2 4 1 (2 1)! 1/ 4n n n 12 4 2 4 (2 1)! (2( 1) 1)! 4 4 ( 1) n n n n u u n n 2 4 1 2 4 (2 3)! 4 . (2 1)!4 ( 1) n n u n n u nn 4 4 (2 2)(2 3) ( 1) n n n n 1lim n n n u u Chuỗi PK theo tiêu chuẩn d’Alembert CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm ( 1) 1 1 2 / n n n n n ( 1) ( 1) 1 1 n n n n n n n n u u n n ( 1) ( 1) 1 1 1 1 1 (1 ) 1 n n n n n n n n lim u lim lim n e n Vậy chuỗi HT theo tiêu chuẩn Cauchy CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 2 1 (2 1)!! 1 (2 1)(2 2)!! 2 3 (2 1)!! 1 (2 2).(2 3) (2 )!! 2 1 n n n n a nn n D na n n n n             1& lim 1n n n D D    không dùng tc D’A được   2(2 1) 1 1 (2 2)(2 3) n n n R n D n n n           1 (2 1)!! 1 ( 3 2 )!! 2 / 1n n n n      §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 6 5 (2 2)(2 3) n n n n       2(2 1) 1 1 (2 2)(2 3) n n n R n D n n n           3 lim 1 2 n n R    chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Rapb §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt (Ta không dùng được tiêu chuẩn Cauchy, d’Alembert) Biến đổi ln ln ln lnn n a aa e n     Suy ra chuỗi đã cho là chuỗi điều hòa ln 1 1 a n n    §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm ln 1 4 / , 0n n aa     ln ln n n n n nC a a    0lim 1n n C avà 1ln( 1) ln 1 ln ln( 1) 1 ln n n n n n n a D a a a             và 0lim 1n n D a Chuỗi HT khi và chỉ khi lna>1 ↔ a>e CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1. Chuỗi số - Chuỗi đan dấu Chuỗi số gọi là chuỗi đan dấu 1 2 3 1 ( 1) ... ( 1) ..., ,n nn n n n u u u u u u n n Tiêu chuẩn Leibnitz : 1 0lim n n n n u u u Nếu thì chuỗi 1 ( 1)n n n u hội tụ Khi ấy, ta gọi chuỗi đó là chuỗi Leibnitz và tổng S của chuỗi thỏa 0≤S≤u1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1. Chuỗi số - Chuỗi đan dấu Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 1/Ta có : 1 nu n đơn điệu giảm và dần về 0 Nên chuỗi đã cho là chuỗi Leibnitz 1 2 ( 1) 1/ ( 1) 2 / 1 nn n nn n n n n 2/ 1 n n u n đơn điệu giảm và dần về 0 Nên chuỗi đã cho là chuỗi Leibnitz CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1. Chuỗi số - Chuỗi đan dấu Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 1 ( 1) ( 1) n n n n Số hạng tổng quát của chuỗi ( 1) ( 1) n n n u n không thể viết được dưới dạng ( 1) , 0 n n nv v Tức là chuỗi trên không là chuỗi đan dấu Ta có 2 ( 1) ( 1) ( ( 1) ) ( 1) 1 1 1( 1) ( 1) n n n n n n n n n u n nn n CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1. Chuỗi số - Chuỗi đan dấu Vậy chuỗi đã cho là chuỗi PK vì là tổng của 1 chuỗi HT và 1 chuỗi PK Chuỗi là chuỗi đan dấu hội tụ 1 ( 1) 1 n n n n Chuỗi là chuỗi số dương phân kỳ 2 1 1n n CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1. Chuỗi số - Chuỗi đan dấu Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 1 ( 1) ln n n n n Chuỗi đan dấu với 1 ln nu n n Để khảo sát sự đơn điệu của dãy un ta đặt 1 ( ) ln f x x x Tức là hàm f(x) cũng là dãy {un} đơn điệu giảm và dần về 0. Vậy chuỗi đã cho HT theo Leibnitz 2 1 ( ) 0, 1 ( ln ) x f x x x x x CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1. Chuỗi số - Chuỗi có dấu bất kỳ Tiêu chuẩn hội tụ tuyệt đối: Nếu chuỗi 1 | |n n u hội tụ Khi đó: 1 1 | |n n n n u u Và ta gọi chuỗi 1 n n u là chuỗi hội tụ tuyệt đối Thì chuỗi hội tụ 1 n n u CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1. Chuỗi số - Chuỗi có dấu bất kỳ không suy ra chuỗi 1 | |n n u hội tụ Chú ý 1: Điều ngược lại không đúng, tức là chuỗi 1 n n u Khi chuỗi 1 n n u HT và chuỗi 1 | |n n u PK thì ta gọi chuỗi 1 n n u là chuỗi bán hội tụ Chú ý 2: Nếu dùng tiêu chuẩn Cauchy hoặc d’Alembert mà biết được chuỗi cũng PK 1 | |n n u PK thì chuỗi 1 n n u CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1. Chuỗi số - Chuỗi có dấu bất kỳ Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi sau: 1/ Xét 1 1 tan sinnu n n 32 1 1 1 , khi n n n n Chuỗi 3 1 2 1 n n HT, suy ra chuỗi đã cho HTTĐ 1 2 1 1 1 1/ ( 1) tan sin sin 2 / 3 n n n n n n n 2/ Xét 2sin 1 1 33 3 n n n n n u → chuỗi đã cho HTTĐ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1. Chuỗi số - Chuỗi có dấu bất kỳ Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 2 1 1 ( 1) 2 1 n n n n Rõ ràng dãy {un} đơn điệu giảm và dần về 0 nên chuỗi HT theo t/c Leibnitz 1. Chuỗi đã cho là chuỗi đan dấu với 2 1 2 1 n n u n 2. Mặt khác, coi đó là chuỗi có dấu bất kỳ thì 2 1 | | 2 1 n n u n 1 , khi n 2n Tức là chuỗi 2 1 1 1 | | 2 1 n n n n u n PK Vậy chuỗi đã cho chuỗi bán HT CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1. Chuỗi số - Chuỗi có dấu bất kỳ Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 2 1 ( 1) 1 2 nn n n n n Ta có 2 lim lim 1 1 2 n nn n n n n n u n lim 1 1 1 1 2 2 n n e n Vậy chuỗi 1 n n u PK theo t/c Cauchy nên chuỗi đã cho cũng PK CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1. Chuỗi số - Chuỗi có dấu bất kỳ Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 2 arcsin( 1) ( 1)( 1) n n n n n Vì , 2 2 arcsin( 1) , 2 1 2 n n k n k Nên 3 2 1 khi n 22 ( 1)( 1) nu n n n n Vậy chuỗi đã cho HTTĐ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1. Chuỗi số - Chuỗi có dấu bất kỳ Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 2 1 2 1 1 1 , u , 3 2 3 1 n n n n u u n n Ta đi tính tổng riêng thứ 2n của chuỗi 2 1 2 2 1 2...n n nS u u u u 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 5 2 8 5 3 1 3 4 3 2 3 1 nS n n n n 2 1 2 3 4 2 3 2 2 2 1 2( ) ( ) ... ( ) ( )n n n n nS u u u u u u u u 2 1 1 2 3 2 nS n 1 2 n Và 2 1 2 2 1n n nS S u 1 2 n Chuỗi HT lim 1 2 n n S SVậy tổng của chuỗi CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2. Chuỗi lũy thừa – Miền hội tụ Chuỗi lũy thừa là chuỗi có dạng Số hạng tổng quát un(x)=an(x-x0) n (1) hoặc un(x)=anx n (2) phụ thuộc vào n và biến x, là 1 hàm lũy thừa theo x hoặc (x-x0). 0 0 0 ( ) hay n nn n n n a x x a x a0, a1, a2, .. là hằng số Ta có thể đặt X=x-x0 và đưa dạng (1) về thành dạng (2) nên ta chỉ viết các kết quả sau đây với số hạng tổng quát dạng (2) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2. Chuỗi lũy thừa – Miền hội tụ Miền HT của chuỗi lũy thừa 1 n n n a x là tập D nếu 0x x D chuỗi số 0 1 n n n a x HT Ví dụ: Chuỗi 0 n n x Là chuỗi cấp số nhân nên HT khi và chỉ khi |x|<1 Suy ra MHT của chuỗi là (-1,1) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ: Tìm MHT của chuỗi 2 1 1 1 nn x §2. Chuỗi lũy thừa – Miền hội tụ 2 1 ( ) 1 n n u x x xác định với mọi x Khi |x|<1: Cho n 2 0nxta được Khi |x|=1: chuỗi PK theo đkcssht lim 1n n u 2 11, , 2 n n x n u n Chuỗi PK Khi |x|>1: Chuỗi HT vì |x|>1 Vậy MHT là (-∞,-1)U(1,+ ∞) nCho 2 2 2 1 1 1 1 ( ) | | n n n n u x x x CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT Tổng quát: giả sử chuỗi lũy thừa 1 n n n a x HT tại x=x0, 0lim 0 n n n a x 0 0 : ,n n M a x M n Nếu |x|<|x0| thì chuỗi 1 n n v HT Suy ra chuỗi ban đầu HTTĐ theo t/c so sánh. Vậy ta chứng minh xong định lý Abel sau đây. tức là chuỗi số 0 1 n n n a x HT. Theo đkccsht ta được Biến đổi số hạng tổng quát của chuỗi: 0 0 0 0 0 n n n n n n n n n x x x a x a x a x M x x x , n v n CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT Định lý Abel : Nếu chuỗi lũy thừa 1 n n n a x HT tại 0 0x thì nó HTTĐ tại mọi điểm 0 0 ( | |,| |)x x x thì nó PK với mọi x thỏa |x|>|x1| Bán kính hội tụ (BKHT): 1 n n n a x HT với mọi x: |x|0 sao cho chuỗi Hệ quả: Nếu chuỗi 1 n n n a x PK tại x1 PK với mọi x: |x|>R được gọi là BKHT của chuỗi CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT Cách tìm BKHT của chuỗi lũy thừa Đặt: Thì BKHT là 1 R Cách tìm MHT của chuỗi lũy thừa Sau khi tìm xong BKHT, ta chỉ còn xét sự HT của chuỗi tại 2 điểm x=R và x=-R nữa là có kết luận 1 lim | | | | lim | | n n n n n n a a a CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT Ví dụ: Tìm BKHT, MHT của các chuỗi sau 2 1 1 1. ( ) 2. 2 . n n n n n x nx n 1. Với chuỗi lũy thừa này, ta đang có an=n n: lim lim| |n n n n a n 0R BKHT R=0 tức là MHT chỉ gồm 1 điểm duy nhất {0} 2. 2 1 2 . n n a n 2R Khi x=2: 2 1 1 n n là chuỗi số dương HT Khi x=-2: 2 1 ( 1)n n n là chuỗi HTTĐ Vậy MHT [-2,2] 2lim lim 1 1 | | 22 . n n n n n n a n CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT Ví dụ: Tìm BKHT, MHT của các chuỗi: 1. Chuỗi lũy thừa với 1 3 5 n n n a → R=5 Khi x=± 5: Là 2 chuỗi PK theo đkccsht 1 ( 5) 3 5 n n n n BKHT R=5, MHT là (-5,5) Chú ý: Khi chuỗi số dương PK theo đkccsht thì chuỗi đan dấu tương ứng cũng PK theo đkccsht 2 1 1 1 1 1 1. 2. ( 1) 2 13 5 ( 1)! ! 3. 4. 5 nn n n n n n n n n n n n x n x n n x n n x lim lim 1 1 | | 53 5 n n n n n n n a CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT 2. Chuỗi lũy thừa với → R=2 Ta chỉ xét X=2: 1 1 2 2 1 n n n n n Chuỗi PK theo đkccsht vì 3 2 1 2 1 33 2 2 2 3 1 0 2 1 2 1 nn nn n n u n e n n Suy ra, chuỗi đã cho HT khi Vậy BKHT R=2, MHT: (1-√2, 1+√2) 1 1 lim | | lim 2 1 2 n n n n n n n a n 21 , ( 1) 0 2 1 n n n a X x n 20 2 0 ( 1) 2 1 2 1 2X x x CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT 3. Chuỗi lũy thừa với → R=0 Vậy BKHT R=0, MHT là {0} ( 1)! 5 n n n a 1 1 | | ! 5 lim lim . lim | | ( 1)! 55 n n nn n nn a n n a n CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT 4. Chuỗi lũy thừa với ! 1 ,n n n a X xn → R=e Khi X=e: 1 ! n n n n e n 1 ! | | ( 1)! 1 lim lim . lim | | ! 1( 1) nn n nn n nn a n n n a n n en 1 1 1 ( 1)! . 1 ( 1) ! 11 n n n n n n n n u n e n e D n u n n e n Tuy nhiên, vì 1 1 1 1 1 , n n e n n n Nên Dn<1. Vậy chuỗi PK theo t/c d’Alembert CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT 4. Chuỗi lũy thừa với ! 1 ,n n n a X xn , R=e Khi X=-e: 1 1 ! ! ( ) ( 1)n n n n n n n n n e e n n Chuỗi trị tuyệt đối PK theo tiêu chuẩn d’A nên nó cũng PK Suy ra, chuỗi đã cho HT khi Vậy BKHT R=e, MHT (-∞,-1/e)U( 1/e,+ ∞) 1 1 1 1 x e X e e x x e x e CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2. Chuỗi lũy thừa – Tính tổng chuỗi Tính chất của chuỗi lũy thừa: Cho chuỗi (1) với BKHT là R, MHT là D và trong D có tổng là S(x) Ta có các kết luận sau: 1 (1)nn n a x 2.Trong MHT D, ta có thể lấy đạo hàm từng số hạng của chuỗi và được chuỗi lũy thừa cũng có BKHT là R 1. Hàm S(x) liên tục trong MHT D 3.Trong MHT D, ta có thể lấy tích phân từng số hạng của chuỗi và được chuỗi lũy thừa cũng có BKHT là R 1 1 1 1 ( ) ( ) , ( , )n n nn n n n n n S x a x a x a nx x R R 1 1 1 10 0 0 ( ) , ( , ) 1 nx x x n n n n n n n n x S t dt a t dt a t dt a x R R n CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2. Chuỗi lũy thừa – Tính tổng chuỗi Ví dụ: Tìm BKHT và tính tổng các chuỗi sau 1. Chuỗi có 1 na n Dễ dàng suy ra R=1. Ta tính tổng với x trong khoảng (-1,1). Đặt 1 ( ) n n x S x n 1 1 1 1 ( ) , ( 1,1) 1 n n n n x S x x x n x 0 1 ( ) ln(1 ), ( 1,1) 1 x S x dt x x t Vậy: 1 1 2 1 2 1 1 1. 2. 3. ( 1) 2 4. n n n n n n n n n x nx n x nx n n CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2. Chuỗi lũy thừa – Tính tổng chuỗi 2. Dễ dàng thấy R=1, ( 1,1)x ta đặt 1 1 1 ( ) n n n n S x nx x nx 1 ( ) n n S x x x 1 1 x x x 2 (1 ) ( 1) (1 ) x x x x 2 ( ) , ( 1,1) (1 ) x S x x x CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2. Chuỗi lũy thừa – Tính tổng chuỗi 3. Dễ dàng thấy R=1, ( 1,1)x ta đặt 2 1 1 ( ) ( 1) 2n n n S x nx 2 1 ( 1)n n n x 2 1 ( )n n x 2 2 1 ( ) 1 ( ) x x 2 2 2 2 2 (1 ) .2 (1 ) x x x x x Vậy: 2 2 2 ( ) , ( 1,1) (1 ) x S x x x CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2. Chuỗi lũy thừa – Tính tổng chuỗi 4. Dễ dàng thấy R=1, ( 1,1)x ta đặt 1 1 1 ( ) 1 n n n n x x x S x n x n Sử dụng kết quả câu 1. Vậy : 1 ( ) ln(1 ) ln(1 )S x x x x x 1 ( ) ln(1 ) 1 1, ( 1,1)S x x x x 2 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 1 n n n n n n n n x x x S x x n n n nn n 1 1 1 1 ( ) 1 n n n n x x S x n x n CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint Cho hàm f(x) khả vi vô hạn lần trong lân cận của x0 Ta gọi chuỗi Taylor của f(x) là chuỗi ( ) 0 0 0 ( ) ( ) ! n n n f x x x n Khi x0=0, ta được chuỗi Maclaurint của hàm ( ) 0 (0) ! n n n f x n Tuy nhiên, các chuỗi trên chưa chắc đã HT với mọi x, tức là chưa chắc chúng đã có tổng để tổng có thể bằng f(x). CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint Định lý: (Điều kiện để hàm f(x) có thể khai triển thành chuỗi Taylor) Giả sử trong lân cận (x0-R,x0+R), hàm f(x) thỏa 1. f(x) khả vi vô hạn lần 2. Tồn tại hằng số C>0: |f(n)(x)|≤Cn, với mọi n thì ( ) 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) , ( , ) ! n n n f x f x x x x x R x R n Chú ý: Trong khi làm bài, ta sẽ không kiểm tra 2 điều kiện trên để có chuỗi Taylor của hàm f(x) mà ta sẽ sử dụng các kết quả sau đây để chỉ ra MHT của chuỗi Taylor - Maclaurint CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint Một số chuỗi Maclaurint cơ bản  1,1D   0 1 2 / , 1 n n x x      0 1 ( 1) , 1 n n n x x         1 ( 1)...( 1) 3 / 1 1 ! n n n x x n                   , 1,1 , 0 1,1 , 1 0 1,1 , 1 R N D                   0 1/ , ! n x n x e n    D RM H T:  CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint 1 1 4 / ln(1 ) ( 1) , n n n x x n        1,1D   2 1 0 2 0 5 / sin ( 1) (2 1)! cos ( 1) (2 )! n n n n n n x x n x x n             D R   2 1 0 6 / arctan ( 1) , 2 1 1,1 n n n D x x n         CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint Ví dụ: Tìm chuỗi Maclaurint các hàm: 2 2 1. ( ) 2. ( ) ln(2 - 3 ) 5 6 x f x f x x x x x 1. 2 1 1 ( ) 3 25 6 x f x x x xx x 1 1 1 1 3 2 1 1 3 2 x x x 0 0 1 1 3 3 2 2 n n n n x x x Vậy: Chuỗi HT nếu 1 1 v? 1 1 3 2 x x ↔ -2<x<2 MHT: (-2,2) 1 1 1 0 1 1 ( ) 2 3 n n n n f x x CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint 2. f(x)=ln(2-3x+x2) = ln((1-x)(2-x)) = ln(1-x) + ln(2-x) ( ) ln(1 ( )) ln2 ln(1 ( )) 2 x f x x MHT: (-1,1) 1 1 1 1 1 1 2 x xxChuỗi HT nếu 1 1 1 1 ( 1) ( 1) ( ) ln2 ( ) 2 nn n n n n x f x x n n 1 1 1 ( ) ln2 1 2 n n n f x x n CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint Ví dụ: Tìm chuỗi Maclaurint hàm: 2( ) ln 1f x x x Ta tính Tìm chuỗi Maclaurint của hàm f’(x): 2 4 2 1 1 1 1 2 2 ( ) 1 2 2! 1 1 1 1 1 2 2 2 ! n f x x x n x n                                      1 2 2 2 2 2 1 11( ) 1 1 1 x xf x x x x x           CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 21 1.3.5...(2 1) ( ) 1 ( 1) 2 ! n n n n n f x x n        §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint Hàm khai triển được nếu 20 1 1 1x x      0 ( ) ( ) (0) x f x f t dt f Suy ra: 1 1x  MHT :  2 2 1 1 1.3.5...(2 1) ln 1 ( 1) 2 !(2 1) n n n n n x x x x n n            CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint Ví dụ: Tìm chuỗi Taylor ở lân cận x0=3 của hàm 1 ( ) 1 f x x Đặt X=x-3 1 1 2 ( ) 32 ( 3) 2 1 2 f x xx MHT: (1,5) 0 1 3 ( 1) 2 2 n n n x 1 0 ( 1) ( ) ( 3) 2 n n n n f x x CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint Ngoài việc áp dụng khai triển các hàm cơ bản thành chuỗi Maclaurint vào việc tìm chuỗi Taylor , chuỗi Maclaurint các hàm bình thường. Ta còn có thể áp dụng để tính tổng các chuỗi lũy thừa, chuỗi số Ví dụ: Tính tổng của chuỗi lũy thừa 0 ( ) , ( 1,1) ( 1) n n x x n n Chuỗi trên là chuỗi lũy thừa với ( 1) ( 1) n na n n Nên dễ thấy BKHT R=1, tức là với -1<x<1 ta đặt 0 ( ) ( ) ( 1) n n x S x n n CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint 1 1 0 0 ( 1) 1 ( 1) ( 1) 1 n n n n n n x x n x n 1 1 0 ( 1) 1 ( 1) ( 1) 1 n n n n n x x n x n 0 1 1 ( ) ( 1) 1 n n n S x x n n 1 0 1 ( 1) ( 1)ln(1 ) 1 n n n x x x n 1 ( 1)ln(1 ) ln(1 ) 1x x x 0 ( ) 1 1 1 1 ln , x (-1,1) ( 1) 1 n n x n n x x x Vậy: CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint Ví dụ: Tính tổng của chuỗi 1 1 1 (2 )!! n n n x n 1 1 1 1 1 . (2 )!! 2.4.6...(2 ) n n n n n n x x x n n 1 . 2 . ! n n n n n x x x n 1 1 1 ! 2 ! 2 n n n n n x x x n n 1 1 1 1 1 2 ( 1)! 2 ! 2 n n n n x x x x n n 2 0 0 1 1 1 2 ! 2 ! 2 n n n n x x x x n n CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint 1 1 1 (2 )!! n n n x n 2 2 2( 1) 2 x xx e x e 2 2 , x 2 xx x e x CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint Ví dụ: Sử dụng khai triển Maclaurint hàm dưới dấu tích phân bằng chuỗi, tính tích phân 1 0 1 ln 1 I dx x 1 1 1 ( ) ln ln(1 ) ( 1) 1 n n n x x x n 1 10 ( ) ( 1) n n n x I dx n 1 1 0 ( 1) ( ) n n n x dx n 1 1 1 1n n n Ta có: Thay vào tích phân trên Ta tính tổng của chuỗi số bằng định nghĩa Tổng riêng : Sn = u1+u2++un và tổng S CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 2 2 3 3 4 1 nS n n 1 1 -1 1 nS n n 1 0 1 ln 1 1 I dx x Vậy CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint Ví dụ: Tính tổng các chuỗi số sau 1. 5e 2. 2 1 2 1 1 2 2.2 (2 )!! 2.4.6...(2 ) n n n nn n 2 1 2.2 2 ! n n n n 1 2 2 ! n n n 0 2 2 1 ! n n n 22( 1)e 1 0 1 2 1 1 3 1 1 1 .5 ( 2) 1. 3. ! ( 2)7 2 ( 1) .2.5.8...(3 4) 2. 4. (2 )!! 2 . ! n n n n n n n n n n n n n n n n n 1 0 1 .5 5 0 5 ! ( 1)! n n n n n n n 0 5 5 ! n n n CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint 3. 1 1 1 ( 2) ( 1) 2 1 1 1 2 2( 2).7 7.7 n n n n n n n n nn n 1 1 2 1 1 ( 1) 14 7 2 n n n n n 2 21 1 1 1 1 ( 1) 2 1 ( 1)( 1) 2 7 14 7 14 2 7 2 n nn n n nn n 21 1 1 2 1 49 ( 1) 2 2 1 2 ln(1 ) 14 7 14 4 7 7 2 7 nn n n 1 1 ( 2) 45 9 3 ln 56 7 14( 2).7 n n n n n CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint 4. 1 3 1 1 ( 1) .2.5.8...(3 4) 2 . ! n n n n n 1 3 1 1 1 1 1 .( 1)( 2)...( ( 1)).3 3 3 3 3 2 .2 . ! n n n n n 1 1 1 1 1 .( 1)( 2)...( ( 1)) 33 3 3 32 ! 8 n n n n 1 3 33 3 11 2 1 1 2 2 11 2 8 8 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt