Giáo trình Giải tích hàm nhiều biến - Chương III: Tích phân đường - Nguyễn Thị Xuân Anh

CHƯƠNG III: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG §1: THAM SỐ HÓA ĐƯỜNG CONG §2: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 1 §3: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1: Tham số hóa đường cong 1. Đường cong trong mặt phẳng: thường được cho bằng 2 cách Trường hợp đặc biệt: Có 2 trường hợp cos sin x a R t y b R t a. Cho bởi pt tham số ( ) ( ) x x t y y t ( ) x t y f t b. Cho bởi pt y=y(x): Ta thường đặt x=t thì pt tham số sẽ là a. Viết phương trình tham số của đường tròn (x-a)2+(y-b)2=R2 ta sẽ đặt CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1: Tham số hóa đường cong b. Viết phương trình tham số của đường ellipse 2 2 2 2 1 x y a b 2. Đường cong trong không gian: thường được cho bằng 2 cách a. Được cho sẵn bởi phương trình tham số ( ) ( ) ( ) x x t y y t z z t Ta sẽ đặt : cos sin x ar y br CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1: Tham số hóa đường cong b. Cho là giao tuyến của 2 mặt cong: ( , , ) 0 ( , , ) 0 f x y z g x y z Khi đó, thông thường ta sẽ đặt 1 trong 3 biến bằng t, thay vào 2 phương trình trên để được hpt với 2 pt và 2 ẩn là 2 biến còn lại. Giải hpt đó theo tham số t, ta sẽ ra 2 biến còn lại cũng tính theo t CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1: Tham số hóa đường cong Ví dụ 1: Viết phương trình tham số đường cong C là giao tuyến của x2+y2=z2 và ax=y2 (z≥0) Ta đặt y=t thì 22 2 2 2 2 2 2 1 0 1 ( ) x tx y z a ax y y t z z t t a a Ví dụ 2: Viết phương trình tham số đường cong C là giao tuyến của x2=y và x=z (x≥0) 2 2 x t y x y t x z z t Ta đặt x=t thì CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1: Tham số hóa đường cong Tuy nhiên, trong một số trường hợp thông thường hay gặp, ta sẽ có cách tham số hóa từng đường cong cụ thể tùy vào những điểm đặc biệt của chúng Ví dụ 3: Viết pt tham số của 2 đường cong C1, C2 là giao tuyến của x2+y2+z2=2, z2=x2+y2 Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 x y z x y zz x y Tức là C1, C2 vừa là giao tuyến của mặt cầu và mặt nón vừa là giao tuyến của mặt trụ với 2 mặt phẳng. Nói cách khác: C1, C2 là 2 đường tròn đơn vị nằm trên 2 mp đối xứng nhau qua mp z=0. CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1: Tham số hóa đường cong Khi đó, ta đặt x=cost thì suy ra y=sint. Vậy pt tham số của C là sin cos 1 x t y t z CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1: Tham số hóa đường cong Ví dụ 4: Viết phương trình tham số của đường cong C: x2+y2+z2=a2, x=y Thay x=y vào phương trình mặt cầu 2 2 2 2 2 2 2 cos2 2 sin a x y tx y z a x z a x y x y z a t Ta được: 2x2+z2=a2 , là pt của đường ellipse. Tức là C là đường ellipse 2x2+z2=a2 trên mp x=y Đặt 2x2=a2cos2t thì suy ra z2=a2sin2t. Vậy ta được: CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1: Tham số hóa đường cong Ví dụ 5: Viết phương trình tham số của đường cong C: x2+y2+z2=4 và x2+y2=2x lấy phần ứng với z dương Từ pt mặt trụ : x2+y2=2x ↔ (x-1)2+y2=1 Ta đặt x-1=cost, suy ra y=sint và thay vào pt mặt cầu 1 cos sin 4 2(1 cos ) x t y t z t 2 2 2 2 2 4 2 x y z x y x CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1: Tham số hóa đường cong Ví dụ 6: Viết phương trình tham số của đường cong C: x2+y2+z2=6z và z=3-x Ta viết lại pt mặt cầu : x2+y2+(3-z)2=9 Thay 3-z=x vào để được C là đường ellipse 2x2+y2=9 trên mp x=3-z Đặt 2x2=3cos2t, thì y2=3sin2t Vậy: 3 cos 2 3sin 3 3 cos 2 x t y t z t 2 2 2 2 26 2 9 3 3 x y z z x y z x z x CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1: Tham số hóa đường cong Ví dụ 7: Viết phương trình tham số của đường cong C: x2+y2+z2=2 và x+y+z=0 Thay z=-(x+y) từ pt mặt phẳng vào pt mặt cầu: x2+y2+(x+y)2=2 ↔ x2+y2+xy=1 22 1 3 1 2 2 x y y Do đó, ta được 22 2 2 2 1 cos 2 1 3 12 3 sin2 2 20 x y t x y yx y z y t x y z z x y z x y Vậy pt tham số của C là 1 2 1cos sin , sin , cos sin 3 3 3 x t t y t z t t CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2: Tích phân đường loại 1 Định nghĩa: Cho hàm f(x,y) xác định trên cung AB. A B Chia cung AB thành n phần tùy ý bởi các điểm chia A=A0, A1, A2, An=B An Ak+1 Ak A0 A1 Trên mỗi cung nhỏ AkAk+1 có độ dài là Δlk lấy 1 điểm Mk(xk,yk) bất kỳ Mk xk yk Cho max Δlk → 0, nếu Sn có giới hạn hữu hạn không phụ thuộc cách chia cung AB và cách lấy điểm Mk thì giới hạn đó được gọi là tp đường loại 1 của hàm f(x,y) dọc cung AB Lập tổng 0 ( , ) n n k k k k S f x y l CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2: Tích phân đường loại 1 Và kí hiệu là max 0 ( , ) lim k n l AB f x y dl S Định nghĩa tương tự cho tp đường loại 1 của hàm 3 biến f(x,y,z) Khi đó, ta nói hàm f(x,y) khả tích trên cung AB Điều kiện khả tích: Hàm f(x,y) liên tục dọc cung trơn từng khúc AB thì khả tích trên cung AB Cung AB có pt tham số x=x(t), y=y(t), a≤t≤b được gọi là trơn nếu các đạo hàm x’(t), y’(t) tồn tại, liên tục và không đồng thời bằng 0 trên đoạn [a,b] và gọi là trơn từng khúc nếu nó có thể chia thành 1 số hữu hạn các cung trơn Từ định nghĩa, ta suy ra cách tính độ dài cung AB AB AB L dl CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2: Tích phân đường loại 1 Các tính chất: Các hàm f, g khả tích trên cung AB Tính chất 1: TP đường loại 1 không phụ thuộc vào hướng của đường lấy tp, tức là ( , ) ( , ) AB BA f x y dl f x y dl Tính chất 2: Với λ, μ là các hằng số thì λf+ μg cũng khả tích trên AB và ( ) AB AB AB f g dl fdl gdl Tính chất 3: Cho C là điểm bất kỳ trên cung AB thì AB AC CB fdl fdl fdl CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2: Tích phân đường loại 1 Tính chất 4: Nếu f ≥0 trên cung AB thì 0 AB fdl Tính chất 5: AB AB fdl f dl Tính chất 6: Tồn tại điểm M thuộc cung AB sao cho 1 ( ) AB AB fdl f M L Trong đó, LAB là độ dài cung AB. Ta gọi f(M) là giá trị trung bình của hàm f trên cung AB CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2: Tích phân đường loại 1 Ta chia thành 3 trường hợp nếu cung AB trong mp Oxy: TH1: Cung AB có pt y=y(x), x1≤x≤x2 thì 2 1 2( , ) ( , ( )) 1 x x AB x f x y dl f x y x y dx TH2: Cung AB có pt x=x(t), y=y(t), t1≤t≤t2 thì 2 1 2 2( , ) ( ( ), ( )) t t t AB t f x y dl f x t y t x y dt TH3: Cung AB có pt r=r(φ), φ1≤φ≤ φ2 thì : 2 1 2 2( , ) ( ( )cos , ( )sin ) ( ) ( ) AB f x y dl f r r r r d CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2: Tích phân đường loại 1 Nếu AB là cung trong không gian có pt tham số 1 2 ( ) ( ) ( ), x x t y y t z z t t t t Thì 2 1 2 2 2( , , ) ( ( ), ( ), ( )) ( ) ( ) ( ) t AB t f x y z dl f x t y t z t x t y t z t dt CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2: Tích phân đường loại 1 Ví dụ 1: Tính tích phân đường loại 1 trên biên của ΔABC với A(1,1), B(3,3), C(1,5) của hàm f(x,y)=x+y Biên của ΔABC gồm 3 đoạn AB: y=x, 1≤x ≤3, BC: y=6-x, 1≤x ≤3, CA: x=1, 1≤y≤5 5 C B 1 3 5 1 A I1=IAB+IBC+ICA Trên đoạn AB: thay y=x và 21 ( ) 2y x Ta được : 3 1 ( ) 2ABI x x dx 8 2 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2: Tích phân đường loại 1 Tương tự, ta cũng có 3 1 6 2 12 2BCI dx 5 1 (1 ) 16CAI y dy Vậy 1 ( ) 20 2 16 C I x y dl CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2: Tích phân đường loại 1 Ví dụ 2: Tính 2 2 2 ( ) C I x y dl Với C là phần đường tròn x2+y2=4, x≥0, y≤0 2 -2 Có 3 cách để tính tp I2 như sau Cách 1: Tính 24 ,0 2y x x Suy ra 2 2 2 1 ( ) 4 y x x Vậy: 2 2 2 2 2 0 2 ( (4 )) 4 I x x dx x 2 2 2 2sin 0 2 (8sin 4) x t I t dt =0 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2: Tích phân đường loại 1 Cách 2: Viết pt C trong tọa độ cực Suy ra: Vậy: 2 2 2 2 3 2 (4cos 4sin ).2I d 2 2( )cos 2cos , ( )sin 2sin , ( ) ( ) 2x r y r r r =0 32, 2 2 r Cách 3: Viết pt tham số của C bằng cách đặt x=2cost thì y=2sint Suy ra : 2 2( ) ( ) 2x t y t Và ta được tích phân như đã tính trong Cách 2 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2: Tích phân đường loại 1 Ví dụ 3: Tính Với C là giao tuyến của x2+y2+z2=4, x2+y2=1,z≥0 3 2 C I xzdl Đây là tp đường loại 1 trong không gian nên ta bắt buộc phải viết pt tham số của C Thay x2+y2=1 vào pt mặt cầu ta được 3z Nên ta đặt x=cost, để có y=sint Suy ra 2 2 2( ) ( ) ( ) 1x t y t z t Vậy : 2 3 0 2.cos . 3.1I t dt =0 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2: Tích phân đường loại 1 Ví dụ 4: Tính độ dài phần đường parabol y=x2 với 0≤x≤2 Ta có 2 21 ( ) 1 4y x x Vậy : 2 2 0 1 4C C L dl x dx 1 ln(4 17) 2 CL CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2: Tích phân đường loại 2- Cách tính Định nghĩa: Cho hàm P(x,y), Q(x,y) xác định trên cung AB trong mp Oxy A B Chia cung AB thành n phần tùy ý bởi các điểm chia A=A0, A1, A2, An=B, Ak(xk,yk) An Ak+1 Ak A0 A1 Trên mỗi cung nhỏ AkAk+1 lấy 1 điểm Mk bất kỳ, đặt Δxk=xk+1-xk, Δyk=yk+1-yk , Δlk là độ dài cung Mk Δyk Δxk Lập tổng 0 ( ) ( ) n n k k k k k S P M x Q M y CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Cho max Δlk → 0, nếu Sn có giới hạn hữu hạn không phụ thuộc cách chia cung AB và cách lấy điểm Mk thì giới hạn đó được gọi là tp đường loại 2 của các hàm P(x,y) và Q(x,y) dọc cung AB và kí hiệu là §2: Tích phân đường loại 2- Cách tính max 0 ( , ) ( , ) lim k n l AB P x y dx Q x y dy S Điều kiện tồn tại: Nếu các hàm P, Q liên tục trong miền mở chứa cung AB trơn từng khúc thì tồn tại tích phân đường loại 2 của P, Q dọc cung AB CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2: Tích phân đường loại 2 – Cách tính Tính chất : Tích phân đường loại 2 đổi dấu nếu hướng đi trên cung AB thay đổi AB BA Pdx Qdy Pdx Qdy Trường hợp đường lấy tp là đường cong kín C, ta quy ước hướng dương trên C là hướng mà khi đi dọc C thì miền giới hạn bởi C nằm về bên trái. Hướng âm là hướng ngược với hướng dương CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2: Tích phân đường loại 2– Cách tính Cách tính tích phân đường loại 2 Nếu cung AB có phương trình y=y(x), đi từ A(x1,y(x1)) đến B(x2,y(x2)) thì 2 2 ( , ( )) ( , ( )) ( ) x AB x Pdx Qdy P x y x Q x y x y x dx Nếu cung AB có phương trình tham số x=x(t), y=y(t) đi từ A(x(t1), y(t1)) đến B(x(t2), y(t2)) thì 2 1 ( ( ), ( )) ( ) ( ( ), ( )) ( ) t AB t Pdx Qdy P x t y t x t Q x t y t y t dt Nếu AB là đường cong không gian, ta có cách tính tương tự khi có pt tham số của đường cong CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2: Tích phân đường loại 2 – Cách tính Ví dụ 1: Tính tích phân I1 đi từ A(0,0) đến B(1,1) của 2 hàm P=x2 và Q=xy theo các đường 1.Đường thẳng 2.Parabol y=x2 3.Đường tròn x2+y2=2x 1 1 1. AB là đoạn thẳng y=x, x từ 0 đến 1 1 2 2 2 1 0 ( ) AB I x dx xydy x x dx CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2: Tích phân đường loại 2 – Cách tính 1 1 2. AB là phần parabol y=x2 với x từ 0 đến 1, y’=2x 1 2 2 1 0 ( . .2 )I x x x x dx 3. AB là phần đường tròn x2+y2=2x Ta viết pt tham số của AB bằng cách viết lại pt (x-1)2+y2=1 và đặt x=1+cost thì y=sint với t đi từ π đến π/2 2 2 1 (1 cos ) ( sin ) (1 cos )(sin )cosI t t t t t dt CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2: Tích phân đường loại 2 – Cách tính Ví dụ 2: Tính tp đường loại 2 của 2 hàm P=x2+2y và Q=y2 trên đường cong C : y=1-|1-x| với x đi từ 0 đến 2 Ta viết lại pt đường cong C: , 1 2 ,1 x x y x x Vậy : 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 0 1 ( 2 ) ( 2(2 )) (2 ) ( 1)I x x x dx x x x dx 2 C I Pdx Qdy CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2: Tích phân đường loại 2 – Cách tính của 2 mặt y=x2 và x=z đi từ O(0,0,0) đến A(1,1,1) Ví dụ 3: Tính 3 C I xdx zdy ydz với C là giao tuyến Ta viết pt tham số của C bằng cách đặt x=t thì ta được : y=t2, z=t, t đi từ 0 đến 1 Vậy : 1 2 3 0 .2I t t t t dt CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2: Tích phân đường loại 2 – CT Green CÔNG THỨC GREEN: Mối liên hệ giữa tích phân kép và tích phân đường loại 2 Định lý Green : Cho D là miền đóng, bị chặn trong mp Oxy với biên C trơn từng khúc. Các hàm P(x,y) và Q(x,y) liên tục trong miền mở chứa D. Khi ấy ta có công thức Green ( )x y C D Pdx Qdy Q P dxdy Trong đó, tp kép lấy dấu “+” nếu hướng đi trên đường cong kín C là hướng dương và dấu “-” nếu ngược lại CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2: Tích phân đường loại 2 – CT Green Chu tuyến kín C có thể bao gồm nhiều chu tuyến C1, C2, Miền D được gọi là miền đơn liên nếu mỗi chu tuyến kín đó có thể co vào 1 điểm thuộc D, khi đó trong D không có “lỗ thủng” C1 D C2 C3 .P2 .P1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2: Tích phân đường loại 2 – CT Green 1.Tính trực tiếp: Ta tính bằng cách viết pt tham số đường tròn đi ngược chiều kim đồng hồ x=1+2cost, y=-1+2sint, t đi từ 0 đến 2π Ví dụ 4: Cho Với C chu tuyến dương của hình tròn (x-1)2+(y+1)2=4. Tính tp trên bằng 2 cách: trực tiếp và dùng công thức Green 4 (4 2 ) (2 3 ) C I x y dx x y dy Suy ra : CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2: Tích phân đường loại 2 – CT Green 2 4 0 4(1 2cos ) 2( 1 2sin ( 2sin ) 2(1 2cos ) 3( 1 2sin 2 s t t tdt I t t co tdt 2 2 2 4 0 8sin 8cosI t t dt =0 2. Dùng CT Green với C là biên dương của miền D: (x-1)2+(y+1)2≤4 và P=4x-2y, Q=-(2x+3y) tức là Q’x-P’y = -2-(-2) = 0 Vậy: 4 ( )x y D I Q P dxdy =0 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2: Tích phân đường loại 2 – CT Green Ví dụ 6: Tính 2 2 2 5 2( ) ( ) C I x y dx x y dy Với C là chu tuyến ΔABC, A(2,1), B(6,1), C(4,3) ngược chiều kim đồng hồ bằng 2 cách : Trực tiếp và dùng CT Green 1. Tính trực tiếp bằng cách viết pt tham số 3 cạnh Pt AB đi qua A(2,1) và vecto chỉ phương x=2+4t, y=1, t từ 0 đến 1 C B A pt BC: x=6-2t, y=1+2t, t từ 0 đến 1 pt CA: x=4-2t, y=3-2t, t từ 0 đến 1 (4,0)AB CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2: Tích phân đường loại 2 – CT Green Vậy: 5 152 3 I 1 2 2 2 2 5 2 2 2 0 2 (2 4 ) 1 4 ) 2 (6 2 ) (1 2 ) ( 2 ) 7 .2 2 (4 2 ) (3 2 ) ( 2 ) (7 4 ) ( 2 ) t dt I t t dt dt t t dt t dt CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt C B A §2: Tích phân đường loại 2 – CT Green 2. Dùng CT Green: Miền lấy tp kép D: ΔABC, dấu tp kép: +, hàm dưới dấu tp kép : Q’x-P’y=2x-2y Vậy: 73 5 1 1 (2 2 ) y y I dy x y dx 5 152 3 I CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2: Tích phân đường loại 2 – CT Green Ví dụ 6: Tính 6 sin 3 2 cos 4 y y C I e x x y dy e x y dx Với C là phần đường tròn x2+y2=2y, x≥0, đi từ (0,2) đến (0,0) Không thể tích trực tiếp tích phân này. Ta sẽ tính bằng cách áp dụng CT Green. Tuy nhiên C là đường cong không kín, nên ta phải “bù” thêm đường cong đi từ (0,0) đến (2,0) để được đường cong kín. CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2: Tích phân đường loại 2 – CT Green Đường cong bù thêm còn phải được chọn sao cho việc tính tp đường loại 2 của 2 hàm đã cho trên đó là dễ nhất tức là ta sẽ chọn đt song song với các trục tọa độ Với ví dụ này, ta chọn C1 là phần đt x=0 từ (0,0) đến (2,0) Như vậy, đường cong kín CUC1 là biên âm của miền D: x2+y2≤2y, x≥0 Áp dụng CT Green, ta được : 1 ( )x y C C D Pdx Qdy Q P dxdy CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2: Tích phân đường loại 2 – CT Green 1 ( )x y C C D Pdx Qdy Q P dxdy 1 7 C C D Pdx Qdy Pdx Qdy dxdy 1 0 2 7 ( ) C Pdx Qdy ydy S D 6 7 4 2 I CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2: Tích phân đường loại 2 – CT Green Ví dụ 7: Cho 2 hàm 2 2 2 2 ( , ) , ( , ) y x P x y Q x y x y x y Tính 7 C I Pdx Qdy với C là chu tuyến kín, dương 1.Của hình vuông |x|+|y|=1 2.Của hình tròn x2+y2=1 3.Không bao quanh gốc tọa độ Nhận xét : Ta có Q’x=P’y và 2 hàm P, Q đều không xác định tại gốc tạo độ O(0,0) tức là nếu đường cong C bất kỳ bao kín miền D chứa O thì ta sẽ không áp dụng được CT Green CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2: Tích phân đường loại 2 – CT Green 1. Hình vuông |x|+|y|=1 chứa O. Để áp dụng CT Green, ta sẽ “khoét” đi phần chứa O. Cụ thể, ta gọi C1 là đường tròn x2+y2=r2, với r đủ nhỏ lấy cùng chiều kim đồng hồ Áp dụng CT Green trên CUC1 là biên dương của miền D: |x|+|y|≤1, x2+y2≥r2, ta được 1 ( )x y C C D Pdx Qdy Q P dxdy CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2: Tích phân đường loại 2 – CT Green 1C C Pdx Qdy Pdx Qdy 1 7 2 C xdy ydx I r Đặt x=rcost, y=rsint ta được 0 7 2 2 1 cos . cos sin .( sin )I r t r tdt r t r tdt r I7 = 2π 1 ( )x y C C D Pdx Qdy Q P dxdy CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2: Tích phân đường loại 2 – CT Green 2. C là chu tuyến dương của đường tròn x2+y2=1 nên ta thay vào 2 hàm P, Q để được 7 C I xdy ydx Ta áp dụng được CT Green để được I7 = 2π CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2: Tích phân đường loại 2 – CT Green 3. Do C không bao quanh gốc tọa độ nên ta áp dụng được CT Green. Vì Q’x=P’y nên ta có I7=0 Chú ý: Cách làm ở câu 1. không chỉ đúng cho khi C là chu tuyến dương của hình vuông mà còn được làm tương tự khi C là đường cong bất kỳ bao gốc tọa độ. Tức là với mọi chu tuyến dương bao kín miền D chứa gốc tọa độ ta luôn có I7 = 2π CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2: Tích phân đường loại 2 không phụ thuộc đường đi TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2 KHÔNG PHỤ THUỘC ĐƯỜNG ĐI Cho các hàm P(x,y), Q(x,y) và các đạo hàm riêng liên tục trong miền mở, đơn liên D. 4 mệnh đề sau tương đương 1.Q’x = P’y AB Pdx Qdy2. không phụ thuộc đường cong trơn từng khúc nối từ A đến B trong D 3. 0 C Pdx Qdy Với mọi chu tuyến C kín, trơn từng khúc trong D 4. Tồn tại hàm U(x,y) sao cho dU=Pdx+Qdy CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2: Tích phân đường loại 2 không phụ thuộc đường đi Cách làm: 1. Thông thường, ta sẽ kiểm tra điều kiện 1. hoặc 4. (nếu là hàm đã cho sẵn) 2. Nếu điều kiện 4. thỏa, ta sẽ có cách 1 để tính tp: Tìm hàm U(x,y) sao cho dU=Pdx+Qdy tức là ta đi giải hệ U’x=P, U’y=Q và thay vào tích phân (A là điểm đầu, B là điểm cuối) ( ) ( ) AB AB Pdx Qdy dU U B U A CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Cách 2: Kiểm tra điều kiện 1. đúng thì ta sẽ chọn đường nối từ A đến B nằm hoàn toàn trong D là đường gấp khúc theo các đt song song với các trục tọa độ §2: Tích phân đường loại 2 không phụ thuộc đường đi A B Khi đó : ( , ) ( , ) B B A A y x A B AB y x Pdx Qdy Q x y dy P x y dx Hoặc ( , ) ( , ) B B A A x y A B x y P x y dx Q x y dy CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2: Tích phân đường loại 2 không phụ thuộc đường đi Cách 1: Tìm hàm U sao cho U’x=y, U’y=x Ví dụ 8: Tính (4,2) 8 (2,1) I xdy ydx Ta được U(x,y)=xy. Nên I8 = 4.2-2.1 = 6 Cách 2: Kiểm tra điều kiện Q’x=P’y = 1, vì P=y, Q=x 4 2 8 2 1 4 2 4.1 6I dx dy CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2: Tích phân đường loại 2 không phụ thuộc đường đi Ví dụ 9: Tính các tích phân (1,2) 9 2 (2,1) xdy ydx I x theo đường cong không cắt trục Oy (1,2,3) 2 2 10 (0,0,0) 2 ( ) 2I xydx x z dy yzdz 9. Tìm hàm U sao cho : 2 2 1 ,x y y x U U xx x Ta được y U x (1,2) 9 (2,1) 3 (1,2) (2,1) 2 I dU U U CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2: Tích phân đường loại 2 không phụ thuộc đường đi 10. Ta tìm hàm U(x,y,z) sao cho dU=Pdx+Qdy+Rdz Suy ra U’x=2xy, U’y=x 2-z2, U’z=-2yz Đạo hàm theo x của U là 2xy thì nguyên hàm chắc chắn có số hạng x2y Đạo hàm theo y của U có x2-z2 thì chắc chắn nguyên hàm có số hạng x2y-yz2 Đạo hàm theo z của U là -2yz thì chắc chắn nguyên hàm có số hạng –yz2 Tổng hợp từ 3 kết quả trên ta được hàm U(x,y,z)=x2y-yz2+C Vậy I10 = U(1,2,3)-U(0,0,0) = (1.2-2.9+C)-(C) = -16 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2: Tích phân đường loại 2 không phụ thuộc đường đi Ví dụ 10: Tìm hàm h(y) thỏa h(1)=1 sao cho tp 2 11 (2 3) ( ) ( ) B A I xy h y dy y h y dx Là tp không phụ thuộc đường đi. Sau đó tính tp với A(1,1), B(3,2) Để I11 là tp không phụ thuộc đường đi ta phải có ↔ [(2xy+3).h(y)]’x=[-y 2.h(y)]’y Q’x=P’y ↔ 2y.h = - 2y.h – y2.h’ ↔ 4y.h = -y2.h’ Như vậy, ta được pt vi phân cấp 1 với hàm là h, biến là y CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2: Tích phân đường loại 2 không phụ thuộc đường đi Ta sẽ viết lại pt trên thành pt tách biến 4dy dh y h 4 dy dh C y h ↔ -4lny+lnC=lnh 4 ( ) C h y y Thay điều kiện h(1)=1 vào, ta được C=1. Khi đó, ta có tp không phụ thuộc đường đi (3,2) 11 4 2 (1,1) 1 1 (2 3)I xy dy dx y y Tìm hàm U(x,y) sao cho U’y=Q, U’x=P CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2: Tích phân đường loại 2 không phụ thuộc đường đi 2 4 4 1 2 3 x y U y xy U y y Từ đh của U theo x, suy ra U có chứa 2 x y Thay vào pt dưới, ta suy ra 2 3 1 ( , ) x U x y y y Vậy 11 47 (2,3) (1,1) 27 I U U CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt