Giáo trình Giải tích hàm nhiều biến - Chương II: Tích phân bội - Nguyễn Thị Xuân Anh

CHƯƠNG II: TÍCH PHÂN BỘI §0: MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP §1: TÍCH PHÂN KÉP I. Định nghĩa và Cách tính II. Đổi biến trong tích phân kép III. Ứng dụng hình học của tích phân kép §2: TÍCH PHÂN BỘI BA I. Định nghĩa và Cách tính II. Đổi biến trong tích phân bội ba III. Ứng dụng hình học của tích phân bội ba CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §0. Một số mặt bậc hai thường gặp I. Mặt Ellipsoid: 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c   1. Phương trình: 2. Cách gọi tên mặt: Với phương trình trên, ta cho x = 0, y = 0, z = 0 ta đều nhận được giao tuyến của mặt với 3 mặt tọa độ làcác đường Ellipse. Tức là nếu cả 3 giao tuyến của mặt S với 3 mặt tọa độ hoặc các mặt song song với các mặt tọa độ đều là ellipse thì ta sẽ gọi mặt S là mặt Ellipsoid 3. Cách vẽ hình Vẽ 3 giao tuyến của S với 3 mặt tọa độ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §0. Một số mặt bậc hai thường gặp Vẽ đường ellipse 2 2 2 2 1 x y a b   trên mặt phẳng nằm ngang z = 0 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §0. Một số mặt bậc hai thường gặp trên mặt phẳng x = 0 Vẽ thêm đường ellipse 2 2 2 2 1 y z b c   CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §0. Một số mặt bậc hai thường gặp Vẽ mặt ellipsoid 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c    CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §0. Một số mặt bậc hai thường gặp x2+y2=1,z=0 x2+z2=1, y=0 y2+z2=1,x=0 trên mặt phẳng y = 0 Có thể vẽ thêm đường ellipse 2 2 2 2 1 x z a c   CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §0. Một số mặt bậc hai thường gặp II. Mặt Paraboloid Elliptic: 1. Phương trình : 2 2 2 2 x y z a b 2. Cách gọi tên mặt: Với phương trình trên, ta cho x = 0, y = 0 thì được 2 giao tuyến với 2 mặt tọa độ là 2 đường Parabol và cho z=c, c>0 ta được đường còn lại là 1 đường Ellipse. Tức là nếu 2 trong 3 giao tuyến với các mặt tọa độ hoặc các mặt song song với các mặt tọa độ là 2 Parabol, giao tuyến còn lại là 1 Ellipse thì ta gọi mặt S là Paraboloid Elliptic 3. Vẽ hình CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP Vẽ đường parabol y2 = z trên mặt phẳng x = 0 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP Vẽ đường ellipse x2+y2 = 1 trên mặt phẳng z = 1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP Vẽ mặt parabolid x2+y2 = z CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP Vẽ thêm đường parabol x2 = z trên mặt phẳng y = 0 z=y2, x=0 z=x2, y=0 x2+y2=1,z=1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP III. Mặt Trụ bậc 2: Định nghĩa mặt trụ bậc 2: Mặt trụ bậc 2 là mặt tạo bởi các đường thẳng song song với 1 phương cố định và tựa lên 1 đường cong cố định. Các đường thẳng đó gọi là các đường sinh của mặt trụ, đường cong cố định gọi là đường chuẩn của mặt trụ. CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Thông thường, ta sẽ chỉ gặp các mặt trụ có đường sinh song song với 1 trong 3 trục tọa độ. Mặt trụ song song với trục nào thì phương trình mặt sẽ thiếu biến đó, còn phương trình chứa 2 biến còn lại là phương trình đường chuẩn của mặt trụ trong mặt tọa độ tương ứng và ta gọi tên mặt trụ theo tên của đường chuẩn §0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP Vẽ đường tròn x2+y2=1, trên mặt z=0 Mặt trụ tạo bởi các đường thẳng song song với Oz và tựa lên đường tròn trên Ví dụ: Mặt x2+y2 = 1 Phương trình không chứa z nên nó biểu diễn mặt trụ đường sinh song song với trục Oz, đường chuẩn là đường tròn x2+y2=1 trong mặt phẳng z = 0 và ta gọi đây là mặt trụ tròn xoay theo tên của đường chuẩn CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP Ví dụ : Mặt z=x2 Phương trình không chứa y nên nó biểu diễn mặt trụ song song với trục Oy, đường chuẩn là parabol z=x2 trên mặt phẳng y=0 nên ta gọi đây là mặt trụ parabol Vẽ parabol z=x2 trong mặt phẳng y=0 Vẽ mặt trụ có đường sinh song song với trục Oy, tựa lên đường chuẩn là parabol z=x2 ở trên CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP IV. Mặt nón bậc 2 : Mặt nón bậc 2 là mặt tạo bởi các đường thẳng đi qua 1 điểm cố định và tựa lên 1 đường cong cố định. Các đường thẳng đó gọi là các đường sinh của mặt nón, đường cong cố định gọi là đường chuẩn của mặt nón và điểm cố định gọi là đỉnh của nón Ví dụ: Mặt nón x2+y2=z2 Cắt dọc mặt nón bởi các mặt x=0 hoặc y=0 ta được 2 đường thẳng cùng đi qua gốc tọa độ O, cắt ngang bởi mặt z = c và z = -c , c tùy ý, ta được giao tuyến là 2 đường tròn tâm tại (0,0,c) và (0,0,-c) bán kính bằng c CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP Vẽ giao tuyến x2+y2=1, z=1 Và giao tuyến x2=z2, y=0 Vẽ mặt nón x2+y2=z2, lấy phần z > 0 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính Thể tích các hình hộp nhỏ với đáy dưới là Dij, trên là phần mặt z=f(x,y) sẽ được tính xấp xỉ với hình hộp chữ nhật đáy là Dij, chiều cao là f(xi,yj). Dij CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính Khi đó, vật thể ban đầu có thể tích xấp xỉ với tổng thể tích các hình hộp chữ nhật nhỏ xếp liên tiếp nhau CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chia miền D thành n phần không dẫm lên nhau là D1, D2, D3, (các phần không có phần chung) tương ứng có diện tích là ΔS1, ΔS2, ΔS3, Trên mỗi miền Dk ta lấy 1 điểm Mk(xk,yk) tùy ý. Lập tổng (gọi là tổng tích phân kép của hàm f(x,y)) 1 ( , ) n n k k k k S f x y S    Hiển nhiên tổng trên phụ thuộc vào cách chia miền D và cách lấy điểm Mk Định nghĩa tích phân kép : Cho hàm f(x,y) xác định trong miền đóng, bị chặn D §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Cho n→∞ sao cho max{d(D)} →0 (d(D) là kí hiệu đường kính của miền D tức là khoảng cách lớn nhất giữa 2 điểm bất kỳ thuộc D) Nếu khi ấy tổng Sn tiến đến giới hạn hữu hạn S không phụ thuộc vào cách chia miền D cũng như cách lấy điểm Mk thì giới hạn S được gọi là tích phân kép của hàm f(x,y) trên miền D và kí hiệu là ( , ) D f x y ds Hàm f(x,y) được gọi là hàm dưới dấu tích phân, D là miền lấy tích phân, ds là yếu tố diện tích. Khi ấy, ta nói hàm f(x,y) khả tích trên miền D §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính max( ( )) 0 1 ( , ) lim ( , ) k n k k k d D kD f x y ds f x y S     Tức là CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chú ý : Nếu f(x,y) khả tích trên D thì ta có thể chia D bởi các đường thẳng song song với các trục tọa độ. Lúc đó Dij sẽ là hình chữ nhật với các cạnh là Δxi, Δyj nên ΔSij = Δxi. Δyj và ds được thay bởi dxdy. Vì vậy, ta thường dùng kí hiệu §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính ( , ) ( , ) D D f x y ds f x y dxdy  CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Điều kiện khả tích : Định nghĩa đường cong trơn : Đường cong C có phương trình tham số y = y(t), x = x(t) được gọi là trơn nếu các đạo hàm x’(t), y’(t) liên tục và không đồng thời bằng 0. Đường cong C được gọi là trơn từng khúc nếu có thể chia nó thành hữu hạn các cung trơn. Định lý: Hàm liên tục trên 1 miền đóng, bị chặn và có biên trơn từng khúc thì khả tích trên miền đó. §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính Tính chất : Cho f(x,y), g(x,y) là các hàm khả tích trên D 1. (S(D) là diện tích miền D) ( ) D S D dxdy [ ( , ) ( , )] ( , ) ( , ) D D D f x y g x y dxdy f x y dxdy g x y dxdy    2. CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Tính chất §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính ( ) ( , ) ( ) D mS D f x y dxdy MS D  6. Trên D, hàm f(x,y) đạt fmax=M, fmin=m thì ( , ) ( , ) D D Cf x y dxdy C f x y dxdy 3. 4. Chia D thành 2 miền không dẫm lên nhau là E, F thì ( , ) ( , ) ( , ) D E F f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy    ( , ) ( , ) D D f x y dxdy g x y dxdy  5. Nếu f(x,y)≤g(x,y) trên D thì: CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Định lý: (Về giá trị trung bình ) Ý nghĩa hình học của tích phân kép : Với cách tính thể tích hình trụ cong ở trên ta có ( , ) D V f x y dxdy  Đại lượng được gọi là giá trị trung bình của hàm f(x,y) trên miền D 1 ( , ) ( ) D f x y dxdy S D    Cho hàm f(x,y) liên tục trong miền đóng, bị chặn, liên thông D. Khi ấy trong D có ít nhất 1 điểm (x0,y0) sao cho : 0 0( , ) ( , ) ( ) D f x y dxdy f x y S D §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ : Cho vật thể được giới hạn trên bởi mặt bậc hai f(x,y) = 16 – x2 – 2y2, giới hạn dưới bởi hình vuông D = [0,2]x[0,2] và giới hạn xung quanh bởi 4 mặt phẳng x=0, x=2, y=0, y=2. Ước lượng thể tích của vật thể trong các trường hợp sau : a)Chia D thành 4 phần bằng nhau; b)Chia D thành 16 phần bằng nhau; c)Chia D thành 64 phần bằng nhau; d)Chia D thành 256 phần bằng nhau; e)Tính thể tích vật thể §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 13 7 10 4 34.V      1, 1,...,4.  iD i S (1,1) (1,2) (2,1) (2,2)   V f f f f §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính i 4 n i D i=1 V V = f(M )譙  2 2 D3 D1 D2 D4 1 1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính b. Chia thành 16 phần, V≈ 41,5 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính c. Chia thành 64 phần, V≈44,875 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính d. Chia thành 256 phần, V≈46,46875 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Định lý Fubini: (Cách tính tích phân kép) Cho hàm f(x,y) liên tục trên miền đóng và bị chặn D §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính a b 1 2( ) ( )y x y xy     a bx  1) Giả sử D xác định bởi: 2 1 y (x) y (x) b aD I= f(x,y)dxdy= dx f(x,y)dy   y=y1(x) y=y2(x) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 1 2( ) ( )x y x yx     §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính d c 2) Giả sử D xác định bởi: c dy  x=x1(y) x=x2(y) 2 1 x (y) D d x y)c ( f(x,y)dxdy= dy f(x,y)dx   I CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt   2 2 2 0 2 0 = dx 16-x -2y dy   2 2V= 16-x -2y dxdy D 32 2 2 00 = (16-x ) -2 dx 3 y y        Giải câu e) Tính thể tích của vật thể. 2 2 0 2x   0 2y  2 2 0 16 = 32-2x - dx 3        =48 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ta đi tích phân này bằng 2 cách Cách 1 : Chiếu miền D xuống trục Ox ta được đoạn [1,4] Đi theo trục Oy từ dưới lên 42 1 ( 4) 3 4 1 ( ) 2 x x y x dx      1 ( 4) 1 4 3 4 - x yx x       4 4 11 ( 4) 3 x x I dx xydy       §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính Ví dụ : Tính tích phân trong đó D là tam giác ABC với A(1,-1), B(1,3), C(4,0) D I xydxdy  A(1,-1) C(4,0) B(1,3) y=1/3(x-4) y=4-x 4 2 1 4 ( 4) 7 9 x x dx   CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 3 4 40 3 1 1 0 1 y y I dy xydx dy xydx          Cách 2 : Chiếu miền D xuống trục Oy ta được đoạn [-1,3] A(1,-1) B(1,3) C(4,0) -1 3 Đi theo trục Ox từ trái sang thì không giống như trên, ta sẽ gặp 2 đường BC và AC. Do đó, ta sẽ chia miền D thành 2 phần D1 và D2 D1 D2 x=3y+4 x=-y+4 x=1 0 32 2 3 4 1 1 1 0 4( ) ( ) 2 2 y yy dy y dy x x       §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt    D I x y dxdy 22    x xy 2 1   x   221 2     x x dx x y dy 2 2 21 2 2 (2 ) ((2 ) ) 2            x x x x x dx giới hạn bởi Ví dụ : Tính tích phân kép với D là miền ( )  D I x y dxdy 2; 2y x y x   §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính 2 21 2 2 2           x x y yx dx CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính Ta còn có thể xác định cận của tích phân trên mà không cần vẽ hình như sau: Tìm giao điểm của 2 đường biên của miền D: y = x = 2-x2 x = -2, x = 1 x2+x-2 = 0 Vậy ta có -2 ≤ x ≤ 1, tức là ta lấy trong khoảng 2 nghiệm của tam thức f(x) = x2+x-2 nên ta có bất đẳng thức: x2+x-2 ≤ 0 x ≤ 2-x2 Tức là, với x nằm trong khoảng (-2,1) thì đường thẳng y=x nằm dưới đường parabol y = 2-x2. Vậy ta cũng được   221 2      x x I dx x y dy CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt , ( 1) 2 4 2 2 , ( 2) 4 4 2 4 , ( 3) 4 4 4 2 , ( 4) 4 2 2 2 x y D x y D x y D x y D                                             D1 D2 D3 D4 Miền D được chia thành 4 phần 2 2 4 2 4 1 2 2 2 cos( ) sin( )I dx x y ydy x dx                    §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính Ví dụ : Tính tích phân trong đó D là miền giới hạn bởi : π/4≤max{|x|,|y|} ≤ π/2 cos( ) D I x y dxdy  CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ta còn có thể tính tích phân này bằng cách tính tích phân trên hình vuông lớn trừ tích phân trên hình vuông nhỏ 4 1 2 (cos ( cos )) 0I x x dx         §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính Tương tự, ta tính cho 3 tích phân trên 3 miền còn lại. 2 2 4 4 2 2 4 4 cos( ) cos( )I dx x y dy dx x y dy                   CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ: Tính tích phân kép D là miền giới hạn bởi -1≤x≤1, 0≤y≤1 2 D I y x dxdy    D I xy dxdy      1 2 2 2 D D y x dxdy x y dxdy         2 2 1 1 1 2 2 1 1 0 x x dx y x dy dx x y dy          11 15 I  D1 D2 D2 1 2 2 2 D D y x dxdy y x dxdy     §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 2 1 0 0 xy yI dy e dx   Nếu chỉ nhìn vào miền lấy tích phân này thì ta chiếu D xuống trục nào cũng như nhau. 21 1 0 0 0 ( ) ( )y yy x ye dy ye y dy    §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính Tuy nhiên, hàm dưới dấu tích phân sẽ buộc ta phải chiếu D xuống trục Oy Ví dụ: Tính tích phân x y D I e dxdy  Với D là miền giới hạn bởi 2, 0, 1x y x y   1 1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chiếu miền D vừa vẽ xuống trục Ox §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính Ví dụ : Đổi thứ tự lấy tích phân sau 2 2 0 2 ( , ) y y I dy f x y dx     2 Ta vẽ miền lấy tích phân 0 2y    D: 2 2y x y D1 D2 Ta thấy phải chia D thành 2 phần D1 và D2 -2 2 0 2 2 2 2 0 0 ( , ) ( , ) x x x I dx f x y dy dx f x y dy         CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt cos sin x r y r      Nhắc lại về tọa độ cực Điểm M có tọa độ là (x,y) trong tọa độ Descartes. Khi đó, mối liên hệ giữa x, y và r, φ là §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực M(x,y) φ r ( ),g Ox OM r OM      Đặt : 2 2 arctan r x y y x CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ: Đổi các phương trình sau sang tọa độ cực Đổi sang tọa độ cực mở rộng bằng cách đặt : Thì ta được pt r = 1 §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực 1. (x-a)2 + y2 = a2 ↔ x2 + y2 = 2ax ↔ r = 2acosφ 3. x = 3 ↔ rcosφ = 3 2. 2 2 2 2 1 x y a b   x=a.r.cosφ, y = b.r.sinφ 3 cos r↔ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Công thức đổi biến sang tọa độ cực ( , ) ( , ) ( , ) ( cos , sin ) D x y D r f x y dxdy J f r r drd      Trong đó Thông thường, ta sẽ đổi tích phân kép sang tọa độ cực nếu miền lấy tích phân kép là 1 phần hình tròn hoặc ellipse §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực ( , ) D(r, ) r r x xD x y J y y         = r CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực Để xác định cận của tích phân theo φ, ta quét từ dưới lên theo ngược chiều kim đồng hồ bởi các tia màu đỏ. ( 2 ) D I x y dxdy Ví dụ : Tính tích phân Trong đó D giới hạn bởi : 2 2 2 , 0( 0)x y x y y    Ta được φ đi từ 0 đến π/2 Còn để xác định cận của tích phân theo r, ta sẽ đi theo 1 tia màu vàng từ trong gốc tọa độ ra, gặp đường nào trước thì pt đường đó (trong tọa độ cực) là cận dưới, đường nào trước thì pt đường đó là cận trên. CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực 2cos2 0 0 ( cos 2 sin )I d r r r dr        32 2cos 0 0 ((cos 2si 3 n ) ) r d      2 3 0 1 (cos 2sin )8cos 3 d       Nếu chỉ gặp 1 đường như trong ví dụ này thì cận dưới ta sẽ lấy là 0, cận trên là pt đường tròn sau khi đổ sang tọa độ cực: r = 2cosφ Vậy : CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 20 3 . . a I d r r dr      §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực Đi từ trong gốc tọa độ ra chỉ gặp 1 đường nên 0 ≤ r ≤ a Trong đó D giới hạn bởi Ví dụ : Tính tích phân 2 2 D I x y dxdy  2 2 2, 0, 3 ( , 0)x y a x y x x y     Suy ra: 3 2 3 3 0( )( ) 2 3 3 18 ar a       y=√3x ↔ y/x = √3 ↔ φ = π/3 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 2sin 3 0 4 . cos . sinI d r r r dr        §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực Trong đó D giới hạn bởi Ví dụ : Tính tích phân D I xydxdy  2 2 2 , 0x y y x y    y > 0, x+y=0 ↔ φ = 3π/4 Suy ra : 3π/4 ≤φ ≤ π x2+y2 = 2y ↔ r = 2sinφ Suy ra : 0 ≤ r ≤ 2sinφ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 2 22 4 , 3 0x x y x x y      (2 1) D I y dxdy Ví dụ : Tính tích phân Trong đó D giới hạn bởi : §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực 2x ≤ x2+y2 ≤4x ↔ 2cosφ ≤ r ≤ 4cosφ 03 3 0x y Đây là trường hợp ta có thể không cần vẽ hình cũng lấy được cận tích phân 4cos0 2cos 3 (2 sin 1)I d r r dr          CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ : Tính tích phân 2 2( 2) 1,0x y y    D I xdxdy  Trong đó D giới hạn bởi 2 1 1 -1 Ta đi tích phân này bằng cách dời hình tròn để tâm hình tròn là (0,0), sau đó mới đổi sang tọa độ cực. Thực hiện 2 việc trên bằng 1 phép đổi biến sang tọa độ cực mở rộng như sau: đặt 2 cos sin x r y r       §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Khi đó, miền D giới hạn bởi 0 0 1r       Vậy : 1 0 0 (2 cos )I d r r dr      §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ : Tính tích phân 2 2 2 2 1 D x y I dxdy a b    2 2 2 2 1, 0 x y x a b    cos sin x ar J abr y br       Trong đó D giới hạn bởi a b Ta đổi biến sang tọa độ cực mở rộng bằng cách đặt Thì D giới hạn bởi 3 2 2 0 1r        3 12 2 0 2 1I d abr r dr       §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 2 Ứng dụng hình học của tích phân kép 1 1: ( , )S z f x y 1. Diện tích hình phẳng: Diện tích miền D trong mặt phẳng Oxy được tính bởi 2. Thể tích vật thể Ω giới hạn trên bởi mặt giới hạn dưới bởi mặt 2 2: ( , )S z f x y và giới hạn xung quanh bởi mặt trụ song song với trục Oz có đường chuẩn là biên miền D được tính bởi: 2 1( ( , ) ( , ), ( , ) )f x y f x y x y D   ( ) D S D dxdy  1 2( ) ( ( , ) ( , )) D V f x y f x y dxdy   §1: Tích phân kép – ƯD hình học CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt C. Diện tích mặt cong : Diện tích phần mặt cong S có phương trình z = f(x,y) và có hình chiếu xuống mặt phẳng Oxy là miền D được tính bởi Như vậy, để tính thể tích vật thể hoặc tính diện tích 1 phần mặt cong thì trước tiên ta phải xác định được hình chiếu D của vật thể hoặc phần mặt cong cần tính xuống 1 trong 3 mặt tọa độ Oxy, Oyz, Ozx Với vật thể cần tính thể tích, sau đó ta phải xác định trong vật thể đó thì mặt nào giới hạn trên, mặt nào giới hạn dưới vật thể. 2 21 x y D S f f dxdy    §1: Tích phân kép – ƯD hình học CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ 1: Tính diện tích miền phẳng D giới hạn bởi y2+2y-3x+1=0, 3x-3y-7=0 23 2 1 3 3 7 x y y x y        Ta tìm giao điểm 2 đường cong bằng cách khử x từ 2 pt 2(1) 6 0 3, 2y y y y        Tức là chiếu miền D xuống trục Oy được đoạn [-2,3] Khi -2 ≤ y ≤ 3, suy ngược lại phương trình (1) ta sẽ được y2 + 2y + 1 ≤ 3y + 7 2 1 (3 7) 3 3 12 ( 2 1) 3 ( ) y y y S D dy dx       Vậy : §1: Tích phân kép – ƯD hình học 2 2 1 3 7y y y     (1) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1: Tích phân kép – ƯD hình học Ví dụ 2: Tính diện tích phần mặt phẳng nằm ngoài đường tròn r = 1 và trong đường tròn 2 cos 3 r Trước tiên, ta tìm giao điểm cosφ = √3/2 ↔ φ = π/6 , φ = - π/6 π/6 -π/6 Vậy : 2 cos 36 1 6 ( )S D d rdr 3 3 ( ) 18 S D CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 2 2 1x y   Khi vật thể giới hạn chỉ bởi 2 mặt thì ta tìm hình chiếu D của nó xuống mặt phẳng z=0 bằng cách khử z từ 2 phương trình 2 mặt 2 2 2 22x y x y    §1: Tích phân kép – ƯD hình học Ví dụ 3: Tính thể tích vật thể Ώ giới hạn bởi 2 2 2 2, 2z x y z x y     Hình chiếu của giao tuyến là đường tròn thì hình chiếu của vật thể là hình tròn 2 2 1x y  x2+y2=1, z=1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Với bất đẳng thức hình tròn, ta thay ngược lên phương trình (1) để được 2 2 2 22x y x y    2 2 2 2 2 2 1 ( ) ( 2 ) x y V x y x y dxdy         2 1 2 0 0 ( ) ( 2 )V d r r r dr       Tức là mặt nón là mặt giới hạn dưới, mặt cầu là mặt giới hạn trên của vật thể. Vậy : 3 3 2 12 0 1 2 ( ) 2 ( . (2 ) ) 3 2 3 r V r     32( ) ( 4 1) 3 V     1 1 §1: Tích phân kép – ƯD hình học CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ 4: Tính thể tích vật thể giới hạn bởi x2 + y2 = 4, y2 = 2z, z=0 §1: Tích phân kép – ƯD hình học Trong 3 mặt tạo nên vật thể, có 1 hình trụ kín (đường chuẩn là đường cong kín) x2+y2=4 song song với trục Oz nên hình chiếu của nó xuống mặt z = 0 là hình tròn, tức là ta có miền lấy tích phân D: x2 + y2 ≤ 4. Dễ dàng thấy bất đẳng thức kép 0 ≤ z ≤ y2/2 , tức là mặt z = 0 ở phía dưới và 2z = y2 ở phía trên 2 Ta còn lại 2 mặt và phải xác định mặt nào nằm trên, mặt nào nằm dưới để có hàm dưới dấu tích phân CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 2 2 2 3 0 0 1 sin 2 d r dr      2 22 2 0 0 sin 2 r d r dr      §1: Tích phân kép – ƯD hình học 2 2 2 4 2x y y V dxdy     Suy ra hàm dưới dấu tích phân là : 2 2 ( , ) 0 2 2 y y f x y Vậy thể tích cần tính là : x2+y2=4 2z=y2 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ta sẽ tìm hình chiếu của V xuống mặt phẳng Oxy dựa trên các hình trụ có đường sinh song song với trục Oz có trong phương trình V Trong 4 mặt đã cho có 2 mặt trụ (phương trình không chứa z) cùng song song với Oz là y=1, y = x2 Hai mặt trụ đó có 2 đường chuẩn tạo thành miền D đóng trong mặt Oxy §1: Tích phân kép – ƯD hình học Ví dụ 5: Tính thể tích vật thể V giới hạn bởi 2 2 2; ; 1; 0z x y y x y z     y=x2 y=1 Miền D CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 21 1 2 2 1 ( ) x dx x y dy     Với 2 mặt còn lại hiển nhiên ta có 0 ≤ x2+y2 tức là f(x,y) = x2+y2 §1: Tích phân kép – ƯD hình học Vậy : 2 2(( ) 0) D V x y dxdy   -1 1 1 y=x2 y=1 z=x2+y2 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Các mặt cùng song song với Oz (phương trình không chứa z) là y = 0, 3x+y = 4, 3/2x+y = 4. §1: Tích phân kép – ƯD hình học Ví dụ 6: Tính thể tích vật thể giới hạn bởi 2 2 3 , 0, 0,3 4, 4 2 4 2 x y z z y x y x y        Đây là 3 mặt phẳng tựa lên 3 đường thẳng trong mặt phẳng Oxy và ghép lại thành hình trụ kín có hình chiếu xuống mặt Oxy là ΔABC C A B CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Do đó, hình chiếu D của vật thể xuống mặt phẳng Oxy là tam giác ABC. §1: Tích phân kép – ƯD hình học Còn 2 mặt mà phương trình chứa z thì hiển nhiên ta có 2 2 0 2 4 x y z   2 2 ( ) 2 4ABC x y V dxdy    Vậy: B(4/3,0) C(8/3,0) A(0,4) 4 2 2 24 3 40 3 ( ) 2 4 y y x y dy dx      Tức là hàm dưới dấu tích phân là 2 2 ( , ) 2 4 x y f x y CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1: Tích phân kép – ƯD hình học y=0 3/2x+y=4 3x+y=4 z=1/2x2+1/4y2 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ 7 : Tính thể tích vật thể giới hạn bởi : y = 0, z = 0, z = a – x - y, 3x + y = a, 3/2x + y = a Trong 5 mặt tạo nên vật thể có 3 mặt phẳng song song với trục Oz và tựa lên 3 đường thẳng 3x + y = a, 3/2x + y = a, y = 0 §1: Tích phân kép – ƯD hình học Chúng tạo trong không gian hình trụ kín có hình chiếu xuống mặt phẳng Oxy là ΔABC = Miền D B C A Còn lại 2 mặt, ta sẽ tìm cách xác định mặt nằm trên, nằm dưới để có hàm dưới dấu tích phân CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Rõ ràng, trên hình vẽ ta có ΔABC nằm phía dưới đường thẳng a-x-y=0 tức là trong miền D ta có bất đẳng thức 0 ≤ a-x-y. Suy ra hàm dưới dấu tích phân là f(x,y) = a-x-y §1: Tích phân kép – ƯD hình học B C A Ta đi so sánh z= a-x-y với z= 0 bằng cách vẽ thêm đường a-x-y=0 trong mặt phẳng z=0 đang xét Vậy ( ) ABC V a x y dxdy     2 3 0 3 ( ) a y a a y dy a x y dx CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1: Tích phân kép – ƯD hình học Ta xoay trục Oy thẳng đứng, ta sẽ thấy vật thể chính là hình chóp tứ giác, thể tích bằng 1/3 chiều cao nhân diện tích đáy y=0 3/2x+y=4 3x+y=4 z=4-x-y CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1: Tích phân kép – ƯD hình học Ví dụ 8: Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt cong z = 1-x2-y2, y = x, y = √3x, z = 0 với x, y, z ≥ 0 Ta cũng bắt đầu tìm hình chiếu của vật thể xuống mặt z = 0 bằng cách chỉ ra các mặt trụ với pt không chứa z Với ví dụ này, ta chỉ có 2 mặt là y=x và y = √3x với 2 đường chuẩn là 2 đường thẳng không đủ cho ta miền đóng D. Vì vậy, ta sẽ tìm thêm giao tuyến của các mặt còn lại với mặt z=0 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1: Tích phân kép – ƯD hình học Cho z = 0 và thay vào phương trình Paraboloit ta được x2+y2 =1, tức là giao tuyến của mặt Paraboloit với mặt tọa độ z = 0 là đường tròn. 1 phần đường tròn đó sẽ “ĐẬY KÍN” phần còn mở giữa 2 đường thẳng trên. Từ đó suy ra, D là 1 phần hình tròn x2+y2≤1 nằm giữa 2 đường thẳng, vậy trong D ta có 0≤ 1-x2-y2 tức là mặt phẳng z = 0 nằm dưới và paraboloid z = 1-x2-y2 nằm trên D CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1: Tích phân kép – ƯD hình học Vậy: 2 2(1 ) D V x y dxdy Vì miền lấy tích phân là hình tròn nên ta sẽ đổi sang tọa độ cực bằng cách đặt x=rcosφ, y=rsin φ Khi đó, ta được z=1-x2-y2 y=x y=√3x 13 2 0 4 (1 )V d r r dr CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Hai mặt trụ cùng song song với trục Ox là 2 2 2 21, 4y z y z    2 21 4 (2 1) y z V dydz      §1: Tích phân kép – ƯD hình học Ví dụ 9: Tính thể tích vật thể giới hạn bởi x = 1, x = 2 2 2 2 21, 4y z y z    2 21 4y z   Vì vậy, hình chiếu của vật thể xuống mặt phẳng Oyz là miền D : V bằng diện tích hình tròn lớn trừ diện tích hình tròn nhỏ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1: Tích phân kép – ƯD hình học CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1: Tích phân kép – ƯD hình học Ví dụ 10 : Tính diện tích phần mặt S : x2+y2+z2 = 4 nằm phía trên mặt nón 2 2z x y  Để tính diện tích mặt cong S nhờ tích phân kép, ta phải xác định được hình chiếu D của mặt cong xuống 1 trong 3 mặt tọa độ. Với ví dụ này, ta sẽ tìm hình chiếu của S xuống mặt z=0 bằng cách khử z từ 2 phương trình đã cho z2 = 4-x2-y2 = x2+y2 ↔ x2+y2 = 2 Từ phương trình trên, ta được hình chiếu của S xuống mặt z = 0 là hình tròn Dxy : x 2+y2 ≤ 2 Sau đó, vì tìm hình chiếu xuống mặt z = 0 nên ta sẽ tính z=f(x,y) từ phương trình mặt S CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Vì mặt S nằm phía trên mặt nón tức là z ≥ 0 nên ta lấy §1: Tích phân kép – ƯD hình học 2 24z x y   2 2 2 2 4 4 x y x z x y y z x y              2 2 2 2 2 1 4 x yz z x y       Suy ra : 2 2 2 22 2 4x y S dxdy x y      Vậy: 2 2 2 0 0 2 4 d r dr r      4 (2 2) 222 2 2 2 00 0 (4 ) 2 ( 2 4 ) 4 d r S d r r           CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 2 mặt phẳng đã cho đều song song với trục Ox (Pt không chứa x) nên ta sẽ tìm hình chiếu của S xuống mặt phẳng x = 0 Chiếu 2 mặt phẳng xuống mặt x = 0 ta được 2 đường thẳng cùng đi qua gốc tọa độ tức là chưa có miền đóng D. §1: Tích phân kép – ƯD hình học Nằm giữa 2 mặt phẳng Ví dụ 11:Tính diện tích phần mặt cầu S 2 2 2 1x y z   3 , ,( 0, 0) 3 z y z y z y    Do đó, ta sẽ phải lấy thêm hình chiếu của mặt cầu xuống mặt phẳng x = 0 là hình tròn z y O CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Mặt cầu và cả 2 mặt phẳng cắt nó đều nhận mặt x = 0 là mặt đối xứng nên phần mặt S cũng nhận x = 0 là mặt đối xứng §1: Tích phân kép – ƯD hình học Do đó, ta sẽ tính diện tích phần phía trên mặt x = 0 rồi nhân đôi Ta viết lại phương trình mặt S theo y, z: x=f(y,z) và x ≥ 0 Miền D trên mp x=0 x 2+y2+z2=2 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 2 21x y z   2 2 2 2 1 1 y z y x y z z x y z              2 2 2 2 1 1 1 y zx x y z        Vậy 2 2 1 2 1D S dydz y z     13 2 0 4 1 2 1 d r dr r       §1: Tích phân kép – ƯD hình học CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ 11: Tính diện tích phần mặt trụ S: x2+y2=4 nằm phía trong mặt trụ R: x2+z2 = 4 §1: Tích phân kép – ƯD hình học Do tính đối xứng qua các mặt tọa độ của cả 2 mặt trụ nên ta chỉ tính diện tích một phần tám mặt S, nằm trong góc x≥0, y ≥0, z ≥0 2 2 4x z  Ta sẽ chiếu phần mặt S xuống mặt phẳng y = 0 vì hình trụ R song song với trục Oy, và được hình tròn x2+z2=4 Miền D x2+y2=4 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 24y x  24 0 x z x y x y          2 2 2 2 1 4 x zy y x       Vậy, diện tích cần tính là 22 4 2 0 0 2 8 4 x dx dz x      22 2 0 4 0 1 16 ( ) 4 x dx x z    2 0 16 32dx  Khi đó, ta đi tính y = f(x,z) từ phương trình mặt S. §1: Tích phân kép – ƯD hình học 2 2 8 4D V dxdz x    CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 4 mặt phẳng x-y = 1, x+y = 1, x-y = -1, x+y = -1 cùng song song với trục Oz, tạo trong không gian 1 hình trụ kín có hình chiếu xuống mặt Oxy là hình vuông ABCD Mặt nón nhận mặt phẳng Oxy là mặt đối xứng nên phần nón nằm trong trụ kín trên cũng nhận Oxy là mặt đối xứng, ta tính diện tích phía trên mp Oxy rồi nhân đôi §1: Tích phân kép – ƯD hình học Ví dụ 12: Tính diện tích phần mặt nón z2 = x2+y2 bị cắt bởi 4 mặt x - y = 1, x + y = 1, x – y = -1, x + y = -1 C D A B CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 2 2 2 2 x y x z x y y z x y            §1: Tích phân kép – ƯD hình học 2 2z x y  Khi đó, hàm dưới dấu tích phân bằng √2 nên tích phân cần tính là diện tích miền lấy tích phân nhân với √2 Vậy S =2.2.√2 2 21 2x yz z     CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1: Tích phân kép – ƯD hình học -y+x=1 y+x=1 y-x=1 y+x=-1 z2=x2+y2, z≥0 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1: Tích phân kép – ƯD hình học Ví dụ 13: Tính diện tích phần mặt phẳng S :x+y+z=2 bị cắt bởi 2 mặt y2=2x và mặt x=2 2 mặt cắt S tạo trong không gian hình trụ kín có hình chiếu xuống mặt z=0 là miền D giới hạn bởi 2 đường y2=2x và x=2 Ta chiếu xuống mặt z=0 nên viết phương trình mặt S lại z=2-x-y 2 21 1 3x y x yz z z z Vậy: 2 2 2 0 2 3 3 D y S dxdy dy dx CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1: Tích phân kép – ƯD hình học x+y+z=2 x=2 2x=y2 Phần mặt x+y+z=2 đang cần có 2 phần phần nằm trên và phần nằm dưới mặt phẳng z=0 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1: Tích phân kép – ƯD hình học Ví dụ 14 : Cho vật thể Ω giới hạn bởi y=x2, x=y2, z=0, z=y2. Tính 1.Diện tích phần mặt phẳng z=0 nằm trong Ω 2.Thể tích Ω 3.Diện tích phần mặt trụ z = y2 nằm trong Ω Trong 4 mặt tạo thành Ω, có 2 mặt cùng song song với trục Oz là y=x2 và x=y2 Từ đó ta được hình chiếu của Ω xuống mặt z = 0 là miền D D CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1: Tích phân kép – ƯD hình học 1. Diện tích miền D 2 1 0 ( ) x D x S D dxdy dx dy 2. Thể tích Ω : Hiển nhiên y2 ≥ 0 nên f(x,y)=y2 2 1 2 0 ( ) ( , ) x D x V f x y dxdy dx y dy 3. Diện tích mặt cong có phương trình z=y2 2 2 2 0 1 1 4 2 x x y y z z z y z y CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1: Tích phân kép – ƯD hình học Vậy diện tích mặt cong cần tính là 2 1 2 0 1 4 x x S dx y dy x=y2 y=x2 z=y2 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài tập phần UD hình học của tích phân kép Tính diện tích miền D giới hạn bởi 1. x=y2-2y, x+y=0 2.y2=10x+25, y2=-6x+9 3.y=lnx, x=y+1, y=-1 4.y=4x-x2, y=2x2-5x 5.y2=4-4x, x2+y2=4 (phía ngoài parabol) Giải: Nhắc lại công thức ( ) D S D dxdy CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 1. Ta tìm cận tích phân theo dy bằng cách khử x từ 2 phương trình 2 mặt x=y2-2y=-y (1) ↔ y2-y=0 ↔ y=0, y=1 Từ đó suy ra 0≤y≤1, ta lấy ngược lại phương trình 1 để được tiếp cận đối với tích phân theo dx y2-2y ≤x ≤ -y Vậy : 2 1 0 2 ( 1) y y y S D dy dx 1 2 0 1 ( ) 6 y y dy CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 2. Khử x từ 2 phương trình đã cho 2 21 1( 25) (9 ) (1) 15 10 6 y y y Suy ra cận tích phân theo dy, tương tự như trên, ta thay vào phương trình (1) để có cận tích phân theo dx Vậy : 2 2 1 (9 ) 15 156 2 115 15( 25) 10 1 16 15 ( 2) (120 8 ) 30 3 y y S D dy dx y dy CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 3. Ta sẽ vẽ miền D3 để xác định cận tích phân 1 -1 0 3 1 1 ( ) ye y S D dy dx 4. Tìm giao điểm 2 đường giới hạn D 4x-x2=2x2-5x ↔ 0=3x2-9x ↔ x=0, x=3 Suy ra : 0≤x ≤3 ↔ 0 ≤3x2-9x ↔ 4x-x2 ≤2x2-5x 2 2 3 2 5 4 0 4 ( ) x x x x S D dx dy 3 1 1 ( ) 2 S D e =27/2 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 5. Tìm giao điểm của 2 đường đã cho 4-4x=4-x2 ↔ x2-4x=0 ↔ x=0, x=4 (Loại vì y2=4-4x<0) Ta vẽ hình để có cận tích phân theo dx 2 -2 1 2 2 42 5 2 1 4 ( ) y y S D dy dx 5 8 ( ) 2 3 S D CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài tập phần UD hình học của tích phân kép Bài 1: Tính thể tích vật thể giới hạn bởi 2 mặt 1.V1: x 2+y2+z2=2, z2=x2+y2, z≥0 2.V2: x 2+y2+z2=4, x2+y2=2x, phần trong hình trụ 3.V3: x 2+y2=1, x2+z2=1 3a. V3a: y 2+z2-x2=0, x=6-y2-z2 Ta sẽ tìm hình chiếu của vật thể xuống mặt phẳng z=0 (x=0, y=0) bằng cách khử z ( khử x, khử y) từ 2 phương trình 2 mặt tạo nên vật thể CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 1. z2 = 2-x2-y2=x2+y2 ↔ 1= x2+y2 Như vậy, hình chiếu của V1 xuống mp z=0 là hình tròn x2+y2 ≤1 ↔ x2+y2 ≤2-x2-y2. (Làm ngược lại với pt trên) Tức là ta cũng xác định được mặt nằm trên, nằm dưới trong miền V1. Vậy : 2 2 2 2 2 2 1 1 [(2 ) ( )] x y V x y x y dxdy Vì miền lấy tích phân là hình tròn có tâm là gốc tọa độ nên ta sẽ đổi biến tp trên sang tọa độ cực bằng cách đặt x=rcosφ, y=rsinφ 12 1 2 2 4 1 0 0 0 3(2 2 ) 2 ( ) 4 2 V d r r dr r r CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 1 0≤φ≤2π 0≤r ≤1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 2. Trong 2 mặt đã cho có 1 mặt trụ kín nên hình chiếu chính là hình tròn x2+y2≤2x 2 mặt còn lại là nửa dương và nửa âm của mặt cầu. Vì cả 2 mặt đã cho đều nhận z=0 là mặt đối xứng nên ta sẽ tính thể tích nửa phía trên và nhân đôi 2 2 2 2 2 2 2 4 x y x V x y dxdy 2cos2 2 2 0 2 2 4V d r r dr Miền lấy tp là hình tròn đi qua gốc tọa độ nên ta đổi biến bằng cách đặt x=rcosφ, y=rsinφ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 2 -π/2≤φ≤π/2 0 ≤r ≤2cos φ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 3. Vật thể giới hạn bởi 2 hình trụ kín nên ta có thể chọn 1 trong 2 hình trụ đó để chiếu xuống mặt z=0 hoặc y=0. Chẳng hạn, ta chọn chiếu xuống mặt z=0 để hình chiếu là hình tròn D: x2+y2≤1 Cả 2 hình trụ tạo nên V3 đều nhận cả 3 mặt tọa độ là các mặt đối xứng nên ta sẽ chỉ tính thể tích V3 phần ứng với x, y, z ≥ 0 rồi nhân với 8 Khi đó, hình chiếu chỉ còn là ¼ hình tròn với x, y ≥ 0 và giới hạn bởi 20 1z x 2 2 2 3 1, 0, 0 8 1 x y x y V x dxdy 14 2 2 0 0 8 1 cosd r r dr CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 14 3 2 2 2 3 2 00 1 8 ( (1 cos ) 3cos V d r 4 3 2 2 3 2 0 1 8 ( ((1 cos ) 1) 3cos V d 4 3 3 2 0 1 8 ( (sin 1)) 3cos V d Ghi chú: Hình vẽ cho 1/8 thể tích đã có trong bài giảng lý thuyết CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 3a. Ta sẽ khử x từ 2 phương trình 2 mặt để tìm hình chiếu của vật thể xuống mặt phẳng Oyz     2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 26 36 12( )y z y z y z y z y z           2 2 2 2 4(1) 9(2) y z y z        Do điều kiện x ≥ 0 nên ta loại trường hợp (2), như vậy hình chiếu cần tìm là hình tròn D : y2+z2≤4 Tức là ta đang lấy ngoài khoảng 2 nghiệm của tam thức (*) nên ta có bất đẳng thức tương ứng     22 2 2 213 36 0(*)y z y z          22 2 2 2 2 24 13 36 0y z y z y z        CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Vậy: 2 2 2 2 2 2 6 4 y z y z y z V dydz dx          2 2 2 2(6 ) D y z y z dydz       2 2 2 0 0 6d r r r dr      z=rcosφ y=rsinφ Bài tập phần UD hình học của tích phân kép     22 2 2 2 2 24 13 36 0y z y z y z            22 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 36 12( ) 6 6 y z y z y z y z y z y z y z                 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài tập phần UD hình học của tích phân kép CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài tập phần UD hình học của tích phân kép Bài 2: Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt 4. V4: 2z=y 2, x2+y2=4,z=0 5. V5: x 2+y2=4x, z=x, z=3x 6. V6: x 2=y,z=0,z=4-y 7. V7: x=y 2, x=4y2, x+z=4, z=0, y≥0 8. V8: y=1+x 2, z=3x, y=5, z=0 9. V9: z=4-y 2, z=y2+2, x=-1, x=2 10. V10: z=x 2+y2, z=2x2+2y2, y=x, y=x2 11. V11: x 2+z2=4, y=0, y=x, z=0, z≥0 12. V12: y=x, y=2x, x=1, z=x 2+y2, z=2x2+y2 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 4. Trong 3 mặt đã cho có 1 hình trụ kín là x2+y2=4 nên ta được hình chiếu là hình tròn D: x2+y2≤4 Với 2 mặt còn lại, hiển nhiên 0 ≤ 1/2y 2 nên ta được 2 4 1( 0) 2 D V y dxdy 2 2 2 2 0 0 sin 2 r d r dr 8 3 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 5. Trong 3 mặt đã cho có 1 hình trụ kín nên hình chiếu xuống mp z=0 là D: x2+y2≤4x, tức là x≥0 trong miền D Từ đó suy ra 3x≥x 5 (3 ) D V x x dxdy 4cos2 0 2 .2 cosd r r dr =16π CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 6. Trong 3 mặt đã cho có 1 hình trụ nhưng là trụ không kín, hình chiếu của nó xuống mp z=0 chỉ là đường parabol – đường cong không kín : y=x2. Do đó, phần còn hở của parabol phải được “đậy kín” bởi giao tuyến của 2 mặt còn lại là z=y-4=0, để hình chiếu của vật thể là D: y=x2, y=4, suy ra y≤4 trong D Còn lại 2 mặt, ta có y≤4 ↔ 0≤y-4 6 (( 4) 0) D V y dxdy 2 2 4 2 ( 4) x dx y dy 128 5 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài tập phần UD hình học của tích phân kép CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 7. Trong 4 mặt đã cho có 2 mặt trụ cùng song song với Oz, có hình chiếu xuống mp z=0 là phần mp không kín x=y2, x=4y2 Do đó, phần hở giữa 2 parabol phải được “đậy kín” bởi giao tuyến của 2 mặt còn lại là z=4-x=0, để hình chiếu của vật thể là D: x=y2, x=4y2, x=4, suy ra x≤4 trong D Còn lại 2 mặt, ta có x≤4 ↔ 0≤4-x 7 (4 ) D V x dxdy 4 0 2 (4 ) x x x dx dy 64 15 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài tập phần UD hình học của tích phân kép CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 8. Trong 4 mặt đã cho, có 1 mặt trụ và 1 mp cùng song song với trục Oz là y=x2+1 và y=5, hình chiếu của 2 mặt này xuống mp z=0 cho miền D: y=x2+1, y=5 Miền D có 2 phần: bên trái ứng với x≤0 và bên phải ứng với x≥0 nên tương ứng khối V8 chia thành 2 phần với mp z=0 lúc nằm trên, lúc nằm dưới mp z=3x 8 , 0 , 0 3 ( 3 ) D x D x V xdxdy x dxdy 2 2 2 5 0 5 8 0 21 1 3 ( 3 ) x x V dx xdy dx x dy 2 2 8 0 2 (4 )3V x xdx =24 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài tập phần UD hình học của tích phân kép CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 9. Trong 4 mặt đã cho có 2 mặt trụ parabol cùng song song với trục Ox cho ta hình chiếu xuống mp x=0 là miền D: z=4-y2, z=2+y2 9 (2 ( 1)) D V dydz 2 2 41 1 2 3 y y dy dz =8 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 10. Trong 4 mặt đã cho có 2 mặt trụ parabol cùng song song với trục Oz cho ta hình chiếu xuống mp z=0 là miền D: y=x, y=x2 2 2 2 2 10 ((2 2 ) ( )) D V x y x y dxdy 2 1 2 2 10 0 ( ) x x V dx x y dy 1 70 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 11. Ta chọn nửa hình trụ x2+z2=4, z=0, z≥0 song song với trục Oy, tức là hình chiếu là D: 0≤z, x2+z2≤4 Vật thể V11 lại chia thành 2 phần: phần ứng với x≥0 thì mp y=x nằm trên, phần ứng với x<0 thì mp y=x nằm dưới so với mp y=0 11 , 0 , 0 ( ) D x D x V xdxdz x dxdy 2 22 11 0 0 0 2 . cos ( cos )V d r r dr d r r dr 16 3 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài tập phần UD hình học của tích phân kép CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 12. Trong 5 mặt đã cho, có 3 mặt phẳng cùng song song với trục Oz, hình chiếu của chúng xuống mp z=0 là tam giác D: y=x, y=2x, x=1 2 2 2 2 12 ((2 ) ( )) D V x y x y dxdy 1 2 2 0 x x dx x dy CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính 1 2, ,..., n   1 2, ,..., nV V V   Định nghĩa: Cho hàm f(x,y,z) xác định trên miền đóng và bị chặn Ω trong không gian Oxyz. Chia Ω thành n phần không dẫm lên nhau có thể tích tương ứng là Trong mỗi miền Ωk lấy 1 điểm bất kỳ Mk(xk,yk,zk) Lập tổng tích phân 1 ( , , ) n n k k k k k S f x y z V    Cho , nếu tổng trên tiến tới giá trị hữu hạn S không phụ thuộc vào cách chia miền Ω và cách lấy điểm Mk thì giới hạn hữu hạn S được gọi là tích phân bội ba của hàm f(x,y,z) trên miền Ω max ( ) 0kd   CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chú ý : Vì tích phân không phụ thuộc vào cách chia miền Ω nên ta có thể chia Ω bởi các mặt phẳng song song với các mặt tọa độ . Khi ấy mỗi miền nhỏ là hình hộp chữ nhật nên ta có ΔV = Δx Δy Δz = dxdydz Vì vậy ta thường dùng kí hiệu : ( , , ) ( , , )f x y z dV f x y z dxdydz     §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính max ( ) 0 1 ( , , ) lim ( , , ) k n k k k k d k f x y z dV f x y z V      Vậy: CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Tính chất: Các hàm f, g khả tích trên Ω Nếu Ω được chia thành 2 miền không dẫm lên nhau Ω1, Ω2 §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính ( )dxdydz V   1. . ( , , ) ( , , )C f x y z dxdydz C f x y z dxdydz    2. ( ( , , ) ( , , )) ( , , ) ( , , )f x y z g x y z dxdydz f x y z dxdydz g x y z dxdydz        3. ( , , ) ( , , )f x y z dxdydz g x y z dxdydz    4. Nếu g ≥ f trên Ω thì 1 2 ( , , ) ( , , ) ( , , )f x y z dxdydz f x y z dxdydz f x y z dxdydz       5. CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 0 0 0( , , ) ( , , ) ( )f x y z dxdydz f x y z V    Ta gọi giá trị trung bình của hàm f trên Ω là đại lượng 1 ( , , ) ( ) f x y z dxdydz V    6. Định lý giá trị trung bình: Nếu hàm f(x,y,z) liên tục trong miền đóng, giới nội, liên thông Ω thì trong Ω tồn tại ít nhất 1 điểm M0(x0,y0,z0) sao cho : §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Cách tính ( , ) ( , ) ( , , ) ( , , ) x y D x y f x y z dxdydz f x y z dz dxdy           Nếu miền Ω có hình chiếu xuống mặt phẳng Oxy là miền D và giới hạn trên bởi mặt z = φ(x,y), giới hạn dưới bởi mặt z = ψ(x,y) thì Ta còn viết tích phân trên ở dạng ( , ) ( , ) ( , , ) x y D x y dxdy f x y z dz     Như vậy, để tính tích phân bội ba ta cần xác định hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng tọa độ, sau đó đi xác định mặt giới hạn trên, dưới của Ω §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ 1 : Tính tích phân 1 2I zdxdydz    Trong đó Ω giới hạn bởi 2 20 ,0 , 4x y x y z     Còn z giới hạn bởi x2+y2≤z ≤4, nên 2 2 4 1 2 D x y I dxdy zdz     2 2 2 4( ) x y D z dxdy    2 2 2(16 ( ) ) D x y dxdy   22 4 0 0 (16 )d r r dr     §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính Hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy là phần hình tròn D : x2+y2≤4, 0≤x, 0≤y CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính D x=0 y=0 z=4 z=x2+y2 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Mặt trụ parabolic song song với trục Oz và tựa lên đường parabol y=x2 là mặt trụ không kín, ta cần thêm giao tuyến của mặt phẳng z + y = 1 với mặt phẳng Oxy là đường thẳng y = 1 để có được hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy là miền đóng D Trong miền D, ta có y≤1 tức là 0 ≤ 1 - y nên trong Ω mặt phẳng z = 1 – y nằm trên mặt phẳng z = 0 2 ( )I x y dxdydz   Ví dụ 2 : Tính tích phân Trong đó Ω giới hạn bởi y=x2, y+z=1, z=0 §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính -1 1 1 D CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Vì vậy: 1 2 0 ( ) y D I dxdy x y dz     1 0( ( )) D yzx y dxdy  2 1 1 2 1 ( )(1 ) x I dx x y y dy      §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính y+z=1 z=0 y=x2 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính Ví dụ 3: Tính tích phân bội ba hàm f(x,y,z)=x trên miền Ω giới hạn bởi x=0, y=0, z=0, x+y=1, x+y=z Hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng z=0 là miền D giới hạn bởi x=0, y=0, x+y=1 Miền D ứng với x+y≥0 nên ta được 0≤z ≤x+y. Vậy : 3 ( , , )I f x y z dxdydz 3 0 x y D I dxdy xdz 1 1 3 0 0 x I xdx dy CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính x=0 x+y=1 y=0 x+y=z CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Xét điểm M(x,y,z) trong không gian, N(x,y,0) là hình chiếu của M xuống mặt phẳng xy. Gọi (r,φ) là tọa độ của N trong tọa độ cực thì : x = rcos φ, y = rsin φ Vậy điểm M được xác định bởi bộ ba số (r, φ, z), chúng được gọi là tọa độ trụ của điểm M. Công thức liên hệ giữa tọa độ trụ và tọa độ Descartes là cos sin x r y r z z        §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụ y x z M(x,y,z) z φ N(r,φ) r CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ta có công thức tính tích phân trong tọa độ trụ Chú ý : Ta thường đổi tích phân bội ba sang tọa độ trụ nếu hình chiếu của miền lấy tích phân xuống 1 trong 3 mặt tọa độ là 1 phần hình tròn hoặc 1 phần ellipse. ( , , ) . ( cos , sin , )f x y z dxdydz r f r r z drd dz       §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 2 2 2 2z x y x y    Miền Ω giới hạn bởi 2 mặt cong nên ta sẽ khử biến z từ 2 phương trình để tìm hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng z = 0 2 2 2 2 2( ) 0x y x y     2 2 2 2 0 1 z x y z x y          (loại) §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụ Ví dụ 4: Tính tích phân 3I zdxdydz    2 2 2 2,z x y z x y   Trong đó Ω là miền giới hạn bởi Suy ra, hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy là hình tròn , tương ứng ta có 2 2 1x y CuuDuongThanCong.com https://fb. om/tailieudientucntt Vậy: Hình chiếu của miền lấy tích phân là hình tròn nên ta sẽ đổi tích phân trên sang tọa độ trụ bằng cách đặt : cos sin x r y r z z        2 2 2 2 2 2 3 1 x y x y x y I dxdy zdz        và ta có 2 2 1 3 0 0 r r I d rdr zdz      12   §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụ 2 2 2 2x y x y  Vì x2+y2≤1 nên 2 21 1 2 4 3 0 0 2 . .( ) . ( ) 2 r r z I rdr r r r dr     CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụ Miền D CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Mặt trụ kín x2+y2=1 song song với trục Oz nên chiếu Ω xuống mặt phẳng Oxy ta được hình tròn : x2+y2≤1 §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụ Ví dụ 5: Tính tích phân Trong đó Ω giới hạn bởi 5 2 2 z I dxdydz x y    2 2 1, 0, 2x y z x y z      Với 2 mặt còn lại, ta phải so sánh giữa z=0 và z= để có cận đối với dz √2 -x-y Ta vẽ thêm đường thẳng √2 -x-y =0 trong mp z=0 để so sánh Rõ ràng, trong hình tròn ta có √2 -x-y ≥0 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụ Hình chiếu của Ω là hình tròn nên ta sẽ đổi tích phân trên tọa độ trụ bằng cách đặt cos sin x r y r z z        2 cos sin2 1 5 0 0 0 r r z I d rdr dz r 2 cos sin2 1 2 5 00 0 2 r r z I d dr 2 2 2 5 2 2 01 x y x y z I dxdy dz x y         Vậy : CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụ Ta sẽ tính bằng cách thứ 2 2 5 0 1 1 7 2 2(cos sin ) (1 sin2 ) 2 3 3 I d x+y+z=√2 Miền D x2+y2=1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 x y x y x y xy dxdy x y          Ta đang có tích phân kép trên cả hình tròn nên ta sẽ đổi tích phân kép trên sang tọa độ cực thông thường và được §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụ 2 2 22 5 2 2 1 0 1 2 x y x y z I dxdy x y              2 22 1 5 0 0 2 2 2 (cos sin ) 2 sin cosr r r I d r dr r              CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Như vậy, thực chất việc ta tính tích phân bội ba trong tọa độ trụ chính là việc tính tích phân đó bình thường theo dz, sau đó đổi tích phân kép trên hình chiếu sang tọa độ cực. §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụ Ví dụ 6: Tích tích phân bội ba hàm f(x,y,z) = y2+z2 trên miền Ω giới hạn bởi y2+z2=1, y2+z2=4, x=2π, x=4π Trong 4 mặt tạo nên Ω có 2 mặt trụ cùng song song với Ox nên ta sẽ chiếu Ω xuống mặt phẳng x=0, và được miền D : 1≤ y2+z2≤4 2 mặt còn lại cho ta cận tích phân theo dx: 2π≤x ≤4π 4 2 2 6 2 ( ) D I dydz y z dx 2 2 2 2 1 4 ( ).2 y z y z dydz 2 2 2 2 6 0 1 2 . 15I d r r dr CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trong không gian cho điểm M(x,y,z), N là hình chiếu của M xuống mặt phẳng xy. Ta đặt: ρ là độ dài đoạn OM Như vậy 0 ≤ ρ ˂ +∞, - 2π ≤ φ ≤ 2π, 0 ≤ θ ≤ π Nếu M nằm trên Oz thì góc φ không xác định, còn khi M trùng với gốc tọa độ thì cả θ cũng không xác định. Còn tất cả các điểm khác đều có thể xác định φ, θ, ρ và ta gọi đó là tọa độ cầu của điểm M §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu θ φ N M φ là góc giữa Ox và tia ON θ là góc giữa Oz và tia OM ρ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Khi đó, ta dễ dàng tính được sin cos sin sin cos x y z              Ngược lại, ta có công thức chuyển từ tọa độ cầu sang tọa độ Descartes như sau 2 2 2 2 2 tan tan x y z y x x y z                 §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Từ đó, ta có công thức đổi biến tích phân bội 3 sang tọa độ cầu: 2 ( , , ) sin ( sin cos , sin sin , cos ) f x y z dxdydz f d d d                  Thông thường, nếu miền lấy tích phân là 1 phần hình cầu hoặc 1 phần ellipsoid thì ta sẽ đổi tích phân bội ba sang tọa độ cầu. Cận của φ được xác định dựa vào hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy, còn đối với θ, ρ thì dựa vào phần cắt dọc Ω bởi 1 mặt phẳng chứa trục Oz §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy là ¼ hình tròn D: x2+y2≤1 ,0≤x, 0≤y nên ta được 0 ≤ φ ≤ π/2 Cắt dọc Ω bởi 1 mặt phẳng chứa trục Oz bởi mặt x = y ta được ½ hình tròn với z ≥ 0 (D1) nên 0 ≤ θ ≤ π/2 Trong miền D1, đi theo chiều mũi tên từ gốc tọa độ ra ta chỉ gặp 1 đường cong tức là đi trong Ω ta chỉ gặp mặt cầu với phương trình §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu Ví dụ 7 : Tính tích phân Trong đó Ω giới hạn bởi 6 2I yzdxdydz    2 2 2 1, 0, 0, 0x y z x y z      Ta đổi sang tọa độ cầu bằng cách đặt x = ρsinθcosφ, y= ρsinθsinφ, z = ρcosθ ρ ≤ 1 2 2 2 1x y z CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 12 2 2 4 5 0 0 0 sin sin cos 2I d d d             Vậy : 12 2 2 5 0 0 0 sin .2 sin sin . cosI d d d                  1 2 3 52 5 0 0 0 1 2 cos sin 3 5 I                    §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu x2+y2+z2=1 z 0≤θ ≤π/2 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt sin cos 2 2 sin cos sin sin 3 sin sin 3 coscos x x y y zz                              Miền lấy tích phân là 1 phần ellipsoid nên ta sẽ đổi tích phân sang tọa độ cầu mở rộng bằng cách đặt : §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu 2 2 2 1, 0, 0, 0 4 9 x y z x y z      Ví dụ 8: Tính tích phân bội ba hàm f(x,y,z)=x+y trên miền Ω giới hạn bởi thì định thức Jacobi 2 22.3. sin 6 sinJ     và 2 2 2 1 4 1 9 x y z     CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Điều kiện x ≤ 0, y ≥ 0 nên hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy là ¼ hình tròn đơn vị nằm trong góc phần tư thứ 2 nên ta có π/2 ≤ φ ≤ π Cắt dọc Ω bởi 1 mặt phẳng chứa trục Oz là mặt x = y ta được D1 : , z ≤ 0, y ≥ 0 (¼ ellipse ) nên π/2 ≤ θ ≤ π và đi theo chiều mũi tên từ gốc tọa độ ta chỉ gặp 1 mặt ellipsoid với phương trình ρ = 1 nên ta có ρ≤1 Vậy : 2 2 1 9 y z  1 2 8 0 2 2 6 sin ( sin cos sin sin )I d d d                   1 2 3 8 0 2 2 (sin cos ) sin 6I d d d               §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu D Hình chiếu z CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu Ví dụ 9: Tính tích phân bội ba hàm f(x,y,z)=x+y trong miền Ω giới hạn bởi x2+y2+z2=2, z2=x2+y2, z≥0 Miền Ω giới hạn chỉ bởi 2 mặt nên ta tìm hình chiếu xuống mặt z=0 bằng cách khử z từ 2 phương trình 2 mặt và được hình chiếu là D: x2+y2≤1 0≤φ ≤2π Hình chiếu D là cả hình tròn tâm tại gốc tọa độ nên Ta cũng cắt dọc miền Ω bởi mặt phẳng thẳng đứng x=0 để được -y≤z≤y, y2+z2 ≤2, 0≤z Suy ra 0≤θ≤π/4, 0 ≤ρ≤√2 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu Miền D z 0≤θ≤π/2 0≤θ≤π/2 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu Vậy 2 24 2 9 0 0 0 sin ( sin cos sin sin )I d d d 2 24 2 3 9 0 0 0 (cos sin ) sinI d d d Thự ra đây là tích của 3 tích phân xác định nhân với nhau, mà tích phân thứ nhất bằng 0. Suy ra I9=0 Tuy nhiên, vì miền Ω có hình chiếu là hình tròn nên ta cũng có thể đổi tích phân trên sang tọa độ trụ thông thường CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu 2 2 2 2 2 2 2 9 1 ( ) x y x y x y I dxdy x y dz 2 2 2 2 2 2 9 1 ( )( 2 ) x y I x y x y x y dxdy 2 1 2 9 0 0 ( cos sin )( 1 )I d r r r r r dr 2 1 2 2 9 0 0 (cos s ) ( 1 )I in d r r r dr I9=0 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ 10 : Đổi tích phân sau về tọa độ Descartes Trước tiên, ta xem xét cận của tích phân theo dr, dφ để có hình chiếu D của miền lấy tích phân xuống mặt Oxy, §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu 22 1 4 2 10 0 0 0 r I d dr r dz        2 2 1 1 1 1 x x y x           0 2 : 0 1 D r       Suy ra D: x2+y2≤1 -1 1 1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu 2 2 2 2 2 2 41 2 2 10 1 0 x y x y x y I dx dy x y dz           và cuối cùng xem xét đến hàm dưới dấu tích phân để đổi về tọa độ Oxyz : 2 2( , , )f x y z r x y sau đó là cận của tích phân theo dz để có mặt giới hạn trên, giới hạn dưới với chú ý x2+y2=r2 : 0≤z≤4-x2-y2 Vậy: CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 2 2 2 2 0 : a x D a x y a x          3 2 2     Ta cũng bắt đầu từ cận tích phân theo dx, dy để có hình chiếu của miền lấy tích phân xuống mặt phẳng Oxy §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu Ví dụ 11: Đổi tích phân sau sang tọa độ cầu và tính 2 2 2 2 2 2 2 0 0 11 a x a a x a x y I dx dy xdz            0 -a a -a CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Cận tích phân theo dz là cho ta ½ hình cầu nằm phía dưới mặt phẳng z = 0 Cắt dọc miền lấy tích phân bởi mặt phẳng chứa trục Oz là x = 0 ta được ½ hình tròn y2+z2≤a2, z≤0 Suy ra π/2 ≤ θ ≤ π và 0≤ ρ≤a Cuối cùng thay x=ρsinθcosφ vào 2 2 2 2 2 2 2 0 0 x y z a a x y z z             §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu -a a -a z 3 2 2 11 0 2 2 sin . sin cos a I d d d                CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu Ví dụ 12: Tính tích phân trên miền V: x2+y2=1, z=0, x2+y2=z2 (z≥0) của hàm 2 2 2( , , )f x y z x y z 3 mặt giới hạn V không có mặt cầu nhưng vì hàm f(x,y,z) mà ta sẽ đổi tích phân sang tọa độ cầu Hình chiếu của V xuống mp z=0 là hình tròn D: x2+y2≤1 → 0≤φ≤2π Cắt dọc V bởi mp x=0 ta được D1: z=0, y=1, z=y 1 1 π/4≤θ≤π/2 Đi từ gốc tọa độ ra, ta chỉ gặp duy nhất đường thẳng tương ứng là mặt trụ trong không gian với pt x2+y2=1 ↔ ρsinθ=1 ↔ ρ =1/sinθ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu 1 2 sin2 2 12 0 0 4 sin .I d d d 12 2 sin 4 00 4 1 sin 4 d d 2 2 12 3 0 4 1 1 4 sin I d d 2 2 2 2 0 4 1 cos 4 (1 s ) d d co 12 1 2 1 ( 2 ln ) 2 2 2 1 I CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu D1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2. Tích phân bội ba – UD hình học ( ) 1.V dxdydz    Thể tích miền Ω được tính bởi Ví dụ 13: Tính thể tích vật thể Ω giới hạn bởi , 2 , 6, 0y x y x x z z     D: 0≤x≤6, √x≤y≤2√x Hai mặt trụ song song với trục Oz là y = √x, y = 2√x tựa lên 2 đường parabol, ta lấy thêm đường thẳng giao tuyến của mặt phẳng x + z =6 với mặt phẳng z = 0 để được miền đóng D là hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy. CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Miền D nằm bên trái đường thẳng x = 6 tức là ứng với 0 ≤ 6 – x nên trong miền Ω ta có bất đẳng thức 0 ≤ z ≤ 6 – x §2. Tích phân bội ba – UD hình học O 6 2√6 √6 D 6 2 6 0 0 ( ) x x x V dxdydz dx dy dz        Vậy: CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt D ≤ 5π/4 Cắt dọc Ω bằng mặt phẳng chứa trục Oz là y = x ta được miền D1 là hình vành khăn §2. Tích phân bội ba – UD hình học Ví dụ 14: Tính thể tích vật thể Ω giới hạn bởi 2 2 21 4,x y z x y     Ta sẽ tính thể tích bằng cách đổi tích phân bội ba ( )V dxdydz     sang tọa độ cầu bình thường Hình chiếu của vật thể xuống mặt phẳng Oxy là nửa hình tròn D: 2 2 4,x y x y   π/4 ≤ φ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt D1 ≤ π Trong miền D1 ta đi theo chiều mũi tên từ gốc tọa độ ra Vậy: 5 24 2 0 1 4 ( )V d d sin d               2 3 0 1 5 1 ( ) ( ) cos 4 4 3 V               14 ( ) 3 V    §2. Tích phân bội ba – UD hình học nên 0 ≤ θ ta gặp đường tròn nhỏ trước, đường tròn lớn sau nên 1 ≤ ρ ≤ 2 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt D D1 §2. Tích phân bội ba – UD hình học CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ta tìm hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy bằng cách khử z : thay z từ pt sau vào pt trước Cắt dọc Ω bằng 1 mặt phẳng chứa trục Oz là mặt x = 0 ta được miền D1: -y ≤ z ≤y, y2+z2≤2z nên 0 ≤ θ ≤π/4 và đi theo chiều mũi tên từ trong gốc tọa độ ra ta chỉ gặp 1 mặt cầu với phương trình 2 2 2 22 2 cos 2cosx y z z          §2. Tích phân bội ba – UD hình học 2 2 2 2 22 ,x y z z z x y     Ví dụ 15: Tính thể tíchΩ giới hạn bởi 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 1x y x y x y x y Ta được hình chiếu D: x2+y2≤1 → 0≤φ≤ 2π CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 1 1 §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu 0 ≤ θ ≤π/4 2 2cos4 14 0 0 0 sinI d d d            CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt