Giáo trình Giải tích 2: Chương 1: Hàm số nhiều biến - Nguyễn Thị Minh Ngọc

Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương 1 – Toán 3 1 CHƯƠNG 1. HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ Đồ thị của các hàm hai biến số là những mặt cong và mặt phẳng, kể cả những hình dạng như hẻm núi. Tại vòm Phipps ở phía Bắc Utah, bạn có thể tìm được một điểm mà tại đó là vì trí thấp nhất nếu nhìn theo một hướng và cao nhất nếu nhìn theo hướng khác. Ở học phần trước chúng ta đã nói đến các hàm một biến số. Nhưng trong thực tế, các đại lượng vật lý thường phụ thuộc vào hai hoặc nhiều biến số, vì vậy trong chương này chúng ta quan tâm đến các hàm nhiều biến và đưa ra những lý thuyết cơ bản về hàm nhiều biến trong giải tích. 1.1. Hàm nhiều biến Trong phần này chúng ta nghiên cứu hàm 2 hay nhiều biến từ 4 cách tiếp cận sau: - Bằng lời nói (hàm số được diễn đạt bằng từ ngữ) - Bằng số liệu (hàm số được cho bởi một bảng giá trị) - Bằng đại số (hàm số cho bởi một công thức xác định) - Bằng mắt (hàm số cho bởi một đồ thị hoặc các đường mức). 1.1.1. Hàm hai biến Nhiệt độ của một điểm trên bề mặt của trái đất tại bất kỳ thời gian nào phụ thuộc vào kinh độ x và vĩ độ y của điểm đó. Chúng ta có xem đó là hàm của hai biến x và y, hoặc như là hàm của một cặp (x, y). Chúng ta biểu thị sự phụ thuộc này bằng cách viết T = f(x, y). Thể tích V của hình trụ tròn phụ thuộc vào bán kính r và chiều cao h của nó, vì = ℎ. Chúng ta nói rằng V là hàm của r và h, và viết (, ℎ) = ℎ. Định nghĩa: M ột hàm hai biến f (function f of two variables) là một quy luật gán mỗi cặp số thực (x,y) thuộc tập D với duy nhất một số thực được xác định bởi f(x,y). Khi đó tập D là miền xác định (domain) của hàm f và miền giá trị (range) của nó là tập các giá trị của f tức là {(, ) | (, ) ∈ }. Ta thường viết = (, ) để chỉ rõ giá trị được xác định bởi f tại điểm (x,y). Biến x và y là các biến độc lập (independent variables) và z là biến phụ thuộc. (So sánh điều này với ký hiệu = () của hàm một biến). M ột hàm hai biến là một hàm số mà miền xác định của nó là tập con của ℝ và miền giá trị của nó là tập con của ℝ . Có thể hình dung một hàm số bằng sơ đồ mũi tên như hình 1, trong đó miền xác định D của hàm số được thể hiện như một tập con của mặt phẳng tọa độ Oxy và miền giá trị là một tập các số trên trục số thực và được chỉ ra như trục Oz. Ví dụ nếu Vòm Phipps Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương 1 – Toán 3 2 (, ) biểu thị nhiệt độ của một điểm (x,y) trên một chiếc đĩa kim loại bằng phẳng có hình dạng D, ta có thể hiểu trục Oz như một cái nhiệt kế biểu thị các giá trị nhiệt độ nhận được. Nếu một hàm số f được cho bởi một công thức và miền xác định chưa được chỉ rõ thì khi đó miền xác định D của hàm f được hiểu là tập hợp tất cả các cặp (x,y) sao cho giá trị của biểu thức nhận được là một số thực xác định. Ví dụ 1: Với mỗi hàm số sau, tính giá trị (3,2), tìm và mô tả miền xác định của nó. (a) (, ) = (b) (, ) = ( − ) Lời giải: a) (3, 2) = √ = √ Biểu thức của f xác định nếu mẫu số khác 0 và biểu thức dưới dấu căn bậc 2 không âm. Do đó miền xác định D của f là: = {(, )| + + 1 ≥ 0, ≠ 1} Bất phương trình + + 1 ≥ 0 hay ≥ − − 1 biểu diễn tất cả các điểm thuộc đường thẳng và nằm phía trên đường thẳng = − − 1 với điều kiện ≠ 1 nghĩa là các điểm thuộc đường thẳng = 1 bị loại bỏ khỏi miền xác định như hình 2. b) (3,2) = 3 ln(2 − 3) = 31 = 0 Vì ( − ) xác định khi − > 0 hay < , miền xác định của hàm f là = {(, ) | < }. Đây là tập hợp các điểm nằm ở phía bên trái của parabol = (xem hình 3). Không phải tất cả các hàm số đều được biểu diễn bởi một công thức rõ ràng. Hàm số trong ví dụ sau đây được diễn đạt bằng lời và bằng số liệu các giá trị của nó. Ví dụ 2: Ở những vùng có thời tiết mùa đông khắc nghiệt, chỉ số gió lạnh (wind -chill index) thường được sử dụng để mô tả mức độ nghiêm trọng của cái lạnh. Chỉ số W này là nhi ệt độ cảm nhận phụ thuộc vào nhiệt độ thực tế T và tốc độ gió v. Vì vậy, W là hàm c ủa T và v và chúng ta có thể viết = (, ). Bảng 1 ghi giá trị của W đư ợc biên soạn bởi Dịch vụ Thời tiết Quốc gia của Hoa K ỳ (National Weather Service) và Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương 1 – Toán 3 3 Dịch vụ Khí tượng của Canada. Ví dụ, bảng cho thấy nếu nhiệt độ là -5oC và tốc độ gió là 50 km/h, thì sẽ cảm thấy lạnh như nhiệt độ khoảng -15oC khi không có gió. Vì vậy (− 5, 50) = − 15. (Chỉ số Gió – Lạnh: Một chỉ số Gió – Lạnh mới được giới thiệu vào tháng 11 năm 2001 và chính xác hơn chỉ số cũ dùng để đo độ lạnh khi có gió, chỉ số mới phụ thuộc vào sự mất nhiệt nhanh như thế nào trên khuôn mặt của một người. Nó được phát triển thông qua những thử nghiệm đơn giản mà ở đó những người tình nguyện được đặt vào trong những nhiệt độ và tốc độ gió khác nhau trong một phòng lạnh). Ví dụ 3: Năm 1928 Charles Cobb và Paul Douglas đã công bố một công trình nghiên cứu của họ về việc đưa ra công thức chuẩn mẫu của sự tăng trưởng nền kinh tế M ỹ giai đoạn 1899- 1922. Họ đã xem xét một phương diện cơ bản của nền kinh tế đó là lượng sản phẩm sản xuất ra được quyết định bởi nguồn lao động phức tạp và nguồn vốn. Trong khi có rất nhiều những nhân tố khác ảnh hưởng đến nền kinh tế. Công thức họ đưa ra đã được chứng minh là hoàn toàn chính xác. Họ đã dùng hàm số có dạng như sau để chỉ ra lượng sản phẩm 1 (, ) = Trong đó P là tổng sản phẩm (tổng giá trị tiền tệ của tất cả các hàng hóa được sản xuất trong một năm). L là lượng lao động (tổng số nhân công làm việc trong một năm) và K là lượng vốn (tổng giá trị tiền tệ của máy móc, thiết bị và nhà cửa). Cobb và Douglas đã sử dụng dữ liệu kinh tế được công bố bởi chính phủ để lập bảng 2. Họ đã lấy số liệu năm 1899 như là một mốc và các giá trị P,L, K của năm 1899 đều được gán ứng với giá trị 100. Các giá trị của các năm khác được biểu diễn như là phần trăm của các giá trị của năm 1899. Cobb và Douglas đã dùng phương pháp bình phương tối thiểu để xấp xỉ quan hệ giữa các số liệu của bảng 2 bởi một hàm số sau: 2 (, ) = 1.01 . . Nếu ta sử dụng công thức được đưa ra bởi hàm số ở phương trình (2) để tính tổng sản phẩm trong năm 1910 và 1920 thì ta được giá trị (147,208) = 1.01(147).(208). ≈ 161.9 (194,407) = 1.01(194).(407). ≈ 235.8 Các giá trị này chênh lệch một ít so với giá trị thực tế là 159 và 231. Hàm tính tổng sản phẩm này đã được sử dụng trong nhiều tại liệu, nhiều lĩnh vực từ các công ty nhỏ lẻ cho tới kinh tế toàn cầu. Hàm số này được biết đến như là hàm tổng sản Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương 1 – Toán 3 4 phẩm Cobb – Douglas (Cobb – Douglas production function). Mi ền xác định của nó là {(, )| ≥ 0, ≥ 0} bởi vì L, K biểu diễn cho số lao động và số vốn nên luôn không âm. █ Ví dụ 4: Tìm miền xác định và miền giá trị của g(, ) = 9 − − . Lời giải: Mi ền xác định của g là = {(, )| 9 − − ≥ 0}= {(, )| + ≤ 9} đó là đĩa tròn tâm (0, 0) bán kính bằng 3. (Xem Hình 4.) Mi ền giá trị của g là | = 9 − − , (, ) ∈ Bởi vì 9 − − ≤ 9 nên 9 − − ≤ 3. Do đó miền giá trị của g là { | 0 ≤ ≤ 3}= [0, 3]. 1.1.2. Đồ thị M ột cách khác để hình dung đặc trưng của hai biến là xem xét đồ thị của nó. Định nghĩa: Nếu f là hàm hai biến có miền xác định là D thì đồ thị (graph) của nó là tập tất cả các điểm (x, y, z)  R3 sao cho z = f(x, y) và (x, y)  D. Như vậy, đồ thị của hàm một biến là đường cong với phương trình y = f(x) thì đồ thị của hàm hai biến là mặt cong với phương trình z = f(x, y). Chúng ta có thể hình dung rằng hình chiếu lên mặt phẳng xy của đồ thị S của hàm f chính là miền D (Hình 5). Ví dụ 5: Phác họa đồ thị hàm f(x, y) = 6 – 3x – 2y. Lời giải: Đồ thị của f có phương trình z = 6 – 3x – 2y hay 3x + 2y + z = 6, đó là m ặt phẳng. Để vẽ mặt phẳng, ta tìm các giao điểm. Cho y = z = 0, ta nhận được x = 2 là giao với trục Ox. Tương tự, giao với Oy tại y = 3 và giao với Oz tại z bằng 6. Điều này giúp chúng ta phác họa phần của đồ thị nằm trong phần tám đầu tiên của không gian (first octant) như trong Hình 6. Hàm trong Ví dụ 5 là trường hợp đặc biệt của hàm f(x, y) = ax + by + c, nó được gọi là hàm tuyến tính (linear function). Đồ thị của các hàm có phương trình z = ax + by + c hay ax + by – z + c = 0 là các mặt phẳng. Tương tự như hàm tuyến tính một biến, hàm tuyến tính hai biến đóng vai trò rất quan trọng trong các phép toán vi phân và tích phân. Ví dụ 6: Phác họa đồ thị của hàm g(, ) = 9 − − . Lời giải: Đồ thị có phương trình = 9 − − . Bình phương hai vế ta nhận được = 9 − − hay + + = 9, đó chính là phương trình của mặt cầu tâm tại gốc Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương 1 – Toán 3 5 tọa độ và bán kính bằng 3. Nhưng vì z  0 nên đồ thị của hàm g chỉ là nửa phía trên của mặt cầu. Chú ý: Toàn bộ mặt cầu không thể biểu thị bởi một hàm hai biến x và y. Như trong Ví dụ 6, bán cầu (hemisphere) trên được biểu thị bởi phương trình (, ) = 9 − − , còn bán cầu dưới được biểu thị bởi phương trình ℎ(, ) = − 9 − − . Ví dụ 7: Sử dụng máy tính để vẽ đồ thị của hàm Cobb-Douglas (, ) = 1.01. . Lời giải: Hình 8 biểu thị đồ thị của P theo các giá trị của nhân công L và vốn K trong phạm vi từ 0 đến 300. Máy tính đ ã vẽ mặt cong bằng cách vẽ ra các vết dọc. Chúng ta thấy rằng giá trị của hàm P tăng theo cả hai sự tăng của L và K, như là dự đoán. Trong MATLAB, chúng ta s ử dụng các câu lệnh sau: x = 0:10:300; y = x; [X,Y] = meshgrid(x,y); Z = 1.01.*X.^0.75.*Y.^0.25; surf(X,Y,Z) Ví dụ 8: Tìm miền xác định, miền giá trị và vẽ đồ thị hàm số ℎ(, ) = 4 + . Lời giải: Mi ền xác định của h là toàn bộ mặt phẳng R2. Mi ền giá trị là [0, +). Đồ thị của nó có phương trình = 4 + , đây chính là một paraboloid elliptic. Các vết cắt ngang là các ellipse, các vết cắt dọc là các parabola (Hình 9). Các chương trình máy tính cho phép vẽ đồ thị của hàm hai biến. Trong hầu hết các chương trình như vậy, các vết dọc trong các mặt phẳng x = k và y = k được vẽ với các giá trị cách đều nhau của k và một phần của đồ thị được loại bỏ bằng cách sử dụng loại bỏ dòng ẩn. Hình 10 biểu thị các đồ thị của một số hàm được vẽ bởi máy tính. Chú ý rằng chúng ta có thể nhận được những hình ảnh tốt hơn khi chúng ta sử dụng việc quay hình và chọn điểm quan sát thích hợp. Trong các hình (a) và (b), đồ thị rất phẳng và bám sát vào mặt phẳng xy, ngoại trừ gần lân cận của gốc tọa độ, bởi vì là rất nhỏ khi x hoặc y là đủ lớn. Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương 1 – Toán 3 6 1.1.3. Đường mức Từ trước tới giờ ta có hai phương pháp để minh họa cho hàm số là sơ đồ mũi tên và đồ thị. Có một phương pháp thứ ba đó là dùng bản đồ chu tuyến, trên bản đồ chu tuyến thì tập hợp các điểm có cùng một cao độ xác định sẽ nằm trên một đường chu tuyến hay còn gọi là một đường mức. Định nghĩa: Các đường mức (level curves) của một hàm số hai biến f là các đường cong có phương trình (, ) = trong đó k là một hằng số (k thuộc miền giá trị của hàm số f). M ỗi đường mức f(x, y) = k là tập tất cả các điểm trên miền xác định của f mà tại đó f nhận giá trị k. Nói khác đi, nó biểu thị những chỗ mà đồ thị của f có chiều cao là k. Từ Hình 11, chúng ta có thể thấy mối quan hệ giữa đường mức và các Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương 1 – Toán 3 7 vết ngang. Đường mức f(x, y) = k như là giao tuyến của đồ thị của f với mặt phẳng ngang z = k được chiếu xuống mặt phẳng xy. M ột ví dụ quen thuộc của đường mức là chúng xuất hiện trong bản đồ địa hình của một khu vực miền núi, như bản đồ trong Hình 12. Đường mức là mức độ cao so với mặt nước biển. Nếu bạn đi bộ dọc theo một trong những đường cong, bạn không lên cũng không xuống. M ột ví dụ quen thuộc nữa là hàm nhiệt độ được giới thiệu trong đoạn mở đầu của phần này. Ở đây các đường cong độ được gọi là đẳng nhiệt (isothermals) và chúng kết nối các miền có cùng một nhiệt độ. Hình 13 là một bản đồ thời tiết của thế giới cho thấy nhiệt độ trung bình trong tháng Giêng (đơn vị độ C). Các đường đẳng nhiệt là những đường cong phân cách các dải màu. Ví dụ 9: Hình 14 biểu thị bản đồ đường mức của hàm f. Sử dụng nó để ước lượng các giá trị f(1, 3) và f(4, 5). Lời giải: Điểm (1, 3) thuộc phần giữa hai đường mức với các giá trị 70 và 80, vì vậy ta ước lượng f(1, 3)  73. Tương tự f(4, 5)  56. Ví dụ 10: Phác họa đường mức của hàm f(x, y) = 6 – 3x – 2y với các giá trị k = -6, 0, 6, 12. Lời giải: Các đường mức là 6 – 3x – 2y = k hay 3x + 2y + (k – 6) = 0 Đây là họ các đường thẳng với độ dốc − . Bốn đường mức riêng ứng với k = -6, 0, 6 và 12 là 3x + 2y – 12 = 0, 3x + 2y – 6 = 0, 3x + 2y = 0 và 3x + 2y + 6 = 0. Chúng được phác họa trên Hình 15. Các đường mức là song song và cách đều nhau bởi đồ thị của f là mặt phẳng. Ví dụ 11: Phác thảo các đường mức của hàm (, ) = 9 − − với k = 0, 1, 2, 3. Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương 1 – Toán 3 8 Lời giải: Đường mức là 9 − − = hay + = 9 − . Đây là họ các đường tròn đồng tâm với tâm (0, 0) bán kính √9 − . Các trường hợp k = 0, 1, 2, 3 được biểu thị trên Hình 16. Hãy thử hình dung những đường cong này được nâng lên tạo thành một mặt cong và so sánh với đồ thị của một bán cầu trong Hình 7. Ví dụ 12: Phác thảo các đường mức của hàm (, ) = 4 + + 1. Lời giải: Đường mức là 4 + + 1 = hay ( ) + = 1, ở đây với k > 1, bi ểu thị một họ các ellipse với các bán trục (semiaxes) là √ − 1 và √ − 1. Hình 17(a) cho thấy một bản đồ đồng mức của h được vẽ bởi máy tính. Hình 17(b) cho thấy những đường mức được nâng tới đồ thị của h (một paraboloid elliptic), ở đó chúng trở thành các vết ngang. Ví dụ 13: Vẽ đường mức của hàm Cobb-Douglas trong Ví dụ 3. Lời giải: Trong Hình 18, các đường đồng mức của hàm Cobb-Douglas P(L, K) = 1.01L0.75K0.25 được vẽ bởi máy tính. Các đường mức được gán nhãn theo các giá trị của sản phẩm P. Ví dụ, đường mức có nhãn 140 biểu thị tất cả các giá trị của nhân công L và đầu tư K để có sản phẩm P = 140. Chúng ta thấy rằng, đối với một giá trị cố định của P, thì L tăng K giảm, và ngược lại. Tùy theo mục đích, một bản đồ đồng mức hữu ích hơn một đồ thị. Đó là chắc chắn đúng trong Ví dụ 13. (So sánh Hình 18 với Hình 8.) Nó cũng đúng trong việc ước tính giá trị của hàm, như trong Ví dụ 9. Hình 19 cho thấy một số đường mức được máy tính tạo ra cùng với các đồ thị tương ứng. Chú ý rằng các đường mức trong phần (c) tụ lại với nhau gần nguồn gốc tọa độ. Tương ứng với thực tế là các đồ thị trong phần (d) là rất dốc khi ở gần gốc tọa độ. Hình 18 Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương 1 – Toán 3 9 1.1.4. Hàm ba hoặc nhiều biến M ột hàm ba biến (function of three variables) f, là quy luật gán mỗi bộ ba có thứ tự (x, y, z) trên miền D  R3 với duy nhất một giá trị thực (, , ). Ví dụ, nhiệt độ T tại mỗi điểm trên bề mặt Trái đất phụ thuộc vào kinh độ x, vĩ độ y và thời điểm t, vì vậy có thể viết = (, , ). Ví dụ 14: Tìm miền xác định của (, , ) = ln( − ) + . Lời giải: Biểu thức f(x, y, z) được xác định khi z – y > 0, vì v ậy miền xác định của f là = {(, , ) ∈ | > } Đây là nửa không gian (half – space) bao gồm tất cả các điểm nằm về phía trên mặt phẳng z = y. Rất khó để cảm nhận đồ thị của hàm ba biến, vì nó nằm trong không gian bốn chiều. Tuy nhiên, chúng ta có được một số cái nhìn sâu sắc vào f bằng cách kiểm tra các mặt mức (level surfaces) của nó, đó là những mặt cong có phương trình f(x, y, z) = k, với k là một hằng số. Nếu điểm (x, y, z) di chuyển dọc theo một mặt mức, giá trị của f(x, y, z) vẫn không đổi. Ví dụ 15: Tìm mặt mức của hàm f(x, y, z) = x2 + y 2 + z2. Lời giải: Các mặt mức là x2 + y 2 + z2 = k, với k  0. Đó là họ các mặt cầu đồng tâm với bán kính √ (Xem Hình 20). Vì vậy, khi (x, y, z) thay đổi trên bất kỳ mặt cầu tâm O, giá trị của f(x, y, z) là không đổi. Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương 1 – Toán 3 10 Hàm n biến là quy luật gán mỗi bộ n-số thực (x1, x2, ..., xn) với một số thực z = f(x1, x2, ..., xn). Ta ký hiệu Rn là tập tất cả các bộ n-số thực. Ví dụ, nếu một công ty sử dụng n loại nguyên liệu để làm ra một sản phẩm, ci là giá của nguyên liệu thứ i, xi là số đơn vị nguyên liệu thứ i, khi đó giá thành C của mỗi sản phầm là hàm của n biến x1, x2, ..., xn. 3 = (, , , ) = + + ⋯ + Hàm f có giá tr ị thực với miền xác định là tập con của R3. Đôi khi ta sử dụng ký hiệu véc tơ để biểu thị hàm ở dạng gọn hơn: Nếu ⃗ = 〈, , , 〉, ta viết (⃗) thay cho (, , , ). Với ký hiệu như vậy, chúng ta có thể định nghĩa hàm trong phương trình [3] như sau: (⃗) = ⃗. ⃗. ở đây = 〈, , , 〉 và ⃗. ⃗ là ký hiệu tích vô hướng của các véc tơ ⃗ và ⃗ trong Vn. Xem sự tương ứng một – một giữa điểm (, , , ) trong R3 với véc tơ vị trí 〈, , , 〉 trong Vn, chúng ta có ba cách quan niệm về hàm f được xác định trong tập con của Rn: 1. Như là hàm của n biến , , , 2. Như là hàm của một biến điểm (, , , ) 3. Như là hàm của một biến véc tơ ⃗ = 〈, , , 〉 1.2. Giới hạn và sự liên tục 1.2.1. Giới hạn Chúng ta xem xét hai hàm (, ) = và (, ) = khi cả x và y đồng thời dần về 0, tức là điểm (x, y) dần về gốc tọa độ. Bảng 1 và Bảng 2 liệt kê các giá trị của f(x, y) và g(x, y), chính xác tới ba chữ số thập phân, đối với các điểm (x, y) gần gốc tọa độ. Chú ý rằng hàm không xác định tại gốc tọa độ. Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương 1 – Toán 3 11 Nó biểu thị rằng, khi (x, y) dần đến (0, 0) thì các giá trị của f(x, y) dần đến 1, trong khi đó các giá trị của g(x, y) không dần tới giá trị nào. Nó chỉ ra rằng, các bằng chứng số là chính xác và ta viết lim(,)→ (,) = 1 và lim (,)→ (,) không tồn tại. Tổng quát, chúng ta ký hiệu lim (,)→ (,) (, ) = . để biểu thị rằng giá trị của f(x, y) dần đến L khi điểm (x, y) dần tới điểm (a, b) dọc theo bất kỳ đường nào nằm trọn trong miền xác định của f. Nói khác đi, chúng ta có thể làm cho giá trị của f(x, y) gần với L bằng cách chọn điểm (x, y) đủ gần điểm (a, b). Định nghĩa chính xác được phát biểu như sau: 1 Định nghĩa: Giả sử f là hàm hai biến với miền xác định D chứa điểm (a, b). Chúng ta nói rằng giới hạn của hàm f(x,y) khi (x,y) dần tới (a,b) (limit of f(x,y) as (x,y) approarches (a,b) và ta viết lim (,)→ (,) (, ) = , nếu với mỗi  > 0 b ất kỳ, tìm được số  > 0 sao cho n ếu (x, y)  D và ( − ) + ( − ) < thì |(, ) − |< . Ngoài ra, người ta còn dùng ký hiệu lim → → (, ) = và (, ) → khi (, ) → (, ). Chú ý rằng |f(x, y) – L| là khoảng cách giữa các số f(x, y) và L, và ( − ) + ( − ) là khoảng cách giữa điểm (x, y) và điểm (a, b). Vì vậy Định nghĩa 1 nói rằng khoảng cách giữa các số f(x, y) và L có thể nhỏ tùy ý bằng cách cho khoảng cách giữa điểm (x, y) và điểm (a, b) đủ nhỏ (nhưng khác 0). Hình 1 minh họa Định nghĩa 1 theo nghĩa của biểu đồ mũi tên. Với mỗi khoảng nhỏ (L - , L + ) chứa L, chúng ta có thể tìm được miền hình tròn D [có thể trừ đi điểm (a, b)] với tâm (a, b) và bán kính  > 0 sao cho f ánh x ạ tất cả các điểm trong D [có thể trừ đi điểm (a, b)] vào trong khoảng (L - , L + ). M ột minh họa khác của Định nghĩa 1 được cho trong Hình 2, ở đó mặt cong S là đồ thị của f. Với  > 0 cho trư ớc, ta có thể tìm được  > 0 sao cho n ếu (x, y) thuộc miền D và (x, y) ¹ (a, b) thì phần tương ứng của S nằm giữa các mặt phẳng z = L –  và L + . Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương 1 – Toán 3 12 Với hàm một biến, x chỉ có thể dần đến a theo hai phía từ bên trái hoặc bên phải. Nhớ lại rằng nếu lim → ()¹ lim → () thì không tồn tại lim→ (). Với các hàm hai biến thì việc đó không đơn giản bởi vì chúng ta có thể cho (x, y) dần đến (a, b) từ muôn vàn hướng khác nhau (Hình 3), miễn là (x, y) vẫn thuộc miền xác định của f. Định nghĩa 1 chỉ đề cập tới khoảng cách giữa (x, y) và (a, b) mà không quan tâm đến hướng của sự dần đến. Do đó, nếu giới hạn tồn tại thì f(x, y) phải dần tới cùng một giới hạn, không phụ thuộc (x, y) dần tới (a, b) như thế nào. Vì thế nếu chúng ta tìm thấy hai đường dần đến (a, b) của (x, y) có hai giới hạn khác nhau thì lim (,)→ (,) (, ) không tồn tại. Nếu f(x, y)  L1 khi (x, y)  (a, b) dọc theo C1 và f(x, y)  L2 khi (x, y)  (a, b) dọc theo C2 mà L1 ¹ L2 thì lim (,)→ (,) (, ) không tồn tại. Ví dụ 1: Chứng tỏ rằng lim (,)→ (,) không tồn tại. Lời giải: Giả sử (, ) = ( − )/( + ). Trước hết ta xét sự dần đến (0, 0) dọc theo trục x. Sau đó cho y = 0 ta được f(x, 0) = x2/x2 = 1 với mọi x ¹ 0, vì vậy f(x, y)  1 khi (x, y)  (0, 0) dọc theo trục x. Giờ chúng ta dẫn dến dọc theo trục y bằng cách đặt x = 0. Vì f(0, y) = -y2/y2 = -1 với mọi y ¹ 0 nên f(x, y)  -1 khi (x, y)  (0, 0) dọc theo trục y (Hình 4). Bởi vì f có hai giới hạn khác nhau dọc theo hai đường khác nhau nên giới hạn trên không tồn tại. Ví dụ 2: Nếu f(x, y) = xy/(x2 + y 2), tồn tại hay không giới hạn lim (,)→ (,) (, )? Lời giải: Nếu y = 0 thì f(x, 0) = 0/x2 = 0, vậy f(x, y)  0 khi (x, y)  (0, 0) dọc theo trục x. Nếu x = 0 thì f(0, y) = 0/y2 = 0, vậy f(x, y)  0 khi (x, y)  (0, 0) dọc theo trục y. M ặc dù chúng ta nhận được cùng một giới hạn, nhưng điều đó không chứng tỏ giới hạn đã cho là bằng 0. Giờ chúng ta xét sự dần đến (0, 0) dọc theo đường y = x. Với x ¹ 0 thì (, ) = = , vì vậy (, ) → khi (x, y)  (0, 0) dọc theo y = x (Hình 5). Vì vậy giới hạn đã cho không tồn tại. Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương 1 – Toán 3 13 Hình 6 làm rõ cho Ví dụ 2 thể hiện các giới hạn khác nhau khi tiến về gốc tọa độ từ những hướng khác nhau. Sườn cong xuất hiện trên đường y = x tương ứng với thực tế là f(x, y) = 1/2 đối với mọi điểm (x, y) trên đường đó, ngoại trừ gốc tọa độ. Ví dụ 3: Cho (, ) = , có hay không giới hạn lim (,)→ (,) (, )? Lời giải: Nhớ lại lời giải trong Ví dụ 2, chúng ta tiết kiệm thời gian bằng cách cho (x, y) dần tới (0, 0) dọc theo mọi đường nghiêng đi qua gốc tọa độ y = mx, ở đây m là độ dốc: (, ) = (, ) = ( ) + ( ) = + = 1 + → 0 khi (x, y)  (0, 0) dọc theo y = mx. Vì thế f có cùng một giới hạn dọc theo mọi đường nghiêng đi qua gốc tọa độ. Nhưng điều đó không chứng tỏ giới hạn đã cho bằng 0. Giờ chúng ta cho (x, y) dần tới (0, 0) dọc theo parabola x = y2, ta có (, ) = (, ) = () = = vậy (, ) → khi (x, y) (0, 0) dọc theo x = y2. Vậy giới hạn đã cho không tồn tại. Hình 7 là đồ thị của hàm trong Ví dụ 3. Chú ý rằng sườn dốc nằm trên parabola x = y2. Bây giờ chúng ta hãy xem xét các giới hạn mà tồn tại. Cũng như đối với hàm một biến, việc tìm giới hạn cho các hàm hai biến có thể được đơn giản hóa bằng cách sử dụng các tính chất của giới hạn. Các quy tắc tìm giới hạn của hàm một biến có thể được mở rộng đến các hàm hai biến: Giới hạn của một tổng bằng tổng của các giới hạn, giới hạn của một tích bằng tích của các giới hạn. Đặc biệt, các công thức sau đâ y là đú ng khi (x, y) → (a, b): 2 lim (,)→ (,) = , lim (,)→ (,) = , lim (,)→ (,) = Định lý Squeeze vẫn còn đúng. Ví dụ 4: Tìm lim (,)→ (,) nếu nó tồn tại. Lời giải: Như trong Ví dụ 3, chúng ta có thể chỉ ra rằng giới hạn dọc theo bất kỳ đường thẳng nào đi qua gốc tọa độ đều bằng 0. Điều đó không chứng minh được giới hạn đã cho bằng 0, nhưng các giới hạn dọc theo các parabola y = x2 và x = y2 cũng bằng 0, vì vậy chúng ta bắt đầu nghi ngờ rằng giới hạn đó là tồn tại và bằng 0. Cho  > 0. Chúng ta c ần tìm  > 0 sao cho nếu 0 < + < thì − 0< , tức là, nếu 0 < + < thì || < . M ặc dù ≤ + vì ≥ 0, nên /( + ) ≤ 1, vì vậy Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương 1 – Toán 3 14 3 3|| + ≤ 3||= 3 ≤ 3 + Vì thế nếu ta chọn  = /3 và giả sử 0 < + < thì 3 + − 0 ≤ 3 + < 3 = 3 3 = Từ đó theo Định nghĩa 1, lim (,)→ (,) = 0. Chúng ta cũng có thể sử dụng định lý Squeeze để chứng minh. Thật vậy, từ [3], chú ý đến [2], ta có điều cần chứng minh. 1.2.2. Sự liên tục Đánh giá giới hạn của một hàm một biến liên tục là rất đơn giản. Nó có thể được thực hiện bởi phép thế vì định nghĩa hàm liên tục là lim→ () = (). Tính liên tục của hàm hai biến cũng được định nghĩa bởi phép thế. 4 Định nghĩa: Hàm hai bi ến f được gọi là liên tục (continuous) tại (a,b) nếu lim (,)→ (,) (, ) = (, ) Ta nói f liên tục trên D nếu f liên tục tại mọi điểm (a,b) trong D . Ý nghĩa trực quan của sự liên tục là nếu điểm (x, y) thay đổi một lượng nhỏ thì giá trị của f(x, y) cũng thay đổi một số lượng nhỏ. Điều này có nghĩa rằng mặt cong là đồ thị của một hàm liên tục không có lỗ hoặc bị rách. Sử dụng các thuộc tính của giới hạn, bạn có thể thấy tổng, hiệu, tích và thương các hàm liên tục là liên tục trên miền xác định của chúng. Hãy sử dụng tính chất này để đưa ra một số ví dụ về hàm liên tục. Hàm đa thức hai biến (polynomial function of two variables) là tổng của các hạng thức dạng cxmyn, trong đó c là hằng số, còn m và n là các số nguyên. Hàm phân thức (rational) là tỷ số của các đa thức. Ví dụ, f(x, y) = x4 + 5x 3y2 + 6xy 4 – 7y + 6 là hàm đa th ức, còn (, ) = là hàm phân thức. Các giới hạn trong [2] chứng tỏ rằng các hàm f(x, y) = x, g(x, y) = y và h(x, y) = c là các hàm liên tục. Bởi vì mọi đa thức đều được xây dựng từ các hàm đơn giản f, g và h bằng các phép nhân và cộng, nên mọi hàm đa thức hai biến đều liên tục trên R2. Tương tự, mọi hàm phân thức đều liên tục trên miền xác định của nó bới nó là thương của hai hàm liên tục. Ví dụ 5: Đánh giá lim (,)→ (,) ( − + 3 + 2). Lời giải: Bởi vì hàm (, ) = − + 3 + 2 là đa thức nên nó t khắp nơi, vì vậy ta có thể tìm giới hạn bằng cách thay trực tiếp: lim (,)→ (,) ( − + 3 + 2) = 12 − 12 + 3.1 + 2.2 = 11 Ví dụ 6: Hàm (, ) = liên tục tại những đâu? Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương 1 – Toán 3 15 Lời giải: Hàm f không liên tục tại (0, 0) bởi vì nó không xác định tại đó. Do f là hàm phân thức nên miền liên tục của nó là tập D = {(x, y) | (x, y) ¹ (0, 0)}. Ví dụ 7: Giả sử (, ) = − + (, ) ≠ (0,0) 0 (, ) = (0,0) Ở đây g được xác định tại (0, 0) nhưng g vẫn không liên tục bởi vì lim (,)→ (,) (, ) không tồn tại (xem Ví dụ 1). Ví dụ 8: Giả sử (, ) = 3 + (, ) ≠ (0,0) 0 (, ) = (0,0) Chúng ta biết rằng f liên tục với (x, y) ¹ (0, 0) vì nó là hàm phân thức. Từ Ví dụ 4 ta có lim (,)→ (,) (, ) = lim (,)→ (,) 3 + = 0 = (0,0) Vì vậy f liên tục tại (0, 0), và do đó nó liên tục trên toàn R2. Giống như hàm một biến, phép lấy hàm hợp của hai hàm là một cách để nhận được hàm thứ ba. Thực tế, có thể chỉ ra rằng nếu f là hàm hai biến liên tục và g là hàm một biến liên tục xác định trên miền giá trị của f, thì hàm hợp (composite) h = gof được xác định bởi ℎ(, ) = ((, )) cũng là hàm liên tục. Ví dụ 9: Tìm miền liên tục của hàm h(x, y) = arctan(y/x). Lời giải: Hàm f(x, y) = y/x là hàm phân thức nên nó liên tục ngoại trừ trên đường thẳng x = 0. Hàm () = arctan là liên tục khắp nơi. Vì vậy hàm hợp g(f(x, y)) = arctan(y/x) = h(x, y) liên tục ngoại trừ trên đường thẳng x = 0. Hình 9 chỉ ra sự đứt gãy trên đồ thị của hàm h trên trục y, thể hiện hàm h(x, y) = arctan(y/x) không liên tục tại x = 0. 1.3. Đạo hàm riêng 1.3.1. Định nghĩa và cách tính Vào một ngày nóng, độ ẩm cao làm cho chúng ta nghĩ rằng nhiệt độ cao hơn nhiệt độ thực của nó, trong khi trong không khí rất khô, chúng ta cảm nhận nhiệt độ thấp hơn chỉ thị của nhiệt kế. Dịch vụ Thời tiết Quốc gia (National Weather Service) đ ã đưa ra các chỉ số nhiệt (còn gọi là chỉ số nhiệt độ-độ ẩm, hoặc chỉ số độ ẩm ở một số nước) để mô tả tác động kết hợp của nhiệt độ và độ ẩm. Chỉ số nhiệt I là nhiệt độ không khí cảm nhận được khi nhiệt độ thực tế là T và độ ẩm tương đối là H. Vì vậy, I là một hàm của T và H, và chúng ta có thể Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương 1 – Toán 3 16 viết I = f(T, H). Bảng 1 các giá trị của I được trích từ một bảng được biên soạn bởi các Dịch vụ Thời tiết Quốc gia, ở đó chỉ số nhiệt I là hàm của nhiệt độ và độ ẩm. Nếu chúng ta tập trung vào cột được đánh dấu của bảng, tương ứng với độ ẩm tương đối của H = 70%, chúng ta coi ch ỉ số nhiệt như là hàm một biến T đối với giá trị cố định của H. Ta viết g(T) = f (T, 70). Sau đó g (T) mô tả cách thức chỉ số nhiệt I tăng lên khi nhiệt độ thực tế T tăng, tương ứng với độ ẩm là 70%. Đ ạo hàm của g khi T = 96oF là tốc độ thay đổi của I đối với T khi T = 96oF: (96) = lim → (96 + ℎ) − (96) ℎ = lim → (96 + ℎ, 70) − (96,70) ℎ Chúng ta có thể xấp xỉ g'(96) bằng cách sử dụng các giá trị trong Bảng 1 với h = 2 và -2 (96) ≈ (98) − (96) 2 = (98,70) − (96,70) 2 = 133 − 125 2 = 4 (96) ≈ (94) − (96) − 2 = (94,70) − (96,70) − 2 = 118 − 125 − 2 = 3.5 Lấy trung bình cộng hai giá trị này, ta có thể nói rằng đạo hàm g'(96) xấp xỉ bằng 3.75. Nghĩa là, khi nhiệt độ thực tế là 96oF và độ ẩm tương đối là 70%, nhi ệt độ biểu kiến tăng khoảng 3.75oF so với mỗi độ tăng của nhiệt độ thực tế. Giờ chúng ta xem xét dòng được đánh dấu trong Bảng 1, tương ứng với nhiệt độ cố định T = 96oF. Các số trên dòng là các giá trị của hàm G(H) = f(96, H), chúng mô t ả cách thức chỉ số nhiệt tăng lên khi mà độ ẩm tương đối tăng, trong khi nhiệt độ thực tế T = 96oF. Đạo hàm của hàm này khi H = 70% là t ốc độ biến thiên của I đối với H khi H = 70%: ′(70) = lim → (70 + ℎ) − (96) ℎ = lim → (96,70 + ℎ) − (96,70) ℎ Chúng ta có thể xấp xỉ G'(70) bằng cách đặt h = 5 và -5: (70) ≈ (75) − (70) 5 = (96,75) − (96,70) 5 = 130 − 125 5 = 1 (70) ≈ (65) − (70) − 5 = (96,65) − (96,70) − 5 = 121 − 125 − 5 = 0.8 Lấy giá trị trung bình, ta có ước lượng G'(70)  0.9. Điều này nói lên rằng, khi nhiệt độ là 96oF và độ ẩm tương đối là 70%, ch ỉ số nhiệt tăng khoảng 0.9oF đối với mỗi phần trăm tăng của nhiệt độ tương đối. Tổng quát, nếu f là hàm của hai biến x và y, giả sử cố định y = b - const và cho x biến đổi. Khi đó ta có hàm một biến g(x) = f(x, b). Nếu g có đạo hàm tại a thì ta gọi nó là đạo hàm Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương 1 – Toán 3 17 riêng của hàm f theo biến x tại (a, b) (partial derivative of f with respect to x at (a,b)) và ký hiệu (, ). Vì vậy 1 (, ) = () ớ () = (, ) Theo định nghĩa đạo hàm riêng ta có () = lim→ ( ) () , vì vậy [1] trở thành 2 (, ) = lim → ( + ℎ, ) − (, ℎ) ℎ Tương tự, đạo hàm riêng của hàm f theo biến y tại (a, b) (partial derivative of f with respect to y at (a,b)), ký hiệu (, ), nhận được bằng cách cố định x = a và tính đạo hàm tại b của hàm một biến G(y) = f(a, y): 3 (, ) = lim → (, + ℎ) − (, ℎ) ℎ Với các ký hiệu này của các đạo hàm riêng, ta có thể viết tốc độ thay đổi của chỉ số nhiệt I theo nhiệt độ thực tế T và độ ẩm tương đối H khi T = 96oF và H = 70% như sau: (96,70) ≈ 3.75, (96,70) ≈ 0.9 Giờ chúng ta coi điểm (a, b) thay đổi, và trở thành hàm hai biến. Định nghĩa: Nếu f là một hàm hai biến, đạo hàm riêng (partial derivative) của f là các hàm và được định nghĩa bởi (, ) = lim → ( + ℎ, ) − (, ) ℎ , (, ) = lim → (, + ℎ) − (, ) ℎ Có nhiều các kí hiệu khác cho đạo hàm riêng. Ví dụ, thay vì ta có thể viết f1 hoặc D1f hoặc . Nhưng không phải là tỷ số của vi phân. Các kí hiệu của đạo hàm riêng: Nếu z = f(x, y), ta có (, ) = = = (, ) = = = = (, ) = = = (, ) = = = = Để tính đạo hàm riêng, ta có thể áp dụng từ phương trình (1) là đạo hàm riêng theo biến x là đạo hàm thông thường của hàm g tại biến đơn a khi ta cố định y. Ta có quy tắc sau Quy tắc tìm đạo hàm riêng của z = f(x, y) 1. Tìm f coi y như là một hằng số và tìm đạo hàm của f(x, y) theo biến x 2. Tìm f , coi x như là một hằng số và tìm đạo hàm của f(x, y) theo biến y. Ví dụ 1: Cho f(x, y) = x3 + x 2y3 – 2y2, tìm (2,1) và (2,1). Lời giải: Giữ y cố định và đạo hàm theo x, ta nhận được (, ) = 3 + 2, vì vậy (2,1) = 3.22 + 2.2.1 3 = 16 Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương 1 – Toán 3 18 Giữ x cố định và đạo hàm theo y, ta nhận được (, ) = 3x2y2 - 4y, vì vậy (2,1) = 3.22.12 – 4.1 = 8 1.3.2. Ý nghĩa của các đạo hàm riêng Để đưa ra ý nghĩa hình học của đạo hàm riêng, ta nhắc lại phương trình z = f(x, y) miêu tả một mặt S (đồ thị của hàm f). Nếu f(a, b) = c, thì điểm P(a,b,c) nằm trên S. bằng việc cố định y = b, ta đang thu hẹp sự chú ý tới đường cong C1 là giao của mặt phẳng thẳng đứng y = b và S. Tương tự như vậy, giao của mặt phẳng thẳng đứng x = a và S là đường cong C2. Cả hai đường cong C1 và C2 đều đi qua điểm P. Chú ý rằng đường cong C1 là đồ thị của hàm g(x) = f(x,b), vậy độ nghiêng của tiếp tuyến T1 tại P là () = (, ). Đường cong C2 là đồ thị của hàm G(y) = f(a,y), vậy độ nghiêng của tiếp tuyến T1 tại P là () = (, ). Vậy đạo hàm riêng và có thể được thể hiện theo hình học như là độ nghiêng của đường tiếp tuyến tại P(a,b,c) theo C1 và C2 của S trong mặt phẳng y = b và x = a. Chúng ta xét trường hợp hàm chỉ số nhiệt, các đạo hàm riêng cũng có ý nghĩa như là tốc độ thay đồi, nếu z = f(x,y) thì / biểu diễn tốc độ thay đổi của z theo x khi y cố định. Tương tự, / biểu diễn tốc độ thay đổi của z theo y khi x cố định. Hình 1 cho thấy các đạo hàm riêng của f tại (a,b) chính là độ dốc của các đường tiếp tuyến C1 và C2. Ví dụ 2: Nếu (, ) = 4 − − 2, tìm (1,1) và (1,1) và giải thích những con số của độ nghiêng. Lời giải: Ta có (, ) = − 2, (1,1) = − 2.1 = − 2, (, ) = − 4, (1,1) = − 4.1 = − 4 Đồ thị của hàm f là paroboloit z = 4 – x2 – 2y2 và mặt phẳng thẳng đứng y = 1 cắt nó trong mặt phẳng z = 2 – x2, y = 1 ta được đường cong C1 (Hình 2). Độ nghiêng của đường tiếp tuyến đối với parabola tại điểm (1,1,1) là f’x(1,1) = -2. Tương tự, đường cong C2 là đường giao của mặt phẳng x = 1 và paraboloit là parabola z = 3 – 2y2, x = 1, và độ nghiêng của đường tiếp tuyến đối với parabola này tại điểm (1,1,1) là f’y(1,1) = -4 (hình 3). █ Hình 4 mô tả máy tính vẽ tương ứng với Hình 2. Phần (a) biểu thị mặt phẳng y = 1 giao với mặt cong theo giao tuyến và phần (b) mô tả C1 và T1. Chúng ta sử dụng các phương Hình 1 Hình 2 Hình 3 Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương 1 – Toán 3 19 trình véc tơ ⃗(t) = t, 1, 2 – t2 cho C1 và ⃗(t) = 1 + t, 1, 1 – 2t cho T1. Tương tự, Hình 5 tương ứng với hình 3. Ví dụ 3: Cho f(x, y) = sin , tính và . Lời giải: Sử dụng quy tắc Chain (đạo hàm hàm hợp) đối với hàm một biến, ta có = cos 1 + 1 + = cos 1 + 1 1 + = cos 1 + 1 + = − cos 1 + (1 + ) Ví dụ 4: Tìm z/x và z/y nếu z được xác định ẩn như là hàm của x, y theo phương trình x3 + y 3 + z3 + 6xyz = 1. Lời giải: Để tìm z/x, chúng ta đạo hàm hàm ẩn theo x, coi y như hằng số: 3 + 3 + 6 + 6 = 0 Giải ra ta được = − . Tương tự, = − M ột vài hệ thống máy tính đại số có thể vẽ các mặt được xác định trong các phương trình hàm ẩn chứa 3 biến. Hình 6 thể hiện đồ thị của mặt có phương trình được cho trong ví dụ 4. Hình 6 Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương 1 – Toán 3 20 1.3.3. Hàm nhiều hơn hai biến Các đạo hàm riêng có thể được định nghĩa cho các hàm nhiều hơn hai biến. Ví dụ, nếu f là hàm ba biến x, y và z thì đạo hàm riêng theo x được định nghĩa là (, , ) = lim → ( + ℎ, , ) − (, , ) ℎ Nếu w = f(x, y, z) thì = / có thể xem là tốc độ thay đổi của w theo x khi y và z không đổi. Nhưng chúng ta không thể giải thích hình học bởi vì đồ thị của f nằm trong không gian bốn chiều. Tổng quát, nếu u là hàm của n biến, u = f(x1, x2, ..., xn) thì đạo hàm riêng theo biến thứ i sẽ là = lim → (, , , , + ℎ, , , ) − (, , , , , , , ) ℎ và chúng ta cũng viết = = = = Ví dụ 5: Tìm , và nếu f(x, y, z) = exylnz. Lời giải: Giữ y và z không đổi và đạo hàm theo x ta được = ln . Tương tự, = ln và = /. 1.3.4. Đạo hàm cấp cao Nếu f là hàm hai biến thì các đạo hàm riêng và cũng là hàm hai biến, vì vậy chúng ta có thể lấy đạo hàm riêng của chúng và gọi đó là các đạo hàm riêng cấp hai (second partial derivative) của f. Nếu z = f(x, y), chúng ta sử dụng các ký hiệu sau: ( ) = = = = = ( ) = = = = = = = = = = = = = = = Vì thế ký hiệu (hay 2f/yx) có nghĩa là đầu tiên lấy đạo hàm theo x, sau đó lấy đạo hàm theo y, trong khi đó thì đảo lại thứ tự. Ví dụ 6: Tính các đạo hàm riêng cấp hai của f(x, y) = x3 + x 2y3 – 2y2 Lời giải: Trong Ví dụ 1 chúng ta tìm được (, ) = 3x2 + 2xy 3, (, ) = 3x2y2 – 4y. Vì vậy = (3 + 2) = 6 + 2, = (3 + 2) = 6 = (3 − 4) = 6, = (3 − 4) = 6 − 4. Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương 1 – Toán 3 21 Hình 7 cho thấy đồ thị của hàm f trong Ví dụ 6 và các đồ thị của các đạo hàm riêng cấp một và cấp hai với -2  x  2, -2  y  2. Chú ý rằng các đồ thị này phù hợp với cách giải thích của chúng ta, và là độ dốc của đường tiếp tuyến với các chu tuyến của đồ thị của f. Ví dụ, đồ thị của f giảm nếu chúng ta bắt đầu tại (0, -2) và di chuyển theo hướng dương của trục x. Điều này được phản ánh bởi giá trị âm của . Bạn nên so sánh các đồ thị của và với đồ thị của để xem các mối quan hệ. Chú ý rằng trong Ví dụ 6, = ,. Đây không phải là sự trùng hợp. Nó chỉ ra rằng các đạo hàm riêng hỗn hợp và là bằng nhau trong hầu hết các hàm chúng ta gặp trong thực hành. Định lý sau đây, được phát hiện bởi nhà toán học người Pháp Alexis Clairaut (1713-1765), cho ra điều kiện có thể khẳng định = . Định lý Clairaut: Giả sử f xác định trên miền D và (, ) ∈ . Nếu các hàm và đều liên tục trên D thì (, ) = (, ). (Alexis Clairaut là một thần đồng toán học, ông đã đọc cuốn sách giáo khoa của L’Hospital về giải tích khi mới 10 tuổi và đã gửi một bản thảo về hình học tới Học viện Khoa học Pháp khi mới 13 tuổi. Ở tuổi 18, Clairaut xuất bản cuốn “Recherches sur les courbes à double courbure”, đó là hệ thống chuyên luận đầu tiên về hình học giải tích trong không gian ba chiều và bao gồm cả giải tích về các đường cong trong không gian). Các đạo hàm riêng cấp 3 hoặc cao hơn cũng có thể xác định. Ví dụ = = = và sử dụng định lý Clairaut có thể chứng minh rằng = = nếu các hàm này cùng tồn tại và liên tục. Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương 1 – Toán 3 22 Ví dụ 7: Tính () nếu f(x, y, z) = sin(3x + yz). Lời giải: = 3cos(3x + z) = -9sin(3x + yz) = -9zcos(3x + yz) () = -9cos(3x + yz) + 9yzsin(3x + yz) 1.4. Mặt phẳng tiếp diện M ột trong những ý tưởng quan trọng nhất trong tính toán một biến là khi chúng ta phóng to về phía một điểm trên đồ thị của một hàm khả vi, đồ thị trở nên không thể phân biệt với đường tiếp tuyến của nó và chúng ta có thể xấp xỉ hàm số với một hàm tuyến tính. Ở đây chúng ta phát triển ý tưởng tương tự trong không gian ba chiều. Khi chúng ta phóng to về phía một điểm trên một mặt cong là đồ thị của một hàm hai biến khả vi, mặt cong nhìn gần như mặt phẳng (mặt phẳng tiếp diện của nó) và có thể hàm số với một hàm tuyến tính của hai biến. Chúng ta cũng làm tương tự như vậy về vi phân cho hàm hai hay nhiều biến. 1.4.1. Mặt phẳng tiếp diện Giả sử mặt cong S có phương trình z = f(x, y), trong đó f có các đạo hàm riêng cấp 1 liên tục và gọi P(x0, y0, z0) là một điểm trên S. Như trong phần trước, giả sử C1 và C2 là những đường cong tạo bởi giao tuyến của hai mặt phẳng x = x0 và y = y0 với mặt cong S. Khi đó, điểm P nằm trên cả C1 và C2. Giả sử T1 và T2 là tiếp tuyến của các đường cong C1 và C2 tại P. Khi đó, mặt phẳng tiếp diện (tangent plane) của của mặt cong S tại điểm P được định nghĩa là mặt phẳng có chứa cả hai đường tiếp tuyến T1 và T2. (Xem hình 1) Chúng ta sẽ thấy rằng nếu C là đường cong bất kỳ khác nằm trên mặt cong S và đi qua P thì các tiếp tuyến của nó tại P cũng nằm trong mặt phẳng tiếp diện. Do đó bạn có thể coi mặt phẳng tiếp xúc với S tại P là bao gồm tất cả các đường tiếp tuyến tại P của những đường cong nằm trên S và đi qua P. M ặt phẳng tiếp diện tại P là mặt phẳng gần nhất mặt cong S trong lân cận điểm P. Ta biết rằng bất kỳ mặt phẳng nào đi qua điểm P(x0, y0, z0) đều có phương trình dạng: A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0 Bằng cách chia phương trình này cho C và đặt a = - A/C và b = - B/C , chúng ta có thể viết lại phương trình dưới dạng: 1 z – z = a(x – x) + b(y – y) Nếu phương trình (1) là mặt phẳng tiếp diện tại P, khi đó giao điểm của nó với các mặt phẳng y = y0 phải là đường tiếp tuyến T1 . Đặt y = y0 khi đó phương trình 1 trở thành: z – z0 = a(x – x0) khi y = y0 và ta thấy rằng đây là phương trình (theo dạng độ dốc điểm) của một đường có độ dốc a. M ặt khác chúng ta biết rằng độ dốc của tiếp tuyến T1 là (, ). Do đó: = (, ). Hình 1 Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương 1 – Toán 3 23 Tương tự như vậy, việc đặt x = x0 trong phương trình (1), ta được z – z0 = a(y – y0) là phương trình của đường tiếp tuyến T2 , do đó = (, ). 2 Giả sử f có các đạo hàm riêng liên tục. Phương trình của mặt phẳng tiếp diện của mặt cong z = f(x, y) tại điểm P(x0, y0, z0) là: − = (, )( − ) + (, )( − ) Chú ý: Sự giống nhau giữa mặt phẳng tiếp diện và phương trình của một đường tiếp tuyến: − = ()( − ) Ví dụ 1: Tìm mặt phẳng tiếp diện của paraboloid eliptic z = 2x2 + y2 tại điểm (1, 1, 3). Lời giải: Ta có: z = 2x2 + y2. Do đó: (, ) = 4, (, ) = 2, (1,1) = 4, (1,1) = 2 Từ 2 ta có phương trình của mặt phẳng tiếp diện tại (1, 1, 3) là z – 3 = 4(x – 1) + 2(y – 1) hay z = 4x + 2y – 3 █ Hình 2(a) mô tả paraboloid elliptic và mặt phẳng tiếp diện tại P(1, 1, 3) nói đến trong Ví dụ 1. Các hình (b) và (c) là phóng to tại điểm (1, 1, 3). Chú ý rằng càng phóng to thì đồ thị càng phẳng và càng giống với mặt phẳng tiếp diện của. Trên Hình 3 chúng ta khẳng định thêm về điều đó, bằng cách phóng to điểm (1, 1) trên bản đồ đường mức của hàm f(x, y) = 2x2 + y 2. Chú ý rằng càng phóng to thì các đường mức nhìn như các đường song song, đó là đặc trưng của đường thẳng. Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương 1 – Toán 3 24 1.4.2. Vi phân Với hàm khả vi một biến y = f(x), chúng ta xem vi phân dx là biến độc lập, tức là dx có thể nhận bất cứ giá trị thực nào. Vi phân của y được định nghĩa là 9 = () Hình 6 mô tả mối quan hệ giữa số gia y và vi phân dy: y biểu thị sự thay đổi theo chiều cao của đường cong y = f(x), còn dy biểu thị sự thay đổi theo chiều cao của đường tiếp tuyến khi x thay đổi một lượng dx = x. Đối với hàm khả vi hai biến z = f(x, y), chúng ta xem các dx và dy là các biến độc lập. Khi đó vi phân (differential) dz được gọi là vi phân toàn phần (total differential), được xác định: 10 = (, ) + (, ) = + Đôi khi sử dụng df thay cho dz. Nếu chúng ta đặt dx = x = x – a và dy = y = y – b trong phương trình 10, thì vi phân của z là = (, )( − ) + (, )( − ) Hình 7 tương ứng với Hình 6 trong không gian ba chiều, mô tả ý nghĩa hình học của vi phân dz và số gia z: dz biểu thị sự thay đổi theo chiều cao của mặt phẳng tiếp diện, trong khi z biể thị sự thay đổi theo chiều cao của mặt cong z = f(z, y) khi (x, y) thay đổi từ (a, b) đến (a + x, b + y). Ví dụ 4 (a) Cho z = f(x, y) = x2 + 3xy – y2, tìm vi phân dz. (b) Cho x thay đổi từ 2 tới 2.05 và y thay đổi từ 3 tới 2.96, so sánh các giá trị z và dz. Lời giải (a) Từ Định nghĩa 10 ta có = + = (2 + 3) + (3 − 2) (b) Đặt x = 2, dx = x = 0.05, y = 3, dy = y = -0.04, ta có dz = [2(2)+ 3(3)]0.05 + [3(2) – 2(3)](-0.04) = 0.65 Số gia của z là z = f(2.05,2.96) – f(2, 3) = [(2.05)2 + 3(2.05)(2.96) – (2.96)2] – [22 + 3(2)(3) – 32] = 0.6449 Hình 8 Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương 1 – Toán 3 25 Chú ý rằng z  dz nhưng dễ tính hơn. Ví dụ 5: Bán kính cơ sở và chiều cao của hình nón tròn được xác định tương ứng là 10cm và 25cm, với sai số 0.1cm trong mỗi giá trị đo. Sử dụng vi phân để ước lượng sai số lớn nhất khi tính toán thể tích của hình nón. Lời giải: Thể tích của hình nón với bán kính cơ sở r và chiều cao h là V = pr2h/3. Vì vậy vi phân của V là = + ℎ ℎ = 2ℎ 3 + 3 ℎ Bởi vì mọi sai số là 0.1cm, ta có |r|  0.1, |hr|  0.1 cùng với r = 10, h = 25. Do đó = 500p 3 (0.1) + 100p 3 (0.1) = 20p Vì vậy lỗi lớn nhất khi tính thể tích hình nón là 20pcm3  63 cm3. 1.4.3. Các hàm ba hoặc nhiều biến Các khái niệm tính khả vi và vi phân có thể được mở rộng cho hàm nhiều hơn hai biến. Sự khả vi được mở rộng từ Định nghĩa 7. Nếu w = f(x, y, z) thì số gia (increment) của w là w = f(x + x, y + y, z + z) – f(x, y, z). Vi phân (differential) dw đư ợc xác định theo công thức d = + + . Ví dụ 6: Kích thước của khối hộp chữ nhật có các số đo là 75cm, 60cm và 40cm cùng một sai số là 0.2cm. Sử dụng vi phân để ước lượng sai số lớn nhất có thể khi thể tích của hộp được đo với độ đo đó. Lời giải: Nếu các kích thước của hộp là x, y và z thì thể tích của nó là V = xyz, vì vậy = + + = + + Ta đã cho |x|  0.2, |y|  0.2, |z|  0.2. Để ước lượng sai số lớn nhất, chúng ta sử dụng dx = dy = dz = 0.2 và x = 75, y = 60. z = 40: V  dV = (60)(40)(0.2) + (75)(40)(0.2) + (75)(60)(0.2) = 1980 Như vậy, chỉ với sai số 0.2cm trên mỗi số đo đã dẫn đến sai số xấp xỉ 1980cm3 khi tính thể tích. Điều đó xem ra có vẻ là sai số lớn, nhưng nó chỉ chiếm 1% s ố đo thể tích của hộp. 1.5. Quy tắc dây chuyền 1.5.1. Đạo hàm của hàm hợp Nhắc lại rằng Định lý Dây chuyền cho các hàm của hàm một biến về Định lý đạo hàm một hàm hợp: Nếu y = f(x) và x = g(t), với f và g là các hàm khả tích thì y là một hàm khả tích gián tiếp của t và 1 = . Với các hàm của nhiều hơn một biến, Định lý Dây chuyền có một vài dạng, mỗi kiểu đó cho một Định lý đạo hàm hàm hợp. Dạng thứ nhất (Định lý 2) giải quyết trường hợp mà z Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương 1 – Toán 3 26 = f(x, y) và mỗi biến x, y lần lượt là hàm của biến t. Điều này có nghĩa là f là hàm gián tiếp của môt biến t, = (), () và Định lý Dây chuyền cho công thức để đạo hàm z là hàm của biến t. Giả sử rằng f là khả tích nhớ lại rằng đây là trường hợp khi và liên tục . 2 Quy tắc Dây chuyền (trường hợp 1) Giả sử z = f(x, y) là một hàm khả tích trong đó x = g(t) và y = h(t) là các hàm khả tích theo biến t. Khi đó z là hàm khả tích theo biến t và = + Chứng minh: Sự thay đổi của t tại t sinh ra các sự thay đổi của x tại x và y tại y. Vì thế dẫn tới sự thay đổi của z tại z và ta có ∆ = ∆ + ∆ + ∆ + ∆ trong đó cả 1 và 2 cùng dần về 0 khi (x, y)  (0, 0). [Nếu các hàm 1 và 2 không xác định tai (0, 0), chúng ta cần định nghĩa chúng bằng 0 tại đó.] Chia cả hai vế cho t ta được ∆ ∆ = ∆ ∆ + ∆ ∆ + ∆ ∆ + ∆ ∆ Nếu cho t  0 thì x = g(t + t) – g(t)  0 vì g là hàm khả vi nên nó liên tục. Tương tự, y  0. Điều đó có nghĩa là 1  0 và 2  0, vì vậy = lim ∆→ Δ Δ = lim ∆→ ∆ ∆ + lim ∆→ ∆ ∆ + lim ∆→ lim ∆→ ∆ ∆ + lim ∆→ lim ∆→ ∆ ∆ = + + 0. + 0. = + Bởi vì chúng ta thường viết thay cho nên có thể viết lại quy tắc dây chuyền dưới dạng sau: = + (Công thức trên tương tự định nghĩa vi phân toàn phần: = + ) Ví dụ 1: Cho z = x2y + 3xy 4 với x = sin2t và y = cost. Tìm dz/dt khi t = 0. Lời giải: Ta có z/x = 2xy + 3y 4, z/y = z2 + 12xy 3, dx/dt = 2cos2t, dy/dt = -sint Theo quy tắc dây chuyền, dz/dt = (2xy + 3y4)(2cos2t) + (z2 + 12xy3)(-sint) Tức là không cần thiết thay x và y bởi các biểu thức theo t. Dễ thấy rằng khi t = 0 ta có x = 0 và y = 1. Vì vậy tại t = 0 thì dz/dt = (0 + 3)(2cos0) + (0 + 0)( -sin0) = 6 Các đạo hàm trong Ví dụ 1 có thể hiểu là tốc độ thay đổi của z theo t khi điểm (x, y) di chuyển dọc theo đường cong C với phương Hình 1 Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương 1 – Toán 3 27 trình tham số x = sin2t, y = cost. (Xem Hình 1.) Đặc biệt khi t = 0, điểm (x, y) là (0, 1) và dz/dt = 6 là tốc độ của sự tăng khi di chuyển dọc theo đường cong C qua điểm (0, 1). Cụ thể, nếu z = T(x, y) = x2y + 3xy 4 biểu thị nhiệt độ tại điểm (x, y) thì hàm hợp z = T(sin2t, cost) biểu thị nhiệt độ tại điểm trên C và đạo hàm dz/dt biểu thị thay đổi của nhiệt độ dọc theo C. Ví dụ 2: Áp suất P (đơn vị kilopascals) và thể tích V (đơn vị lit) và nhiệt độ T (đơn vị Kelvin) của một mol khí lý tưởng được liên hệ bởi phương trình PV = 8.31 T. Tìm tốc độ mà tại đó áp suất thay đổi khi nhiệt độ là 300 K và tăng với tốc độ là 0.1K/s và thể tích là 100L và tăng với tốc độ 0.2L/s. Lời giải: Nếu t biểu thị khoảng thời gian theo giây thì tại thời điểm tức thời đó ta có T = 300, dT/dt = 0.1, V = 100, dV/dt = 0.2. Bởi vì P = 8.31T/V nên = + = 8.31 − 8.31 = 8.31 100 (0.1) − 8.31(300) 100 (0.2) = − 0.04155 Áp lực giảm khoảng 0.042 kPa/s. Bây giờ ta xét trường hợp z = f(x, y) nhưng cả x và y đều là hàm của hai biến s và t: x = g(s, t), y = h(s, t) Do đó z gián tiếp là hàm của s và t nên chúng ta có thể tìm z/s và z/t. Nhớ lại rằng Nhớ lại rằng khi tính z/t ta giữ s cố định. Áp dụng Định lý 2 ta nhận được = + Tương tự, ta tìm được z/s. Vì thế ta có dạng thứ hai của quy tắc dây chuyền. 3 Định lý Dây chuyền (trường hợp 2): Giả sử rằng z = f(x, y) là một hàm khả tích trong đó x = g(s,t) và y = h(s,t) là các hàm khả tích theo biến s và t. Khi đó = + , = + Ví dụ 3: Cho z = exsiny, với x = st2 và y = s2t. Tìm z/s và z/t. Lời giải: Áp dụng quy tắc dây chuyền thứ 2, ta nhận được = ()() + ()(2) = sin() + 2 cos () = ()(2) + ()() = 2 sin() + cos () Dạng 2 của quy tắc dây chuyền chứa ba dạng biến: s và t là các biến độc lập, x và y được gọi là các biến trung gian, z là biến phụ thuộc. Trường hợp 2 của Định lý Dây chuyền gồm 3 loại biến số, s và t là các biến độc lập (independent), x và y là các biến trung gian (intermediate), và z là biến phụ thuộc (dependent). Chú ý rằng Định Hình 2 Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương 1 – Toán 3 28 lý 3 có một số hạng cho mỗi biến trung gian và các số hạng này tương tự dạng Định lý Dây chuyền một chiều trong phương trình (1). Thật hữu ích để nhớ Định lý Dây chuyền bằng cách vẽ biểu đồ cây (tree deagram) trong hình 2. Ta vẽ các nhánh từ biến phụ thuộc z với biến trung gian x và y để chỉ ra rằng z là hàm của x và y. Với mỗi nhánh ta vẽ đạo hàm riêng tương ứng. Để tìm / ta tìm tích của các đạo hàm riêng dọc theo mỗi đường dẫn từ z đến s và sau đó đưa thành tích = . + . Tương tự, ta tìm / bằng việc sử dụng các đường dẫn từ z tới t. Bây giờ ta xem xét trường hợp tổng quát trong đó một biến phụ thuộc u là hàm của n biến trung gian , , mỗi biến lần lượt là hàm của m biến độc lập , , . Chú ý rằng có n số hạng, mỗi số hạng cho một biến trung gian. Chứng minh tương tự chư chứng minh của trường hợp 1. 4 Định lý Dây chuyền (trường hợp tổng quát) : Giả sử u là một hàm khả tích của n biến , , và mỗi xj là một hàm khả tích của m biến , , . Khi đó u là một hàm của , , và = + + ⋯ + với mỗi i =1, 2,,m. Ví dụ 4: Viết ra quy tắc dây chuyền cho trường hợp w = f(x, y, z, t) và x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v) và t = t(u, v). Lời giải: Chúng ta áp dụng Định lý 4 với n = 4 và m = 2. Hình 3 biểu thị sơ đồ cây. M ặc dù chúng ta chưa viết các đạo hàm riêng trên các nhánh, nhưng được hiểu là, nếu một nhánh dẫn từ y tới u thì đạo hàm riêng đối với nhánh đó là y/u. Với sự trợ giúp của sơ đồ cây, chúng ta có thể viết các biểu thức cần thiết: = + + + = + + + Ví dụ 5: Cho u = x4y + y 2z3, với x = rset, y = rs2e-t, z = r2ssint. Tìm giá trị của u/s khi r = 2, s = 1, t = 0. Lời giải: Với sự trợ giúp của sơ đồ cây trên Hình 4, ta có = + + = (4x3y)(ret) + (x 4 + 2yz3)(2rse-t) + (3y 2z2)(r2sint) Khi r = 2, s = 1 và t = 0 ta có x = 2, y = 2 và z = 0. Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương 1 – Toán 3 29 Vì vậy u/s = (64)(2) + (16)(4) + (0)(0) = 192. Ví dụ 6: Giả sử (, ) = ( − , − ) và f là hàm khả tích, chứng minh rằng g thoả mãn phương trình + = 0. Lời giải : Cho = − và = − . Khi đó (, ) = (, ) và Định lý Dây chuyền cho ta = . + . = . 2 + (− 2) = . + . = (− 2) + . 2 Do đó + = . 2− 2. + − 2. + 2. = 0 Ví dụ 7. Giả sử z = f(x, y) các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục và = + và = 2, tìm () () Lời giải : Định lý Dây chuyền cho = . + . = . 2 + . 2 Áp dụng quy tắc nhân đối với biểu thức trong phần (a). ta được 5 = . 2 + . 2 = 2. + 2. + 2. M ặt khác, sử dụng Định lý Dây chuyền lần nữa (xem Hình 5) ta có = + = . 2 + . 2 = + = . 2 + . 2 Thế các biểu thức vào (5) và sử dụng kết quả bằng nhau của các đạo hàm cấp hai hỗn tạp, ta được = 2. + 2. . 2 + . 2 + 2. . 2 + . 2 = 2 + 4 + 8. + 4 1.5.2. Đạo hàm hàm ẩn Định lý Dây chuyền có thể được dùng để đưa ra những gợi ý hoàn thiện của quá trình đạo hàm hàm ẩn. Giả sử rằng từ phương trình dạng F(x, y) = 0 xác định y như là hàm của x, tức là y = f(x) với F(x, f(x)) = 0 với mọi x trên miền xác định của f. Nếu F khả vi, ta áp dụng dạng thứ nhất của quy tắc dây chuyền, đạo hàm hai vế phương trình F(x, y) = 0 theo biến x. Vì cả x và y đều là hàm của x, ta nhận được Hình 5 Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương 1 – Toán 3 30 + = 0 Nhưng dx/dx = 1, nếu F/y ¹ 0 ta giải ra được 6 = − = − Để nhận được phương trình này chúng ta đã giả thiết rằng F(x, y) = 0 xác định hàm ẩn của y theo x. Định lý hàm ẩn (Implicit Function Theorem) cho ta điều kiện mà qua đó giả thiết của chúng ta là hợp lệ: Nếu f được xác định trong lân cận của (a, b), ở đây F(a, b) = 0, (, ) ≠ 0, và là các hàm liên tục trong lân cận đó, thì phương trình F(x, y) = 0 xác định hàm ẩn y theo x trong lân cận của (a, b) và đạo hàm của hàm này được cho bởi phương trình 6. Ví dụ 8: Tìm y' nếu x3 + y 3 = 6xy. Lời giải: Phương trình đã cho có thể viết là F(x, y) = x3 + y 3 – 6xy = 0, vì vậy phương trình 6 cho ra = − = − 3 − 6 3 − 6 = − − 2 − 2 Giả sử z = f(x, y) là hàm ẩn được cho bởi dạng F(x, y, z) = 0, tức là F(x, y, f(x, y)) = 0 với mọi (x, y) thuộc miền xác định của f. Nếu F và f khả vi, ta sẻ dụng quy tắc dây chuyền với phương trình này + + = 0 Nhưng vì = () = 1 và = () = 0 nên + = 0 Nếu F/z ¹ 0, ta nhận được z/x như trong công thức (7). Tương tự, ta cũng xây dựng được công thức tính z/y. 7 = − = − , = − = − Thêm một dạng nữa của Định lý hàm ẩn (Implicit Function Theorem) chỉ ra điều kiện để giả thiết của chúng ta thỏa mãn: Nếu F được xác định bên trong mặt cầu chứa (a, b, c), tại đó F(a, b, c) = 0, (, , ) ≠ 0 và các đạo hàm riêng , , liên tục trên mặt cầu, thì phương trình F(x, y, z) = 0 xác định z là hàm của x và y trong lân cận của (a, b, c) và hàm này khả vi, với các đạo hàm riêng được tính theo công thức (7). Ví dụ 9: Tìm z/x và z/y nếu x3 + y 3 + z3 + 6xyz = 1. Lời giải: Giả sử F(x, y, z) = x3 + y 3 + z3 + 6xyz – 1 = 0. Từ phương trình 7 ta có = − + 2 + 2 , = − + 2 + 2 Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương 1 – Toán 3 31 1.6. Đạo hàm theo hướng và véc tơ gradient Bản đồ thời tiết trong hình 1 thể hiện bản đồ đường biên về nhiệt độ của hàm T(x,y) cho các bang California và Nevada lúc 3h chiều vào một ngày trong tháng 10. Các đường mức, hay các đường đẳng nhiệt, được đặt ở các vị trí có cùng nhiệt độ. Đạo hàm riêng tại điểm như Reno là tốc độ thay đổi của nhiệt độ theo phương diện khoảng cách khi đi từ Reno đến phía đông; là tốc độ thay đổi về nhiệt độ nếu đi về phía bắc. Nhưng nếu muốn biết tốc độ thay đổi nhiệt độ khi đi về hướng đông nam (hướng đến Las Vegas) hoặc theo một vài hướng khác thì ta phải làm gì? Trong phần này chúng tôi giới thiệu một loại đạo hàm, được gọi là đạo hàm theo hướng, giúp ta tìm được tốc độ thay đổi của một hàm hai hay nhiều biến theo một hướng bất kỳ. 1.6.1. Đạo hàm theo hướng Nhắc lại: nếu z = f(x,y) thì các đạo hàm riêng và được xác định như sau (, ) = lim→ ( ,) (,) (, ) = lim → (, + ℎ) − (, ) ℎ và thể hiện tốc độ thay đổi của z theo hướng x và y, nghĩa là hướng của các vectơ đơn vị ⃗ và ⃗. Giả sử ta muốn tìm tốc độ thay đổi của z tại (, ) theo hướng một vectơ đơn vị tùy ý ⃗ = 〈, 〉= 〈cos , sin 〉. (Xem hình 2). Để làm điều này ta coi mặt S có phương trình z = f(x,y) (đồ thị của f) và cho = (, ). Khi đó điểm (, , ) nằm trên S. M ặt phẳng đứng qua P có vectơ chỉ phương ⃗ giao với S theo đường cong C. (Xem hình 3). Độ dốc của đường tiếp tuyến T với C tại P là tốc độ thay đổi của z theo hướng ⃗. Nếu Q(x,y,z) là một điểm khác trên C là các hình chiếu của P, Q lên mặt phẳng xOy, thì ⃗ là song song với ⃗ và do đó ⃗ = ℎ⃗ = 〈ℎ, ℎ〉 với h là đại lượng vô hướng. Do đó − = ℎ; − = ℎ, vậy = + ℎ, = + ℎ và Δ ℎ = − ℎ = ( + ℎ, + ℎ) − (, ) ℎ Hình 1 Hình 2 Hình 3 Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương 1 – Toán 3 32 nếu ta lấy giới hạn khi ℎ → 0, ta được tốc độ thay đổi của z (với phương diện khoảng cách) theo hướng ⃗, được gọi là đạo hàm theo hướng của f theo hướng ⃗. Định nghĩa: Đạo hàm theo hướng (directional derivative) của f tại (, ) theo hướng vectơ đơn vị ⃗ = 〈, 〉 là ⃗ (, )) = lim → ( + ℎ, + ℎ) − (, ) ℎ nếu giới hạn này tồn tại. Bằng cách so sánh định nghĩa (2) với phương trình (1), ta thấy nếu ⃗ = ⃗= 〈1,0〉 thì ⃗ = và nếu ⃗ = ⃗= 〈0,1〉 thì ⃗ = . Nói cách khác, đạo hàm riêng của f theo các biến x và y là các trường hợp đặc biệt của đạo hàm theo hướng. Ví dụ 1: Sử dụng bản đồ thời tiết ở hình 1 để tính giá trị đạo hàm theo hướng của hàm nhiệt độ tại Reno theo hướng đông nam. Lời giải: Vectơ đơn vị hướng đến phía đông nam là ⃗ = ⃗ ⃗ √ , nhưng ta không cần sử dụng biểu thức này. Ta bắt đầu bằng cách vẽ một đường thẳng đi qua Reno hướng đến phía đông nam (xem hình 4). Ta xấp xỉ đạo hàm theo hướng ⃗ bằng cách tính trung bình tốc độ thay đổi nhiệt độ giữa các điểm trên đường này với đường đẳng nhiệt T = 50 và T = 60. Nhiệt độ ở phía đông nam của Reno là = 60℉ và nhiệt độ ở phía tây bắc của Reno là = 50℉ . Khoảng cách giữa các điểm này khoảng 75 dặm. Vậy tốc độ thay đổi của nhiệt độ theo hướng đông nam là ⃗ ≈ 60 − 50 75 = 10 75 ≈ 0.13℉ /. █ Khi tính đạo hàm theo hướng của một hàm f được xác định bởi công thức, ta thường sử dụng định lý sau Định lý: Nếu f là hàm hai biến của x và y, thì f có đạo hàm theo mọi hướng vectơ đơn vị ⃗ = 〈, 〉 và ⃗ (, ) = (, ). + (, ). Chứng minh: Nếu ta định nghĩa g là hàm một biến được xác định bởi (ℎ) = ( + ℎ, + ℎ) thì theo định nghĩa đạo hàm ta có Hình 4 Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương 1 – Toán 3 33 4 (0) = lim → (ℎ) − (0) ℎ = lim → ( + ℎ, + ℎ) − (, ) ℎ = ⃗ (, ) Nói cách khác, ta có thể viết g(h) = f(x,y), với = + ℎ, = + ℎ, vậy theo quy tắc dây chuyền ta được (ℎ) = . ℎ + . ℎ = (, ). + (, ). Nếu cho h = 0 thì = , = và 5 (0) = (, ). + (, ). So sánh các phương trình (4) và (5) ta thấy ⃗ (, ) = (, ). + (, ). █ Nếu vectơ đơn vị ⃗ tạo với chiều dương trục Ox góc (như trong hình 2) thì ta có thể viết ⃗ = 〈, 〉 và công thức trong định lý 3 trở thành 6 ⃗ (, ) = (, ). + (, ). Ví dụ 2: Tìm đạo hàm theo hướng ⃗ (, ) nếu (, ) = − 3 + 4 và ⃗ là vectơ đơn vị được cho bởi góc = . Tính ⃗ (1,2)? Lời giải: Theo công thức (6) ⃗ (, ) = (, ). . + (, ). sin = (3 − 3). √ + (− 3 + 8). = 3√3 − 3 + 8 − 3√3 Do đó ⃗ (1,2) = 1 2 3√3(1) − 3(1) + 8 − 3√3(2) = 13 − 3√3 2 Đạo hàm theo hướng ⃗ (1,2) biểu thị tốc độ thay đổi của z theo hướng u. Đó là độ dốc của tiếp tuyến của đường cong là giao của mặt cong z = x3 – 3xy + 4y 2 với mặt phẳng nằm ngang đi qua điểm (1, 2, 0) theo hướng của u (Xem Hình 5). 1.6.2. Véc tơ gradient Từ định lý 3 chú ý rằng có thể viết đạo hàm theo hướng như tích của hai vectơ: 7 ⃗ (, ) = (, ). + (, ). = 〈 (, ), (, )〉∙〈, 〉 = 〈 (, ), (, )〉∙⃗ Vectơ thứ nhất trong tích này không chỉ dùng để tính đạo hàm theo hướng mà còn được dùng trong nhiều trường hợp khác. Vì vậy ta đặt cho nó một cái tên đặc biệt (gradient của f) và ký hiệu đặc biệt (⃗ hay ∇⃗ , đọc là “toán tử nabla f” ). Hình 5 Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương 1 – Toán 3 34 8 Định nghĩa: Nếu f là hàm hai biến x và y, thì gradient của f là hàm vectơ ∇⃗ được xác định bởi ∇⃗ = 〈 (, ), (, )〉= . ⃗+ . ⃗ Ví dụ 3: Nếu (, ) = + thì ∇⃗ = 〈 , 〉= 〈+ , 〉 và ∇⃗ (0,1) = 〈2,0〉 ∎ Với ký hiệu này cho vectơ gradient, ta có thể viết lại biểu thức (7) cho đạo hàm theo hướng như sau 9 ⃗ (, ) = ∇⃗ (, ) ∙⃗ Điều này thể hiện đạo hàm theo hướng ⃗ chính là hình chiếu của vectơ gradient lên ⃗. Ví dụ 4: Tìm đạo hàm theo hướng của hàm (, ) = − 4 tại điểm (2,-1) theo hướng của ⃗ = 2⃗+ 5⃗. Lời giải: Trước hết ta tìm vectơ gradient tại điểm (2,-1): ∇⃗ (, ) = 2⃗+ (3 − 4)⃗ ∇⃗ (2, − 1) = − 4⃗+ 8⃗ Chú ý rằng ⃗ không là vectơ đơn vị, nhưng từ ||= √29, vectơ đơn vị cùng hướng với ⃗ là ⃗ = || = 2 √29 ⃗+ 5 √29 ⃗ Do đó theo phương trình (9) ta có ⃗ (2, − 1) = ∇∇(2, − 1) ∙ = (− 4⃗+ 8⃗) ∙ 2 √29 ⃗+ 5 √29 ⃗ = 4 ∙2 + 8 ∙5 √29 = 32 √29 Véc tơ gradient ∇⃗ (2, − 1) trong Ví dụ 4 được minh họa trong Hình 6. Cả véctơ ⃗ là hướng của đạo hàm theo hướng. Cả hai véc tơ đó đều xếp chồng lên các đồng mức của đồ thị của f. 1.6.3. Hàm ba biến Đối với hàm ba biến, ta có thể xác định đạo hàm theo hướng tương tự như cách trên. Ngoài ra ⃗ (, , ) có thể được thể hiện như tốc độ thay đổi của hàm theo hướng vectơ đơn vị ⃗. 10 Định nghĩa: Đạo hàm theo hướng (directional derivative) của f tại (, , ) theo hướng vectơ đơn vị ⃗ = 〈, , 〉 là Hình 6 Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương 1 – Toán 3 35 ⃗ (, , ) = lim → ( + ℎ, + ℎ, + ℎ) − (, , ) ℎ nếu giới hạn này tồn tại. Nếu ta sử dụng ký hiệu vectơ thì có thể viết cả hai định nghĩa (2) và (10) theo dạng rút gọn như sau 11 ⃗ () = lim → ( + ℎ) − () ℎ với = 〈, 〉 khi n = 2 và = 〈, , 〉 khi n = 3. Điều này phù hợp với phương trình vectơ của đường thẳng đi qua có vectơ chỉ phương ⃗ được cho bởi = + và vì vậy ( + ℎ) thể hiện giá trị của f tại một điểm trên đường thẳng. Nếu f(x,y,z) là hàm nhiều biến và ⃗ = 〈, , 〉, bằng cách tương tự đã dùng để chứng minh định lý 3, ta có thể chỉ ra rằng 12 ⃗ (, , ) = (, , ). + (, , ). + (, , ). Cho f là hàm ba biến, vectơ gradient (gradient vector), ký hiệu là ∇⃗ hay ⃗ là ∇⃗ (, , ) = 〈 (, , ), (, , ), (, , )〉 hay dạng rút gọn là 13 ∇⃗ = 〈 , , 〉= ⃗+ ⃗+ ⃗ Khi đó, giống như hàm 2 biến, công thức (12) cho đạo hàm riêng có thể viết lại như sau 14 ⃗ (, , ) = ∇⃗ (, , ) ∙⃗ Ví dụ 5: Cho (, , ) = sin a) Tìm vectơ gradient của f. b) Tìm đạo hàm theo hướng của f tại (1,3,0) theo hướng của ⃗ = ⃗+ 2⃗− ⃗ . Lời giải: a) Gradient của f là ∇⃗ (, , ) = 〈 (, , ), (, , ), (, , )〉= 〈sin , cos , cos 〉. b) Tại điểm (1,3,0) ta có ∇⃗ (1,3,0) = 〈0,0,3〉. Vectơ đơn vị cùng hướng ⃗ = ⃗+ 2⃗− ⃗ là ⃗ = 1 √6 ⃗+ 2 √6 ⃗− 1 √6 ⃗ Do đó theo phương trình (14) ta được ⃗ (1,3,0) = ∇⃗ (1,3,0) ∙⃗ = 3 ∙ 1 √6 ⃗+ 2 √6 ⃗− 1 √6 ⃗ = 3 − 1 √6 = − 3 2 █ 1.6.4. Giá trị lớn nhất của đạo hàm theo hướng Giả sử f là hàm hai hoặc ba biến và có đạo hàm theo mọi hướng tại một điểm bất kỳ. Nghĩa là f có thể thay đổi tốc độ theo mọi hướng. Ta có thể đặt ra câu hỏi: f thay đổi nhanh Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương 1 – Toán 3 36 nhất theo hướng nào và giá trị lớn nhất của tốc độ thay đổi là bao nhiêu? Câu trả lời được chứng minh bằng định lý sau: 15 Định lý: Giả sử f là hàm hai hoặc ba biến. Giá trị lớn nhất của đạo hàm theo hướng ⃗ () là ∇⃗ () và đạt được khi ⃗ cùng hướng với vectơ gradient ∇⃗ (). Chứng minh: Từ phương trình (9) hoặc (14) ta có ⃗ = ∇⃗ . ⃗ = │∇⃗ │. │⃗│. = │∇⃗ │. với là góc giữa ∇⃗ và ⃗. Giá trị lớn nhất của bằng 1 và xảy ra khi = 0. Do đó GTLN của ⃗ là │∇⃗ │ và xảy ra khi = 0, nghĩa là khi ⃗ cùng hướng với ∇⃗ . █ Ví dụ 6: Cho (, ) = , tìm tốc độ thay đổi của f tại điểm P(2,0) theo hướng từ P đến , 2. Theo hướng nào thì tốc độ thay đổi của f đạt cực đại? Giá trị cực đại đó là bao nhiêu? Lời giải: Trước hết ta tìm vectơ gradient: ∇⃗ (, ) = 〈 , 〉= 〈 , 〉 ∇⃗ (2,0) = 〈1,2〉 Vectơ đơn vị cùng hướng với ⃗ = 〈− 1.5,2〉 là ⃗ = 〈− , 〉, vì vậy tốc độ thay đổi của f theo hướng từ P đến Q là ⃗ (2,0) = ∇⃗ (2,0) ∙⃗ = 〈1,2〉∙〈− 3 5 , 4 5 〉= 1 ∙− 3 5 + 2 ∙ 4 5 a) Theo định lý (15), f tăng nhanh nhất theo hướng của vectơ gradient ∇⃗ (2,0) = 〈1,2〉. Tốc độ thay đổi cực đại là ∇⃗ (2,0)= |〈1,2〉|= √5 █ Ví dụ 7: Giả sử nhiệt độ tại điểm (x,y,z) trong không gian được cho bởi (, , ) = với T được đo bằng đơn vị ℃ và x, y, z đơn vị là mét. Theo hướng nào thì nhiệt độ tại điểm (1,1,-2) là tăng nhanh nhất? GTLN của tốc độ tăng là bao nhiêu? Lời giải: Gradient của T là ∇⃗ = ⃗+ ⃗+ ⃗ = − 160 (1 + + 2 + 3) ⃗− 320 (1 + + 2 + 3) ⃗ − 480 (1 + + 2 + 3) ⃗ = 160 (1 + + 2 + 3) − ⃗− 2⃗− 3⃗ Tại điểm (1,1,-2) vectơ gradient là Hình 7 Hình 8 Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương 1 – Toán 3 37 ∇⃗ (1,1, − 2) = 160 256 − ⃗− 2⃗+ 6⃗ = 5 8 − ⃗− 2⃗+ 6⃗ Theo định lý 15, nhiệt độ tăng nhanh nhất theo hướng vectơ gradient ∇⃗ (1,1, − 2) = − ⃗− 2⃗+ 6⃗ , hoặc tương ứng theo hướng của − ⃗− 2⃗+ 6⃗ hay vectơ đơn vị ⃗ ⃗ ⃗ √ . GTLN tốc độ tăng là độ dài của vectơ gradient │∇⃗ (1,1, − 2)│ = 5 8 − ⃗− 2⃗+ 6⃗ = 5 8 √41 Do đó GTLN tốc độ tăng của nhiệt độ là √41 ≈ 4℃/ . Tại (2, 0) hàm trong Ví dụ 6 tăng nhanh nhất theo hướng của véc tơ gradient ∇(2,0) = 〈1,2〉. Hình 7 nói lên rằng véc tơ này dường như vuông góc với đường mức đi qua (2, 0). Hình 8 mô tả đồ thị của f và véc tơ gradient. 1.6.5. Mặt phẳng tiếp diện của mặt mức Giả sử S là mặt cong có phương trình F(x,y,z) = k là mặt phẳng mật tiếp của hàm ba biến F và (, , ) là điểm thuộc S. Cho C là đường cong bất kỳ nằm trên mặt S và đi qua điểm P. Theo phần 13.1, đường cong C được mô tả bởi hàm vectơ lien tục ⃗() = 〈(), (), ()〉. Cho là giá trị tham số tương ứng với điểm P, tức là ⃗() = 〈, , 〉. Do C nằm trên S, nên bất kỳ điểm ((), (), ()) phải thỏa mãn phương trình của S, nghĩa là 16 (), (), () = Nếu x, y và z là các hàm một biến t và F cũng là hàm một biến thì ta có thể sử dụng quy tắc dây chuyền để đạo hàm hai vế phương trình (16) như sau: 17 ∙ + ∙ + ∙ = 0 Nhưng từ ∇⃗ = 〈 , , 〉 và ⃗′() = 〈′(), ′(), ′()〉, phương trình (17) có thể được viết lại dưới dạng tích như sau ∇⃗ ∙⃗ () = 0 Đặc biệt, khi = ta có ⃗() = 〈, , 〉, vì vậy 18 ∇⃗ (, , ) ∙ ⃗ () = 0 Phương trình (18) cho thấy vectơ tại P, ∇⃗ (, , ), vuông góc với vectơ tiếp tuyến ′⃗ () của đường cong C bất kỳ nằm trên mặt S và đi qua P. (Xem hình 9). Khi ∇⃗ (, , ) ≠ 0, nó xác định mặt phẳng tiếp diện với mặt mức (tangent plane to the level surface) F(x,y,z) = k tại (, , ) như là mặt phẳng qua P và có vectơ pháp tuyến ∇⃗ (, , ). Ta có thể viết phương trình tiếp tuyến với mặt phẳng này là 19 (, , )( − ) + (, , )( − ) + (, , )( − ) = 0 Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương 1 – Toán 3 38 Đường pháp tuyến (normal line) với S tại P là đường thẳng qua P và vuông góc với mặt phẳng tiếp diện. Phương của đường tiếp tuyến được tạo bởi vectơ gradient ∇⃗ (, , ), do đó hệ phương trình đối xứng của nó là 20 − (, , ) = − (, , ) = − (, , ) Trong trường hợp đặc biệt, phương trình của mặt S có dạng z = f(x,y) (S là đồ thị của hàm hai biến f), ta có thể viết lại phương trình như sau (, , ) = (, ) − = 0 và xem S như mặt của F (với k = 0). Khi đó (, , ) = (, ) (, , ) = (, ) (, , ) = − 1 vậy phương trình (19) trở thành (, )( − ) + (, )( − ) − ( − ) = 0 Ví dụ 8: Tìm phương trình của mặt phẳng tiếp diện và đường pháp tuyến tại điểm (− 2,1, − 3) với ellipsoid + + = 3. Lời giải: Ellipsoid trên là mặt tương ứng của hàm (với k = 3) (, , ) = 4 + + 9 Do đó ta có (, , ) = 2 ; (, , ) = 2; (, , ) = 2 9 (− 2,1, − 3) = − 1; (− 2,1, − 3) = 2; (− 2,1, − 3) = − 2 3 Theo phương trình (19), phương trình của mặt phẳng tiếp diện tại (-2,1,-3) là : − 1( + 2) + 2( − 1) − ( + 3) = 0 hay 3 − 6 + 2 + 18 = 0. Theo phương trình (20), hệ phương trình đối xứng của đường tiếp tuyến là + 2 − 1 = − 1 2 = + 3 − 2 3 Hình 10 biểu thị ellipsoid, mặt phẳng tiếp diện và pháp tuyến trong Ví dụ 8. Hình 9 Hình 10 Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương 1 – Toán 3 39 1.6.6. Ý nghĩa của vectơ gradient Chúng ta tổng kết những ý nghĩa của vectơ gradient. Trước hết ta xét hàm 3 biến f và điểm (, , ) thuộc tập xác định của f. Thứ nhất, theo định lý 15 ta đã biết hàm f tăng nhanh nhất theo hướng của vectơ gradient ∇⃗ (, , ). Thứ hai, ta biết rằng ∇⃗ (, , ) là vuông góc với mặt S của f qua P. (Thay cho hình 9). Bằng trực giác, hai tính chất này là tương thích, vì khi ta di chuyển từ P đến mặt mức S, giá trị của f không đổi. Vậy dường như khi di chuyển theo hướng vuông góc, ta được tốc độ tăng nhanh nhất. Tương tự, ta xét hàm 2 biến f và điểm (, ) thuộc tập xác định của f. Ta lại có hàm f tăng nhanh nhất theo hướng của vectơ gradient ∇⃗ (, ). Cũng tương tự như vậy với các mặt phẳng tiếp diện, có thể chỉ ra rằng ∇⃗ (, ) vuông góc với đường mức f(x,y) = k đi qua P. M ột lần nữa ta cũng thấy hợp lý rằng giá trị của hàm f là hằng số khi di chuyển dọc trên đường cong. (Xem hình 11). Khi ta xem một bản đồ địa hình về đối núi và f(x,y) thể hiện độ cao trên mực nước biển có tọa độ (x,y), thì đường cong dốc lên nhiều nhất có thể được vẽ trong hình 12 bằng cách vẽ nó vuông góc với tất cả các đường biên. Hi ện tượng này cũng đã được chú thích ở hình 12 trong phần 14.1, nơi mà Lonesome Creek dốc xuống nhiều nhất. Các hệ thống máy tính đại số có các lệnh mẫu vẽ đồ thị của vectơ gradient. M ỗi vectơ gradient ∇⃗ (, ) được vẽ bắt đầu tại điểm (a,b). Hình 13 thể hiện giống như một đồ thị (gọi là trường vectơ gradient) cho hàm (, ) = − đặt lên trên bản đồ đường biên của f. Như mong đợi, các vectơ gradient “đi lên” và vuông góc với các đường mức. 1.7. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất Trong phần này ta sẽ sử dụng đạo hàm riêng để tìm các giá trị cực đại và các giá trị cực tiểu của hàm hai biến. Đặc biệt, trong ví dụ 6 ta sẽ tìm cách tính GTLN thể tích của 1 cái hộp không có nắp và làm bằng bìa các-tông. 1.7.1. Cực trị không điều kiện 1 Định nghĩa: M ột hàm hai biến đạt cực đại địa phương (local maximum) tại điểm (a,b) nếu (, ) ≤ (, ) khi (x,y) gần (a,b). (Điều này có nghĩa là (, ) ≤ (, ) Hình 11 Hình 12 Hình 13 Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương 1 – Toán 3 40 với mọi điểm (x,y) nằm trong hình tròn tâm (a,b).). Số f(a,b) được gọi là giá trị cực đại địa phương (local maximum value). Nếu (, ) ≥ (, ) khi (x,y) gần (a,b) thì f có một cực tiểu địa phương (local minimum) tại (a,b) và f(a,b) là giá trị cực tiểu địa phương (local minimum value). Nếu các bất đẳng thức trong định nghĩa (1) đúng với mọi điểm (x,y) thuộc tập xác định của f, thì f có một cực đại tuyệt đối (absolute maximum) (hoặc cực tiểu tuyệt đối (absolute minimum)) tại (a,b). Đồ thị của một hàm có nhiều cực đại và cực tiểu được thể hiện trong hình 1. Bạn có thể tưởng tượng cực đại địa phương như những đỉnh núi và cực tiểu địa phương như những đáy của thung lũng. 2 Định lý: Nếu f có một cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương tại điểm (a,b), và tại đó tồn tại các đạo hàm riêng của f thì (, ) = 0 và (, ) = 0. (Chú ý rằng kết luận của định lý 2 có thể viết dưới dạng ký hiệu của vectơ gradient là ∇⃗ (, ) = 0). Chứng minh Nếu ta đặt (, ) = 0 và (, ) = 0 trong phương trình của mặt phẳng tiếp diện, ta được = . Do đó, ý nghĩa hình học của định lý (2) là nếu đồ thị của f có một mặt tiếp diện tại cực đại hoặc cực tiểu địa phương thì mặt tiếp diện phải nằm ngang. Điểm (a,b) được gọi là điểm tới hạn (critical point) (hoặc điểm dừng (stationary point)) của f nếu (, ) = 0 và (, ) = 0, hoặc nếu một trong các đạo hàm riêng này không tồn tại. Định lý (2) nói rằng nếu f có một cực đại hoặc cực tiểu địa phương tại (a,b) thì (a,b) là một điểm tới hạn của f. Tuy nhiên, khi tính các đạo hàm riêng, không phải tất cả các điểm tới hạn đều là cực đại hay cực tiểu. Tại một điểm tới hạn, hàm f có thể đạt cực đại, cực tiểu hoặc không. Ví dụ 1: Cho (, ) = + − 2 − 6 + 14. Khi đó (, ) = 2 − 2; (, ) = 2 − 6 Các đạo hàm riêng này bằng 0 khi x = 1 và y = 3, vậy chỉ có một điểm tới hạn là (1,3). Bằng cách thêm vào để được bình phương, ta thấy (, ) = 4 + ( − 1) + ( − 3) Từ ( − 1) ≥ 0 và ( − 3) ≥ 0, ta có (, ) ≥ 4 với mọi x và y. Do đó f(1,3) = 4 là cực tiểu địa phương, nói Hình 1 Hình 2 Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương 1 – Toán 3 41 tóm lại nó là cực tiểu tuyệt đối của f. Điều này có thể được chứng thực bằng đồ thị của f, đó là một paraboloid elliptic với đỉnh (1,3,4) được vẽ trong hình 2. Ví dụ 2: Tìm các cực trị của (, ) = − . Lời giải: Từ = − 2 và = 2, chỉ có một điểm tới hạn là (0,0). Chú ý rằng với các điểm trên trục Ox ta có y = 0, vậy (, ) = − < 0 (nếu ≠ 0). Tuy nhiên với các điểm trên trục Oy ta có x = 0, vậy (, ) = > 0 (nếu ≠ 0). Do đó mỗi hình tròn tâm (0,0) chứa các điểm mà f đạt giá trị dương cũng như các điểm mà f đạt giá trị âm. Vậy f(0,0) = 0 không thể là một cực trị của f, nên f không có cực trị. █ Ví dụ 2 chỉ ra một thực tế là một hàm không cần đạt cực đại hay cực tiểu tại một điểm tới hạn. Hình 3 thể hiện điều này. Đồ thị của f là hypebolic paraboloid = − , có một mặt tiếp diện nằm ngang (z = 0) tại gốc tọa độ. Ta có thể thấy f(0,0) = 0 là cực đại theo trục Ox nhưng lại là cực tiểu theo trục Oy. Đồ thị gần gốc tọa độ có hình yên ngựa và vì vậy (0,0) được gọi là một điểm yên ngựa của f. M ột hẻm núi cũng có dạng yên ngựa. Như trong bức ảnh minh họa, cho người đi bộ tại điểm yên ngựa theo một hướng thì đó là điểm thấp nhất của lộ trình, trong khi những người đi theo hướng khác tại điểm yên ngựa thì đó là điểm cao nhất. Ta có thể xác định liệu hàm f có đạt cực trị tại các điểm tới hạn hay không. Tiêu chuẩn sau, được chứng minh ở cuối của phần này, tương tự đạo hàm cấp 2 của hàm một biến. 3 Tiêu chuẩn đạo hàm riêng cấp 2: Giả sử các đạo hàm riêng cấp 2 của f là liên tục trên một hình tròn tâm (a,b), (, ) = 0 và (, ) = 0 (nghĩa là (a,b) là điểm tới hạn của f). Cho = (, ) = (, ). (, ) − (, ) a) Nếu > 0 và (, ) > 0 thì f(a,b) là cực tiểu địa phương. b) Nếu > 0 và (, ) < 0 thì f(a,b) là cực đại địa phương. c) Nếu < 0 thì f(a,b) không đạt cực đại hoặc cực tiểu địa phương. Chú ý 1: Trong trường hợp (c) điểm (a,b) được gọi là điểm yên ngựa (saddle point) của f và đồ thị của f đi qua mặt phẳng tiếp diện tại (a,b). Chú ý 2: Nếu = 0, dùng tiêu chuẩn không kết luận được, f có thể có một cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương tại (a,b), hoặc (a,b) có thể là điểm yên ngựa của f. Hình 3 Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương 1 – Toán 3 42 Chú ý 3: Để nhớ công thức của D, ta có thể viết thành dạng định thức: = = . − Ví dụ 3: Tìm cực đại địa phương và cực tiểu địa phương và các điểm yên ngựa của (, ) = + − 4 + 1. Lời giải: Trước hết ta tìm các điểm tới hạn = 4 − 4; = 4 − 4 Cho các đạo hàm riêng bằng 0, ta được hệ phương trình − = 0; − = 0 Để giải hệ phương trình này ta thế = từ phương trình thứ nhất vào phương trình thứ hai, ta được 0 = − = ( − 1) = ( − 1)( + 1) = ( − 1)( + 1)( + 1) vậy có 3 nghiệm thực: = 0,1, − 1. Ba điểm tới hạn là (0,0);(1,1) và (− 1, − 1). Tiếp theo ta tính các đạo hàm riêng cấp hai và D(x,y): = 12; = − 4; = 12 (, ) = − − = 14 − 16 Từ (0,0) = − 16 < 0, theo trường hợp (c) của tiêu chuẩn đạo hàm riêng cấp hai thì gốc tọa độ là điểm yên ngựa; do đó f không đạt cực đại hay cực tiểu địa phương tại (0,0). Từ (1,1) = 128 > 0 và (1,1) = 12 > 0, ta thấy từ trường hợp (a) của tiêu chuẩn rằng (1,1) = − 1 là cực tiểu địa phương. Tương tự ta có (− 1, − 1) = 128 > 0 và (− 1, − 1) = 12 > 0, vậy (− 1, − 1) = − 1 cũng là cực tiểu địa phương.. Đồ thị của f được thể hiện trong hình 4. M ột bản đồ đồng mức của hàm f trong Ví dụ 3 được thể hiện trong Hình 5. Các đường mức gần (1, 1) và (-1, -1) là hình bầu dục và chỉ ra rằng khi chúng ta di chuyển ra khỏi (1, 1) hoặc (-1, -1) theo bất kỳ hướng nào thì các giá trị của f tăng lên. M ặt khác, các đường mức gần (0, 0), giống các hyperbola. Chúng nói lên rằng khi chúng ta di chuyển ra khỏi gốc tọa độ (ở đó giá trị của f là 1), các giá trị của f giảm theo một số hướng nhưng tăng theo các hướng khác. Do đó, bản đồ đồng mức cho thấy sự hiện diện của các cực tiểu và điểm yên ngựa mà chúng ta tìm thấy trong Ví dụ 3. Ví dụ 4: Tìm và phân loại các điểm tới hạn của hàm số Hình 4 Hình 5 Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương 1 – Toán 3 43 (, ) = 10 − 5 − 4 − − 2 Ngoài ra, tìm điểm cao nhất trên đồ thị của f. Lời giải: Các đạo hàm riêng cấp 1 là = 20 − 10 − 4; = 10 − 8 − 8 Vậy để tìm các điểm tới hạn ta cần giải hệ phương trình 4 2(10 − 5 − 2) = 0 5 5 − 4 − 4 = 0 Từ phương trình (4) ta thấy = 0 hoặc 10 − 5 − 2 = 0 Trường hợp thứ nhất (x = 0). Phương trình (5) trở thành − 4(1 + ) = 0, vậy y = 0 và ta có điểm tới hạn (0,0). Trường hợp thứ hai (10 − 5 − 2 = 0), ta được 6 = 5 − 2.5 và thay vào phương trình (5), ta có 25 − 12.5 − 4 − 4 = 0, vậy giải phương trình bậc ba 7 4 − 21 + 12.5 = 0 Sử dụng máy tính để vẽ đồ thị của hàm () = 4 − 21 + 12.5 như trong hình 6, ta thấy phương trình (7) có 3 nghiệm thực. Bằng cách phóng đại, ta có thể tìm được các nghiệm với bốn chữ số thập phân: ≈ − 2.5452; ≈ 0.6468; ≈ 1.8984 (Như một sự lựa chọn, ta có thể sử dụng phương pháp Newton ho ặc dò nghiệm để xác định các nghiệm này). Từ phương trình (6), các giá trị tương ứng của x được xác định bởi = ± 5 − 2.5 Nếu ≈ − 2.5452 thì không có các giá trị thực tương ứng của x. Nếu ≈ 0.6468 thì ≈ ±0.8567. Nếu ≈ 1.8984 thì ≈ ±2.6442. Vậy ta có tổng cộng 5 điểm tới hạn, được phân tích trong bảng sau. Tất cả các đại lượng được làm tròn đến hai chữ số thập phân. Điểm tới hạn Giá trị của f D Kết luận (0,0) 0.00 -10.00 80.00 Cực đại địa phương (±2.64, 1.90) 8.50 -55.93 2488.72 Cực đại địa phương (±0.86, 0.65) -1.48 -5.87 -187.64 Điểm yên ngựa Hình 6 Hình 7 Hình 8 Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương 1 – Toán 3 44 Hình 7 và 8 đưa ra 2 hình ảnh về đồ thị của f và ta thấy mặt mở hướng xuống dưới. [Điều này cũng có thể thấy từ biểu thức của f(x,y): các nhóm chủ yếu là – − 2 khi || và || là lớn. ]. So sánh các giá trị của f tại các cực đại địa phương, ta thấy GTLN của f là (±2.64, 1.90) ≈ 8.50. Nói cách khác, điểm cao nhất trên đồ thị của f là (±2.64, 1.90, 8.50). Ví dụ 5: Tìm khoảng cách ngắn nhất từ điểm (1,0,-2) đến mặt phẳng x + 2y + z = 4. Lời giải: Khoảng cách từ điểm bất kỳ (x,y,z) đến điểm (1,0,-2) là = ( − 1) + + ( + 2) nhưng nếu (x,y,z) nằm trên mặt phẳng x + 2y + z = 4, thì z = 4 – x – 2y và vì vậy ta có = ( − 1) + + (6 − − 2). Ta có thể viết dưới dạng biểu thức gọn hơn = (, ) = ( − 1) + + (6 − − 2) Bằng cách giải hệ phương trình = 2( − 1) − 2(6 − − 2) = 4 + 4 − 14 = 0 = 2 − 4(6 − − 2) = 4 + 10 − 24 = 0 ta tìm được duy nhất một điểm tới hạn là , . Từ = 4, = 4 và = 10 ta có = . − = 24 > 0 và > 0, vậy theo tiêu chuẩn đạo hàm riêng cấp hai, f có một cực tiểu địa phương tại , . Bằng trực giác, ta có thể thấy cực tiểu địa phương này trên thực tế là một GTNN vì nó là điểm trên mặt phẳng gần với điểm (1,0,-2) nhất. Nếu = và = thì = ( − 1) + + (6 − − 2) = 5 6 + 5 3 + 5 6 = 5 6 √6 Khoảng cách ngắn nhất từ (1,0,-2) đến mặt phẳng x + 2y + z = 4 là √6 Hình 9 là bản đồ đồng mức của hàm f trong Ví dụ 4. Năm điểm tới hạn được thể hiện bởi các chấm tròn màu đỏ. Ví dụ 6: M ột cái hộp hình lập phương không có nắp được làm từ 12 bìa các tông. Tìm GTLN thể tích của cái hộp đó. Lời giải: Gọi chiều dài, chiều rộng và chiều cao của hộp (theo đơn vị mét) là x, y, z, như trong hình 10. Khi đó thể tích của hộp là = Ta có thể coi V là một hàm hai biến x và y bằng cách sử dụng diện tích xung quanh và đáy của hộp là 2 + 2 + = 12 Hình 9 Hình 10 Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương 1 – Toán 3 45 Giải phương trình này theo z, ta được = ( ) , vậy biểu thức V trở thành = . 12 − 2( + ) = 12 − 2( + ) Ta tính các đạo hàm riêng: = (12 − 2 − ) 2( + ) ; = (12 − 2 − ) 2( + ) Nếu V là một cực đại, thì = = 0, nhưng x = 0 hoặc y = 0 lại cho ta V = 0, vậy ta phải giải hệ phương trình 12 − 2 − = 0; 12 − 2 − = 0 Hệ này ám chỉ rằng = và vì vậy x = y. (Chú ý rằng x và y đều phải dương trong trường hợp này). Nếu ta cho x = y thì phương trình trở thành 12 − 3 = 0, được x = 2, y = 2 và = ∙ ( ) = 1. Ta có thể sử dụng tiêu chuẩn đạo hàm riêng cấp hai để tìm được một cực đại địa phương của V , hoặc có thể đoán được theo vật lý là phải có một GTLN cho thể tích của hộp, điều này xảy ra tại một điểm tới hạn của V, vậy nó xảy ra khi x = 2, y = 2, z = 1. Khi đó = 2 ∙2 ∙1 = 4. Vậy GTLN thể tích của hộp là 4 . █ 1.7.2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. Cho hàm một biến f, định lý Giá trị cực trị nói rằng nếu f là hàm liên tục trên khoảng đóng [a,b], thì f đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất. Theo phương pháp khoảng đóng, ta tìm cách đánh giá f không chỉ tại các điểm tới hạn mà còn tại cả các điểm biên a và b. Có một cách tương tự cho hàm hai biến. Giống như một khoảng đóng gồm các điểm biên, một tập đóng (a close set) trong ℝ là tập gồm tất cả các điểm biên của nó. [Một điểm biên của D là điểm (a,b) mà mỗi một hình tròn tâm (a,b) chứa cả những điểm thuộc D và những điểm không thuộc D.]. Ví dụ, hình tròn = {(, )│ + ≤ 1} gồm tất cả các điểm nằm trong và nằm ngoài đường tròn + = 1, là một tập đóng vì nó gồm tất cả các điểm biên (những điểm nằm trên đường tròn + = 1). Nhưng nếu bỏ đi một điểm trên đường biên, tập hợp không đóng nữa. (Xem hình 11). M ột tập bị chặn (bounded set) trong ℝ là tập chứa một vài hình tròn. Nói cách khác, nó có kích thước hữu hạn. Khi đó, trong nhóm các tập đóng và các tập bị chặn, ta cần nói rõ sự đối chiếu của định lý giá trị cực trị trong không gian hai chiều. 8 Định lý giá trị cực trị cho hàm hai biến: Nếu f liên tục trên một tập đóng và bị chặn D trong ℝ thì f đạt được giá trị lớn nhất (, ) và giá trị nhỏ nhất (, ) tại các điểm (, ) và (, ) trong D. Hình 11 Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương 1 – Toán 3 46 Để đảm bảo tìm được các giá trị cực trị bằng định lý (8), ta chú ý rằng, theo định lý (2), nếu f có một giá trị cực trị tại (, ), thì (, ) cũng là điểm tới hạn của f hoặc điểm biên của f. Do đó ta có sự mở rộng của phương pháp khoảng đóng như sau 9 Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm liên tục f trên tập đóng, bị chặn D: 1. Tìm các giá trị của f tại các điểm tới hạn của f trong D. 2. Tìm các giá trị cực trị của f trên biên của D. 3. Số lớn nhất trong các giá trị của bước 1 và bước 2 là giá trị lớn nhất, số nhỏ nhất trong đó là giá trị nhỏ nhất. Ví dụ 7: Tìm GTLN và GTNN của hàm (, ) = − 2 + 2 trên hình chữ nhật = {(, )|0 ≤ ≤ 3, 0 ≤ ≤ 2}. Lời giải: Do f là một đa thức, nó liên tục trên hình chữ nhật đóng, bị chặn D, vậy theo định lý 8 nó có cả GTLN và GTNN. Theo bước 1 trong (9), trước hết ta tìm các điểm tới hạn. Điều này xảy ra khi = 2 − 2 = 0; = − 2 + 2 = 0 vậy chỉ có một điểm tới hạn là (1,1), và giá trị của f tại đó là f(1,1) = 1. Trong bước 2 ta xét các giá trị của f trên biên của D, bao gồm bốn đoạn thẳng , , , được vẽ trong hình 12. Trên ta có y = 0 và (, 0) = , 0 ≤ ≤ 3 Đây là một hàm tăng của biến x, nên giá trị nhỏ nhất của nó là f(0,0) = 0 và GTLN là f(3,0) = 9. Trên ta có x = 3 và (3, ) = 9 − 4, 0 ≤ ≤ 2 Đây là hàm giảm đối với y, nên GTLN là f(3,0) = 9 và GTNN là f(3,2) = 1. Trên ta có y = 2 và (, 2) = − 4 + 4, 0 ≤ ≤ 3 Bằng phương pháp của chương 3, hoặc dễ thấy rằng (, 2) = ( − 2), ta thấy GTNN của hàm này là f(2,2) = 0 và GTLN là f(0,2) = 4. Cuối cùng, trên ta có x = 0 và (0, ) = 2, 0 ≤ ≤ 2 với GTLN f(0,2) = 4 và GTNN f(0,0) = 0. Do đó, trên biên GTNN của f là 0 và GTLN là 9. Trong bước 3 ta so sánh các giá trị này với giá trị f(1,1) = 1 tại điểm tới hạn và kết luận GTLN của f trên D là f(3,0) = 9 và GTNN là f(0,0) = f(2,2) = 0. Hình 13 thể hiện đồ thị của f. Ta kết thúc phần này bằng cách chứng minh phần đầu tiên của Tiêu chuẩn đạo hàm riêng cấp hai. Phần (b) được chứng minh tương tự. Hình 12 Hình 13 Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương 1 – Toán 3 47 Chứng minh định lý (3) phần (a): Ta tính đạo hàm theo hướng của f theo hướng ⃗ = 〈ℎ, 〉. Đạo hàm cấp một được xác định bởi định lý 14.6.3: ⃗ = . ℎ + . Áp dụng định lý này lần thứ hai ta có ⃗ = ⃗ ( ⃗ ) = ( ⃗ ). ℎ + ( ⃗ ). = . ℎ + . ℎ + ( . ℎ + . ) = . ℎ + 2 . ℎ. + . (Theo định lý Clairaut) Nếu viết biểu thức dưới dạng bình phương, ta được 10 ⃗ = ℎ + . + . − Ta thấy (, ) > 0 và (, ) > 0. Nhưng và = . − là các hàm liên tục, vậy có một hình tròn B tâm (a,b) bán kính > 0 sao cho (, ) > 0 và (, ) > 0 với mọi (x,y) nằm trong B. Do đó, nhìn phương trình (10) ta thấy rằng ⃗ (, ) > 0 với mọi (x,y) nằm trong B. Điều này có nghĩa là nếu đường cong C là giao giữa đồ thị của f với mặt phẳng đứng qua P(a,b,f(a,b)) có vectơ chỉ phương ⃗, thì C lồi lên một khoảng có độ dài 2. Điều này là đúng theo hướng mỗi vectơ ⃗. Vậy nếu hạn chế (x,y) nằm trong B, đồ thị của f nằm trên mặt tiếp diện nằm ngang tại P. Dẫn đến (, ) ≥ (, ) với mọi (x,y) nằm trong B. Điều này cho thấy f(a,b) là một cực tiểu địa phương. █ 1.7.3. Cực trị có điều kiện 1. Phương pháp nhân tử Lagrange Ở ví dụ 6 trong phần 7, ta tìm cực đại của hàm V = xyz với ràng buộc 2 + 2 + = 12, biểu thức này thể hiện bề mặt của 12 . Trong phần này chúng tôi giới thiệu phương pháp Lagrange để tìm GTLN và GTNN của hàm f(x,y,z) với ràng buộc g(x,y,z) = k. Dễ dàng giải thích cơ sở hình học của phương pháp Lagrange cho hàm hai biến. Vậy ta thử tìm các giá trị cực trị của f(x,y) với ràng buộc g(x,y) = k. Nói cách khác, ta tìm các cực trị của f(x,y) khi điểm (x,y) bị giới hạn nằm trên đường cong g(x,y) = k. Hình 1 thể hiện đường cong này cùng với một vài đường cong của f. Những đường cong này có phương trình f(x,y) = c khi c = 7, 8, 9, 10, 11. Để tìm cực đại của f(x,y) với g(x,y) = k, ta tìm giá trị lớn nhất của c sao cho đường cong f(x,y) = c cắt g(x,y) = k. Trong hình 1 ta thấy điều này xảy ra khi các đường cong này tiếp xúc với nhau, đó là khi chúng có cùng một đường tiếp tuyến. (Nói cách khác, giá trị của c có thể tăng hơn nữa). Điều này nghĩa là các đường pháp tuyến tại điểm (, ) nơi chúng tiếp xúc là trùng nhau. Vì vậy các Hình 1 Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương 1 – Toán 3 48 vectơ gradient song song với nhau, nghĩa là ∇⃗ (, ) = ∇⃗ (, ) với là đại lượng vô hướng. Cách suy luận này cũng được áp dụng để tìm cực trị của f(x,y,z) với ràng buộc g(x,y,z) = k. Thay vì các đường mức trong hình 1, ta xét các mặt mức f(x,y,z) = c và đoán rằng GTLN của f là (, , ) = , khi đó mặt mức f(x,y,z) = c là tiếp xúc với mặt mức g(x,y,z) = k và vì vậy các vectơ gradient tương ứng là song song với nhau. Sự suy luận từ thực tế này có thể được chính xác hóa như sau. Giả sử hàm f có một cực trị tại điểm (, , ) trên mặt S, cho C là đường cong có phương trình vectơ ⃗() = 〈(), (), ()〉 nằm trên S và đi qua P. Nếu là giá trị tham số tương ứng với điểm P thì ⃗() = 〈, , )〉. Hàm hợp ℎ() = ((), (), ()) thể hiện các giá trị của f nằm trên đường cong C. Do f có một cực trị tại (, , ), dẫn đến h có một cực trị tại , vậy ℎ() = 0. Nhưng nếu f là hàm nhiều biến, ta có thể sử dụng quy tắc dây chuyền để viết 0 = ℎ() = (, , ). () + (, , ). () + (, , ). () = ∇⃗ (, , ). ′⃗ () Điều này cho ta thấy vectơ gradient ∇⃗ (, , ) là vuông góc với vectơ tiếp tuyến ′⃗ () của mỗi đường cong C. Nhưng ta biết là vectơ gradient của g, ∇⃗ (, , ) cũng vuông góc với ′⃗ () của mỗi đường cong. Điều này nghĩa là các vectơ gradient ∇⃗ (, , ) và ∇⃗ (, , ) phải song song. Do đó, nếu ∇⃗ (, , ) ≠ 0 thì có một số sao cho 1 ∇⃗ (, , ) = ∇⃗ (, , ) Số trong phương trình (1) được gọi là nhân tử Lagrange (Lagrange multiplier). Phương pháp căn cứ vào phương trình (1) như sau Phương pháp nhân tử Lagrange: Để tìm các GTLN và GTNN của hàm f(x,y,z) với ràng buộc g(x,y,z) = k [giả sử tồn tại các giá trị cực trị và ∇⃗ ≠ 0 trên mặt g(x,y,z) = k] : (a) Tìm tất cả các giá trị x, y, z và thỏa mãn ∇⃗ (, , ) = ∇⃗ (, , ) và g(x,y,z) = k. (b) Tính giá trị của f tại tất cả các điểm (x,y,z) từ bước (a). Số lớn nhất trong các giá trị này là GTLN, số nhỏ nhất là GTNN của f. (Phương pháp nhân tử Lagrange được đặt tên theo nhà toán học người Ý gốc Pháp Joseph – Louis Lagrange (1736 – 1813)) Theo phương pháp Lagrange ta giả sử ∇⃗ ≠ 0⃗ . Trong các ví dụ chúng ta có thể kiểm tra ∇⃗ ≠ 0⃗ tại mọi điểm g(x,y,z) = k. Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương 1 – Toán 3 49 Nếu ta viết phương trình vectơ ∇⃗ = ∇⃗ theo các thành phần thì hệ phương trình trong bước (a) trở thành = ; = ; = ; (, , ) = Đây là hệ 4 phương trình 4 ẩn x, y, z và , nhưng nó không cần thiết để tìm các giá trị cụ thể của . Phương pháp nhân tử Lagrange cho hàm hai biến cũng tương tự như trên. Để tìm các cực trị của f(x,y) với ràng buộc g(x,y) = k, ta tìm các giá trị x, y và thỏa mãn ∇⃗ (, ) = ∇⃗ (, ) và g(x,y) = k. Nghĩa là ta đi giải hệ phương trình 3 ẩn = ; = ; (, ) =  Có thể cụ thể hóa phương pháp nhân tử Lagrange như sau: 1) Đối với hàm hai biến: Tìm cực trị hàm z = f(x,y) với điều kiện g(x,y) = 0. Bước 1: Xét hàm (, , ) = (, ) + (, ) Bước 2: Giải hệ phương trình = 0 = 0 (, ) = 0 . Tìm các điểm tới h