Giáo trình Điều khiển tự động - Chương 2: Mô tả toán học

1Chương 2. Mơ tả tĩan học. Điều khiển tự động I. Hàm truyền và đáp ứng 1. Hàm Truyền )()(...)()( 01 1 1 tcadt tdca dt tcda dt tcda n n n n    )()(...)()( 01 1 1 trbdt tdrb dt trdb dt trdb m m m m    Biến đổi Laplace:   )(... 0111 pCapapapa nnnn     )(... 0111 pRbpbpbpb mmmm   Hàm truyền đạt: 01 1 1 01 1 1 ... ... )( )()( apapapa bpbpbpb pR pCpM n n n n m m m m        2Chương 2. Mơ tả tĩan học. Điều khiển tự động Khi biết được hàm truyền đạt cĩ thể xác định đáp ứng c(t) đối với kích thích r(t) bằng cách lấy Laplace ngược    )().()()( 11 pMpRLpCLtc   Ví dụ: C L R Ui Uo Tìm hàm truyền đạt của mạch điện sau CppZ U Cp IU i 1 )( 1 0  Cp LpRpZ 1)(  )( pZ UI i CppZU UpG i )( 1)( 0  2. Đáp ứng + Đáp ứng xung: đáp ứng của hệ thống khi tín hiệu vào là tín hiệu xung       00 0 )()( tkhi tkhi ttr 3Chương 2. Mơ tả tĩan học. Điều khiển tự động + Đáp ứng bước: đáp ứng của hệ thống khi tín hiệu vào là tín hiệu bước       00 01 )(1)( tkhi tkhi ttr           )(1)()( 11 pM p LpCLtcs Biến đổi Laplace của r(t) : R(p) = 1/p. Đáp ứng bước : Biến đổi Laplace của r(t) : R(p) = 1. Đáp ứng xung :    )()()( 11 pMLpCLtci     )(1 pF p fdtL Áp dụng tính chất của biến đổiLaplace: Ta cĩ  dttctchaydt tdctc issi )()( )()( 4Chương 2. Mơ tả tĩan học. Điều khiển tự động II.Sơ đồ khối và Graph tín hiệu. 1. Sơ đồ khối. Sơ đồ khối cơ bản của hệ thống kín cĩ hồi tiếp: G(p) C(p)R(p) H(p) -+ E(p) B(p) Hàm truyền đường thuận Hàm truyền vịng kín Hàm truyền vịng hở )( )( )( pG pE pC  )()(1 )( )( )( pHpG pG pR pC   )()( )( )( pHpG pB pE  5Chương 2. Mơ tả tĩan học. Điều khiển tự động Các phép biến đổi khối cơ bản: + Phép giao hĩan các khối nối tiếp G1 Gn Gn G1 G(p)=G1(p).G2(p).Gn(p) + Phép giao hĩan các khối song song G1 Gn Gn G1 G(p)=G1(p) + G2(p) + + Gn(p) 6Chương 2. Mơ tả tĩan học. Điều khiển tự động + Phép chuyển khối đằng sau ra đằng trước tổng G R2 R1  C G G R2 R1  C C(p) = G(p). (R1(p)  R2(p)) + Phép chuyển tín hiệu từ trước ra sau G R1 R1 C C 1/G G R1 R1 7Chương 2. Mơ tả tĩan học. Điều khiển tự động + Đổi hệ cĩ hồi tiếp H thành hồi tiếp đơn vị G R  C H G R  C H1/H )()(1 )()( pHpG pGpC   + Hồi tiếp một vùng G R  C H )()(1 )()( pHpG pGpC   R C 8Chương 2. Mơ tả tĩan học. Điều khiển tự động Ví dụ: tìm hàm truyền: G2 R + C G3 G1 G4- -+ + + GA : G3 và G4 mắc song song GC : Vịng hồi tiếp G2 với GA GB : G1 mắc song song đường truyền đơn vị Hàm truyền tổng quát : GB nối tiếp với GC 9Chương 2. Mơ tả tĩan học. Điều khiển tự động 2. Graph tín hiệu. + Nút nguồn : Nút chỉ cĩ nhánh đi ra + Nút đích : Nút chỉ cĩ nhánh đi vào + Đường thuận : Đường đi từ nút nguồn đến nút đích mà khơng đi qua nút nào quá 1 lần + Vịng kín : Đường bắt đầu và kết thúc tại một nút mà trên đĩ khơng gặp nút nào quá một lần. + Truyền đạt đường : tích cách truyền đạt nhánh dọc theo đuờng. Các qui tắc biến đổi Graph cũng tương tự như biến đổi sơ đồ khối gồm các nhánh mắc nối tiếp, song song, hồi tiếp Ví dụ: G1 G2 G3 x1 x2 x3 x1 x3 2 31 1 G GG  10 Chương 2. Mơ tả tĩan học. Điều khiển tự động + Cơng thức Mason     k kkM R CM Mk : truyền đạt của đường thuận thứ k  = 1 - Pm1 + Pm2 - Pm3 ++ (-1)i Pmi Pm1 : truyền đạt các vịng kín cĩ trong Graph Pmr (r ≥ 2) : tích các truyền đạt của r vịng kín khơng dính nhau. k : Được suy ra từ  bằng cách cho bằng 0 những vịng kín cĩ dính đến đường thuận thứ k 11 Chương 2. Mơ tả tĩan học. Điều khiển tự động Ví dụ: Tìm hàm truyền của hệ thống 12 Chương 2. Mơ tả tĩan học. Điều khiển tự động Các đường truyền thuận: M1 = G1G2G3 M2 = G1G4 Có 5 vòng kín: L1 = -G1G2G3 L2 = , L3, L4, L5 Pm1 = L1 + L2 + L3 + L4 + L5 = Bài tập 1: Câu hỏi tuần trước và bài 2.12, 2.13 Trang 13 sách BT 13 Chương 2. Mơ tả tĩan học. Điều khiển tự động 3. Biểu diễn hàm truyền. a. Vị trí cực và zero      i i l l pp zp K pA pBpG )( )( )( )()( zl : nghiệm của B(p) = 0: gọi là zero của hàm truyền pi : nghiệm của A(p) = 0: gọi là cực của hàm truyền Trên mặt phẳng phức ta định vị zero bằng dấu trịn (o) và cực là dấu chéo (x). Biên độ của hàm truyền      i i l l pj zj KpG )( Gĩc pha của hàm truyền Arg (G(jω)) = Arg (K) +  Arg ( jω – zl) -  Arg ( jω – pi) 14 Chương 2. Mơ tả tĩan học. Điều khiển tự động b. Biểu đồ cực Biểu diễn sự phụ thuộc của hàm truyền G(jω) theo tần số ω đi từ 0 đến  trong mặt phẳng phức. G(p) = G(jω) = P(ω) + j Q(ω) = A(ω) . e jφ(ω) 22 )()()()(  QPjGA          )( )())(()( P QarctgjGArg )10)(1( 10)( pp pG   Ví dụ: Vẽ biểu đồ cực 15 Chương 2. Mơ tả tĩan học. Điều khiển tự động c. Giản đồ Bode Đồ thị logarit biên độ và đồ thị pha của hàm truyền theo logarit tần số + Biên độ : | G(jω) |dB = 20 lg | G(jω) | + Pha : φ = Arg ( G(jω) ) Các bước vẽ giản đồ Bode Bước 1: xác định tần số gãy và sắp xếp theo thứ tự tăng dần Tần số gãy : tần số mà tại đĩ đồ thị logarit biên độ thay đổi đặc tính của nĩ. Cho :             n i i m l l dp cp KpG 1 1 thì : ω = cl và ω = di là tần số gãy 16 Chương 2. Mơ tả tĩan học. Điều khiển tự động Bước 2: Xác định | G(jω) |dB tại ω = 0 (nếu G(p) khơng cĩ cực tại 0), hoặc : xác định đường tiệm cận của | G(jω) |dB khi ω0 (nếu G(p) cĩ cực tại 0) Bước 3: Nếu G(p) khơng cĩ cực tại 0, Giản đồ Bode biên độ sẽ là đường nằm ngang cĩ độ lớn : | G(jω) |dB cho đến tần số gãy nhỏ nhất. Nếu G(p) cĩ r cực (zero) tại 0, giản đồ Bode sẽ là đường tiệm cận cĩ độ dốc –r (+r) cho đến tần số gãy nhỏ nhất. Độ dốc  r chính là độ tăng (hay giảm)  r.20 dB/dec của giản đồ bode biên độ. Bước 4: Nếu tại tần số gãy là khâu tích phân (1/(p +a)) thì độ dốc của giản đồ Bode biên độ giảm đi 1 (-20 dB/dec) Nếu tại tần số gãy là khâu vi phân (p +a) thì độ dốc của giản đồ Bode biên độ tăng lên 1 (+20 dB/dec) Giản đồ bode được vẽ từ trái sang phải cho đến khi hết các điểm gãy 17 Chương 2. Mơ tả tĩan học. Điều khiển tự động Giản đồ Bode pha được xác định bằng cách xác định hàm φ:       n i i m l l d arctg c arctg 11 Vẽ giản đồ Bode pha bằng phương pháp tách rời từng thành phần rồi cộng lại. Giản đồ Bode pha của một số khâu cơ bản: + G = K, K > 0 thì φ = 0o + G = K, K < 0 thì φ = -180o + G = 1/p, thì φ = -90o, G = p, thì φ = 90o + G = 1/(p+a) (khâu tích phân) 1 dec 0o - 45o - 90o 1 dec Khâu tích phân ω=a 18 Chương 2. Mơ tả tĩan học. Điều khiển tự động 1 dec 1 dec 90o 45o 0o Khâu vi phân ω=a + G = (p+a) (khâu vi phân) + Khâu bậc 2: 22 2 2 nn n pp )p(G     Tần số gãy : ωn -90o ω = ωn 19 Chương 2. Mơ tả tĩan học. Điều khiển tự động + Khâu trễ : G(p) = e-Tp Biên độ : |G(p)| = 1  20 lg|G(p)| = 0 Pha : Arg(G(p)) = - Tω 20lg|G(p)| lg ω Giản đồ Bode biên độ Arg (G(p)) lg ω Giản đồ Bode pha 20 Chương 2. Mơ tả tĩan học. Điều khiển tự động Ví dụ: Vẽ giản đồ Bode )1000)(10)(1( )100(10)( 5    ppp ppG Tần số gãy : 1, 10, 100, 1000 Giản đồ Bode biên độ: 21 Chương 2. Mơ tả tĩan học. Điều khiển tự động Gĩc pha : 22 Chương 2. Mơ tả tĩan học. Điều khiển tự động Một số lệnh trong Matlab sử dụng để mơ tả hệ thống Hàm FEEDBACK: Kết nối hồi tiếp hai hệ thống. >> numg = [nhập các hệ số của tử số G1(p)]; >> deng = [nhập các hệ số của mẫu số G1(p)]; >> sys1 = tf(numg, deng); >> numh = [nhập các hệ số của tử số G2(p)]; >> denh = [nhập các hệ số của mẫu số G2(p)]; >> sys2 = tf(numh, denh); >> sys = feedback(sys1, sys2); Hàm tf2zp(num,den): Tìm zero, nghiệm, độ lợi của hàm truyền Hàm zp2tf(z,p,k): Từ zero, nghiệm , độ lợi cho trước tìm hàm truyề Hàm SERIES: Kết nối 2 hệ thống nối tiếp Hàm PARALLEL: Kết nối 2 hệ thống song song Vẽ giản đồ bode, biểu đồ cực: ltiview('bode',sys_tf) 23 Chương 2. Mơ tả tĩan học. Điều khiển tự động III. Mơ tả hệ thống bằng phương trình trạng thái 1. Khái niệm B A C D + + + + r(t) x x c(t) Hệ phương trình vi phân được viết dưới dạng ma trận như sau:      )(.)(.)( )(.)(. trDtxCtc trBtxAx Trong đĩ: A (n x n): Ma trận hệ thống B (n x 1): Ma trận ngõ vào C (1 x n): Ma trận ngõ ra D (1 x 1): Ma trận liên hệ trực tiếp ngõ ra – ngõ vào x (t) (n x 1): Biến trạng thái 24 Chương 2. Mơ tả tĩan học. Điều khiển tự động Ngõ vào ue tác động đến ngõ ra ua thơng qua 3 biến trạng thái: u1, u2, u3.và )( )( )( )( tu CR tu tu tu RRCCR CRRRCCR CRCR u u u e                                                                          33 3 2 1 32232 2221221 1111 3 2 1 1 0 0 11110 11111 011      )t(u.0 )t(u )t(u )t(u 001)t(u e 3 2 1 a             dt duCi cc  25 Chương 2. Mơ tả tĩan học. Điều khiển tự động 2. Thành lập hệ phương trình trạng thái từ PTVP. )()(...)()( 01 1 1 tcadt tdca dt tcda dt tcda n n n n    )()(...)()( 01 1 1 trbdt tdrb dt trdb dt trdb m m m m    Từ PT: Đặt biến trạng thái theo nguyên tắc: 1nn 12 1 xx xx )t(cx       a. Trường hợp PTVP khơng chứa đạo hàm của ngõ vào. 26 Chương 2. Mơ tả tĩan học. Điều khiển tự động Thế vào phương trình vi phân tổng quát ta cĩ: rbxa...xaxa 0nn2110   Ta cĩ hệ phương trình trạng thái:                          r. a bx. a a...x. a ax a ax. a ax r.0x...x.0x.0x.0x r.0x.0...xx.0x.0x r.0x.0...x.0xx.0x n 0 n n 1n 3 n 2 2 n 1 1 n 0 n n3211n n3212 n3211      n321 x.0...xx.0xc  27 Chương 2. Mơ tả tĩan học. Điều khiển tự động Viết dưới dạng phương trình trạng thái: )(.)(. ... ... ... ... )( tr a b tx a a a a a a a a tx n n n nnn                                           0 121 0 0 1000 0100 0010 0    )t(x0...01c  28 Chương 2. Mơ tả tĩan học. Điều khiển tự động )()(...)()( 01 1 1 tcadt tdca dt tcda dt tcda n n n n    )()(...)()( 01 1 1 trbdt tdrb dt trdb dt trdb m m m m    Từ PT: Đặt biến trạng thái theo nguyên tắc: )(. )(. )( trBxx trBxx tcx nnn 11 112 1        b. Trường hợp PTVP chứa đạo hàm của ngõ vào (m= n-1). 29 Chương 2. Mơ tả tĩan học. Điều khiển tự động Với: B1 = bn-1/an B2 = (bn-2 – an-1.B1)/an B3 = (bn-3 – an-1.B2 – an-2B1)/an Bn = (b0 – an-1Bn-1 - - a1B1)/an Khi đĩ: )t(r. B B B )t(x. a a... a a a a a a 1...000 0...100 0...010 )t(x n 2 1 n 1n n 2 n 1 n 0                                           )t(x0...01c  30 Chương 2. Mơ tả tĩan học. Điều khiển tự động Ví dụ: Cho PTVP, viết hệ phương trình mơ tả biến trạng thái )()()()()()( tr dt tdrtc dt tdc dt tcd dt tcd 20101065 2 2 3 3  Đặt các biến trạng thái: )(. )(. )( trBxx trBxx tcx 223 112 1      Trong đĩ: B1 = bn-1/an = 0 / 1 = 0 B2 = (bn-2 – an-1.B1)/an = (10 – 5*0)/1=10 B3 = (bn-3 – an-1.B2 – an-2B1)/an= (20 – 5 *10 – 6*0)= -30 Thay các hệ số vừa tính vào PTTT ta được kết quả 31 Chương 2. Mơ tả tĩan học. Điều khiển tự động 3. Thành lập hệ phương trình trạng thái từ sơ đồ khối. a. Biến đổi hàm truyền thành PTVP Dùng biến đổi Laplace ngược để biến đổi sơ đồ khối thành PTVP rồi dùng Phương pháp ở phần trước để thành lập mơ tả trạng thái b. Phương pháp tọa độ pha. 01 1 1 01 1 1 ... ... )( )()( apapapa bpbpbpb pR pCpM n n n n m m m m       Từ hàm truyền: Đặt biến phụ Y(p) sao cho: C(p)=(bmpm + bm-1pm-1 + + b1p + b0).Y(p) R(p)=(anpn + an-1pn-1 + + a1p + a0).Y(p) Biến đổi Laplace ngược và đặt x1(t) = y(t), x2(t) = dx1(t)/dt 32 Chương 2. Mơ tả tĩan học. Điều khiển tự động c. Phương pháp đặt biến trực tiếp trên sơ đồ khối. 4 3 p 5 2   p p 6 1   p p - + C(p)X1(p)X2(p) X3(p) R(p)Ta cĩ: )()( pX p ppX 21 5 2    pX1(p)= -5X1(p) + 2X2(p) + pX2(p)  )()()( pXpR p pX 32 4 3    pX2(p)= -4X2(p) - 3X3(p) + 3R(p) )()( pX p ppX 13 6 1    pX3(p)= X1(p) - 6X3 (p) + pX1(p) Thế pX2(p) ở PT2 vào PT1 ta cĩ hệ phương trình mơ tả trạng thái. 33 Chương 2. Mơ tả tĩan học. Điều khiển tự động 4. Tính hàm truyền từ hệ phương trình trạng thái      )(.)( )(.)(. txCtc trBtxAx L-1      )(.)( )(.)(.)(. pXCpC pRBpXApXs (p.I – A) . X(p) = B. R(p) X(p) = (p.I – A)-1 . B. R(p) C(p) = C . X(p) = C. (p.I – A)-1 . B. R(p) Hàm truyền : G(p) = C . (p.I – A)-1 . B Ví dụ: Tìm hàm truyền )(.)(.)( trtxtx               1 0 32 10    )(txc  31 34 Chương 2. Mơ tả tĩan học. Điều khiển tự động 5. Nghiệm của phương trình trạng thái      )(.)( )(.)(. txCtc trBtxAx      )(.)( )(.)(.)()(. pXCpC pRBpXAxpXs 0L-1 X(p) = (p.I – A)-1 . B. R(p) + (p.I – A)-1x(0) Đặt Φ(p) = (p.I – A)-1 biến đối Laplace ngược ta được Φ(t) là ma trận quá độ của hệ thống. Tính theo biến đổi Laplace ngược tương đối khĩ  sử dụng định lý Caley – Hamilton: Φ(t) = eλt = C0I + C1λ + C2λ2 + + Cn-1 λn-1 Với λ là vectơ riêng của ma trận A (là vectơ nghiệm của phương trình det(λI – A) = 0. Đáp ứng của hệ thống:   t dRBttx 0  )(.).()( 35 Chương 2. Mơ tả tĩan học. Điều khiển tự động IV. Một số ví dụ. 1. Chuyển động với lo xo M x K B M: Khối lượng vật K: Độ cứng lị xo B: Hệ số ma sát nhớt (Hệ số giảm chấn) )(.)()()( txK dt tdxB dt txdMtf  2 2 Biến đổi Laplace: F(p)=(Mp2 + Bp + K) . X(p) Hàm truyền: KBpMppF pX   2 1 )( )( Ví dụ mơ phỏng bằng Matlab với các hệ số M, B, K khác nhau 36 Chương 2. Mơ tả tĩan học. Điều khiển tự động 2. Động cơ DC )()()()( tu L t L Kti L R dt tdi e 1  )()( )( tiK J tK Jdt td mf  11   )(. )( )( . )( )( tvL t ti J K J K L K L R t ti app fm e                                   0 1            )( )( t ti c  10 37 Chương 2. Mơ tả tĩan học. Điều khiển tự động Thay thế các hệ số của một động cơ DC như sau: R= 2.0 Ohms L= 0.5 Henrys Km = .015 Ke = .015 Kf = 0.2 Nms J= 0.02 kg.m^2/s^2 Ta tìm ra được hàm truyền: 4014 51 2   pp pG ,)(