Giáo trình Đại số tuyến tính (Lý thuyết và bài tập)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI NGUYỄN HỮU VIỆT HƯNG Giáo trình ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH (Lý thuyết và bài tập) Bài tập lớn mơn cấu trúc TEX Lê Hồng Long A08232, Trần Quang Bơn A08361 TM18 - ĐẠI HỌC THĂNG LONG Hà Nội, Tháng 12 năm 2008 Mục lục Trang 0.1 Tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 0.2 Quan hệ và Ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 0.3 Lực lượng của tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 0.4 Nhĩm, Vành và Trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 0.5 Trường số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0.6 Trường số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0.7 Đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 0.8 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Chương 1. Khơng gian vectơ 37 1.1 Khái niệm khơng gian véctơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.2 Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính . . . . . . . . . . . . 41 1.3 Cơ sở và số chiều của khơng gian véctơ . . . . . . . . . . . . . 45 1.4 Khơng gian con - Hạng của một hệ véctơ . . . . . . . . . . . . 51 1.5 Tổng và tổng trực tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 1.6 Khơng gian thương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 1.7 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Chương 2. Ma trận và ánh xạ tuyến tính 63 2.1 Ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.2 Ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.3 Hạt nhân và ảnh của đồng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 2.4 Khơng gian véctơ đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 2.5 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Chương 3. Định thức và hệ phương trình tuyến tính 93 3.1 Các phép thế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 i VI ET M AT HS NE T Mục lục 3.2 Định thức của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 3.3 Ánh xạ đa tuyến tính thay phiên . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 3.4 Định thức của tự đồng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 3.5 Các tính chất sâu hơn của định thức . . . . . . . . . . . . . . . 106 3.6 Định thức và hạng của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 3.7 Hệ phương trình tuyến tính - Quy tắc Cramer . . . . . . . . . . 112 3.8 Hệ phương trình tuyến tính - Phương pháp khử Gauss . . . . . . 114 3.9 Cấu trúc nghiệm của hệ phương trình tuyến tính . . . . . . . . . 118 3.10 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Chương 4. Cấu trúc của tự đồng cấu 127 4.1 Véctơ riêng và giá trị riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4.2 Khơng gian con ổn định của các tự đồng cấu thực và phức . . . 131 4.3 Tự đồng cấu chéo hố được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 4.4 Tự đồng cấu lũy linh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 4.5 Ma trận chuẩn tắc Jordan của tự đồng cấu . . . . . . . . . . . . 140 4.6 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 Chương 5. Khơng gian vectơ Euclid 152 5.1 Khơng gian véctơ Euclid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 5.2 Ánh xạ trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 5.3 Phép biến đổi liên hợp và phép biến đổi đối xứng . . . . . . . . 173 5.4 Vài nét về khơng gian Unita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 5.5 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 Chương 6. Dạng song tuyến tính và dạng tồn phương 189 6.1 Khái niệm dạng song tuyến tính và dạng tồn phương . . . . . . 189 6.2 Đưa dạng tồn phương về dạng chính tắc . . . . . . . . . . . . 192 6.3 Hạng và hạch của dạng tồn phương . . . . . . . . . . . . . . . 197 6.4 Chỉ số quán tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 6.5 Dạng tồn phương xác định dấu . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 6.6 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 Chương 7. Đại số đa tuyến tính 211 7.1 Tích tenxơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 ii Đại số tuyến tính 7.2 Các tính chất cơ bản của tích tenxơ . . . . . . . . . . . . . . . . 215 7.3 Đại số tenxơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 7.4 Đại số đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 7.5 Đại số ngồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 7.6 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 Tài liệu tham khảo 236 VI ET M AT HS .N ET Lời nĩi đầu Theo dịng lịch sử, mơn Đại số tuyến tính khởi đầu với việc giải và biện luậncác hệ phương trình tuyến tính. Về sau, để cĩ thể hiểu thấu đáo cấu trúc của tập nghiệm và điều kiện để một hệ phương trình tuyến tính cĩ nghiệm, người ta xây dựng những khái niệm trừu tượng hơn như khơng gian véctơ và ánh xạ tuyến tính. Người ta cũng cĩ nhu cầu khảo sát các khơng gian với nhiều thuộc tính hình học hơn, trong đĩ cĩ thể đo độ dài của véctơ và gĩc giữa hai véctơ. Xa hơn, hướng nghiên cứu này dẫn tới bài tốn phân loại các dạng tồn phương, và tổng quát hơn phân loại các tenxơ, dưới tác động của một nhĩm cấu trúc nào đĩ. Ngày nay, Đại số tuyến tính được ứng dụng vào hàng loạt lĩnh vực khác nhau, từ Giải tích tới Hình học vi phân và Lý thuyết biểu diễn nhĩm, từ Cơ học, Vật lý tới Kỹ thuật... Vì thế, nĩ đã trở thành một mơn học cơ sở cho việc đào tạo các giáo viên trung học, các chuyên gia bậc đại học và trên đại học thuộc các chuyên ngành khoa học cơ bản và cơng nghệ trong tất cả các trường đại học. Đã cĩ hàng trăm cuốn sách về Đại số tuyến tính được xuất bản trên tồn thế giới. Chúng tơi nhận thấy cĩ hai khuynh hướng chủ yếu trong việc trình bày mơn học này. Khuynh hướng thứ nhất bắt đầu với các khái niệm ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính, rồi đi tới các khái niệm trừu tượng hơn như khơng gian véctơ và ánh xạ tuyến tính. Khuynh hướng này dễ tiếp thu. Nhưng nĩ khơng cho phép trình bày lý thuyết về định thức và hệ phương trình tuyến tính bằng một ngơn ngữ cơ đọng và đẹp đẽ. Khuynh hướng thứ hai trình bày các khái niệm khơng gian véctơ và ánh xạ tuyến tính trước, rồi áp dụng vào khảo sát định thức và hệ phương trình tuyến tính. Ưu điểm của phương pháp này là đề cao vẻ đẹp trong tính nhất quán về cấu trúc của các đối tượng được khảo sát. Nhược điểm của nĩ là khi xét tính độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính, thật ra người ta đã phải đối mặt với việc giải hệ phương trình tuyến tính. Cách trình bày nào cũng cĩ cái lý của nĩ. Theo kinh nghiệm của chúng tơi thì nên chọn cách trình bày thứ hai cho các sinh viên cĩ khả năng tư duy trừu tượng tốt hơn và cĩ mục đích hướng tới một mặt bằng kiến thức cao hơn về tốn. 2 Mục lục Cuốn sách này được chúng tơi biên soạn nhằm mục đích làm giáo trình và sách tham khảo cho sinh viên, sinh viên cao học và nghiên cứu sinh các ngành khoa học tự nhiên và cơng nghệ của các trường đại học khoa học tự nhiên, đại học sư phạm và đại học kỹ thuật. Cuốn sách được viết trên cơ sở các bài giảng về Đại số tuyến tính của tơi trong nhiều năm cho sinh viên một số khoa của trường Đại học Tổng hợp (nay là Đại học khoa học Tự nhiên) Hà Nội và của một số trường đại học sư phạm. Đặc biệt, tơi đã giảng giáo trình này trong 3 năm học 1997 - 1998, 1998 - 1999, 1999 - 2000 cho sinh viên các ngành Tốn, Cơ, Lý, Hố, Sinh, Địa chất, Khí tượng thuỷ văn... của Chương trình đào tạo Cử nhân khoa học tài năng, Đại học khoa học Tự nhiên Hà Nội. Chúng tơi chọn khuynh hướng thứ hai trong hai khuynh hướng trình bày đã nĩi ở trên. Tất nhiên, với đơi chút thay đổi, cuốn sách này cĩ thể dùng để giảng Đại số tuyến tính theo khuynh hướng trình bày thứ nhất. Tư tưởng cấu trúc được chúng tơi nhấn mạnh như một mạch của cuốn sách. Mỗi đối tượng đều được nghiên cứu trong mối tương quan với nhĩm các phép biến đổi bảo tồn cấu trúc của đối tượng đĩ: Khảo sát khơng gian véctơ gắn liền với nhĩm tuyến tính tổng quát GL(n,K ), khơng gian véctơ Euclid và khơng gian véctơ Euclid định hướng gắn liền với nhĩm trực giao O(n) và nhĩm trực giao đặc biệt SO(n), khơng gian Unita gắn liền với nhĩm unita U(n)... Kết quả phân loại các dạng tồn phương phụ thuộc căn bản vào việc quá trình phân loại được tiến hành dưới tác động của nhĩm nào (tuyến tính tổng quát, trực giao...). Theo kinh nghiệm, chúng tơi khơng thể giảng hết nội dung của cuốn sách này trong một giáo trình tiêu chuẩn về Đại số tuyến tính cho sinh viên các trường đại học, ngay cả đối với sinh viên chuyên ngành tốn. Các chủ đề về dạng chuẩn tắc Jordan của tự đồng cấu, dạng chính tắc của tự đồng cấu trực giao, việc đưa đồng thời hai dạng tồn phương về dạng chính tắc, đại số tenxơ, đại số đối xứng và đại số ngồi... nên dùng để giảng chi tiết cho các sinh viên cao học và nghiên cứu sinh các ngành Tốn, Cơ học và Vật lý. Chúng tơi cố gắng bình luận ý nghĩa của các khái niệm và ưu khuyết điểm của các phương pháp được trình bày. Cuối mỗi chương đều cĩ phần bài tập, được tuyển chọn chủ yếu từ cuốn sách nổi tiếng ``Bài tập Đại số tuyến tính'' của I. V. Proskuryakov. Để nắm vững kiến thức, độc giả nên đọc rất kỹ phần lý thuyết trước khi làm càng nhiều càng tốt các bài tập cuối mỗi chương. Việc sử dụng cuốn sách này sẽ đặc biệt thuận lợi nếu người đọc coi nĩ là phần một của một bộ sách mà phần hai của nĩ là cuốn Đại số đại cương của cùng tác giả, do Nhà xuất bản Giáo dục Hà Nội ấn hành năm 1998 và tái bản năm 1999. Tác giả chân thành cảm ơn Ban điều hành Chương trình đào tạo Cử nhân Đại số tuyến tính 3 VI ET M AT HS .N ET Mục lục khoa học tài năng, Đại học Khoa học tự nhiên Hà Nội, đặc biệt là Giáo sư Đàm Trung Đồn và Giáo sư Nguyễn Duy Tiến, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả giảng dạy cho sinh viên của Chương trình trong ba năm qua và viết cuốn sách này trên cơ sở những bài giảng đĩ. Tác giả mong nhận được sự chỉ giáo của các độc giả và đồng nghiệp về những thiếu sĩt khĩ tránh khỏi của cuốn sách. Hà Nội, 12/1999 4 Đại số tuyến tính TM18 Nhĩm 9 Trần Quang Bơn A08361 & Lê Hồng Long A08232 Đây là bài tập lớn mơnHệ thống TEXđược thực hiện bởi chúng tơi , LêHồngLong & Trần Quang Bơn, vào những tháng cuối năm 2008 với TEXLive 2007. Nguyên thủy cuốn sách này là được biên dịch bằng LATEX, tuy nhiên do xu thế hiện tại chuyển dần về sử dụng LATEX2εđể đạt hiệu quả cao hơn trong việc trình bày các trang sách. Thầy Nguyễn Quốc Thắng, học trị của tác giả Nguyễn Hữu Việt Hưng, là người trực tiếp dùng chương trình dịch trên C thơng dụng hồi đĩ là bison và flex để chuyển từ văn bản gõ trên Word ra LATEX. Thầy Nguyễn Quốc Thắng đã giao cho chúng tơi, nhĩm 9, thực hiện nhiệm vụ cách mạng này. Khi đĩ chúng tơi cũng thực hiện các cơng việc như thầy Nguyễn Quốc Thắng đã làm nhưng với ngơn ngữ hiện đại hơn, đĩ là C7 thơng qua CsTools47m. Tơi, Lê Hồng Long, chịu trách nhiệm viết chương trình dịch từ văn bản chỉ cĩ thể dịch bằng LATEXkiểu cũ sang văn bản cĩ thể biên dịch bằng LATEX2εhiện đại trong khi người đồng sự Trần Quang Bơn cĩ nhiệm vụ viết thêm các mơ đun tạo hình để cĩ được cuốn sách nhiều màu sắc. Hơm nay, 00:46,Sunday 3rd April, 2011, khơng phải là ngày chúng tơi nộp bản báo cáo mơn Hệ thống TEX. Chiều ngày 29-3-2011, lúc 18h41, thầy Nguyễn Quốc Thắng liên hệ với tơi qua Yahoo!, và cho biết là cuốn sách mà chúng tơi thực hiện bị lỗi ở chương 2, một số định lý và ví dụ bị đẩy xuống cuối chương sau phần bài tập. Thầy cũng cho biết là 1 số bạn sinh viên học mơn Đại số tuyến tính học kỳ 2 nhĩm 2 năm học 2010-2011 sau khi đi in bản tháng 11 năm 2008 đã phản ánh việc này với thầy nên thầy yêu cầu tơi sửa lại chỗ khiếm khuyết đĩ. Việc chỉnh sửa chỉ tốn khoảng 2 phút, trong đĩ 1 phút dùng để tái khởi động hệ thống biên dịch, 5 giây để sửa lỗi mà các bạn đã chỉ ra và phần thời gian cịn lại để biên dịch. Đĩ chính là sức mạnh của LATEXvới TEXLive 2009. Chúng tơi tin rằng bạn đọc sẽ cảm thấy thích thú với những trang trí nho nhỏ 5 VI ET M AT HS .N ET Mục lục và những nội dung tốn học sâu sắc mà cuốn sách đem lại. Lê Hồng Long, hoanglong1712@yahoo.com Trần Quang Bơn, bontq@yahoo.com Hà Nội, 01:34,Sunday 3rd April, 2011 6 Đại số tuyến tính Kiến thức chuẩn bị Nhiệm vụ của chương này là trình bày dưới dạng giản lược nhất một số kiếnthức chuẩn bị cho phần cịn lại của cuốn sách: Tập hợp, quan hệ, ánh xạ, nhĩm, vành, trường, đa thức... Trường số thực sẽ được xây dựng chặt chẽ ở x5. Nhưng vì các tính chất của nĩ rất quen thuộc với những ai đã học qua chương trình trung học phổ thơng, cho nên chúng ta vẫn nĩi tới trường này trong các ví dụ ở các tiết x1 - x4.. . . . 0.1 Tập hợp Trong tiết này, chúng ta trình bày về tập hợp theo quan điểm của "Lý thuyết tập hợp ngây thơ". Cụ thể, tập hợp là một khái niệm "nguyên thuỷ", khơng được định nghĩa, mà được hiểu một cách trực giác như sau: Một tập hợp là một sự quần tụ các đối tượng cĩ cùng một thuộc tính nào đĩ; những đối tượng này được gọi là các phần tử của tập hợp đĩ. (Tất nhiên, mơ tả nĩi trên khơng phải là một định nghĩa của tập hợp, nĩ chỉ diễn đạt khái niệm tập hợp qua một khái niệm cĩ vẻ gần gũi hơn là "quần tụ". Tuy vậy, bản thân khái niệm quần tụ lại chưa được định nghĩa.) Người ta cũng thường gọi tắt tập hợp là "tập". Để cĩ một số ví dụ, chúng ta cĩ thể xét tập hợp các sinh viên của một trường đại học, tập hợp các xe tải của một cơng ty, tập hợp các số nguyên tố ... Các tập hợp thường được ký hiệu bởi các chữ in hoa: A,B,C, ..., X, Y, Z... Các phần tử của một tập hợp thường được ký hịêu bởi các chữ in thường: a, b, c, ..., x, y, z... Để nĩi x là một phần tử của tập hợp X , ta viết x P X và đọc là "x thuộcX". Trái lại, để nĩi y khơng là phần tử củaX , ta viết y R X , và đọc là "y khơng thuộc X". Để xác định một tập hợp, người ta cĩ thể liệt kê tất cả các phần tử của nĩ. Chẳng hạn, A = t0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9u. Người ta cũng cĩ thể xác định một tập hợp bởi một tính chất đặc trưngP(x) nào 7 VI ET M AT HS .N ET Mục lục đĩ của các phần tử của nĩ. Tập hợpX các phần tử x cĩ tính chất P(x) được ký hiệu là X = tx| P(x)u, hoặc là X = tx : P(x)u. Nếu mọi phần tử của tập hợp A cũng là một phần tử của tập hợpX thì ta nĩi A Ví dụ 0.1.1 N = tx| x là số tự nhiênu, Z = tx| x là số nguyên u, Q = tx| x là số hữu tỷu, R = tx| x là số thựcu. là một tập hợp con củaX , và viết A € X . Tập con A gồm các phần tử x củaX cĩ tính chất P(x) được ký hiệu là A = tx P X| P(x)u. Hai tập hợpX và Y được gọi là bằng nhau nếu mỗi phần tử của tập hợp này cũng là một phần tử của tập hợp kia và ngược lại, tức làX € Y và Y € X . Khi đĩ ta viết X = Y . Tập hợp khơng chứa một phần tử nào cả được ký hiệu bởi H, và được gọi là tập rỗng. Ta quy ước rằng H là tập con của mọi tập hợp. Tập hợp rỗng rất tiện lợi, nĩ đĩng vai trị như số khơng trong khi làm tốn với các tập hợp. Các phép tốn hợp, giao và hiệu của hai tập hợp được định nghĩa như sau. Cho các tập hợp A và B. Hợp của A và B được ký hiệu bởi AY B và được định nghĩa như sau: AY B = tx| x P A hoặc x P Bu. Giao của A và B được ký hiệu bởi AX B và được định nghĩa như sau: AX B = tx| x P A và x P Bu. Hiệu của A và B được ký hiệu bởi AzB và được định nghĩa như sau: AzB = tx| x P A và x R Bu. Nếu B € A thì AzB được gọi là phần bù của B trong A, và được ký hiệu là CA(B). Các phép tốn hợp, giao và hiệu cĩ các tính chất sơ cấp sau đây: 8 Đại số tuyến tính 0.1. Tập hợp Kết hợp: (AY B)Y C = AY (B Y C), (AX B)X C = AX (B X C). Giao hốn: AY B = B Y A, AX B = B X A. Phân phối: AX (B Y C) = (AX B)Y (AX C), AY (B X C) = (AY B)X (AY C). Cơng thức De Morgan: Xz(AY B) = (XzA)X (XzB), Xz(AX B) = (XzA)Y (XzB). Giả sử Ai là một tập hợp với mỗi i thuộc một tập chỉ số I (cĩ thể hữu hạn hay vơ hạn). Khi đĩ, hợp và giao của họ tập hợp tAiuiPI được định nghĩa như sau: ¤ iPI Ai = tx| x P Ai với một i nào đĩ trong Iu, £ iPI Ai = tx| x P Ai với mọi i P Iu. Ta cĩ dạng tổng quát của cơng thức De Morgan: Xz( ¤ iPI Ai) = £ iPI (XzAi), Xz( £ iPI Ai) = ¤ iPI (XzAi). Việc sử dụng quá rộng rãi khái niệm tập hợp đã dẫn tới một số nghịch lý. Một trong số đĩ là nghịch lý Cantor sau đây. Ta nĩi tập hợp X là bình thường nếu X R X . Xét tập hợp X = tX| X là tập bình thườngu. Nếu X P X thì theo định nghĩa của X , nĩ là một tập bình thường. Do đĩ, theo định nghĩa tập bình thường,X R X . Trái lại, nếuX R X , thìX là một tập khơng bình thường, và do đĩ X P X . Cả hai trường hợp đều dẫn tới mâu thuẫn. Để tránh những nghịch lý loại như vậy, người ta sẽ khơng dùng khái niệm tập hợp để chỉ "những thực thể quá lớn". Ta sẽ nĩi "lớp tất cả các tập hợp", chứ khơng nĩi "tập hợp tất cả các tập hợp". Theo quan niệm này X chỉ là một lớp chứ khơng là một tập hợp. Vì thế, ta tránh được nghịch lý nĩi trên. Phần cịn lại của tiết này được dành cho việc trình bày sơ lược về lượng từ phổ biến và lượng từ tồn tại. Ta thường cần phải phát biểu những mệnh đề cĩ dạng: "Mọi phần tử x của tập hợp X đều cĩ tính chất P(x)". Người ta quy ước ký hiệu mệnh đề đĩ như Đại số tuyến tính 9 VI ET M AT HS .N ET Mục lục sau: @x P X, P(x). Dãy ký hiệu trên được đọc là "Với mọi x thuộc X , P(x)". Ký hiệu @ được gọi là lượng từ phổ biến. Tương tự, ta cũng hay gặp các mệnh đề cĩ dạng: "Tồn tại một phần tử x của X cĩ tính chất P(x)". Mệnh đề này được quy ước ký hiệu như sau: Dx P X, P(x). Dãy ký hiệu đĩ được đọc là "Tồn tại một x thuộc X , P(x)". Ký hiệu D được gọi là lượng từ tồn tại. Mệnh đề "Tồn tại duy nhất một phần tử x của X cĩ tính chất P(x)" được viết như sau: D!x P X, P(x). Lượng từ phổ biến và lượng từ tồn tại cĩ mối quan hệ quan trọng sau đây. Gọi P là phủ định của mệnh đề P . Ta cĩ @x P X,P(x)  Dx P X,P(x), Dx P X,P(x)  @x P X,P(x). Chúng tơi đề nghị độc giả tự chứng minh những khẳng định trên xem như một bài tập. 0.2 Quan hệ và Ánh xạ Tích trực tiếp (hay tích Descartes) của hai tập hợp X và Y là tập hợp sau đây: X  Y = t(x, y)| x P X, y P Y u. Trường hợp đặc biệt, khiX = Y , ta cĩ tích trực tiếpXX của tậpX với chính nĩ. Định nghĩa 0.2.1 Mỗi tập con R của tập hợp tích X  X được gọi là một quan hệ hai ngơi trênX . Nếu (x, y) P R thì ta nĩi x cĩ quan hệR với y, và viết xRy. Ngược lại, nếu (x, y) R R thì ta nĩi x khơng cĩ quan hệR với y, và viết xRy. Chẳng hạn, nếu R = t(x, y) P Z  Z | x chia hết cho yu, thì 6R2, nhưng 5R3. Các quan hệ tương đương thường được ký hiệu bởi dấu . 10 Đại số tuyến tính 0.2. Quan hệ và Ánh xạ Định nghĩa 0.2.2 Quan hệ hai ngơi R trên X được gọi là một quan hệ tương đương nếu nĩ cĩ ba tính chất sau đây: (a) Phản xạ: xRx, @x P X . (b) Đối xứng: Nếu xRy, thì yRx, @x, y P X . (c) Bắc cầu: Nếu xRy, yRz, thì xRz, @x, y, z P X . Giả sử  là một quan hệ tương đương trên X . Lớp tương đương theo quan hệ  của một phần tử x P X được định nghĩa như sau: [x] = ty P X| x  yu € X. Bổ đề 0.2.3 Giả sử  là một quan hệ tương đương. Khi đĩ, với mọi x, y P X , các lớp [x] và [y] hoặc trùng nhau, hoặc rời nhau (tức là [x]X [y] =H). Chứng minh: Giả sử [x]X [y]  H. Ta sẽ chứng minh rằng [x] = [y]. Lấy một phần tử z P [x]X [y]. Ta cĩ x  z và y  z. Do tính đối xứng của quan hệ tương đương, x  z kéo theo z  x. Giả sử t P [x], tức là x  t. Do tính bắc cầu, z  x và x  t kéo theo z  t. Tiếp theo, y  z và z  t kéo theo y  t. Nghĩa là t P [y]. Như vậy, [x] € [y]. Do vai trị như nhau của các lớp [x] và [y], ta cũng cĩ bao hàm thức ngược lại, [y] € [x]. Vậy [x] = [y]. l Theo bổ đề này, nếu y P [x] thì y P [x]X [y]  H, do đĩ [x] = [y]. Vì thế, ta cĩ thể dùng từ lớp tương đương để chỉ lớp tương đương của bất kỳ phần tử nào trong lớp đĩ. Mỗi phần tử của một lớp tương đương được gọi là một đại biểu của lớp tương đương này. Dễ dàng thấy rằngX là hợp rời rạc của các lớp tương đương theo quan hệ. (Nĩi cách khác, X là hợp của các lớp tương đương theo quan hệ , và các lớp này rời nhau.) Người ta cũng nĩiX được phân hoạch bởi các lớp tương đương. Định nghĩa 0.2.4 Tập hợp các lớp tương đương củaX theo quan hệ được gọi là tập thương của X theo  và được ký hiệu là X/. Ta nĩi X được sắp tồn phần (hay tuyến tính) bởi quan hệ ¤ nếu với mọi x, y P X , thì x ¤ y hoặc y ¤ x. Khi đĩ ¤ được gọi là một quan hệ thứ tự tồn phần (hay tuyến tính) trên X . Chẳng hạn, trường số hữu tỷ Q là một tập được sắp tồn phần đối với quan hệ thứ tự ¤ thơng thường. Một ví dụ khác: nếu X là tập hợp tất cả các tập con của một tập A nào đĩ, thì X được sắp theo quan hệ bao hàm. Đây khơng phải là một thứ tự tồn phần nếu tập A chứa nhiều hơn một phần tử. Đại số tuyến tính 11 VI ET M AT HS .N ET Mục lục Ví dụ 0.2.5 Giả sử n là một số nguyên dương bất kỳ. Ta xét trên tậpX = Z quan hệ sau đây: = t(x, y) P Z  Z | x
y chia hết cho nu. Rõ ràng đĩ là một quan hệ tương đương. Hơn nữa x  y nếu và chỉ nếu x và y cĩ cùng phần dư trong phép chia cho n. Vì thế, Z / là một tập cĩ đúng n phần tử : Z /= t[0], [1], ..., [n
1]u. Nĩ được gọi là tập các số nguyên modulo n, và thường được ký hiệu là Z /n. Định nghĩa 0.2.6 Giả sử ¤ là một quan hệ hai ngơi trên X . Nĩ được gọi là một quan hệ thứ tự nếu nĩ cĩ ba tính chất sau đây: (a) Phản xạ: x ¤ x, @x P X . (b) Phản đối xứng: Nếu x ¤ y và y ¤ x thì x = y, @x, y P X . (c) Bắc cầu: Nếu x ¤ y, y ¤ z, thì x ¤ z, @x, y, z P X . Tập X được trang bị một quan hệ thứ tự được gọi là một tập được sắp. Nếu x ¤ y, ta nĩi x đứng trước y, hay x nhỏ hơn hoặc bằng y. Bây giờ ta chuyển qua xét các ánh xạ. Người ta thường mơ tả các ánh xạ một cách trực giác như sau. Giả sử X và Y là các tập hợp. Một f từ X vào Y là một quy tắc đặt tương ứng mỗi phần tử x P X với một phần tử xác định y = f(x) P Y . Ánh xạ đĩ được ký hiệu bởi f : X Đ Y . Tất nhiên mơ tả nĩi trên khơng phải là một định nghĩa chặt chẽ, vì ta khơng biết thế nào là một quy tắc. Nĩi cách khác, trong định nghĩa nĩi trên quy tắc chỉ là một tên gọi khác của ánh xạ. Ta cĩ thể khắc phục điều đĩ bằng cách đưa ra một định nghĩa chính xác nhưng hơi cồng kềnh về ánh xạ như sau. Mỗi tập conR của tích trực tiếpX  Y được gọi là một quan hệ giữaX và Y . Quan hệ R được gọi là một từ X vào Y nếu nĩ cĩ tính chất sau: với mọi x P X cĩ một và chỉ một y P Y để cho (x, y) P R. Ta ký hiệu phần tử duy nhất đĩ là y = f(x). Khi đĩ R = t(x, f(x))| x P Xu. Ánh xạ này thường được ký hiệu là f : X Đ Y và quan hệ R được gọi là đồ thị của ánh xạ f . Các tậpX và Y được gọi lần lượt là tập nguồn và tập đích của ánh xạ f . Tập hợp f(X) = tf(x)| x P Xu được gọi là tập giá trị của f . 12 Đại số tuyến tính 0.2. Quan hệ và Ánh xạ Giả sử A là một tập con của X . Khi đĩ, f(A) = tf(x)| x P Au được gọi là của A bởi f . Nếu B là một tập con của Y , thì f
1(B) = tx P X| f(x) P Bu được gọi là nghịch ảnh của B bởi f . Trường hợp đặc biệt, tập B = tyu chỉ gồm một điểm y P Y , ta viết đơn giản f
1(y) thay cho f
1(tyu). Định nghĩa 0.2.7 (a) Ánh xạ f : X Đ Y được gọi là một đơn ánh nếu với mọi x  x1, (x, x1 P X) thì f(x)  f(x1). (b) Ánh xạ f : X Đ Y được gọi là một tồn ánh nếu với mọi y P Y tồn tại (ít nhất) một phần tử x P X sao cho f(x) = y. (c) Ánh xạ f : X Đ Y được gọi là một song ánh (hay một tương ứng một-một) nếu nĩ vừa là một đơn ánh vừa là một tồn ánh. Giả sử f : X Đ Y là một song ánh. Khi đĩ, với mỗi y P Y tồn tại duy nhất phần tử x P X sao cho f(x) = y. Ta ký hiệu phần tử x đĩ như sau: x = f
1(y). Như thế, tương ứng y ÞĐ x = f
1(y) xác định một ánh xạ, được ký hiệu là f
1 : Y Đ X và được gọi là ánh xạ ngược của f . Hiển nhiên, f
1 cũng là một song ánh, hơn nữa (f
1)
1 = f . Cho các ánh xạ f : X Đ Y và g : Y Đ Z. Khi đĩ ánh xạ h : X Đ Z được xác định bởi h(x) = g(f(x)), @x P X, được gọi là ánh xạ tích (hay ) của f và g, và được ký hiệu là h = gf hoặc h = g  f . Chúng tơi đề nghị độc giả tự chứng minh hai mệnh đề sau đây. Mệnh đề 0.2.8 Hợp thành của hai đơn ánh lại là một đơn ánh. Hợp thành của hai tồn ánh lại là một tồn ánh. Hợp thành của hai song ánh lại là một song ánh. Gọi idX : X Đ X là trên X , được xác định như sau idX(x) = x, @x P X. Mệnh đề 0.2.9 (i) Giả sử f : X Đ Y và g : Y Đ Z là các ánh xạ. Khi đĩ, nếu gf là một đơn ánh thì f cũng vậy; nếu gf là một tồn ánh thì g cũng vậy. (ii) Ánh xạ f : X Đ Y là một song ánh nếu và chỉ nếu tồn tại một ánh xạ g : Y Đ X sao cho gf = idX , fg = idY . Đại số tuyến tính 13 VI ET M AT HS .N ET Mục lục 0.3 Lực lượng của tập hợp Đối với các tập hợp hữu hạn, khi cần xét xem tập nào cĩ nhiều phần tử hơn, người ta đếm số phần tử của chúng. Nhưng động tác đơn giản ấy khơng thực hiện được đối với các tập cĩ vơ hạn phần tử. Để so sánh "số lượng phần tử" của các tập vơ hạn, người ta trở lại với cách làm của người nguyên thuỷ khi chưa biết đếm. Cụ thể là, nếu muốn xem số rìu tay cĩ đủ cho mỗi người một chiếc hay khơng người ta phát cho mỗi người một chiếc rìu, tức là lập một tương ứng giữa tập hợp người và tập hợp rìu. Định nghĩa 0.3.1 Ta nĩi tập hợpX cùng lực lượng với tập hợp Y nếu tồn tại một song ánh từ X vào Y . Rõ ràng quan hệ cùng lực lượng là một quan hệ tương đương. Giả sử tập A cĩ n phần tử. Điều này cĩ nghĩa là cĩ một tương ứng một-một giữa các phần tử của A với các số tự nhiên 1, 2, 3, ..., n. Nĩi cách khác, A cĩ n phần tử nếu và chỉ nếu nĩ cùng lực lượng với tập hợp t1, 2, 3, ..., nu. Sau đây chúng ta sẽ khảo sát lớp các tập hợp vơ hạn cĩ "ít phần tử nhất", đĩ là các tập đếm được. Định nghĩa 0.3.2 Tập X được gọi là đếm được nếu nĩ cùng lực lượng với tập hợp N các số tự nhiên. Chẳng hạn, Z là một tập đếm được. Thật vậy, ánh xạ f : N Đ Z xác định bởi cơng thức f(2n
1) =
n+ 1, f(2n) = n (n = 1, 2, 3, ...) là một song ánh. Tương tự, tập hợp các số tự nhiên chẵn và tập hợp các số tự nhiên lẻ đều là các tập đếm được. Các ví dụ trên cho thấy một tập vơ hạn cĩ thể cĩ cùng lực lượng với một tập con thật sự của nĩ. Ta cĩ Chứng minh: Giả sử A = ta1, a2, a3, ...u là một tập Mệnh đề 0.3.3 Mỗi tập con vơ hạn của một tập đếm được cũng là một tập đếm được. đếm được, và B là một tập con vơ hạn của A. Gọi i1 là số tự nhiên nhỏ nhất 14 Đại số tuyến tính 0.4. Nhĩm, Vành và Trường sao cho ai1 P B, i2 là số tự nhiên nhỏ nhất sao cho ai2 P Bztai1u. Một cách quy nạp, in là số tự nhiên nhỏ nhất sao cho ain P Bztai1, ai2, ..., ain
1u... Bằng cách đĩ, các phần tử của B được xếp thành một dãy vơ hạn B = tai1, ai2, ..., ain, ...u. Nĩi cách khác, cĩ một song ánh N Đ B đặt n tương ứng với ain. Như thế B đếm được. l Mệnh đề 0.3.4 Tích trực tiếp của hai tập đếm được cũng là một tập đếm được. Chứng minh: Khơng giảm tổng quát, ta chỉ cần chứngminhN N là đếm được. Ta xếp tất cả các phần tử (a, b) của N N thành một dãy vơ hạn bằng cách sau. Trước hết ta xếp cặp (a, b) với a+ b = 2. Giả sử đã xếp xong các cặp (a, b) với a + b = n
1, ta xếp tiếp các cặp (a, b) với a + b = n, trong đĩ cặp (a, b) được xếp trước cặp (a1, b1) nếu a+ b = a1 + b1 = n và a   a1. Như vậy, N  N là một tập đếm được. l Hệ quả 0.3.5 Tập hợp Q các số hữu tỷ là một tập đếm được. Chứng minh: Ta sẽ chứng minh tập hợp Q + các số hữu tỷ dương là đếm được. Do đĩ Q = Q
Y t0u YQ + cùng lực lượng với Z = N
Y t0u YN , trong đĩ Q
là tập hợp các số hữu tỷ âm và N
là tập hợp các số nguyên âm. Vì thế Q là đếm được. Mỗi số hữu tỷ dương được biểu thị duy nhất dưới dạng một phân số pq , trong đĩ p, q P N và cặp p, q nguyên tố cùng nhau. Tương ứng pq ÞĐ (p, q) là một song ánh từ Q + lên một tập con của tích trực tiếp N  N . Do đĩ, theo hai mệnh đề trên thì Q + là một tập đếm được. l Chúng ta thừa nhận kết quả sau đây, vì muốn chứng minh nĩ ta cần một hiểu biết sâu sắc hơn về các số thực. Mệnh đề 0.3.6 Tập hợp R các số thực là một tập khơng đếm được. Người ta nĩi tập hợp các số thực cĩ lực lượng continum. 0.4 Nhĩm, Vành và Trường Các khái niệm nhĩm, vành và trường được giới thiệu trong tiết này chỉ dừng ở mức đủ dùng cho các diễn đạt trong phần sau của cuốn sách. Đại số tuyến tính 15 VI ET M AT HS .N ET Mục lục Giả sử G là một tập hợp. Mỗi ánh xạ  : GGĐ G được gọi là một phép tốn hai ngơi (hay một luật hợp thành) trên G. Ảnh của cặp phần tử (x, y) P G  G bởi ánh xạ  sẽ được ký hiệu là x  y, và được gọi là tích hay hợp thành của x và y. Định nghĩa 0.4.1 Một nhĩm là một tập hợp khác rỗngG được trang bị một phép tốn hai ngơi  thoả mãn ba điều kiện sau đây: (G1) Phép tốn cĩ tính kết hợp: (x  y)  z = x  (y  z), @x, y, z P G. (G2) Cĩ một phần tử e P G, được gọi là phần tử trung lập, với tính chất x  e = e  x = x, @x P G. (G3) Với mọi x P G, tồn tại phần tử x1 P G, được gọi là nghịch đảo của x, sao cho x  x1 = x1  x = e. Nhận xét: Phần tử trung lập của một nhĩm là duy nhất. Thật vậy, nếu e và e1 đều là các phần tử trung lập của nhĩm G thì e = e  e1 = e1. Với mọi x P G, phần tử nghịch đảo x1 nĩi ở mục (G3) là duy nhất. Thật vậy, nếu x11 và x12 là các phần tử nghịch đảo của x thì x11 = x 1 1  e = x 1 1  (x  x 1 2) = (x 1 1  x)  x 1 2 = e  x 1 2 = x 1 2. Trong nhĩm cĩ luật giản ước, tức là x  y = x  z ùđ y = z, x  z = y  z ùđ x = y. Thật vậy, để cĩ luật giản ước, chỉ cần nhân hai vế của đẳng thức x  y = x  z với nghịch đảo x1 của x từ bên trái, và nhân hai vế của đẳng thức x  z = y  z với nghịch đảo z1 của z từ bên phải. Nếu phép tốn  cĩ tính giao hốn, tức là x  y = y  x, @x, y P G, 16 Đại số tuyến tính 0.4. Nhĩm, Vành và Trường thì G được gọi là một nhĩm giao hốn (hay ). Theo thĩi quen, luật hợp thành  trong một nhĩm abel thường được ký hiệu theo lối cộng "+ ". Hợp thành của cặp phần tử (x, y) được ký hiệu là x+ y và được gọi là tổng của x và y. Phần tử trung lập của nhĩm được gọi là phần tử khơng, ký hiệu 0. Nghịch đảo của x (xác định bởi điều kiện (G3)) được gọi là phần tử đối của x, ký hiệu (
x). Trường hợp tổng quát, phép tốn  trong nhĩm thường được ký hiệu theo lối nhân "  ". Hợp thành của cặp phần tử (x, y) được ký hiệu là x  y, hay đơn giản xy, và được gọi là tích của x và y. Phần tử trung lập của nhĩm được gọi là phần tử đơn vị. Phần tử nghịch đảo của x được ký hiệu là x
1. V í dụ: (a) Các tập hợp số Z ,Q ,R lập thành nhĩm abel đối với phép cộng. (b) Các tập Z  = t1u,Q  = Q zt0u,R  = R zt0u làm thành nhĩm abel đối với phép nhân. (c) Ta định nghĩa phép cộng trong Z /n như sau: [x] + [y] = [x+ y]. Dễ kiểm tra rằng phép tốn này khơng phụ thuộc đại biểu của các lớp tương đương [x] và [y]. Hơn nữa, Z /n cùng với phép cộng nĩi trên lập thành một nhĩm abel. (d) Mỗi song ánh từ tập hợp t1, 2, ..., nu vào chính nĩ được gọi là một phép thế (hay phép hốn vị) trên n phần tử. Tập hợp Sn tất cả các phép thế trên n phần tử làm thành một nhĩm đối với phép hợp thành các ánh xạ (α  β)(i) = α(β(i)), @α, β P Sn, 0 ¤ i ¤ n. Sn được gọi là nhĩm đối xứng trên n phần tử. Đây là một nhĩm khơng abel khi n ¡ 2. (Xem chi tiết ở Chương III.) (e) Trong Chương II chúng ta sẽ khảo sát một lớp nhĩm khơng abel rất quan trọng đối với mơn Đại số tuyến tính, đĩ là nhĩmGL(V ) các biến đổi tuyến tính khơng suy biến trên khơng gian véctơ V . Định nghĩa 0.4.2 Giả sử G và G1 là các nhĩm (với phép tốn viết theo lối nhân). Ánh xạ φ : GĐ G1 được gọi là một đồng cấu nhĩm nếu φ(xy) = φ(x)φ(y), @x, y P G. Đại số tuyến tính 17 VI ET M AT HS .N ET Mục lục Nhận xét: Đồng cấu nhĩm φ chuyển đơn vị e của G thành đơn vị e1 của G1: φ(e) = e1. Nĩ cũng chuyển phần tử nghịch đảo của x thành phần tử nghịch đảo của φ(x): φ(x
1) = φ(x)
1, @x P G. Định nghĩa 0.4.3 (a) Một đồng cấu nhĩm đồng thời là một đơn ánh được gọi là một đơn cấu nhĩm. (b) Một đồng cấu nhĩm đồng thời là một tồn ánh được gọi là một tồn cấu nhĩm. (c) Một đồng cấu nhĩm đồng thời là một song ánh được gọi là một đẳng cấu nhĩm. Nếu cĩ một đẳng cấu nhĩm giữa G và G1 thì ta nĩi G đẳng cấu với G1 và viết G  G1. V í dụ: (a) Phép nhúng i : Z Đ Q định nghĩa bởi cơng thức i(x) = x là một đơn cấu nhĩm. (b) Phép chiếu pr : Z Đ Z /n xác định bởi cơng thức pr(x) = [x] là một tồn cấu nhĩm. (a) Ánh xạ mũ exp : R Đ R +, exp(x) = ex là một đẳng cấu từ nhĩm cộng các số thực R vào nhĩm nhân các số thực dương R +. Bây giờ ta chuyển sang khảo sát các vành và trường. Vành R được gọi là giao hốn nếu phép nhân của nĩ cĩ tính giao hốn: xy = yx, @x, y P R. Vành R được gọi là cĩ đơn vị nếu phép nhân của nĩ cĩ đơn vị, tức là cĩ phần tử 1 P R sao cho: 1x = x1 = x, @x P R. Các khái niệm đơn cấu vành, tồn cấu vành, đẳng cấu vành được định nghĩa tương tự như đối với trường hợp nhĩm. Chẳng hạn, phép nhúng Z € Q là một đơn cấu vành. Phép chiếu pr : Z Đ Z /n là một tồn cấu vành. 18 Đại số tuyến tính 0.4. Nhĩm, Vành và Trường Định nghĩa 0.4.4 Một vành là một tập hợp R  H được trang bị hai phép tốn hai ngơi, gồm phép cộng + : R  RĐ R, (x, y) ÞĐ x+ y, và phép nhân  : R  RĐ R, (x, y) ÞĐ xy, thoả mãn ba điều kiện sau đây: (R1) R là một nhĩm abel đối với phép cộng. (R2) Phép nhân cĩ tính chất kết hợp: (xy)z = x(yz), @x, y, z P R. (R3) Phép nhân phân phối về hai phía đối với phép cộng: (x+ y)z = xz + yz, z(x+ y) = zx+ zy, @x, y, z P R. Ví dụ 0.4.5 (a) Các tập hợp số Z ,Q là các vành giao hốn và cĩ đơn vị đối với các phép tốn cộng và nhân thơng thường. Tập hợp số tự nhiênN khơng là một vành, vì nĩ khơng là một nhĩm đối với phép cộng. (b) Ta định nghĩa phép nhân trên nhĩm cộng Z /n các số nguyên modulo n như sau: [x][y] = [xy], @x, y P Z /n. Phép nhân này khơng phụ thuộc đại biểu của các lớp [x] và [y]. Nĩ biến nhĩm cộng Z /n thành một vành giao hốn và cĩ đơn vị, được gọi là vành các số nguyên modulo n. (c) Trong Chương II ta sẽ xét một lớp vành đặc biệt quan trọng đối với mơn Đại số tuyến tính, đĩ là vànhM(nn,K ) các ma trận vuơng cấp n với các phần tử trong trườngK . Phần tử x trong một vành cĩ đơn vị R được gọi là khả nghịch nếu tồn tại phần tử x1 P R sao cho xx1 = x1x = 1. Dễ chứng minh rằng phần tử x1 cĩ tính chất như vậy nếu tồn tại thì duy nhất. Nĩ được ký hiệu là x
1. Vành Q là một trường. Vành số nguyên Z khơng là một trường, vì các số khác 1 đều khơng khả nghịch trong Z . Trường số hữu tỷ Q là một trường được sắp đối với thứ tự thơng thường. Dưới đây ta sẽ xét xem khi nào thì vành Z /n là một trường. Trái lại, nếu từ đẳng thức ab = 0 (với a, b P R) suy ra hoặc a = 0 hoặc b = 0, thì vành R được gọi là khơng cĩ ước của khơng. Đại số tuyến tính 19 VI ET M AT HS .N ET Mục lục Định nghĩa 0.4.6 Giả sử R và R1 là các vành. Ánh xạ φ : R Đ R1 được gọi là một đồng cấu vành nếu φ(x+ y) = φ(x) + φ(y), φ(xy) = φ(x)φ(y), @x, y P R. Định nghĩa 0.4.7 Một vành giao hốn, cĩ đơn vị 1  0 sao cho mọi phần tử khác 0 trong nĩ đều khả nghịch được gọi là một trường. Vành Z /6 cĩ ước của khơng, bởi vì [2]  0, [3]  0 và [2][3] = [6] = [0] = 0. Nĩi chung, nếu n là một hợp số thì Z /n cĩ ước của khơng. Thật vậy, vì n là một hợp số cho nên n = rs trong đĩ 0   r, s   n. Khi đĩ, [r]  0, [s]  0 và [r][s] = [n] = [0] = 0. Chứng minh: Giả sửK là một trường, a và b là các phần tử thuộcK với ab = 0. Nếu a  0 thì a khả nghịch. Ta cĩ b = 1b = (a
1a)b = a
1(ab) = a
10 = 0. Vậy K khơng cĩ ước của khơng. l Chứng minh: Nếu n là một hợp số thì Z /n cĩ ước của khơng, do đĩ khơng là một trường. Giả sử n = p là một số nguyên tố. Mỗi phần tử khác khơng trong Z /p đều cĩ dạng [q] trong đĩ đại biểu q thoả mãn điều kiện 0   q   p. Khi đĩ p và q nguyên tố cùng nhau, vì thế cĩ các số nguyên k và ℓ sao cho kp+ ℓq = 1. Hay là [ℓ][q] = [1]
[kp] = [1] trong Z /p. Điều này cĩ nghĩa là [q] khả ngịch, và [q]
1 = [ℓ]. l Trường Z /p thường được ký hiệu là F p. Trong vành Z /n cĩ hiện tượng sau đây: 1 + 1 +    + 1 looooooomooooooon n = 0. Chuyện này khơng xảy ra trong các vành Z vàQ . Ta đi tới định nghĩa sau đây. Ví dụ: Char(Z ) = Char(Q ) = 0, Char(Z /n) = n, với mọi số nguyên dương n. Chứng minh: Đặt m  1 = 1 + 1 +    + 1 looooooomooooooon m P K . Giả sử n = Char(K ) là một hợp số với phân tích n = rs (0   r, s   n). Dễ thấy rằng n1 = (r1)(s1) = 0. 20 Đại số tuyến tính 0.5. Trường số thực Định nghĩa 0.4.8 Giả sử ¤ là một quan hệ thứ tự trên trường K . Khi đĩ K được gọi là một trường được sắp đối với thứ tự ¤ nếu các điều kiện sau đây được thoả mãn: (a) Nếu x ¤ y thì x+ z ¤ y + z, với mọi z P K ; (b) Nếu x ¤ y và 0 ¤ z thì xz ¤ yz. Định nghĩa 0.4.9 Nếu vành R chứa các phần tử a  0, b  0 sao cho ab = 0 thì ta nĩi R cĩ ước của khơng. Vì trường K khơng cĩ ước của khơng, nên hoặc (r  1) = 0 hoặc (s  1) = 0. Điều này mâu thuẫn với định nghĩa của đặc số, vì r và s là các số tự nhiên nhỏ hơn n. l 0.5 Trường số thực Tất cả các học trị tốt nghiệp trung học phổ thơng đều đã tính tốn thuần thục với các số thực. Thế nhưng, nếu hỏi họ "Số thực là gì?" thì chắc chắn họ sẽ khơng trả lời được. Thật ra, đĩ là một vấn đề rất khĩ. Trong tiết này, chúng ta sẽ xây dựng trường số thực R như là một "bổ sung" của trường số hữu tỷQ , nhằm giải quyết tình trạng khĩ xử mà Pythagore đã gặp từ hơn 2000 năm trước, đĩ là: Nếu chỉ dùng các số hữu tỷ thì đường chéo của một hình vuơng đơn vị sẽ khơng cĩ độ dài. Nĩi cách khác, khơng tồn tại số hữu tỷ a thoả mãn hệ thức a2 = 2. Thật vậy, giả sử a cĩ dạng phân số tối giản pq , với p, q P Z , q  0, khi đĩ (pq ) 2 = 2. Hay là p2 = 2q2. Từ đĩ suy ra p là một số chẵn. Ta đặt p = 2p1 trong đĩ p1 P Z . Đẳng thức trên trở thành 2p21 = q2. Do đĩ q cũng là một số chẵn. Điều này mâu thuẫn với giả thiết nĩi rằng pq là một phân số tối giản. Định nghĩa sau đây được gợi ý từ một nhận xét trực giác là: mỗi lát cắt vào "đường thẳng số thực" đều "chạm" phải một số thực duy nhất. Chẳng hạn, tập hợp sau đây (được ký hiệu bởi ? 2) là một lát cắt trong Q : ? 2 := tr P Q | r2   2u. Đối với mỗi số hữu tỷ r, ta xét lát cắt sau đây r = ts P Q | s   ru. Để ý rằng r = min(Q zr). Tất nhiên, mọi lát cắt hữu tỷ đều cĩ dạng r với một số hữu tỷ r nào đĩ. Đại số tuyến tính 21 VI ET M AT HS .N ET Mục lục Mệnh đề 0.4.10 Mỗi trường đều là một vành khơng cĩ ước của khơng. Mệnh đề 0.4.11 Z /n là một trường nếu và chỉ nếu n là một số nguyên tố. Tập hợp các lát cắt được sắp thứ tự theo quan hệ ¤ sau đây. Phép cộng các lát cắt được định nghĩa như sau. Dễ dàng kiểm tra lại rằng tập hợp α+ β trong định nghĩa nĩi trên là một lát cắt trong Q . Với mỗi lát cắt α tồn tại duy nhất một lát cắt, được ký hiệu là
α, sao cho α+ (
α) = (
α) + α = 0. Lát cắt này được định nghĩa như sau:
α = t
r| r P (Q zα), r khơng là số nhỏ nhất trong Q zαu. Chúng ta gặp một số khĩ khăn về kỹ thuật khi định nghĩa tích hai lát cắt. Để tránh những khĩ khăn đĩ, chúng ta đưa ra khái niệm giá trị tuyệt đối. Tất nhiên |α| ¥ 0 với mọi α, hơn nữa |α| = 0 khi và chỉ khi α = 0. Giả sử α và β là các lát cắt với α ¥ 0, β ¥ 0. Khi đĩ tập hợp sau đây là một lát cắt, được gọi là tích của α và β, và được ký hiệu là αβ: αβ = Q
Y trs| r P α, r ¥ 0, s P β, s ¥ 0u. Bây giờ tích của hai lát cắt bất kỳ được định nghĩa như sau: Định lý sau đây được chứng minh khơng mấy khĩ khăn, nhưng địi hỏi một lao động tỉ mỉ. Định lý 0.5.1 Tập hợp R được trang bị hai phép tốn cộng và nhân nĩi trên là một trường cĩ đặc số bằng 0. Trường này được sắp đối với thứ tự ¤. Ánh xạ Q Đ R , r ÞĐ r là một đơn cấu trường bảo tồn thứ tự. Trên cơ sở định lý này, mỗi lát cắt trongQ được gọi là một số thực. Mỗi lát cắt hữu tỷ r được đồng nhất với số hữu tỷ r. Mỗi lát cắt vơ tỷ được gọi là một số vơ tỷ. So với trường số hữu tỷ Q thì trường số thực R ưu việt hơn ở tính đủ. Để diễn đạt tính đủ của R ta cần định nghĩa lát cắt trong R . Bạn đọc hãy so sánh định nghĩa sau đây với Định nghĩa 5.1 về lát cắt trong Q . Theo định nghĩa, lát cắt α trongQ là hữu tỷ hay vơ tỷ tuỳ theo tập hợpQ zα cĩ phần tử nhỏ nhất hay khơng. Nĩi một cách trực giác, các lát cắt vơ tỷ khơng "chạm" phải phần tử nào của Q . Một trong những biểu hiện của tính đủ của trường số thực là mọi lát cắt trong R đều "chạm" phải một số thực nào đĩ. Cụ thể, ta cĩ 22 Đại số tuyến tính 0.6. Trường số phức Định nghĩa 0.4.12 Cho R là một vành cĩ đơn vị. Nếu cĩ số nguyên dương n sao cho 1 + 1 +   + 1 looooooomooooooon n = 0, thì số nguyên dương nhỏ nhất cĩ tính chất đĩ được gọi là đặc số của vành R. Ngược lại, nếu khơng cĩ số nguyên dương n nào như thế thì ta nĩi R cĩ đặc số bằng 0. Đặc số của R được ký hiệu là Char(R). Mệnh đề 0.4.13 Nếu K là một trường thì Char(K ) hoặc bằng 0 hoặc là một số nguyên tố. Định lý 0.5.2 (Tính đủ của trường số thực). Với mọi lát cắt α trong R , phần bù của nĩ R zα luơn luơn cĩ phần tử nhỏ nhất. Chứng minh: Đặt α¯ := αXQ . Khi đĩ α¯ là một lát cắt trongQ . Nĩi cách khác, α¯ là một số thực. Dễ dàng chứng minh rằng với mọi s P α và mọi t P R zα, ta cĩ s   α¯ ¤ t. Kết hợp điều đĩ với sự kiện α khơng cĩ phần tử lớn nhất, ta suy ra α¯ R α. Vì thế α¯ = min(R zα). l Chúng ta trở lại với bài tốn đo độ dài của đường chéo của hình vuơng đơn vị. Số (lát cát) vơ tỷ ? 2 := tr P Q | r2   2u chính là số thực thoả mãn phương trình X2 = 2. Một cách tổng quát, cĩ thể chứng minh được rằng nếu đã chọn một đơn vị độ dài thì mỗi đoạn thẳng đều cĩ độ dài là một số thực nào đĩ. Ngược lại, mỗi số thực đều là độ dài của một đoạn thẳng cĩ hướng nào đĩ. 0.6 Trường số phức Mở đầu tiết trước, chúng ta đã chứng minh rằng phương trình X2
2 = 0 khơng cĩ nghiệm hữu tỷ. Đĩ chính là điểm khởi đầu cho việc xây dựng trường số thực R như là một "bổ sung" của trường số hữu tỷ Q , nhằm tìm nghiệm cho phương trình đĩ. Cĩ một tình trạng tương tự là phương trình X2 + 1 = 0 khơng cĩ nghiệm thực, bởi vì bình phương của mọi số thực đều khơng âm. Để thốt ra khỏi tình trạng này, ta cần "mở rộng" trường số thực R bằng cách xây dựng thêm "các số mới". Ta gọi i là một ký hiệu hình thức (tức một "số mới") là nghiệm của phương trình nĩi trên, tức là i2 =
1. Ta muốn thực hiện được mọi phép tốn cộng, trừ, nhân và chia (cho các số khác 0) sau khi đã ghép thêm i vào trường số thực R . Điều này dẫn ta tới việc chấp Đại số tuyến tính 23 VI ET M AT HS .N ET Mục lục Định nghĩa 0.5.1 (Dedekind). Tập hợp α các số hữu tỷ được gọi là một lát cắt (trongQ ) nếu: (a) α  H, α  Q , (b) Nếu r P α, và s P Q , s   r, thì s P α, (c) α khơng cĩ phần tử lớn nhất. Định nghĩa 0.5.2 Giả sử α là một lát cắt. Nếu cĩ số nhỏ nhất trong tập hợp Q zα thì α được gọi là một lát cắt hữu tỷ. Trái lại, nếu khơng cĩ số nhỏ nhất trong tập hợpQ zα thì α được gọi là một lát cắt vơ tỷ. nhận các "số mới" dạng a+ bi, trong đĩ a, b P R . Tập hợp các số như vậy khép kín đối với bốn phép tốn nĩi trên. Thật vậy, sử dụng hệ thức i2 =
1 ta cĩ: (a+ bi) (c+ di) = (a+ c) (b+ d)i, (a+ bi)(c+ di) = (ac
bd) + (ad+ bc)i, a+ bi c+ di = (a+ bi)(c
di) c2 + d2 = ac+ bd c2 + d2 + (bc
ad)i c2 + d2 , (với c+ di  0, tức là c  0 hoặc d  0). Tuy nhiên, vẫn cịn một câu hỏi: "Vậy i là cái gì ?". Để tránh tình trạng khĩ sử này ta hãy đồng nhất a+ bi với cặp số thực (a, b). Những phân tích ở trên dẫn ta tới định nghĩa sau đây. Mệnh đề sau đây được kiểm tra một cách dễ dàng. Phần tử trung lập đối với phép cộng là 0 = (0, 0). Đơn vị của phép nhân là 1 = (1, 0). Nghịch đảo của số phức (a, b)  0 là (a, b)
1 = ( a a2 + b2 ,
b a2 + b2 ) . Nhận xét: Theo định nghĩa, hai số phức (a, b) và (c, d) bằng nhau nếu và chỉ nếu a = c, b = d. Ta cĩ (a, 0) + (b, 0) = (a+ b, 0), (a, 0)(b, 0) = (ab, 0). Nĩi cách khác, ánh xạ ι : R Đ C , a ÞĐ (a, 0) 24 Đại số tuyến tính 0.6. Trường số phức Định nghĩa 0.5.3 Giả sử α, β là các lát cắt. Ta nĩi α   β (hay β ¡ α) nếu βzα  H. Ta nĩi α ¤ β (hay β ¥ α) nếu α   β hoặc α = β. Một lát cắt được gọi là dương hay âm tuỳ theo nĩ lớn hơn hay nhỏ hơn lát cắt 0. Định nghĩa 0.5.4 Giả sử α, β là các lát cắt. Khi đĩ lát cắt sau đây được gọi là tổng của α và β, ký hiệu là α+ β: α+ β = tr + s| r P α, s P βu. là một đơn cấu vành. Vì thế, ta cĩ thể đồng nhất số thực a P R với số phức cĩ dạng (a, 0). Khi đĩ tập hợp các số thực R được đồng nhất với tập hợp các số phức dạng t(a, 0)|a P R u. Người ta nĩi trường số thực R là một trường con của trường số phức C . Đặt i = (0, 1) P C . Ta cĩ i2 = (0, 1)(0, 1) = (
1, 0) 
1. Như thế, ta đã cĩ "vật liệu" để xây dựng "số mới" i. Ta gọi i là đơn vị ảo. Mỗi số phức z = (a, b) cĩ thể viết dưới dạng z = (a, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1) = a+ bi. trong đĩ a, b P R . Đĩ là dạng đại số của số phức. Ta gọi a là phần thực của z, ký hiệu a = Rez, cịn b là phần ảo của z, ký hiệu Imz. Số phức z mà Imz = 0 chính là một số thực. Số phức z cĩ Rez = 0 được gọi là một số thuần ảo. Bây giờ ta xét biểu diễn hình học của các số phức. Trên mặt phẳng xét một hệ trục toạ độ Descartes vuơng gĩc Oxy. Số phức z = a + bi được biểu diễn trên mặt phẳng bởi điểm M cĩ toạ độ (a, b), hoặc bởi véc tơ O⃗M đi từ điểm gốc toạ độ O tới điểmM . Cộng các số phức chính là cộng các véctơ tương ứng với chúng. Đại số tuyến tính 25 VI ET M AT HS .N ET Mục lục Định nghĩa 0.5.5 Giá trị tuyệt đối (cịn gọi tắt là trị tuyệt đối) của lát cắt α là lát cắt sau đây: |α| = " α nếu α ¥ 0,
α nếu α   0. Định nghĩa 0.5.6 Giả sử α, β là các lát cắt. Khi đĩ lát cắt sau đây được gọi là tích của α và β, ký hiệu là αβ: αβ = " |α||β| nếu α ¥ 0, β ¥ 0 hoặc α   0, β   0 ,
(|α||β|) nếu α   0, β ¥ 0 hoặc α ¥ 0, β   0 . - 6 O φ x y a b > z = M(a, b) ~ z¯ Mặt phẳng toạ độ được gọi là mặt phẳng phức. Các số thực được biểu diễn trên trục Ox, được gọi là trục thực. Các số thuần ảo được biểu diễn trên trục Oy, được gọi là trục ảo. Phép đối xứng qua trục thực được gọi là phép liên hợp phức. Cụ thể hơn, ta cĩ Ta dễ dàng kiểm tra lại rằng z + t = z¯ + t¯, zt = z¯t¯. Phần cuối của tiết này được dành cho việc khảo sát dạng lượng giác của số phức. Dạng lượng giác đặc biệt thuận tiện cho việc nâng lên luỹ thừa và khai căn các số phức. Giả sử z = a+ bi  0 (tức là a2 + b2  0). Ta cĩ z = a a2 + b2( a ? a2 + b2 + b ? a2 + b2 i). 26 Đại số tuyến tính 0.6. Trường số phức Định nghĩa 0.5.7 Ta ký hiệu bởi R tập hợp tất cả các lát cắt trong Q . Định nghĩa 0.5.8 Tập hợp α các số thực được gọi là một lát cắt (trong R ) nếu: (a) α  H, α  R , (b) Nếu r P α, và s P R , s   r, thì s P α, (c) α khơng cĩ phần tử lớn nhất. Ta đặt r = ? a2 + b2 và nhận xét rằng tồn tại gĩc φ xác định sai khác 2kπ (k P Z ) sao cho cosφ = a? a2 + b2 , sinφ = b? a2 + b2 . Khi đĩ z = r(cosφ+ i sinφ). Giả sử z = |z|(cosφ+ i sinφ), t = |t|(cosψ + i sinψ). Khi đĩ zt = |z||t|[(cosφ cosψ
sinφ sinψ) + i(sinφ cosψ + cosφ sinψ)] = |z||t|(cos(φ+ ψ) + i sin(φ+ ψ)). Nĩi cách khác |zt| = |z||t|, arg(zt) = arg(z) + arg(t), trong đĩ điều kiện để cĩ đẳng thức cuối là arg(z) và arg(t) được định nghĩa. Nĩi riêng, ta cĩ zn = (|z|(cosφ+ i sinφ))n = |z|n(cosnφ+ i sinnφ). Đặc biệt, với |z| = 1, ta cĩ Cơng thức Moivre: (cosφ+ i sinφ))n = cosnφ+ i sinnφ. Tiếp theo, ta xét bài tốn khai căn bậc n của số phức z, tức là tìm tất cả các số phức u sao cho un = z. Nếu z = 0 thì u = 0 là lời giải duy nhất. Nếu z  0, ta đặt z = |z|(cosφ+i sinφ) và tìm u dưới dạng u = |u|(cos θ+ i sin θ). Ta cĩ un = z ðđ |u|n(cosnθ + i sinnθ) = |z|(cosφ+ i sinφ) ðđ " |u|n = |z|, nθ = φ+ 2kπ (k P Z ) ðđ " |u| = n a |z| (căn số học), θ = φ+2kπn (k P Z ). Đại số tuyến tính 27 VI ET M AT HS .N ET Mục lục Định nghĩa 0.6.1 Một cặp cĩ thứ tự hai số thực (a, b) được gọi là một số phức. Tập hợp tất cả các số phức được ký hiệu bởi C : C = t(a, b)|a, b P R u. Ta định nghĩa các phép tốn cộng và nhân các số phức như sau: (a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d), (a, b)(c, d) = (ac
bd, ad+ bc). Mệnh đề 0.6.2 Tập các số phức C cùng với hai phép tốn cộng và nhân định nghĩa ở trên lập nên một trường cĩ đặc số bằng khơng. l Như vậy, cĩ đúng n căn bậc n của mỗi số phức z  0, ứng với các giá trị k = 1, 2, ..., n
1. Các căn này lập nên n đỉnh của một đa giác đều n cạnh với tâm tại gốc toạ độ. Nĩi riêng, cĩ đúng n căn bậc n của đơn vị 1, đĩ là ωk = cos 2kπ n + i sin 2kπ n (k = 1, 2, ..., n
1). Căn ωk được gọi là một căn nguyên thuỷ bậc n của 1 nếu mọi căn bậc n của 1 đều là một luỹ thừa nào đĩ của ωk. Điều này xảy ra khi và chỉ khi k và n nguyên tố cùng nhau. Tất cả các căn bậc n của mỗi số phức z đều nhận được bằng cách nhân một căn như thế với tất cả các căn bậc n của đơn vị. Việc khảo sát các căn phức đã cho thấy trường số phức "phong phú" hơn rất nhiều so với trường số thực. Trở lại xét phương trình X2 + 1 = 0, ta đã biết rằng nĩ cĩ đúng hai nghiệm phức (i), là các căn bậc hai của (
1). Trong tiết sau ta sẽ thấy trường số phức cung cấp "đủ nghiệm" cho tất cả các đa thức hệ số phức. 0.7 Đa thức Chúng ta trình bày ở đây một cách hiểu trực giác nhất về đa thức. Giả sử K là một trường. Biểu thức hình thức f(X) = anX n + an
1X n
1 +    + a1X + a0, trong đĩ a0, a1, .., an P K , được gọi là một đa thức của X (hay biến X) với hệ số trong K . 28 Đại số tuyến tính 0.7. Đa thức Định nghĩa 0.6.3 Số phức z¯ = a
bi được gọi là liên hợp của số phức z = a + bi, trong đĩ a, b là các số thực. Định nghĩa 0.6.4 Số thực khơng âm r = ? a2 + b2 được gọi là mơđun của số phức z = a+ bi, ký hiệu r = |z|; cịn gĩc φ được gọi là của z, ký hiệu φ = arg z. Argument của số phức z = 0 khơng được định nghĩa. Nếu an  0 thì ta nĩi f(X) cĩ n, và viết deg f(X) = n; cịn an được gọi là hệ số bậc cao nhất của f(X). Nếu a0 = a1 =    = an = 0 thì f(X) được gọi là đa thức 0, và được coi là cĩ bậc bằng
8. Tập hợp các đa thức ẩnX với hệ số trongK được ký hiệu làK [X]. Ta trang bị cho tập hợp này hai phép tốn cộng và nhân như sau: Phép cộng: (anX n +    + a0) + (bmX n +    + b0) := anX n +    + am+1X m+1 + (am + bm)X m +    + (a0 + b0), (ở đây ta giả sử khơng giảm tổng quát n ¥ m). Phép nhân: (anX n +    + a0)(bmX n +    + b0) := cn+mX n+m +    + c0, trong đĩ ck = ° i+j=k aibj. Mệnh đề 0.7.1 K [X] cùng với hai phép tốn nĩi trên lập nên một vành giao hốn, cĩ đơn vị, khơng cĩ ước của khơng với đặc số CharK [X] = CharK . Chứng minh: Nhận xét rằng đối với các đa thức f(X) và g(X) ta cĩ deg(f(X)g(X)) = deg f(X) + deg g(X). Tính chất này dẫn tới sự kiện K [X] khơng cĩ ước của khơng. Các khẳng định cịn lại của mệnh đề đều dễ kiểm tra. l Ta thừa nhận định lý sau đây. Định lý 0.7.1 (Phép chia Euclid với dư). Giả sử f(X) và g(X)  0 là các đa thức của vành K [X]. Khi đĩ tồn tại duy nhất các đa thức q(X) và r(X) trong K [X] sao cho f(X) = g(X)q(X) + r(X), trong đĩ deg r(X)   deg g(X). Đại số tuyến tính 29 VI ET M AT HS .N ET Mục lục Các đa thức q(X) và r(X) được gọi tương ứng là thương và phần dư trong phép chia f(X) cho g(X). Nếu r(X) = 0, tức là f(X) = g(X)q(X), ta nĩi f(X) chia hết cho g(X) trong K [X], hoặc g(X) là một ước của f(X) trong K [X]. Phần tử c P K được gọi là một nghiệm của đa thức f(X) = anXn +    + a1X + a0 nếu f(c) = anc n +    + a1c+ a0 = 0 P K . Ta cĩ định lý sau đây liên hệ giữa nghiệm và tính chia hết của đa thức. Định lý 0.7.2 (Bézout). Đa thức f(X) P K [X] nhận c P K là một nghiệm nếu và chỉ nếu tồn tại một đa thức q(X) P K [X] sao cho f(X) = (X
c)q(X). Chứng minh: Nếu f(X) = (X
c)q(X) thì f(c) = (c
c)q(c) = 0 P K . Do đĩ c là một nghiệm của f(X). Ngược lại, giả sử c là một nghiệm của f(X). Ta chia f(X) cho đa thức khác khơng (X
c): f(X) = (X
c)q(X) + r(X), trong đĩ q(X), r(X) P K [X] và deg r(X)   deg(X
c) = 1. Như thế, deg r(X) hoặc bằng 0 hoặc bằng
8. Trong cả hai trường hợp r(X) đều là đa thức hằng, r(X) = r P K . Ta cĩ 0 = f(c) = (c
c)q(c) + r = r. Vậy r = 0. Từ đĩ f(X) = (X
c)q(X). l Định nghĩa 0.7.2 Phần tử c P K được gọi là một nghiệm bội k của đa thức f(X) nếu f(X) chia hết cho (X
c)k, nhưng khơng chia hết cho (X
c)k+1 trong K [X]. Ví dụ: Đa thức f(X) = X(X
1)2 cĩ các nghiệm X = 0 với bội 0 và X = 1 với bội 2. Định nghĩa 0.7.3 Đa thức f(X) P K [X] được gọi là trên K nếu nĩ cĩ bậc dương và nếu nĩ khơng thừa nhận một phân tích nào cĩ dạng f(X) = g(X)h(X), trong đĩ các đa thức g(X), h(X) P K [X] đều cĩ bậc nhỏ hơn deg f(X). Một đa thức được gọi là khả quy trên K nếu nĩ khơng bất khả quy trên K . Nĩi cách khác, đa thức f(X) P K [X] là bất khả quy trên K nếu nĩ cĩ bậc dương và chỉ chia hết cho các đa thức bậc dương cĩ dạng kf(X) P K [X], trong đĩ k P K zt0u. V í dụ: 30 Đại số tuyến tính 0.7. Đa thức (1) Mọi đa thức bậc nhất đều bất khả quy. (2) Đa thức bậc hai bất khả quy trên K nếu và chỉ nếu nĩ vơ nghiệm trong K . (3) Đa thức bậc lớn hơn 1 cĩ nghiệm trong K thì khơng bất khả quy trên K (4) Đa thức X2
2 bất khả quy trên Q nhưng khả quy trên R . (5) Đa thức X2 + 1 bất khả quy trên R , nhưng khả quy trên C . Chúng ta thừa nhận định lý sau đây, nĩi về tính đĩng đại số của trường số phức. Định lý 0.7.3 (Định lý cơ bản của Đại số học). Mọi đa thức bậc dương với hệ số phức đều cĩ nghiệm phức. Nĩi cách khác, một đa thức hệ số phức là bất khả quy trên C khi và chỉ khi nĩ là một đa thức bậc nhất. Như vậy, nếu f(X) P C [X] cĩ bậc n thì nĩ thừa nhận phân tích f(X) = an(X
z1)    (X
zn) trong đĩ an  0 là hệ số bậc cao nhất của f(X), và z1, ..., zn là các số phức nào đĩ. Cho tới nay, mọi đã biết của định lý này đều mang bản sắc Tơpơ, Hình học hoặc Giải tích. Chưa cĩ một chứng minh thuần tuý đại số nào cho định lý này. Nhắc lại rằng tam thức bậc hai hệ số thực aX2 + bX + c khơng cĩ nghiệm thực nếu và chỉ nếu biệt thức của nĩ ∆ = b2
4ac   0. Một ứng dụng của định lý cơ bản của đại số học là khẳng định sau đây. Định lý 0.7.4 Một đa thức hệ số thực là bất khả quy trên R nếu và chỉ nếu nĩ hoặc là một đa thức bậc nhất hoặc là một đa thức bậc hai với biệt thức âm. Hơn nữa, mọi đa thức f(X) P R [X] đều thừa nhận phân tích f(X) = an(X
x1) k1    (X
xr) kr(X2 + b1X + c1) ℓ1    (X2 + bsX + cs) ℓs, trong đĩ an là hệ số bậc cao nhất của f(X), °r i=1 ki+ °s j=1 ℓj = n = deg f(X), x1, ..., xr là các số thực và các tam thức bậc hai hệ số thực (X2+ biX + ci) đều khơng cĩ nghiệm thực. Chứng minh: Rõ ràng mọi đa thức hệ số thực bậc nhất hoặc bậc hai với biệt thức âm đều bất khả quy trên R . Khẳng định ngược lại được bao hàm trong phân tích cần tìm cho mọi đa thức f(X) nĩi trong định lý. Đại số tuyến tính 31 VI ET M AT HS .N ET Mục lục Gọi x1, ..., xr là tất cả các nghiệm thực của f(X) với bội tương ứng bằng k1, ..., kr. Ta cĩ f(X) = an(X
x1) k1    (X
xr) krP (X), trong đĩ P (X) là một đa thức hệ số thực nhưng khơng cĩ nghiệm thực. Giả sử z1 là một nghiệm phức của P (X), khi đĩ z¯1 cũng là một nghiệm của P (X). Thật vậy, P (X) cĩ dạng P (X) = dmX m +    + d1X + d0, trong đĩ dm, ..., d0 là các số thực, tức là d¯i = di. Dễ thấy rằng 0 = P (z1) = dmzm1 +    + d1z1 + d0 = d¯mzm1 +    + d¯1z¯1 + d¯0 = dmz¯ m 1 +    + d1z¯1 + d0 = P (z¯1). Theo định lý Bézout P (X) = (X
z1)P1(X). Từ đĩ P (z¯1) = (z¯1
z1)P1(z¯1) = 0. Vì z1 khơng phải là số thực, nên (z¯1
z1)  0. Do đĩ P1(z¯1) = 0. Áp dụng định lý Bézout một lần nữa cho P1(X) ta nhận được P (X) = (X
z1)(X
z¯1)Q(X), trong đĩ Q(X) là một đa thức. Nhận xét rằng (X
z1)(X
z¯1) = X 2
(z1 + z¯1)X + z1z¯1 = X2
2(Re(Z1)X + |z1| 2 là một tam thức bậc hai hệ số thực nhưng khơng cĩ nghiệm thực. Do tính duy nhất của phép chia đa thức P (X) cho đa thức X2
2(Re(Z1)X + |z1|2 trong các vành R [X] và C [X], ta kết luận Q(X) cũng là một đa thức hệ số thực. Nĩ khơng cĩ nghiệm thực vì P (X) cũng vậy. Như thế, cĩ thể lặp lại những lập luận ở trên với Q(X) thay cho P (X). Bởi vì degQ(X)   degP (X), cho nên ta nhận được phân tích của f(X) như nĩi trong định lý bằng cách quy nạp theo degP (X). l 32 Đại số tuyến tính 0.8. Bài tập 0.8 Bài tập 1. Chứng minh các tính chất kết hợp, giao hốn, phân phối của các phép tốn hợp và giao trên tập hợp. Chứng minh cơng thức đối ngẫu De Morgan cho hiệu của hợp và giao của một họ tuỳ ý các tập hợp. 2. Chứng minh rằng (a) (AzB)Y (BzA) = Hðđ A = B, (b) A = (AzB)Y (AX B), (c) (AzB)Y (BzA) = (AY B)z(AX B), (d) AX (BzC) = (AX B)z(AX C), (e) AY (BzA) = (AY B), (f) Az(AzB) = AX B. 3. Chứng minh rằng (a) (A B)X (B  A)  H ðđ AX B  H, (b) (A C)X (B D) = (AX B) (C XD). 4. Giả sử f : X Đ Y là một ánh xạ và A,B € X . Chứng minh rằng (a) f(AY B) = f(A)Y f(B), (b) f(AX B) € f(A)X f(B), (c) f(AzB)  f(A)zf(B). Hãy tìm các ví dụ để chứng tỏ rằng khơng cĩ dấu bằng ở các mục (b) và (c). 5. Cho ánh xạ f : X Đ Y và các tập con A,B € Y . Chứng minh rằng (a) f
1(AY B) = f
1(A)Y f
1(B), (b) f
1(AX B) = f
1(A)X f
1(B), (c) f
1(AzB) = f
1(A)zf
1(B). 6. Chứng minh hai mệnh đề về ánh xạ ở cuối x2. 7. Xét xem ánh xạ f : R Đ R xác định bởi cơng thức f(x) = x2
3x + 2 cĩ phải là một đơn ánh hay tồn ánh hay khơng. Tìm f(R ), f(0), f
1(0), f([0, 5]), f
1([0, 5]). Đại số tuyến tính 33 VI ET M AT HS .N ET Mục lục 8. Giả sử A là một tập gồm đúng n phần tử. Chứng minh rằng tập hợp P(A) các tập con của A cĩ đúng 2n phần tử. 9. Chứng minh rằng tập hợp R + các số thực dương cĩ lực lượng continum. (Gợi ý: Xét ánh xạ exp : R Đ R +, với exp(x) = ex.) 10. Cho hai số thực a, b với a   b. Chứng minh rằng khoảng số thực (a, b) = tx P R | a   x   bu cĩ lực lượng continum. (Gợi ý: Xét ánh xạ φ : (a, b)Đ R + xác định bởi φ(x) = a
xx
b .) 11. Một số thực được gọi là một số đại số nếu nĩ là nghiệm của một phương trình đa thức nào đĩ với các hệ số nguyên. Chứng minh rằng tập các số đại số là một tập đếm được. Từ đĩ suy ra rằng tập hợp các số thực khơng phải là số đại số là một tập vơ hạn khơng đếm được. 12. Lập bảng cộng và bảng nhân của vành Z /n với n = 12 và n = 15. Dựa vào bảng, tìm các phần tử khả nghịch đối với phép nhân trong hai vành đĩ. 13. Gọi (Z /n) là tập hợp các phần tử khả nghịch đối với phép nhân trong Z /n. Chứng minh rằng (Z /n) = t[x]| x và n nguyên tố cùng nhauu. 14. Cho R là một vành cĩ đơn vị. Gọi R là tập hợp các phần tử khả nghịch đối với phép nhân trongR. Chứng minh rằngR là một nhĩm đối với phép nhân của R. 15. Cho R là một vành cĩ đơn vị 1  0 và các phần tử x, y P R. Chứng minh rằng (a) Nếu xy và yx khả nghịch thì x và y khả nghịch. (b) NếuR khơng cĩ ước của khơng và xy khả nghịch thì x và y khả nghịch. 16. Cho R là một vành hữu hạn. Chứng minh rằng (a) Nếu R khơng cĩ ước của khơng thì nĩ cĩ đơn vị và mọi phần tử khác khơng củaR đều khả nghịch. (Gợi ý: Các phép nhân bên phải hoặc bên trái với một phần tử cố định khác khơng đều là các song ánh RĐ R.) (b) NếuR cĩ đơn vị thì mọi phần tử khả nghịch một phía trongR đều khả nghịch. 17. Chứng minh rằng tập hợp các số thực Q ( ? 2) = ta+ b ? 2| a, b P Q u lập nên một trường với các phép tốn cộng và nhân thơng thường. 34 Đại số tuyến tính 0.8. Bài tập 18. Chứng minh rằng các trườngQ ( ? 2) vàQ ( ? 3) khơng đẳng cấu với nhau. 19. Chứng minh rằng nếu số phức z R R thì trường gồm các phần tử cĩ dạng R (z) = ta+ bz| a, b P R u trùng với trường số phức C . 20. Chứng minh rằng các trường C và Z /p, với p nguyên tố, khơng là trường được sắp tồn phần đối với bất kỳ thứ tự nào. 21. Chứng minh rằng ánh xạ φ : R Đ C  xác định bởi cơng thức φ(x) = cos x+ i sinx là một đồng cấu từ nhĩmR với phép cộng vào nhĩmC  với phép nhân. Tìm tập giá trị của φ. Đồng cấu φ cĩ phải là một tồn cấu hay một đơn cấu khơng? 22. Chứng minh rằng đối với số phức z: z = z¯ ðđ z P R , z =
z¯ ðđ z là thuần ảo. 23. Khi nào thì tích của hai số phức là một số thực? Khi nào thì tổng và tích của hai số phức đều là số thực? 24. Tính i77, i99, i
57, in, (1 + i)n với n P Z . 25. Chứng minh các đẳng thức (1 + i)8n = 24n, (1 + i)4n = (
1)n22n, (n P Z ). 26. Chứng minh rằng nếu z + z
1 = 2 cosφ trong đĩ φ P R thì zn + z
n = 2 cosnφ, với mọi n P N . 27. Tính (a)1
2i 4 + 3i , (b) (1
i) n (1
? 3i)n , (c)(1 + ? 3i)n (1 + i)n+1 . 28. (a) Tìm dạng lượng giác của số phức (1 + itgφ)/(1
itgφ), (b) Trên mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm tương ứng với tz = (1 + ti)/(1
ti)| t P R u. 29. Đẳng thức sau đây cĩ đúng khơng ns ? zs = n ? z, trong đĩ z P C , n, s P N ? Đại số tuyến tính 35 VI ET M AT HS .N ET Mục lục 30. (a) Tìm các căn bậc ba của 1 + i, và 1
? 3i . (b) Tìm các căn bậc n của i, 1
i, và 1 + ? 3i . 31. Chứng minh rằng tổng của tất cả các căn bậc n của một số phức bất kỳ đều bằng 0. 32. Phân tích các đa thức sau đây thành các nhân tử bất khả quy trong các vành R [X] và C [X]: (a) X3 + 3X2 + 5X + 3, (b) X3
X2
X
2. 33. Chứng minh rằng đa thức X3m + X3n+1 + X3p+2 chia hết cho đa thức X2 +X + 1, với mọim,n, p nguyên dương. 34. Tìm tất cả các bộ ba nguyên dươngm,n, p sao cho đa thứcX3m
X3n+1+ X3p+2 chia hết cho đa thức X2
X + 1. 36 Đại số tuyến tính Chương 1 Khơng gian vectơ Đối tượng ban đầu của mơn Đại số tuyến tính là việc giải và biện luận các hệphương trình tuyến tính. Tuy vậy, để cĩ thể hiểu thấu đáo điều kiện đảm bảo cho một hệ phương trình tuyến tính cĩ nghiệm và cấu trúc nghiệm của nĩ, người ta đã đưa ra khái niệm khơng gian véctơ và khái niệm này đã trở thành một trong những trụ cột của mơn Đại số tuyến tính. Khơng gian véctơ sau đĩ đã được sử dụng phổ biến trong mọi lĩnh vực của tốn học. . . . . 1.1 Khái niệm khơng gian véctơ Trong suốt chương này, ta luơn giả sử K là một trường. Các phần tử của V được gọi là các véctơ, các phần tử củaK được gọi là các vơ hướng. Bốn tiên đề đầu nĩi rằng V là một nhĩm abel đối với phép cộng. Các tiên đề (V5) - (V7) nĩi rằng phép nhân với vơ hướng cĩ tính phân phối đối với phép cộng vơ hướng, phân phối đối với phép cộng véctơ và cĩ tính chất của một "tác động''. Tiên đề (V8) nĩi rằng phép nhân với vơ hướng được chuẩn hố. Một khơng gian véctơ trênK cịn được gọi là mộtK -khơng gian véctơ, hay đơn giản: một khơng gian véctơ, nếu K đã rõ. Khi K = R , V được gọi là một khơng gian véctơ thực. Khi K = C , V được gọi là một khơng gian véctơ phức. Ví dụ 1.1.2 (a) Các véctơ tự do trong hình học sơ cấp với các phép tốn cộng véctơ và nhân véctơ với số thực lập nên một khơng gian véctơ thực. (b) Tập hợp các đa thức K [X] (của một ẩn X , với hệ số trong K ) với phép cộng đa thức và phép nhân đa thức với vơ hướng thơng thường lập nên một khơng gian véctơ trên trường K . 37 VI ET M AT HS .N ET Chương 1. Khơng gian vectơ Định nghĩa 1.1.1 Tập hợp V  H được gọi là một khơng gian véctơ trênK nếu nĩ được trang bị hai phép tốn, gồm (a) Phép cộng véctơ: + : V  V Đ V (α, β) ÞĐ α+ β, (b) Phép nhân véctơ với vơ hướng:  : K  V Đ V (a, α) ÞĐ aα; Các phép tốn này thoả mãn những điều kiện (hoặc tiên đề) sau đây: (V1) (α + β) + γ = α + (β + γ), @α, β, γ P V, (V2) D0 P V : 0 + α = α + 0 = α, @α P V, (V3) @α P V, Dα1 P V : α+ α1 = α1 + α = 0, (V4) α+ β = β + α, @α, β P V, (V5) (a+ b)α = aα+ bα, @a, b P K , @α P V, (V6) a(α + β) = aα + aβ, @a P K , @α, β P V, (V7) a(bα) = (ab)α, @a, b P K , @α P V, (V8) 1α = α, @α P V. (c) K là một khơng gian véctơ trên chính nĩ đối với phép cộng và phép nhân của trường K . R vừa là một Q -khơng gian véctơ vừa là một R -khơng gian véctơ. C là một khơng gian véctơ đồng thời trên các trườngQ , R và C . (d) Tập hợp t0u gồm chỉ một véctơ 0 là một khơng gian véctơ trên mỗi trường K , với các phép tốn tầm thường 0 + 0 = 0, a0 = 0, @a P K . (e) Gọi K n là tập hợp gồm tất cả các hàng n-thành phần (x1, ..., xn) với xi P K . Nĩ lập nên một K -khơng gian véctơ với hai phép tốn sau đây: (x1, ..., xn) + (y1, ..., yn) = (x1 + y1, ..., xn + yn), a(x1, ..., xn) = (ax1, ..., axn), a P K . (f) Gọi K n là tập hợp gồm tất cả các cột n-thành phần  x1... xn , với xi P K . 38 Đại số tuyến tính 1.1. Khái niệm khơng gian véctơ Nĩ cũng lập nên một K -khơng gian véctơ với hai phép tốn sau đây: x1... xn +  y1... yn  =  x1 + y1... xn + yn  , a  x1... xn  =  ax1... axn  . Để trình bày cho gọn, chúng ta sẽ đơi khi ký hiệu véctơ  x1... xn  bởi (x1, ..., xn)t. (g) Một ma trậnm hàng, n cột với các phần tử trong K là một bảng cĩ dạng (aij)mn =  a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n . . ... . am1 am2 ... amn  , trong đĩ aij P K . GọiM(mn,K ) là tập hợp tất cả các ma trậnm hàng, n cột với các phần tử trong K . Nĩ lập nên một K -khơng gian véctơ với hai phép tốn sau đây: (aij)mn + (bij)mn = (aij + bij)mn, a(aij)mn = (aaij)mn. Chúng ta sẽ nghiên cứu kỹ hơn về các ma trận ở chương sau. (h) Tập hợp C[a, b] các hàm thực liên tục trên đoạn [a, b] € R là một khơng gian véctơ thực với các phép tốn thơng thường (f + g)(x) = f(x) + g(x), (af)(x) = af(x). (i) Giả sử V và W là các K -khơng gian véctơ. Khi đĩ, V W cũng là một K -khơng gian véctơ đối với các phép tốn định nghĩa như sau (v, w) + (v1, w1) = (v + v1, w + w1) a(v, w) = (av, aw), trong đĩ a P K , v, v1 P V,w,w1 P W . Khơng gian V W được gọi là tích trực tiếp của các khơng gian V vàW Giả sử V là một khơng gian véctơ. Các tính chất sau đây được suy ngay từ định nghĩa của khơng gian véctơ. Đại số tuyến tính 39 VI ET M AT HS .N ET Chương 1. Khơng gian vectơ (1) Phần tử trung lập của phép cộng 0 P V là duy nhất. Nĩ được gọi là véctơ khơng. Thật vậy, giả sử 01 cũng là một phần tử trung lập của phép cộng trong V . Khi đĩ 0 + 01 = 01 (vì 0 là trung lập) = 0 (vì 01 là trung lập). Vậy 0 = 01. (2) Với mọi véctơ α P V , phần tử đối α1 thoả mãn tiên đề (V3) là duy nhất. Nĩ sẽ được ký hiệu là (
α). Thật vậy, giả sử α11 cũng là một phần tử đối của α. Khi đĩ (α1 + α) + α11 = 0 + α 1 1 = α 1 1 (vì α1 là một phần tử đối) = α1 + (α+ α11) (theo tiên đề (V1)) = α1 + 0 = α1 (vì α11 là một phần tử đối). Như vậy, α1 = α11. Ta định nghĩa: α
β = α+ (
β). (3) Ta cĩ các quy tắc giản ước và chuyển vế: α + γ = β + γ ùđ α = β, α+ β = γ ùđ α = γ
β. Thật vậy, cộng (
γ) vào hai vế của đẳng thức α+γ = β+γ và cộng (
β) vào hai vế của đẳng thức α+ β = γ ta thu được điều phải chứng minh. (4) 0α = 0 và a0 = 0. Thật vậy, 0α+ 0 = 0α = (0 + 0)α = 0α+ 0α. Từ đĩ, theo luật giản ước, 0α = 0. Tương tự, a0 + 0 = a0 = a(0 + 0) = a0 + a0. Cũng theo luật giản ước, ta cĩ a0 = 0. (5) Nếu aα = 0 (với a P K , α P V ), thì hoặc a = 0 hoặc α = 0. Thật vậy, giả sử a  0, nhân hai vế của đẳng thức đã cho với a
1 P K ta cĩ α = 1α = (a
1a)α = a
1(aα) = a
10 = 0. 40 Đại số tuyến tính 1.2. Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính (6) (
a)α = a(
α) =
(aα), @a P K , α P V . Thật vậy, aα + (
a)α = (a+ (
a))α = 0α = 0. Từ đĩ, (
a)α =
(aα). Tương tự, aα + a(
α) = a(α + (
α)) = a0 = 0. Do đĩ, a(
α) =
(aα). (7) ( °m i=1 ai)( °n j=1 αj) = °m i=1 °n j=1(aiαj). Đẳng thức này cĩ thể được chứng minh bằng quy nạp theom và n, trên cơ sở sử dụng các tiên đề (V5) và (V6). 1.2 Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính Trong suốt tiết này ta luơn giả sử V là một khơng gian véctơ trên trường K . Định nghĩa 1.2.1 (Tổ hợp tuyến tính, biểu thị tuyến tính) (a) Một tổ hợp tuyến tính của các véctơ α1, ..., αn P V là một biểu thức dạng n¸ i=1 aiαi = a1α1 +   + anαn, trong đĩ ai P K . (b) Giả sử α = a1α1 +    + anαn P V . Đẳng thức đĩ được gọi là một biểu thị tuyến tính của α qua các véctơ α1, ..., αn (hoặc qua hệ véctơ (α1, ..., αn)). Khi cĩ đẳng thức đĩ, ta nĩi α biểu thị tuyến tính được qua α1, ..., αn. Nhận xét: Một véctơ cĩ thể cĩ nhiều biểu thị tuyến tính khác nhau qua một hệ véctơ. Ta nĩi hệ (α1, ..., αn) biểu thị tuyến tính được qua hệ (β1, ..., βm) nếu mỗi véctơ αi, trong đĩ 1 ¤ i ¤ n, biểu thị tuyến tính được qua (β1, ..., βm). Giả sử hệ (α1, ..., αn) biểu thị tuyến tính được qua hệ (β1, ..., βm), và hệ (β1, ..., βm) biểu thị tuyến tính được qua hệ (γ1, ..., γk). Khi đĩ, rõ ràng (α1, ..., αn) cũng biểu thị tuyến tính được qua hệ (γ1, ..., γk). Nếu hệ (α1, ..., αn) độc lập (hoặc phụ thuộc) tuyến tính, ta cũng nĩi các véctơ α1, ..., αn độc lập (hoặc phụ thuộc) tuyến tính. Đẳng thức a1α1 +    + anαn = 0 được gọi là một ràng buộc tuyến tính giữa các véctơ α1, ..., αn. Nếu a1 =    = an = 0 thì ta gọi ràng buộc đĩ Đại số tuyến tính 41 VI ET M AT HS .N ET Chương 1. Khơng gian vectơ Định nghĩa 1.2.2 (Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính.) (a) Hệ (α1, ..., αn) được gọi là độc lập tuyến tính nếu hệ thức a1α1 +   + anαn = 0 chỉ xảy ra khi a1 =    = an = 0. (b) Hệ (α1, ..., αn) được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu nĩ khơng độc lập tuyến tính. là tầm thường. Theo định nghĩa, hệ (α1, ..., αn) độc lập tuyến tính nếu và chỉ nếu mọi ràng buộc tuyến tính giữa α1, ..., αn đều là ràng buộc tầm thường. Hệ (α1, ..., αn) phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi cĩ các vơ hướng a1, ..., an P K khơng đồng thời bằng 0 để cho a1α1 +    + anαn = 0, nghĩa là cĩmột ràng buộc tuyến tính khơng tầm thường giữa các véctơα1, ..., αn. Ví dụ 1.2.3 (a) Trong khơng gian các véctơ tự do của hình học sơ cấp, hệ 2 véctơ là độc lập tuyến tính nếu và chỉ nếu chúng khơng đồng phương, hệ 3 véctơ là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi chúng khơng đồng phẳng, hệ 4 véctơ bất kỳ luơn luơn phụ thuộc tuyến tính. (b) Trong khơng gianR 2, các véctơ e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) độc lập tuyến tính. Thật vậy, hệ thức a1e1 + a2e2 = (a1, a2) = (0, 0) xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = 0. Với mọi α P R 2, các véctơ e1, e2, α phụ thuộc tuyến tính. Thật vậy, nếu α = (a, b) thì α
ae1
be2 = 0. (c) Hãy xét xem các véc tơ sau đây độc lập hay phụ thuộc tuyến tính trongC 3: α1 = (5, 3, 4), α2 = (3, 2, 3), α3 = (8, 3, 1). Ta muốn tìm xem cĩ hay khơng một ràng buộc tuyến tính khơng tầm thường giữa các véctơ đĩ, tức là cĩ hay khơng các số phức x1, x2, x3 khơng đồng thời bằng 0 sao cho: x1(5, 3, 4) + x2(3, 2, 3) + x3(8, 3, 1) = (0, 0, 0). 42 Đại số tuyến tính 1.2. Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính Phương trình véctơ đĩ tương đương với hệ phương trình $ & % 5x1 + 3x2 + 8x3 = 0 3x1 + 2x2 + 3x3 = 0 4x1 + 3x2 + 1x3 = 0. Hệ phương trình này cĩ thể giải bằng cách khử thơng thường. Trước hết, nhân phương trình cuối lần lượt với (
8) và (
3) rồi cộng vào các phương trình thứ nhất và thứ hai, ta thu được: $ & %
27x1
21x2 = 0
9x1
7x2 = 0 4x1 + 3x2 + x3 = 0. Hai phương trình đầu của hệ này tương đương với nhau. Do đĩ, một nghiệm khơng tầm thường của hệ này là: x1 = 7, x2 =
9, x3 =
1. Như vậy, ba véctơ đã cho phụ thuộc tuyến tính. Nhận xét: Từ ví dụ trên ta thấy rằng việc xét xem một hệ véctơ độc lập hay phụ thuộc tuyến tính được đưa về việc giải một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất. Tương tự, việc xét xem một véctơ cĩ biểu thị tuyến tính được hay khơng qua một hệ véctơ được đưa về việc giải một hệ phương trình tuyến tính (nĩi chung khơng thuần nhất). Lý thuyết tổng quát về hệ phương trình tuyến tính sẽ được trình bày ở Chương III của cuốn sách này. Các tính chất sau đây là hệ quả trực tiếp của các định nghĩa. Các tính chất: (1) Hệ một véctơ (α) phụ thuộc tuyến tính nếu và chỉ nếu α = 0. Thật vậy, vì 1  0 = 0 là một ràng buộc tuyến tính khơng tầm thường, nên hệ (0) phụ thuộc tuyến tính. Ngược lại, giả sử (α) phụ thuộc tuyến tính, tức là cĩ a  0 sao cho aα = 0. Nhân hai vế với a
1 ta cĩ α = (a
1a)α = a
1(aα) = a
10 = 0. (2) Với n ¡ 1, hệ (α1, ..., αn) phụ thuộc tuyến tính nếu và chỉ nếu một véctơ nào đĩ của hệ biểu thị tuyến tính được qua các véctơ cịn lại của hệ. Thật vậy, giả sử cĩ một ràng buộc tuyến tính khơng tầm thường a1α1 +    + anαn = 0. Đại số tuyến tính 43 VI ET M AT HS .N ET Chương 1. Khơng gian vectơ Nếu ai  0, ta nhân hai vế của đẳng thức trên với a
1i và thu được αi = ¸ ji (a
1i aj)αj. Ngược lại, nếuαi biểu thị tuyến tính được qua hệ (α1, ..., αi
1, αi+1, ..., αn), tức là cĩ các vơ hướng bj sao cho αi = b1α1 +    + bi
1αi
1 + bi+1αi+1 +    + bnαn, thì ta cĩ ràng buộc tuyến tính khơng tầm thường b1α1 +    + bi
1αi
1 + (
1)αi + bi+1αi+1 +    + bnαn = 0. Do đĩ, hệ (α1, ..., αn) phụ thuộc tuyến tính. (3) Mỗi hệ con của một hệ độc lập tuyến tính cũng là một hệ độc lập tuyến tính. Thật vậy, giả sử (α1, ..., αn) là một hệ độc lập tuyến tính. Xét một ràng buộc tuyến tính bất kỳ ai1αi1 +    + aikαik = 0 giữa các véctơ của một hệ con (αi1, ..., αik). Ta coi nĩ là một ràng buộc tuyến tính ° i aiαi = 0 giữa các véctơ (α1, ..., αn) bằng cách chọn ai = 0 với mọi i  i1, ..., ik. Bởi vì hệ (α1, ..., αn) độc lập tuyến tính, nên tất cả các hệ số của ràng buộc đều bằng 0: a1 = a2 =    = an = 0. Do đĩ, hệ con (αi1, ..., αik) độc lập tuyến tính. Một cách phát biểu khác của tính chất trên là như sau: (4) Mỗi hệ véctơ chứa một hệ con phụ thuộc tuyến tính cũng là một hệ phụ thuộc tuyến tính. Nĩi riêng, mỗi hệ chứa véctơ 0 đều phụ thuộc tuyến tính. (5) Giả sử hệ (α1, ..., αn) độc lập tuyến tính. Khi đĩ hệ (α1, ..., αn, β) phụ thuộc tuyến tính nếu và chỉ nếu β biểu thị tuyến tính được qua (α1, ..., αn). Trong trường hợp đĩ, biểu thị tuyến tính này là duy nhất. Thật vậy, nếu (α1, ..., αn, β) phụ thuộc tuyến tính, thì cĩ một ràng buộc tuyến tính khơng tầm thường a1α1 +    + anαn + bβ = 0. Khi đĩ, b  0, vì nếu trái lại thì cĩ một ràng buộc tuyến tính khơng tầm thường a1α1 +    + anαn = 0 giữa các véctơ của hệ độc lập tuyến tính 44 Đại số tuyến tính 1.3. Cơ sở và số chiều của khơng gian véctơ (α1, ..., αn). Điều này vơ lý. Vì b  0, nên ta cĩ biểu thị tuyến tính sau đây của β qua (α1, ..., αn): β =
n¸ i=1 (b
1ai)αi. Ngược lại, mỗi biểu thị tuyến tính như thế β = n¸ i=1 biαi đều dẫn tới một ràng buộc tuyến tính khơng tầm thường °n i=1 biαi
β = 0 giữa các vétơ của hệ (α1, ..., αn, β). . Do đĩ, hệ này phụ thuộc tuyến tính. Giả sử cĩ hai biểu thị tuyến tính của β qua hệ (α1, ..., αn): β = b1α1 +    + bnαn = b11α1 +    + b 1 nαn. Khi đĩ 0 = (b1
b11)α1 +   + (bn
b1n)αn. Do (α1, ..., αn) độc lập tuyến tính, nên hệ thức trên kéo theo b1 = b 1 1,    , bn = b 1 n. Nhận xét 1.2.4 Các khái niệm tổ hợp tuyến tính, biểu thị tuyến tính, độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính được mở rộng cho hệ tuỳ ý (cĩ thể cĩ vơ hạn véctơ) như sau. Giả sử (αi)iPI là một hệ véctơ tuỳ ý của K -khơng gian véctơ V . Một tổ hợp tuyến tính của hệ này là một tổng ° iPI aiαi trong đĩ ai P K , và hầu hết (cĩ thể trừ một số hữu hạn) ai đều bằng 0. Như thế, tổng này thật ra là một tổng hữu hạn, và do đĩ cĩ nghĩa trong V . Trên cơ sở đĩ, các khái niệm biểu thị tuyến tính, độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính được định nghĩa đối với họ đĩ. Ví dụ: Trong khơng gian véctơ các đa thứcK [X], hệ vơ hạn véctơ (1, X,X2, ...) là một hệ độc lập tuyến tính. 1.3 Cơ sở và số chiều của khơng gian véctơ Số chiều của một khơng gian véctơ là chỉ số đo độ "lớn'', độ "thoải mái'' của khơng gian véctơ đĩ. Đại số tuyến tính 45 VI ET M AT HS .N ET Chương 1. Khơng gian vectơ Định nghĩa 1.3.1 (a) Một hệ véctơ của V được gọi là một hệ sinh của V nếu mọi véctơ của V đều biểu thị tuyến tính được qua hệ đĩ. (b) Một hệ véctơ của V được gọi là một cơ sở của V nếu mọi véctơ của V đều biểu thị tuyến tính duy nhất qua hệ này. Như vậy, mỗi cơ sở đều là một hệ sinh. Dưới đây ta sẽ nghiên cứu sâu hơn mối quan hệ giữa các khái niệm hệ sinh, cơ sở và độc lập tuyến tính. Ta cần thuật ngữ sau đây: Một hệ véctơ của khơng gian V được gọi là độc lập tuyến tính cực đại nếu nĩ độc lập tuyến tính và nếu thêm bất kỳ véctơ nào của V vào hệ đĩ thì hệ mới thu được trở thành phụ thuộc tuyến tính. Định lý 1.3.1 Cho hệ hữu hạn các véctơ (α1, ..., αn) của V . Khi đĩ các khẳng định sau đây là tương đương: (i) (α1, ..., αn) là một cơ sở của V . (ii) (α1, ..., αn) là một hệ sinh độc lập tuyến tính của V . (iii) (α1, ..., αn) là một hệ véctơ độc lập tuyến tính cực đại của V . Chứng minh: (i) ùđ (ii) : (α1, ..., αn) là một cơ sở của V nên nĩ là một hệ sinh của V . Hơn nữa, véctơ 0 cĩ biểu thị tuyến tính duy nhất qua (α1, ..., αn): 0 = 0α1 +    + 0αn. Nĩi cách khác, hệ thức a1α1 +    + anαn = 0 tương đương với a1 = a2 =    = an = 0. Điều này cĩ nghĩa là hệ (α1, ..., αn) độc lập tuyến tính. (ii) ùđ (iii) :Mọi véctơ β P V đều biểu thị tuyến tính được qua (α1, ..., αn), cho nên hệ (α1, ..., αn, β) phụ thuộc tuyến tính. (iii) ùđ (i) : Vì hệ (α1, ..., αn) độc lập tuyến tính cực đại nên mỗi véctơ β P V đều biểu thị tuyến tính qua (α1, ..., αn). Nĩi cách khác, hệ này sinh ra V . Biểu thị tuyến tính của mỗi véctơ β P V qua hệ độc lập tuyến tính (α1, ..., αn) là duy nhất. l Định nghĩa 1.3.2 Khơng gian véctơ V được gọi là hữu hạn sinh nếu nĩ cĩ một hệ sinh gồm hữu hạn phần tử. Định lý 1.3.2 Giả sử V  t0u là một khơng gian véctơ hữu hạn sinh. Khi đĩ, V cĩ một cơ sở gồm hữu hạn phần tử. Hơn nữa, mọi cơ sở của V đều cĩ số phần tử bằng nhau. 46 Đại số tuyến tính 1.3. Cơ sở và số chiều của khơng gian véctơ Định nghĩa 1.3.3 (i) Số phần tử của mỗi cơ sở của K -khơng gian véctơ hữu hạn sinh V  t0u được gọi là số chiều (hay thứ nguyên) của V trên trường K , và được ký hiệu là dimV , hoặc rõ hơn dimK V . Nếu V = t0u, ta quy ước dimV = 0. (ii) Nếu V khơng cĩ một cơ sở nào gồm hữu hạn phần tử thì nĩ được gọi là một khơng gian véctơ vơ hạn chiều. Trên cơ sở kết quả này, ta đi đến định nghĩa sau đây. Để chuẩn bị cho việc chứng minh định lý trên, ta cần bổ đề sau đây. Bổ đề 1.3.4 Trong khơng gian véctơ V , giả sử hệ véctơ (α1, ..., αr) độc lập tuyến tính và biểu thị tuyến tính được qua hệ (β1, ..., βs). Khi đĩ r ¤ s. Chứng minh: Theo giả thiết, cĩ một biểu thị tuyến tính α1 = a1β1 +    + asβs (ai P K ). Vì hệ (α1, ..., αr) độc lập tuyến tính, nên α1  0. Do đĩ, cĩ ít nhất một vơ hướng ai  0. Khơng giảm tổng quát, ta giả sử a1  0. Khi đĩ, β1 biểu thị tuyến tính được qua hệ (α1, β2, ..., βs): β1 = a
1 1 α1
n¸ i=2 (a
11 ai)βi. Như vậy, hệ (α1, ..., αr) biểu thị tuyến tính qua hệ (β1, ..., βs); hệ thứ hai lại biểu thị tuyến tính qua hệ (α1, β2, ..., βs). Hệ quả là (α1, ..., αr) biểu thị tuyến tính qua (α1, β2, ..., βs). Ta sẽ chứngminh rằng (α1, ..., αr) biểu thị tuyến tính qua (α1, ..., αi, βi+1, ..., βs) với mọi i ¤ mintr, su (sai khác một phép đánh số lại các véctơ β1, ..., βs). Thật vậy, ở trên ta đã chứng minh khẳng định này cho i = 1. Giả sử khẳng định đã được chứng minh cho i. Ta sẽ chứng minh nĩ cịn đúng cho i + 1, nếu số này ¤ mintr, su. Theo giả thiết quy nạp, αi+1 biểu thị tuyến tính qua (α1, ..., αi, βi+1, ..., βs): αi+1 = b1α1 +    + biαi + ci+1βi+1 +    + csβs. Cĩ ít nhất một vơ hướng cj  0, bởi vì nếu trái lại thì αi+1 biểu thị tuyến tính qua (α1, ..., αi), điều này trái với giả thiết hệ (α1, ..., αr) độc lập tuyến tính. Nếu cần thì đánh số lại các véctơ βi+1, ..., βs, ta cĩ thể giả sử mà khơng giảm tổng quát ci+1  0. Kết hợp điều này với đẳng thức trên ta cĩ một biểu thị tuyến tính của βi+1 qua (α1, ..., αi+1, βi+2, ..., βs). Vì (α1, ..., αr) biểu thị tuyến tính qua (α1, ..., αi, βi+1, ..., βs), hệ này lại biểu thị tuyến tính qua (α1, ..., αi+1, βi+2, ..., βs), nên (α1, ..., αr) biểu thị tuyến tính qua (α1, ..., αi+1, βi+2, ..., βs). Đại số tuyến tính 47 VI ET M AT HS .N ET Chương 1. Khơng gian vectơ Nếu r ¡ s, áp dụng điều vừa được chứng minh với i = s, ta khẳng định (α1, ..., αr) biểu thị tuyến tính qua (α1, ..., αs). Điều này mâu thuẫn với tính độc lập tuyến tính của hệ (α1, ..., αr). Như vậy, ta cĩ r ¤ s. l Chứng minh Định lý 7.2.5. Giả sử (γ1, ..., γs) là một hệ sinh hữu hạn của V . Vì V  t0u, nên cĩ véctơ α  0 trong V . Hệ gồm một véctơ khác khơng (α1) độc lập tuyến tính. Nếu hệ này khơng độc lập tuyến tính cực đại, thì cĩ hệ (α1, α2) độc lập tuyến tính. Giả sử (α1, ..., αr) là một hệ độc lập tuyến tính trong V . Hệ này biểu thị tuyến tính qua (γ1, ..., γs). Theo Bổ đề 1.3.4, ta cĩ r ¤ s. Như thế quá trình chọn các véctơ α1, α2, ... để thu được một hệ độc lập tuyến tính phải dừng lại sau một số hữu hạn bước. Ta cĩ một hệ véctơ (α1, ..., αn) độc lập tuyến tính cực đại trong V , với n ¤ s. Theo Định lý 1.3.1, hệ này là một cơ sở của V . Giả sử (β1, ..., βm) cũng là một cơ sở của V . Vì (α1, ..., αn) độc lập tuyến tính và biểu thị tuyến tính được qua (β1, ..., βm), nên theo Bổ đề 1.3.4, ta cĩ n ¤ m. Tráo đổi vai trị của hai cơ sở nĩi trên, ta cũng cĩ m ¤ n. Như vậy, m = n. l Ví dụ 1.3.5 (a) K n là một K -khơng gian véctơ n chiều. Các véctơ sau đây lập nên một cơ sở, được gọi là cơ sở chính tắc của khơng gian K n: e1 =  1 0 ... 0  , e2 =  0 1 ... 0  , ..., en =  0 0 ... 1  . Thật vậy, véctơ 0 P K n là véctơ cĩ mọi thành phần bằng 0 P K , vì thế hệ thức a1e1 +    + anen =  a1 a2 ... an  =  0 0 ... 0  xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 =    = an = 0. Như vậy, hệ (e1, e2, ..., en) độc lập tuyến tính trong K n. Hệ này sinh ra K n, bởi vì mỗi véctơ β = (b1, b2, ..., bn) t đều cĩ biểu thị tuyến tính β = b1e1 + b2e2 +    + bnen. (b) C là một C -khơng gian véctơ 1 chiều với cơ sở (1). Đồng thời C cũng là một R -khơng gian véctơ 2 chiều với cơ sở (1, i), trong đĩ i là đơn vị 48 Đại số tuyến tính 1.3. Cơ sở và số chiều của khơng gian véctơ ảo. Điều này suy từ chỗ mọi số phức z đều cĩ biểu thị duy nhất dưới dạng z = a+ bi, trong đĩ a, b P R . Một cách tổng quát C n là một khơng gian véctơ thực 2n chiều. (c) Đường thẳng số thực R là một khơng gian véctơ vơ hạn chiều trên trường số hữu tỷ Q . Thật vậy, giả sử phản chứng (α1, ..., αn) là một cơ sở của R trên Q . Mỗi phần tử β P R cĩ biểu thị tuyến tính duy nhất β = a1α1 +   + anαn với ai P Q . Tương ứng R Đ Q n, β ÞĐ (a1, ..., an) là một song ánh. Do đĩR cĩ lực lượng đếm được. Điều vơ lý này bác bỏ giả thiết phản chứng. Mệnh đề 1.3.6 Giả sử V là một khơng gian véctơ hữu hạn sinh. Khi đĩ, mọi hệ sinh của V đều chứa một cơ sở. Mọi hệ độc lập tuyến tính trong V đều cĩ thể bổ sung để trở thành một cơ sở của V . Nếu dimV = n, thì mọi hệ độc lập tuyến tính gồm n véctơ của V đều là một cơ sở. Chứng minh: Giả sử Γ là một hệ sinh của V . Gọi Γ1 là một hệ độc lập tuyến tính cực đại trong Γ. Khi đĩ Γ biểu thị tuyến tính qua Γ1, và do đĩ V cũng biểu thị tuyến tính qua Γ1. Như thế Γ1 là một hệ sinh độc lập tuyến tính, tức là một cơ sở của V . (Theo Bổ đề 1.3.4, Γ1 cĩ hữu hạn phần tử. Cụ thể hơn, số phần tử của Γ1 khơng vượt quá số phần tử của mọi hệ sinh hữu hạn của V .) Giả sử (α1, ..., αi) là một hệ độc lập tuyến tính trong V . Nếu hệ này khơng độc lập tuyến tính cực đại thì cĩ thể bổ sung các véctơ αi+1, αi+2, ... để hệ thu được vẫn độc lập tuyến tính. Quá trình này phải dừng lại sau một số hữu hạn bước, bởi vì theo Định lý 7.2.5, dimV   8. Ta thu được hệ (α1, ..., αn) độc lập tuyến tính cực đại trong V , tức là một cơ sở của V . Nếu dimV = n, thì mọi hệ độc lập tuyến tính gồm n véctơ (β1, ..., βn) đều cực đại. Thậy vậy, giả sử phản chứng cĩ thể thêm vào hệ đĩ một véctơ βn+1 nào đĩ của V sao cho hệ thu được vẫn độc lập tuyến tính. Khi đĩ, hệ (β1, ..., βn+1) biểu thị tuyến tính qua một cơ sở (α1, ..., αn) nào đĩ của V , cho nên theo Bổ đề 1.3.4, ta cĩ n+1 ¤ n. Điều vơ lý này bác bỏ giả thiết phản chứng. Vậy, theo Định lý 1.3.1, (β1, ..., βn) là một cơ sở của V . l Trong suốt giáo trình này, nếu khơng nĩi gì ngược lại, chúng ta chỉ nghiên cứu các khơng gian véctơ hữu hạn chiều. Nhận xét: Người ta chứng minh được rằng, trong một khơng gian véctơ vơ hạn sinh (tức là khơng hữu hạn sinh), hai cơ sở bất kỳ đều cĩ cùng lực lượng. Nhưng một hệ véctơ độc lập tuyến tính cĩ cùng lực lượng với cơ sở thì khơng nhất thiết là một cơ sở. Chẳng hạn, hệ véctơ (1, X,X2, ...) là một cơ sở của K -khơng gian véctơ K [X]. Hệ (X,X2, X3, ...) độc lập tuyến tính và cĩ cùng lực lượng với cơ sở Đại số tuyến tính 49 VI ET M AT HS .N ET Chương 1. Khơng gian vectơ (1, X,X2, ...), nhưng khơng phải là một cơ sở củaK [X], bởi vì đa thức 1 khơng biểu thị tuyến tính được qua hệ đĩ. Giả sử (α1, ..., αn) là một cơ sở của khơng gian véctơ V . Mỗi véctơ α P V cĩ biểu thị tuyến tính duy nhất α = a1α1 +    + anαn, ai P K . Định nghĩa 1.3.7 (Toạ độ). Bộ vơ hướng (a1, ..., an) xác định bởi điều kiện α = ° i aiαi được gọi là toạ độ của véctơ α trong cơ sở (α1, ..., αn). Vơ hướng ai được gọi là toạ độ thứ i của α trong cơ sở đĩ. Giả sử α và β cĩ toạ độ trong cơ sở (α1, ..., αn) tương ứng là (a1, ..., an) và (b1, ..., bn). Khi đĩ, từ tính độc lập tuyến tính của (α1, ..., αn) suy ra rằng α = β nếu và chỉ nếu (a1, ..., an) = (b1, ..., bn). Thật vậy, α = β khi và chỉ khi α
β = (a1
b1)α1 +    + (an
bn)αn = 0. Điều này xảy ra nếu và chỉ nếu a1 = b1, ..., an = bn. Hơn nữa, α + β cĩ toạ độ là (a1 + b1, ..., an + bn) và kα cĩ toạ độ là (ka1, ..., kan), (k P K ), trong hệ cơ sở (α1, ..., αn). Bây giờ ta xét xem toạ độ của một véctơ trong những cơ sở khác nhau cĩ liên hệ với nhau như thế nào. Giả sử (β1, ..., βn) cũng là một cơ sở của khơng gian véctơ V . Mỗi véctơ βj biểu thị tuyến tính được qua cơ sở (α1, ..., αn), tức là cĩ các vơ hướng cij để cho βj = n¸ i=1 cijαi, (j = 1, ..., n). Giả sửα cĩ toạ độ là (a1, ..., an) và (b1, ..., bn) tương ứng trong các cơ sở (α1, ..., αn) và (β1, ..., βn). Ta cĩ α = n¸ j=1 bjβj = n¸ j=1 n¸ i=1 bjcijαi = n¸ i=1 ( n¸ j=1 cijbj)αi = n¸ i=1 aiαi. Do tính duy nhất của toạ độ của α trong cơ sở (α1, ..., αn), ta nhận được ai = n¸ j=1 cijbj, (i = 1, ..., n). 50 Đại số tuyến tính 1.4. Khơng gian con - Hạng của một hệ véctơ Người ta gọi hệ thức nĩi trên là cơng thức đổi toạ độ khi đổi cơ sở. Ma trận C = (cij)nn được gọi là ma trận chuyển từ cơ sở (α1, ..., αn) sang cơ sở (β1, ..., βn). Cơng thức đổi toạ độ sẽ được diễn đạt dưới một hình thức dễ tiếp nhận hơn nhờ khái niệm tích của các ma trận, sẽ được nghiên cứu ở chương sau. 1.4 Khơng gian con - Hạng của một hệ véctơ Giả sử V là một khơng gian véctơ trên trường K . Chúng ta quan tâm đến những tập con của V cĩ tính chất là chúng cũng lập nên những khơng gian véctơ đối với các phép tốn là thu hẹp của những phép tốn tương ứng trên V . Ta cĩ định nghĩa hình thức sau đây: Định nghĩa 1.4.1 Tập con khơng rỗng W € V được gọi là một khơng gian véctơ con của V nếuW khép kín đối với hai phép tốn trên V , nghĩa là nếu α + β P W, @α, β P W, aα P W, @a P K , @α P W. Nhận xét: Khi đĩ,W với hai phép tốn là hạn chế của hai phép tốn trên V cũng là một khơng gian véctơ trên K . Thật vậy, các tiên đề (V1), (V4), (V5), (V6), (V7), (V8) nghiệm đúng với mọi phần tử của V , nên cũng nghiệm đúng với mọi phần tử của W . Ta chỉ cần kiểm tra lại các tiên đề (V2), (V3) nĩi về sự tồn tại của các phầnt ử 0 và phần tử đối. Vì W  H, nên cĩ ít nhất một phần tử α P W . Khi đĩ 0 = 0α P W . Phần tử 0 P V đĩng vai trị phần tử 0 P W . mặt khác, với mọi α P W , ta cĩ (
α) = (
1)α P W . Đĩ cũng chính là phần tử đối của α trongW . Ví dụ 1.4.2 (a) t0u và V là hai khơng gian véctơ con của V . Chúng được gọi là các khơng gian véctơ con tầm thường của V . (b) Đường thẳng số thực R là một R -khơng gian véctơ con của mặt phẳng phức C . (c) Tập hợp các đa thức bậc ¤ n là một khơng gian véctơ con của K [X]. (d) Khơng gian C1[a, b] các hàm khả vi liên tục trên [a, b] là một khơng gian véctơ con của khơng gian các hàm liên tục C[a, b]. Đại số tuyến tính 51 VI ET M AT HS .N ET Chương 1. Khơng gian vectơ (e) Giả sửm ¤ n. Khi đĩ tập hợp các véctơ cĩ dạng x1 ... xm 0 ... 0  , trong đĩ x1, ..., xm P K , là một khơng gian véctơ con cĩ số chiều bằng m của khơng gian K n. Mệnh đề 1.4.3 Nếu W là một khơng gian véctơ con của V thì dimW ¤ dimV . Đẳng thức dimW = dimV xảy ra khi và chỉ khiW = V . Chứngminh: VìW là một khơng gian véctơ con của V , nênmỗi hệ độc lập tuyến tính trongW thì cũng độc lập tuyến tính trong V . Do đĩ dimW ¤ dimV . Đẳng thức dimW = dimV xảy ra khi và chỉ khi mỗi cơ sở củaW cũng là một cơ sở của V . Điều này tương đương vớiW = V . l Chứng Mệnh đề 1.4.4 Giao của một họ bất kỳ (cĩ thể vơ hạn) các khơng gian véctơ con của V lại là một khơng gian véctơ con của V . minh: Giả sử tViuiPI là một họ các khơng gian con của V . Vì mỗi Vi khép kín đối với phép cộng véctơ và phép nhân véctơ với vơ hướng, nên giao của chúng XiPIVi cũng cĩ tính chất đĩ. l Định nghĩa 1.4.5 Giả sửX là một tập con của khơng gian véctơ V . Giao của tất cả các khơng gian véctơ con của V chứaX được gọi là khơng gian véctơ con của V sinh bởiX và được ký hiệu là L(X). Từ định nghĩa suy ngay ra rằng L(X) là khơng gian véctơ con nhỏ nhất của V chứa X . Hai trường hợp đặc biệt là L(H) = t0u và L(W ) = W đối với mọi khơng gian véctơ con W của V . Chứng minh: Tập hợp các tổ hợp tuyến tính của các phần tử của X tất nhiên là một khơng gian véctơ con chứa X . Mặt khác, mỗi tổ hợp tuyến tính của các phần tử của X đều nằm trong mọi khơng gian véctơ con chứa X . Vậy tập hợp các tổ hợp tuyến tính của các phần tử của X chính là khơng gian véctơ con bé nhất của V chứa X . l Ta gọi một tập con của X là độc lập tuyến tính cực đại trong X nếu tập đĩ độc lập tuyến tính và nếu thêm bất kỳ véctơ nào củaX vào tập đĩ thì ta thu được một tập phụ thuộc tuyến tính. 52 Đại số tuyến tính 1.5. Tổng và tổng trực tiếp Mệnh đề 1.4.6 Giả sử X  H. Khi đĩ L(X) là tập hợp các tổ hợp tuyến tính của các phần tử của X . Nĩi riêng, nếu X = tγ1, ..., γku thì L(γ1, ..., γk) = t k¸ i=1 aiγi|ai P K u. Định nghĩa 1.4.7 Số chiều của khơng gian L(X) được gọi là hạng của tập (hoặc hệ) véctơX và được ký hiệu là rank(X). Mệnh đề sau đây chỉ ra cách tính hạng của một tập véctơ trong thực hành. Mệnh đề 1.4.8 Hạng của tập véctơ X bằng số véctơ của mỗi tập con độc lập tuyến tính cực đại trong X . Chứng minh: Nếu tập con A độc lập tuyến tính cực đại trongX thì mọi phần tử của X biểu thị tuyến tính qua A, do đĩ mọi phần tử của L(X) cũng vậy. Nĩi cách khác A cũng là độc lập tuyến tính cực đại trong L(X). Vậy số phần tử của A là số chiều của khơng gian véctơ L(X). l Hệ quả 1.4.9 Hai tập con độc lập tuyến tính cực đại trong X cĩ cùng số phần tử. Nhận xét: Trong Chương III, Nhận xét 8.2, chúng ta sẽ giới thiệu một phương pháp đơn giản, dễ thực hành để tính hạng của một hệ véctơ trong K n hoặc K n. Phương pháp này dựa trên nhận xét là hạng của một hệ véctơ khơng thay đổi sau các phép biến đổi sơ cấp. Người ta dùng các phép biến đổi sơ cấp để đưa hệ véctơ đã cho về dạng "tam giác trên''. Số các phần tử khác 0 trên đường chéo của "tam giác'' này chính là hạng của hệ véctơ. 1.5 Tổng và tổng trực tiếp Giả sửW1, ...,Wm là các khơng gian véctơ con của V . Tập hợp W1 +    +Wm = tα1 +    + αm|αi P Wi, i = 1, ...,mu hiển nhiên lập nên một khơng gian véctơ con của V . Mỗi véctơ củaW1 +    +Wm cĩ thể viết dưới dạng α = α1 +    + αm, αi P Wi. Cách viết này nĩi chung khơng duy nhất. Chẳng hạn, nếuW1 XW2  t0u, thì mỗi véctơ α P W1XW2zt0u cĩ hai biểu thị α = α+0 = 0+α, trong đĩ véctơ thứ nhất trong tổng thuộcW1 cịn véctơ thứ hai trong tổng thuộcW2. Đại số tuyến tính 53 VI ET M AT HS .N ET Chương 1. Khơng gian vectơ Định nghĩa 1.5.1 Khơng gian véctơ W1 +    + Wm được gọi là tổng của các khơng gian W1, ...,Wm. Nĩ cũng được ký hiểu bởi °m i=1Wi. Định nghĩa 1.5.2 Nếu mọi véctơ trong tổngW1+   +Wm đều viết được duy nhất dưới dạng α = α1 +   + αm, với αi P Wi (i = 1, ...,m) thìW1 +    +Wm được gọi là tổng trực tiếp của các khơng gianW1, ...,Wm, và được ký hiệu làW1 `    `Wm. Định lý 1.5.1 W1 +    +Wm là tổng trực tiếp của W1, ...,Wm nếu và chỉ nếu một trong hai điều kiện tương đương sau đây được thoả mãn: (i) Wi X ( ° jiWj) = t0u, (i = 1, ...,m), (ii) Wi X ( ° j¡iWj) = t0u, (i = 1, ...,m
1). Chứng minh: Giả sửW1 +   +Wm là một tổng trực tiếp. Khi đĩ điều kiện (i) được thoả mãn. Thật vậy, giả sử phản chứng cĩ chỉ số i sao cho Wi X ( ¸ ji Wj)  t0u. Gọi γ  0 là một véctơ của giao đĩ. Vì γ P ° jiWj, nên γ cĩ thể viết dưới dạng γ = ¸ ji γj, γj P Wj. Ta đặt γi =
γ, và thu được hai cách biểu thi khác nhau của 0 dưới dạng tổng của những phần tử củaWi : 0 = γ1 +    + γm = 0 +    + 0. Điều vơ lý này bác bỏ giả thiết phản chứng. Rõ ràng điều kiện (i) kéo theo điều kiện (ii). Giả sử điều kiện (ii) được thoả mãn. Nếu α P W1 +    +Wm cĩ hai biểu thị α = α1 +    + αm = β1 +    + βm, với αi, βi P Wi, thì α1
β1 = ¸ j¡1
(αj
βj) P W1 X ( ¸ j¡1 Wj) = t0u. Do đĩ α1 = β1 và α2 +    + αm = β2 +    + βm. Lặp lại quá trình lập luận trên để cĩ α2 = β2, ..., αm = βm. VậyW1 +   + Wm là một tổng trực tiếp. l 54 Đại số tuyến tính 1.5. Tổng và tổng trực tiếp Định lý 1.5.2 Giả sử U vàW là các khơng gian véctơ con của một khơng gian véctơ hữu hạn chiều V . Khi đĩ dimU + dimW = dim(U +W ) + dim(U XW ). Chứngminh: Giả sử (α1, ..., αr) là một cơ sở củaUXW . (NếuUXW = t0u, thì ta coi r = 0.) Ta bổ sung hệ này để cĩ một cơ sở (α1, ..., αr, β1, ..., βs) của U và một cơ sở (α1, ..., αr, γ1, ..., γt) củaW . Ta sẽ chứng tỏ rằng (α1, ..., αr, β1, ..., βs, γ1, ..., γt) là một cơ sở của U +W . Rõ ràng (α1, ..., αr, β1, ..., βs, γ1, ..., γt) là một hệ sinh củaU+W . Để chứng minh đĩ là một hệ độc lập tuyến tính, ta giả sử cĩ một ràng buộc tuyến tính a1α1 +    + arαr + b1β1 +    + bsβs + c1γ1 +    + ctγt = 0, trong đĩ ai, bj, ck P K . Véctơ a1α1 +    + arαr + b1β1 +    + bsβs =
c1γ1
  
ctγt vừa thuộc U (do biểu thức ở vế trái), vừa thuộcW (do biểu thức ở vế phải), nên nĩ thuộc U XW , và do đĩ biểu thị tuyến tính qua α1, ..., αr:
c1γ1
  
ctγt = d1α1 +    + drαr. Ta viết lại đẳng thức này như sau d1α1 +    + drαr + c1γ1 +    + ctγt = 0. Vì hệ (α1, ..., αr, γ1, ..., γt) độc lập tuyến tính, nên c1 =    = ct = d1 =    = dr = 0. Do đĩ a1α1 +    + arαr + b1β1 +    + bsβs = 0. Hệ véctơ (α1, ..., αr, β1, ..., βs) cũng độc lập tuyến tính, cho nên a1 =    = ar = b1 =    = bs = 0. Kết hợp điều này với các hệ thức c1 =    = ct = 0 ta suy ra hệ véctơ (α1, ..., αr, β1, ..., βs, γ1, ..., γt) độc lập tuyến tính, và do đĩ nĩ là một cơ sở của U +W . Đếm số véctơ của các cơ sở đã xây dựng cho U,W,U XW,U +W , ta cĩ dim(U +W ) = r + s+ t = (r + s) + (r + t)
r = dimU + dimW
dim(U XW ). l Hệ quả 1.5.3 dim(U `W ) = dimU + dimW. l Đại số tuyến tính 55 VI ET M AT HS .N ET Chương 1. Khơng gian vectơ Định nghĩa 1.5.4 Nếu V = U `W thìW được gọi là một phần bù tuyến tính của U trong V , và dimW = dimV
dimU được gọi là đối chiều của U trong V . Giả sử V = U `W . Khi đĩ mỗi véctơ v P V cĩ thể viết duy nhất dưới dạng v = u+ w, trong đĩ u P U , w P W . Ta định nghĩa một ánh xạ prU : V Đ U, prU(v) = u. Nĩ được gọi là phép chiếu của V lên U theo phươngW . Phép chiếu prW của V lênW theo phương U được định nghĩa tương tự. Phép chiếu cĩ các tính chất sau: prU(v + v 1) = prU(v) + prU(v 1), @v, v1 P V, prU(av) = aprU(v), @a P K , v P V. 1.6 Khơng gian thương Giả sử W là một khơng gian véctơ con của khơng gian V . Ta định nghĩa quan hệ  trên V như sau: α  β ðđ α
β P W. Dễ dàng kiểm tra lại rằng  là một quan hệ tương đương, tức là một quan hệ cĩ ba tính chất phản xạ, đối xứng và bắc cầu. Tập thương của V theo quan hệ  được ký hiệu là V /W . Lớp tương đương của phần tử α P V được ký hiệu là [α], hoặc α+W . Ta trang bị cho V /W hai phép tốn sau đây: [α] + [β] = [α + β], @α, β P V, a[α] = [aα], @a P K , α P V. Mệnh đề 1.6.1 Hai phép tốn nĩi trên được định nghĩa khơng phụ thuộc vào việc chọn đại biểu. Hơn nữa, V /W được trang bị hai phép tốn đĩ là một K -khơng gian véctơ. Định nghĩa 1.6.2 Khơng gian véctơ V /W được gọi là khơng gian thương của V theo khơng gian conW . 56 Đại số tuyến tính 1.6. Khơng gian thương Chứng minh Mệnh đề 1.6.1. Giả sử [α] = [α1], [β] = [β1], nghĩa là α
α1 P W,β
β1 P W . Khi đĩ, vìW là một khơng gian véctơ con, cho nên (α+ β)
(α1 + β1) = (α
α1) + (β
β1) P W. Điều này chứng tỏ rằng [α + β] = [α1 + β1]. Tương tự, nếu [α] = [α1], tức là α
α1 P W , thì aα
aα1 = a(α
α1) P W. Điều này cĩ nghĩa là [aα] = [aα1]. Phần tử trung lập của phép cộng trong V /W chính là [0] = 0 +W . Phần tử đối của [α] chính là [
α]. Dễ dàng kiểm tra rằng các tiên đề khác về khơng gian véctơ được thỗ mãn cho khơng gian V /W . l Hai trường hợp đặc biệt của khơng gian thương là V /V = t0u, V /t0u = V. Định lý 1.6.1 dimV /W = dimV
dimW. Chứng minh: Giả sử (α1, ..., αr) là một cơ sở củaW . (NếuW = t0u thì ta coi r = 0.) Ta bổ sung hệ véctơ nĩi trên để cĩ một cơ sở (α1, ..., αr, β1, ..., βs) của V . Ta sẽ chứng minh rằng ([β1], ..., [βs]) là một cơ sở của V /W . Giả sử cĩ một ràng buộc tuyến tính b1[β1] +    + bs[βs] = [0]. Điều này cĩ nghĩa là b1β1 +   + bsβs P W . Vì thế véctơ đĩ biểu thị tuyến tính qua cơ sở đã chọn củaW : b1β1 +    + bsβs = a1α1 +    + arαr. Vì hệ (α1, ..., αr, β1, ..., βs) độc lập tuyến tính, nên a1 =    = ar = b1 =    = bs = 0. Như thế, hệ ([β1], ..., [βs]) độc lập tuyến tính. Mặt khác, rõ ràng ([β1], ..., [βs]) là một hệ sinh của khơng gian V /W . Thật vậy, mỗi véctơ α P V biểu thị tuyến tính qua (α1, ..., αr, β1, ..., βs): α = c1α1 +    + crαr + d1β1 +    + dsβs (ci, dj P K ). Vì c1α1 +    + crαr P W , cho nên [α] = [d1β1 +    + dsβs] = d1[β1] +    + ds[βs]. Đại số tuyến tính 57 VI ET M AT HS .N ET Chương 1. Khơng gian vectơ Như vậy, mỗi véctơ [α] P V /W đều biểu thị tuyến tính được qua ([β1], ..., [βs]). Đếm số véctơ của các cơ sở đã xây dựng choW,V, V /W ta cĩ dimV /W = s = (r + s)
r = dimV
dimW. l Ta định nghĩa ánh xạ π : V Đ V /W, π(α) = [α] = α+W. và gọi nĩ là phép chiếu từ V lên V /W . Phép chiếu cĩ những tính chất sau đây: π(α+ β) = π(α) + π(β), @α, β P V, π(aα) = aπ(α), @a P K , β P V. Trong chương sau chúng ta sẽ nghiên cứu một cách cĩ hệ thống những ánh xạ cĩ hai tính chất như thế. Chúng được gọi là các ánh xạ tuyến tính. 1.7 Bài tập 1. Xét xem các tập hợp sau đây cĩ lập thành K -khơng gian véctơ hay khơng đối với các phép tốn thơng thường (được định nghĩa theo từng thành phần): (a) Tập hợp tất cả các dãy (x1, ..., xn) P K n thoả mãn điều kiện x1+   + xn = 0. (b) Tập hợp tất cả các dãy (x1, ..., xn) P K n thoả mãn điều kiện x1+   + xn = 1. (c) Tập hợp tất cả các dãy (x1, ..., xn) P K n thoả mãn điều kiện x1 = xn =
1. (d) Tập hợp tất cả các dãy (x1, ..., xn) P K n thoả mãn điều kiện x1 = x3 = x5 =    , x2 = x4 = x6 =    . (e) Tập hợp các ma trận vuơng (aij)nn đối xứng cấp n, nghĩa là các ma trận thoả mãn aij = aji, với 1 ¤ i, j ¤ n. 2. Tập hợp tất cả các dãy (x1, ..., xn) P R n với tất cả các thành phần x1, ..., xn đều nguyên cĩ lập thành một R -khơng gian vectơ hay khơng? 58 Đại số tuyến tính 1.7. Bài tập 3. Với các phép tốn thơng thường, Q cĩ là một R -khơng gian véctơ hay khơng? R cĩ là một C -khơng gian véctơ hay khơng? 4. Chứng minh rằng nhĩm Z khơng đẳng cấu với nhĩm cộng của bất kỳ một khơng gian véctơ trên bất kỳ trường nào. 5. Chứng minh rằng nhĩm abel A đối với phép cộng + cĩ thể trở thành một khơng gian véctơ trên trường F p nếu và chỉ nếu px = x+ x+    + x loooooooomoooooooon p = 0, @x P A. 6. Xét xem các véctơ sau đây độc lập hay phụ thuộc tuyến tính trong R 4: (a) e1 = (
1,
2, 1, 2), e2 = (0,
1, 2, 3), e3 = (1, 4, 1, 2), e4 = (
1, 0, 1, 3). (b) α1 = (
1, 1, 0, 1), α2 = (1, 0, 1, 1), α3 = (
3, 1,
2,
1). 7. Chứng minh rằng hai hệ véctơ sau đây là các cơ sở của C 3. Tìm ma trận chuyển từ cơ sở thứ nhất sang cơ sở thứ hai: e1 = (1, 2, 1), e2 = (2, 3, 3), e3 = (3, 7, 1); e11 = (3, 1, 4), e 1 2 = (5, 2, 1), e 1 3 = (1, 1,
6). 8. Chứng minh rằng hai hệ véctơ sau đây là các cơ sở của C 4. Tìm mối liên hệ giữa toạ độ của cùng một véctơ trong hai cơ sở đĩ: e1 = (1, 1, 1, 1), e2 = (1, 2, 1, 1), e3 = (1, 1, 2, 1), e4 = (1, 3, 2, 3); e11 = (1, 0, 3, 3), e 1 2 = (2, 3, 5, 4), e 1 3 = (2, 2, 5, 4), e 1 4 = (2, 3, 4, 4). 9. Xét xem các tập hợp hàm số thực sau đây cĩ lập thành khơng gian véctơ đối với các phép tốn thơng thường hay khơng? Nếu cĩ, hãy tìm số chiều của các khơng gian đĩ. (a) Tập R [X] các đa thức của một ẩn X . (b) Tập C8(R ) các hàm thực khả vi vơ hạn trên R . (c) Tập C0(R ) các hàm thực liên tục trên R . (d) Tập các hàm thực bị chặn trên R . (e) Tập các hàm f : R Đ R sao cho supxPR |f(x)| ¤ 1. (f) Tập các hàm f : R Đ R thoả mãn điều kiện f(0) = 0. (g) Tập các hàm f : R Đ R thoả mãn điều kiện f(0) =
1. (h) Tập các hàm thực đơn điệu trên R . Đại số tuyến tính 59 VI ET M AT HS .N ET