Giáo án môn toán - Bài tập về xác suất thống kê

BT II.4.20 Cho tập tổng thể gồm 1000 viên bi. Trọng lượng bi X là biến ngẫu nhiên kỳ vọng m = 25g, độ lệch quân phương s = 0.07g. Xét mẫu lặp cỡ 49 : X1 , ... , X49. a) Xác định phân phối tiệm cận chuẩn của đại lượng trung bình và tính xác suất 24,98 Ê M Ê 25,02. b) Lấy 300 mẫu lặp cỡ 49. Ước lượng số mẫu có 24,98 Ê M Ê 25,02 BT II.4.21a Xét tập rất nhiều trẻ sơ sinh có xác suất bé trai, bé gái bằng nhau a) Lấy mẫu 200 trẻ từ tập trên. Tính xác suất có ít nhất 40% bé trai từ tập mẫu. b) Lấy 1000 mẫu 200 trẻ. Ước lượng số mẫu có ít nhất 40% bé trai. bài tập Xác Suất Thống Kê III. Biến ngẫu nhiên liên tục BT 2.I.5. Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục với đồ thị hàm mật độ như sau b -a 0 a Các tham số a và b dương và ta nói X tuân theo luật phân phối Simpson tham số a. Biểu diễn b theo a và biểu diễn tường minh hàm mật độ f . Xác định hàm phân phối F của X và vẽ đồ thị của nó. Tính kỳ vọng E(X) và phương sai V(X). BT 2.I.6. Xác định số thực a để hàm f cho bởi f(x) = 0 nếu x Ê 1 và f(x) = a/(x2-1/4) nếu x > 1 là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên liên tục. Xác định hàm phân phối F của X. Kỳ vọng E(X) có tồn tại hay không ? Nếu tồn tại, hãy tính E(X). Phương sai V(X) có tồn tại hay không ? Nếu tồn tại, hãy tính V(X). BT 2.I.7. Cho aẻR. Xác định số thực l để hàm f cho bởi f(x) = 0 nếu x Ê a và f(x) = l/(x2 +1) nếu x > a là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên liên tục. (i) Xác định hàm phân phối F của X. Vẽ đồ thị hàm mật độ f và hàm phân phối F. X có mômen bậc s ³ 1 hay không ? BT 2.I.8. Cho hàm F như sau: F(x) = ex / (ex + e-x ) "xẻR (i) Chứng tỏ rằng F là hàm phân phối F của biến ngẫu nhiên liên tục X. Xác định hàm mật độ f của X. Chứng tỏ X là biến ngẫu nhiên trung tâm (kỳ vọng E(X)=0). Chứng minh rằng X có phương sai V(X) và +Ơ V(X) = 4.ũ t.e-t/(et + e-t)dt 0 BT 2.I.9. Cho hàm f như sau: f(x) = 0 nếu x < 0 và f(x) = l / (x3 + 1 ) nếu x ³ 0 (i) Xác định a, b, c để "xẻR: 1/(x3 + 1) = a/(x+1) + (b.x+c)/(x2 - x + 1) Tính tích phân +Ơ ũ 1/(t3 + 1)dt -Ơ Xác định l để f là mật độ của biến ngẫu nhiên. Cho X là biến ngẫu nhiên có mật độ f. Tính hàm phân phối F của X. Chứng tỏ X có kỳ vọng E(X). Tính E(X) X có phương sai không ? BT 2.I.10 (i) Cho x ³ 0. Chứng minh sự hội tụ của tích phân I(x) = Xác định l để hàm f định nghĩa như sau: f(x) = 0 nếu x < 0 và f(x) = I(x) nếu x ³ 0 là mật độ của biến ngẫu nhiên X. Xác định hàm phân phối F của X. (i) Chứng minh rằng tồn tại K sao cho "x ³ 2: f(x) Ê K.e-x . (ii) Từ câu (i) suy ra X có mômen mọi bậc k. BT 2.I.11 Cho hàm f như sau: f(x) = l.2-x nếu x ³ 0 và f(x) = m.2x nếu x < 0, trong đó l và m là các số thực. l và m phải thoả mãn quan hệ gì để f là mật độ của biến ngẫu nhiên. l và m phải thoả mãn quan hệ gì để f là mật độ của biến ngẫu nhiên trung tâm (có kỳ vọng bằng 0). Chứng minh rằng biến ngẫu nhiên X ở câu b) có phương sai. Hãy tính phương sai đó. Xác định hàm phân phối F của X. Cho Y là biến ngẫu nhiên Y = [X] ([x] là phần nguyên của x). Xác định luật phân phối của Y và tính E(Y). BT 2.I.12 Cho X là biến ngẫu nhiên có mật độ f liên tục trên R. Giả thiết f(x) = 0 "x Ê 0. Chứng minh rằng Y = ln(X) là biến ngẫu nhiên liên tục và xác định mật độ của Y. BT 2.I.13 Cho X là biến ngẫu nhiên có mật độ f liên tục trên R. Đặt Y = ea.X + b , trong đó a > 0 và b ẻ R. Chứng minh rằng Y là biến ngẫu nhiên. Xác định hàm mật độ của Y. BT 2.II.9 Cho X là biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối Gama G(b,t) có mật độ fb,t(x) = 0 nếu x Ê 0 xt-1.e-x/b +Ơ fb,t(x) = ắắắắ nếu x > 0 ( G(t) = ũ ut-1.e-udu ) bt .G(t) 0 Chứng minh rằng mômen gốc bậc s tồn tại "s³1 Tính mômen gốc bậc s (s³1). BT 2.II.10 Cho X là biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối Pareto VP(a,a,b) có mật độ fa,a,b (x) = 0 nếu x Ê b + a a a a+1 fb,t(x) = ắ. ắắ nếu x > b + a a x - b Cho Y là biến ngẫu nhiên Y = l.X + m (l>0, mẻR). Xác định luật phân phối của Y. Tính kỳ vọng và phương sai của X ằ VP(a,1,0). Sử dụng kết quả câu b) tính kỳ vọng và phương sai của X ằ VP(a,a,b). BT 2.II.11 Cho X là biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối mũ E(l). Xác định luật phân phối của biến ngẫu nhiên Y = a.Xk ( a > 0 và k > 1 ). Xác định luật phân phối của biến ngẫu nhiên Y = c.X (c>0) . BT 2.II.12 Cho X là biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối Pareto VP(a,a,0) có mật độ fa,a,b (x) = 0 nếu x Ê a a a a+1 fb,t(x) = ắ. ắắ nếu x > a a x Xác định luật phân phối của biến ngẫu nhiên Y = logk (X/a) ( a > 0 và k > 1 ). Xác định luật phân phối của biến ngẫu nhiên Y = Xc (c>0) . BT 2.II.13 Cho X là biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối chính qui N(0,s) và a > 1. Xác định s để xác suất P(Xẻ[a-1,a+1]) là lớn nhất. BT 2.II.14 Sử dụng bảng hàm phân phối f của luật phân phối chính qui N(0,1) tính tích phân 1 ũ e-x + x dx 0 (Cho biết ệ2 = 1.42 , p = 3.14 ) BT 2.II.15 Cho X là biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối đều trên [a;b]. Xác định luật phân phối của biến ngẫu nhiên Y = a.X + b (a ạ 0, b ẻ R). Cho j:R đ R là song ánh khả vi liên tục có đạo hàm j’(x) ạ 0 "xẻR. Giả thiết các biến ngẫu nhiên X và j(X) tuân theo luật phân phối đều tương ứng trên [a,b] và trên [c,d]. Chứng minh rằng j là hàm afin. BT 2.II.16 Cho a > 0 và b > 0 và 1 B(a,b) = ũ ta -1 (1-t)b-1 dt 0 Chứng minh rằng b.B(a+1,b) = a.B(a,b+1). Chứng minh rằng B(a,b+1) + B(a+1,b) = B(a,b). Chứng minh rằng B(a,b) = B(b,a). a Chứng minh rằng B(a+1,b) = ắắ . B(a,b). a+b Cho ga,b(x) là hàm như sau ga,b(x) = 0 nếu x ẽ [0,1] 1 ga,b(x) = ắắắ. xa-1.(1- x)b-1 nếu x ẻ [0,1] B(a,b) Chứng minh rằng ga,b(x) là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên . Biến ngẫu nhiên có mật độ ga,b gọi là tuân theo luật phân phối Beta với tham số a và b. Tính kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên có mật độ ga,b . BT 2.II.17 Cho X là biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối chính qui N(0,1). Xác định luật phân phối của biến ngẫu nhiên Y = X2 gọi là luật phân phối khi-bình một bậc tự do. Xác định kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên Y. Xác định kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên Y = X2 với X có phân phối N(m,s). BT 2.II.18 Cho X là biến ngẫu nhiên có hàm phân phối FX là song ánh đơn điệu tăng từ R vào (0,1). Xác định luật phân phối của biến ngẫu nhiên Y = FX(X). Tính kỳ vọng và phương sai của Y. BT II.4.21b Xét tập rất nhiều trẻ sơ sinh có xác suất bé trai, bé gái bằng nhau a) Lấy mẫu 200 trẻ từ tập trên. Tính xác suất có từ 43% đến 57% bé gái từ tập mẫu. b) Lấy 1000 mẫu 200 trẻ. Ước lượng số mẫu có từ 43% đến 57% bé gái. BT II.4.22 Một thùng kín có 80 quả cầu, trong đó có 60% cầu trắng và 40% cầu đen. Cho 50 mẫu có lặp cỡ 20. Ước lượng a) số mẫu có số cầu đen bằng số cầu trắng b) có 15 cầu đen c) có ít nhất 10 cầu trắng BT II.4.23a Cho mẫu 100 viên bi từ tập tổng thể vô số bị. Giả thiết đường kính bi có kỳ vọng m = 0.95 cm và độ lệch quân phương s = 0.025cm. Hãy xác định khoảng tin cậy của đường kính viên bi với độ tin cậy 95% a) bằng cách sử dụng bất đẳng thức Trebưsep b) với giả thiết đường kính bi tuân theo luật phân phối chuẩn. BT II.4.23b Cho mẫu 100 viên bi từ tập tổng thể vô số bị. Giả thiết đường kính bi có kỳ vọng m = 0.95 cm và độ lệch quân phương s = 0.025cm. Hãy xác định khoảng tin cậy của đường kính viên bi với độ tin cậy 99% a) trong trường hợp sử dụng bất đẳng thức Trebưsep b) trong trường hợp giả thiết đường kính bi tuân theo luật phân phối chuẩn. BT II.4.24 Thời gian thực hiện một loại phản ứng hoá học là biến ngẫu nhiên T độ lệch quân phương s = 0.05 giây. Hãy xác định số lần thí nghiệm “ít nhất” để với độ tin cậy 95%, độ lệch của trung bình cộng thời gian so với kỳ vọng không quá 0.01 giây a) trong trường hợp sử dụng bất đẳng thức Trebưsep b) trong trường hợp giả thiết biến ngẫu nhiên T tuân theo luật phân phối chuẩn. BT II.4.25 Trong một đợt bầu cử người ta chọn ngẫu nhiên 100 cử tri để thăm dò kết quả thì được biết có 55% bỏ phiếu cho ứng cử viên A, 45% bầu ứng cử viên B. a) Hãy xác định khoảng tin cậy của tỉ lệ cử tri bầu ứng cử viên A với độ tin cậy 95%. b) Giả thiết tỉ lệ phiếu bầu trên là chung cho tất cả cử tri. Cần phải thăm dò “ít nhất” bao nhiêu cử tri để có thể đảm bảo ứng cử viên A có ít nhất 50% phiếu bầu với độ tin cậy 95%. BT II.4.26a Có N (N rất lớn) cử tri tham gia bầu cử. Để ước lượng tỉ lệ p số người bầu ứng cử viên A, người ta chọn ngẫu nhiên n cử tri để thăm dò kết quả. Ký hiệu Xn là số cử tri chọn ứng cử viên A. a) Hãy xác định luật phân phối của Xn . b) Giả thiết n/N Ê 1/10. Hãy xác định luật phân phối tiệm cận đơn giản nhất của Xn. c) Giả thiết 0.4 Ê p Ê 0.6. Hãy tìm n “nhỏ nhất” để có thể coi Xn có luật phân phối tiệm cận chuẩn. BT II.4.26b Có N (N rất lớn) cử tri tham gia bầu cử. Ký hiệu p là tỉ lệ số người bầu ứng cử viên A. Người ta chọn ngẫu nhiên n cử tri để thăm dò kết quả. Ký hiệu Xn là số cử tri chọn ứng cử viên A. a) Hãy xác định luật phân phối của và của . b) Tìm a > 0 nhỏ nhất thoả P(-a Ê Gn Ê a ) ³ 0.99. c) Cho mẫu cỡ n=1000 , ta có tần suất người bỏ phiếu cho A là f=0,55. Tìm khoảng ước lượng [p1 , p2 ] của p với độ tin cậy ít nhất là 0.99 BT II.4.28 Xét tập tổng thể có N (N rất lớn) phần tử, và biến ngẫu nhiên X nhận các giá trị tương ứng a1 , ... , aN . Ký hiệu m = E(X) và s2 = D(X). Chọn ngẫu nhiên mẫu không lặp cỡ n (n < N) (X1 ,..., Xn). Ký hiệu a) Chứng minh D(M) = b) Tìm giới hạn của D(M) khi N rất lớn so với n.